Kvantumkáosz és véletlen mátrixok I.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kvantumkáosz és véletlen mátrixok I."

Teréz Pappné
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Hagymási Imre V. éves fizikus Bolyai Kollégium fizikus szeminárium október 7. 1 / 35

2 1 Bevezetés Az előadás menete Káosz a klasszikus mechanikában Mi a kvantumkáosz? 2 A kvantumkáosz kísérleti bizonyítékai biliárd kísérletek mezoszkopikus rendszerek gyenge lokalizáció univerzális vezetőképesség fluktuáció 3 Véletlen mátrix elmélet alapjai Szimmetriák, univerzalitási osztályok 4 Véletlen mátrix elmélet eredményei sajátértékek együttes eloszlásfüggvénye szinttávolság statisztika 5 Szemiklasszikus dinamika EBK kvantálás, Gutzwiller-féle trace-formula alkalmazás: scarok 2 / 35

Fázistér összehúzódik (különös) attraktor Konzervatív rendszerek A H(q i,p i )

3 Káosz a klasszikus mechanikában Disszipatív rendszerek Általában: A fázistér két közeli pontjából indított trajektóriák exponenciálisan távolodnak. Fázistér összehúzódik (különös) attraktor Konzervatív rendszerek A H(q i,p i ) Hamilton-függvény, N szabadsági fok, N-nél kevesebb mozgásállandó van kaotikus a rendszer 3 / 35

4 Konzervatív rendszerek Integrálható rendszerek H(q i,p i ) Hamilton-függvény, N szabadsági fok, legalább N mozgásállandó van. A fázistérbeli mozgás tóruszokon megy végbe. Kaotikus rendszerek kis perturbáció a tóruszok egy része felbomlik, kaotikus tartományok jönnek létre (KAM-tétel) a perturbáció további növelésével a tóruszok eltűnnek, csak kaotikus tartomány marad 4 / 35

5 Mi a kvantumkáosz? Probléma (80-as évek) A káosz klasszikus mechanikában adott definíciója nem vihető át a kvantummechanikába. Hogy jelentkezik egy klasszikusan kaotikus rendszer kvantumos megfelelőjében a káosz? Mérhető mennyiségek? Csak Ψ 2 és az {E n } energiaszintek mérhetők. ezeket vizsgáljuk Véletlen mátrixok először Wigner, Dyson, Mehta alkalmazta az atommagok spektrumának számítására 80-as évek: a kaotikus rendszerek energiaspektruma jól leírható véletlen mátrixok segítségével 5 / 35

6 Wigner-Dyson sokaság Véletlen mátrixok N N-es hermitikus mátrixok sokasága, a következő valószínűség eloszlással: P(H) = c exp[ βtrv(h)] Ha V(H) H 2, gausszi-sokaságról beszélünk. Ekkor a mátrixelemek független eloszlásúak. β = 1, 2, 4 a mátrixelemek szabadsági fokát számolja (valós, komplex, valós kvaternió) a H UHU 1 transzformáció hatására P(H) invariáns, annak megfelelően, hogy U ortogonális (β = 1), unitér (β = 2), szimplektikus (β = 4) mátrix, beszélünk ortogonális, unitér, szimplektikus sokaságokról. 6 / 35

7 Univerzalitási osztályok Univerzális viselkedés, attól függően, hogy melyik véletlen mátrix sokaságba tartozik a Hamilton-operátor. Gaussian Unitary Ensemble (GUE) A Hamilton operátornak nincs időtükrözési szimmetriája, pl H = 1 2m (p ea)2 + V(x) Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) A Hamilton-operátornak van időtükrözési szimmetriája, de nincs benne spin-pálya kölcsönhatás, pl. H = p2 2m + V(x) Gaussian Symplectic Ensemble (GSE) A Hamilton-operátornak van időtükrözési szimmetriája és van benne spin-pálya kölcsönhatás, pl. H = p2 2m + V(x) + ALS 7 / 35

8 Vizsgált mennyiségek A véletlen mátrix elmélet néhány eredménye sajátértékek együttes eloszlásfüggvénye: P(E 1,...,E N ) n>m(e ( n E m ) β exp A n E 2 n ) szinttávolság statisztika: P(s) s β exp( As 2 ), s = E n E n 1 β = 1, 2, 4 rendre a GOE, GUE, GSE sokaságokra Integrálható rendszerek Az energiasajátértékek korrelálatlanok, a szinttávolság statisztika Poisson-eloszlást követ: P(s) = exp( s) 8 / 35

9 Szinttaszítás 9 / 35

10 Biliárd kísérletek Első kísérletek: rezgő lemezek (Chladni) A kitérésfüggvény: Ψ n = k ( ) 2 Ψ n = knψ 4 n 2Ψ Ψ n = kn 2 }{{ Ψ } Helmholtz-egyenlet rögzített perem esetén kvantummechanikai problémával analóg nem alkalmas kvantitatív mérésekre 10 / 35

11 Felszíni vízhullám kísérletek Biliárd kísérletek Ha az f (x,y) amplitúdó kicsi a mélységhez képest, a Navier-Stokes egyenletek linearizálhatók: +Neumann határfeltétel ( + k 2 )f = 0 11 / 35

12 Ultrahang kísérletek Biliárd kísérletek Hengeres tartályban lévő folyadékot gerjesztenek néhány MHz-es ultrahanggal a nyomáseloszlás eleget tesz a Helmholtz-egyenletnek: ( + k 2 )p = 0, +Neumann hat. felt. I diffraktált p 2 12 / 35

13 Új jelenség: Scarok További ultrahangos kísérletek A hullámfüggvény nagy értékeket vesz fel a klasszikus periodikus pályák mentén. (Pl. bouncing ball, whispering gallery módusok.) 13 / 35

14 Mikrohullám biliárdok Mikrohullám kísérletek Különböző alakú üregrezonátorok, E, B kielégíti a Helmholtz-egyenletet: ( + k 2 )E = 0 n E S = 0 ( + k 2 )B = 0 nb S = 0 n a felület normális irányú egységvektora TM-módus E z (x,y,z) = E(x,y)cos [ + k 2 ( nπ d ( nπz ), B z (x,y,z) = 0 d ) 2 ] E = 0, E(x,y) S = 0 n = 0 esetén teljesen analóg a kvantummechanikai problémával 14 / 35

15 Mikrohullám kísérletek Vizsgált mennyiségek A rezonátor sajátfrekvenciái kimérhetők szinttávolság statisztika E z szintén mérhető hullámfüggvény 15 / 35

16 Szinttávolság statisztika Integrálható rendszerek Az energiaszintek teljesen korrelálatlannak tekinthetők. Szinttávolság statisztikát ekkor a Poisson-eloszlás írja le: P(s) = exp( s) 16 / 35

17 Mikrohullám kísérletek Hullámfüggvények Scarok ismét láthatók a periodikus pályák mentén. 17 / 35

18 Kétdimenziós elektrongáz 18 / 35

19 Kétdimenziós elektrongáz Tulajdonságok Fermi-hullámhossz 400 Å szabad úthossz nm fáziskoherencia hossz 200 nm összemérhetők a minta méreteivel Az elektronok zárt térrészbe terelhetők, ahol ballisztikusan, fáziskoherensen mozognak. 19 / 35

S-mátrix Transzportfolyamatok Hullámfüggvény alakja a csőben: ψ ± n (r) = Φ n (y,z)e ±iknx n a propagáló módusokat indexeli, Φ n (y,z) a transzverzális hullámfüggvény.

20 S-mátrix Transzportfolyamatok Hullámfüggvény alakja a csőben: ψ ± n (r) = Φ n (y,z)e ±iknx n a propagáló módusokat indexeli, Φ n (y,z) a transzverzális hullámfüggvény. Az S-mátrix a be- és kiféle propagáló elektronok hullámfüggvényének amplitúdóit kapcsolja össze: c in = (a + 1,a+ 2,... a+ N,b 1,b 2,...,b N ), c out = (a 1,a 2,... a N,b+ 1,b+ 2,...,b+ N ), c out = Sc in 20 / 35

21 Az S-mátrix fontosabb tulajdonságai Unitaritás Az S-mátrix unitér, az árammegmaradás miatt, S = S 1. A particionált alak Az S-mátrix a következő blokkokra bontható: ( ) r t S = t r Landauer-formula A G vezetőképesség: Mérhető mennyiség! G = 2e2 h Tr(tt ) 21 / 35

22 Néhány jelenség a mezoszkopikus rendszerekben I. Univerzális vezetőképesség fluktuáció (UCF) A vezetőképesség valamilyen paraméter függvényében mindig e2 h nagyságrendben oszcillál. Független a minta paramétereitől. 22 / 35

23 Néhány jelenség a mezoszkopikus rendszerekben II. Gyenge lokalizáció Klasszikusan a reflexió és transzmisszió valószínűsége egyenlő. Kvantumosan a reflexió kicsit nagyobb az időtükrözött pályák interferenciája miatt. Reflektált intenzitás klasszikusan: A p 2 + T A p 2 = 2 A p 2 kvantumosan: A p + T A p 2 = 4 A p 2 23 / 35

24 A jelenség leírása Gyenge lokalizáció Vezetőképesség meghatározásához kell az S-mátrix. S nm 2 CXE = 1 (1 2/β)δ nm N 1 + N /β, β = 1,2,4 N 1 G = G 0 N 2 n=1 m=n 1 +1 S nm 2, G 0 = 2e2 h N 1,N 2 nyitott csatornák száma jobb és bal oldalon. A gyenge lokalizációs korrekció (N 1,N 2 1): δg = 1 ( 1 2 ) G 0 4 β Mért érték: 0.2G 0, számolt 1 4 G / 35

25 Univerzális vezetőképesség fluktuáció A jelenség leírása A szórásmátrixok cirkuláris sokaságára való átlagolás után a következőt kapjuk: VarG/G 0 = 2(N 1N 2 ) 2 β(n 1 + N 2 ) 4, ha N 1,N 2 1. β = 1 esetén 0.41(e 2 /h) 2, β = 2 esetén 0.27(e 2 /h) 2. Mért érték sokkal kisebb az elméletinél, ennek oka a rugalmatlan szórás. 25 / 35

26 Szemiklasszikus vizsgálat A közelítés célja rendszer kvantumos viselkedésének megértése (pl. scarok) az energiasajátértékek közelítése A szemiklasszikus hullámfüggvény ( ) i Ψ sc = A(q,I)exp S(q,I) A(q,I), lassan változó amplitúdó, S(q,I) a klasszikus hatás 26 / 35

27 Integrálható rendszerek EBK-kvantálás A hullámfüggvény egyértékűségének megköveteléséből: I i := 1 ( pdq = n i + ν ) i 2π C i 4 n i,ν i Z, ν i : Maslov indexek Az integrált a tóruszokon fekvő, egymásba folytonosan át nem deformálható C i kontúrok mentén kell kiszámolni. periodikus pályákhoz kvantált energiaszintek tartoznak 27 / 35

28 Kaotikus rendszerek Problémák Kaotikus rendszerekben nem működik az EBK-kvantálás. Az állapotsűrűségre tudunk csak állítást kimondani. Gutzwiller-féle trace formula A szemiklasszikus Green-függvény G sc (q,q,e) = G 0 (q,q,e) + G }{{} j (q,q,e) sima rész j }{{} G 0 (q,q,e) H (1) D 2 D oszcilláló rész 2mE ( 2 q q ) 28 / 35

29 Gutzwiller-féle trace formula következményei Weyl-formula A (E) állapotsűrűség: A sima rész: (E) = 0(E) + oszc (E) 0(k) = A 2π k ± L ( 4π +... E = 2 k 2 ) 2m a biliárd klasszikus paraméterei jelennek meg a sorban az alak meghatározza a spektrumot? nem 29 / 35

30 Ellenpélda 30 / 35

31 Scarok Scarok Periodikus pályák nyomai a hullámfüggvényben. Bogomolny-féle leírás ψ(q) 2 = w(e) n ψ n (q) 2 δ(e E n )de n G(q A,q B,E) = n ψ n(q B )ψ n (q A ) E E n δ(e E n )ψn(q B )ψ n (q A ) = 1 π lim Im[G(q A,q B,E + iε)] ε 0 ψ(q) 2 = 1 ( ) π Im w(e)g(q,q,e)de 31 / 35

32 Scarok Bogomolny-féle leírás G(q,q,E) = G 0 (q,q,e) + G oszc (q,q,e) ( ) 1 d ψ(q) 2 0 = 0(q,E), 0(q,E) = dpδ[e H(p,q)] 2π A Green-függvény oszcilláló része G oszc = i ( ) 1 (d 1)/2 [ i r 1/2 exp 2πi S r(q,q,e) i ν ] rπ 2 r 32 / 35

33 Scarok Energia szerinti integrál elvégzése: S r (q,q,e) = S r (q,q,e 0 ) + T r (q,e 0 )(E E 0 ) +... G oszc (q,q,e) = = i ( ) 1 (d 1)/2 2πi r ŵ(t r (q,e 0 )) = [ i r 1/2 exp S r(q,q,e 0 ) i ν rπ 2 [ ] i w(e)exp T r(q,e)(e E 0 ) de ] ŵ(t r (q,e 0 )) Kérdés Az összegzés jelenleg minden zárt pályára kiterjed. Miért a periodikus pályák adják a lényeges járulékot? 33 / 35

34 Scarok Tekintsünk egy zárt trajektóriát, amelyhez tartozó hatás S r (q,q,e 0 ). Vegyünk ettől egy kezdő és végállapotban infinitezimálisan eltérő pályát: ( Sr S r (q + q,q + q,e 0 ) = S r (q,q,e 0 ) + q + S ) r q B q }{{ A } p B q p A q q eltérés oszcillálást eredményez az exponensben kiátlagolódnak Kivétel azok a pályák, ahol p B q = p A q periodikus pályák 34 / 35

35 Amiről nem esett szó atommagok Riemann-zeta függvény periodikus időfüggésű rendszerek vegyes fázisterű rendszerek szupravezetőhöz kapcsolt rendszerek, Andreev-biliárdok / 35

Hasonló dokumentumok

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....