Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 2. Számfogalom bővítése A természetes számokból kiindulva megkonstruálhatók a természetes számok: N = {0, 1,... }; egész számok: Z = {..., 1, 0, 1,... }; racionális számok: Q = {p/q : p, q Z, q 0}; valós számok: R =?; komplex számok: C = {a + bi : a, b R}. Kérdések Milyen fontos tulajdonságokkal rendelkeznek az adott számhalmazok? Mik a valós számok? Mi a pontos kapcsolat a műveletek és a számhalmazok között? N-ben nincs kivonás, de Z-ben van, Z-ben nincs osztás, de Q-ban van...

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 3. Természetes számok Peano-axiómák Legyen N egy halmaz, + egy unér művelet (rákövetkező). Ekkor 1. 0 N; 2. n N n + N; 3. n N n + 0; 4. n, m N esetén n + = m + n = m; 5. (S N, 0 S, (n S n + S)) S = N. Megjegyzések Az axiómák egyértelműen definiálják N-et. Mindegyik axióma szükséges. N halmaz megkonstruálható: 0 :=, 0 + := { }, (0 + ) + := {, { } },... 1 := 0 +, 2 := 1 +,...

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 4. Műveletek természetes számokkal N-en természetes módon definiálhatjuk az összeadást (HF), például n + 1 := n +, n + 2 := (n + ) +,... Álĺıtás Ha k, m, n N, akkor 1. (k + m) + n = k + (m + n) (asszociativitás); 2. k + m = m + k (kommutativitás); 3. 0 + n = n + 0 = n (van nullelem/egységelem/semleges elem).

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 5. Félcsoportok Definíció A G halmaz a művelettel félcsoport, ha asszociatív G-n. Ha létezik n G: g G : n g = g n = g, akkor az n egységelem (nullelem, neutrális elem), G pedig egységelemes félcsoport. Példa N az + művelettel egységelemes félcsoport n = 0 egységelemmel. Q a művelettel egységelemes félcsoport n = 1 egységelemmel. C k k a mátrixszorzással egységelemes félcsoport az egységmátrixszal, mint egységelemmel.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 6. Egész számok Az N halmazon nem (mindig) tudjuk a kivonást elvégezni. A kivonás elvégzéséhez elég (lenne), hogy a 0-ból ki tudjuk vonni az adott n számot (ellentett): Definíció Legyen G egy egységelemes félcsoport a művelettel és n egységelemmel. A g G elem inverze (ellentettje) a g 1 G elem, melyre g g 1 = g 1 g = n. Ha minden g G elemnek létezik inverze, akkor G csoport. Ha kommutatív, akkor G Abel-csoport. Álĺıtás Z a legszűkebb olyan (Abel-) csoport, mely tartalmazza N-et. Megjegyzés Z megkonstruálható N-ből: az (r, s) (p, q), ha r + q = p + s ekvivalenciareláció osztályai az egész számok.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 7. Csoportok További példák csoportokra: Q az + művelettel, a 0 egységelemmel. Q = Q \ {0} a művelettel, az 1 egységelemmel. {M C k k : det M 0} a mátrixszorzással, és az egységmátrixszal, mint egységelemmel. X X bijektív függvények a művelettel, és az id X : x x identikus leképzéssel, mint egységelemmel.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 8. Egész számok szorzása Az egész számok körében definiálhatjuk a műveletet: Ha n N, m Z, akkor legyen n m = m + m + + m. }{{} n darab Ha n N, akkor legyen n m = ( ( n) m ). Álĺıtás A Z a műveletre kommutatív egységelemes félcsoport. (A kommutatív, asszociatív, van egységelem.) A két művelet nem,,független : Álĺıtás Z-n a az +-ra nézve disztributív: k, l, m Z-re: k (l + m) = k l + k m.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 9. Gyűrűk Definíció Legyen R egy halmaz két binér művelettel:,. Ekkor az R gyűrű, ha R a művelettel Abel-csoport (0-val, mint egységelemmel); R a művelettel félcsoport; a a -ra nézve disztributív: r (s t) = (r s) (r t); (s t) r = (s r) (t r). Az R egységelemes gyűrű, ha R-en a műveletre nézve van egységelem. Az R kommutatív gyűrű, ha a művelet (is) kommutatív. Példa Z az (+, ) műveletekre egységelemes kommutatív gyűrű. A páros számok halmaza gyűrű, de nem egységelemes. Q, R, C egységelemes kommutatív gyűrűk. C k k egységelemes gyűrű, de nem kommutatív.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 10. Nullosztómentes gyűrűk A gyűrűkben általában nem lehet elvégezni az osztást: Z-ben nem oldható meg a 2x = 1 egyenlet. R 2 2 -ben nem oldható meg az alábbi egyenlet ( ) ( ) 1 0 1 0 X = 0 0 0 1 Definíció Ha egy (R,, ) gyűrűben r, s R, r, s 0 esetén r s 0, akkor R nullosztómentes gyűrű. Példa Nem nullosztómentes gyűrű ( ) ( 0 0 1 0 R 2 2 : 0 1 0 0 ) = ( 0 0 0 0 )

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 11. Testek Szeretnénk Z-ben az osztást elvégezni. Mivel az osztás nem,,szép művelet (nem asszociatív), ezért azt a reciprokkal (inverzzel) való szorzással helyettesítenénk. Definíció Legyen K egy halmaz, azon két művelet:,. A K ferdetest, ha K gyűrű; K = K \ {0} a művelettel csoport. Megjegyzés Ha K csoport, akkor minden elemnek létezik inverze (reciproka), így minden elemmel tudunk osztani. Álĺıtás Q az N-et tartalmazó legszűkebb test. Megjegyzés Q megkonstruálható Z segítségével: az (r, s) (p, q) (s, q 0), ha r q = p s ekvivalenciareláció osztályai a racionális számok.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 12. Testek Példa R, C {r + s 2 : r, s Q}: 1 r + s 2 = 1 r + s 2 r s 2 r s 2 = = r s 2 r 2 2s 2 = r r 2 2s 2 + s r 2 2s 2 2 Kvaterniók H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d R}, továbbá i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, ji = k,... Nemkommutatív ferdetest! j k i

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 13. Számok és rendezés Z-n a természetes módon definiálhatjuk a rendezést: Adott n N, n 0 esetén legyen 0 < n. Legyen továbbá n < m, ha 0 < m n. Ekkor a rendezés kompatibilis a műveletekkel: Álĺıtás Ha k, m, n Z, akkor k < m k + n < m + n, m, n > 0 m n > 0. Definíció Egy R gyűrű rendezett gyűrű, ha van az R-en definiálva egy rendezés, mely kielégíti a fenti tulajdonságokat.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 14. Rendezett testek p A Z-n definiált rendezés kiterjeszthető Q-ra: q < r, ha ps < rq. s A kiterjesztés azonban nem lesz,,teljes, Q nem lesz felső határ tulajdonságú. Emlékeztető Egy X halmaz felső határ tulajdonságú, ha minden Y X felülről korlátos részhalmaznak van supremuma. Álĺıtás 2 Q. Speciálisan Q nem felső határ tulajdonságú: {r Q : r 2} felülről korlátos, de nincs supremuma (sup = 2 Q). Bizonyítás Indirekt tfh n, m N + : (m/n) 2 = 2. Válasszuk azt az m, n párt, ahol (m, n) = 1. Most m 2 = 2n 2 2 m. Legyen m = 2k m 2 = 4k 2 = 2n 2 2 n (m, n) 2.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 15. Valós számok Valós számok axiómája Legyen R az N-et tartalmazó legszűkebb felső határ tulajdonsággal rendelkező rendezett test. Megjegyzés A valós számok halmaza lényegében egyértelmű. R megkonstruálható: legyen R a Q kezdőszeletei: Egy A Q kezdőszelet, ha A Q, és r A, s < r s A; például 2 {r Q : r 2}. N, Z, Q definiálható R segítségével is: N: a 0, 1 R elemeket tartalmazó legszűkebb félcsoport; Z = N ( N); Q = {r/s R : r, s Z, s 0}.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 16. Összefoglaló Műveletek halmazokon Struktúra Példa Peano axiómák N félcsoport: van asszociatív művelet (N, +), (Z, ) csoport: van inverz (Z, +), (Q, ), (Z m, +), (Z p, ) gyűrű: két művelet, (Z, +, ), (Z m, +, ), -ra kommutatív csoport, (R k k, +, ) -re félcsoport, disztributivitás ferdetest: két művelet, Q, R, C, H, Z p -ra kommutatív csoport, -re a 0 kivételével csoport, disztributivitás

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 17. Összefoglaló Műveletek és rendezés Struktúra félcsoport: van asszociatív művelet rendezett gyűrű rendezett test felsőhatár tulajdonságú test Példa Z Q, R R