KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu
Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe lehet kiválasztai k elemet úgy, hogy a sorred em számít (kombiáció). 3. elemből háyféleképpe lehet kiválasztai k elemet úgy, hogy a sorred számít (variáció). 2
Példák: a) Háyféleképpe tölthető ki egy lottószelvéy? b) Háy értelmes vagy értelmetle szó képezhető a MATEMATIKA szó betűiből? c) Háyféleképpe lehet égy játékos között kiosztai az 52 lapos fracia kártyát? d) Háy háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 5 számjegyekből? e) Háyféle módo ülhet le 6 személy egy padra egymás mellé, és háyféleképpe helyezkedhet el egy kerek asztal körül? 3
1. PERMUTÁCIÓK 1.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET DEFINÍCIÓ: külöböző elem egy sorredjét az elem egy permutációjáak evezzük. 4
Példa: Legye: a, b, c. Permutációk pl.: b c a, c a b, a c b, stb. Meyi a permutációk száma? Vegyük az {1,2,3} halmazt. A lehetséges permutációk 2 3 1 3 2 1 3 2 3 1 3 1 2 2 1 5
T: számú elem összes permutációiak száma P. P = ( - 1)( - 2)...3 2 1 =!!= ( - 1)( - 2)...2 1 Megjegyzés. 1.! = (-1)! ezért a feti képlet így is írható: P = P -1 (rekurzív képlet). 2. Defiíció szerit 0! = 1, és 1!=1. Példa. Írjuk le 4 elem lehetséges permutációit. abcd bacd cabd dabc abdc badc cadb dacb acbd bcad cbad dbac acdb bcda cbda dbca adbc bdac cdab dcab adcb bdca cdba dcba 6
MEGJEGYZÉS 1. Az övekedésével az! agyo erőse övekszik. Például 10!=3 628 800 2. Az! közelítésére a Stirlig formulát haszálhatjuk:! 2e 1 2 7
1.2. ISMÉTLÉSES ESET DEFINÍCIÓ: Ismétléses permutáció, em feltétle külöböző elem egy sorredjét az elem ismétléses permutációjáak evezzük. 8
T: elem ismétléses permutációiak száma: P k, k2,..., k! k! k!... k! 1 2 ( k 1 k 2... k 1 r Példa. Az 1, 1, 2, 3 elemek eseté: P 4! 2! r 43 21 21 43 4;2 r ). 12. Példa. A MATEMATIKA szó betűiből alkotott összes ismétléses permutációk száma: 10! 151200. 3!2!2! 9
2. VARIÁCIÓK 2.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET DEFINÍCIÓ: Az külöböző elem közül kiválasztott k külöböző elem ( k) egy sorredjét az elem k-ad osztályú ismétlés élküli variációjáak evezzük. 10
2.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET T: Az ismétlés élküli variációk száma V k, V k! ( k)! 1 2 3 k-1 k (-1)-féleképpe -féleképpe 1... k 1 11
Példa: Háy háromjegyű szám képezhető az 1,2,3,4,5 számjegyekből, ha ugyaaz a számjegy mide számba csak egyszer fordul elő? Megoldás: V 5! 2! 5 43 2! 2! 5;3 60. Példa: Egy 30 fős csoportból háyféleképpe állíthatuk össze elökből, alelökből, titkárból és péztárosból álló vezetőséget? Megoldás: V 30 ; 4 = 30 29 28 27 = 657720. 12
PÉLDA Egy 30 fős csoportból háyféleképpe állíthatuk össze elökből, alelökből, titkárból és péztárosból álló vezetőséget? Megoldás: V 30 ; 4 = 30 29 28 27 = 657720. 13
DEFINÍCIÓ: Az külöböző elemből kiválasztott k, em feltétle külöböző elem egy sorredjét az elem k-ad osztályú ismétléses variációjáak evezzük. T: Az elem k-ad osztályú ismétléses variációiak a száma:, i k V k. 14
Példa: Írjuk fel az 1, 2, 3, 4 elemek másodosztályú ismétléses variációit! Megoldás: 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 Példa: Háy totószelvéyt kell kitölteük (külöböző módo) ahhoz, hogy biztosa legye köztük 13 találatos? Megoldás: Ismétléses variációról va szó tehát i V 3 13 3;13 1594323 15
3. KOMBINÁCIÓK 3.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET DEFINÍCIÓ: Az külöböző elemből kiválasztott k elemet az elem k-ad osztályú ismétlés élküli kombiációjáak evezzük. T: Az ismétlés élküli kombiációk száma:! ( 1) ( k 1) C ; k k k! k! k! Megjegyzés: 1 0 Példa: Háyféleképpe lehet kitöltei egy lottószelvéyt? 16
Megoldás: 90 5 9089888786 1 23 45 43949268 3.2. ISMÉTLÉSES ESET DEFINÍCIÓ: Az külöböző elem közül kiválasztott k, em feltétle külöböző elemet az elem k-ad osztályú ismétléses kombiációjáak evezzük. T: Az elem k-ad osztályú ismétléses kombiációi száma: C i ; k k 1 k Példa: 7 elemből háy olya hármas csoport yerhető, ahol az elemek sorredjére em kell tekitettel lei, és ugyaazt az elemet egy csoportba akár 3-szor is fel lehet tüteti? 17
Megoldás: C 7 3 3 1 9 3 i 7;3 84. Példa: 4 pézérmét dobuk fel egyszerre. Háyféle eset lehetséges a fej, írás kombiációkra? Megoldás: 2 4 1 4 5 4 5 18
4. A BINOMIÁLIS TÉTEL ÉS A PASCAL-HÁ- ROMSZÖG a b a 0 a 1 b a 2... 1 2 2 1 k ab 1 k b k0 a k biomiális együttható; Biomiális tétel Ezekből az alábbi Pascal háromszöget kapjuk. b k b 19
0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 20
Tulajdoságok: 1. Szélső elemek: 2. Szimmetria: 0 k 1 k 3. Összeg tulajdoság: k k 1 k 1 1 4. Az -edik sor elemeiek összege: (1 1) k0 k 2 21
22