TARTÓSZERKEZETEK MECHANIKÁJA TANSZÉK Térbeli káosz diszkrét mechanikai rendszerekben: rugalmas rúdláncok és rugalmas rúdhálók PhD értekezés KOCSIS Attila Tudományos vezető: Dr. KÁROLYI György Budapest, 2008.
TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Ábrák jegyzéke Nyilatkozat ii v vi 1. Előzmények, célkitűzések 1 1.1. Az Euler-feladat folytonos és diszkrét modelljei................. 3 1.1.1. A folytonos modell és kapcsolata a matematikai ingával........ 3 1.1.2. A diszkrét modell és kapcsolata a standard leképezéssel........ 5 1.2. Konzervatív kaotikus rendszerek jellemzői.................... 9 1.3. Az értekezés felépítése, célkitűzései....................... 12 2. Rugalmas rúdláncok 14 2.1. Követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc síkbeli kihajlása...... 15 2.1.1. Kételemű, követőerős, kéttámaszú rugalmas rúdlánc.......... 17 2.1.2. Kettőnél több elemű, követőerős, kéttámaszú rugalmas rúdláncok... 19 2.2. Konzolos rugalmas rúdláncok síkbeli kihajlása.................. 22 2.2.1. Általános terhelés, nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedés..... 23 2.2.2. Az egyensúlyi helyzetek rendszerezése néhány konkrét terhelési esetben 27 2.3. Térbeli káosz rugalmas rúdláncoknál....................... 36 2.3.1. Egyensúlyi konfigurációk és periodikus pályák............. 36 2.3.2. A megoldások száma, a tartomány hossza és a térbeli bonyolultság... 40 2.4. Rugalmas rúdláncok bifurkációanalízise..................... 44 2.4.1. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes erő a szabad végen....... 44 2.4.2. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes erő a csuklókon......... 50 2.4.3. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes megoszló teher......... 52 2.4.4. Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc......... 54 2.4.5. Követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc........... 55 3. Rugalmas rúdhálók 56 3.1. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló............... 57 3.1.1. Egyensúlyi egyenletek.......................... 58 3.1.2. Globális szimmetriák........................... 61 i
TARTALOMJEGYZÉK 3.1.3. Bifurkációanalízis............................ 61 3.1.4. Katasztrófaanalízis............................ 63 3.1.5. Kisebb méretű rúdhálók egyensúlyi helyzetei analitikus megoldás.. 65 3.1.6. Az egyensúlyi egyenletek numerikus megoldása............ 71 3.2. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló előfeszített spirálrugókkal. 79 3.2.1. Egyensúlyi egyenletek.......................... 80 3.2.2. Globális szimmetriák........................... 81 3.2.3. Bifurkációanalízis............................ 81 3.2.4. Az egyensúlyi állapotok numerikus számítása.............. 82 3.3. Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló................ 84 3.3.1. Egyensúlyi egyenletek.......................... 84 3.3.2. Globális szimmetriák........................... 86 3.3.3. Bifurkációanalízis............................ 86 3.3.4. Az egyensúlyi egyenletek megoldásáról................. 86 3.4. Rugalmas rúdháló és csak nyírási deformációra képes rúd............ 89 4. Az eredmények összefoglalása, tézisek 93 Összefoglaló és tézisek angol nyelven Summary and Theses 97 Köszönetnyilvánítás 99 A. üggelék. Részletes bizonyítások 100 A.1. Konzolos rugalmas rúdláncok egyensúlyi helyzetei és a megfelelő dinamikai rendszer periodikus pályái............................ 100 A.2. A J mátrix sajátértékei.............................. 105 A.3. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló potenciális energia függvényének szétválasztása a kritikus pontban..................... 106 A.4. Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló triviális egyensúlyi útjának elágazása..................................... 109 Irodalomjegyzék 111 ii
ÁBRÁK JEGYZÉKE Ábrák jegyzéke 1.1. Az Euler-kihajlás................................. 3 1.2. Az Euler-kihajlás bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja. 4 1.3. Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc............. 5 1.4. Négyelemű, kéttámaszú, támaszvonalában terhelt rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja................. 7 2.1. Kéttámaszú, követőerővel terhelt rugalmas rúdlánc mechanikai modellje.... 15 2.2. Követőerő által végzett munka egy zárt pályán.................. 16 2.3. Kételemű, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja....................................... 19 2.4. Négyelemű, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja...................................... 21 2.5. Hételemű, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja....................................... 21 2.6. Általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc mechanikai modellje....................................... 22 2.7. Követőerővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje..... 27 2.8. Vízszintes megoszló erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje....................................... 29 2.9. Vízszintes megoszló erő által végzett munka egy zárt pályán.......... 29 2.10. Négyelemű, vízszintes megoszló erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja................................ 30 2.11. Szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje...................................... 31 2.12. Szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit származtató leképezés fázisportréi................... 32 2.13. Négyelemű, szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja............................... 33 2.14. Tizenötelemű, szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja........................ 33 2.15. Vízszintes erővel a csuklókon terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje...................................... 34 2.16. Négyelemű, csuklóin vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja................................ 35 iii
ÁBRÁK JEGYZÉKE 2.17. A megfelelő dinamikai rendszer periodikus pályája általános terhelésű, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc...................... 38 2.18. Szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja és a megfelelő dinamikai rendszer egy periodikus pályája közötti kapcsolat szemléltetése.......................... 39 2.19. Megoldások száma a teherparaméter függvényében szabad végén vízszintes erővel terhelt, különböző elemszámú, konzolos rugalmas rúdláncoknál..... 40 2.20. Megoldások száma a teherparaméter függvényében vízszintes megoszló erővel terhelt, különböző elemszámú, konzolos rugalmas rúdláncoknál........ 41 2.21. Nyújtás és hajtogatás a fázistérben........................ 43 2.22. Háromelemű, vízszintes erővel a szabad végén terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és a lehetséges megoldások tartományát jelölő határok 50 2.23. Az összes megoldás a teherparaméter függvényében szabad végén vízszintes erővel terhelt, különböző elemszámú, konzolos rugalmas rúdláncoknál..... 51 3.1. A rugalmas rúdháló mechanikai modellje.................... 57 3.2. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló............... 58 3.3. Az egyensúlyi egyenletek fizikai tartalma: rúdháló-szeletek vetületi egyenletei. 60 3.4. Egyensúlyi konfigurációk származtatása a szimmetria-tulajdonságokból.... 62 3.5. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja, M = 2, N = 2................ 66 3.6. A k-ra tett korlátok magyarázata......................... 67 3.7. Az l-re tett korlátok magyarázata......................... 68 3.8. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramjának részlete, M = 2, N = 3............................. 69 3.9. Néhány egyensúlyi konfiguráció az A) és a B) megoldásokra, M = 2,N = 3. 70 3.10. Példa az M = 2 oszlopsoros, N = 3 gerendasoros, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló egy egyensúlyi konfigurációjából nagyobb méretű rúdhálók egyensúlyi helyzeteinek származtatására................ 71 3.11. Megoldások száma a teherparaméter függvényében különböző méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál............... 74 3.12. Egyensúlyi utak az M = 8,N = 3 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál................................. 75 3.13. Egyensúlyi utak az M = 4,N = 4 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál................................. 75 3.14. Egyensúlyi utak a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 8, N = 3 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál. 77 3.15. Egyensúlyi utak a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4, N = 4 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál. 77 3.16. A paramétertér diszkretizálásából adódó 2-es típusú parazitamegoldások a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4,N = 4 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál................ 78 3.17. Egyensúlyi utak a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4, N = 5 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál. 78 iv
ÁBRÁK JEGYZÉKE 3.18. Speciálisan előfeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló............................... 79 3.19. Megoldások száma a teherparaméter függvényében az N = 2, M = 2, 3, 4, 5, 6 méretű, speciálisan előfeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál........................ 83 3.20. Megoldások száma a teherparaméter függvényében az N = 3, M = 2, 3, 4, 5, 6 méretű, speciálisan előfeszített spirálrugókkal felszerelt, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóknál........................ 83 3.21. ix csuklóval és a terhelés irányára merőleges erő felvételére képes görgős támasszal ellátott, egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló....... 84 3.22. Egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló néhány egyensúlyi felülete, M = 2, N = 3.................................. 87 3.23. A rugalmas rúdháló nyírási merevségének szemléltetése: egy szegmens elemi nyírási torzulása és a szegmens oszlopainak kapcsolati erői........... 89 3.24. Az egyirányban terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdháló és a támaszvonalában terhelt, kéttámaszú, csak nyírási deformációra képes rúd közötti, a triviális egyensúlyi út kis környezetében érvényes analógia szemléltetése........... 91 3.25. Az egyirányban terhelt, alsó csomopontjainál megtámasztott rugalmas rúdháló és a befogott, szabad végén tengelyirányban terhelt, csak nyírási deformációra képes rúd közötti, a triviális egyensúlyi út kis környezetében érvényes analógia szemléltetése................................... 91 v
NYILATKOZAT Nyilatkozat Jelen értekezés bírálatai és a védésről készült jegyzőkönyv az eljárás lezárultával a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építőmérnöki Karának Dékáni Hivatalában elérhetőek. Alulírott Kocsis Attila kijelentem, hogy ezt a doktori értekezést magam készítettem, és abban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint, vagy azonos tartalomban, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a források megadásával megjelöltem. Budapest, 2008. június 9. Kocsis Attila vi
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK 1. fejezet Előzmények, célkitűzések Az első kihajlási feladat [25] megoldása óta sokféle rúd és rúdszerkezet esetében határozták meg a kritikus terhet, illetve az egyensúlyi konfigurációkat. A mérnöki gyakorlatban többnyire az első kihajlási alak és a hozzá tartozó kritikus teher az érdekes, a tökéletlenség-érzékenység szempontjából azonban fontos a posztkritikus állapotok vizsgálata is. A mérnöki gyakorlaton túl a biológiában is fontos szerep jut a rudak és rúdszerkezetek egyensúlyi konfigurációinak: szálas biológiai struktúráknál mint a DNS, a bio-polimerek, vagy a kacsok, indák bonyolult térbeli megjelenés figyelhető meg [9 11, 13, 20, 31 32, 52 53, 58, 63]. A biológiai alkalmazásokból vett példákban közös, hogy (folytonos vagy diszkrét) rúdmodellt használnak a modellezéshez, illetve, hogy a posztkritikus viselkedés vizsgálata kerül a figyelem középpontjába. Ezek eredményeit a sok-sok egyensúlyi helyzet, az azokhoz tartozó bonyolult térbeli alakok és a komplex bifurkációs diagram jellemzi. Rudak illetve rúdszerkezetek bonyolult konfigurációinak leírásához a káoszelmélet nyújt megfelelő eszközöket. A kihajlott rúdszerkezetek bonyolult térbeli alakjához a térbeli káosz [1, 12, 15, 18, 23 24, 43, 45 46, 54, 68] fogalmát társítják, mivel a kihajlási problémát leíró egyenletek egy kaotikus dinamikai rendszerre emlékeztetnek, azzal a különbséggel, hogy a változó nem az idő, hanem egy térbeli változó (pl. a rúd ívhossza). Az elnevezés mérnökök számára félrevezető lehet, mivel mi a térbeli jelzőhöz a háromdimenziós Euklideszi teret társítjuk. A térbeli káosz elnevezést ennek ellenére az egy térbeli változóval (pl. ívhosszal) leírható, bonyolult, sokféle egyensúlyi alakokat felvenni képes szerkezetekre (is) használják, ezzel jelezve, hogy itt a kaotikus viselkedés nem időben jelentkezik. Emiatt lehetne a jelenséget időtől független káosznak is nevezni, mi azonban a továbbiakban megmaradunk a szakirodalomban elterjedtebb térbeli káosz elnevezésnél. Ilyen térben kaotikus viselkedést figyeltek meg makromolekulák konfigurációjának vizsgálatakor [53, 63], a DNS feltekeredésének leírásakor [9 10], vagy kacsok, indák, kúszó növények [31 32] mechanikai modellezésénél, valamint mágnesszalagok, tengeri kábelek feltekeredésekor [33, 36] és periodikusan változó hajlítómerevségű folytonos rudak kihajlott alakjainak jellemzésekor [12] is. Az időbeli káosz jól definiált, a térbeli káosz jellemzésénél azonban két probléma is felmerül. Az egyik, hogy egy kihajlási feladat mindig peremérték-feladatra vezet, az egyenleteket véges tartományon, peremfeltételek figyelembevételével kell megoldani, az eredményül kapott trajektóriák véges hosszúságúak. A dinamikai rendszerek kezdetiérték-feladatok, az egyenleteket kezdetiértékek mellett kell megoldani és az eredményül kapott trajektóriák vég- 1
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK telen hosszúak. A másik probléma, hogy míg egyetlen lényeges térbeli kiterjedéssel rendelkező szerkezeteknél (például rudaknál) az ívhossznak megfeleltethető az idő, addig több (2 vagy 3) lényeges térbeli kiterjedéssel bíró szerkezeteknél (lemezek, tárcsák, héjak, tömbök) a térbeli változóknak több (2 vagy 3) időváltozó felelne meg, így az időbeliség analógiájára itt már nem támaszkodhatunk, még a vizsgált tartomány végtelen kiterjesztésével sem. A térbeli káosz fogalma nincs még kellően tisztázva. Úgy szokták definiálni, mint a dinamikai rendszerek kaotikus viselkedését, de ez csak akkor állja meg a helyét, ha a probléma egyetlen térbeli változóval leírható és a vizsgált tartomány végtelen hosszú. Jogosan merül fel a kérdés, hogy hogyan lehet a térbeli káoszt úgy definiálni, hogy az alkalmazható legyen véges és egynél magasabb dimenziós tartományokon is. Mindeddig kihajlásvizsgálatot főleg konzervatív erőkkel terhelt szerkezetekre végeztek. Konzervatívnak nevezünk egy erőteret, ha az időben állandó, és van olyan U = U(x,y,z) egyértékű skalár függvény a potenciál, melynek negatív gradiense az erő: = gradu [8]. Ebből következik, hogy konzervatív erőtérben bármely zárt görbe mentén végzett munka zérus: ds = 0 [8]. A továbbiakban a konzervatív erőket potenciálosnak hívjuk. Ha egy szerkezetre csak potenciálos erők hatnak, az egyensúlyi vizsgálathoz energia-módszer, vagy egyensúlyi (statikai) módszer egyaránt alkalmazható [48]. Az egyensúlyi helyzetek stabilitása energia-módszerrel határozható meg. Van néhány példa nemkonzervatív erő hatására történő kihajlás vizsgálatára is, mint pl. a Beck-probléma, vagyis a követőerővel terhelt gerenda vizsgálata [5, 60], ami azt mutatja, hogy a nemkonzervatív terhek hatása is érdekes és fontos lehet. Egyensúlyi vizsgálatokhoz nemkonzervatív erőknél az energia-módszer nem alkalmazható. Az egyensúlyi módszerrel is csak az egyensúlyi helyzetek számíthatók, de az egyensúlyi helyzetek stabilitása nem tárgyalható, ahhoz a dinamikai stabilitásvesztéshez tartozó állapotokat kell kinetikai módszerrel meghatároznunk [48]. Az értekezésben egy és két lényeges térbeli kiterjedésű, diszkrét mechanikai modellek statikai egyensúlyi helyzeteinek rendszerezését, néhány speciális esetben az egyensúlyi állapotok stabilitását, valamint az egyensúlyi helyzetek alkotta egyensúlyi utak bifurkációs pontjainak számítását mutatjuk be. Ezen keresztül a térbeli káosz megjelenésének ismertetőjeleivel, azonosításával foglalkozunk. Tekintsünk át először néhány fontos eredményt folytonos és diszkrét rúdmodellek kihajlásával kapcsolatban, valamint a kaotikus dinamikának a konzervatív kaotikus rendszerekre használt azon alapfogalmait és mennyiségeit, melyek a dolgozat megértéséhez szükségesek! 2
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK 1.1. Az Euler-feladat folytonos és diszkrét modelljei 1.1.1. A folytonos modell és kapcsolata a matematikai ingával Az Euler-feladat [25] egy fix csuklóval és egy görgős támasszal a végein megtámasztott, L hosszúságú, folytonos rúd síkban történő kihajlásának vizsgálata a görgős támasznál statikusan működő, a támaszokon átmenő hatásvonalú, központos P nyomóerő hatására (1.1. ábra). A rúd homogén, egyenes tengelyű, állandó keresztmetsztű, lineárisan rugalmas, végtelen nagy nyíróés normálmerevségű, EI hajlítómerevségű és érvényes rá a sík keresztmetszetek elve. A feladat EI P 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 s=0 α (s) y(s) s=l P 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 1.1. ábra. Az Euler-kihajlás [42] az összes létező egyensúlyi állapot megkeresése. Az egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletekből a λ = PL 2 /(EI) dimenziótlan teherparaméter és az s sl dimenziótlan ívhossz bevezetésével az alábbi másodrendű, közönséges, homogén, nemlineáris differenciálegyenlet írható fel [15, 70]: d 2 α(s) + λ sin α(s) = 0, (1.1) ds 2 ahol s [0, 1] a rúd dimenziótlan ívhossza, α(s) a rúdtengely érintőjének szöge. Az (1.1) differenciálegyenlet a hozzá tartozó dα(s) dα(s) = 0, = 0 ds s=0 ds s=1 peremfeltételekkel együtt egy peremérték-feladatot alkot. Az (1.1) másodrendű differenciálegyenletet két elsőrendű differenciálegyenletté átírva az analitikusan megoldható a Jacobi elliptikus függvények használatával [19, 70]. Az egyensúlyi állapotok rendszerezése az ún. bifurkációs diagramon történik. A diagram függőleges tengelyén a λ teherparaméter nagysága, vízszintes tengelyén a rúdtengely kezdőponti érintőjének α 0 szöge van feltüntetve. A diagram minden egyes pontja egy-egy egyensúlyi állapotot jelöl. Ezen pontok vonalakat, ún. egyensúlyi utakat rajzolnak ki az (α 0, λ) síkon. Az 1.2. ábra mutatja az Euler-kihajlás bifurkációs diagramját az α 0 [0,π], λ/π 2 [0, 30] tartományon. Néhány egyensúlyi úthoz sematikus rúdalakok is ábrázolva vannak. A diagram tükörszimmetrikus az α 0 = 0 függőleges tengelyre. A triviális egyensúlyi út a kihajlási feladat triviális megoldásainak összessége (α 0 0, λ tetszőleges). A diagramon ez a függőleges α 0 = 0 egyenes, a hozzá tartozó egyensúlyi alak a kezdeti, egyenes rúdtengely. A triviális egyensúlyi útról végtelen sok másodlagos út ágazik le szimmetrikus elágazások (vasvillabifurkációk) formájában a λ kr = n 2 π 2 kritikus teherparaméterek értékeinél [39 40]. A kihajlott 3
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK alak a triviális út környékén minden esetben szinuszgörbe az n értékétől függő hullámhosszal és hullámszámmal. A triviális út elágazásainál így tükör- és pontszimmetrikus kihajlási alakok követik egymást. A triviális egyensúlyi úton lévő megoldások az első elágazásig stabilak, azután instabilak. A triviális egyensúlyi útról leágazó végtelen sok másodlagos út között csak egyetlen stabil van: az első. Ez az elágazás λ kr1 = π 2 kritikus teherparaméternél következik be, a kihajlott egyensúlyi alak a kritikus erő környékén a fél szinuszhullám [39]. Az n 2 π 2 < λ < (n+1) 2 π 2 teherparaméterhez így n pár kihajlott egyensúlyi konfiguráció tartozik. Mivel λ PL 2, a megoldások száma lineárisan nő a rúd hosszának növelésével. 1.2. ábra. Az Euler-kihajlás bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja az α 0 [0,π], λ/π 2 [0, 30] tartományon Kirchofftól származik az a felismerés [44], hogy az Euler-kihajlás (1.1) differenciálegyenlete analóg a matematikai inga (súlytalannak tekinthető rúdon lengő tömegpont) differenciálegyenletével, mely a d 2 φ(t) + g sin φ(t) = 0 (1.2) dt 2 l alakba írható, ahol l az inga hossza, g a gravitációs gyorsulás és φ(t) az inga függőlegessel bezárt szöge az idő függvényében. ormai különbség (1.1) és (1.2) egyenletek között, hogy előbbiben az s (dimenziótlan) ívhossz a változó, utóbbiban pedig a t idő, illetve előbbiben a λ (dimenziótlan) teherparaméter, míg utóbbiban a g/l arányszám a szinuszfüggvény amplitúdója. Lényegi különbség viszont, hogy a kihajlási feladathoz peremfeltételek tartoznak és az értelmezési tartomány (a rúd dimenziótlan hossza) véges, míg a matematikai inga mozgásának leírásához kezdetifeltételek tartoznak és az értelmezési tartomány (az idő) végtelen hosszú lehet. 4
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK A matematikai inga mozgása reguláris, integrálható, ez tette lehetővé, hogy a megfelelő peremérték-feladatot Euler több, mint 250 éve nemcsak felírta, de meg is tudta oldani [25]. Általános terhelés mellett azonban a kihajlás differenciálegyenletét nem lehet analitikusan megoldani. Ilyen esetekben a feladatot diszkretizálással oldjuk meg. A diszkretizálás lehet matematikai, amikor a differenciálegyenletet diszkretizáljuk, vagy mechanikai, mikor magát a mechanikai modellt diszkretizáljuk. A következő pontban a folytonos rúd egy diszkrét mechanikai modelljét, az ún. rugalmas rúdláncot [27] és az azzal kapcsolatos korábbi eredményeket mutatjuk be röviden. 1.1.2. A diszkrét modell és kapcsolata a standard leképezéssel A rugalmas rúdlánc a folytonos, lineárisan rugalmas, véges hajlítómerevségű, végtelen nagy nyíró- és normálmerevségű rúd diszkrét mechanikai modellje: N darab l hosszúságú merev rúdelemet csuklósan kapcsolunk egymáshoz és páronként ρ = EI/l merevségű spirálrugóval kötjük össze őket. Itt EI a folytonos rúdnak a kihajlás síkjára merőleges tengelyre vett hajlítómerevsége. 1 A spirálrugókban ébredő nyomaték nagysága egyenesen arányos a csuklókban lévő relatív szögelfordulással, az arányossági tényező a ρ rugómerevség. Ha a rugalmas rúdláncot a folytonos modellel megegyezően támasztjuk meg és terheljük, az Euler-kihajlás az 1.3. ábrán látható diszkrét mechanikai modelljét kapjuk [27]. Az i-edik csukló távolságát a támaszok vonalától y i, az i-edik elemnek az erő hatásvonalával bezárt szögét pedig α i jelöli. i 1 i α i 1 ρ =EI/l y i l 1 P 0 α 0 Ν N 1.3. ábra. Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc az Euler-kihajlás diszkrét mechanikai modellje [42] A geometriai, egyensúlyi és anyagegyenletek egy leképezéshez vezetnek, ami a következő dimenziótlanított alakba írható: y i+1 = y i + sinα i, α i+1 = α i λy i+1, i = 0, 1,,N 1, (1.3) ahol λ = Pl 2 /(EI) a dimenziótlanított erőparaméter, y i y i l dimenziótlan távolság. A peremfeltételek a megtámasztott végpontok függőleges eltolódásának nullértékűségét fejezik ki: y 0 = y N = 0. (1.4) 1 A két szélső elem hosszát l/2-re, vagy a szélső rugók merevségét (2/3)EI/l-re felvéve a folytonos rúd egy pontosabb diszkrét mechanikai modelljét kapnánk, ami nehezebben kezelhető, a pontosságbeli különbség pedig hosszabb rúdláncoknál nem számottevő. 5
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK Megjegyezzük, hogy a folytonos esetre vonatkozó (1.1) differenciálegyenlet matematikai diszkretizációja a szemi-implicit Euler-módszer szerint ugyanerre a leképezésre vezet [15, 40], tehát (1.3) megoldásai nemcsak pontos megoldásai a diszkrét mechanikai modellnek, hanem egyben közelítései (1.1) differenciálegyenlet megoldásainak is [15]. Az (1.3) és (1.4) által meghatározott diszkrét peremérték-feladat megoldásai egyértelműen számíthatók. Ezek a megoldások kettőnél több elemű rúdlánc esetén analitikusan már nem állíthatók elő, rendelkezésünkre áll azonban egy egyszerű numerikus eljárás, az ún. tüzérségi módszer [14], mellyel a megoldások tetszőleges pontossággal számíthatók. Ennek alapgondolata, hogy rögzítjük (1.3) két paraméterét, az N elemszámot és a λ teherparamétert, valamint teljesítjük az y 0 = 0 első peremfeltételt és tetszőlegesen felvesszük az α 0 szöget. Ezt követően az (1.3) leképezést iteráljuk N lépésen keresztül, majd ellenőrizzük, hogy teljesül-e a második peremfeltétel, y N = 0. Ha igen, akkor a peremérték-feladat egy megoldását kaptuk, vagyis az adott N elemszámú rúdláncnak létezik egyensúlyi állapota az adott λ erőparaméter és a felvett α 0 kezdőszög mellett. Gyakorlatilag az (1.3) leképezést mint kezdetiérték-feladatot kezeljük és annak összes (végtelen sok) megoldása közül választjuk ki azokat, melyek a peremfeltételeket is teljesítik. A numerikus számítás során persze a kezdetiérték-feladat megoldásaiból csak véges sokat tudunk előállítani, így az y N értéke tipikusan nem lesz zérus. A szimuláció során az α 0 kezdőszöget finoman változtatva annak minden egyes értékéhez számítjuk az y N értékét (a továbbiakban: kompatibilitási feltételt) és figyeljük, hogy az előjelet váltott-e az előző lépéshez képest. Ha igen, akkor épp átléptünk egy megoldáson, amihez tartozó α 0 kezdőszög interpolálással közelítőleg megkapható. Az α 0 kezdőszög kellően finom léptetésével az összes megoldást megkaphatjuk a vizsgált tartományon. Ezt az iterációt adott N elemszámú rugalmas rúdláncnál elvégezhetjük a λ teherparaméternek egy adott tartományon belüli, kis lépésközökben rögzített értékeire. A megoldásokat az (α 0, λ) bifurkációs diagramon egyértelműen ábrázolhatjuk, mivel y 0 = 0 adott, az N elemszám és a λ teherparaméter rögzített, így (1.3) iterálásával az α 0 kezdőszög ismeretében a többi változó egyértelműen számítható. Az egyensúlyi utak csak az elágazási pontokban metszhetik egymást [27]. (Az (α 0, λ) síkon való ábrázolás csak akkor nem egyértelmű, ha a két támasz egy pontba kerül [27]. Ekkor ellentétes irányú, de azonos nagyságú függőleges reakcióerők ébredhetnek a támaszokban, melyek külön változóként kezelendők.) Az N = 4 elemű rúdlánc bifurkációs diagramját az α 0 [0,π], λn 2 /π 2 [0, 10] tartományon az 1.4. ábra mutatja. A diagram felett néhány egyensúlyi konfiguráció is látható. A közel vízszintes érintőjű egyensúlyi utaknak a fent vázolt iterációval legfeljebb néhány pontját kapjuk meg, amint az az ábrán látszik. Célszerű ezért az iterációt úgy is elvégezni, hogy az N elemszám rögzítése mellett az α 0 szöget rögzítjük és a λ teherparamétert változtatjuk finom lépésközökkel, számítjuk az y N kompatibilitási feltételt és interpoláljuk a megoldásokhoz tartozó λ teherparamétert. Ezt az eljárást megismételjük az α 0 egy adott tartományán belül annak sok rögzített értékére. Az 1.1. ábrán mutatott bifurkációs diagramnál az 1.4. ábrán látható sokkal komplexebb. Ennek ismérvei, hogy a teherparaméter növelésével rohamosan nő az egyensúlyi helyzetek száma, melyek között sok stabilis van [40, 42], nem csak a triviális útról vannak elágazások, és az ágak aszimptotikus viselkedése sem egyféle: az 1.4. ábra egyensúlyi útjai a λ határátmenetben tarthatnak 0-hoz és π-hez is. A triviális egyensúlyi úton N darab rúdelem esetén N 1 elágazás van [15] vasvilla bifurkációk formájában [40], melyek a folytonos esetnél az 1.1. 6
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK 10 8 λn 2 /π 2 6 4 2 0 0 π/4 π/2 3π/4 π 1.4. ábra. Az N = 4 elemű, kéttámaszú, támaszvonalában terhelt rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és néhány egyensúlyi konfigurációja az α 0 [0,π], λn 2 /π 2 [0, 10] tartományon [40]. α 0 ábrán látott első N 1 elágazás kihajlási mód közelítő megoldásai, így tükör- és pontszimmetrikus kihajlott rúdláncalakok váltják ott egymást. Nagy számban jelennek meg azonban olyan egyensúlyi utak is, melyeknek nincs közük a folytonos feladat megoldásaihoz: a triviális egyensúlyi út leágazásai tovább ágaznak (másodlagos) vasvilla bifurkációk formájában, ha a rúdelemek N száma páros [27], ezektől elkülönülve nyereg-csomó bifurkációk formájában újabb és újabb egyensúlyi ágak is felbukkannak [40]. Ezeket a megoldásokat parazitamegoldásoknak szokás nevezni [35], mert nincsenek kapcsolatban a folytonos feladat megoldásaival és nagy számban megjelenve ellehetetlenítik a folytonos feladatot közelítő diszkrét rendszer megoldásainak megtalálását [20]. A parazitamegoldásoknak négy ismert típusa van. Az első típus az ívhossz menti diszkretizálás [15] folyamán jelenik meg, olyan egyensúlyi utakat alkotva, melyek a folytonos feladatnak nem megoldásai, de a diszkrét modellnek igen erre láttunk példát az itt tárgyalt rugalmas rúdláncnál. A második típus megjelenésének oka a paramétertér 7
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK diszkretizálása [28]; ezek a megoldások rendszerint nem alkotnak különálló utakat, hanem elszórtan, vagy kis köröket formázva jelennek meg a bifurkációs diagramon. A harmadik típus a hibafüggvények (melyek zérus értéke esetén a diszkrét rendszer egy egyensúlyi állapotáról beszélünk) nem megfelelő megfogalmazása miatt bukkanhat fel [21]. Ezek sem megoldásai az eredeti, folytonos feladatnak és a bifurkációs diagramon rendszerint elkülönült utakat alkotnak. A negyedik típusra [55] mutat példát: az ívhossz menti diszkretizálás nyomán felírt hibafüggvény megoldása nem egyértelmű bizonyos tehertartományban, holott a folytonos feladat megoldása az. Ezért olyan megoldások is felbukkannak a numerikus számítás során, melyek nem megoldásai a diszkrét feladatnak sem. Ezek a parazita megoldások nemcsak diszkrét modelleknél jelenhetnek meg. Domokos és Holmes megmutatták [16], hogy az Euler-feladat strukturálisan instabil: a homogén, folytonos rúdmodellen bármely olyan perturbáció, mely a hajlítómerevség lokális minimumát okozza (a rúdon ejtett apró karcolás, például), másodlagos (az eredeti, "karcmentes" feladatnál nem létező) egyensúlyi ágak megjelenését vonja maga után a bifurkációs diagramon. Ezt a tételt szokás karc-tételnek is nevezni. Az (1.3) leképezés az I i = λy i, Θ i = α i + π, K = λ transzformációval az I i+1 = I i + K sin Θ i, Θ i+1 = Θ i + I i+1 (1.5) alakot ölti [15], ami a standard leképezés, egy jól ismert kaotikus, területtartó leképezés [49]. A folytonos és a diszkrét modellre kapott bifurkációs diagramok közötti markáns különbség oka épp abban rejlik, hogy míg a folytonos rúd kihajlására kapott peremérték-feladatnak megfelelő kezdetiérték-feladat, a matematikai inga reguláris, addig a rugalmas rúdlánc kihajlását leíró peremérték-feladatnak megfelelő kezdetiérték-feladat, a standard leképezés kaotikus. A rugalmas rúdlánc kihajlását okozó, a támaszok vonalában ható P erő potenciálos, az egyensúlyi helyzeteket szolgáltató leképezés pedig területtartó. Így az itt bemutatott potenciálos teher alatti kihajlás vizsgálatával kapott peremérték-feladatnak egy disszipatív hatásoktól mentes kezdetiérték-feladat feleltethető meg. elmerül a kérdés, hogy ez törvényszerű-e, illetve hogy milyen leképezésre jutunk nemkonzervatív erők hatására történő kihajlás vizsgálatából. Domokos [20] térben komplexnek (kaotikusnak) definíciószerűen akkor nevez egy peremérték-feladatot, ha megoldásaihoz egy N > 1 elemű teljes, független, fizikailag releváns kód rendelhető egyértelműen. Nem tisztázott azonban, hogy ilyen kód létezik-e és előállíthatóe minden térben komplex feladatnál. A dolgozat egyik célja, hogy a térbeli káosznak egy olyan definíciót adjon, ami bizonyíthatóan mindig létezik. Károlyi [43] azt javasolja, hogy a térbeli káosz definíciója a megoldások növekedési ütemének a vizsgált tartomány hosszától való függésén alapuljon. Dolgozatunkban megmutatjuk, hogy ez a definíció kapcsolatba hozható egy, a dinamikai rendszerek elméletéből ismert mennyiséggel, és alkalmas a térben kaotikus viselkedés definiálására. 8
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK 1.2. Konzervatív kaotikus rendszerek jellemzői Ebben a szakaszban Tél és Gruiz [67] könyve alapján áttekintjük a kaotikus konzervatív rendszerek legfontosabb ismérveit. A folytonos időben zajló folyamatokat (rendszerint másodrendű) differenciálegyenletekkel írjuk le, melyek mindig átírhatók elsőrendű differenciálegyenletek rendszerévé. Az ẋ = f(x) alakban megadott dinamikai rendszerben nincs explicit időfüggés, így az autonóm rendszer. Itt az x [x 1 (t),x 2 (t),,x n (t)] vektor az ismeretlen időfüggvényeket tartalmazza, míg az f(x) [f 1 (x),f 2 (x),,f n (x)] a függő változók n-dimenziós vektora, melyben szereplő függvények egyike sem függ expliciten az időtől. A rendszer mozgása n független koordináta változását jelenti az időben, melyek egy n-dimenziós koordináta-rendszerben egyértelműen megadhatók. Ez az n-dimenziós koordináta-rendszer feszíti ki a vizsgált rendszer fázisterét. Adott kezdőfeltételekhez mindig egyértelmű megoldás tartozik, a fázistérbeli trajektóriák nem metszhetik egymást. A fázistérbeli mozgást célszerű egy leképezés formájában követni. Ennek eszköze a Poincaré-leképezés: a fázistérben egy hiperfelületet kiválasztva azt vizsgáljuk, hogy a trajektória hol metszi azt át. Ezen az n 1 dimeziós hiperfelületen y k = [y k,1,y k,2,,y k,n 1 ] jelöli a k-adik metszéspontot, ekkor a trajektóriát követve meghatározható a következő metszéspont: y k+1 = (y k ). Ez az összefüggés adja meg a Poincaré-leképezést. Szokás ezzel a képlettel közvetlenül is diszkrét dinamikai rendszert definiálni, amelyhez nem tartozik folytonos dinamikai rendszer. A fázistérben egy adott tartományt kitöltő pontokból inditott trajektóriák később egy másik tartományt fognak lefedni. A lefedett tartomány Γ fázistérfogata folytonos rendszer esetén a Γ = divf Γ képlet szerint változik. Leképezések esetén a leképezés változók szerinti első deriváltjaiból képzett J Jacobi-determinánsa adja meg a diszkrét rendszer fázistérfogatváltozását. Egy folytonos idejű dinamikai rendszer területtartó (más néven fázistérfogattartó), ha divf 0 és disszipatív, ha divf < 0. Egy diszkrét idejű dinamikai rendszer pedig akkor területtartó (fázistérfogattartó), ha a Jacobi-determináns egységnyi, J 1, és akkor disszipatív, ha J < 1 [67]. A mozgások egy speciális osztályát alkotják azok, melyekben disszipatív hatások nem játszanak szerepet. Ilyenek a légüres térben lejátszódó mozgások. Olyan jelenségek, mint az űrhajók, égitestek Naprendszeren belüli helyváltoztatása, vagy a töltött részecskék mozgása gyorsítók, ill. fúziós berendezések mágneses terében jó közelítéssel súrlódásmentes folyamatoknak tekinthetők. Súrlódásmentesnek tekinthető első közelítésben (a folyadékok összenyomhatatlansága miatt) az áramlással sodrott részecskék, szennyezések dinamikája is. Ezen mozgások alapvető tulajdonsága, hogy fejlődésük során a fázistérfogat nem változik, ezért szokás ezeket konzervatív rendszereknek is nevezni [67], noha gerjesztett esetben a mechanikai összenergia (T + U) nem megmaradó mennyiség. Ha a rendszer konzervatív (fázistérfogattartó), akkor a fázistérnek nincs olyan részhalmaza, melyre a térfogat ráhúzódna, így nem létezhetnek attraktorok sem. A mozgás tehát még hosszú idő után is emlékszik a kezdőfeltételekre, tipikus nemlineáris rendszerekben bizonyos értékekhez kaotikus, másokhoz egyszerű mozgás tartozik. 9
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK Konzervatív rendszereknél együtt lehet jelen tehát szabályos és kaotikus mozgás. A szabályos mozgás a fázister speciális képződményein, úgynevezett tóruszokon zajlik. A tóruszok a leképezés fázistérképén zárt, invariáns görbeként jelennek meg az elliptikus fixpontok körül. A tóruszokon történő legbonyolultabb mozgás kváziperiodikus, két (vagy több) különböző periódusú periodikus mozgás kombinációja. Konzervatív, kaotikus rendszerekben a tóruszok közötti részt kaotikus trajektóriák töltik ki, a tóruszokat ekkor szokás KAM-szigeteknek is nevezni. A konzervatív kaotikus rendszerek megértésében fontos szerepet játszik a standard leképezés, mely számos dinamikai rendszer (rezgő asztalon pattogó labda [37], töltött részecske mozgása részecskegyorsítóban [51], lökdösött rotátor [67]) vizsgálata során bukkant fel. Tekintsük például a periodikusan lökdösött rotátort: egy súlytalan rúd végéhez rögzített tömegpont vízszintes síkban történő mozgása T periódusonként érkező lökdösés hatására. Ennek leképezése (dimenziótlanítás előtt): φ n+1 = φ n + ω n T, ω n+1 = ω n + A sin(φ n+1 ), ahol A > 0 a lökdösési amplitúdó, φ i a szögelfordulás és ω i a szögsebesség az i-edik időpillanatban. Ha a fenti egyenleteket átrendezzük (a φ n és az ω n mennyiségeket átvisszük a baloldalra) és elosztjuk a T periódusidővel, a T 0 határátmenetben az első egyenlet a φ ω, míg a második a φ = A/T sin(φ) alakot ölti. A T 0, A/T g/l határesetben a lökdösött rotátor egyenletéből a matematikai inga (1.2) mozgásegyenletét kapjuk. A periodikusan lökdösött rotátor az Euler-kihajlás diszkrét modelljével felírható peremérték-feladatnak megfelelő kezdetiérték-feladat, mivel mindkettő a standard-leképezésre vezet, határátmenetben pedig a megfelelő folytonos feladatot, az Euler-kihajlást, illetve a matematikai ingát adják. Ilyen értelemben az Euler-kihajlás diszkrét modelljének egy gerjesztett, disszipatív hatásoktól mentes, kaotikus dinamikai rendszer feleltethető meg. A matematikai inga folytonos dinamikája egy kétdimenziós fázistérben zajlik, ahol kaotikus mozgás nem lehetséges [67]. A lökdösött rotátor mozgását kétdimenziós leképezés írja le, ahol kaotikus mozgás már létrejöhet [67] (sőt, tipikusan létre is jön nemlineáris mozgásegyenletek esetén). Vigyázni kell ezért a differenciálegyenletek numerikus megoldása (matematikai diszkretizációja) során, mert ha a lépésközt túl nagyra vesszük fel, nem várt eredményekre, paraziták megjelenésére juthatunk. A kaotikus mozgás fő tulajdonságai a szabálytalanság, az előrejelezhetetlenség és a rendezett, de komplex fázistérbeli szerkezet. Ezen tulajdonságokhoz rendelhető mérőszámokat az alábbiakban ismertetjük. A bonyolultság mérőszáma a topologikus entrópia [57, 67]. Egy kaotikus rendszerben az m hosszúságú (mt periódusidejű) instabil pályák N m száma a kaotikus sávban (disszipatív rendszerek esetén a kaotikus attraktoron) elegendően nagy m ciklushosszakra nézve exponenciálisan változik: N m e hm, (1.6) ahol h > 0 a kaotikus rendszer topologikus entrópiája. A topologikus entrópia egyben a vonaldarabok hosszának megnyúlási rátája is a fázistérben. Kaotikus rendszer esetén egy kezdetben L 0 hosszú, fázistérbeli vonaldarab hossza n 1 iterálás után exponenciálisan nő, a növekedés ütemét a topologikus entrópia adja: L n L 0 e hn. A káosz egy lehetséges definíciója is 10
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK ezzel a mennyiséggel kapcsolatos: egy dinamikai rendszert akkor nevezünk kaotikusnak, ha topologikus entrópiája pozitív: h > 0 [67]. Az előrejelezés nehézségének mérőszáma a Ljapunov-exponens. Ha a kaotikus sáv (disszipatív rendszerek esetén a kaotikus attraktor) r pontja körül két pont kezdeti fázistérbeli r 0 (r) távolsága elég kicsi, akkor a pontokból inditott trajektóriák n 1 lépés után tipikusan exponenciálisan távolodnak egymástól az alábbi összefüggés szerint: r n (r) = r 0 (r)e λ(r)n. A λ(r) mennyiséget lokális Ljapunov-exponensnek nevezzük. Átlagos értelemben is igaz, hogy tipikus pontpárok a kaotikus sávban (disszipatív rendszereknél az attraktoron) valamilyen λ átlagos Ljapunov-exponenssel távolodnak egymástól: r n = r 0 e λn. Ezzel a mennyiséggel kapcsolatos a káosz egy másik lehetséges definíciója. Kaotikus dinamikai rendszerben az átlagos Ljapunov-exponens pozitív: λ > 0 [67]. A fázistérbeli rend mérőszáma a fraktáldimenzió. Egy halmaz D 0 fraktáldimenziója a d = 1-, 2-, vagy 3-dimeziós euklideszi térben a halmazt lefedő d-dimenziós, ε oldalélű kockák minimális N(ε) számával definiálható: D 0 = ln N(ε)/ ln(1/ε), ha ε 0 [26, 50, 66]. A halmaz megfigyelt térfogata, V (ε) = ε d N(ε) = ε d D 0 alapján kétféle fraktált szokás megkülönböztetni: sovány fraktálokat és kövér fraktálokat. Sovány fraktáloknak nevezzük az olyan alakzatokat, melyek fraktáldimenziója kisebb a tér dimenziójánál, megfigyelt térfogata csökken, és az ε 0 határátmenetben eltűnik. A kövér fraktál olyan halmaz, melynek fraktáldimenziója megegyezik a tér dimenziójával, viszont szerkezete alapvetően tagolt. A kövér fraktálok egy mérhető tulajdonsága, hogy a megfigyelt térfogatuk eltérése egy véges V térfogattól az ε felbontás hatványával arányosan csökken: V (ε) V ε α, ahol α a kövér fraktál exponense [34]. Disszipatív rendszerekben az időfejlődés során a trajektóriák egyre közelebb kerülnek egy attraktorhoz, mely kaotikus esetben sovány fraktál, fraktáldimenziója tört szám. Konzervatív kaotikus rendszerek esetén a kaotikus sáv kövér fraktál (térkitöltő alakzat) nemtriviális kövérfraktál-exponenssel [67]. Tehát a káosz lehetséges definíciói konzervatív dinamikai rendszer esetén az alábbiak: a kaotikus sáv topologikus entrópiája pozitív, a kaotikus sávon belül az átlagos Ljapunov-exponens pozitív, a térkitöltő kaotikus sávok kövérfraktál-exponense nem triviális. Ezek a definíciók azonban végtelen időintervallumra vett mennyiségek: a topologikus entrópia meghatározásakor a ciklushossz tart a végtelenhez, az átlagos Ljapunov-exponens végtelen időintervallumra vett átlag, a trajektóriák pedig végtelen idő alatt húzódnak rá a kaotikus attraktorra, illetve töltik ki a kaotikus sávot. Peremérték-feladatokra így közvetlenül egyik definíció sem alkalmazható, hiszen ott véges hosszúságú tartománnyal van dolgunk. 11
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK 1.3. Az értekezés felépítése, célkitűzései Az előzmények és célkitűzések ismertetése után a 2. fejezetben először a rugalmas rúdláncokra ható nemkonzervatív erők hatása áll a vizsgálat középpontjában. Arra keressük a választ, hogy megjelenhet-e térbeli káosz nemkonzervatív erő esetén is, és ha igen, megtalálhatók-e annak a potenciálos erővel terhelt rugalmas rúdláncnál megfigyelt jellemzői (területtartó leképezés, komplex bifurkációs diagram). Első lépésben módosítjuk az 1.1.2. pontban ismertetett feladatot oly módon, hogy a görgős támasznál a támaszokat összekötő vonalban működő P erő helyett egy, a görgős támasznál ható, az első elem tengelyébe eső hatásvonalú úgynevezett követőerőt működtetünk a szerkezetre. A követőerő egy jól ismert nemkonzervatív erő [5, 60], így a látszólag apró módosítással kapott kihajlási probléma alapvetően különbözik az eredeti feladattól, mégis közös vonások jelennek meg. Ezt követően nemlineárisan rugalmas rúdláncot vizsgálunk általános terhelés alatt, nemlineárisan rugalmas befogással megtámasztva. A terhelést úgy írjuk le, hogy az akár nemkonzervatív erőket is modellezhessen, és a rugalmas rúdláncok kihajlását leíró peremértékfeladat egy fontos jellemzőjére derítünk fényt. A vizsgált szerkezet a gyakorlatban a rúdtengely hossza mentén változó hajlítómerevségű, végtelen nagy nyíró- és normálmerevségű, nemlineáris anyagi viselkedésű, rugalmasan befogott, tetszőleges statikus teherrel terhelt folytonos rúd egy diszkrét mechanikai modellje lehet síkban történő kihajlás vizsgálatára. Megjegyezzük, hogy a diszkrét modell a valósághoz közelebb álló megoldásokat szolgáltathat, mint a folytonos gondolunk itt a kapcsolatok lokális merevségcsökkentő/-növelő hatásának, a szerkezeti anyagok inhomogenitásának, vagy a geometria tökéletlenségének a karc-tétellel kapcsolatos következményeire. Az általános esetre vonatkozó eredményeket a 2.2.2. pontban néhány konkrét terhelési esetben szemléltetjük. A potenciálos és a nemkonzervatív erők okozta kihajlásoknál megfigyelt közös jellemzők után a 2.3. szakaszban a térbeli káosz új definícióját javasoljuk, amely kiterjeszthető több lényeges kiterjedéssel bíró szerkezetek vizsgálatára is. A definíció a dinamikai rendszerek elméletéből jól ismert mennyiségen, a topologikus entrópián alapul, amely bármely rendszernél létezik és kaotikus rendszereknél pozitív mennyiség. A fejezet hátralévő, 2.4. szakaszában az értekezésben addig bemutatott különböző terhelésű és megtámasztású rugalmas rúdláncok egyensúlyi útjainak megjelenési és elágazási, közös néven bifurkációs pontjainak számításával foglalkozunk. Részletesen tárgyaljuk a triviális egyensúlyi út elágazásait. Az értekezés 3. fejezetében olyan síkbeli, két lényeges térbeli kiterjedéssel bíró szerkezetet vizsgálunk, ahol a térbeli káosz jellemzői figyelhetők meg. Ez a rugalmas rúdháló, ami egy csuklókkal és spirálrugókkal összekapcsolt, azonos hosszúságú merev elemek alkotta síkbeli négyzetháló, mely a gyűrődés egy egyszerű modelljének tekinthető. A rugalmas rúdháló gyakorlati szempontból (a konkrét feladatnak megfelelően megtámasztva és terhelve) rugalmas keretszerkezetek globális síkbeli stabilitásvesztésének vizsgálatára szolgálhat. Ezen kívül kapcsolatba hozható csak nyírási deformációra képes rúd stabilitásvesztésének vizsgálatával is. Az értekezés keretein belül csak egyirányú, egyparaméteres terhelés hatását vizsgáljuk egyszerű megtámasztási viszonyok mellett. Az egyensúlyi helyzetek számításán túl foglalkozunk az egyensúlyi utak bifurkációs pontjainak meghatározásával is, részletesen vizsgálva a triviális egyensúlyi út elágazásait. 12
1. EJEZET. ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉSEK Az értekezésben tehát az alábbi kérdésekre keressük a választ: Megjelenhet-e térben kaotikus viselkedés nemkonzervatív erő alatti kihajlás során? Van-e közös ismertetőjele potenciálos és nemkonzervatív erő okozta kihajlási feladatoknak? Miként definiálható a térbeli káosz véges akár többdimenziós tartományon? Megjelenik-e térbeli káosz egy speciális, két lényeges térbeli kiterjedéssel rendelkező szerkezet síkbeli kihajlásának vizsgálata során, és milyen kapcsolatban van az a tartomány kiterjedéseivel? 13
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2. fejezet Rugalmas rúdláncok Ebben a fejezetben rugalmas rúdláncok kihajlásával foglalkozunk potenciálos és nemkonzervatív erők alatt, nagy elmozdulásokkal számolva. Az első, 2.1. szakaszban módosítjuk az Euler-kihajlás bevezetésben bemutatott diszkrét (mechanikai) modelljét úgy, hogy a görgős támasznál ható vízszintes erő helyett egy, az első elem tengelyébe eső hatásvonalú, ún. követőerőt működtetünk a szerkezetre (2.1. ábra). Ezzel az eredeti, potenciálos erőt egy nemkonzervatív erőre cseréljük le, a kihajlást nemkonzervatív erő okozza. Megmutatjuk, hogy az eredeti feladatnál megfigyelt néhány jellegzetes tulajdonság ( parazita megoldások, az egyensúlyi utak számának rohamos növekedése az erő növelésével, komplex bifurkációs diagram) megjelenik a módosított feladatnál is. Azt is látni fogjuk, hogy a nemkonzervatív erő ellenére egy területtartó leképezést alkotnak az egyensúlyi helyzeteket leíró egyenletek. A második, 2.2. szakaszban egy egyik végén befogott, másik végén szabad, ún. nemlineárisan rugalmas konzolos rúdlánc egyensúlyi helyzeteit vizsgáljuk általános terhelés alatt. Megmutatjuk, hogy terheléstől és anyagi nemlinearitástól függetlenül az egyensúlyi konfigurációkat területtartó leképezésből számíthatjuk. A kapott eredményt néhány konkrét terhelési esetben szemléltetjük. A 2.3. szakaszban arra keressük a választ, hogy hogyan ismerhető fel és miként definiálható a térbeli káosz rugalmas rúdláncoknál. Megmutatjuk, hogy a peremérték-feladat megoldásai kapcsolatban állnak a megfelelő kezdetiérték-feladat (bizonyos periódushosszú) periodikus pályáival. Ezzel a térbeli káosz definícióját egy, a dinamikai rendszereknél jól ismert mennyiséghez, a topologikus entrópiához köthetjük. A fejezet utolsó, 2.4. szakaszában az addig tárgyalt különböző terhelésű és megtámasztású rugalmas rúdláncok egyensúlyi útjainak bifurkációs pontjait keressük. Levezetjük a bifurkációra vonatkozó feltételeket és a triviális egyensúlyi úton lévő elágazásokat részletesen elemezzük. 14
i 2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.1. Követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc síkbeli kihajlása E szakaszban a 2.1. ábrán látható, követőerővel terhelt kéttámaszú rugalmas rúdlánc kihajlását leíró peremérték-feladatnak megfelelő leképezést vizsgáljuk, illetve az egyensúlyi helyzeteket rendszerezzük két- és többelemű rúdláncok esetén. i 1 i α i 1 ρ =EI/l y l 1 Ν 0 α 0 Ν P 2.1. ábra. Kéttámaszú, követőerővel terhelt rugalmas rúdlánc mechanikai modellje A szerkezet az 1.1.2. pontban vázolt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc, mely terheletlen állapotában vízszintes, lineáris spirálrugói előfeszítetlenek. A teher a görgős támasznál ható P nagyságú, az első elem tengelyébe eső hatásvonalú követőerő, ami egy nemkonzervatív erő. A követőerő nemkonzervatív voltát könnyen beláthatjuk a 2.2. ábrán bemutatott lépések nyomán. Itt a kiindulási és a végállapot ugyanaz, a rugók feszítetlen állapotból feszítetlen állapotba kerülnek, a belső munka így zérus a teljes zárt pályán. A második lépésben végzett külső munka is zérus, hiszen az erő támadáspontja nem mozdul el. Azonban az első és a harmadik lépésben végzett külső munka összege nem zérus, mert az erő támadáspontjának elmozdulása mindkét esetben ugyanakkora nagyságú, ellentétes irányú, de az erő elmozdulás irányába eső vetülete a két lépésben különböző (az első lépésben változik P és egy annál kisebb érték között, a harmadik lépésben konstans P ). Tehát a követőerő által végzett munka nem zérus a teljes zárt pályán, ezért az nemkonzervatív erő. Ennél a feladatnál nem létezik potenciálisenergia-függvény. A fix csuklóra felírt nyomatéki egyensúlyból adódik, hogy a követőerő függőleges komponensét a görgős támasz veszi fel, 1 így az erő vízszintes komponense az, ami a kihajlást okozza. Ezért a feladat visszavezethető az 1.1.2. pontban bemutatott, támaszvonalban ható erővel terhelt esetre úgy, hogy az ott felírt (1.3) leképezésben a teher helyébe a követőerő vízszintes komponensét helyettesítjük. Vezessük be a λ = P l/ρ dimenziótlan teherparamétert, ahol P a követőerő nagysága, l a rúdelemek hossza, ρ = EI/l a spirálrugó merevsége! Így az egyensúlyi helyzetek számításához szükséges leképezést az (1.3) leképezésben a λ λ cos α 0 helyettesítést elvégezve kapjuk: y i+1 = y i + sin α i, α i+1 = α i λy i+1 cos α 0, i = 0, 1,,N 1. (2.1) 1 A görgős támaszban ébredő függőleges erő a követőerő függőleges komponensének ellentettjétől különbözhet, ha a két támasz egy pontba kerül. Ezekkel az esetekkel az értekezés keretein belül nem foglalkozunk, a két támasz egy pontba kerülése esetén a görgős támaszban ébredő reakciót a követőerő függőleges komponensének tekintjük. 15
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK P 1 P P 2 P 3 2.2. ábra. Követőerő által végzett munka egy zárt pályán A peremfeltételek továbbra is a megtámasztott végpontok függőleges eltolódásának nullértékűségét fejezik ki: y 0 = y N = 0. (2.2) Egy adott hosszúságú, kéttámaszú rugalmas rúdlánc egyensúlyi konfigurációit a követőerő adott értéke mellett (2.1) és (2.2) által alkotott peremérték-feladatból határozhatjuk meg. Egy egyensúlyi konfigurációt rögzített N elemszám és λ teher (2.1) paraméterei mellett az α 0 kezdőszöge egyértelműen meghatároz, az egyensúlyi alak a kezdőszög ismeretében egyértelműen számítható. A megoldások tehát egyértelműen ábrázolhatók az (α 0,λ) bifurkációs diagramon minden rögzített N elemszám esetén. Megjegyezzük, hogy ha a két támasz egy pontba kerül, a reakcióerők egyértelműen számíthatók (az első elemre felírt nyomatéki egyenletből) mindaddig, míg α 0 π/2 + kπ. Ha a (2.1) leképezést mint kezdetiérték-feladatot nézzük, belátható, hogy az területtartó. Ennek feltétele, hogy (2.1) Jacobi mátrixának determinánsa 1 legyen [67]. A (2.1) leképezés Jacobi-mátrixa: J = [ yi+1 y i α i+1 α i α i+1 y i+1 y i α i ] [ = 1 cosα i λ cos α 0 1 λ cos α 0 cos α i Könnyen ellenőrizhető, hogy J = 1, vagyis az 1.1.2. pontban bemutatott Euler-feladat diszkrét modelljéhez hasonlóan most is területtartó leképezéshez jutottunk, holott a kihajlást most nemkonzervatív erő okozta. Megjegyezzük, hogy az analitikus mechanikában ismert az általánosított potenciál fogalma, mely az általános koordináták, az általános koordináta-sebességek, és az idő olyan skalár függvénye, melyből az általános erőket elő tudjuk állítani az általánosított potenciál deriváltjaként [8]. Ilyen függvény található számos olyan dinamikai rendszernél, melyben nemkonzervatív erők is szerepelnek. Valószínűleg hasonló rendszer bújik meg ennek a feladatnak a hátterében is. ]. 16
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Az egyensúlyi helyzetek meghatározása és a bifurkációs diagram megszerkesztése során kihasználjuk (2.1) szimmetria-tulajdonságait. Tegyük fel, hogy α 0 = α egy megoldás (egyensúlyi helyzet) adott λ mellett! Visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy A) α 0 = α is megoldás, B) α 0 = α + π is megoldás az adott λ teher mellett. Az A) tulajdonság a geometriai térben a támaszokat összekötő vízszintes egyenesre vonatkozó tükörszimmetria, míg a megoldásokat rendszerező (α 0,λ) bifurkációs diagramon az α 0 = 0 függőleges egyenesre vonatkozó tükörszimmetria. (Ez a szimmetria az eredeti feladatra is igaz.) A B) tulajdonság a geometriai térben a fix támasz körüli 180 -os forgási, míg a bifurkációs diagramon a vízszintes α 0 tengely mentén értendő π eltolási szimmetria. (Ez a szimmetria az eredeti feladatnál negatív teher mellett érvényes.) A két szimmetria-tulajdonság egymás utáni végrehajtásából következik, hogy α 0 = π α is megoldás az adott λ mellett. Ez a geometriai térben a fix támaszon átmenő függőleges tengelyre vonatkozó tükörszimmetriát, a bifurkációs diagramon pedig az α 0 [0,π] tartományon az α 0 = π/2 függőleges egyenesre vonatkozó tükörszimmetriát jelenti. A bifurkációs diagram megszerkesztésekor így elegendő az α 0 [0,π/2] tartományt vizsgálni egy adott λ [a,b] tehertartományon. Az így kapott diagram az α 0 = π/2-re vett tükörképével együtt az α 0 [0,π] térrészen ábrázolja az egyensúlyi utakat. Ezt π többszöröseivel az α 0 tengely mentén eltolva a bifurkációs diagram a teljes α 0 (, ), λ [a,b] tartományon előállítható. Először az analitikusan is megoldható kételemű rúdláncot tárgyaljuk, majd a csak numerikusan számítható, kettőnél több elemű rúdláncok egyensúlyi helyzeteit határozzuk meg. 2.1.1. Kételemű, követőerős, kéttámaszú rugalmas rúdlánc A megoldásokat az α 0 [0,π/2] tartományon keressük. Az y 0 = 0 első peremfeltétel teljesítésével iteráljuk (2.1) leképezést egyszer: y 1 = sinα 0, α 1 = α 0 λ cos α 0 sin α 0. (2.3) A következő iterációból a második peremfeltétel: y 2 = sinα 0 + sinα 1 = 0. (2.4) A két elem vízszintessel bezárt szöge közötti kapcsolatot (2.4) alapján két csoportba lehet sorolni: A) α 1 = α 0 +2kπ, vagy B) α 1 = α 0 (2l+1)π, ahol k és l tetszőleges egész számok. Ezek után a megoldásokhoz elég (2.3) második egyenletét vizsgálnunk, mivel a peremfeltételek teljesülnek, y 1 pedig α 0 ismeretében egyértelműen számítható. Nézzük a két csoportot különkülön! 17
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK A) csoport: α 1 = α 0 + 2kπ. Ezt visszahelyettesítve (2.3) második egyenletébe megkapjuk az egyensúly feltételét az α 0 kezdőszög függvényében: 2α 0 = λ 2 sin(2α 0) + 2kπ. (2.5) A megoldásokat (2.5) függvény-geometriai jelentése alapján a 2 meredekségű egyenes és a 2kπ-vel függőleges irányban eltolt, λ/2 amplitúdójú sin(2α 0 ) hullám metszéspontjai adják. Ha k = 0 és λ < 2, akkor csak a triviális (α 0 0,α 1 0) megoldás létezik: az említett szinuszhullám és egyenes egyetlen metszéspontja az origó. A triviális útról λ = λ kr = 2 értékénél egy új egyensúlyi út ágazik le: ekkora teherparaméter mellett érinti a szinuszhullám a 2 meredekségű egyenest az α 0 = 0 pontban. Ha k < 0, akkor a teherparaméter egy kritikus (pozitív) értéke alatt nincs megoldás, a felett pedig 2 új megoldást kapunk minden k < 0-hoz. Ha k > 0, akkor a teherparaméter egy kritikus (negatív) értéke felett nincs megoldás, az alatt pedig 2 új megoldást kapunk minden k > 0-hoz. A teherparamétert kifejezve (2.5)-ből megkapjuk a bifurkációs diagramon megjelenő egyensúlyi utak egyenleteit: λ(α 0 ) = 4α 0 4kπ sin(2α 0 ). (2.6) Ha egy egyensúlyi helyzetben (2.6) α 0 szerinti deriváltja zérus, akkor ott a ponton átmenő egyensúlyi útnak vagy elágazása van, vagy vízszintes az érintője az (α 0,λ) síkon. Ezeket a pontokat a továbbiakban bifurkációs pontoknak hívjuk. A derivált nullértékűségének feltétele: tan(2α 0 ) = 2α 0 2kπ. (2.7) Ezek szerint a tan(2α 0 ) függvény és a 2kπ-vel lefelé eltolt, 2 meredekségű egyenes metszéspontjai lehetnek a bifurkációs pontok. Ennek további feltétele, hogy (2.5) egyensúlyi egyenlet is teljesüljön. Az említett metszéspontokban az alábbi kritikus teherparaméter esetén teljesülnek az egyensúlyi egyenletek is: 2 λ kr = cos(2α 0 ). (2.8) A bifurkációs pontok (2.7) alapján α 0 = π/4-hez tartanak, ha k és ekkor λ kr. B) csoport: α 1 = α 0 (2l + 1)π. Ezt visszahelyettesítve (2.3) második egyenletébe az egyensúlyi helyzeteket az α 0 kezdőszög függvényében megadó alábbi összefüggést kapjuk: λ 2 sin(2α 0) = (2l + 1)π. (2.9) Tehát az (λ/2) sin(2α 0 ) szinuszhullám és az (2l +1)π vízszintes egyenes metszéspontjai adják a megoldásokat. Egy rögzített l 0 esetén a teherparaméter egy kritikus (pozitív) értéke felett 2 megoldást kapunk, míg egy rögzített l < 0 esetén a teherparaméter egy kritikus (negatív) értéke alatt kapunk 2 megoldást. Kifejezve (2.9)-ből a teherparamétert az egyensúlyi utak egyenlete: λ(α 0 ) = 2π + 4lπ sin(2α 0 ). (2.10) 18
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Bifurkációs pontban (2.10) α 0 szerinti deriváltja zérus, valamint (2.9) is teljesül. A bifurkációs pontok ezek alapján: α 0 = π/4, λ kr = 2π + 4lπ. A 2.3. ábrán a kételemű rúdlánc bifurkációs diagramja látható az α 0 [0,π/2], λ [0, 50] tartományon. Az A) csoportba tartozó egyensúlyi utakat folytonos, míg a B) csoportba tartozó utakat szaggatott vonallal ábrázoltuk. Mivel a diagram csak pozitív teherparaméterhez tartozó egyensúlyi helyzeteket ábrázol, a k > 0, illetve az l < 0 értékekhez tartozó egyensúlyi utak nem láthatók. 50 l=3 40 k= 3 λ 30 l=2 k= 2 20 l=1 10 0 0 k=0 k=0 k= 1 l=0 π/4 π/2 α 0 2.3. ábra. Az N = 2 elemű, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α 0 [0,π/2], λ [0, 50] tartományon 2.1.2. Kettőnél több elemű, követőerős, kéttámaszú rugalmas rúdláncok A (2.1) leképezés analitikus megoldása nem lehetséges tetszőleges elemszám esetén. Numerikusan azonban a bevezetőben ismertetett tüzérségi módszer [14] segítségével meg lehet találni az összes megoldást tetszőleges pontossággal. A megoldásokat adott N elemszámnál elég az α 0 [0,π/2] tartományon számítani, ennél nagyobb α 0 kezdőszöghöz tartozó megoldások a szimmetria-tulajdonságokból származtathatók. A kezdeti feltételek a numerikus eljáráshoz: y 0 = 0 az első peremfeltétel, α 0 finoman léptetett, λ rögzített, illetve a közel vízszintes érintőjű egyensúlyi utakon lévő pontok megtalálása érdekében λ finoman léptetett, α 0 rögzített. A (2.1) leképezés N-szeri iterálása után a kompatibilitási feltétel az y N = 0 második peremfeltétel. A számítást elvégezzük a λ, illetve az α 0 sok rögzített értékére az adott tartományon. A 2.4. ábra a négyelemű, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramját mutatja az α 0 [0,π/2], λ [0, 20] tartományon. A 2.5. ábra az α 0 [0, 2π], λ [ 15, 15] tartományon mutatja a hételemű rúdlánc bifurkációs diagramját. Mindkét diagram 19
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK előállításánál a tartományok felosztásának finomsága 0.001 volt. A 2.5. ábrán jól látszanak a szimmetria-tulajdonságok. igyeljük meg, hogy nagy számban jelennek meg egyensúlyi utak a teherparaméter növelésével! A numerikus szimulációkkal egy N elemű rúdláncnál N 1 elágazást találtunk a triviális úton. Ennek analitikus vizsgálatára a 2.4. szakaszban visszatérünk. A követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja előállítható a bevezetőben ismertetett, támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramjából is azonos elemszám mellett a leképezés felírásánál már felhasznált λ λ cos α 0 transzformáció segítségével. A két bifurkációs diagram topológiailag ekvivalens. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az α 0 [0,π], λ > 0 tartományon a potenciálos erővel terhelt esetre kapott bifurkációs diagram (1.4. ábra a négyelemű esetre) egyensúlyi útjait π/2-nél megfogjuk és felhúzzuk a végtelenbe, majd az α 0 [π/2,π] tartományt tükrözzük a vízszintes tengelyre. Ezután mind az α 0 [0,π/2], λ > 0, mind az α 0 [π/2,π], λ < 0 tartományokon lévő utakat tükrözzük az α 0 = π/2 függőleges tengelyre. Az így kapott diagramot az α 0 tengely mentén π egész számú többszöröseivel eltolva a diagram a teljes síkon előállítható. Ezek alapján kimondhatjuk az értekezés 1. tézisét: 1. tézis. Megmutattam, hogy a kéttámaszú rugalmas rúdlánc síkbeli kihajlásának vizsgálata egy nemkonzervatív teher, a követőerő alatt is területtartó leképezésre vezet. Rámutattam, hogy az egyensúlyi helyzeteket rendszerező bifurkációs diagram topológiailag ekvivalens a támaszvonalában potenciálos erővel terhelt feladatéval. Jogosan tehetjük fel ezek után a kérdést, hogy létezik-e olyan terhelés, melynek hatására a rugalmas rúdlánc kihajlása egy olyan peremérték-feladatra vezet, ami valamilyen disszipatív dinamikai rendszernek feleltethető meg. A következő szakaszban erre keressük a választ. 20
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.4. ábra. Az N = 4 elemű, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α 0 [0,π/2], λ [0, 20] tartományon 2.5. ábra. Az N = 7 elemű, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α 0 [0, 2π], λ [ 15, 15] tartományon 21
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.2. Konzolos rugalmas rúdláncok síkbeli kihajlása Ebben a szakaszban a 2.6. ábrán látható konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdláncot vizsgáljuk általános terhelés alatt. A szerkezet N darab különböző, l i (i = 1, 2,,N) hosszúságú merev rúdelemből áll, melyek spirálrugókkal felszerelt csuklókkal kapcsolódnak egymáshoz. A rugalmas rúdlánc egyik végén lévő csuklót egy mozdulatlan falhoz rögzítjük, az ehhez kapcsolódó rúdelemet spirálrugóval a falhoz kötjük. A rúdlánc másik vége szabad. A mozdulatlan falhoz rögzítjük a globális X, Y Descartes-féle balkezes derékszögű koordinátarendszert. Az egyensúlyi konfigurációk leírására a rúdlánc szabad végéhez rögzített lokális x, y Descartes-féle balkezes derékszögű koordináta-rendszert használjuk, melynek tengelyei a globális koordináta-rendszer tengelyeivel párhuzamosak, irányukat a 2.6. ábra mutatja. Az i-edik csukló függőleges távolságát a vízszintes x tengelytől y i, vízszintes távolságát a függőleges y tengelytől x i, az i-edik rúdelem vízszintessel bezárt szögét α i 1 jelöli. Így α N = 0 a fal elfordulása, melyet azonosíthatunk egy utolsó, mereven befogott rúdelemmel is. A globális és a lokális koordináta-rendszerek között az alábbi kapcsolat áll fenn: X i = N 1 j=0 l j+1 cos α j x i, Y i = N 1 j=0 l j+1 sin α j y i. c i x i X V i Y Ν i α i 1 m i H i i d l i i 1 V 1 y m 1 i 1 y H 1 x 0 2.6. ábra. Általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc mechanikai modellje Mivel a rúdelemek merev testek, a rájuk ható terhek helyettesíthetők az eredőjükkel. Szétszórt síkbeli erőrendszer eredője lehet erő vagy erőpár. Ennek megfelelően egy koncentrált erőt és egy nyomatékot működtetünk minden egyes merev rúdelemre. A teher általános leírása érdekében megengedjük, hogy egy adott, i-edik rúdelemre ható teher függvénye legyen a rúdelem geometriáját leíró x i 1,y i 1 és α i 1 változóknak, így az mind potenciálos, mind nemkonzervatív erőket modellezhet. Az i-edik rúdelemre ható erőt vízszintes H i (x i 1,y i 1,α i 1 ) és 22
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK függőleges V i (x i 1,y i 1,α i 1 ) komponenseivel helyettesítjük, míg a koncentrált nyomatékot m i (x i 1,y i 1,α i 1 ) adja. A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a továbbiakban jelölje ezeket a komponenseket H i illetve V i, valamint a nyomatékot m i. A V i, H i erőkomponenseknek az i- edik rúdelem tengelyével való metszéspontját az i-edik csuklótól vízszintes értelemben c i jelöli, így a metszéspont függőleges távolsága az i-edik csuklótól d i = c i tanα i 1. Irányítottságuk a lokális koordinátarendszerben olyan, hogy c i pozitív, ha cos α i 1 pozitív. Az i-edik csuklónál lévő rugóban keletkező nyomatékot a nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedés leírása érdekében a csukónál lévő relatív szögelfordulás tetszőleges, egy-egyértékű, páratlan függvényének tekintjük: M i = M i (α i α i 1 ). Ennek megfelelően a szerkezet egy, a rúdtengely hossza mentén változó hajlítómerevségű, végtelen nagy nyíró- és normálmerevségű, nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedésű, nemlineárisan rugalmasan befogott, tetszőleges statikus teherrel terhelt folytonos rúd diszkrét mechanikai modellje. Rugalmas befogás modellezésénél a falhoz kapcsolódó rugó merevsége (az abban keletkező M N ( α N 1 ) nyomaték) nemcsak az oda kapcsolt rúd felének hajlékonyságát, hanem a befogás engedékenységét is magában kell foglalja. Merev befogás esetén a mozdulatlan falat egy N + 1-edik, vízszintes, mereven befogott merev rúdelemnek tekinthetjük. A szerkezet terheletlen állapotban vízszintes, a rugók előfeszítetlenek. A terhelést egy paraméter szerint változtatjuk. A következő, 2.2.1. pontban az általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc kihajlását vizsgáljuk. A teher lehet nemkonzervatív is, melynél nem létezik potenciálisenergia-függvény. Ezért az egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletek segítségével fogalmazzuk meg az egyensúlyi konfigurációk számításához szükséges peremérték-feladatot, majd bizonyítjuk a neki megfelelő leképezés területtartó voltát. Ezután a 2.2.2. pontban néhány speciális terhelési esetben felírjuk a konkrét peremérték-feladatot és rendszerezzük annak megoldásait a különböző N elemszámhoz tartozó bifurkációs diagramok megszerkesztésével. 2.2.1. Általános terhelés, nemlineárisan rugalmas anyagi viselkedés A szerkezetre ható általános teher lehet nemkonzervatív is, ezért az egyensúlyi helyzetek számításához a szerkezet geometriai, egyensúlyi és anyagegyenleteit használjuk fel. Az összefüggéseket a szabad véghez rögzített lokális x, y derékszögű koordináta-rendszerben írjuk fel. A merev rúdelemek geometriáját leíró egyenletek az alábbiak: sin α i 1 = y i y i 1, cos α i 1 = x i x i 1, i = 1, 2,,N. (2.11) l i l i A spirálrugókban ébredő nyomatékokat a csuklóknál lévő α i = α i α i 1 (i = 1, 2,,N) relatív szögelfordulás ismertnek feltételezett, páratlan, egy-egyértékű függvényei adják. Ezek az anyagegyenletek: M i = M i ( α i ), i = 1, 2,,N. (2.12) A szerkezetre felírható független egyensúlyi egyenletek közül N darab nyomatéki egyenletet használunk fel: az i-edik egyenlethez az i-edik csuklónál kettészedjük a rúdláncot, és e csukló körül írunk fel nyomatéki egyenletet a szabad vég felőli részre (i-edik rúdlánc-szeletre): i i i M i ( α i )+ H j (y i y j +d j )+ V j (x i x j +c j )+ m j = 0, i = 1,,N. (2.13) j=1 j=1 23 j=1
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK A peremfeltételek: y 0 = 0, x 0 = 0, α N = 0. (2.14) A lokális koordináta-rendszer origója a 0. csuklóhoz kötött, annak vízszintes és függőleges eltolódása egyaránt zérus, ezt fejezi ki az első két x 0 = 0, y 0 = 0 peremfeltétel. A fal elfordulása zérus, ezt fejezi ki az α N = 0 peremfeltétel. Az egyensúlyi konfigurációk számításához elég (2.11), (2.12) és (2.13) egyenleteket (2.14) peremfeltételek mellett megoldani rögzített elemszám és terhelés mellett. A kapcsolati erők ezek után számíthatók a rúdelemek vetületi egyenleteiből. A rendelkezésre álló összefüggésekből egy olyan leképezést szeretnénk felírni, melynek Jacobi-determinánsa könnyen vizsgálható. Ennek érdekében kiküszöböljük a (2.13) egyenletekben szereplő összegzési ( memória- ) tagokat a következő új változók bevezetésével: v i 1 = p i 1 = r i 1 = i i H j, w i 1 = H j (y i y j + c j tanα j 1 ), j=1 i V j, q i 1 = j=1 i m j, j=1 j=1 i V j (x i x j + c j ), j=1 (2.15) ahol v i 1 illetve p i 1 az adott i-edik rúdlánc-szeletre ható erők vízszintes illetve függőleges vetületösszege, w i 1 illetve q i 1 ezen erők vízszintes illetve függőleges komponenseinek nyomatéka az i-edik csuklóra, míg r i 1 a koncentrált nyomatékok összege az első i rúdelemen. A (2.15) új változók, valamint (2.11) és (2.13) egyenletek segítségével az alábbi, nyolcdimenziós leképezést írható fel: x i = x i 1 + l i cos α i 1, y i = y i 1 + l i sin α i 1, M i ( α i ) + w i 1 + q i 1 + r i 1 = 0, v i = v i 1 + H i+1 (x i,y i,α i ), p i = p i 1 + V i+1 (x i,y i,α i ), r i = r i 1 + m i+1 (x i,y i,α i ), w i = w i 1 + l i+1 v i 1 sin α i + H i+1 (x i,y i,α i ) c i+1 (x i,y i,α i ) tanα i, q i = q i 1 + l i+1 p i 1 cos α i + V i+1 (x i,y i,α i ) c i+1 (x i,y i,α i ). (2.16) Egy egyensúlyi konfigurációt az α 0 kezdőszöge egyértelműen meghatároz rögzített elemszám, ismert teher és anyagi viselkedés esetén. A többi (függő) változó (2.16)-ból a (2.15) szerint számított kezdőfeltételek mellett meghatározható, így a megoldásokat numerikusan a tüzérségi módszer [14] segítségével kaphatjuk meg. Mivel (2.16) harmadik egyenlete implicit α i -re nézve, ezért szükséges, hogy a spirálrugókban ébredő nyomatékot megadó függvények egy-egyértékűek legyenek. 24
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Ha a (2.16) leképezést mint kezdetiérték-feladatot tekintjük, arra jutunk, hogy az területtartó. Ennek feltétele az egységnyi Jacobi-determináns [67]. A determináns felírásához (2.16) harmadik egyenletének egy tetszőleges változó szerint deriváltjából kifejezzük α i változó szerinti deriváltját: α i. = α i 1. ( 1 wi 1 M i ( α + q i 1 + r ) i 1, i)... ahol M i( α i ) 0, mivel a függvény egy-egyértékű. A Jacobi-mátrix ezek után az alábbi alakba írható: 1 0 K 0 0 0 0 0 0 1 L 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 a a a J = H x H y H α + KH x + LH y 1 0 ah α ah α ah α V x V y V α + KV x + LV y 0 1 av α av α av α. (2.17) m x m y m α + Km x + Lm y 0 0 1 + am α am α am α W x W y W α + KW x + LW y M 0 aw α 1 + aw α aw α Q x Q y Q α + KQ x + LQ y 0 N aq α aq α 1 + aq α Itt a következő jelöléseket használatuk: K = l i sin α i 1, L = l i cos α i 1, M = l i+1 sin α i, N = l i+1 cos α i, H x = H i+1(x i,y i,α i ) x i, H y = H i+1(x i,y i,α i ) y i, H α = H i+1(x i,y i,α i ) α i, V x = V i+1(x i,y i,α i ) x i, V y = V i+1(x i,y i,α i ) y i, V α = V i+1(x i,y i,α i ) α i, m x = m i+1(x i,y i,α i ) x i, m y = m i+1(x i,y i,α i ) y i, m α = m i+1(x i,y i,α i ) α i, c x = c i+1(x i,y i,α i ), c y = c i+1(x i,y i,α i ), c α = c i+1(x i,y i,α i ), x i y i α i W x = H x c i+1 (x i,y i,α i ) tanα i + H i+1 (x i,y i,α i ) c x tanα i, W y = H y c i+1 (x i,y i,α i ) tan α i + H i+1 (x i,y i,α i ) c y tan α i, W α = H α c i+1 (x i,y i,α i ) tanα i + H i+1 (x i,y i,α i ) c α tanα i + + H i+1 (x i,y i,α i ) c i+1 (x i,y i,α i ) (tanα i ) + l i+1 v i 1 cos α i, Q x = V x c i+1 (x i,y i,α i ) + V i+1 (x i,y i,α i ) c x, Q y = V y c i+1 (x i,y i,α i ) + V i+1 (x i,y i,α i ) c y, Q α = V α c i+1 (x i,y i,α i ) + V i+1 (x i,y i,α i ) c α l i+1 p i 1 sin α i, 1 a = M i ( α i). Ellenőrizhető akár kézi számítással, akár egy szimbolikus matematikai programmal, hogy a (2.17) Jacobi-mátrix determinánsa azonosan egy. Ez Gauss-eliminációval [7] az alábbiak 25
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK szerint látható be. Vonjuk le az első sor H x -szeresét a negyedik, V x -szeresét az ötödik, m x - szeresét a hatodik, W x -szeresét a hetedik, Q x -szeresét a nyolcadik sorból! Vonjuk le a második sor H y -szorosát a negyedik, V y -szorosát az ötödik, m y -szorosát a hatodik, W y -szorosát a hetedik, Q y -szorosát a nyolcadik sorból! Vonjuk le a harmadik sor H α -szorosát a negyedik, V α -szorosát az ötödik, m α -szorosát a hatodik, W α -szorosát a hetedik, Q α -szorosát a nyolcadik sorból! Végezetül az így kapott mátrix hetedik sorából levonjuk a negyedik sor M-szeresét és a nyolcadik sorából levonjuk az ötödik sor N-szeresét. Az elimináció eredménye egy olyan felsőháromszög-mátrix, melynek minden főátlóbeli eleme 1. Egy felsőháromszög-mátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata [7], így az eliminációval kapott mátrix determinánsa 1. Egy mátrix determinánsán a Gauss-elimináció nem változtat [7], ezért a (2.17) Jacobi-mátrix determinánsa is 1. Vagyis a kihajlási peremérték-feladatnak megfelelő kezdetiérték-feladat leképezése területtartó marad függetlenül attól, hogy a kihajlást potenciálos vagy nemkonzervatív erő okozza, illetve függetlenül attól is, hogy milyen anyagi viselkedést modelleznek a spirálrugók. A bevezető 1.1.2. pontjában említettük, hogy az Euler-feladat diszkrét megfogalmazásának a periodikusan lökdösött rotátor a megfelelő kezdetiérték-feladata, ami egy gerjesztett, súrlódásmentes rendszer, leképezése területtartó. Az itt vizsgált, általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdláncok kihajlásait leíró peremérték-feladatoknak megfelelő kezdetiérték-feladatok szintúgy disszipatív hatásoktól mentes, gerjesztett, diszkrét idejű dinamikai rendszerként értelmezhetők. Ezek alapján kimondhatjuk az értekezés 2. tézisét: 2. tézis. Megmutattam, hogy az általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdláncok egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletei területtartó leképezésre vezetnek a terheléstől és az anyagi nemlinearitástól függetlenül. A diszkrét mechanikai modell síkbeli kihajására felírt peremérték-feladatnak minden esetben egy disszipatív hatásoktól mentes, diszkrét idejű kezdetiérték-feladat feleltethető meg. 26
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.2.2. Az egyensúlyi helyzetek rendszerezése néhány konkrét terhelési esetben Az előző pontban ismertetett diszkrét szerkezetet néhány egyszerűbb teher alatt vizsgáljuk. Az egyszerűség kedvéért egyenlő hosszúságú rúdelemeket (l i l) és lineárisan rugalmas anyagi viselkedést tételezünk fel, vagyis a spirálrugókban ébredő nyomatékot az M i ( α i ) = ρ(α i α i 1 ) lineáris egyenletből számoljuk. A modellt egy mereven befogott, folytonos, prizmatikus, EI hajlítómerevségű, végtelen nagy nyíró- és normálmerevségű rúd diszkrét modelljeként is értelmezhetjük, ahol ρ = EI/l, 2 a falat pedig egy N + 1-edik, képzeletbeli, l/2 hosszú, mereven befogott, merev rúdelem váltja ki. Követőerő a rúdlánc szabad végén Első példánkban a már jól ismert nemkonzervatív erőt működtetjük a szerkezetre: a szabad végen egy nagyságú, az első rúdelem tengelyébe eső hatásvonalú, követőerő hat (2.7. ábra). Így a locsolócső egy egyszerű modelljéhez jutunk [6, 64, 65], ahol a követőerő a szabad végen kiáramló víz hatását tükrözi. olyadékot szállító csövek esetén a csuklókban ébredő nyomaték szögtörés kapcsolatot ennél pontosabban is lehetne modellezni, figyelembe véve az áramló folyadék csőre gyakorolt kiegyenesítő hatását. Ez jövőbeni kutatásaink tárgyát képezi. ρ x i Ν Ν i α i 1 l i 1 y i 1 y x 0 2.7. ábra. Követőerővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje A teher jellemzői a 2.6. ábrán alkalmazott jelölésekkel: H i = V i = 0, kivéve H 1 = cos α 0, V 1 = sin α 0, valamint m i 0 minden i esetén. Mivel a teher a szabad végen hat, az erőkomponensek hatásvonalai és az első rúdelem tengelyvonalának metszéspontja az 2 A konstans EI hajlítómerevségű folytonos rúdnak pontosabb diszkrét modelljét kapnánk, ha az első rúdelem hossza l/2, vagy az első csuklónál lévő rugó merevsége ρ = (2/3)EI/l volna. Hosszabb rúdláncoknál a különbség már elenyésző. 27
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK első csuklótól vízszintesen mérve: c 1 = l cos α 0. Ezek alapján (2.16) az alábbi, négydimenziós alakot ölti: x i = x i 1 + sinα i 1, y i = y i 1 + sinα i 1, α i = α i 1 + z i 1, z i = z i 1 + λ sin(α i α 0 ). (2.18) Itt a következő dimenziótlan mennyiségeket vezettük be: λ = l/ρ a dimenziótlan teherparaméter, z i = (w i +q i )/ρ egy új dimenziótlan változó, y i és x i dimenziótlanítása pedig y i y i l, x i x i l szerint történt. Vegyük észre, hogy x i és y i csak követi a többi változó dinamikáját, a lényegi viselkedés az (α i,z i ) kétdimenziós fázistérben zajlik! A megoldások számításához ezért nincs szükség sem az x i, sem az y i változókra. A peremfeltételek az általános esetnél tárgyaltak szerint (2.14) alakba írhatók (ezek közül sincs most szükségünk az x 0 = 0, y 0 = 0 feltételekre). A megoldások megtalálásához rögzítjük az N elemszámot és a λ terhet, majd felvesszük a kezdeti értékeket: z 0 = 0 (2.15) és z i definíciója alapján, valamint tetszőleges α 0 kezdőszöget. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy α i = α 0 és z i = 0. Az α N = 0 peremfeltétel csak akkor teljesül, ha α 0 = 0, vagyis csak a triviális α i 0 egyensúlyi helyzet létezik. Ez nem jelenti azt, hogy ez az egyensúlyi helyzet mindig stabilis. A két rúdelemből álló rugalmas rúdlánc dinamikai vizsgálatával konstans sebességű kiáramló folyadékra megmutatták, hogy a sebesség egy kritikus értékénél szuperkritikus Hopf -bifurkáció történik, vagyis a stabil egyensúlyi helyzet instabillá válik és a szerkezet stabil periodikus mozgásba kezdhet [64, 65]. Az egyszerűség kedvéért a következő példákban csak vízszintes terhekkel foglalkozunk: V i 0, m i 0. Így (2.15) alapján p i 0, q i 0, r i 0, vagyis (2.16) ötdimenziós alakot ölt. Vízszintes megoszló erő a rúdelemeken Az alábbiakban egy másik nemkonzervatív teherre mutatunk példát. A szerkezetre egy konstans q intenzitású, vízszintes, balra mutató megoszló erő hat (2.8. ábra). Azt, hogy ez a teher nemkonzervatív, beláthatjuk a 2.9. ábrán vázolt zárt pályán való munkavégzés alapján. Itt a kiindulási és a végállapot ugyanaz, a lineáris spirálrugók feszítetlen állapotból feszítetlen állapotba kerülnek, ezért a belső munka zérus. Nézzük a külső erők munkáját! Tekintsük először a 2. és a 3. elemre ható erőket! Az első lépésben ezekre a rúdelemekre nem hat külső erő. A második lépésben a 2. és 3. rúdelemre ható külső erők munkája azonos nagyságú, de ellentétes értelmű az ugyanezen elemeken a harmadik lépésben végzett külső munkával. Tehát a 2. és a 3. rúdelemre ható külső erők munkája összességében zérus a zárt pályán. Az 1. rúdelemre ható erők munkája az első és a második lépésben pozitív, a harmadik lépésben pedig zérus. A szerkezetre ható megoszló erő nemkonzervatív, mivel az általa végzett munka nem zérus a zárt pályán. A teher jellemzői ebben az esetben: H i = q sin α i 1 l, c i = (1/2)l cos α i 1 (i = 1, 2,,N). Az abszolút érték biztosítja, hogy a teher mindig balra mutat. A λ = ql 2 /ρ dimenziótlan teherparaméter, valamint az x i x i l, y i y i l, w i w i ρ, v i v i ρ/l (2.19) 28
2 2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK ρ x i Ν Ν i α i 1 l i 1 q y i 1 y x 0 2.8. ábra. Vízszintes megoszló erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje 3 2 1 1 1 3 2 2 3 1 3 3 2 1 2.9. ábra. Vízszintes megoszló erő által végzett munka egy zárt pályán dimenziótlan változók bevezetésével (2.16) az alábbi dimenziótlan alakba írható: x i = x i 1 + cos α i 1, y i = y i 1 + sinα i 1, α i = α i 1 w i 1, v i = v i 1 + λ sin α i, (2.20) w i = w i 1 + v i 1 sin α i + λ 2 sin α i sin α i. 29
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Vegyük észre, hogy x i és y i most is csak követi α i -t, a lényegi viselkedés az (α i,v i,w i ) háromdimenziós fázistérben jelenik meg! A numerikus számításnál így nem is foglalkozunk az x i, y i változókkal, az egyensúlyi helyzetek azok nélkül is számíthatók. Belátható (2.20) alapján, hogy ha adott λ teher és N elemszám esetén α 0 = α megoldás, akkor α 0 = α is megoldás ugyanazon teher és elemszám mellett. Ez a geometriai térben a globális X tengelyre vett tükörszimmetria, míg a bifurkációs diagram az α 0 = 0 függőleges tengelyre szimmetrikus. A kezdeti értékek a numerikus számításhoz: v 0 = λ sin α 0, w 0 = (λ/2) sin α 0 sin α 0. A szimulációt elvégeztük a λ teherparaméter rögzítése és α 0 finom léptetése, valamint az α 0 kezdőszög rögzítése és λ finom léptetése mellett is. Az N = 4 elemű, vízszintes megoszló erővel terhelt konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramját mutatja a 2.10. ábra az α 0 [0,π], λ [0, 20] tartományon. A diagram előállításánál a tartomány felosztásának finomsága az α 0 és a λ tengelyek mentén egyaránt 0.001 volt. 2.10. ábra. Az N = 4 elemű, vízszintes megoszló erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α 0 [0,π], λ [0, 20] tartományon Jól látható a 2.10. ábrán, hogy nincs leágazás az α i 0 triviális egyensúlyi útról, viszont attól elkülönülve nagy számban jelennek meg újabb egyensúlyi utak a teherparaméter növelésével. Ennek további vizsgálatára a 2.3.2. pontban visszatérünk. 30
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Vízszintes erő a rúdlánc szabad végén A következő példában a rúdlánc szabad végére egy vízszintes hatásvonalú, nagyságú erőt teszünk (2.11. ábra). A teher potenciálos, jellemzői a bevezetett jelölésekkel: ρ x i Ν Ν i α i 1 l i 1 y i 1 x 0 y 2.11. ábra. Szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje H 1, H i 0 (i > 1), c 1 = l cos α 0, valamint v i. Ezek után (2.16) az alábbi négydimeziós alakra egyszerűsödik: x i = x i 1 + cosα i 1, y i = y i 1 + sinα i 1, α i = α i 1 w i 1, w i = w i 1 + λ sin α i, (2.21) ahol λ = l/ρ a dimenziótlan teherparaméter, míg x i x i l és y i y i l szintén dimenziótlan. A dinamika lényegében az (α i,w i ) kétdimenziós fázistérben folyik, x i és y i csak követi azt, ezért azokat nem számítjuk. Ebben a kétdimenziós fázistérben rögzített λ = 0.1, 0.5, 1.0, 5.0 teherparaméterek mellett megszerkesztett fázisportrékat mutat a 2.12. ábra 3. A fázisportrék elkészítéséhez az α 0 [0, 2π],w 0 [ π,π] tartományon 15 15 egyenletesen elszórt kezdetiértékből kiindulva az adott teherparaméter mellett N = 5000 lépésen keresztül követtük diszkrét időben a dinamikát (iteráltuk a leképezést) és ábrázoltuk a számított (α i mod 2π, w i ) értékeket. (A kezdetiértékek a fázisportré előállításánál nem teljesítik az egyensúlyi helyzetek számításához szükséges w 0 = λ sin α 0 kezdeti feltételt.) Magasabb teherparaméterek esetén jól láthatók a konzervatív kaotikus rendszereket jellemző KAM-szigetek és az azt körülvevő kaotikus tenger. 3 Az értekezés jobb alsó sarkában látható képek ezt a fázisportrét ábrázolják a teherparaméter különböző értékei mellett. A teherparaméter 1/24-del változik az egymást követő oldalakon, értéke a 1. oldalon λ = 1/24, ezen az oldalon λ = 31/24. 31
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.12. ábra. Szabad végén vízszintes erővel terhelt konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit származtató leképezés fázisportréi: 15 15 egyenletesen elosztott kezdőfeltételt követtünk 5000 iteráción keresztül. Az a) ábra a λ = 0.1, a b) ábra a λ = 0.5, a c) ábra a λ = 1.5 és a d) ábra a λ = 5 teherértékkel készült. A dinamikát lényegében leíró kétváltozós leképezés ekvivalens a dinamikai rendszerek elméletéből jól ismert, a bevezetőben is említett, kaotikus, területtartó leképezéssel, a standard leképezéssel, ami (1.5) alakban adott. A két leképezés közötti lineáris transzformáció: α i = π + Θ i I i, w i = I i, λ = K. Az egyensúlyi helyzeteket a tüzérségi módszerrel [14] számítjuk adott N elemszámra. A kezdeti értékek: w 0 = λ sin α 0 ; α 0 finoman léptetett, λ rögzített, illetve λ finoman léptetett, α 0 rögzített. A kompatibilitási feltétel az α N = 0 peremfeltétel. Megfigyelhetjük, hogy (2.21) ugyanazzal a szimmetria-tulajdonsággal bír, mint (2.20): ha α 0 = α megoldás, akkor α 0 = α is az ugyanazon teher és elemszám mellett. Tehát a bifurkációs diagram szimmetrikus az α 0 = 0 függőleges tengelyre, illetve a geometriai térben egy adott egyensúlyi konfiguráció globális X tengelyre vett tükörképe is az. Az N = 4 elemű vízszintes erővel a szabad végén terhelt konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramját a 2.13. ábra mutatja az α 0 [0,π], λ [0, 20] tartományon. A diagram előállítása során az adott tartományt 0.001 finomsággal fésültük át függőlegesen és vízszintesen is. A diagramon jól látszik, hogy a triviális α i 0 útról az elemek számával megegyező, N = 4 pontban van leágazás, míg ezektől elkülönülve rohamosan jelennek meg újabb és újabb egyensúlyi utak a teher növelésével. A triviális útról való N elágazás azonban a numerikus eredmények alapján nem ágazik tovább páros és páratlan elemszám esetén sem. Ennek magyarázatára a 2.4.4. pontban visszatérünk. 32
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.13. ábra. Az N = 4 elemű, szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α 0 [0,π], λ [0, 20] tartományon Példaként a bonyolult kihajlási alak szemléltetésére az N = 15 elemű rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja látható a 2.14. ábrán λ = 2 teherparaméter és α 0 = 3.044365 kezdőszög esetén. 2.14. ábra. Az N = 15 elemű, szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja (λ = 2,α 0 = 3.044365) 33
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Vízszintes erő a csuklókon Utolsó példánkban a konzolos rugalmas rúdlánc minden egyes csuklójára egy vízszintes hatásvonalú, nagyságú erő hat (2.15 ábra). ρ x i Ν Ν i α i 1 l i 1 i y 1 y x 0 2.15. ábra. Vízszintes erővel a csuklókon terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc mechanikai modellje A teher potenciálos, jellemzői: H i és c i = l cos α i 1 (i = 1, 2,,N). Vezessük be a λ = l/ρ dimenziótlan teherparamétert, valamint a dimenziótlan változókat (2.19) szerint! Ezek alapján (2.16) az alábbi, ötdimenziós alakot ölti: x i = x i 1 + cos α i 1, y i = y i 1 + sinα i 1, α i = α i 1 w i 1, v i = v i 1 + λ, w i = w i 1 + v i sin α i. (2.22) A dinamika az (α i,v i,w i ) háromdimenziós fázistérben folyik, x i és y i csak követi azt, ezért azok számításával nem foglalkozunk. igyelembe véve, hogy v i = (i + 1)λ, (2.22) egy kétdimenziós nem-autonóm leképezésként is kezelhető (a változók ekkor α i és w i ). Az egyensúlyi helyzeteket most is a tüzérségi módszerrel [14] kaphatjuk meg rögzített N elemszámnál. A kezdeti értékek a numerikus eljáráshoz: v 0 = λ, w 0 = λ sin α 0 ; α 0 finoman léptetett, λ rögzített, illetve λ finoman léptetett, α 0 rögzített. A kompatibilitási feltétel az α N = 0 peremfeltétel. A (2.22) leképezés ugyanazzal a szimmetria-tulajdonsággal bír, mint (2.20), illetve (2.21). A bifurkációs diagram tehát itt is tükörszimmetrikus az α 0 = 0 függőleges egyenesre, míg a geometriai térben megjelenő adott egyensúlyi konfiguráció globális X tengelyre vett tükörképe is egyensúlyi helyzetet ad. Az N = 4 elemű rúdlánc bifurkációs diagramját mutatja a 2.16. ábra az α 0 [0,π], λ [0, 20] tartományon. A diagram előállítása során a térrész vízszintes és függőleges átfésülését 0.001 finomsággal végeztük el. A 2.13. ábrán látott diagramhoz hasonló jelenségeket 34
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK figyelhetünk meg itt is: N = 4 leágazás van az α i 0 triviális egyensúlyi útról, míg attól elkülönülve nagy számban jelennek meg új egyensúlyi utak a teherparaméter növelésével. 2.16. ábra. Az N = 4 elemű, csuklóin vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja az α 0 [0,π], λ [0, 20] tartományon 35
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.3. Térbeli káosz rugalmas rúdláncoknál Ebben a szakaszban a rugalmas rúdláncok kihajlásánál is megfigyelt, sokféle, bonyolult egyensúlyi konfigurációkként megjelenő térben kaotikus viselkedés felismerésére és definiálására törekszünk. A 2.3.1. pontban a peremérték-feladat megoldásai és a megfelelő kezdetiértékfeladat periodikus pályái közötti kapcsolatot térképezzük fel az általános terhelésű, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc esetén. A 2.3.2. pontban erre alapozva javaslatot teszünk a térbeli káosz definiálására, mely a dinamikai rendszerek elméletéből ismert, a periodikus pályák számának a periódus hosszától való függését (is) jellemző topologikus entrópián alapul. A javasolt definíció előnye, hogy akár több lényeges kiterjedéssel bíró szerkezetekre is alkalmazható. 2.3.1. Egyensúlyi konfigurációk és periodikus pályák Az általános terhelés és anyagi nemlinearitás mellett levezetett (2.16) leképezés esetén a vizsgált tartományt (i = 1, 2,, N) mindkét irányban kiterjesztjük. Az egyik irányú kiterjesztésnél fennál, hogy A) α j 1 = α j, y j = y j, x j = x j, ha a teher jellemzőit, a rugókban ébredő nyomatékot megadó egy-egyértelmű, páratlan függvényeket és a rúdelemek hosszát az alábbiak szerint vesszük fel: V j = V j+1, H j = H j+1, m j = m j+1, c j = l j+1 cos α j c j+1, M j = M j, l j = l j+1, (2.23) míg M 0 ( α 0 ) tetszőleges, de páratlan függvény. A másik irányban pedig teljesül, hogy B) α N j = α N+j, y N j = y N+j+1, x N j = 2x n x N+j+1 + l N+1, ha a teher jellemzőit, a rugókban ébredő nyomatékot megadó egy-egyértelmű, páratlan függvényeket és a rúdelemek hosszát az alábbiak szerint vesszük fel: V N+j+1 = V N j+1, H N+j+1 = H N j+1, m N+j+1 = m N j+1, c N+j+1 = l N j+1 cos α N j c N j+1, M N+j+1 = M N j, l N+j+1 = l N j+1, (2.24) valamint H N+1 = 0, V N+1 = 2p N 1, m N+1 = 0, c N+1 = l N+1 /2 és l N+1 tetszőleges. A fenti összefüggések részletes bizonyítása az A. függelékben, az A.1. szakaszban található. Az A) összefüggések mögött fizikailag az áll, hogy egy N elemű egyensúlyi konfiguráció szabad csuklójához (feszítetlen) spirálrugóval hozzákapcsolva annak szabad vége körül 180 -kal elforgatott mását, egy 2N elem hosszúságú egyensúlyi konfigurációt kapunk. Ezt a toldalékot a 2.17 a) ábra I. jelű része szemlélteti, az ábrán az eredeti (kiindulási) egyensúlyi konfiguráció színezve van. A forgatás során egy adott rúdelem hossza változatlan, az arra ható 36
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK koncentrált nyomaték nagysága és értelme változatlan, az erők nagysága szintén változatlan, irányuk viszont ellentétes. A B) összefüggések fizikai tartalma az, hogy egy N elemű egyensúlyi konfigurációnál a falat kiváltva egy (tetszőleges, l N+1 hosszúságú) vízszintes elemmel és annak függőleges középtengelyére tükrözve az eredeti konfigurációt egy 2N + 1 elem hosszúságú egyensúlyban lévő szerkezethez jutunk. Ezt a 2.17 b) ábra II. jelű része mutatja, ahol az eredeti (N elemű) egyensúlyi konfiguráció színezve, a beiktatott vízszintes elem sraffozva van. A tükrözés során egy adott rúdelem hossza változatlan, az arra ható nyomaték nagysága változatlan, értelme ellentétes, az erők nagysága és a függőleges erőkomponens iránya szintén változatlan, míg a vízszintes erőkomponens iránya ellentétes. Ha egy adott N elemű egyensúlyi konfiguráción végrehajtjuk a B) (tükrözés), majd az így kapott, egyensúlyban lévő szerkezeten végrehajtjuk az A) (forgatás) geometriai transzformációkat, a 2.17 c) ábrán látható, 4N + 2 elemű (egyensúlyban lévő) rugalmas rúdlánchoz jutunk. Ebből a 4N + 2 elemű szerkezetből már tetszőlegesen sokat egymáshoz kapcsolhatunk: elforgatva egy másolatot valamelyik szélső csukló körül 180 -kal, és (tetszőleges páratlan függvénnyel adott merevségű) spirálrugóval összekötve azt az eredeti résszel újabb egyensúlyban lévő szerkezetet állíthatunk elő. Ez azt jelenti, hogy a 2.17 c) ábrán látható 4N + 2 elemű rúdlánchoz tartozó (x i,y i,α i,v i,p i,r i,w i,q i ) értékek a (2.16) leképezésnek, mint diszkrét idejű dinamikai rendszernek 4N + 2 periódus hosszú periodikus pályáját alkotják. Példaként a 2.18. ábrán látható a szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja (színezve). Az azon elvégzett A) (forgatás) geometriai transzformációval előálló tükörszimmetrikus szerkezetet a b) ábrarész, a B) (tükrözés) geometriai transzformációval előállított potszimmetrikus szerkezetet az a) ábrarész mutatja. Ezek egymás utáni végrehajtásával származtatott, a c) ábrarészen látható, 4N + 2 elemű szerkezet egyben az Euler-feladat 4N + 2 elemű diszkrét modelljének egy pontszimmetrikus megoldása. A fentiek alapján elmondhatjuk, hogy egy N elemű, tetszőlegesen terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc minden egyes egyensúlyi konfigurációjához egyértelműen hozzárendelhető a megfelelő diszkrét idejű dinamikai rendszer egy-egy 4N + 2 periódus hosszú periodikus pályája. A következő pontban ezt a kapcsolatot boncolgatjuk tovább. A teljesség kedvéért megjegyezzük, hogy egy általánosan terhelt, nemlineárisan rugalmas rúdláncnál a tartomány kiterjesztése könnyen elvégezhető az itt bemutatott konzolos eset kiterjesztéseinek fizikai jelentéseit alkalmazva különböző megtámasztások mellett is. Például kéttámaszú esetben egy egyensúlyi konfigurációhoz a fix támasz körül 180 -kal elforgatott mását kapcsolva újabb, 2N elemszámú egyensúlyi helyzetet kapunk, mely a megfelelő diszkrét idejű dinamikai rendszer 2N periódus hosszú periodikus pályája. Ha a rúdlánc egyik vége rugalmasan egy mozdulatlan falhoz kapcsolt, másik vége (a falra merőleges egyenesre eső) görgős támasszal ellátott, egy egyensúlyi helyzetből a falat kiváltó vízszintes merev rúdelemmmel, majd a görgős támasz körüli 180 -os forgatással egy olyan egyensúlyi konfigurációt kapunk, melyből tetszőlegesen sokat egymáshoz kapcsolhatunk, így az a megfelelő diszkrét idejű dinamikai rendszer 2N + 1 periódus hosszú periodikus pályája. 37
j 2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK a) b) y α j 1 cj j l j V j H j 0 l j+1 y N+j+1 H N+j+1 N+j+1 c N+j+1 V N+j+1 α N+j l N+j+1 0000 1111 0000 1111 N V N+1 c N j+1 V N j+1 HN j+1 α N j l N j+1 N j N j y α j H j+1 j c j+1 V j+1 j y 2N+1 II Eredeti 0 Eredeti I V N+2 V N c) V 2N+1 H N+2 0000 1111 N+1 N H N V 1 H 2N+1 H 1 m 2N+1 2N+1 m 1 m 0 0 H 0 2N 1 m 2N H 2N V 0 N N 1 V 2N H N+1 H N 1 0000 1111 V N+1 V N 1 2.17. ábra. Általánosan terhelt, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja és a megfelelő diszkrét idejű dinamikai rendszer egy periodikus pályája közötti kapcsolat szemléltetése. Az egyensúlyi konfiguráción (N elemű eredeti rész színezve) végrehajtva a bemutatott geometriai transzformációkat egy 4N +2 elemű egyensúlyi konfigurációhoz jutottunk, mely a megfelelő dinamikai rendszer egy periodikus pályája. 38
j 2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK a) b) N y j α j 1 l 0 j j y 2N+1 αn+j N+j y N+j+1 II 00000 11111 N N j y l N j α N j Eredeti 0 α j Eredeti I 0000 1111 0000 1111 N+1 N c) 2N 1 2N+1 0 1 N N 1 0000 1111 0000 1111 2.18. ábra. Szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc egy egyensúlyi konfigurációja és a megfelelő diszkrét idejű dinamikai rendszer egy periodikus pályája közti kapcsolat szemléltetése. Az egyensúlyi konfiguráción (N elemű eredeti rész színezve) végrehajtottuk a bemutatott geometriai transzformációkat: az a) ábrarészen a forgatás, a b) ábrarészen a tükrözés látható. Ezeket egymás után elvégezve a c) ábrarészen lévő, 4N + 2 elemű egyensúlyi konfigurációhoz jutottunk, mely a megfelelő dinamikai rendszer egy periodikus pálya, egyben az Euler-feladat 4N + 2 elemű diszkrét mechanikai modelljének egy pontszimmetrikus megoldása is. 39
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.3.2. A megoldások száma, a tartomány hossza és a térbeli bonyolultság Időben kaotikus rendszereknél a periodikus pályák száma exponenciálisan nő a periódus hosszával [67]. Láttuk, hogy egy N elemszámú konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi konfigurációiból egyértelműen származtathatók a leképezés T = 4N + 2 diszkrét időlépés hosszú periodikus pályái. Ha a megfelelő kezdetiérték-feladat kaotikus, akkor (1.6) alapján a periodikus pályáinak S p száma S p e (4N+2)h (2.25) szerint változik, ahol a h topologikus entrópia pozitív. Ennek alapján a peremérték-feladat megoldásainak száma exponenciálisan nő a rúdelemek számával, ha az térben kaotikus. Numerikusan számítottuk a megoldások számát különböző hosszúságú rúdláncok és teherparaméter értékek esetén a 2.2.2. pontban ismertetett speciális terhek alatt (a követőerős esetet kivéve, mivel ott csak a triviális egyensúlyi helyzet létezik). A szabad végén vízszintes erővel terhelt konzolos rugalmas rúdláncnál az α 0 [0,π] tartományon talált megoldások számát a 2.19. ábra mutatja különböző N elemszámokra log-log diagramon. eltüntettük a mért értékekhez legjobban illeszkedő egyeneseket is, ezek S λ N 1 összefüggést mutatnak, vagyis a tartomány hosszától exponenciálisan függ a megoldások száma. Vízszintes megoszló teher alatt lévő konzolos rúdláncnál az α 0 [0,π] tartományon keresve megoldásokat a 2.20. ábrán látható eredményeket kaptuk különböző N elemszámok esetén. Itt is S λ N 1 összefüggést mértünk. 10 6 S 10 10 10 10 5 4 3 2 N=5 4 λ N=4 λ 3 N=3 λ 2 1 λ 10 1 N=2 1 10 100 1000 λ 2.19. ábra. Szabad végén vízszintes erővel terhelt, N = 2, 3, 4, 5 elemű, konzolos rugalmas rúdláncoknál az α 0 [0,π] tartományon talált megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében 40
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 10 6 10 5 λ 3 N=4 10 4 λ 2 N=3 S 10 3 10 2 10 1 10 100 1000 λ λ 1 N=2 2.20. ábra. Vízszintes megoszló teherrel terhelt N = 2, 3, 4 elemű, konzolos rugalmas rúdláncoknál az α 0 [0,π] tartományon talált megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében Minden vizsgált terhelési esetre azt kaptuk, hogy a megoldások száma (bizonyos teherérték felett) exponenciálisan nő a rúdlánc hosszával: S e (N 1) ln λ. (2.26) A (2.25) és a (2.26) összefüggésekben szereplő kitevők egyenlőségéből kifejezhetjük a h topologikus entrópiát, ami hosszú rúdlánc (N 1) esetén: h 1 ln λ. (2.27) 4 Ha λ > 1, akkor h pozitív, a megfelelő dinamikai rendszer kaotikus. Ekkor a vizsgált peremérték-feladatról mondhatjuk, hogy térben kaotikus. Negatív teherparaméter esetén is mértük a vizsgált terhelési esetekre a megoldások számát az elemszám függvényében. Ekkor S λ N kapcsolatot mértünk, a megoldások száma exponenciálisan nőtt a rúdelemek számával λ < 1 esetén. Így azt mondhatjuk, hogy λ > 1 esetén kaotikusak térben a szóban forgó peremérték-feladatok. A peremérték-feladatoknál megfigyelt azon jelenséget, hogy bizonyos teherparaméter felett az egyensúlyi konfigurációk száma exponenciálisan növekszik a rúdlánc hosszával, konzervatív térbeli káosznak fogjuk nevezni, mert kaotikus, disszipatív hatásoktól mentes dinamikai rendszereknek feleltethetők meg. A térben kaotikus peremérték-feladatok egyik fő ismertetőjele a komplex bifurkációs diagram. Ennek ismérvei, hogy az egyensúlyi helyzetek száma rohamosan nő a teherparaméter növelésével, nem csak a triviális egyensúlyi útnak vannak elágazásai, attól elkülönülve is nagy számban jelennek meg egyensúlyi utak, melyek tovább ágazhatnak, sok stabilis megoldás van és az egyensúlyi utak aszimptotikus viselkedése nem egyféle (lásd 2.4. ábra, 2.5. ábra, 2.10. ábra, 2.13. ábra, valamint 2.16. ábra). Másik fontos ismertetőjele a komplikált egyensúlyi alakok létezése (lásd 2.14. ábra). 41
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK A szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc (2.2.2. pont) vizsgálatánál már szót ejtettünk a fázistérről. El is készítettünk néhány fázisportrét (2.12. ábra) olyan egyenletesen elszórt kezdetiértékeket követve, melyeknél nem vettük figyelembe a statikai feladatnak megfelelő kezdeti feltételeket. Most néhány iteráción keresztül a szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc kihajlásának megfelelő kezdetiértékek egy halmazát fogjuk követni a fázistérben. A kezdetiértékek: α 0 [0,π], w 0 = λ sin α 0. Iteráljuk a halmaz elemeivel a (2.21) leképezést λ = 5 mellett N-szer! (Az x i és az y i értékeivel nem foglalkozunk, azok a dinamikát nem befolyásolják.) Az N = 4 iteráció után kapott eredményt a 2.21. ábra mutatja. A kezdőfeltételek alkotta fél szinuszhullám (fekete vonal) egy jóval hosszabb és bonyolultabb, megnyúlt és összehajtogatott vonallá (piros vonal) képződik le. Ez a viselkedés a kaotikus rendszerek egyik fontos jellemzője: a fázistérbeli nyújtás és hajtogatás [67]. Ennek segítségével a peremérték-feladatot grafikusan is megoldhatjuk, felhasználva az α N = 0 peremfeltételt: a megoldások az N-edik iteráció eredményéül kapott vonal és az α i = 0 egyenes metszéspontjaihoz tartoznak. Négyelemű rúdláncra vonatkozó példánkban a 2.21. ábrán a piros vonal és a függőleges tengely metszéspontjaihoz egy-egy egyensúlyi konfiguráció rendelhető a teherparaméter λ = 5 értékénél. A leképezés kaotikus λ = 5 esetén (lásd 2.12. ábra c) panel), így a kezdetiértékek alkotta vonal tipikusan exponenciálisan nyúlik az iterációk számával, az exponens pedig a topologikus entrópia. Említettük, hogy (2.21) eltekintve a dinamikát nem befolyásoló x i és y i változóktól ekvivalens az (1.5) alakban adott standard leképezéssel. Utóbbiról ismert, hogy a nemlinearitási paraméter K 0.972 értékénél az utolsó (lökdösött rotátornál az egyszerű forgásnak megfelelő) sima görbe is eltűnik a fázistérről, átjárást engedve így a kaotikus sávok között [67]. Ekkor a peremérték-feladat kaotikussá válik: a kezdetiértékeknek megfelelő vonal szétfolyik az átjárható kaotikus tartományokban, közben exponenciálisan megnyúlik és összehajtogatódik, a második peremfeltételt jelölő függőleges egyenessel való metszésponjainak száma pedig a megnyúlás mértékével, exponenciálisan nő a lépésszámmal, ahol az exponens a topologikus entrópia. Ezek alapján elegendőnek tartjuk, hogy csak néhány N elemszámnál mértük a megoldások S számát a λ teherparaméter függvényében, ebből következtettünk arra, hogy az ott mért S λ N 1 összefüggés nagyobb elemszámra is fennáll. Ha a leképezés kaotikus, annak a fázistérben nyújtás- és hajtogatásként megjelenő kaotikus dinamikája miatt a lépésszám (elemszám) növelésével a metszéspontok (megoldások) exponenciális növekedése várható. 42
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 20 15 10 w i 5 0-5 -10-15 -10π -8π -6π -4π -2π 0 2π 4π 6π α i 2.21. ábra. A szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc peremfeltételeinek megfelelő α 0 [0,π], w 0 = λ sin α 0 kezdetiértékek (fekete vonal) és azok képei N = 4 iteráció után (piros vonal) λ = 5 esetén a fázistérben. A piros vonal és az α i = 0 egyenes metszéspontjaihoz egy-egy N = 4 elemű egyensúlyi konfiguráció tartozik λ = 5 teherparaméter érték mellett. Jól látszik a kaotikus dinamikára jellemző, fázistérben megjelenő nyújtás és hajtogatás. Ezek alapján kimondhatjuk az értekezés 3. tézisét: 3. tézis. Megmutattam, hogy egy általánosan terhelt, N elemű, konzolos, nemlineárisan rugalmas rúdlánc minden egyes egyensúlyi konfigurációjához egyértelműen hozzárendelhető a megfelelő diszkrét idejű dinamikai rendszer egy-egy 4N +2 periódus hosszú periodikus pályája. Azt javaslom, hogy egy peremérték-feladatot akkor nevezzünk térben kaotikusnak, ha megoldásainak száma exponenciálisan függ az értelmezési tartomány kiterjedésétől/kiterjedéseitől, és az exponens pozitív. Az értekezésben vizsgált peremérték-feladatokra alkalmaztam ezt a definíciót, és a rugalmas rúdláncokra megmutattam, hogy az exponens a megfelelő dinamikai rendszer topologikus entrópiájával arányos mennyiség, a teherparaméter természetes alapú logaritmusa. 43
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.4. Rugalmas rúdláncok bifurkációanalízise Láttuk, hogy térben kaotikus peremérték-feladatoknál az egyensúlyi helyzetek száma exponenciálisan nő a rúdelemek számával, és rugalmas rúdláncok esetén az exponenciális növekedés rátáját a teherparaméter természetes alapú logaritmusa határozza meg. Ebben a szakaszban a 2. fejezetben tárgyalt különböző terhelésű és megtámasztású rugalmas rúdláncokat vizsgáljuk tovább az egyensúlyi utak megjelenését és elágazásait magában foglaló bifurkációs pontok meghatározása kapcsán. A potenciális energia használatára nem támaszkodhatunk minden esetben, mert nemkonzervatív erőkkel is foglalkozunk, ezért a statikai módszert [48] fogjuk használni. Egyedül a szabad végén vízszintes erővel terhelt konzolos rugalmas rúdláncnál végzünk bifurkáció-analízist a potenciális energia függvényének segítségével, energia-módszerrel [48] is. A 2. fejezet példáinál megmutattuk, hogy rögzített N elemszám és λ teherparaméter mellett egy egyensúlyi konfigurációt az első elem vízszintessel bezárt α 0 szöge egyértelműen meghatároz, a leképezésből a többi változó számítható. Ezt használjuk ki a peremérték-feladat numerikus megoldásakor is, a tüzérségi módszer [14] használatakor. A kompatibilitási feltétel α N = 0 a konzolos, illetve y N = 0 a kéttámaszú megtámasztásnál. Ahol rögzített λ teherparaméter és N elemszám mellett egy α 0 kezdőszögnél a kompatibilitási feltétel teljesült, ott az egyensúlyi út egy pontját kapjuk. Ha egy egyensúlyi helyzetben a kompatibilitási feltétel α 0 piciny megváltozása esetén zérus marad, akkor ott az egyensúlyi útnak vagy elágazása van, vagy vízszintes az érintője az (α 0,λ) bifurkációs diagramon. Matematikailag ez azt jelenti, hogy nemcsak a kompatibilitási feltétel, hanem annak α 0 szerinti deriváltja is zérus. Az elágazásoknak ezt a fajta vizsgálatát egyensúlyi, vagy statikai módszernek [39, 48] nevezzük. Az ilyen pontokat a továbbiakban bifurkációs pontoknak nevezzük, noha nem feltétlenül az egyensúlyi út elágazásról van szó. A bifurkáció feltételeinek levezetése után részletesebben foglalkozunk majd az α i 0 triviális egyensúlyi úton lévő elágazásokkal. 2.4.1. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes erő a szabad végen Itt a 2.2.2. pontban tárgyalt, 2.11. ábrán látható, szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkáció-analízisét végezzük el előbb energetikai, majd statikai vizsgálattal. Energia-módszer A 2.11. ábrán látható szerkezet teljes potenciális energiáját osztva a ρ rugómerevséggel, bevezetve a λ = l/ρ dimenziótlan teherparamétert és az α = [α 0,α 1,,α N ] vektoros jelölést, az alábbi függvényt kapjuk: A geometriai mellékfeltétel: V (α;λ) = 1 N 1 (α j+1 α j ) 2 + λ 2 j=0 N 1 j=0 cosα j. (2.28) α N = 0. (2.29) 44
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Bevezetve a γ Lagrange-szorzót, (2.28) és (2.29) alapján a következő függvényt írhatjuk fel: (α,γ;λ) = 1 N 1 (α j+1 α j ) 2 + λ 2 j=0 N 1 j=0 cos α j + γα N. (2.30) Egyensúlyi állapotban (2.30) elmozdulás-jellegű változók, valamint a Lagrange-szorzó szerinti parciális deriváltjai zérust adnak: (α,γ;λ) = (α 1 α 0 ) λ sin α 0 = 0, α 0 (α,γ;λ) = 2α i α i 1 α i+1 λ sin α i = 0, i = 1, 2,,N 1, α i (α,γ;λ) = α N α N 1 + γ = 0, α N (α,γ;λ) = α N = 0. γ (2.31) Az utolsó egyenlet a (2.29) geometriai mellékfeltétel, míg az utolsó előtti egyenletből a Lagrange-szorzó fizikai jelentése olvasható ki: γ = α N 1 a falhoz kapcsolt rugóban ébredő dimenziótlanított nyomaték. A maradék egyenleteket felhasználva az egyensúlyi helyzeteket a következő leképezésből számíthatjuk: α N = 0 mellett. Az α i+1 = 2α i α i 1 λ sin α i, i = 1, 2,,N 1 (2.32) y i+1 = α i α i+1 λ új változó bevezetésével y i+1 = y i + sinα i (2.32) alapján, így λy i+1 = α i 1 α i + λ sin α i, tehát (2.32) leképezés átírható (1.3) alakba. Továbbá, ha bevezetjük a w i = λy i+1 = λ(y i + sinα i ) = w i 1 + λ sin α i új változót is, (2.32) leképezés lényegében (2.21) alakba írható át. A vízszintes erővel a végén terhelt konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit nyilvánvalóan ugyanannak a leképezésnek a használatával számíthatjuk, mint a vízszintes erővel a görgős támasznál terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdláncét, ami különböző, az a kompatibilitási feltétel: α N = 0 a konzolos, míg y N = 0 a kéttámaszú esetben. Bifurkációs pontokban az egyensúly meglétén túl a (2.28) potenciális energia függvényének α j (j = 0, 1,,N 1) változók szerinti második parciális deriváltjaiból képzett Hessemátrix determinánsa zérus. Az N elemű rúdláncra felírt N N-es H N Hesse-mátrixot az alábbi 45
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK sávos alakba írhatjuk: 1 λ cos α 0 1 0 0 0 0 1 2 λ cos α 1 1 0 0 0 H N =. 0 0 0 1 2 λ cos α N 2 1 0 0 0 0 1 2 λ cos α N 1 Ha a fenti H N Hesse-mátrix H N determinánsát az utolsó sora (vagy oszlopa) szerint fejtjük ki, megfigyelhetjük, hogy az N elemű rúdláncra vonatkozó H N determináns felírható az N 1 és az N 2 elemű rúdláncokra vonatkozó H N 1, illetve H N 2 determinánsok ismeretében a következő szabály szerint: H N = (2 λ cos α N 1 )H N 1 H N 2. (2.33) Nézzük a triviális α i 0 egyensúlyi út elágazásait egy- és kételemű rúdláncokra! Egyelemű esetben a Hesse-mátrix skalár: det(h 1 α0 =0) = 1 λ. Kételemű esetben a Hesse-mátrix 2 2-es, determinánsa: det(h 2 α0 =0) = 1 λ 1 1 2 λ = λ2 3λ + 1. Leágazás a triviális útról a fenti polinomok gyökeinél, azaz egyelemű esetben egy pontban, λ kr = 1 értéknél, kételemű esetben két pontban, λ kr1 = (3 5)/2, λ kr2 = (3 + 5)/2 értékeknél van. A triviális egyensúlyi állapot stabilitásához a Hesse-mátrix sajátértékeit kell vizsgálni: ha azok pozitívak, az egyensúlyi állapot stabilis. Egyelemű esetben az egyetlen Λ sajátérték az 1 λ Λ = 0 egyenletből számítható, pozitív, ha a λ < 1, tehát az első leágazásig stabil a triviális egyensúlyi út, azon túl instabil. Kételemű esetben a sajátértékek a Λ 2 Λ(3 2λ) + λ 2 3λ + 1 = 0 karakterisztikus egyenlet gyökei: Λ 1,2 = 3 2λ ± (3 2λ) 2 4(λ 2 3λ + 1). 2 A fenti polinom gyökei valósak, mivel (3 2λ) 2 > 4(λ 2 3λ + 1) teljesül tetszőleges λ teher mellett. A gyökök pozitív voltának szükséges feltétele, hogy λ < 3/2 legyen. Ha ezen túl 4(λ 2 3λ + 1) > 0 is teljesül, akkor a gyökök pozitvak. Ez akkor áll fenn, ha λ < λ kr1, vagy ha λ > λ kr2. Utóbbi nem teljesíti a szükséges feltételt, tehát a triviális egyensúlyi út az első leágazásig stabilis, azután instabil. 46
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK Egyensúlyi módszer A 2.11. ábrán látható, szabad végén vízszintes erővel terhelt konzolos rugalmas rúdlánc egyensúlyi, geometriai és anyagegyenleteiből származtatott (2.21) leképezés x i és y i változóival nem foglalkozunk, a kompatibilitási feltétel számításához nincs rájuk szükség, így elég a vizsgálatokat (2.21) harmadik és negyedik egyenleteire korlátozni. Írhatjuk (2.21) negyedik egyenletét az alábbi formában is: w i = λ i sin α j. j=0 Ezt behelyettesítve (2.21) harmadik egyenletébe visszakapjuk a rúdlánc-szeletekre felírt nyomatéki egyenleteket: ami i = N esetén a kompatibilitási feltételt adja: Mivel α N 1 α N 2 = λ N 2 i 1 α i = α i 1 λ sin α j, (2.34) j=0 N 1 α N = α N 1 λ sin α j = 0. (2.35) j=0 j=0 sin α j, α N számítható pusztán α N 1 és α N 2 ismeretében is, mely az energetikai vizsgálatnál kapott (2.32) leképezéssel azonos α N = 2α N 1 α N 2 λ sin α N 1 (2.36) összefüggésre vezet. Egy egyensúlyi út egy pontja bifurkációs pont, ha ott a (2.35) kompatibilitási feltétel α 0 szerinti deriváltja zérus: dα N = dα N 1 N 1 dα j λ cos α j = 0. (2.37) dα 0 dα 0 dα 0 j=0 A fentivel egyenértékű, az energetikai vizsgálatnál kapott (2.33) összefüggéssel azonos eredményre jutunk (2.36) deriválásával: dα N = (2 λ cos α N 1 ) dα N 1 dα N 2 = 0. dα 0 dα 0 dα 0 Az α i 0 triviális megoldása (2.35) egyenletnek tetszőleges λ teher mellett. Ezen állapotok összessége az (α 0,λ) bifurkációs diagramon az α 0 = 0 függőleges egyenes, a triviális 47
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK egyensúlyi út. A triviális úton cos α j 1, így a triviális út elágazási pontjaiban a (kritikus) teherparaméterek a (2.37) alapján kapott dα N = dα N 1 N 1 dα j λ dα 0 α0 =0 dα 0 α0 =0 dα j=0 0 α0 =0 (2.38) polinom gyökei. Egyelemű rugalmas rúdlánc esetében a (2.35) kompatibilitási feltétel α 1 = α 0 λ sin α 0 = 0, (2.39) míg kételemű esetben α 2 = α 0 2λ sin α 0 λ sin(α 0 λ sin α 0 ) = 0. (2.40) A triviális útról való leágazás feltétele (2.38) alapján dα 1 dα 0 α0 =0 = 1 λ = 0 (2.41) egyelemű, illetve dα 2 dα 0 α0 =0 = 1 3λ + λ 2 = 0 (2.42) kételemű esetben. Egyelemű rúdláncnál egy leágazás van a triviális útról a (2.41) elsőfokú polinom gyökénél: λ kr = 1. Kételemű rúdlánc esetén kettő leágazás van a (2.42) másodfokú polinom gyökeinél: λ kr1 = (3 5)/2, λ kr2 = (3 + 5)/2, az energetikai vizsgálatnál kapott eredményekkel összhangban. Az N elemű rúdláncnál dα N /dα 0 α0 =0 egy olyan N-ed fokú polinomja a λ teherparaméternek, melynek nullad- és páros fokú tagjai pozitív, páratlan fokú tagjai negatív előjelűek, és minden fokszám előfordul nem zérus együtthatóval. A továbbiakban az ilyen tulajdonságú polinomot N-ed fokú teljes alternáló polinomnak nevezzük, az állítást pedig teljes indukcióval bizonyítjuk. Láttuk, hogy az állítás a kételemű esetre igaz. Tegyük fel, hogy az állítás igaz j = N esetén! N + 1 elemszámnál (2.38) az alábbi alakot veszi fel: dα N+1 = dα N λ dα 0 α0 =0 dα 0 α0 =0 N j=0 dα j. dα 0 α0 =0 A feltétel értelmében dα j /dα 0 α0 =0 (j = 1, 2,,N) egy j-ed fokú teljes alternáló polinom. Az összegzésben szereplő polinomokat megszorozva λ-val megváltozik a polinomok tagjainak az előjele és eggyel nő a tagok fokszáma, vagyis az eredetileg páros fokú (és pozitív előjelű) tagjai páratlan fokú, negatív előjelű tagok lesznek, az eredetileg páratlan fokú (és negatív előjelű) tagjai pedig páros fokú, pozitív előjelű tagok lesznek. Az összegezés során mivel az azonos fokszámú tagok azonos előjelűek, így összegük nem lehet zérus és ellentétes előjelű sem olyan polinomot kapunk, melyben a nulladfokú tag kivételével minden fokszám előfordul, a páros fokú tagok pozitív, a páratlan fokú tagok negatív előjellel, a legmagasabb fokszám 48
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK pedig N +1. Ehhez hozzáadva a dα N /dα 0 α0 =0 polinomot dα N+1 /dα 0 α0 =0 egy N +1-ed fokú teljes alternáló polinom lesz. A polinomok gyökeire vonatkozó Descartes-féle előjelszabály [7] értelmében egy N-ed fokú polinom pozitív gyökeinek száma vagy megegyezik a polinom előjelváltásainak számával, vagy annál egy páros számmal kisebb, míg a negatív gyökök száma vagy a polinom együtthatóiból képzett a 0, a 1,, ( 1) n a n sorozat előjelváltásainak száma, vagy annál egy páros számmal kisebb. Ennek alapján kimondható, hogy a szabad végén vízszintes erővel terhelt N elemű konzolos rugalmas rúdláncnál a triviális egyensúlyi út elágazásait szolgáltató N-ed fokú polinom gyökei közt nincs negatív gyök, vagyis leágazás csak nyomóerő esetén és legfeljebb N pontban lehetséges. Ha minden gyök pozitív és különböző, akkor pontosan N elágazás van a triviális egyensúlyi útról. A bevezető 1.1.2. pontjában ismertetett, a görgős támasznál vízszintes erővel terhelt kéttámaszú rugalmas rúdláncra kapott korábbi eredmények alapján belátható, hogy pontosan N elágazás van. Ehhez térjünk vissza a 2.3.1. pontban tárgyalt B) szimmetria-tulajdonsághoz: egy N elemű egyensúlyi konfiguráció esetén a falat kiváltva egy (tetszőleges hosszúságú) vízszintes elemmel, és annak függőleges középtengelyére tükrözve az eredeti konfigurációt egy 2N + 1 elem hosszúságú egyensúlyi konfigurációt kapunk. Ez alapján egy N elemű, vízszintes erővel a végén terhelt konzolos rugalmas rúdláncból egy 2N + 1 elemű, vízszintes erővel a görgős támasznál terhelt kéttámaszú rugalmas rúdlánc tükörszimmetrikus egyensúlyi konfigurációja állítható elő. Az N elemű kéttámaszú rugalmas rúdláncnál a triviális útról pontosan N 1 elágazás van [15], melyek közelítései az Euler-kihajlás első N 1 kihajlási módjának [18]: tükörszimmetrikus és pontszimmetrikus kihajlott alakok követik egymást. Egy 2N + 1 elemű kéttámaszú rugalmas rúdláncnál az elemszám páratlan, így páros számú, 2N elágazás van. Ezeknek a feléhez, tehát pontosan N leágazáshoz tartozik tükörszimmetrikus alak, melyek az N elemű konzolos eset leágazásaihoz tartozó konfigurációkból származtatható alakok. Így e pontban tárgyalt konzolos esetnél pontosan N leágazás van a triviális egyensúlyi útról, melyekhez pozitív kritikus terhek tartoznak. Az is világos ezek után, hogy miért nem találtunk a 2.2.2. alpontban a szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramján a triviális egyensúlyi utak elágazásairól további elágazásokat. A bevezető 1.1.2. pontjában említettük, hogy a vízszintes erővel a görgős támasznál terhelt kéttámaszú rugalmas rúdláncnál páratlan elemszám esetén nincs a triviális útról leágazott utaknak további elágazása [27], ezekhez az utakhoz pedig egyértelműen hozzárendelhetők a konzolos eset triviális útról való leágazásai. A kompatibilitási feltétel (2.35) alakú felírása arra is alkalmas, hogy az α 0 kezdőszögre egy felső korlátot adjunk a λ teher függvényében. A kompatibilitási feltételt kifejthetjük pusztán α 0 függvényeként (2.39) és (2.40) összefüggéseket folytatva (2.34) alapján. A szinuszfüggvényeket legnagyobb amplitúdójukkal számba véve arra jutunk, hogy N elemszám és α 0 > 0 esetén valamely λ teher alatt N α 0 λ j α 0 j=1 N(N + 1) λ 2 értékénél létezhetnek megoldások. A tartomány határát, melyen belül megoldás nem lehetséges és a bifurkációs diagramot N = 3 elemű rúdlánc esetén a 2.22. ábra mutatja. 49
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.22. ábra. Az N = 3 elemű, szabad végén vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs diagramja és a α 0 /6 λ α 0 /6 taromány, melyen belül megoldás nem lehetséges Most már lehetőségünk van arra, hogy adott N elemszám esetén rögzített λ teherparaméter mellett ne csak α 0 egy adott tartományán vett, hanem az összes megoldást összeszámláljuk. Ezt a 2.23 ábra mutatja log-log diagramon különböző N elemszámok esetére. Az eredményekre legjobban illeszkedő egyenesek S λ N összefüggést mutatnak. Megjegyezzük, hogy az α 0 [0,π] tartományban vizsgálódva a 2.19 ábrán látható S λ N 1 összefüggést mértük. A különbség egy λ szorzó, ami a határ λ-tól lineárisan függő volta miatt bukkant fel. 2.4.2. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes erő a csuklókon A 2.2.2. pontban tárgyalt, 2.15. ábrán látható, csuklóin vízszintes erővel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkáció-analízisét csak statikai mószerrel végezzük el. Az egyensúlyi helyzetek számítására felírt egyensúlyi, geometriai és anyagegyenletekből származtatott (2.22) leképezés x i és y i változóival nem foglalkozunk, a kompatibilitási feltétel számításánál nem lesz rájuk szükség, így elég a vizsgálatokat (2.22) második, harmadik és negyedik egyenleteire korlátozni. Írhatjuk (2.22) negyedik egyenletét az alábbi formában is: Ezt felhasználva (2.22) ötödik egyenlete w i = λ v i = (i + 1)λ. i (j + 1) sinα j j=0 50
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK S 10 5 10 4 10 3 N=4 λ 4 λ 3 N=3 λ 2 N=2 10 2 10 1 λ 1 N=1 10 100 1000 λ 2.23. ábra. A megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében a szabad végén vízszintes erővel terhelt, N = 1, 2, 3, 4 elemű, konzolos rugalmas rúdláncoknál alakú lesz, amivel (2.22) harmadik egyenletét az i 1 α i = α i 1 λ (j + 1) sinα j (2.43) j=0 alakra hozhatjuk, ami i = N esetén a kompatibilitási feltételt adja, ha zérussal egyenlő. Egy egyensúlyi helyzet bifurkációs pont is, ha ott (2.43) i = N értéknél vett α 0 szerinti deriváltja zérust ad: dα N = dα N 1 N 1 dα j λ (j + 1) cosα j = 0. (2.44) dα 0 dα 0 dα 0 j=0 Az α j 0 triviális egyensúlyi úton cos α j 1, így az ott lévő elágazási pontokban a (kritikus) teherparaméter értékét a dα N = dα N 1 N 1 λ (j + 1) dα j dα 0 α0 =0 dα 0 α0 =0 dα 0 α0 =0 j=0 (2.45) polinom gyökei adják meg. Egyelemű rúdláncnál tehát a triviális út elágazási pontja(i) a míg kételemű rúdláncnál a dα 1 = 1 λ, dα 0 α0 =0 dα 2 = 1 4λ + 2λ dα 0 α0 2 =0 51
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK polinom gyöke(i). Ezek szerint egyelemű rúdláncnál egy elágazás van a λ kr = 1 pontban, kételemű rúdláncnál pedig kettő elágazás van a λ kr1 = 1 2/2, λ kr2 = 1+ 2/2 pontokban a triviális egyensúlyi úton. Az előző pontban bemutatott gondolatmenetet követve teljes indukcióval belátható, hogy (2.45) N-ed fokú teljes alternáló polinom, így a Descartes-féle előjelszabály következtében nincs negatív gyöke. Leágazás tehát itt is csak nyomóerő mellett, legfeljebb N pontban lehetséges. 2.4.3. Konzolos rugalmas rúdlánc, vízszintes megoszló teher A 2.2.2. pontban tárgyalt, 2.8. ábrán látható, vízszintes megoszló teherrel terhelt, konzolos rugalmas rúdlánc bifurkációs pontjait a statikai módszerrel számítjuk. Energetikai vizsgálatot itt nem is végezhetnénk, lévén a teher nemkonzervatív. Az egyensúlyi helyzetek számítására felírt (2.20) leképezés x i, y i változóival nem kell foglalkoznunk, az egyensúly és a bifurkáció feltételei nélkülük is megfogalmazhatók. A vizsgálatokat így (2.20) harmadik, negyedik és ötödik egyenleteire korlátozzuk. Írhatjuk (2.20) negyedik és ötödik egyenleteit a következő formában is: i v i = λ sin α j, j=0 w i = v i 1 sin α i + λ 2 i sin α j sin α j. j=0 A fenti két egyenletet összevonva: w i = λ 2 i i 1 sin α j sin α j + λ sin α i sin α j. j=0 j=0 Behelyettesítve a fenti összefüggést (2.20) második egyenletébe a rúdlánc-szeletekre felírt nyomatéki egyenleteket kapjuk. Az i = N-edik egyenlet a kompatibilitási feltétel: α N = α N 1 λ 2 N 1 j=0 N 2 sin α j sin α j + λ sin α N 1 j=0 sin α j, (2.46) mely az egyensúlyi út pontjaiban zérust ad. Például N = 1 elem esetén (2.46) az alábbi: α 1 = α 0 λ 2 sin α 0 sin α 0. (2.47) Egy egyensúlyi helyzet bifurkációs pont, ha ott a kompatibilitási feltétel α 0 szerinti deriváltja zérust ad. A derivált előállításakor korlátozzuk az értelmezési tartományt: α i ( π,π) minden i-re. Ez a triviális úton lévő elágazások vizsgálatához elégséges. Deriválva a (2.46) 52
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK kompatibilitási feltételt α 0 szerint, a korlátozott tartományon az alábbi összefüggés adódik: ahol dα N dα 0 = dα N 1 dα 0 λ 2 λ N 2 j=0 ( N 1 j=0 ( ) dα j dα j cos α j sin α j + sin α j sgn α j cos α j dα 0 dα 0 ) dα N 1 dα j cos α N 1 sin α j + sinα N 1 sgnα j cos α j, dα 0 dα 0 1 ha x > 0, sgnx = 0 ha x = 0, 1 ha x < 0. (2.48) Mivel (2.48)-ben abszolútérték és előjelfüggvény is van, ellenőrizni kell, hogy létezik-e a derivált a kérdéses α 0 pontban. Ehhez jobbról és balról tartva α 0 -hoz ugyanazt a határértéket kell kapjuk a függvény értékére. Mivel az α 0 0 triviális egyensúlyi úton α j 0 minden j-re, ott sin α j 0 és cos α j 1 és (2.48) az alábbi egyszerű alakot ölti: ami alapján dα N = dα N = dα N 1, dα 0 α0 =+0 dα 0 α0 = 0 dα 0 α0 =0 dα N 1 = dα N 2 = = dα 1. dα 0 α0 =0 dα 0 α0 =0 dα 0 α0 =0 A fenti derivált a (2.47) összefüggésből számítható, balról és jobbról tartva az α 0 = 0-ba ugyanazt a határértéket adja, tehát létezik, értéke pedig: dα 1 = dα 1 = 1. dα 0 α0 =+0 dα 0 α0 = 0 Ez persze csak akkor igaz, ha dα j /dα 0 nem divergál. Ezt ezek után könnyen ellenőrizhetjük, ugyanis (2.47) alapján dα 1 /dα 0 1 a feltételtől függetlenül teljesül, (2.48) alapján pedig dα 2 /dα 0 1, dα 3 /dα 0 1,, dα N /dα 0 1 adódik. A triviális egyensúlyi úton tehát az elemszámtól függetlenül egyetlen elágazás sincs, mivel ott (2.48) zérus nem lehet, értéke a rúdelemek számától függetlenül azonosan egy. 53
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.4.4. Támaszvonalában terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc A teljesség kedvéért tárgyaljuk a bevezető 1.1.2. pontjában bemutatott, kéttámaszú, támaszvonalában terhelt rugalmas rúdlánc bifurkációs pontjainak számítását is a statikai vizsgálattal. Az egyensúlyi, geometriai és anygagegyenletekből származtatott (1.3) leképezés lényegében megegyezik a vízszintes erővel a szabad végén terhelt, konzolos rugalmas rúdláncnál kapott (2.21) leképezéssel, csak a kompatibilitási feltétel különbözik, mely (2.21) második egyenletéből i = N helyettesítéssel kapható: y N = N 1 j=0 sin α j. (2.49) Egyensúlyi állapotban (2.49) zérust ad. Egy egyensúlyi helyzet bifurkációs pont is, ha ott a (2.49) kompatibilitási feltétel α 0 szerinti deriváltja zérust ad: N 1 dy N dα j = cos α j = 0, dα 0 dα 0 j=0 ahol dα j /dα 0 (2.37) szerint képezhető N = j helyettesítéssel. A triviális α j 0 egyensúlyi úton cos α j 1 minden j-re, vagyis az ott lévő elágazási pontokban a teherparaméterek a dy N 1 N dα j = dα 0 α0 =0 dα j=0 0 α0 =0 (2.50) polinom gyökei, melyben dα j /dα 0 α0 (2.38) alapján számítható. Egyelemű esetben csak a triviális egyensúlyi helyzet létezik. Két- illetve háromelemű rúdlánc esetén (2.50) a illetve a dα 2 = 2 λ, dα 0 α0 =0 dα 3 = 3 4λ + λ dα 0 α0 2 =0 alakot ölti. Tehát kételemű rúdlánc esetén egy leágazás van a triviális útról a λ = 2 pontban, háromelemű rúdlánc esetén pedig két leágazás van a λ 1 = 1, λ 2 = 3 pontokban. Nézzük meg a (2.50) feltételt alaposabban! Az összegzésben szereplő dα j /dα 0 α0 =0 polinomról a 2.3. szakaszban megmutattuk, hogy j-ed fokú teljes alternáló polinom. Azt is beláttuk, hogy összegük különböző j értékekre is teljes alternáló polinom. Tehát (2.50) egy N 1-ed fokú teljes alternáló polinom. A Descartes-féle előjelszabályból következik, hogy a polinomnak nem lehet negatív gyöke. Így az N elemű, görgős támasznál vízszintes erővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdláncnál a triviális útról leágazás csak nyomóerő mellett, legfeljebb N 1 pontban lehetséges. Erre az esetre, mint említettük, energetikai módszerrel már bizonyították, hogy N 1 elágazás van a triviális útról [15]. Tehát (2.50) polinomnak N 1 különböző pozitív gyöke van. 54
2. EJEZET. RUGALMAS RÚDLÁNCOK 2.4.5. Követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc A 2.1. szakaszban tárgyalt, követőerővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc egyensúlyi helyzeteit szolgáltató peremérték-feladat leképezését a λ λ cos α 0 helyettesítéssel származtathattuk a vízszintes erővel terhelt, kéttámaszú rugalmas rúdlánc (1.3) leképezéséből, ami lényegében megegyezik a konzolos, vízszintes erővel a szabad végén terhelt rúdláncra kapott (2.21) leképezéssel. Az egyensúlyi egyenleteket így megkaphatjuk a (2.34) összefüggésből is a λ λ cos α 0 helyettesítéssel: i 1 α i = α i 1 λ cos α 0 sin α j. (2.51) A kompatibilitási feltételt (2.49) adja. Ennek α 0 szerinti deriváltját (2.50) szerint képezzük, melyben (2.51) összefüggést kihasználva dα j = dα j 1 λ dα 0 dα 0 ( cosα 0 j 1 k=0 j=0 ) j 1 dα k cos α k sin α 0 sin α k dα 0 k=0 (2.52) adódik. Mivel a triviális egyensúlyi úton cosα i 1, sin α i 0, ott (2.52) és (2.37) megegyezik, vagyis a leágazások száma és helye a vízszintes erővel terhelt kéttámaszú rúdláncokra a 2.4.4. pontban elmondottakkal azonos. (Ez következik abból is, hogy a két diagram topológiailag ekvivalens.) Kimondható ezek alapján az értekezés 4. tézise: 4. tézis. Megmutattam, hogy egy terheletlen állapotban vízszintes, N elemű rugalmas rúdlánc triviális egyensúlyi útja konzolos esetben a szabad végen ható vízszintes erő alatt nyomóerőnél, pontosan N a csuklókon ható azonos nagyságú vízszintes erők alatt nyomóerőnél, legfeljebb N vízszintes megoszló erő alatt zérus kéttámaszú esetben a görgős támasznál működő követőerő hatására nyomóerőnél, pontosan N 1 pontban ágazik el. 55
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK 3. fejezet Rugalmas rúdhálók Láttuk, hogy a rugalmas rúdláncok kihajlását leíró peremérték-feladatok disszipációtól mentes kezdetiérték-feladatoknak feleltethetők meg, ahol a diszkrét ívhossz (a rúdelemek száma) szerepét a diszkrét idő (időlépések száma) veszi át. A topologikus entrópia segítségével megmutattuk, hogy a térben kaotikus viselkedést a megoldások számának növekedési üteme és a rúdlánc rúdelemeinek N száma közötti kapcsolat határozza meg. elmerül a kérdés, hogy hogyan jelenik meg térbeli káosz olyan diszkrét mechanikai rendszereknél, melyeknek kiterjedése kettő vagy több (diszkrét) térbeli változóval jellemezhető. Ebben a fejezetben erre keressük a választ egy két lényeges térbeli kiterjedésű diszkrét mechanikai modell, a rugalmas rúdháló síkbeli kihajlásvizsgálatán keresztül. A rugalmas rúdháló terheletlen állapotban egy l oldalhosszú, merev rudak alkotta síkbeli négyzetháló. A rudak a csomópontokban csuklókkal kapcsolódnak egymáshoz, és ρ merevségű spirálrugókkal vannak összekötve a 3.1. ábrán látható módon. A továbbiakban a kezdetben függőleges elemeket oszlopoknak, az egymás felett lévő oszlopokat oszlopsornak, a kezdetben vízszintes elemeket gerendáknak, az egymás mellett lévő gerendákat pedig gerendasornak (vagy szintnek) fogjuk nevezni. Jelölje az oszlopsorok számát M, a gerendasorok számát N. A szerkezetet megtámasztva és terhelve a gyűrődés egy egyszerű síkbeli modelljét kapjuk. Gyakorlati szempontból a modellt rugalmas keretszerkezetek globális stabilitásvizsgálatára lehet használni (feltéve, hogy a kapcsolatok jóval lágyabbak a gerendáknál és az oszlopoknál), csak síkban történő kihajlás számbavételével. Ekkor a spirálrugók a rugalmas kapcsolatokat modellezik. A szerkezet alkalmas csak nyírási deformációra képes rúd egyensúlyának és stabilitásának diszkrét modellezésére is a triviális egyensúlyi út elemien kicsiny környezetében. Ennek bővebb magyarázatára a 3.4. szakaszban visszatérünk. A rugalmas rúdhálót különböző terhelés alatt és megtámasztás mellett vizsgálhatjuk. Az értekezés keretében csak egyirányú, statikus terheléssel foglalkozunk. A fő kérdés az, hogy miként függ a megoldások száma a tartomány méreteitől: a gerendasorok N és az oszlopsorok M számától. Exponenciális-e a megoldások növekedési üteme, és ha igen, az exponensben miként jelennek meg a tartomány kiterjedéseit jellemző N és M mennyiségek? Az egyensúlyi helyzetek számításán túl a triviális egyensúlyi út elágazását és az ott lévő katasztrófa típusát is meghatározzuk bizonyos esetekben. A továbbiakban csak az M > 1 és N > 1 esetekkel foglalkozunk, mivel M = 1 vagy N = 1 esetén a szerkezet rúdlánccá fajul, amit [41] részletesen tárgyal. 56
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK N l j N 1 ρ l j 1 1 1 i i M 1 M 3.1. ábra. A rugalmas rúdháló mechanikai modellje 3.1. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló A 3.1. ábrán látható rugalmas rúdhálót felső és alsó csomópontjain terheljük statikus, konzervatív, nagyságú, függőleges hatásvonalú erőkkel. Az erők pozitív értelem esetén a felső csomópontokon lefelé, az alsókon fölfelé mutatnak. A megtámasztást a bal alsó (1 jelű) csomópontnál lévő fix csukló képzi, tehát a 3.2. ábrán látható szerkezet statikailag túlhatározott. Csak azokat a konfigurációkat vesszük számításba, melyeknél a négyzetek rombuszokká torzulnak és az egymás felett (ill. mellett) lévő, kezdetben vízszintes (ill. függőleges) elemek párhuzamosak maradnak. Nem foglalkozunk az olyan konfigurációkkal, melyeknél a rúdháló két irányban összecsukódik. Ez alatt azt értjük, hogy a rúdhálót össze lehet csukni az egyik irány mentén úgy, hogy az összes rúdelem egy egyenesbe essék. Ezt nevezzük egyirányban összecsukott állapotnak. Az egyirányban összecsukott rúdhálót összecsukhatnánk a másik irány mentén is, mint egy colostokot. Ezekkel a két irányban (részben vagy teljes egészben) összecsukott állapotokkal nem foglalkozunk. A terheletlen állapotban egymás felett (mellett) lévő vízszintes gerendák (függőleges oszlopok) a terhelés során párhuzamosak maradnak. Az i-edik gerenda vízszintessel bezárt szögét α i, a j-edik oszlop függőlegessel bezárt szögét β j jelöli. Az óramutató járásának megfelelő elfordulásokat tekintjük pozitívnak. Egy M N-es rugalmas rúdháló geometriailag lehetséges elmozdulásrendszerét így M + N 2 szögváltozóval (M 1 darab α i és N 1 darab β j ) és a konstans l hosszal tudjuk megadni. A továbbiakban a szögekre az α = [α 1, α 2,, α M 1 ], β = [β 1, β 2,, β N 1 ] vektoros jelölést használjuk az összefüggések tömörebb felírása érdekében. Először az egyensúlyi helyzetek számításához szükséges egyenleteket írjuk fel a teljes potenciális energia stacionaritási tételével. Az egyenletek megoldásaiban rejlő globális szimmetriák tárgyalását követően a potenciális energia második parciális deriváltjaiból felírt Hesse- 57
j 3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK N α i β j l ρ 1 1 1 i M 3.2. ábra. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló mátrix vizsgálatával a bifurkáció feltételét fogalmazzuk meg. A triviális egyensúlyi úton lévő elágazásokat részletesen tárgyaljuk, beleértve az elágazási pontban a teljes potenciális energia függvényének katasztrófaanalízisét is. Kisebb rúdhálók esetén az egyenleteket analitikusan, nagyobb méret esetén numerikusan oldjuk meg. A megoldások számát a rúdháló méretének függvényében numerikusan mérjük a teher különböző rögzített értékeire. Bemutatjuk az egyensúlyi utak számításának módját, és kisebb méretű rúdhálókra meg is szerkesztjük a bifurkációs diagramokat. 3.1.1. Egyensúlyi egyenletek A 3.2. ábrán látható szerkezet teljes potenciális energiája: V tot (α,β;) = 2ρ M 1 i=1 N 1 (α i β j ) 2 + Ml j=1 N 1 j=1 cos β j. A vizsgálatok során dimenziótlan egyenleteket szeretnénk használni, ennek érdekében a (3.1) függvényt elosztjuk a ρ rugómerevséggel. Mivel csak pozitív rugómerevséggel foglalkozunk, a dimenziótlanítás nem változtatja meg a potenciálisenergia-függvény stacionárius és kritikus 58
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK pontjainak helyét, valamint azok típusát sem. A λ = l/ρ dimenziótlan teherparaméter bevezetésével a dimenziótlan alak az alábbi: V (α,β;λ) = 2 M 1 i=1 N 1 (α i β j ) 2 + Mλ j=1 N 1 j=1 cosβ j. (3.1) Egyensúlyi helyzetben a teljes potenciális energia stacionárius, vagyis az α, β elmozdulásjellegű változók szerinti parciális deriváltjai zérust adnak: N 1 V (α,β;λ) = 4(N 1)α i 4 β j = 0, i = 1,,M 1, (3.2) α i j=1 M 1 V (α,β;λ) = 4(M 1)β j Mλ sin β j 4 α i = 0, j = 1,,N 1. (3.3) β j Nézzük a fenti egyenletek fizikai tartalmát! A 3.3 a) ábrán látható, csuklóktól elválasztott i-edik rúdelemekre ható, rúdtengelyre merőleges kapcsolati erők az ábra jelöléseivel: T 1 = 2ρ(α i β 1 )/l, T j = 2ρ(α i β j )/l + 2ρ(α i β j 1 )/l, (j = 2,,N 1), valamint T N = 2ρ(α i β N 1 )/l. Ezek összege dimenziótlanítás (a ρ rugómerevséggel való osztás és az l hosszal való szorzás) után (3.2) i-edik egyenletét adja. Tehát (3.2) az i-edik rúdháló-szelet csuklóktól elválasztott rúdelemeinek tengelyeire merőleges, t irányú vetületi egyenlete. A 3.3 b) ábrán látható, csuklóktól elválasztott j-edik rúdelemekre ható, rúdtengelyre merőleges kapcsolati erők az ábra jelöléseivel: T 1 = 2ρ(β j α 1 )/l, T i = 2ρ(β j α i )/l + 2ρl(β j α i 1 )/l, (i = 2,,M 1), valamint T M = 2ρ(β j α M 1 )/l; a külső erők lekapcsolt rudakra merőleges vetülete pedig M sin β j. Ezen vetületek összege dimenziótlanítva megegyezik (3.3) j-edik egyenletével, ami ezek szerint a j-edik rúdháló-szelet csuklóktól elválasztott elemeinek tengelyeire merőleges, r irányú vetületi egyenlete. A terhelő M darab erőpárt mindegy, hogyan osztjuk el a szerkezeten, a potenciális energián az nem változtat. Ugyanazok az egyensúlyi helyzetek például akkor is, ha a felső csomópontokra ható összes erőt a jobb felső, az alsó csomópontokra hatókat pedig a jobb alsó csomópontra tesszük. Így az általunk vizsgált tehereloszláshoz talált egyensúlyi helyzetek végtelen sok másik terhelési esetnek is megoldásai! Az egyensúlyi egyenleteket tovább egyszerűsíthetjük, ha kifejezzük (3.2) egyenleteiből az α i változókat: i=1 α i = 1 N 1 β j, i = 1,,M 1. (3.4) N 1 j=1 Ezek szerint minden gerenda dőlésszöge azonos, értéke az oszlopok dőlésszögeinek átlaga. A gerendasorok egymással párhuzamos egyenesek. Helyettesítsük be az α i -re kapott (3.4) összefüggéseket (3.3) egyenleteibe, és osszuk el 4(M 1)-gyel! Az így kapott egyenletrendszer: β j Mλ 4(M 1) sin β j 1 N 1 β l = 0, j = 1,,N 1. (3.5) N 1 l=1 59
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK T N a) α i i+1 N l 1 b) i α i M t T j ρ j l β j β j T 1 j+1 j ρ T i T M T 1 i 1 r 3.3. ábra. Az egyensúlyi egyenletek fizikai tartalma: rúdháló-szeletek vetületi egyenletei A további vizsgálatokhoz ezt az N 1 (formailag azonos) egyenletből álló, N 1 ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert fogjuk használni. Ha a (3.5) egyenletek 4(M 1)-szereseit összegezzük (vesszük a független egyensúlyi egyenletek egy lineáris kombinációját), a fix csukló körüli nyomatéki egyenlet dimenziótlan alakját kapjuk: sin β j = 0. (3.6) N 1 Mλ j=1 Azaz vagy λ = 0 (a terheletlen konfiguráció merevtest-szerűen elfordul a fix csukló körül), vagy a bal felső csomópont vízszintes eltolódása zérus. elhasználva, hogy minden α i kifejezhető β függvényeként, a teljes potenciális energia is felírható csupán a β szögváltozók és a λ teherparaméter függvényében. Visszahelyettesítve a (3.4) kifejezést (3.1) függvénybe, és kifejtve azt, a teljes potenciális energia: ( N 1 V (β;λ) = 2(M 1) βj 2 1 N 1 ) 2 β j + Mλ N 1 j=1 j=1 N 1 j=1 cosβ j. (3.7) A potenciális energia fenti, csak a λ teherparamétert és a β szögváltozókat tartalmazó alakját fogjuk használni a bifurkációanalízisnél és a katasztrófapont vizsgálatakor. Könnyen ellenőrizhető, hogy (3.7) β j szerinti parciális deriváltjai 4(M 1)-gyel osztva a (3.5) egyenletrendszert adják. 60
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK 3.1.2. Globális szimmetriák Tegyük fel, hogy β = [β 1, β 2,, β N 1 ] egyensúlyi helyzet valamilyen λ teherparaméter mellett! Jelöljön π egy olyan N 1 elemű vektort, melynek minden eleme π. Visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy A) β + π is megoldása λ mellett, B) β is megoldása λ mellett, C) β + π is megoldása λ mellett, D) β tagjai tetszőlegesen felcserélve is megoldásai λ mellett a (3.5) egyenletrendszernek. Az A) szimmetria-tulajdonság 180 -os forgási szimmetria a geometriai térben és eltolási szimmetria a β változók terében. A B) szimmetria-tulajdonság tükörszimmetria a támaszon átmenő függőleges tengelyre a geometriai térben és forgási szimmetria a β változók terében. A C) szimmetria-tulajdonság tükörszimmetria a támaszon átmenő függőleges tengelyre a geometriai térben ezt az A) és a B) szimmetriákat egymás után végrehajtva is megkaphatjuk. A D) szimmetria-tulajdonság a legérdekesebb. E szerint egy megoldás szögváltozóinak tagjaiból képzett (ismétléses vagy ismétlés nélküli) permutációk is megoldások, ekkor csak az egyenletek sorrendje változik. Abban az esetben, ha β tagjai különbözőek, ismétlés nélküli permutációval egyből (N 1)! megoldást állíthatunk elő. Ha vannak egyezők β tagjai között, akkor ismétléses permutációról van szó. Ezt a továbbiakban permutációs szimmetriának hívjuk. Az A), B), C) és D) szimmetriák nagy elmozdulásokra is érvényesek, tehát globális szimmetriák. Egy egyensúlyi konfigurációból a fenti szimmetria-tulajdonságok segítségével előállítható további egyensúlyi konfigurációkat mutat a 3.4. ábra. 3.1.3. Bifurkációanalízis Ha egy egyensúlyi helyzetben a teljes potenciális energia (3.7) függvényének β változók szerinti második parciális deriváltjaiból képzett Hesse-mátrix determinánsa zérus, akkor ott a teljes potenciális energia függvényének degenerált kritikus pontja van [47]. Ez azt jelenti, hogy ott az egyensúlyi útnak vízszintes érintője vagy elágazási pontja van. A Hesse-mátrix (3.7) β szerinti második parciális deriváltjaiból: H N 1 = a Mλ cos β 1 b b b b a Mλ cos β 2 b b b b b a Mλ cos β N 1, (3.8) ahol a = 4(M 1)(N 2)/(N 1), b = 4(M 1)/(N 1). A Hesse-mátrix az egyensúlyi helyzetek stabilitásának vizsgálatára is használható. Egy egyensúlyi helyzet stabilis, ha ott a Hesse-mátrix pozitív definit, azaz minden sajátértéke pozitív [47]. 61
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ A) B) C) λ λ λ λ λ Eredeti geometria λ D) λ 3.4. ábra. A bal oldalon látható (fiktív) egyensúlyi konfigurációból továbbiak származtatása az A), a B), a C) és a D) szimmetria-tulajdonságok használatával. A C) az A) és a B) transzformációkat egymás után végrehajtva adódik. A D)-nél most ismétléses permutációról van szó. A (3.5) egyenletrendszer triviális megoldása β 0 bármely λ mellett. Keressük meg a triviális egyensúlyi út elágazásait! Mivel a triviális úton cos β j 1 (j = 1, 2,,N 1), a (3.8) Hesse-mátrix ott az alábbi egyszerű alakot ölti: H t N 1 = a Mλ b b b b a Mλ b b b b b a Mλ. (3.9) Látható, hogy a determináns zérus, ha b = a Mλ, ekkor minden sor azonos, a mátrix rangcsökkenése N 2. A determináns szabatos matematikai kifejtését Németh Róbert munkája nyomán közöljük. A (3.9) mátrixot felírhatjuk az alábbi teli és diagonális mátrixok összegeként: H t N 1 = bj N 1 + (a Mλ b)e N 1, ahol J N 1 olyan (N 1)-ed rendű mátrix, melynek minden eleme 1, míg E N 1 az (N 1)- ed rendű egységmátrix. A bifurkáció feltétele, hogy H t N 1 determinánsa zérus legyen: det(h t N 1 ) = 0. Ha ezt a determinánst úgy fejtjük ki, hogy kiemelünk Ht N 1 minden eleméből b-t, akkor a det(h t N 1) = b N 1 det(j N 1 ΛE N 1 ) 62
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK összefüggést kapjuk, ahol Λ = N 1 Mλ 2c. Mivel b 0, det(h t N 1 ) = 0 csak akkor teljesülhet, ha Λ a J N 1 mátrix sajátértéke. Ezen sajátértékek meghatározása az A. függelékben, az A.2. szakaszban található. A sajátértékek és a triviális út elágazási pontjai az alábbiak: Λ = N 1. Egyszeres gyök, amiből λ kr1 = 0. A hozzá tartozó nemtriviális alak a terheletlen rúdháló merevtest-szerű körbefordulása a fix csukló körül. Λ = 0. (N 2)-szeres gyök, amiből λ kr2 = 4(M 1)/M. A terhelés során fellépő egyetlen elágazás helye. A (3.7) függvénynek a β 0, λ = λ kr2 pontban degenerált kritikus pontja van [47], mert ott gradiense és Hesse-mátrixának determinánsa is zérus, utóbbi defektusa N 2. A λ kr2 kritikus teherparaméternek az értéke csak a rúdháló M oszlopsorainak számától függ, és M növekedtével 4-hez tart alulról. A következő pontban ezt a kritikus pontot vizsgáljuk tovább a katasztrófaelmélet eszközeivel. A terhet a nemzérus λ kr2 teherparamétertől kicsit növelve kihajolhatnak az oszlopok. Piciny szögek esetén β j sin β j, tehát (3.6) szerint N 1 j=1 β j 0. Ebből (3.4) alapján az következik, hogy az oszlopok vízszintes gerendák mellett hajolnak ki, az elágazás kicsiny környezetében a gerendák vízszintesek. A fix megtámasztású és a jobb felső csomópont helyben marad, míg a közbenső gerendasorok egyszerre vesztik el a stabilitásukat, és lendülhetnek ki tetszőlegesen jobbra vagy balra. 3.1.4. Katasztrófaanalízis A szétválasztási tétel [47, 61] kimondja, hogy ha az f : R n R vektor-skalár függvény Hesse-mátrixának rangja n k egy stacionárius pontban (tehát e pont degenerált kritikus pont), akkor a függvény e pontjának környezete ekvivalens a g : R k R és a h : R n k R függvény összegével (f és g + h stacionárius pontjainak száma és típusa megegyezik az adott környezetben), ahol h Morse-függvény (±x 2 1 ± x 2 2 ± ± x 2 n k alakú), a g polinomnak pedig nincsenek első- és másodfokú tagjai. A g függvény k darab változóját aktív változóknak, a h függvény n k darab változóját passzív változóknak nevezzük. Az eredeti f függvény szinguláris pontjának minden lényeges tulajdonságát a g függvény hordozza magában. Elegendő a függvény Taylor-sorának egy bizonyos fokszámig terjedő részét vizsgálni, a szétválasztást is eddig a fokszámig kell elvégezni. A szétválasztás után a g függvény alakjából a katasztrófa típusa Thom tétele alapján meghatározható [47, 61]. Az előző pontban megmutattuk, hogy a (3.7) függvénynek N > 2 esetén β 0, λ = λ kr2 degenerált kritikus pontja. A szétválasztás lépéseit a negyedfokú tagokig az A. függelékben, 63
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK az A.3. szakaszban közöljük. A potenciális energia (3.7) függvénye a degenerált kritikus pontban negyedfokig sorbafejtve az alakra hozható a v 1 f(v) = v 2 1 + = N 1 c β j + c3/2 (N 1) 2 48(1 M) j=1 + M 1 3 c ( N 1 j=1 ) 2 N 1 β j k=2 N 1 k=2 v 4 k + ( N 1 j=1 β k 3 2 M 1 v l = 4 β l, l = 2, 3,,N 1 3! ( N 1 k=2 β j ) 3 + N 1 j=1 v k ) 4 (3.10) ( N 1 β j k=2 β k ) 2 + ( N 1 k=2 ) 3 β k, új változók bevezetésével. Megjegyezzük, hogy a függvény további például tökéletlenségérzékenységi vizsgálatához nem feltétlenül elegendő azt a negyedfokig sorbafejtve vizsgálni, ehhez be kéne látni, hogy az négydeterminált. Vizsgáljuk meg a levezetett (3.10) függvényt N különböző értékeire! N = 2 esetén λ kr1 = 0 az egyetlen kritikus pont, így erre az esetre a vizsgálat nem érvényes. N = 3 esetén f(v) = v 2 1 + 2v 4 2, ami Thom tétele [47] alapján standard csúcskatasztrófa. (Csúcskatasztrófa pontja van egy függvénynek, ha g = ±(u 4 1 + t 2 u 2 1 + t 1 u 1 ) alakra hozható.) N = 4 esetén f(v) = v 2 1 + 2v 4 2 + 4v 3 2v 3 + 6v 2 2v 2 3 + 4v 2 v 3 3 + 2v 4 3 = v 2 1 + 2(v 2 2 + v 2 v 3 + v 2 3) 2, ami [47] alapján kettőscsúcs-katasztrófa, annak a 12-es alosztálya 1. (Kettőscsúcskatasztrófa típusú pontja van egy függvénynek, ha g = au 4 1+4bu 3 1u 2 +6cu 2 1u 2 2+4du 1 u 3 2+ eu 4 2 alakra hozható.) N > 4 esetén az előzőeket általánosítva azt mondhatjuk, hogy (N 2)-es csúcskatasztrófa van a triviális út elágazási pontjában. 1 A kettőscsúcs-katasztrófának 15 alosztálya van a gyökszerkezettől függően. Vannak olyan alosztályai például a 12-es és a 13-as ahol a megzavarás hatása nem vizsgálható a negyednél magasabb fokú tagok nélkül. Gáspár [30] mutat egy n rugóval kikötött oszlopot, melynél n > 4 rugó esetén a kettőscsúcs-katasztrófa 13- as alosztálya jön létre, és n értékétől függően tetszőleges számú egyensúlyi út keletkezhet. Így ennek további, tetszőleges számú al-alosztálya lehet. 64
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK 3.1.5. Kisebb méretű rúdhálók egyensúlyi helyzetei analitikus megoldás Néhány egyszerűbb esetben (3.5) egyenletek analitikusan is megoldhatók. Az A) és B) szimmetria-tulajdonságokból adódó megoldásokat nem szükséges külön számítani, ezért elegendő a β 1 [0,π) tartományt vizsgálni, majd a globális szimmetriák alapján a illetve a β j β j + lπ, λ ( 1) l λ, j = 1, 2,,N 1, l = 1, 2,, β j β j, λ λ, j = 1, 2,,N 1 műveletekkel az összes β j megoldás származtatható. A gerendák α i szöge ezek után (3.4) összefüggésből számítható. Analitikus megoldás M = 2, N = 2 esetén Ebben az esetben (3.5) egyetlen egyenletből áll: λ 2 sin β 1 = 0, ami vagy λ = 0, vagy sin β 1 = 0 esetén teljesül. Előbbi a terheletlen rúdháló fix csukló körüli merevtest-szerű körbefordulását jelenti, ekkor bármely β 1 megoldás. Utóbbiból valamint (3.4) alapján β 1 = 0, α 1 = 0. A 3.1.3 pont eredményei szerint egy leágazás van a triviális egyensúlyi útról λ = 0-nál. A triviális egyensúlyi helyzetben H t 2 2 = 2λ, ami λ < 0 esetén pozitív (stabil, húzott konfiguráció), λ > 0 esetén negatív (instabil, nyomott helyzet). Az egyensúlyi utakat a β 1 [0,π] intervallumon a 3.5 a) ábra mutatja, néhány egyensúlyi konfigurációt a 3.5 b) ábra szemléltet. Analitikus megoldás M = 2, N = 3 esetén A (3.5) egyenletek ebben az esetben az alábbiak: β 1 2 λ 2 sin β 1 β 2 2 =0, β 2 2 λ 2 sin β 2 β (3.11) 1 2 =0. Összeadva a fenti egyenleteket: λ 2 (sin β 1 + sin β 2 ) = 0, tehát vagy λ = 0 (a terheletlen rúdháló merevtest-szerű elfordulása a fix csukló körül), vagy (sin β 1 + sinβ 2 ) = 0 (a bal felső csomópont a támasszal egy függőlegesbe esik). Utóbbi kétféleképp lehetséges: vagy β 2 = β 1 + 2kπ, vagy β 2 = β 1 + (2l + 1)π. Előbbit a geometriailag lehetséges megoldások (vagy csak röviden a megoldások) A), utóbbit a B) csoportjának fogjuk hívni. 65
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK λ 1 2 I 3 0 S π S I β 1 1 λ λ λ 2 λ 3 λ=0 λ=0 λ λ λ=0 a) b) 3.5. ábra. Egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramja (a) ábrarész, S jelöli a stabil, I az instabil utakat) és néhány egyensúlyi konfigurációja (b) ábrarész). M = 2, N = 2, λ kr = 0. A) csoport: β 2 = β 1 +2kπ. Ezt behelyettesítve (3.11) egyenletbe a β 1 -re vonatkozó alábbi összefüggés adódik: A gerenda szöge (3.4) alapján az oszlopok szögeinek átlaga: β 1 = λ 2 sin β 1 + kπ. (3.12) α 1 = kπ. A szimmetriából adódó megoldásokkal külön most sem foglalkozunk, ezért elég például a β 1 [0, 2π) tartományt vizsgálni λ 0 teherparaméter mellett. A k értékére λ függvényében adható alsó és felső korlát. A (3.12) egyenletnek a β 1 [0, 2π) tartományon k > 1 esetén tipikusan 2 megoldása van, ha 3π/2 kπ λ/2. Ez a 3.6 a) ábra alapján könnyen látható: az egységmeredekségű egyenesnek a λ/2 amplitúdójú, kπ-vel felfelé eltolt szinuszhullámmal az adott tartományon tipikusan 2 metszéspontja van. Ha k < 0, akkor π/2 λ/2 k π esetén van tipikusan 2 megoldás. Ez a 3.6 b) ábra alapján látható be. Így a k-ra tett korlátok: k max = k min = [ λ 2π + 3 ] = 1 + 2 [ λ 2π 1 ], 2 [ λ 2π + 1 ], 2 ahol [x] az x egészrészét jelenti. Minden k-hoz (beleértve a nullát is) tipikusan 2 megoldás tartozik. Kivétel a k = 1 és a k = 2, ezekhez 1 1 megoldás tartozik. Előbbinél a metszéspont β 1 = π, míg utóbbinál a β 1 (π, 2π) tartományon van. Viszont k = 0-hoz 2 megoldás rendelhető, így az A) esetbe tartozó megoldások száma jó közelítéssel (a hiba maximum 4), nagy λ teherparaméter esetén 2(k max + k min ), vagyis: S A 2 3(λ) 2 ( 1 + [ λ 2π + 1 2 ] + 66 [ λ 2π 1 ]) 2 [ ] 2λ. π
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK a) b) kπ λ/2 (β ) 1 π/2 λ/2 (β ) 1 λ/2 f 0 3π/2 f 0 kπ λ/2 0 π/2 π 3π/2 2π β 1 0 π/2 π 3π/2 2π β 1 3.6. ábra. A k-ra tett korlátok magyarázata. Az a) ábra k > 1, a b) ábra k < 0 értékekre vonatkozik. Ebbe a csoportba tartozó egyensúlyi utak megjelenési pontjaiban azok érintője vízszintes a (λ,β 1 ) síkon. Ekkor (3.12) teljesülésén túl az abból kifejezett λ(β 1 ) függvény β 1 szerinti deriváltja zérus. Ezen pontokban a teherparaméter valamint β 1 = tanβ 1 + kπ is kielégül. λ kra = 2 cos β 1, B) csoport: β 2 = β 1 + (2l + 1)π. Ezt behelyettesítve (3.11) egyenletbe a β 1 -re vonatkozó alábbi összefüggés adódik: A gerenda szöge (3.4) az oszlopok szögeinek átlaga: λ sin β 1 = (2l + 1)π. (3.13) α 1 = β 1 + lπ + π/2, vagyis a gerendák az oszlopokkal egy egyenesbe esnek. Ezek az egyensúlyi utak abból az állapotból indulnak ki, ahol az oszlopok és a gerendák is vízszintesek (a konstans egyenes a szinuszgörbét π/2 + lπ-nél érinti), vagyis a rúdháló egyirányban összecsukott állapotából. A teherparaméter növelésével az összecsukódott rúdháló elfordul valamelyik irányba a fix csukló körül a 3.9. ábrán látható módon. A szimmetriából adódó megoldásokat most sem vizsgáljuk, csak a β 1 [0, 2π), λ 0 tartományon vesszük számba az egyensúlyi helyzeteket. Az l értékére a λ függvényében adható alsó és felső korlát. Ha l > 0, akkor (3.13) egyenletnek λ > (2l + 1)π esetén 2 megoldása van β 1 [0, 2π)-n. Ez belátható a 3.7 a) ábra nyomán: ekkor az adott vízszintes egyenes 2 pontban metszi a λ amplitúdójú szinuszhullámot. Ha l < 0, akkor (3.13) egyenletnek λ > (2 l 1)π esetén is 2 megoldása van. Ennek belátása 67
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK a 3.7 b) ábra nyomán egyszerű. Így az l-re tett korlátok: [ λ l max = 2π 1 ], 2 [ λ l min = 2π + 1 ]. 2 Minden l-hez (beleértve a nullát is) tipikusan 2 megoldás tartozik, így az ebbe a csoportba tartozó megoldások száma megegyezik az A esetben kapott megoldások számával. a) b) (2l+1)π (β ) λ λ 1 f (β ) 1 f λ λ 0 0 (2l+1)π 0 π/2 π 3π/2 2π 0 π/2 π 3π/2 2π β 1 β 1 3.7. ábra. Az l-re tett korlátok magyarázata. Az a) ábra l > 0, a b) ábra < 0 értékekre vonatkozik. Az A és a B csoportba tartozó összes megoldások száma nagy λ teherparaméter esetén jó közelítéssel, az egészrész függvényt elhagyva: S 2 3 (λ) 4 λ. (3.14) π ontos kérdés az egyensúlyi utak stabilitása. Ehhez fel kell írni a (3.8) Hesse-mátrixot (a = 2, b = 2): ( ) 2 2λ cos β1 2 H 2 3 =. (3.15) 2 2 2λ cos β 2 Egy egyensúlyi állapot stabilis, ha ott a Hesse-mátrix minden sajátértéke pozitív. A sajátértékeket a Λ 2 2 [2 λ(cosβ 1 + cos β 2 )] Λ + 4 [ λ 2 cosβ 1 cos β 2 λ(cos β 1 + cos β 2 ) ] = 0 karakterisztikus polinom gyökei adják. Ezen gyökök az alábbi képletből számíthatók: Λ 1,2 = 2 λ(cosβ 1 + cos β 2 ) ± 4 λ 2 (cos β 1 + cos β 2 ) 2 4λ cos β 1 cos β 2 (3.16) 68
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Az A) esetben cos β 1 = cos β 2. Ekkor 3.16) mindkét gyöke pozitív, ha λ cos β 1 < 1 ± 1. Ezek alapján elmondhatjuk, hogy egy A) csoportba tartozó megoldás csak akkor stabilis, ha λ > 0 és cos β 1 < 0, vagy ha λ < 0 és cos β 1 > 0. A B) esetben cos β 1 + cos β 2 = 0. Ekkor 3.16) mindkét gyöke pozitív, ha 1 ± 1 + λ2 cos 2 β 1 > 0. Ez semmilyen λ,β 1 értékekre sem teljesül. Ebben a csoportban csak instabil megoldások vannak. Viszont az A) csoport útjainak stabilitása megváltozik a B) csoport útjaival való metszéspontokban. Az ilyen elágazásokat szokás szubkritikus vasvillabifurkációnak hívni: egy instabil út három felé ágazik el úgy, hogy két instabil ág vesz közre egy stabilt. λ 30 20 10 0 10 20 30 0 k= 4l= 5 l=4 k=6 k= 3 l= 4 l=3 k=5 k= 2 l= 3 l=2 k=4 k= 1 l= 2 l=1 k=3 k=0 m l= 1 l=0 k=2 l=0 k=0 k=1 k=0 l= 1 k=2 l=1 k=0 l= 2 l=2 k=3 k= 1 l= 3 l=3 k=4 k= 2 l= 4 l=4 k=5 k= 3 l= 5 π/2 π 3π/2 2π β 1 3.8. ábra. Egyirányban terhelt, M = 2, N = 3 méretű, egytámaszú rugalmas rúdháló bifurkációs diagramjának részlete a λ [ 30, 30], β 1 [0, 2π) tartományon. Az A) csoportba tartozó megoldások alkotta utakat k, a B) csoportba tartozókat l megfelelő értékei jelzik. A stabil egyensúlyi helyzeteket folytonos, az instabilakat szaggatott vonal köti össze. A merevtest-szerű körbeforduláshoz tartozó (indiferens) λ 0 út az m jelű pontvonal. A kritikus teherparaméterek: λ kr1 = 0, λ kr2 = 2. A bifurkációs diagramról részletet mutat a 3.8. ábra a λ [ 30, 30], β 1 [0, 2π) tartományon. A stabil egyensúlyi helyzetek alkotta egyensúlyi utakat folytonos, az instabilakat szaggatott vonal jelöli. Jól látszanak a szimmetriák: a teljes diagram előállítható, ha ismerjük azt a β 1 [0,π) tartományon, és végrehajtjuk az A) (π-vel való eltolás β 1 tengely mentén majd tükrözés a λ = 0 egyenesre), vagy D) (tükrözés a β 1 = π függőleges egyenesre) szimmetriatranszformációt. Az egyensúlyi utakon feltüntettük, hogy azok milyen k, illetve l értékhez tartoznak. Az A) csoportba tartozó minden egyes egyensúlyi út érintője vízszintes az egyensúlyi út és a λ = 2/ cos β 1 függvény metszéspontjában. Ezen utakról ágaznak le a B)-be tartozó egyensúlyi utak ott, ahol cosβ 1 = 0. Az elágazásoknál megváltozik az A) csoportba tartozó utak stabilitása. A merevtest-szerű elforduláshoz tartozó λ 0 utat m-mel jelölt pontvonal 69
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK mutatja. A triviális β 1 0 egyensúlyi út az A) csoport k = 0 értéknél vett triviális megoldása; látható ennek az A) szimmetria-tulajdonságból adódó mása, a β 1 = π egyensúlyi út is. A 3.9. ábra néhány egyensúlyi konfigurációt mutat példaként az A) és a B) esetekre. λ λ λ λ λ λ λ λ A) λ λ A), B) λ λ A) λ B) 3.9. ábra. Néhány egyensúlyi konfiguráció az A) és B) megoldásokra, M = 2,N = 3. Az A) eset k = 0-hoz tartozó nemtriviális egyensúlyi útjáról a rúdháló egyirányú összecsukódása folyamán leágazik a B) eset l = 1-hez tarozó egyensúlyi útja. Ennek a kis méretű, 2 3-as rúdhálónak a megoldásaiból nagyobb méretű rúdhálók speciális egyensúlyi konfigurációi is előállíthatók. Tekintsük ehhez a 3.10. ábrát! Az ábra bal felső részén egy 2 3-as, egyensúlyban lévő, felső csomópontjain P nagyságú erővel terhelt rúdhálót láthatunk, melyből M 1-et vízszintesen egymáshoz kapcsolva a jobb felső ábrarészen lévő M oszlopsoros, N = 3 gerendasoros rúdháló egyensúlyi konfigurációját kapjuk. A felső csomópontokon lévő erők összesen: 2(M 1)P, melyeket tetszőlegesen (de alul és felül egyformán) eloszthatunk. Az erők egy speciális elrendezésével az ábra bal alsó részén látható, minden csomópontján = 2(M 1)P/M nagyságú erővel terhelt rúdhálóhoz jutunk. Ha ebből többet egymáshoz kapcsolunk függőlegesen, újabb, egyensúlyban lévő, páratlan számú gerendasorból és M oszlopsorból álló rúdhálókat kapunk. Erre mutatunk példát az ábra jobb alsó részén, ahol két darab, N = 3 gerendasoros, M oszlopsoros szerkezetet kapcsoltunk össze. Ez természetesen a megoldásoknak nemcsak az A), hanem a B) csoportjára is igaz. Ezért minden, páratlan számú gerendasorral bíró, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónak van egyirányban összecsukott egyensúlyi állapota! Az összecsukódáskor az összes oszlop és az összes gerenda vízszintes, majd a terhet növelve az összecsukott alak elfordul a fix támasz körül valamelyik irányba. Tetszőleges méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálóra igaz, hogy a gerendák szögei azonosak, a gerendasorok párhuzamos egyenesek bármely egyensúlyi helyzetben. Ezért az itt elmondottakat általánosítva megállapíthatjuk, hogy egy minden felső és alsó csomópontján P erővel terhelt, M oszlopsoros, N gerendasoros rúdháló egy egyensúlyi konfigurációjából k darabot vízszintesen, majd ezekből l darabot függőlegesen összekapcsolva egy km k + 1 oszlopsoros és ln l + 1 gerendasoros, felső és alsó csomópontjain 70
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK = km P/(kM k + 1) nagyságú erőkkel terhelt rúdháló egy egyensúlyi helyzetét származtathatjuk. Tulajdonképpen most is a tartomány megfelelő kiterjesztéséről van szó, csakúgy, mint rugalmas rúdláncoknál volt a leképezés periodikus megoldásainak előállításánál. A tartományt most mindkét lényeges kiterjedése mentén kiterjeszthetjük. P P P 2P 2P 2P P M P 2P 2P 2P P = 2P M 1 M M 3.10. ábra. Példa az M = 2 oszlopsoros, N = 3 gerendasoros, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló egy egyensúlyi konfigurációjából nagyobb méretű rúdhálók egyensúlyi helyzeteinek származtatására 3.1.6. Az egyensúlyi egyenletek numerikus megoldása Nagyobb N értékek mellett a (3.5) egyenletrendszer analitikus megoldása nem lehetséges, valamilyen numerikus eljárást kell alkalmazni. A megoldandó egyenletrendszer érdekessége, hogy minden egyenlete ugyanolyan alakú; ebből adódik a D) permutációs szimmetria. Ami összekapcsolja az egyenleteket egy rendszerré és nagyban megnehezíti a megoldásukat az a β változók átlagára vonatkozó tag. A (3.5) egyenletrendszer numerikus megoldásához a szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmust [17, 22, 28], valamint annak egy módosított változatát [56] alkalmazzuk. Ennek bemutatása a következő pont témája. 71
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Az alkalmazott numerikus eljárás A szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmus lényege, hogy az egyenletrendszerben szereplő szögváltozók és a teherparaméter által kifeszített (β, λ) N dimenziós teret (Globális Reprezentációs Tér, továbbiakban GRT) hiperhasábokra, a hiperhasábokat pedig egyenként N! szimplexre osztjuk rés- és átfedésmentesen. A hasábok mérete akkora kell legyen, hogy egy szimplexen tipikusan csak egy egyensúlyi út haladjon át. (A felbontás finomításával ellenőrizhető, hogy kellően kicsik voltak-e a hasábok: ha nem, akkor a finomítás után új ágak jelennek meg.) Minden egyes szimplexen belül szakaszonkénti linearizálással [2] megoldjuk a (3.5) egyenletrendszert. Az N 1 linearizált egyenletrendszer N 1 hipersík egyenlete az N dimenziós térben, így ha annak van megoldása, az tipikusan egy egyenes (a mátrixvonal). Ha ez az egyenes átmegy a szimplexen, akkor az a szakasz az egyensúlyi út adott szimplexbe eső részének közelítése. Az összes szimplexre elvégezve a számítást az egyensúlyi utak törtvonallal való közelítését kapjuk. Annak megválaszolására, hogy hogyan függ a megoldások számának növekedési üteme a teherparaméter függvényében a rúdháló M és N méreteitől, nincs szükség az egyensúlyi utakra, elegendő azoknak a λ teherparaméter különböző rögzített értékeihez tartozó pontjainak számát meghatározni. Ehhez a szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmus Németh Róbert által módosított változatát [56] használjuk. Ennek menete röviden az alábbi. Ha a λ teherparaméter rögzített, a GRT, amiben a megoldásokat keressük, a β [β 1, β 2,..., β N 1 ] változók által kifeszített N 1 dimenziós tér. A GRT megfelelően lehatárolt részét most is hiperhasábokra, a hiperhasábokat pedig szimplexekre osztjuk, és a szimplexeken belül linearizáljuk a (3.5) egyenletrendszert. A (3.5) linearizálásával kapott N 1 hipersík egyenletét most az N 1 dimenziós térben kell megoldanunk, így ha van megoldás a szimplexen belül, az tipikusan egy pont: egy egyensúlyi helyzet közelítése a rögzített λ teherparaméter mellett. Lehetséges volna eggyel tovább csökkenteni az egyenletek és az ismeretlenek számát például úgy, hogy kifejezzük (3.5) első egyenletéből β N 1 -et, majd behelyettesítjük azt a maradék N 2 egyenletbe. Így N 2 egyenlet állna rendelkezésünkre N 2 ismeretlenre, vagyis egy eggyel alacsonyabb dimenziós térben is kereshetnénk az egyensúlyi helyzeteket. Azonban az eggyel kisebb térbe belegyömöszölt egyensúlyi utak jóval közelebb futnak egymáshoz, és a numerikus szimulációk tapasztalatai alapján emiatt olyan sűrűn kellene felosztani a GRT-t, hogy a számítás gyorsabban elvégezhető eggyel nagyobb dimenziós térben, durvább felosztás mellett. Az egyensúlyi utak ebből következően viszont egyértelműen ábrázolhatók egy N 1 dimenziós, például a (λ,β 1,β 2,,β N 2 ) térben. A szimmetriákból megkapható megoldásokat nem szükséges külön számolni. Ezek kiküszöbölése érdekében először tegyük fel, hogy a β = [β1, β2,, βn 1 ] megoldás valamilyen λ mellett. A szögváltozók tagjait a D) permutációs szimmetria miatt sorba lehet rendezni nagyság szerint: β 1 β 2 β N 1. Írhatjuk a tagokat a β j = ˆβ j + 2kπ (j = 1, 2,,N 1) alakban is úgy, hogy ˆβ 1 [0, 2π) és k egész szám, tehát ˆβ 1 + 2kπ ˆβ 2 + 2kπ ˆβ N 1 + 2kπ. 72
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Ezek után az A) szimmetriát λ 0 mellett figyelembe véve belátható, hogy elegendő a β 1 [0, 2π), β 1 β 2 β N 1, λ 0 feltételek mellett keresni megoldásokat. Ezen belül a β k változókra tett β lim k = Mλ, k = 2, 3,,N 1 (3.17) 2(M 1) korláttal lehatárolható a térrész, amiben érdemes megoldásokat keresni. Ennek indoka a következő. Mivel β 1 [0, 2π), (3.5) első egyenletéből számítható a β j változók átlagának maximális (ekkor β 1 = 3π/2) és minimális (ekkor β 1 = π/2) értéke: π 2 Mλ 4(M 1) 1 N 1 β j N 1 Így a β j változók átlagának szélsőértéke jó közelítéssel: 1 N 1 Mλ β j N 1 4(M 1). j=1 j=1 Mλ 4(M 1) + 3π 2. Ezt visszahelyettesítve (3.5) bármely másik egyenletébe a (3.17) korlát megkapható. Az A) szimmetria értelmében az így kapott β megoldások mindegyikéhez hozzáadva 2π többszörösét is megoldást kapunk az adott λ mellett. Ezen megoldások (ismétléses vagy ismétlés nélküli) permutációi is megoldások a D) szimmetria miatt, valamit 1-szeresei is azok a B) szimmetria értelmében. Sőt, a konfiguráció speciálisan átrendezett terhelésre is egyensúlyi helyzet ad! Speciális átrendezés alatt azt értjük, hogy két, tetszőlegesen kiválasztott, egymással szembe mutató, egy függőlegesbe eső erőt teljes egészében vagy részben áthelyezünk tetszőlegesen kiválasztott másik (egy függőlegesbe eső) csomópontokra. A szakaszonkénti linearizáláson alapuló szimplex algoritmus hátránya, hogy igen nagy számítási kapacitást igényel magasabb dimenziókban történő szimuláció során. Az elvégzendő műveletek száma az (n 1) 3 n! d n mennyiséggel arányos, ahol n a GRT dimenziója, d a felosztás száma (hány részre osztjuk a változók mentén a teret). Ráadásul a teher növelésével a vizsgálandó térrész is (azzal lineárisan) növekszik (3.17)-nak megfelelően. Így numerikus vizsgálatot csak n 4 dimenzióban végeztünk λ 1000 teherparaméterig. Ennek eredményeit a következő alpontban ismertetjük. 73
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Eredmények Néhány rögzített λ teherparaméter mellett meghatároztuk a megoldások számát különböző méretű rúdhálók esetén. A 3.11. ábra a numerikus szimuláció eredményeit mutatja log-log skálán az M = 2,N = 3, az M = 2,N = 4 és az M = 2,N = 5 méretű rúdhálókra. Itt feltüntettük a mért pontokra legjobban illeszkedő egyeneseket és azok meredekségeit is. A számítási idő az M = 2,N = 3 esetben néhány tized másodperc, az M = 2,N = 4 esetben körülbelül egy perc, míg az M = 2,N = 5 méretnél körülbelül egy hét volt λ = 175.75 teherparaméternél, a paramétertér 0.1π finomságú felosztása mellett. Jól látható az M = 2, N = 5 esethez tartozó eredményen, hogy ha a letapogatásnál a GRT felosztása nem elég finom, nem találjuk meg az összes megoldást: a görbe ellaposodik. inomabb felosztás mellett ellenőriztük, hogy a megoldások száma ebben az esetben is a jelölt egyenesre illeszkedik a log-log skálán. 10 6 10 10 5 4 λ 3 λ 2 S 10 10 10 3 2 1 λ 1 10 100 1000 3.11. ábra. A megoldások S száma a λ teherparaméter függvényében a 2 3, 2 4, 2 5 méretű rúdhálóknál a paramétertér 0.1π finom felosztása mellett. M N méretű rúdháló esetén a megoldások számának növekedési üteme S λ N 2 alapján becsülhető. λ A számításokat elvégezve nagyobb M értékekre is azt tapasztaltuk, hogy a megoldások számának növekedési üteme nem függ az M oszlopsorok számától, csak az N gerendasorok számától, attól viszont exponenciálisan: S λ N 2. Hiába tehát a kétirányú térbeli kiterjedés, a szerkezet térben csak a tartomány egyik kiterjedése (N, a gerendasorok száma, a rúdháló magassága) mentén kaotikus: a megoldások száma exponenciálisan nő a gerendasorok (a szintek) számával, ha a teher elegendően nagy. A másik kiterjedés, az oszlopsorok M száma nem befolyásolja a megoldások növekedési ütemét, a gerendák dőlésszöge csak követi az oszlopok dőlésszögeit, azok átlaga. Így az egytámaszú, egyirányban terhelt rugalmas rúdháló a térben komplex viselkedés szempontjából egydimenziósnak tekinthető. A λ teherparaméter rögzítése nélkül számított egyensúlyi utakat látunk a 3.12. ábrán M = 8,N = 3 esetén, valamint a 3.13. ábrán M = 4,N = 4 esetén. A számításnál a felosztás finomsága 0.03π volt. Ezen ábrákon jól látszanak a szimmetria-tulajdonságok. 74
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK 3.12. ábra. Egyensúlyi utak az M = 8,N = 3 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ [0, 40], β 1 ( 3π, 3π), β 2 ( 3π, 3π) tartományon a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett 3.13. ábra. Egyensúlyi utak az M = 4,N = 4 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ [0, 18], β 1 ( 3π, 3π), β 2 ( 3π, 3π) tartományon a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett 75
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK Végül a triviális úton lévő elágazás környezetéről közlünk néhány numerikus eredményt. A 3.14. ábrán M = 8,N = 3 méretű rúdhálóra láthatjuk a triviális út egyetlen elágazását csúcskatasztrófa formájában, valamint a másodlagos út további elágazásait. A számításnál a tartomány felosztásának finomsága 0.03π volt az összes tengely mentén. A 3.15. ábra M = 4, N = 4 méretű rúdhálóra mutatja a triviális úton lévő egyetlen elágazást kettőscsúcskatasztrófa formájában. A felosztás finomsága 0.03π volt. A másodlagos utak száma 12. Ezen az ábrán az elágazás környékén lévő felhőt 2-es típusú parazitamegoldások [28] alkotják. A parazitamegoldások ezen típusa a paramétertér finomabb felosztása mellett az elágazási pont kisebb környezetében jelenik meg. A 3.16. ábra a paramétertér 0.025, 0.0125, 0.00625 finomságú felosztásai mellett mutatja a numerikus eljárás szolgáltatta megoldásokat a (β 1, β 2 ) síkra vetítve: a parazitamegoldások alkotta halmaz kiterjedése egyre szűkül a felosztás finomításával. Megjegyezzük, hogy [28] hasonló parazitamegoldásokat mutat az ott vizsgált szerkezet kettőscsúcs-katasztrófa pontja körül. Végül a 3.17. ábrán az M = 4,N = 5 méretű rúdhálónál láthatjuk a triviális út egyetlen elágazását hármascsúcs-katasztrófa formájában. A másodlagos egyensúlyi utak száma 26. A paramétertér felosztásának finomsága itt is 0.03π. Ezen az ábrán a triviális út elágazásait azért ábrázolhatjuk egyértelműen a (β 1,β 2,β 3 ) háromdimenziós térben, mert az elágazás szimmetrikus (a megoldásokra vonatkozó B) szimmetria miatt) és az utak egy pontból indulnak ki, tehát a λ tengely mentén vetítve azok az elágazás kis környezetében nem takarhatják egymást. Ezen az ábrán is találhatók szép számmal 2-es típusú parazitamegoldások. A triviális úton lévő egyetlen elágazásnál a másodlagos egyensúlyi utak száma általánosan 3 N 2 1. Ennek magyarázata, hogy az N 2 belső gerendasor egyszerre veszti el a stabilitását a λ kr2 kritikus teherparaméternél, egyszerre lendülhet ki jobbra vagy balra, illetve helyben is maradhat. A legalsó és a legfelső gerendasor helyben marad. Ezen lehetőségek száma 3 N 2, ami magában foglalja a triviális utat is. E viselkedés mögött az elágazásnál lévő N 2-es csúcskatasztrófa áll. Ismert, hogy optimalizáláskor, amikor két kritikus teherparaméter egybeesését írjuk elő, köldökszerű katasztrófák jöhetnek létre [47]. Kivételt képeznek azok a feladatok, melyek potenciális energia függvényéből (szimmetria-tulajdonságaik folytán) hiányoznak a páratlan fokú tagok: ez esetben kettőscsúcs-katasztrófa jön létre. A vizsgált rugalmas rúdhálónál N 2 kritikus teherparaméter esik egybe, és a szerkezet potenciális energiája páros függvény, ezért az egyetlen elágazási pontban N 2-es csúcskatasztrófa jön létre. 76
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK λ 20 10 0 π/2 β 2 0 -π/2 -π/2 0 β 1 π/2 3.14. ábra. Egyensúlyi utak az M = 8,N = 3 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ [0, 20], β 1 ( π,π), β 2 ( π,π) tartományon, a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett. Csúcskatasztrófa, 2 másodlagos út, λ kr = 3, 5. 6 λ 3 π/2 0 β 2 0 -π/2 -π/2 0 β 1 π/2 3.15. ábra. Egyensúlyi utak M = 4, N = 4 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ [0, 6], β 1 ( π/2,π/2), β 2 ( π/2,π/2), β 3 ( π/2,π/2) tartományon, a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett. Kettőscsúcs-katasztrófa, 12 másodlagos út, λ kr = 3. 77
3. EJEZET. RUGALMAS RÚDHÁLÓK 3.16. ábra. A paramétertér diszkretizálásából adódó 2-es típusú parazitamegoldások a triviális egyensúlyi út elágazásának környékén az M = 4, N = 4 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdháló esetén, a λ [2, 4], β 1 ( π/20,π/20), β 2 ( π/20,π/20) β 3 ( π/20,π/20) tartományon. A paramétertér felosztásának finomsága (balról jobbra): 0.025, 0.0125, 0.00625. 3.17. ábra. Egyensúlyi utak az M = 4,N = 5 méretű, egyirányban terhelt, egytámaszú rugalmas rúdhálónál a λ [0, 5], β 1 ( π/2,π/2), β 2 ( π/2,π/2), β 3 ( π/2,π/2), β 4 ( π/2, π/2) tartományon, a paramétertér 0.03π finomságú felosztása mellett. Hármascsúcskatasztrófa, 26 másodlagos út, λ kr = 3. 78