. METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS. Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tdomáya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektm valamlye tlajdoságáról számszerő értéket kapk. A mérés eredméyt egy számmal (a mértékszámmal) és a mértékegységgel adjk meg. A mérés törtéhet mérıeszközzel vagy mőszerrel. A mérıeszközzel való mérésél az objektm valamlye tlajdoságát közvetle összehasolítással kapjk meg (pl. ha hosszúságot méterrúddal vagy tömeget mérleggel mérük). A mőszerrel való mérés vszot közvetett, az objektm és a mőszer valamlye kölcsöhatásából kalbrálással adja meg a mér kívát meység értékét. (Pl. az elektromos áram erısségét mérı Deprez-redszerő ampermérıbe a szögelfordlás az áram, a mágeses tér és a rgó kölcsöhatásáak az eredméye, de a mőszer skálája már áramerısségre va kalbrálva.) Sok esetbe azoba em s tdjk a jellemez kívát meységet közvetleül mér, haem csak más, vele kapcsolatba álló meységet, lletve meységeket, és az ezekre kapott mérés eredméyekbıl számítással kapjk a kívát adatot. Ekkor s mérésrıl - közvetett, lletve összetett mérésrıl beszélük. A mérést megsmételve általába em kapk azoos mérés eredméyeket. Egyrészt, mert a méredı meység változhat az dıvel. De ha a méredı meység álladó s, a mérés eredméyt a mőszer állapota és a megfgyelést végzı ember s befolyásolja. Jelöljük a mér kívát meység valóságos értékét x-szel, a mérés eredméyt x m -mel. A mérés hbája a mért érték és a valóságos érték külöbsége: x = x m - x. és a relatív hba: δ x = x / x. A mérés megbízhatóságát elsısorba a mőszer jellemzı határozzák meg. A mőszerek jellemzı a./ Érzékeység: Meghatározza, hogy a méredı meység egységy változásához a mőszerrıl közvetleül leolvasható érték mlye változása tartozk. Ez a mőszerrıl leolvasható legksebb egységek (skálarészek) megfelelı méredı meység recproka. (Pl. ha egy mtatós ma-mérı végktérése 50 ma, skálája leárs és 50 beosztású, a mőszer érzékeysége 50 skr / 50 ma = 0, skr/ma, és a mtató egy skálarészy ktérése 5 ma áramak felel meg.) Ha a skála em leárs, akkor az érzékeység függ attól, hogy mlye érték közelébe mérük. b./ Potosság: A mért és valód érték maxmáls lehetséges eltérése, a hba abszolút értékéek maxmma. c./ Reprodkálhatóság: A mőszerrel törtéı smételt mérésekkel kapható mérés eredméyek lehetséges maxmáls eltérése egymástól. Hbatípsok Véletle hba: A mérés eredméyek a valóságos értéktıl mdkét ráyba azoos valószíőséggel, véletleszerőe térek el. Nagy számú mérés átlagát véve a véletle hba tetszılegese csökkethetı. Redszeres hba: A mérés eredméyek a valóságos értéktıl eltérı érték körül gadozak. Oka a hbás vagy rosszl beállított mőszer, de redszeres hbát okoz az s, ha elhayagolk vagy rosszl veszük fgyelembe valamlye, a mérést befolyásoló külsı téyezıt (pl. hımérsékletet vagy yomást). METROLÓGIA /
.. A hbaszámítás alapja A hbaszámítás a valószíőségszámítás és matematka statsztka felhaszálásával a mérés sorá fellépı véletle hbák becslésére ad módot. Valószíőségszámítás alapfogalmak; a valószíőség sőrőség- és eloszlásfüggvéy Méréssel emcsak egyetle objektm valamlye álladó értékő sajátosságára kaphatk számszerő értéket, haem jellemezhetjük egy objektm olya sajátosságát s, mely dıbe vagy helyleg változk. Vagy jellemezhetük egy olya egyedekbıl álló sokaságot, melyekre ézve a méredı tlajdoság külöbözı mértékő. Beszélhetük a terem hımérsékletérıl, akkor s, ha a hımérséklet a radátor mellett más mt az ajtó mellett, éjszaka más mt appal. Vagy megadhatjk az évfolyamo a hallgató láyok átlagos magasságát. Egy sokaság eseté az egyed mérések valamlye átlaga lesz az egész sokaság jellemzıje, de tsztázk kell, hogy értjük ezt az átlagot. A sokaságot jellemzı számak az egyedekre s jellemzıek kell le valamlye módo, a sokaságra voatkozó adatból bzoyos mértékg meg kell tdk jósol az egyed mérések eredméyét, azaz a sokaság jellemzéséél azt s meg kell adk, hogy a megadott átlagérték körül adott valószíőséggel mlye tervallmba leszek az egyes mérések eredméye. Hasoló a probléma a terem hımérsékletéek megadásáál s. Ha a terem hımérséklete dıbe változk, a termet külöbözı dıpotokba elképzelve tekthetjük sokaságak, melyek eleme az egyes dıpotokba a terem pllaaty állapota, és ezekbe az állapotokba mérhetjük az egyed hımérséklet értékeket. De ha egy jól meghatározott, dıbe álladó meységet smételte mérük, a mőszer dıbe külöbözı állapota, a mőszer és a mért objektm, valamt a köryezet dıbe változó kölcsöhatása matt az smételt mérés eredméye változ fogak. Ezek az elképzelt smételt mérések megt egy sokaság elemeek tekthetık. Tételezzük fel egy sokaságot, és egy, a sokaságo értelmezett ξ meységet. ξ külöbözı értékeket vehet fel, de egyeseket agyobb, másokat ksebb valószíőséggel. (Egy dákláy magasságát gyakra mérjük 60 és 70 cm között értékek, és a terem hımérséklete kevéssé valószíő, hogy -0 C alatt va.) Azt modjk, hogy ξ valószíőség változó. Egy valószíőség változó lehet folytoos (mt a magasság vagy hımérséklet), és lehet dszkrét (mt a kockadobálás eredméye). A sokaság lehet véges elemő (mt a másodkos vegyészláyok sokasága), vagy végtele elemő (mt a terem állapota tetszıleges dıpotokba). Amkor mérük, kválasztjk egy egyedét a sokaságak, és eze végezzük el a mérést. Azt s modhatjk, hogy mtát veszük a sokaságból és azo egy kísérletet végzük. A kísérlet eredméyes vagy skeres, ha azt kaptk, amt vártk, pl. 6-ost a kockadobálásál. A skeres kísérletet evezzük eseméyek. Az eseméy valószíősége P: az összes lehetséges kedvezı kmeetelő mtavétel, kísérlet száma ( k ) osztva az összes lehetséges kísérlet számával (N Ö ): P = k / N Ö.3 A valószíőséget potos értékét meghatározhatjk, ha va formácók az egész sokaságról, külöbe a sokaság több-kevesebb elemé végzett kísérlet alapjá becsüljük P értékét. Legye példál a sokaság 00 skatlya gyfa, és a ξ dszkrét valószíőség változó a gyfaszálak száma egy dobozba. Ha a 00-ból 0 dobozba va 40 szál gyfa, akkor aak az eseméyek a valószíősége, hogy egy véletleül kválasztott skatlyába pot 40 szál gyfát találjk, P (ξ=40) = P (40) = 0 / 00 = 0,. Ha a valószíőség változó folytoos, akkor csak azt kérdezhetjük, hogy egy bzoyos tervallmba esı értéket mlye valószíőséggel vehet fel. Pl. ha a valószíőség változó a láyok magassága, és az évfolyam 50 hallgatóláyából 0-ek a magassága 60 és 70 cm közé esk, akkor aak a valószíősége, hogy egy véletleszerőe kválasztott láy h magasságát 60 és 70 cm közöttek találjk: P (60<h<70) = 0 / 50 = 0,. METROLÓGIA /
Ismételjük meg a kísérletet N-szer, és tegyük fel, hogy esetbe kaptk kedvezı eredméyt (pl. 40 szál gyfát a gyfaszámlálás kísérletbe). Az eseméy relatív gyakorsága: q = / N.4 Ha N ı, a relatív gyakorság a valószíőséghez tart: lm N q = P.5 Jelöljük a ξ folytoos valószíőség változó aktáls mért értékét x-szel. P (x < x < x + x) aak valószíősége, hogy x értéke x és x + x közé esse. A P lm ( x < x < x + x ) = f (x ).6 x 0 x határérték a ξ változó valószíőség sőrősége x -él, és f(x) ξ eloszlásáak valószíőség sőrőségfüggvéye vagy frekveca függvéye. Aak valószíősége, hogy ξ x és x + x között értéket vegye fel, közelítıleg P (x x x + x ) = f(x ) x,.7 ha x elég kcs. Általába aak valószíősége, hogy ξ x és x közé esse: P (x x x ) = x f( x) dx.8 x A valószíőség sőrőségfüggvéy tegrálja a valószíőség változó teljes értelmezés tartomáyára f( x' ) dx' = P ( x ) =. A valószíőség sőrőségfüggvéy tegrálfüggvéyét valószíőség eloszlásfüggvéyek evezzük és F(x)- szel jelöljük: x F(x) = f( x' ) dx' F() =.9 F(x ) aak a valószíősége, hogy a valószíőség változó értéke em agyobb, mt egy adott x érték: P (x x ) = F(x ).0 Az eloszlásfüggvéyel megadhatjk aak a valószíőségét, hogy a valószíőség változó értéke x és x közé esk: x x x P(x x x )= f( x) dx = f( x) dx f( x) dx = F( x ) F( x ) x Összetett kísérlet eredméyéek valószíősége Ha két meységet, ξ-t és η-t mérük egymás tá, m a valószíősége aak, hogy ξ-re x-et, η-ra y-t kapjk eredméyül? Ha N(y/x) azokak az esetekek a száma, amkor η-ra y értéket kapk, feltéve, hogy ξ-re már x értéket kaptk, akkor a valószíőség értelmezésébıl METROLÓGIA / 3
N P(x,y) = lm ( y / x ) lm ( / ) ( ) N = N y x N x N( x) N = P(y/x) P(x).. N N P(y/x)-t feltételes valószíőségek evezzük. Ha az η változóra voatkozó kísérlet eredméye em függ a ξ változótól, akkor P(y/x) = P(y) és P(x,y) = P(x) P(y). Ebbe az esetbe a két eseméy vagy kísérlet vagy valószíőség változó egymástól függetle. Függetle eseméyek valószíősége szorzódak, és gyaez áll a valószíőség sőrőségfüggvéyekre s. A mérést általába megsmételjük, hogy bztosabb eredméyt kapjk. Ilyekor feltesszük, hogy az egyes méréseket egymástól függetleül végeztük, hogy egy késıbb mérés eredméyét em befolyásolja egy elızı eredméy. Vgyázzk, hogy ez téyleg teljesüljö! Nagyo gyakor a megsmételt mérés eredméyéek ökétele szbjektív torzítása! Az eloszlás paramétere, a mta jellemzı A valószíőség sőrőségfüggvéybe szereplı kostasok és az azokból leszármaztatott meységek az eloszlás paramétere. Amkor mtát veszük a sokaságból és eze a mtá mérést végzük, a célk az, hogy az eloszlásról kapjk formácót. Az eloszlásfüggvéy alakja smert, vagy egy meghatározott függvéyel közelítjük, a függvéybe szereplı kostasokat vszot a mérésbıl akarjk meghatároz, vagy megbecsül. A mérés eredméyekbıl az eloszlásparaméterekre kapott becsléseket evezzük a mta jellemzıek. A mérés lehetséges kmeetele, a jövıbel mérés eredméy s valószíőség változó és így valamlye valószíőség sőrőségfüggvéy redelhetı hozzá. A mérésél téylegese kapott mérés eredméyek vszot kokrét számok, melyekkel kapcsolatba már cs értelme valószíőségrıl beszél. A mtavételél s beszélhetük a majda mtáról mt sokaságról, melyek eleme -az elképzelt mérés eredméyek- valószíőség változók. Eek az elképzelt mtáak mt sokaságak a jellemzı szté valószíőség változók leszek. A következıkbe az eloszlás paraméteret -melyek a sokaságra jellemzık- görög, a mta jellemzıt pedg lat betőkkel fogjk jelöl. A legfotosabb eloszlásparaméterek Legye a sokaságo egy ξ valószíőség változó (egy tlajdosága a sokaság elemeek) értelmezve, melyek értékét x-szel jelöljük. a./ A várható érték Tételezzük fel egy véges, N elemő sokaságot, melye értelmezett valószíőség változó dszkrét értékeket vehet fel. Pl. legye a sokaság 00 doboz gyfa és a valószíőség változó a gyfaszálak száma egy dobozba. Legye ξ értéke a sokaság számú elemé x. Akkor x átlagértéke N N x = ( x ) / N = x P( x ),.3a = = mvel P (x ) = / N..3a-t általáosítva, tetszıleges eloszlásra defálhatk egy, az eloszlásra jellemzı paramétert, az eloszlás várható értékét: Legye az eloszlás dszkrét, de a sokaság em feltétleül véges; a ξ valószíőség változó az x értéket P valószíőséggel vegye fel. Akkor a ξ valószíőség változó várható értéké, E [x]-e a következı összeget értjük: METROLÓGIA / 4
E [x] = x P( x ) = µ,.3 x ahol az összegzés a sokaság összes elemére törték. Ha az eloszlás folytoos, és az eloszlás valószíőség sőrőségfüggvéye f(x), akkor a várható érték,.3 aalógájára E [x] = x f(x) dx = µx.4 A valószíőség változó kostasszorosáak várható értéke a várható érték kostasszorosa: E [cx] = cx f(x) dx = c x f(x) dx = c E [x].5 Két valószíőség változó, ξ és η összegéek és szorzatáak várható értékéél az összetett kísérlet valószíőségével kell számolk. Ha a valószíőség változók dszkrétek, aak valószíősége, hogy a ξ tlajdoságra x-et, az η tlajdoságra y-t kapjk mérés eredméyül,. szert P(x,y). Folytoos eloszlásál a valószíőségeket a sőrőségfüggvéyel határozzk meg. Aak valószíősége, hogy a ξ tlajdoság mért értéke x és x + dx közé esse, és az η tlajdoságé y és y + dy közé: P (x ξ x+dx, y η y+dy) = h(x,y) dx dy.6 és.-ek megfelelıe, ha a két valószíőség változó függetle, h(x,y) = f(x) g(y), vagys két, csak x-tıl, lletve csak y-tól függı sőrőségfüggvéy szorzata. Két folytoos valószíőség változó összegéek várható értéke a két várható érték összege: E [x+y] = (x+y) h(x,y) dx dy = x ( h(x,y) dy) dx + y ( h(x,y) dx) dy = = x f(x) dx + y g(y) dy = E [x] + E [y]..7 Két függetle valószíőség változó szorzatáak várható értéke az egyes várható értékek szorzata: E [xy] = xy h(x,y) dx dy = xy f(x) g(y) dx dy = = x f(x) dx y f(y) dy = E [x] E [y].8 Ha a valószíőség sőrőségfüggvéy szmmetrks egy x 0 értékre, akkor y = x-x 0 várható értéke E [y] = 0, azaz az eredet várható érték éppe x 0 -lal egyelı. (Bzoyítás: E [y] = y f(y) dy = 0 y f(y) dy + y f(y) dy, 0 és mvel a szmmetra matt f(y) = f(-y), így 0 y f(y) dy + y f(y) dy = - y f(-y) dy + y f(y) dy = 0. ) 0 0 0 METROLÓGIA / 5
b./ A medá és a módsz A eloszlás medája (µ e ) a valószíőség változóak az az értéke, melyél ksebb és agyobb érték s gyaolya valószíőségő, azaz ahol az eloszlásfüggvéy értéke F(µ e ) = 0,5. Az eloszlás módsza a sőrőségfüggvéy maxmm helye. Szmmetrks eloszlás várható értéke, medája és módsza azoos. c./ A varaca A valószíőség változó értéke ksebb vagy agyobb mértékbe eltérhet a várható értéktıl a sokaság eleme. A varaca eek az eltérések a mértéke: Var [x] = (x-µx ) f(x) dx = E [(x-µ x ) ].9 Változó kostasszorosáak varacája a varaca szorozva a kostas égyzetével: Var [cx] = E [cx-cµ x ] = c E [x-µ x ] = c Var [x].0 Két függetle valószíőség változó összegéek varacája az egyes varacák összege: Var [x+y] = E [(x+y-µ x -µ y ) ] = = E [(x-µ x ) ] + E [(y-µ y ) ] + E [(x-µ x )(y-µ y )] = Var [x] + Var [y]. Itt felhaszáltk az összeg várható értékére voatkozó.7 összefüggést, és mvel ξ és η függetleek,. harmadk tagjáál fel tdtk haszál.8-at, mszert E [(x-µ x )(y-µ y )] = E [x-µ x ] E [y-µ y ] = 0. Két függetle valószíőség változó szorzatáak varacája em egyezk meg vszot a varacák szorzatával! A ormáls (Gass) eloszlás Normáls eloszlást mtatak azok a valószíőség változók, melyek értékét sok ksmértékő véletleszerő hatás befolyásolja. A ormáls eloszlásál a valószíőség sőrőségfüggvéy az ú. Gass-függvéy: f ( x) = e π σ x µ σ,. ahol µ az eloszlás várható értéke, σ pedg az úgyevezett szórás, a varaca égyzetgyöke. Az ú. ormalzált Gass-függvéyt.-bıl az = (x-µ) / σ.3 traszformácóval kapjk, és a következı alakú: f() = π e A ormalzált Gass-eloszlás várható értéke 0, varacája..4 METROLÓGIA / 6
Bzoyítás: A várható érték.4 és a varaca.9 defícójából: E [] = f() d = π mert az tegrads páratla függvéy. e d = 0, Var [] = Felhaszálva, hogy e f() d = d = - e és parcálsa tegrálva, kapjk: π e d = π ( e ) d e d = e + e d. Az elsı tag kesk, a másodk pedg π -vel egyelı, így Var [] =. A ormalzált Gass-eloszláshoz tartozó valószíőség eloszlásfüggvéy: F() = t e dt = φ( ) (hbategrál), F()=..5 π A ormalzált Gass-függvéy, a φ() hbategrál vagy az erf () = π e t dt hbafüggvéy.6 0 értéket matematka kézköyvekbe táblázatosa megtaláljk. A két függvéy összefüggése Φ() = 0,5 ( + erf (/ ))..7 A Gass-eloszlás alkalmazása Tételezzük fel, hogy smerjük egy adott sokaságba egy bzoyos valószíőség változó eloszlását, és ez ormáls eloszlás, adott µ várható értékkel és σ szórással. Mlye valószíőséggel esk a valószíőség változó értéke a várható érték körül, adott sgarú tervallmba, tehát x = µ- x és x = µ+ x közé? Ilye feladatokál az aktáls változót.3 alapjá úgy traszformáljk, hogy ormalzált Gass-eloszlást kapjk. Az tervallm végpotja: = - x/σ és = x/σ = v..8.-et alkalmazva P( ) = F( ) - F( ) = φ(v) - φ(-v). A táblázatokba vszot csak poztív argmetmra találjk meg a φ hbategrált. Az ábrá a két pöttyözött terület a függvéy szmmetrája matt egyelı, azaz φ(-) = - φ() P(-v v) = φ(v) -.9 METROLÓGIA / 7
Aak a valószíősége pedg, hogy a változó értéke kesse az adott szmmetrks tervallmból, tehát egy adott tőrésél jobba eltérje a várható értéktıl: P( -v U v) = - (φ(v)-) = (-φ(v))..30 Példa Legye a másodéves láyok magasságeloszlásáak valószíőség sőrőségfüggvéye (a magasságot h-val jelölve és cm-be mérve): f (h) = e π5 h 65 0,5 5 a/ M aak a valószíősége, hogy egy véletleül kválasztott láy magassága 60 és 70 cm között legye? b/ Ha az évfolyamo 80 láy va, várhatóa háy magasabb 60 cm-él, háyak a magassága 60 cm és 70 cm között, lletve 70 és 75 cm között érték? c/ Va-e 75 cm-él magasabb láy? És 50 cm-él alacsoyabb? Megoldás: Térjük át a ormalzált eloszlásra (A) és keressük k az. Táblázatból a φ() függvéy értéket (B). Az eloszlás várható értéke µ = 65 cm, szórása σ = 5 cm. A B h (cm) v φ(v) φ(v)- 50-3 0 0,5000 0 60-0,843 0,686 70 0,977 0,9544 75 3 0,9986 0,997 a/ A 60-70 cm tervallm a várható érték körül σ sgarú tervallmak felel meg (v=), a táblázat szert ebbe az tervallmba 68,6% valószíőséggel esek a magasságok. b/ A 60 cm a ormalzált változóba = --ek felel meg, aak valószíősége, hogy - legye, P( -) = φ(-) = -φ() = 5,7 %, -P = 84,3%. Ey aak a valószíősége, hogy valakek a magassága agyobb legye, mt 60 cm. Mvel P = kedvezı /N összes, az évfolyamo 80 láy közül = 80 0,843 = 67 láyak a magassága 60 cm-él agyobb. Hasolóa, a 60 és 70 cm között magasságú láyok száma = 80 0,686 = 54,6, azaz 54-55 láy magassága esk 60 és 70 cm közé. A [70 cm, 75 cm] tervallm a ormalzált változóba az [,] tervallmak felel meg. P( )=φ()-φ()=0,359. Ez személyt jelet. c/ A 75 cm-es magasság = -ek felel meg. P(>)=-P( )=-φ()=0,08. Ez azt jelet, hogy várhatóa két 75 cm-él magasabb láy va. A 50 cm = -3-ak felel meg, P(<-3)=φ(-3)=-φ(3)=0,004. Ez 0, személyek felel meg, tehát az évfolyamo valószíőleg cs 50 cm-él alacsoyabb láy. METROLÓGIA / 8
Célszerő megjegyez, hogy a ormáls eloszlásál a várható érték körül σ sgarú tervallmba (v=) a valószíőség változó értéke 68,3 % valószíőséggel esk, a σ sgarú tervallmba pedg (v=) kb. 95,4 % valószíőséggel. A középérték eloszlásáak tlajdosága Mérjük egy sokaságo a ξ sajátosságot -szer. Képzeljük el egy mérésbıl álló mtát, ahol az egyes mérések (egyelıre elképzelt) eredméye x,...,x. Ezek valószíőség változók, még em tdjk, mlye értéket kapak a mérésél. Az x,...,x valószíőség változó számta közepe x x = = szté valószíőség változó, tehát tartozk hozzá egy f(x,...,x ) valószíőség sőrőségfüggvéy, és kérdezhetjük, m eek a várható értéke és varacája. Az egyes mérés eredméyek függetleek egymástól, tehát f(x,...,x ) = f(x )...f(x ). Mvel gyaazt a mérést smételjük, az egyes mérés eredméyek várható értéke E[x ] = µ és varacája Var[x ] = σ azoos mde egyes mérésre. Az összeg és kostasszoros várható értékére és varacájára kapott.5,.7,.0,. formlákat alkalmazva kapjk, hogy E [ x] = / = Var [ x] = / E [x ] = µ = és Var [x ] = Var[x] = σ.3 Azaz a középérték várható értéke megegyezk az egyes mérések várható értékével, varacája vszot -ed része az egyes méréséek. A cetráls határeloszlás tétele szert bármlye eloszlású sokaság eseté az elemő mta számta középértékéek eloszlása a mta elemszámáak övekedésével egy olya ormáls eloszláshoz tart, melyek várható értéke megegyezk az eredet eloszlás várható értékével. Ez azt jelet, hogy ha már egyetle mérés eredméy s átlagak, pl. dıátlagak tekthetı, akkor várható, hogy az Gass-eloszlású lesz. A mérés eredméyek vszot agyo gyakra lye átlagértékek. A mtató tehetetlesége matt egy átlagértékek megfelelı helyzetbe áll be. Ha elektroksa győjtük adatot, azt s egy bzoyos deg tesszük, és az átlagjelet dolgozzk tovább fel. Így a gyakorlatba legtöbbször ormáls eloszlású mérés eredméyekkel találkozk. Az eloszlásparaméterek becslése A mtavétel és mérés célja, hogy formácót kapjk a sokaságo az adott tlajdoság eloszlásáról, azaz meg tdjk becsül az eloszlásparamétereket a sokaság elemszámáál sokkal ksebb mta alapjá. A becsült paramétereket hllámvoallal fogjk jelöl. Egy becslés torzítatla a θ paraméterre ézve, ha a becsült és valóságos várható értékek megegyezek, azaz E [ ~ θ] = θ vagy E [ ~ θ - θ] = 0, a hba várható értéke 0. METROLÓGIA / 9
A várható érték és a varaca becslése A várható értéket úgy vezettük be véges elemő, dszkrét sokaságra, mt a sokaságra vett átlagát az adott tlajdoságak (.3). Ha most em az egész sokaságot vesszük, csak egy mtát belıle, becsülhetjük úgy az egész sokaságra voatkozó átlagot, hogy csak a mtára átlagolk, azaz a várható értéket, µ-t a következıképp becsüljük: ~µ = / x.3 = Amíg a mérésrıl csak beszélük, ~ µ valószíőség változó, az x valószíőség változók számta közepe, melyek várható értéke megegyezk az egyes mérés várható értékével. Tehát ~ µ = µ, a becslés torzítatla. Hasolóa okoskodva, a varacát becsülhetjük az egyes mérések hbaégyzetéek átlagával: ~ σ = / (x - x) = Meg akarjk határoz eek a becslések a várható értékét; de egyszerőbb, ha ~ σ várható értékét számítjk k. E [ ~ σ ] = E ( x x) E (( x ) ( x )) = µ µ = = E ( x ) x j µ µ j = E x x j ( µ ) ( µ ) = j = [ ] + E ( x µ ) E ( x µ )( x j µ ) E ( x j µ ) j j Az elsı tag éppe az egyes mérések varacájáak (-/) -szerese. A másodk tagba a j= tag kmarad, így tehát az összeg egyes tagjaba a téyezık függetleek, szorzatk várható értéke a téyezık várható értékéek szorzata, am vszot 0. A harmadk tagot kfejtve (x j -µ) -es tagok fogak szerepel és vegyes szorzatok. Az tóbbak várható értéke, az elızı okfejtés értelmébe 0. Így végül a fet összeg a következıképp alakítható: E [ ~ σ ] = σ + E[ ( x ] = j µ ) j ( ) σ = + ( ) = σ ( + ) σ = (-) σ, azaz a varaca -szereséek becsült értéke a valóságos varaca (-)-szerese, ~ σ = (-) / σ..33 Ez a becslés torzított, így célszerőbb a varacát a mérés eredméyekbıl a következıképp becsül: ( x x) ~ σ = s = x = s x -et az egyes mérés eredméyek korrgált tapasztalat szórásáak evezzük. Mvel.3 szert a középérték varacája az egyes mérések varacájáak -ed része, s x sx =,.35 a középérték korrgált tapasztalat szórása (stadard devácója):.34 s x = Σ( x x) Σ( x x) és s x = ( ).36 METROLÓGIA / 0
I. táblázat A ormáls eloszlás F() eloszlásfüggvéye / t F( ) = e dt = φ ( ) π 0 3 4 5 6 7 8 9 0,0,50000,50399,50798,597,5595,5994,539,5790,5388,53586 0,,53983,54380,54776,557,55567,5596,56356,56749,574,57535 0,,5796,5837,58706,59095,59483,5987,6057,6064,606,6409 0,3,679,67,655,6930,63307,63683,64058,6443,64803,6573 0,4,6554,6590,6676,66640,67003,67364,6774,6808,68439,68793 0,5,6946,69497,69847,7094,70540,70884,76,7566,7904,740 0,6,7575,7907,7337,73565,7389,745,74537,74857,7575,75490 0,7,75804,765,7644,76730,77035,77337,77637,77935,7830,7854 0,8,7884,7903,79389,79673,79955,8034,805,80785,8057,837 0,9,8594,8589,8,838,8639,8894,8347,83398,83646,8389,0,8434,84375,8464,84850,85083,8534,85543,85769,85993,864,,86433,86650,86864,87076,8786,87493,87698,87900,8800,8898,,88493,88686,88877,89065,895,89435,8967,89796,89973,9047,3,9030,90490,90658,9084,90988,949,9309,9466,96,9774,4,994,9073,90,9364,9507,9647,9786,99,93056,9380,5,9339,93448,93574,93699,938,93943,9406,9479,9495,94408,6,9450,94630,94738,94845,94950,95053,9554,9554,9535,95449,7,95543,95637,9578,9588,95907,95994,96080,9664,9646,9637,8,96407,96485,9656,96638,967,96784,96856,9696,96995,9706,9,978,9793,9757,9730,9738,9744,97500,97558,9765,97670,0,9775,97778,9783,9788,9793,9798,98030,98077,984,9869,,984,9857,98300,9834,9838,984,9846,98500,98537,98574,,9860,98645,98679,9873,98745,98778,98809,98840,98870,98899,3,9898,98956,98983,9900,99036,9906,99086,99,9934,9958,4,9980,990,994,9945,9966,9986,99305,9934,99343,9936,5,99379,99369,9943,99430,99446,9946,99477 9949,,99506,9950,6,99534,99547,99560,99573,99586,99598,99609,996,9963,99643,7,99653,99664,99674,99683,99693,9970,997,9970,9978,99736,8,99744,9975,99760,99767,99774,9978,99788,99795,9980,99807,9,9983,9989,9985,99830,99836,9984,99846,9985,99856,99860 3,0,99865,99869,99874,99878,9988,99886,99889,99893,99896,99900 METROLÓGIA /