GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Vázlat 1 2 3

A kvadratikus függvény A függvény általános alakja: f (x) = ax 2 + bx + c (a 0). Ekkor a függvény gyökei: x 1,2 = b ± b 2 4ac, 2a feltéve, hogy a kifejezés értelmes. A másodfokú polinom diszkriminánsán a D = b 2 4ac kifejezést értjük. Teljes négyzetté alakítással a kifejezés f (x) = a(x α) 2 + β formára hozható. Ekkor a függvény széls érték helye α, értéke pedig β. A függvény gyöktényez s alakja: f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) feltéve, ha a kifejezésnek léteznek gyökei. (El fordulhat, hogy x 1 = x 2.)

Grakus alakok 1. eset a > 0, D > 0.

Grakus alakok (folyt.) 2. eset a > 0, D = 0.

Grakus alakok (folyt.) 3. eset a > 0, D < 0.

Grakus alakok (folyt.) 4. eset a < 0, D > 0,

Grakus alakok (folyt.) 5. eset a < 0, D = 0.

Grakus alakok (folyt.) 6. eset a < 0, D < 0.

Feladatok Adott az f (x) = 3x 2 + 3x 6 alakú függvény. 1 Mi a függvény legb vebb értelmezési tartománya? 2 Mik a függvény gyökei (zérushelyei)? 3 Van-e a függvénynek minimuma és/vagy maximuma? Ha van, akkor mi a minimum, illetve maximum helye és értéke? Alakítsd át a függvényt olyan formára, hogy ez leolvasható legyen! 4 Hol monoton fogyó, illetve hol monoton növeked a függvény? 5 Mi a függvény értékkészlete?

Megoldás 1 D f = R. 2 A feladat lényegében egy másodfokú egyenlet megoldása: 3x 2 + 3x 6 = 0 x 2 + x 2 = 0 x 1,2 = 1 ± 1 + 8 2 = 1 ± 3 2 { 1 = 2. 3 A széls értékek deriválással is megkereshet k, de ha azt nem alkalmazhatjuk, akkor a teljes négyzetté alakítással kaphatunk olyan formát, amelyr l leolvashatók ezek az értékek. 3x 2 + 3x 6 = 3[x 2 + x 2] = 3[(x + 0, 5) 2 0, 25 2] = =3(x + 0, 5) 2 6, 75 A függvény tehát felfelé néz parabola két gyökkel, minimum helye a 0, 5, a hozzá tatozó függvényérték pedig a 6, 75.

Megoldás (folyt.) 4 Az el z pont megoldásából következik, hogy a függvény a ( ; 0, 5] inervallumon monoton fogyó, a ( 0, 5; ) intervallumon pedig monoton növ. 5 R f = {y R y 6, 25}.

Ábrák ax 2 + bx + c 0 1. eset a > 0, D > 0.

Ábrák (folyt.) ax 2 + bx + c 0 2. eset a > 0, D = 0.

Ábrák (folyt.) ax 2 + bx + c 0 3. eset a > 0, D < 0.

Ábrák (folyt.) ax 2 + bx + c 0 4. eset a < 0, D > 0.

Ábrák (folyt.) ax 2 + bx + c 0 5. eset a < 0, D = 0.

Ábrák (folyt.) ax 2 + bx + c 0 6. eset a < 0, D < 0.

Feladat Keressük meg a következ egyenl tlenség összes megoldását: x 2 + 2x 15 0! A feladat megoldása: Írjuk át az egyenl tlenséget egyenl séggé: x 2 2x + 15 = 0! Oldjuk megy az egyenl séget: x 1,2 = 2 ± 4 + 60 2 = 2 ± 8 2 { 3 = 5. Vizsgáljuk meg, hogy a fenti 6 esetb l, melyikkel van dolgunk.

Feladat (folyt.) 1. eset a = 1 > 0, D = 64 > 0. Tehát a megoldás: ( ; 5] [3; ).

Feladat Keressük meg a következ egyenl tlenség összes megoldását: x 2 + 3x 10 x 2 5x + 4 0. A feladat megoldásának alapötlete, hogy egy tört pontosan akkor pozitív, ha a számlalója és a nevez je azonos el jel. Ebben az esetben ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy két egyenl tlenséget kell megoldanunk, és ezek eredményeit összevetve kell eldöntenünk a tört el jelét. A számláló: x 1,2 = 3 ± 9 + 40 2 = 3 ± 7 2 = { 2 5.

Feladat (folyt.) Ezúttal ez a 4. ese:t a = 1 < 0, D = 49 > 0. Tehát a számláló a [ 5; 2] intervallumon nem negatív, ezen kívül negatív.

Feladat (folyt.) A nevez (ne felejtsük el, hogy a nevez nem lehet 0): Ez megint az els eset. x 1,2 = 5 ± 25 16 2 = 5 ± 3 2 { 4 1. Tehát a nevez a ( ; 1) és a (4; ) intervallumokon nem negatív, ezen kívül negatív. Az eredményeket érdemes egy újabb ábrán összesíteni:

Feladat (folyt.) Ez alapján a feladat megoldása a [ 5; 1) és [2; 4) intervallumok.