NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet Dr Hajdu Endre egyetemi docens MŐSZAKI MECHANIKA III KINEMATIKA ÉS KINETIKA Jegyzet a faipari-, ipari termék és formatervezı, papíripari és mechatronika mérnök MSC hallgatók számára S o p r o n 0 0 9
Tartalomjegyzék 3 Mozgásfüggvény 3 3 Sebesség, gyorsulás 8 33 Kinematikai alapfeladatok 4 34 A kinetika axiómái és a tömegpont mozgásegyenlete 8 35 A tömegpont legfontosabb mozgástípusai 3 - állandó sebességő mozgás 3 - állandó gyorsulású mozgás 3 - Körmozgás 5 - Szabadesés, hajítások 6 - Harmonikus rezgımozgás 8 - Ciklois mozgás 3 36 Faforgácsoló gépek kinematikájának alapjai 34 -Keretfőrészgép 34 - Fúrnérhámozógép 36 -Gyalugép 38 37 Munka, teljesítmény, energia 40 38 Kinetikai tételek 46 39 A forgó mozgás kinematikája 5 30 A testek tehetetlenségi nyomatékai 55 3 A forgó mozgás kinetikája 60 - forgó testek csapnyomásai 6 - kritikus fordulatszám 65 3 A síkmozgás kinematikája 68 33 A síkmozgás kinetikája 74 34 Ütközés 76
KINEMATIKA ÉS KINETIKA 3 Mozgásfüggvény BEVEZETÉS A kinematika a mechanikai mozgás térbeli és idıbeli lefolyását vizsgálja, lényegében geometriai szempontból, függetlenül a mozgást elıidézı októl A kinetika a mozgást befolyásoló okokat tárja fel E két tudományág nem választható el egymástól élesen Ez a jegyzet a kinematikát és a kinetikát együtt tárgyalja Valamely test térben és idıben végbemenı mozgásának leírásához mindig valamilyen vonatkoztatási rendszert egy másik testhez kötött koordináta rendszert kell felvenni Vonatkoztatási rendszer nélkül a test mozgásáról semmit sem mondhatunk Természetesen a vizsgált mozgás függ a választott koordináta-rendszertıl, vagyis a mozgás mindig relatív, egy bizonyos vonatkoztatási rendszerhez viszonyított A mechanika néhány alaptételre, a Newtonaxiómákra épül Ezek az alaptételek csak meghatározott módon választott koordinátarendszerekben érvényesek Pusztán kinematikai vizsgálatok céljából azonban más koordinátarendszereket is alkalmazhatunk A kinematikai és kinetikai mennyiségek például a koordináták, erık méréséhez mértékrendszert kell választani A továbbiakban kizárólag a nemzetközi mértékrendszert (SI) alkalmazzuk, melynek használatát a magyar szabványok (MSZ4900) kötelezıen elıírják A nemzetközi mértékegységrendszer mechanikai alapegységei: a méter (m), a másodperc (s) és a kilogramm (kg) Egy test mozgásának vizsgálatánál ismerni kell valamelyik pontjának például súlypontjának mozgását, továbbá az egész testnek a kiszemelt pont körül végzett mozgását Elıfordulhat, hogy az utóbbi mozgás hiányzik, vagy valamilyen szempontból elhanyagolható Ilyenkor az egész test helyett egy tömegpontnak nevezett modellel dolgozhatunk Vagyis kinematikai szempontból csupán a kiszemelt pont mozgását vesszük figyelembe, kinetikai szempontból pedig az egész test tömegét Hogy mikor engedhetı meg a valóság ilyen modellel történı helyettesítése, azt esetenként kell eldönteni 3
Mivel a fent leírt egyszerő modell nagyon sok esetben használható, részletesebben foglalkozunk a tömegpont kinematikájával és kinetikájával ALAPFOGALMAK, MOZGÁSFÜGGVÉNY A vonatkoztatási rendszer felvétele után beszélhetünk a tömegpont helyzetérıl: koordinátáinak összességérıl, s a tömegpont mozgásáról: helyzetének megváltoztatásáról A vonatkoztatási rendszer gyakran térbeli derékszögő koordináta rendszer A mozgás leírása azt jelenti, hogy megadjuk azokat a helyeket, ahol a tömegpont a szóba jövı idıpontokban tartózkodik Az x x(t), y y(t), z z(t) Paraméteres egyenletrendszer minden t idıpontban megadja tömegpont helyzetét Tömörebb jelölésmódot alkalmazva azt is mondhatjuk, hogy a mozgást az r r(t) (m) Vektor-skalár függvény írja le Ez a függvény a t paraméter minden szóba jövı értékéhez egy olyan vektort rendel, melynek kezdıpontja a koordináta rendszer kezdıpontja, végpontja a mozgó pont (3 ábra) Az r (t) vektor a tömegpont helyvektora A helyvektorok végpontjának összessége a mozgó pont által leírt pálya Az r r(t) függvény neve: mozgásfüggvény Ez a függvény tapasztalatunk szerint egyértékő és folytonos 3ábra A helyvektor felbontható a koordináta tengelyekkel párhuzamos összetevıkre: 4
r r + r + r xi + yj zk, x y z + ahol az x x(t), y y(t), z z(t) komponensek az idı függvényei, i, j, k a vonatkoztatási rendszer alapvektorai A tömegpont t t t intervallumban történı elmozdulása a r(t ) r(t ) vektor Ha a tömegpont valamilyen adott görbén mozog, akkor a mozgás r leírása a következıképpen történhet: a pályagörbén megadunk egy irányítást (ezen azt értjük, hogy megadunk egy haladási irányt) és kijelölünk egy 0 kezdıpontot Ezután a tömegpont helyzetét minden pillanatban meghatározza egyetlen adat, az 0-tól a tömegpontig mért elıjeles ívhossz (4 ábra) Az s elıjeles ívhossz neve: ívkoordináta Most tehát a mozgást a pálya befutásának törvénye, az s s(t) (m) függvény írja le Egy derékszögő koordináta rendszer valamelyik tengelyén mozgó tömegpont esetén ívkoordinátául a tömegpont megfelelı koordinátáját választjuk 4ábra Ha a tömegpont t, t, idıközben egy pályaszakasz minden pontján csak egyszer halad át, akkor az adott idıközben megtett út a pályaszakasz hossza A térben mozgó tömegpont egy síkra vagy egy egyenesre vonatkozó vetületének mozgását az eredeti mozgás vetületi mozgásának nevezzük Legyen P xy a P pont vetülete az x, y síkon Ekkor P xy pályája a P pont pályájának vetülete (5 ábra) P-nek az x tengelyre vonatkozó vetülete P x Ha P mozgástörvénye Xx(t), yy(t), zz(t), akkor P x mozgástörvénye xx(t), y0, z0 5
Hasonló a helyzet az y, z tengelyre vonatkozó vetületi mozgásoknál is A vetületi pontok helyvektorai r, x r, y r z -vel jelölve írhatjuk: r r + r + r x y z Ezért a P mozgását a három vetületi mozgás eredı mozgásának is mondják P x, P y, P z mozgása az összetevı-mozgás P mozgását meghatározza két koordináta síkon megadott vetületi mozgás (ezek nem függetlenek egymástól) vagy egy koordináta síkon és egy, a síkra merıleges tengelyen megadott vetületi mozgás 5ábra POLÁRKOORDINÁTA-RENDSZER ALKALMAZÁSA Síkbeli mozgás esetén olykor elınyös a mozgást polárkoordináta rendszerben vizsgálni A tömegpont helyzetét vagyis az r helyvektort jellemezhetjük egy 0 kezdıpontú, x tengelyő polárkoordináta rendszerben (6 ábra) A két koordináta a következı: r r, vagyis a pontnak a koordináta rendszer kezdıpontjától mért távolsága, ϕ, vagyis a helyvektornak polártengellyel bezárt (irányított) szöge: E koordináták persze az idı függvényei, más szóval a pont mozgását az r r (t), ϕ ϕ(t) 6ábra paraméteres egyenletrendszerrel adjuk meg 6
Példa Írjuk le a főrészkeret mozgását! A keret mozgását a 7 ábrán látható ún forgattyús mechanizmus végzi Az r hosszúságú forgattyúkar egyenletesen forog, az idıegység alatt söpört szög ω Az r, l távolságok ismertek Megoldás Jellemezzük a keret helyzetét az s ívkoordinátával! Tegyük fel, hogy a forgattyúkar függıleges helyzetbıl indult el t idı alatt a forgattyúkar által söpört szög Az ábra derékszögő háromszögeibıl: ω t s r cosωt + l r sin ωt, s max r + l, s min l r 3 Példa Egy 0 kezdıpontú félegyenes egyenletesen forog 0 körül (az egységnyi idı alatt söpört szög ω), miközben egy egyenletesen mozgó pont halad rajta, 7ábra P 0 -ból kiindulva 0 felé Az egyenletesen mozgó pont egységnyi idı alatt v méter utat tesz meg (8 ábra) Vizsgáljuk meg a mozgó pont pályáját a papír síkjában, ha O P o R o 8ábra 7
Megoldás Vizsgáljuk meg a pályát a félegyenes kezdıhelyzetével egybeesı polárkoordináta rendszerben t idı múlva a polárkoordináták a következık: r R o vt ϕ ωt Ez az archimedesi spirális (9 ábra) paraméteres egyenlete A paramétert kiküszöbölve r R 0 ϕ v ω A mozgó pont R idı múlva jut 0-ba v T 0 3 Sebesség, gyorsulás ELİKÉSZÍTÉS 9ábra Az alábbiakban felsoroljuk a térgörbék elméletének néhány olyan alapvetı fogalmát, melyekre a késıbbiekben szükségünk lesz - Térgörbe érintıje: a térgörbe P pontbeli érintıje a görbe P és Q pontjain átmenı egyenes határhelyzete, midın Q P - Térgörbe simulósíkja: a térgörbe P pontbeli simulósíkja a görbe három pontján átmenı sík határhelyzete, midın a három pont tart P-hez - Térgörbe simulóköre: a térgörbe P pontbeli simulóköre a görbe három pontján átmenı kör határhelyzete, midın a három pont tart P ponthoz A simulókör síkja azonos a simulósíkéval Ha a térgörbének irányítást adunk, beszélhetünk valamely ponthoz tartozó pozitív irányú e érintı egységvektorról (30 ábra) A P pontból a simulókör középpontja felé irányuló az n fınormális 30ábra 8
egységvektor Az elıbbi kettıre merıleges a b exn binormális egységvektor Az y y(x) vektor-skalár függvény deriváltja a dy dx y(x + x) y(x) lim vektor, melynek 0 0 x állása azonos az y(x) térgörbe megfelelı pontbeli érintıjének állásával Ha az x paraméter az s elıjeles ívhossz vagy ívkoordináta, akkor d r e, a pozitív irányú érintı egységvektor A ds vektor-skalár függvények differenciálási szabályai hasonlóak a skalárfüggvények deriválási szabályaihoz A SEBESSÉG ÉS GYORSULÁS DEFINÍCIÓJA Mozogjon a tömegpont az ismert pályán az ss(t) törvény szerint Valamely t, t+ t idıközben a mozgásról bizonyos mértékő felvilágosítást nyújt a v átl s t s(t + t) s(t) t Hányados: a mozgásnak a mennyiség t-nek és idıpontban, minél kisebb t 0 t idıközre számított átlagos pályasebessége Ez a skaláris t -nek is függvénye, s annál pontosabban jellemzi a mozgást a t t A mozgás t-beli pontos jellemzıje az átlagsebességnek -ra adódó határértéke a már csak t-tıl függı pályasebesség: v lim v t 0 átl s(t + t) s(t) lim t 0 t ds dt s& (Az idı szerinti deriválást a deriválandó mennyiség jele fölé tett ponttal jelöljük) Vagyis a pályasebesség az ívkoordináta idı szerinti elsı deriváltja Hasonlóan járhatunk el akkor is, ha a mozgás r r(t) alakban adott Ha a mozgó pont t pillanatban a pálya P helyén van (3 ábra), t+ t idıpontban pedig q-ban, 3ábra 9
akkor a t idıközben végbement mozgás átlagsebessége: v átl r r(t + t) r(t) t t Ez a vektor a r vektorral egyállású és t-n kívül jellemzésére ismét az átlagsebesség vektor alkalmas: t -nek is függvénye A mozgás pontos t 0 -ra adódó határértéke, a sebesség v lim v t 0 átl r(t + t) r(t) lim t 0 t dr dt r& (m s ) A sebességvektor tehát a helyvektor idı szerinti elsı deriváltja Ez olyan vektor, melynek koordinátái a helyvektor koordinátáinak idı szerinti deriváltjai A továbbiakban feltesszük, hogy az ss(t) és az r r(t) függvények az idı szerint legalább kétszer deriválhatók Ez a vektor csak t-nek függvénye, állása megegyezik a P-hez tartozó érintıével, iránya pedig a P- beli mozgásiránnyal A sebességvektort a P ponthoz kötjük Az r xi + yj + zk mozgásfüggvényő pont sebessége a definíció értelmében v x& i + y& j+ z& k, ahol az x & x(t), & y& y(t), & z& z(t & ) skaláris függvények a sebességkomponensek A sebességvektor a helyvektor változásának jellemzıje A pályasebesség változást egy adott pillanatban a pályasebesség idı szerinti deriváltja mutatja Ez a pályagyorsulás: a e v(t + t) v(t) dv lim v& & s t 0 t dt (m s ) A sebességvektor változásának jellemzıje, a gyorsulás, hasonlóan definiálható: 0
v(t + t) v(t) dv a lim v& & r t 0 t dt (m s Az r xi + yj + zk mozgásfüggvényő pont gyorsulása derékszögő komponensekkel: a & xi + && yj + & zk A gyorsulásvektort a mozgó ponthoz kötjük Felbonthatjuk a sebességvektort és a gyorsulásvektort a pályagörbe természetes koordinátarendszerében is ) Megmutatható, hogy ha e,n, b a pályagörbe természetes koordináta rendszerének egységvektorai, R a pályagörbe simulókörének sugara, a mozgástörvény r r(s), s s(t), akkor: v ve s& e, dv v R s& a a e + a n e + n & s& e + n dt R Az a e v& e érintıleges összetevı neve: pályamenti vagy tangenciális gyorsulás Az a n v n összetevıé: centripetális vagy R v normális gyorsulás A skaláris v& és R mennyiségek a gyorsulás pályamenti, ill centripetális komponensei Amint a fentiekbıl kitőnik, általános esetben a gyorsulásvektor a pályagörbe P-beli simulósíkjában fekszik, s a sebességvektorral 0 ϕ π (3 ábra) szöget zár be 3ábra Másképpen: a gyorsulásvektor az érintı által kettéosztott simulósíknak abban a felében van, amelyben a görbületi középpont A mozgás gyorsuló, ha a vizsgált pillanatban létezik gyorsulásvektor, vagyis ha a két gyorsuláskomponens közül legalább az egyik nem zérus Az a e komponens csak a pályasebesség változásától függ, a pálya alakjától független a e iránya megegyezı vagy ellenkezı a sebesség irányával az a e elıjelének megfelelıen Ha a pályasebesség állandó, a e 0 A nem negatív a n komponens a pályasebesség nagyságától és a
pálya alakjától, pontosabban annak R görbületétıl függ Ha a pálya egyenes, akkor véges sebesség és végtelen görbületi sugár folytán a n 0 Az alábbi ábrasor néhány speciális esetet szemléltet (33 ábra): 33ábra A hétköznapi nyelvhasználat gyorsuló mozgásról beszél, ha a e 0 és lassuló -ról, ha a e 0 Görbe pályán mozgó pont valójában mindig gyorsuló mozgást végez, mert legalább a n létezik Inflexiós pontban azonban R miatt egy pillanatra eltőnhet a gyorsulás Olykor hasznos lehet az a tétel, mely szerint a tömegpont vetületi mozgásának sebessége, gyorsulása az eredeti mozgás sebességének, ill gyorsulásának vetülete A SEBESSÉGVEKTOR POLÁRKOORDINÁTA RENDSZERBEN Ha a mozgást polárkoordináta rendszerben vizsgáljuk, a sebességvektort egy helyvektorral egyirányú e r és egy arra merıleges e ϕ egységvektor lineáris kombinációjaként írhatjuk fel (34 ábra) Mielıtt ezt a felbontást megadnánk, rámutatunk arra, hogy a ϕ polárkoordináta idıbeli változása éppen úgy 34ábra jellemezhetı a ϕ (t) függvény idı szerinti deriváltjával, miként az ívkoordináta változása s& (t) -vel Vagyis beszélhetünk egy szögkoordináta sebességérıl is A ϕ (t) függvény ϕ& (t) deriváltja az r vektor skaláris szögsebessége Ezek
után a polárkoordináta rendszerben vizsgált mozgás sebességvektorának felbontása a következı: v + v + v r& e + r ϕ& e r ϕ r ϕ 4 Példa Számítsuk ki a Példában szereplı főrészkeret pályasebességét Megoldás Mint láttuk, az ívkoordináta sr cos ωt+ l r sin ωt volt r sin ωt ωcosωt A pályasebesség: v s& rωsin ωt +, l r sin ωt s& rωsin ωt r ωsin ωt l r sin ωt 5 Példa Vizsgáljuk meg az egyenletes körmozgás kinematikai viszonyait, a mozgások leírására tanult különbözı módszereket alkalmazva! Legyen a pályakör sugara R, a mozgó ponthoz tartozó sugár szögsebessége ω Ívkoordináta alkalmazásával (35 ábra) s Rωt, v s& Rω, & s 0 Derékszögő koordinátákkal (36 ábra): R cosωt Rωsin ωt r v r& R sin ωt Rωcosωt 35ábra ω & R r Rω a cosωt sin ωt 36ábra 3
A sebesség- és gyorsulásvektor elhelyezkedésének tisztázása végett számítsuk ki a természetes koordináta rendszerre vonatkozó komponenseket és ábrázoljuk a (37 ábra)! v, a vektorokat Mint láttuk, v Rω, a & e v R & s 0, a n Rω, tehát a a n Végül polárkoordináta rendszerben (38 ábra): 37ábra R r ωt, 0 v Rω, a gyorsulásvektorral nem foglalkozunk 38ábra 33 Kinematikai alapfeladatok Ismert pálya esetén az ss(t) függvény a mozgást teljesen meghatározza Ebben az esetben differenciálásokkal állíthatjuk elı a pályasebességet és a pályagyorsulást Elıfordulhat azonban, hogy a mozgásjellemzık ( s, s, & & s ) nem az idı, hanem egymás függvényében ismeretesek A mozgás összes lehetséges megadási módjait az alábbi táblázatban szemlélteti: t s t t(s) s s(t) s& s(t) & s(s) & && s && s(t) && s(s) s& t(s) & [ s(s) & ] && s(s) & && s t(s) && s(s) && s(s) & && A táblázat második rovatában és harmadik oszlopában álló függvény jelentése például: a mozgás ss( s& ) alakban adott, vagyis az ívkoordináta a pályasebesség függvényeként ismeretes 4
A táblázat tizenkét függvényének bármelyikébıl esetleg további adatok ismeretében elıállítható a többi tizenegy bármelyike Az ilyen kinematikai alapfeladatok közül néhánynak a megoldását mutatjuk be Adott: v s(t & ) és az összetartozó t 0, s 0 értékpár, keressük az ss(t) függvényt Megoldás: ds v s&, dt ds sdt, & s ds t s 0 t 0 s(t) & dt, s s + s(t)dt & 0 t t 0 Ha a pályagyorsulás ismert az idı függvényében, hasonlóan, integrálással kapjuk a pályasebességet Ekkor ismerni kell összetartozó idı- és pályasebesség-adatokat További kinematikai feladat: Adott: & s & s(s), s, v 0 0 Keressük a v(s) függvényt Megoldás: v v 0 s + & s(sw)ds vagy v v + 0 s 0 s s 0 & s(s)ds Az ss(t), v s& s(t), & ae && s & s(t ) függvények grafikonjai az ún kinematikai diagramok (foronomia görbék) Nem tévesztendık össze a pályagörbével! Természetesen ezek a grafikonok meghatározott kapcsolatban állnak egymással, hiszen azok a függvények, melyeket ábrázolnak, egymásból differenciálással, ill Integrálással nyerhetık A valamely zárt intervallumban folytonos egyváltozós f(x) függvény és F(x) primitív függvénye b között fennálló f (x)dx F(b) F(a) összefüggés, valamint az s, s &,& s közötti kapcsolat a alapján megállapítjuk, hogy: Adott t, t idıközben az ívkoordináta megváltozása egyenlı a v-t ábra alatti síkidom elıjeles területével 5
t t s& (t)dt s(t ) s(t) Adott t, t idıközben a pályasebesség megváltozása egyenlı az a e -t ábra alatti síkidom elıjeles területével: t t & s (t)dt s(t & ) s(t & ) Legyen például s t + t, s& + t, & s, t t 0, t Számítsuk ki az ívkoordináta és a pályasebesség megváltozását a megadott idıközben: s s() s(0) + 0, v s() & s(0) & + ( ) 39 ábra 6
A kinematikai diagramokról ugyanezt az eredményt olvashatjuk le (39 ábra) Az s(t), s &(t),s(t & ) kinematikai diagramokból elıállíthatók az s &(s),&& s(s),s(s && &) kinematikai diagramok is Ilyen szerkesztés is nyomon követhetı a 0 ábrán: s& (s) diagram Ha a kinematikai diagramok közül valamelyik szerkesztés vagy közvetlen mérés alapján adott, akkor a hiányzó diagramok elıállítása grafikus úton történhet Ilyenkor grafikus differenciálásai, ill integrálási ajánlással érünk célt E módszereket illetıen a felsorolt irodalomra utalunk 6 Példa Egy jármő lehetséges legnagyobb gyorsulása, (ill lassulása) a max, legnagyobb pályasebessége v max Határozzuk meg azt a legkisebb idıt, mely alatt a jármő egy d hosszúságú pályaszakaszt befuthat Megoldás Vázoljuk fel a sebességábrát (40 ábra)! A legkisebb menetidıre törekszünk, tehát a lehetséges legnagyobb gyorsulással érjük el v max -ot A gyorsításhoz szükséges idı t Maximális sebességgel halad a jármő t ideig, t idı alatt lassul le ismét zérus sebességre A teljes menetidı: T t + t Az ábra geometriájából, ill a sebességábra tulajdonságaiból következik, hogy t v a max max, d v max (t + t ), t d v max t, d v max v a max max 40ábra T d v max v + a max max 7
34 A kinetika axiómái és a tömegpont mozgásegyenlete NEWTON-AXIÓMÁK A kinetika fıfeladata a testek mozgásának leírása a testekre ható erık ismeretében Ezt a feladatot néhány alapfeltevés a NEWTON-féle axiómák segítségével oldjuk meg Ezek a tömegpontra érvényes kijelentések közvetlenül nem bizonyítottak, helyességükre a belılük következı megállapítások s a tapasztalat egyezésébıl következtetünk Elsı axióma: Minden test (tömegpont) megmarad a nyugalomnak vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgásnak az állapotában míg más testek hatásai állapotát meg nem változtatják A testek azon tulajdonságát, hogy külsı hatás hiányában sebességállapotukat változatlanul megtartják, tehetetlenségnek, az axiómát pedig tehetetlenség törvényének is nevezik A tehetetlenség törvénye közvetlenül nem igazolható, mert a testeket más testek hatása alól telje3sen kivonni nem tudjuk A törvény egyértelmősége végett meg kell állapítani, hogy a nyugalmi helyzetet mihez viszonyítsuk NEWTON az axiómát az abszolút nyugalomban lévı térre vonatkoztatta Ez utóbbi fogalom azonban a kísérlete számára nem hasznosítható A törvény lényeges tartalmának ma ezt tekintjük, hogy van olyan rendszer az ún tehetetlenségi vagy inercia-rendszer melyben érvényes az elsı axióma A kinetika egyéb törvényeit is ilyen rendszerre vonatkoztatjuk Az eddigi tapasztalatok szerint az asztronómiában használt bizonyos állócsillagokhoz kötött koordináta-rendszer, inerciarendszer A mőszaki mechanikában a Földhöz kötött koordináta rendszer is sok esetben inercia-rendszernek tekinthetı Azt, amit az elsı axiómában más testek hatása -ként említettünk, vagyis az erıt, a második axióma definiálja: d(mv) dt F 8
Itt v a tömegpont sebessége, az m arányossági tényezı egy pozitív, a test tehetetlenségének mértékét kifejezı fizikai mennyiség, a test tömege (pontosabban tehetetlen tömege) A tömeg a testnek egyik legfontosabb jellemzıje, mely (nem atomi mérető és nem nagyon nagy sebességő testek esetén (állandó az idıtıl, a helytıl, a test mozgásától és a reá ható erıktıl független) Ilyen esetben a második axióma dv m ma F dt Alakban is felírható Az az erı, melyet a Föld valamely testre kifejt, a test súlya (súlyon gyakran csak az említett erı nagyságát értik) Egy adott test súlya tömegével ellentétben a tér különbözı helyein más és más Tapasztalatunk szerint a szabadon esı testnek gyorsulása a tér egy adott helyén minden testre ugyanaz (légüres térben) Egy m tömegő test súlya olyan helyen, ahol a gyorsulás g, a II axióma értelmében G mg,illg G és g g jelöléssel Gmg Az erı nagyságának mértékegysége a newton (N), az az erı, mely az egységnyi gyorsulással mozgó egységnyi tömegre hat: N kg m s - A régebben használatos kilopond vagy kilogrammsúly és a newton közötti kapcsolat: kp 9,8 N Harmadik axióma (a kölcsönhatás törvénye, hogy az akció reakció elve) Ha egy anyagi pont vagy általában egy test egy másik testre hatást gyakorol, akkor a másik test is hatást fejt ki az elsıre s e két erı egyenlı nagy és ellentétes irányú Tehát ha az A test által a B testre kifejtett erı F AB s a B test által az A-ra gyakorolt hatás F BA, akkor F AB F BA Negyedik axióma (az erıhatások függetlenségének elve): Ha ugyanarra a tömegpontra egyidejőleg több erı hat, ezek együttes hatása egyenértékő az erık vektorális összegzéssel 9
nyert eredıjének hatásával Ha az m tömegő anyagi pontra ható erık F s az általuk, F,, Fn létrehozott gyorsulások külön a,a,,a n, akkor F + F + + F m(a + a + n + a n ) A KINETIKA ALAPEGYENLETE A tömegpont kinematikája és kinetikája között kapcsolatot teremtı F ma alaptörvényt a dinamika alapegyenletének is nevezik Ha az erıt és gyorsulást derékszögő koordináta rendszerben bontjuk fel, az alapegyenlet a következı alakot ölti: F x mx, & F my, && F mz & y z F x, F y, F z az erıkomponensek, & x,&& y, & z a gyorsuláskomponensek A felbontás történhet a tömegpont pályájának természetes koordináta rendszerében is Mint láttuk, a gyorsulásvektor felírható érintı irányú aeés normális irányú összegeként A II axióma értelmében mondhatjuk, hogy a tömegpontra a n összetevık F ma, ill F e e erı hat Az F e erı neve: érintıleges vagy tangenciális erı F n neve: normális vagy centripetális erı (4 ábra) Felhívjuk a figyelmet arra az F n centripetális erı vagyis a centripetális n ma gyorsulást elıidézı erı nem tévesztendı össze azzal az erıvel, melyet a tömegpont gyakorol az F n -t szolgáltató testre Ez a reakcióerı a centripetális erı ellenereje A természetes koordináta rendszerben felbontott gyorsulásnak binormális irányú összetevıje nincs, így F b 0 Ebben a koordináta rendszerben tehát az alapegyenlet így néz ki komponens alakban: dv v s& Fe m ms, & Fn m m dt R R n 4ábra E két egyenlet közül az elsıbıl következik, hogy: 0
dv állandó pályasebesség vagyis 0 esetén Fe 0, dt változó pályasebesség esetén F e 0 A második egyenlet értelmében: állandó pályasebesség esetén, ha R 0, állandó görbületi sugár esetén, ha v 0 F n F n Mozgó tömegpontra ható erı mindkét komponense csak abban az esetben zérus, ha v állandó és a görbületi sugár végtelen nagy A mozgásegyenletek két feladattípus megoldására alkalmasak: Ismert a tömegpont mozgása és keressük a mozgást elıidézı erıket Rendszerint adott a pálya és a pályabefutásának törvénye Ilyenkor célszerő az alapegyenlet: dv v Fe m, Fn m alakját alkalmazni dt R Ismertesse a tömegpontra ható F F(t,r,r& ) és keressük a létrejövı mozgást, vagyis azt az r r(t) függvényt, mely az F m& r differenciál egyenletet kielégíti Ez a feladat típus nehezebb, és nem minden esetben oldható meg szigorúan A megoldáshoz ismerni kell a t 0 idıponthoz tartozó r, r & 0 0 kezdeti értékeket, összesen 6 állandót 7 Példa Adott a 4 ábrán látható, vízszintes síkon nyugvó, sima felülető hasábok m, m tömege, valamint az F erı Meghatározandó az m tömegő hasábra ható F erı Megoldás Az alapegyenlet az m tömegő hasábra: F m a, ahol a a két hasáb közös pályagyorsulása 4ábra
Ez az F (m +m )a egyenletbıl: a F ' m, tehát a keresett erı: F F m + m m + m 8 Példa G súlyú jármő állandó v pályasebességgel halad végig a vázolt pályaszakaszon (43 ábra) A pálya görbületi sugara a legfelsı P pontban R Mekkora erıvel nyomja a jármő a pályát P- ben? 43ábra Megoldás A keresett erıvel egyenlı nagy, de ellentétes T erıt gyakorol a talaj a jármőre A tömegpontra ható erıket, a sebességet és a gyorsulást mely most azonos a centripetális gyorsulással a 44 ábra szemlélteti Az alapegyenlet: 44 ábra G G T g v, R v T G, gr ekkora erıvel nyomja a jármő a talajt v gr sebesség esetén a jármő kereke és a talaj közötti erıátadás megszőnik Ha a pálya görbületi sugara azonos a Föld sugarával (kb 6400 km), akkor az erıátadás v 9,8 6400000 793,6m /s 8km /s sebességnél szőnik meg Körülbelül ekkora a Föld közelében keringı mesterséges holdak sebessége is
35 A tömegpont legfontosabb mozgástípusai Az alábbiakban áttekintjük a tömegpontnak a mőszaki gyakorlat szemszögébıl a legfontosabb mozgástípusait A Állandó sebességő mozgás Mozgástörvénye: r + 0 0 r c t,r, c állandó vektorok, r mértékegysége m, c -é ms -, c 0 (45 ábra) 45ábra A pálya: az r 0 helyvektorú P 0 ponton átmenı és a c vektorral párhuzamos egyenes (vagy annak része), ilyen mozgást, ha a rá ható erık eredıje zérus a sebesség: v r& c, a gyorsulás: a & r 0, a tömegpontra ható erı: F 0 E mozgásfajtát egyenes vonalú egyenletes mozgásnak is A tömegpont akkor és csakis akkor végez nevezik Könnyen belátható, hogy c c jelöléssel a pálya befutásának törvénye: ss 0 +ct, a pályasebesség: v s& c, a pályagyorsulás: a e & s 0 A foronómiai görbéket a 46ábra szemlélteti B Állandó gyorsulású mozgás Mozgástörvénye: r r + c t + a t r (m), 0 0 c(m s ), a a(m s 0, ) állandó vektorok A mozgás megállapításánál két esetet különböztetünk meg: 46ábra a) c a, ekkor a mozgást egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgásnak nevezik A pálya: az r 0 helyvektorú pontos átmenı, 3
A sebesség: a gyorsulás: c és a vektorokkal párhuzamos egyenes v & r c + at, & r a, a tömegpontra ható erı: F ma Tehát a sebesség az idıben lineárisan változik, a gyorsulás állandó A II axióma értelmében a tömegpontra állandó, a gyorsulással egyezı irányba mutató vektorú erı hat E mozgástípus kinematikai és kinetikai viszonyait a 47ábra szemlélteti 47ábra A pálya befutásának törvénye: s s0 + ct + a et, a pályasebesség: v s& c + a t, e a pályagyorsulás: a e & s 48ábra Abban az esetben, midın s 0 0, c0, érvényesek a s a t, v a t, következı összefüggések: v e e a s e A foronomiai görbéket a 48ábra szemlélteti b) c vektor nem párhuzamos a -val: állandó gyorsulású mozgás Ennél a mozgásnál az r r x 0 ct + at r 4
(az r0 helyvektorú pontból a tömegpontba mutató) vektor a t eredıje, a tömegpont tehát mindig a P 0 kezdıpontú c és az at vektorok a és c vektorok által kifeszített síkban van Megmutatható, hogy a pálya olyan parabola íve, melynek tengelye párhuzamos az a vektorral E mozgástípusnál a sebesség: r & c + a t, a gyorsulás: & r a Az állandó gyorsulású mozgás jellemzıit s a tömegpontra ható erıt a 49 ábra szemlélteti 49ábra Bizonyítás nélkül megemlítünk két, az állandó gyorsulással kapcsolatos tételt: Tétel: Ha az állandó gyorsulású mozgás sebessége t t idıpontokban v, illetve v, akkor az említett idıközökben v + v vátl Tétel: Ha az állandó gyorsulású mozgás sebessége t t idıpontokban v, illetve v, az elmozdulás vektor r, a gyorsulás a, akkor v v + a r C Körmozgás A tömegpont körmozgást végez, ha a pálya kör, vagy körív Legfontosabb és legegyszerőbb fajtája az egyenletes körmozgás Ezt az jellemzi, hogy a tömegpont állandó sebességgel halad körön, vagyis: v s& állandó Ezt a mozgástípust a 4 példában megvizsgáltuk, itt már csak kiegészítjük az ottani megállapításokat 5
A pálya egyszeri befutásának ideje a keringési idı, vagy π periódus: T (s) ω A másodpercenkénti fordulatok száma a ω frekvencia: f (s ) T π Az ω πf összefüggés alapján ω-t körfrekvenciának is nevezik A kinematikai és kinetikai viszonyokat a 50ábra szemlélteti A tömegpontra állandó nagyságú erı hat, melynek vektora: F ma mω r (r 0P) A tömegpont mozgása közben az állandó nagyságú r, v, a vektorok állandó szögsebességgel forognak 50ábra Gyakran fordul elı az állandó pályagyorsulású körmozgás is Ezzel a késıbbiekben is foglalkozunk D Szabadesés, hajítások Ha a tömegpontot a Föld nehézségi erıterében magára hagyjuk és a tömegpont kezdeti sebessége v 0 0, a mozgást szabad esésnek nevezik Ha v 0 0, a mozgás neve hajlítás Az egyszerőség kedvéért a levegı ellenállását elhanyagoljuk és feltesszük, hogy a mozgás a földfelület közelében (legfeljebb néhány 00 méteres magasságban) történik Ilyen körülmények között a szabadon esı tömegpont függılegesen lefelé mozog, gyorsulásának nagysága: g 9,8 m s - és a tömegpontra ható egyetlen erı a súlyerı A 5ábrán látható koordináta rendszerben 6
r g t k, illetve z g t, r & v g t k, illetve z & v g t, & r a g k, illetve & z a e g az esési magasságot H, az esés idejét T jelöli, akkor: 5ábra H H gt, T, g a végsebesség: v H g H Pontosabb vizsgálatok szerint a szabadesés bonyolult jelenség (pl a nehézségi gyorsulás több változó függvénye, a légellenállás nem hanyagolható el, a Föld forgása is figyelembe veendı), de a mőszaki gyakorlat igényeit az egyszerősített tárgyalásmód is kielégíti A hajításokat szokás felosztani a v 0 0 sebességvektor vízszintes, függıleges és ferde helyzete alapján Mi a legáltalánosabb esetet tekintjük át, a ferde hajítást, melynél a v 0 vektornak a vízszintessel bezárt szöge A ϕ 0 eset a vízszintes hajítás, és a o ϕ 90 o ϕ 0 90 - a függıleges hajítás a ferde hajítás 5ábra különleges eseteinek tekinthetık A ferdén elhajított tömegpontra mozgása közben egyetlen erı hat, a súlyerı A súlyerı, a tömeg és a gyorsulás állandóságából, valamint az állandó gyorsulású mozgás tulajdonságaiból 5ábra következik, hogy a ferdén elhajított tömegpont pályája függıleges tengelyő parabola (5 ábra) Az ábrán látható koordináta rendszerben könnyen felírhatjuk a pálya egyenletét és néhány jellemzı adatát Az állandó gyorsulású mozgásra tanultak értelmében: a t r c t+ 7
Itt c c cosϕi + c sin ϕ j, a & y j g j A tömegpont koordinátái tehát c c jelöléssel: x c cos ϕ t, yc sin ϕ t- g t A pálya explicit egyenlete: y x tg g ϕ x c cos ϕ Ebbıl a hajítási távolság: c L sin ϕ g Ez akkor maximális, ha ϕ 45 o, ekkor c Lmax g A röppálya magassága: c sin ϕ H g E Harmonikus rezgı mozgás A következıkben az egyenletes körmozgás vetületi mozgását vizsgáljuk Egy A sugarú körön állandó pályasebességgel mozgó pont kezdeti helyzete legyen P 0 és a ponthoz vezetı sugár szögsebessége ω Vetítsük a körön mozgó pontot az 0 kezdıpontú és a kör síkjában fekvı x tengelyre A vetületi pont mozgástörvénye a 53 ábra alapján: x A cos ( ω t α) Könnyen belátható, hogy a tengely alkalmas megválasztásával a vetületi pont mozgástörvénye általában x A cos, vagy x B sin ( ω t β) 53ábra 8
Mindezeket a mozgásokat harmonikus rezgı mozgásnak nevezik A mozgás függvényekben szereplı A (ill B) távolság dimenziójú mennyiség a harmoniku8s rezgı mozgás amplitúdója, α(β) a nullafázisszög vagy fáziseltolási szög, ω a rezgés vetítı szögsebessége vagy körfrekvenciája A vetületi pont a tengelyen váltakozó irányban mozog, miközben a származtató pont befutja a kört A rezgésidı és rezgésszám hasonlóan definiálható, mint a körmozgásnál A harmonikus rezgımozgás pályasebessége: v x& Aωsin( ωt + α), pályagyorsulása: a & x Aω cos( ωt + α) ω x e A foronómiai görbéket a 54 ábra szemlélteti A fenti egyenletekbıl, ill a foronómiai görbékbıl a harmonikus rezgı mozgás következı fontos tulajdonságai olvashatók le: π a) x, v, e e T ω szerint periodikus b) a pályasebességnek szélsı értéke van, midın az ívkoordináta zérus és megfordítva, c) a pályagyorsulásnak szélsı értéke van midın x A, zérus, x0-nál a pályagyorsulás d) a pályagyorsulás egyenesen arányos az ívkoordinátával, de ellentétes elıjelő 54ábra 9
55ábra Megjegyezzük, hogy mindezek a tulajdonságok beláthatók a vetületi mozgásokra tanultak alapján is A harmonikus rezgı mozgást végzı tömegpont mozgásjellemzıit s a reá ható erıt a pálya néhány pontjában a 55 ábra szemlélteti E mozgásfajta mőszaki jelentıségét az adja, hogy a gyakorlatban elıforduló periodikus mozgások sokszor, közelítıleg harmonikus mozgások, vagy ilyenekbıl összetettnek tekinthetık A 56 ábrán látható mechanizmusokkal megvalósítható a harmonikus rezgı mozgás A kulisszás mechanizmussal (56/a) pontosan, a forgattyús mechanizmussal (56/b közelítıleg a közelítés annál jobb, minél nagyobb l / r) 56ábra Ha a mozgásjellemzıket nem az idı, hanem a koordináta függvényében vizsgáljuk, akkor a következı megállapításokat tehetjük: a) a vv(x) ábra ellipszis, b) az a e a e (x) ábra egyenes szakasz Elıször azt mutatjuk meg, hogy azok a pontok, melyeknek derékszögő koordinátái egy harmonikus rezgı mozgás összetartozó x, v értékei, ellipszisen vannak Legyen a mozgásegyenlet az egyszerőség kedvéért 30
x Asin ωt Ekkor v A ω cos ωt A ω ( sin ωt) A ω ω x, ebbıl x A v + A ω Tehát az x,v koordinátájú pontok egy A, A ω tengelyő ellipszisen vannak (57/a ábra) A gyorsulás ábrára vonatkozó állítás pedig az adódik (57/b ábra) a e ω x, x A összefüggésekbıl 57ábra Az egyenes vonalú harmonikus rezgı mozgást származtathattuk volna az a & x ω x Cx, (C 0) összefüggésbıl kiindulva is Vagyis abból a e tulajdonságból, hogy a pályagyorsulás arányos és ellentétes elıjelő a koordinátával A kinetikában gyakran felhasználjuk, hogy az így definiált mozgás periódusa T π C F Ciklois-mozgás A következıkben gördülı mozgást végzı jármőkerekek, ill kör alakú tárcsák (pl körfőrészlapok) pontjainak mozgásával foglalkozunk Gördüljön egy R sugarú körlemez egy derékszögő koordináta rendszer x tengelyén úgy, hogy középpontjának 3
sebessége állandó c legyen t0-nál a körlemez középpontjának koordinátái legyenek: 0, R és vizsgáljuk azon pontjának mozgását, amely kezdetben egybeesett az origóval (58 ábra)- Egy késıbbi idıpontban az említett pont helyvektora: r r 0 + rp ct c jelöléssel : r R c 0 Az r p vektor felírása végett gondoljuk meg, hogy a körlemez mindegyik sugara (így az r vektorral p egybeesı is) egyenlı idık alatt egyenlı szöggel fordul el, vagyis a körlemez sebessége állandó ω érték lesz: x O c t R ωt a gördülés miatt, tehát ω c R 58ábra Az r p vektor így a következı c R sin t r R p c R cos t R A mozgásfüggvény tehát: r r + r c c t R sin t R : c R R cos t R O p Ez egy közönséges csúcsos ciklois egyenlete, a mozgás ciklois-mozgás A sebesség és gyorsulásvektor állását a 59 ábra szemlélteti A gyorsulásvektor mindig a gördülı kör pillanatnyi középpontjába mutat A sebességvektorra vonatkozólag késıbb magyarázatot adunk Ha a 59ábra 3
körlemez egy belsı Q, vagy egy, a körlemezhez rögzített külsı Q pontjának pályáját vizsgáljuk, teljesen hasonló megoldással élhetünk, csak R helyett a képletben kr szerepel Ha k<, akkor nyújtott, ha k> akkor hurkolt cikloist kapunk (60 ábra) Az ábra mellett feltüntettük a görbe paraméteres egyenletrendszerét is Ha egy tárcsa középpontjának sebessége c, s a tárcsa haladása közben ω szögsebességgel forog, akkor a nyújtott, ill hurkolt ciklois-pályákat leíró pontokat elválasztó kör R sugarát az R c képlettel számíthatjuk ki ω 9 Példa Határozzuk meg közelítıleg a keretfőrész hajtórúdjában ébredı erıt üresjárat esetén! A közelítés abból fog állni, hogy a főrészkeret mozgását harmonikus rezgı mozgásnak tekintjük, tehát a mozgást az x r cos t ω függvénnyel írjuk le (lásd: és 4 példa) A hajtórudat t0-nál függıleges helyzetőnek vesszük 60ábra Megoldás Legyen a főrészkeret súlya G, a hajtórúd által a keretre gyakorolt erı F Modellezzük a főrészkeretet egy tömegponttal, mely 0 pont körül r amplitúdójú és ω körfrekvenciájú harmonikus rezgı mozgást végez (6 ábra) A mozgásegyenlet: F G G g & x G ( xω g ), xω F G( g ) 6ábra A rúderı tehát lineárisan változik g A rúd nyomott a r x < szakaszon, ω húzott a g ω < x r szakaszon 33
36 Faforgácsoló gépek kinematikájának alapjai RELATÍV MOZGÁSOK A faforgácsoló gépek forgácsolást végzı elemei fogcsúcs késél többnyire egyszerő mozgást végeznek a földhöz, az álló gépalaphoz kötött koordináta rendszerben A pályák általában egyenes szakaszok, körök Ha azonban a mozgást rendszerint mozgó munkadarabhoz kötött koordináta rendszerben vizsgáljuk, a forgácsoló elemek mozgását jóval bonyolultabbnak találjuk Gyakran mégis szükség van arra, hogy a mozgást a munkadarabhoz kötött koordináta rendszerben vizsgáljuk, vagyis a forgácsolást végzı elem relatív mozgását tanulmányozzuk A faforgácsoló gépek mőködtetése s az általuk elıállított termékek minısége szempontjából egyaránt szükséges e relatív mozgásokkal kapcsolatos kinematikai tények ismerete A továbbiakban három jellegzetes esetben vizsgáljuk meg a relatív mozgásokat, a szaktárgyakban sorra kerülı részletes tárgyalás mechanikai elıkészítéséül A KERETFŐRÉSZLAP FOGCSÚCSÁNAK RELATÍV MOZGÁSA Legyen a keretfőrész gépalapjához kötött x,y koordináta rendszerben a főrészlap P fogcsúcsának mozgása az abszolút mozgás, a keretfőrész felé tolt rönkhöz kötött ξ, η koordináta rendszerben vizsgált mozgás a relatív mozgás (6/a ábra) Az ábrán alkalmazott jelölésekkel r r Ω + ρ, Illetıleg ρ r r Ω 34
6ábra A 6/b ábra szerint ρ a fogcsúcs helyvektora a ξ, η rendszerben Feltesszük, hogy a rönköt folyamatosan toljuk a gép felé, állandó c sebességgel Ekkor az elıbb említett vektorok a következık: r cosωt + a r, l r sin ωt + b d c t r Ω, h a relatív mozgás törvénye tehát: a d + c t ρ r rω : r cosωt + l r sin ωt + b h Ha figyelembe vesszük, hogy l r sin ω t l, a közelítı mozgásfüggvény: a d + c t ρ r cosωt + l + b h 35
A fogcsúcs relatív pályája tehát általános sinus-vonal A relatív mozgás sebessége közelítıleg: c ρ& rωsin ωt A fogcsúcs a rönkhöz viszonyított sebessége tehát c és c + r ω között ingadozik A FURNÉR-HÁMOZÓKÉS RELATÍV MOZGÁSA Kinetikai szempontból a furnérhámozás lényege a következı: állandó ω szögsebességgel forgatunk egy R sugarú hengert, miközben egy, a henger tengelyével párhuzamos élő kést mozgatunk állandó sebességgel, a henger tengelyével párhuzamos síkban Kinematikai szempontból a problémát a késél mozgásának vizsgálata jelenti a hengerhez kötött koordináta rendszerben 63ábra A vizsgálat célja polárkoordináta rendszert célszerő alkalmazni Ha a késél mozgássíkjának a henger tengelyétıl mért távolsága d, a késél sebességvektorának és az él támadáspontjának (ez a hengerhez tartozik) sebességvektora által bezárt szög ν (63 ábra), akkor a következı esetek különböztethetık meg: D0 ESET Ez az eset igen egyszerő A 64 ábráról leolvasható, hogy a hengerrel együtt forgó polárkoordináta rendszerben r R ct, ϕ ωt 36
A késél mozgása tart R T ideig c A mozgásfüggvény r r( ϕ) alakban a következı: c r R ϕ ω 64ábra A relatív pálya archimedesi spirális A vágási sebesség komponensei: v r r& c, vϕ rϕ & (R ct) ω A vágássebesség abszolút értéke az idı függvényében: v c + (R ct) ω A sugár függvényében: v c + r ω d>0, ν < π/ ESET A 65ábra alapján elıször az rr(t) függvényt írjuk fel: r d + x, x R d ct, r d + ( R d ct) r R ct R d + c t 37
A ϕ ϕ(t) szög így számítható: ϕ ωt β, β d arc cos R d arccos, r 65ábra d d ϕ ωt arc cos + arccos R R ct R d + c t ν π/ ESET Hasonlóan intézhetı el, mint a ν π/ eset, ϕ képletében jelentkezik csupán elıjelkülönbség Figyelemre méltó, hogy azonos d esetén két különbözı alakú relatív pálya adódik A GYALUGÉP VÁGÓÉLÉNEK RELATÍV MOZGÁSA A gyalugép vágó-élének és a körfőrészlap fogcsúcsának relatív pályája (a faanyaghoz kötött koordináta-rendszerben) teljesen hasonló gondolatmenettel határozható meg, mint amelyet a ciklois mozgásnál követtünk A gyalugép forgórésze (66 ábra) a tengely körül ω szögsebességgel forog, miközben a munkadarab c sebességgel halad elıre A vágó-él valamely pontjának pályáját a munkadarabhoz kötött x, y koordináta rendszerben vizsgáljuk 38
A ciklois mozgásnál szerepelt három vektornak most a következık felelnek 66ábra c t R sin ωt c t + R sin ωt meg: r0, rp r r0 + rp b R cosωt b R cosωt Most c és ω között nem áll fenn a cr ω kapcsolat A relatív pályagörbe hurkolt ciklois 30 példa Furnérhámozásnál bizonyos jelentısége van a kinematikai hátszögnek Ez a relatív pályagörbe valamely érintıje s az érintési ponthoz tartozó sugár normálisának szöge A szakirodalom αg -vel 67ábra archimedesi spirális, vagyis d0 esetén jelöli (67ábra) Határozzuk meg ezt a szöget Megoldás A sebességvektor polár-koordinátás felbontásából leolvasható, hogy 39
tgα g v v r ϕ c (R ct) ω Szükség lehet a kinematikai hátszög és a h furnérvastagság közti kapcsolatra is Ha T a π forgás periódusa, h ct c c t visszahelyettesítve és figyelembe véve, hogy R- ω ctr, h α g arctg πr 37 Munka, teljesítmény, energia Néhány további fogalom bevezetésével olyan tételekhez juthatunk, melyek feladatok során gyakran elınyösebben használhatók, mint az alapegyenlet MECHANIKAI MUNKA Ha egy tömegpontra állandó F erı hat, miközben a tömegpont elmozdulás vektora r, akkor az erı által végzett mechanikai munka W F r F r cosϕ (kgm s ) ( ϕ a két vektor által bezárt szög) A munka mértékegysége joule Nm, jele: J Ez a skaláris mennyiség pozitív, zérus, vagy negatív lehet, eszerint, amint az erı- és elmozdulás-vektor szöge hegyes- derék- vagy tompaszög Ha r elmozdulás során F, F,,F n állandó erık hatnak a tömegpontra, akkor W F r + F r + + F r (F + F + + F ) r F n n r 40
Tehát az eredı munkája egyenlı az összetevık munkáinak algebrai összegével Általános esetben, mikor a tömegpont valamilyen görbe vonalon jut el az r helyvektorú P pontból az r helyvektorú P pontba és közben F is változik, a mechanikai munka értelmezése a következı A P, P görbedarabot n részre osztjuk úgy, hogy az osztópontok egy P -tıl P -be vivı vektorsokszög szögpontjai legyenek (68 ábra) Ha elég sőrő a görbedarab felosztása, akkor a vektorsokszöget alkotó elmozdulás vektorok jól megközelítik a pályagörbét és az F összeg tekinthetı a r + F r + + Fn rn változó F erı munkája közelítı értékének, midın F támadáspontja P -bıl P -be jut Itt, F,,a r, r, elmozdulás vektorhoz F tartozó és egy-egy szakaszon állandónak vehetı vektor Ezek után a munka definícióját így adhatjuk meg: 68ábra W lim i n n i max ri 0 F r i i lim i n n i (F x x i i + F yi y i + F zi z ) i x F dx + Fydy + Fz dz x y z r x Fdr, r (x, y,z), r (x, y,z) y z r Ha az F erıt a pálya érintıjébe esı F e és arra merıleges összetevıre bontjuk fel (69 ábra), akkor az F erı ds úton végzett elemi munkáját az F e összetevı munkája adja Ha az F e F e (s) függvény vagyis az érintıleges komponens az ívkoordináta 69ábra függvényében ismert, akkor az s, ill s ívkoordinátájú P, ill P pontok között végzett munka: 4
W s s F (s)ds e Speciálisan, ha az erı támadáspontjának pályája görbe vonal és az erı vektora állandó (70 ábra), akkor a munka: W s Fcosϕ ds F cosϕ ds s s s Fs v, s v : a pályaszakasz vetületének elıjeles hossza 70ábra MECHANIKAI TELJESÍTMÉNY A munkavégzés sebességének jellemzésére vezetjük be a mechanikai teljesítmény fogalmát Valamely t idı alatt W munkát végzı erı átlagos teljesítménye: P átl W t Az erı- és munkagépeknél általában ezzel számolnak Az átlagteljesítmény t 0 -ra adódó határértéke a pillanatnyi teljesítmény: dw P dt Ez a skaláris mennyiség pozitív, zérus vagy negatív lehet A teljesítmény mértékegysége az watt, jele W W J s m s 3 kg Nagyobb egység a kilowatt000 watt A teljesítmény fontos kifejezéséhez juthatunk el a következıképpen: 4
P dw dt F dr dt F v F x& + F y& + F z& x y z Ha ismert pálya adataival kívánunk dolgozni, a PF e v Képlettel is számolhatunk, ahol v a pályasebesség Ha a tömegpontra több erı hat, az eredı erı teljesítménye egyenlı az összetevı erık teljesítményeinek algebrai összegével Ugyanis ha az összetevık F,, F, az eredı F,a n sebesség v : Fv + F v + + F v (F + F + + F )v Fv n n A teljesítmény és a munka közötti kapcsolata következı: ha W jelöli az erı által a t, t idıközben végzett munkát, akkor W P dt F v dt, t [ F (t)x(t) & + F (t) y(t) & F (t)z(t)] dt W x y + z & t MECHANIKAI HATÁSFOK A gépek mőködése közben a befektetett W b munka egy része nem az eredeti célra, hanem különféle ellenállások leküzdésére fordítódik Ha ezt a veszteséget W v -vel jelöljük, akkor a gép rendeltetése szempontjából hasznos munka W h W b W v A gépek gazdaságosságát jellemzi a mechanikai hatásfok: W W h η b 43
A hatásfok -nél kisebb, dimenzió nélküli szám A hatásfok más formában: η W W h b Wb W W b v W W Kifejezhetjük a hatásfokot a teljesítménnyel is, ha a fenti törtek számlálóját és nevezıjét az idıvel elosztjuk: P P h b v v η, b P P P b P P b v b Ahol P b, P h, P v a befektetett, hasznos teljesítmény, ill teljesítmény-veszteség Ha egy hajtómő hatásfoka η és a hajtómővel egy η hatásfokú gépet mőködtetünk, akkor a második géppel közölt ηηpb teljesítmény Pb ηpb,így a rendszer hatásfoka : η η η P b Általában η, η hatásfokú gépekbıl álló rendszer esetén az összhatásfok: η,, n η η ηηn MECHANIKAI ENERGIA Az m tömegő, v sebességő tömegpont kinetikai energiáját így értelmezzük: E k mv mv ms& Ez a munka jellegő skaláris mennyiség, mértékegységei azonosak a munka mértékegységeivel Ha az m tömegő, zérus-sebességő anyagi pontot v sebességőre gyorsítjuk, a gyorsító erı munkája mv 44
A kinetikai energia t, s, v szerinti deriváltjainak kinetikai jelentésük van, ugyanis: de dt d mv dt dv Fe mv mv dt m k P, de ds dv dv dt mv mv mva ds dt ds v k e F, e 3 Példa de k mv mv dv Számítsuk ki a főrészkeret kinetikai energiáját a) az idı függvényében, b) b) az ívkoordináta (kitérés) függvényében Egyszerőség kedvéért tekintsük xr cos ωt törvényő harmonikus rezgı mozgásnak a főrészkeret mozgását A keretfőrész tömege m, a forgattyú sugara r, a forgattyú szögsebessége ω Megoldás A főrészkeret sebessége v- r ω sin ωt, így íz energia: a) EK mv m( rωsin ωt), EK mr ω sin ωt x b) EK mv m( rω cos ωt ) mr ω ( ), EK mω (r x ) r Az energia változását t, ill x függvényében a 7 ábra szemlélteti 45
a b 7ábra 3 Példa Számítsuk ki az elızı példában szereplı keretfőrész hajtórúdjában ébredı erı teljesítményét a koordináta függvényébenmegoldás A 9 Példa ábrája és eredménye alapján számolhatunk Változzék x -r-tıl +r-ig xω P P(x) Sv G( g ω )( rωsin ωt) G rω( x ) g cos ωt ω x P(x) Grω( x ) g r 7ábra 38 Kinetikai tétele 38 Kinetikai tételek A függvényt a 7 ábra szemlélteti EGYETLEN TÖMEGPONTRA VONATKOZÓ TÉTELEK A tömegpontra ható erı F e érintıleges komponense és a pályasebesség között az alapegyenlet dv értelmében fennáll az F e m összefüggés, melybıl a tömegpont mv mozgás dt mennyiségének megváltozása: mv mv F e(t)dt t t 46
Általánosabban, ha t idıpontban az m tömegő anyagi pont sebessége v, t idıpontban v, s a tömegpontra ható erı F(t), akkor érvényes a következı Tétel (impulzustétel): m v mv F(t) dt t t A tétel alapján, az erı ismeretében következtethetünk a sebességváltozásra, ill kiolvasható a tételbıl, hogy a mozgásmennyiségnek rövid idın belüli nagy változását (ütközés) nagy erı t idézi elı Az F (t)dt mennyiséget lökésnek vagy impulzusnak nevezik t A tömegpont kinetikai energiájának az ívkoordináta szerint deriváltja - mint láttuk - : de ds d ds k ( mv ) Fe, amibıl mv s mv F e(s)ds 73ábra Általánosabban, ha t idıpontban az m tömegő anyagi pont sebessége v, t idıpontban v, s a tömegpontra ható erı munkája a vizsgált idıközben W, akkor érvényes a következı Tétel (munkatétel): s W r mv mv F(r)dr F e(s)ds W r s s Ez a tétel éppen úgy, mint az elızı a kinetika alaptételének következménye Az alaptételnél kevesebbet mond, mert a tömegpontra ható erık eredıjének normális 47
komponensét nem tartalmazza Különösen olyankor alkalmazható elınyösen, mikor a tömegpont sebességét keressük az ismert pálya egyes helyein A tétel értelmében, ha a pályasebesség s így a kinetikai energia nem változik meg, akkor az erık összmunkája zérus Legyen a síkban mozgóm tömegő pont sebessége v, a pontra ható erı F és a pálya egyenesének távolsága a tetszıleges 0 pontról r Ekkor oldalt r-rel szorozva dv rmv rf rm d dt dt dv F m, ill mindkét dt rf M 0 az erınek, rmv Π 0 pedig a mozgásmennyiségnek 0-ra vonatkozó nyomatéka Fennáll tehát a következezı összefüggés: dπ0 M 0, ill Π Π M(t)dt dt t t Általánosabban is érvényes tételhez juthatunk a következıképpen: legyen az 0 nyomatékvonatkoztatási pont egy derékszögő koordináta rendszer kezdıpontja, s legyen az m tömegő pont helyvektora r, sebessége v, akkor a tömegpont mozgásmennyisége 0-ra vonatkozó perdülete m v, ennek r xmv A perdület valamely tengelyre is számítható, például az x tengelyre Π m(yz& ) Legyen végül a tömegpontra ható erı 0-ra vonatkozó nyomatéka M, x ekkor érvényes a következı Tétel (perdület-tétel): dπ dt 0 M 0, ill ha t, t idıpontban a perdület Π ill, akkor, Π Π Π M (t)dt t t A tételbıl kiolvasható, hogy a perdület nem változik meg, ha a tömegpontra ható erık 0-ra vonatkozó nyomatéka zérus A tétel hasznosságáról a továbbiakban gyızıdhetünk meg 48
TÖMEGPONT-RENDSZERRE VONATKOZÓ TÉTEL Több tömegpontból álló rendszer esetén a rendszer tömegközéppontját így értelmezzük: r c miri, m i ahol r i az i-edik tömegpont helyvektora, m i a tömege A tömegközéppont bár elvileg különbözik a mőszaki gyakorlat szemszögébıl azonosnak vehetı a rendszer pillanatnyi súlypontjával Tétel: A tömegpontrendszer tömegközéppontjának mozgásmennyisége egyenlı a rendszert alkotó tömegpontok mozgásmennyiségeinek vektorális összegével: m vc mivi, ahol m mi Tétel: (a tömegközéppont tétele): ha a tömegpontrendszer tömegközéppontjának gyorsulása a c, a rendszerre ható külsı erık (a rendszerhez nem tartozó testek hatásai) vektorális összege K i K akkor K ma c A tömegközéppont mozgását ezek szerint a rendszer sebességállapota és a külsı erık szabják meg A tétel fontos speciális esete: ha K 0, akkor a c 0, v c const vagyis, ha a külsı erık összege zérus, akkor a rendszer mozgásmennyisége állandó, a tömegközéppont állandó sebességő mozgást végez vagy nyugalomban van Általánosíthatjuk a korábban megismert munka- és perdület-tételt is A tömegpontrendszer kinetikai energiáját a rendszert alkotó elemek kinetikai energiájának algebrai összegezésével nyerjük A tömegpontrendszerre ható erık munkája hasonlóan számítható Figyelembe 49