lapfogalmak. Matematika: bizonos szerkezetű kijelentő mondatok. () Kijelentő mondatok Naívan azt gondolnánk, hog minden kijelentő mondat vag igaz, vag hamis. (zaz, ha kérdő mondattá fogalmazzuk át, akkor - legalábbis elvben - lehet rá igennel vag nemmel válaszolni.) DE ez a a felosztás nem jó. Értelmetlen (a) Szintaktikailag (formai) hibás értelmetlen értelmes Nem nem Te hat óra, Te se magar beszélni kicsi. (b) Szemantikailag (tartalmilag) hibás Pl. pő, ha engemél kimár De mindegeg ha vildagár, Mert engemél minder bagul, Mint vélgaban a bégahúr. (Karinth Friges: Mint vélgaban ) Ez az egész persze nem kijelentő mondat (honnan tudjuk?!!, azt azonban tudjuk, hog vers és a költő szomorú) és például a követkeő példa az ún. elhallgatott presuppositiora sem az: Rendőrségi kihallgatás: Igennel vag nemmel válaszoljon! Még mindig veri a feleségét? de a másik kedvencem az: cosinus tételnek paprikáscsirke illata van. Sokan ide sorolják a híres Hazug paradoon-t is: Én most hazudok. Uganis ez nem lehet sem igaz, sem hamis. Meglepő módon - amint majd látni fogjuk - ezzel a kérdéskörrel kapcsolatos a következő rejtvénsorozat: ombázós rejtvén. Értelmes Ezek valában lehetnek igazak ill. hamisak. z igazi feladat tehát ilen mondatokat mondani, vag úg kérdezni, hog ilen válasz adható legen. Vizsgán lénegében nem érdekel, hog a hallgató válasza jó-e vag rossz (igaz-e vag hamis), igazán csak az értelmes legen. Ez pedig a szerkezetén múlik. () Matematikai kijelentések szerkezete Olan mondatok, melekben (előzőekben már definiált) matematikai objektumok, tulajdonságok stb. (pl. szám, halmaz, függvén, páros, kisebb, összeg, eleme, osztható stb.) és ún. logikai konnektívumok (és, vag, ha... akkor, stb.) szerepelnek. Ezeket persze sokszor szimbólumaik segítségével szerepeltetjük (a matematikában szokásos nel-
vet, mel magar szöveg és szimbólumok sajátos elege, matematikai magarnak is nevezhetjük. Pl. kettő meg három helett persze +-at írunk stb. ) mi új, hog a logikai konnektívumokra is szimbólumokat vezetünk be, mert ahog a ( meg )-szor 5 -nél áttekinthetőbb a (+) 5, uganez igaz a logikai konnektívumokra is. Ezek szimbólumai:,,, =,,, Példa Teljes indukció (ω a term. számok, az eleme reláció), HF: 6 n + 5n ármel a természetes számokon értelezett p tulajdonság esetén p() ( n ω)[p(n) p(n + )] = ( n ω)p(n) Speciális számhalmazok:. lapvető matematikai objektumok () HLMZOK ω (N), Z, Q, R, C Halmazrelációk, -műveletek :,, =,,,,, \. Jelölés: Ha p() azt jelöli, hog p tulajdonságú (például p() azt jelölheti, hog páros, vag kisebb, mint ), akkor a H halmaz p tulajdonságú elemeinek halmazát íg jelöljük: { H : p()}. Például a páros természetes számok halmaza (a b annak szimbólikus jelölése, hog b osztható a-val): { ω : }. Jelölés: dott halmaz rendezett párjaiból (n-eseiből) alkotott halmaz: {(a, b) : a, b }, n {(a, a,..., a n ) : a i }, n ω Példák E = emberek halmaza, Házaspárok = H E, Sík pontjainak halmazának jellemzése koordináta-párokkal, Föld felületének jellemzése szélességi-hosszúsági koordinátapárokkal. () FÜGGVÉNYEK (a) Definíció Szinonímák: hozzárendelés, leképezés, megfeleletetés, transzformáció, operáció (utóbbi kettőt inkább speciális esetekben használjuk, pl. a tükrözés geometriai transzformáció). f() f H Do f f*h Rg f
Jelölés: f :. Do f =, Rg f. Függvénekkel már találkoztunk, azok általában számhalmazok között működtek. függvén lehet akármit akármihez rendelő megfeleltetés: Példák: (nem valós függvénekre) emberek nevek magar szavak angol szavak emberek telefonszámok Sorozatok: (, /, /, /4, /5,...), a : ω Q, mégpedig a n = /n tetsz. n ω. (,,, 7,...), a : ω ω, a n =? Majd látni fogunk például függvéneken értelmezett függvéneket is. Szemléltetés: Valós esetben függvén gráfja: G(f) = {(, ) R : f() = } = {(, f()) : Do(f)} De 4 4 6 8 4 4 4 Kérdés: Lehet-e kör eg függvén gráfja? (Egértelműség) (b) Halmaz függvén szerinti képe f H { : ( H)f() = } minden H Do f-re Példák Fenti függvének és ismert matematikai függvének eetén. Pl. ember-név esetén fiúnevek, f() = sin, H = [π/6, π/] f H = [/, /]. g :, f : C D, C Rg f. Példák (c) Öszetett függvén, függvén kompozíció (f g)() f(g()), Ha van magar-angol és angol-szuhaéli szótáram, akkor van magar-szuhaéli szótáram, Egszerű függvénekből nagon egszerűen lehet rendelésre mindenféle őrült függvéneket csinálni: f() = sin, g() = /, (f g)() = sin /..8.8.6.6.4.4...4...4....4.5...4.4.6.6.8.8
4 (d) Invertálhatóság Egik legalapvetőbb tulajdonság, hog fennáll-e eg adott H Do f halmazon, hog (, H)( = f() f()) vagis, hog f H-n ún. kölcsönösen egértelmű függvén-e. (Előző ábrán legalsó níl nincs.) Ha igen, azt mondjuk, hog f invertálható, azaz létezik az inverze. Inverz függvén (Eg adott halmazon) (Megfordított nilak=visszafele függvén) Ha f invertálható H Do f-en, akkor f inverze H-n az a g : f H H függvén, melre g(f()) = minden H. Ez a függvén minden -hoz azt az -et rendeli, amelikhez f az -t rendelte. Jelölés: f. Például: szótárak, telefonkönvek, képletgüjtemén esetén: másik szótár, tudakozó,?? ezért kell a képleteket memorizálni!! f() = + = + = f () = f () = Nem mindig fejezhető ki ilen egszerően. f() =. Csak nem negatívakra (vag nem pozitívakra eg-eg értelmű, itt definícióval: f () =. Inverz gráfja. 4 4 Állítás f (f()) = ( H), f(f ()) = ( f H), (f ) = f (f g) = g f () RENDEZÉS Rögzítjük a már jól ismert < ill. tulajdonságait, meleket használni fogunk és eg kicsit általánosítjuk is, hog ne csak számok közötti összehasonlítást tudjunk végezni. (a) Definíció z (, <) rendezett halmaz (ill. < rendezés -n) ha (i) a a minden a -ra (irrefleív) (ii) a < b b < c = a < c minden a, b, c -ra (tranzitív) a b a < b a = b Például a nagságszerinti rendezés ω-n vag R-en, ω-n az oszthatóság, a szigorú tartalmazás ( ) a halmazok között. Eg rendezés lineáris (vag trichotom) ha minden két elem összehasonlítható (a halmazok tartalmazása vag ω-n az oszthatóság nem ilen): a < b a = b a > b (azaz a b b a) minden a, b -ra.
5 Állítás (i) < aszimmetrikus, azaz a < b b a (ii) a < b a b izonítás. Indirekt: (i) Tranzitivitással a < b b < a a < a, ami ellentmond az irrefleivitásnak. (ii) a < b a = b a < a, ami ellentmond az irrefleivitásnak. Házi feladat izonítsuk be, hog (i) refleív és antiszimmetrikus, azaz a a és a b b a = a=b (ii) lineáris rendezés esetén az a < b, a = b, b < a esetek közül pontosan az egik áll fenn. (b) Speciális részhalmazok Intervallum: (, <), rendezett a, b, a < b esetén: (a, b) { : a < < b}, [a, b] { : a b}, (, a] { : a}... (félig) nílt, zárt (felülról, alulról) korlátos... Korlátosság (Fenti általánosítása) Definíció Legen (, <) rendezett halmaz, H. H felülről (alulról) korlátos ha ( K )( H)( K) ( K). H korlátos ha felülről és alulról is az (R-en ez ekvivalens: ( K R)( H)( K)). h H suprémuma (infimuma) (sup H, inf H) ha h legkisebb felső (alsó) korlát, azaz - h felső (alsó) korlát - K felső (alsó) korlát h K( K). Nilván csak felülről (alulról) korlátos halmaznak van suprémuma (infimuma). Példa (6 eset: helre választhatunk:. helre 4 félét ( K/, K/),. helre már csak félét (K-hoz kell ill. fordítva) és a két ekvivalenset ki kell vonni: 4 = 6) Legen H R tetszőleges. Mit tudunk H-ról, ha ( K > )( H)( K) : H ( K > )( H)( K) : H {} ( H)( K > )( K) : H ( K > )( H)( K) : inf H = ( K > )( H)( K) : H korlátos ( H)( K > )( K) : H tetszőleges Példa Olan felülről korlátos halmazra, melnek NINCS suprémuma: { Q : = ±/n}, H { Q : = /n}. Ekkor G { Q : = /n} minden eleme felső korlátja H-nak, de ezek között nincsen legkisebb. Definíció (c) Függvének és rendezés Legen (, <), (, <) rendezett halmazok, D, f : D, H D.
6 f (szigorűan ) (monoton) növő (csökkenő) H-n ha minden, H esetén f() f(), (f() f()) (f() < f(), f() f()). f felülről (alulról) korlátos H-n ha f H az. (azaz ( K )( H)(f() K) (f() K). f korlátos H-n ha felülről és alulról is az. sup H f() sup f H, inf H f() inf f H. Ha van H, hog f() = sup H f() (f() = inf H f()), akkor felveszi a suprémumát (infimumát) H-n, ez a maimuma (minimuma) H-n. Nilván csak adott halmazon felülről (alulról) korlátos függvénnek van itt suprémuma (infimuma). Példa Ideális esetben ceteris paribus (= ha az egebek egenlők) a lakás ár a lakás alapterület függvénében nő, a légnomas a tengerszint feletti magassággal csökken. Legen R-en c <, f() + c, g() c. Ekkor tudjuk, hog f monoton nő, g pedig monoton csökken. Példa R-en: f() = / 4 4 4 4 inf (,) f() = inf (,] f() = elöbbin nem, utóbbin felveszi sup (,) f(), sup (,] f() mert felülről nem korlátos inf (,) f(), inf [,) f() mert alulról nem korlátos sup (,) f() = sup [,) f() = elöbbin nem, utóbbin felveszi inf (,) f() = inf [,] f() = / elöbbin nem, utóbbin felveszi sup (,) f() = sup [,] f() = elöbbin nem, utóbbin felveszi inf (, ) f() = inf [, ] f() = egiken sem veszi fel sup (, ) f() = sup [, ] f() = elöbbin nem, utóbbin felveszi Állítás Ha f : szigorúan monoton függvén, és lineárisan rendezett halmazok, akkor invertálható és f inverze uganolan értelemben monoton.
7. izonítás. (formális) Legen f : szigorúan növő (a másik analóg). Ekkor (i) < < f() < f() f() < f() f() f(). (ii) Indirekt: a, b Rg f, a < b, f (a) f (b). Ekkor a = f(), b = f() valamel,, íg a < b f() < f() = f (a) f (b) = f (f()) = f() f() ellentmondva f() < f()-nak.. izonítás. (informális függvén-szemléltés ún. níldiagrammal) Szigorúan növő iff a nilak páronként közös pont nélküliek. Ekkor (mivel nincs közös pont a végpontokban sem) van inverz, melnek diagrammja egszerűen a nilak megfordítása, szintén ilen: f()= f f f ()= Szigorúan csökkenő iff a nilaknak páronként van közös belső pontjuk, inverz uganilen: f f() = f f ()=