Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim

Tómács Tibor Mérték és integrál X, A, µ mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor lim f n dµ = lim f n dµ.

Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Mérték és integrál Eger, 2016. december 17.

Tartalomjegyzék Előszó 6 Jelölések 8 1. Mérték 9 1.1. A valós számok bővített halmaza.................... 9 1.2. Mértéktér................................. 13 1.3. Jordan-mérték............................... 15 2. Mérték konstruálása 21 2.1. Külső mérték............................... 21 2.2. Nevezetes halmazrendszerek....................... 26 2.2.1. Félgyűrű.............................. 26 2.2.2. Halmazgyűrű........................... 27 2.2.3. Halmazalgebra.......................... 29 2.2.4. σ-gyűrű.............................. 29 2.2.5. Monoton osztály......................... 32 2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel................... 33 2.4. Lebesgue-mérték............................. 38 2.5. Lebesgue Stieltjes-mérték........................ 43 2.6. Hausdorff-mérték............................. 47 3. Borel-mérhető halmazok 56 4. Mérhető függvények 65 4.1. Mérhető függvények tulajdonságai.................... 65 4.2. Mérhető függvények sorozatai...................... 71 5. Integrál 79 5.1. Nemnegatív mérhető függvények integrálja............... 79 4

Tartalomjegyzék 5 5.2. Mérhető függvények integrálja...................... 85 5.3. Komplex értékű függvények integrálja.................. 92 5.4. Riemann-integrál............................. 94 5.5. Lebesgue-integrál............................. 101 6. Mértékterek szorzata 107 6.1. Kétszeres integrál, Fubini-tétel...................... 107 6.2. Többdimenziós Lebesgue-mérték..................... 117 7. Mértékek deriváltja 131 8. Valószínűség 137 8.1. Valószínűségi mező............................ 137 8.2. Valószínűségi változó........................... 144 8.3. Valószínűségi vektorváltozó........................ 149 8.4. Valószínűségi változók függetlensége................... 157 8.5. Várható érték............................... 167 8.6. Etemadi-féle nagy számok erős törvénye................ 174 8.7. Karakterisztikus függvény........................ 179 8.8. Gyenge konvergencia........................... 185 8.9. Központi határeloszlás tétele....................... 192 Irodalomjegyzék 194 Tárgymutató 195

Előszó A hosszúság, terület, térfogat, ívhossz, felszín, egyszerű geometriai alakzatokra már az ókorban definiáltak és számolhatóak voltak. A terület és a térfogat fogalmát először Peano és Jordan terjesztette ki a sík illetve a tér részhalmazainak egy bővebb rendszerére a XIX. század végén. Eszerint egy síkbeli korlátos halmaz külső mértéke legyen az őt lefedő véges sok sokszögből álló alakzatok területének pontos alsó korlátja, belső mértéke pedig a benne fekvő véges sok sokszögből álló alakzatok területének pontos felső korlátja. Ha ezek egyenlőek, akkor a halmazt mérhetőnek, ezen közös értéket pedig a halmaz mértékének nevezzük. Térfogat esetén hasonló az eljárás. Ez a mértékfogalom egyszerű, de a Riemann-integrál általánosítására aminek a szükségességét az integrál és a határérték felcserélésével kapcsolatos problémák indokolták nem megfelelő. Ezen a területen a fő lépést Henry Leon Lebesgue tette meg a XX. század elején. Az ötlete az volt, hogy véges helyett megszámlálhatóan végtelen sok ismert mértékű halmazzal fedte le az adott halmazt. Az általa így létrehozott mérték már nem csak véges sok halmazra additív ahogy ez a Jordan-mérték esetében igaz, hanem megszámlálhatóan végtelen sok halmazra is. A nemnegatív függvények integrálját pedig a függvény grafikonja alatti halmaz mértékeként definiálta. Látni fogjuk, hogy ez az integrálfogalom megvalósítható úgy is, hogy nem az értelmezési tartomány, hanem az értékkészlet beosztásaival készítünk integrálközelítő összegeket, de ekkor a téglalapoknál bonyolultabb halmazok mértékét is kell ismerni. A Lebesgue által alkotott mérték és integrál előnye az integrál és a határátmenet felcserélhetősége, továbbá az integrál- és differenciálszámítás szorosabb kapcsolata. Ez az elmélet lett az alapja a modern geometriának, valószínűségszámításnak, valós függvénytannak, a Fourier-sorok elméletének és a funkcionálanalízisnek. Ebben a jegyzetben a Lebesgue-mértéket nem a Borel-mérhető halmazok rendszerén, hanem az attól bővebb, külső mérték által mérhető halmazok rendszerén értelmezzük. Ha ez gondot okoz, mint például a valószínűség esetén, akkor azt külön 6

Előszó 7 jelezzük. A mértékek szorzatát általánosságban szintén a külső mérték által mérhető halmazok rendszerén értelmezzük, nem pedig generált σ-algebrán. Azonban a valószínűségnél felmerülő gondok miatt mértékek szorzatát a Caratheodory-féle kiterjesztési tétel segítségével, generált σ-algebrán is megadjuk. A Fubini-tételt mindkét esetre bizonyítjuk. A Valószínűség című fejezetnek a fő célja azon túl, hogy nem geometriai jellegű mértékre is lássunk példát, a mértékelmélet ismerete nélkül tanult valószínűségszámításbeli homályos részek tisztázása. A jegyzet írásakor sok hasznos tanácsot kaptam Balka Richárd kollégámtól, akinek ezúton is szeretném ezt megköszönni. A szerző

Jelölések bizonyítás vége jel A i = A i := i i H A := {H A : H H}, ahol H halmazrendszer és A halmaz D f az f függvény értelmezési tartománya R f az f függvény értékkészlete f 1 az f invertálható függvény inverze fh := {fx : x H D f }, a H halmaz f függvény általi képe f 1 H := {x D f : fx H} a H halmaz f függvény általi ősképe PX az X halmaz hatványhalmaza N a pozitív egész számok halmaza Z az egész számok halmaza Q a racionális számok halmaza R a valós számok halmaza R + a pozitív valós számok halmaza C a komplex számok halmaza i az imaginárius egység a, b módon jelöljük a nyílt intervallumokat [x] az x R egész része {x} := x [x] az x R tört része A könyv további részeiben bevezetett jelölések megtalálhatóak a Tárgymutató elején. 8

1. fejezet Mérték 1.1. A valós számok bővített halmaza A mértéknek, mint az alaphalmaz bizonyos részhalmazain értelmezett függvénynek az értékkészletében benne lehet a pl. az egyenes hossza. Ezért bevezetjük a következő jelölést ill. fogalmat: 1.1. Definíció. R b := R {, } a valós számok bővített halmaza. R b -ben a rendezést és a műveleteket a következők szerint értelmezzük: < c < c R, c := c > 0, + c := c >, c := c < 0, + c := c <, 0 = 0 := 0, c := c > 0, c = c := 0 c R, c := c < 0, = :=. Az R b -beli intervallumokat az R-beli intervallumokhoz hasonlóan értelmezzük. Pl. [0, ] := {x R b : 0 x } = [0, { }. Az R b -értékű sorozatok határértékét ill. torlódási pontját a valós esethez hasonlóan definiáljuk. Azaz, ha a n R b n N és a R, akkor 1 lim a n = a, ha ε R + -hoz N N, hogy a n a < ε n N. 2 lim a n =, ha K R-hoz N N, hogy a n > K n N. 3 lim a n =, ha K R-hoz N N, hogy a n < K n N. 4 Az a n sorozatnak az a torlódási pontja, ha ε R + esetén a n a < ε végtelen sok n-re. 5 Az a n sorozatnak a torlódási pontja, ha K R esetén a n > K végtelen sok n-re. 9

10 1. fejezet. Mérték 6 Az a n sorozatnak a torlódási pontja, ha K R esetén a n < K végtelen sok n-re. 1.2. Definíció. Legyen H R b. Ekkor sup H := min{k R b : k x x H}, inf H := max{k R b : k x x H}, inf :=. 1.3. Definíció. Legyen a n R b n N. Ekkor sup a k := sup{a k : k n}, k n inf a k := inf{a k : k n}, k n lim a n := inf n lim a n := sup n sup a k k n inf k n a k sup k inf k a k := sup a k, k 1 a k := inf k 1 a k, limesz szuperior, limesz inferior. 1.4. Megjegyzés. Legyen a n R b n N. Könnyen látható, hogy ha a n a n+1 n N, akkor létezik lim a n és lim a n = sup a n. Hasonlóan, ha a n a n+1 n N, n akkor létezik lim a n és lim a n = inf a n. n 1.5. Megjegyzés. Az előző definícióban b n := inf a k monoton növekvő sorozat, illetve k n c n := sup a k monoton csökkenő sorozat, így az előző megjegyzésből k n lim a n = sup inf a k = lim inf a n k n k, 1.1 k n lim a n = inf n sup a k = lim k n sup k n a k. 1.2 1.6. Tétel. lim a n az a n sorozat legnagyobb torlódási pontja, illetve lim a n az a n sorozat legkisebb torlódási pontja. Bizonyítás. Legyen a := lim a n R és tegyük fel, hogy a nem torlódási pontja az a n sorozatnak. Ekkor létezik olyan ε > 0 és N N, hogy a n a ε n N. Ha n N rögzített, akkor a k a ε k n, melyből sup a k a ε n N, k n azaz lim a k a, ami ellentmondás 1.2 miatt. Tehát a torlódási pont. sup k n

1.1. A valós számok bővített halmaza 11 Most tegyük fel, hogy valamely ε > 0 esetén a n > a + ε végtelen sok n-re. Ekkor sup a k > a+ε végtelen sok n-re, azaz lim sup a k a, ami ellentmondás 1.2 miatt. k n k n Ezzel bizonyítottuk, hogy a n > a + ε csak véges sok n-re teljesülhet, azaz a az a n legnagyobb torlódási pontja. Most tegyük fel, hogy lim a n = és hogy a n -nek nem torlódási pontja a, azaz létezik olyan K R és N N, hogy a n K n N. Ekkor rögzített n N esetén a k K k n, így sup a k K n N, azaz lim sup a k, ami ellentmondás k n k n 1.2 miatt. Tehát az a n torlódási pontja, ami értelemszerűen csak a legnagyobb torlódási pont lehet. A tétel másik állítása hasonlóan bizonyítható. 1.7. Megjegyzés. a, b n R b n N esetén lima + b n = inf n sup k n a + b k = inf + sup b k = a + inf sup b k = a + lim b n. Hasonlóan lima + b n = a + lim b n. k n n k n n a + 1.8. Tétel. Ha a n R b n N esetén lim a n = a R b teljesül, akkor lim a n = = lim a n = a. Bizonyítás. a R esetén legyen ε R + = N N, hogy a n a < ε n N 2 = a ε < a 2 n < a + ε n N = a ε < a ε inf a 2 2 k < a + ε < a + ε n N k n 2 = lim inf a k = a = 1.1 miatt lim a n = a. k n a = esetén K R + -hoz N N, hogy a n > 2K n N = inf a k 2K > K k n n N = lim inf a k = = 1.1 miatt lim a n =. A tétel többi állítását k n hasonlóan bizonyíthatjuk az előzőekhez. 1.9. Tétel. Legyen a n R b n N. Ekkor lim a n = 0 pontosan abban az esetben teljesül, ha lim a n = 0. Bizonyítás. 1.2 miatt lim a n = lim N, hogy a n sup k n sup k n a k < ε n > N = állítás. a k = 0 = ε R + esetén N lim a n = 0 = lim a n = 0 = 1.8. tétel miatt lim a n = 0. 1.10. Definíció. Legyen I egy halmaz és c i [0, ] i I. 1 Ha I =, akkor c i := 0. 2 Ha n N, hogy I = {i 1, i 2,..., i n }, akkor c i := c i1 + c i2 + + c in.

12 1. fejezet. Mérték 3 Ha I végtelen, akkor { } c i := sup c i : I véges részhalmaza I-nek. 1.11. Tétel. Ha I N, c i [0, ] i I és I n = {i I : i n}, akkor c i = lim c i. n Bizonyítás. { Ha az I üres halmaz, akkor az állítás triviális. Ellenkező esetben legyen } H := c i : I I, I véges, J I véges nem üres halmaz és m := max J. Ha J I m, akkor c i c i és c i H. Ebből következik, hogy c i = sup H = { i J m m } = sup c i : n N = lim c i. n n c i mon. nő n 1.12. Definíció. Legyen I egy halmaz, c i R b i I, I + := {i I : c i > 0} és I := {i I : c i < 0}. Ha c i < vagy c i <, akkor legyen + c i := c i c i. + Használni fogjuk a következő jelöléseket is: n c i := i {1,...,n} c i és c i := c i. i N 1.13. Tétel. Ha c i R b i N és c i létezik, akkor c i = lim n c i. Bizonyítás. Legyen I n+ := I + {1,..., n} és I n := I {1,..., n}. Az előző tétel miatt c i = lim c i és c i = lim c i = + n+ n c i = c i c i = lim c i + n+ c i n = lim n c i. A következő tétel szerint a klasszikus analízisben definiált feltételesen konvergens sorok összege az előző értelemben nem léteznek.

1.2. Mértéktér 13 1.14. Tétel. Ha c i R b i N, lim előző értelemben nem létezik. n c i R és lim n c i =, akkor c i az Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy c i az előző értelemben létezik. Ekkor a korábbi jelöléseket használva + c i = lim n+ c i R vagy c i = lim n c i R. n Másrészt lim c i = lim c i + c i = lim c i + lim c i = n+ n n+ n =, így lim c i = vagy lim c i =. n+ n n Mindezekből kapjuk, hogy lim c i = lim c i c i = lim c i n+ n n+ lim c i {, }, ami ellentmondás. n 1.2. Mértéktér A mérték az alaphalmaz bizonyos részhalmazaihoz nemnegatív valós számot vagy -t rendel. Kérdés, hogy milyen rendszert alkossanak a mértékkel rendelkező mérhető halmazok és a mértéknek milyen alaptulajdonságaik legyenek? 1.15. Definíció. Legyen X egy halmaz. Az A PX halmazrendszert σ-algebrának nevezzük, ha 1 X A, 2 A = X \ A A A A, 3 A i A, ha A i A i N. Ekkor az X, A rendezett párt mérhető térnek, az A elemeit mérhető halmazoknak nevezzük. 1.16. Tétel. Legyen X, A mérhető tér. Ekkor 1 A, 2 A i A i I N esetén A i A és A i A, 3 A, B A esetén A \ B A.

14 1. fejezet. Mérték Bizonyítás. Az 1 állítás = X miatt teljesül. 2 feltétele mellett legyen A i :=, ha i N \ I = A i = A i A = A i = A i = A i A = 2. 3 feltétele mellett A \ B = A B A = 3. 2 1.17. Definíció. Legyen I egy halmaz. Az A i i I halmazok diszjunkt rendszert alkotnak, ha A i A j = i, j I, i j esetén. 1.18. Definíció. A µ: A [0, ] függvényt mértéknek nevezzük az X, A mérhető téren, ha 1 µ = 0, 2 σ-additivitás µ A i = µa i A i A i N diszjunkt rendszerre. Ekkor X, A, µ-t mértéktérnek, µa-t az A mértékének nevezzük. 1.19. Definíció. Legyen X, A, µ mértéktér. 1 Ha µx <, akkor a mértékteret ill. a mértéket végesnek nevezzük. 2 Az A X σ-véges, ha A i A i I N rendszer úgy, hogy µa i < i I és A A i. 3 Ha X σ-véges, akkor a mértékteret ill. a mértéket σ-végesnek nevezzük. 4 Ha minden 0 mértékű halmaz összes részhalmaza mérhető, akkor a mértékteret ill. a mértéket teljesnek nevezzük. 5 Jelentse µa az A halmaz elemeinek a számát A A esetén. Könnyen látható, hogy µ mérték, melyet számláló mértéknek nevezünk. 1.20. Megjegyzés. Ha X = {1, 2, 3}, A = {, {1}, {2, 3}, X }, µ = µ{2, 3} = 0 és µx = µ{1} =, akkor X, A, µ nem teljes és nem σ-véges mértéktér. 1.21. Tétel. Legyen X, A, µ mértéktér. 1 additivitás Ha A i A i I N diszjunktak, akkor µ A i = µa i. 2 monotonitás Ha A, B A, A B, akkor µa µb. 3 Ha A, B A, A B és µa <, akkor µb \ A = µb µa. 4 szubadditivitás Ha A i A i I N, akkor µ A i µa i. 5 folytonosság Ha A i A i N, A 1 A 2..., akkor µ A i = = lim µa n.

1.3. Jordan-mérték 15 6 folytonosság Ha A i A i N, µa 1 <, A 1 A 2..., akkor µ A i = lim µa n. Bizonyítás. 1 feltétele mellett legyen A i :=, ha i N \ I = µ A i = µ A i µa i = 1. = σ-add. µa i = µ =0 2 ill. 3 feltétele mellett µb = µa B \ A = add. = µa + µb \ A = 2 ill. 3. 4 feltétele mellett, átindexeléssel mindig elérhetjük, hogy I = N vagy n N, hogy I = {1,..., n}. Legyen B i := A i \ i 1 A k i I. Ekkor a B i i I diszjunkt k=1 rendszer, B i A i és A i = B i = µ A i = µ B i µb i µa i = 4. = add. mon. 5 feltétele mellett legyen B 1 := A 1, B i := A i \ A i 1 i > 1. Ekkor a B i i I diszjunkt rendszer és A i = B i = µ A i = µ B i = µb i = add. n = lim µb i = lim µ n B i = lim µa n. add. 6 feltétele mellett legyen B i := A 1 \ A i i N = B i B i+1 i N és B i = A 1 A i = A 1 A i = A 1 A i = A 1 \ A i = µa 1 µ A i = 3 = µ B i = lim µb n = lim µa1 µa n = µa 1 lim µa n = 6. 5 3 A következő tétel a mértéktér és a teljesség definíciója alapján triviálisan teljesül. 1.22. Tétel. Legyen X, A, µ mértéktér és Y A. Legyen A Y az összes olyan mérhető halmaz összessége, mely Y -nak részhalmaza és µ Y legyen a µ leszűkítése A Y - ra. Ekkor Y, A Y, µ Y szintén mértéktér, melyet az eredeti téry -hoz tartozó alterének nevezünk. Ha az eredeti tér teljes, akkor az altere is az. 1.3. Jordan-mérték Ebben a részben azt taglaljuk, hogy a bevezetőben említett Jordan-mérték miért nem felel meg az előzőekben bevezetett mérték fogalmának. Előtte ismételjük át a Jordan-mérték fogalmát és tulajdonságait.

16 1. fejezet. Mérték 1.23. Definíció. Legyen H R 2 korlátos és T := [a, b] [c, d] R 2 olyan zárt téglalap, melyre H T teljesül. Legyen a = x 0 < x 1 < < x r = b, c = y 0 < y 1 < < < y s = d, D 1 := {x 1,..., x r } és D 2 := {y 1,..., y s }. Ekkor a D := D 1 D 2 halmazt a T egy beosztásának nevezzük. A D beosztás téglalapjainak nevezzük az [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] halmazokat. Egy ilyen téglalap területe x i x i 1 y j y j 1. Legyen m H, D a D azon téglalapjainak területösszege, melyeknek minden pontja a H-nak belső pontja. Ha nincs ilyen téglalap, akkor m H, D := 0. Legyen m H, D a D azon téglalapjainak területösszege, melyekben van H-nak belső vagy határpontja. Ha nincs ilyen téglalap, akkor m H, D := 0. Legyen H belső Jordanmértéke és H külső Jordan-mértéke m H := sup{m H, D : D beosztása T -nek}, m H := inf{m H, D : D beosztása T -nek}. Az m H és m H analóg módon értelmezhető akkor is, ha H R n n N. Ebben az esetben téglalap helyett n-dimenziós tégláról, vagy csak röviden tégláról, míg téglalap területe helyett tégla térfogatáról beszélünk. 1.24. Tétel. A H R n korlátos halmaz belső és külső Jordan-mértéke független a H-t tartalmazó T zárt tégla választásától. Bizonyítás. A bizonyítást csak n = 2 esetben mutatjuk meg, általános esetben hasonló az eljárás. Ha H =, akkor az állítás triviális. Legyen H és T 0 = [a 0, b 0 ] [c 0, d 0 ] R 2 jelölje azt a legszűkebb zárt téglalapot, amely tartalmazza H-t. Legyen T := [a, b] [c, d] R 2 tetszőleges H-t tartalmazó zárt téglalap. Ekkor H T 0 T. Megmutatjuk, hogy sup{m H, D 0 : D 0 beosztása T 0 -nak} = sup{m H, D : D beosztása T -nek}, 1.3 inf{m H, D 0 : D 0 beosztása T 0 -nak} = inf{m H, D : D beosztása T -nek}, 1.4 melyből már következik az állítás. Az 1.3 triviálisan teljesül, hiszen H T 0 T miatt {m H, D 0 : D 0 beosztása T 0 -nak} = {m H, D : D beosztása T -nek}. Legyen D 0 = {x 1,..., x r } {y 1,..., y s } tetszőleges beosztása T 0 -nak és ε > 0. Ha a < a 0, akkor a 1 legyen olyan, hogy a < a 1 < a 0 és a 0 a 1 d c < ε 4. Ha a = a 0, akkor a 1 := a.

1.3. Jordan-mérték 17 Ha b 0 < b, akkor b 1 legyen olyan, hogy b 0 < b 1 < b és b 1 b 0 d c < ε. Ha 4 b = b 0, akkor b 1 := b. Ha c < c 0, akkor c 1 legyen olyan, hogy c < c 1 < c 0 és c 0 c 1 b a < ε. Ha 4 c = c 0, akkor c 1 := c. Ha d 0 < d, akkor d 1 legyen olyan, hogy d 0 < d 1 < d és d 1 d 0 b a < ε. 4 Ha d = d 0, akkor d 1 := d. Legyen D = {a, a 1, x 1,..., x r, b 1, b} {c, c 1, y 1,..., y s, d 1, d}, ami a T -nek beosztása. Ekkor 0 < m H, D m H, D 0 < ε. Ebből következik 1.4. 1.25. Definíció. A H R n korlátos halmaz Jordan-mérhető, ha a belső és külső Jordan-mértéke megegyezik. Ekkor ezt a közös értéket a H Jordan-mértékének nevezzük és mh módon jelöljük. 1.26. Tétel. Legyen H R n korlátos halmaz, T R n egy H-t tartalmazó zárt tégla és D 1, D 2 beosztásai T -nek. Ha D 1 D 2, azaz D 2 finomítása D 1 -nek, akkor m H, D 1 m H, D 2 és m H, D 1 m H, D 2. Bizonyítás. Feltehetjük, hogy D 2 csak egyetlen ponttal bővebb D 1 -nél, ugyanis általános esetben ebből már teljes indukcióval következik az állítás. Ha ez a pont a D 1 olyan t téglájának eleme, melynek minden eleme H belső pontja, akkor m H, D 1 = = m H, D 2. Ha t nem ilyen, akkor ennek térfogata nincs az m H, D 1 összegben, viszont a keletkező új téglák valamelyike már lehet részhalmaza H belső pontjainak halmazának. Ilyenkor az m H, D 2 összegben ennek térfogata már szerepel tagként, azaz m H, D 1 < m H, D 2. Mindezekből következik az első egyenlőtlenség. A másik hasonlóan bizonyítható. 1.27. Tétel. Legyen H R n korlátos halmaz, T R n egy H-t tartalmazó zárt tégla és D 1, D 2 beosztásai T -nek. Ekkor m H, D 1 m H, D 2. Bizonyítás. D 1 D 2 beosztása T -nek és finomítása D 1 -nek illetve D 2 -nek is, így az 1.26. tételből m H, D 1 m H, D 1 D 2 m H, D 1 D 2 m H, D 2. 1.28. Tétel. Ha I 1,..., I n az R korlátos intervallumai, akkor az I 1... I n Jordanmérhető, és Jordan-mértéke az I 1,..., I n intervallumok hosszainak szorzata.

18 1. fejezet. Mérték Bizonyítás. Csak n = 2 esetén bizonyítunk, általános esetben hasonló az eljárás. Legyen H := I 1... I n, T a H lezártja és D tetszőleges beosztása T -nek. Ekkor D minden téglájának térfogata szerepel az m H, D összegben, így m H, D = = b 1 a 1 b 2 a 2, ahol az I 1 végpontjai a 1, b 1 a 1 < b 1 és I 2 végpontjai a 2, b 2 a 2 < b 2. Ha ε > 0 rögzített, akkor D := {x 0,..., x r } {y 0,..., y s } választható úgy, hogy x 1 x 0 b 2 a 2 + x r x r 1 b 2 a 2 + y 1 y 0 b 1 a 1 + y s y s 1 b 1 a 1 < ε. Ekkor 0 < b 1 a 1 b 2 a 2 m H, D < ε = m H = m H = b 1 a 1 b 2 a 2 = állítás. 1.29. Tétel. Legyen H R n korlátos halmaz. Ekkor m H = m H m H, ahol H a H határpontjainak halmazát jelöli. Bizonyítás. Legyen T egy H-t tartalmazó zárt tégla és D egy beosztása T -nek. Mivel T zárt, így H T = m H, D = m H, D m H, D m H m H. 1.5 Legyen ε > 0 és D 1 illetve D 2 olyan beosztásai T -nek, melyekre m H, D 1 < m H + ε 2 és m H, D 2 > m H ε 2. Ekkor D := D 1 D 2 esetén m H m H, D = m H, D m H, D 1.5 m H, D 1 m H, D 2 < m H m H + ε = m H m H m H m H, D = állítás. 1.5 1.30. Tétel. Ha A, B R n Jordan-mérhetőek és ma = mb = 0, akkor A B is Jordan-mérhető és ma B = 0. Bizonyítás. Bármely ε > 0 esetén létezik D 1 illetve D 2 beosztás, hogy m A, D 1 < < ε és 2 m B, D 2 < ε = Létezik olyan D beosztás, hogy 2 m A B, D < ε = m A B = 0 = 0 m A B m A B miatt m A B = 0 = állítás. 1.31. Tétel. Ha A, B R n, A B, B Jordan-mérhető és mb = 0, akkor A is Jordan-mérhető és ma = 0.

1.3. Jordan-mérték 19 Bizonyítás. 0 m A m B = 0 = 0 m A m A = 0 = állítás. 1.32. Tétel. H R n pontosan akkor Jordan-mérhető, ha H Jordan-mérhető és m H = 0. Bizonyítás. Az 1.29. tételből m H = m H m H = 0, másrészt 0 m H m H, így m H = 0 = m H = 0. m H = 0 = m H = 0 = 1.29. tételből m H = m H. 1.33. Tétel. Ha A, B R n Jordan-mérhetőek, akkor A B, A B és A \ B is azok. Bizonyítás. Az 1.32. tétel miatt m A = m B = 0 = Az 1.30. tétel miatt m A B = 0. Másrészt A B A B, A B A B, A \ B A B, így az 1.31. tételből m A B = m A B = m A\B = 0 = Az 1.32. tétel miatt kapjuk az állítást. 1.34. Tétel Véges additivitás. Ha A i R n i = 1,..., k diszjunktak és Jordanmérhetőek, akkor k k A i is az, továbbá m A i = k ma i. Bizonyítás. Csak n = 2 esetén bizonyítunk, általános esetben hasonló az eljárás. Legyen k = 2 és tegyük fel, hogy A 1, A 2 ellenkező esetben ugyanis triviális. Legyen T i egy A i -t tartalmazó zárt tégla és D i = D i 1 D i 2 a T i egy beosztása i = = 1, 2. Jelölje T azt a legszűkebb zárt téglát, amely tartalmazza a T 1 T 2 halmazt. Ekkor T az A 1 A 2 -t tartalmazó zárt tégla, továbbá D := D 1 1 D 2 1 D 1 2 D 2 2 beosztása T -nek. Ekkor m A 1, D 1 +m A 2, D 2 m A 1, D+m A 2, D = = m A 1 A 2, D = m A 1 + m A 2 = m A 1 A 2. Így az 1.33. tétel miatt adódik az állítás. Ebből tetszőleges k esetére teljes indukcióval bizonyíthatunk. A következő tétel egyszerű következménye a véges additivitásnak. 1.35. Tétel Monotonitás. Ha A, B R n Jordan-mérhetőek és A B, akkor ma mb.

20 1. fejezet. Mérték A következő tétel abból következik, hogy egy beosztás tégláinak térfogatai nem változnak, ha a beosztást eltoljuk. 1.36. Tétel Eltolás-invariancia. Legyen r R n, g : R n R n, gx := x + r és A R n Jordan-mérhető. Ekkor ga is az, továbbá m ga = ma. 1.37. Megjegyzés. A Jordan-mérhető halmazok rendszere nem σ-algebra, mert megszámlálhatóan végtelen sok korlátos halmaz uniója nem feltétlenül korlátos, másrészt létezik megszámlálhatóan végtelen sok olyan Jordan-mérhető halmaz, melyek egyesítése korlátos, de nem Jordan-mérhető. Például H := {x, y [0, 1] [0, 1] : x, y Q} nem Jordan-mérhető, hiszen m H = 0 1 = m H. Másrészt H előáll az egyelemű részhalmazainak uniójaként, amely megszámlálhatóan végtelen sok tagból álló diszjunkt rendszert alkot, továbbá az egy pontból álló halmazok Jordan-mérhetőek.

2. fejezet Mérték konstruálása 2.1. Külső mérték Sokszor az alaphalmaz bizonyos egyszerű részhalmazainak már tudjuk a mértékét. Pl. síkbeli ponthalmazok területe esetén az ismert, hogy a téglalapokhoz mit rendeljünk. A cél az, hogy olyan mértéket definiáljunk, amely egybevág ezzel az előzetes mértékkel. Ennek a fejezetnek a tételei erre szolgálnak. 2.1. Definíció. Legyen H egy halmazrendszer. A µ: H [0, ] függvényt szubadditívnak nevezzük, ha µa µa i minden I N, A, A i H i I esetén, melyekre A A i teljesül. 2.2. Definíció. Ha X egy halmaz és µ: PX [0, ] szubadditív, akkor µ-t külső mértéknek nevezzük X-en. 2.3. Tétel. Legyen µ külső mérték X-en. Ekkor 1 µ = 0, 2 monotonitás A B X esetén µa µb. Bizonyítás. A szubadditivitás definíciójába A = I = írva A i = = i 0 µ µa i = 0 = 1. i 2 feltételével legyen I := {1} és A 1 := B = A B = A i = µa µa i = µb. 21

22 2. fejezet. Mérték konstruálása 2.4. Definíció. Legyen µ külső mérték X-en. Az A X µ-mérhető, ha µt = µt A + µt \ A T X. Az A tehát akkor µ-mérhető, ha bármely T halmazt additívan vág ketté. T A T \ A A T 2.5. Megjegyzés. µt µt A + µt \ A a szubadditivitás miatt, ezért az előző definícióban = helyett is írható. Másrészt, ha µa = 0, akkor az A halmaz µ-mérhető, hiszen T X esetén µt = µa + µt µt}{{ A} + µt \ A. }{{} A mon. T A következő tétel azt mutatja meg, hogy külső mértékből hogyan lehet teljes mértéket konstruálni. 2.6. Tétel. Legyen µ külső mérték X-en, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A-ra vett leszűkítése. Ekkor X, A, µ teljes mértéktér. Bizonyítás. 1 T X esetén µt}{{ X} + µ T \ X = µt = X A. }{{} T 2 A A és T X esetén µt = µt}{{ A} + µ T \ A = A A. }{{} T \A T A 3 A i A i N és T X esetén µt = A 1 A µt A 1 + µ T \ A 1 }{{} :=T = A 2 A = µt A 1 + µt A 2 A 1 +µ T A }{{ } 1 A }{{} 2 T \A 1 A 2 lásd ábra µ szubadd. T A 1 A 2 µt A 1 + µt A 2 + µt \ A 2 = A 1 A 2 µ T A 1 A 2 + µ T \ A 1 A 2 T A 1 T T A 2 A 1 = A 1 A 2 A = teljes indukcióval n A i A n N. 4 A, B A esetén A \ B = A B = A B = A B = 2 és 3 A \ B A. 5 B i A i N diszjunkt rendszer és T X esetén

2.1. Külső mérték 23 µ T B 1 B 2 = µ T B }{{} 1 + µ T \ B }{{} 1 = }{{} :=T B 1 A T B 1 T B 2 = µt B 1 + µt B 2 = teljes indukcióval µ T n B i = n µt B i n N. 6 Legyen A i A i N = B i := A i \ i 1 A k k=1 és A i = B i = T X esetén µt = µ T n A i + µ T \ n A i = µ T n 3 B i + µ T \ n A i mon. B 1 B 2 T A i N diszjunkt rendszer 3,4 B i + µ T \ n A i = 5 n µt B i + µ T \ A i = n µt µt B i + µ T \ A i = µ T B i }{{} A i µ szubadd. T B i T n µt + µ T \ A i = + µ T \ A i = A i A = 1 és 2 X, A mérhető tér. 7 A i A i N diszjunkt rendszer esetén µa 1 A }{{} 2 = :=T + µ T \ A }{{} 2 = µa 1 + µa 2 = teljes indukcióval A 1 n µ A i = n n µa i n N = µ A i µ A i = n mon. A 2 A µt A }{{} 2 + A 2 µa i n N = n µ A i µa i = szubadd. µ A i = µa i = µ σ-additív = µ = 0 X, A, µ mértéktér. 8 A A, µa = 0 és B A esetén 0 µb mon. = T X esetén µt B + µ T \ B }{{}}{{} B T µb = µb = 0 = µ teljes mérték. mon. µa = 0 = µb = 0 µb + µt = µt = B A = A következő tétel azt mutatja meg, hogy egy halmazfüggvényből hogyan lehet külső mértéket konstruálni. 2.7. Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], { ΣB := νa i : I N, A i H i I, B } A i B X,

24 2. fejezet. Mérték konstruálása µ: PX [0, ], µb := inf ΣB. Ekkor µ külső mérték X-en és µb νb B H. A µ-t a ν-höz tartozó külső mértéknek nevezzük. Bizonyítás. 1 B H esetén νb ΣB = νb inf ΣB = µb. 2 Azt kell még belátni, hogy µ szubadditív, azaz ha J N, B, B j X j J, B B j, akkor µb µb j. Ha valamely j 0 J-re ΣB j0 =, akkor j J j J µb j =, így az előző egyenlőtlenség teljesül. Ha ΣB j minden j J-re, j J akkor rögzített ε R + esetén a µ definíciója miatt minden j J-hez létezik I j N és A j i H i I j, hogy B j i és B B j j J j J A j i j + ε µb 2 j j + j J j=1 j A j µb j + ε 2 ν A j j i. 2.1 j = µ definíciója µb ν A j i j J j j J 2.1 ε = µb 2 j j + ε = ε 0 µb µb j. j J j J µb j + 2.8. Megjegyzés. Az eddigiek alapján a következőképpen tudunk tetszőleges halmazfüggvényből teljes mértékteret generálni: Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A-ra vett leszűkítése. Ekkor X, A, µ teljes mértéktér. Azonban elvárjuk, hogy az így kapott mérték kiterjesztése legyen ν-nek, azaz, hogy µa = νa A H és H A teljesüljön. A továbbiakban ennek feltételeit vizsgáljuk. 2.9. Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ] és µ a ν-höz tartozó külső mérték. Ekkor µa = νa A H pontosan abban az esetben teljesül, ha ν szubadditív. Bizonyítás. µ külső mérték, azaz szubadditív = ν szubadditív. A, A i H i I N és A A i esetén νa νa i ΣA = ΣA-nak νa alsó korlátja = νa inf ΣA = µa νa = µ def. 2.7. tétel µa = νa.

2.1. Külső mérték 25 A következő tétel azt mondja ki, hogy H-n értelmezett halmazfüggvényhez tartozó µ külső mérték esetén a µ-mérhetőséghez nem kell megvizsgálni az alaphalmaz összes részhalmazát, elég csak a H elemeit. 2.10. Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték és B X. A B halmaz pontosan abban az esetben µ-mérhető, ha νa µa B + µa \ B A H. Bizonyítás. A H esetén νa µa = µa B + µa \ B. 2.7. tétel B µ-mérhető Legyen T X, ΣT és ε R +. A µ definíciója miatt létezik A i H i I N, hogy T A i és µt + ε νa i felt. \ B = µa i B + µa i \ B µ B A i + µ szubadd. µai B + µa i \ B A i µb mon. = ε 0 µt µb T + µt \ B. Ha ΣT =, akkor T + µ B}{{ T} T \B µt =, miatt az előző egyenlőtlenség ismét teljesül. Így bizonyítottuk, hogy B µ-mérhető. 2.11. Definíció. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ] és µ a ν-höz tartozó külső mérték. A ν-t pre-mértéknek nevezzük, ha szubadditív és νa µa B + µa \ B A, B H. A következő tétel a 2.9. és 2.10. tételek következménye. 2.12. Tétel. Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték és A a µ-mérhető halmazok rendszere. Ekkor H A és µa = νa A H-ra pontosan akkor teljesül, ha ν pre-mérték. A következő tétel azt állítja, hogy a mérték egyúttal pre-mérték is, így minden mértéktér kiterjeszthető teljes mértéktérré. 2.13. Tétel. Legyen X, H, ν mértéktér, µ a ν-höz tartozó külső mérték, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A-ra vett leszűkítése. Ekkor X, A, µ teljes mértéktér, H A és µa = νa A H. Az utóbbi mértékteret az X, H, ν természetes kiterjesztésének nevezzük.

26 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. 1 A 2.6. tétel szerint X, A, µ teljes mértéktér. 2 ν mérték = ν szubadditív = 2.9. tétel µa = νa A H. 3 A, B H esetén µa}{{ B} + µ A \ B = νa B + νa \ B = νa = }{{} H H 2 ν add. ν pre-mérték = 2.12. tétel H A. 2.14. Megjegyzés. Ez a fejezet tehát választ adott arra a kérdésre, hogy hogyan lehet olyan mértékteret generálni bizonyos feltételekkel, amelynek értékei néhány speciális halmazon már adottak: Legyen X egy halmaz, H PX, ν : H [0, ], µ a ν-höz tartozó külső mérték, A az X µ-mérhető részhalmazainak rendszere és µ a µ-nek A- ra vett leszűkítése. Ha ν pre-mérték, akkor X, A, µ olyan teljes mértéktér, melyben µ kiterjesztése ν-nek. 2.2. Nevezetes halmazrendszerek A mértéket egy speciális tulajdonságú halmazrendszeren, σ-algebrán értelmeztük. A további vizsgálatainkban más tulajdonságú halmazrendszerekre is szükségünk lesz. 2.2.1. Félgyűrű 2.15. Definíció. Legyen H egy nem üres halmazrendszer. Ha minden A, B H esetén A B H és létezik H 1,..., H k H diszjunkt rendszer, hogy A \ B = = k H i, akkor a H halmazrendszert félgyűrűnek nevezzük. 2.16. Tétel. Ha H félgyűrű, akkor H. Bizonyítás. H = A H = A \ A = előáll H-beli diszjunkt halmazok uniójaként. Ez viszont csak úgy lehet, ha H. 2.17. Tétel. Ha H félgyűrű, I N és H i H i I, akkor létezik D i H i N diszjunkt rendszer, hogy H i = D i. Bizonyítás. Legyen i 1, i 2,..., i n I. Ekkor H i1 \ H i2 előáll véges sok H-beli halmaz uniójaként. Így H i1 \ H i2 H i3 = H i1 \ H i2 \ H i3 szintén előáll véges sok H-beli halmaz uniójaként. A gondolatmenetet folytatva kapjuk, hogy H i1 \ H i2... H in előáll véges sok H-beli halmaz uniójaként.

2.2. Nevezetes halmazrendszerek 27 Legyen A i := H i \ H j, ha i I, és A i :=, ha i N \ I. Ekkor H i = j I j<i és A i i N diszjunkt rendszer, másrészt az előzőek értelmében minden A i felírható véges sok H-beli halmaz uniójaként. Ebből adódik az állítás. A i 2.18. Tétel. Ha A 1,..., A n félgyűrűk, akkor {A 1 A n : A i A i, i = 1,..., n} félgyűrű. Bizonyítás. Jelöljük a tétel állításában szereplő halmazt H n -nel, amely nyilván nem üres halmaz. Ha A 1 A 2, B 1 B 2 H 2 = A i, B i A i, i = 1, 2 = A i B i A i, i = 1, 2 = A 1 B 1 A 2 B 2 = A 1 A 2 B 1 B 2 H 2. Ha A 1 A 2, B 1 B 2 H 2 = A i, B i A i, i = 1, 2. Legyen C 1 := A 1 B 1 A 2 \ B 2, C 2 := A 1 \ B 1 A 2. Megmutatjuk, hogy A 1 A 2 \ B 1 B 2 = C 1 C 2. Ehhez először legyen x, y A 1 A 2 \ B 1 B 2. Ekkor x A 1 B 1 vagy x A 1 \ B 1. Ha x A 1 B 1, akkor y A 2 \ B 2, ugyanis, ha y A 2 B 2 teljesülne, akkor x, y B 1 B 2, ami nem igaz. = x, y C 1. Ha x A 1 \ B 1, akkor y A 2 miatt x, y C 2. Így x, y A 1 A 2 \ B 1 B 2 esetén x, y C 1 C 2, azaz A 1 A 2 \ B 1 B 2 C 1 C 2. Megfordítva, most legyen x, y C 1 C 2. Ha x, y C 1, akkor x, y A 1 A 2, de y B 2 miatt x, y B 1 B 2. Ha x, y C 2, akkor x, y A 1 A 2, de x B 1 miatt x, y B 1 B 2. Így C 1 C 2 A 1 A 2 \ B 1 B 2. Azt kaptuk tehát, hogy C 1 C 2 = A 1 A 2 \ B 1 B 2. Másrészt A 1 B 1 A 1 \ B 1 = miatt C 1 C 2 =, továbbá C 1 és C 2 előáll vége sok diszjunkt H 2 -beli elem uniójaként. = H 2 -beli elemek különbsége mindig felírható véges sok diszjunkt H 2 -beli elem uniójaként. Az eddigiekből n = 2 esetén igaz az állítás. Ebből teljes indukcióval bizonyíthatunk tetszőleges n-re, ugyanis, ha feltesszük, hogy H k félgyűrű, akkor az előzőekből H k+1 = {A A k+1 : A H k, A k+1 A k+1 } is félgyűrű. 2.2.2. Halmazgyűrű 2.19. Definíció. Egy H nem üres halmazrendszert halmazgyűrűnek nevezzük, ha A \ B H és A B H minden A, B H-ra.

28 2. fejezet. Mérték konstruálása 2.20. Tétel. Ha H halmazgyűrű, akkor 1 H, 2 3 n n A i H, ha A 1, A 2,..., A n H, A i H, ha A 1, A 2,..., A n H. Bizonyítás. A H esetén = A \ A H = 1. 2 teljes indukcióval bizonyítható. Legyen A := n A i = 2 miatt A H, másrészt A i A i {1,..., n} = A-ra való komplementerképzésre alkalmazva a de Morgan-szabályt kapjuk, hogy n A i = A \ n A \ A i H = 3. 2.21. Tétel. Ha H halmazgyűrű, akkor félgyűrű is. Bizonyítás. Láttuk, hogy A, B H esetén A B H, így teljesül az állítás. 2.22. Tétel. Ha H félgyűrű, akkor halmazgyűrű. { n } H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak { n } Bizonyítás. Legyen H := H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak, továbbá X az összes H -beli halmaz uniója, és A H esetén A := X \ A. 1 Legyen A, B H = Léteznek A 1,..., A n H illetve B 1,..., B m H diszjunkt rendszerek, hogy A = n A i és B = m B j = j=1 A \ B = A B = A m n m B j = A i B j = n A i B 1... B j. j=1 Létezik C 1,..., C t H diszjunkt rendszer, hogy A 1 B 1 = A 1 \ B 1 = A 1 B 1 B 2 = A 1 \ B 1 B 2 = t k=1 j=1 t k=1 C k = C k \ B 2. De C k \ B 2 felírható H-beli véges diszjunkt rendszer uniójaként, így A 1 B 1 B 2 is. Teljes indukcióval kapjuk, hogy A i B 1... B j felírható H-beli véges diszjunkt rendszer uniójaként, így A \ B is, azaz A \ B H. 2 Ha A, B H és A B =, akkor A B H teljesül triviálisan. 3 A, B H esetén, 1 miatt B \ A H, így 2-ből A B = A B \ A H. Mindezekből következik az állítás.

2.2. Nevezetes halmazrendszerek 29 2.2.3. Halmazalgebra 2.23. Definíció. Legyen X egy halmaz. A H PX halmazalgebra, ha 1 X H, 2 A H A H, 3 A B H A, B H. 2.24. Tétel. Legyen X egy halmaz és H PX. A H pontosan akkor halmazalgebra, ha H halmazgyűrű és X H. Bizonyítás. A, B H esetén A \ B = A B H = állítás. A H esetén A = X \ A H = állítás. 2.25. Tétel. Ha H halmazalgebra, akkor H, illetve A 1, A 2,..., A n H esetén n A i H és n A i H. Bizonyítás. Láttuk, hogy halmazalgebra egyúttal halmazgyűrű is. Másrészt a halmazgyűrű rendelkezik a bizonyítandó tulajdonságokkal. 2.26. Tétel. Ha X egy halmaz, H PX félgyűrű, { n } H := H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak, és X H, akkor H halmazalgebra. Bizonyítás. Az állítás a 2.22. és 2.24. tételekből következik. 2.2.4. σ-gyűrű 2.27. Definíció. A H nem üres halmazrendszert σ-gyűrűnek nevezzük, ha 1 A, B H esetén A \ B H, 2 A i H i N esetén A i H. 2.28. Tétel. Ha H σ-gyűrű és A i H i N, akkor A i H.

30 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. Legyen A := A i = A i A i N = A-ra való komplementer- képzésre alkalmazva a de Morgan-szabályt A i = A \ A \ A i A H H. 2.29. Tétel. Ha H σ-gyűrű, akkor halmazgyűrű is, H, illetve A 1, A 2,..., A n H esetén n A i H és n A i H. Bizonyítás. A, B H esetén A 1 := A, A 2 := B, A i := A \ A = H i 3 jelöléssel A B = A i H = H halmazgyűrű. A további állítások ebből már következnek. 2.30. Tétel. Legyen X egy halmaz és H PX. A H pontosan akkor σ-algebra, ha H σ-gyűrű és X H. Bizonyítás. A, B H esetén A \ B H 1.16. tétel 3 pontja = állítás. A H esetén A = X \ A H = állítás. 2.31. Definíció. A H nem üres halmazrendszert tartalmazó összes σ-gyűrű metszetét mely nyilván maga is σ-gyűrű a H által generált σ-gyűrűnek nevezzük. Jele: GH. Tehát GH a legszűkebb σ-gyűrű, ami H-t tartalmazza. 2.32. Tétel. Ha H halmazgyűrű és A H, akkor GH A = GH A. Emlékeztetünk a jelölésre, miszerint H A := {H A : H H}. Bizonyítás. H GH = H A GH A = }{{} σ-gyűrű GH A GH A. 2.2 H GH A esetén H GH, hogy H = H A = A H GH miatt H GH = GH A GH = 2.2 miatt Belátjuk, hogy D σ-gyűrű, ahol GH A GH. 2.3 D := { B C \ A : B GH A és C GH }.

2.2. Nevezetes halmazrendszerek 31 Legyen E i D i N = létezik B i GH A és C i GH i N, hogy E i = B i C i \ A i N. Ekkor B i GH A és C i GH miatt E i = Bi C i \ A [ ] [ ] = B i C i \ A D. 2.4 A következő levezetésben az átláthatóság kedvéért metszet helyett szorzás jelet, unió helyett összeadás jelet használunk, a közöttük megszokott prioritással, továbbá a komplementerképzés a H összes elemének uniójára történik. E 1 \ E 2 = B 1 + C 1 A \ B 2 + C 2 A = B 1 + C 1 AB 2 C 2 + A = B 1 B 2 C 2 + B 1 B 2 A + + C 1 A B 2 C 2 + C 1 A B 2 A = B }{{} 1 B 2 C 2 + A + C 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 C2 A + A + A + + C 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 C 2 A + C 2 A + A + C }{{} 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 C 2 A + B 1 B 2 A + A + C 1 A B 2 C 2 = B 1 B 2 A + B 1 + C 1 B 2 C 2 A = B 1 B 2 A + B 1 + C 1 B 2 + C 2 A = Most visszatérünk a szokásos halmazműveleti jelekre. E 1 \ E 2 = [ ] [ ] B 1 \ B 2 A B1 C }{{} 1 \ B 2 C 2 \ A }{{} B := C := A = A A H A = A GH A = B GH A B 1, B 2 GH 2.3 miatt = C GH Így 2.4 miatt D σ-gyűrű. = E 1 \ E 2 D. E H esetén E = E}{{ A} E \ A miatt E D = H D = D σ-gyűrű GH A GH D = GH A D A. 2.5 E D A esetén létezik B GH A és C GH, hogy E = B C \ A } A = B A = E GH A = A = A A H A = A GH A D A GH A = 2.5 miatt GH A GH A = 2.2 miatt teljesül az állítás. 2.33. Definíció. Legyen X egy halmaz és H PX. A H-t tartalmazó X-ből származó összes σ-algebra metszetét mely nyilván maga is σ-algebra a H által generált σ-algebrának nevezzük. Jele: σh. Tehát σh a legszűkebb σ-algebra, ami H-t tartalmazza. 2.34. Tétel. Ha X egy halmaz, H PX és X GH, akkor GH = σh.

32 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. A 2.30. tétel miatt GH H-t tartalmazó σ-algebra = σh GH. Szintén a 2.30. tétel miatt σh H-t tartalmazó σ-gyűrű = GH σh = állítás. 2.2.5. Monoton osztály 2.35. Definíció. A H nem üres halmazrendszert monoton osztálynak nevezzük, ha 1 A i H, A i H i N A 1 A 2... esetén, és 2 A i H, A i H i N A 1 A 2... esetén. 2.36. Tétel. H pontosan akkor σ-gyűrű, ha H halmazgyűrű és monoton osztály. Bizonyítás. A 2.29. és 2.28. tételek miatt H halmazgyűrű és monoton osztály. Legyen A i H i N és B i = i j=1 A j = B i H i N és B 1 B 2... = B i H = B i = i A j = A i H = állítás. j=1 2.37. Tétel. H pontosan akkor σ-algebra, ha H halmazalgebra és monoton osztály. Bizonyítás. H σ-algebra 2.30. tétel H σ-gyűrű és X H 2.36. tétel H halmazgyűrű, monoton osztály és X H 2.24. tétel H halmazalgebra és monoton osztály. 2.38. Definíció. A H nem üres halmazrendszert tartalmazó összes monoton osztály metszetét mely nyilván maga is monoton osztály a H által generált monoton osztálynak nevezzük. Jele: MH. 2.39. Tétel. Ha H halmazgyűrű, akkor MH = GH. Bizonyítás. GH σ-gyűrű = 2.36. tétel GH H-t tartalmazó monoton osztály = MH GH. 2.6 Legyen D A := { B MH : A \ B, B \ A, A B MH }, ahol A X. Legyen B i D A i N, B 1 B 2... =

2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel 33 a B i MH = B i MH b A \ B i MH és A \ B 1 A \ B 2... = A \ B i = A \ B i MH c B i \A MH és B 1 \A B 2 \A... = B i \A = B i \A MH d A B i MH és A B 1 A B 2... = A B i = A B i MH Az a b c és d pontok alapján B i D A. Hasonlóan látható, hogy B i D A i N, B 1 B 2... esetén B i D A. Így D A monoton osztály minden olyan A X esetén, melyre D A. Ha A, B H = H halmazgyűrű A \ B, B \ A, A B MH = B MH miatt B D A = H D A, tehát D A H-t tartalmazó monoton osztály = MH D A, így D A MH miatt MH = D A A H 2.7 Ha A MH és B H = 2.7 miatt MH = D B = A D B = A \ B, B \ A, A B MH = B MH miatt B D A = H D A, tehát D A H-t tartalmazó monoton osztály = MH D A, így D A MH miatt MH = D A A MH 2.8 Ha A, B MH = 2.8 miatt B D A = A \ B, A B MH = MH halmazgyűrű = 2.36. tétel MH σ-gyűrű = GH MH = 2.6 miatt GH = MH. 2.40. Tétel. Ha H halmazgyűrű, F monoton osztály és H F, akkor GH F. Bizonyítás. F H-t tartalmazó monoton osztály = MH F. Másrészt H halmazgyűrű, így a 2.39. tétel miatt GH = MH = állítás. 2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel Legyen egy halmazfüggvény H-n értelmezve. Kérdés, hogy milyen esetekben lehet ezt a halmazfüggvényt egyértelműen kiterjeszteni mértékké σh-ra, azaz a H-t tartalmazó legszűkebb σ-algebrára? Ebben a részben erre adunk választ. 2.41. Definíció. Legyen H egy halmazrendszer és µ: H [0, ].

34 2. fejezet. Mérték konstruálása 1 µ σ-véges, ha minden A H-ra létezik A i H i N, hogy A A i és µa i < i N. 2 µ σ-additív, ha µ A i = µa i minden olyan A i H i N diszjunkt rendszerre, melyre A i H teljesül. n 3 µ végesen additív, ha µ A i = n µa i minden olyan A i H i = 1,..., n diszjunkt rendszerre, melyre n A i H teljesül. 4 µ monoton, ha A, B H, A B esetén µa µb. 2.42. Tétel. Ha H félgyűrű és ν : H [0, ] σ-additív függvény, akkor ν monoton. Bizonyítás. Legyen A, B H és A B. Ekkor B \ A felírható egy H 1,..., H k H diszjunkt rendszer uniójaként. Legyen H 0 := A és H i := i > k. Ekkor B = H i H diszjunkt felbontás = ν σ-additivitása miatt νb = νh i = i=0 = νa + νh i νa = ν monoton. 2.43. Tétel. Ha H félgyűrű, továbbá ν : H [0, ] σ-additív és σ-véges függvény, akkor ν = 0. Bizonyítás. Legyen A i = i N = = A i H = ν σ-additivitása miatt ν = νa i = lim nν = ν = 0 vagy ν =. Mivel ν σ-véges, ezért A H, hogy νa < = ν monotonitása miatt lásd 2.42. tétel 0 ν νa <, amely ν = esetén nem teljesülhet, így ν = 0. i=0 2.44. Tétel. Legyen H halmazgyűrű és ν : H [0, ] σ-véges függvény. Ekkor ν pontosan abban az esetben σ-additív, ha pre-mérték. Bizonyítás. Ha ν pre-mérték, akkor a 2.14. megjegyzés miatt kiterjeszthető mértékké, így ν σ-additív. Ezzel irány bizonyított. A fordított irányhoz tegyük fel, hogy ν σ-additív. Ekkor a 2.42. és 2.43. tételek miatt ν monoton és ν = 0. Legyen I N, A, A i H i I és A A i. Ekkor I esetén átindexeléssel mindig elérhető, hogy I = N vagy I = {1,..., n} legyen valamely n N-re. Legyen B 1 := A A 1

2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel 35 B i := A A i \ A i 1 A i 2 A 1 ha i I és i 2 B i := ha i N \ I. Ekkor A = B i diszjunkt felbontás = ν σ-additivitása, miatt νa = νb i B i A i és ν mon. B i H és B i H νb i = ν =0 Legyen A, B H, A 1 := A B, A 2 := A \ B, A i := i 3 és µ a ν-höz tartozó külső mérték = µa}{{ B} + µ A \ B }{{} H H = νa i = ν σ-add. ν A i = νa = ν pre-mérték. νa i = ν szubadditív. = νa B + νa \ B 2.9. tétel = ν =0 2.45. Tétel Caratheodory-féle kiterjesztési tétel. Legyen X egy halmaz és H PX olyan félgyűrű, melyre teljesül, hogy X előáll megszámlálhatóan sok H-beli halmaz uniójaként. Ha ν : H [0, ] σ-véges és σ-additív, akkor egyetlen olyan mérték létezik az X, σh mérhető téren, melynek H-ra vett leszűkítése ν. Ez a mérték a ν-höz tartozó külső mérték σh-ra vett leszűkítése. Bizonyítás. 1 Először tegyük fel, hogy H halmazgyűrű. Legyen ν a ν-höz tartozó µ külső mérték σh-ra vett leszűkítése. Be fogjuk bizonyítani, hogy ν mérték és a H-ra vett leszűkítése ν. Legyen A a µ-mérhető halmazok rendszere. Mivel a 2.44. tétel szerint ν premérték, ezért a 2.12. tételből H A. De a 2.6. tétel miatt A σ-algebra = σh A = µ-nek A-ra vett leszűkítése mérték lásd 2.6. tétel, így σh-ra vett leszűkítése, azaz ν is mérték. Másrészt, ha A H, akkor νa = A σh µa = 2.12. tétel νa. Most az egyértelműséget fogjuk bizonyítani. Tegyük fel, hogy az előbb definiált ν mértéken kívül ν is teljesíti a tétel állítását, azaz ν : σh [0, ] mértékre νa = νa A H. Legyen E H, melyre νe < teljesül ilyen a ν σ-végessége miatt létezik és D := { A GH E : νa = νa }. Ha A H E = H E H σh miatt νa H E GH E miatt A D = = ν def. νa = νa = H E D 2.9

36 2. fejezet. Mérték konstruálása Másrészt a feltétel miatt X GH, így GH E = GH E 2.32. tétel = σh E. 2.10 2.34. tétel H = H E = 2.9 miatt D =. Belátjuk, hogy D monoton osztály. Legyen A i D i N, A 1 A 2... = 2.10 miatt E 1 σh, hogy A 1 = = E 1 E = A 1 E = νa 1 νe = νe < = ν A i = ν folyt. lim νa n = A n D Másrészt GH E σ-gyűrű, így lim νa n A i E-re felt. = νa 1 A i. = ν ν folyt. GH E = A i bizonyítható, hogy A i D i N, A 1 A 2... esetén = νa 1 < A 1 D D. Hasonlóan A i D = D monoton osztály = 2.9 miatt D a H E halmazgyűrűt tartalmazó monoton osztály = 2.40. tétel GH E D = D definíciója szerint D GH E, így D = GH E = 2.10 miatt νa = νa ha A σh E, ahol E H olyan, hogy νe <. 2.11 A feltétel miatt H i H i N, hogy X = H i. Másrészt ν σ-véges, így minden H i lefedhető megszámlálhatóan végtelen sok H-beli olyan halmazzal, melyhez ν valós számot rendel. Így A i H i N, hogy X = A i és νa i < i N. Legyen B i := A i \ i 1 j=1 A j = B i H i N diszjunkt rendszer, B i A i i N és A i = B i = X. Ekkor ν monotonitása miatt lásd 2.42. tétel νb i νa i < < i N. Legyen A σh. Ekkor A B i σh B i miatt 2.11 szerint νa = νa X = ν A B i = ν = νa B i = ν A B i σ-add. 2 Most legyen H félgyűrű és { n H := νa B i = νa B i i N. 2.12 A B i = σ-add. = νa = ν = ν. H i : n N, H 1,..., H n H diszjunktak νa B i = 2.12 }.

2.3. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel 37 Ekkor a 2.22. tétel miatt H halmazgyűrű. Legyen n ν : H [0, ], ν H i := n νh i. Belátjuk, hogy ν egyértelműen meghatározott ν által, azaz ha A 1,..., A n H illetve A 1,..., B m H olyan diszjunkt rendszerek, melyekre n A i = m B j, akkor n νa i = j=1 m νb j. 2.13 j=1 n m A i = A i A k = A i B j = m A i B j H-beli diszjunkt felbontás = k=1 j=1 j=1 σ-additivitás miatt νa i = m νa i B j = n νa i = n m νa i B j. Ha- sonlóan kapjuk, hogy m νb j = m meghatározott ν által. j=1 j=1 j=1 j=1 n νb j A i = 2.13 azaz ν egyértelműen Mivel ν halmazgyűrűn értelmezett, σ-véges és σ-additív, ezért 1 miatt pontosan egy olyan mérték létezik σh -on, melynek H -ra vett leszűkítése ν. Ez nevezetesen a ν -hoz tartozó külső mérték σh -ra vett leszűkítése. A ν egyértelműen meghatározott ν által, és σh = σh. Így az előzőek miatt a tétel teljesül, ha a ν -hoz tartozó külső mérték megegyezik a ν-höz tartozó külső mértékkel. Ez viszont teljesül a következők miatt. Az A X halmazhoz a ν-höz tartozó külső mérték a { T 1 := νb i : I N, B i H i I, A } B i infimumát, míg a ν -hoz tartozó külső mérték a { T 2 := ν C j : J N, C j H j J, A } C j j J j J infimumát rendeli. H H és ν leszűkítése H-ra ν = T 1 T 2. Másrészt, ha x T 2, akkor létezik J N, C j H j J, hogy A C j és x = ν C j. j J j J = Létezik B j 1,..., B n j n j j H diszjunkt rendszer, hogy C j = B j i = A C j = n j B j i és x = ν C j = nj ν B j i = n j ν B j i = j J j J j J j J j J x T 1 = T 2 T 1 = T 1 = T 2 = A két külső mérték megegyezik. Ezzel teljes a bizonyítás.

38 2. fejezet. Mérték konstruálása A következő állítás a Caratheodory-féle kiterjesztési tétel egy átfogalmazása, melyet szintén szokás ilyen néven emlegetni. 2.46. Tétel. Legyen X egy halmaz és H PX olyan félgyűrű, melyre teljesül, hogy X előáll megszámlálhatóan sok H-beli halmaz uniójaként. Ha µ 1 és µ 2 olyan σ- véges mértékek az X, σh mérhető téren, melyre µ 1 H = µ 2 H minden H H esetén, akkor µ 1 = µ 2. Bizonyítás. Legyen ν : H [0, ], νh := µ 1 H. Mivel µ 1 σ-véges mérték, ezért ν σ-véges és σ-additív. Másrészt µ 1 és µ 2 is olyan mérték az X, σh mérhető téren, melynek H-ra vett leszűkítése ν. De a Caratheodory-féle kiterjesztési tétel szerint csak egy ilyen tulajdonságú mérték van, azaz µ 1 = µ 2. 2.4. Lebesgue-mérték Most a hosszúságot definiáljuk a számegyenesen, abból kiindulva, hogy a korlátos intervallumok hossza már ismert. Az R egyelemű részhalmazait 0 hosszúságú zárt intervallumoknak tekintjük. 2.47. Definíció. Rendelje ν az R minden korlátos részintervallumához a hosszát, azaz, ha az intervallum végpontjai a és b, akkor az a b értéket. Legyen λ a ν- höz tartozó külső mérték, melyet Lebesgue-féle külső mértéknek nevezünk. Jelölje L az R λ-mérhető részhalmazainak a rendszerét és λ a λ-nak L-re való leszűkítését. Az R, L, λ teljes mértékteret lásd 2.6. tétel Lebesgue-mértéktérnek, L elemeit Lebesgue-mérhető halmazoknak és λ-t Lebesgue-mértéknek nevezzük. A továbbiakban λ helyett is λ jelölést használunk. Valójában az R, d metrikus térből kiindulva értelmeztük a Lebesgue-mértéket, ahol d a szokásos metrikát jelenti, azaz a, b R esetén da, b = a b. Az előbb definiált ν pre-mérték, így teljesül a következő tétel. 2.48. Tétel. Az R korlátos intervallumai Lebesgue-mérhetőek és Lebesgue-mértékük a hosszukkal egyenlő. Bizonyítás. 1 Legyen A és B az R korlátos intervallumai. Ezek kölcsönös helyzetére négy eset lehetséges. B {}}{ a λa \ B + λa B }{{} A 2.7. tétel νa \ B + νa B = νa.

2.4. Lebesgue-mérték 39 B {}}{{}}{ b λa \ B + λa }{{}}{{}}{{ B} = λa A A A {}}{ c }{{}}{{}}{{} A 1 B B A 2 λa \ B + λa }{{}}{{ B} A 1 A B 2 0 szubadd. νa 1 + νa 2 + νb = νa. 0 2.7. tétel νa. λa 1 + λa 2 + λb 2.7. tétel {}}{{}}{ d λa \ B +λa }{{}}{{}}{{ B} = λa νa. A A 2.7. tétel Tehát azt kaptuk, hogy νa λa \ B + λa B minden R-beli A, B korlátos intervallum esetén. 2 Legyenek A, A i i I N R-beli korlátos intervallumok, melyekre A A i. Legyen ε R +. Ekkor létezik B = [a, b] A, melyre νa νb ε és létezik B i = a i, b i A i i N-re, hogy νb i νa i ε 2 i. Mivel B A A i B i és B kompakt, ezért I I véges halmaz, hogy B B i, azaz [a, b] a i, b i = i 1 I, hogy a i1 < a < b i1. Ha b i1 b, akkor i 2 I, hogy a i2 < b i1 < b i2. Ha b i2 b, akkor i 3 I, hogy a i3 < b i2 < b i3. [ ] a i1 a a i2 b i1 a i3 b i2 b b i3 Ez a kiválasztási eljárás véges sok lépésben megszakad az I végessége miatt. Ha n lépés után szakadt meg, azaz b < b in, akkor I := {i 1, i 2,..., i n } = νa νb + ε = b a + ε < b in a i1 + ε = b in a in + a in 2 + + a }{{} i2 a i1 + ε < <b i1 + ε 2 + ε νa i i + ε 2 i }{{} 1 ε 2 1 1 2 n b ij a ij + ε = j=1 a }{{} in a in 1 + a }{{} in 1 <b in 1 νb i + ε <b in 2 νai + +ε = νa i + 2ε = ε 0 νa νa i = ν szubadditív, így 1 miatt ν pre-mérték = A 2.12. tétel miatt kapjuk az állítást. A következő tétel lehetőséget ad arra, hogy beszélhessünk Lebesgue-szerint 0 mértékű halmazokról, a Lebesgue-mérték ismerete nélkül is. 2.49. Tétel. A R esetén λa = 0 pontosan akkor teljesül, ha bármely ε R + esetén létezik a i, b i R a i < b i, i N, hogy A a i, b i és b i a i < ε.

40 2. fejezet. Mérték konstruálása Bizonyítás. λa = 0 esetén { λk i : I N, K i i I az R korlátos intervallumai, és A K i } infimuma 0. Így ε R + esetén létezik I N és K i i I R-beli korlátos intervallumok, hogy A K i és λk i = i c i < d ε, ahol K 2 i végpontjai c i és d i c i < d i. Legyen a i := c i ε és b 2 i+2 i := d i + ε i N, ahol i N \ I esetén c 2 i+2 i és d i legyen 0. Ekkor a i, b i K i A, továbbá i a i = b d i c i + ε + 2 i+1 + ε = d 2 i+1 i c i + ε < ε + ε = ε = állítás. 2 i+1 2 2 i N\I 0 λa λ a i, b i λ a i, b i = b i a i < ε. Ebből ε 0 határátmenettel adódik az állítás. 2.50. Tétel. Legyen a, b R, a 0, g : R R, gx := ax + b és A R. Ekkor továbbá, ha A Lebesgue-mérhető, akkor ga is az. λ ga = a λa, 2.14 Bizonyítás. 1 Ha A korlátos intervallum α, β R végpontokkal, akkor ga is korlátos intervallum aα + b és aβ + b végpontokkal = λ ga = aα + b aβ + + b = a α β = a λa = 2.14 2 Ha A R tetszőleges, akkor legyenek A i R i I N olyan korlátos intervallumok, melyekre A A i = ga g A i = ga i = 1 λ ga 1 λ ga a a i 1 = a λa a i = λa i = 1 λ ga alsó korlátja ΣA-nak ΣA definícióját lásd a 2.7. tételben = 1 λ ga a szubadd. 1 a inf ΣA = λa. Tehát λ ga a λa. 2.15 A kapott eredményt alkalmazzuk A helyett ga-ra és g helyett g 1 -re g 1 x = = 1x b = λ g 1 ga 1 a a }{{} λ ga, melyből 2.15 miatt adódik 2.14. a A 3 Legyen A L és T R. Ekkor 2.14 miatt 1 a λ T ga + λ T \ ga = = λ g 1 T ga + λ g 1 T \ ga = λ g 1 T A + λ g 1 T \ A = A L = λ g 1 T = 1 λt = ga L. a