2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az R R (x, y) x + y R R (x, y) x y összeadás szorzás melyek teljesítik az alábbi axiómákat (melyeket testaxiómáknak nevezünk). A szorzás jelét az alábbi axiómákban kiírjuk, de a továbbiakban nem, kivéve, ha elhagyása félrértéshez vezetne. Az összeadás axiómái: ( x, y R) x + y = y + x, ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z, ( 0 R)( x R) x + 0 = x, ( x R)( x R) x + ( x) = 0 A szorzás axiómái: ( x, y R) x y = y x, ( x, y, z R) x (y z) = (x y) z, ( 1 R, 1 0)( x R) x 1 = x, ( x R, x 0)( x 1 R) x x 1 = 1 Ezek az axiómák rendre az összeadás ill. szorzás kommutativitását, asszociativitását, a 0 ill. 1 létezését, és az additív ill. multiplikatív inverz létezését fejezik ki. Megköveteljük a szorzás disztributivitását az összeadásra nézve, azaz ( x, y, z R) x (y + z) = x y + x z. 2. Rendezési axiómák R-en értelmezve van egy ( R R) (olvasd kisebb vagy egyenlő) rendezési reláció (mely a korábban tárgyalt) négy axiómát teljesíti, továbbá ( x, y, z R) (x y) = x + z y + z, ( x, y R) (0 x 0 y) = 0 x y. E tulajdonságokat az összeadás és a szorzás monotonitásának nevezzük. Ha 0 x de 0 x(x R) akkor ezt 0 < x -szel (vagy x > 0-val) jelöljük, és x -et pozitívnak mondjuk. x R-et negatívnak mondjuk, ha x pozitív. 3. Teljességi axióma R (a rendezésre nézve) teljes, azaz R bármely nemüres felülről korlátos részhalmazának van pontos felső korlátja. Összefoglalva, a valós számok R halmaza tehát egy teljes rendezett test. Megmutatható, hogy létezik ilyen halmaz, és ez bizonyos értelemben egyértelmű. A valós számokat a számegyenesen modellezhetjük. 1
2 A testaxiómákat felhasználva igazolható, hogy bármely x, y, z R esetén továbbá ha x + y = x + z, akkor y = z; ha xy = xz, x 0, akkor y = z; ha x + y = x, akkor y = 0; ha xy = x, x 0, akkor y = 1; ha x + y = 0, akkor y = x; ha xy = 1, x 0, akkor y = x 1 ; ( x) = x; ha x 0, akkor ( x 1) 1 = x, 0x = 0; x 0, y 0 xy 0; ( x)y = (xy) = x( y); ( x)( y) = xy. A rendezési és testaxiómákat (rendezett test axiómáit) felhasználva igazolható, hogy bármely x, y, z R esetén A bizonyítással a gyakorlaton foglalkozunk majd. x 0 akkor és csakis akkor, ha x 0, ha x 0, y z, akkor xy yz, ha x 0, y z, akkor xy yz, ha x 0, akkor x 2 > 0, speciálisan 1 > 0, ha 0 < x y, akkor 0 < y 1 x 1, és x 2 y 2. 2.1 R nevezetes részhalmazai, abszolút érték, távolság Az N = {1, 2, 3, 4... } halmazt a természetes számok halmazának nevezzük. Végiggondolva azt, hogy 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1,... adódik, hogy N R-nek az a legszűkebb részhalmaza, melyre teljesül, az, hogy 1 N, ha n N akkor n + 1 N. Az, hogy N a legszűkebb ilyen halmaz azt jelenti, hogy ha egy M N-re is teljesülnek az teljesíti az 1 M, és n M = n + 1 M tulajdonságok, akkor M = N. A Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } halmazt az egész számok halmazának nevezzük. A Q = { pq 1 : p, q Z, q 0 } halmazt a racionális számok halmazának nevezzük. Legyen a < b (a, b R). Az ]a, b[ := { x R : a < x < b } [a, b] := { x R : a x b } ]a, b] := { x R : a < x b } [a, b[ := { x R : a x < b } számhalmazokat rendre (véges) nyílt, zárt, balról nyílt jobbról zárt, balról zárt jobbról nyílt intervallumoknak nevezzük. [a, a] := { x R : a x a } = {a} elfajult (egyetlen pontból álló) zárt intervallum. Legyen a, b R. Az ]a, [ := { x R : a < x } [a, [ := { x R : a x } ], b] := { x R : x b } ], b[ := { x R : x < b } ], [ := R
3 számhalmazokat (végtelen) nyílt, balról zárt jobbról nyílt stb. intervallumoknak nevezzük. Definíció. Az x := { x ha x 0 x ha x < 0 (x R) számot az x valós szám abszolút értékének nevezzük. Állítás. [az abszolút érték tulajdonságai] Bármely x, y R esetén x 0 és x = 0 x = 0, xy = x y, x + y x + y. Az első tulajdonság nyilvánvaló, a többiek pl. esetszétválasztással bizonyíthatók. További tulajdonságok: x y x y (x, y R), x a a x a és hasonlóan x < a a < x < a. Definíció. Az x, y R számok távolságát a d(x, y) := x y definiálja. Állítás. [a távolság tulajdonságai] Bármely x, y, z R esetén d(x, y) 0 és d(x, y) = 0 x = y, d(x, y) = d(y, x), d(x, y) d(x, z) + d(z, y) nemnegativitás szimmetria háromszög egyenlőtlenség. E tulajdonságok egyszerűen következnek az abszolút érték tulajdonságaiból. 2.2 A teljességi axióma néhány következménye Tétel. Az R bármely nemüres alulról korlátos részhalmazának van pontos alsó korlátja. A bizonyításhoz legyen A R egy nemüres alulról korlátos halmaz, k alsó korláttal, és tekintsük a B := { a : a A } halmazt, akkor ( a) (a A = k a)-ból következik, hogy k a így B felülről korlátos k felső korláttal, és fordítva. A teljességi axióma miatt létezik β := sup B. Könnyű belátni, hogy α := β = inf A az A-nak pontos alsó korlátja: ti. az előzőek alapján alsó korlát, és ha α az A halmaz egy alsó korlátja, akkor α B-nek egy felső korlátja, így β α amiből α = β α. Tétel. A természetes számok halmaza felülről nem korlátos. A bizonyításhoz tegyük fel, hogy N felülről korlátos,így létezik az α := sup N szám, melyre ( n)(n N = n α). Mivel α 1 < α így α 1 nem lehet N felső korlátja, ezért van olyan n 0 N melyre α 1 < n 0 azaz α < n 0 + 1. Mivel n 0 + 1 N így α nem felső korlátja N-nek, ami ellentmondás. Indirekt bizonyítást végeztünk: feltételeztük, hogy a tétel állítása nem igaz (ez az indirekt feltevés). Helyes következtetésekkel ellentmondást kaptunk, ennek csak az lehet az oka, hogy indirekt feltevésünk nem igaz, így annak tagadása, azaz a tétel állítása igaz.
4 Következmény.[a valós számok Archimedesi tulajdonsága] Bármely x > 0 és y R számokhoz létezik olyan n N melyre y < nx. Ugyanis y x nem felső korlátja N-nek, így van olyan n N, hogy n > y x amiből nx > y. akkor Tétel. [Cantor féle metszettétel] Ha [a n, b n ] (n N) zárt egymásba skatulyázott intervallumok sorozata, azaz [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ]. Röviden: zárt intervallumok egymásba skatulyázott sorozatának metszete nemüres. A bizonyításhoz először jegyezzük meg, hogy n=1 a n b n (n N) mivel [a n, b n ] intervallum, az egymásba skatulyázás pedig azt jelenti, hogy a n a n+1 és b n+1 b n E feltételekből azonnal kapjuk, hogy bármely m, n N esetén a n b m. (n N). Legyen A := { a n : n N }, B := { b m : m N } akkor A felülről korlátos (bármely b m (m N) felső korlátja, B pedig alulról korlátos (bármely a n (n N) alsó korlátja. Így léteznek az α := sup A, β := inf B pontos korlátok. α definíciója miatt a n α b m Ebből látható, hogy α is alsó korlátja B-nek, ezért továbbá β definíciója miatt β b m Ezeket az egyenlőtlenségeket összevetve kapjuk, hogy ami azt jelenti, hogy amint állítottuk. α β, (m, n N). (m N). a n α β b n (n N) [α, β] Definíció. Az x R szám egész kitevős hatványait [a n, b n ] n=1 x 1 := x, x n+1 := x n x (n N) továbbá x 0 := 1, x n := 1 (x 0, n N) xn -nel értelmezzük. A következő tétel szintén a teljességi axióma segítségével igazolható (a bizonyítás megtalálható pl. W. Rudin, A matematikai analízis alapjai c. könyvében, Műszaki Könyvkiadó, 1975). Tétel. [n-edik gyök létezése] Bármely x 0 nemnegatív valós számhoz és n N természetes számhoz pontosan egy olyan y 0 nemnegatív valós szám létezik, melyre y n = x.
5 Definíció. Az előző tétel állításában szereplő y 0 számot az x 0 szám n-edik gyökének nevezzük, és n x vagy x 1 n -nel jelöljük. Ha n páros, x 0 akkor n x az egyetlen olyan nempozitív szám melynek n-edik hatványa x így ekkor y n = x y = n x y = n x. Ha n páratlan, akkor negatív számokra is kiterjesztjük az n-edik gyök definícióját: n x := n x ha x < 0. Ezek után lehet a pozitív számok racionális kitevős hatványát értelmezni, az x r := q x p ahol x > 0, r = pq 1, p Z, q N képlettel. Igazolható hogy ez a definíció korrekt (x r független r előállításától) és hogy a hatványozás szokásos tulajdonságai (racionális kitevők eset en) teljesűlnek. 2.3 Topológikus fogalmak, Bolzano-Weierstrass tétel Definíció. Egy a R pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a K(a, ε) := { x R : d(x, a) < ε } halmazt értjük. Világos, hogy K(a, ε) éppen az a pontra nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ]a ε, a + ε[ nyílt intervallum. Legyen A R. Az a R pontot az A halmaz belső pontjának nevezzük, ha a-nak van olyan környezete mely (teljesen) A-ban van, azaz ( ε > 0)K(a, ε) A. Az a R pontot az A halmaz izolált pontjának nevezzük, ha a A és a-nak van olyan környezete melyben nincs más A-beli pont, azaz a A (( ε > 0)(K(a, ε) \ {a}) A = ). Az a R pontot az A halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van a-tól különböző A-beli pont, azaz ( ε > 0) (K(a, ε) \ {a}) A ). Az a R pontot az A halmaz határpontjának nevezzük, ha a bármely környezetében van A-beli pont, és nem A-beli pont, azaz ( ε > 0) ( K(a, ε) A K(a, ε) A ). A belső pont és az izolált pont mindig pontja a halmaznak, torlódási és határpont lehet halmazpont, vagy nem halmazpont. A R összes belső pontjainak halmazát A belsejének nevezzük és A -rel jelöljük. A R összes határpontjainak halmazát A határának nevezzük és A-rel jelöljük. Az A R halmazt nyíltnak nevezzük, ha minden pontja belső pont. Az A R halmazt zártnak nevezzük, ha komplementere nyílt.
6 Példa. Legyen A := { 1 : n N }. Határozzuk meg A belső, izolált, torlódási és határpontjainak n halmazát. Továbbá határozzunk meg A belsejét, határát, döntsük el, hogy nyílt vagy zárt halmaz-e! Megoldás. A-nak nincs belső pontja, minden pontja izolált, egyetlen torlódási pontja 0, egyetlen határpontja 0, A =, A = {0}, az A halmaz sem nem nyílt, sem nem zárt. Állítás. Egy A R halmaz akkor és csakis akkor zárt, ha tartalmazza összes torlódási pontját. Bizonyítás ld. gyakorlat. Tétel. [Bolzano-Weierstrass tétel] Bármely korlátos végtelen számhalmaznak van torlódási pontja. Egy halmazt végesnek mondunk, ha üres, vagy ha elemeinek száma egy természetes szám. Egy halmazt végtelennek mondunk, ha nem véges. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A R korlátos végtelen halmaz, akkor van olyan [a 1, b 1 ] zárt intervallum, hogy A [a 1, b 1 ]. Felezzük meg [a 1, b 1 ]-t és válasszuk ki azt a zárt [a 2, b 2 ]-vel jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet tartalmaz. Ezután felezzük meg [a 2, b 2 ]-t és válasszuk ki azt a zárt [a 3, b 3 ]-mal jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet tartalmaz, és így tovább. Az így kapott [a n, b n ] (n N) intervallumsorozat egymásba skatulyázott, ezért Cantor tétele miatt [a n, b n ]. n=1 Mivel az [a n, b n ] intervallum hossza b 1 a 1 2 tetszőleges kicsi, ha n elég nagy, ezért az intervallumok metszete csak n 1 egyetlen pontot tartalmazhat, legyen ez az a pont. Azt állítjuk, hogy a torlódási pontja A-nak. Ugyanis véve egy tetszőleges ε > 0 számot [a n, b n ] K(a, ε) ha n elég nagy. Ugyanis válasszuk n-et olyan nagyra, hogy b n a n < ε legyen, akkor a [a n, b n ] miatt az [a n, b n ] intervallum minden pontjának a-tól való távolsága < ε így az intervallum pontjai K(a, ε)-ban vannak. Mivel minden intervallumban végtelen sok A-beli pont van így K(a, ε) tartalmaz a-tól különböző A-beli pontot.