Néhány beegség saiszikai adaainak idősori elemzése Dokori (PhD) érekezés Fazekasné Kis Mária Debreceni Egyeem Debrecen, 004
Ezen érekezés a Debreceni Egyeem TTK Maemaika- és Számíásudomány Dokori Iskola Informaika programja kereében készíeem a Debreceni Egyeem TTK dokori (PhD) fokozaának elnyerése céljából. Debrecen, 004. dr. Fazekasné Kis Mária Tanusíom, hogy Dr. Fazekasné Kis Mária dokorjelöl 997-004 közö a fen megneveze Dokori Iskola Informaika programjának kereében irányíásommal végeze munkájá. Az érekezésben foglal eredményekhez a jelöl önálló alkoó evékenységével meghaározóan hozzájárul. Az érekezés elfogadásá javaslom. Debrecen, 004. Prof. Dr. Araó Máyás
TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK. BEVEZETÉS, CÉLKITŰZÉSEK.... IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE... 4.. Szochaszikus folyamaok jellemzői... 4.. Empírikus kifejezések... 9.3. Kédimenziós sacionárius folyamaok....4. Speciális idősorok... 4.5. Idősorok komponensei... 5.6. Szochaszikus modellek megadása....6.. Szochaszikus modellek azonosíása....6.. Szochaszikus modell paraméereinek becslése... 7.6.3. Szochaszilus modellek ellenőrzése... 30.7. AR() együhaó maximum likelihood becslése időben diszkré eseben... 3.8. AR() konfidencia inervallumai becsléseinek összehasonlíásai... 34.9. Számíógépes alkalmazások irodalmának összefoglalása... 36.9.. ARIMA modellek alkalmazásai... 36.9.. Szezonális idősorok alkalmazásai... 38 3. SZÁMÍTÓGÉPES ALKALMAZÁSOK... 40 3.. Halálozási arányok feldolgozása... 40 3... Vizsgálai módszerek... 40 3... Eredmények... 4 3... Cerebrovasculáris beegség... 4 3... Isémiás szívbeegség... 49 3...3. Krónikus májbeegség... 5 3...4. Légzőszervi beegségek... 54 3...5. Méhnyakrák... 56 3...6. Mellrák... 6 3...7. Emészőszervi daganaok... 64 3...8. Légzőszervi daganaok... 66
TARTALOMJEGYZÉK 3..3. Kövekezeések a halálozási arányok elemzéseiből... 68 3.. Gyermekkori lymphoid leukaemiás beegek adaainak feldolgozása... 7 3... A beegek szüleési dáumának elemzése... 7 3... A beegség diagnoszizálási dáumának elemzése... 76 3..3. Kövekezeések a lymphoid leukaemiás beegek adaainak vizsgálaából... 8 4. ÚJ KUTATÁSI EREDMÉNYEK... 8 5. ÖSSZEFOGLALÁS... 84 5.. Idősorok... 84 5.. Számíógépes alkalmazások... 84 5... Halálozási arányok elemzése... 84 5... Eredmények... 85 5... Lymphoid leukaemiás beegek adaainak feldolgozása... 88 6. SUMMARY... 90 7. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS... 95 8. IRODALOM... 96 9. DISSZERTÁCIÓHOZ KAPCSOLÓDÓ PUBLIKÁCIÓK... 0. DISSZERTÁCIÓ TÉMAKÖRÉN KÍVÜLI PUBLIKÁCIÓK... 3 0.. Jegyzeek... 3 0.. Idegen nyelvű közlemények... 3 0.3. Magyar nyelvű közlemények... 4 0.4. Magyar nyelvű előadások... 4 0.5. Poszer... 5 0.6. Egyéb... 5
. BEVEZETÉS, CÉLKITŰZÉSEK. BEVEZETÉS, CÉLKITŰZÉSEK Az informaika és a maemaika fejlődése alapveően meghaározza más udományágak fejlődésé. Különösen vonakozik ez az éleelen ermészeudományokra. Az ókoról napjainkig a fizika, kémia és más ermészeudományok fejlődésére jelenős haással volak a maemaikai módszerek kieljesedése. Az uóbbi évizedekben anúi vagyunk annak, hogy a maemaikai módszerek az élő ermészeudományok fejlődésé is jelenősen befolyásolják. Ső az uóbbi években a maemaikai módszereke a ársadalomudomány erüleén is alkalmazzák (közgazdaságan). E udományerüleek fejlődése mögö gyakran valamilyen új maemaikai módszer bevezeése áll. A számíógépek minőségi fejlődésével leheővé válak a számíás igényes maemaikai módszerek gyors feldolgozásai. Tudományos erüleeken, a napi munkában, ső egyre öbb házarásban is az informaikai alkalmazások ma már nélkülözheelenek. Az orvosudományi adaok feldolgozásához már régóa alkalmaznak különböző maemaikai, illeve saiszikai módszereke. A nagy ömegű adaok gyors, haékony elemzésé ámogaa a számíógépek eljesíményének fokozódása és a megfelelő saiszikai programcsomagok elérheővé válása. Az elmúl évizedben a világ fejle országaiban az idősori modelleke is elkezdék alkalmazni olyan problémák vizsgálaára, melyeke a korábban alkalmazo módszerekkel nem udak vizsgálni. Angliában, Spanyolországban, USA-ban és más
. BEVEZETÉS, CÉLKITŰZÉSEK országokban is valóságos udományos iskolák alakulak, melyek ezeke a módszereke alkalmazzák. Magyarországon a saiszikai módszerek alkalmazása az orvosudomány erüleein is évizedekre ekin vissza, az idősori modellek alkalmazásáról viszon eddig kevese udunk. Az érekezésem az idősori modellek orvosudományi alkalmazásai muaja be. Az érekezés ké összefüggő émakörrel foglalkozik. Az érekezés első részében az idősorok jellemzőivel, sajáosságaival, örvényszerűségeivel foglalkozom. Idősornak nevezzük az időben diszkré,,... ξ ( < <... <...) ξ < 3 n < valószínűségi válozók összességé, ahol a ξ i valószínűségi válozók nem függelenek. A munkám második részében ezekkel a módszerekkel olyan humán megbeegedéseke vizsgálam, melyek okana komplex és részben iszázalan. Az idősori elemzések célja az vol, hogy vizsgáljam a környezei haások szerepé ezeknek a beegségeknek a kialakulásában. Célkiűzések:. A magyarországi lakosság körében előforduló nem ferőző megbeegedések (cerebrovasculáris beegség, isémiás szívbeegség, krónikus májbeegség (májzsugor), légzőszervi beegségek (bronchiis, üdő emphysema, aszma)) okoza halálozási arányok idősor analízis módszereivel örénő vizsgálaa.. A magyarországi lakosság körében előforduló umoros megbeegedések a (méhnyakrák, mellrák, emészőszervi daganaok (gyomor- és vasagbélrák), légzőszervi daganaok (légcső-, hörgő-, üdőrák)) okoza halálozási arányok idősor analízis módszereivel örénő vizsgálaa.
. BEVEZETÉS, CÉLKITŰZÉSEK 3. A környezei ényezők szerepének kimuahaóságának vizsgálaa a feni beegségek kialakulásában és időbeli lefolyásában. 4. A vizsgál beegségekre kapo szochaszikus kifejezések AR() együhaói konfidencia inervallumainak elemzése. 5. Az aku lymphoid leukaemiás (ALL) gyermekek szüleési dáumának és a beegség diagnoszizálási dáumának elemzése szezonális idősorokkal. Technikai jellegű megjegyzés: az ábrák, a áblázaok és a képleek számozása folyamaos az egész dolgozaon belül. 3
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE A vélelen szerepé is figyelembe vevő idősoroka, a szochaszikus idősoroka, az 970-es években kezdék inenzívebben vizsgálni. Box és Jenkins ebben az időszakban megjelen könyvei [4], [6] áekineék az idősor analízis valamennyi erüleé, és ezzel megalapozák e udományerüle ovábbi fejlődésé. A udományerüle jelenőségé jelzik a megjelen külföldi és hazai szerzők kézikönyvei is [4], [5], [6], [9], [48], [80], [90]. A kézikönyvek melle nagyszámú közlemény is megjelen az auoregresszív inegrál mozgóálag (ARIMA) modellek alkalmazásairól [7], [8], [0], [6], [7], [39], [4], [58], [59], [67], [68], [70], [7], [7], [73], [9], [96], [97], [98], [04], []. E módszereke alkalmazó számíógépes feldolgozások számának gyarapodásá nagyban elősegíee a számíógépek eljesíményének növekedése és a megfelelő programcsomagok kifejleszése. Az alábbiakban az idősorok olyan jellemzői kerülnek ismereésre, melyek a későbbiekben bemuao számíógépes alkalmazásokhoz kapcsolódnak... Szochaszikus folyamaok jellemzői A ξ () szochaszikus (vélelen) folyama a valószínűségi válozóknak egy paraméeről függő sokaságá jeleni. A paraméer véges vagy végelen halmaz érékei vehei fel és gyakran az idő jeleni, jelöljük T-vel a T 4
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE paraméerhalmaz. Maemaikai érelemben akkor beszélünk szochaszikus folyamaról, ha ado az {Ω,Α,P} valószínűségi éren (mezőn) érelmeze a paraméeről függő {ξ (ω), T,ω Ω} valószínűségi válozók összessége. Ω az eseményere, P a valószínűségi méréke, A az eseményér részhalmazaiból alkoo σ-algebrá jelöli. A szochaszikus folyamao öbbféle módon szokás jelölni: ξ (ω) vagy ξ illeve ξ(,ω) és ξ(). A jelöléseke ekvivalensnek ekinjük a kövekezőkben. Ha a ξ (ω) függvény ω válozójá rögzíjük, és befuja a T paraméerhalmaz, akkor egy valós függvény kapunk, amelye a szochaszikus folyama realizációjának nevezünk. Egy realizáció ehá a folyama egy konkré kimeneelé jellemzi. Ha éréké rögzíjük, akkor bármely rögzíe 0 T paraméerhez egy ( ω ) ξ 0 valószínűségi válozó arozik. Az a halmaz, amelyből ξ érékei felveszi, állapoérnek nevezzük. Ha az állapoér megszámlálhaó eleme aralmaz, diszkré állapoerű szochaszikus folyamaról, a nem megszámlálhaó eseben folyonos állapoerű szochaszikus folyamaról beszélünk. Ha a paraméer folyonosan válozik, akkor időben folyonos paraméerű, ha diszkré érékeke vesz fel, akkor időben diszkré paraméerű szochaszikus folyamaról beszélünk [5]. A ξ szochaszikus folyamao gyengébb érelemben ve sacionáriusnak, röviden sacionáriusnak nevezzük, ha Eξ µ; Cov(ξ,ξ +h )c(h); σ σ. A kovariancia függvény (ezuán jelöljük C-vel) csak h-ól függ, amelye késleleésnek szokás nevezni. Sacionárius folyamara az auokorrelációs függvény [34]: (.) ρ( ) C h C ( h) ( 0). 5
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE 6 A feni kifejezésből láhaó, hogy ρ(0) és ρ(h)ρ(-h). A valószínűségi vekorválozó meghaározása [5]. Legyenek ξ, ξ,, ξ k valószínűségi válozók. A ξ(ξ,, ξ k ) T vekor valószínűségi vekorválozónak nevezzük, ahol (ξ,, ξ k ) T a ξ,, ξ k valószínűségi válozókból képze vekor ranszponáljá jelöli. A valószínűségi vekorválozó koordináái oszlopvekorba írjuk fel. Jelölje ξ() a k-dimenziós valószínűségi vekorválozó [5]: A ξ i (skaláris) valószínűségi válozó a ξ() valószínűségi vekorválozó i-edik koordináájának nevezzük. A k-dimenziós folyama várhaó érék vekorfüggvényének meghaározása [5]: Az auokorrelációs függvény (auokorrelációs márix) a kövekező alakú [5]: A kovariancia függvény (kovariancia márix) a (ξ()-eξ()) vekorfolyama várhaó érékéből haározhaó meg [5].. ) (... ) ( ) ( ) ( (.) ξ k ξ ξ ξ. ) (... ) ( ) ( ) ( (.3) E E E E ξ k ξ ξ ξ. ( ) ) (... ( ) ) (............ ( ) ) ( ( ) ) (... ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ) ( ( ), ( (.4) s E s E s E s E s E s E s E Ds k k k k T ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE A parciális korrelációs együhaó meghaározásához a feléeles várhaó érék fogalmá használjuk fel [94], [5]. Ha ξ és η diszkré valószínűségi válozók, akkor a ξ valószínűségi válozó ηy feléel mellei várhaó érékén az alábbi összege érjük [5]: (.5) E( ξ η y) E( ξ η) x P( ξ x η y). Ha a ξ és az η folyonos valószínűségi válozók együes sűrűségfüggvénye f(x,y) és f (y) az η valószínűségi válozó peremsűrűségfüggvénye, akkor a ξ folyonos valószínűségi válozó ηy feléelre vonakozó feléeles sűrűségfüggvényén az alábbi függvény érjük [5]: (.6) f ( xη y) A ξ folyonos valószínűségi válozónak az η folyonos valószínűségi válozóra az ηy feléel mellei feléeles várhaó éréke a kövekező + kifejezés [5], feléve x f ( x y) ( x, y) ( y) f, f f (.7) E( ξ η y) xf ( x y) dx dx. < : Jelölje ξ, ξ,, ξ k a valószínűségi válozóka, és együk fel, hogy ξ -e becsüljük a ξ,, ξ k val. A becsléshez alkalmazzuk az E(ξ ξ x,, ξ k x k )h(x,, x k ) (k-) válozós függvény. A ξ,, ξ k konkré éréke eseén ξ becslésé kapjuk. i Tekinsük a ξ, ξ,, ξ i,, ξ j,, ξ k valószínűségi válozóka. Az i-k és a j-k közöi közvelen haás mérésére alkalmazhaó ρ ij ρ ij.,,i-,i+,,j-,j+,,k a parciális korrelációs együhaó, miközben a öbbi válozó haásá kizárjuk [94], [0]. A ξ i - becsüljük a öbbi i i ( y) 0, x R. 7
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE válozóra vonakozó feléeles várhaó érékkel. A maradéko jelölje η i.,,, j-,j+,, k. A ξ j válozó is hasonlóan becsüljük, a maradéko jelöljük η j.,,,i-,i+,,k -val. Az így kapo maradékok közönséges érelemben ve korrelációs együhaójá képezzük, ez nevezzük a ξ i és ξ j parciális korrelációs együhaójának. A ξ i és ξ j kapcsolaából a öbbi válozó haásá kiszűrük. (.8 ) Az indexben a pon elő azon válozók indexei szerepelnek, amelyek kapcsolaá vizsgáljuk, a pon uán, pedig olyan válozók indexei, amelyek haásáól elekinünk. Ha C k -val jelöljük a ξ, ξ,, ξ k valószínűségi válozók kovariancia márixá, akkor a (.8) kifejezés felírhaó a kovariancia márixból képze megfelelő aldeerminánsokkal, ahol C ij a márix (i,j) indexű agjához arozó aldeermináns. Hasonlóan érelmezzük C ii - és C jj - is [94], [0]. ij (.9) ρ. ij C C C ii jj Speciálisan három válozó eseében a ξ és a ξ kapcsolaának vizsgálaa során egyelen ξ 3 válozó haásá küszöböljük ki. Ekkor a ξ és a ξ válozók ξ 3 -ra vonakozao parciális korrelációs együhaója [0]: (.0) ρ.3 ρ ρ ρ 3 3 ( )( ). ρ ρ 3 3 E( ηi.,..., j, j+,... kη j.,... i, i+,..., k ) ( η ) D( η ). ρij... i, i+,..., j, j+,..., k D i.,..., j, j+,..., k j.,..., i, i+,..., k A feni képle szerin a ρ.3 parciális korrelációs együhaó kifejezheő a három válozó páronkéni oális korrelációs együhaóival. 8
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Ha a ξ és a ξ kapcsolaá a ξ 3 és a ξ 4 haásának kiküszöbölésével vizsgáljuk, akkor a parciális korrelációs együhaó [0]: (.) ρ.34 ρ ρ.4 3.4 3.4 ( )( ). ρ ρ 3.4 ρ 3.4.. Empírikus kifejezések Maemaikai saiszikai szemponból egy megfigyelendő mennyiség egy valószínűségi válozó, jelöljük ez X-lel. Megfigyeljük a jelensége N-szer, egymásól függelenül. A megfigyelési eredményeke minának nevezzük, jelöljük X, X, X 3,, X N -lel, ezek a mennyiségek is valószínűségi válozók. Rögzíe ω Ω eseén az x X (ω), x X (ω),, x N X N (ω) szám N-es a mina realizációjának nevezzük, Ω az eseményere jelöli. Legyen X, X,, X N N elemű mina X-re. Empírikus középnek vagy mina álagnak nevezzük az alábbi kifejezés [35]: N (.) X X i. N i Az empírikus szórásnégyzee a kövekező kifejezés haározza meg [35]: N sn X i X N i Ha az X és az Y valószínűségi válozóka egyszerre megfigyeljük (.3). N-szer, akkor az (X,Y) T kédimenziós vekorválozóra kapunk érékeke. A valószínűségi vekorválozó /N valószínűséggel vesz fel minden (x i,y i ) T éréke, mely a mina realizáció i-edik eleme. A ké koordináa közöi kovariancia [35]: 9
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE 0 Empírikus kovarianciának nevezzük az alábbi mennyisége [35]: Az empírikus korrelációs együhaó az alábbi kifejezés adja meg [35]: Legyenek N z z z,...,, valamely idősor megfigyel érékei a,,, N időponokban. Ezuán egyszerűbb jelöléssel a kövekezőképpen hivakozunk rá: z, z,, z N idősor a,,, N időponokban. Ha z sacionárius, és eljesül, hogy Ez 0, akkor (.7) c k Ez z +k,, k0; ±; ±;. c k jeleni a k-adik auokovarianciá, azaz az idősorban az egymásól k ávolságra lévő agok közöi kovarianciá [5]. A c k auokovariancia becslése a kövekező, ahol k,,, L és L<<N [34]: Speciálisan c 0 σ D (z )E(z ) becslése [34]: A c k auokovarianciák becslései empírikus auokovarianciáknak nevezzük. Az auokorrelációs függvény, k0; ±; ±; eseén [5]: ( )..4 N i i i y y x x N c ( )..5 N i i i Y Y X X N C ( )..8 + k N k k k z z k N c ( )..9 0 N z N c σ ( )..6 N i i N i i N i i i Y Y X X Y Y X X R
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Az r k jeleni az idősorban az egymásól k ávolságra lévő agok közöi korreláció. Az auokorrelációs együhaók becslése [34]: Ha a z sacionárius idősorban Ez m 0, akkor r k becslése [34]: Az r k becslései empírikus auokorrelációs együhaóknak illeve szeriális korrelációs együhaóknak nevezzük. Az r k becslései k függvényében ábrázolva az idősor korrelogramjá kapjuk. Korrelálalan válozókból álló sacionárius idősor eseén r 0, és r k 0, ha k 0. Ha egy idősor eljesen vélelen, akkor N nagy érékeire valamennyi empírikus auokorreláció nullához ar. Sacionárius idősorokra jellemző, hogy gyakran aralmaznak rövid ávú auokorreláció, pl: r viszonylag magas, r és r 3 is szignifikánsan különbözhe nulláól, de k növelésével r k zérushoz ar [34]. Auokorrelációs márix [5]: ( )..0 c 0 c r k k ( ).,,,...,. / / L k z z z z r k N k k N k N k k + ( ) ( ) ( ) ( ).. + + + + k N k k N k k N k N k N k k N k N k k z k N z k N z k N z k N z z k N z z k N r
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE r... rj... rk r... rj... rk.......... (.3) R k. rj rj...... rk j +................ rk rk rk j + A parciális auokorrelációs függvény az R k márix deerminánsából áll elő [5]: * de Rk (.4) ρ k, k,,... de Rk Az R * k márixo úgy kapjuk meg az R k márixból, hogy az R k uolsó sorá az (r, r,, r k ) sorral helyeesíjük. Speciálisan: (.5) ρ r és r r r (.6) ρ. A ρ k a z és z +k valószínűségi válozók parciális korrelációs együhaója a z +, z +,, z +k- válozókra, min feléelekre vonakozóan..3. Kédimenziós sacionárius folyamaok Megfigyelheünk olyan szochaszikus jelenségeke is, melyeknek ké jellemző ulajdonságuk van. Ekkor a kédimenziós szochaszikus folyama realizációjá egy idősorpárral adhajuk meg. Az egyik idősor jelöljük:, Z( - ), Z( 0 ), Z( ), Z( ), a másika:, Y( - ), Y( 0 ), Y( ), Y( ), sorozaal. Feléelezve, hogy egyenlő időközönkén kelekezek a megfigyelési adaaink, akkor az egyik idősor jelölése legyen:, Z(-), Z(0), Z(), Z(), a másiké, Y(-), Y(0), Y(), Y(),. Egyszerűbben jelölve:
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE, Z -, Z 0, Z, Z, és, Y -, Y 0, Y, Y,. A kédimenziós folyama (Z,Y ) nem szükségképpen sacionárius, de sacionáriussá eheő, megfelelő számú differenciaképzéssel [4]. Jelöljük z -vel és y -vel a differenciaképzés uán kapo sacionárius idősoroka, azaz z d Z ; y d Y, rendszerin d0; ;. Ha d, akkor az elsőrendű differenciák képzése: Z Z -Z - ; ha d, akkor a másodrendű differenciák képzése: Z (Z -Z - ) Z - Z - Z -Z - (Z - -Z - )Z -Z - +Z -. A kédimenziós folyamao alkoó sacionárius idősorok várhaó érékei (jelöljük: µ z -vel és µ y -nal) és varianciáik (jelöljük σ z -el és σ y -el) állandóak. A folyama mindké idősorára az auokovariancia együhaóka a szokásos módon érelmezzük. A C zz (k) és a C yy (k) jelöli a z és az y idősorok auokovarianciái [4]. (.7) C ( k) E[ ( z µ )( z µ )] E[ ( z µ )( z µ )], Cyy( k) E[ ( y µ y )( y + k µ y )] E[ ( y µ y )( y k µ y )]. Speciálisan vizsgálhajuk a kédimenziós folyamao alkoó ké idősor kapcsolaá. A ké idősor kereszkovariancia függvénye a k0; ; ; időkésleleéseknél [4]: (.8) zz C C yz zy z + k ( k ) E[ ( z µ )( y µ )] [ ], k 0,,,.... ( k ) E ( y µ )( z µ ) k 0,,,..., Az idősorok közöi kereszkorrelációs függvény a kövekező [4]: y z A kereszkorrelációs függvény álalában nem szimmerikus a k0 érékre. A kereszkovariancia és a kereszkorrelációs függvények + k + k C zy ( k) (.9) γ zy ( k) k 0; ± ; ± ; ±... σ σ z z y z y z, k z. 3
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE becsléséhez az empírikus idősorok álagai ( z és y) használjuk fel. A kereszkovariancia függvény becsül érékei c zy (k)-lel, a kereszkorreláció becslései r zy (k)-lel jelöljük, az s z és az s y pedig a szórásnégyzeek (σ x és a σ y ) becslései [4]: n (.30) czy ( k) n (.3 ) r ( k ) nk nk z zy zy s z s y c y ( k ), z y y z + k k y z ha ha k k > 0, 0 (.3) s z czz ( 0), A kereszkorrelációk sandard hibáinak becslésére alkalmazhaó az alábbi kifejezés [4]: (.34). s zy n k.4. Speciális idősorok ( 0), 0, ±,,.... (.33) s c k ± y yy Maemaikai saiszikából ismer, hogy a legegyszerűbb idősor az u.n. fehérzaj soroza, amikor az ε, ε +, ε +, függelen, azonos eloszlású vélelen válozók sorozaa N(0,σ ε ) (normális) eloszlással. Egy vélelen folyamao megfigyelünk a, -, -, 0,,, időponokban, a megfigyel érékek jelölésére használjuk a, z -, z -, z 0, z, z,. Ha a z megfigyelési érék lineárisan és szochaszikusan az előző z -,, z -p, és ε,, ε -q érékekől függ, akkor p-edrendű auoregresszív és q-adrendű 4
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE mozgóálag modellnek, un. ARMA(p,q) modellnek nevezzük a kövekező kifejezés, ahol z ~ z µ ; [4]: (.35) ~ ~ z φ z Θ ε Ha p0 és q0, akkor a feni kifejezés a fehérzaj folyamao jellemezi. Bevezeve a visszalépeés operáor, melye jelöljünk B-vel, és az ~ ~ ~ m érelmezése: B z z ; és B z z m, akkor a (.35) a kövekező egyszerű alakban felírhaó [4]: ~ (.36) φ ( B) z θ ( B) ε, ahol ~ + φ z Θ ε ~ +... + φ z p p... Θ ε + ε q q. φ(b)-φ B-φ B - -φ p B p és θ(b)-θ B-θ B - -θ q B q. A (.36) kifejezés baloldala p-edrendű auoregresszív- (AR(p)), a jobb oldala q-adrendű mozgóálag (MA(q)) folyamao jelen. Az AR, MA, és az ARMA modellek az un. sacionárius idősorok elemzésére alkalmazhaók [4], [5], [60]. Vannak olyan idősorok, melyek sacionárius idősorrá ranszformálhaóak d-szeres differenciaképzéssel, ahol rendszerin d0; ;. Vagyis w d z, ahol w már sacionárius idősor, jelöli a differenciák képzésé. A differenciák képzésével sacionáriussá ranszformál idősorok eseében inegrál auoregresszív mozgóálag (ARIMA) modellekről beszélünk. Az első- és a másodrendű differenciák képzésé az előzőekben megadam. ~.5. Idősorok komponensei Valamely időben válozó jelenség egymás köveő egyenlő időponokban megfigyel érékei a apaszalai (empírikus) idősor alkoják. 5
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Feléelezzük, hogy az empírikus idősor mindazoka az információka aralmazza, min a szochaszikus folyama, amiből a megfigyelési érékeink származnak. Így az empírikus idősor valamely diszkré vagy folyonos paraméerű szochaszikus folyama realizációja. Időbeli alakulásuk sajáosságai alapján az idősoroka három összeevő vagyis három komponens eredőjekén ekinjük: rend vagy alapirányza, periodikus ingadozás, vélelen ingadozás [34]. A rend a vizsgál jelenségben a arósan érvényesülő endenciá, az idősor alakulásának fő irányá jeleni. A periodikus ingadozás ala a szezonális ingadozásoka és a ciklikus válozásoka érjük. A szezonális vagy idényszerű ingadozás (röviden szezonaliás) állandó periódushosszúságú hullámzás, rimikus ingadozás, amely szabályosan ismélődő időközönkén mindig azonos irányba éríi el az idősor érékei az alapirányzaól. A szezonaliás az évszakok válozásaival van összefüggésben. Megfigyelheünk olyan periodikus ingadozásoka is, melyek nem az évszakok válozásaihoz kapcsolódnak, ezeke ciklikus ingadozásoknak nevezzük. A vélelen ingadozás az idősorban alálhaó szabályalan mozgás. Ez a komponens igen sok, az idősor alakulása szemponjából nem jelenős ényező együes haásá képviseli. Álalában minél rövidebb időszakra vonakozik az idősor, annál jelenősebb a vélelen ingadozás haása. Az idősor elemzés hagyományos módszere az egyes komponensek elkülöníése. Az idősor összeevőinek kapcsolódósa szerin beszélheünk addiív és muliplikaív kapcsolaról. Jelölje z ij az idősor elemei, i,,, n a periódusok számá (pl: évek); j,,, m a perióduson belüli időszakok számá (pl: hónapok), s szezonális ényező, v vélelen ingadozás, ^ z a rende. Ekkor az addiív modell megadása [34]: 6
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE (.37) z zi, j + s +. i, j j v i, j ^ Muliplikaív modell [34]: (.38) z zi, j * s *. i, j j v i, j ^ A rend megadása örénhe analiikus rendszámíással vagy mozgóálagolású rendszámíással. Az analiikus rendszámíás az idősorban lévő arós endenciá megfelelően válaszo függvénnyel (egyenes, parabola, exponenciális görbe) adja meg és ennek paraméerei becsüli. A mozgóálagolás a rende az idősor dinamikus álagakén állíja elő, a vélelen haásá ompíja. A mozgóálagolás agszámakén a periódus részidőszakainak számá vagy annak egész számú öbbszörösé vesszük, így bizosíjuk, hogy valamennyi rendada (mozgóálag) előállíásában minden egyes szezon megjelenjen. A mozgóálagok képzése: meghaározzuk az álagolandó érékek számá (k), és vesszük az első k ada álagá. Ez az érék az első rendada, melye az időszak közepéhez írunk. Folyajuk az eljárás, elhagyjuk az első adao, helyee vesszük az előbbi adaoka köveő éréke. Ezek álaga képezi a második rendadao. Az idősor uolsó k adaának felhasználásáig isméeljük az eljárás. Jelölje z, z,, z n a megfigyel idősor elemei. Ekkor a k agú mozgóálagok [34]: (.39) ^ z + z +... + z k z k ^ z + z3 +... + z k... ^ znk + z n k + + z k z n, +, k + +... + z n k. 7
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE A rendadaok száma kevesebb lesz, min az idősor elemeinek száma, az idősor elejéhez és végéhez nem képződnek álagok. Páralan k agszám eseén (k-) aggal, páros agszám eseén k aggal rövidül a sor. Ha k szám páros, akkor a mozgó álagolással kapo érékek az eredei idősor ké időszaka közé kerülnek. Ilyenkor a mozgóálagolással kapo érékeke még középre kell igazíani (un. cenírozás), ami a szomszédos mozgó álagok ovábbi, páronkéni álagolásával örénik. Hosszabb idősoroknál vagy nagyobb vélelen ingadozás aralmazó idősoroknál célszerű nagyobb agszámo venni. A sor elejéről és végéről elvesző agok nem okoznak problémá, a vélelen haásá pedig jobban ki lehe szűrni. A felír kifejezések a súlyozalan mozgóálagok képzésére vonakoznak. A súlyozo mozgóálagok bemuaásával mos nem foglalkozom. Ha az idősorban a ciklus hossza elég nagy, akkor a mozgóálagolás jól kövei az, és a mozgóálag nem a rende, hanem valójában a rend és a ciklus összegé adja meg. Az idősorok második fő összeevője a periodikus ingadozás. A periodikus ingadozások öbbfélék lehenek, mos részleesebben csak a szezonaliásra érek ki. A szezonaliás állandó periódus hosszúságú ingadozás. A periódus hossza egy év, vagy ennél rövidebb. Szezonaliás vizsgálaakor az jellemezzük, hogy a szezonális haás a periódus egyes szakaszaiban milyen mérékben, vagy arányban éríi el az idősor érékei a rendől, vagyis az alapirányzaól. Beszélheünk állandó- és válozó szezonaliásról. Állandó szezonaliás eseén a szezonális összeevő viselkedése lehe: 8
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE addiív: ekkor a szezonális haás abszolul nagysága, a hullámzás ampliúdója állandó, nem függ az idősor érékéől, muliplikaív: a szezonális haás relaív nagysága állandó. Mindké eseben az egyes szezonokra (a perióduson belüli szakaszokra) valamennyi periódusra állandó éréke kapunk. Válozó szezonaliásnál a szezonális kilengések nem állandóak, periódusonkén válozik az egyes szezonokhoz arozó ingadozás. Addiív modellben a szezonális haás szezonális eléréssel jellemezzük. A szezonális haás kimuaásakor az idősorból kiszűrjük a rend és a vélelen ényező haásá (a szezonaliáson kívüli ovábbi ciklikus haásokól elekinünk). A rend kiszűrése: ^ i, j j v i, j z i, j * (.40) z zi, j s +. A * z i, j a rendhaásól menes idősor jelöli, melyben a szezonhaás és a vélelen szerepel. A vélelen haás gyengíésére, kiszűrésére a z * i, j idősor elemei a periódusok i száma szerin álagoljuk: ^ n * z i, j i (.4) s. j n Ahhoz, hogy a szezonális elérések összege, illeve álaga nulla legyen, korrekció szükséges. A korrigál szezonális elérések, meghaározása: ^ j m ^ s j * j (.4) s s. j m s * j, A szezonális elérés az muaja meg, hogy a szezonális haás mia az ado időszakban (pl: az első negyedévben) mennyivel ér el az idősor adaa az alapirányzanak megfelelő érékől. 9
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Muliplikaív modellben a szezonális haás szezonindexekkel jellemezzük. A rendhaásól menes idősor: z i ^ j v i, j z i, j zi, j, j * (.43) s *. A vélelen haás gyengíésére, illeve kiszűrésére szinén álagolás alkalmazunk: ^ n * z i, j i (.44) s j. n ^ A szezonindexek korrekciójával érhejük el, hogy az s j érékek álaga legyen. A korrigál szezonindexek meghaározása: * s j (.45) s. j ^ m ^ s j j m A szezonindex az fejezi ki, hogy a szezonhaás mia az ado szezonban relaíve mennyivel (hány százalékkal) nagyobb vagy kisebb az idősor adaa, min a megfelelő rendada. A rend és a szezonális ényező kiszűrése uán a vélelen komponens maradékagkén, reziduumkén, kapjuk. A reziduumok számíása addiív modellben: ^ (.46) vi, j zi, j s j. z i, j ^ A reziduumok muliplikaív modellben: ^ z i ^ ^ zi, j * s j, j (.47) v i, j. ^ Ha az idősor komponensei helyesen haározzuk meg, a reziduumok vélelenszerűen viselkednek. 0
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Az idősorok saiszikai analízisének legfonosabb vizsgálai szemponjai: a deerminiszikus (nem vélelenől függő) komponensek függvényalakjának meghaározása, az idősorok szochaszikus modelljeinek megalkoása, azaz az idősorok vélelen komponenseinek modellezése. Továbbiakban csak a vélelen komponens aralmazó idősorok azonosíásával, modellezésével foglalkozom..6. Szochaszikus modellek megadása.6.. Szochaszikus modellek azonosíása A szochaszikus folyama modellezésének első szakaszá a modell azonosíásának vagy idenifikációjának nevezzük. Először megállapíjuk, hogy a vizsgál idősor sacionárius-e, illeve ha nem, akkor megpróbáljuk az alkalmas ranszformációval sacionáriussá enni. Előzees számíások alapján kezdőérékeke is adunk a modell p, d, q paraméereinek [4]. A modellezés kiindulásá jelenő apaszalai idősor az elmélei idősor alkoó valószínűségi válozók realizációja. A apaszalai idősor akkor csak ekinheő olyan minának, melyből az elmélei idősor jelenő szochaszikus folyama jellemzői becsülheők, ha az elmélei idősor jellemzői (várhaó érék, szórásnégyze, auokorrelációs együhaói) időben állandóak, azaz függelenek a válozóól. A sacionárius idősorok nem aralmaznak rendhaás, az idősor érékei egy állandó konsans szin körül ingadoznak állandó szórással. A sacionárius idősorban a belső összefüggéseke kifejező auokorrelációs együhaók időben állandóak, nem függnek a időől, csak a válozók egymás közöi ávolságáól. Az auokorrelációs függvényben az elsőrendű auokorrelációs együhaó az
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE egymásuán kövekező idősori érékek, a másodrendű auokorrelációs együhaó az egymásól ké időegységnyi ávolságra lévő idősori érékek korrelációjá muaja. Az auokorreláció vizsgálakor az idősor elemeinek ávolságá késleleésnek nevezzük. A sacionárius idősorok gyakran aralmazhanak rövid ávú auokorreláció, vagyis az elsőrendű auokorreláció viszonylag magas, a másodrendű- és a harmadrendű auokorrelációk is szignifikánsan különböznek nulláól, de a késleleés növekedésével az auokorreláció érékei nullához aranak. A sacionariás vizsgálaával eldönjük, hogy az ado idősorhoz illeszheő-e ARIMA modell, ha igen, milyen d dimenzióval. Továbbiakban a sacionárius vagy azzá ranszformál adaokkal dolgozunk. A modellazonosíás során megkeressük a sacionárius vagy azzá ranszformál idősorhoz milyen MA(q), AR(p), vagy ARMA(p,q) modellípus(oka) lehe illeszeni, amelynek jellemzőire leginkább hasonlíanak a apaszalai idősorból számío empírikus jellemzők. Ehhez a modellípusok elmélei jellegzeességeinek ismeree szükséges. A modell azonosíásához az auokorrelációs függvények és a parciális auokorrelációs függvények adják a legfonosabb információka. A apaszalai idősorból becsül auokorrelációs együhaók ábrája, a korrelogram, alapján lehe anulmányozni az auokorrelációs együhaók viselkedésé, a késleleés (k) függvényében. Becsüljük az auokorrelációs és parciális auokorrelációs együhaóka. Ezek az elmélei auokorrelációs és parciális korrelációs függvények közelíései, így viselkedésükből az elmélei függvények ulajdonságaira lehe kövekezeni [4], [60]. A becsül auokorrelációs együhaók konfidencia inervalluma alapján megállapíhaók a nulláól szignifikánsan különböző érékek, ezek a konfidencia sávon kívül vannak.
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Az MA() folyama auokorrelációs függvényére az a jellemző, hogy csak első auokorreláció éréke nem nulla, a parciális auokorrelációs függvénye közel exponenciálisan vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökken. A MA(q) folyamaoknál az auokorrelációk válnak nullává q darab nem nulla érék uán, míg a parciális auokorrelációk csökkennek exponenciálisan vagy csillapodó szinusz görbe szerin. Az AR() folyama akkor sacionárius, ha a z φ z - +ε egyenleben a paraméerre eljesül, hogy φ <. Az auokorrelációs függvény közel exponenciálisan csökken, ha φ poziív érék, a függvény csillapodó szinusz görbe szerin csökken, ha φ negaív érék. Az AR() auokorrelációs együhaói a φ paraméerből származahaók: r k φ k. A parciális auokorrelációs függvény első éréke nem nulla, a öbbi érék szignifikánsan nem különbözik nulláól. Az AR() folyamaban nincs reje periódus, az AR() aralmaz reje periódus. A AR(p) folyama auokorreláció érékei exponenciálisan vagy exponenciálisan és csillapodó szinusz görbéhez hasonlóan csökkennek, a parciális auokorrelációi p darab nem nulla érék uán nullává válnak. Az ARMA(p,q) vegyes folyama auokorrelációs- és parciális auokorrelációs függvényei néhány jellemző érék uán exponenciálisan vagy csillapodó szinusz görbéhez hasonlóan csökkennek [4], [60]. A gyakrabban előforduló modellekre az emlíe függvények jellemzői az. áblázaban összefoglalam. 3
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE AR() (,d,0) AR() (,d,0). ábláza: Az auokorrelációs- és parciális auokorrelációs együhaók érékei ARIMA modellekben. Modellípus ARIMA(p,d,q) MA(), ha d0 vagy IMA(d,) (0,d,) MA(), ha d0, vagy IMA(d,) (0,d,) ARMA(,) ha d0, vagy ARIMA (,d,) (,d,) ARMA(,) ha d0 vagy ARIMA(,d,) (,d,) ARMA(,) ha d0 vagy ARIMA(,d,) (,d,) ARMA(,) ha d0 vagy ARIMA(,d,) (,d,) Auokorrelációs együhaók (ρ k ) Exponenciálisan csökkennek, ha ρ >0, csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek, ha ρ <0 Exponenciálisan és/vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek ρ ha k 0 ha k> ρ ha k ρ ha k 0 ha k> Exponenciálisan vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek a második érékől kezdődően ρ 0 és ρ uán exponenciálisan csökkennek Exponenciálisan és/vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek ρ 0 uán exponenciálisan csökkennek Parciális auokorrelációs együhaók (φ kk ) φ ha k 0 ha k> φ ha k φ ha k 0 ha k> Exponenciálisan vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek Exponenciálisan és/vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek Exponenciálisan vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek a második érékől kezdődően Exponenciálisan és/vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek φ ρ és φ uán exponenciálisan csökkennek φ ρ uán Exponenciálisan és/vagy csillapodó szinusz görbe szerin csökkennek 4
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE A modellípus azonosíása uán a modell paraméereire az induló érékek meghaározásához szinén a becsül auokorrelációka és parciális auokorrelációka használjuk fel. Auoregresszív folyamaoknál a Yule-Walker egyenleekből származajuk a φ auoregresszív paraméerek induló érékei. Mozgóálagolású folyamaokban a q darab nem nulla érékű becsül auokorreláció felírásából kelekeze egyenleekből fejezzük ki a θ paraméerek induló éréké. Vegyes modellekben a paraméerérékek és az auokorrelációk közöi összefüggésekből számolunk induló érékeke. A. ábláza aralmazza a leggyakrabban használ modellekben az induló érékek származaásá.. ábláza: A paraméerek induló érékeinek meghaározása ARIMA modellekben. Modellípus ARIMA(p,d,q) A paraméerek induló érékének származaása A paraméerek leheséges érékei (,d,0) φ ρ - < φ < (,d,0) ρ( ρ ) - < φ φ < ρ φ + φ < φ ρ ρ - φ < φ ρ (0,d,) θ - < θ < ρ + θ (0,d,) θ ( θ ) ρ + θ + θ θ ρ + θ + θ (,d,) ( θ φ )( φ θ ) ρ ρ ρ φ + θ φ θ - < θ < θ + θ < θ - θ < - < φ < - < θ < 5
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE A becsül auokorrelációka és parciális auokorrelációka ellenőrizni kell, mennyire szignifikánsak, milyenek a sandard hibák. Ehhez a Barle formula alkalmazhaó. A becsül auokorrelációka r k -val jelöljük, ekkor az r k auokorrelációk sandard hibája [4]: (.48) σ ( r ) { + ( r + r +... + r )} / k. k q > q n A parciális auokorrelációi sandard hibáira eljesül a kövekező [4]: (.49) σ φ kk k > p. n A becsül auokorrelációs- és parciális auokorrelációs együhaókról Anderson kimuaa, hogy közepes n érék eseén olyan együhaókra, amelyek elmélei éréke nulla, a becsül együhaók eloszlása közelíőleg normális eloszlású. Ez segí, annak eldönésében, hogy az együhaók lényegesen különböznek-e nulláól. Ha az együhaók abszolul éréke nagyobb, min a készeres sandard hiba, akkor az együhaóka nulláól lényegesen különbözőknek ekinjük [], [4]. Az idenifikáció jóságáról a reziduumok varianciájának előzees becslése ad ájékozaás. Az AR(p) modellekben a reziduumok varianciájá az alábbi kifejezéssel becsülhejük, ahol c 0 a γ 0 variancia becsül éréke [4]: 0 (.50) σ a c φ r φ r... φ r. MA(q) modellekben a reziduumok varianciájának becslése [4]: ^ ^ 0 (.5) σ a. c + θ +... + θ q ARMA(,) modellekben a reziduumok varianciáinak becslése [4]: p p 6
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE φ 0 (.5) σ a c. + θ φ θ.6.. Szochaszikus modell paraméereinek becslése A modellípus azonosíása és a paraméerek kezdőérékének megadása uán a paraméerek végleges érékei kell meghaározni. A paraméerek haásos becslésének eléréséhez a rendelkezésre álló adaainka haékony módon kell felhasználni. Ehhez felhasználhaók a maximum likelihood és a legkisebb négyzeek elvén alapuló becslések. Likelihood függvény Ha az idősor N elemű, akkor az idősor elemei ekinhejük egy N dimenziós vélelen válozó egy minájának. A vélelen válozó eloszlása az ismerelen α paraméerekől függ, azaz p(z α). Az α paraméer a p számú φ paraméer, a q számú θ paraméer és a σ paraméerek együesé jeleni, ehá p+q+ számú paraméer. A p(z α) rögzíe α paraméerek melle a z különböző kimeneeleinek valószínűségé adja meg. Becslés eseén fordío a helyze. Ismerjük z egyelen kimeneelé, az N elemű z idősor, és arra vagyunk kiváncsiak, hogy az idősor milyen α paraméerekhez arozha. A likelihood függvény, L(α z), rögzíe z melle vizsgálja az α paraméereke. Jelölje l a L(α z) logarimusá, azaz llogl(α z). A L illeve a l függvény maximumához arozó paraméer érék olyan, amely melle a z megfigyelésünk a legesélyesebb, a z-ből kövekező legvalószínűbb α érék, az L maximumához arozik [4], [60]. 7
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Gyakorlai szemponból fonos a reziduumok négyzeösszeg függvényének vizsgálaa, jelöljük ez S(α)-vel. Az idősor elemei jelöljük z 0, z, z,, z N -nel, és feléelezzük, hogy Nn+d számú megfigyelésünk van az idősorból. Továbbá feléelezzük, hogy a z idősor a (p,d,q) paraméerű ARIMA modell generálja. A z érékeiből d-edfokú differenciaképzéssel a w, w,, w n sacionárius idősor kapjuk. Ehhez az ARMA(p,q) modell illeszjük, és becsüljük az auoregresszív φ, valamin a mozgóálag θ paraméereke. A modellből a reziduumoka kifejezve a kövekező kapjuk [4], [60]: (.53) a ~ ~ w φ w ~ φ w ~... φ w p p + θ a + + θ a +... + θ q a q, ahol w d z ; ~ w w µ ; Ew µ. A reziduumok kiszámíására szükség van p darab w* és q darab a* kezdei érékre. Ezek mia az L függvény és az S függvény is csak feléelesen, a w* és az a* kezdei érékől függően számíhajuk ki, jelöljük L*-gal és S*-gal. Ha a reziduumok normális eloszlásá feléelezzük, akkor * (.54) l ( φ, θ, σ ) S * n * * ( φ, θ ) a ( φ, θιw, a, w) Konsans a ( φ, θ ) * S nlnσ a σ. a, ahol σ a eseén l* lineáris függvénye S*-nak, így l* vizsgálaa helye S* vizsgálaa elegendő. Ahol l*-nak maximuma van, o S*-nak minimuma van. Normális eloszlás feléelezése melle, a legkisebb négyzeek felhasználásával nyer becslések maximum likelihood becslések is [4], [60]. 8
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE A reziduumok négyzeösszegének feléeles és feléel nélküli számíása Az ARIMA modellek paraméer becslésére alkalmas programcsomagokban leheőség van a reziduumok négyzeösszegének feléeles és feléel nélküli válaszására is. A (.53) egyenleből lászik, hogy az a reziduumok kiszámíásához szükséges d-edfokú differenciaképzés uán nyer idősor és a reziduumok idő megelőző (-p) illeve (-q) érékei. Tehá a w*(w -,w -,, w -p ) és a*(a -,a -,, a -q ) kezdőérékek szükségesek. A kezdőérékek befolyásolják a reziduumok négyzeösszegé, így csak feléeles S* függvény lehe meghaározni. Sok eseben a feléeles S* függvénnyel jól közelíheő a feléel nélküli S* függvény. A feléeles S* függvény kiszámíásához szükséges w* és a* kezdőérékének a feléel nélküli várhaó éréküke vesszük, vagyis Ew*- és Ea*-. Hosszú idősorok eseén a reziduumok kiszámíásá csak a p+ -ől kezdjük, kezdőérékkén w,w,, w p ényleges érékei, a, a,, a p 0- alkalmazzuk [4], [60]. A reziduumok négyzeösszegének feléel nélküli kiszámíásakor a szükséges kezdőérékeke is becsléssel állapíjuk meg. Ez a módszer bonyolulabb, de előnyösebb, mivel a kezdőérékek megadása orzíhaja az eredmény. A rendelkezésre álló számíógépes programokkal az ieraív módszer is gyorsan elvégezheő. Álalában ízől kisebb ierációs lépésben megkaphajuk az S(a) függvény minimum érékének jó közelíésé. 9
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE.6.3. Szochaszilus modellek ellenőrzése A modell becslése uán ellenőrizni kell a válaszo modell helyességé, jóságá. Az ARIMA modellek ellenőrzése a reziduumok alapján örénik. Előzőek szerin kövekezőképpen írhaó fel egy ARIMA folyama [4]: ~ d ( ) ( ) ( ) w z..55 φ B w θ B a, w w µ, Ebből kifejezzük a reziduumoka: ~ ^ ^ (.56) a θ ( B) φ( B) w. ^ Ha a model adekvál, akkor a a + o. n A reziduumokról, helyes modell válaszása eseén, Anderson [], [4] kimuaa, hogy korrelálalanok és közelíőleg normális eloszlásúak, nulla várhaó érékkel, n - szórásnégyzeel, a sandard hibájuk n -/. A φ paraméerű AR() folyama eseén az ^ ~ ^ a r szórásnégyzeéről Durbin igazola, hogy a φ n - el becsülheő, mely lényegesen kisebb, min n -. Teszőleges ARMA folyamara Box és Pierce igazolák [5], hogy a becsül reziduumok korrelációs együhaóinak sandard hibáira az n -/ kifejezés csak min felső haár alkalmazhaó, nem min ponos sandard hiba. Ha alacsony késleleéseknél ez alkalmazzuk, akkor az elérések jelenőségé alábecsüljük [3]. A reziduumokról helyes modell válaszása eseén kimuahaó, hogy fehér zaj folyamao képeznek. Ekkor a reziduumok auokorreláció nem aralmaznak, normális eloszlás szerin szóródnak nulla körül, konsans szórással. A reziduumok korrelációs függvénye alkalmazhaó a 30
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE modell helyességének vizsgálaára [4], [5]. A reziduumoka ^ a, a reziduumok auokorrelációinak becslésé r ^ k a jelöli. A reziduumok auokorrelációi eloszlásának közelíésekén használhaó az alábbi kifejezés [4], [5]: ^ nk ^ (.57) r a. k ^ Az auokorrelációk függelenségük eseén közelíőleg (K-p-q) szabadságfokú χ eloszlás kövenek. a n ^ a a + k K ^ (.58) Q n r k a. k Ha a modell nem megfelelő, Q éréke erősen megnő [4], [5]. Ez az ellenőrzési módo pormaneau-próbának nevezzük. A H 0 hipoézis: a megfigyel folyama ARMA(p,q). A H 0 hipoézissel szemben a H hipoézis: a megfigyel folyama ARMA(p,q ); p p; q q. Ez becslés úlilleszésnek nevezzük. Ha a H 0 hipoézis a χ próba nem igazolja, akkor korrigálni kell a válaszo modell. Ha a megfigyel vélelen folyama jellemzésére öbb kiinduló modell válaszása is helyesnek bizonyul, akkor az a modell célszerű a folyama becslésére ovábbiakban felhasználni, amelyikben a paraméerek száma kevesebb. Ha a modell ellenőrzése során bebizonyosodik, hogy nem megfelelő, akkor újból kezdjük a modellkészíés folyamaá egy más ípusú modellel [5]. 3
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE 3.7. AR() együhaó maximum likelihood becslése időben diszkré eseben A sacionárius Gauss-Markov folyama a Eξ n 0 feléel melle a ξ n φξ n- +σε n, kifejezéssel állíhaó elő, ahol ε n fehérzaj; n0, ±, ±,. Ez elsőrendű auoregresszív folyamao jelen. Ha r n a korrelációs-, c n az auokovariancia függvény jelöli, akkor érvényesek az alábbi összefüggések [4]: ( ) ( ).,,.59 0 0 c D E D E c c r k k k k k n k n n n φ σ ξ ξ ξ φ ξ ξ ξ φ + A ξ, ξ,, ξ n valószínűségi válozók együes sűrűségfüggvénye, feléve Eξ k m, a kövekező alakú [4]: A feni kifejezés márix alakban is felírhaó [4]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). exp * exp *,...,,.60 0 0,...,, + + n i i i n n n i i i n n n m x x m x m x x m x c c x x x p n φ φ φ σ φ σ π φ φ φ φ φ π ξ ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). exp,...,.6 0 0,..., m X B m X c c x x p n T n n n n φ φ π ξ ξ
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE 33 (X-m) T (x -m,, x n -m), T a ranszponálás jeleni. A ξ,, ξ n valószínűségi válozók feléeles sűrűségfüggvénye a ξ x feléel melle [4]: A feni (.63) kifejezésben szereplő ismerelenek (m,σ,φ) megoldására a maximum likelihood becsléssel a kifejezés logarimusá képezzük. A kifejezés az ismerelenek szerin parciálisan deriváljuk, és megoldjuk az így kapo egyenleeke [4]. Az elmélei érékek becslésére kapo eredményeke jelölje ^ ^ ^,, σ φ m. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). exp,...,.63 n i i i n n n m x x x x x p φ φ σ σ π ξ ( ),.65 ^ ^ ^ ^ n i i n i i i m x m x m x φ ( ). 0 0 0 0 0 0 0 0........................ 0 0... 0 0 0... 0 0 0... 0 0.6 + + + φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ B n ( ),.64 ^ ^ ^ ^ n i i i m x m x n φ σ ( ) ( )..66 ^ ^ ^ ^ + φ φ φ n x x x m n i i n
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE A (.67) kifejezés a (.65)-ből kapjuk, m0 eseén. ^ i i n xi i i (.67) φ. A (.68) kifejezés szórásnégyzeére igaz, hogy aszimpoikusan (-φ )-el egyenlő [4]: A n x x ^ (.68) n φ φ. ^ φ becslés aszimpoikusan normális eloszlású minden fix φ érékre, a normális eloszláshoz való konvergencia csak a +ε<φ<-ε inervallumban egyenlees, ahol ε>0. Így konfidencia inervallum φ-re csak a (-, ) inervallum belsejében szerkeszheő [4]..8. AR() konfidencia inervallumai becsléseinek összehasonlíásai Az AR() folyamao jellemző φ paraméer becslésére három eljárás összehasonlíásá adam meg. Az elsőrendű auoregresszív folyamao a,,, T ( >0) ponokban megfigyelve olyan ξ(n )ξ n diszkré sorozao kapunk, amely elege esz a ξ n φξ n- +σε n, egyenlenek, ahol φe -λ ; σ (-φ )c 0. Ha fix (legyen ), ekkor φe -λ, akkor φ becslése aszimpoikusan normális φ eloszlású, φ, paraméerekkel. A φ paraméer becslésére T konfidencia inervallum a normális eloszlás min közelíés - 34
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE alkalmazásával az alábbi összefüggés alapján nyerheő, ahol x p a normális eloszlás p-kvanilisé, T a megfigyelések számá jelöli [4]: ^ ^ ^ φ φ φ xp < φ < φ+ xp T T Ha φ és -φ /T, akkor a normális eloszlással való közelíés (.69). nem használhaó. Ekkor a konfidencia inervallum felső haára -nél nagyobb is lehe, ami sacionárius eseben használhaalan eredmény ad [4]. A (.69) közelíés helye Whie a (.70) közelíés javasola, ahol p az (T+) szabadságfokú Suden eloszlás p-kvanilise [4], [6]: ^ ^ ^ φ φ φ p < φ < φ+ p T + T + Időben diszkré folyama φ paraméerére vonakozó konfidencia (.70). inervallum szerkeszésére felhasználhaók a folyonos folyamara vonakozó eredmények [4], []. Ha az AR() folyamao a,, 3,, T ponokban megfigyeljük, diszkré sorozao kapunk. A folyonos idejű modellből adódó becsléssel az AR() folyamara ^ ^ φ exp λ összefüggés alapján becsülheő a φ paraméer. Ha az idősor adaai egyenlő időközönkén adoak a [0,T] inervallumban, akkor ^ ^. Behelyeesíve az előző kifejezésbe: exp λ φ. T T A ^ λ paraméer szokásos elnevezése "csillapodási ényező", mely ual arra, hogy az AR() auokorrelációs együhaói exponenciálisan vagy exponenciálisan és csillapodó szinusz görbéhez hasonlóan csökkennek. A ^ ^ 35
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE kifejezés áalakíása uán adódik: ^ λ T ln ^ φ. Vezessük be a ^ κ ^ λt jelölés. A [4] irodalomban megado ábláza - A csillapodási ényező becslésének az eloszlása - aralmazza a ^ κ paraméer érékei, melyek felhasználhaók az AR() folyamaok paraméereinek megbízhaóságá jellemző konfidencia inervallumok becslésére [4]. Az AR() folyamaokra igaz, hogy a φ paraméer éréke az ^ elsőrendű auokorrelációs együhaóval becsülheő, azaz r. Ez φ figyelembe véve a feniek alapján ^ λ meghaározhaó, azaz λ T ln r. Az emlíe áblázaban a válaszo p érék oszlopában alálhaók ^ κ érékek, így visszakeresheő a csillapodási ényező éréke. A válaszo p érékhez arozó csillapodási ényező jelölése legyen λ. Hasonlóan meghaározhaó λ is az emlíe ábláza (-p) oszlopának felhasználásával. A konfidencia inervallum φ és φ végponjai az alábbi kifejezésekkel kaphaók meg [4], []: λ ( ). T T.7 φ e és φ e A feniekben ismeree módszerrel örén az AR() együhaók konfidencia inervallumainak meghaározása folyonos idejű modellel. λ ^.9. Számíógépes alkalmazások irodalmának összefoglalása.9.. ARIMA modellek alkalmazásai Az ARIMA modelleke közgazdasági folyamaok elemzésére gyakran felhasználák, melyekről számos közlemény jelen meg [9], [3], [76], 36
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE [86], [93], [09]. Az egészségügyi alkalmazások is széles körben elerjedek. Ezek közül különös jelenőséggel bír azoknak a WHO adaoknak az elemzése, melyek a nem ferőző illeve a umoros beegségek okoza halálozási arányok idősori modelljei ismerei. Az elemzéssel az 980-as években Svájcban arra keresek válasz, vajon a környezei ényezőknek van-e haása e ké beegségcsopor okoza halálozási arányokra [55]. A levegőszennyeződés méréké és a halálozások számának alakulásá szochaszikus idősorokkal modellezék [89]. Az influenza vírus erjedése és a szövődményes eseek halmozo előfordulása közö idősori módszerekkel összefüggés keresek [7]. A napi és a hei dohányzási szokások alakulásá ARIMA modellekkel vizsgálák [03]. Illinois államban idősori módszerekkel elemezék a 65mph sebességhaár bevezeésének a baleseekre, a halálozásokra és a sebesülésekre gyakorol haásá [0]. Spanyolországban a levegő hőmérséklee és a halálozás közöi összefüggés vizsgálák [05]. Japánban [06], Argenínában [74], Svájcban [33] és a spanyolországi Caalónia arományban [3] az influenza álal előidéze halálozások számának alakulásá elemezék. Sockholmban idősori modellekkel vizsgálák az alkoholfogyaszás haásá a halálozásokra és ezzel összefüggő kórházi kezelésekre [75]. ARIMA modellekkel elemezék a homeopáiás kezelésnek a krónikus fejfájásra gyakorol haásá []. A meningococcuszok okoza agyháryagyulladás és az influenza kapcsolaá idősori modellel jellemezék [85]. Madridi adaok alapján a nagy nyári melegnek az időskori halálozásra gyakorol haásá elemezék [8], [9]. A környezei zajszin haására bekövekeze kórházi felvéelek köveésére [4], a csecsemőhalandóság vizsgálaára [], [3], az aku légzőszervi ferőzések jellemzésére [45], a vélelen sérülések 37
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE előfordulásának figyelésére [69], a mooros baleseek okoza haláleseek számának alakulására és az öngyilkosságok, illeve gyilkosságok számának vizsgálaára a Box-Jenkins modelleke alkalmazák [00]. A fenieken úl számos közleményben számolak be más egészségügyi alkalmazásokról: [], [0], [], [4], [56], [57], [65], [79], [8], [87], [95], [99], [0], [5], [6]. A halálozási adaok valamin a hazai megbeegedések elemzéséről magyar publikációk is megjelenek, de ezek nem idősori elemzésekkel készülek [40], [6], [63], [64], [7]..9.. Szezonális idősorok alkalmazásai Az idősorok komponenseire bonásával és ennek alkalmazásaival gyakran alálkozhaunk [53], [54], [], [3]. A szezonális idősoroka számos erüleen alkalmazák. Ezzel a módszerrel elemezék az Alani Óceán plankon és bakérium aralmának válozásá [78]. Mone Carlóban a pénzügyi folyamaok [3], az Egyesül Királyságban a negyedéves infláció válozásának elemzésére szezonális idősoroka alkalmazak [38]. A közgazdasági alkalmazásoka kézikönyvben foglalák össze [43]. A mélyengeri üledék válozásának jellemzésére [4], a gyorsforgalmi uak forgalmának elemzésére [] és az auszráliai [77] és a Hong-Kong-i urisák számának szezonális ingadozásának kimuaására szezonális idősoroka alkalmazak [44]. USA-ban a légkörben jelenlévő penészgomba spórák mennyiségének elemzésé [66], Hollandiában a hőmérséklei adaok jellemzésé [37], Olaszországban az évi csapadék válozásá [7], Kanadában a nagy esőzések előfordulásának elemzésé [4] és USA-ban az időjárási klíma válozásának vizsgálaá ezzel a módszerrel végezék [6]. 38
. IDŐSOROK JELLEMZŐINEK ÁTTEKINTÉSE Orvosi alkalmazásokkal szép számban alálkozhaunk. Mexikóban a gyermekkori roavírus ferőzöség járványá elemezék szezonális idősorokkal [8]. Az aszma előfordulásának szezonaliásá, e beegséggel összefüggő kórházi kezelések, halálozások számának ciklikusságá [36] vizsgálák. Finnországban a üdőgyulladás kövekezében szükségessé váló kórházi kezelések szezonális ismélődésé elemezék [07], [9]. Dániában a humán és az állai szalmonella ferőzések rendjé és szezonaliásá vizsgálák [3]. A meningococcuszok okoza ferőzések szezonális előfordulásai Spanyolországban elemezék [8]. A sroke beegség ciklikusságá is vizsgálák [88]. Egészségügyi erülehez kapcsolódóan ovábbi szezonaliás vizsgálaokról is jelenek meg publikációk [30], [46], [5], [83], [9]. A gyermekkori aku lympoid leukaemia előfordulásának elemzésével öbb közleményben is foglalkozak [], [49], [84], [08], [8]. 39