1. evezetés, lpfoglmk... 1.1. Erő... 1.. Sttik feldt... 1.3. Egensúl... 3 1.4. lptételek, iómák... 3 1.5. Nomték foglm (síkeli erőrendszer esetén)... 3 1.6. Vetületi és nomtéki tétel (síkeli erőrendszer esetén)... 4 1.7. Kénszerek, megtámsztási módok (síkeli erőrendszer esetén)... 4. Síkeli közös metszéspontú erőrendszerek... 7.1. Síkeli közös metszéspontú erőrendszer eredő (helettesítő) ereének meghtározás7.. Síkeli közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozás... 13 3. Síkeli párhuzmos erőrendszerek... 30 3.1. Síkeli párhuzmos erőrendszer eredő ereének meghtározás... 30 3.. Síkeli párhuzmos erőrendszer kiegensúlozás... 38 4. Síkeli áltlános erőrendszerek... 49 4.1. Síkeli áltlános erőrendszer eredő (helettesítő) ereének meghtározás... 49 4.. Síkeli áltlános erőrendszer kiegensúlozás... 58 5. Igénevételek rácsos trtók... 65 6. Igénevételek kéttámszú, egenes tengelű trtók... 84 6.1. Igénevételi árák szerkesztési száli... 84 7. Igénevételek merev efogású, egenes tengelű trtók... 100 8. Igénevételek tört tengelű trtók... 106 9. Igénevételek Gerer trtók... 18 10. Igénevételek háromcsuklós keretek... 137 11. Keresztmetszeti ellemzők meghtározás... 153 1
1. evezetés, lpfoglmk 1.1. Erő z erő nem definiálhtó, fiziki tpsztlti lpfoglom. z erő két különöző test egmásr gkorolt htásként tpsztlhtó, melnek során megváltozik vg megváltozht test(ek) mozgásállpot. (Például h eg mozgásn lévő testet megállítunk vg eg nuglomn lévő testet mozgás hozunk, kkor erőt fetünk ki.) z erő vektormenniség, mit - ngság mi z erőegséghez viszonított szolút szám, - irán mi z erő htásvonlávl, egenesével párhuzmos egenes, - értelme/iránítás mit z erő iránán felvett níl htároz meg, - támdáspont, ellemez. z erő htásvonl mentén tetszőlegesen eltolhtó. z erő htásvonl mentén árhol tetszőleges iránú vetületekre onthtó fel. kg m N. s z erő mértékegsége: Newton [ ] 1. ár: z erő ellemzői Két test mindig eg felület mentén érintkezik egmássl. z egmásr kifetett erőhtás e felületen dódik át. H ez felület kicsi, kkor ó közelítéssel pontnk, pontszerűnek tekinthető, és z erőt koncentrált erőnek (F kn), ellenkező eseten megoszló erőnek (vonl (q kn/m), felület (q kn/m ) vg térfogt (q kn/m 3 ) mentén megoszló) nevezzük. műszki, mérnöki gkorltn nehézségi erő legfontos. H egideűleg tö erő is ht eg testre, kkor zt erőrendszernek nevezzük. H z erőrendszer erői (htásvonli) eg sík esnek, kkor síkeli erőrendszerről eszélünk. H z erőrendszer erőinek htásvonlár nem lehet eg síkot ráfektetni, kkor téreli erőrendszerről eszélünk. 1.. Sttik feldt sttik feldt egrészről megállpítni zt legegszerű erőrendszert, mivel eg dott erőrendszer helettesíthető ez z eredő meghtározás. Másrészről z feldt, hog eg dott
testet kiegensúlozzunk, meghtározzuk zokt feltételeket, melek mellett test nuglomn mrd. 1.3. Egensúl H eg nuglomn lévő, merevnek tekintett test rá működő erők htásár nuglomn mrd, kkor zt monduk, hog testre htó erők egensúln vnnk, zz test egensúln vn. 1.4. lptételek, iómák I. Két erő kkor és csk kkor vn egensúln, h két erő közös htásvonlú, egenlő ngságú és ellentétes értelmű. II. Három erő kkor és csk kkor vn egensúln, h htásvonlik eg síkn vnnk, htásvonlik eg közös pontn metszik egmást és vektorháromszög foltonos nílfolmml záródik. III. Egensúln lévő erőrendszer esetén nem változik meg z egensúl, h z dott erőrendszerhez(től) hozzádunk vg elveszünk eg önmgán egensúln lévő erőrendszert. IV. Két test egmásr kifetett erőhtás párosávl egenlő ngságú, közös htásvonlú és ellentétes értelmű (Newton féle kció rekció, htás ellenhtás törvéne). 1.5. Nomték foglm (síkeli erőrendszer esetén) dott erő dott pontr vett nomték ltt z erő ngságánk és z erőkrnk szorztát értük, hol z erőkr ltt dott erő htásvonlánk (egenesnek) dott ponttól mért távolságát értük. nomték mértékegsége: [ kn m] vg [ N m]. nomték értelmezhető úg is, mint eg erőpár, hol két erő ngság zonos, htásvonlik párhuzmosk, de ellentétes értelműek és nem esnek eg egenese. Ennek z erőpárnk íg erőhtás nincs, csk forgtóhtás. nomték meghtározásához szükséges erőkr leolvsás (. ár) következő elgondolás szerint történik: z dott pontól (mire nomtékot felíruk) merőlegest állítunk z dott erő htásvonlár merőleges egenes hossz z erőkr ngság. 3
. ár: nomték számításához szükséges erőkr foglm, meghtározás 1.6. Vetületi és nomtéki tétel (síkeli erőrendszer esetén) Vetületi tétel: eg erőrendszer eges elemeinek tetszőleges iránr vett előelheles vetületöszszege egenlő ugnzon erőrendszer helettesítő (eredő) ereének ugnzon irán szerinti vetületével. Nomtéki tétel (síkeli erőrendszerek esetére): eg erőrendszer eges elemeinek dott pontr vett előelheles nomtékösszege megegezik ugnzon erőrendszer helettesítő (eredő) ereének ugnzon pontr vett nomtékávl. 1.7. Kénszerek, megtámsztási módok (síkeli erőrendszer esetén) kénszerek oln testek, melek korlátozzák vg megkdálozzák trtószerkezeti elemek egmáshoz vg tlhoz viszonított elmozdulását. kénszerek trtószerkezetre htó külső erőkkel egensúlt trtó rekcióerőket, kénszererőket fetenek ki. kénszereket szerint csoportosíthtuk, hog trtószerkezetet milen elmozdulásokn kdálozzák meg. Ez lpán kénszerek kinemtiki szdságfokkl és kötöttséggel rendelkeznek. síkn eg test, trtószerkezet, iránok mentén hldó vg pont körüli forgó mozgást tud végezni. Emitt síkeli kénszerek kinemtiki kötöttsége és szdságfok mimum három lehet. 1.7.1. Görgő (vg támsz) Görgőnek, támsztásnk nevezzük két test között közvetlen érintkezés áltl létreött kpcsoltot. görgő szimolikus elét, piktogrmát 3. ár mutt e. támsztás csk z érintkezési felületre merőleges iránú elmozdulást kdálozz meg, támsszl párhuzmos elmozdulást és támsztási pont körüli forgást megengedi. fellépő rekció erő htásvonl támszr merőleges iránú lesz, ngság és iránítás ismeretlen. görgő szdságfok kettő, kötöttsége eg. 4
3. ár: Görgő, támsz 1.7.. Csukló (vg álló csukló) Síkeli csuklónk nevezzük két test között hengeres csppl létrehozott kpcsoltot. csukló szimolikus elét, piktogrmát 4. ár mutt e. csukló síkeli elmozdulást nem engedi meg trtószerkezetnek, csk csuklópont körüli elfordulást. fellépő rekció erő htásvonlánk irán, ngság és iránítás ismeretlen. csukló szdságfok eg, kötöttsége kettő. 4. ár: Csukló, álló csukló 1.7.3. Kötél, rúd Kötélnek, rúdnk nevezzük zokt kénszereket, melek mindkét végén csuklóvl kpcsolódik vlmilen testhez, és csk csuklón vesznek fel erőhtást. rúd, kötél z áltl öszszekpcsolt két test között oln rúd vg kötélerő átdásár képes, melnek htásvonl két csukló középpontát összekötő egenes. kötél csk húzóerőt, rúd csk húzó és nomóerőt képes felvenni. 5. ár: Kötél, rúd 1.7.4. Merev efogás merev efogás efogási keresztmetszeten trtószerkezet elmozdulását és elfordulását is megkdálozz. z éredő ismeretlen htásvonlú, iránítású és ngságú rekcióerő mellett rekciónomték is keletkezik. 5
6. ár: Merev efogás piktogrm 6
. Síkeli közös metszéspontú erőrendszerek feezeten oln erőrendszerekkel fogllkozunk, hol z erőrendszer vlmenni elemének htásvonl ugnn pontn metszi egmást..1. Síkeli közös metszéspontú erőrendszer eredő (helettesítő) ereének meghtározás E témkören oln eseteket vizsgálunk, mikor dott eg erőrendszer vlmenni eleme (ngság és irán) és eg viszonítási koordinátrendszer (ez viszonítási koordinát rendszer példákn dott, de tudni kell, hog tetszőlegesen felvehető ármilen elhelezkedéssel). feldt ilenkor következő: meghtározni z erőrendszer helettesítő, zz eredő ereét. Ki kell számolni z eredő erő ngságát, meg kell htározni z eredő erő htásvonlánk iránát viszonítási koordinátrendszerhez képest. E két dt meghtározásáól áll z eredő erő számítás közös metszéspontú erőrendszer esetéen..1.1. péld dott 7. ár szerinti viszonítási koordinát rendszer, F160 N és F 100 N erők. viszonítási koordinát rendszer középpontához cstlkozik két rúd. Egik rudt z F1, másik rudt F ngságú és értelmű erő terheli. Htározzuk meg z erőrendszer eredőét számítássl és szerkesztéssel. 7. ár: Közös metszéspontú erőrendszer eredőe Megoldás számítássl vetületi tétel lklmzás Eg iránú vetületi egenletet írunk fel, zz összegezzük előelhelesen z erőrendszer minden oln elemét, melnek htásvonl párhuzmos z tengellel: F F 1 F 60 100 40 z egenlőségen z F1 erő pozitív előellel szerepel, mivel F1 irán egeesik viszonítási koordinátrendszer pozitív iránávl, míg z F erő negtív előellel szerepel, mivel irán ellentétes viszonítási koordinátrendszer pozitív iránávl. z eredmén szerint z erőrendszer eredőének ngság 40 N, htásvonl egeesik z eges elemek htásvonlávl, míg irán ellentétes viszonítási koordinátrendszer pozitív iránávl. z eredmén feltüntetése helesen: F 40 N( ). R z eredménül kpott erő előele mindig z erő iránár utl viszonítási koordinát rendszer dott pozitív iránához képest. 7
Megoldás szerkesztéssel Először felvesszük léptéket (8. ár) ezt mindig z erők ngságánk és elhelezkedésének figelemevételével tesszük meg. Ezután eg tetszőlegesen válsztott P pontól z F1 erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F1 erő értelmével megegező iránn. z egenes hossz léptéknek megfelelően 6 cm (9. ár). 8. ár: Lépték felvétele z erők ngságánk és elhelezkedésének figelemevételével 9. ár: F 1 erő ngságánk megfelelő hosszú egenes Ezt követően z F1 erő végpontáól z F erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F erő értelmével megegező iránn (10. ár). 10. ár: F erő ngságánk megfelelő hosszú egenes z eredő erő támdáspont P pont lesz, zz z elsőnek felvett F1 erő támdáspont. helettesítő erő végpont pedig z utolsónk felvett F végpontávl egezik meg. Ezt két pontot összekötve kpuk meg z erőrendszer eredőét (11. ár). 11. ár: Eredő erő meghtározás egenes húzás P pontól F végpontá z eredő erőnek megfelelő egenes ( P, F végpont ) hosszát leolvssuk, és léptéknek megfelelően feltüntetük z eredő erő ngságát. Jelen eseten z egenes hossz 4 cm, mi 40 N nk felel meg. szerkesztésől dódón z eredő erő htásvonl párhuzmos viszonítási koordinátrendszer tengelével. z eredő erő iránítás z áráról leolvshtó, szerkesztésől dódik. 8
.1.. péld dott (1. ár) eg közös metszéspontú erőrendszer öt eleme, ngság és z irán. dott F118 kn, F16 kn, F311 kn, F45 kn, F519 kn és α1, α0, α38, α43, α514. közös metszéspont viszonítási koordinát rendszer középpont. Htározzuk meg z erőrendszer eredőét számítássl és szerkesztéssel. Megoldás számítássl vetületi tétel lklmzás Felíruk z iránú vetületi egenletet, zz összegezzük előelhelesen z erőrendszer minden oln elemét vg elemeinek zon komponenseit (vetületeit), melek htásvonl párhuzmos z tengellel: F F F cos 1 18 cos 1 + F + F 3 F 4 F 5 ( α1 ) + F cos( α ) + F3 cos( 90 -α3 ) F4 cos( α 4 ) F5 cos( 90 -α 5 ) ( ) + 16 cos( 0 ) + 11 cos( 90-8 ) 5 cos( 3 ) 19 cos( 90-14 ) 11,09 kn 1. ár: Közös metszéspontú erőrendszer eredőének meghtározás z eredmén szerint z erőrendszer eredőének tengelre vett vetületének ngság 11,09 kn, htásvonl párhuzmos z tengellel, iránítás megegezik viszonítási koordináttengel pozitív értelmével. z eredmén feltüntetése helesen: F F 11,09kN( ). R Felíruk z iránú vetületi egenletet, zz összegezzük előelhelesen z erőrendszer minden oln elemét vg elemeinek zon komponenseit (vetületeit), melek htásvonl párhuzmos z tengellel: 9
F F F sin 1 18 sin 1 + F + F 3 + F 4 F 5 ( α1 ) + F sin( α ) + F3 sin( 90 -α 3 ) + F4 sin( α 4 ) F5 sin( 90 -α 5 ) ( ) + 16 sin( 0 ) + 11 sin( 90-8 ) + 5 sin( 3 ) 19 sin( 90-14 ) 3,5 kn z eredmén szerint z erőrendszer eredőének tengelre vett vetületének ngság 3,5 kn, párhuzmos z tengellel, iránítás megegezik viszonítási koordináttengel pozitív értelmével. z eredmén feltüntetése helesen: F F 3,5kN( ). R z eredő erő ngságát 13. ár szerint, Pithgorsz tétel lklmzásávl kpuk meg: F F + F 11,09 + 3,5 11,56 kn. R R R 13. ár: z eredő erő ngság és helzete viszonítási koordinát rendszeren következő lépés z eredő erő, helzetének megdás viszonítási koordinát rendszeren hogn helezkedik el z eredő erő viszonítási koordinát rendszer tengeleihez képest. zt szeretnénk megtudni, hog z eredő erő htásvonl mekkor szöget zár e viszonítási koordinátrendszer tengeleivel. 13. ár elöléseit hsználv vízszintessel ezárt szög legen α. Meghtározás vlmel szögfüggvén lklmzásávl történik. F α rcsin F rcsin R R 3,5 11,56 F F R R rccos rctn FR FR. 11,09 3,5 rccos rctn 16,33 11,56 11,09 hrmdik lépés z eredő erő helének meghtározás, zonn közös metszéspontú erőrendszereknél ez egértelmű, mindig z erőrendszer közös metszéspontán meg át z eredő erő htásvonl. Megoldás szerkesztéssel 1. lépés: felvesszük léptéket (14. ár) ezt mindig z erők ngságánk és elhelezkedésének figelemevételével tesszük meg. 14. ár: Lépték felvétele z erők ngságánk és elhelezkedésének figelemevételével 10
. lépés: eg tetszőlegesen válsztott P pontól z F1 erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F1 erő értelmével megegező iránn. z egenes hossz léptéknek megfelelően 3,6 cm (15. ár). 15. ár: F 1 erő ngságánk megfelelő hosszú egenes 3. lépés: z F1 erő végpontáól z F erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F erő értelmével megegező iránn (16. ár). 16. ár: F erő ngságánk megfelelő hosszú egenes 4. lépés: z F erő végpontáól z F3 erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F3 erő értelmével megegező iránn (17. ár). 17. ár: F 3 erő ngságánk megfelelő hosszú egenes 5. lépés: z F3 erő végpontáól z F4 erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F4 erő értelmével megegező iránn (18. ár). 11
18. ár: F 4 erő ngságánk megfelelő hosszú egenes 6. lépés: z F4 erő végpontáól z F5 erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F5 erő értelmével megegező iránn (19. ár). 19. ár: F 5 erő ngságánk megfelelő hosszú egenes z eredő erő támdáspont P pont lesz, zz z elsőnek felvett F1 erő támdáspont. helettesítő erő végpont pedig z utolsónk felvett F5 erő végpontávl egezik meg. Ezt két pontot összekötve kpuk meg z erőrendszer eredőét (0. ár). z eredő erőnek megfelelő egenes ( P, F5 végpont ) hosszát leolvssuk, és léptéknek megfelelően feltüntetük z eredő erő ngságát. Jelen eseten z egenes hossz,31 cm, mi 11,55 kn nk felel meg. z eredő erő irán leolvshtó (0. ár), szerkesztésől dódik. 1. ár mutt meg pontosn z eredőnek viszonítási koordinátrendszer tengeleivel ezárt szögét. 1
0. ár: Eredő erő meghtározás egenes húzás P pontól F5 végpontá 1. ár: z eredő erő helzete viszonítási koordinátrendszeren z eredő erő hele pedig egértelmű, támdáspont közös metszéspontn lesz... Síkeli közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozás Kiegensúlozási feldtok esetéen trtószerkezetekre htó erőrendszer eredőe nullánk kell lennie máskülönen nem lenne egensúln. z erőrendszert megdott külső erők és kénszereknél éredő ismeretlen kénszer (rekció vg támsz) erők lkoták. kénszereknél éredő rekcióerők trták egensúln z dott szerkezetet. Ezért hívuk kiegensúlozásnk ezt típusú feldtot, mert kiszámoluk, hog támszoknál fellépő erőknek, mekkor ngságúnk és milen iránúnk kell lenni, hog trtószerkezet ne mozdulon el, zz egensúln legen. E témkören oln egszerű eseteket vizsgálunk, mikor dott eg külső terhelő erő, és meg kell htározni támszoknál (kénszereknél) éredő rekció (támsz vg kénszererőket) erőket. közös metszéspontú erőrendszer ellegzetessége, hog z dott külső erők és támszerők htásvonli eg dott pontn metszik egmást. feldt megoldásához itt is célszerű felvenni eg viszonítási koordinát rendszert, mit vsolt z erőrendszer közös metszéspontán elhelezni. feldt ilenkor következő: meg kell htározni z erőrendszer hiánzó elemeit, zz támszoknál éredő ismeretlen rekcióerőket, ngságukt z iránuk (htásvonl, értelem) dódik. 13
szerkesztő elárás során hsonlón árunk el, mint eredő erő szerkesztésekor. lépték felvétele után z ismert erőt felmérük, md nnk támdás és végpontán párhuzmosokt húzunk z ismeretlen ngságú, de ismert htásvonlú erőkkel...1. péld: dott. ár szerinti szerkezet, z C és C trtószerkezeti elemek, z, és C pontok hele (3 m, m, c4 m) és C csuklót terhelő F34 kn koncentrált erő. Htározzuk meg támszoknál fellépő rekcióerőket számítássl és szerkesztéssel.. ár: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozás druszerkezet számító elárás során először z erőrendszer ismeretlen erőit, ngságukt és iránukt (értelmüket), meg kell ecsülni, feltételeznünk kell zokt. Jelen példán: z és csuklóknál fellépő rekciók ngságát F nk és F nek feltételezzük. z iránuk: mivel z C és C trtószerkezeti elemeket csk végükön, csuklókon keresztül éri htás, mgán trtószerkezeti elemen nincs erő (önsúltól eltekintünk) ez zt elenti, hog een két trtószerkezeti elemen rúdiránú erők lépnek fel. zz: két végén terhelt, csuklós rudkn csk rúdiránú erő éred. miől következik, hog ezek trtószerkezeti elemek rúdiránn krnk elmozdulni, és támszok ezt z elmozdulást krák megkdálozni. zz z ismeretlen támszerők htásvonli párhuzmosk trtószerkezeti elemek hossztengelével, kérdés csk z értelmük. H zt nem tuduk kikövetkeztetni külső htó erőkől és trtószerkezet elrendezéséől, kkor feltételeznünk kell (3. ár). következő lépésen vetületi egenleteket hsználuk fel, mit egensúlozási feldtok megoldás során vetületi egensúli egenleteknek nevezünk. z egenlőség egik oldlán z erőrendszer vlmenni, ismert és ismeretlen elemének összegezzük előelhelesen viszonítási koordinátrendszerrel párhuzmos komponenseit, és ezeket egenlővé tesszük nullávl. Ugnis h z erőrendszer eredőe null, kkor 14
F F + F 0 egenlőség csk úg lehet igz, h z eredő erő viszonítási tengelre R R R vett komponensei külön külön egenlők nullávl. 3. ár: Támszerők ngságánk és értelmének feltételezése ( α) + F cos( β) F 0 F cos és F ( α) + F sin( β) F 0 F sin. Elői két egenleten két ismeretlen szerepel. Feldtunk, hog két egenletől álló két ismeretlenes egenletrendszert megolduk. z α és β szögek meghtározás: c 4 α rctn rctn + 3 + 38,66 és c 4 β rctn rctn 63,43. ehelettesítés vetületi egenleteke: ( α) + F cos( β) F cos( 38,66 ) + F cos( ) F 0 F cos 63,43 és F 0 F sin z első egenletől: F F cos cos ( α) + F sin( β) F F sin( 38,66 ) + F sin( 63,43 ) 34 ( 63,43 ) ( 38,66 ) md ehelettesítve második egenlete: F cos 0 cos F cos cos ( 63,43 ) ( 38,66 ) ( 63,43 ) ( 38,66 ), sin sin ( 38,66 ) + F sin( 63,43 ) ( 38,66 ) + sin( 63,43 ) 34 34, honnn 15
F cos cos ( 63,43 ) ( 38,66 ) sin 34 ( 38,66 ) + sin( 63,43 ) Visszhelettesítés után F r következőt kpuk: F F cos cos ( 63,43 ) ( 38,66 ) 63,37 cos cos( 63,43 ) ( 38,66 ) Ezek szerint z ismeretlen támszerők ngság 63,37kN. 36,3kN. F 36,3 kn és F 63,37 kn. z F kénszererőnek feltételezett értelem heles volt, mivel pozitív értéket kptunk. zonn z támsznál feltételezett támszerőnek z előele negtív, mi nnit elent, hog z ismeretlen értelmű erőnek feltételezett irán nem volt ó. vlós iránítás z erőnek éppen ellentétes (4. ár). 4. ár: z ismeretlen támszerők ngság és iránítás helesen árázolv szerkesztő elárás során hsonlón árunk el mint z eredő erő meghtározás esetéen. zzl különséggel, hog kiegensúlozási példák esetéen léptékhelesen felvett erőknek nílfoltonosn záródniuk kell, hiszen z eredő erő null. Jelen példán első lépésként felvesszük léptéket (5. ár). 5. ár: Lépték felvétele z erők ngságánk és elhelezkedésének figelemevételével második lépés, hog z ismert htó erőt, z F koncentrált erőt léptékhelesen felvesszük (6. ár). 16
6. ár: Htó külső erő felvétele léptékhelesen számolási megoldásnál már kifetettük, hog támszoknál miért csk trtószerkezeti elemek (C és C elemek) hossztengelével párhuzmos htásvonlú erők érednek. H ezt eláttuk, kkor szerkesztő elárás hrmdik lépése, hog párhuzmost húzunk már felvett F koncentrált erő támdáspontán át z C trtószerkezeti elem hossztengelével (7. ár). Ezután (4. lépés) z F koncentrált erő végpontán át C trtószerkezeti elem hossztengelével húzunk párhuzmost (8. ár). 7. ár: Párhuzmos z C elem hossztengelével z F erő támdáspontán keresztül 17
8. ár: Párhuzmos C elem hossztengelével z F erő végpontán keresztül 5. lépésként két párhuzmost meghosszítuk, hog metsszék egmást (9. ár). metszéspont fog meghtározni csuklóknál éredő rekcióerők ngságát és értelmét. ngságot felvett lépték lpán htározhtuk meg, míg támszerők iránítás dódik, hiszen foltonos nílfolmml kell záródni vektorsokszögnek (9. ár). 18
9. ár: rekcióerők ngság és iránítás szerkesztő elárásól Eg hrmdik megoldási lehetőség, hog z elői vektor háromszöget nem léptékhelesen, hnem csk vázltosn vesszük fel (30. ár). Een z eseten vektorok irán, zz z áltlános háromszög első szögei és egik oldl (F erő) ismert. feldt, hog háromszög ismeretlen oldlink hosszát trigonometrikus összefüggések felhsználásávl kiszámítsuk. 19
30. ár: közös metszéspontú erőrendszer elemeiől felvett vektorháromszög vázlt sinustétel lklmzás: sin F F ( β α) sin( 90 β) sin( 90 + α) F, miől külön külön kifeezhetük z F és F ismeretleneket. Eredménül z elői két módszerhez hsonlón F36,3 kn t és F63,36 kn t kpunk.... péld: dott 31. ár szerinti szerkezet, z C és C trtószerkezeti elemek, z, és C pontok hele (4 m,,5 m, c4,5 m) és C csuklót terhelő F7 kn koncentrált erő. Feldt, hog meghtározzuk z és csuklóknál fellépő támszerőket számítássl és szerkesztéssel. Feltételeznünk kell z ismeretlen rekció erők ngságát és értelmét (3. ár). htásvonluk ismert, mivel z C és C trtószerkezetei elemeket csk végükön lévő csuklókon keresztül éri terhelés. Íg ezek z elemek hossztengelükkel párhuzmosn krnk elmozdulni. Ezt z elmozdulást kdálozzák meg támszoknál fellépő kénszererők, mik htásvonl íg z C és C trtószerkezeti elemek hossztengelével párhuzmos. 0
31. ár: Közös metszéspontú erőrendszer 3. ár: Rekció erők ngságánk és értelmének feltételezése Következő lépésként célszerű felvenni viszonítási koordinátrendszert, és elhelezni pont, hol z erőrendszer elemeinek htásvonli metszik egmást elen eseten ez C pont. Ugnekkor feltüntetük két trtószerkezeti elem hossztengelének (zz feltételezett rekcióerők htásvonlánk is egen) viszonítási koordinátrendszer tengeleivel ezárt szögeit (33. ár). Ezután kezdhetük meg számolást. Először z α és β szögeket számítuk 4 4 ki: α rctn rctn 58 és β rctn rctn 41,63.,5 c 4,5 Következő lépésen írhtuk fel vetületi egensúli egenleteket: ΣF ΣF ( α) + F cos( β) 0 F cos és ( α) + F sin ( ) F 0 F sin β 1
33. ár: Rekcióerők htásvonlánk és viszonítási koordinátrendszer tengeleinek ezárt szöge két egenletől álló két ismeretlenes (F, F) egenletrendszer megoldás után következőket kpuk eredménül rekcióerőkre: F 0,47 kn és F 14,51 kn. Ezek rekció erők ngság. Mivel z egenletrendszer megoldásáól pozitív értékeket kptunk megoldásul, ez nnit elent, hog támszerőknek feltételezett értelem heles volt, zok megfelelnek 33. ár szerint feltüntetettnek. szerkesztő elárást lépték felvételével kezdük (1. lépés) (34. ár). 34. ár: Lépték felvétele szerkesztő eláráshoz Második lépésként z ismert F koncentrált erőt mérük fel (35. ár). 35. ár: Szerkesztő elárás F koncentrált erő felmérése Ezután (3. lépés) z C trtószerkezeti elem hossztengelével húzunk párhuzmost F erő támdáspontán át (36. ár), md (4. lépés) C trtószerkezeti elem hossztengelével húzunk párhuzmost z F erő végpontán át (37. ár).
36. ár: Szerkesztő elárás párhuzmos z csuklónál éredő támszerő htásvonlávl 37. ár: Szerkesztő elárás párhuzmos támsznál éredő kénszererő htásvonlávl két párhuzmost meghosszítuk (5. lépés), hog metsszék egmást, íg megkptuk z erőrendszer elemeinek vektorháromszögét z ismeretlen rekcióerők ngságát felvett lépték segítségével olvshtuk le (38. ár). támszerők iránítás pedig dódik ól, hog z erőrendszer elemeinek foltonos nílértelemmel kell záródniuk vektorháromszögen. feldtot megoldhtuk úg is, hog z erőrendszer elemeinek htásvonlit vázltszerűen rzoluk meg. Een z eseten háromszög első szögeinek és egik oldlánk z ismeretéen trigonometrikus összefüggések felhsználásávl számolhtuk ki z ismeretlen rekcióerőket (megegzés: z elárást korán már ismertettük). 3
38. ár: Szerkesztő elárás rekcióerők leolvsás lépték ismeretéen vektorháromszögről..3. péld: dott 39. ár szerinti egenes tengelű trtószerkezet, mi egik végén eg csuklóvl ( pont), másik végén eg görgővel ( pont) vn megtámsztv. F 17 kn, 1 m, α150 és α30. Htározzuk meg támszerőket számítássl. 39. ár: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozás 40. ár: viszonítási koordinátrendszer elhelezése közös metszéspontn, rekcióerők ngságánk és iránánk feltételezése z erőrendszernek három eleme vn, z F htó erő és z és ismeretlen támszerők. Ennek három erőnek kell egensúln lennie. Három erő egensúlánk feltétele, hog htásvonliknk eg pontn kell metszeniük egmást és vektorsokszögnek foltonos nílértelemmel kell záródni. vetületi egenleteknek egenként zérussl kell egenlőnek lennie. 4
( ) ( ( )) sinα1 Sinus tételől: sin 180 α 90 α Cosinus tételől: 1 sin sin ( 50 ) ( 70 ) 1,63m ( 4) + ( 4) cos( 90 α ) ( 4 1) + 1,63 ( 4 1) 1,63 cos( 90 30 ) 3,48 m c Cosinus tételől: 1 ( 4) c ( 4) ( 4 1) ( 4 1) c + 3,48 + 1,63 β rccos rccos 3, 9 3,48 és iránú vetületi egensúli egenletek: F cos( α1 ) + cos( β) cos( 90 -α ) ( 50 ) + cos( 3,9 ) cos( 90-30 ) ΣF 0 17 cos 17 sin Fsin( α1 ) + sin( β) + sin( 90 α ) ( 50 ) + sin( 3,9 ) + sin( 90 30 ) ΣF 0 két egenletől álló két ismeretlenes egenletrendszer megoldás r és re: 16,07 kn és 7,53 kn. Mivel mindkét ismeretlen támszerőre pozitív értéket kptunk, ezért támszerőknek feltételezett iránítások helesek. Hog mikor kell z egensúli egenletekkel, mikor trigonometrikus egenletekkel vg esetleg mikor kell szerkesztő elárássl feldtot megoldni, nincs ökölszál mindig z dott feldthoz leginká kézenfekvő elárást kell lklmzni. Természetesen ellenőrizni mindig lehet z esetleg onolult módszerrel...4. péld: dott 41. ár szerinti trtószerkezet, mi két csuklóvl ( és pont) vn megtámsztv. F 3 kn, m és α40. Htározzuk meg támszerőket számítássl. 41. ár: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozás 5
4. ár: viszonítási koordinátrendszer elhelezése közös metszéspontn, rekcióerők ngságánk és iránánk feltételezése iránú vetületi egensúli egenlet: ( α) + sin( α) 3 sin( 40 ) + sin( ) ΣF 0 F sin 40 3. Ez zt elenti, hog z támszerő ngság 3 kn, irán zonn ellentétes zzl, mit feltételeztünk (43. ár). z iránú vetületi egensúli egenlet: 43. ár: Rosszul feltételezett támszerő iránánk vítás ( α) cos( α) 3 cos( 40 ) 3 cos( ) ΣF 0 F cos 40 35,4. Ez zt elenti, hog z támszerő ngság 35,4 kn, irán zonn ellentétes zzl, mit feltételeztünk (44. ár). 6
44. ár: Rosszul feltételezett rekcióerő iránánk vítás..5. péld dott 45. ár szerinti trtószerkezet, mi két csuklóvl ( és pont) vn megtámsztv. F 40 kn, 3 m, 1 m és α60. Htározzuk meg támszerőket számítássl. 45. ár: Közös metszéspontú erőrendszer kiegensúlozás Megoldás: z erőrendszert z F koncentrált erő, és támszoknál keletkező ismeretlen rekcióerők lkoták három erő összesen. z egensúl feltétele, hog ennek három erőnek htásvonl eg pontn metssze egmást. pontn támszerő htásvonlánk z irán ismert, mivel C trtószerkezeti elemet csk két, csuklós végén éri terhelés. ismeretlen erő ngságát és értelmét vesszük fel ismeretlenként, és htásvonlát meghosszítv metszésre hozzuk z F erő htásvonlávl (46. ár). Ez lesz D pont. Ezen ponton kell z támszerő htásvonlánk is áthldni z egensúl feltételének telesítéséhez. Een z eseten trtó geometriááól ki tuduk számolni vektorháromszög szögeit, mik vetületi egensúli egenletek felírásához kellenek. 7
46. ár: Támszerők iránításánk feltételezése, md htásvonlik meghosszítás z F erő htásvonláig z távolság (d+c) meghtározás: 3 tnα d + 3,46 m ( d + c) 0,5 c tn60 0,5 z α meghtározás: + 3 + 1 + 3 + 1 tnα c,31m tnα' α' 73, 9. c tn60 ( d + c) c 3,46,31 iránú vetületi egensúli egenlet: ( α' ) cos( α) 40 + cos( 73,9 ) cos( ) ΣF 0 F + cos 60. iránú vetületi egensúli egenlet: ( α' ) + sin( α) sin( 73,9 ) + sin( ) ΣF 0 sin 60. 47. ár: Rosszul feltételezett rekcióerő iránánk vítás 8
két egenletől álló, két ismeretlenes egenletrendszer megoldás: 48,08 48,08 kn, irán feltételezettel ellentétes (47. ár), 53,34 kn, irán megegezik feltételezett iránnl (47. ár). 9
3. Síkeli párhuzmos erőrendszerek Een témkören oln erőrendszereket vizsgálunk meleken vlmenni erő htásvonl párhuzmos egmássl. hog közös metszéspontú erőrendszereknél, itt is két típusú példákkl tlálkozhtunk eredő erő számítássl és kiegensúlozássl. 3.1. Síkeli párhuzmos erőrendszer eredő ereének meghtározás feldt, hog z erőrendszer eredőének ngságát, helzetét és helét meghtározzuk viszonítási koordinát rendszeren. számító elárás során viszonítási koordinátrendszert vesszük fel elsőnek. Ezt célszerű úg megtenni, hog vlmelik koordinát tengelt párhuzmosnk válsztuk z erőrendszer elemeinek htásvonlávl. z eredő ngságánk meghtározásához vetületi egenletet hsználuk fel, helzete egértelmű, helének megdásához pedig nomtéki tételt foguk hsználni. 3.1.1. péld dott (48. ár) eg párhuzmos erőrendszer három eleme és elhelezkedésük viszonítási koordinát rendszeren. Htározz meg z erőrendszer eredőét számítássl és szerkesztéssel. Megoldás számítássl vetületi tétel lklmzás: iránú vetületi egenletet írunk fel, zz összegezzük előelhelesen z erőrendszer vlmenni elemét ΣF F + F 3 19 + 8 41kN. F1 3 z eredő erő ngság tehát FR 41 kn. Helzete egértelmű, párhuzmos z erőrendszer eges elemeinek htásvonlávl. Iránítás megegezik viszonítási koordinátrendszer tengelének pozitív értelmével, mivel vetületi egenletől pozitív számot kptunk. 48. ár: Párhuzmos erőrendszer eredőének meghtározás z eredő helét kell meghtározni még viszonítási koordinátrendszeren. Ehhez nomtéki tételt lklmzzuk, miszerint eg erőrendszer eredőének dott pontr vett nomték meg 30
kell, hog egezzen z erőrendszer eges elemeinek ugnzon pontr vett nomtékösszegével. z dott pontot célszerű felvett viszonítási koordinátrendszer középpontánk válsztni, illetve eg viszonítási forgtási iránt is célszerű felvenni elen példán pozitív forgtási irán z órmuttó árásávl ellentétes iránnk felel meg (49. ár). 49. ár: Párhuzmos erőrendszer eredő ereének meghtározás nomtéki tétel felírás z eredő helének számításához ΣM 0 R k R F1 k 1 F k + F3 k 3 F. mennien minden ismert dtot ehelettesítünk z egenlete, kkor csk kr lesz ismeretlen, mi nem más, mint z eredő erő htásvonlánk távolság viszonítási koordinátrendszer tengelétől. ΣM 0 41 k R 3 1, 19,0 + 8 3,0. z egenlőségől, h kifeezzük kr t, következőt kpuk: k,06 m. R Megoldás szerkesztéssel: z áttekinthetőség mitt z erőket egmás mellett rzoluk. Első lépésként felvesszük léptéket (50. ár). 50. ár: Lépték felvétele z erők ngságánk és elhelezkedésének figelemevételével Ezután léptéknek megfelelően felmérük z F1 erőt (51. ár). 31
51. ár: Eredő erő szerkesztése F 1 erő felvétele Következő lépésként z F1 erő végpontáól z F erőt mérük fel léptékhelesen (5. ár), md z F erő végpontáól z F3 erőt (53. ár). 5. ár: Eredő erő szerkesztése F erő felvétele z eredő erő ngságát z F1 erő támdáspontáól, kezdőpontáól z F3 erő végpontá húzott egenes leolvsás után kpuk meg (54. ár). z eredő erő helzete, irán dódik szerkesztésől. Meg kell még htározni, hog felvett viszonítási koordinátrendszeren hol helezkedik el z eredő erő. 53. ár: Eredő erő szerkesztése F 3 erő felvétele 3
54. ár: Eredő erő szerkesztése eredő erő leolvsás z eredő erő helzetének kiszerkesztéséhez vektor és kötélsokszög szerkesztést hsználuk. Először is ú léptéket veszünk fel távolságok felméréséhez (55. ár). 55. ár: Lépték felvétele távolságok felméréséhez z 56. ár szerint léptéknek megfelelően felvesszük z erőket viszonítási koordinátrendszeren. z árát kiegészítük o oldlán már megismert vektorsokszöggel, mi mellé tetszőleges helre eg P pontot veszünk fel, mit nevezünk póluspontnk (57. ár). Fontos, hog póluspontnk hele nem efolásol végeredmént, ezért vehetük fel tetszőleges helre. Következő lépéseken z erőrendszer eges elemeit úgnevezett segéderőkkel felontuk, helettesítük őket. Ehhez P póluspontot hsználuk fel. Először z F1 erőt ontuk fel/helettesítük S1 és S segéderőkkel (58. ár), zz F1 erő z S1 és S eredőeként foghtó fel. 33
56. ár: Erőrendszer elemeinek léptékrános felvétele viszonítási koordinátrendszeren 57. ár: vektorár és póluspont felvétele Következő lépésen z F erőt ontuk fel, nni megkötéssel, hog z egik összetevő z S erő ellentette, zz S legen. másik összetevő S3 erő lesz (59. ár). Hsonlón árunk el z F3 erő felontásávl, z egik összetevő z S3 erő ellentette, zz S3 legen. másik öszszetevő S4 erő lesz (60. ár). 34
58. ár: F 1 erő felontás S 1 és S segéderőkkel 59. ár: F erő felontás S és S 3 segéderőkkel 60. ár: F 3 erő felontás S 3 és S 4 segéderőkkel 35
Ezután z S segéderőkkel helettesítük z erőrendszer eges elemeit szerkesztést z 60. ár l oldlán folttuk. z F1 erőt S1 és S erőkre ontottuk fel, tehát három erő htásvonl eg tetszőleges pontn, K1 pont, metszik egmást. Ezt K1 pontot tetszőleges helen felvesszük z F1 erő htásvonlán, md ezen ponton keresztül párhuzmost húzunk S1 htásvonlávl úg, hog másik erő htásvonlát ne metsszük el (61. ár). 61. ár: Párhuzmos S 1 segéderő htásvonlávl K1 tetszőlegesen felvett ponton át Következő lépéséen z S segéderő htásvonlávl húzok párhuzmost még mindig K1 ponton keresztül; de úg, hog elmetssze z F erő htásvonlát is (K) hiszen z S segéderőt felhsználtuk z F erő felontás során is (6. ár). 6. ár: Párhuzmos S segéderő htásvonlávl K1 tetszőlegesen felvett ponton át, kimetszve K pontot 36
z F, S és S3 erők közös metszéspont K pont lesz. Emitt következő lépésként S3 segéderővel húzunk párhuzmost K ponton át, hog metssze F3 erő htásvonlát (63. ár). 63. ár: Párhuzmos S 3 segéderő htásvonlávl K ponton át, kimetszve K3 pontot Utolsó előtti lépésként S4 segéderővel húzunk párhuzmost K3 ponton át, mivel z F3 erőt S3 és S4 segéderőkkel helettesítettük (64. ár). 64. ár: Párhuzmos S 4 segéderő htásvonlávl K3 ponton át 37
o oldli vektorsokszögől dódik, hog z eredő erőt S1 és S4 segéderőkkel helettesítettük. Eszerint z S1 és S4 segéderők, illetve z eredő erő htásvonl eg pontn kell, hog metsszék egmást. Utolsó lépésként z S1 és S4 segéderőkkel húzott párhuzmosokt metszésre kell hozni íg megkpuk K4 pontot. Ezen ponton kell átmennie z eredő erő htásvonlánk, minek z iránát már ismerük. Ezzel z eredő erő meghtározás feldt telessé vált. 65. ár: Eredő helének meghtározás S 1, S 4 segéderő meghosszítás, metszése, K4 pont megdás z eredő erőnek hele, távolság viszonítási koordinátrendszertől, leolvshtó z áráról. Eszerint z eredő erő htásvonl és viszonítási tengel távolság,06 m. z 61. ár 65. ársorozt o oldl vektorsokszög, míg segéderőknek loldli, párhuzmos része kötélsokszög. 3.. Síkeli párhuzmos erőrendszer kiegensúlozás E témkören oln eseteket vizsgálunk, mikor eg trtószerkezeti elemre (pl.: gerend) eg vg tö külső terhelő erő ht, melek htásvonli egmássl párhuzmosk. trtószerkezetet különöző kénszerek (merev efogás, csukló, görgő) támszták meg, iztosítv ezzel z egensúlt, hog trtószerkezet ne mozdulon el. Meg kell htározni támszoknál (kénszereknél) éredő rekció (támsz vg kénszererőket) erőket. feldt megoldásához itt is célszerű felvenni eg viszonítási koordinát rendszert és eg viszonítási forgtási iránt is. feldt ilenkor következő: meg kell htározni z erőrendszer hiánzó elemeit, zz támszoknál éredő ismeretlen rekcióerőket, ngságukt és z iránukt. szerkesztő elárás során hsonlón árunk el, mint eredő erő szerkesztésekor. 38
3..1. péld dott z 66. ár szerinti egenes tengelű trtószerkezet, loldli végén eg csuklóvl ( pont), ooldli végén eg görgővel ( pont) megtámsztv. trtószerkezetet hossztengelére merőlegesen terheli F119 kn, F6 kn és F3 15 kn koncentrált erők. Elhelezkedésük ismert, 1 m. Htározz meg kénszereknél éredő támszerőket számítássl és szerkesztéssel. 66. ár: Párhuzmos htásvonlú erőrendszer kiegensúlozás rekció erő meghtározás számító elárás során z első lépés, hog támszoknál fellépő támsz erők ngságát és iránát feltételezzük. z csukló megkdálozz trtószerkezet elmozdulását úg, mint iránn. Ezért ott és erőket is feltételeznünk kell. támsz csk támszr merőleges elmozdulását kdálozz meg trtószerkezetnek, íg ott csk eg tengellel párhuzmos htásvonlú erő ngságát és értelmét feltételezzük (67. ár). trtószerkezetet terhelő erőrendszernek íg öt eleme vn elen példán, F1, F és F3 htó erők és F, F ismeretlen erők. 67. ár: Párhuzmos erőrendszer kiegensúlozás támszerők ngságánk és iránánk feltételezése z egensúl feltétele, hog z eredő ngság null legen. H ez fenn áll, kkor trtószerkezet sem, sem iránn nem mozdul el. zonn h z eredő erő zérus, z nem elenti utomtikusn, hog nem mozdul el szerkezet. Ugnis z eredő erő lehet erőpár is. zz z erőrendszer eredőének erőértéke zérus, de nomték vn. Een z eseten trtószerkezet eg dott pont körül forgómozgást végez. Természetesen z egensúl feltétele, hog trtószerkezet sem hldó, sem forgómozgást nem végezhet. Ehhez nem elegendő már ismert két vetületi egensúli egenletet felírni: 39
ΣF 0 és ΣF 0 + F1 + F F3. Mtemtiki szempontól sem megoldhtó két egenletől álló három ismeretlenes egenletrendszer. z erőrendszerre ugnúg érvénes nomtéki tétel is. H zonn z erőrendszer eredőe null, nnk nomték ármel tetszőlegesen kiválsztott pontr is null lesz. Íg írhtuk fel tetszőlegesen válsztott pontr nomtéki egensúli egenletet. pontot, mire vesszük z erőrendszer vlmenni elemének nomtékösszegét, úg célszerű felvenni, hog z egenleten z ismeretlenek szám minimális legen. Ezt úg érhetük el, hog nomtékot oln pontr íruk fel, melen minél tö ismeretlen erő htásvonl átmeg. Jelen példán először z pontr írunk fel eg nomtéki egensúli egenletet: ΣM 0. F (1,5) + F (1,5 + 1,75) F (1,5 + 1,75 + 1,75) + (1,5 + 1,75 + 1,75 + 3) 3 1 z egenlőségen z egetlen ismeretlen támsznál fellépő rekcióerő, mivel és htásvonl is átmeg z ponton, íg nomtékuk z pontr zérus. ehelettesítés után: ΣM 0 15[kN] 1,5[m] + 6[kN] 3,5[m] 19[kN] 5[m] + 8[m]. z egenletől re következőt kpuk: 4,15 kn. Mivel eredménül pozitív értéket kpunk, ez zt elenti, hog heles volt erőnek feltételezett irán. z eredmén felírás helesen: 4,15 kn ( ). következő lépésen pontr is felírunk eg nomtéki egensúli egenletet: ΣM 0 F (3) F (3 + 1,75) + F (3 + 1,75 + 1,75) 1 3. (1,5 + 1,75 + 1,75 + 3) z egenlőségen z egetlen ismeretlen z támsznál fellépő rekcióerő, mivel és htásvonl is átmeg ponton, íg nomtékuk pontr zérus. ehelettesítés után: ΣM 0 19[kN] 3[m] 6[kN] 4,75[m] + 15[kN] 6,5[m] 8[m]. z egenletől r következőt kpuk: 3,875 kn. Mivel eredménül pozitív értéket kpunk, ez zt elenti, hog heles volt z erőnek feltételezett irán. z eredmén felírás helesen: 3,875 kn ( ). z iránú vetületi egensúli egenletől egértelműen kiderül, hog z pontn feltételezett komponens zérus. z iránú vetületi egenlete, h ehelettesítünk, ellenőrizhetük nomtéki egensúli egenletek eredméneit: ΣF 0 3,875 + 4,15 19 + 6 15. z egenlőség fennáll. z 40
rekcióerő ngság megegezik z nl ( + 0 + 3,875 3,875kN ), htásvonl párhuzmos z tengellel, míg iránítás pozitív viszonítási koordináttengelhez képest. szerkesztő elárás hsonlón történik, mint párhuzmos erőrendszer eredőének 61. ár 65. ársorozton emuttott elárás. Úg z erőnek, mint távolságnk felvesszük léptéket (68. ár), md léptékhelesen felvesszük trtószerkezetet és rá htó erőket 69. ár). 68. ár: Lépték felvétele 69. ár: trtószerkezet és rá htó erők léptékheles felvétele 70. ár: Párhuzmos erőrendszer kiegensúlozás vektorár rzolás 41
következő lépésen z 70. ár o oldlár egmás után felmérük htó erőket, z F1, F és F3 koncentrált erőket és eg tetszőleges helre felvesszük P póluspontot. z F1, F és F3 koncentrált erőket felontuk, helettesítük S segéderőkkel. Először z F1 erőt ontuk fel S1 és S segéderőkre (71. ár). Ezután z F erőt helettesítük S és S3 segéderőkkel (7. ár), végül F3 erőt ontuk fel S3 és S4 segéderőkre (73. ár). Tuduk zt, hog z erőrendszer két ismeretlen elemét, és erőket, h felmérük vektorárá, kkor vektorsokszögnek foltonos nílértelemmel kell záródni. Íg lesz z eredő erő null, íg lesz egensúl. z és erők ngságánk megszerkesztéséhez kötélárát kell megrzolnunk. 71. ár: F 1 erő felontás S 1 és S segéderőkre 7. ár: F erő felontás S és S 3 segéderőkre 4
73. ár: F 3 erő felontás S 3 és S 4 segéderőkre Először párhuzmost húzunk S1 segéderővel z ponton keresztül, hog metssze F1 erő htásvonlát (74. ár) ugnis S1 segéderő ellentette, S1 z rekcióerőt helettesítő erő egike lesz. z rekcióerő htásvonlánk pedig egetlen pontát ismerük, mgát z pontot. zért nem pontól indítuk szerkesztést, mert támszerőnek htásvonl ismert görgő esetéen támszr merőleges. kötélár szerkesztése végén z utolsó segéderőnek (S4) metszeni kellene z támszerő htásvonlát, zz z ponton kellene áthldni. Ez pedig nem lehetséges csk véletlenszerűen sikerülhet. 74. ár: Kötélár párhuzmos S 1 segéderővel z ponton át 43
75. ár: Kötélár párhuzmos S segéderővel K1 ponton át, metszve F htásvonlát K pontn Következő lépésként S segéderővel húzunk párhuzmost K1 ponton át úg, hog S htásvonl metssze F htásvonlát (75. ár). metszéspont K. Ezután S3 segéderő htásvonlávl húzunk párhuzmost K ponton át, hog elmetsszük F3 htásvonlát K3 pontn (76. ár). Végül K3 ponton át húzunk párhuzmost S4 segéderővel, hog metssze támszerő htásvonlát (77. ár). metszéspont K4. Ezután összekötük és K4 pontokt, z egenest záróvonlnk nevezzük (78. ár). 76. ár: Kötélár párhuzmos S 3 segéderővel K ponton át, metszve F 3 htásvonlát K3 pontn 44
77. ár: Kötélár párhuzmos S 4 segéderővel K3 ponton át, metszve htásvonlát K4 pontn 78. ár: Kötélár záróvonl szerkesztés, és K4 pontok összekötése pontvonlll Végül záróvonlll párhuzmost húzunk vektorárán szereplő P pólusponton keresztül (79. ár). Jól láthtó kötéláráról, hog z támszerőt ( )Z és ( )S1 segéderők helettesítik ennek három erőnek htásvonl metszi egmást z pontn, míg támszerőt ( )S4 és Z segéderők helettesítik ennek három erőnek htásvonl metszi egmást z K4 pontn. 45
79. ár: Záróvonl ehúzás pólusponton át, K5 pontot kimetszve vektoráráól, rekció erők leolvsás vektoráráról leolvshtuk felvett lépték segítségével támszerők ngságát. 3... péld dott 80. ár szerinti egenes tengelű trtószerkezet, viszonítási koordinátrendszer, z F11 kn koncentrált erő, q15 kn/m és q3 kn vonl mentén egenletesen megoszló erők, illetve z m távolság. Htározz meg támszoknál éredő kénszererőket számítássl. 80. ár: Párhuzmos erőrendszer kiegensúlozás koncentrált és vonl mentén megoszló erővel terhelt egenes tengelű trtószerkezet Első lépésen megoszló erőket helettesítük koncentrált erőkkel erre zért vn szükség, mert megoszló erőknek nomtékát eg tetszőlegesen válsztott pontr helettesítő erőknek htásvonl fog meghtározni, ezek lpán olvssuk le z erőkrokt. q15 kn/m egenletesen megoszló terhelés 1,5 3 m hosszon ht, míg q3 kn/m egenletesen megoszló terhelés 3 6 m hosszon ht. helettesítő erők ngság: Q q 1 (1,5) 5 (1,5 ) 15 kn és Q q (3) 3 (3 ) 18 kn. 1 Láthtó, helettesítő erő ngság z zt szimolizáló tégllp területével egezik meg, htásvonlát mindig megoszló terhelés súlpontá helezzük el (81. ár). 46
81. ár: Egenletesen megoszló erők helettesítése koncentrált erőkkel Ezután trtót megtámsztó kénszereknél feltételezzük z ismeretlen rekcióerők ngságát és iránát. z pontn eg csukló támsz, mi megkdálozz trtószerkezet elmozdulását és iránokn. Íg z pontn és kénszererőket feltételezünk. pontn eg görgő kénszer, íg ott támszr merőleges htásvonlú rekcióerőt feltételezünk (8. ár). Ezután már felírhtuk z egensúli egenleteket. 8. ár: Rekcióerők ngságánk és iránánk, értelmének feltételezése Először z pontr írunk fel eg nomtéki egensúli egenletet: ΣM q 0 ( 1,5 + ) + ( 1,5 + + ) ( q 1,5) ( q ( + + ) ) 1,5 + F ( 1,5 + ) + ( 1,5 + + ) 1 1 ( 1,5) 1,5 Q Q1 1,5 ehelettesítés után: ΣM + + 1,5 + F + + 3 ( q 3) 1,5 + F (,5) + ( 3,5) ( 1,5 ) 5 3 0 ( 33 ) 1,5 + 11 (,5 ) + ( 3,5 ). z egenlőségől ismeretlent kifeezve: 6,5 kn. pontr írunk fel eg nomtéki egensúli egenletet:. 47
48 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3,5 F 3 q 8,5 q 1,5 F q 1,5 1,5 q 1,5 F 1,5 0 ΣM 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 1 Q Q ehelettesítés után: 7 11 3 3 8,5 5 0 ΣM + + z egenlőségől z ismeretlent kifeezve: 17,5 kn. Ellenőrzésként z iránú vetületi egensúli egenletet íruk fel: ( ) ( ) 0 6,5 17,5 11 3 1,5 5 F q 1,5 q 0 ΣF 1 + + + + + + + + z iránú vetületi egenleten csk z ismeretlen szerepel, mi íg nullávl egenlő. keresett rekcióerők eredménei helesen feltüntetve: 17,5 kn ( ) és 6,5 kn ( ).
4. Síkeli áltlános erőrendszerek Síkeli áltlános erőrendszer esetéen z erőrendszer eges elemei egmáshoz képest telesen áltlános helzeten helezkednek el. Eddigi ismereteinket felhsználv vg eredő erő számítás, vg kiegensúlozás feldtunk. 4.1. Síkeli áltlános erőrendszer eredő (helettesítő) ereének meghtározás 4.1.1. péld dott (83. ár) z viszonítási koordinát rendszer, F1 kn, F kn és F3 kn erők ngság és irán viszonítási koordinát rendszeren, M knm koncentrált nomték és m távolság. F1 5 kn, α1 85, F 4 kn, α 50, F3 15 kn, α3 15, M 19 knm és 1,6 m távolság. Htározz meg z erőrendszer eredőét számítássl és szerkesztéssel. 83. ár: Közös metszéspontú erőrendszer eredő ereének meghtározás Megoldás számítássl Első lépésen vetületi tételt lklmzzuk viszonítási koordinátrendszer két tengelére. z iránú vetületi egenlet: F F F sin 1 5 sin 1 + F F F cosα ( 90 α ) + F cos ( 90 α ) F sin ( 90 α ) 1 5 cos 85 + 4 sin 50 15 cos15 3 1 1 + F sin α F cosα ( 90 85 ) + 4 cos ( 90 50 ) 15 sin ( 90 15 ) 11, 86 3 Ez zt elenti, hog z eredő erő viszonítási koordinátrendszer tengelére vett vetületének ngság 11,86 kn, iránítás pedig ellentétes. vetületi egenlet eredméne helesen felírv: R F F 11,86 kn( ). z iránú vetületi egenlet: 3 3 3 49
F F F cos 1 5 cos 1 + F F F sinα ( 90 -α ) + F sin( 90 -α ) F cos( 90 -α ) 1 5 sin85 + 4 cos50 15 sin15 3 1 1 + F cosα F sinα ( 90-85 ) + 4 sin( 90-50 ) 15 cos( 90-15 ) 6, 9 3 Ez zt elenti, hog z eredő erő viszonítási koordinátrendszer tengelére vett vetületének ngság 6,9 kn, irán pedig ellentétes. vetületi egenlet eredméne helesen felírv: ( ) F 6,9 kn. F R z eredő erő ngságát következők szerint kpuk meg: F F + F 11,86 + 6,9 13,4 kn. R R R következő lépés z erőrendszer eredőének z elhelezkedése, helzetének megdás viszonítási koordinát rendszeren hogn helezkedik el z eredő erő viszonítási koordinát rendszer tengeleihez képest. zt szeretnénk megtudni, hog z eredő erő htásvonl mekkor szöget zár e viszonítási koordinátrendszer tengeleivel. 84. ár elöléseit hsználv z α vízszintessel ezárt szög. Meghtározás vlmel szögfüggvén lklmzásávl történik. 3 3 3 84. ár: Eredő erő ngságánk és helzetének meghtározás viszonítási koordinát rendszeren F α rcsin F rcsin R R 6,9 13,4 F rccos F R R F rctn F 11,86 rccos rctn 13,4 R R 6,9 11,86 7,9 Végül pedig zt kell meghtároznunk, hog z eredő erő hol helezkedik viszonítási koordinát rendszeren. Ehhez nomtéki tételt hsználuk fel, zz z erőrendszer minden eges elemének vesszük nomtékát eg dott pontr, elen eseten viszonítási koordinát rendszer középpontár, és előelhelesen összegezzük őket. z egenlet heles felírásához és z előelheles összegzéséhez célszerű felvenni eg viszonítási forgtási iránt ( viszonítási koordinát rendszerünk oforgású, mi egértelműen meghtározz viszonítási forgtási iránt is). dott pont körüli pozitív forgtásnk z órmuttó árásávl ellentétes iránt értük. 50
85. ár: Erőrendszer eges elemeinek nomték viszonítási koordinát rendszer középpontár 85. ár z eges erők htásvonlánk meghosszítását mutt, illetve z origóól ezen egenesekre ocsátott merőlegesek (k1, k, k3) vnnk feltüntetve. E merőleges egenesek hoszszát kellene kiszámolni nomtékok meghtározásához, mi lehetséges, de hosszdlms. Ehelett következőket tesszük. z eges erőknek vetületi egenletek során z és iránú komponenseivel számolunk. nomtéki tétel értelméen, h z dott erő eges komponenseinek nomtékát vesszük külön külön dott pontr, ugnzt kpuk, minth mgánk z dott erőnek vettük voln nomtékát z dott pontr. Ennek figeleme vételével nomtéki tétel első részének lklmzás: ΣM O F F 1 + F 3 1 cos(α cos(α (3 ) F 1 3 ) (3 ) F ) () F 3 1 () F 1 sin(α sin(α 3 ( ) + F ) () F ) (3 ) M sin(α () + F () F ) (1,9 ) + F 5 cos(85 ) (31,6) 5 sin(85 ) (1,6) 4 sin(50 ) (1,9 1,6) + 4 cos(50 ) (1,6) + + 15 cos(15 ) (1,6) 15 sin(15 ) (31,6) 19 1,53 1 3 3 (3 ) M cos(α ) () + Ez zt elenti, hog z erőrendszer eges elemeinek origór (O pont) vett eredő nomték 1,53 knm ngságú. forgtóhtás irán z órmuttó árásávl megegező iránú. Ezt onnn tuduk, hog z eredménre negtív értéket kptunk, mi felvett viszonítási forgtási iránunkkl ellentétes iránt elent. Ez z érték és forgtás irán meg kell egezzen z erőrendszer eredőének ugncsk z origór vett nomtékávl. Figeleme véve, hog z eredő hogn (α, β szögek) helezkedik el viszonítási koordinátrendszeren, 86. ár szemlélteti z eredő erőnek helét. kérdés kr távolság. nomtéki tétel második részének lklmzás: ΣM O 1,53 knm k F, honnn ΣM O 1,53kNm k R 0,93m. F 13,4 kn R R R 51
86. ár: Eredő erő elhelezkedése viszonítási koordinátrendszeren Megoldás szerkesztéssel Először felvesszük léptéket (87. ár) ezt mindig z erők ngságánk és elhelezkedésének figelemevételével tesszük meg. Ezután eg tetszőlegesen válsztott G pontól z F1 erő htásvonlávl párhuzmost húzunk z F1 erő értelmével megegező iránn. z egenes hossz léptéknek megfelelően,5 cm (88. ár). Következő lépéseken z F és F3 erőket mérük fel (89. ár és 90. ár). 87. ár: Erőlépték felvétele 88. ár: F 1 erő léptékheles felvétele 89. ár: F erő léptékheles felvétele 5
90. ár: F 3 erő léptékheles felvétele z eredő erő támdáspont tetszőlegesen felvett P pont lesz, és z F3 erő végpontá mutt. Ez meghtározz z eredő iránát és értelmét is (91. ár). 91. ár: z eredő htásvonlánk irán és z erő iránítás következő lépés z eredő helének (kr) meghtározás z dott viszonítási koordinátrendszeren. Ehhez vektor és kötélsokszöget kell megszerkesztenünk. zonn mielőtt ezt megtesszük, ngon léneges, hog z erőrendszeren működő nomtékot (erőpárt) is figeleme vegük. z M nomtéknk ugnis z eredő erő ngságár nincs htás (erőértéke null), de z elhelezkedésére igen. Először távolságléptéket vesszük fel (9. ár). Ezután z M koncentrált nomtékot helettesítük z FM erőpárrl (93. ár). z FM erő értéke: M 6 knm F 1 + F 1 F M 3kN. M M 9. ár: Távolságlépték felvétele 53
93. ár: koncentrált nomték helettesítése erőpárrl Ezt z FM erőt kell kétszer felvennünk vektorsokszögen eg tetszőleges helre elen példán z F erő végpontáól mérük fel. z erőpár másik, ellentétes értelmű tg ugnee pont fog muttni (94. ár), és innen folttódik z dott erők továi felvétele. 94. ár: z M koncentrált nomték figeleme vétele, mint erőpár Most már nekifoghtunk vektor és kötélsokszög szerkesztésének. tetszőleges helre felvett póluspontot P vel elölük, és megrzoluk S segéderőket. Először z F1 erőt ontuk fel S1 és S segéderőkre vektorárán. S1 segéderő htásvonlávl párhuzmost húzunk kötélárán, ol módon, hog eg tetszőleges K1 pontn elmetssze F1 erő htásvonlát (95. ár). Ezen K1 ponton át párhuzmost húzunk S erő htásvonlávl is. 54
95. ár: F 1 erő felontás S 1 és S segéderőkre, K1 pont meghtározás Ezután F erőt ontuk fel S és S3 segéderőkre vektorárán. kötélárán K1 ponton átmenő S segéderő htásvonlát meghosszítuk, és metszésre hozzuk F erő htásvonlávl. metszéspont K pont lesz, min keresztül párhuzmost húzunk S3 segéderő htásvonlávl (96. ár). 96. ár: F erő felontás S és S 3 segéderőkre, K pont meghtározás következő lépésen felfelé muttó FM erőt ontuk fel S3 és S4 segéderőkre vektorárán. K ponton áthldó S3 segéderőt meghosszítuk kötélárán, hog metssze felfele muttó FM erő htásvonlát (97. ár). K3 lesz metszéspont, min keresztül párhuzmost húzunk S4 segéderő htásvonlávl is. 55