FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) irán és mértékegség jelleme ) Vektor megdás: e O α e e Egségvektorok: e e A egségvektorok hoss egségni: e e Eg tetsőleges vektor megdás egségvektorokkl: e + e H ismert vektor hoss és tengellel beárt söge kkor előő össefüggésből: cosα e + sin αe (cosαe + sin αe ) e A vektor hossát ithgors-tétel segítségével sámíthtjuk ki: + Können beláthtó is hog e vektor egségvektor: e cos α + sin α A vektorok köötti műveletek vektorok támdáspontho vg htásvonlho kötöttségétől függetlenül érvénesek b) Vektorok össedás: Legen dott két vektor: e + e b b e + b e A két vektor össegének kisámítás: + b ( e + e) + ( be + be) ( + b) e + ( + b) e c c c A két vektor össegének megserkestése: b c c b Háromsög sbál rlelogrmm sbál
c) Vektorok kivonás: Legen dott két vektor: e + e b b e + b e A két vektor különbségének kisámítás: b ( e + e) ( be + be) ( b) e + ( b) e d d d Két vektor különbségének megserkestése: b b d b d + ( b) d b d d) Vektorok skláris sorás ( eredmén skláris menniség): A skláris sorás értelmeése: b b cosα A skláris sorás kisámítás: b b + b + b A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á sklárisn sorov bével Egségvektorok skláris sort: e e e e e e e e 0 e e 0 e e 0 A eredmén áltlánosítás: és b 0 b A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á merőleges bére e) Vektorok vektoriális sort ( eredmén vektor): A vektoriális sorás értelmeése: A eredménvektor ngság: b b sinα prlelogrmm mgsság b b α b sinα A eredménvektor iránát ún jobbké sbálll kpjuk meg: h jobb kéel vektort b vektorb forgtjuk kkor jobb ké hüvelkujj dj meg eredménvektor iránát A eredménvektor merőleges sorásbn sereplő mindkét vektorr
A vektoriális sorás kisámítás: e e e b det e( b b) e( b b) + e( b b) b b b A determináns kifejtési sbál ( determináns előjeles skláris menniség): - első sor serint: 3 det 3 ( 33 33) ( 33 33) + 3( 3 3 ) vg 3 3 33 - első oslop serint: 3 det 3 ( 33 33) ( 33 33) + 3( 3 3) 3 3 33 Egségvektorok e e 0 e e 0 e e 0 vektoriális sort: e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Sbál: - H két egségvektort ábrán láthtó nílll megegeő sorrendben sorunk össe vektoriálisn kkor poitív előjellel kpjuk hrmdik egségvektort - H két egségvektort ábrán láthtó nílll ellentétes sorrendben sorunk össe vektoriálisn kkor negtív előjellel kpjuk hrmdik egségvektort A eredmén áltlánosítás: b 0 b f) Vektorok kétseres vektoriális sort ( eredmén vektor): ( b) c vg ( b c ) Kisámítás kétféle úton lehetséges: - két vektoriális sorásnk kijelölt sorrendben történő elvégésével - kifejtési sbálll: ( b) c b( c ) ( b c ) illetve ( b c ) b ( c ) c ( b ) 3
FH 45 rfh r FH e ( 3 e + 6 e ) ( 5 e + 3 e ) m 45 r H (8e + 6 e ) + ( 5 e + 3 e ) ( 5e + 8e + 9 e ) m b) A H-ból B pontb muttó r HB helvektor meghtároás 3 3 rhb r BF e 45 ( 3e + 6 e ) m r HB (45e 9 e )m 45 I feldt: Vektorok össege különbsége egmássl beárt söge F F α F Adott: F (40e + 50 e) N F ( 0e + 4 e ) N F F 0 F F FI Gkorló feldtok vektorműveletekre FI feldt: Helvektorok felírás össegése bsolút értékének meghtároás e Adott: eg hsáb vlmint H pont hele: H AB 8m BE 3m D G AD 6m FH 05BF F C Feldt: ) A H pont H helvektoránk meghtároás A O E b) A H pontból B pontb muttó r HB helvektor meghtároás B Kidolgoás: ) A H pont r H helvektoránk meghtároás: r H r OF + r FH r OF r F (8e + 6 e ) m rbf e ( 3 e + 6 e ) m rbf ( 3e + 6 e ) m rbf 45 rbf BF + BF 3 + 6 9+ 36 45 m r 05 45 m Feldt: ) A két erő F0 F + F össegvektoránk meghtároás b) A két erő F* F F különbségvektoránk meghtároás c) A két erővektor áltl beárt α sög meghtároás 4
Kidolgoás: ) A két erő F0 F + F össegvektoránk meghtároás: F0 F+ F (40e + 50 e) + ( 0e + 4 e) (0e + 54 e) N b) A két erő F* F F különbségvektoránk meghtároás: F* F F (40e + 50 e) ( 0e + 4 e) (60e 46 e) N c) A két erővektor áltl beárt α sög meghtároás: F F F F F F cosα cosα F F F F 40( 0) + 50 4 800 + 00 600 N F F + F 40 + 50 64 03 N 600 F F + F 0 + 4 0 40 N cosα 0 45934 64 03 0 40 α rccos( 0 45934) 7 34 FI3 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: Feldt: (0e + 5 e ) m ) A vektor és iránú skláris koordinátáink meghtároás b) A vektor és iránú össetevőinek meghtároás Kidolgoás: ) A vektor koordináttengel iránú koordinátáink meghtároás (skláris menniségek): A skláris sorás értelmeéséből: e e cosα cosα e e cos β cos β A skláris koordináták kisámítás: β α e (0e + 5 e) e 0e e + 5e e 0 m e (0e + 5 e ) e 0e e + 5e e 5 m b) A vektor koordináttengel iránú össetevői (vektor menniségek): e (0 e ) m e (5 e ) m FI4 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: Feldt: b (6e + 6 e) m ) A b vektor iránú b és iránr merőleges b skláris (e + 4 e koordinátáink meghtároás ) m b) A b vektor iránú b és iránr merőleges b össetevőinek meghtároás Kidolgoás: ) Adott iránú koordináták meghtároás: 5
b α b b A b vektor iránú koordinátáj ( iránr eső vetülete): b b b cosα b b cosα b b 6 + 4 6 96 m + 4 60 4 0 65 m 96 b 759 m 65 A b vektor iránr merőleges koordinátáj ( iránr merőleges vetülete): b b b sinα b b sinα b e e e b 4 0 e(7 4) (48 e) m b 48m 65 m 6 6 0 b 48 b 379 m 65 b) Adott iránú össetevők meghtároás: A b vektor iránú össetevője: e (e + 4 e) (0 9486e + 0 36 e) 65 b b e 7 59(0 9486e + 0 36 e ) (7e + 4 e ) m A b vektor iránr merőleges össetevője: b b ( b) b b sinα b sinα b b sinα b e 3 ( b) (48 e) (e + 4 e) ( 9e + 576 e) m 9e + 576e b ( e + 36 e)m 60 Ellenőrés: b b + b (7 e + 4 e ) + ( e + 3 6 e ) (6e + 6 e )m FI5 feldt: Vektorok skláris sort Adott: F (40e + 8e 6 e) kn F ( e + e + 3 e) kn F ( F e ) Kidolgoás: 3 3 Kérdés: Mekkor legen 3 merőleges legen F -re? F h t krjuk hog ( F+ F3) 6
H b kkor b 0 b cos α 0 o 90 Eért teljesülnie kell ( F+ F3) F 0 össefüggésnek ( F+ F3) F 40 e + (8 + F3) e 6 e ( e + e + 3 e) 0 40 + (8 + F3 ) 6 3 0 80 + 36 + F3 78 0 F F 3 6 kn 3 FI6 feldt: Vektor koordinátái és össetevői Adott: (3 e + e) N b (4e + e) N b koordinátáink meghtároás b) A vektor b iránú és b össetevőinek meghtároás Megoldás: Feldt: ) A vektor b iránú és b iránr merőleges skláris ) A vektor b iránú és b iránr merőleges skláris koordinátái: 35 N 35 N b) A vektor b iránú és b iránr merőleges össetevői: ( e + e ) N ( e e ) N FI3 Mátrilgebri össefoglló iránr merőleges ) Mátri értelmeése jelölése: Mátri: Skláris menniségeknek sámoknk megdott sbál serint táblátb rendeett hlm 3 Mátri jelölése: A 3 A mátriokt kétser láhúott betűvel mátriok elemeit (koordinátáit) lsó indees betűvel jelöljük l A és 3 stb A 3 mátrielem A mátri első sorábn és hrmdik oslopábn vn Mátri mérete: éldául fenti (3)-s méretű A mátrink két sor és három oslop vn A 3 mátri elem jelölés kiejtése (kiolvsás): á eg három Oslopmátri: T sormátri: [ 3] 3 7
A oslopmátrink eg oslop sormátrink eg sor vn A sormátriot mindig ugnnnk oslopmátrink trnsponáltjánk tekintjük A sormátriot mátri betűjelének felső indeébe írt T betű jelöli b) Mátriműveletek: A műveleteket ( ) -es ( )-es és ()-es mátriokr muttjuk be - Mátri trnsponáltj (tükröés főátlór): A mátri főátlóját onos indeű elemek lkotják T A A ( ) ( ) A trnsponálási művelet jele: T ( mátri felső indeében) A trnsponálás oslopmátriból sormátriot sormátriból pedig oslopmátriot ho létre T A A jelölés kiejtése (kiolvsás): á trnsponált - Mátriok össedás kivonás: Csk onos méretű mátriok dhtók össe vonhtók ki egmásból A± B C b b ( ± b) ( ± b) c c ± b b ( ± b) ( ± b) c c ( ) ( ) ( ) ( ) - Mátri sorás (sor-oslop kombináció): Csk oln mátriok sorohtók össe melek teljesítik t feltételt hog első soróténeő oslopink sám megegeik második soróténeő sorink sámávl AB C b b ( b + b) ( b+ b ) b b ( b+ b) ( b+ b) ( ) ( ) ( ) Ab c b ( b + b ) c b ( b + b ) c ( ) ( ) ( ) ( ) T T B d b b ( ) ( ) ( ) ( ) ( b+ b) ( b+ b) d d b b 8
c) Különleges mátriok: 0 - Egségmátri: E 0 Tuljdonság: E A AE A A egségmátri főátlójábn -es koordinátákt főátlóján kívül 0 elemeket trtlm A egségmátrisl történő sorás nem váltottj meg megsorott mátriot - Simmetrikus mátri: T A A A mátri elemei megegenek főátlór vett tükörképükkel éldául A 9 simmetrikus mátri T - Ferdesimmetrikus mátri: A A A mátri bármelik eleme megegeik főátlór vett tükörképének mínus egseresével Ebből követkeik hog főátlóbn csk érus elemek lehetnek 0 3 éldául A 3 0 ferdesimmetrikus mátri F4 Vektorok skláris veges és didikus sort Eges vektor sorások mátriok sortként is elvégehetők ) Vektorok skláris sort: A skláris sorás értelmeése: b b cosα (α vektorok köött beárt sög α π ) A skláris sorás kisámítás mátrisorássl: b b b b + b + b b A első soró téneő koordinátáit sormátrib második soró téneő koordinátáit oslopmátrib rendeük és sorást mátrisorás sbáli serint (sor-oslop kombináció) végeük el A sorás eredméne eg skláris menniség b) Vektorok veges sort: A veges sort értelmeése és jelölése: ( bc ) ( b c ) ( b c ) A veges sort kisámítás: - Elősőr elvégeük vektoriálois sorást mjd eredménvektort megsorouk sklárisn veges sortbn sereplő hrmdik vektorrl - Kisámítás determinánssl: ( bc) det b b b ( bc cb) ( bc cb) + ( bc cb) c c c 9
c) Vektorok didikus sort: Legen dott b és c tetsőleges vektor Két vektor didikus sortánk jelölése: b elneveése: diád A b jelölés kiejtése (kiolvsás): á diád bé Két vektor didikus sortát sorás tuljdonságink megdásávl értelmeük: - didikus sorás és skláris sorás ssocitív (csoportosíthtó sorások elvégésének sorrendje felcserélhető): ( b) c ( b c) - diád skláris sorás sempontjából nem kommuttív (nem mindeg hog eg diádot jobbról vg blról sorunk meg sklárisn eg vektorrl mert más eredmént kpunk): c ( b) ( b) c H sorás fenti össefüggéseket kielégíti kkor sorás didikus Két vektor didikus sortánk kisámítás jobbsodrású deréksögű koordinátrendserben: b b b b b b b b b b b b b A első soró téneő koordinátáit oslopmátrib második soró téneő koordinátáit sormátrib rendeük és sorást mátri sorás sbáli serint (sor-oslop kombináció) végeük el A sorás eredméne eg kilenc skláris menniséget trtlmó mátri Egségvektorok didikus sort: 0 0 0 0 0 0 [ e e] 0 [ 0 0 ] 0 0 0 e e [ 0 0 ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ e e ] 0 [ 0 0 ] 0 0 0 e e [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ e e ] 0 [ 0 0 ] 0 0 0 e e [ ] 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e [ 0 0] 0 0 [ e e ] [ ] 0
0 0 0 0 e e 0 [ 0 0 ] 0 0 0 0 0 A sklár sámml történő sorás mindig didikus vg más sóhsnálttl áltlános sorás F5 Mátri sjátértékei és sjátvektori ) A sjátérték feldt kitűése: Léteik-e oln n oslopmátri mellel A négetes mátriot megsorov n oslopmátri vlhánsorosát kpjuk: An λ n hol λ skláris menniség? H léteik ilen n oslopmátri kkor et A négetes mátri jobb oldli sjátvektoránk λ skláris menniséget pedig A mátri sjátértékének neveük b) A sjátérték feldt megoldás: A sjátérték feldt megoldását eg ()-es mátrion muttjuk be A előő egenletet résletesen kiírv és bl oldlr rendeve: n n n n 0 λ n n λ n n 0 és sorásokt elvégeve n n ismeretlenre homogén lineáris lgebri egenletrendsert kpunk: ( λ) n + n 0 n + ( λ) n 0 A egenletrendser nem triviális (nullától különböő) megoldásánk feltétele hog rendser mátriából képeett determinánsnk el kell tűnnie: ( λ) 0 ( λ) A determinánst kifejtve kpjuk krkteristikus egenletet: λ ( + ) λ + ( ) 0 A krkteristikus egenlet megoldási mátri sjátértékei: ( + ) ± ( + ) 4( ) ( + ) ± ( ) + 4 λ A homogén lineáris lgebri egenletrendsernek csk λ λ és λ λ esetén vn nemtriviális megoldás A mátri sjátértékeit silárdságtnbn csökkenő regéstnbn növekvő sorrendben sokás sorsámoni
H eges λ i (i) sjátértékeket behelettesítjük homogén lineáris lgebri egenletrendserbe kkor egenletrendser megoldhtó n n ismeretlenre: ( λi) ni + ni 0 ni + ( λi ) ni 0 n n i i hol i A λ i (i) sjátértékek behelettesítése esetén onbn egenletrendser egenletei egmástól nem lineárisn függetlenek eért egik egenletet el kell hgni és másik egenletből csk n / n vg n / n (i) hándos htárohtó meg A n T i n i i i i n i és n i értékét kkor kpjuk meg ( előjelet lesámítv) egértelműen h n n sjátvektoroktól megköveteljük hog egségvektorok legenek: i i i i + n i FI6 Tenorok előállítás ) Tenor értelmeése és tuljdonsági: Tenor: Homogén lineáris vektor-vektor függvén áltl megvlósított leképeés (hoárendelés) w f( v ) T v i i v hoárendelés w O v O w A T tenor tetsőleges v vektorho w képvektort rendeli hoá A vektor-vektor függvén oln függvénkpcsolt melnek v értelmeési trtomán és w értékkéslete is vektor menniség A tenor tuljdonság: - f ( λv) λ f( v) hol λ tetsőleges skláris menniség (skláris egütthtó) - f ( v + v) f( v) + f( v) A fenti tuljdonságokból követkeően fennáll lábbi össefüggés: w f( λ v + λ v ) λ f( v ) + λ f( v ) λ w + λ w w w hol λ és λ tetsőleges skláris egütthtók Követkemén: A tenor érus vektorho érus vektort rendel hoá: 0 f (0) A tenor koordinát-rendsertől független fiiki (geometrii mechniki) menniség b) Tenor előállítás jobbsodrtú deréksögű descrtesi koordinát-rendserben: - Tenor megdás: - tenor koordinátáivl (mátiávl) és - koordinát-rendserrel történik
- Tenor koordinátáink jelölése mátrib rendeve: T T T T T T3 T T T T T T T3 T T T T 3 T3 T 33 - Tenor előállítás deréksögű descrtesi KR-ben: Tétel: - Térbeli esetben minden tenor egértelműen megdhtó három egmásr merőleges egségvektor és eek képvektori (három értékpár) ismeretében - Síkbeli esetben minden tenor egértelműen megdhtó két egmásr merőleges egségvektor és eek képvektori (két értékpár) ismeretében Tétel: - Térbeli esetben minden tenor előállíthtó három diád össegeként - Síkbeli esetben minden tenor előállíthtó két diád össegeként Legen ismert három értékpár: e f( e ) e + e + e e b f( e) b be + be + be e c f( e ) c ce + ce + ce A tenor didikus előállítás: T ( e + be + c e ) A tenor mátri: b c T b c b c A tenor mátriát didikus előállításbn kijelölt didikus sorások és össedások elvégésével kpjuk A tenor mátriánk oslopi b c képvektorok koordinátáit trtlmák A mátri első sorábn képvektorok koordinátái második sorbn képvektorok koordinátái hrmdik sorbn képvektorok koordinátái állnk FI7 Gkorló feldtok vektorokr mátriokr tenorokr FI7 feldt: Mátri műveletek Adott: 4 4 A 7 3 B 6 3 Feldt: T T ) A A és B trnsponált mátriok meghtároás b) A A+ B össegmátri és A B különbségmátri meghtároás c) A AB sortmátri meghtároás d) A B A sortmátri meghtároás Kidolgoás: 3
) A T A T A és 7 4 3 T B trnsponált mátriok meghtároás: T B 6 4 3 b) A A+ B össegmátri és A B különbségmátri meghtároás: 4 4 0 0 A+ B 7 3 + 6 3 6 4 4 4 8 A B 7 3 6 3 3 0 c) A AB sortmátri meghtároás: 4 4 ( ) + ( 4)( 6) 4 + ( 4)3 AB 7 3 6 3 7( ) + 3( 6) 7 4+ 3 3 d) A B A sortmátri meghtároás: 0 4 0 37 4 4 ( ) + 4 7 ( ) ( 4) + 4 3 4 60 BA 6 3 7 3 ( 6) + 3 7 ( 6) ( 4) + 3 3 9 33 Mátrisorásnál soróténeők sorrendje nem cserélhető fel! FI7 feldt: Skláris didikus és mátri sorás gkorlás Adott: (4 e + 6 e e ) m Feldt: b ( 3 e + e e ) m ) A b és b sortok meghtároás c ( e 6e b) A ( b) c és c ( b) ) sort meghtároás m Kidolgoás: ) A b és b sortok meghtároás: 3 b [ 4 6 ] 4( 3) + 6 + ( )( ) 5m b ( 4e + 6e e) ( 3e + e e) ( e 8e + 3e) e + ( 4 e + 6e e) e + + ( 4e 6e + e) e m A sögletes árójelben lévő diádok első soró téneőinek koordinátái tenor mátriánk oslopibn jelennek meg: 4 4 4 b 6 [ 3 ] 8 6 6 m 3 4
b) A ( b) c és c ( b) sort meghtároás: - A értelmeés lpján: ( b) c ( b c) ( 4e 6e e ) + ( 3e + e e) ( e 5e) ( 4e + 6e e ) [ + 5] ( e + 8e 3e ) m 3 - Mátrisorássl: 4 4 0 8 + 0 ( b) [ c] 8 6 6 + 30 8 m 3 3 5 5 3 A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik - A értelmeés lpján: c ( b) ( c ) b ( e 5e) ( 4e 6e e) + ( 3e + e e) [ + 5] ( 3 e + e e ) (e 7e + 7 e ) - Mátrisorássl: 4 4 [ c] ( b) [ 0 5 ] 8 6 6 3 3 [(36 5) ( + 5) ( 5) ] [ 7 7] m A kétféleképp előállított eredmén termésetesen megegeik FI73 feldt: Vektor dott iránr merőleges össetevőjének meghtároás Adott: b (0e + 40e 30 e) m e (08e + 06 e ) Feldt: ) A b vektor e egségvektorrl párhumos b össetevőjének meghtároás b) A b vektor e egségvektorr merőleges b össetevőjének meghtároás kétseres vektoriális sorássl c) A b vektor e egségvektorr merőleges b össetevőjének meghtároás kifejtési sbálll Kidolgoás: ) A b párhumos össetevő meghtároás: O b b b e 5
0 b ( e b) e [ 0 08 06 ] 40 e (3 8) e 4 e 30 b 4e 4(08e + 06 e) ( e + 84 e) m b) A b merőleges össetevő meghtároás kétseres vektoriális sorássl: b ( e b) e e e e ( e b) 0 08 06 e( 4 4) e( ) + e( 6) 48e + e 6e 0 40 30 e e e ( e b) e 48 6 e(7 + 8) e( 88) + e( 384) 0 08 06 b ( e b) e (0 e + 88e 38 4 e) m c) A b össetevő meghtároás kifejtési sbálll: b ( e b) e b( e e) e( b e) b b b b b (0e + 40e 30 e) ( e + 8 4 e) (0e + 88e 38 4 e) m FI74 feldt: Vektorok veges sort prlelepipedon térfogt T b Adott: A bc három nem komplnáris (nem eg síkb eső) vektor: c (5e + 3 e + e) m b (e 4 3 ) m m b + e + e V c (3e + e + 6 e) m β Feldt: A bc vektorok áltl m α T T kifesített lkt (prlelepipedon) térfogtánk meghtároás Kidolgoás: A bc vektorok áltl kifesített lkt (prlelepipedon) V térfogtát három vektor veges sort dj meg: c c c 3 6 3 5 5 3 V c ( b) 5 3 3 + 6 4 3 3 4 b b b 4 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 5 3 + 6 5 4 3 3 5 3+ 6 4 5 6+ 84 73 V c b c b cos β b c cos β T m Bionítás: ( ) ( ) 6
T b b sin α m T T hol T b vektorok áltl kifesített prlelogrmm területe FI75 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + e ) m O r A r A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel sík helvektoriból helvektoroknk koordinát-rendser O kedőpontjár tükröött vektorit állítj elő b) Meghtároni t r A vektort mel r vektor origór vett tükörképe Kidolgoás: ) A tenor előállítás: Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e e e b e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) 0 A tenor mátri: T 0 b) A origór tükröött r A képvektor meghtároás: 0 0 4 4 ra T r 0 0 r ( 4e e ) m A FI76 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + 3 e ) m O r r A A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel sík helvektoriból helvektoroknk koordinát-rendser tengelére tükröött vektorit állítj elő b) Meghtároni t r A vektort mel r vektor tengelre vett tükörképe 7
Kidolgoás: ) A tenor előállítás: Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e e e b e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) 0 A tenor mátri: T 0 b) A tengelre tükröött r A képvektor meghtároás: 0 0 4 4 ra T r 0 0 3 3 r (4e 3 e ) m A FI77 feldt: Tenor előállítás o Adott: ϕ 30 r (4 e + e ) m A Feldt: r ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel A sík helvektoriból helvektorok tengel körül ϕ söggel elforgtott vektorit állítj elő ϕ r b) Meghtároni t r A vektort melet r vektor ϕ söggel történő elforgtásávl kpunk Kidolgoás: ) A tenor előállítás: b e ϕ ϕ e Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e (cosϕ e + sin ϕ e ) e b ( sinϕe + cos ϕe ) A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) A diádok kisámítás: 0 cosϕ 0 0 sinϕ 0 [ e ] [ 0] b 0 b 0 sinϕ b e [ 0 ] b 0 b 0 cosϕ cosϕ sinϕ 0866 05 A tenor mátri: T sinϕ cosϕ 05 0866 8
b) A elforgtott r A vektor meghtároás: cosϕ sinϕ 0866 05 4 964 ra T r sinϕ cosϕ 05 0866 866 r (964e + 866 e ) m A FI78 feldt: Tenor előállítás Adott: o ϕ 45 r (5e + e ) m r A ϕ r A u Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel sík helvektoriho helvektorok tengel körül ϕ söggel történő elforgtáskor helvektorok végpontjink elmodulás vektorit rendeli hoá b) Meghtároni r vektor végpontjánk u elmodulás vektorát ϕ söggel történő elforgtásnál Kidolgoás: ) A T tenor előállítás: b e ϕ ϕ e A tenor mátri: (cosϕ ) sinϕ 093 0707 T sin ϕ (cosϕ ) 0707 093 b) A u elmodulásvektor meghtároás: 093 0707 5 879 u T r 0707 093 949 u ( 879e + 949 e ) m FI79 feldt: Tenor előállítás Adott: Síkbeli esetben tenort két értékpárj htáro meg: e ( cos ϕ) e + sinϕ e e b sin ϕ e ( cos ϕ) e A két értékpárból tenor: T ( e + b e ) n ( e + e ) r (5e + e + 0 e ) m 9
Feldt: r r A A n ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel tér minden helvektoráho helvektoroknk n normálisú S síkb eső vetületvektorát rendeli hoá b) Meghtároni r vektornk dott n normálisú S síkb eső r A vetületvektorát S A vetületvektort úg kpjuk hog r vektor végpontját merőlegesen vetítjük S síkr Kidolgoás: ) A T tenor előállítás: A tetsőleges v vektor S síkb eső w vetületvektor: w n ( v n) v( n n) n( n v) v n( n v) Térbeli esetben tenort három értékpárj htáro meg: e e n( n e) e 0 e n b e n( n e) e e e e + e + e e n c e n( n e) e e e e + + e + e A három értékpárból tenor: T ( e + be + c e ) 0 0 A tenor mátri: T 0 05 05 0 05 05 b) A r vektornk dott n normálisú síkb eső r A vetületvektoránk meghtároás: 0 0 5 5 ra T r 0 05 05 6 m r A (5e + 6e + 6 e ) m 0 05 05 0 6 0
FI70 feldt: Tenor előállítás Adott: r (3 e + 4e + 6 e ) m r Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel tér O minden helvektoráho helvektoroknk síkr r D vett tükörkép-vektorát rendeli hoá A b) Meghtároni r vektornk síkr vett r A tükörképvektorát A A tükörkép-vektort követkeőképpen kpjuk: A r vektor végpontját merőlegesen vetítjük síkr A D pont vetítő egenes döféspontj síkon Megoldás: 0 0 ) A hoárendelést megvlósító tenor mátri: T 0 0 0 0 b) A r A tükörkép-vektor: r A (3e + 4e 6 e ) m FI7 feldt: Tenor előállítás Adott: r (4e + 4e + 8 e ) m r O r A D A Feldt: ) Annk T tenor mátriánk előállítás mel tér minden helvektoráho helvektoroknk síkb eső vetületvektorát rendeli hoá b) Meghtároni r vektornk síkb eső r A vetületvektorát Megoldás: A vetületvektort úg kpjuk hog r vektor végpontját merőlegesen vetítjük síkr A D pont vetítő egenes döféspontj síkon A vetületvektor D pontb muttó vektor ) A hoárendelést megvlósító tenor mátri: 0 0 T 0 0 0 0 0 b) A r A vetületvektor: r A (4e + 4 e ) m FI7 feldt: Tenor (mátri) sjátértékeinek és sjátvektorink előállítás Adott: A tenor Descrtes-féle deréksögű koordinátrendserbeli mátriávl: 3 A 3
Feldt: A tenor λ λ sjátértékei és hoájuk trtoó n n sjátvektorok meghtároás és semléltetése Kidolgoás: A feldtbn sereplő mátri simmetrikus eért két vlós sjátértéket és két egmásr merőleges sjátvektort várunk A krkteristikus egenlet felírás: An λ n λ En ( A λ E) n 0 E eg homogén lineáris egenletrendser n vektor n n koordinátáir melnek csk kkor vn triviálistól (vgis érustól) különböő megoldás h egenletrendser egütthtóiból képett mátri determináns nullávl egenlő: det A λ E 0 A fenti mátri elemeit behelettesítve és determinánst kifejtve: 3 λ 3 det λ λ 0 3 4 λ A kijelölt műveleteket elvégeve kpjuk krkteristikus egenletet: 4λ 4 0 λ A krkteristikus egenlet két megoldás vgis keresett sjátértékek: λ A sjátvektorok meghtároás: - A λ -he trtoó n sjátvektor meghtároás: A λ -et visshelettesítjük lineáris lgebri egenlet-rendserbe: 3 3 n n 0 3 n 3 3 n 0 n + 3n 0 A mátrisorást elvégeve kétismeretlenes egenletrendsert kpunk: 3n 3n 0 A két egenlet onbn nem független egmástól ( elsőt 3 -ml sorov éppen másodikt kpjuk) íg e egenletrendser csk sjátvektor koordinátáink ránát vgis sjátvektor iránát htáro meg Eért még felírunk eg független egenletet: egségni bsolút értékű sjátvektort htárouk meg: n n + n 3n + n n Láthtó hog eel pótlólgos feltétellel sjátvektor már csk eg előjel erejéig htárotln
3 H n + értéket válstjuk kkor n e + e - A λ -he trtoó n sjátvektor meghtároás: 3 3 3 + n n 0 3 n 3 n 0 + A mátrisorást elvégeve két ismeretlenes egenletrendsert kpunk: 3 n 3 0 + n 3n + n 0 A egenletek ebben esetben sem függetlenek egmástól (itt soró 3 ) 3 A már lklmott normálást ismét elvégeve kpjuk: n e e A megoldás semléltetése: A ábrán láthtó két sjátvektor merőleges egmásr miről sükséges skláris sorás elvégésével is n 3 3 meggőődhetünk: n n 0 n Áltlábn is ig hog eg simmetrikus tenor különböő sjátértékeihe trtoó sjátvektorok mindig merőlegesek egmásr Ennek bionításáho sjátvektorokt definiáló egenletet sorouk be blról eg másik sjátvektorrl: nan n λn Kihsnálv tenor simmetriáját t kpjuk hog: A n n λn n λn n Átrendeve: ( λ λ) n n 0 miből követkeik két sjátvektor merőlegessége hisen mindkettő ngság különböik nullától két sjátérték pedig feltétel serint különböő FI8 Differenciálegenletek Differenciálegenlet: Fontosbb típusok: Köönséges differenciálegenlet: oln mtemtiki egenlet mel eg vg több váltoós ismeretlen függvén és deriváltji köötti kpcsoltot írj le köönséges differenciálegenletek prciális differenciálegenletek (stochstikus differenciálegenletek késleltetett differenciálegenletek) oln mtemtiki egenlet mel eg független váltoójú függvén és deriváltji köötti össefüggést dj meg d l m F hol t ( ) (Newton II törvéne) dt 3
rciális differenciálegenlet: oln mtemtiki egenlet mel ismeretlen többváltoós függvén és prciális deriváltji köötti kpcsoltot írj le l ( ) u 0; és megoldás u( ) f ( ) A Euler típusú köönséges differenciálegenlet A váltoó egütthtójú n -edrendű lineáris differenciálegenletek köül visonlg egserűen megoldhtó Euler típusú melnél egütthtók követkeő htvánfüggvének: A i i 0 n; és állndó ( ) ( ) i i i Íg Euler típusú differenciálegenlet áltlános lkj: ( ) ( ) n ( n) n ( n ) n n + n + + + 0 e R ) A homogén differenciálegenletet megoldás: r A lprendserhe feltételeéssel jutunk ( ) r p ( ) ( ) ( ) p ( r p) Ugnis r r r p révén t kpjuk hog r r e g r n ( ) n( ) 0 hol g ( r) r( r ) r ( n ) + + r + 0 n n Euler-féle differenciálegenlet ún krkteristikus polinomj A 0 eset kiárásávl gn ( r ) 0 egenlet ( ún krkteristikus egenlet) lpján kpunk lprendsert lább résleteendő módon H krkteristikus egenletnek egseres gökei vnnk jelölje eeket r r r n n kkor függvének lkotják differenciálegenlet lprendserét H onbn többsörös gökök is vnnk kkor lprendsert követkeő előírás serint kpunk: Legen pl r rk sk -soros gök kkor r rk göknek lprendserben rk rk rk követkeő függvének fognk megfelelni: ( ) sk ln ln Termésetesen mind egseres mind többsörös göknél előfordulht hog eek köött komple sámok is vnnk Ekkor is lehet onbn mindig vlós lprendsert tlálni A fenti eljárásnál Wronski-féle determináns segítségével lehet megmuttni hog megdott függvének vlóbn lprendsert lkotnk b) A inhomogén differenciálegenlet áltlános megoldás: A korábbn már résleteett módon nerhető 4
c) éldák homogén Euler típusú differenciálegenlet megoldásár: péld: Adott: 3 5 0 r Megoldás: Itt feltételeéssel t kpjuk hog krkteristikus polinom: g ( r) r 4r 5 0 A g ( r ) 0 krkteristikus egenlet gökei: r 5 r 5 Íg lprendsert függvének lkotnk és dott homogén 5 differenciálegenlet áltlános megoldás: C + C A C C egütthtók peremfeltételekből htárohtók meg péld: Adott: 3 + 4 0 r Megoldás: Itt feltételeéssel t kpjuk hog krkteristikus polinom: g ( r) r 4r+ 4 0 A ( ) 0 g r krkteristikus egenlet gökei: r r Íg lprendsert ln függvének lkotnk és dott homogén differenciálegenlet áltlános megoldás: C + C ln A C C egütthtók peremfeltételekből htárohtók meg 5