A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója Tél Tamás ELTE Elméleti Fizikai Taszék és MTA-ELTE Elméleti Fizikai Ktatócsoport A cikk célja, hogy kiderítse, kaotiks-e a potszerû labdák lépcsô lefelé törtéô pattogó mozgása Az ütközések koordiátáira egyszerû rekrziós szabályt vezetük le, amelyek alakjából azoba em olvasható le a kaotiksság megléte vagy hiáya A meriks szimlálások arra talak, hogy elôbb-tóbb midig álladóslt mozgás alakl ki, amelyek jellege redszerit kváziperiodiks Az ütközési együtthatótól való függés meglehetôse boyollt is lehet, káoszra taló jelet azoba em találk A számolások matematikai igéye a középiskolai szitet em haladják meg, az olvasóak a jeleséggel való ismerkedését a http://crlh/lepcso oldalo mide elôismeret élkül fttatható programok segítik Griz Márto fizikataár szako végzet az ELTE- 2-be Egyetemi évei alatt érdeklôdése a káoszelmélet felé fordlt, a témába írt TDK-dolgozata külödíjba részesült és országosa II helyezést ért el Tél Tamással írt káosz taköyve magyar és agol yelvû kiadása alapjá 29-be PhD fokozatot szerzett Az ELTE Elméleti Fizikai Taszék tdomáyos mkatársa, az ELTE Fizika Doktori iskola és a Kaotiks mechaika speciális kollégim alkalmi elôadója Egy osztrák gimázimi taköyvbe több, közismerte kaotiks mozgással járó jeleség bemtatása között azt olvashatjk, hogy a labda lépcsô törtéô pattogása is kaotiks [] A szerzôk elvileg em godolhattak a gmilabdára, amelybe a pattogások között rgalmas hllámok is terjedek, hisze az térbe is lejátszódó, magas szabadsági fokú diamika lee Alacsoy dimeziójú leírást tekitve válasszk a legegyszerûbbet, a potszerû labdát feltételezô (tehát a labda forgását elhayagoló) modellt! Feltesszük, hogy a labda egy hosszú lépcsôsoro rgalmasa pattog, a mozgás sorá az ütközési együttható értéke k < álladó A lépcsôt sima vízszites és függôleges felületekbôl összetettek tekitve, egy biliárd-problémát defiiálk, amely szembe a szokásos biliárdokkal (példál stadio biliárd [2]) gravitációs erôtérbe értelmezett Ezért az ütközési eergiaveszteség mellett eergiaövekedés is felléphet a magasság csökkeése következtébe Elsô ráézésre ehéz eldötei, hogy lehet-e kaotiks a mozgás: a sima vízszites felület a káosz elle szól (hisze síktükörkét, vagyis em szórókét viselkede féyel való megvilágítás eseté), a lépcsô élei, a fokok végé lévô potszerû törések viszot esetleg mellette Ezért alaposabba vizsgáljk meg a mozgást, egyszerû (középiskolai szitû) levezetéseket és szimlációkat haszálva Meszéa Tamás matematika-fizika-számítástechika szakos taárkét végzett az ELTE- 987-be 29 éve taít gimázimba, 2 éve Pécse, a Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázimába, ahol egyedik éve igazgatóhelyettes 2 óta az ELTE Fizika Doktori Iskola Fizika taítása program Phd hallgatója, témavezetôje Griz Márto, ktatási témája a káoszelmélet gimázimi taítási lehetôségeiek vizsgálata Tél Tamás az ELTE- szerzett fiziks diplomát 975-be Doktori dolgozatát Szépfalsy Péter vezetésével írta 977-be Azóta külföldi vedégktatói tartózkodásaitól eltekitve az ELTE Elméleti Fizikai taszéké dolgozik külöbözô beosztásokba Ktatási témái a emegyesúlyi redszerektôl a klímadiamikáig terjedek 27 óta vezeti a Fizika taítása doktori programot, 2 óta az MTA ELTE Elméleti Fizikai Ktatócsoportot A modell Legye az egyes lépcsôfokok hossza L, magasságk M és a lépcsô lejtse balról jobbra ( ábra) Mivel az ütközési együttható -él kisebb, a labda beesési sebességéek függôleges v kompoese mide ütközéskor k < -szeresére változik Az > vízszites kompoes idôbe végig álladó marad A tájékozódás kedvéért megadjk tömör, azoos ayagú golyóval ütközô golyók ütközési együtthatóját [3] szerit: üveg, elefátcsot,9; acél,7; ólom,2; saját méréseik alapjá pedig: tömör gmi,8; fagolyó,3, illetve éháy labda tipiks ütközési együtthatója kôlap- Köszöjük Károlyi Györgyek a kézirattal kapcsolatos haszos észrevételeit, Páll Csabáak pedig a holapo található programok megírásába yújtott segítségét A mka az NK296 OTKA pályázat támogatásával készült 28 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4
N 2 besség e sebesség elletettjéek k-szorosa, így közvetleül az +-ik ütközés tá a függôleges sebesség x M k v 2 2 gmn () L N Ekkor a labda az origótól vízszites iráyba x + Δt távolságra, jobbra va N em más, mit az a szám, amely megadja, hogy ebbe a távolságba háyszor va meg az L lépcsôhossz Δt -t behelyettesítve, ábra Az L hosszúságú és M magasságú fokokkal redelkezô lépcsô pattogó labda pályája és jellemzô adatai: az -ik ütközés helye x, a visszapattaás tái függôleges sebesség, a vízszites álladó sebesség, és az -ik ütközés tá átgrott lépcsôfokok száma N ról visszapattava: pigpoglabda,8; focilabda,7; teiszlabda,7; felfújt gmilabda,4 Célk, hogy kapcsolatot találjk az -ik és az +-ik ütközés hely- és sebességadatai között Az egyszerûség kedvéért helyezzük koordiáta-redszerüket mide ütközéskor azo lépcsôfok a bal szélére, amelye az ütközés törtéik (Ez azt jeleti, hogy az ütközés x koordiátáját midig visszatoljk a (,L] itervallmba) Legye az -ik ütközés koordiátája x és a visszapattaás tái függôleges sebesség A labda viszszapattaás óta eltelt t idôvel kifejezett magassága a lépcsô felszíétôl mérve miközbe az origótól mért vízszites távolsága x y(t) t g 2 t 2, A következô ütközésig eltelt Δt idô meghatározá- sához célszerû feltei, hogy ismert, háy lépcsôfokkal lejjebb patta legközelebb a labda (Persze most még em tdjk ezt a számot, de késôbb láti fogjk, hogya határozható meg) Legye ez az N egész szám, amely fotos változó lesz a továbbiakba A repülési idô kiszámításához felhaszáljk, hogy a következô, +-ik ütközéskor a labda az y MN magasságba elhelyezkedô lépcsôvel találkozik, azaz x(t) x t amibôl A becsapódás Δ t g 2 Δ t 2 MN, Δ t függôleges sebességgel törtéik A visszapattaási sev g Δ t v 2 v 2 2 gmn g 2 gmn x 2 N x g v 2 2 gmn L (2) ahol a szögletes zárójel az egész részt jelöli Ha a (2) egyeletek több megoldása is lee, akkor közülük a legkisebb N -re va szükségük A keresett N kifejezhetô tehát az -ik ütközés adataival és a paraméterekkel A lépcsôfokra helyezett koordiáta-redszerbe az ütközés tái x + koordiáta a vízszites elmozdlás és az LN külöbsége, azaz Az () (3) redszer egyfajta mozgásegyeletet, leképezést alkot, megadja a következô ütközés x + helyés + sebesség-koordiáta értékét az elôzô x, ismeretébe, az N meyiség kiszámításáak közbeiktatásával 2, x x g v 2 2 gmn LN Dimeziótla alak (3) Érdemes felismeri, hogy a mozgásegyeletek írhatók egyszerûbb alakba is, olyaokba, amelyek em függek már példál külö-külö a lépcsô hosszától és magasságától, csak a meredekség abszolút értékéek m M /L értékétôl Ezt akkor kapjk, ha (3)-at L-lel osztva olya alakba redezzük át, amely a helyet a lépcsôhosszhoz viszoyítva adja meg, és ezzel egyidejûleg a sebességet is a kostas > vízszites sebességhez viszoyítva adjk meg, vagyis mideütt / -t szerepeltetjük: x L x L N 2 gl 2 gl mn 2 (4) Vegyük észre, hogy a leképezés segítségével a ferde hajítás parabolaívéek kiszámítása élkül, közvetleül kapjk meg a becsapódási adatokat 2 Mivel x + defiíció szerit és L közé esik, x + /L egész része lla, és L-lel való osztás tá (3) egész részét véve visszakapjk (2)-t Ez azt jeleti, hogy N megkapható úgy is, hogy (3)-ba addig írk egész számokat N helyébe, amíg L-él kisebb, de pozitív megoldást em találk x + -re 2 A FIZIKA TANÍTÁSA 29
Vegyük észre, hogy itt m -e kívül már csakis egy paraméter, a gl/ 2 kombiáció jeleik meg, amelyet ezetúl hosszparaméterek evezük és H -val jelölük Ha hasolóa elemezzük a másik két egyeletet, azokba sem találkozk újabb paraméterekkel Haszos ezért a v/ v, x/l x helyettesítéssel defiiált dimeziótla változókra, vagyis az egységébe mért v {függôleges} sebességre és a L egységébe mért x helykoordiátára áttérve felíri az egyeleteket Ebbe a jelölésbe k v 2 2 mhn, N x H v v 2 2 mhn, x x H v 2 2 mhn N Jól látjk, hogy a mozgás összese három adattól, a k, m M L, H Lg 2 (5) (6) (7) kombiációktól függ, vagyis a k ütközési együtthatótól, az m meredekségtôl és a H hosszparamétertôl (míg az eredeti () (3) alakba még 5 paraméter, k, M, L, és g szerepelt) Utóbbi külööse érdekes, azt mtatja meg, hogy az vízszites és függôleges kezdôsebességû (tehát 45 -os) ferde hajítás 2 /g féltávolsága háyszor fér rá a lépcsô L hosszára Szemléletese: miél kisebb H, aál apróbb lépcsôfokokat kell az vízszites sebességgel repülô labda íve alá képzeli A hosszparaméter megjeleése azt jeleti, hogy adott labdával, adott meredekségû lejtô a 4L hosszúságú lépcsôfokoko 2 vízszites sebességgel mozgó labda éppúgy mozog, mit az L méretû lépcsôfokoko sebességgel mozgó (és gyaúgy, mit a Holdo a 6L hosszúságú lépcsôfokoko sebességgel mozgó) A hosszparaméter tehát a lépcsô hosszát em geometriai, haem diamikai szempotból jellemzi, a mozgásra jellemzô adatokkal veti össze 3 Hosszú lépcsôfokokról a továbbiakba akkor beszélük, ha a H hosszparaméter elegedôe agy, potosabba (lásd feladat), ha H >2m feladat 4 Aak érdekébe, hogy a hosszparaméter jeletését más oldalról is megvilágítsk, mtassk meg, hogy egy lépcsôfok végpotjáról vízszites > sebességgel idított labda a lépcsôfok hosszáak x i -szereséél ütközik elôször az alatta lévôvel, ahol x i 2 m H 3 Szellemébe hasoló az áramlások Reyolds-számához, vagy még ikább Frode-féle számához 4 A feladatok részletes megoldásai a crlh/lepcso holapo megtalálhatók Adott m meredekségû lépcsô a lépcsôfokok akkor tekithetôk hosszúak, ha ez az aráy kisebb egyél, azaz H >2m Az épületekbe elôfordló lépcsôfokok körülbelül kétszer olya hosszúak mit magasak, ezért az m /2 meredekséget fogjk haszáli Az ütközési együtthatót széles tartomáyba változtatjk, és a jobb áttekithetôség kedvéért, a sebességhez képest hosszú lépcsôfokokat vizsgálk a H [2, 8] itervallmból 5 Alapesetek a H 4 választást vesszük, amikor H /2m 4, vagyis vízszitese idlva az elsô ütközés a lépcsôhossz feléél törtéik Egyszerû periodiks pattogás A em túl kis ütközési együtthatójú esetekbe, azaz ha a labda em kezd el csúszi valamelyik lépcsôfoko (részleteket a csúszásról lásd majd A csúszásba törtéô átmeet fejezetbe), akkor midig azt tapasztaljk, hogy elôbb-tóbb egy álladóslt mozgást felvéve pattog lefelé Eze mozgás alatt teljesül az, hogy az ütközések miatt elvesztett eergiát a gravitációs tér éppe kompezálja, a mozgás függôleges átlagsebessége álladó Az ütközési veszteség egyfajta disszipáció, amiek következtébe a redszer elfelejti kezdôállapotát A kezdôfeltételek széles osztályából tehát gyaaz az álladóslt mozgás alakl ki végül, vagyis egy bizoyos mozgásállapot felé vozódak a labdák, amit így attraktorak is evezhetük A 2 ábrá bemtatott mozgás körülbelül az ötödik pattaástól kezdve ismétlôdik Itt a legegyszerûbb attraktort, a periodiks grálás attraktorát ismerhetjük fel A b) betétábra mtatja, hogy az x,, N sorozatok magk is kostas értékhez, fixpotokhoz tartaak Aak érdekébe, hogy az érdeklôdô olvasók iteraktív módo is megismerkedhesseek a jeleséggel, a crlh/lepcso holapo elérhetôvé és kipróbálhatóvá tettük éháy programot, amelyek külöbözô paraméterekkel és kezdôfeltételekkel rajzolják ki a labda mozgását a lépcsô 6 A paraméterek megadása tá a Lépcsô evû program ábrázolja az m meredekségû lépcsôt, és a rajta elidított pattogó labda pályájáak a rajzterületbe esô részét A következô programok az egyes pályákra jellemzô x, és N értékeket mtatják függvéyébe, a Fázistér programok pedig az x, és N koordiáták által kifeszített térbe (az úgyevezett fázistérbe) ábrázolják a mozgást (kiválasztható, hogy melyik két 5 Az említett H tartomáy meghatározásáak em matematikai okai vaak, haem megítélésük szerit körülbelül eze paraméterek jellemzôk a valós lépcsôkö lepattogó em agy vízszites sebességû valós labdákra A szóba forgó paramétertartomáyo belül kvalitatíve azoos mozgásformákat találtk 6 Midegyik program JavaScriptbe íródott (a forráskód is elérhetô), tetszôleges bögészôvel fttatható (az adatbevitelél php részt tartalmaz) 3 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4
a), k N 9 2 _,9 5 _ 7,8 _ 3,7 _ 7 9,6 _ 3 5,5 b),,5 2,, 3, 2,, 2 3 4 5 6 7 8 9 2 ábra Pattogás k,6 ütközési együtthatóval (m,5, H 4) a) Az x,7, v 3 kezdôfeltétellel idított pálya (a folytoos görbe, az alsó lépcsôsoro a felsôrôl lelépô mozgások folytatódak) és b) a pattogások adataiak x,n, sorozata Midkettô ábrá a szaggatott görbe az attraktor pályája és a szaggatott vízszites voalak az attraktorhoz tartozó fixpotértékeket mtatják, amelyeket rövid traziesek tá elér a redszer Az ezzel az ütközési együtthatóval zajló pattogások kivétel élkül mid az egyszerû periodiks egylépcsôyi pattogás attraktorához tartaak, amelyre a (8), (9) szerit v,5 és N Azx függ a kezdôfeltételtôl, esetükbe x,592 koordiáta jeleje meg a síkba) A grafikooko ábrázolt értékek a Táblázat-ba meriksa is megtekithetôk A mozgásegyeletbôl következik, hogy a sebesség és a lépésszám fixpotértékei v 2m k k, N 2 m H k k x * N * v * (8) (9) 2 feladat Mtassk meg, hogy ezek az eredméyek következek az (5) (7) egyeletekbôl! Természetese a potos ismétlôdést feltételezzük, vagyis: x x + x, + v, N N + N 3 ábra A periodiks grásokhoz tartozó k N spektrm grafiks ábrázolása () alapjá m,5, H 4 eseté N övelésével a k N értékek egymást egyre sûrûbbe követve szigorúa mooto övekedek Külö megfotolást igéyel, hogy N defiíció szerit csak egész szám lehet Ezért úgy érdemes eljári, hogy N értékét úgy vesszük fel, mit az N egész számot, és keressük a megfelelô ütközési együtthatóértékeket A (9) egyeletbôl az következik, hogy csak az alábbi diszkrét k értékek jöhetek szóba: k N NH 2 m NH 2 m, N,2, () Ezt az ütközési együtthatók spektrmáak evezhetjük, hisze periodiks pattogás csak kivételes k értékekél törtéhet, hasolóa ahhoz, hogy a hidrogéatom eergiaszitjei is csak diszkrét értékek lehetek [4, 5] A H 4 választással példál az egy lépcsôt átgró periodiks megoldáshoz k 3/5,6, a két lépcsôt átgróhoz k 2 7/9,77 tartozik 7 Érdekes következméy: ahhoz, hogy N mit fixpot megvalóslhasso, teljesüli kell aak, hogy k >, azaz H >2m A legegyszerûbb egylépcsôyi periodiks pattogás tehát csak elegedôe hosszú lépcsôfokok eseté fordlhat elô Rövidebb lépcsôhossz eseté gyais az egy idô tá beálló pattogás sorá az attraktoro a labda midig átgrik éháy lépcsôfokot Ugyaakkor agy H eseté már az egyszeres pattogás is csak agy ütközési együtthatókkal valóslhat meg A 3 ábra alapesetük ütközésiegyüttható-spektrmát mtatja grafiksa 3 feladat A () összefüggés alapjá adjk meg, mekkora H paraméter mellett figyelhetük meg legalább N lépcsôyi grásokat mtató periodiks pattogást! 4 feladat Mekkora a függôleges sebesség fixpotértéke a spektrm N-ik szitjé? 7 Az ütközési paraméterek lehetséges értékei kizárólag az NH/2m aráytól függek, és a () kifejezésbôl látszik, hogy miél hosszabb a lépcsôfok, miél agyobb az NH/2m, aál agyobb k N eseté td csak megvalósli az N lépcsôyi periodiks pattogás (lásd még az 5 feladatot) A FIZIKA TANÍTÁSA 3
5 feladat A 3 ábráról látszik, hogy a spektrm agy N értékekre (a hidrogéatom spektrmához hasolóa) besûrûsödik, miközbe a k értékek közelíteek -hez Mtassk meg, hogy ebbe a tartomáyba jó közelítéssel k N 4 m, N >> () H N A 2 ábráál a k,6 eset kapcsá már említett azo tlajdoság, hogy x em egyértelmû (tehát függ a kezdôfeltételtôl), mide k N értékre igaz Eek oka rögtö világossá válik, ha ismét a 2 ábra a) képére tekitük, és észrevesszük: az attraktorhoz tartozó mozgás fotos jellemzôje em más, mit a hosszú idô tái pattogások parabolaívei Egy adott parabolaívhez pedig meghatározott N és v érték (N és v ) tartozik, ellebe x már külöbözô lehet 8 Kettes ciklsok Álladóslt mozgáskét elôfordlhat az is, hogy a pattogás csak mide második ütközés tá ismétlôdik Ez azt jeleti hogy az elsô és a második ütközés között N lépcsôt, a következô ütközésig K lépcsôt (N, K pozitív egész számok) repül át a labda, és aztá szigorúa ez ismétlôdik A 4 ábra mtat egy ilye kettes cikls attraktort (szaggatott görbe), és azt is, hogy az adott kezdôfeltételbôl hogya jtk el ehhez Érdekes, hogy az ilye kettes ciklsok is csak kivételes, az N és K számok által meghatározott k értékekél következhetek be Az eze a számokhoz tartozó k N, K ütközési együttható egyértelmûe meghatározható Közülük a legkisebb a k, 2 érték alapesetükbe (lásd 4 ábra): k, 2,75, amely a két legegyszerûbb periodiks pattogás k és k 2 ütközési együtthatója közé esik 6 feladat Vezessük le a k N, K ütközésiegyüttható-spektrmot meghatározó sajátérték-egyeletet! 4 ábra Pattogás k k,2,75 ütközési együttható eseté A kezdôfeltételek és az egyéb paraméterek gyaazok, mit a 2 ábrá Az ezzel az ütközési együtthatóval idított pattogások rövid traziesek tá kivétel élkül egy olya periodiks grálás attraktorához (szaggatott görbe) tartaak, ahol egy lépcsô tá kettô, majd ismét egy átgrása törtéik, azaz N ésk 2 jö létre (5 ábra) Az elevezés abból adódik, hogy a pattogás em potosa periodiks, csak ahhoz hasoló 5 ábra k,75 ütközési együtthatóval zajló mozgás attraktora a traziesek lecsegése tá (egyéb paraméterek megegyezek a 2 ábrá bemtatottal) (Az elsô 5 pattaás kivárását követôe 5 pattaás idejéig rajzoltk ki az pályaíveket) A pályaívek a 3 lépcsô elhagyása tá a lladik fölött újra és újra gyaabba a magasságba lépek be a képbe Bármely kezdôfeltételbôl is idítjk a mozgást, hosszú távo az ábrá látható kváziperiodiks mozgás jö létre Az ütközési együttható esetükbe k,2 < k < k 2, tehát az N,K 2 kettes cikls és az N 2 egyes cikls közé esik Eek megfelelôe a hosszú távú kváziperiodiks mozgásba egy, illetve két lépcsôfokot grik át egyszerre, méghozzá úgy, hogy átlagosa az tóbbi grásból va több A meriks vizsgálat szerit az átgrott lépcsôk számáak hosszú idôre vett átlaga N,747 Az attraktorra jellemzô sebesség-idô sor a következô ábra betétjébe látható Mozgás tetszôleges k értékekkel Tetszôleges ütközési együttható eseté, vagyis amikor k em az egyes vagy a kettes ciklsak megfelelô agyságú, haem valamilye köztes értékû, akkor hosszú távo midig kváziperiodiks mozgás 8 A pattogó labda gyais semmit sem vesz észre abból, ha attraktoríve alatt a lépcsôt jobbra-balra tologatjk, hisze továbbra is gyaakkora egymás tái magasságkülöbségekkel redelkezô vízszites felületeke fog pattogi A lépcsôvel más kapcsolata pedig ics Persze csak addig tologathatjk, ameddig az ív és a lépcsô geometriája azt megegedi Köye belátható, hogy periodiks attraktorokál a lépcsôfokok bal oldaláak egy része geometriai okokból holt terület lesz, viszot a femaradó rész összes x értéke már lehet x 32 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4
N _ 2 5 3,2 3, 2,8 5 5 2 meg A 6 ábra N(k ) sima, mooto övekedését mtatja a k ütközési paraméter függvéyébe Vegyük észre, hogy az N hosszúságú egyes ciklsok ütközési együtthatóiál N egybe az átlagos grásszám, N (k N )N Ha N >>, azaz -hez közeli k N ütközési együtthatók eseté az értékek besûrûsödek, és () megfordítása szerit N 4 m H k, 5 tehát -hez ige közeli ütközési együtthatók eseté az átlagos grásszám ( k ) -el aráyosa ô,6,65,7,75,8,85,9,95 k 6 ábra Az attraktorra jellemzô átlagos N grásszám k függvéyébe, meriks szimlálás alapjá a agy ütközési együttható (k k ) tartomáyba (m,5, H 4) Jól látható, hogy k övekedésével N mooto ô Az N hosszúságú egyes ciklsokhoz tartozó k N, N értékpárokat diszkrét potokkal jelöltük A szaggatott voal a agy k értékekre érvéyes N (2( k)) közelítô összefüggést illsztrálja (amely meglepôe jó közelítések bizoyl az egész tartomáyba) Az N, N + kettes ciklsokba természetese N (k N, N+ )[N +(N + )]/2 N + /2, és ezek is a görbére esô potokat adak, de a jobb áttekithetôség kedvéért ezeket em ábrázoltk A betét az 5 ábra, k,75 attraktorához tartozó sebességidô sort mtatja Jól látszik, hogy a mozgás égy lépésekét majdem ismétlôdik, de a potos ismétlôdést az idôkét bekövetkezô kitüremkedések megakadályozzák A léyeg megértéséhez idljk ki a k ütközési együtthatójú mozgásból Ilyekor hosszú távo egy egyszerû periodiks mozgás jö létre: a labda mide lépcsôfoko patta egyet, méghozzá gyaazo a helye, gyaazo sebességgel Ha k értékét kissé megöveljük, akkor a kisebb eergiaveszteség miatt a labda agyobbakat fog grai, és az N pattogások közé émi N 2 is fog vegyüli Ha tovább öveljük k értékét, akkor az N 2 grások száma mooto módo ôi fog az N -hez képest egésze addig, amíg végül csak N 2 marad Ezzel éppe k 2 -höz érkezük el Va egy köztes állapot (de em k és k 2 számtai közepe!), ahol N ésn 2 darabszáma megegyezik, ráadásl felváltva követik egymást Az ehhez tartozó ütközési együttható éppe k, 2 -ek felel meg A fetebb említettek, illetve meriks vizsgálatok alapjá az alábbi megállapítások tehetôk A kettes ciklsos attraktorok közül csak a K N+ típsúak valóslak meg, azaz em lehet a kettes cikls hoszszabb íve kettô vagy több egységgel hosszabb, mit a rövidebbé Hármas vagy hosszabb ciklsokat a agy ütközési együtthatók k k tartomáyába egyáltalá em találk Mide k N < k < k N+ ütközési együttható eseté (ahol N ) olya kváziperiodiks mozgás jö létre, amelyek alapperiódsai N és N + grásokból állak k övelésével ô az N + hosszúságú grások száma N-éhez képest Az egész folyamat jól jellemezhetô az attraktoro tapasztalható N számmal, amely megadja, hogy két ütközés között átlagosa háy lépcsôt grott át a labda Ezt rövide átlagos grásszámak evezzük, és meriksa határozzk Többszörös pattogások egyetle lépcsô A kis ütközési együtthatók tartomáyába, k < k -re új mozgásformák jelehetek meg A kettes ciklsok keresése sorá em egedtük meg, hogy N zérs lehesse Kis ütközési együtthatókál eek viszot már lehet értelme, és azt jeleti, hogy egyetle lépcsôfoko kétszer is patta a labda Az az eset, amikor a kettes cikls úgy valósl meg, hogy a labda átgrik a következô lépcsôfokra, azo patta még egyet és a mozgás iét ismétlôdik (7 ábra), aál az ütközési együtthatóál tapasztalható, amelyet az N,K vagy N,K idexek jellemezek Ez a k, k, ütközési együttható alapesetükbe k,,45-ek bizoyl, jóval k alatti érték Mivel itt két lépés tá kerül a labda egy lépcsôfokkal odébb, az átlagos grásszám /2: N(k, ),5 7 feladat Vezessük le a k, -t meghatározó egyeletet tetszôleges paraméterek eseté! Eél kisebb ütközési együtthatókra az is megtörtéhet, hogy egyetle lépcsô háromszor vagy többször patta a labda, majd táa grik le a szomszédos lépcsôre, ahol midez ismétlôdik Ha j pattaás törtéik egy lépcsô (ahol j tetszôleges természetes szám), és a labda táa lép át a szomszédosra, akkor a mozgás j + ütközés tá ismétlôdô j +-es cikls 7 ábra Kétszeres pattogás egyetle lejtô A k,,45 ütközési együtthatóval törtéô mozgás pályája a traziesek lecsegése tá (egyéb paraméterek megegyezek a 2 ábrá bemtatottal) Tetszôleges kezdôfeltétellel idított pattogások egy olya periodiks attraktorhoz, kettes ciklshoz tartaak, ahol átgrás elôtt mide lépcsôfoko kettôt patta a labda A FIZIKA TANÍTÁSA 33
Az átlagos lépésszám itt /(j +) Az ehhez tartozó (övekvô j -vel egyre csökkeô értékû) ütközési együtthatók a fetiekhez hasolóa meghatározhatók (lásd a feladatot) A csúszásba törtéô átmeet Elegedôe kis ütközési együttható, azaz agy pattogási eergiaveszteség eseté elôfordlhat, hogy a labdát egyetle lépcsôfoko belüli végtele sok pattaás tá is még gyaazo a lépcsôfoko találjk Végtele sok ütközés tá a labda már em emelkedik a lépcsô síkja fölé, és mivel a vízszites iráyú sebessége álladó, ezért az ilye mozgást a valós idôbe csúszáskét értelmezzük Eek kapcsá észre kell veük, hogy a pattogásokra alapló (5) (7) leképezési egyeletek kiegészítésre szorlak a valódi idôbe törtéô csúszással (Ha az (5) (7) leképezési egyeletekkel haladk elôre, akkor a labda végtele sok pattaás tá megálli látszik A valós és az -be mért iterációs idô ilyekor teljese szétválik, az elôbbi az tóbbiba gyakorlatilag megáll) A részletek attól függek, hogy mit tdk a felület érdességérôl Ezt azoba em szükséges kokretizálk, hisze akár va súrlódás, akár ics, a csúszás újfajta mozgás, egy sajátos attraktor, amelybôl lépcsôket átívelô grások már sohasem alaklhatak ki Ha egyetle lépcsô végtele sok grás törtéhet, akkor az iterálás szimlálásával leállhatk, modvá, hogy a labda a csúszási attraktorra érkezett Ha egy adott lépcsôfokra érkezés tái elpattaás függôleges sebessége v i, akkor a teljes elmozdlás a lépcsô törtéô végtele sok pattogás tá Δ x 2 v i H k (2) 8 feladat Vezessük le a (2) összefüggést! Útmtatás: haszáljk a mértai sor összegképletét, érdemes dimeziósa számoli és az tolsó lépésbe áttéri dimeziótla meyiségekre Ameyibe a labda az x i helye érkezik meg az elôzô lépcsôfokról az általk megfigyelt lépcsôfokra, akkor aak feltétele, hogy csúszás alakljo ki, az hogy végtele sok pattaás tá is még a lépcsôfok egységyi koordiátájú végpotja elôtt legye, vagyis x i +Δx < A (2) összefüggést behelyettesítve és átredezve v i < H 2 ( k) x i (3) Az egyelôtleség teljesülése egy adott k értékre azo múlik, hogy hova esik be a labda az adott lépcsôfoko, azaz mekkora az x i idlási koordiáta, és mekkora ott az elpattaás v i idlási sebessége Szimláláskba akkor modjk, hogy egy mozgás 8 ábra A kritiks k c értékhez tartozó attraktor: a lépcsô legvégérôl v sebességgel elpattaó labda végtele pattogás tá éppehogy kijt a következô lépcsôfok végére, ahoa ismét v sebességgel patta tovább Itt k c /3 (H 4,m,5) (Mivel az egymást követô kis pályaívek midegyike k-szor rövidebb és k 2 -szer alacsoyabb (azaz egyre laposabb), mit a megelôzô, ezért a lépcsôfok végé már csak egy vízszites voalat látk) elérte a csúszási attraktort, ha valamelyik lépcsôfokra érkezve az ottai x i és v i között feáll a (3) egyelôtleség 9 Az a kritiks k c ütközési paraméterérték, amelyél már bármely kezdôfeltételbôl idló mozgás émi trazies tá átmegy csúszásba, a meriks tapasztalat szerit a következôkbôl határozható meg Mivel a vízszites sebességkompoes mide ütközésbe megmarad, az elôzô lépcsôfok végé egységyi (dimeziótla) vízszites sebességgel haladó labda ferde hajítási íve olya x i helye érje a következô lépcsôre, hogy azzal és a hozzá tartozó v i ütközés tái függôleges sebességgel végtele sok pattogás tá éppe a lépcsô szélére kerüljö (8 ábra), vagyis (3) egyelôségkét teljesüljö Így azt kapjk, hogy 2 m H k c k c (4) 9 feladat Vezessük le a (4) összefüggést! Útmtatás: Most is érdemes dimeziósa számoli, és az tolsó lépésbe áttéri a dimeziótla meyiségekre A (4) egyeletet átredezve, az explicit eredméy: k c H 2 m H 2 m (5) A H 4 választással k c /3,33 Eél kisebb ütközési együtthatókra az is igaz, hogy bármilye kezdôfeltétel eseté csúszó mozgás alakl ki, a hosszú távú pattogó megoldások teljese eltûek 9 Ha az adott lépcsôfokra érkezô labda pattaásakor a csúszási feltétel (3) egyelôtlesége teljesül, akkor szité teljesül a lépsôfoko végbemeô további (végtele számú) pattaások midegyiké is 34 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4
N _,,8,6,4,2,8,6,4,2 5 5 2 x k c k 2 k,8,6,4,2 v 5 5 2,,2,3,4,5,6 k 9 ábra Az attraktorra jellemzô átlagos N grásszám k függvéyébe, meriks szimlálás alapjá a kis ütközési együttható (k k ) tartomáyba (m /2, H 4) A vízszites szaggatott voalak az N /2, /3, / értékekek felelek meg, a fekete potok pedig a k j ütközési együtthatóhoz tartozó j + periódsú attraktor adatait jelölik Függôleges szaggatott voallal a k helyét is bejelöltük A potozott görbe az N(k) függvéy k c köryéké érvéyes alakját adja meg A két egymás alatt lévô betét a kváziperiodiks attraktor idôsorát mtatja a k,35 (amely kissé balra esik a k 2,353 pottól) és a k,337 ütközési együtthatókál Elôbbi mellett a hozzá tartozó pattogási és a csúszási attraktorok vozási tartomáyai láthatók A betétekhez tartozó N,298 és N,94 értékeket yíllal jelöltük Mozgás kis k értékekkel Az egyes periódsú attraktorhoz tartozó k érték alatt lefelé haladva továbbra is igaz, hogy egyetle attraktor létezik, vagyis akármilye kezdeti feltétellel idlk, egy idô tá mide mozgás egyforma jellegûvé válik Az attraktor redszerit kváziperiodiks, és a meriksa meghatározott átlagos N grásszám csökke a k csökketésével (lásd 9 ábra) Létezik egy k érték, amely alatt ez a tlajdoság megszûik abba az értelembe, hogy a hossza tartó pattogás mellett megjeleik a csúszás lehetôsége: a pattogás kváziperiodiks attraktora és a hossza tartó csúszás együtt létezik Ez az érték alapesetükbe meriksa k,382 Abba az esetbe, ha em létezik folyamatosa lépcsôfokról-lépcsôfokra pattaó mozgás (mert midegyik kezdôfeltételél hosszú távo elôbb-tóbb csúszás törtéik), akkor N függvéy értéket lláak vesszük, hisze ez a függvéy azt adja meg, hogy háy lépcsôyi az elmozdlás két ütközés között, de ebbe az esetbe az elmozdlás még végtele sok ütközés tá sics egy lépcsôyi sem Együtt létezô attraktorok, tehát k < k eseté felmerül, hogy milye a vozási tartomáyk Ez úgy határozható meg, hogy a kezdôfeltételek x, v síkjá más szíel jelöljük azokat a potokat, amelyek az egyik vagy másik attraktorhoz tartaak A 9 ábra csíkos betétábrája a pattogó mozgás és a csúszás vozási tartomáyát mtatja alapesetük k,35 értékéél fehér, illetve fekete szíel ábrázolva A szürke háromszög a (3) egyelôtleségek megfelelô tartomáy, az ilye kezdôfeltétellel idló mozgások rögtö csúszási mozgások feladat Becsüljük meg k értékét azo az alapo, hogy k alatt em csak a kezdôfeltételek, haem a pattogási attraktor tipiks értékei mellett is feállhat a (3) egyelôtleség, vagyis a mozgás beléphet a szürke háromszögbe! Útmtatás: haszáljk ki, hogy a tapasztalat szerit a (8) kifejezés mide pattogó mozgásra jó közelítést ad az attraktor átlagos v sebességére, tehát az vehetô v i -ek, és hogy az x i helykoordiáta tipiks értéke /2-ek tekithetô A k -ál kisebb ütközési paraméterek eseté a llától külöbözô N értékeket a pattogó mozgások attraktorára határoztk meg Az átlagos grásszám változó, de összességébe elmodható, hogy tedeciájába csökkeô k csökkeésével Meglepô módo azoba még jóval k c elérése elôtt, rövid itervallmokba teljese eltûek a hosszú távo pattogó mozgások lehetôségei, vagyis a pattogó mozgás attraktora ilyekor em létezik Egy ilye itervallmo belül azoba, ha tovább csökketjük k-t, akkor az itervallm végéhez érve, hirtele újra megjeleik a pattogó mozgás, méghozzá N egy lokális csúcsával Ezek az N értékek egész számok reciprokai, s az álladóslt pattogás ezekbe a kivételes potokba periodiks: egy N -es lépés tá j alkalommal patta a labda gyaazo a lépcsô, vagyis N valósl meg j-szer egymás tá Az eek megfelelô ütközési paramétert k j -vel jelöljük Ilyekor az átlagos grásszám természetese N(k j ) j A legagyobb ilye itervallm k 2,3527 és k,3555 között létezik, és k c -felé haladva a többi hasoló egyre kisebb hosszal ismétlôdik A 9 ábrá ez a halmozódás is megfigyelhetô Fotos megjegyezi, hogy a 6 ábrá meriksa mért N grásszámál, mivel egy k értékhez egy attraktor (egyfajta hosszútávú mozgás) tartozott, tetszôleges kezdôfeltétel mellett mérhettük Esetükbe azoba már meg kell válogati a kezdôfeltételt, méghozzá úgy, hogy továbbra is pattogó mozgáso mérjük átlagot (azo belül persze már midegy melyike, mert csak egyféle va egy adott k mellett most is) A FIZIKA TANÍTÁSA 35
feladat Határozzk meg a k j ütközési együttható értékeket, felhaszálva azt, hogy a periodiks mozgás N idôsora ilyekor választható úgy, hogy N N N j,n j+, majd ez ismétlôdik Útmtatás: haszáljk az (5) (7) rekrziókat, amelyek N -ra külööse egyszerûek 2 feladat Határozzk meg az N(k ) függvéy k c köryéké érvéyes alakját a k j értékek k c körüli, azaz agy j-kre törtéô halmozódása alapjá! A k < k c tartomáyba csakis a csúszási attraktor létezik Allról érve k c -hez azoba hirtele jeleek meg a pattogó mozgások, méghozzá úgy, hogy az N(k ) görbe, illetve a közelítô görbe agyo meredeke idl A pattogó mozgás elôbkkaása k c -él tehát a fázisátalaklásokra emlékeztetô átbilleéssel jeleik meg, amit a diamikaredszerek yelvé bifrkációak evezük Összefoglalás Vizsgálatk célja, hogy megtdjk, a labda lépcsô lefelé pattogása, illetve aak legegyszerûbb modellje szeriti mozgás kaotiks-e Összetett viselkedésre érdekes módo a kis k, vagyis a agy disszipációs veszteség tartomáyába bkkatk Az (5) (7) diamika yilvá emlieáris, erre tal a k c -él megfigyelt bifrkáció is, meg az együtt létezô attraktorok megjeleése A vozási határok azoba szemmel láthatóa simák (lásd a 9 ábra betétje), a káoszra fraktálszerkezet lee jellemzô Maga az N(k) függvéy k < k -re éhol em sima és grásokat is mtat Megvizsgáltk azoba azt is, hogy a közeli kezdôfeltételekbôl idló és hossza pattogó mozgást végzô mozgáspárok koordiáta-külöbségei hogya változak idôbe A káoszra jellemzô gyors széttartás helyett mideütt közeledést találtk Így levohatjk azt a következtetést, hogy ebbe a modellbe a mozgás em kaotiks Ugyaakkor a jeleség összetettségére tal, hogy számos meyiségre (elemi módszerekkel) em találtk képlettel leírható összefüggéseket, így példál az N átlagos grásszámfüggvéyre, amelyet csak meriksa tdtk meghatározi Ez az összetettség tlajdoképpe elôrevetíti, hogy a mozgás már kis módosítás eseté is kaotikssá válhat Ha a lépcsôk éles sarka helyett lekerekített átmeeteket veék, a körívek jeleléte a problémát szóró biliárddá teé, és abba eléggé agy görbületi sgarak eseté már kiterjedt, roboszts káoszt várhatk Irodalom A Jaros, A Nssbamer, H Kze: Basiswisse Physik-compact Öbvhpt, Wie, 999 2 Tél T, Griz M: Kaotiks Diamika Nemzeti Taköyvkiadó, Bdapest, 22 3 Bdó Á: Kísérleti fizika I Taköyvkiadó, Bdapest, 989 4 Nagy K: Kvatmmechaika Taköyvkiadó, Bdapest, 978 5 Néda Z, Libál A, Kovács K: Elemi Kvatmmechaika Kolozsvári Egyetemi Nyomda, 26 36 FIZIKAI SZEMLE 26 / 4