A tébeli hasonlósági tanszfomáció, különösen a tébeli tájékozás az egyik legfontosabb és legkitikusabb feladat a geodéziában, fotogammatiában, navigációban, lézeszkenne és LiDAR méések feldolgozásában, obotka manipulálásában, anibációban és számos más teületen. A tébeli adatokhoz helymeghatáozó adatok kapcsolódnak, amelyeket koodinátákkal adunk meg. A koodináta endsze alapja egy geodéziai dátum, amely meghatáozza a Föld méetét és alakját, a koodináta endsze kezdőpontját és tájékozását. A Föld téképezéséhez használjuk az előzőekben definiált koodináta endszet. A geodéziai dátumok sokasága létezik, hiszen minden oszág különböző, saját dátumot alkalmaz. Példaként említhetjük Magyaoszágot, ahol geodéziai dátumtanszfomációt használunk az EOV és GK endszeben adott alaphálózati pontok koodinátáinak WGS84 endszebe töténő tanszfomálásához.
A hasonlósági tanszfomáció esetén a méetaány minden iányban azonos étékű. A hétpaamétees hasonlósági tanszfomációt eltejedten alkalmazzák dátumtanszfomációhoz, egyszeűsége, hatékonysága, egyedisége és szabatossága miatt. A tanszfomáció háom eltolás, egy méetaány és háom fogatási paaméte meghatáozásából áll. Következésképpen a koodináták az egyik koodináta endszeből egy másik koodináta endszebe tanszfomálhatók - a koodinátaendsze kezdőpontjának eltolásával, - elfogatások alkalmazásával és - a méetaány megváltoztatásával.
A gyakolatban a hét tanszfomációs paaméte nem minden esetben ismet. Azonban, ha a közös pontok koodinátái mindkét koodináta endszeben adottak, a tanszfomációs paaméteek az előbbiek szeint meghatáozhatók. Háom közös pont elegendő a tanszfomációs paaméteek meghatáozásához. Néhány népszeű hétpaamétees hasonlósági tanszfomációs modell használatos a gyakolatban, mint a Busa-Wolf, vagy ismetebb nevén a Helmet-féle tanszfomáció, amellyel jelen előadás tágya, vagy a Molodensky-Badekas. A hasonlósági tanszfomációs modellt gyakan egyszeűsítik, lineaizálják a paaméteek könnyebb kiszámítása céljából. A létező hétpaamétees modellek megoldása a hagyományos algoitmusok felhasználásával a fogásszögek maghatáozásán alapul. Újabban a fogásszögeket kvateniókkal helyettesítik, az új modell kettős kvatenión alapul.
Az előadásban ismetejük a kettős kvatenió alkalmazását a geodéziai dátumtanszfomációhoz, a Busa-Wolf hétpaamétees hasonlósági tanszfomációs modellben.
Si William Rowan Hamilton (1805-1865) 1843-ban fedezte fel a kvateniókat egy 3D vekto ábázolásáa. A kvatenió nagyon alkalmas a fogatás egységsugaú gömbön töténő leíásáa.
A Q kvatenió komplex számként a következőképpen definiálható ahol Q q0 + q1i + q j + q3k q0 + q i j k 1, ij ji k, jk kj i, ki ik és a képzetes ész q q 1i + q j + q3k j egy 3D vektot jelöl.
A Q kvatenió oszlopvekto fomában is kifejezhető az (1 i j k) egységvektook felhasználásával ( ) ( ) q q q q q q Q 0 1 3 0 ahol q ( ) q 1 q q 3 egy 3D vektot és a tanszponálást jelöli.
Si William Rowan Hamilton Boome híd Dublin Íoszág
Si William Rowan Hamilton
Miután Hon sikeesen alkalmazta a kvateniót - 144 évvel annak felfedezése után - a tébeli tájékozáshoz Hon (1987), a fogatási mátix tömö leíása továbbá az eljáás hatékonysága a módszet a figyelem középpontjába állította. Jelenleg a kvateniókat sikeesen alkalmazzák a szilád test mozgásának elemzéséhez Josepf at al (003), Kim at al. (004) és geodéziai dátumtansz-fomációhoz Yang (1999), Shen at al. (006), Zeng at al (01). Ám, ha a tében egységkvateniót használunk a fogatás leíásához, hét tanszfomációs paamétet kell kiszámítanunk, előszö a fogatásokat majd a méetaányt és végül az eltolásokat.
Walke bevezette a kettős kvateniókat a hasonlósági tanszfomáció megoldásához. Egyetlen képlet alkalmazásával a kettős kvatenió valós és kettős észének felhasználásával kifejezhető a fogatás és az eltolás, lehetővé téve a hat paaméte egyidejű számítását, azaz a háom fogás szögét és a háom eltolási paamétet Walke at al (1991). Hasonló megoldást mutatott be Daniilidis (1999). Azonban sem Walke at al. (1991) sem Daniilidis (1999) sem Vanicek at al. (00) nem vette figyelembe a méetaányt a tanszfomáció soán.
Willian Kingdom Cliffod (1845-1879) tovább fejlesztette a kvateniót, a tizenkilencedik században felfedezte a kettős kvateniót és alkalmazta meev test tanszfomációjához Cliffod (1873, 188). Nagyon közeli kapcsolat van a kettős kvatenió és a klasszikus tébeli kinematikában használatos ún. Chasles elmélet között Chasles (1830), Muay at al (1994).
Willian Kingdom Cliffod
A Chasles elmélet szeint bámely meev test tanszfomációja leíható csavamozgásként, azaz egy tengely köüli fogatással és a tengely iányú eltolással. ehát a kettős kvatenió megfelelő az elfogatás és az eltolás leíásáa. Következésképpen a létező megoldások két csopotba soolhatók, nevezetesen iteációs módszeek és zát képletek alkalmazása. Iteációs módsze általában fogatási mátixot használ meev test tanszfomációjához, a kezdő étékek közelítő ismeete szükséges a lineaizáláshoz, amely gyakan hibát eedményez a számítások soán. Ezzel szemben a zát képletek alkalmazása esetén szükségtelen a kezdeti étékek közelítő ismeete, ezét ez a módsze napjainkban az édeklődés középpontjába keült. Legfontosabb előnye a zát képletek alkalmazásán alapuló módszenek, hogy a lehető legjobb tanszfomációt biztosítja egy lépésben.
A kettős kvatenió tulajdonképpen a kvatenió matematika és a kettős számelmélet összeláncolása (concatenation). Amíg egy kvatenió négy skalá étékből áll, egy kettős kvatenió nyolc skalá étékből áll. Kettős kvatnió nyolc valós számból álló összetett adatszekezetként vagy két közönséges kvatenió szozataként ételmezhető. Kettős kvateniók, kvateniókból és kettős számokból állnak az alábbiak szeint q + εs az és s mindkettő valódi kvatenió, ezeket valós és kettős észnek nevezzük, ε a kettős művelet jele (dual opeato) (1)
A kettős kvatenió a valódi kvateniókhoz hasonlóan ételmezhető θ cos q θ sin n ahol az kettős vekto egy tébeli 3D egyenest jelöl amely köül a koodináta endsze elfogatása, illetve amely iányába eltolása keül, a θ az elfogatás és eltolás kettős szögét jelöli. Az n kettős vekto az elfogatás és eltolás θ kettős szöge az alábbiak szeint adható meg: n n n n + εp θ θ + n εd ahol egy olyan egységvekto, amely meghatáozza a fogatás tengelyét és az eltolás iányát () (3) (4)
Az egyenes θ szöggel keül elfogatása a P ponton átmenő vekto iányában és d távolsága keül eltolása az vekto által meghatáozott iányban. Összehasonlítva az egység kvateniót a kettős kvatenióval, ugyanaz a tanszfomáció hajtható vége, előszö eltolva az eedeti koodináta endszet d távolsága az n vekto iányában majd elfogatva azt θ szöggel. Elfogatás és eltolás kettős kvatenióval [Wang at al.,014, Fig. 1.]
A (3) és (4) egyenletet behelyettesítve a () egyenletbe az alábbi egyenleteket kapjuk (5) (6) n sin cos θ θ ( ) + n p n s sin θ θ θ cos d sin d
Az egység kvatenióhoz hasonlóan definiálható az egység kettős kvatenió. Következésképpen bámely kettős kvatenió megszoozva egység kettős kvatenióval, annak étéke változatlan maad. Egység kettős kvatenió meghatáozásako az első skalá étéke 1 a többi hét skalá étéke 0. q [ 1 0 0 0][ 0 0 0 0] Fogatás és eltolás étékekből egység kettős kvatenió az (1) egyenlet alapján a következők szeint definiálható: q s + εs 1 t (7) (8)
Az a fogatást leíó egység kvatenió és t az eltolást leíó kvatenió, melynek elemei (9) ahol n a fogatás tengelye, θ a fogatás szöge és jelöli az eltolás koodinátatengely iányú étékeit. A fogatás és eltolás kettős kvatenióval a (7), (8) és (9) egyenletek alapján: (10) [ ] z y x z y x t t t s n n n sin sin sin cos 0 θ θ θ θ sin sin sin cos z y x z y x t t t n n n q 0 θ θ θ θ z y x t t t,,
A kettős kvatenió az eddig elmondottak alapján nyolc elemből áll, azonban egy 3D objektum tanszfomálásához hat független változó szükséges, következésképpen a kettős kvatenió nyolc eleméből kettő nem független. Amint az a (11) és (1) egyenletekből látható, a kettős kvatenió elemeinek az alábbi két kényszet kell kielégíteniük: s 1 0 (11) (1) Megjegyezzük, hogy a kettős kvateniók az eltolásvekto felével dolgoznak, hasonlóan a klasszikus kvateniókhoz, amelyek a fogászög felével dolgoznak.
Kettős kavatenió alkalmazásával a Busa-Wolf hasonlósági tanszfomációs modell a következők szeint íható fel (13) ahol a közös pontokat leíó helymeghatáozó kvateniók (14) a két különböző endszeben adott közös pontok 3D koodinátáit tatalmazzák, az egész szám a közös pontok száma, jelöli a háom eltolás paamétet, µ a méetaány tényező és az R a fogatási mátix. i i i i i i i i Z Y X 0 1 0 1, Z Y X 0 1 0 1 b b a a i i ( ) 3 N N Z Y X ) t t (t t ( ) + N 1 i a i t Rb R,t, F - i µ µ
Az (5) és (9) egyenlet alapján a kettős kvatenió valós észe a teljes fogatás eljáását megadja, amelyhez tatozó fogatási mátix az alábbiak szeint íható fel R 0 ( ) ( ( )) I + + K (15) [ ahol az 0, ] [ 0,1,,3 ] a fogatást leíó kvatenió, I egy 3x3 egységmátix és a 3x3 fedén szimmetikus mátix a következő alakú ( ) K 0 K ( ) 0 3 0 3 1 0 1 (16)
(15) egyenletben szeeplő R fogatási mátix felíható a kettős kvatenió elemeivel (17) ahol a (18) ( ) ( ) Q W R 0 0 1 ( ) ( ) K W I 0 0 és ( ) ( ) + I 0 0 K Q
t Az eltolás vektoa úgyszintén kifejezhető kettős kvatenióval t W ( ) s (19) ahol t 1 [ ] 0 t (0) Az eddigiek alapján a dátumtanszfomáció kettős kvatenióval töténő megoldása a következő fomában adható meg a i W ( ) ( ) s + µ W Q( ) b i (1)
A (13) egyenlet úja felíható az és s kvateniók kvadatikus függvényként. A észletes levezetés megtalható Wang at al. (014) munkájában. () ahol a C1, C, C3 mátixok továbbá a C4, C5 konstans étékei a következő egyenletekből számíthatók: (3) 5 4 3 1 N C C C s C s s s C F + + + + + µ µ µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N 1 i i 5 N 1 i i 4 N 1 i i 3 N 1 i i i N 1 i i 1 i i b b C a a C Q a C W b C W b Q a C
A kényszeeket tatalmazó (11) és (1) egyenletek felhasználásával a legjobb kettős kvatenió amely megadja a fogatást a következő hiba függvény minimalizálásával számítható F R C Ns s s C s C ( ) ( 1 λ ) s i µ 1 + + µ + 3 + µ 4 + 5 + λ1 + C C (4) amely függvényben a λ1 és λ jelöli a Lagange multiplikáto konstansokat. A észletes levezetés elhagyásával a következő egyenleteket kapjuk Wang at al. (014). Az s kettős kvatenió az függvényében az alábbiak szeint számítható: 1 N ( C + C ) s µ 3 (5)
A µ méetaány szintén meghatáozható az és s függvényeként (6) Az kvatenió az alábbi A mátix maximális sajátétékéhez taozó sajátvektoaként számítható (7) 4 3 1 N 1 N 1 C C C C C C + µ ( ) 1 1 3 N 1 C C C C A +
A kettős kvatenió alkalmazásán alapuló dátum tanszfomációs algoitmus megoldása végezetül az alábbiak szeint foglalható össze 1) Input adatok a mindkét endszeben adott közös pontok ai és bi koodinátái ) A súlyponta vonatkozó koodináták számítása (8) egyenlet, ahol Δ a, Δ i a i a 0 bi bi b 0 (8) a 0 1 n 1 n n n a b0 i 1 i, i 1bi
3) Az A mátix számítása a C1, C és C3 mátixok valamint a C4 és C5 konstansok felhasználásával (3) egyenlet. Ezek után számítjuk az A mátix maximális sajátétékét, és a hozzá tatozó sajátvektot. Eedményként az fogatást leíó egység kvateniót kapjuk. 4) Ezután a µ méetaány (6) egyenlet és az s eltolást leíó kvatenió (5) egyenlet számítása következik 5) Végül az R fogatási mátixot (15) vagy (17) egyenlet, a fogásszögeket (9) egyenlet, és a t eltolás paamétet számítjuk (19) egyenlet
A fogásszögek, az R fogatási mátix elemeiből számíthatók R 11 1 31 1 3 13 3 33, α X actg 3 33, β Y ac sin 1 ( ) 13, γz actg 11 ahol α, β és γ az X, Y és Z tengelyek köüli fogásszögeket jelölik. (9) Mivel súlyponti koodináta endszeben végezzük a számításokat az súlypont koodináták felhasználásával a t eltolás paaméte étékét a (30) egyenlet alapján is kiszámíthatjuk. a t + µ R 0 b 0 (30) t a µ R 0 b 0 (31)
Behelyettesítve a (19) egyenletbe a (31) egyenletet, endezés után az s kvatenió a (5) egyenlet helyett egyszeűbben is számítható t W [ ] ( ) s s t W ( ) 1 (3)
Abból a célból, hogy bemutassuk a (15), (17), (19), (3), (5) és (6) összefüggések évényességét megismételtük Gafaend és Avange (003) továbbá Wang at al. (014) számításait. Az eedmények teljes egyezést mutatnak úgy a tanszfomációs paaméteek mind pedig, a tanszfomált koodináták és maadék ellentmondások tekintetében.
A ébeli Helmet tanszfomáció kettős kvatenióval töténő megoldásáa J nyelvű pogamot készítettük, amely Windows 3 és 64 bites platfomon egyaánt futtatható. NB. NB. ébeli HELMER tanszfomáció kettős kvatenióval J nyelven NB. (J60a) és (J804) NB. Busa-Wolf hasonlósági tanszfomáció NB. Fájlból töténő átszámítás NB. Ismet tanszfomációs paaméteek: p NB. anszfomációs paaméteek közös pontok alapján: FKJ tp CKJ NB. Új pontok tanszfomálása : H KJ NB. Home Page: www.jsoftwae.com
Gafaend és Avange (003) KOORDINÁA JEGYZÉK Solitude 4157.543 664789.307 477495.099 4157870.37 664818.678 4775416.54 Bouch Zeil 4149043.336 688836.443 477863.188 4149691.049 688865.785 4779096.588 Hohenneuffen 417803.511 690340.078 475819.701 4173451.354 690369.375 4758594.075 Kuehlenbeg 4177148.376 64997.635 4760764.800 4177796.064 64306.700 47618.899 Ex Megelaec 413701.190 671808.09 479118.15 4137659.549 671837.337 479159.531 Ex Hof Aspeg 41469.79 66695.887 4783859.856 4146940.8 66698.151 478434.099 Ex Kaisesbach 4138759.90 70670.738 478555.196 4139407.506 70700.7 4786016.645 n 7 közös pont
A mátix 484000081.6107607 6797.360778054774 _4449.10450409068 _1136.7775778474 6797.360778054774 _1830759441.9190657 _1718881883.868588 _336633587.9495964 _4449.10450409068 _1718881883.868588 _51690149.170300066 85686706.8436614 _1136.7775778474 _336633587.9495964 85686706.8436614 _9575511.513947 sajátétékek, baloldali és jobboldali sajátvektook _0.9999999999918676 3.916447306007131e_6 _8.99746493568677e_7 _4.7891704079319941e_7 _.40431871007e_6 _0.58473541340706447 0.491300199988317 _0.645583144984594.1663738401594803e_6 0.7030735886896 0.70387664657394755 _0.1010884594855.4073178334356714e_6 0.404688148915416 _0.51307966314709841 _0.7569585085765 484000081.6641178 18531481.741518 _1853155553.837615 _4839987541.118796 _0.9999999999918676 3.91644730508904e_6 _8.9974649356483e_7 _4.78917040793503e_7 _.4043187148934e_6 _0.58473541340706459 0.49130019998895 _0.645583144984583.166373840155687e_6 0.70307358868937 0.70387664657394744 _0.101088459485468.4073178334679565e_6 0.404688148915405 _0.51307966314709885 _0.756958508581 maximális sajátéték 484000081.6641178
kvatenió a maximális sajátétékhez tatozó sajátvekto _0.9999999999918676 _.40431871007e_6.1663738401594803e_6.4073178334356714e_6 R fogatási mátix 0.9999999999790367 4.81465179711414e_6 _4.337593337811685e_6 _4.814646153955703e_6 0.99999999997669309 _4.8408533138640897e_6 4.337360678597e_6 4.8408741744656066e_6 0.9999999999788971 µ méetaány 1.000005585198519 t eltolás 641.880457344078 68.655345451901667 416.3981847809677
R fogatási mátix 0.9999999999790367 4.81465179711414e_6 _4.337593337811685e_6 _4.814646153955703e_6 0.99999999997669309 _4.8408533138640897e_6 4.337360678597e_6 4.8408741744656066e_6 0.9999999999788971 anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány 641.880457344078 0 0 _0.998497670868 1.000005585198519 68.65534545190167 0 0 0.893695764500 416.3981847809677 0 0 0.99308779859
MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Solitude 94 135 140 16 Bouch Zeil 59 _50 14 78 Hohenneuffen _40 _88 _8 97 Kuehlenbeg 0 87 9 Ex Megelaec _9 14 _5 93 Ex Hof Aspeg _1 7 _55 56 Ex Kaisesbach _9 4 30
anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány 641.880457344078 0 0 _0.998497670868 1.000005585198519 68.65534545190167 0 0 0.893695764500 416.3981847809677 0 0 0.99308779859 MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Solitude 94 135 140 16 Bouch Zeil 59 _50 14 78 Hohenneuffen _40 _88 _8 97 Kuehlenbeg 0 87 9 Ex Megelaec _9 14 _5 93 Ex Hof Aspeg _1 7 _55 56 Ex Kaisesbach _9 4 30 Súlyegység középhibája: m0 0.07733660859330686 q + Es kettős kvatenió s 0 _0.9999999999918676000 s0 _0.000014595950307916 1 _0.000004043187101 s1 _30.9398443488138000000 0.0000016637384015948 s _34.3639618885393400000 3 0.0000040731783343567 s3 _08.1998707558805000000
ébeli HELMER tanszfomáció kettős kvatenióval Közös pontok PSZ Foás endsze [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél endsze [X Y Z] KOORDINÁA JEGYZÉK Solitude 4157.543 664789.307 477495.099 4157870.37 664818.678 4775416.54 Bouch Zeil 4149043.336 688836.443 477863.188 4149691.049 688865.785 4779096.588 Hohenneuffen 417803.511 690340.078 475819.701 4173451.354 690369.375 4758594.075 Kuehlenbeg 4177148.376 64997.635 4760764.800 4177796.064 64306.700 47618.899 Ex Megelaec 413701.190 671808.09 479118.15 4137659.549 671837.337 479159.531 Ex Hof Aspeg 41469.79 66695.887 4783859.856 4146940.8 66698.151 478434.099 Ex Kaisesbach 4138759.90 70670.738 478555.196 4139407.506 70700.7 4786016.645 n 7 közös pont anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány 641.880457344078 0 0 _0.998497670868 1.000005585198519 68.65534545190167 0 0 0.893695764500 416.3981847809677 0 0 0.99308779859 MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e Solitude 94 135 140 16 Bouch Zeil 59 _50 14 78 Hohenneuffen _40 _88 _8 97 Kuehlenbeg 0 87 9 Ex Megelaec _9 14 _5 93 Ex Hof Aspeg _1 7 _55 56 Ex Kaisesbach _9 4 30 Súlyegység középhibája: m0 0.07733660859330686 q + Es kettős kvatenió s 0 _0.9999999999918676000 s0 _0.000014595950307916 1 _0.000004043187101 s1 _30.9398443488138000000 0.0000016637384015948 s _34.3639618885393400000 3 0.0000040731783343567 s3 _08.1998707558805000000
Wang at al. (014)
KOORDINÁA JEGYZÉK 1 _49.007 54.453 0.978 _91.406 53.344 8.30 _47.365 54.435 _6.4 _91.97 53. 0.916 3 _36.514 13.733 3.64 _60.158 4.80 8.948 4 _34.881 13.859 _3.608 _60.135 4.78 1.51 5 _53.378 _5.87 _4.187 _56.98 _19.186 5.700 6 _7.34 _3.695 _1.389 _13.69 _.677 _1.444 7 9.587 _19.650.449 _4.666 17.45 _1.605 8 _36.53 _0.319 1.980 _49.939 14.97 7.119 9 _39.93 _1.307 19.965 _5.769 11.53 5.906 10 _67.051 _8.834 15.017 _7.99 _8.630 7.146 11 _54.14 _40.688 13.16 _46.500 _30.91 3.078 1 _51.943 _30.96 _3.965 _5.581 _.934 5.676 13 _57.71 _3.376 8.397 _58.97 _17.511 18.86 14 _59.650 _3.65 1.037 _55.49 _6.155 3.077 15 _59.51 _3.705 1.071 _55.313 _6.131 3.039 16 _41.466 18.46 1.085 _63.467 7.96 6.981 17 _39.133 10.34 0.47 _57.673.069 5.78 18 _9.781 _0.06 _8.06 _49.687 14.083 _3.666 n 18 közös pont
A mátix 18959.85444877778 _14.38010388888878 03.911863 9781.771873333339 _14.38010388888878 _9107.96355444445 _3745.98690000003 _13.88107111111 03.911863 _3745.98690000003 5194.5903638888904 _151.840990777778 9781.771873333339 _13.88107111111 _151.840990777778 _15046.4815575 sajátétékek, baloldali és jobboldali sajátvektook _0.96117777583458 0.47541909848473 0.08330631518981357 0.089067067848070738 0.036681390786963967 _0.546601830910495 0.939647480843973 0.555305940157894 _0.10309160306701531 _0.109704115139959 0.031575900673446 _0.966160066714539 _0.533059039630596 _0.9695056396901843 _0.643317531017 0.087906770537306583 1763.93559013054 _1844.08351569399 _9341.0348106536367 6019.1815709544 _0.96117777583458 0.47541909848479 0.08330631518981385 0.089067067848070738 0.036681390786964016 _0.546601830910473 0.93964748084396 0.555305940157894 _0.10309160306701531 _0.1097041151399587 0.0315759006734457 _0.966160066714539 _0.533059039630596 _0.9695056396901865 _0.643317531045 0.087906770537306556 maximális sajátéték 1763.93559013054
kvatenió a maximális sajátétékhez tatozó sajátvekto _0.96117777583458 0.036681390786963967 _0.10309160306701531 _0.533059039630596 R fogatási mátix 0.8504164837653 _0.49450709449998764 0.17959548989745161 0.4793809098416463 0.868981190765433 0.17409831100616 _0.1676194107554 _0.018875133517763 0.9760531938940140 µ méetaány 1.00038544396186 t eltolás _.96560847319914 9.3964811336868 _.65195365046488
R fogatási mátix 0.8504164837653 _0.49450709449998764 0.17959548989745161 0.4793809098416463 0.868981190765433 0.17409831100616 _0.1676194107554 _0.018875133517763 0.9760531938940140 anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _.96560847319914 7 10 3.07660803 1.00038544396186 9.396481133687 _10 _0 _46.316865945584 _.651953650465 _30 _10 _38.97517147
anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _.96560847319914 7 10 3.07660803 1.00038544396186 9.396481133687 _10 _0 _46.316865945584 _.651953650465 _30 _10 _38.97517147 MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e 1 14 _7 _1 16 14 _14 1 0 3 11 9 _10 17 4 10 5 _1 11 5 3 1 5 39 6 3 3 _9 33 7 _17 33 _1 39 8 _1 _1 _5 6 9 _65 _39 _6 76 10 1 _35 47 60 11 9 17 _4 46 1 _30 _18 _17 39 13 19 60 _14 64 14 _19 _6 57 86 15 _66 _39 14 78 16 14 1 0 14 17 10 57 _1 61 18 50 _19 13 55 Súlyegység középhibája: m0 0.030147998487098711 q + Es kettős kvatenió s 0 _0.961177775834580000 s0 _1.6495647764118560000 1 0.03668139078696396700 s1 14.87689913731836300000 _0.10309160306701531000 s _11.177308894371600000 3 _0.533059039630596000 s3 0.44399465910073477000
ébeli HELMER tanszfomáció kettős kvatenióval Közös pontok PSZ Foás endsze [x y z] -> RANSZFORMÁCIÓ -> Cél endsze [X Y Z] KOORDINÁA JEGYZÉK 1 _49.007 54.453 0.978 _91.406 53.344 8.30 _47.365 54.435 _6.4 _91.97 53. 0.916 3 _36.514 13.733 3.64 _60.158 4.80 8.948 4 _34.881 13.859 _3.608 _60.135 4.78 1.51 5 _53.378 _5.87 _4.187 _56.98 _19.186 5.700 6 _7.34 _3.695 _1.389 _13.69 _.677 _1.444 7 9.587 _19.650.449 _4.666 17.45 _1.605 8 _36.53 _0.319 1.980 _49.939 14.97 7.119 9 _39.93 _1.307 19.965 _5.769 11.53 5.906 10 _67.051 _8.834 15.017 _7.99 _8.630 7.146 11 _54.14 _40.688 13.16 _46.500 _30.91 3.078 1 _51.943 _30.96 _3.965 _5.581 _.934 5.676 13 _57.71 _3.376 8.397 _58.97 _17.511 18.86 14 _59.650 _3.65 1.037 _55.49 _6.155 3.077 15 _59.51 _3.705 1.071 _55.313 _6.131 3.039 16 _41.466 18.46 1.085 _63.467 7.96 6.981 17 _39.133 10.34 0.47 _57.673.069 5.78 18 _9.781 _0.06 _8.06 _49.687 14.083 _3.666 n 18 közös pont anszfomációs paaméteek Eltolás Elfogatás Méetaány _.96560847319914 7 10 3.07660803 1.00038544396186 9.396481133687 _10 _0 _46.316865945584 _.651953650465 _30 _10 _38.97517147 MARADÉK ELLENMONDÁSOK [mm] PSZ ex ey ez e 1 14 _7 _1 16 14 _14 1 0 3 11 9 _10 17 4 10 5 _1 11 5 3 1 5 39 6 3 3 _9 33 7 _17 33 _1 39 8 _1 _1 _5 6 9 _65 _39 _6 76 10 1 _35 47 60 11 9 17 _4 46 1 _30 _18 _17 39 13 19 60 _14 64 14 _19 _6 57 86 15 _66 _39 14 78 16 14 1 0 14 17 10 57 _1 61 18 50 _19 13 55 Súlyegység középhibája: m0 0.030147998487098711 q + Es kettős kvatenió s 0 _0.961177775834580000 s0 _1.6495647764118560000 1 0.03668139078696396700 s1 14.87689913731836300000 _0.10309160306701531000 s _11.177308894371600000 3 _0.533059039630596000 s3 0.44399465910073477000
Egy meev test 3D tébeli tanszfomációja, különösen a tébeli tájékozás az egyik legfontosabb és legkitikusabb feladat a geodéziában, fotogammetiában, navigációban, a lézeszkenne és LiDAR méések feldolgozásában, obotka manipulálásában, az animációban, többek között. Jelenleg a tébeli fogatások meghatáozásának legnépszeűbb módszee a fogatási mátix, Eule szögek, Rodigez vekto és kvateniók alkalmazása. A fogatási mátix újanomalizálása nehézkes, az Eule szögek alkalmazása szingulaitásokhoz vezet és a Rodigez vektook alkalmazása sem valósítható meg egy egyszeű számítási algoitmussal.
Kvateniók alkalmazása látszik megfelelőnek a 3D fogatás leíásához kevés számú paaméteel. Egységkvateniót alkalmazva a tébeli fogatás leíásáa, hét tanszfomációs paamétet kell meghatáoznunk, nevezetesen előszö a háom fogásszöget, ezután a méetaány paamétet, és végül a háom eltolás vektot. Az előadásban bemutatott módsze kettős kvateniót alkalmaz a tébeli fogatási mátix és az eltolásvekto meghatáozásához. Ismeteti a kettős kvatenió alapú geodéziai dátumtanszfomáció megoldását lineaizálással a Busa-Wolf dátumtanszfomációs modellben.
Zát képlet felhasználásával, a kettős kvatenió valós és kettős észének meghatáozásával számítottuk az elfogatást és az eltolást, azaz hat tanszfomációs paaméte étékét szimultán hatáoztuk meg. Bemutattuk a feladat megoldásához felhasznált módszet, és egyenleteket. Az eljáás hatékonyságát és alkalmazhatóságát 7 közös pont esetében helyi és WGS84 koodináta endszeek közötti, továbbá 18 közös pont esetén szomszédos LiDAR álláspontok közötti tanszfomáción teszteltük. A számítások azt mutatják, hogy a kettős kvatenió gyos és megbízható eedményt ad.
Ennek az algoitmusnak a legnagyobb előnye, hogy tetszőleges nagyságú szögelfodulások esetében is alkalmazható a tanszfomációs paaméteek számításához. A bemutatott megoldás eedményeként az kvatenió 0,1,, 3 elemeit egy valódi szimmetikus mátix sajátvektoához tatozó maximális sajátétékének meghatáozásával számítjuk. Befejezésként megállapíthatjuk, hogy a kettős kvatenió felhasználásán alapuló algoitmus alkalmas a hasonlósági tanszfomáció paaméteeinek számításához. A bemutatott megoldás egy új választható módsze a hasonlósági tanszfomáció övid leíásáa.
3 PAPP ERIK KVAERNIÓ RILÓGIA 013 GEODÉZIAI DÁUMRANSZFORMÁCIÓ KVAERNIÓVAL 015 GEODÉZIAI DÁUMRANSZFORMÁCIÓ IERÁCIÓS MEGOLDÁSA KVAERNIÓVAL 017 KEŐS KVAERNIÓVAL GEODÉZIAI ALKALMAZÁSA
Hamilton-féle kvatenió négy skalá változó Q q + q i + q j + q k + q 0 1 3 q0 valós komplex Cliffod-féle kettős kvatenió nyolc skalá válzozó q + εs kettős ész valós kettős művelet (dual opeato) θ θ θ θ q cos nx sin n y sin nz sin 0 t x t y t z
ébeli Helmet-féle tanszfomáció Klasszikus a t + µ R b 0 0 Kettős kvatenióval a i W ( ) ( ) s + µ W Q( ) b i Fiedich Robet Helmet (1843-1917)
Awange JL, Gafaend EW (005): Solving Algebic Computational Poblems in Geodesy and Geoinfomatics, he answe to moden Challanges. Spinge, Belin, Heidelbeg, New Yok. Chasles M, (1830): Note su les popiétés du systéme de deux cops semblables ent uux et placés d une maniée quelconque dans l espece; et su le déplacement finl ou infiniment petit d un cops solide libe. Bull Sci. Math. Aston. Phys. Chim. 14(XIV), 31-36 W.K. Cliffod (1873): Peliminay sketch of biquatenions. Poc. London Math. Soc, 4:381-395 W.K. Cliffod (188): Mathematical Papes. Macmillan, London Gafaend EW, Awange LJ (003): Nonlinea analysis of the theedimensional datum tansfomation [confomal goup C7(3)]. J. Geod. 77, 66 76. Hamilton WR (1844): On quatenions, o on a new system of imaginaies algaba. Phil. Mag. 5(3), 489-495 Hamilton WR (1853): Lectues on quatenions: containing a systematic statement of a New mathematical method. Hodges and Smith, Dublin. Hon BKP (1987): Closed-fom solution of absolut oientation using unit quatenions. J. Opt. Soc. Am. A, 4(4), 69-64. Molodenskii M, Eemeev V, M.I., Y (196): Methods fo study of the extenal gavitational field and figue of the eath. Isael Pogam fo Scientific anslations, Jeusalem R. M Muay, S. S. Sasty, L. Zexiang (1994): A Mathematical Intoduction to Robotic Manipulation. CRC Pess, USA, ISBN 0-849-37981-4. Posková J, (011): Application of dual quatenions algoitms fo geodetic datum tansfomation. J. Appl. Mah. 4(), 5-36 Posková J, (01): Discovey of dual quatenions fo geodesy. J. Geomety Gaphics 16(), 195-09 Shan YZ, Chen Y, Zheng DH (006): A quatenion-based geodetic datum tansfomation algoithm. J. Geod. 80, 33 39. Vanícek P, Steeves RR (1996): ansfomation of coodinates between two hoizontal geodetic datums. J. Geod., 70, 740-745. Vanícek P, Novák P, Cayme MR, Pagiatakis S (00): On the coect detemination of tansfomation paametes of a hoizontal geodetic datum. Geomatica, 56(4), 39 340. Yang Y (1999): Robust estimation of geodetic datum tansfomation. J. Geod., 73, 68 74. Yangbo Wang, Yunjia Wang, Kan Wu, Huachao Yang, Hua Zhang (014): A dual quatenion-based, closed-fom paiwise egistation algoithm fo point clouds. ISPRS Jounal of Photogammety and Remote Sensing 94, 63-69 Zeng H, Yi Q (011): Quatenion-Based Iteative Solution of hee-dimensional Coodinate ansfomation Poblem. J. of Computes, 6(7), 1361-1368.