Fizika I. (Mecanika, áamlástan, eológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszeménök, Szőlész-boász ménök és Bioménök BSc allgatóknak Tatalom D. Fita Feenc Fizika-Automatika Tanszék 05. Statika, kinematika ismétlés (deivált)... 3. Dinamika: meev testek... 3. Munka, enegia (integál)... 5 4. Hidosztatika, aeosztatika... 9 5. Hidodinamika, aeodinamika... 4 6. Súlódásos áamlásmodellek... 9 7. Reológia alapmennyiségei, alapmodellek... 35 8. Viszkoelasztikus eológiai modellek (diffeenciálegyenlet)... 4 9. Egyéb összetett modellek, eometia... 47 0. Geometiai optika, fotometia... 5. Hullámoptika, spektofotometia... 6. Színméés... 69 3. Képfeldolgozás, spektális képfeldolgozás... 74 Ábák, diagammok, táblázatok... 80 Ajánlott iodalom... 8
Bevezetés Jelen jegyzet, a Budapesti Covinus Egyetem, élelmisze-, szőlész-boász BSc Fizika I. tágy és a bioménök BSc Fizika I. tágy első felének elméleti segédanyaga. A tágy célja alapvető középiskolai fejezetek ismétlése, összefoglalása után, a ménöki munkában előfoduló témaköök, méések megismeése, tecnológia tágyak megalapozása. További fizika tágyak a BSc és MSc képzésben: BSc : Fizika I. Mecanika: sztatika, kinematika (deivált), dinamika, munka (integál), enegia Hidosztatika, felületi feszültség, Hidodinamika, veszteséges áamlások, asonlóság Reológia: alap-, összetett modellek (diffeenciálegyenlet), eometia Fénytan: geometiai, fotometia, színméés, spektoszkópia, egyéb optikai méések BSc : Temodinamika Sztatika: axiómák, ideális gáz, köfolyamatok, kopuszkuláis modellek, fázisátalakulás: foás, gázelegy, páolgás, fajő méése, elegyek, kémiai eakciók nedves levegő: állapotjelzői, -állapotváltozásai; űtőköfolyamatok Dinamika: mélegegyenletek, Onsage-elmélet, ővezetés esetei, dinamikai modellek temoelektomos jelenségek, diffúzió, őmésékleti sugázás BSc 3: Elektotecnika Villamosságtan: egyen- és váltóáamú köök, Gépek, motook, akkumulátook BSc 5: Mééstecnika és automatizálás Ézékelők, jelfeldolgozók, vezéléstecnika MSc : Mééselmélet és kísélettevezés MSc : Folyamatiányítás MSc : Számítógépes adatfeldolgozás és tevezés A Fizika I. tágy célja teát új elméleti ismeetek és alkalmazási készség elsajátítása folyadékmecanika, eológia és fénytan témaköökben. A középiskolás oktatásoz képest a tágyak célja nem az átfogó temészettudományos szemlélet kialakítása, anem a ménöki gyakolatban való alkalmazatóság. Ez atáozza meg a témaköök kiválasztását, valamint azt, ogy az elmélete igyekszünk gyakolati alkalmazást is mutatni. Ugyanakko a ménöki oktatás sem jelenti tételek összefüggéstelen magolását. Az anyag stuktuálásáoz igyekszünk a témakööket az axiómáktól felépíteni, a bizonyítások alapjait ismetetni, de inkább empiikus példákkal igazoljuk az egyes tételek elyességét. A középiskolai tágyalásmódoz képest további újdonságot jelent, ogy a má tanult mecanikai tövényeket, itt a deiválás és integálás ismeetében tudjuk megfogalmazni. A tágy igyekszik támaszkodni a allgatók középiskolai és a páuzamos matematika oktatás soán elsajátított matematikai tudásáa. Számítástecnikai eszközök alkalmazásával is eősítve a ménök feladat megoldási készségét. A félév soán alkalmazott matematikai eszközöke példák: deiválás, integálás, alapvető diffeenciál egyenletek megoldása, tanszcendens egyenletek iteációs megoldása. A középiskolákból vegyes fizikai és matematikai ismeetekkel, olyko alapvető számtani iányosságokkal endelkező allgatók felzákóztatása édekében a félév elején összefoglaljuk a mecanika alapfogalmait is, de a kevés óaszám miatt, iányos alaptudás esetén javasolt az ottoni munka, esetleg nagyobb tudású allgató vagy magántaná segítségének kéése. Fita Fizika I. - -
Tágy előfeltételei Első óák előtt otton átnézendő középiskolai matematikai- és fizikai fogalmak: Számalmazok, adattípusok, műveletek: - temészetes-, egész-, acionális-, valós számok - skalá, vekto - vekto-műveletek: összeadás, skaláis szozás Függvényanalízis: - ozzáendelés, függvény, kölcsönösen egyételmű függvény, ÉT, ÉK - számfüggvények: ábázolása, zát/nyílt intevallum, invez függvény képe - fv. tulajdonságok: folytonos, zéus ely, lokális./globális szélsőéték, monotonitás Fontosabb függvények: - konstans, x, lineáis, másod- és amadfokú polinom - exponenciális, logaitmus - tigonometikus: sin, cos, tg, ctg Függvény műveletek: - tanszfomációk: eltolás és nyújtás x és f(x) iányban - függvények összeadása Számsoozatok: - számtani, métani soozat, egyéb példák, soozat ábázolása - tulajdonságok: kolátosság, konvegencia / divegencia - atáéték, alapműveletek, endőelv ----------------- Kinematika: - Alapmennyiségekből (elmozdulás, elfodulás, idő) a sebesség, gyosulás számaztatása - Egyenes vonalú-, kö-, amonikus ezgőmozgás leíása - Elmozdulás, sebesség, gyosulás, mint vekto Dinamika: - Newton axiómák, eők összeadása, fogatónyomaték, fede ajítás leíása - Impulzus (lendület), Impulzus-nyomaték (pedület), -tételek - Munka számítása, enegia, enegia-megmaadás tövénye Rugalmas test, Folyadék-mecanika: - Rugótövény, Hooke-test - Pascal-, Acimedes tövénye, felületi feszültség - Folytonossági tövény, szánya ató felajtóeő, közegellenállás Hőtan - Főtételek, Pepetuum mobilék - Ideális gázmodell: Boyle-Maiotte I-II., Gay-Lussac, egyesített gáztöv., állapotegyenlet - Speciális állapotváltozások: izoco, izoba, izotem, adiabatikus, Canot-köfolyamat Fénytan: - Geometiai optika: vékony lencsék töése, tükök (tágy-, kép-, fókusztávolság, dioptia) - Töésmutató, teljes visszaveődés, fény sebessége közegekben - Fény ullámtemészete: elajlás, töés, intefeencia (e.mágneses spektum tatományai) Fita Fizika I. - -
. Statika, kinematika ismétlés (deivált) Az eő fogalmának sztatikus oldalát elsőként a testek súlyán keesztül ézékeletjük. Kétkaú mélege elyezett testek súlya összeasonlítató, összeadódó és omogén közeg, pl. gabona mééseko a téfogattal aányos. A súly másik közismet atása, ogy pl. a ugót defomálja. Rugós méleg defomációjának météke is egyenesen aányos a ugót teelő test súlyával. Homogén közeg súlyát a téfogattal aányosnak tekintették. Az aányossági tényező volt a fajsúly, amelye G = g V Megfigyelendő, ogy pl. különböző anyagok összekeveéseko a súly összeadódó mennyiség, a téfogat viszont nem. Ma ezt a leíást NEM asználjuk. Később, a "Dinamika" fejezetben ismetetett Newton-féle axióma endsze abból indul ki, ogy szabadesésko a testek súlya és gyosulása állandó. Ezt általánosítva egy test gyosulása aányos a áató eővel: F = m a A test súlyáa teát kapjuk: G = m g A tömeg teát egyszee fejezi ki a testek súlyát ( súlyos tömeg ), dinamikai feladatban pedig a gyosító eővel szembeni ellenállását ( teetetlen tömeg ). Ez a leíás magyaázza azt a tényt is, ogy a testek súlya nem csak a tömegtől, de a gavitációs téeő nagyságától is függ.. ába: Kétkaú méleg. Rugós méleg Eők összeadása: Pontban ató eők vektoként, paalelogamma-szabály alapján adatók össze (.a. ába). Kitejedt meev teste síkban ató eők (kifeszített kötél mintájáa) atásvonaluk mentén eltolatók. a.) Amennyiben közös kezdőpontba tolatók, alkalmazató a paalelogamma-szabály. b.) Ha páuzamosak és megegyező iányúak, úgy segédeők felasználásával adatók össze és a súlypontoz asonlóan leet kiszámítani az eedő eő kezdőpontját (.b. ába). F + F s = + c.) Egymással páuzamos, ellentétes iányú, azonos nagyságú eők eőpát alkotnak (.c. ába). Ennek fogatónyomatékát adott ponta nézve, a atásvonal távolságának, azaz az eőkanak és az eőnek szozataként számítatjuk (M=k F). Az eőpá fogatónyomatéka tetszőleges ponta nézve ugyanaz (M= k F). Több eő esetén a fogatónyomatékok előjelesen adódnak össze. Kétkaú méleg egyensúlyánál például a fogatónyomatékok eedője nulla. Fita Fizika I. - 3 -
. ába: Síkban ató eők összegzésének szabályai d.) Nem egy síkban ató eők is összegezetők segédeők felasználásával. Eők adott ponta vonatkoztatott fogatónyomatékát ebben az esetben az eő támadáspontjába mutató elyvekto és az eő vektoiális szozataként kapjuk: M = F Matek: A vektoiális, avagy keesztszozat eedménye vekto, amelynek nagysága egyenlő a két vekto által kifeszített paalelogamma teületével: F = F sin(j) Iánya meőleges a két vekto által megatáozott síka és iányultságát a jobbkéz-szabály atáozza meg. A keesztszozat teát nem kommutatív (nem felcseélető). 3. ába: Vektoiális szozás. Jobbkéz-szabály Meev teste ató eők tetszőleges endszee egyételműen egyszeűsítető egyetlen F eőe és egy vele azonos iányú M fogatónyomatéka, un. eőcsavaa. Cales tétele alapján pedig a meev test pillanatnyi mozgásállapota leíató egy tanszlációval és egy vele azonos tengelyű otációval, azaz csavamozgásként. Az eedő eő a tanszlációa, a fogatónyomaték a otációa van atással. Sztatikus esetben az eők és a fogatónyomatékok eedője is nulla. F = 0 M = 0  i  i Súlypont: Súlypontjában alátámasztott, egyébként csak a omogénnek tekintető neézségi eő atása alatt lévő meev test bámely elyzetben egyensúlyban van, azaz a test súlyának a súlyponta vonatkozó fogatónyomatéka bámely elyzetben zéus. Ez a pont tetszőleges test esetén bizonyítatóan létezik. Pontendsze esetén a tömegpontokba mutató elyvektook súlyozott összegeként számítató ki (4.a. ába):  mi i s =  mi Folytonos omogén közeg súlypontja a tövény segítségével integálással számítató ki (az egyes geometiai testek súlypontja a függvénytáblázatban találató meg). Elemi alakzatokból összetett testek súlypontja a tövény ismételt alkalmazásával úgy számítató, minta az egyes alakzatok teljes súlya azok súlypontjában lenne koncentálva. Fita Fizika I. - 4 -
Példa: Számítsuk ki a 0 métet átidaló kötélben ébedő eőt, a annyia megfeszítjük, ogy 50kg tömegű teelő test esetén 0cm belógást engedünk meg! Megoldás: A kötélben két oldala ató eők függőleges komponenseinek összege ( F/sin(α)) tat egyensúlyt a test G=m g súlyával (4.b. ába). A megfeszített kötél ossza közel egyenlő az eedeti osszával (sin(α) ~ /(l/)). Így a kötélben ébedő eő megfelel,5 tonna súlyának. G / l G 0 500 sin( a ) = = F = = = 500N l / F 4 4 0, 4. ába: Súlypont kiszámítása összetett objektuma (a). Kötélben ébedő eő számítása (b). Fita Fizika I. - 5 -
Kinematika A kinematika mennyiségei pontszeű, vagy meev test mozgását, pozíciójának időbeli változását íják le, annak magyaázata, azaz az eőkkel való kapcsolat vizsgálata nélkül. Alapmennyiségei az elmozdulás és az eltelt idő, amelyek méetősége alapvető tapasztalataink közé tatozik. A klasszikus mecanikában a távolságot méő úd osszát tétől és időtől függetlennek tekintjük, szemben a elativisztikus modelltől, aol a megfigyelő sebessége miatt elatív az idő, a gavitációtól göbül a té. A ossz SI météke a méte: s [s] = m Az eltelt időt klasszikus köülmények között szintén méetőnek gondoljuk, aminek alapja az, ogy egyes jelenségek sebessége, pl. a omokóában naponta lepegő omokszemek mennyisége állandó. Az idő SI météke a másodpec (secundum): t [t] = s Ezen alapmennyiségekből számítatunk további számaztatott mennyiségeket. A sebesség métékének középiskolás definíciója, az adott idő alatt megtett utat az eltelt idővel osztva, az egységnyi idő alatt megtett utat adja meg. Ds v = [v] = m/s Dt Ez az intevalluma jellemző átlagos sebesség. Út-idő diagammon ábázolva egy egyenes meedeksége, azaz iánytangense (5. ába) annál nagyobb, minél nagyobb az elmozdulás az idő szeint. 5. ába: Átlagsebesség definíciója Az intevalluma jellemző átlagsebességből úgy kapatjuk a t időponta jellemző pillanatnyi sebességet, a a t t közelítjük t ez, az intevallum osszát a nulláoz. Az intevallum osszának csökkentése után úja és úja kiszámítva az iánytangenst, egye inkább az időponta jellemző pillanatnyi sebességet kapjuk. A számsoozat atáétékeként, a létezik, egyben a pontban úzott éintő meedekségét nyejük (6. ába). 6. ába: Éintő meedekségének megatáozása atáétékként Fita Fizika I. - 6 -
A pillanatnyi sebesség így definiált atáétéke akko nem létezik, a az út-idő függvény nem folytonos (7.a. ába), vagy az éintő adott pontban más bal- és jobb oldalól (7.b. ába). Az út-idő függvény szakadása azt jelentené, ogy egy test végtelen övid idő alatt másik elyen teemne. Az éintő meedekségének, azaz a pillanatnyi sebességnek végtelen gyos változása szintén nem tapasztalató. Még a pillanatnyinak tűnő ütközésnél is megfigyelető megfelelő lassításnál, ogy az út göbe meedeksége, így a sebesség, folyamatosan változik. A klasszikus fizika keetei között teát a pontszeű test pillanatnyi sebessége mindenütt véges és egyételműen megatáozató. Így a pillanatnyi sebesség definíciója: Ds v( t) = lim Dt DtÆ0 7. ába: Út-idő függvényben szakadás (a) vagy töés (b) MATEK (deiválást később allgatják, mint aogy má az első fizika előadáson asználjuk): A sebesség fenti definíciója, az éintő meedekségének atáétékként való kiszámítása általánosítató. Hasonlóan leet jellemezni tetszőleges f(x) függvény x szeinti megváltozását. Az éintő meedekségét közelítő atáéték neve diffeenciálányados és övidített jele (8.a. ába): df Df = lim dx DxÆ0 Dx A diffeenciálányados számlálója és nevezője is nulláoz tató mennyiségek, mégis a ányadosuk konvegálat valamely valós számoz. A továbbiakban olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek, az út-idő függvényez asonlóan, minden pontban létezik diffeenciálányadosa (folytonosak és nincs bennük töés). 8. ába: Diffeenciál ányados és deivált függvény Fita Fizika I. - 7 -
Az éintő meedekségének atáétékként való megatáozása a gyakolatban nem kivitelezető. Amennyiben azonban adott f(x) függvényez ismenénk az annak meedekségét leíó függvényt, akko a meedekség bámely pontban egyszeű beelyettesítéssel kiszámítató lenne. Egy ilyen f (x) függvény ábázolásánál a meedekség étéke nulla a lokális szélsőétékeknél, pozitív, a nő a függvény és negatív, a csökken (8.b. ába). Adott függvény meedekségét leíó függvényt ívjuk deivált függvénynek. A deiválandó függvény vagy kifejezés mögé tett felső vesszővel jelöljük. Az idő szeinti deiválást speciálisan, a függvény feletti pont jelzi: df df f ( x) = f & ( t) = dx dt x t A atáéték-definíció alapján szabályokat leet levezetni például függvények összegée, szozatáa, ányadosáa és összetett függvények deiválásáa, stb. Az alapvető függvények (konstans, x, exponenciális, logaitmus, tigonometikus, stb.) deiváltjai szintén levezetetők. A jelentősebbeket a függvénytáblázat tatalmazza: A továbbiakban pedig nem is asználjuk a atáéték definíciót, ugyanis a szabályokkal és alapesetekkel le leet vezetni bámely összetett függvény deiváltját. A deiválás olyan, mint a agymapucolás: kívülől befelé aladsz és közben sísz. A deivált függvényből végül egyszeű beelyettesítéssel megatáozató az eedeti függvény változása (éintő meedeksége) bámely pontban, aol az éintő egyételműen létezik. Pontszeű test egyenes vonalú mozgásának kinematikai mennyiségei: elmozdulás s(t) alapmennyiség [s] = m sebesség d s v ( t) = = s& ( t) dt [v] = m/s gyosulás d v d s a ( t) = = v& ( t) = = & s ( t) dt dt [a] = m/s A táblázatban bemutatott vektoegyenletek mindegyike a té x-y-z iányainak megfelelő 3 daab skalá egyenletnek felel meg. Fita Fizika I. - 8 -
Meev test egyenes vonalú mozgását tanszlációnak, tengely köüli fogását pedig otációnak nevezzük. Meev test elfodulásának kinematikai mennyiségei: elfodulás φ(t) alapmennyiség [φ] = ad szögsebesség dj w ( t) = = j& ( t) dt [ω] = /s szöggyosulás dw d j b t) = = w& ( t) = = & j ( t) [β] = /s ( dt dt A táblázatban szeeplő mennyiségek ebben az esetben is vektook, mivel az elfodulás vekto iányát a tengely adja meg a jobbkéz-szabállyal megatáozott pozitív iánnyal. Casles tétele (830): Meev test tetszőleges elemi elmozdulása összeteető egy tanszlációból és egy otációból. A tengely egyételműen választató úgy, ogy a tanszláció és a otáció iánya azonos legyen, azaz csavamozgást kapjunk. MATEK: A szög météke a kö középpontos asonlóságán alapul. A méendő szög csúcsa köé ajzolt különböző sugaú kööknél, a szög által kimetszett ívossz aányos a kö sugaával. Az ívossz és a sugá ányadosa teát független a sugától, csak a szög nagyságáa jellemző (9.a. ába). Mivel adott sugánál az ív ossza és a szög közötti kapcsolat monoton és lineáis (9.b. ába), a ányados megfelelő météke leet a szögnek. A méendő szög köé ajzolt köből kimetszett ív ossza és a sugá ányadosaként definiálatjuk. A szög métékegysége adián [ad], amit általában nem íunk ki. A teljes kö météke pl. π. 9. ába: Kimetszett ív adott szögnél a sugáal (a), adott sugánál a szöggel aányos (b) Megfigyelésből okok: Az időben változó endszeek leíásának egyik módszee a deiváláson alapul. Egy jelenség megfigyeléseko méetjük például egy test s(t) pillanatnyi pozícióját. Ezután a diszkét s(t) méési étékeket vagy egesszióval (közelítő függvény a pontok között fut) vagy intepolációval (közelítő függvény átmegy a méési pontokon) közelítik (0. ába). 0. ába: Méési adatok közelítése egesszióval és intepolációval (négyzetes) A közelítő s(t) analitikus függvény deiválásával má kiszámítató a pillanatnyi sebesség, majd újbóli deiválással a gyosulás. A Newton-féle eőtövények (F=m a) ismeetében a gyosulásból megatáozatók a jelenséget kiváltó eők. Így a deiválás segítségével eljutatunk a jelenségtől annak magyaázatáig: s v a F A gondolatmenet asonlóan alkalmazató a fogó mozgás mennyiségeie is. Az elfodulás-idő függvényből deiválással és az eőtövény alapján (M=Θ β) megatáozató a fogatónyomaték: φ ω β M Fita Fizika I. - 9 -
Példák: A módsze alkalmazásaként vizsgáljuk meg a szabadon eső test gyosulását. A tapasztalat szeint a megtett út az esés idejének négyzetével aányos. Ebből kétszei deiválással kapjuk, ogy a test gyosulása állandó: s( t) = c t v( t) = c t a( t) = c Fede ajítás paabola pályájáa az x vízszintes komponense állandó sebességű, a z függőleges komponense pedig állandó gyosulású mozgást kapunk: s t) v t v t) = v ( t) = 0 x ( = x 0 x( x0 s z g ( t) t = - v z t) = -g t a x ( a z ( t) = -g. ába: Elmozdulás, sebesség és gyosulás függőleges komponense Hamonikus ezgőmozgást végző objektum (pl. ugó, inga) kitéése az idő szinuszos függvénye, aol az ω köfekvencia a T peiódusidőből számítató, A pedig az amplitúdó. x( t) = A sin( wt) w = p T Ebből deiválással levezetető, ogy a ugótövénynek (F = m a = - D x) megfelelően, a gyosulása egyenesen aányos a kitééssel (. ába). x( t) = A sin( wt) v( t) = w A cos( wt) a( t) = -w A sin( wt) a( t) = -w x( t). ába: Hamonikusan mozgó test kitéése, sebessége és gyosulása az idő szeint Fita Fizika I. - 0 -
. Dinamika: meev testek Az eő mozgásállapota való atását a Newton axiómák íják le:. Inecia endszeben minden test megtatja mozgásállapotát, amíg más testek atásai állapotának megváltoztatásáa nem kényszeítik. Mozgásállapotnak nevezzük a test nyugalmi állapotát, vagy adott v sebességű egyes vonalú mozgását. Inecia endsze az a vonatkoztatási endsze, amelyben nincsenek méető kényszeeők. Gyosuló koodinátaendsze (gépjámű) például nem az, iszen benne a tágyak látszólag ok nélkül gyosulnak.. Pontszeű test gyosulása azonos iányú és egyenesen aányos a teste ató eővel és fodítva aányos a test m tömegével. A második axióma fogalmazza meg a dinamika alapegyenletét, eőtövényét: F=m a Olyan veszteséges folyamatoknál, aol a súlódás a sebességgel aányos, az eő és a végsebesség között találunk aányosságot. Súlódásmentes folyamatoknál viszont, az axióma szeint, az eőatás a testek gyosulásával aányos. A tömeg, a súly mellett, kifejezi a testek teetetlenségét is. 3. Kölcsönatás: Ha egy pontszeű A teste egy pontszeű B test eőt gyakool, akko az A test ugyanakkoa, de ellentétes iányú eővel at a B teste. Séülne ez az axióma, a lenne egy kitüntetett, fix pontja a világegyetemnek. Ekvivalens megfogalmazás, ogy belső eők nem változtatják meg az impulzust és az impulzusnyomatékot se. 4. Szupepozíció: Egy tömegponta ató több eő egymástól függetlenül fejti ki atását, teát az eő vektoként kezelető. Ennek következtében leet az eőket, a gyosulásoz asonlóan vektoként kezelni. Összeadni, illetve koodinátánként, egymástól független skalá eőtövényeket felíni: F x =m a x F y =m a y F z =m a z A tömeg SI alapmennyiség, métékegysége [kg]. Az eő métékegységét a Newton-féle eőtövény definiálja: F = m a métékegysége: kg m [F] = = N s A testek mozgásállapotát kifejező impulzus, azaz lendület segítségével szintén megfogalmazató az eőtövény: I = m v pontendszee: I = Â m i v métékegysége: kg m [I] = i s Az impulzustövény szeint mecanikai endszee ató külső eők eedője egyenlő a teljes impulzus idő szeinti diffeenciál-ányadosával, azaz a mozgásállapot idő szeinti megváltozásával: F = I& Az impulzustövény csak akko ekvivalens a Newton-féle eőtövénnyel, a a tömeget állandónak tekintjük, azaz kiemelető az idő szeinti deiválás alól. Relativisztikus köülmények között, nagy sebességeknél az impulzus-tövényt fogadjuk el igaznak. d I d m v dv F = I& ( ) = = = m = m a dt dt dt Az impulzus-megmaadás tövénye ennek egyszeű alkalmazása. Ha külső eők eedője nulla (pl. biliádgolyók ütközése: 4.a. ába), a endsze teljes impulzusa nem változik: F = 0 Ë I = Â m i vi = állandó Súlypont-tétel: Pontendsze tömegközéppontja úgy mozog, minta a endsze egész tömege ebben a pontban lenne egyesítve és a endsze külső eőinek eedője ee a ponta atna. Ennek következtében a felobbanó tűzijáték daabjainak súlypontja továbba is paabola-pályán mozog. Fita Fizika I. - -
Példa : v=m/s sebességgel süllyedő liftben az utas súlya látszólag megnő a fékezés közben. Mekkoa a fékút, a a súlynövekedés nem aladatja meg a 0%-ot? m a = 0, m g m a = s v = a t v t = a v s = = 50 s = a t cm a Példa : Lejtőn csúszó szánkóa ató külső eők (F t éintő iányú μ F n súlódási eő) eedője eedményezi a szánkó gyosulását. Állandó gyosulást feltételezve a idő méésével megatáozató a súlódási együttató (3.a. ába). Felasznált egyenletek: m a = (sin j - m cosj) m g s = a t Példa 3: Állandó szögsebességű kömozgás esetén a tömegponta sugá mentén ató eő nem a sebesség-vekto nagyságát, anem az iányát változtatja meg (3.b. ába). A tömegpont keületi sebessége, centipetális gyosulása és a pályán tató centipetális eő (ennek ellentéte a kifelé mutató kényszeeő, a centifugális eő): v k = w v a cp = F = m cp a cp 3. ába: Szánkó gyosulása (a). Centipetális gyosulás (b). Példa 4: Matematikai inga (súlytalan kötél, pontszeű test) mozgásáa felít eőtövényt (4.a. ába) összeasonlítva a amonikus ezgőmozgása kapott diffeenciál-egyenlettel (8. ába) számítató a ezgés ω köfekvenciája és a T lengésidő. Példa 5: Rugóa függesztett tömeg mozgásáa felít eőtövényt (4.b. ába) szintén összevetve a amonikus ezgőmozgása kapott egyenlettel szintén kiszámítató a ezgés köfekvenciája és a peiódus idő. 4. ába: Matematikai inga (a). Rugóval csatolt tömeg ezgése (b). Fita Fizika I. - -
Meev teste ató eők eedőjének fogatónyomatéka, az eőtövényből levezetetően, a test szöggyosulásával aányos. M = q b A teetetlenségi nyomaték, a testek fogatással szembeni teetetlenségét fejezi ki, jele Θ (teta). Étéke adott geometiai alakzata és fogástengelye, a tömegpontok fogástengelytől való távolságaiból számítató: Q = Â m i i métékegysége: [Θ] = kg m Az alapvető geometiai objektumok (gömb, téglatest, stb.) adott, súlyponton átmenő tengely köüli teetetlenségi nyomatéka függvénytáblázatokból keesető ki. Összetett alakzat teetetlenségi nyomatéka additív. A Steine-tétel alapján számítató a súlyponttól s távolsága lévő, páuzamos fogás-tengelye vonatkozó nyomaték: = ( x - s) dm = x dm- s xdm+ s dm = Q ms Q Ú Ú Ú Ú A s + 5. ába: Fogó mozgás alapmennyiségei A fogómozgás eőtövénye a fogási állapotot kifejező impulzusnyomaték, azaz pedület segítségével is megfogalmazató: N = I pontendszee: N = Â i I i métékegysége: kg m [N] = s Az impulzusnyomaték-tövény szeint mecanikai endsze bámely ponta vonatkoztatott impulzusnyomatékának idő szeinti megváltozása egyenlő a endszee ató külső eők a ponta vonatkoztatott fogatónyomatékainak eedőjével. Belső eők fogatónyomatékainak vektoi összege, a atás-ellenatás elve alapján zéus, teát nem változtatják meg a teljes impulzusnyomatékot. M = N & Impulzusnyomaték-megmaadás tövény: Külső eők fogatónyomatékainak iánya vagy egyensúlya esetén a endsze impulzusnyomatéka állandó: M = 0 Ë N = Â i I i = állandó A tövény egyszeű szemléltetése, amiko a pögő kocsolyázó kezeit beúzva ( csökken) szögsebessége megnő (I nő). 6. ába: Impulzusnyomaték megmaadása pögő kocsolyázóa Fita Fizika I. - 3 -
Összefoglalva: Meev teste ató eők tetszőleges endszee egyételműen egyszeűsítető egyetlen F eőe és egy vele azonos iányú M fogatónyomatéka, un. eőcsavaa. Cales tétele alapján a meev test pillanatnyi mozgásállapota leíató egy tanszlációval és egy vele azonos tengelyű otációval, azaz csavamozgásként. A fent vázolt eőtövények alapján az eedő eő a tanszlációa, a fogatónyomaték a otációa van atással.  F i = m a  M i =Q b Szabad tengely köüli fogás: Eőmentes meev test stabilan foogat, bizonyos nem ögzített, un. szabad tengelyek köül. A súlyponton átmenő iányok közül a legstabilabb az a tengely, amelyiknek legnagyobb a teetetlenségi nyomatéka. Általános esetben egy meev testnek áom, a súlyponton átmenő, egymása meőleges szabad tengelye van (Segne, 755; Eule, 765). A második legstabilabb az, amelyiknek legkisebb a teetetlenségi nyomatéka. Labilis a fogás a középső teetetlenségi nyomatékú tengely köül. Pögettyű: Szabad tengely köüli fogó test külső eők atásáa is igyekszik megtatani fogástengelyét. Ennek közismet példái, ogy a megpögetett és eldobott diszkosz vagy fizbi tengelye változatlan maad, így a pálya második szakaszában a koong szányként fekszik fel a levegőe és a paabola pályánál tovább jutat (7.a. ába). Vontcsövű lőfegyveből kilőtt pögő lövedék fogástengelye változatlan maad, a csúcsával é célba. A mesteséges oizontot is ilyen kényszementes, áom szabadságfokú gioszkóp (Foucault, Spey) jelzi a epülőgép pilótájának. A pögettyű elfodulásának méése alapján vezéli a kományműveket a obotpilóta. A pögettyűs iánytűnél a vízszintes tengelyű gioszkóp tengelyét a Föld fogásából számazó Coiolis-eő észak-dél iányba állítja be. Az így működő iánytű előnye a mágneses iánytűvel szemben, ogy mentes a közeli vas tágyak, mágneses écek zavaó teének atásaitól. A epülőgépeken alkalmazott pögettyűs kompasz felépítése ennél bonyolultabb. Pögettyű-nyomaték: Édekes tulajdonsága a tengely stabilitásának, ogy a tengelye meőlegesen ató eő, a tengelyt, az eőe meőleges iányban póbálja kitéíteni (7.b. ába). Az N pedület és M fogatónyomaték atásáa létejövő ω elfodulása a jobb-kézszabállyal számítató. Pl. a bicikli első keeke, jobba dőlésko kományzás nélkül is jobba kanyaodik. Az elfoduló tengelyű malomkeék, a kanyaodó jámű külső keekéez asonlóan, a pögettyűnyomaték miatt, súlyánál lényegesen nagyobb eővel nyomja a talajt (7.c. ába). Több tonnás vízszintes tengelyű pögettyűvel ajó oldaliányú billegése is így gátolató (7.d. ába). Máa, 95-óta az óceánjáók stabilizátoa víz alatti uszony-páokkal csillapítja a nemkívánatos mozgást). Kényszementes gioszkóppal, a fogástengely stabilitása alapján méik a ajó bólogató-, dülöngélő mozgásait és ennek megfelelően vezéeli az uszonyokat. 7. ába: Pögettyű alkalmazásai Fita Fizika I. - 4 -
3. Munka, enegia (integál) A munkavégzés definíciója, eő szoozva iányába eső elmozdulás, azaz az elmozdulás- és eő-vektook skaláis szozataként számítatjuk (8. ába): L = F s = F s cos(j) métékegysége: [L] = N m = J, Joule 8. ába: Munkavégzés számítása Homogén gavitációs tében egy test felemeléséez szükséges munka a test súlyából és függőleges elyzetének változásából számítató: L = G s = mg Nyugalomban lévő test v sebessége töténő gyosításáoz, állandó gyosulás esetén, a következő munkát kell végezni: L = F s = ma at = m( at) = mv Állandó fogatónyomatékkal szöggyosított test megfogatásáoz szükséges munka bizonyítatóan: L = M j = Qb bt = Q( bt) = Qw Tapasztalataink szeint a munka független a folyamat köülményeitől, csak a kezdeti és végállapottól függ. Az emelés töténet gyosan vagy lassan, a test súlyát emelve, vagy csigával, emelővel (kisebb eővel, de nagyobb kötélosszal, eőkaal), ugyanannyi munkát kell végezni. A test sebességének vagy szögsebességének növelése is töténet gyosan vagy lassan, a szükséges munka csak a végsebességtől ill. a végső szögsebességtől függ. A befektetett munka sok esetben visszanyeető. Felemelt test munkavégző képességével másik test felemelető (pl. budavái sikló), vagy leejtve a test sebessége nő (pattogó labda), vagy a szögsebessége nő meg (jojó). Objektum könyezetez képesti sebessége és szögsebessége szintén munkavégző képesség leet. A testek elyzetéből, mozgási- vagy fogási állapotából számazó munkavégző képességet nevezzük enegiának. A mecanikai endszeen végzett munka növeli a endsze enegiáját, a endsze által végzett munka pedig csökkenti. Az enegia állapotjelző, azaz olyan fizikai mennyiség, amelynek megváltozása csak a kezdeti és végállapottól függ. 9. ába: Mecanikai enegia példái Fita Fizika I. - 5 -
A kinetikai enegia tétele szeint, pontendsze kinetikai (mozgási) enegiájának megváltozása egyenlő a endszee ató külső és belső eők munkájával. A külső eők munkája, a súlypontban egyesítve gondolt m tömegű endsze, a belső eők munkája pedig a súlypontoz viszonyított mozgás kinetikus enegiáját változtatja meg. A mecanikai enegia megmaadásának tövénye szeint, konzevatív endsze kinetikai és potenciális enegiájának összege állandó. Konzevatív egy endsze, a a külső eők (téeők) időben nem változnak. Konzevatív, veszteségmentes endszeben az enegia megmaadó mennyiség. Az enegia ugyanakko elatív, a munkavégző képesség az objektum és könyezetének viszonyát fejezi ki. Helyzeti enegiáól csak valamely önkényesen kiválasztott szintez képest beszélünk, iszen a tee munkavégző képessége megnőet, a alá gödöt ásunk. Nyugalomban lévő testnek nincs mozgási enegiája saját koodináta-endszeünköz képest, mégis egy elobogó vonat utasai, az ablakon kiajolva mozgási enegiáját asznosítatják. További ismet, fontosabb enegia-táolási módok, a ugó enegiája, elektosztatikus té, mágneses té enegiája. A ugó enegiája például, mivel az eő nem állandó, anem aányos a defomációval, csak a későbbiekben ismetetett integálás műveletével számítató: E = Dx Az enegia a különböző enegiák összegeként számítató, megváltozása egyenlő a munkával: E E + E + E +... D E = L de = dl = elyzeti mozgási ugalmas Az enegia-megmaadás tövénye csak veszteségmentesnek tekintett endszeben igaz. Valójában minden folyamat veszteséges, a súlódás soán a mecanikai enegia egy észe őközlésként a endsze és könyezete belső enegiáját (U) növeli, őmésékletét emeli. A munka (J: 0,kg tömeg emelése m-e) és a kaloimetiában bevezetett ő (cal: g víz ºC-kal való melegítéséez szükséges ő) egyenétékűek (cal=4,84j). kg víz ºCkal való felmelegítése teát ekvivalens 48 m-el való felemelésével. zsemle enegiájával (50kcal) például 75 kg vizet ºC-kal melegítetünk fel, vagy 836 m-e emeletjük (6 Gellét-egy). E U + E + E + E +... D E = L+ Q de = d L + dq = elyzeti mozgási ugalmas Az egységnyi idő alatt végzett munkát fejezi ki a teljesítmény. Például az állandó F eővel, v sebességgel mozgó autó teljesítménye, a a közegellenállás négyzetes függvénye a sebességnek: L F d s 3 P = d J = = F v ª v métékegysége: [P] = = W, Watt dt dt s Példa: A megmaadó mennyiségek (tömeg, anyagmennyiség, töltés, enegia, külső eők egyensúlya esetén az impulzus, fogatónyomaték iányában az impulzusnyomaték), a megmaadási tövények segítségével sok esetben egyszeűbb egy feladat megoldása, mint eőtövények alkalmazásával. Enegiaméleggel, egyetlen egyenlettel kiszámítató például, ogy mekkoa lejtőől kell leguítani egy kocsit aoz, ogy az utána egy sugaú köpályán maadjon (0. ába). A. pont mozgási enegiája feltétele a köpályának. Amennyiben a centifugális eő kisebb lenne a kocsi súlyánál, úgy a test má koábban paabola-pályáa téne. 0. ába: Enegia-megmaadás alkalmazása Fita Fizika I. - 6 -
A munkavégzés számításának bemutatott példái esetén az eő az elmozdulás soán állandó volt. A ugó esetén viszont az eő az elmozdulással aányos (F=D x). Ilyen esetben a munkát csak közelíteni leet, például az elmozdulást n észelmozdulása bontva. A észelmozdulásokon például mindenütt a legkisebb eővel számolva a észmunkavégzések összege közelíti a munkavégzést. L ª n  i= F i Dx i Minél több és keskenyebb észintevalluma bontjuk az elmozdulást, annál kisebb ibával számítató ki a munka. Ennek algoitmizálató fomája leet, a ciklikusan, adott felosztásnál számítjuk ki a munkát közelítő szozatösszeget, majd a következő lépésben minden cellát tovább felezünk. Egye több és kisebb észelmozdulása bontva, egy soozat atáétékeként kapjuk a végzett munkát. A soozat, a beít téglalapok teületének atáétéke egyben közelíti az F(x) göbe alatti teületet is, azaz akko létezik, a a göbe alatt ételmezető a teület. L = lim n  F Dx i Dxi Æ0 i = i. ába: Munka kiszámítása állandó eőnél és a ugó esetében Matek: Egy függvény göbéje alatti teület számításáa kaptunk az előzőekben eceptet. Adott f(x) függvény göbéje alatti teület x -től x -ig közelítető a beít téglalapok teületösszegével (a minden észelmozdulásnál a függvény minimumával számolunk), a köülít téglalapokkal (a mindenütt az f maximumát asználjuk a téglalapok magasságaként), vagy egy olyan egyszeűen algoitmizálató módszeel, ogy minden Δx i észelmozdulásnál a baloldali F i étékkel számolunk. A felosztás finomításával mindegyik esetben a kiszámítandó teületez közelítünk, a az egyételműen létezik. Adott intevallumon, adott függvény göbéje alatti teület atáétékként való definícióját nevezik atáozott integálnak, amelynek jelölése: T ( x, x ) = lim ( n  Dxi Æ0 i= f Dx ) = i i x Ú x f ( x) dx. ába: Hatáozott integál számítása és a atáozatlan integál függvény Fita Fizika I. - 7 -
A atáozott integál atáétékként való számítása megleetősen köülményes lenne. A gyakolati alkalmazatóságoz definiáljuk az f(x) függvény teületét leíó g(x) függvényt. Önkényesen választott x 0 -oz, a teület-függvény bámely x-e adja vissza a fenti f(x) függvény göbéje alatti teületet x 0 -tól x-ig. g( x) : = x Ú x0 f ( x) dx Az így definiált teület-függvény ábázolásánál g(x 0 )=0, iszen a göbe alatti teület nulla egy nulla szélességű intevallumon. A teület-függvény monoton nő, az ábázolt pozitív étékeket felvevő f(x) függvény esetén, de csökkenet, mivel negatív f(x) esetén a teület is negatív. A teület-függvény növekedése gyosabb, azaz meedeksége nagyobb ott, aol az f(x) étéke nagyobb, és lassabb a változás ott, aol az f(x) étéke kisebb. Egy ilyen teület-függvény ismeetében egyszeű beelyettesítéssel leetne számolni a atáozott integált, iszen az x 0 -tól x -ig tejedő teületből kivonva az x 0 -tól x -ig tejedő teületet megkapjuk az x -től x -ig tejedő teületet: x Ú x f ( x) dx = g( x) - g( x) Ráadásul ez a tulajdonság, ogy a teület-függvényből megatáozató a atáozott integál, nem függ az x 0 választásától. Másik x 0 (az ábán x 0 ) esetén a teület-függvény feljebb tolódna, iszen minden elyen ozzáadódna az x -től x -ig tejedő teületet, de a g(x) függvényből is ugyanígy ki leetne számítani a atáozott integált. A teület-függvény alkalmazásánál nem kell tudnunk, ogy ol van a választott x 0, az egymással páuzamos, eltolt teület-függvények közül melyiket tudjuk. Egy ilyen, az f(x) teületét leíó g(x) függvényt atáozatlan integál függvénynek nevezzük és jelölése: f ( x) dx Ú Az integál-függvény megatáozásáoz az a megfigyelés vezet, ogy aol az f(x)-nek nagy az étéke, ott az integál meedeksége nagy. Fodítva kimondva, aol az integál meedeksége, azaz deiváltja nagy, ott az f(x) étéke nagy. Bizonyítatóan egy f(x) függvény integáljának deiváltja maga az f(x) függvény. Az integálás és deiválás egymás invez művelete. Az alapvető elemi függvények integálja függvénytáblázatból keesető ki. Összetett függvények integálásáa, a deiválásoz asonlóan leet szabályokat levezetni, pl.: de az integálása csak euisztikus módszeek vannak. Az integálásnál keesünk egy olyan függvényt, aminek deiváltja az integandusz. Sejtésünket deiválással ellenőizetjük. Példaként a deiváltak alapján néány gyakan asznált függvény integálja: n+ n n- n ( x ) x = n x Ú x dx = n + (sin( x )) = cos( x) cos( x ) dx = sin( x) (cos( x)) = - sin( x) sin( x) dx = - cos( x) x x x x ( e = e ) Ú Ú Ú e dx = e A kinematika mennyiségeit az elmozdulás és elfodulás deiválásával számítatjuk, azaz deiválással eljutatunk egy megfigyelt jelenségtől a gyosulásig, az eőtövényeken keesztül pedig a jelenség magyaázatáig. Az integálás leetőséget ad aa, ogy egy deteminisztikus endsze viselkedését megjósoljuk. A endszeben ató eőkből kiszámítató a gyosulás és a szöggyosulás. A gyosulás integálásával kapjuk a pillanatnyi sebességet, újbóli integálással pedig az elmozdulást idő szeint, azaz, ogy mi fog töténni. Példaként kiszámítató egy állandó gyosulással mozgó test elmozdulás-függvénye. Az integálás soán a atáozatlan integál függvényez konstans éték is ozzáadató, amely a deiválásnál eltűnik és adott feladatnál fizikai jelentéssel bíat (v 0, s 0 ): a ( t) = a 0 v ( t) = a0 t + v 0 s ( t) = a0 t + v0 t + s0 Fita Fizika I. - 8 -
4. Hidosztatika, aeosztatika A nyomás fogalmát pl. egy tűsakú cipő, a kocsolya vagy a csípőfogó élének atása szemlélteteti. A nyomás az egységnyi felületen ató nyomóeő. Felület adott pontjában az eő felület szeinti diffeenciál ányadosaként számítjuk. df p = métékegysége: [p] = N = Pa, Pascal da m A Pascal tövény szeint (659) súlytalannak tekintett, nyugvó folyadék (vagy légnemű közeg) belsejében a nyomás mindenütt ugyanakkoa és független az iánytól. A nyomás leet ugyanakko izotóp, azaz iányfüggő áamló folyadékban, gázokban (lásd. tolónyomás, vagy Benoulli) vagy nyugvó, de nem ideális folyadékban (pl. viszkoplasztikus közeg aká nyugvó állapotában is leetnek éintő iányú, azaz nyíóeők). Szilád, defomált közeg esetén a nyomás jelentősen iányfüggő leet. Ebben az esetben az un. feszültség-tenzo íja le a különböző iányokban ualkodó nyomó- és nyíófeszültségeket. Súlyos, összenyomatatlan folyadék belsejében ualkodó nyomás a felülete neezedő nyomás és a idosztatikai nyomás összegeként számítató. Több, különböző sűűségű folyadékéteg esetén (koktél) a folyadékoszlopok idosztatikai nyomásai összeadódnak. p = p0 + g Az un. idosztatikai paadoxon alapján, egy edény alján a nyomás csak a folyadékoszlop magasságától függ, az edény alakjától, az edényben lévő folyadék súlyától nem. A tövénynek megfelelően omogén gavitációs tében az izobá felületek vízszintes síkok, az un. közlekedő edények mindkét száában, pl. a kőművesek szintezőjében ugyanaz a vízszint. További alkalmazások: szivonya, atézi kút, sűűség méése U alakú csőben. A folyadékok összenyomatóságával csak nagy nyomás esetén édemes számolni. Hidaulikus pés vagy gépjámű fékendszee esetén kell számolni a folyadék kompesszibilitásával. Ugyanakko a pés esetében nem édemes a folyadék súlyával számolni, iszen a idosztatikai nyomás nagyságendekkel kisebb, mint a endszeben léteozott nyomás. Tipikusan a feladat atáozza meg, ogy adott esetben el leet-e anyagolni a folyadék súlyosságát vagy összenyomatóságát.. ába: Hidaulikus pés, idosztatikai paadoxon, szivonya, atézi kút Összenyomató, súlyos közeg nyomásának szinttől való függése jóval bonyolultabb. Például levegőe, izotem légköt feltételezve a baometikus magasságfomulával közelítető a nyomás és a sűűség: p 0 - p0 = p e aol p 0 és ρ 0 a tengeszinten mét nyomás és sűűség 0 g Az izentóp toposzféa modell (n=,4) má leíja a őméséklet változását. A gadiense 0 C/km számolató. A politóp modell n=,34 mellett ad a valóságosoz közeli 6,48 C/km étéket (kb.km-ig, aol -5 C köüli). A tengeszinten mét átlagos légköi nyomás ( atm) étéke különböző métékendszeekben: atm = 0 35 Pa kg-m-s alapmennyiségekből számaztatott nyomás (SI méték) ~ 0 5 Pa = 0, MPa = 00 kpa = 000 Pa = ba atm =.033 at tecnikai atmoszféa, 0 méte magas vízoszlop sztat. nyomása atm = 760 to igany-milliméte, egy milliméte iganyoszlop sztat. nyomása A tengeszint feletti magasság nyomásméésen alapuló becslése pl. időjáás-függő. A méés koszeűbb eszköze a GPS alapú magasság-megatáozás, amelynek pontossága aká -3 cm leet. Fita Fizika I. - 9 -