49 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok 7. Gakorla 7. anermi gakorla Idenifikációs algorimusok A korábbi gakorlaok során a sabáloási körben a sakas árvielé a legöbbsör adonak éeleük fel vag fiikai modellje alapján kapuk meg. E nem minden eseben leheséges a sabáloandó sakas modelljé gakran mérések alapján kell aonosíanunk. A sakasok idenifikációjának igen kierjed sakirodalma van i a minavéeles lineáris időinvariáns és ajjal erhel modellek aonosíásával foglalkounk. A anermi gakorlao eg demonsráció egésíi ki ahol a Malab Real-ime Workshop a Malab Idenifikációs oolbox és eges dspace hp://www.dspace.de/ illeve Quanser hp://www.quanser.com hardveresköök hasnálaá muajuk be. Eek a esköök egüesen eg ún. gors prooípuserveés leheővé evő körneee biosíanak a sabáloásechnikai fejlesései feladaoka elláó mérnökök sámára. A demonsráció végigkövei a a ua amele a sabáloásechnikai hardver megvalósíása és kifejlesése uán a mérnök vége: adagűjés a folamaon a folama modelljének meghaároása a sabáloási algorimus kifejlesése és sofveres megvalósíása a sabáloási rendser végső eselése és érékelése. Hasonló feladao a hallgaók későbbi laborgakorlaokon maguk is elvégenek íg e a anermi gakorla a későbbi hasonló émájú mérések sikeres elvégésé is segíi. Sabáloási körök dinamikus minőségi jellemői ismélés Eg sabilis s -ben a bal félsíkon lévő pólusho aroó raniens annál lassabban cseng le minél köelebb van a pólus valós rése nulláho. A ár sabáloási kör ávieli függvénének nulláho legköelebbi pólusá vag konjugál komplex póluspárjá a ár rendser domináns póluspárjának neveük. Mivel a rendser gorsíása és a úllövés csökkenése a sabiliási aralék növelése álalában ellenées köveelmének eér a erveő a legöbb sabáloásnál a ár rendser sámára a ké köveelmén mérlegelésével valamilen kompromissumo válas. Ökölsabálkén elfogadhaó hog ha a öbbi pólus a domináns konjugál komplex póluspáról balra úg helekedik el hog valós résének absolú éréke legalább háromsor nagobb a domináns póluspár valós résének absolú érékénél akkor a ár rendser ámenei függvénének első maximuma helén a öbbi pólus raniense már lecseng eér a dinamikus minőségi jellemőke a domináns póluspár haároa meg. Mivel a konjugál komplex póluspár kéárolós lengő agnak felel meg eér a ár sabáloási kör jól köelíheő kéárolós lengő aggal. A ár rendser pólusainak ipikus elhelekedésé muaja a 7.. ábra.
7. Gakorla 493 s ω 0 + jωe cos 3σ e σ e s jω e ovábbi pólusok domináns póluspár 7.. ábra. A ár sabáloási kör pólusainak ipikus elhelekedése Eg ipikus sabáloási kör raniens a ár sabáloási kör ámenei függvéné muaja a 7.. ábra. v v.0v v 0.98v 0.9v 0.v rise m % 7.. ábra. Sabáloások dinamikus minőségi jellemői A ábra alapján a maradó sabáloási elérés vag saikus hiba v. A dinamikus minőségi jellemők a úllövés v [ v m v ]/ v a első maximumig erjedő idő m a sabáloási idő % és a felfuási idő rise. A
494 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok dinamikus minőségi jellemők soros kapcsolaban állnak a ár rendser domináns pólus-párjával amele a ω 0 csillapíalan sajáfrekvenciával és a ξ csillapíással jellemünk. A ár sabáloási kör dinamikus minőségi jellemői a kéárolós lengő agra ismer össefüggésekből sámíhaók a össefüggések a első anermi gakorla anagában is serepelek. Például nulla saikus hiba eseén: ω0 v exp σ e sin ωe + ω s v exp m % ξ 0 ln50 4 σ σ e e exp ξω sin ξ ω + arccosξ πξ ξ 0 ξω ± jω π ωe ω 0 ξ e π ξ és 5% 0 σ ± jω e ln 0 3. σ σ A megengede v úllövésből úllendülésből meghaárohaó a domináns konjugál komplex póluspár ξ -je. Mivel arra öreksünk hog a ár rendser minél jobban köelíse a W ár s ávieli függvén annak érdekében hog a sabáloo jellemő minél kisebb hibával kövesse a alapjele eér a ár rendser haárfrekvenciája és a felnio kör aal jól megegeő ω vágási frekvenciája kb. aonos a ár rendser köelíő kéárolós lengő ag ω 0 / örésfrekvenciájával. A ár rendser raniensének gorsaságá befolásoló ω ω haárfrekvenciából eér meghaárohaó a domináns póluspár ω0 -ja. Világos aonban hog ha például a sakas ámenei függvénéből idenifikáluk a sakas modelljé és haárouk meg a sakas i időállandói akkor a sakas ámenei függvénének relaív hibája a kedei v 0 időinervallum köelében jelenős eér rikán fogjuk úg felgorsíani a rendser hog köelébe kerüljünk ennek a időinervallumnak mer ekkor a sakas modellje már a nag relaív hiba mia nem les hiheő. Eér beveeve a sakas e s i e e 0 c summa-időállandójá a sakas ávieli függvénének neveőjé elsőrendű alor-sorával köelíve aa a sakas s időállandójú egárolós agnak felfogva ökölsabálkén elfogadhaó különösen aperiódikus egárolós agok soros kapcsolásakén felírhaó sakasok eseén a h c
7. Gakorla 495 ω 0 5 / s válasás. A rendser gorsíásá korláoák a nag jeleknél fellépő nemlineáris haások elíés sb. és a nagfrekvenciás avaró jelek is uóbbiak haásá a ár rendsernek jelenősen csökkenenie kell. ipikus diskréidejű rendsermodellek A különféle idenifikációs sofverek íg a MALAB-ra épülő és Ljung álal kifejlese Ssem Idenificaion oolbox a ovábbiakban IDE is különféle rendsermodellek idenifikációjá esi leheővé. Eek köül a anermi gakorla során kiárólag a diskréidejű ajjal erhel és egváloós SISO rendserek modelljeire fogunk koncenrálni. A rendsermodellek elneveéseiben AR auoregressív auo regressive MA mogóálag moving average X külső bemenő jele aralmaó exogenous signal OE kimenere redukál addiív aj oupu error aralmaó BJ Box-Jenkins modell serini és PEM álalános lineáris paraméerbecslési modell parameer esimaion model serini folamaokra ual. A modellek leírásában i a normaliál idő amelben a minavéeli idő és i a minavéeli időpon x eg leheséges minasoroa k k shif operáor amellel x : x k. A imén felsorol modellek differenciaegenleei a alábbiak serin adjuk meg a polinomok jelölései megegeik a IDE oolbox jelöléseivel: A e AR A B u nk + e ARX A k A k B u n + C e ARMAX B C u n + e. PEM F D A modellekben u a hasnos külső bemene a sakasra juó beavakoó jel e fehér aj a ajjal erhel kimene ovábbá A B C D F polinomok a IDE sóhasnálaa serin shif-operáorban és a n k felel meg a késleleésnek vag holidőnek n k ahol a minavéeli idő. A A C D F polinomok veeő egühaójú monic polinomok a A n shif-operáorban pl. a + a + L+ a n. Aér hog a ajmenes rendser erősíése a esőleges lehessen a B polinom már nem lehe veeő egühaójú: n b B b + b + L + b n. A ajcsaorna erősíése a e 0 σ fehér b aj megfelelőre válaso sórásával veheő figelembe. A sórás hele a IDE a λ : σ paraméer hasnálja. A MALAB konvenciója serin a
496 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok A K F polinomoka egühaóikkal kell megadni a! havánainak csökkenő sorrendjében ehá A eseén a A a a K ] sorvekor [ a n a formájában. Speciális megköés hog n k és B egserre kerül megadásra ol módon hog B elején n k darab veeő nullá súrunk be. Eg ado modell akkor ekinünk idenifikálnak ha meghaárouk a polinomok ismerelen egühaói. A polinomok egühaói a modell paraméerei. A IDE oolbox solgálaásai I néhán főbb jellemőjé ismerejük a IDE olboxnak. A oolbox solgálaásainak eléréséhe eg grafikus felhasnálói felüle is rendelkeésre áll amel elfedi a eljárások során hasnál adasrukúráka illeve amel segíségével a idenifikál rendser a LI böngéső vag a munkaér felé exporálhaó. A grafikus felhasnálói felüle a iden parancs segíségével jeleníheő meg. 7.3. ábra. A IDE oolbox solgálaásainak elérésé segíő grafikus felhasnálói felüle A IDE oolboxon belül a rendsermodell speciális h adasrukúrával jellemeheő amel sajnos elér például a Conrol Ssem oolbox ss f és pk adasrukúráiól. Ha a rendser ismer a polinomok egühaói és a fehér aj sórásnégee numerikusan ismerek mer például ismer rendseren akarunk jeleke előállíani simulációs visgálaokho pl. a idenifikációs módserek ellenőrése céljából eg ealon rendseren akkor a IDE a
7. Gakorla 497 h polh A B C D F λ függvénhívás haására felépíi és h -ban árolja a rendser jellemő adasrukúrá. A hául álló C D F λ paraméerek elhaghaók híváskor ilenkor érékük les. Simulációs visgálaokho euán ajos vag ajmenes kimenee generálhaunk ismer u és e bemenő jel és aj soroaok eseén a IDE idsim [ u e] h idsim u h függvénhívásaival. A bemenő jelek soroaai oslopvekorok formájában kell megadni a kimenő jel oslopvekorokban kelekeik. Bemenő jeleke generálhaunk például a MALAB rand és sign függvénei felhasnálásával. Ismerelen rendser idenifikációja eseén mérjük a u bemene és a ajos kimene érékei eeke össegűjjük a u és oslopvekorokban felépíjük a megfigelésekből álló és ké osloppal rendelkeő [ u] márixo megválasjuk a rendsermodell és a abban sereplő polinomok foksámai megválasjuk a holidő éréké és elvégeük a idenifikáció a IDE solgálaásaival. Mindeen lépések a grafikus felhasnálói felüle segíségével is megvalósíhaók. A idenifikációs módserek feladaa hog meghaároa a polinomok valamilen érelemben opimális paraméerei miköben a e aj érékei ismerelenek. Erre a célra a legkisebb négeek módsere LS leas squares mehod vag ennél álalánosabb paraméerbecslési echnikák a aj fehéríésé megcéló segédváloós IV insrumenal variables módser numerikus opimum keresés vag eseleg eek kombinációja alkalmahaó. A IDE a rendsermodell ípusáól függően válasja meg a idenifikációho hasnál numerikus módser. A segédváloós módser IV csak ARX modell eseén alkalmahaó. A rendsermodell polinomjaiban sereplő nemriviális paraméerek sámá ami B kivéelével a polinom foksáma eg sorvekorban kell megadni amel pl. PEM modell eseén a nn n n n n n n ] sorvekor jeleni. A 0 foksám megengede pl. n 0 [ a b c d f k eseén A ehá haásalan. Ha a válaso rendsermodell nem aralmaa a össes A K F polinomo akkor a hiánó polinom foksámá ilos serepeleni nn -ben. A megmaradó foksámok mindig a PEM eseére megado sorrendben serepeleendők nn -ben: nn n a AR nn n n n ] ARX [ a b k a
498 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok nn n n n ] IV4 [ a b k [ na nb nc nk nn ] ARMAX nn n n n n n n ]. PEM [ a b c d f k A IDE idenifikációs módserei a idenifikáció eredméné a idenifikál paraméereke és λ éréké is aralmaó megválashaó nevű h srukúrában heleik el: har ar nn AR harx arx nn ARX hiv4 iv4 nn IV4 harmax armax nn ARMAX hpem pem nn. PEM A idenifikál rendser ajmenes válasa vag simulációs visgálaoknál a ismer e ajsoroa figelembevéelével a ajos rendser válasa is meghaárohaó pl. PEM modell eseén: A idenifikáció eredméne a idsim u hpem idsim [ u e] hpem. idplo [ u] függvénhívással felrajolhaó. A polinomok egühaói kinerheők pl. PEM modell eseén a [ A B C D F] hpol hpem függvénhívással. A mérési eredméneke és a idenifikáció eredménei össerajolhajuk és viuálisan össehasonlíhajuk a MALAB álalános solgálaásaival plo sb.. Megjegeük hog öbb i sereplő függvénnek léeik álalánosabb paraméereése is IDE-ben ovábbá öbbváloós MIMO rendserek idenifikációja is leheséges. A IDE oolbox a feni diskréidejű paraméer idenifikációs módsereken kívül leheővé esi még folonosidejű lineáris állapoegenleek paraméereinek becslésé is speciális ajsrukúrák eseén illeve ávieli függvének paraméereinek meghaároásá is. Solgálaásai köö serepelnek a paraméerbecslés rekurív
7. Gakorla 499 realiációi is amelek adapív iráníásoknál jelenősek. Eeken úlmenően leheőség van nemparaméeres idenifikációra valamin a korrelációs függvének és a spekrumok sámíására is. E uóbbi sámíások algorimusai gors Fourierransformáción FF fas Fourier-ransformaion és a FF periodiciása mia alkalmasan válaso ablakoási echnikán alapulnak. A IDE oolbox algorimusai alapjául solgáló elméle bővebben Ljung: Ssem idenificaion: heor for he user című könvében alálhaó meg. Idenifikációs módserek A ovábbiakban nem foglalkounk a holidővel mer ismer n k eseén u érékeinek előeesen elvégeheő elolásával a holidő előre figelembe lehe venni. éeleük fel hog kiválasounk eg bionos M modell ípus ahol een belül a eges M modellek a paraméervekorral paraméereheők ahol a paraméervekornak eseleg bionos feléeleke kell kielégíenie sabil modell p sb.: D M R. Világos hog minden modell leheősége kínál a jóslásra. Speciálisan ha a modellosál akkor a jóslásra alkalmahaó a G u + H e 7. M : ˆ H G u + [ H ]. 7. -lépéssel előrearó predikor amel melle a predikciós hiba a kövekeő les: ε H [ G u ] 7.3 A -lépéssel előrearó predikor a hibanége várhaó érékében opimális becslés ad ha a kövekeő feléelek eljesülnek: i e + és H [ G u ] függelenek. ii e + és G u + függelenek. iii E e 0 eseén. A iii feléel fehér aj eseén mindig eljesül. Ha a rendser aluláereső jellegű akkor külső aj eseén a i és ii feléelek is eljesülnek. ár körben felve jelek vag kvanálási aj eseén aonban problémák lehenek.
500 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok A paraméerbecsléshe rendelkeésre álló ada: { u u K u }. A kérdés a hogan kell a -ben lévő információ alapján a megfelelő ˆ parméervekor és íg a megfelelő M ˆ modell kiselekálni a M {M : DM} rendserosálban: ˆ. 7.4 D M Eg ilen leképés modell-idenifikációs célú paraméerbecslésnek neveünk. Olan modell keresünk amel leírja a adaoka és úg gondolkounk hog a modell lénege a modell predikciós képessége. E a jeleni hog a jó modell kiválasásáho a kövekeőképp kell eljárni: A -ben lévő információ alapján meghaárouk a ε predikciós hibá. A időponban úg válasjuk meg ˆ éréké hog a ε ˆ K predikciós hibák a leheő legkisebbek legenek. isáni kell mi érünk kicsi ala. A predikciós hibasoroa eg vekor R -ben eér hibájá a norma négeével jellemeük. A korrelációs feléelek javíása érdekében aonban célserű előbb a predikciós hibasoroao eg sabil L lineáris sűrőn keresülküldeni: ε L ε H [ L G L u ] 7.5 F A predikciós hiba jellemésére válashaó A V ˆ becslés minimaliálással definiáljuk: ε F. 7.6 ˆ arg min V. 7.7 DM A ARX modell eseén a opimum analiikusan is meghaárohaó ha nem p korláouk a modellosál D M R más eseben opimumkereső eljárás kell alkalmani. Foglalkounk eér V deriváljainak meghaároásával. Ha L nem sűrjük a predikciós hibá akkor a gradiens a kövekeőképp haárohaó meg:
7. Gakorla 50 ] [ d d d d V ε ε ε 7.8 ] ˆ [ ] [ ε ψ d d d d 7.9. V ε ψ 7.0 ekinsük euán a második derivál Hess-márix meghaároásá. Mivel ε skalár és a vekor serini első deriválja a ψ vekor eér a második deriválja a vekor serin aonos ψ első deriváljával a vekor serin ami márix és eér + V ψ ψ ε ψ 7. és mivel ε a opimum köelében már kicsi eér a opimum köelében a V Hess-márix köelíheő a jobb oldalon álló kifejeés második agjával: H V : ψ ψ. 7. A köelíésre aér van sükség mer ψ sámíására nem áll rendelkeésre hasnálhaó kifejeés. A Hess-márix köelíése H -val leheővé esi a jó konvergencia ulajdonságú kvái ewon-módser alkalmaásá. A ARMAX és a annál bonolulabb modelleknél a IDE oolbox kvái ewon-módser hasnál. A fő problémá a opimumkeresésnél a okoa hog öbb lokális opimum lehe különösen bonolulabb rendsermodelleknél eér nag a veséle annak hog a keresés révén nem a globális opimumo hanem csak eg lokális opimumo haárounk meg. Eér sükség lehe arra hog a keresés különböő kedei érékekről indíva öbbsör is megisméeljük. ARX modell idenifikációja a legkisebb négeek módserével A ARX modell eseén : e H u G e A u A B + + 7.3
50 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok ] [ ] [ ˆ u B A A u A B A + + 7.4 ami a ] [ : + b a n u u n K K 7.5 n n b a b b a a : K K 7.6 jelölésekkel a paraméerben lineáris ˆ 7.7 predikor eredménei. A predikciós hiba és a minimaliálandó kriérium ekkor ε 7.8 V 7.9 amel eg lineáris paraméerbecslési felada amelnek megoldása a 0 V feléelből sámíhaó: + V 0 7.0 LS : ˆ. 7. Eg leheséges másik alakra juunk ha beveejük a Y K vekor és ] [ Φ K márix jelölés amellel Φ Y V és Y LS Φ Φ Φ ˆ. Eg sochasikus inerpreáció adhaó ha beveejük a R : és h : jelöléseke ahol R márix és h vekor amellel a
7. Gakorla 503 ˆ LS LS becslés [ R ] h alakú les. A R márixnak inverálhaónak kell lennie ami fiikailag a jeleni hog a jeleknek ún. "perisensen" gerjesőnek kell lenniük. Ha a megfigel adaoka a 0 valódi paraméerhe 0 0 aroó ajos + ν rendser generála akkor ˆ LS [ R ] [ 0 + ν 0 ] 0 + [ R ] ν 0. 7. LS A ˆ becslésől elvárjuk hog legen 0 köelében és konvergáljon 0 -ho ha. Ha jelek sacionáriusak és ergodikusak a jel bármelik elég hossú repreenációjának álagai jól köelíik a valósínűségi álagoka akkor R auokorrelációs függvénhe és h R kereskorrelációs R ν függvénhe ar. Ekkor annak feléele hog a LS becslés konisens legen aa eljesüljön ˆ LS 0 ahol 0 a valódi paraméer amel a valódi rendserhe aroik ekvivalens a R ψν 0 0 feléellel vagis ekkor a megfigeléseknek és a ν ajnak korrelálalannak kell lenniük. 0 A LS-becslés numerikus meghaároásakor a ún. regressiós vekorok sámíásáho álalában csak a u megfigelések állnak rendelkeésre eér n a és n b érékéől függő sámú és a LS becsléshe sükséges 0 időponokho aroó kedei érékek hiánonak. Eér a adasor rendserin csak n + érékől ekinjük ahol n max{ n a n b }. A probléma áidexeléssel és alkalmas ádefiniálásával a eredei alakra ransformálhaó. ARX modell idenifikációja a segédváloók módserével Min láuk a 0 ˆ lineáris regressiós modell eseén problémá okoha ha a megfigelés és a ν 0 aj korrelál. A korreláció csökkenésére próbálkounk meg lecserélésével eg alkalmasan válaso ξ jelre a ún. segédváloóra IV insrumenal variable a becslés képleének alkalmasan megválaso helén. Ha a valódi rendser 0 + ν 0 akkor ν 0 0 eér a LS becslés a kövekeő alakban is megfogalmahaó: ˆ LS sol [ ] 0 7.3
504 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok ahol sol a megoldásra soluion ual. Eér olan ξ segédváloó keresünk amelre ˆ IV sol ξ [ ] 0. 7.4 Ekkor a IV becslés alakja a kövekeő les: Ahho hog a ξ ˆ IV : ξ. 7.5 ˆ becslés arson a valódi 0 paraméerhe nag eseén eljesülnie kell a / ξ ν 0 feléelnek. Ha a álagoka várhaó 0 érékkel heleesíjük akkor a ξ segédváloónak ki kell elégíenie a kövekeő feléeleke: Eξ nemsinguláris 7.6 Eξ ν 0 0. 7.7 E a jeleni hog a ξ segédváloónak korrelálnak kell lennie a megfigelésekkel uganakkor korrelálalannak kell lennie a ν ajjal. A IDE a numerikusan jó ulajdonságú IV4 algorimus hasnálja a ARX modell paraméereinek segédváloós módserrel örénő meghaároására.. Írjuk fel a modell srukúrá a ˆ lineáris regressiós alakban és haárouk meg θ becslésé LS módserrel. Jelölje ˆ 0 ˆ a íg kapo becsül paraméer és G a hoáaroó ávieli függvén. Legen ˆ x G u.. Legenek a segédváloók ξ [ x K x na u K u n b + ] és haárouk meg IV a hoáaroó ˆ ˆ : IV becslés. Jelölje a ˆ -hö aroó ávieli függvén ˆ ˆ / ˆ G B A és legen ˆ x G u.
7. Gakorla 505 3. Legen ˆ ˆ : ˆ w A B u és írjunk elő eg n a + nb foksámú AR modell wˆ sámára amel nem más min a második modell eseén fellépő egenlehiba: L wˆ e.haárouk meg L becslésé a LS módserrel ekkor -ben hiánonak a u -ho aroó agok. ˆ Jelölje a LS becslés eredméné L. 4. Képeünk a új Lˆ ξ [ x K x n u K u n + ] ˆ segédváloóka. Alkalmauk a L elősűrő és sűrésére is és a íg kapo sűr F filered jelekkel legen a végső IV F F becslés ˆ : ξ F ξ F. ARMAX modell idenifikációja kvái ewon-módserrel A IDE oolbox a A B u + C e ARMAX modell eseén a paraméerbecslésre a kvái ewon-módser serini opimum keresés hasnálja. A -lépéssel előrearó predikor algorimusa alkalmahaó a ARMAX modellre amel alapján sámíhaó ˆ és ε eek ismereében pedig a hibakriérium V gradiense ovábbá a Hess-márix H köelíésében d hasnál ψ [ ˆ ]. A IDE oolbox a ARMAX modell d idenifikációjáho is öbblépéses algorimus hasnál amelnek induló lépése IV4. A idenifikál modellel sembeni elvárások A diskréidejű lineáris modellekkel kapo idenifikációs eredménekől elvárjuk hog minavéelee folonosidejű analóg lineáris rendserhe aroanak. Ismerees hog ha s i a folonosidejű rendser pólusa akkor ennek a minavéelee rendser diskréidejű ávieli függvénében a si i e pólusba kell leképődnie. E a jeleni hog ha i a negaív valós engelen lévő pólusa a idenifikál modellnek és mulipliciása páralan akkor a modell nem aroha folonosidejű lineáris rendserhe mer annak si ln i / komplex érékű pólusai csak a s~ i konjugál komplex párjukkal egü fordulhanak elő ami nem eljesülhe ha i a negaív valós engelen lévő páralan mulipliciású pólus. a b
506 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok A IDE sabil rendser feléeleve megoldja hog a numerikus ponalanságok mia eseleg a egségkörön kívülre a insabil arománba eső modell pólusok vissakerüljenek a egségkör belsejébe aálal hog i i > eseén i - auomaikusan i -gel heleesíi. Elképelheő aonban hog pl. a LS módserrel kapo ARX modell jelei jól köelíik ugan a idenifikációho hasnál a ismerelen rendseren regisrál bemenő és kimenő jeleke de pl. a kvanálási hibák kövekeében a diskréidejű modell bionos pólusai a negaív valós engel [ 0 inervallumába esnek és páralan mulipliciásúak. Ekkor javasolhaó a bonolulabb de ponosabb IV4 vag ARMAX modellek hasnálaa. Ellenőrő kérdések a gakorlaho. Adja meg a auoregressív AR és mogóálag MA folamaok diskréidejű modelljeinek definíciójá. Adja meg a diskréidejű ARX és ARMAX modellek érelmeésé eek álalánosíásaikén.. Veesse le hog a b + b b + b Y D + a + a + a + a U ávieli függvénű diskréidejű rendser idenifikációja lineáris paraméerbecslési feladara vee a x x k q k alakú beveeésével. Adja meg a rendserhe aroó és felépíésé. elolásoperáor 3. Adja meg a lineáris paraméerbecslési felada V veseségfüggvéné a lineáris paraméerbecslési felada álalános megoldásának ké alakjá és a abban sereplő kifejeések érelmeésé. Menniben váloik a megoldás W súloómárix előírása eseén? 4. Adja meg a G q u + H q e addiív sínes ajjal erhel rendser eseén a opimális -lépéssel előrearó ˆ jóslás és a ε reiduál becslési hiba alakjá. Muassa meg a eredmén felhasnálásával mi les ARX modell eseén a ˆ jóslás és a ε reiduál alakja. 5. Adja meg ARX modell eseén a opimális LS ˆ paraméerbecslés alakjá. Muassa meg hog 0 + ν 0 jel eseén becslési hiba léphe fel és adja meg mire kell örekedni ennek kiküsöbölése érdekében.
7. Gakorla 507 6. ARX modell eseén a opimális LS ˆ paraméerbecslés ˆ LS sol [ ] 0 alakban is felírhaó. Muassa meg milen módosíás végünk een a ξ segédváloó insrumenal variable érelmeésekor. Adja meg a segédváloós IV módser IV ebből kövekeő ˆ paraméerbecslésének alakjá. Adja meg a segédváloóval semben ámaso ké köveelmén ha a jel 0 0 + ν alakú. 7. Adja meg ARMAX modell alakjá és alkalmaása eseén a ˆ jóslás és a ε reiduál alakjá. Milen numerikus módser hasnál a Ssem Idenificaion oolbox a ARMAX modell paraméereinek meghaároásakor? 8. Eg ismerelen rendseren adagűjés végeve rendelkeésre állnak a u K bemenő- és kimenőjelek a és u vekorokban oslopfolonosan. A rendser b + b + b3 D 3 + a + a + a3 diskréidejű lineáris modelljé a Ssem Idenificaion oolbox harxarxnn függvénhívásával akarjuk meghaároni. Adja meg a hívás megelőő előkésíő lépéseke a hívás és a ARX modell idenifikál paraméerei kinerő lépéseke MALAB uasíások formájában. 9. Eg ismerelen rendseren ár sabáloási körben adagűjés végeve rendelkeésre állnak a sakas u K bemenő- és kimenőjelei a és u vekorokban oslopfolonosan. A rendser b + b + b3 D 3 + a + a + a3 diskréidejű lineáris modelljé a Ssem Idenificaion oolbox hiv4iv4nn függvénhívásával akarjuk meghaároni. Adja meg a hívás megelőő előkésíő lépéseke a hívás és a modell idenifikál paraméerei kinerő lépéseke MALAB uasíások formájában. 0. Eg ismerelen rendseren ár sabáloási körben adagűjés végeve rendelkeésre állnak a sakas u K bemenő- és kimenőjelei a és u vekorokban oslopfolonosan. A rendser D 3 b + a + b + b 3 + a + a 3
508 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok diskréidejű lineáris modelljé a Ssem Idenificaion oolbox harmaxarmaxnn függvénhívásával akarjuk meghaároni. A ajmodellben sereplő polinom foksámá a sakas rendsámával aonosnak válasjuk. Adja meg a hívás megelőő előkésíő lépéseke a hívás és a modell idenifikál paraméerei kinerő lépéseke MALAB uasíások formájában.. Lassan váloó munkaponok eseén eg ismerelen SISO rendser lineáris paraméerbecslésen alapuló modelljének paraméervekorá rekurív paraméerbecsléssel akarjuk idenifikálni. Jelölje λ 0] a felejési éneő. Adja meg a felejés alkalmaó V veseségfüggvén alakjá. Adja meg a ˆ [ ΦΛΦ ] ΦΛY opimális becslésben sereplő Φ Λ Y érelmeésé. udván hog a rekurív megoldás ˆ ˆ + P [ ˆ ] alakra hohaó mi a P márix definíciója és léeik-e rekurív sámíására sinén ár alak.. ulla vag ismer u bemenőjel eseén a nemlineáris rendser állapoegenlee x & f x alakra hohaó. Legen ξ a állapoegenle eg megoldása egensúli helee haárciklusa vag más megoldása. Adja meg a ξ megoldás Ljapunov-érelemben ve sabiliásának definíciójá és a definíció illusrációjá mérnöki felfogásban eg rajon is speciálisan x R eseén. Mi érünk egenlees sabiliáson és asimpoikus sabiliáson? 3. Adja meg a V x poiív defini függvén definíciójá. Mi les a negaív defini és a negaív semidefini függvén érelmeése? Hol van serepe a poiív negaív defini függvéneknek? 4. egük fel hog a x & f x nemlineáris rendsernek ξ 0 egensúli helee. Adja meg Ljapunov első éelé direk módser a ξ 0 egensúli hele sabiliásvisgálaáho. Adja meg a abban sereplő V x Ljapunovfüggvén idő serini V & x deriváljának alakjá V -vel és f -fel kifejeve. Mikor les a rendser asimpoikusan is sabil? 5. egük fel hog a x & f x nemlineáris rendsernek ξ 0 egensúli helee. Adja meg Ljapunov második éelé indirek módser a ξ 0 egensúli hele sabiliásvisgálaáho amel kapcsolao erem a
7. Gakorla 509 x & A x lineariál rendser és a x & A x + f x alakra hoo nemlineáris rendser ξ 0 egensúli heleének sabiliása köö. 6. Adja meg a x & Ax időinvariáns lineáris rendser klassikus sabiliásfogalma és a Ljapunov-sabiliás kööi kapcsolao. Adja meg a Ljapunov-egenlee és a megoldására épülő V x Ljapunov függvén. 7. Legen a x & f x időinvariáns nemlineáris rendsernek ξ 0 egensúli helee. Adja meg a invariáns halma és a maximálisan invariás halma definíciójá. Adja meg a LaSalle-éel a egensúli hele sabiliásvisgálaáho. Adja meg a asimpoikus sabiliás feléelé a maximális invariáns halmaal kifejeve.