Szabályozástechnika II.

Átírás

1 TÁMOP F-14/1/KONV A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK DUÁLIS ÉS MODULÁRIS KÉPZÉSEINEK KIALAKÍTÁSA A PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEMEN Jancskárné Anweiler Ildikó Szabályozástechnika II. Pécs 215 A tananyag a TÁMOP F-14/1/KONV azonosító számú, A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen című projekt keretében valósul meg.

2

3 TÁMOP F-14/1/KONV A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK DUÁLIS ÉS MODULÁRIS KÉPZÉSEINEK KIALAKÍTÁSA A PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEMEN Szerző: Jancskárné dr. Anweiler Ildikó Szakmai lektor: dr. Gerzson Miklós Nyelvi lektor: Veres Mária Kiadó neve Kiadó címe Felelős kiadó: ISBN szám Pécsi Tudományegyetem Műszaki és Informatikai Kar Pécs, 215 Jancskárné dr. Anweiler Ildikó

4

5 TARTALOMJEGYZÉK 1. Bevezetés Jelölésjegyzék PID-szabályozás Az automata üzemmód és a végrehajtó jel munkapontja A PID-szabályozó szerkezete Az arányos szabályozó: P-szabályozó P-szabályozó és önbeálló szakasz alkotta szabályozási körök Maradó szabályozási hiba (Steady-state error) P-szabályozó és egytárolós szakasz alkotta szabályozási kör A P-szabályozó hatása az átviteli karakterisztikára A végrehajtó szerv telítése Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval szabályozva Feladat: Harmadrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval szabályozva Szimuláció az időtartományban Integráló szakasz P-szabályozóval Szimuláció az időtartományban Vizsgálat frekvenciatartományban A szabályozások típusszáma típusú szabályozás típusú szabályozás típusú szabályozás Integráló szabályozó Az I-szabályozó hatása a hurokátviteli karakterisztikára A szabályozási kör átviteli karakterisztikája Egytárolós szakasz I-szabályozóval Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval

6 Harmadrendű időkésleltetéses szakasz I-szabályozóval A P- és I-szabályozás összehasonlítása időtartományban Integráló szakasz I-szabályozóval PI-szabályozó A PI-szabályozó hatása a hurok átviteli karakterisztikájára A beavatkozó szerv telítésének hatása az I-szabályozásra Kéttárolós rendszer PI-szabályozóval A P-, I- és PI-szabályozás összehasonlítása Póluskompenzálás PI-szabályozóval Háromtárolós rendszer szabályozása PI-szabályozóval, példa PD-szabályozó (ideális) A PD-szabályozó frekvenciafüggvénye A PD-szabályozó hatása a frekvenciaátvitelre PID-szabályozó A PID-szabályozó átmeneti függvénye A PID-szabályozó frekvenciaátviteli karakterisztikája Szűrés a D-tagon PD-szabályozó szűrt D-taggal: közelítő PD-szabályozó A közelítő PD-szabályozó frekvenciafüggvénye Fázissiettető/késleltető kompenzációs tag A közelítő PID-szabályozó Holtidős rendszerek szabályozása Arányos, holtidős hurok Integráló, holtidős hurok Feladat: holtidős szabályozások összehasonlítása A PID-szabályozó paraméterbeállítási módszerei A PID-szabályozó paramétereinek hatása a szabályozás dinamikájára Tapasztalati szabályozóhangolási módszerek Zárt körön végzett kísérletezések Felnyitott körben végzett vizsgálatok: A szakasz átmeneti függvényének kimérésén alapuló módszerek

7 5.3. PID-szabályozót eredményező, modellalapú szabályozótervezés Lambda tuning módszer Célfüggvény minimalizálásán alapuló szabályozóhangolási módszerek, integrálkritériumok A PID-szabályozó paramétereinek beállítása a frekvenciatartományban Tervezés elsőrendű zárt köri átviteli karakterisztikára Tervezés másodrendű zárt köri átviteli karakterisztikára A hurokátviteli függvény tervezése Feladatok Feladat Feladat Szabályozás kisegítő jellemzőkkel: Az egyhurkos szabályozás teljesítményének javítása Kaszkádszabályozás A kaszkádszabályozás koncepciója A kaszkád struktúra kialakíthatóságának feltételei A kaszkádszabályozás hangolása Példa kaszkádszabályozásra Feladat: kaszkádszabályozás hangolása és a teljesítményjellemzők összehasonlítása Példa Feladat Feladat Feladat Feladat Feladat Zavarkompenzációs szabályozás A zavarkompenzálások összehasonlítása Feladat Kérdések Irodalomjegyzék

8

9 1. BEVEZETÉS A szabályozástechnika jegyzet műszaki informatikus hallgatóknak készült. A jegyzet célja kettős: egyrészt biztosítani kívánjuk a hallgatóknak az előadásokon bemutatott prezentációk képanyagát, levezetéseit és szimulációs programjait, másrészt támogatni szeretnénk az önálló felkészülést kérdéssorokkal, gyakorló feladatokkal. Hangsúlyozni szeretnénk, hogy a jegyzet nem tartalmazza a klasszikus szabályozástechnika átfogó, teljes körű ismeretanyagát. A jegyzet kimérete megfelel az egyszemeszternyi Szabályozástechnika című tantárgy ismeretanyagának. Feltételezzük, hogy a hallgatók már teljesítették a Jelek és rendszerek és a Méréstechnika című tárgyakat. Ismertnek tételezzük fel az alapvető jelátviteli tagokat és azok idő- és frekvenciatartománybeli leírási módszereit; a tipikus vizsgáló jeleket és az azokra adott válaszidő függvényeket; a frekvenciafüggvények ábrázolási módjait; a stabilitásvizsgálati módszereket. A jegyzet fejezeteinek sorrendje, felépítése szorosan követi a szabályozástechnika előadások tematikáját. Didaktikai szempontból egyes általánosító, illetve speciális problémákat bemutató témakörök tárgyalása néhány bevezető jellegű fejezet áttekintése után kerül sorra, mivel így a hallgatóknak már van némi rálátásuk a probléma jellegére. A szabályozástechnika tananyaghoz készült szimulációs programokkal az angol nyelvű oktatást is támogatni szeretnénk, ezért ezek frontpanel felülete angol nyelvű. Az idegen nyelvű szakirodalom tanulmányozásához elengedhetetlen, hogy a magyar anyanyelvű hallgatók is ismerjék az angol szakmai kifejezéseket. A jelölésjegyzékben megadtuk a jelölések angol nyelvű megfelelőjét is. A jegyzet alapozó jellegű és szűk kiméretű. Az érdeklődő hallgatók az egyes témakörök részletesebb kifejtését megtalálhatják a kötelező, illetve ajánlott irodalomban. Különösen az alábbi könyveket ajánlunk a hallgatók figyelmébe: [1] Keviczky, Bars, Hetthéssy, Barta, Bányász: Szabályozástechnika, Műegyetemi Kiadó, 26. [2] Nise: Control system engineering, Wiley, 211. [3] Dorf, Bishop: Modern Control Systems, Prentice Hall, 21. A jegyzet jelöléseit igyekeztünk ehhez a három, számos esettanulmányt is bemutató könyvhöz igazítani. Reméljük, hogy az egységesített jelölésrendszer segíti az érdeklődő hallgatókat az ajánlott szakirodalom tanulmányozásával az ismeretek elmélyítésében, az esettanulmányok keresésében és feldolgozásában. 5

10

11 2. JELÖLÉSJEGYZÉK Jel Rövidítve Megnevezés (angolul) δ(t) Dirac-impulzus (Dirac-pulse signal) Dinamikus pontosság/hibasáv (error band to settling time) (rendszerint ± 5% vagy ± 2%) ε(t) 1(t) Egységugrás jel (Unit step signal) Csillapítási tényező (Damping ratio) %OS Túllendülés, %-os túllövés (Overshoot, Percent overshoot) Holtidő (Time delay, dead time, transport lag, time lag) () Fáziskésés (Phase frequency response) ω ω c ω d c crit Frekvencia, körfrekvencia [rad/s] Sajátfrekvencia (Natural frequency) [rad/s] Vágási körfrekvencia (Cut-off frequency) [rad/s] Csillapított sajátfrekvencia (Damped frequency of oscillation) [rad/s] Vágási, indexben (crossover or cut-off) Kritikus, indexben (critical) d(t) d Zavarójel (Disturbance signal) D(s) Zavarójel Laplace-transzformáltja e(t) e Hibajel (Error signal) E(s) E Hibajel Laplace-transzformáltja FOPTD g(t) Egytárolós, azaz elsőrendű időkésleltetéses, holtidős rendszer rövidítése (First-Order Plus Time Delay) Súlyfüggvény (Pulse response) G(s) G Átviteli függvény (Transfer function) G (s) G Hurokátviteli függvény (open-loop transfer function) G C(s) G c, C Szabályozó átviteli függvénye (Transfer function of the controller) G D(s) G D, D Zavarátviteli függvény (Transfer function for disturbance) G N(s) G N Zajátviteli függvény (Transfer function for noise) G P(s) G P, P A szabályozott szakasz átviteli függvénye (Transfer function of the plant) 7

12 Jel Rövidítve Megnevezés (angolul) G R(s) G R Alapjel-átviteli függvény (Transfer function for reference) G Tr(s) G Tr Jelátalakító/Távadó átviteli függvénye (Transfer function of a signal transducer) k Erősítési tényező, erősítés (dimenzió mentes esetben) (Gain of plant) Hurokerősítés k K A szabályozó erősítési tényezője (Controller gain) K i A szabályozó integrálási átviteli tényezője (Integral gain) (A megkülönböztethetőség miatt kisbetű az indexben.) K D A szabályozó differenciálási átviteli tényezője (Derivative gain) K P A szabályozó arányossági átviteli tényezője (Proportional gain) M(ω) Amplitúdóviszony (Magnitude frequency response) N(s) Zaj Laplace-transzformáltja r(t) r Alapjel (Reference signal, set point: SP) R(s) Alapjel Laplace-transzformáltja s Laplace-transzformáció komplex változója, komplex frekvencia S F,P (s) S(s) Érzékenységi függvény (Sensitivity of F to a fractional change in P) ss Indexben: időben állandósult, steady-state t tr Idő (time) Indexben: időben változó, transient T Időállandó (Time constant); digitális jelek: mintavételezési ciklusidő Integrálási időállandó (Integral time constant) T i T D T p T r T s Differenciálási időállandó (Derivative time constant) Maximum-idő (Peak time) Felfutási idő (Raising time) Szabályozási idő (Settling time) T(s) Kiegészítő érzékenységi függvény (Complementary sensitivity function) u(t) u Szabályozó kimenő jele, végrehajtó jel (Controller output) u m(t) u m Módosított jellemző (Manipulated variable) v(t) Átmeneti függvény (Step response) 8

13 Jel Rövidítve Megnevezés (angolul) y(t) y Kimenő jel (Output signal, controlled variable: CV) Y(s) Kimenő jel Laplace-transzformáltja y n(t) y n Zaj, mérési (Noise signal) y ss(t) y ss Kimenő jel állandósult komponense (Steady-state component of the output signal) y tr(t) y tr Kimenő jel tranziens komponense (Transient component of the output signal) 9

14

15 3. PID-SZABÁLYOZÁS Az iparban leggyakrabban alkalmazott szabályozó típus az ún. PID-szabályozó, illetve annak módosított változatai. A vizsgálatainkat a 1. ábra szerinti egyszerűsített hatásvázlat figyelembevételével végezzük el, a mérési zajoktól egyelőre eltekintünk. Zavaró jel D(s) Szabályozási rendszer Alapjel R(s) + _ Hibajel E(s) Szabályozó C(s) Végrehajtó jel U(s) Szakasz P(s) + + Szabályozott jellemző Y(s) 1. ábra A vizsgálatokban feltételezett hatásvázlat 3.1. AZ AUTOMATA ÜZEMMÓD ÉS A VÉGREHAJTÓ JEL MUNKAPONTJA Mielőtt elmélyednénk a PID-szabályozó részletes vizsgálatában, tekintsük át egy klasszikus szabályozó berendezés automata üzemmódba kapcsolásának lépéseit. A szabályozónak kétféle üzemmódja van: automata üzemmódban a szabályozó kimenő jele a szabályozóban áramkörökkel kialakított (vagy digitális szabályozó berendezés esetén a kódolt) és megfelelően paraméterezett szabályozó átviteli függvénynek megfelelően alakul. Kézi üzemmódban a szabályozó kimenő jelét a kezelő személy módosíthatja, állíthatja a két végérték között tetszőleges értékre. A szabályozás automata üzemmódba kapcsolása előtt, akár önálló szabályozó berendezésről van szó, akár egy számítógépes irányítórendszer része, elvisszük a rendszert kézi üzemmódban (vagy vezérlőalgoritmussal) a munkapont közelébe a lökésmentes átkapcsolás érdekében. Az automata üzemmódba kapcsolás lépései röviden összefoglalva a következők: 1. A szabályozót kézi üzemmódba állítjuk. A szabályozó kimenő jelét addig módosítjuk, míg a szabályozott jellemző a kívánt alapérték közelébe nem kerül. Megvárjuk az egyensúlyi helyzetet, állandósult állapotot: a szabályozott jellemző már nem változik, értéke megfelel a beállított végrehajtó jelnek. 11

16 2. Ekkor az alapjelet beállítjuk az ellenőrző jel értékére, vagyis gondoskodunk róla, hogy nullaértékű hibajelünk legyen. Ez azt jelenti, hogy a szabályozó bemenő jele nulla. 3. Most már átkapcsolhatunk automata üzemmódba, ezt hívjuk lökésmentes átkapcsolásnak. Ha a szabályozó bemenő jele nulla, nincs hiba, nem kell beavatkoznia a rendszerbe, tehát a kimenő jelét nem módosítja. Jegyezzük meg a szabályozó viselkedését: a nullaértékű hiba bemenő jelre a szabályozó nem nullázza le a kimenetét, hanem nem változtatja meg a kimenetet, az ún. munkaponti értéket! 4. Ezután most már automata üzemmódban állítsuk be a pontos kívánt alapjelet, ami most már csak kissé tér el a manuálisan beállított értéktől. (Ugrásszerű gerjesztésnek felel meg.) A szabályozó bemenetén megjelenik a megfelelő hibajel. Erre a szabályozó reagál: elkezdi módosítani a végrehajtó jelet, a beállított karakterisztikának és paraméterezésnek megfelelő módon és mértékben. A szabályozó addig változtatja a kimenő jelét, amíg a tranziensei lecsengnek (stabil rendszert feltételezve), ekkor a szabályozó kimenete és így a szabályozott jellemző is újabb stacioner állapotba kerül. A szabályozás típusától függően zérus vagy konstans maradó hiba mellett. Jegyezzük meg: a következőkben tárgyalt szabályozó karakterisztikák a szabályozó kimenő jelének megváltozását írják le! Hogyan reagáljon a szabályozó a nullától eltérő hibajelre? A szabályozó stratégiáját az állásos szabályozáshoz képest finomítjuk: a szabályozó módosíthatja a kimenő jelét a hibával arányos módon (nevezzük P-hatásnak), a hiba megváltozásával arányosan (nevezzük D-hatásnak) és a hibával arányos lehet a kimenő jel változása (legyen ez az I-hatás). Ezen hatások összesítésével jutunk el az ún. PIDszabályozóhoz, amelyet a továbbiakban részletesen áttekintünk. 12

17 3.2. A PID-SZABÁLYOZÓ SZERKEZETE A PID- (Proportinal-Integral-Derivative) szabályozó összetett szerkezetű: párhuzamosan kapcsolt P-, I- és D-jelátviteli komponensekből tevődik össze. A PIDszabályozó belső szerkezetének egyik lehetséges kialakítása a 2. ábra szerinti. Ebben az elrendezésben a szabályozó komponenseit az arányos, integráló és differenciáló átviteli tényezőkkel jellemezhetjük. C(s) E(s) U(s) 2. ábra PID-szabályozó szerkezete, átviteli tényezős verzió A PID-szabályozó kimenő jelének általános képlete: t de(t) u(t) = K P e(t) + K i e(τ)dτ + K D. dt (1.) A PID-szabályozó átviteli függvénye a 2. ábra szerint: C(s) = K P + K i s + K Ds. (2.) A PID-szabályozó szerkezetének van egy másik, szintén elterjedt felírási módja is, amely a 3. ábra ábrán látható elrendezés szerint definiálja a komponenseket. Ebben az esetben a szabályozót az erősítéssel, az integrálási és a differenciálási időállandókkal jellemezzük. 13

18 C(s) E(s) U(s) 3. ábra PID-szabályozó szerkezete, időállandós verzió A szabályozó kimenő jelének általános képlete: u(t) = K P (e(t) + 1 t de(t) e(τ)dτ + T T D i dt ). (3.) Ekkor az átviteli függvény az alábbi összefüggéssel írható le: C(s) = K P (1 + 1 T i s + T Ds). (4.) A kétfajta kifejezés egymásba konvertálható, ekvivalens egymással. u(t) = K P e(t) + K t P de(t) e(τ)dτ + K T P T D i dt, (5.) ahol: K i = K P T i és K D =K P T D. Vizsgálatainkban az időállandós verziót részesítjük előnyben. A PID-szabályozóból megfelelő paraméterezéssel egyszerűbb szabályozók származtathatók, lásd az alábbi táblázatot: Szabályozó típusa Átviteli függvény PID-paraméterezés P- C(s) = K P T i =, T D = I- (csak az első verzió szerinti elrendezésben lehetséges) C(s) = K i s K P =, K D = PI- C(s) = K P (1 + 1 T i s ) T D = PD- C(s) = K P (1 + T D s) T i = 14

19 3.3. AZ ARÁNYOS SZABÁLYOZÓ: P-SZABÁLYOZÓ Az arányos szabályozó megfelel a tiszta arányos jelátviteli tagnak. A szabályozó kimenő jele minden időpillanatban arányos a hibajellel P-SZABÁLYOZÓ ÉS ÖNBEÁLLÓ SZAKASZ ALKOTTA SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK Legyen a szabályozó átviteli függvénye: és a szabályozott szakasz átviteli függvénye: C(s) = K P, (6.) P(s) = k 1 + L(s), (7.) ahol L(s) az s polinomja, minimum első rendű komponensekkel. Például L(s) = T 1 s vagy L(s) = T 2 2 s 2 + 2ξT 2 s stb. A hurokátviteli függvény: Az alapjelátviteli függvény: G (s) = kk p 1 + L(s) = k 1 + L(s). (8.) G R (s) = G (s) 1 + G (s) = k 1 + L(s) k L(s) (9.) G R (s) = k L(s) k (1.) G R (s) = k 1 + k k =. L(s) L(s) (11.) k 1 + k A zárt köri alapjelátviteli függvénynek a nevező polinomja ugyanolyan fokszámú, mint a szakasz átviteli függvényének a nevező polinomja, de a zárt köri erősítési tényező és az időállandók a szakasz paramétereinek 1/(1 + k ) -ad részére csökkennek. 15

20 Figyeljük meg: mivel k < 1, ezért csak végtelen nagy hurokerősítés esetén lenne az alapjelkövetés erősítési tényezője egyenlő 1-gyel: lim k = 1. Ez azt jelenti, 1+k hogy maradó szabályozási hiba lép fel. Az időállandók csökkenése a válasz tranzienseinek gyorsabb lecsengését jelentheti, azaz gyorsabb szabályozást eredményez, feltéve, hogy a nagyobb erősítés miatt nem növekszik meg túlzottan a lengésre való hajlam MARADÓ SZABÁLYOZÁSI HIBA (STEADY-STATE ERROR) Tételezzük fel, hogy az alapjel egységugrás szerint változik: r(t) = ε(t), melynek Laplace-transzformáltja: R(s) = 1. A szabályozott jellemző állandósult értéke a s Laplace-transzformáció kezdeti és végérték tétele szerint: y ss = lim t y(t) = lim s sy(s) = lim s sg R (s)r(s) = lim s sg R (s) 1 s = lim s G R(s) azaz a maradó hibajel értéke: y ss = k 1 + k, (12.) e ss = e( ) = r y ss = 1 k 1 + k = k. (13.) Minél nagyobb az erősítés, annál kisebb lesz a maradó hiba. Mivel k = kk P, és k folyamatparaméter (tehát adott), elméletileg K P növelésével tudjuk csökkenteni a maradó hiba mértékét. K P növelése azonban növeli a szabályozott jellemző lengésre való hajlamát is, és labilis viselkedést eredményezhet. Amennyiben előírjuk a maradó hiba megengedhető mértékét, a szakasz erősítési tényezőjének ismeretében a szabályozó erősítése meghatározható: amelyből a szabályozó erősítése: e( ) = e = 1 1 =, 1 + k 1 + kk (14.) P k K P = 1 e ke. (15.) Látható, hogy ha a maradó hibára méretezzük a szabályozót, a szabályozó erősítési átviteli tényezője csak a szakasz erősítésétől függ, azaz független az időállandók számától és azok értékétől. Az elméletileg helyes számítást viszont korrigálnunk kell, ha a beavatkozó szerv telítése bekövetkezhet (lásd később). 16

21 P-SZABÁLYOZÓ ÉS EGYTÁROLÓS SZAKASZ ALKOTTA SZABÁLYOZÁSI KÖR A szabályozási kör hatásvázlata: R(s) + _ E(s) U(s) P D(s) + + Y(s) G 4. ábra Egytárolós tag szabályozása arányos szabályozóval Ekkor a (7.) egyenletben: és így az alapjelátviteli függvény alakja: L(s) = T 1 s, (16.) k G R (s) = T 1 s + 1, (17.) ahol k = k 1+k és T 1 = T 1 1+k, /emlékezzünk: k = kk P! Az erősítési tényező növelésével nemcsak a maradó hiba csökkenthető, hanem a szabályozási idő is. Minél nagyobb a szabályozó K P erősítése, annál kisebb lesz T 1, azaz annál gyorsabb lesz a szabályozás. Az alapjelkövetésnek és a zavarkompenzálásnak a szabályozó paraméterétől függő válaszfüggvényeit mutatja a 5. ábra és a 6. ábra. Ha a cél a minél gyorsabb szabályozás, és nem a maradó hibát akarjuk korlátozni (lásd (14.) és (15.) egyenletek), a szakasz ismert T 1 időállandójából és a célul kitűzött T 1 időállandóból is kiszámítható a szabályozó K P erősítése. T 1 T 1 = K 1 + kk P = T 1 T 1 P kt. (18.) 1 A képlet alkalmazására egy későbbi fejezetben láthatunk számpéldát. 17

22 Kp K P 1..8 Ar = 1.6 Ar = 2.4 Ar = 5 Ar = 1.2 Kp növekszik, Ts csökken Kp növekszik, csökken. Ts, K P =2 Ts, K P = t[s] 5. ábra P-szabályozó és PT1 szakasz, zárt kör válasza egységugrás alapjelváltozásra Szabályozás nélkül (k=1) Szabályozással Maradó hiba 6. ábra P-szabályozó és egytárolós szakasz válasza egységugrás zavarásváltozásra A P-SZABÁLYOZÓ HATÁSA AZ ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA Az előző fejezetben bemutattuk, hogy egytárolós szakasz P-szabályozóval szabályozva egytárolós eredő alapjelátviteli karakterisztikát eredményez, egynél kisebb értékű erősítéssel és a szakasz időállandójánál kisebb időállandóval. A zárt köri alapjelátviteli karakterisztika szemléltetésére tekintsünk egy P(s) = 2 (1 + 4s) átviteli karakterisztikájú egytárolós szakaszt egy C(s) = 4 átviteli függvényű P- szabályozóval szabályozva. Ekkor az alapjelátviteli függvény a (4.) egyenletnek megfelelően G R (s) =,89 (1 +,45s) értékű. A szakasz és a zárt kör alapjelátviteli 18

23 karakterisztikáját láthatjuk a 7. ábrán. A rövidebb szabályozási idő egyben megnövekedett sávszélességet is jelent. 7. ábra Egytárolós szakasz szabályozása P-szabályozóval: a szakasz és a zárt köri alapjelátviteli karakterisztika Stabilitás szempontjából a hurokátviteli karakterisztikát vizsgáljuk. A hurokátviteli függvény a szabályozó és a szakasz átviteli függvényének szorzata. A szorzás logaritmikus léptékben összeadást jelent: ez kedvező tulajdonsága a Bodediagramnak. Ha ismert külön a szakasz és a szabályozó frekvenciafüggvénye, akkor a hurokátviteli függvény Bode-diagramját megkaphatjuk úgy, hogy mind az amplitúdóviszony-, mind a fázisgörbéket összeadjuk. A P-szabályozó amplitúdóviszony-görbéje konstans minden frekvencián, így a Bodediagramban a szakasz amplitúdóviszony-görbéjét a függőleges tengellyel párhuzamosan eltolja a K p erősítésnek megfelelően. Ennek hatására a vágási körfrekvencia magasabb frekvenciák felé tolódik, az erősítési tényező növelése tehát növeli a sávszélességet. A P-szabályozónak nincs fáziskésleltetése, így nem módosítja a szakasz fázisgörbéjét. A 8. ábrán példaként egy P(s) = 2 (1 + 4s) átviteli karakterisztikájú egytárolós szakasz és C(s) = 4 átviteli függvényű P-szabályozóból álló szabályozási kör hurokátviteli függvényét láthatjuk Bode-diagramban ábrázolva. A hurokerősítés: k = 8, a hurokátviteli függvény időállandója megegyezik a szakasz időállandójával: G (s) = 8 (1 + 4s). Látható az ábrán, hogy az amplitúdóviszony-görbe 19

24 meredeksége nem változott, de a vágási körfrekvencia jobbra tolódott. A hurokátvitel fázisgörbéje megegyezik a szakasz fázisgörbéjével. 8. ábra Egytárolós szakasz szabályozása P-szabályozóval: a hurokátviteli függvény származtatása 2

25 3.4. A VÉGREHAJTÓ SZERV TELÍTÉSE Láthattuk az előző fejezetekben, hogy a körerősítés növelése csökkenti a maradó szabályozási hibát, csökkenti a szabályozási időt és növeli a sávszélességet. A Nyquist-féle stabilitás kritériumból láthatjuk, hogy a P-szabályozó PT1 szakasszal strukturálisan stabil rendszer, elméletileg nincs korlátja annak, hogy a szabályozó erősítését igen nagy értékre állítsuk be. Viszont a szabályozótervezés modellegyszerűsítéseket is tartalmaz, amelyek szélesebb működési sávban már nem biztos, hogy érvényesek. A szigorúan lineáris feltételezés a valóságban nem igaz. Nemlineáris tulajdonságok: hiszterézis, szaturáció, holtidők stb. gyakran megjósolhatatlanul felléphetnek. Ebben a fejezetben egy rövid betekintést adunk a beavatkozó szerv véges működési tartománya okozta hatásokba. A szabályozási példánk legyen a 9. ábrán látható folyadéktároló berendezés. A tartály szabadkifolyású, a belépő vezetékbe épített szabályozó szeleppel módosíthatjuk a belépő folyadék mennyiségét. A szabályozás célja a tartályban előírt folyadékszintet tartani. A szabályozott jellemző tehát a folyadékszint, a módosított jellemző a belépő térfogatáram. A végrehajtó beavatkozó szerv a szabályozó szelep, amely segítségével a beáramlás keresztmetszetét (és ezzel arányosan a belépő térfogatáramot) 1% között változtathatjuk. A szelep negatív irányban nem működhet (azaz nem szívja vissza a folyadékot...) és 1%-nál jobban nem nyitható ki, tehát van egy maximális belépő folyadékmennyiség, amelynél többet nem tudunk időegység alatt bejuttatni a tartályba. Ezt a jelenséget nevezzük a beavatkozó szerv telítésének (saturation). 9. ábra Szintszabályozás P-szabályozóval, elméleti megközlítés: a szelepnyitás tetszőleges mértékben növelhető 21

26 A hibajel és a beavatkozó jel közötti összefüggés a telítést figyelembe véve, az alábbi ábrán látható. 1. ábra A beavatkozó telítése Minél nagyobb a szabályozó erősítése, annál keskenyebb lesz az arányossági hibatartomány, ahogy ezt a 11. ábrán látható statikus karakterisztika mutatja. < 11. ábra Beavatkozó telítése. Az arányossági hibatartomány függ a szabályozó erősítésétől A következő szimulációs programban figyelembe vettük a belépő vezetékben lévő szelep korlátozott működési terjedelmét. Ugyanazokkal a szabályozó paraméterekkel dolgoztunk. Látható, hogy a telítés miatt a dinamikus válasz eltér a telítés nélküli esettől: a szabályozási idő megnövekedett. 22

27 12. ábra 6% alapjelváltozás, a szabályozó kimenete 3%-ról indul, de a szelep és így a módosított jellemző is 1%-on telítésbe ment 3.5. MÁSODRENDŰ IDŐKÉSLELTETÉSES SZAKASZ P-SZABÁLYOZÓVAL SZABÁLYOZVA Control system D(s) R(s) + E(s) U(s) P + + Y(s) _ 13. ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, hatásvázlat Ekkor a (7.) egyenletben L(s) = T 2 2 s 2 + 2ξT 2 s és így az alapjelátviteli függvény: G R (s) = k = L(s) k k T 2 2 s 2 + 2ξT 2 s 1 + k + 1 (19.) 23

28 Kp növelése k G R (s) = 2 T ( 2 ) s 2 ξ T (2.) 1 + k 1 + k 1 + k ahol: k G R (s) = T 2 2 s 2 + 2ξ T 2 s + 1, (21.) T 2 = T 2 1+k és ξ = ξ 1+k. Az eredő zárt köri alapjelátvitel másodrendű karakterisztikájú, de a szakaszhoz képest kisebb az időállandó és a csillapítási tényező. Az alapjelkövetés, illetve a zavarkompenzálás is csillapodó lengéseket mutathat, túl nagy erősítéséknél a lengésre való hajlam és ezért a szabályozási idő is nő, ahogyan ezt a 14. ábrán és a 15. ábrán láthatjuk. A maradó hiba természetesen ebben az esetben is csökken a szabályozó erősítésének növelésével. Növekvő K P esetén nő a lengésre való hajlam 1.5 A maradó hiba csökken növekvő K P esetén K P Alapjel Ar = 1. Ar = 2 Ar = 5.5 Ar = t[s] 14. ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, alapjelkövetés 24

29 1. K P.8 Ar = 1.6 Ar = 2.4 Ar = 5 Ar = 1.2. A maradó hiba csökken növekvő K P esetén Kp növelése 1 t[s] 15. ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, zavarkompenzálás Felrajzoltuk a hurokátviteli függvények Bode-diagramját is (16. ábra). Szerkezetileg stabil rendszert mutat, a szabályozó erősítésének növelésével az amplitúdóviszonygörbe láthatóan eltolódott, míg a fázisgörbe változatlan, azonos a szakasz fázisgörbéjével. Bode diagram amplitúdó db Bode-diagram f ázis szeres erősítés növelés= 2dB eltolódás minden frekvencián -4dB/decade ábra Másodrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, Bode-diagram 25

30 3.6. FELADAT: HARMADRENDŰ IDŐKÉSLELTETÉSES SZAKASZ P- SZABÁLYOZÓVAL SZABÁLYOZVA Legyen a szabályozott szakasz harmadrendű időkésleltetéses rendszer, melynek átviteli függvénye: P(s) = k (1+T 1 s) 3. A szakasz Nyquist- és Bode-diagramját a 17. ábrán láthatjuk. Korábbi tanulmányai alapján határozza meg a frekvenciafüggvényekből a szakasz átviteli függvényének paramétereit! k =.. T 1 =. Határozza meg a szakasz erősítési és fázistartalékát! G M =.. M =. Szabályozzuk a rendszert P-szabályozóval! Határozzuk meg azt a szabályozóerősítést (K P_crit ), amellyel a zárt kör a stabilitás határára kerül! K P_crit =.. Határozzuk meg azt a szabályozóerősítést, amely 6dB erősítési tartalékot biztosít! K P(6dB) =.. Rajzolja be a Bode-diagramba azt a hurokátviteli függvényt, amelyben a szabályozó erősítése: K P = K P(6dB). Határozza meg a berajzolt görbe segítségével a szabályozás fázistartalékát! M =.. (G M =6dB!) 26

31 Phase (deg) Magnitude (db) Imaginary Axis.2 Nyquist Diagram Real Axis 2 Bode Diagram Frequency (rad/s) 17. ábra Harmadrendű időkésleltetéses szakasz Bode-diagram SZIMULÁCIÓ AZ IDŐTARTOMÁNYBAN Határozza meg a maradó hibát, e ha K P = K P(6dB)! ((15.) egyenlet!) Állítsa be a szimulációs programban a paramétereket a feladatnak megfelelően! Ügyeljen arra, hogy a szabályozóban csak a P-hatás érvényesüljön a K P(6dB) erősítési értékkel! Változtassa az alapjelet 5%-ról 6%-ra és határozza meg a szabályozás jellemző paramétereit! (Legyen: = 5%) 27

32 Megnevezés Jel Érték Túllendülés, % Felfutási idő Maximum idő Szabályozási idő T r T p T s 18. ábra Harmadrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval, időtartományban A szimulációs program segítségével lehetőségünk van kipróbálni, mi történik, ha K P -t a stabilitás határán túl növeljük. Az alábbi ábrán láthatjuk, hogy K P = 6 esetében az alapjel kismértékű módosítása növekvő amplitúdójú lengéseket okozott, a szabályozási kör viselkedése labilissá vált. 19. ábra Harmadrendű időkésleltetéses szakasz P-szabályozóval: példa labilis viselkedésre 28

33 3.7. INTEGRÁLÓ SZAKASZ P-SZABÁLYOZÓVAL Control system D(s) R(s) + E(s) U(s) P + + Y(s) _ 2. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, hatásvázlat A hurokátviteli függvény: Az alapjelátviteli függvény: G (s) = C(s)C(s) = K P T i s. (22.) G R (s) = G (s) 1 + G (s) = K P T i s 1 + K P T i s (23.) G R (s) = K P = 1 = T i s + K P T i + 1 K P 1 T 1 s + 1, (24.) ahol: T 1 = T i K P. Látható, hogy az alapjelátviteli függvény egy egységnyi erősítésű, egytárolós tag átviteli függvényének felel meg. A T 1 időállandó az erősítési tényező növekedésével csökken, azaz a szabályozás gyorsul. Vizsgáljuk a szabályozást egységugrás alapjelváltozásra: r(t) = ε(t). Ekkor a szabályozott jellemző állandósult komponense: és így a maradó hiba: y ss = k = 1 (G R ()), (25.) e = r y ss = 1 1 =. (26.) 29

34 Tehát az egységugrás alapjelváltozást maradó hiba nélkül képes követni a szabályozás SZIMULÁCIÓ AZ IDŐTARTOMÁNYBAN Integráló rendszer lesz a tartályunkból, ha a tartályból például nincs elvétel. Amíg nyitva van a belépő vezetékbe épített szelep, a tartály folyadékszintje folyamatosan emelkedik. A szintemelkedés megáll, ha a szelepet zárjuk (21. ábra). (A kezdeti tartályszint: 2%.) 21. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval A 22. ábrán a frontpanelből kivágott ugrásszerű alapjelváltozást, a szabályozott jellemző alakulását és a szelepnyitás mértékét láthatjuk két különböző szabályozóerősítés mellett. Szaggatott vonal választja el a két vizsgálatot. K p =1 K p =2 szint szelep szint szelep 22. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, alapjelkövetés kisebb (balra) és nagyobb (jobbra) szabályozóerősítéssel A szabályozott jellemző alakulása a PT1 tag átmeneti függvényének felel meg, nincs túllendülés, nagyobb szabályozóerősítés esetén (jobb oldali diagram) a szabályozás 3

35 gyorsabb, a szabályozási idő csökkent. Maradó szabályozási eltérés, azaz maradó hiba nincs, a szabályozott jellemző az alapjelhez tart VIZSGÁLAT FREKVENCIATARTOMÁNYBAN A hurokátviteli frekvenciafüggvény az integráló tagnak felel meg: G (jω) = G (jω) = Az amplitúdóviszony és a fázisgörbe egyenletei: K P T i jω (27.) K Pjω T i (jω) 2 = j K P T i ω. (28.) M(ω)[dB] = 2lg ( K P T i ω ) = 2(lgK P lgt i ω) (29.) M(ω)[dB] = 2lgT i ω + Const. (3.) K P T φ(ω) = arctg i ω = 9. (31.) A hurokátviteli frekvenciafüggvény Bode-diagramja különböző szabályozóerősítésekkel látható az 26. ábrán. A görbék meredeksége 2dB/dekád, a vágási körfrekvencia magasabb frekvenciák felé tolódik a szabályozó erősítésének növelésével. A fázisgörbe az integráló jellegű szakasznak megfelelően konstans 9. 31

36 Bode diagram amplitúdó db K P Bode-diagram fázis ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, hurokátviteli függvény Bode-diagram Az 24. ábrán bemutatjuk a zárt köri alapjelátviteli frekvenciakarakterisztikát is. Legyen P(s) = 1 2s átviteli függvényű integráló szakasz C(s) = 4 átviteli függvényű P-szabályozóval szabályozva. Az alapjelátviteli függvény G R (s) = 1 (1 +,5s) egytárolós karakterisztika a (24.) egyenletnek megfelelően. Látható, hogy a 9. ábra egytárolós P-szabályozásához képest az amplitúdóviszony-görbén az alapjelátvitel kisfrekvencia-tartományban (ω < 1 T 1 ) torzításmentes az egységnyi körerősítés miatt. 24. ábra Integráló szakasz P-szabályozóval, zárt kör alapjelátviteli függvény Bode-diagram 32

37 3.8. A SZABÁLYOZÁSOK TÍPUSSZÁMA A szabályozásokat gyakran az ún. típusszámukkal jellemzik. A típusszámból a szabályozás állandósult hibájára következtethetünk tipikus gerjesztések esetére. A típusszám meghatározásához írjuk fel a hurokátviteli függvény számlálóját és nevezőjét általános polinomiális alakban: c j=1 d G (s) = k (1 + st 1j ) j=1(1 + 2ξT 2j s + s 2 T 2j s N e τs e f (1 + st 1j ) (1 + 2ξT 2j s + s 2 T 2 2j ) (32.) j=1 j=1 A tranziens komponenseket összevonva: 2 ) G (s) = k s N L transient(s), (33.) c d ahol: L transient (s) = (1+sT 1j) (1+2ξT 2j s+s 2 T 2 j=1 j=1 2j ) e τs és N egyenlő a hurokban e f (1+sT 1j ) (1+2ξT 2j s+s 2 T 2 j=1 j=1 2j ) található integrátorok számával. N-t hívjuk a szabályozás típusszámának. N Típusnév Az integrátorok száma. típusú szabályozás 1 1. típusú szabályozás típusú szabályozás 2 A stabil zárt kör állandósult állapotbeli hibája rendszerint lényegesen kisebb, mint a felnyitott köré. A hibajel és az alapjel közötti átviteli függvényt az alábbi módon határozhatjuk meg: E(s) = R(s) Y(s). (34.) Tehát a hibajel és az alapjel Laplace-transzformáltja közötti összefüggés: E(s) R(s) = 1 Y(s) R(S) = 1 G R(s) = 1 G (s) 1 + G (s) (35.) E(s) R(s) = 1 + G (s) G (s) 1 + G (s) (36.) E(s) R(s) = G (s) (37.) 33

38 E(s) = Behelyettesítve a hurokátviteli függvény általános alakját: G (s) R(s). (38.) E(s) = s N s N + k L tranziens (s) R(s). (39.) Az állandósult állapotbeli hiba a kezdeti- és végértéktétellel kifejezve: e = lim t e(t) = lim s se(s). (4.) A következőkben megvizsgáljuk, hogy a különböző típusú szabályozások esetében hogyan alakul a maradó szabályozási hiba egységugrás, egység-sebességugrás, és egységnyi gyorsulásugrás alapjelváltozás esetében. Az alapjelek Laplace-transzformáltja az R(s) = 1 sj összefüggéssel írható le, ahol j értéke az alábbi táblázat szerint alakul: Alapjel j R(s) Egységugrás 1 Sebességugrás 2 Gyorsulásugrás 3 1 s 1 s 2 1 s TÍPUSÚ SZABÁLYOZÁS Alapjel Egységugrás Sebességugrás Gyorsulásugrás lim e(t) = lim s 1 t s s e k L transient (s) = k lim e(t) = lim s 1 1 t s s k L tranziens (s) = lim t e(t) = lim s s 1 s k L tranziens (s) = 34

39 Egységugrásra a maradó hiba konstans. Minél nagyobb K P, annál kisebb a hiba, de túl nagy erősítés stabilitási problémákat okozhat. A sebesség- és gyorsulásugrás követésére a -típusú szabályozás nem képes. -típusú szabályozás adódik pl. önbeálló szakasz P- vagy PDszabályozóval történő szabályozásakor TÍPUSÚ SZABÁLYOZÁS Alapjel Egységugrás Sebességugrás Gyorsulásugrás lim e(t) = lim s 1 t s s lim e(t) = lim s 1 t s s 2 lim e(t) = lim s 1 t s s 3 e s s + k L tranziens (s) = s s + k L tranziens (s) = 1 k s s + k L tranziens (s) = Egységugrásra nincs maradó hiba. A sebességugrást konstans hibával követi. A gyorsulásugrást az 1. típusú hurok nem képes követni. 1-típusú szabályozást eredményez pl.: önbeálló szakasz I-, PI- vagy PIDszabályozóval, integráló szakasz P- vagy PD-szabályozóval szabályozva TÍPUSÚ SZABÁLYOZÁS Alapjel Egységugrás Sebességugrás Gyorsulásugrás lim e(t) = lim s 1 t s s e s 2 s 2 + k L tranziens (s) = lim e(t) = lim s 1 s 2 t s s 2 s 2 + k L tranziens (s) = lim e(t) = lim s 1 s 2 t s s 3 s 2 + k L tranziens (s) = 1 k Az ugrást és sebességugrást maradó hiba nélkül képes követni. A gyorsulásugrást maradó hibával követi. 2-típusú szabályozás pl.: integráló szakasz PI- vagy PID-szabályozóval szabályozva. 35

40 A típusszámtól függő maradó szabályozási hiba táblázatosan összefoglalva: Input Típusszám Egységugrás Sebességugrás k Gyorsulásugrás 1 k 1 k Ha a szakasz nem tartalmaz megfelelő számú integrátort, a szabályozót kell úgy megválasztani, hogy a kívánt típusszámú szabályozást kapjuk. 36

41 Phase (deg) Magnitude (db) 3.9. INTEGRÁLÓ SZABÁLYOZÓ Az integráló szabályozó átviteli karakterisztikája az I-tagnak felel meg. Ez azt jelenti, hogy a szabályozó kimenő jele a hibajel integráljával arányos, illetve jobban érzékelteti a szabályozó hatását, ha úgy fogalmazzuk meg, hogy a szabályozó kimenő jelének megváltozása arányos a hibajellel. Amíg a hibajel nem egyenlő nullával, addig az I-szabályozó korrigálja a beavatkozást, amennyiben a hibajel nulla, a szabályozó kimenő jele változatlan marad: Az I-szabályozó átviteli függvénye: du(t) dt = 1 T i e(t) (41.) C(s) = 1 T i s = K i s. (42.) AZ I-SZABÁLYOZÓ HATÁSA A HUROKÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA Az I-szabályozó Bode-diagramját az alábbi ábrán láthatjuk. Az amplitúdóviszonygörbéje 2dB/dekád meredekségű egyenes, amely ω gc = 1 T i körfrekvencián metszi a db-es tengelyt. A fáziskésése minden frekvencián 9. 1 ; =5 Bode Diagram I-szabályozó -1-2dB/decade Frequency (rad/s) 25. ábra Integráló szabályozó, Bode-diagram 37

42 Tehát: Az I-szabályozó a szakasz amplitúdóviszony-görbéjének a meredekségét megváltoztatja 2 db/dekáddal. A hurokerősítés alacsony frekvenciákon (ω < 1 T i ) nagyobb lesz, mint a szakasz eredeti erősítése, magasabb frekvenciákon (ω > 1 T i ) pedig kisebb. Az I-szabályozó a szakasz fázisgörbéjét minden frekvencián 9 -kal csökkenti A SZABÁLYOZÁSI KÖR ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁJA I-szabályozó és arányos, n-ed rendű időkésleltetéses szakasz alkotta szabályozási kör: C(s) = 1 T i s, (43.) P(s) = A hurokátviteli függvény 1. típusú szabályozást mutat: k 1 + L(s). (44.) G (s) = 1 k T i s 1 + L(s) = k T i s + T i sl(s) = k s(t i + T i L(s)), (45.) tehát ugrásszerű alapjelváltozást maradó hiba nélkül képes követni. Az alapjelátviteli függvény: G R (s) = G (s) 1 + G (s) = k T i s + T i sl(s) k 1 + T i s + T i sl(s) (46.) G R (s) = k T i s + T i sl(s) + k (47.) 1 G R (s) = T i k sl(s) + T. i k s + 1 (48.) 38

43 Imaginary Axis Az alapjelátvitel erősítési tényezője egységnyi, a nevező polinom eggyel magasabb fokszámú, mint a szakasz nevező polinomja. Az időállandók az eredeti időállandók T i - k szorosra változnak. Amennyiben T i > 1, a szabályozás a szakaszhoz képest lassul. k EGYTÁROLÓS SZAKASZ I-SZABÁLYOZÓVAL A hurokátviteli függvény (a későbbiekben látni fogjuk, hogy ez egy nagyon fontos hurokátviteli függvénytípus): G (s) = 1 k T i s 1 + T 1 s = k s(t i + T i T 1 s). (49.) Szerkezetileg stabil hurok, amint ezt a Nyquist- (26. ábra) és Bode-diagramok (27. ábra) is bizonyítják. A bemutatott példában az egytárolós rendszer paraméterei: k=1, T 1 =1s. Az I-szabályozó integrálási időállandóját öt különböző értékre állítottuk be: T i =,5s, 1s, 1,5s, 2s, és 2,5s. Nyquist Diagram FOPI FO k=1; T1=1s -5 Ti=.5s Ti=1s Ti=2.5s -1 Ti=2s Ti=1.5s Real Axis 26. ábra Egytárolós tag és I-szabályozó hurokátviteli függvény Nyquist-diagram (FO: First order; FOPI: First order plus Integral) 39

44 Amplitude Phase (deg) Magnitude (db) 1 5 Ti=.5s Bode Diagram FOPI -5 Ti=2.5s FO FOPI FO Frequency (rad/s) 27. ábra Egytárolós tag és I-szabályozó hurokátviteli függvény Bode-diagram (FO: First order; FOPI: First order plus Integral) A zárt kör alapjelátviteli függvénye egy egységnyi erősítési tényezőjű másodrendű időkésleltetéses, vagyis kéttárolós tagnak felel meg: 1 G R (s) = T i k T 1s 2 + T. i k s + 1 (5.) Időtartományban ezért az ugrásszerű alapjelváltozásra adott válasz csillapodó lengéseket mutathat (az integrálási időállandótól függően), lásd 28. ábra Step Response Ti=.5s Ti=1s Ti=1.5s 1.8 Ti=2s.6.4 Ti=2.5s Time (seconds) 28. ábra Egytárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, ugrásszerű alapjelváltozásra adott válaszok 4

45 Amplitude Imaginary Axis KÉTTÁROLÓS SZAKASZ SZABÁLYOZÁSA I-SZABÁLYOZÓVAL Szerkezetileg már csak feltételesen stabil rendszer: a rendszerparaméterektől függ a stabilitás. Az 29. ábra egy kéttárolós szakasz (kék) és kéttárolós szakasz és I- szabályozóból álló szabályozás hurokátviteli függvényét mutatja, különböző integrálási időállandók esetén. Az integrálási időállandók: T i = 2,3,4,5 értékűek. Kérdések Mennyi a PT2 szakasz erősítése? A Nyquist-diagramban melyik görbe melyik integrálási időhöz tartozik? Melyik integrálási időállandóval lesz a szabályozás a stabilitás határán? 2 Nyquist Diagram PT2 + I Real Axis 29. ábra Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, hurokátviteli függvény Nyquist-diagram, T i = 2,3,4,5 Segítségül: időtartományban vizsgálva a szabályozást, az ugrásszerű alapjelváltozásra adott válaszokat láthatjuk az 3. ábrán Step Response PT2 + I Szakasz T i = T i = Time (seconds) 3. ábra Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, alapjelkövetés 41

46 Phase (deg) Magnitude (db) Az 31. ábra mutatja a megfelelő Bode-diagramokat. Vizsgáljuk meg az I-szabályozó hatását a tartalékokra! Láthatjuk, hogy a szakasz fázisgörbéjéhez képest a hurok fázisgörbéje 9 -kal lefelé tolódott. Ez önmagában a fázistartalék drasztikus csökkenését eredményezi. Az amplitúdóviszony meredeksége az integrálási időállandó függvényében hol magasabb, hol alacsonyabb a hurokátviteli karakterisztikában, mint az eredeti (stabil) szakaszé. Az integrálási időállandót úgy kell megválasztanunk, hogy kellő tartalék maradjon a szabályozásban, tehát nem vehet fel tetszőlegesen kis értéket. Túl nagyra sem érdemes választani, mert akkor meg szűkül a sávszélesség és lassul a szabályozás. db/decade, 5-2dB/decade, * Bode Diagram PT2 + I db cut-off -4dB/decade, -5-6dB/decade, * Frequency (rad/s) 31. ábra Kéttárolós szakasz szabályozása I-szabályozóval, hurokátviteli függvény Bode-diagram Feladat: Határozza meg az erősítési és a fázistartalékot T i = 2 esetére! G M =.. M =. 42

47 Phase (deg) Magnitude (db) HARMADRENDŰ IDŐKÉSLELTETÉSES SZAKASZ I-SZABÁLYOZÓVAL A 32. ábrán láthatjuk az előzőekben már megismert háromtárolós szakaszunkat I- szabályozóval szabályozva, a hurokátviteli függvény Bode-diagramját. Itt is megfigyelhetjük az I-szabályozó módosító hatását mind az amplitúdóviszonyra, mind a fázisgörbére. Feladat: Értékelje ki a Bode-diagramban látottakat (különös tekintettel a módosítások tartalékokra gyakorolt hatását)! 5 Bode Diagram db cut-off intersection Frequency (rad/s) ábra PT3 szakasz és I-szabályozó, hurokátviteli karakterisztika: Bode-diagram A fázisgörbe 18 -os metszéspontja a szakasz fázisgörbéjéhez képest alacsonyabb körfrekvenciára tolódott. Ha az amplitúdóviszony nem változna, a fázistartalék jelentősen csökkenne. Ahhoz, hogy megtartsuk a tartalékokat, az amplitúdóviszonygörbét le kell törnünk, hogy a db metszéspont is eltolódjon kisebb frekvenciákra. Ezt az integrálási időállandóval tudjuk befolyásolni. Túl kis értékű integrálási időállandó csökkenti az erősítési tartalékot, növeli a szabályozott jellemző lengésre való hajlamát, akár labilis viselkedés is felléphet. Ezt láthatjuk időtartományban ugrásszerű alapjelváltozásra a 33. ábrán. 43

48 Amplitude Amplitude 1.5 Step Response: PT3 + I, Ti=5-12 Ti=5 Ti=1 1 Ti= Time (seconds) 33. ábra PT3 szakasz I-szabályozóval, alapjelkövetés. Az integrálási időállandó hatása a tranziensre 3.1. A P- ÉS I-SZABÁLYOZÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA IDŐTARTOMÁNYBAN A 34. ábra szemlélteti a P- és I-szabályozás főbb jellemzőit, a szabályozások eltérő tulajdonságait. A P-szabályozás gyors, viszont van maradó hiba (amennyiben a szakaszban nincs integráló komponens). Az I-szabályozó eltünteti a maradó hibát ugrásszerű alapjelváltozásra (hiszen legalább 1-es típusú szabályozást biztosít), de hosszabb időbe telik, míg a szabályozott jellemző bekerül az újabb állandósult érték dinamikus pontosság által meghatározott tartományába Szakasz Step Response: PT3; PT3 + P; PT3 + I Szakasz + I-szabályozó: nincs maradó hiba, lassúbb Ts 1 Ts Time (seconds) Szakasz + P-szabályozó: gyors, de van maradó hiba 34. ábra Alapjelkövetés: PT3 szakasz P-, illetve I-szabályozóval 44

49 3.11. INTEGRÁLÓ SZAKASZ I-SZABÁLYOZÓVAL Ha I-szakaszt szabályoznánk I-szabályozóval, a hurokátviteli függvény az alábbi lenne: C(s) = 1 T i s (51.) P(s) = 1 T I s (52.) G (s) = C(s)C(s) = 1 1 T i s T I s = 1 T i s 2, (53.) ahol T i = T i T I. A hurok kétszeresen integráló jelátvitelnek felelne meg. Az alapjelátviteli függvény: G R (s) = G (s) 1 + G (s) = G R (s) = 1 T i s T i s 2, (54.) 1 T i s (55.) Az alapjelátviteli függvény egy egységnyi erősítésű, csillapítási tényezőjű másodrendű átviteli karakterisztika lenne. Ez azt jelentené, hogy lengő rendszert kapnánk. Tehát: I-szakasz I-szabályozóval nem szabályozható! PI-SZABÁLYOZÓ A P- és I-szabályozók kedvező tulajdonságait egyesíthetjük egy ún. PI-szabályozóban: gyorsabb és maradó hiba nélküli szabályozást kapunk (ugrásszerű gerjesztésre), hiszen a szabályozás típusszáma minimum 1 lesz. A PI-szabályozó átviteli függvénye az alábbi két alakban írható fel, attól függően, hogy az időállandós vagy az átviteli tényezős alakot szeretnénk alkalmazni: C(s) = K P (1 + 1 T i s ) C(s) = K P + K i s 45

50 A képlet első tagja az arányos, a második pedig az integráló szabályozó komponenst jelenti. Az összegzés mutatja, hogy a két komponens, két hatás párhuzamos. K i = K P T i. A PI-szabályozó input-output kapcsolatot leíró differenciálegyenlete (a végrehajtó jel változása a hibajel függvényében): u(t) = K P e(t) + K t P e(τ) dτ. (56.) T i A PI-szabályozó átmeneti függvénye a P- és I-szabályozók átmeneti függvényének összegzésével állítható elő a szuperpozíció elvének megfelelően, lásd az alábbi összefüggést és a 35. ábrát is. v PI (t) = K P (1 + 1 T i t) = K P + K i t. (57.) 35. ábra PI-szabályozó átmeneti függvénye A PI-SZABÁLYOZÓ BODE-DIAGRAM ASZIMPTOTÁI C(s) = K P (1 + 1 T i s ) (58.) C(jω) = K P (1 + 1 T i jω ) (59.) C(jω) = K P j K P T i ω (6.) 46

51 Re = K P, Im = K P T i ω. (61.) Az amplitúdóviszony frekvenciafüggvénye: M(ω) = Re 2 + Im 2 = K P 2 + K P 2 (T i ω) 2 (62.) K P 2lg(M(ω)) = 2lg (T i ω) (T i ω) (63.) 2lg(M(ω)) = 2 (lgk P lg(t i ω) + lg (T i ω) 2 + 1). (64.) ASZIMPTOTA KISFREKVENCIA-TARTOMÁNYON: ω < 1 T i (T i ω) 2 1 lg (T i ω) (65.) 2lg(M(ω)) 2(lgK P lg(t i ω)) (66.) 2 lg(m(ω)) const. 2lg(T i ω). (67.) Logaritmikus skálán 2dB/dekád meredekségű egyenes egyenlete: ez azt jelenti, hogy az integráló komponens dominál. NAGYFREKVENCIÁS ASZIMPTOTA: ω > 1 T i (T i ω) 2 1 lg (T i ω) lg(t i ω) (68.) 2lg(M(ω)) 2(lgK P lg(t i ω) + lg(t i ω)) 2lgK P. (69.) Nagyobb frekvenciákon az amplitúdóviszony konstans: az arányos komponens dominál. A két aszimptota ω = 1 T i -nél metszi egymást, ahogy ez az alábbi ábrán is látható (36. ábra). A fázisgörbe hasonlóan levezethető: az I- és a P- fázisgörbékből tevődik össze, alacsony frekvenciákon az I-, nagyfrekvenciákon a P-fázisgörbéje dominál, inflexiós pont: ω = 1 T i nél. 47

52 Phase (deg) Magnitude (db) Bode Diagram low frequency asymptote -2dB/decade PIhigh frequency asymptote = Frequency (rad/s) 36. ábra PI-szabályozó: Bode-diagram és aszimptoták A PI-SZABÁLYOZÓ HATÁSA A HUROK ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁJÁRA Kisfrekvenciák tartománya (ω < 1 T i ): Lassan változó jelekre az integráló hatás érvényesül. A szakasz amplitúdóviszony-görbe meredekségét megemeli ebben a frekvenciatartományban, ez alacsony frekvencián megnövelt erősítést jelent. Ez biztosítja, hogy a lassan változó jelet a tranziens lecsengésének vége felé el tudja távolítani és nem lesz maradó hiba. A fázisgörbe max. 9 -kal csökken (tartalékcsökkentő hatás) (Phase lag). Nagyfrekvenciák tartománya (ω > 1 T i ): Az arányos hatás a domináns: az amplitúdóviszony-görbe meredeksége nem változik, a függőleges tengellyel párhuzamosan eltolódik a szabályozó erősítésének (K P ) megfelelően. A fázisgörbe magas frekvenciákon nem változik. A szabályozó fázisgörbe inflexiós pontja 1 T i -nél (phase = 45 ). A PI-szabályozó 1-gyel növeli a szabályozás típusszámát, így a típusszám minimum 1. 48

53 A BEAVATKOZÓ SZERV TELÍTÉSÉNEK HATÁSA AZ I-SZABÁLYOZÁSRA Az I-szabályozó komponens addig folyamatosan növeli a végrehajtó jelet, amíg a hibajel nulla nem lesz. Amint a beavatkozó szerv elérte véghelyzetét, tovább már nem változik a módosított jellemző, bár a végrehajtó jel tovább emelkedik. Ha a szabályozott jellemző túllendül az alapjelen és a hibajel előjele megfordul, a szabályozó integrátora elkezdi csökkenteni a végrehajtó jelet, de mivel az igen magas értékről indul, a csökkentés mindaddig hatástalan, míg a végrehajtó jel értéke nem csökken a telítési érték alá. Ez nagy késlekedés és a szabályozott jellemző erőteljes túllendülését okozhatja. A hatás a másik irányban is megismétlődhet, lengéseket generálva. Erre láthatunk példát az alábbi szimulációs programokkal. A 37. ábrán látható frontpanel kép elméleti feltételezés: a szelepnek nincs végértéke. A trendgörbe egy túllendülés nélküli alapjelkövetést mutat, 1 időegység alatti szabályozási idővel. 37. ábra Szintszabályozás példa, nincs szeleptelítés A 38. ábrán ugyanazzal a szakasz- és szabályozó beállításokkal végeztük a szimulációt, de a szelep most korlátozva van 1% közé. Láthatjuk, hogy a végrehajtó jel folyamatosan csökkenne, de a szelepre csak akkor van hatással, ha értéke 1% alá csökken. Így a szabályozott jellemző (a tartályban lévő folyadék szintje), túllendült az alapjelen és a szabályozási idő megháromszorozódott. 49

54 38. ábra Szintszabályozás példa, a szelep működése két véghelyzet közé korlátozott A megoldás az anti wind-up : az I-hatást kikapcsolni addig, amíg a beavatkozó szerv telítésben van. Erre láthatunk példát a 64. ábrán. A szabályozó kimenő jelének korlátozásával a szabályozott jellemző és a szelep együtt mozog, nincs túllendülés. Mivel a belső jel mértéke korlátozott, azonos szabályozó beállítás mellett lassúbb a szabályozás, mint az elméleti, végtelen tartományban lineáris feltételezés esetén. 39. ábra Szintszabályozás példa, a szelep korlátozva, a szabályozó kimenete szintén (anti windup) 5

55 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Imaginary Axis Imaginary Axis Amplitude Amplitude KÉTTÁROLÓS RENDSZER PI-SZABÁLYOZÓVAL Legyen K P = 1, T i = 1 vagy T i = 1. Feladat: Az alábbi táblázat két különböző integrálási időállandó esetén mutatja időés frekvenciatartományban a szabályozás jellemző diagramjait. Értékeljük a szabályozásokat! 1 K P = 1, T i = 1 K P = 1, T i = 1 Step Response PT2 + PI kp=1; Ti=1 Step Response Time (seconds) Time (seconds) 2 Nyquist Diagram PT2 + PI kp=1, Ti=1 2 Nyquist Diagram PT2 + PI kp=1, Ti= Real Axis Real -6 Axis Bode Diagram 1 Bode Diagram PT2 + PI kp=1; Ti= Frequency (rad/s) Frequency (rad/s) 51

56 Amplitude A P-, I- ÉS PI-SZABÁLYOZÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA A 4. ábra másodrendű rendszer alapjelkövetését mutatja P-, I- és PI-szabályozóval szabályozva. Láthatjuk, hogy a PI-szabályozás gyorsabb, mint az I-szabályozás, de lassúbb, mint a P-szabályozás. Nincs maradó hiba I- és PI-szabályozás esetén. 2.5 Step ResponsePT2: 2/1.8 1 ;+P kp=2.5; + I, Ti=5; PI Másodrendű rendszer, k=2; T 2 =1; PI-szabályozás I-szabályozás 1.5 P-szabályozás Time (seconds) 4. ábra Arányos, másodrendű időkésleltetéses szakasz szabályozása: A P-, I- és PI-szabályozás összehasonlítása PÓLUSKOMPENZÁLÁS PI-SZABÁLYOZÓVAL Tételezzük fel, hogy a vizsgált kéttárolós szakasz átviteli függvénye P(s) = k (1+T 1 s)(1+t 2 s) és T 2 > T 1 >. Legyen a PI-szabályozó integrálási ideje T i : = T 2, azaz a hurokátviteli függvényben egy zérus és egy pólus megegyezik, és így kiejtik egymás: G (s) = K P(T i s+1) T i s G (s) = K P k (1+T 1 s)(1+t 2 s) k = k T i s (1+T 1 s) T i s(1+t 1 s) Az eredmény 1-es típusú hurok, amely megfelel annak a szabályozási körnek, amely egy egytárolós (PT1) szakaszból és I-szabályozóból állt. A képzetes tengelyhez közel eső pólus kiejtése javítja a rendszer dinamikáját. 52

57 Phase (deg) Phase (deg) Magnitude (db) Magnitude (db) Imaginary Axis Imaginary Axis Amplitude Amplitude Az eljárás ígéretesnek tűnhet labilis pólusok eltávolítására is, de a valóságban ez nem kivitelezhető (részletezve lásd szakirodalomban) HÁROMTÁROLÓS RENDSZER SZABÁLYOZÁSA PI- SZABÁLYOZÓVAL, PÉLDA A szakasz az előző példákban már megismert háromtárolós tag. Legyen K P = 2, T i = 1, illetve K P = 2, T i = 5. Értékeljük a szabályozásokat az alábbi táblázat ábrái segítségével. 2 K P = 2, T i = 1 K P = 2, T i = 5 Step Response PT3 + PI kp=2; Ti=5 Step Response Time (seconds) Nyquist Diagram Time (seconds) Nyquist Diagram PT3 + PI kp=2; Ti= Real Axis Bode Diagram Bode Diagram Real Axis PT3 + PI kp=2; Ti= Frequency (rad/s) Frequency (rad/s) 53

58 3.16. PD-SZABÁLYOZÓ (IDEÁLIS) A PD-szabályozó vizsgálatát az ideális PD-jelátviteli karakterisztikával kezdjük. Az ideális PD-szabályozó végrehajtó jele az időállandós formulával: u(t) = K P (e(t) + T D de(t) dt ). (7.) A PD-szabályozó átviteli függvénye átviteli tényezős alakban: illetve időállandós alakban: C(s) = K p + K D s, (71.) ahol: K D = K p T D. C(s) = K p (1 + T D s), (72.) Az ideális PD-szabályozó átmeneti függvénye egy P- és egy D- tag átmeneti függvényének az összege (41. ábra): v PD (t) = K D δ(t) + K P. (73.) 41. ábra A PD-szabályozó átmeneti függvénye A D-rész csak a hibajel változásakor hat, egyébként a P-rész dolgozik, ahogy azt a 42. ábra szimulációs programján is láthatjuk. 54

59 Phase (deg) Magnitude (db) P PD 42. ábra Ideális PD-szabályozás. Az új egyensúlyi helyzet csak a P-résztől függ A PD-SZABÁLYOZÓ FREKVENCIAFÜGGVÉNYE 4 Bode Diagram Frequency (rad/s) 43. ábra PD-szabályozó Bode-diagram, K P = 1, T D = A PD-SZABÁLYOZÓ HATÁSA A FREKVENCIAÁTVITELRE Kisfrekvenciák tartománya (ω < 1 T D ): Lassan változó jelekre a P-rész a domináns. Az amplitúdóviszony-görbe meredekségét nem változtatja, csak a képzetes tengellyel párhuzamosan eltolja a K p -nek megfelelően. A fázisgörbét alacsony frekvenciákon nem módosítja. 55

60 Imaginary Axis Nagyfrekvenciák tartománya (ω > 1 T D ): Az amplitúdóviszony-görbe meredeksége 2dB/dekáddal nő, az erősítés tehát nő a magasfrekvenciákon. Ez biztosítja, hogy a gyorsan változó hibára amely rendszerint a tranziens kezdetén jelentkezik erőteljes beavatkozással reagáljon a szabályozó. A fázisgörbét megemeli 9 -kal: növeli a tartalékokat. Fázissiettető hatás, elébe vágó hatás. A PD-szabályozó fázisgörbéjének az inflexiós pontja: 1 T D (phase = 45 ). A PD-szabályozó nem változtatja meg a hurok típusszámát, ezért, ha a szakaszban nincs integráló hatás, maradó hiba lép fel ugrásszerű alapjelváltoztatásra. A maradó hiba mértékét a szabályozó erősítése befolyásolja. A differenciálási idő növelésével a maradó hiba nem változik (46. ábra). A szabályozást gyorsítja: megfelelő paraméterezéssel csökkentheti a szabályozási időt, hamarabb megközelítheti a szabályozott jellemző az új egyensúlyi helyzetét. Az alábbi ábrák a következő paraméterezéssel készültek: P(s) = 2 (1+1s)(1+s), C(s) = k p (1 + T D s), T D = 1; K P = 1. A beavatkozó telítés nélküli. 2 Nyquist Diagram PT2 + PI kp=1, Td= PT2 process PT2* PDcontrol loop PDcontroller Real Axis 44. ábra PT2 szakasz szabályozása PD-szabályozóval. Nagyfrekvenciákon Jól látszik a D-rész fázissiettető hatása 56

61 Amplitude Phase (deg) Magnitude (db) 5 PT2* PDcontrol loop Bode Diagram PT2 + PD kp=1, Td=1 PDcontroller -5 PT2 process PDcontroller PT2 process Frequency (rad/s) PT2* PDcontrol loop 45. ábra PT2 szakasz szabályozása PD-szabályozóval. Bode-diagram 1 Step Response Time (seconds) 46. ábra PT2 szakasz szabályozása PD-szabályozóval. Egységugrás alapjelkövetés, T D = 1 és T D = 1. A maradó hiba nem változik 57

62 3.17. PID-SZABÁLYOZÓ A PID-szabályozó egyesíti a PI- és PD-szabályozók jelformáló tulajdonságait. Legalább 1-es típusú szabályozást biztosít. Az iparban a leggyakoribb szabályozó, melyre számos hangolási módszert dolgoztak ki. A PID-szabályozó jelátviteli karakterisztikáját idő-, illetve frekvenciatartományban már felírtuk: (5.) (2.) (4.) egyenletek A PID-SZABÁLYOZÓ ÁTMENETI FÜGGVÉNYE A PID-szabályozó átmeneti függvényét a P-, I- és D-tag átmeneti függvényének összegzésével kapjuk: v PID (t) = K P (1 + 1 T i t + T d δ(t)) = K P + K i t+k d δ(t). (74.) 47. ábra A PID-szabályozó átmeneti függvénye A PID-SZABÁLYOZÓ FREKVENCIAÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁJA A megfelelő PID-jelformálás elérése éredekében az időállandókat megfelelően kell beállítani: T i > T D azaz 1 < 1 egyenlőtlenséget be kell tartani. Az arányos, T i T D integráló és differenciáló rész más-más frekvenciatartományokban fejti ki hatását, a 58

63 Phase (deg) Magnitude (db) körfrekvencia-tartományok határvonala 1 nél és 1 nél van. A PID-szabályozó T i T D Bode-diagramját a 48. ábrán láthatjuk. Bode Diagram Frequency (rad/s) 48. ábra A PID-szabályozó Bode-diagramja KISFREKVENCIÁKON (ω < 1 T i ): Az I-hatás dominál, a PI-szabályozó alacsonyfrekvenciás tartományára leírtak érvényesek itt is. NAGYFREKVENCIÁKON (ω > 1 T D ) : A D-hatás dominál, a PD-szabályozó magasfrekvenciás tartományra leírtak érvényesek. KÖZEPES FREKVENCIATARTOMÁNYBAN: 1 T i < ω < 1 az előzőekben leírtak szerint. T D, az arányos hatás érvényesül, SZŰRÉS A D-TAGON Eddig a D-tagot is tartalmazó szabályozókban ideális deriváló hatást tételeztünk fel. Az ideális deriválás azt jelenti, hogy tiszta differenciálást végzünk a szabályozás előremenő ágában. A gyakorlatban a tiszta deriválás akár már kevés zajjal terhelt szabályozott jellemző esetén is nem várt csúcsokat tartalmazó végrehajtó jelet eredményez: annak ellenére, hogy a mérésben jelenlévő zaj szintje alacsony, a 59

64 frekvenciája nagy. Ennek deriválása nagy amplitúdójú lökéseket produkál. Ennek kiküszöbölésére a tiszta differenciálás helyett a deriváló komponenst időkésleltetéssel egészítjük ki: T D s (1+T 1 s) egy D- és egy PT1-tag soros kapcsolásaként is felfogható.. Ez megfelel a D-tag aluláteresztő szűrésének: Ha T 1 T D a hozzáadott pólus hatása elhanyagolható, és a szabályozó hangolására az ideális szabályozóra kidolgozott módszerek, táblázatok felhasználhatók. A PIDszabályozó átviteli függvénye ekkor: C(s) = K P (1 + 1 T i s + T Ds (1 + T 1 s) ). (75.) A gyakorlatban sokszor a szűrő időállandóját a differenciálási időállandóval és egy tényező szorzatával adják meg: T 1 = αt D PD-SZABÁLYOZÓ SZŰRT D-TAGGAL: KÖZELÍTŐ PD-SZABÁLYOZÓ A közelítő PD-szabályozóval történő szabályozást gyakran fázissiettető kompenzációnak (lead compensator) hívják. Az átviteli függvény: Az átviteli függvény átírható tört alakba: C(s) = K P (1 + T Ds (1 + T 1 s) ) (76.) C(s) = K P (1 + T Ds (1 + T 1 s) ) = K P ( 1 + T D 1 + T 1 s ). (77.) T D = T D + T 1. A közelítő PD-szabályozó átmeneti függvénye az alábbi ábra szerint alakul: (t) s t 49. ábra Közelítő PD-szabályozó átmeneti függvénye 6

65 Phase (deg) Magnitude (db) A KÖZELÍTŐ PD-SZABÁLYOZÓ FREKVENCIAFÜGGVÉNYE A közelítő PD-szabályozó Bode-diagramját mutatja a 5. ábra, ahol K P = 1. (Ezzel a feltételezéssel nem szűkítjük a megállapítások érvényességét.) A fázissiettető kompenzátor elnevezés arra utal, hogy a kompenzátor tipikus fázisa pozitív, vagyis siettető hatású. A frekvenciatartományban ez a siettető hatás az 1/T 1 körfrekvencia felett lecseng. A fázissiettető szabályozó megnöveli a hurokátvitel sávszélességét azzal, hogy megnöveli a vágási körfrekvencia értékét. Ezzel párhuzamosan, a fázisgörbe is megemelkedik magasabb frekvenciákon. T d változtatásával bevihető a fázisemelés arra a frekvenciatartományra, ahol már megfelelő tartalékok lesznek. Az eredmény: nagyobb fázistartalék és magasabb ω pc fázisvágási körfrekvencia. Az időtartományban: kisebb mértékű túllendülés (a nagyobb fázistartalék miatt) kisebb maximumidővel (a magasabb fázisvágási körfrekvencia miatt). 2 Bode Diagram Phase lead Frequency (rad/s) 5. ábra Közelítő PD-szabályozó Bode-diagramja FÁZISSIETTETŐ/KÉSLELTETŐ KOMPENZÁCIÓS TAG A C(s) = 1 + T Ds 1 + T 1 s. (78.) átviteli függvényű szabályozót paraméterezéstől függően fázissiettető (FS) vagy fáziskésleltető (FK) tagnak hívják, mert a T D >T 1 esetben közelítő PD-szabályozót, T D <T 1 esetben pedig közelítő PI-szabályozót valósít meg. 61

66 Phase (deg) Magnitude (db) A KÖZELÍTŐ PID-SZABÁLYOZÓ A közelítő PID-szabályozó (PIDT1) átmeneti függvénye: v PIDT1 (t) = K p (1 + 1 T i t + T D t e t T 1 ) ; t (79.) (t) t 51. ábra Közelítő PID-szabályozó átmeneti függvénye Az átmeneti függvényből grafikus kiértékeléssel megkaphatjuk a szabályozó paramétereit. A közelítő PID-szabályozó egyesíti a PI- és a PDT1-szabályozók már megismert frekvenciaátviteli karakterisztikát formáló tulajdonságait. 6 Bode Diagram Frequency (rad/s) 52. ábra PIDT1 szabályozó Bode-diagramja 62

67 4. HOLTIDŐS RENDSZEREK SZABÁLYOZÁSA A beavatkozás időpillanata és a beavatkozásra adott válasz kezdete közötti időeltérés a holtidő. Pl. képzeljünk el egy fűtési rendszert, ahol csővezetékeken keresztül áramlik a forró víz a kazántól az épület különböző helyiségeiben lévő radiátorokhoz. Mivel valamennyi idő eltelik a között, hogy a kazánból kilép a forró víz és eljut az adott radiátorig, a radiátor nem kezd el melegedni azonnal, csak késleltetve. Ez nem ugyanaz a késleltetés, mint a tárolós tagoknál: a holtidő alatt a kimenet egyáltalán nem reagál a bemenet változására! A holtidős rendszer átviteli függvénye, ha a holtidő τ : G (s) = G(s)e τs. (8.) 4.1. ARÁNYOS, HOLTIDŐS HUROK Arányos rendszer holtidővel, exponenciális alakban: vagy trigonometrikus alakban (Euler): G (s) = k e τs = k e jτω, (81.) G (jω) = k (cos(τω) jsin(τω)). (82.) A frekvenciafüggvény valós és képzetes része: Az amplitúdóviszony: Re = k cos(τω), Im = k sin(τω). (83.) M(ω) = k (cos(τω)) 2 + (sin(τω)) 2 y ss (t) = k. (84.) Az amplitúdóviszony független a frekvenciától! Mindent áteresztő rendszer (all pass system). A fáziskésés a körfrekvenciával arányos: φ(ω) = arctg k sin(τω) k cos(τω) = arctg( tg(τω)) = τω. (85.) A rendszer csak akkor stabil, ha a k < 1 feltétel teljesül. 63

68 53. ábra Arányos, holtidős rendszer Bode-diagram: fázisgörbe A 54. ábrán úgy paramétereztük a szimulációs programot, hogy tiszta holtidős szakasz és P-szabályozó alkotta szabályozás alapjelkövetését szemléltesse. A szakasz praméterei: =,25s k=1, (P(s) = e,25s ), a szabályozó erősítése K P =,8 (C(s) =,8). Így a hurokerősítés k =,8, tehát a szabályozás stabil. A 55. ábrán kinagyítva láthatjuk, hogy a holtidő miatt a szabályozott jellemző és így a végrehajtó jel is lépcsőzetesen alakul. 54. ábra Holtidős rendszer szabályozása P-szabályozóval szelep% 6 tart.szint % alapjel,r % e e e 4 35 e 3 25 e e u u u u Time ábra Holtidős rendszer szabályozása P-szabályozóval, 6% ugrásszerű alapjelkövetés, k = 1, =,25s; K P =,8; k =,8 64

69 Nézzük meg, mi történik, ha K P = 1 (C(s) = 1) és így a hurokerősítés k = 1: szelep% tart.szint % alapjel,r % Time ábra k = 1 Egységnyi körerősítés már nem csillapodó lengéseket okoz, ezért tiszta holtidős rendszert nem szabad P-szabályozóval szabályozni INTEGRÁLÓ, HOLTIDŐS HUROK Arányos, holtidős rendszer és I-szabályozó: P(s) = ke τs, (86.) vagy P-szabályozó és integráló, holtidős szakasz: C(s) = 1 T i s, (87.) P(s) = 1 T i s e τs, (88.) Mindkét esetben azonos hurokátviteli függvény kapunk: C(s) = K P. (89.) ahol k = K P vagy k. G (s) = k T i s e τs, (9.) 65

70 Az amplitúdóviszony és a fázisgörbe származtatása: G (jω) = k T i jω (cos(τω) jsin(τω)) (91.) G (jω) = jk T i ω (cos(τω) jsin(τω)) (92.) G (jω) = jk T i ω cos(τω) k T i ω sin(τω). (93.) A frekvenciafüggvény valós és képzetes része: Re = k T i ω sin(τω), Im = k T i ω cos(τω). (94.) Az amplitúdóviszony: M(ω) = k T i ω (cos(τω))2 + (sin(τω)) 2 (95.) A logaritmikus skálán egy egyenes egyenletét kapjuk: M(ω) = k T i ω. (96.) A vágási körfrekvencia: ω = k T i. A fázisgörbe egyenlete: 2lg(M(ω)) = 2(lg k T i lg ω) (97.) 2lg(M(ω)) = const. 2 lg ω. (98.) k T φ(ω) = arctg i ω cos(τω) k T i ω sin(τω) (99.) φ(ω) = arctg(ctg(τω)) (1.) φ(ω) = arctg ( tg (τω + π 2 )). (11.) 66

71 A fázisgörbe lineáris skálán egy egyenes egyenlete: φ(ω) = τω π 2. (12.) A stabilitás függ a rendszerparaméterek értékeitől: k, T i, τ. A stabilitás határesete: A fázisvágási frekvencia: φ(ω (φ= 18 ) ) = τω (φ= 18 ) π 2 = π. (13.) ω pc = ω (φ= 18 ) = π 2τ. (14.) A stabilitás határesetében a fázisvágási frekvencián az amplitúdóviszony = 1: A fázisvágási frekvencia: M(ω pc ) = k T i ω (φ= 18 ) = 1. (15.) ω pc = k T i. (16.) Ha a rendszer arányos, akkor k = k adott és az integrálási időállandó változtatható. A kritikus integrálási időállandó, T ic kifejezhető a szakaszparaméterekkel: T ic = k ω pc, (17.) T ic = k π = 2kτ π. (18.) 2τ Ha a szakasz jelátvitele integráló holtidős, akkor T i adott és a szabályozó erősítését változtathatjuk. A kritikus szabályozóerősítés, K Pc : K Pc = T i ω pc (19.) K Pc = πt i 2τ. (11.) 67

72 Tételezzük fel, hogy G M = 6dB erősítési tartalékot szeretnénk biztosítani. Ekkor a szabályozó erősítése: K P6dB = πt i 4τ. (111.) Vagyis a kritikus erősítés fele. (Később találkozunk ezzel a felező értékkel a zárt köri Ziegler Nichols-féle szabályozó paraméterbeállítási módszernél!) Például, legyen T i = 2s, τ = 1s, ekkor: K P6dB = π ábra Integráló, holtidős szakasz szabályozása P-szabályozóval 58. ábra Arányos, holtidős rendszer szabályozása I-szabályozóval 68

73 4.3. FELADAT: HOLTIDŐS SZABÁLYOZÁSOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA Hasonlítsuk össze az alábbi két ábrát! Miben hasonlít és miben tér el a két ugrásszerű alapjelváltozásra adott válasz? (A hurokátviteli függvények azonosak, a paraméterek azonosra állítva. A szabályozott jellemzők (kék) lefutása megegyező, de a végrehajtó jelek (zöld) másként alakulnak! Miért?) 59. ábra Fent integráló, holtidős szakasz szabályozása P-szabályozóval; lent: holtidős szakasz szabályozása I-szabályozóval 69

74 5. A PID-SZABÁLYOZÓ PARAMÉTERBEÁLLÍTÁSI MÓDSZEREI Megismertük a szabályozással szemben támasztott követelményeket, a szabályozások jellemzésére, összehasonlítására szolgáló teljesítménymutatókat. Ismerjük a különböző típusú PID-szabályozókat, melyek a klasszikus szabályozásokban a szabályozó szerepét töltik be. Ismerjük a PID-szabályozó paraméterei megváltozásának a szabályozásra gyakorolt hatását. Nem tudjuk azonban, hogy hogyan állítsuk be ezeket a paramétereket, azaz hogyan hangoljuk a szabályozót, hogy az adott szabályozási problémához a lehető legjobban illeszkedő szabályozót kapjunk. A klasszikus szabályozástechnika szabályozóhangolásának a kiindulópontja az alábbi tételekkel foglalható össze: Alapvetően ismert a szabályozó típusa: PID-szabályozó. A szakaszon végzett kísérletekkel vagy egyéb úton meghatározott szakaszjellemzők alapján meghatározzuk a szabályozó paramétereit. Tehát a szabályozó struktúrája nem kérdés, csak a paraméterezés. (Megjegyzés: A modern szabályozások alapvetően különböznek ettől a felfogástól: a szabályozási körnek az eredő viselkedését tervezik meg, a szabályozott szakasz modelljét meghatározva, keresik a szabályozóstruktúrát, amely általában tartalmazza a szakasz modelljét vagy annak inverzét. Ezen felül néhány hangolási paraméter marad, amit modellezéssel, iteratív úton szokás beállítani.) A klasszikus szabályozótervezés lépései A szabályozással szemben támasztott követelmények megfogalmazása. Megbecsüljük a szabályozott rendszer (a szakasz) jelátviteli karakterisztikáját legtöbbször mérésekkel alátámasztva valamilyen egyszerűsített modell formájában, vagy csak méréseket végzünk a zárt körön, és a mérési eredményekből, modell nélkül lépünk tovább. Meghatározzuk a PID-szabályozó típusát és paramétereit. Teszteljük a beállítást a valós rendszeren, és ha nem megfelelő a szabályozás, visszatérünk valamelyik előző lépésre. 7

75 5.1. A PID-SZABÁLYOZÓ PARAMÉTEREINEK HATÁSA A SZABÁLYOZÁS DINAMIKÁJÁRA Az alábbi összefoglaló táblázat bemutatja a PID-szabályozó paraméterei növelésének hatását a szabályozás jellemzőire: PIDszabályozó paraméterei Maradó hiba Túllendülés Szabályozási idő Labilis viselkedésre való hajlam K P csökkenti növeli csökkenti növeli T i eltünteti csökkenti növeli csökkenti T D nincs hatással csökkenti csökkenti növeli A PID-szabályozó finomhangolásának lépései: Az erősítési tényező, K P növelésével a szabályozási idő csökkenthető. Integráló tag használatával eltüntethető a maradó hiba. Deriváló tag használatával csökkenthető a túllendülés és a szabályozási idő. A klasszikus PID-szabályozó beállításnak módszerei: A felnyitott körön végzett kísérletekkel (Open-loop methods), tehát csak a szakaszon, a szabályozótól függetlenül. Zárt körön végzett kísérletekkel (Closed-loop methods), amelyek a kiépített zárt szabályozási kör kimérésén alapulnak. 71

76 5.2. TAPASZTALATI SZABÁLYOZÓHANGOLÁSI MÓDSZEREK ZÁRT KÖRÖN VÉGZETT KÍSÉRLETEZÉSEK PRÓBÁLGATÁSOS MÓDSZER (TRIAL AND ERROR METHOD) Feltétel: a szabályozási kör ki van építve. A próbálgatásos módszer fő komponense az arányos tag. Az integráló és a differenciáló komponens pedig finomítja ezt. A hangolási módszer lépései: 1. A szabályozó erősítését, K P, addig változtatjuk, (K i,k D = ), amíg a kívánt kimenetet kapjuk. Ha a szabályozás így elég gyors, de nem elég pontos, a következő lépés: 2. Az integrálási időállandó állítgatásával eltávolítjuk a maradó hibát. 3. Egy darabig így működtetjük a rendszert, némi tapasztalatot szerezve a szabályozási rendszer viselkedéséről, ha szükséges, némi deriválási idő beállítható ZIEGLER NICHOLS FREKVENCIAVÁLASZ-MÓDSZER Feltétel: a szabályozási kör ki van építve. A technológia megengedi, hogy a szabályozást a stabilitás határhelyzetébe hozzuk a hangoláshoz szükséges mérések elvégzésének idejére. A szabályozót úgy állítjuk be, hogy csak a P-hatás érvényesüljön (P-szabályozás). Zárt szabályozási körben addig növeljük a szabályozó erősítését, K Pcrit, hogy a szabályozott jellemző állandó amplitúdójú lengéseket végezzen (kismértékű alapjelmódosítás hatására) anélkül, hogy a végrehajtó jel elérné a telítési értéket. Meghatározzuk a lengések periódusidejét: T crit. A kritikus periódusidő és a szabályozó kritikus erősítésének felhasználásával táblázat segítségével a szabályozó paraméterei számíthatók. Az eljárás részletesen: 1. A szabályozó beállítása (kézi üzemmódban): K P beállítás alacsony értékre; T i végtelen; T D =. 2. Kézi üzemmódban az alapjel közelébe visszük a rendszert. 3. Átkapcsolunk automata üzemmódba. 72

77 4. Folyamatosan, apránként növeljük a szabályozó erősítését, K P -t, amíg a szabályozott jellemző állandó amplitúdójú lengéseket nem végez. Minden módosítás után megvárjuk, hogy beálljon az új egyensúlyi helyzet. K P változtatása után, az alapjel kismértékű módosításával kibillentjük a rendszert az egyensúlyi helyzetéből, hogy a szabályozó akcióba lépjen. 5. Feljegyezzük azt a szabályozóerősítést, amellyel a stabilitás határára hoztuk a szabályozást: K Pcrit. 6. Határozzuk meg a lengések periódusidejét: T crit, ahogyan azt az alábbi ábrán is láthatjuk. T crit Szabályozott jellemző 6. ábra A szabályozott jellemző lengése 7. K Pcrit és T crit segítségével az alábbi táblázatból a PID-szabályozó paraméterei számíthatók: Szabályozó típusa K P T i T D P-.5K Pcrit - PI-.45K Pcrit.83T crit - PID-.6K Pcrit.5T crit.125t crit A fenti táblázat összeállításánál az volt a fő tervezési szempont, hogy a zavarások hatására gyorsan lecsengjenek a tranziensek: egynegyed amplitúdócsökkenési aránnyal (quarter amplitude decay ratio). Ez meglehetősen nagy kezdeti túllendülést (kb. 4%) jelent, ezért később megjelent a Z N módszer módosított táblázata: 73

78 Szabályozó típusa K P T i T D PID- eredeti.6k Pcrit.5T crit.125t crit PIDtúllendüléssel PIDtúllendülés nélkül.33k Pcrit.5T crit.33t crit.2k Pcrit.3T crit.5t crit A Z N frekvenciaválasz-módszer előnye Nem szükséges a folyamatról apriori információ, nincs folyamatmodell. Az összes stabil rendszernél alkalmazható. Csak egyetlen kísérleti vizsgálat szükséges. Könnyen kiszámíthatóak a szabályozó paraméterei. A Z N frekvenciaválasz-módszer hátránya Időigényes. A tesztelés során minőségromlás és termeléskiesés. Veszélyhelyzetet okozhat a stabilitás határára került szabályozás. Nem alkalmazható, ha a felnyitott kör labilis. Egy- és kéttárolós, holtidő nélküli szakaszokkal nem működik (szerkezetileg stabil szabályozások). Ez motiválta az ún. relés módszert (Relay Feedback Method). A relé módszer: A szabályozót a vizsgálat idejére egy kétállású szabályozóval helyettesítik. Az állásos szabályozó hatására a szabályozott jellemző mint ahogy a Hiba! A hivatkozási forrás nem található.. fejezetben ezt megismertük állandó amplitúdójú lengéseket végez. A szakaszról nem szükséges semmilyen apriori információ. A lengés periódusidejéből rendszerint a Z N hangolási szabályok alapján számítják a PIDszabályozó paramétereit. 74

79 FELNYITOTT KÖRBEN VÉGZETT VIZSGÁLATOK: A SZAKASZ ÁTMENETI FÜGGVÉNYÉNEK KIMÉRÉSÉN ALAPULÓ MÓDSZEREK ZIEGLER ÉS NICHOLS MÓDSZERE (1942 J. G. Ziegler és N. B. Nichols) Ziegler és Nichols módszere (Z N módszer) S-alakú (azaz arányos, túllendülés nélküli) átmeneti függvényre alkalmazható. Feltételezzük, hogy a szakasz átviteli függvénye egytárolós, holtidős (first-order process plus dead-time FOPDT) modellel közelíthető: P(s) = k T 1 s + 1 e τs. (112.) Az átmeneti függvény három paraméterrel jellemezhető, amennyiben az inflexiós ponthoz és az új állandósult állapothoz egy-egy érintőt húzunk: erősítés, k, holtidő (itt pontosabb a lappangási idő elnevezés), τ és az időállandó, T 1, lásd Hiba! A hivatkozási forrás nem található.. ábra. Az egytárolós, holtidős szakaszmodell közelítés számos paraméterbecslési eljárás alapja. Fontos jellemzője a modellnek a normalizált holtidő: τ/t 1. Ha τ/t 1 >1, a túlságosan nagy holtidő miatt az egyszerű PID-szabályozó nem megfelelő a szabályozásra. (Ilyenkor valamilyen holtidőkompenzálási struktúrát, pl. az ún. Smithprediktort szokás alkalmazni.) A Z N módszer lépései: 1. Kimérjük az átmeneti függvényt. 2. Az átmeneti függvény kiértékelésével meghatározzuk a közelítő modell paramétereit. Ha a gerjesztés nem egységugrás volt, az erősítési tényezőt a k = y y = y összefüggéssel számíthatjuk. u u u 3. Meghatározzuk a szabályozó paramétereit az alábbi táblázat felhasználásával. A beállítás tipikusan 2 25% túllendülést eredményez, elfogadható szabályozási idővel. Finomhangolással tudunk igazítani a beállításokon, ha az az elvárásoknak nem teljesen megfelelő. Előnyök: Gyors és könnyebben használható, mint a további módszerek. Megfelelően robusztus és népszerű eljárás. 75

80 76

81 Hátrányok: Lehet, hogy bizonyos rendszereknél nem megfelelő a szabályozó paramétereinek becslése a durva modellközelítés miatt. Nem ad ajánlást I-, D- és PD-szabályozókra. A Ziegler Nichols átmeneti függvény kimérésén alapuló szabályozó beállítások: Szabályozó típusa P- PI- PID- K P T i T D 1 T 1 k τ,9 T 1 k τ 1,2 T 1 k τ 3,33τ 2τ,5τ COHEN COON MÓDSZER ( 1953, G. H. Cohen és G. A. Coon.) A Cohen Coon módszer korrigálja a Z N módszer nagy holtidős rendszereknél lassú szabályozást eredményező beállításait. A módszert csak nagyobb holtidővel rendelkező rendszereknél célszerű alkalmazni, mivel egyébként túl nagy lenne a szabályozó erősítése. A Cohen-Coon hangolás célja ¼ lengéscsillapítási arány (QDR:Quarter Decay Ratio). Szabályozó típusa P- PI- PID- 1 T 1 k K P T i T D τ (1 + τ ) 3T 1 1 T 1 k τ (,9 1 T 1 k + τ 12T 1 ) τ τ T τ T 1 τ (4 3 + τ ) τ τ T 1 4T τ T 1 4 τ τ T 1 77

82 CHEN HRONES RESWICH (C H R) MÓDSZER A Z N átmeneti függvény módszer módosítása. Kétféle cél szerint állítottak össze táblázatokat: gyors, túllendülés nélküli válasz vagy gyors, max. 2%-os túllendüléses válasz. A módszer nagy előnye, hogy figyelembe vették, hogy a szabályozót másképp kell hangolni, ha a fő cél az alapjelkövetés, vagy ha a fő cél a zavarkompenzálás. C H R zavarkompenzálás Szabályozó típusa P- PI- PID- Túllendülés nélkül 2% túllendülés K P T i T D K P T i T D.3 T 1 k τ.6 T 1 k τ.95 T 1 k τ 4τ 2.4τ.42τ.7 T 1 k τ.7 T 1 k τ 1.2 T 1 k τ 2.3τ 2τ.42τ C H R alapjelkövetés Szabályozó típusa P- PI- PID- Túllendülés nélkül 2% túllendülés K P T i T D K P T i T D.3 T 1 k τ.35 T 1 k τ.6 T 1 k τ 1.2τ τ.5τ.7 T 1 k τ.6 T 1 k τ.95 T 1 k τ τ 1.4τ.4τ Az átmeneti függvény kimérésén alapuló szabályozóhangolási módszereknek az említetteken kívül még számos fajtája létezik. A következő fejezetben érdekességként egy olyan korszerű szabályozóhangolási módszert elvét vázoljuk fel röviden, amely bizonyos szakaszok esetén PID-szabályozót eredményez optimális szabályozóként. 78

83 5.3. PID-SZABÁLYOZÓT EREDMÉNYEZŐ, MODELLALAPÚ SZABÁLYOZÓTERVEZÉS (Belső modell elv, belső modell kompenzáció: Internal Model Principle and Internal Model Control: IMC) A modellalapú szabályozótervezés alapja a belső modell elv, amely kimondja, hogy a szabályozás csak akkor lehetséges, ha a szabályozóba explicit vagy implicit módon beágyazva megjelenik a szabályozott rendszer modellje. Az eddig bemutatott módszerek az implicit kategóriába sorolhatók. A modellalapú szabályozásokban viszont a szakaszmodell explicit jelen van. Nincs rögzítve eleve a szabályozó struktúrája, hanem a zárt szabályozási kör eredő jelátviteli tulajdonságait írják elő. Ebből és a szakaszmodellből származtatják különböző, gyakran optimalizálást is tartalmazó módszerekkel a szabályozó struktúráját és paramétereit is. Érdekes módon, bizonyos szakasztípusokra a modellalapú tervezési módszerek optimális szabályozóként a PID-szabályozót adják eredményül. Bár a Lambda tuning és az IMC szabályozótervezés különböző elveken alapul, egyszerűbb önbeálló rendszerekre azonos szabályozókarakterisztikát szolgáltatnak. Mindkét módszer igen népszerű, mivel elkerülhetők a lengések és a szabályozás teljesítményjellemzője a zárt kör időállandójával beállítható LAMBDA TUNING MÓDSZER (Egyszerűsített IMC) A Lambda tuning módszer alapvetően egy pólusáthelyezési módszer, amely egységnyi erősítésű FOPTD zárt köri alapjelátvitelt feltételez, lásd az alábbi ábrán az elvet. Adott a kívánt alapjelkövetési karakterisztika G R (s) és a szakaszmodell P(s); keressük azt a szabályozó karkterisztikát ( C(s) ), amellyel az alapjelátviteli karakterisztika megvalósítható. 79

84 Zavaró jel d(t), D(s) Alapjel r(t), R(s) + _ Hibajel e(t) Végrehajtó jel u(t), U(s) P known + + Szabályozott jellemző y(t), Y(s) Alapjel r(t), R(s) Szabályozott jellemző y(t), Y(s) 61. ábra Az egyszerűsített modellalapú szabályozótervezés elve A továbbiakban a szakaszról feltételezzük, hogy egytárolós, holtidős modellel közelíthető (FOPTD). A zárt kör alapjelátviteli függvénye legyen: G R (s) = 1 λs + 1 e τs, (113.) ahol λ a szabályozó hangolási paramétere. Azaz elvárjuk, hogy az ugrásszerű alapjelváltozást túllendülés és maradó hiba nélkül kövesse a szabályozott jellemző. Ilyen típusú szabályozás akkor kívánatos, ha a szabályozott jellemző sosem léphet túl bizonyos korlátokat és az alapjel ezen határértékek közelében van. Ha a szabályozó sosem engedi a szabályozott jellemzőt túllendülni az alapjelen, akkor az a határértéket sem fogja átlépni. Az ilyen típusú szabályozás sosem produkál labilis viselkedést sem. A szabályozott jellemző folyamatosan emelkedik vagy csökken a kiindulási értékétől addig, amíg az alapjelet el nem éri. Kisebb λ gyorsabb szabályozást jelent, de közelebb vihet az instabil tartományhoz. Bizonyos numerikus holtidő-közelítési modelleket alkalmazva, a FOPTD szakaszmodellből és a fenti G R (s) alapjelátvitelből kiindulva bizonyítható, hogy a szabályozó jelátviteli karakterisztikája megfelel PI- vagy PID-szabályozónak (a holtidőt közelítő modell függvényében). A λ paraméter és a szakasz erősítése: k, időállandója: T 1 és holtideje: τ ismeretében a szabályozó paraméterei beállíthatók az alábbi táblázat alapján: 8

85 Szabályozó típusa PI- Improved PI- PID- K P T i T D 1 T 1 k λ 1 2T 1 + τ k 2λ 1 2T 1 + τ k 2(λ + τ) Ajánlás: λ τ (λ >. 2τ ) T 1 - >.25 T 1 + τ 2 T 1 + τ 2 - >1.7 λτ 2(λ + τ) >1.7 A legnagyobb különbség a lambda tuning módszer és az egyéb átmeneti függvényen alapuló tapasztalati módszerek között, hogy a hangolási paraméterek száma a lambda paraméterre csökkent. Csak a szabályozó erősítési tényezőjét kell behangolnunk, az integrálási időállandó egyszerűen egyenlő lesz a szakasz időállandójával (lásd a fenti táblázat első sora). A szabályozó erősítése fordítottan arányos lambdával. Ha λ kicsi, a szabályozás gyors, az erősítésnek nagynak kell lennie. A megfelelő τ λ arány beállítása teljesítmény- és robusztussági megfontolásokon alapul. Hátrányok Meglehetősen lassú szabályozás (a lassú folyamat még lassúbb lesz), így a szabályozott jellemző hosszú ideig távol van az alapjeltől. λ-t általában T 1 és 3T 1 közötti értékre szokták beállítani, illetve még nagyobbra, ha jelentős a holtidő, τ. Ilyenkor a λ > τ alsó korlátot szokás előírni, hiszen a szabályozó csak a holtidő megengedte gyorsasággal reagálhat. A zavarás kompenzálására nincs méretezve. Integráló jellegű folyamatra is létezik ajánlás: Szabályozó típusa P- K P 2λ + τ k(λ + τ) 2 81

86 5.4. CÉLFÜGGVÉNY MINIMALIZÁLÁSÁN ALAPULÓ SZABÁLYOZÓHANGOLÁSI MÓDSZEREK, INTEGRÁLKRITÉRIUMOK A szabályozás jóságának mértékéül valamilyen optimalizálási kritériumot vezetünk be. Az integrálkritériumok tehát a szabályozás teljesítményindexei. Optimalizálásnak mondjuk, ha a szabályozó paramétereket addig változtatjuk, amíg valamely teljesítményindex eléri a szélső értékét, rendszerint a minimumát. Azt hívjuk ezután a legjobb szabályozó paraméterértéknek, amely az indexet minimalizálta. Az integrálkritériumok rendszerint a hibajel lefutását értékelik. A legegyszerűbb teljesítményindex a négyzetes integrálkritérium. T s ISE = e 2 Az integrálás felső határa rendszerint a szabályozási idő. (t)dt min. (114.) A következő, könnyen megvalósítható integrálkritérium az abszolútérték-kritérium: T s IAE = e(t) dt min. (115.) Ha szeretnénk elkerülni a kezdeti időpillanatban a nagymértékű kilengéseket, az idővel súlyozott abszolút hiba integrálkritériumot alkalmazzuk (Integral of Time multiplied by Absolute Error: ITAE): ITAE = T s A fentihez hasonló index az idővel súlyozott négyzetes hiba: t e(t) dt min. (116.) ITSE = T s te 2 (t) dt min. (117.) A legjobb szelektivitású az ITAE index, mivel a szabályozó paramétereinek változtatására könnyen kimutatható a minimum. 82

87 5.5. A PID-SZABÁLYOZÓ PARAMÉTEREINEK BEÁLLÍTÁSA A FREKVENCIATARTOMÁNYBAN A klasszikus szabályozóhangolások egyik elsődleges módszere a frekvenciatartományban történő paraméterbeállítás, amelyben a felnyitott rendszer frekvenciaátviteli jelleggörbéjének menetét formáljuk: a szabályozó struktúráját és paramétereit úgy választjuk meg, hogy a felnyitott kör bizonyos átviteli karakterisztikájú, vagyis bizonyos formájú legyen. Nyquist- illetve Bode-diagramban is történhet a tervezés, itt most a Bode-diagramban fogunk dolgozni. Azt a szabályozótervezési módszert, amely a hurokátviteli függvény alakításával állítja be a zárt kör átviteli karakterisztikáját, az angol terminológia loop-shaping -nek nevezi. Megfontolásainkat kezdjük a zárt kör alapjelátviteli függvényével: G R (s) = és zavarátviteli függvényével: G D (s) = C(s)P(s) 1 + C(s)P(s) = G (s) 1 + G (s) (118.) C(s)P(s) = G (s). (119.) Mikor lenne ideális a szabályozás? Ha minden frekvenciára teljesülne, hogy: G R (s) = 1 és G D (s) =. Definiáljuk az ún. érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvényeket. Az érzékenységi függvény megadja, hogy a szakasz átviteli függvényének a megváltozása hogyan befolyásolja az eredő alapjelátviteli tulajdonságot, logaritmikus skálán: S(s) = lgg R(s) lgp(s) = G R(s)/G R (s) P(s)/P(s) S(s) = lgg R(s) lgp(s) = G R(s)/G R (s) P(s)/P(s) S(s) = G R(s) P(s) = G R(s) P(s) = G R(s) P(s) P(s) G R (s) (12.) P(s) G R (s) = G (s) (121.) G R (s) P(s) = C(s) (1 + G (s)) 2 (122.) P(s) G R (s) = P(s)C(s) (1 + G (s)) G (s) G (s) (123.) 83

88 S(s) = G (s). (124.) Minél kisebb S(s), annál kevésbé érzékeny az alapjelátviteli karakterisztika a szakaszmodell változására. Láthatjuk, hogy az S(s) érzékenységi függvény megegyezik a G D (s) zavarátviteli függvénnyel (119.). Az érzékenységi függvény így leírja azt is, hogy a zavarások hogyan csillapodnak a zárt körben. Ismételjük meg a fenti eljárást a zavarátviteli függvényre (G D (s)): lgg D (s) lgp(s) = C(s) P(s)(1 + G (s)) (1 + G (s)) 2 1 = G (s) 1 + G (s) = T(s), (125.) ahol T(s) az ún. kiegészítő érzékenységi függvény, amely megadja, hogy a szakasz átviteli függvényének bizonytalansága hogyan befolyásolja a zárt kör zavarátviteli tulajdonságát, logaritmikus skálán. A T(s) kiegészítő érzékenységi függvény megegyezik az alapjelátviteli függvénnyel. Az pedig 1-gyel szorozva a zajátviteli függvény. Vegyük észre továbbá, hogy S(s) és T(s) összege egyenlő 1-gyel, lásd 62. ábra: S(s) + T(s) = 1. (126.) 62. ábra Példa az érzékenységi és a kiegészítő érzékenységi függvényekre (amplitúdóviszony-görbék) Amennyiben szeretnénk, hogy a szabályozás érzéketlen legyen mind a folyamatot érő zavarásokra, mind a mérésből eredő zajokra, mind S(s), mind T(s) abszolút értékének kicsinek kellene lennie. Amennyiben megfelelő alapjelkövetést szeretnénk, T(s) abszolút értékének egynek kellene lennie. Láthatjuk, hogy ezek a 84

89 kívánalmak ellentmondáshoz vezetnek, nem tudjuk a teljes frekvenciatartományon teljesíteni őket. Kérdés, hogy milyen hurokátviteli függvény biztosítja a zárt kör frekvenciafüggvényének a kívánt lefutását? A (124.), (125.) és (126.) egyenletekből az alábbi egyenlőtlenségek következnek. Ha a hurokátviteli függvény abszolút értéke nagy: { S(jω) 1 T(jω) 1 }, ha G (jω) 1. (127.) Ha a hurokátviteli függvény abszolút értéke nullához tart: { S(jω) 1 T(jω) 1 }, ha G (jω) 1. (128.) Amennyiben az alapjelváltozás az alacsony, a zaj a magas frekvenciatartományokba esik, az alábbi előírásokat tehetjük a hurokátviteli függvényre: Legyen G (jω) 1 az alacsony frekvenciákon, hogy jó alapjelkövetést biztosítsunk és egyúttal jó zavarelnyomást, miközben a rendszer alapjelkövetése érzéketlen a modellparaméter-ingadozásokra. Legyen G (jω) 1 a nagyfrekvenciás régióban, hogy biztosítsuk a mérési zajok csillapítását, miközben a rendszer zavarátviteli tulajdonsága érzéketlen a modellparaméter-ingadozásokra. A fenti feltételeknek leginkább egy integráló jellegű hurokátviteli karakterisztika feleltethető meg. A frekvenciatartományt három részre oszthatjuk: a kisfrekvencia-tartomány a zárt kör statikus tulajdonságát határozza meg. A középső tartomány a zárt kör dinamikus tulajdonságait mutatja, nagyfrekvenciákon a szabályozás hatástalan, lásd 63. ábra. Azért, hogy jobban érzékeljük a tartományok viszonyát, az ábrán a frekvenciatengely kivételesen lineáris skálázású. Látható, hogy az alapjelkövetés nem lehet jó magasabb frekvenciákon. Komoly problémát okoz, ha az alapjelváltozás, a zavarás és a zaj jellemző frekvenciatartományai nem választhatók szét. 85

90 S, db I: Szabályozási tartomány, Maradó hiba: S() II: Tranziens viselkedést meghatározó tartomány, lineáris III: A visszacsatolás hatástalan 63. ábra A szabályozás főbb frekvenciatartományai TERVEZÉS ELSŐRENDŰ ZÁRT KÖRI ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA Tételezzük fel ismét, hogy az alapjelkövetés feleljen meg egy egységnyi erősítésű elsőrendű tagnak (túllendülés és ugrásjelkövetés), azaz legyen az alapjelátviteli függvény: G R (s) = G (s) 1 + G (s) = 1 T 1 s + 1. (129.) Milyen előnyei vannak az ilyen, egytárolós tagnak megfelelő alapjelátviteli függvénynek, átviteli karakterisztikának? Időtartományban: Az ugrásszerű alapjelváltozást maradó hiba és túllendülés nélkül követi. A szabályozási idő az időállandóból számítható: a v(t) = (1 e t T 1 ) függvény jellemzője, hogy az új egyensúlyi helyzetet 95%-os pontossággal 3T 1 idő alatt, 98%-os pontossággal 4T 1 idő alatt közelíti meg, a szabályozási idő tehát T 1 időállandó értékével arányos. Frekvenciatartományban: A sávszélesség T 1 időállandó értékével fordítottan arányos. Az ω < t T 1 körfrekvenciatartományba tartozó alapjelet torzítás nélkül átviszi, ennél nagyobb frekvenciájú alapjelváltozást már torzít. Az áteresztő tartományban az érzékenység és így a zavarátvitel S(s) 1, tehát a lassú technológiai zavarásokat szűri. A mérési zajok 86

91 a nagyfrekvenciás tartományba esnek, a zajátviteli függvény abszolút értéke megegyezik T(s) abszolút értékével, így azokat a zárt rendszer csillapítja. Sávszélesség 64. ábra Elsőrendű zárt köri alapjelátviteli karakterisztika és az érzékenységi függvény Mint már láttuk, az egytárolós zárt köri karakterisztika egy integráló típusú hurokátviteli függvénnyel érhető el: G (s) = C(s)C(s) = K P, lásd (22.)-től (25.)-ig a T i s levezetéseket. A zárt körre jellemző T 1 időállandó és a hurokátviteli függvény paraméterei közötti kapcsolat: T 1 = K P T i. (13.) TERVEZÉS MÁSODRENDŰ ZÁRT KÖRI ÁTVITELI KARAKTERISZTIKÁRA Ahhoz, hogy gyorsabb legyen a szabályozás, meg kell engednünk némi túllendülést. Ilyenkor a zárt kör alapjelátviteli karakterisztikáját másodrendű jelátvitellel közelíthetjük (az erősítés továbbra is egységnyi, hogy ne legyen maradó hiba ugrásszerű alapjelváltozásra): G R (s) 1 T 2 2 s 2 + 2ξT 2 s + 1. (131.) A szabályozás időtartományban, ugrásszerű alapjelkövetésre a másodrendű rendszerek más tanulmányaikból már megismert csillapítási tényezőtől és időállandótól függő válaszfüggvényét adja. 87

92 Frekvenciatartományban: Tranziens tulajdonságok Sávszélesség 65. ábra Másodrendű zárt köri alapjelátviteli karakterisztika és az érzékenységi függvény 66. ábra A 65. ábrának megfelelő időtartománybeli zárt köri ugrásválasz A felfutási és a szabályozási idő fordítottan arányos a sávszélességgel. Az amplitúdóviszony maximális értéke (amely a tranziens tartományban látható) közvetlen kapcsolatban áll a csillapítási tényezővel és így a maximális túllendüléssel. A csúcs frekvenciája nem azonos a sajátfrekvenciával, azonban feltételezhetjük, hogy annak közelében található. (Megjegyzés: az amplitúdóviszony-görbében már nincs nulla fölé emelkedő csúcs, ha a csillapítási tényező: ξ >,77, részletesen lásd a megfelelő irodalomban.) Másodrendű zárt köri alapjelátviteli függvényt eredményez az egytárolós integráló hurok, (45.)-hez hasonlóan. (Lásd az alapjelátviteli függvény levezetését (45.)-től, L(s) = T 1 s és k=1 helyettesítéssel. A hurokátviteli függvény: 88

93 Phase (deg) Magnitude (db) G (s) = a következő paraméterezéssel: 1 T i s(1 + T 1 s), (132.) T i = 2ξT 2 = 2ξ ω, (133.) T 1 = T 2 2ξ = 1 2ξω. (134.) Más szavakkal: ahhoz, hogy a kívánt csillapítási tényezőjű és időállandójú zárt köri karakterisztikát kapjuk, a hurokátviteli függvény frekvenciafüggvényének minél jobban hasonlítania kell egy integráló, elsőrendű időkésleltetéses (IT1) jelátviteli karakterisztikára. Emlékeztetőül egy IT1 jelátviteli karakterisztika Bode-diagramját láthatjuk a 94. ábrán. A vágási körfrekvencia: ω c = 1 T i, az amplitúdóviszony-görbe meredeksége ω = 1 T 1 körfrekvenciánál változik. Látható, hogy a vágási körfrekvencia környékén a görbe meredeksége 2dB/dekád, ehhez szükséges, hogy 1 T i < 1 T 1, vagyis T i > T 1 feltétel teljesüljön. 5 Bode Diagram -2dB/decade -5-4dB/decade /T /Ti Frequency (rad/s) 67. ábra IT1 frekvenciaátviteli karakterisztika 89

94 A HUROKÁTVITELI FÜGGVÉNY TERVEZÉSE Adott: A szakasz frekvenciafüggvénye P(j). A szabályozással szemben támasztott követelmények. LÉPÉSEK 1. A zárt köri előírásokból meghatározzuk a hurokátviteli karakterisztika jellemzőit. 2. Felrajzoljuk a szakasz frekvenciafüggvényét (Bode-diagram). 3. A szakasz frekvenciafüggvényéhez hozzáadjuk a szükséges számú szabályozó, kompenzáló tag frekvenciafüggvényét. Cél: minél jobban megközelíteni a kívánt hurokátviteli függvényalakot. 4. Szimulációval meghatározzuk a zárt kör időtartománybeli válaszát. Ha a minőségjellemzők nem megfelelőek, visszatérünk a 3. pontra, és más szabályozó-beállításokkal próbálkozunk A STATIKUS TULAJDONSÁGOK JAVÍTÁSA A statikus tulajdonságokat a kisfrekvenciás tartománybeli zárt köri frekvenciaátviteli karakterisztika határozza meg. Tudjuk, hogy minél nagyobb a körerősítés (azaz minél nagyobb a hurokátvitel amplitúdóviszonya), annál kisebb a maradó hiba. Az amplitúdóviszony-görbe kisfrekvenciákon megemelhető egy integrátorral: I- vagy PIszabályozóval a maradó hiba eltűntethető A TRANZIENS TULAJDONSÁGOK JAVÍTÁSA A tranziens tulajdonságokat a közepes frekvenciatartománybeli zárt köri frekvenciaátviteli karakterisztika határozza meg. A vágási körfrekvenciának, a csillapítási tényezőnek és az amplitúdóviszony-görbe meredekségének meg kell felelnie a szabályozással szemben támasztott követelményeknek. Ezen a frekvenciatartományon dől el az amplitúdó és fázistartalék. Cél: a vágási körfrekvencia környékén az amplitúdóviszony-görbe meredeksége legyen 2dB/dekád. 9

95 PÉLDA Legyen a szakasz harmadrendű rendszer: P(s) = 1 (s + 1) 3. A szabályozással szemben támasztott követelmények: gyors szabályozás maximum 2% túllendüléssel. A hurokátviteli függvényt megpróbáljuk úgy alakítani, hogy egy IT1 jelátvitelt közelítsen az alacsony és közepes körfrekvencia régiókban. A szimulációs programban nemcsak a Bode-diagramot látjuk, hanem az ugrásszerű alapjelre adott zárt köri választ is, így a paraméterek beállításánál azt is figyelembe vehetjük, így az iterációk száma csökkenthető. A szabályozó paramétereit most a próbálgatásos módszernek megfelelő sorrendben változtatjuk. Később látunk majd példát arra is, hogy előbb csak egy integráló szabályozót illesztünk, és utána adjuk hozzá az arányos komponenst. Indítsuk el a megfelelő szimulációs programot és kövessük az alábbi lépéseket. Első lépés: a szabályozó erősítési tényezőjének a meghatározása (68. ábra) Állítsuk be a szakaszparamétereket (erősítés = 1, nevező = [ ]). Állítsuk be a szabályozó paramétereket úgy, hogy a szabályozó P- szabályozóként viselkedjen: T i =nagyon nagy érték; T D =. Addig változtassuk a csúszkával a szabályozó erősítését, míg a fázistartalék kb. 6 7 és az erősítési tartalék nagyobb, mint 1dB. Láthatjuk, hogy az ugrásszerű alapjelváltozásra a szabályozott jellemző csillapodó lengésekkel és maradó hibával áll be az új egyensúlyi helyzetébe. 68. ábra Első lépés: a szabályozóerősítés beállítása (Színek: szakasz piros; szabályozó zöld; hurok fekete) 91

96 Második lépés: az amplitúdóviszony-görbe megemelése kisfrekvenciákon, az integrálási időállandó beállításával (69. ábra): Maradjon T D =, és az erősítési tényezőt most már nem kell változtatnunk. Állítsuk be az integrálási időállandót úgy, hogy az erősítési tartalék még legyen kb. 6dB. Az időtartományban a szabályozott jellemző még a kívántnál nagyobb mértékű túllendülést mutat, de már nincs maradó hiba. 69. ábra Az integrálási időállandó változtatása Harmadik lépés: a differenciálási időállandó beállítása (7. ábra): Változtassuk a differenciálási időállandót úgy, hogy a fázisgörbe nagyfrekvenciás tartományát megemeljük, és kb. 6dB amplitúdó és kb. 3 fázistartalék adódjon. Így az időtartományban a túllendülés mértéke már csak kb. 2%. (Ügyeljünk arra, amit a PID-szabályozó időállandóiról tanultunk: az integrálási időállandó mindig legyen nagyobb, mint a differenciálási időállandó!) Láthatjuk, hogy ideális PID-szabályozóval a hurokátviteli függvény alakja megfelel egy integráló, időkésleltetéses jelátvitelnek. 92

97 7. ábra A differenciálási időállandó hatása Végül állítsuk be a D-tag szűrőjének az időállandóját. Pl. legyen a differenciálási időállandó tizede, lásd 71. ábra. Láthatjuk, hogy a szűrő hatására a hurokátviteli függvény amplitúdóviszonygörbéje nagyfrekvenciákon letörik, a fáziskésést a D-hatás kiemeli, de a kiemelő hatás nagyfrekvenciákon már nem érvényesül. 71. ábra A differenciáló tag szűrő időállandója Megjegyzés: a loop-shaping eljárás a rendszert lineárisnak tételezi fel, a beavatkozó telítését nem tudjuk figyelembe venni! Negyedik lépés: tesztelés szimulációval időtartományban, 72. ábra: Legyen a szabályozott szakasz 3 db sorba kapcsolt tárolótartályból álló rendszer, lásd 72. ábra. A szimulációban az első tartály belépő vezetékébe 93

98 épített szabályozó szelep a beavatkozó szerv, a telítését figyelembe vettük. A szabályozott jellemző az utolsó, harmadik tartályban lévő folyadék szintmagassága. 72. ábra Szimulációs program frontpanel képe FELADATOK Hasonlítsuk össze a szabályozó tervezésekor kapott ugrásválasz minőségi jellemzőit a szimulációval kapott ugrásválasz jellemzőivel! A frekvencia módszer szimulációja Jel Túllendülés, % Felfutási idő T r Maximum idő T p Szabályozási idő T s Érték 3 db sorba kapcsolt tartály, szeleptelítés: igen Jel Túllendülés, % Felfutási idő T r Maximum idő T p Szabályozási idő T s Érték Az alábbi ábra olyan szimuláció eredményét mutatja, amikor megengedjük, hogy a szelep korlátlan áteresztőképességű legyen. Határozzuk meg most is a jellemző paramétereket! 94

99 73. ábra PT3 szakasz szabályozása, a szelep végtelen áteresztőképességű 3 db sorba kapcsolt tartály, szeleptelítés: nem Jel Túllendülés, % Felfutási idő T r Maximum idő T p Szabályozási idő T s Érték Magyarázzuk meg 74. ábra diagramjain látható eltérések okát! o o o A legfelső diagram ugrásválasz szelepkorlátozás nélkül. A középső diagramban a szelep korlátozott, de a szabályozó nem veszi figyelembe, nincs anti-windup. Az alsó diagramban a szelep korlátozott, és a szabályozó figyelembe veszi a telítést, van anti-windup. Melyik szimuláció felel meg leginkább a loop-shaping módszernél mutatott ugrásválasznak? Miért? Megjegyzés: Ez a példa is jól szemlélteti, milyen fontos a tervezés utolsó lépése, a tesztelés és az esetleges finomhangolás FELADAT Próbáljuk meg finomhangolással alakítani a szabályozót! Cél: gyorsabb válasz, max. 2% túllendülés. 95

100 FELADAT Próbáljuk ki az ugrásválaszon alapuló PID-szabályozó hangolási módszereket is. A szimuláció segítségével vegyük fel a PT3 szakasz átmeneti függvényét. Közelítsük FOPTD modellel. A közelítő modell paramétereit felhasználva, válasszunk egy nyílt hurkú tapasztalati módszert és határozzuk meg a PID-szabályozó javasolt beállítását. Hasonlítsuk össze a frekvenciamódszerrel kapott PID-paraméterekkel! Teszteljük a beállítást, határozzuk meg a szabályozás minőségi jellemzőit! Határozzuk meg az erősítési és a fázistartalékokat! 74. ábra Ugrásszerű alapjelváltoztatásra adott zárt köri válaszok 96

101 6. SZABÁLYOZÁS KISEGÍTŐ JELLEMZŐKKEL: AZ EGYHURKOS SZABÁLYOZÁS TELJESÍTMÉNYÉNEK JAVÍTÁSA Az egyhurkos szabályozási architektúra néhány kiegészítési lehetőségét tekintjük át ebben a fejezetben. A kiegészítések célja a zavaró hatások nagyobb mértékű csökkentése. Az egyhurkos szabályozás zavarcsillapítási gyengeségei: A szabályozó csak akkor avatkozik be a folyamatba, ha van hibajel, azaz, ha a szabályozott jellemzőn már megjelent a zavarás hatása. Nem lesz tökéletes a szabályozás, ha a szabályozott jellemző nem tér el az alapjeltől terhelés vagy alapjelváltozás során. A PID-szabályozó nem optimális szabályozó minden fajta szakaszra, különösen nem holtidős és/vagy nagy időállandójú rendszerekre. Az egyhurkos szabályozás nem képes az ismert vagy mérhető, különböző frekvenciájú zavarások prediktív kompenzálására. Az egyhurkos struktúra kiterjesztésének két típusával ismerkedünk meg részletesebben: a kaszkádszabályozással és a zavarkompenzációs szabályozással (feedforward feedback control). Ezek az összetett struktúrák a klasszikus szabályozástechnika témakörébe tartoznak, a legegyszerűbb többhurkos rendszerek. Mindkettő megvalósítása többlet eszközöket és mérnöki munkát igényel a jobb zavarcsillapítás érdekében. 97

102 6.1. KASZKÁDSZABÁLYOZÁS A kaszkádszabályozás olyan szabályozási rendszer, amely több szabályozó berendezést tartalmaz sorba kötve, minden egyes szabályozó az őt követő szabályozó viselkedését (alapjelét) szabályozza. A kaszkádszabályozás a szabályozás olyan speciális esete, amely egy újabb szabályozott jellemzőt von be a rendszerbe, ezzel javítva az egyhurkos kör dinamikus viselkedését. A mért folyamatjellemzők számát tehát megnöveljük, de a beavatkozó szervek számát nem. A kaszkádelrendezésben legtöbbször két szabályozót alkalmazunk, az első szabályozó végrehajtó jele lesz a második szabályozó alapjele, a második szabályozó végrehajtó jele kerül a beavatkozó szervre, tehát ez befolyásolja a módosított jellemzőt. Az első szabályozó a vezető szabályozó, a második a követő szabályozó. A kaszkádszabályozás koncepciójának megértéséhez tekintsük meg annak hatásvázlatát. A 75. ábra a kaszkádszabályozás klasszikus ábrázolása. A fő szabályozott jellemző: y 2. Ha egyhurkos szabályozásunk lenne, ezt az egy folyamatjellemzőt mérnénk. Amennyiben biztonsági, gazdaságossági vagy egyéb okokból ez a folyamatjellemző nagy fontosságú, megéri megóvni bizonyos zavaró hatásoktól a komplexebb kaszkádszabályozással. Az egyhurkos szabályozáshoz választott módosított jellemző a kaszkádszabályozásnál is megmarad. Az irányított folyamatot többféle zavaró hatás is érheti, ezek egy része (d 1 ) a folyamat elején már megzavarhatja a rendszert. Amennyiben a szabályozott rendszer lassú dinamikájú, ennek a zavarásnak a hatása csak sokkal később jelentkezik a szabályozott jellemzőben, így a szabályozó is csak késve reagálhat rá. Előfordulhat, hogy mire a hibajelben megjelenik d 1 hatása, a zavarás már rég lecsengett, vagy akár ellentétes irányba váltott, így a szabályozó akciója inkább ront a szabályozáson. Ha szerencsénk van, találunk a folyamatban egy másik, olyan megmérhető figyelmeztető jellemzőt, y 1, amely sokkal gyorsabban reagál a d 1 zavarásra és megváltozásával már azelőtt jelzi a d 1 zavarás jelentkezését, hogy az a szabályozott jellemzőt kibillentette volna. Kialakítunk egy belső, másodlagos szabályozási kört, egy egyszerű zárt szabályozás formájában, amelyben a szabályozó a követő szabályozó, a szabályozott jellemző a másodlagosan mért korai figyelmeztető jellemző; a módosított jellemző az eredeti módosított jellemző; és a szabályozott szakasz az eredeti folyamatnak egy alrendszere: P 1. Ez a szabályozási kör beágyazódik egy külső szabályozási körbe. A követő szabályzó az alapjelét a vezető szabályozótól kapja. A külső kör szempontjából a belső kört felfoghatjuk akár úgy is, mint egy összetett végrehajtó/beavatkozó szervet, amelyen 98

103 keresztül a vezető szabályozó a folyamatra (pontosabban a második alrendszerére, P 2 ) hat. Az irányított folyamat második komponense, P 2 az y 1 és y 2 közötti jelátvitellel jellemezhető alrendszer. A külső kör szabályozója a vezető szabályozó. A külső körben szintén megvan a negatív visszacsatolás, tehát a kaszkádszabályozási struktúra két egymásba ágyazott szabályozási kört jelent. d1(t) d2(t) Vezető kör Szakasz d1 zavarátviteli fgv. d2 zavarátviteli fgv. Követő kör Vezető követő r2(t) + e2(t) r1(t) + e1(t) u1(t) Végreh./ u1(t) Másodlagos y1(t) Elsődleges y2(t) szabályozó szabályozó beavatk. - folyamat P1(s) folyamat P2(s) C2(s) - C1(s) Elsődleges ellenőrző jel másodlagos ellenőrző jel "koraifigyelmez tető" változó érzékelő tr. elsődleges szabályozott jellemző érzékelő tr. 75. ábra A kaszkádszabályozás hatásvázlata, klasszikus elrendezés A szabályozók egymásközti hierarchiájának megértéséhez rendezzük át egy kicsit az ábrát. A könnyebb áttekinthetőség érdekében a mérőérzékelők és a végrehajtó/beavatkozó szerv jelátvitelét beleértjük a folyamatok jelátvitelébe. A terepi szinten találjuk a technológiai folyamat két alrendszerét. A szabályozókat kiemeljük a folyamat szintjéről, a követő szabályozót a legalacsonyabb irányítási szintre, a vezető szabályozót eggyel magasabb szintre, az ún. felügyelői irányítás szintjére, lásd 76. ábra. (Az alapjelállító irányítást hívjuk felügyelői irányításnak.) Felügyelői szint r2(t) + - e2(t) Vezető szabályozó C 2(s) u2(t) Alacsony irányítási szint Követő kör Követő szabályozó r1(t) + e1(t) C 1(s) u1(t) - Folyamat szint Szakasz I. P 1(s) d1(t) y1(t) Szakasz II. P 2(s) d2(t) y2(t) 76. ábra Kaszkádszabályozási kör, a hatásvázlat elrendezése a hierarchikus kapcsolatot hangsúlyozza Az érzékelőkön keresztül mindkét szabályozó közvetlen információs kapcsolatban van az irányított folyamattal, de közvetlenül beavatkozni a folyamatba csak a követő szabályozó tud. A vezető szabályozó csak áttételesen, a követő szabályozási körön keresztül képes befolyásolni a folyamatot. 99

104 A KASZKÁDSZABÁLYOZÁS KONCEPCIÓJA A szabályozott rendszert két alrendszerre bontjuk: P 1 (az első viszonylag gyorsabb dinamikájú folyamat) és P 2 (az ezt követő, lomhább, nagyobb időállandójú folyamat). A P1 első alrendszer kimenő jele, y 1 lesz a második alrendszer bemenő jele. Mindkét alrendszer kimenő jelét megmérjük. C 1 és P 1 egy egyszerű egyhurkos szabályozási kört képez, ezt követő szabályozási körnek hívjuk (slave control loop). A C 1 követő szabályozó alapjele a C 2 vezető szabályozó végrehajtó jele. A követő szabályozási kört beágyazzuk a vezető szabályozási körbe. A vezető szabályozóhoz tartozó szabályozott rendszer két, sorba kapcsolt komponensből áll: a követő zárt körből és P 2 -ből. A C 1 követő szabályozót a gyors P 1 folyamat dinamikájának megfelelően hangoljuk, cél d 1 zavarás gyors kompenzálása. A C 2 vezető szabályozót a lassú P 1 folyamat dinamikájának megfelelően hangoljuk, cél: d 2 zavarás kompenzálása és/vagy r 2 alapjel követése A KASZKÁD STRUKTÚRA KIALAKÍTHATÓSÁGÁNAK FELTÉTELEI P 1 domináns időállandója legalább egyharmaddal legyen kisebb, mint P 2 domináns időállandója. Legyen y 1 is mérhető, nemcsak y 2. Fontos feltétel, hogy nemcsak a fő szabályozott jellemzőt, hanem a figyelmeztető jellemzőt is befolyásolni tudjuk a módosított jellemzővel! Amennyiben a kaszkádszabályozás egymásba ágyazott struktúráját szeretnénk szemléltetni, illetve kihangsúlyozni, hogy két mért (azaz kimenő) jellemzőnk van, a hatásvázlatot a 77. ábra szerint is felvázolhatjuk. d1(t) d2(t) Vezető kör Követő kör Szakasz r2(t) + e2(t) C2(s) r1(t) + e1(t) C1(s) u1(t) P1(s) y1(t) P2(s) y2(t) - - y1(t) 77. ábra Kaszkádszabályozás: két, egymásba ágyazott szabályozási kör. Ez a fajta ábrázolásmód hangsúlyozza az elsődleges (y 2 ) és másodlagos (y 1 ) szabályozott jellemzőt 1

105 A belső, követő szabályozási kör jelátviteli modellje: Y 1 (s) = C 1P 1 1 R 1 + C 1 P 1 (s) + D C 1 P 1 (s). (135.) 1 Az ω c1 vágási körfrekvenciánál kisebb frekvenciákra igaz az, hogy: G R1 = C 1P C 1 P 1 1, (136.) G D1 = C 1 P 1. (137.) Lassan változó r 1 alapjel és kisfrekvenciás d 1 zavarás esetén ω r1, ω d1 < ω c1 Y 1 (s) R 1 (s) azaz a zárt kör d 1 -től függetlenül azonnal követi az alapjelét, így a belső kör nem befolyásolja a külső, vezető kör átviteli karakterisztikáját: Y 2 (s) C 2P 2 1 R 1 + C 2 P 2 (s) + D C 2 P 2 (s). 2 (138.) Tehát a belső kör vágási körfrekvenciája alatti frekvenciatartományban a külső kör úgy méretezhető, mintha a belső kör nem is létezne! Vezessük le a pontos átviteli függvényeket a vezető kör be- és kimenő jelei között: Y 2 (s) = P 2 Y 1 (s) + D 2 (s) (139.) Y 1 (s) = C 1P 1 1 R 1 + C 1 P 1 (s) + D C 1 P 1 (s) 1 (14.) R 1 (s) = C 2 (R 2 (s) Y 2 (s)) (141.) Y 1 (s) = C 1P 1 1 C 1 + C 1 P 2 (R 2 (s) Y 2 (s)) + D C 1 P 1 (s) 1 (142.) Y 2 (s) = P 2 ( C 1P 1 1 C 1 + C 1 P 2 (R 2 (s) Y 2 (s)) + D C 1 P 1 (s)) + D 2 (s) 1 (143.) Y 2 (s) = C 1C 2 P 1 P 2 (R 1 + C 1 P 2 (s) Y 2 (s)) + D C 1 P 1 (s) + D 2 (s) (144.) 1 P 2 Y 2 (s) (1 + C 1C 2 P 1 P 2 ) = C 1C 2 P 1 P 2 R 1 + C 1 P C 1 P 2 (s) + D C 1 P 1 (s) + D 2 (s) (145.) 1 P 2 11

106 C 1 C 2 P 1 P 2 P 2 Y 2 (s) = R 1 + C 1 P 1 + C 1 C 2 P P 2 (s) + D C 1 P 1 + C 1 C 2 P 1 P 1 (s) C 1 P 1 + D 1 + C 1 P 1 + C 1 C 2 P 1 P 2 (s). 2 (146.) A kaszkádszabályozás előnyei: Azok a zavarások, amelyek a másodlagos szabályozott jellemzőre hatnak, kiküszöbölhetők a követő szabályozóval, mielőtt még a hatása megjelenhetne az elsődleges szabályozott jellemzőben. A viszonylag lassú szabályozási kört izolálja a viszonylag gyorsan változó zavarásoktól. Csökkenti a fáziskésést a vezető szabályozó szempontjából, felgyorsítva ezzel a szabályozást. A szabályozás gyorsításával csökken az elsődleges szabályozott jellemző érzékenysége a folyamatot érő zavarásokra. Izolálja a lassúbb szabályozási kört a végrehajtó-bevatkozó esetleges nemlinearitásaitól. (Nemlineáris szelepkarakterisztika stb.) A kaszkádszabályozás hátránya: A kaszkádszabályozás további mérőeszközt igényel. A kaszkádszabályozás további szabályozót igényel, amelyet hangolni is kell. A szabályozási stratégia összetettebb. A kaszkádszabályozás csak akkor jelent előnyt, ha a belső kör dinamikája gyorsabb, mint a külső köré. (Általában legalább háromszor gyorsabb legyen, különben nem éri meg a plusz ráfordítást, illetve ekkor a két kör közötti kölcsönhatások instabillá tehetik a szabályozást.) 6.2. A KASZKÁDSZABÁLYOZÁS HANGOLÁSA A kaszkádszabályozás hangolását a belső kör hangolásával kezdjük. Mivel itt gyors szabályozás a követelmény, nagy erősítési tényezőjű szabályozót, gyakran sima P- vagy PDT 1 -, DT 1 - szabályozót használunk. A belső körben lévő maradó hiba a legtöbb esetben nem okoz problémát, mivel az alapjel úgyis gyorsan változik. (Célunk a vezető körben eltüntetni a maradó hibát.) Miután a követő kört behangoltuk, zárjuk a kört és beillesztjük a vezető körbe. Ezután a vezető szabályozót hangoljuk. A vezető szabályozó rendszerint PI- vagy PIDszabályozó, amely biztosítja a maradó hiba nélküli szabályozást ugrásszerű alapjelváltozásra. 12

107 További ajánlott önálló olvasmányok: Olvassa el a kaszkádszabályozás esettanulmányokat az alábbi könyvből: Instrument Engineers' Handbook, Fourth Edition, Volume Two: Process Control and Optimization (ed.: B.G. Liptak); 2.6 Control Systems Cascade Loops (Google e-book) Tanulmányozza át az alábbi cikket, ha érdeklik a kaszkádszabályozás további előnyös tulajdonságai: Verhaegen, S., When to use cascade control, Intech, 38 4 (Oct. 1991) PÉLDA KASZKÁDSZABÁLYOZÁSRA A kaszkádszabályozást egy tipikus esettanulmányon keresztül szemléltetjük. Először megvizsgáljuk, hogy milyen szabályozási jellemzők adódnak egyhurkos szabályozás esetén, majd összehasonlítjuk azt a kaszkádszabályozással. A szabályozott berendezésünk legyen egy vízmelegítő berendezés kazán, mely a rajta átáramoltatott folyadékot felmelegíti. A szabályozott jellemző a kazánból kilépő víz hőmérséklete, ezt kívánjuk az előírt értéken tartani. A módosított jellemző a kazánba belépő fűtőgáz térfogatárama, a beavatkozó szerv a gázvezetékbe épített szabályozó szelep. A kazánon átfolyó víz mennyisége változó, a melegvíz-fogyasztástól függ. Ez a fogyasztásingadozás az egyik zavaró hatás: azonos fűtésteljesítmény mellett a fogyasztás csökkenése a kilépő víz felmelegedését okozza, míg a fogyasztás hirtelen megemelkedése lehűlést eredményez. Zavarást jelent még a rendszerben a fűtőgáz térfogatáramának (pl. nyomásváltozás miatti) ingadozása: azonos vízfogyasztás és fűtőgáz szelepnyitása mellett a csökkenő gázmennyiség kisebb fűtésteljesítményt jelent, ami előbb-utóbb meglátszik a kilépő vízhőmérsékleten is. Az egyhurkos szabályozás műszerezési folyamatábráját mutatja a 78. ábra. A hőmérséklet-érzékelő/távadó (TT) adja az ellenőrző jelet. A hőmérséklet-szabályozó (TC) adja ki a végrehajtó jelet a gázszelep felé. A rendszert érő zavarásokra addig nem reagál a szabályozó, míg azok a kilépő hőmérsékletben változást nem okoznak. 13

108 78. ábra Kazánból kilépő folyadék hőmérséklet-szabályozása, műszerezési folyamatábra A LabVIEW szimulációs program frontpanel képét mutatja a 79. ábra. A szakaszparaméterek a szimuláció indítása előtt beállítandók. Automata és kézi üzemmód között választhatunk: kézi üzemmódban a gázszelepet a megfelelő csúszka segítségével változtathatjuk, automata üzemmódban a szabályozó működteti a szelepet. PI-szabályozót alkalmazunk, a szabályozó paramétereit (erősítést és integrálási időállandót) be kell állítani. Alkalmazzuk valamely már tanult hangolási módot. Kétféle zavarást szimulálhatunk: a belépő gázmennyiséget ugrásszerűn megváltoztathatjuk egy kapcsolóval és a folyadékelvételt módosíthatjuk egy csuszka segítségével. A folyamatváltozók alakulását mutatják a trendgörbék. A trendek mellett állíthatjuk be a kívánt kilépő hőmérséklet értékét. Ez a szimuláció szolgál referenciául a kaszkádszabályozáshoz. 79. ábra Egyhurkos hőmérséklet-szabályozás szimuláció frontpanel képe Vizsgáljuk meg a gáz nyomásingadozásából eredő zavarást. Ha például csökken a fűtőgáz nyomása, csökken a fűtésteljesítmény és ez a fűtés kilépő hőmérséklet 14

109 közötti dinamika időállandójának megfelelően a kilépő hőmérsékletet is előbb-utóbb lecsökkenti. Problémát okozhat, ha ezalatt a gáz nyomása helyreállt. A szabályozó érzékeli a hibajelet és kinyitja a szabályozó szelepet, hogy megnövelje a fűtésteljesítményt. Viszont, mivel már a gáznyomás helyreállt, a szabályozó akciójára túlmelegedhet a folyadék, a szabályozásban nem kívánt lengések léphetnek fel. Általánosságban elmondható, hogy problémát jelent, ha a szabályozott jellemzőnek (gyakran valamilyen intenzív állapotjellemző), a módosított jellemzőre vonatkoztatott dinamikája nagyobb tehetetlenségű, nagyobb időállandójú, és a rendszert érő zavarások gyorsan változhatnak, gyors dinamikájúak (extenzív jellemzők). Egyetlen szabályozót ilyenkor nehéz behangolni, a két eltérő dinamika miatt nemkívánatos lengések léphetnek fel. A gáz nyomásingadozásának a kilépő hőmérsékletre gyakorolt zavaró hatását két kaszkád elrendezésű szabályozóval a jelentősen csillapíthatjuk, a műszerezési folyamatábrát lásd: 8. ábra. Lesz egy külön, saját szabályozó a gyors dinamikájú rendszernek: elhelyezünk egy érzékelőt a fűtőgáz vezetékében, amely a térfogatárammal arányos jelet szolgáltat a belső, követő szabályozónak (FC). Ennek a követő szabályozónak a végrehajtó jele állítja a gázszelepet. Az ellenőrző jel tehát a gáz térfogatárama, az alapjel a kívánt térfogatáram, melynek értékét egy mások szabályozó, a TC vezető szabályozó szolgáltatja. A belső szabályozási kör azonnal reagál a gáz nyomásingadozására és korrigálja a szelephelyzetet. Megfelelően gyors belső szabályozás esetén a kilépő folyadék hőmérsékletére már sokkal gyengébb hatása lesz a nyomásingadozás okozta zavarásnak. 8. ábra Kazánból kilépő víz hőmérsékletének kaszkádszabályozása 15

110 A kaszkádszabályozás frontpanel képe látható az alábbi ábrán. A szimulációban mind a vezető, mind a követő szabályozó PI-szabályozó. 81. ábra Kaszkádszabályozás frontpanel képe A kaszkádszabályozás hatásvázlatát mutatja a 82. ábra. Az ábrán feltüntettük a szabályozási körök folyamatváltozóit, jellemzőit. Két db mért jellemzőnk van: a kilépő hőmérséklet és a fűtőgáz térfogatárama. A módosított jellemző a gáz térfogatárama és így a fűtési teljesítmény. Azok a zavarások, amelyek a fűtőgáz térfogatáram-ingadozását okozhatják, különösen a nyomásingadozásból eredő zavarás, a követő kör részei. Egyéb zavaró tényezők, amelyek befolyásolhatják a kilépő víz hőmérsékletét, nincsenek a belső körben: a vezető körben adódnak a szabályozott jellemzőhöz. Set Point Control Level r2(t) + water reference temperature - e2(t) Master controller C2(s) Low Control Level Process Level u2(t) gas flow-rate reference Slave loop Slave controller valve position r1(t) + e1(t) C1(s) u1(t) - fuel-gas flow rate Process Part I. P1(s) gas pressure fluctuation d1(t) fuel-gas flow rate hot water consumption d2(t) water Process Part II. temperature y1(t) y2(t) P2(s) 82. ábra Kazánból kilépő vízhőmérséklet-szabályozásának hatásvázlata a folyamatváltozók feltüntetésével 16

111 A követő kör segít abban, hogy lecsökkentsük a módosított jellemzőben fellépő zavarásokat. Ehhez természetesen a megvalósításnál biztosítani kell a megfelelően gyors működésű szabályozó szelepet is FELADAT: KASZKÁDSZABÁLYOZÁS HANGOLÁSA ÉS A TELJESÍTMÉNYJELLEMZŐK ÖSSZEHASONLÍTÁSA Mint nyerünk és vesztünk a kaszkádszabályozással? A fűtőközeg belépő nyomásingadozásának csillapítása A belépő víz hőmérsékletének ingadozásából eredő zavarás csillapítása A vízfogyasztás ingadozásából eredő zavarás csillapítása A TC szabályozó alapjelmódosítás követése Kaszkád jobb egyforma Kaszkád rosszabb Mint az egyhurkos szabályozás? A kaszkádszabályozás segíthet stabilabbá is tenni a teljes rendszert. Az alábbiakban erre látunk egy számpéldát PÉLDA Tételezzük fel a 77. ábra szerinti kaszkádszabályozást, PI- vezető és P- követő szabályozóval. Az egyszerűség kedvéért a szakasz alrendszerei legyenek elsőrendű (egytárolós) jelátviteli tulajdonságúak: P 1 = k 1 T p1 s + 1 = 1 s + 1 (147.) P 2 = k 2 T p2 s + 1 =.5 2s + 1 (148.) P 1 P 2 = 1.5 s + 1 2s + 1 =.5 2s 2 + 3s + 1. (149.) Mennyi legyen a C 1 követő P-szabályozó erősítési tényezője? 17

112 A követő kör eredő viselkedése: Y 1 (s) = C 1P 1 1 R 1 + C 1 P 1 (s) + D C 1 P 1 (s). (15.) 1 Helyettesítsünk be C 1 = k c1 a fenti egyenletbe: Helyettesítsük be P1-et: ahol: Y 1 (s) = k c1p 1 1 R 1 + k c1 P 1 (s) + D k c1 P 1 (s). (151.) 1 Y 1 (s) = k T 1 s + 1 R 1(s) + T 1 1 s k c1 k 1 T D 1 s (s), (152.) T 1 = T p1 1 + k c1 k 1, (153.) k = k c1k k c1 k 1. (154.) Alapjelkövetésre tehát elsőrendű karakterisztika adódik, az effektív időállandó, T 1 kisebb értékű, mint a szakasz eredeti időállandója, ami gyorsabb alapjelkövetést jelent. Határozzuk meg, k c1 értékét, ha azt szeretnénk, hogy T 1 a 1-ed része legyen az eredeti T p1 időállandónak! Ismert: T p1 = 1, k 1 = 1 ; és legyen T 1 =,1. Helyettesítsünk be a (153.) egyenletbe: Amiből az következik, hogy:,1 = Az alapjelátvitel erősítési tényezője: k c1. (155.) k c1 = 9. k = k c1k k c1 k 1 = =,9. 18

113 Ez azt jelenti, hogy a követő körben 1% a maradó hiba a vezető szabályozó által kezdeményezett, ugrásszerű alapjelváltozásra. A követő kör, mint egyhurkos szabályozási kör, szimulációját látjuk az alábbi ábrán, ugrásszerű alapjelváltozásra, a fent meghatározott paraméterekkel. Vegyük észre a maradó hibát a jobb oldali válaszfüggvényen. A szabályozás gyors, a szabályozási idő <1s. 83. ábra Frontpanel-részlet: a követő kör FELADAT Az alábbi ábrán a követő kör komponenseinek (szakasz, szabályozó) és a hurokátviteli függvénynek a Bode-diagramját láthatjuk. Melyik görbe melyik komponensnek felel meg? Értelmezzük a hurokátviteli függvényt! 19

114 84. ábra A követő kör Bode-diagramja A számítási példa folytatása: A 1%-os maradó hiba sok esetben elfogadható a belső, követő körben. Amennyiben a külső körben van integráló komponens, a vezető szabályozó képes gondoskodni arról, hogy ne legyen maradó hiba a fő szabályozott jellemzőnkben. A következő lépésben a teljes követő kört beágyazzuk a külső, vezető szabályozási körbe. Az összevont hatásvázlatot mutatja a 85. ábra. G R1 jelképezi a követő kör eredő alapjelátviteli függvényét. d2(t) r2(t) + e2(t) r1(t) y1(t) y2(t) - C 2 (s) G R1 (s) P 2 (s) 85. ábra Kaszkádszabályozás vezető kör hatásvázlat, a követő kör az alapjelátviteli függvényével beágyazva 11

115 Legyen: D 1 (s) =, (156.) Ekkor a vezető kör eredő jelátvitele: k G R1 (s) = T 1 s + 1. (157.) Y 2 (s) = C 2G R1 P 2 1 R 1 + C 2 G R1 P 2 (s) + D C 2 G R1 P 2 (s). 2 (158.) Az átviteli függvényeket behelyettesítve és számszerűsítve, a vezető kör szakaszátviteli függvénye a szabályozó szempontjából: k k 2 G R1 P 2 = T 1 s + 1 T p2 s + 1 (159.) G R1 P 2 =,9,5,1s + 1 2s + 1 =,45,2s 2 + 2s +,1s + 1 =, ,1s +,2s 2 (16.) A következő feladat a C 2 vezető PI-szabályozó paramétereinek a meghatározása. A PI-szabályozó most legyen az átviteli tényezős alaknak megfelelően paraméterezhető (2. ábra). Ez azt jelenti, hogy lehetőség van először csak egy I- szabályozó illesztésére, majd ezt követően állítjuk be a szabályozó arányos komponensét (legyen K p =.) Feladat: A Bode-diagram segítségével válasszunk integrálási arányossági tényezőt! Az alábbi ábra a kaszkád kör alapjelkövetését mutatja, a vezető szabályozó I- szabályozóra állítva, K i = 2 azaz T i =,5s. Az ugrásválasz függvényt kinagyítottuk és kiértékeltük, lásd 87. ábra. 111

116 86. ábra Kaszkádszabályozás szimuláció frontpanel képe, vezető kör alapjelkövetése CV_2 (y2) Time ábra Szabályozási idő : T s=12s; több, mint 2%-os túllendülés; nincs maradó hiba Az integrálási időállandó megfelelő tartalékokat biztosít, lásd 88. ábra. 112

117 Bode Magnitude Bode Phase m 1m 1m k -1 Frequency 1k Gv1*P2 C2 G2 Gv1*P2 C2 G m 1m 1m k Frequency 1k 88. ábra Vezető kör I-szabályozóval, hurokátviteli függvény Bode-diagram a tartalékok kiemelve FELADAT 1. Határozza meg azt az integrálási időállandót, amely 6dB erősítési tartalékot biztosít! 2. Határozza meg a hozzá tartozó fázistartalékot! 3. Határozza meg a szabályozási időt és a túllendülést ezzel az integrálási időállandóval, a szimulációs program segítségével! A vezető körben tehát nincs maradó hiba. A következő lépésben megpróbáljuk gyorsítani a szabályozást a szabályozó arányossági átviteli tényezőjének a beállításával. A bemutatott példán K P = 1,4 erősítést alkalmaztunk, lásd 89. ábra. Az integrálási arányossági tényezőt is megváltoztattuk, hogy az integrálási időállandó ne változzon: K i = 1,4/,5 = 2,8. Látható, hogy az arányos komponens hozzáadásával a szabályozás felgyorsult, a túllendülés mértéke elfogadható (9. ábra). 113

118 89. ábra Kaszkádszabályozás példa, PI-vezető szabályozó CV_2 (y2) Time 5 9. ábra Szabályozási idő: T s = 6s; kevesebb, mint 2%-os túllendülés; nincs maradó hiba FELADAT Elemezze a vezető kör hurokátviteli karakterisztikáját a 91. ábra alapján! 114

119 Bode Magnitude m 1m 1m k Frequency 1k Gv1*P2 C2 G2 Bode Phase -5-1 Gv1*P2 C2 G m 1m 1m k Frequency 1k 91. ábra Kaszkádszabályozás vezető kör hurokátvitel Bode-diagram Az alapjelkövetés után vizsgáljuk meg a kaszkádszabályozás zavarkompenzáló hatását. Legyen az alapjel változatlan, és egységugrás-változást generáljunk először csak a d 1 zavarásnál, másodszor csak a d 2 zavarásnál. Az ugrásválaszokat a 92. ábra mutatja. CV_2 (y2) CV_2 (y2) Time Time ábra Kaszkádszabályozás szabályozott jellemző ugrásválasza d 1 (balra) és d 2 (jobbra) zavarásokra Összehasonlításként megvizsgáljuk a zavarások hatását úgy is, hogy a belső kört felnyitjuk, tehát egy egyhurkos szabályozást feltételezve. A két, sorba kapcsolt szabályozó felfogható egy összetett szabályozóként (C = C 1 C 2 ), a szakasz pedig a két 115

120 részszakasz szorzata (P = P 1 P 2 ). A szabályozó beállításán módosítanunk kellett, hogy csillapodó lengéseket kapjunk. 93. ábra d 1 zavarkompenzálás, felnyitott belső kör CV_2 (y2) Time ábra Felnyitott belső kör, d 1 zavarás hatása a szabályozott jellemzőre FELADAT Hasonlítsuk össze d 1 zavarás csillapítását a 92. ábra (fent) és 94. ábra alapján! FELADAT A DC-motor szabályozása az egyik tipikus alkalmazási területe a kaszkádszabályozásnak. Keressen rá példát a szakirodalomban, rajzolja fel a műszerezési folyamatábrát és a hatásvázlatot. Határozza meg az időállandókat és tesztelje a szabályozást a szimulációs programmal. 116

121 6.6. ZAVARKOMPENZÁCIÓS SZABÁLYOZÁS A zavarkompenzációs szabályozás (feedforward-feedback control) a legjelentősebb zavaró jel mérésével és a szabályozási körbe való bevezetésével igyekszik csillapítani a szabályozott jellemzőre gyakorolt zavaró hatást. A zavarkompenzációban tehát ismét két mért változónk van, de a szabályozó beavatkozása csak a szabályozott jellemzőre van visszahatással, a zavarásra természetesen nem. A kazánszabályozási példánkra visszatérve: a vízfogyasztás ingadozása jelentős zavaró tényező. Az elvétel zavaró hatásának csillapítására nem lehet kaszkád kört kialakítani, hiszen az elvétel a folyamattól független zavarás (input), nem pedig a zavarás hatására megváltozott belső folyamatváltozó: nincs rá hatással a módosított jellemző változása. De mivel tudjuk, hogy az elvételváltozás hogyan hat a kilépő folyadék hőmérsékletére, kialakíthatunk egy olyan szabályozási struktúrát, amelyben megmérjük az elvételt, és ha az elvétel megváltozik, pl. nő, akkor a fűtésteljesítményt megnövelhetjük úgy, hogy azonnal nyitunk a fűtőgázszelepen. Csökkenő fogyasztásra pedig csökkentjük a fűtést, így nem kell megvárni, míg az elvételváltozás hatása megjelenik a kilépő hőmérsékletben és ez a szabályozót beavatkozásra készteti. Az ún. zavarkompenzáció azt jelenti, hogy a szabályozót kikerülve, egy vezérlési vonalon keresztül azonnal beavatkozunk a módosított jellemzőbe, lásd 97. ábra. A szabályozó feladata, hogy amennyiben a zavarkompenzáció nem tökéletes és fellép ha nem is olyan jelentős mértékű szabályozott jellemző változás, hibajel, azt korrigálja. d(t) C d (s) G dy (s) PLANT - r(t) + e(t) C(s) u(t) P(s) y(t) ábra Zavarkompenzációs szabályozás hatásvázlata (feedforward-feedback control) A zavarkompenzáció feltétele, hogy ismerjük a szabályozott szakasz modelljét és meg tudjuk határozni azt a jelformáló karakterisztikát, amellyel korrigálhatjuk a módosított jellemzőt, mielőtt a zavarás kifejthetné hatását a szabályozott jellemzőnkre. Ideális esetben az alábbi levezetéssel meghatározható a C d 117

122 kompenzátor átviteli függvénye. A zavarkompenzációs kör eredő jelátviteli karakterisztikája: Y(s) = PU(s) + G dy D(s) (161.) U(s) = C(R(s) Y(s)) C d D(s) (162.) Y(s) = CP(R(s) Y(s)) + (G dy PC d )D(s) (163.) Y(s) = CP(R(s) Y(s)) + (G dy PC d )D(s) (164.) Y(s) = CP 1 + CP R(s) + (G dy PC d ) D(s). 1 + CP (165.) Ahhoz, hogy tökéletes zavarkompenzálást tudjunk elérni, a vezérlési vonalban (előrecsatolt ág) levő jelformáló tag átviteli függvényének az alábbi jelátviteli függvényt kellene megvalósítania: C d = G dy P. (166.) Ebben az esetben a zavarátviteli függvény számlálója nulla lenne. Láthatjuk, hogy ehhez az előrecsatolásban a folyamatmodell inverzét kellene megvalósítani, de ez csak speciális esetekben oldható meg. Holtidőt például nem tudunk invertálni. Nézzük meg továbbá a számlálók, nevezők fokszámát. Legyen: Ekkor a zavarkompenzáló tag: C d = G dy P P = Num P(s) Den P (s) (167.) G dy = Num dy(s) Den dy (s) (168.) = Num dy(s)den P (s) Den dy (s)num P (s). (169.) A megvalósíthatóság feltétele, hogy a nevező fokszáma nagyobb vagy egyenlő legyen a számláló fokszámánál: Deg(Den dy (s)) + Deg(Num P (s)) Deg(Num dy (s)) + Deg(Den P (s)) (17.) 118

123 Deg(Den dy (s)) Deg(Num dy (s)) Deg(Den P (s)) Deg(Num P (s)). (171.) A zavarátvitel pólustöbblete nem lehet kevesebb, mint a folyamat pólustöbblete. Amennyiben ez a feltétel nem teljesíthető, az ún. statikus zavarkompenzálást alkalmazhatjuk, azaz az alábbi feltételt teljesítjük: C d () = G dy() P(). (172.) Ekkor ugrásszerű zavarásváltozásra a statikus hiba nulla lesz akkor is, ha a szabályozó nem tartalmaz integráló tagot. Példa: a kazán kilépő vízhőmérséklet-szabályozása. A műszerezési folyamatábra a 96. ábra szerinti. Most az elvétel-ingadozások okozta zavarásra fókuszálunk. A fogyasztás mérhető folyamatváltozó (FT), és a fogyasztás változásával arányos jellel módosítjuk a szabályozó végrehajtó jelét. Tehát a zavarkompenzáció vezérlési vonala a szabályozót kikerülve avatkozik be a szabályozásba. 96. ábra Kazánból kilépő víz hőmérsékletének zavarkompenzációs szabályozása Feed-forward controller Cd(s) d(t) Gdy(s) PLANT water reference Feedback controller temperature r(t) + e(t) - C(s) u(t) P(s) y(t) - + fuel-gas flow rate hot water consumption water temperature 97. ábra Zavarkompenzáció hatásvázlata 119