8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke az A szám, ha f értelmezve va az valamely köryezetébe (kivéve esetleg magát az potot), és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: mide -hoz tartó számsorozatra, ahol, teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) számsorozata A-hoz tart. D f és bármely ε > -hoz va olya δ >, hogy mide δ Jelölés: f = A. < < eseté f A < ε. Defiíció: Az f függvéy végtelebe vett határértéke az A szám, ha f értelmezve va a + (illetve a ) egy köryezetébe (azaz valamilye K számra a ] K ; + [, illetve a ] ; K[ itervallumo), és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: mide + -hez (illetve -hez) tartó számsorozatra teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) számsorozata A-hoz tart. bármely ε > -hoz va olya N küszöbérték, hogy mide > N eseté ( -re mide N f A < ε. < eseté) Jelölés: f = A, illetve f = A. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke + (illetve ), ha f értelmezve va az valamely köryezetébe (kivéve esetleg magát az potot), és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: mide -hoz tartó számsorozatra, ahol D és, teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) számsorozata + -hez (illetve -hez) tart. bármely K -hez va olya δ >, hogy mide δ < K ). eseté f Jelölés: f =, illetve f =. f < < eseté f > K (
Defiíció: Az f függvéy + végtelebe vett határértéke + (illetve ), ha f értelmezve va a + egy köryezetébe, és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: f számsoro- mide + -hez tartó zata + -hez (illetve -hez) tart. számsorozatra teljesül, hogy a függvéyértékek bármely K -hez va olya N küszöbérték, hogy mide > N eseté f > K (illetve eseté f < K ). Jelölés: f =, illetve f =. Defiíció: Az f függvéy végtelebe vett határértéke + (illetve ), ha f értelmezve va a egy köryezetébe, és teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: f számsoro- mide -hez tartó zata + -hez (illetve -hez) tart. számsorozatra teljesül, hogy a függvéyértékek bármely K -hez va olya N küszöbérték, hogy mide < N eseté f > K (illetve eseté f < K ). Jelölés: f =, illetve f =. Tétel: si =. Folytoos függvéyek Defiíció: Az f függvéy folytoos az potba, ha f értelmezve va az valamely köryezetébe, és teljesül az alábbi három (ekvivales) feltétel bármelyike: mide -hoz tartó számsorozatra, ahol számsorozata f ( )-hoz tart. f f ( ) =. bármely ε > -hoz va olya δ >, hogy mide δ D, teljesül, hogy a függvéyértékek f ( ) f < eseté f f < ε. Megjegyzés: Ha tehát az f függvéy folytoos az D potba, akkor ott szükségképpe va határértéke is, és a határértéke éppe f ( ). ; potba folytoos. Az f függvéy folytoos, ha értelmezési tartomáyáak mide potjába folytoos. Defiíció: Az f függvéy folytoos az ] a; b [ itervallumo, ha mide ] a b[ Megjegyzés: Az f függvéy folytoosságát kiterjeszthetjük zárt [ a; b ] itervallumra is, ekkor a vég- f
potokba csak egyoldali folytoosságról beszélük: a-ba jobboldali, b-be baloldali folytoosságról. Az előbbi eseté mide a, > a számsorozatra, az utóbbi eseté mide b, < b számsorozatra ( D f ) követeljük meg, hogy f ( ) a, illetve f ( ) b teljesüljö. Defiíció: Az f függvéyek szakadási helye va az D potba, ha ott értelmezve va, de em folytoos. f Tétel: Legye f ( ) és g is folytoos az Df Dg potba. Ekkor az potba a következő függvéyek is folytoosak: f + g, f g, f g c f (ahol c ). Tétel (az összetett függvéy folytoossága): Legye, f ( ) folytoos a g( ) D potba. Ekkor ( f g) = f ( g ) g f g( ) (ha g ), illetve g folytoos az D potba, továbbá is folytoos az potba. Tétel: A következő függvéyek folytoosak (a teljes értelmezési tartomáyuko): poliomfüggvéyek ( f = a + a +... + a + a ), illetve ezek háyadosai trigoometrikus alapfüggvéyek ( si, cos, tg, ctg ) epoeciális és logaritmusfüggvéyek Tétel: Legye f ( ) egy zárt [ ; ] következők: a b itervallumo értelmezett folytoos függvéy. Ekkor igazak a az f függvéyek létezik miimuma és maimuma [ a; b] - (tehát f korlátos) az f függvéy az [ a; b] - mide f ( a ) és f ( b ) közötti értéket felvesz (speciálisa: ha f ( a ) és f ( b ) értéke elletétes előjelű, akkor f-ek va zérushelye [ ; ] f a b -) Differeciálható függvéyek Defiíció: Az f függvéy a D potjához tartozó külöbségiháyados-függvéye (vagy differeciaháyados-függvéye) a \ { } f f D a, f ( a) f függvéy. a Defiíció: Az f függvéy differeciálható (vagy deriválható) az a D potba, ha létezik és vé- f f a ges a határérték. Ekkor ezt az értéket az f függvéy a-beli differeciálháyadosáak (vagy deriváltjáak) a a evezzük. f Jelölés: f f ( a) = f '( a) a a.
Defiíció: Az f függvéy differeciálható az ] a; b [ itervallumo, ha mide ] a b[ potba ; differeciálható. Az f függvéy differeciálható, ha értelmezési tartomáyáak mide potjába differeciálható. Defiíció: Az f függvéy differeciálháyados-függvéye (vagy deriváltfüggvéye) az az f függvéy, amely azokba az a D f ' a. potokba értelmezett, ahol f differeciálható, és ott értéke f Defiíció: Ha az f deriváltfüggvéy deriválható, akkor az f '' ( f ')' = függvéyt az f második deriváltfüggvéyéek evezzük. Ha az f függvéy -edik deriváltfüggvéye is deriválható + ( ), akkor az f-et -szer deriválhatóak evezzük, az -edik deriváltfüggvéyt f jelöli. Tétel: Ha az f függvéy differeciálható az a D potba, akkor f folytoos is a-ba. f Differeciálási szabályok Tétel: Legyeek f és g differeciálható függvéyek. Ekkor igazak a következők ( Df Dg ): ( c f)( ' ) c f ' = (ahol c ) ( f + g) ' = f ' + g' ( f g)( ' ) = f ' g' ( f g)( ' ) = f ' g + f g' f f ' g f g = g g ' (ahol g ) lácszabály : ( ) Tétel (az alapfüggvéyek deriváltjai): f ( ) f g ' = f g ' = f ' g g' (ahol Dg = c (ahol c ) deriváltja f '( ) = f = (ahol \{ } ) deriváltja ' f = si deriváltja ' f = cos deriváltja ' f = cos f = si f ' = cos f = tg deriváltja si f = ctg deriváltja f ' = f = g D ) és f + f = a (ahol a \{ } ) deriváltja f ' = a la ( ' f e f e = = ) 4
l a = = ) + f = log a (ahol a \{ } ) deriváltja f ' = ( f ( ) l f ' ( ) Függvéygörbe éritőjéek meghatározása Tétel: Legye f differeciálható az D potba. Ekkor az ; f ( ) potba az f függvéy grafikojához húzott éritőegyees meredeksége éppe ' y= f ' + f. f f. Ekkor az éritő egyeeséek egyelete: Differeciálható függvéyek vizsgálata Tétel: Legye f differeciálható az ] a; b [ itervallumo. Ekkor igazak a következők: f akkor és csak akkor mooto övekvő ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté Ha mide ] a; b[ eseté f '( ) >, akkor az f függvéy ] ; [ a b - szigorúa mooto övekvő. f '. f akkor és csak akkor mooto csökkeő ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté Ha mide ] a; b[ eseté f '( ) <, akkor az f függvéy ] ; [ a b - szigorúa mooto csökkeő. Tétel: Legye f differeciálható az ] a; b [ itervallumo és ] a b[ Ha az (szükséges feltétel). Ha ; f '.. Ekkor igazak a következők: potba f-ek szigorú lokális miimuma vagy maimuma va, akkor f ' = f ' = és f az -ba előjelet vált, akkor f-ek -ba szigorú lokális szélsőértéke va, a következők szerit (elégséges feltétel): o Ha f '( ) = és f az ε > mide ] ε; [ eseté f '( ) < és mide ] ; + ε[ eseté f ' > ), akkor f-ek -ba szigorú lokális miimuma va. -ba egatívból pozitívba vált (azaz létezik olya, hogy o Ha f '( ) = és f az mide ] ε; [ eseté f '( ) > és mide ] ; + ε[ eseté f ' < ), akkor f-ek -ba szigorú lokális maimuma va. Ha f '( ) = és -ba szigorú lokális szélsőértéke va, a következők szerit (elégséges feltétel): o Ha f '( ) = és o Ha f '( ) = és -ba pozitívból egatívba vált (azaz létezik olya ε >, hogy f '', akkor f-ek f '' >, akkor f-ek -ba szigorú lokális miimuma va. f '' <, akkor f-ek -ba szigorú lokális maimuma va. 5
Defiíció: Legye f egy tetszőleges (yílt, zárt, illetve félig yílt félig zárt) I itervallumo értelmezett függvéy. Ha tetszőleges a I, b I, a b a; b -re < eseté mide ] [ a függvéygörbe ( ; f ( )) potja az ( a; f ( a )) és ( ; ) b f b potokat összekötő húr alatt vagy a húro található, akkor az f-et az I itervallumo (alulról) kove függvéyek evezzük. a függvéygörbe ( ; f ( )) potja az ( a; f ( a )) és ( ; ) b f b potokat összekötő húr felett vagy a húro található, akkor az f-et az I itervallumo (alulról) kokáv függvéyek evezzük. Ha a vizsgált ( ; ) f potok egyike sem lehet rajta a húro (csak végig alatta vagy végig felette), akkor az f-et az I itervallumo (alulról) szigorúa kove (kokáv) függvéyek evezzük. Tétel: Legye f kétszer differeciálható az ] a; b [ itervallumo. Ekkor igazak a következők: f akkor és csak akkor kove az ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté f ''. Ha mide ] a; b[ eseté f ''( ) >, akkor az f függvéy szigorúa kove ] ; [ f akkor és csak akkor kokáv az ] a; b[ -, ha mide ] a; b[ eseté f ''. a b -. Ha mide ] a; b[ eseté f ''( ) <, akkor az f függvéy szigorúa kokáv ] ; [ a b -. Defiíció: Legye f kétszer differeciálható az D f pot valamely köryezetébe. Az f-ek ifleiós potja va -ba, ha teljesül az alábbi két (ekvivales) feltétel bármelyike: f az -ba görbületet vált (koveből kokávba vagy kokávból kovebe), vagyis vaak olya a< < b értékek, hogy f az [ a; ]-o kove és az [ b] - kokáv (vagy fordítva). ; f '' = és f '' az -ba előjelet vált (egatívból pozitívba vagy pozitívból egatívba). Tétel: Legye f háromszor differeciálható az f ''', akkor f-ek ifleiós potja va és D pot valamely köryezetébe. Ha f ''( ) = f -ba (elégséges feltétel). Fizikai alkalmazások Ha egy test egyees voalú mozgást végez, és a kezdőpottól mért előjeles távolságát t idő elteltével az s() t függvéy írja le, akkor a pillaatyi sebesség eze s függvéy első deriváltja, vagyis vt () = s' () t, míg a t időpotba a test gyorsulása a függvéy második deriváltja, vagyis at () s'' () t A fizikába haszálatosak még a vt = st és az at () = st () jelölések is. =. 6
II. Kidolgozott feladatok. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) + 5 b) ( ) 7 c) 4 d) [ ] e) f) 5+ 6 7+ Megoldás: + 5 5 a) Az függvéy értelmezési tartomáya: \ ;. Ez a függvéy értelmezve va a + egy köryezetébe, és ott folytoos is. A számlálót és a evezőt is -tel vé- 5 + + gigosztva az = alakhoz jutuk, amelyre alkalmazhatjuk a határérték műveleti tu- 5 5 lajdoságait: + + + = = =. 5 5 b) Az mide valós számra értelmezett folytoos függvéy, amelyek = 7 -beli határértéke megegyezik az 7 = 7 =. c) Az 4 = -be felvett függvéyértékkel, így függvéy értelmezési tartomáya: \{ }, tehát ez a függvéy ics értelmezve a vizsgált = helye. Az ( + )( ) 4 = = + átalakítást alkalmazva meg- állapíthatjuk, hogy a függvéy képe megegyezik az \{ } amely egy majdem teljes ( = -be em értelmezett) egyees: 7, + függvéy képével, 7
4 = + = + = 4 sorozatra a függvéyértékek f ( ) sorozata 4-hez tart. Így a keresett határérték ( ) d) Az f : [ ], hisze mide = -höz tartó mide valós számra értelmezett függvéy, amely azoba em folytoos, az helyeke szakadási potja va. Eek a függvéyek az = -ba icse határértéke, hisze például a = és b = + eseté f ( a ) = =, de f ( b ) = + =. Ekkor f ( a ) = és f ( b ) =, de a határérték defiíciója alapjá e két (-hoz tartó) számsorozat meté a függvéyértékekek közös határértékhez kellee tartaia, ami jele esetbe em létezik. em teljesül. Tehát [ ] (Megjegyzés: ha a kétoldaliság követelméyétől eltekitük, és csak az egyik oldalról közelítjük a vizsgált helyet, akkor tágabb értelembe modhatjuk azt, hogy az f : [ ] függvéyek = -ba a baloldali határértéke, a jobboldali határértéke pedig.) e) Az f : függvéy értelmezési tartomáya: \{ }, tehát ez a függvéy ics értelmezve a vizsgált = helye. Mivel például az b = sorozatra f ( b ) a = sorozatra f ( a ) =, továbbá a =, ezért e két (-hoz tartó) számsorozat meté a függvéyértékek határértéke külöböző (hisze f ( a ) = és f ( b ) = ), így (csupá bal- és jobboldali határértéket tudák külö-külö értelmezi). f) Az 5+ 6 ( )( ) = függvéy értelmezési tartomáya: \{ ;5} 7+ ( )( 5) ez a függvéy ics értelmezve a vizsgált = helye. Az átalakítást alkalmazva a függvéy eseté megegyezik az em létezik, tehát = = + 5 5 5 + 5 folytoos függ- 8
véyel, így a keresett határérték 5+ 6 = + 7 5 = + =. + 5. Folytoosak-e az alábbi függvéyek? (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = b a ( ) =,ha c = 5, ha = = { } e = ctg f d Megoldás:, ha =, ha \ a) Az a = függvéy értelmezési tartomáya: \{ }. Mivel bármilye, eseté a( ) = = = a( ) teljesül, ezért a függvéy folytoos, hisze értelmezési tartomáyáak mide potjába folytoos. (Úgy is idokolhatuk, hogy a megadott függvéy a folytoos és függvéyek háyadosa.) b) A b eseté = b értéke megegyezik a folytoos függvéy értékével, ezért a függvéy folytoos. c) A c függvéy értelmezési tartomáya:. Mivel bármilye eseté c ( ),ha = 5, ha = c függvéy értelmezési tartomáya: \{ }. Mivel bármilye =, így = =, viszot c 5 c =, ezért a függvéy em folytoos az = potba, ott szakadási helye va. Tehát a függvéy em folytoos. 9
k = függvéy értelmezési tartomáya:. Mivel az = ; k helyeke a függvéyek szakadási helye va (ezekbe a potokba a függvéyek ics határértéke), ezért a függvéy em folytoos. (Úgy is idokolhatuk, hogy például = eseté az a = + és a b = -hoz tartó sorozatok választásával d( a ) = és d( b ) =, tehát -ba a d függvéyek ics határértéke, így ott em is lehet folytoos.) d) A d { } π e) Az e = ctg függvéy értelmezési tartomáya: \ k k. A függvéy értel- mezési tartomáyáak mide potjába folytoos (hisze az és az ctg függvéyek folytoosak, így ezek összetétele is folytoos), tehát ez a függvéy folytoos., ha f) Az f = függvéy (az úgyevezett Dirichlet-függvéy) értelmezési tartomáya:. Mivel bármely itervallumba található racioális és irracioális szám is, ezért, ha \ bármely szám tetszőleges köryezetébe végtele sok racioális és irracioális szám va, így ez a függvéy mide itervallumo végtele sokszor felveszi az -et és a -t is, vagyis semelyik potba em folytoos. Tehát ez a függvéy em folytoos. = függvéyt. Ez egy folytoos függvéy, amely ics értelmezve = -be. Hogya lehete kiterjesztei az értelmezési tartomáyát = -re is úgy, hogy a függvéy továbbra is folytoos maradjo?. Tekitsük az f ( )( + + ), ezért mide eseté f ( ) értéke megegye- Megoldás: Mivel = zik az + + függvéy értékével. Tehát f ( ) = + + =. Ha f-et folytoosa szereték kiterjesztei = -re, akkor az = -beli függvéyértékek meg kell egyezie az = -beli függvéyhatárértékkel, így a kiterjesztett függvéyek = -be -at kell felveie. Vagyis a függvéy folytoos kiterjesztése az,,ha függvéy., ha = 4. Írjuk fel az alábbi függvéyek = pothoz tartozó differeciaháyados-függvéyét és differeciálháyadosát! = b = c a = Megoldás: a) A differeciaháyados-függvéy: = = = ( { ; } ( ) ).
A differeciálháyados értéke: a' () = =. ( ) ( ) b) A differeciaháyados-függvéy: ( ). A számláló tovább = + + + =. Elvégezve az alakítva: ( ) ( ) ( ) = egyszerűsítést, a differeciálháyados értéke a következő: b' = = =. () c) A differeciaháyados-függvéy: gyökteleítő) = = + ( ) ( + ) átalakítást, a differeciálháyados ér- téke: c' () = = =. + + ( és ). Elvégezve a (számlálót 5. Igaz-e midig, hogy ha egy függvéy folytoos valamely potba, akkor ott differeciálható is? Megoldás: Nem, hisze például az f f f = függvéy folytoos = -ba, de ott em differeciálható. Ugyais = lee, de az függvéyek icse határértéke = -ba (hisze egatív -ekre -et, pozitív -ekre + -et vesz fel). 6. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = + b = cos = + l a si( e ) d si c e = e = f = log ( ) Megoldás: a' = +. a) 7 b) Mivel b' = si = si. =, ezért c) Mivel ' d) Mivel ( e )' = és ( l ) ' =, ezért = e, ezért d' = cos( e ) e. c' = e + l+ = e + l+.
e) Mivel f) Mivel si ' = cos és ' =, ( )' cos si cos si = =. =, ezért e' = és ( ( )) log7 ' = l7, ezért ( ) f ' = ( log 7 ) =. l7 log l7 ( ) ( ( )) ( ) 7 7. Az y = egyeletű parabola mely potjába húzott éritő lesz merőleges az egyeletű egyeesre? Írjuk fel az éritő egyeletét! y= + 5 Megoldás: A parabola ( ; ) potjába húzott éritő meredeksége egyelő a parabola derivált- jáak adott potbeli értékével. Mivel az f = függvéy deriváltja ( ; ) f ' =, ezért az potba az éritő meredeksége. A megadott y= + 5 egyees meredeksége m =, a rá merőleges egyees meredeksége m = =, így =. Tehát a keresett m 4 9 pot a ; 4 6, az éritő egyelete pedig: 9 9 y= 4 + =. 6 6 8. Jellemezzük az f :, f = 5+ 4 függvéyt mootoitás, szélsőértékek, koveitás és ifleiós pot szempotjából! Megoldás: A függvéy vizsgálatát az első és a második derivált segítségével végezzük el. f ' = 4 5, amelyek zérushelyei = és 5 parabola, ezért f '( ) >, ha < vagy > 5, illetve Tehát f meete a következő: f szigorúa mooto övekvő, ha < vagy > 5 f szigorúa mooto csökkeő, ha < < 5 =. Mivel f ' képe egy felfelé yíló f ' <, ha < < 5. f-ek szigorú lokális maimuma va = -be, szigorú lokális miimuma = 5 -be f-ek icseek abszolút szélsőértékei, ugyais f = és f f '' 4 ezért f ''( ) >, ha >, illetve + =+ =, amelyek zérushelye =. Mivel f '' képe egy pozitív meredekségű egyees, Tehát f görbülete a következő: f szigorúa kove, ha > f '' <, ha <.
f szigorúa kokáv, ha < f-ek ifleiós potja va = -be Midezt a következő táblázatba is összefoglalhatjuk: < = < < = < < 5 = 5 > 5 f ' + + f lok. ma. lok. mi. f '' + + + f kokáv ifl. pot kove 9. A cm területű téglalapok közül melyikek miimális a kerülete? Megoldás: Jelölje a téglalap egyik oldalát cetiméterbe mérve, ekkor a másik oldal hossza cetiméterbe mérve, a téglalap kerülete +, ahol <. Vagyis keressük a + + k :, k = + függvéy miimumát. Mivel a k függvéy a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, és k' =, ezért a szélsőérték létezéséek szükséges feltételekét a = egyeletet kell megvizsgáluk, amelyek pozitív megoldása =. Mivel 4 4 k'' =, így k '' = >, vagyis k-ak valóba szigorú lokális (és abszolút) miimuma
va = -be. Ekkor =, tehát a vizsgált téglalapok közül a miimális kerületű a cm oldalú égyzet (amelyek kerülete 4 cm).. Egy potszerű test egy egyees voalú pályá mozog az s() t 5 ( 5 t)( t) = kitérési szabály szerit a időpottól egésze addig, amíg a sebessége ullává em válik. Mekkora utat tesz meg ezalatt? Megoldás: A test pillaatyi sebességét az s '( t ) függvéy határozza meg. Mivel () s t 5 5 8t t t 8t = + = +, így s' () t = t+ 8, ami akkor lesz, ha t = 4. Ekkor s ( 4) = 5 ( 5 4) ( 4) = 5+ = 6, tehát a test 6 egységyi utat tesz meg a vizsgált időszakba.. Határozzuk meg a [ ; ] itervallumo értelmezett f = függvéy szélsőértékeit! Megoldás: A függvéy zárt itervallumo értelmezett, viszot deriváli csak belső potokba, vagyis a ] ; [ yílt itervallum potjaiba tudjuk (hisze a külöbségiháyados-függvéy határértékét bármely potba midkét oldalról kell tuduk közelítei). Ezekbe a potokba f ' =, amelyek zérushelyei = és =. Az ' f függvéy -be pozitívból egatívba, -be egatívból pozitívba vált, emiatt szigorú lokális maimumhely, pedig szigorú lokális miimumhely. Mivel a függvéy a ; és a ; itervallumoko szigorúa mooto ő, továbbá a ; itervallumo szigorúa mooto csökke, ezért az abszolút miimumhely csak a szigorú lokális miimumhely ( ) vagy az értelmezési tartomáy bal végpotja ( = ) lehet. Ugyaígy az abszolút maimumhely csak a szigorú lokális maimumhely ( ) vagy az értelmezési tartomáy jobb végpotja ( = ) lehet. 8 Mivel f =,9 7 =. és f ( ) = 8+ 4= 4, ezért az abszolút miimumhely Mivel =. 8 f = +,9 7 és f () = =, ezért az abszolút maimumhely 8 Tehát a függvéy miimumértéke 4, maimumértéke +,9. 7 4
III. Ajálott feladatok. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) 9 + b) + 7 + c) d) + 7 + e) f) tg. Adjuk meg olya függvéyt, amelyek va határértéke az = helye, de ott em folytoos!. Folytoosak-e az alábbi függvéyek? (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) tg = b = si + c a 4. Legye f + = 4, ha \ =. Mely potba folytoos a függvéy?, ha 5. Adjuk meg olya függvéyt, amely mideütt értelmezve va, és az = helye em folytoos! 6. Írjuk fel az f si = függvéy differeciálháyadosát! Számítsuk ki a differeciálháyados (a-tól függő) értékét! = a pothoz tartozó differeciaháyados-függvéyét és 5
7. Adjuk meg olya f : = potokba em differeciálható! 8. Adjuk meg azokat a helyeket, ahol az f :, f = 5+ függvéy differeci- álháyadosa! folytoos függvéyt, amely csak az =, az = és az 9. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = si( + ) b = ( 5) c = log a = si e d. Az y 5 + = 4 f = = + 4 parabola mely potjához tartozó éritő megy át a P ( ; 4) poto?. Írjuk fel az f cos egyeletét! π = függvéy grafikojához a abszcisszájú potjába húzható éritő. Va-e ifleiós potja az a = si, b = cos, c tg potokba? = függvéyekek? Ha ige, mely. Jellemezzük az f :, f = + 9 5+ 7 és a g :, g = si + cos függvéyt mootoitás, szélsőértékek, koveitás és ifleiós pot szempotjából! = + 5 + 4 egye- 4. Határozzuk meg, hogy mely itervallumoko kove, illetve kokáv az letű görbe! 5 y 5. Milye hosszúak az élei aak a égyzetes hasábak, amelyek térfogata cm, és felszíe miimális? 6. Határozzuk meg a cm sugarú körbe írt téglalapok közül a legagyobb területűt! 6+ 5 = függvéyek e legye + 4+ m lokális szélsőértéke? ( f -et a valós számhalmaz lehető legbővebb részhalmazá értelmezzük.) 7. Milye értéket kell aduk m-ek ahhoz, hogy az f 8. Egy pot az [ ] ; 5 időitervallumba egyees pályá mozog, az st () = t + t+ 5 kitérési szabályak megfelelőe (az időt másodpercbe, a kitérést méterbe mérjük). Mekkora a mozgás átlagsebessége? Va-e olya t [ ; 5] időpot, amelybe a pillaatyi sebesség egyelő az átlagsebességgel? 9. A [ ; T ] időitervallumba folyó harmoikus rezgőmozgás kitérés-időfüggvéye a következő: f :; [ T], f () t A si( ωt) g t gyorsulásfüggvéyét, majd igazoljuk, hogy mide t [ ; T] =, ahol A az amplitúdót, ω a körfrekveciát jelölő kostas. Határozzuk meg a mozgás () eseté () ω f () t g t =! 6
. Egy duatlo versey rajtja egy egyees tegerparto va, célja pedig a vízbe. Az egyik lehetőség a táv teljesítésére, hogy először 4 km-t futuk közvetleül a parto, majd 9 -kal elfordulva km-t úszuk a tegerbe. Azoba megegedett bármikor letéri a futópályáról, és úszi kezdei a cél felé. A rajtvoaltól mérve mekkora távolságra érdemes beugrai a vízbe ahhoz, hogy miél hamarabb célba érjük, ha a tegerparto 6 km/h, a vízbe pedig km/h a sebességük? Az ajálott feladatok megoldásai. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) 9 + b) + 7 + c) d) + 7 + e) f) tg Megoldás: a) ( )( + ) 9 = = ( ) = 6. + + b) + 7 = + + + em létezik, mert például az a = + sorozat meté a függvéyértékek sorozata + -hez, a b = sorozat meté -hez tart. c) = = =. 7 + + 7 d) 7 = = (mivel = = ). + + ( )( + ) e) = = ( + ) = + =. f) tg si si si = = = = =. cos cos cos. Adjuk meg olya függvéyt, amelyek va határértéke az = helye, de ott em folytoos! Megoldás: Jó megoldás például mide olya { } \ folytoos függvéy, amely egy folytoos függvéy leszűkítéséből ( ) adódik. Ilyeek például: ( ) vagy 7
. Ezek az = helye em értelmezettek, így ott em is lehetek folytoosak, viszot va határértékük: = és =. ( ) Szité jó megoldás bármely olya de mide más helye folytoos. Ilye például az = -ba em folytoos, továbbá f függvéy, amelyek az = pot szakadási helye,, ha = f = függvéy. Ez, ha \{ } =.. Folytoosak-e az alábbi függvéyek? (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) tg = b = si + c a Megoldás: Az a függvéy folytoos (értelmezési tartomáya [ ; + [ ). = A b függvéy is folytoos, mert folytoos függvéyek összege és összetétele is folytoos (értelmezési tartomáya a tagesfüggvéy miatt \ π π + k k ). 4 A c függvéy szité folytoos, értelmezési tartomáya \{ }, és ott c 4. Legye f Megoldás: + 4, ha \ =. Mely potba folytoos a függvéy?, ha =. 8
A függvéy folytoos mide em egész potba, továbbá azo egész potokba, amelyekre ( + ) =. Az ( \ ; ) 4 + 4= egyelet megoldásai = és =, így az f függvéy az { } potokba folytoos. 5. Adjuk meg olya függvéyt, amely mideütt értelmezve va, és az = helye em folytoos! Megoldás: Bármilye olya függvéy megfelelő, amelyek = -beli határértéke vagy em létezik, vagy em egyezik meg az ott felvett függvéyértékkel. Néháy lehetséges példa: [ ], { } (ezekek ics határértéke = -be), f, ha = =, ha \ { } (eek va határértéke = -be, de f f = = ). = függvéy differeciálháyadosát! Számítsuk ki a differeciálháyados (a-tól függő) értékét! 6. Írjuk fel az f si = a pothoz tartozó differeciaháyados-függvéyét és si si a Megoldás: A differeciaháyados-függvéy:. A differeciálháyados eek a si si a + a a határértéke = a -ba, vagyis. Mivel si si a= cos si, így a a + a a a cos si si si si a a + a = = cos cos cos a a a a a a = = a. Va- gyis az a potba a differeciálháyados értéke cos a. (Ezzel levezettük a si' = cos összefüggést.) 7. Adjuk meg olya f : = potokba em differeciálható! Megoldás: Az f folytoos függvéyt, amely csak az =, az = és az = függvéy em differeciálható a -ba (mivel a differeciaháyadosfüggvéy határértéke balról közelítve, jobbról közelítve + lee, vagyis em létezik). Ezek alapjá jó megoldás például mide olya f : folytoos függvéy, amely az =, az = és az = potokba megtörik, például az f = függvéy. További megfelelő függvéyeket készíthetük szakaszokéti megadással, ameyibe ezek a végpotokba külöböző meredekségű éritőkkel csatlakozak. Erre példa a következő függvéy: g =, ha < +, ha <., ha <, ha 9
8. Adjuk meg azokat a helyeket, ahol az f :, f = 5+ függvéy differeci- álháyadosa! Megoldás: Az f függvéy helye vett differeciálháyadosa fel értéket, ha = 6 vagy = + 6. f ' = 5, ez akkor vesz 9. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) = si( + ) b = ( 5) c = log a = si e d 5 + = 4 f = Megoldás: a' = cos +. = ( ) = ( ), vagy a b' 5 9 5 b b' = 8 7+ 5 (természetese a két végeredméy ugyaaz). c' = = l l = 7 5 + 5 5 alakból kiidulva, vagy a c = log+ log alakból kiidulva c ' = + l. d' = ( l) si + cos = l si + cos. e' f + + = = 4 5 7 4 ( 4) ( 4) = esetébe em alkalmazhatjuk sem a hatváy-, sem az epoeciális függvéy deriválási szabályát, hisze az változó a hatváy alapjába és kitevőjébe is szerepel. Azoba az l l l = e átalakítással f ( e ) e = =, így f ' = e l+ = ( l+ ) l..
. Az y = + 4 parabola mely potjához tartozó éritő megy át a P ( ; 4) poto? Megoldás: Mivel az f = + 4 függvéy deriváltja ( ; ) y potjába az éritő meredeksége m= + 4. Mivel f ' = + 4, így a parabola y = + 4, ezért az ( 4 ) y y y + éritőegyees egyelete (behelyettesítve az m = képletbe): + 4= Ha az éritő átmegy a P ( ; 4) poto, akkor ( ) 4 + 4 + 4= másodfokú egyelet, amelyből ( ) = 4 és y 4 = + összefüggésből ( y ) = és 4 parabola ( 4; 4) és ( 4; 4) P ( ; 4) poto. teljesül. Ez -ra egy = + 4 adódik. Ezekhez az y = + 4 tartozik. Vagyis a + + potjához tartozó éritők meek át a.. Írjuk fel az f cos egyeletét! Megoldás: Mivel ' meredeksége. Mivel y f ( ) π = függvéy grafikojához a abszcisszájú potjába húzható éritő π f = si, így az = -ba π π f ' = si = az éritő π = = cos =, így az éritő egyelete (behelyettesítve az y= m + y képletbe): π π+ y= + = +.. Va-e ifleiós potja az a = si, b = cos, c tg potokba? = függvéyekek? Ha ige, mely Megoldás: A függvéyek második deriváltjaiak zérushelyeit vizsgáljuk előjelváltás szempotjából. = si, eek zérushelyei: { k π k } a'' második derivált itt előjelet vált.. Ezek mid ifleiós potok, ugyais a b'' = cos, eek zérushelyei: a második derivált itt előjelet vált. π + k π k. Ezek mid ifleiós potok, ugyais '' ' si c = = cos, eek zérushelyei: { k π k }. Ezek mid ifleiós potok, cos ugyais a második derivált itt előjelet vált (a számláló előjelet vált, a evező em).,, si cos. Jellemezzük az f : f = + 9 5+ 7 és a g : g = + függvéyt mootoitás, szélsőértékek, koveitás és ifleiós pot szempotjából!
f ' = + 8 5, eek zérushelyei = és = 5. A két zérushely között f ' pozitív, az -él kisebb és az -él agyobb helyeke egatív. Tehát f szigorúa mooto Megoldás: csökke a ] ;] és [ 5; + [ itervallumoko, illetve szigorúa mooto ő az [ ; 5 ] itervallumo. A függvéyek szigorú lokális miimuma va ). Abszolút szélsőértékei icseek, ugya- = -be (itt f ( ) = is f =+ és f =. ), illetve szigorú lokális maimuma va 5 + = -be (itt f ( ) = = +, eek zérushelye =. Az helyeke '' f '' empozitív. Tehát f kove a ] ;] itervallumo, illetve kokáv a [ [ f '' 6 8 f emegatív, az helyeke ; + itervallumo. A függvéyek ifleiós potja va = -ba. Táblázatba összefoglalva: < = < < = < < 5 = 5 > 5 f ' + + + f lok. mi. lok. ma. f '' + + + f kove ifl. pot kokáv
g' = cos si = cos si si = si si +. Ez a kifejezés si -be másodfokú és egatív főegyütthatójú, zérushelyeire si = és si = teljesül. π π Az első esetbe = + kπ ( k ), a második esetbe = + kπ ( k ), illetve 6 5π = + kπ ( k ). Tudjuk, hogy g' ( ) > potosa akkor teljesül, ha < si <, vagyis 5π k π 6 k π + π< < + π+ π + kπ, k 6 6, illetve g' ( ) < potosa akkor π teljesül, ha si >, vagyis 5 π + kπ< < + kπ ( k ). Tehát g szigorúa mooto 6 6 π csökke a ; 5 π + kπ + kπ ( k ) itervallumoko, illetve szigorúa mooto ő az 6 6 5π π + kπ; + kπ ( k ) itervallumoko. A függvéyek szigorú lokális miimuma va 6 6 5 π 6 az = + kπ ( k ) helyeke (itt g = ), szigorú lokális maimuma va az π = + kπ ( k ) helyeke (itt g( ) = ). Mivel a g függvéy mide valós számra 6 értelmezett periodikus függvéy (periódusa π ), ezért a szigorú lokális szélsőértékek egybe abszolút szélsőértékek is, tehát a függvéy abszolút miimuma π szélsőértékhelyek.) (Az = + kπ ( k ) helyeke, abszolút maimuma. g' =, de a derivált em vált előjelet, így ezek em g'' = 4si cos cos = cos 4si +, eek zérushelyeire cos = és si 4 = teljesül. Az első esetbe kπ ( k ) + π ( ), illetve π kπ ( k ) π = +, a második esetbe, 5 k k =,95 +. Midhárom zérushelye g '' előjelet váltva, tehát az,, helyeke g-ek ifleiós potja va. g'', ha cos itervallu- π mok teszek eleget, eze itervallumoko g kove. és 4si +, illetve cos és 4si +. Ezekek feltételekek a + kπ;,5+ kπ ( k ) és a + kπ;,95+ kπ ( k ) g'', ha cos π itervallu- π mok teszek eleget, eze itervallumoko g kokáv. és 4si +, illetve cos és 4si +. Ezekek a feltételekek a, 5 + kπ; + kπ ( k ) és a,95 + kπ; + kπ ( k ) π
= + 5 + 4 egye- 4. Határozzuk meg, hogy mely itervallumoko kove, illetve kokáv az letű görbe! 5 y 5 Megoldás: Az f = + 5+ 4 függvéy második deriváltja f '' =. és f '', ha. Tehát az eredeti függvéy kokáv a ] ;] f '', ha itervallumo, illetve kove a [ ; + [ itervallumo (továbbá -ba a függvéyek ifleiós potja va). 5. Milye hosszúak az élei aak a égyzetes hasábak, amelyek térfogata cm, és felszíe miimális? Megoldás: Legye a hasáb alapéléek hossza (cetiméterbe mérve) a, ekkor a magassága (cetiméterbe mérve) a. A test felszíe a függvéyébe: 8 Aa= a + 4a = a +, ahol a a a >. Az A függvéy a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, továbbá a deriváltja 8 A' ( a) = 4a, eek zérushelye 56 a =. Mivel A'' ( a) = 4 +, így A '' >, tehát a a A-ak valóba szigorú lokális (és abszolút) miimuma va a = -be. Így a keresett hasáb egy cm élhosszúságú kocka (amelyek felszíe 6 cm ). 6. Határozzuk meg a cm sugarú körbe írt téglalapok közül a legagyobb területűt! Megoldás: Legye a téglalap egyik oldaláak hossza (cetiméterbe mérve) a. Mivel a téglalap átlója a kör átmérője (vagyis cm hosszú), ezért a Pitagorasz-tétel alapjá a téglalap másik ol- 4
daláak hossza ekkor 4 a. < <, hisze midkét oldal biztosa rövidebb az átmérőél. A T függvéy a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, és a a T' ( a) = 4 a + a = 4 a 4 a 4 a, eek zérushelyeit az a = A terület a függvéyébe: T( a) = a 4 a, ahol a egyelet megoldásai adják, amiből az értelmezési tartomáy miatt a = adódik. A deriváltfüggvéy közös evezőre hozva T' ( a) 4 a = 4 a alakú. Eek evezője < a < eseté biztosa pozitív, számlálója pedig egy lefelé yíló parabola, amely < a < eseté pozitív, < a < eseté egatív. Így a T ' függvéy a = -be pozitívból egatívba váltva, ezért a T függvéyek valóba szigorú lokális (és abszolút) maimuma va a = eseté, ekkor a másik oldal is cm hosszúságú. Tehát a legagyobb területű téglalap egy cm oldalhosszúságú égyzet, amelyek területe cm. T a = a 4 a függvéy < a < eseté pozitív, így maimumát ugyaott veszi fel, ahol a égyzete, vagyis F a T a a 4 a F ' a = 4a + 8a, Megjegyzés: A szélsőérték egyszerűbbe is meghatározható, ugyais a az így a = = függvéy. Ekkor a deriválás rövidebb: a a 4 + 8 = egyelet megoldásait ( a =, a, =± ) az értelmezési tartomáyyal összevetve szité a = lesz a maimumhely (igazolható, hogy itt F ' valóba pozitívból egatívba vált). Természetese a maimum értékét em a vizsgált F, haem az eredeti T függvéybe helyettesítve kapjuk. 6+ 5 = függvéyek e legye + 4+ m lokális szélsőértéke? ( f -et a valós számhalmaz lehető legbővebb részhalmazá értelmezzük.) 7. Milye értéket kell aduk m-ek ahhoz, hogy az f Megoldás: Ha az f függvéyek icse lokális szélsőértéke, akkor deriváltja sehol em vált előjelet, tehát az f ' függvéy végig azoos előjelű (a érték is megegedett). A derivált: f ' m m m = = + 4+ m + 4+ m 6 + 4 + 6 + 5 + 4 + 6 +, 5
amely értelmezve va az f függvéy teljes értelmezési tartomáyá. Mivel a evező biztosa pozitív (esetleges zérushelyei f sicse értelmezve), így f ' előjelét a számláló előjele határozza meg. A számláló egy másodfokú függvéy, amely akkor és csak akkor em vált előjelet, ha legfeljebb egy gyöke va, vagyis diszkrimiása empozitív ( vagy egatív). Tehát D= m + 4 6m+ = 4m + m+ 9, amely m-be másodfokú, pozitív főegyütthatójú kifejezés, gyökei m = 45 és m = 5. A kifejezés a két gyök között egatív, így a keresett m értékek a [ 45; 5] itervallumba találhatóak. Mide más esetbe a derivált előjelet vált, ekkor az eredeti függvéyek lokális szélsőértéke lee. Vagyis az f függvéyek 45 m 5 eseté icse lokális szélsőértéke. 8. Egy pot az [ ] ; 5 időitervallumba egyees pályá mozog, az st () = t + t+ 5 kitérési szabályak megfelelőe (az időt másodpercbe, a kitérést méterbe mérjük). Mekkora a mozgás átlagsebessége? Va-e olya t [ ; 5] időpot, amelybe a pillaatyi sebesség egyelő az átlagsebességgel? Megoldás: Mivel s' () t = 4t+ >, ha t [ ; 5], ezért a kitérésfüggvéy a megadott itervallumba szigorúa mooto övő, így a pot folyamatosa egy iráyba halad (távolodik) a pályá. Így a megtett út Δ s= s() 5 s() = 7 = 6 méter, az eltelt idő Δ t = 5 = 4 másodperc. Emiatt a mozgás átlagsebessége vátl = = = 5, amely megfelel az s() t függvéygrafiko- Δs 6 m m Δt 4s s o a mozgás kezdő- és végpotját összekötő szakasz meredekségéek. vt = s' t = 4t+, ez a 4t + = 5 egyelet alapjá a t = időpotba lesz egyelő az átlagsebességgel. A pillaatyi sebesség értéke () () Megjegyzés: A megoldásból megkaptuk, hogy az s() t görbe ( ; ) potbeli éritője párhuzamos a görbe ( ; ) és ( 5; 7 ) potjai átmeő szelővel. 6
9. A [ ; T ] időitervallumba folyó harmoikus rezgőmozgás kitérés-időfüggvéye a következő: f :; [ T], f () t A si( ωt) g t gyorsulásfüggvéyét, majd igazoljuk, hogy mide t [ ; T] =, ahol A az amplitúdót, ω a körfrekveciát jelölő kostas. Határozzuk meg a mozgás () eseté () ω f () t g t =! Megoldás: f '() t = A cos( ωt) ω és f ''() t A ω ( si( ωt) ) ω a második deriválttal, így g() t f ''() t ω A si( ωt) ω f () t =. Mivel a gyorsulás megegyezik = = =.. Egy duatlo versey rajtja egy egyees tegerparto va, célja pedig a vízbe. Az egyik lehetőség a táv teljesítésére, hogy először 4 km-t futuk közvetleül a parto, majd 9 -kal elfordulva km-t úszuk a tegerbe. Azoba megegedett bármikor letéri a futópályáról, és úszi kezdei a cél felé. A rajtvoaltól mérve mekkora távolságra érdemes beugrai a vízbe ahhoz, hogy miél hamarabb célba érjük, ha a tegerparto 6 km/h, a vízbe pedig km/h a sebességük? Megoldás: Jelölje a parto megtett távolság hosszát kilométerbe mérve, ahol 4. Ekkor a vízbe megtett út egy olya derékszögű háromszög átfogója, amelyek befogói és 4 hosszúságúak, így a teljes megtett út hossza + + 4 km. Tudjuk, hogy egyees voalú egyeletes mozgásál az eltelt idő a megtett út és a sebesség háyadosa. Így a futás és az úszás együttes ideje t + 4 8 + 7 = + = + 6 6 óra, ezt a t függvéyt szereték miimalizáli a vizsgált [ ; 4 ] itervallumo (itt a gyökös kifejezés valóba értelmezve va). Az itervallum végpotjaiba t =, illetve ( 4) A deriváltfüggvéy t' 7 7 t =. 6 8 = + 6 4 8+ 7, eek zérushelyeit az 8 + = 6 4 8+ 7 6 8 = 4 8+ 7 alakját 4-gyel elosztva, egyelet megoldásai adják. Az egyelet majd égyzetre emelve a 9 7+ 44= 8+ 7 másodfokú egyeletet kapjuk, amelyek gyökei = 4 és = 4 +. Ezek közül valóba megoldás, viszot ics az 4 4 értelmezési tartomáyba. Mivel a második derivált t'' =, amely -be 8+ 7 pozitív, így -be a t függvéyek valóba szigorú lokális miimuma va, és ott t 4 + = 4. Ez kisebb a t és ( 4) t értékekél, így a t függvéy az értelmezési 7
tartomáyá az abszolút miimumát = 4,65-be veszi fel. Vagyis a rajttól mérve kb. 4,65 km megtétele utá érdemes beugrai a vízbe. Másképpe: Megtehetjük, hogy em távolságot, haem szöget választuk ismeretleek. Jelölje az ábrá megadott szöget α, ahol < α < 9. Ekkor a vízbe megtett út hossza szárazföldö megtett út hossza pedig 4 tgα. cosα, a Az előző megoldásba leírtak alapjá most a t( α) 4 tgα = + függvéy miimumát 6 cosα siα keressük a < α < 9 yílt itervallumo. A deriváltfüggvéy t '( α) = 6cos α + cos α, eek zérushelyét siα = eseté kapjuk. Itt a derivált egatívról pozitívra vált, tehát valóba miimumot kapuk. Továbbá cosα =, így tg α = = 4, amiből a szárazföldö megtett útszakasz hosszára szité 4 km-t kapuk. 4 IV. Elleőrző feladatok. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) + b) 5 + 5 c) si. Folytoosak-e a következő függvéyek az = potba? a + 6 = + b +, ha < =, ha c + =. Legye f legye! + 6, ha =. Adjuk meg b értékét úgy, hogy a függvéy folytoos + b,ha> 4. Soroljuk fel az összes olya értéket, amely potokba az f : függvéy em differeciálható!, f = 8
5. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) ( ) a = + b = si cos c ( si cos) = cos e = d = 8 f = e + 6. Határozzuk meg az y= + 5 egyeletű görbe azo potjait, amelyekhez tartozó éritők párhuzamosak az tegellyel! 7. Mely potokba va ifleiós potja az f : 8. Határozzuk meg k értékét úgy, hogy az, f = si függvéyek? f = k l ( > ) függvéy = koordiátájú potjába húzott éritőjéek meredeksége legye! Írjuk fel az éritő egyeletét! 4 4 9. Jellemezzük az f :, f = + 7 függvéyt mootoitás, szélsőértékek, 4 koveitás és ifleiós pot szempotjából!. Osszuk fel a 4-et két pozitív részre úgy, hogy az első rész égyzetéek és a második rész köbéek az összege miimális legye! Az elleőrző feladatok megoldásai. Számítsuk ki a következő függvéyhatárértékeket (ha létezek)! a) + b) 5 + 5 c) si Megoldás: a) = =+ + +. ( 5) ( 5) b) = =, ami em létezik, hisze az 5 + 5 5 5 5 +, míg a b a = 5 + sorozatra = 5 sorozatra lee a felvett függvéyértékek sorozatáak határértéke. c) si si si = = =. 9
. Folytoosak-e a következő függvéyek az = potba? a + 6 = + Megoldás: b +, ha < =, ha c + = a em folytoos = -ba, mivel ott icse értelmezve. b em folytoos = -ba, mivel b ( ) = = 6 + =. c folytoos = -ba, mivel [ ] csak az egész helyeke szakad, mide más helye folyto- k os, így c szakadási potjai: k, viszot a em ilye alakú.. Legye f legye! + 6, ha =. Adjuk meg b értékét úgy, hogy a függvéy folytoos + b,ha> Megoldás: ( + b) = + b, a folytoosság eseté f f = = + =, vagyis + b =, ahoa b =. 4. Soroljuk fel az összes olya értéket, amely potokba az f : függvéy em differeciálható! Megoldás: Függvéytraszformációk segítségével ábrázolhatjuk f-et: 6, f =
Az ábráról leolvasható, hogy a függvéygrafikohoz em húzható éritő az { ; ; ; 4; 6} helyeke, így a keresett értékek: ; ; ; 4; 6. 5. Deriváljuk az alábbi függvéyeket! (A függvéyek értelmezési tartomáya legye a valós számok azo lehető legbővebb részhalmaza, amelyre az adott kifejezés értelmezhető.) ( ) a = + b = si cos c ( si cos) = cos e = d Megoldás: = 8 f = e + 6 5 4 = ( + ) ( + ), vagy a' 5 4 a' = 6 + 6 + 8+ 6. b' cos si c' d' =, vagy b si ( 8) ( 8) ( 4) 8 6 8 = = = si =. cos a = + 6 9 4 + 9 + 6+ alapjá = alapjá b' = cos= ( cos si ).. ( si cos) e' = l si cos cos + si, a átalakítás alapjá e ( si cos ) ' = 4 cos4 l. cos si = cos 4 + + + ( ) f ' = e + e l= e + l. 6. Határozzuk meg az y= + 5 egyeletű görbe azo potjait, amelyekhez tartozó éritők párhuzamosak az tegellyel! Megoldás: Az f = + 5 függvéy deriváltja f ' = 4+. Az tegellyel párhuzamos egyeesek meredeksége, így f '( ) = alapjá f egy- f ( ) = és f ( ) = 5, ezért a keresett két pot: ; be a függvéy lokális szélsőértékei is.) 7. Mely potokba va ifleiós potja az f : Megoldás: f ' si cos si = és =. Mivel és ( ; 5). ( f és, f = si függvéyek? = = és f '' = cos si = cos, eek
π π zérushelyei: + k k. Ezekbe 4 ifleiós pot. f '' előjelet váltva, így ezek midegyike valóba f = k l ( > ) függvéy = koordiátájú potjába húzott éritőjéek meredeksége legye! Írjuk fel az éritő egyeletét! 8. Határozzuk meg k értékét úgy, hogy az Megoldás: f ' = k, így az = -beli éritő meredeksége f ' () = 6k. A feltételből 6k =, ie k =. A vizsgált pot y koordiátája l =,5 l, így az 7 7 8 8 éritő egyelete: y= +,5 l=,5 l. 4 4 9. Jellemezzük az f :, f = + 7 függvéyt mootoitás, szélsőértékek, 4 koveitás és ifleiós pot szempotjából! = + =, eek zérushelyei = és = =. f ' Megoldás: f ' 4 4 ( ) egatív, ha <, továbbá f ' pozitív, ha < < vagy <. Tehát f szigorúa mooto csökke a ] ;] itervallumo, illetve szigorúa mooto ő a [ ; + ] itervallumo. A függvéyek szigorú lokális miimuma va = -ba (ez egybe abszolút miimum is), lokális maimuma icse. f '' = 8+ 4, eek zérushelyei = és =. f '', ha vagy, továbbá f '', ha. Tehát f kove a ; és a [ ; + [ itervallumo, illetve kokáv a ; itervallumo. A függvéyek ifleiós potja va = -ba és = -be. Táblázatba összefoglalva: < = < < = < < = > f ' + + + + f lok. mi. f '' + + + + f kove ifl. pot kokáv ifl. pot kove Az f, f ' és f '' függvéyek grafikoja a következő ábrá látható.
. Osszuk fel a 4-et két pozitív részre úgy, hogy az első rész égyzetéek és a második rész köbéek az összege miimális legye! Megoldás: Jelölje az első részt, így a keresett kifejezést az f = + ( 4 ) függvéy írja le, ahol < < 4. Ekkor f = + 48+ 64, amely a teljes értelmezési tartomáyá deriválható, és 8 f ' = + 6 48, amelyek zérushelyei = és = 6. Ezek közül csak esik a ] ; 4 [ itervallumba, és itt f ' előjele egatívból pozitívba vált, vagyis ez valóba 8 szigorú lokális miimumhely. Mivel a ; itervallumo f szigorúa mooto csökke, valamit a 8 8 ;4 itervallumo f szigorúa mooto ő, így = a megadott (yílt) értelmezési tartomáyo egybe abszolút miimumhely is. Tehát az első rész 8, a második pedig 8 4 4 =, 8 4 64 64 56 a vizsgált összeg miimuma + = + =. 9 7 7 Az f és f ' függvéyek grafikoja a következő ábrá látható.
4