SZAKDOLGOZAT Variancia derivaívák Solymosi Ernő Bizosíási és Pénzügyi Maemaika MSc Témavezeő: Dr. Molnár-Sáska Gábor Morgan Sanley Execuive Direcor Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar 6
Taralomjegyzék Bevezeés 3 Modellek 4. Variancia swap 6.. Variancia swap replikálása................................ 7... A kifizeési függvény dekompozíciója...................... 7... A log-konrakus vegája............................. 8.. Replikáció diszkré köési árfolyamok melle......................3. Numerikus eredmények.................................. 3. Volailiás swap 5.. Approximáció sorfejéssel................................ 5... Lineáris közelíés................................. 5... Konvexiási hiba a Heson modellben..................... 6.. Árazás differenciálegyenleel.............................. 8.3. A volailiás swap replikálása.............................. 9.3.. Korreláció-immuniás.............................. 9.3.. Exponenciális kifizeések..............................3.3. A replikáló porfólió................................4. Szimulációk a replikációra................................ 4 3. Variancia opció 5 3.. Árazás differenciálegyenleel.............................. 5 3.. Replikáció variancia opciókkal.............................. 6 Paraméerilleszés 9 Összefoglalás 3 Irodalomjegyzék 33
Bevezeés A részvények áralakulásában lévő bizonyalanság alapveő mérőszáma a volailiás. Egy részvényre szóló derivaíva kiírójának ermészees célja, hogy az ügyleből származó kockázao egyéb kereskedésekkel fedezze. Az alapermék ármozgásából származó kockáza kiküszöbölheő, ha a derivaíva melle megfelelő számú részvény is arunk, ami így ellensúlyozza a derivaíva érékének válozásá. Ez a kockázakezelési módszer nevezik dela-hedgenek. Ezzel az eljárással azonban nem eliminálhaó az összes kockáza, ugyanis a derivaívák éréke jellemzően a volailiásól is függ, így annak a részvényárfolyamól függelen alakulása ovábbi fedezelen kiesége jelen. A volailiásból származó kockázanak a kezelése nehezen megvalósíhaó, ugyanis a dela-hedge eseével szemben a volailiás önmagában nem kereskede ermék. Ha a befekeő a kezében udna arani egy olyan erméke, aminek az éréke a volailiás kövei, azzal erős eszköze lenne a volailiás-kockáza kezelésére. Az opcióka gyakran használják ilyen céllal, azonban ennek ké háulüője is van. Egyrész ezen ermékek vegája függ a részvény spo árfolyamáól, így nem bizosíanak isza kiesége a volailiásra, másrész az opciók arásával nem kívánaos dela-kieség is jár, ami szinén fedezni kell. A volailiással való kereskedésre ehá van igény. A variancia derivaívák ehhez nyújanak megfelelő eszköz, rajuk kereszül a befekeők isza kiesége szerezhenek a volailiásra. Ezen ermékekkel való kereskedés az 99-es években kezdődö el és piaca azóa folyamaos növekedés mua. A éma napjainkban is akívan kuao. A dolgoza célja, hogy bemuasson néhány alapveő variancia derivaívá. Három erméke fogunk vizsgálni. Az első fejezeben a variancia swapok, a másodikban pedig a volailiás swapok árazásá és replikálásá ekinjük á. A harmadik fejezeben a variancia opciók árazására alkalmas differenciálegyenle muaunk be, a dolgoza végén pedig a szimulációkhoz használ Heson-modell kalibrációjá ismerejük. 3
Modellek Jelen fejezeben rögzíjük a dolgoza ala használ modelleke és iszázzuk, mi ekinünk a variancia derivaívák alapermékének. A derivaívák árazása a kockázasemleges mérék ala örénik, a kövekezőkben megado dinamikák és a dolgoza során minden várhaó érék is a kockázasemleges mérék szerin érendő. Felesszük, hogy a kockázamenes ermék minden eseben egy konsans r kamaláb melle fejlődő beé. A Heson-modell széles körben használ szochaszikus volailiás modell. A Black-Scholes világgal ellenében a variancia nem konsans, fejlődése egy CIR folyamao köve. Népszerűségé annak is köszönhei, hogy a modellen belül az opcióárak explicien, paraméeresen megadhaók. ds = rs d + v S dw () dv = α(β v )d + η v dw () Cov(dW (), dw () ) = ρd (HM) I v a pillananyi varianciá jelöli, a volailiás pedig v. A dolgoza során be fogjuk muani, hogyan lehe a vizsgál ermékeke opciókkal replikálni. Ekkor a részvény volailiásának dinamikájá nem kell ismerni, az árazás és a replikálás is a piacon megfigyel részvényopciókkal örénik. Az Álalános-modellben (ÁM) a volailiás a σ folyama írja le, melyről felesszük, hogy adapál egy W () Wiener-folyama ermészees filrációjához, ovábbá négyzees inegrálja korláos, vagyis σ d <. ds = rs d + σ S dw () Cov(dW (), dw () ) = ρd (ÁM) A variancia, min alapermék A variancia derivaívák olyan pénzügyi ermékek, melyek az ügyle lejárakor az esedékes időszak alai variancia valamilyen függvényé fizeik ki. Az S folyama [, T ] időszak alai inegrál varianciája V AR,T = σ d () A σ folyama nyilván nem figyelheő meg a valóságban, így felveődik a kérdés, hogy a gyakorlaban hogyan állapíják meg egy részvény vagy részvényindex ado időszak alai varianciájá. Legyen 4
a { =,..., n = T } a [, T ] inervallum egy feloszása. Az ehhez arozó apaszalai variancia a loghozamok négyzeeiből számolhaó. A T -vel való leoszással a varianciá annualizáljuk. V AR,T = T n ( ) log Si+ S i i= Piaci gyakorla, hogy a apaszalai varianciá a napi loghozamokból számolják és ez ekinik a variancia derivaívák alapermékének. Egy volailiás swap szerződési feléeleinek minája a kifizeés definiálásával megekinheő []-ben. A apaszalai varianciával való számolás körülményes, jelen dolgozaban a variancia derivaívák alapermékének ()-e fogjuk ekineni. Az inegrál alak melle a variancia karakerizálására S log-folyamaának kvadraikus variációjá is fogjuk használni. Alkalmazzuk az X = log(s /S ) folyamaon az Ió-lemmá: dx = S ds Innen X kvadraikus variációja T -ben S σ d = (r σ ) d + σ dw S X T = σ d = V AR,T, vagyis S () szerini varianciája felírhaó, min a log-folyama kvadraikus variációja. A dolgoza során X végig a log-folyamao fogja jelölni, a varianciára az inegrális alak melle, min X T -re is fogunk hivakozni. () 5
. fejeze Variancia swap A legalapveőbb varianciára szóló derivaíva a variancia swap. A variancia swap ulajdonképp egy forward ügyle, amiben egy rögzíe T időponban egy a szerződésköéskor meghaározo K var srike éréke cserélünk el a -T időszak alai X T varianciára. A kifizeési függvény ehá X T K var A fair köési ár a forward árhoz hasonlóan az a K, melyre a variancia swap szerződésköéskori éréke nulla, vagyis e rt E ( X T K) =. Ebből kövekezik, hogy HM-ben σ K var = E X T CIR folyamao köve, melynek várhaó éréke ismer. Az inegrál és a várhaó érék felcserélésével a fair köési ár megadhaó zár alakban. K var = E σ d = = E σ d σ e α + β( e a ) d = e αt (β σ ) α + βt A köési árfolyamban ehá várakozásainknak megfelelően az egyre ávolabbi lejáraok eseén a variancia álaga fog dominálni, a kezdei érékének haása csak rövidebb lejáraok eseén érzékelheő. A variancia swap időponbeli érékének meghaározásához a kifizeés F -szerini várhaó éréké kell venni. Ehhez az inegrál -nél elvágva ké részre bonjuk. A -ig felkumulálódo variancia, valamin a K var konsans kifizeés mérheő F -re, így azok kiemelheőek a várhaó érékből, így [ ] [ T ] T V = e rτ E σs ds K var = e rτ E σs ds + σs ds K var = e rτ X + e rτ T E σs ds e rτ K var ( = e rτ X + e ατ (β σ ) ) + T β K var α 6
.. Variancia swap replikálása Az előbb meghaározo köési árfolyamok csak speciálisan, a HM-ben érvényesek. A kövekezőkben dönő részben Emanuel Derman [] és Fabrice Douglas Rouah [7] munkásságaira ámaszkodva bemuajuk, hogyan replikálhaó a varianci swap ÁM-ben részvényopciók segíségével. Idézzük fel X = log(s T /S ) dinamikájá: dx = S ds σ d Az egyenlőség mindké oldalá inegrálva kapjuk, hogy A varianciára rendezve kapjuk, hogy log S T S = X T = S ds + σ d (.) S ds log S T S (.) Ez az sugallja, hogy a variancia replikálhaó egy dinamikus porfólióval, valamin egy log-konrakussal, ami definíció szerin egy lejárakor log(s T /S ) pénz fizeő derivaíva. A dinamikus replikálás kölségei a dela-hedgehez hasonlóan kölcsönből fizejük, a hozamai beébe esszük, melyek r kamaláb melle kamaoznak. Peer Carr és Roger Lee [] cikke alapján a replikáló porfólió felállíásához a időponban az alábbi ermékeke kell aranunk: log konrakus e rτ részvény S (.3) ( e rτ X + log S ) S e rt beé A gyakorlaban ilyen formában a replikáció nem valósíhaó meg, ugyanis a log-konrakus nem kereskede ermék. A kövekezőkben Emanuel Derman [] alapján megmuajuk, hogy hogyan lehe a log-konrakus saikusan, opciókkal, részvénnyel és beéel előállíani.... A kifizeési függvény dekompozíciója A log-konrakus Anhony Neuberger vezee be [4] cikkében, ahol bemuaa, hogyan lehe vele volailiás-kiesége fedezni. A mi célunk ebben a részben az, hogy a log-konrakus kereskede ermékekből replikáljuk. Breeden-Lizenberger formula alapján [4] ha a T lejárara minden K köési árfolyamon elérheők a call opciók árai, akkor ezekből kiolvashaó az alapermék kockázasemleges mérék szerini áralakulása, azaz annak a valószínűsége, hogy a részvény éréke a T időponban K lesz, feléve, hogy -ben S. p(s,, K, T ) = e r(t ) C(S,, K, T ) (.4) K C a call opció árá jelöli..4 igaz marad akkor is, ha call opciók helye puokkal írjuk fel. A formula segíségével az f kifizeési függvényű európai derivaíva éréke -ben kockázasemleges mérék szerini várhaó érék jelenérék szerin V (S, ) = e r(t ) f(k)p(s,, K, T ) dk = 7
Az inegrál egy eszőleges S vágási ponnál keéválaszjuk és alkalmazzuk.4-e, az első inegrálban call opciókkal, a másodikban puokkal. = S f(k) C(S,, K, T ) dk + K S f(k) P (S,, K, T ) dk = K Innen az S, és T érékeke rögzíenek vesszük és nem írjuk ki őke. Készer parciálisan inegrálva kapjuk, hogy = + [ f(k) S ] K=S K C(K) f (K)C(K) f (K)C(K) dk + S K= f (K)P (K) dk Az első ké agban a peremérékek a kövekezők = C() = P ( ) = C K (K) = P K= K (K) P (S ) C(S ) = S e r(t ) S [P (K) C(K)] r(t ) = e K [ + f(k) ] K= K P (K) f (K)P (K) K=S K=S Ez kihasználva megkapuk a derivaíva időponbeli árá V = e r(t ) f(s ) + f (S )(S e r(t ) S ) + S K= f (K)C(K) dk + S f (K)P (K) dk Az első ag egy kövény, a második egy forward ügyle időponbeli ára, az inegrálok pedig egy puokból és callokból álló opciós csomag éréke. Ezek szerin az f kifizeésű derivaíva saikusan replikálhaó ezen ermékek felhasználásával. A kifizeési függvény felbonása így f(s T ) = f(s ) + f (S )(S T S ) + S f (K)(S T K) + dk + S f (K)(K S T ) + dk Tekinsük a log-konrakus f(s T ) = log(s T ) kifizeési függvényé. Alkalmazva rá.5-ö a kifizeési függvény felbonása kövényre, forwardra és opciókra logs T = logs + S S (S S ) K (S T K) + dk (.5) S K (K S T ) + dk (.6) A Breeden-Lizenberger formulá fogjuk még használni a volailiás swap replikálásánál is. Széleskörű használhaóságá muaja, hogy a 3 napos implici volailiás jelző VIX-index [6] számíása is opciókból, a Breeden-Lizenberger formula alapján örénik.... A log-konrakus vegája Ebben a részben bemuajuk a log-konrakus egy érdekes és a volailiás replikálás szemponjából nélkülözheelen ulajdonságá, mégpedig az, hogy a variancia-vegája függelen a spo árfolyamól. Az előzőek alapján ehá a log-konrakus replikálhaó egy olyan porfólióval, mely kövény, forwardo és opcióka aralmaz. Mivel a kövény és a forward vegája zérus, a log-konrakus vegája 8
megegyezik a repilkáló porfólió opciós csomagjának vegájával. A call és pu opciók variancia-vegája a Black-Scholes modellben σ C = σ P = S τ σ π exp( d /) = ν o d = ln (S/K) + (r + σ /)τ σ τ Mivel a call és a pu opciók vegája azonos, a deriválás köveően a ké inegrál egy közös inegrállá alakul. [ S σ = S K ] K C(K)dK + S K P (K)dK = K ν o(k)dk { τ σ π exp ( ) } ln(s/k) + (r + σ/)τ σ dk = τ x = S/K helyeesíéssel inegrálunk, dx = S/K dk, az inegrálhaárok pedig megcserélődnek. Némi áalakíás köveően az inegrálban egy µ = ( r σ /)τ és σ = σ τ paraméerű lognormális eloszlás várhaó éréké ismerhejük fel. = τ { σ τ π exp (lnx ( r σ/)τ) σ τ } dx = τ exp(µ + σ /) = e rτ τ Szembeűnő, hogy a vega nem függ a spo áról. Ez az jeleni, hogy a log-konrakus a spo érékéől függelenül ugyanolyan érzékeny a varianciára. A. ábra jól szemlélei hogy simul ki az opciós csomag vegája egyre öbb opció használaa melle. A köési árfolyamok 5 és 5 közö mozogak, a baloldali ábra a 5-ös lépésköz, a jobboldali a sűrűbb, -es lépésköz melle muaja a vegá..4 dk=5. dk=...8 Vega.8.6 Vega.6.4.4.. 5 5 Spo 5 5 Spo.. ábra. Az opciós porfólió vegája 9
Visszaérve.3-hoz, a log-konrakus eszőleges S szeparáor menén örénő felbonásával a replikáló porfólió a kövekezőképp néz ki: dk K e rτ S S ( e rτ X + log S ) S + rτ pu, ha K < S, call, ha K > S részvény beé A replikáló porfólió nulla időponbeli éréke megadja a variancia swap árá. Ez alapján a köési árfolyam a kövekezőképp számolhaó [ K var = rt logs ert S S + e rt S S C(K) dk + ert K (.7) ] S K P (K) dk + logs I S eszőlegesen megválaszhaó. Ha a vágási helynek az F = e rt S forward ára válaszjuk az előző képle ovább egyszerűsödik. K var = e rt [ F ] K C(K)dK + K P (K)dK.. Replikáció diszkré köési árfolyamok melle A.7-ben megado replikáció megvalósíása során ké problémával kell szembenéznünk. Az egyik, hogy a hedge dinamikus, a részvényekből arandó mennyiség folyamaos kiigazíás igényel. A másik, hogy a log-konrakus felbonása az opciók minden köési árfolyamon való kereskedheőségé feléelezi. Ezek mind hibá okoznak a ökélees hedge-hez képes. Az első problémá a porfólió gyakori újrasúlyozásával kezelhejük. Jelen fejezeben a log-konrakus véges sok köési árfolyamú opciókra bonásából fakadó hibá fogjuk vizsgálni. (.6)-o ekinve (S = F válaszás melle) ha az opcióka egy oldalra rendezzük, akkor az opciós csomag lejárakori éréke a kövekező kifizeéssel lesz egyenlő f(s T ) = F F f(s T ) = S T F log S T (.8) F F K (K S T ) + dk + K (S T K) + dk (.9) Prakikus a log-kifizeés helye f replikásával foglalkozni, mivel f felbonása során a kövény és forward agok elűnnek és így előállíhaó iszán opciók kifizeéséből. Tegyük fel, hogy a piacon a call opciók K < K c < K c <... köési árfolyamon kereskedeek, a puok pedig K > K p > K p >... srike-ok melle érheők el. Legyen K pu = {K, K p,... }, K call = {K, K c,... }, K = K pu K call. Jelölje ω K F a K köési árfolyamú opcióból arandó mennyisége. Ado ω K súlyok melle a replikáló porfólió ˆf kifizeési függvénye a kövekezőképp néz ki: ˆf(S T ) = K K pu ω K (K S T ) + + K K call ω K (S T K) + (.) A feni függvény szakaszonkén konsans, a örésponok az S K helyeken vannak. ˆf meghaározása oly módon örénik, hogy a közelíő függvény az S K pu K call ponokban egyezzen
meg f-fel. Ekkor [] alapján az ω súlyok a kövekezők ω Knc = f(k n+,c) f(k n,c ) K n+,c K n,c ω Knp = f(k n+,p) f(k n,p ) K n,p K n+,p ω Kic (.) n i= ω Kip (.) n Az így súlyozo opciós csomag kifizeésé az. ábra muaja. A súlyok megválaszása szemlélees. A ör például callok eseén K n+,c > S > K n,c melle ˆf(S) meredekségé adja meg, amihez az összes K i,c, i < n súly hozzájárul gondoljunk a callok kifizeési függvényére, így ω n,c -vel csak a fennmaradó rész kell bizosíani. i=.5.4 f kifizeése opciós csomag kifizeése Kifizeés.3.. 5 5 5 3.. ábra. Az f kifizeés és opciókkal örénő közelíése S T Mos bemuaunk egy másik módszer is az opciós súlyok meghaározására. ˆf-ól az köveeljük meg, hogy a kifizeési függvénye minél közelebb legyen f-éhez, ovábbá az eléréseke aszerin bünejük, hogy milyen valószínűséggel realizálódik az ado helyen S T. Az ω súlyoka ehá úgy keressük, hogy a inegrál minimális legyen, ahol a P függvény S T [ (f(s) ˆf Ω (S))P (S)] ds (.3) sűrűségfüggvénye. Speciálisan S T -ről felesszük, hogy a BS-világnak megfelelően lognormális eloszlás köve. Ω arra ual, hogy ˆf kifizeése függ az ω súlyokól. A meghaározásuk szimulációk segíségével fog örénni. Ehhez generálni fogunk öbb T időponbeli részvényára (szcenárió), majd ezekhez úgy válaszjuk meg az ω i súlyoka, hogy a replikáció és a replikálandó kifizeés szcenáriónkéni négyzees elérése minimális legyen. A részvényárak generálása a P sűrűségfüggvénynek megfelelően fog örénni, így ahol P (S) éréke nagy és ezálal.3-ban a hiba erősen bünee, o a szimuláció során gyakoribbak lesznek a realizálódások. Az egyes részvényárfolyamoka az S = {S,..., S m } halmaz jelöli (ehá mos S i eseén az alsó indexben lévő i nem időpono jelöl). A részvényárfolyamoka P -nek megfelelően
BS-modellben szimuláljuk. Jelölje C i,j az i. szcenárió eseében a K j köési árfolyamú, K j K eseén pu, K j K eseén pedig call opció kifizeésé. A K = K eseben call és pu opció is arunk, különböző súlyokkal. Tehá (K j S i ) +, ha K j K C i,j = (S i K j ) +, ha K j K Az egyes szcenáriók ala realizálódo opciókifizeéseke az A márixba rendezzük: C, C,... C,n C, C,... C,n A =...... C m, C m,... C m,n A K i köési árfolyamú opcióból ω i darabo kell arani, ezen súlyoka az ω oszlopvekorban gyűjjük össze, ω = [ω,..., ω n ] T, a replikálandó kifizeéseke pedig a v = [f(s ),..., f(s m )] T vekor aralmazza. Az i. szcenárióban az opciós csomag éréke n j= ω jc i,j, ennek kell az f(s i ) kifizeés előállíania. A replikáció megadásához ehá az alábbi opimalizációs feladao kell megoldani: min ω A ω v Először megvizsgáljuk, hogy a diszkré modell eredményei konziszensek-e a folyonossal. Ha K sűrűn aralmazza a köési árfolyamoka, az várjuk, hogy a modell visszaadja az (.9) szerini /K -es eloszlás. 4 x 4 3 folyonos replikáció súlyai diszkré replikáció súlyai ω K 5 5 5 3 Köési árfoylam.3. ábra. Opciós súlyok a diszkré modellben A legöbb köési árfolyam eseében jól illeszkednek a folyonos modell jósola görbére a szimulációból származó eredmények, azonban ké helyen, a forward árfolyam körül valamin a széleken is elérés apaszalunk. Kérdés, hogy a modell eredményei mennyire megbízhaóak. A szimuláció újrafuava az egyes ω K érékere öbb realizáció is kapunk. A köési árfolyam függvényében
8 x 3 6 ω K szórása 4 5 5 5 3 Köési árfolyam.4. ábra. Opciós súlyok szórása ábrázolva az ω K súlyok empirikus szórásá (lásd.4) megfigyelheő, hogy a szimuláció eredményei a széleken elég insabilak, azonban a forward árfolyam körüli elérés a szimuláció sabilan produkálja. A forwardól ávoli köési árfolyamoknál apaszal bizonyalan eredmény annak köszönheő, hogy ebben a arományban már viszonylag rikák a realizálódo S T érékek. Ha például egy nagy K i > F eseén a (K i, K i+ ) inervallumba egyelen S S részvényárfolyam esik, akkor ω Ki úgy lesz megválaszva, hogy az opciós csomag ezen S mellei éréke ponosan megegyezzen a replikálandó kifizeéssel. Ez anélkül eheő meg, hogy az S < S szcenáriók kifizeésé befolyásolná, mivel a K i köési árfolyamú call opció kifizeése S < K i eseén zérus. Ugyanez a helyze a forward árnál jóval alacsonyabb köési árfolyamok eseénél is, ugyanis ezen srike-okra a porfólióban pu opcióka arunk, melyek kifizeése a srike fölöi részvényárfolyam eseén űnik el, vagyis az ω K súlyok K << F eseén a mina dönő részére szinén nem lesznek haással. A jelenség a minaelemszám növelésével nem üneheő el, haására az csak a forward áról ávolabb olódik..3. Numerikus eredmények f imén bemuao replikációjának megfelelő ω K -ka különböző sűrűségű köési árfolyamok melle is meghaározam. A legkisebb srike-o, ami melle kereskedheő az opció -nak veem, a legnagyobba 4-nak. A forward árfolyam vol. A köési árfolyamok lépésközé dk = {, 5, 5, }-nak válaszoam. Példakén a dk = 5 ese melle kapo súlyoka az. ábláza muaja. A K = köési árfolyam készer szerepel, mer a vágási ponnál megengedjük, hogy puo és call is arsunk. K 5 5 3 35 4 ω K.5.3.5.4..4.5... ábláza. Opciós súlyok dk = 5 eseben 3
A várakozásunk az, hogy a feloszás sűrűsödésével javul a replikáció ponossága. Ennek ellenőrzéséhez a meghaározo ω súlyoka az illeszés során használ S-ől függelen, újra generál adahalmazon eszelem. Mind a négy dk melle kiszámolam az f(s) ˆf(S) elérések szórásá. Az eredményeke a. ábláza összegzi. Az egyes szcenáriók ala apaszal elérésekről készül hiszogramok a.5 képen láhaók. Viszonyíáskén kiszámoluk a replikálandó f kifizeések abszolú álagá is, melyre m =, 98 érék adódo. Az arányosío elérések vizsgálaa insabil eredményhez veze, mer a nullához közeli kifizeések eseén a százalékos hibák nagyon magasak. dk 5 5 opciók száma 3 4 8 5 szórás,5,84,35,.. ábláza. opciók száma és a replikálás szórása különböző dk-k eseén.5 x 4.5.5 5.5.5.5.5 dk= x 3 5.3.... dk=5 8 6 4 6 4 dk=5 x 3.5 x 4.5.5..8.6.4...4 dk=.5. ábra. Replikációs hibák hiszogramjai különböző dk-k eseén A variancia swap különböző módszerekkel számol köési árfolyamá az.3 ábla muaja. Az árazás Heson modellben örén, a kalibráció a modellillszés fejezeben foglalam össze. HM-ben MC-szimuláció opciós árakból.59%.595%.53%.3. ábláza. K var meghaározása HM-beli analiikus képleel, Mone-Carlo szimulációval és opciós árakból 4
X T K vol. fejeze Volailiás swap Ebben a fejezeben a volailiás swapoka fogjuk vizsgálni. Az árazási módszerek áekinése melle bemuajuk Peer Carr és Roger Lee [3] cikkük alapján a volailiás swapok részvényopciókkal örénő replikálásá is. Láni fogjuk, hogy a variancia swapokkal ellenében az árazás és a replikálás is sokkal bonyolulabb felada. A volailiás swap lejárakori kifizeése az esedékes időszak ala megfigyel volailiás mínusz egy, az ügyleköéskor meghaározo összeg, vagyis: A fair köési árfolyam a variancia swap eseéhez hasonlóan az a K köési árfolyam, melyre a volailiás swap kezdei éréke nulla, ehá K vol = E X T. Álalában egy kifizeés gyöké nem riviális árazni, replikálni, ráadásul jelen eseben maga az alapermék is összee. Mielő ráérnénk a variancia swap replikálására és a köési árfolyam ponos meghaározására, [7] alapján bemuaunk egy, a gyökfüggvény sorfejésén alapuló közelíő módszer... Approximáció sorfejéssel Ha az árazás során a várhaó érék felcserélheő lenne a gyökvonással, akkor a köési árfolyam meghaározása egyszerűen vissza lenne vezeve a varianca swap árazásának problémájára, ami már az előző fejezeben megoldounk. Ez azonban nem elesül, K vol = E X T E X T = K var (.) A köési árfolyamok közöi egyenlőlenség a Jensen-egyenlőlenségből kövekezik, a gyökfüggvény konkaviása révén. Az iméni becslés javíhaó, ha ekinjük a x függvény Taylor-sorá, és abból ovábbi agoka is figyelembe veszünk.... Lineáris közelíés Ha.-ben a x = X T x = a + x a a (x a) 8a 3/ + O(x 3 ) (.) és a = K var helyeesíésekkel élünk, az első ké ag a volailiás swap kifizeésének egy lineáris közelíésé adják. A második ag kifizeése megfelelő mennyiségű varianca 5
swap kifizeésével egyenlő, így a módszer nem csak árazásra használhaó, egy nem úl ponos, de egyszerű replikáció is bizosí. X T K var + K var ( X T K var ) (.3) Várhaó éréke véve az E ( X T K var ) ag elűnik mivel K var - pon úgy haározuk meg, hogy a variancia swap nulla időponbeli éréke zérus legyen és K vol érékének egyszerűen a K var közelíés adódik. Ez megegyezik azzal, minha.-ben egyenlőlenség helye egyenlőség állna, összhangban azzal, hogy a várhaó érék ámegy a lineáris függvényeken. Ahogy X T realizálódo éréke elávolodik K var -ól, a közelíés egyre ponalanabb lesz, lásd.. 7 Kifizeés 6 volailiás swap cash+variancia swap 5 / K var 4 3 5 5 K 5 3 35 4 var Realizálódo variancia %.. ábra. A volailiás swap kifizeése és variancia swappal való közelíése... Konvexiási hiba a Heson modellben Az előbb a másodrendű ago elhagyva a volailiás swap egy közelíő replikációjá kapuk. A négyzees ag elhanyagolására azér vol szükség, mer a ( X T K var ) kifizeés előállíása bonyolul, de ha csak a köési árfolyam meghaározása a cél, akkor HM-ben a K vol K var becslés ovább javíhaó. I megjegyezzük, hogy Carr-Lee [3] cikkükben megadják a X n T alakú kifizeések opciókkal örénő replikálásá. Vélheőleg járhaó ú lenne a sorba feje gyökfüggvény kellően sok agjá replikálni a [3]-ban bemuao módszer alapján, ezzel állíva elő a volailiás swapo. Visszaérve.-hez, várhaó éréke véve az E ( X T K var ) ag éppen X T így Cseréljük meg a szórásnégyzee az inegrállal. D X T = D K vol K var D X T 8K 3/ var v d = szórásnégyzee, (.4) Cov (v s, v ) ds d (.5) 6
A hibaag meghaározásához ehá a variancia kovarianciasrukúrájá kell kiszámolnunk. HMben v CIR folyamao köve, melye az ő leíró dv dinamikával definiálunk. [5] alapján.6 megoldása a.7-ben közöl v folyama. dv = α(β v )d + η v dw (.6) v = β + (v β)e α + ηe α e αu v u dw u (.7) E v = β + (v β)e α (.8) A hivakozo könyvben v hibásan vol megadva, a β ag nem szerepel a jobb oldalon. Könnyen ellenőrizheő, hogy a feni.7 folyama valóban kielégíi a CIR folyamao definiáló szochaszikus differenciálegyenlee. A kövekezőkben legyen s <. A kovarianciá definíció szerin felírva, Cov (v s, v ) = E (v s E v s )(v E v ) (.9) ( s = E ηe αs e αu )( v u dw u ηe α e αu ) v u dw u (.) [ ( s = η e α(s+) E e αu ) ( s v u dw u + E e αu )( v u dw u e αu ) ] v u dw u s (.) (.)-ben a -ig aró inegrál s-nel keéválaszouk. A második agban a ké szochaszikus inegrál jelölje Y s és Y. Y s mérheő F s -re, így a oronyszabály érelmében, valamin kihasználva, hogy a Wiener-folyama szerini inegrál várhaó éreké : E (Y s Y ) = E (E s (Y s Y )) = E (Y s E s Y ) = Tehá (.)-ben a második ag elűnik. Az első agra alkalmazva az Ió-izomeriá, majd a várhaó éreke az inegrál mögé víve kapjuk, hogy ( s Cov (v s, v ) = η e α(s+) E e αu ) v u dw u s = η e α(s+) E e αu v u du s = η e α(s+) e αu E v u du s = η e α(s+) e αu (β + (v β)e αu )du = v η α ( e α e α(s+)) + η β α (e α( s) + e α(+s) e α) Ellenőrzésképp kiszámoluk a kovarianciá s = és s = érékekre, mely speciális eseekben rendre nullá és v szórásnégyzeé kell kapnunk. Az eredmények ezzel konziszensek. Visszaérve (.5)-re a kovariancia szimmeriájá és az imén levezee alakjá kihasználva: D X T = Cov (v s, v ) ds d (.) = η 5β + αβt + e αt (β v ) + v + 4e αt (β + αβt αt v ) α 3 (.3) Az inegrál a Wolfram Mahemaica program segíségével számolam ki. 7
.. Árazás differenciálegyenleel Az előző részben áekine eljárások csak közelíő eredményeke bizosíoak, a mos kövekező módszerrel azonban leheőség nyílik a volailiás swapok ponos árazására is. Mark Broadie és Ashis Jain [5]-ben leír eredményei köveve HM-ben le fogunk vezeni egy differenciálegyenlee, melynek megoldásával a varianciá leíró CIR folyama rögzíe paraméerei melle eszőleges kezdei volailiás melle megkaphaó a volailiás swap fair ára. A differenciálegyenle megoldása nem része a dolgozanak, min leheséges árazási módszer muajuk be. Emlékezeőül a CIRfolyamao leíró SDE: dv = α(β v )d + η v dw Legyen Y a volailiás swap forward árfolyamaa, vagyis Y = E XT A T időponig felkumulálódo varianciá a ponban ké részre vágjuk. I = Ez alapján a volailiás swap forward árfolyamaa v s ds Y = E I + v s ds = F (, v, I ) Y valóban leírhaó a feni három mennyiség függvényekén, és I melle a lejáraig háralévő variancia becsléséhez v minden információ aralmaz a folyama Markov-ulajdonságából kifolyólag. Alkalmazzuk az Ió-formulá F -re. Mivel di = v d, I kvadraikus variációja zérus, így a másodrendű deriválakból csak a v szerini nem űnik el. df = F F F d + dv + v I di + F v d v Kihasználva, hogy v és I dinamikája ismer, azoka visszahelyeesíve a feni differenciálegyenle az alábbi forma öli df = [ F + F v α(β v ) + F I v + ] F v ηv d + F v ησ dw (.4) F a volailiás forward árfolyamaá írja le, melynek a kockázasemleges mérék szerini drifje zérus, mi szerin F -nek ki kell elégíenie az alábbi parciális differenciálegyenlee F + F v α(β v ) + F I v + F v ηv = A volailiás swap kifizeési függvénye alapján F T -beli érekéi ismerek, F (T, v T, I T ) = I T Ahhoz, hogy a PDE- meg udjuk oldani, az I és v válozók menén is meg kell adni a peremérekéke. Ezeken a helyeken F ponos érekéinek megadása helye azzal a felevéssel élünk, hogy a másodrendű deriválak elűnnek, vagyis F I = I=Imin,I max F v = (.5) v=vmin,v max 8
.3. A volailiás swap replikálása A kövekezőkben [3] alapján bemuajuk Carr és Lee módszeré a volailiás replikálására. ÁMben fogunk dolgozni, felesszük, hogy r =. Mielő nekilánánk a levezeésnek röviden vázoljuk annak fonosabb lépései. Min ahogy [9]-ban Klaus Schürger is használja, az q kifizeés áírhaó a kövekező alakra: e zq q = dz (.6) π z 3/ Ekkor várhaó éréke véve és az az inegrállal felcserélve az E e zq exponenciális kifizeés replikálásá kell megadnunk, és ezekből már fel lehe épíeni a q kifizeés. Láni fogjuk, hogy az exponenciálisok replikálása csak a variancia és a részvényárfolyam függelensége melle lesz ökélees, a ρ ese hibá fog eredményezni. Ennek kezelésére Carr és Lee bevezeik a korreláció-immuniás fogalmá, amivel a ρ eseben csak O(ρ ) nagyságrendű hibával kell számolnunk. Az exponenciálisok korreláció-immúnis előállíásá kihasználva végül megadjuk a volailiás swap replikációjá. A kövekezőkben ehá három ponon kereszül vesszük á a volailiás swap replikálásá: A korreláció-immuniás fogalmának bevezeése Az exponenciális kifizeések replikálása Az exponenciálisok használaával a volailiás swap replikálása.3.. Korreláció-immuniás A variancia swap replikálása során az S és σ folyamaok korrelációja nem befolyásola az eredmény, az (.7)-ben megado replikálás a korreláció minden éréke melle ökélees vol. A volailiás swapok eseében ez nincs így, de Carr és Lee módszere eszköz ad arra, hogy az árazás korrelációra való érzékenységé bizonyos érelemben csökkensük. ÁM-ben a variancia swapokhoz hasonlóan opcióárakból fogjuk meghaározni a volailiás swap köési árfolyamá. Legyen G a kiindulási opciós porfólió kifizeési függvénye. Ekkor az árazás a kövekezőképp néz ki: E X T = E G(S T ) (.7) Láni fogjuk, hogy végelen sok alkalmas G függvény léezik, ha S és σ függelenek. Az árazás ρ feléel mellei ponalanságá a kövekezőképp érzékelehejük: a szokásos módon írjuk á S dinamikájá ÁM-ben ρ-hoz megfelelő súlyozással úgy, hogy a részvény és a volailiás fejlődésé hajó ké Winener-folyama függelen legyen. ds = ρ σ S dŵ () + ρσ S dw () (.8) ahol Ŵ () és dw () függelen Wiener-folyamaok és σ függelen Ŵ () -ől. Ha ρ- -nak válaszjuk, akkor a ké folyama függelen és.7-ben az egyenlőség fennáll. ρ érékének válozaására a σ folyama érzékelen, így.7 bal oldala minden ρ eseén azonos, azonban S dinamikája és ezzel együ E G(S T ) is ρ-val együ válozik. Olyan G függvény szerenénk válaszani, mely minél 9
kevésbé érzékeny ρ érékére. A kövekezőkben definiálni fogjuk mi érünk egy kifizeés korrelációimmuniása ala. Ehhez bevezejük a kifizeések Black-Scholes árá. Egy F (S T ) kifizeés σ szórás mellei Black-Scholes ára ala az F BS (S, σ) = F (ys ) e (y+σ /) σ dy (.9) πσy éréke érjük, ahol y egy µ = várhaó érékű és σ szórású lognormális eloszlás éréke. BS-ben a kockázasemleges méréke szerin S T = ys, vagyis a feni képle ulajdonképpen az F kifizeés BS modellbeli kockázasemleges mérék szerini várhaóéréke. r = mia nem kell diszkonálni. W () és W () F -BM, σ és W () adapálak egy H F filrációhoz ami függelen F W () -ől. Ekkor S dinamikája a kövekezőképp alakul: ds = ρ σ S dw () + ρσ S dw () (.) I a σ és S folyamaok W () -n kereszül összefügghe. Ezen modellben egy f(s T ) kifizeés -beli éréke a kövekezőképp adhaó meg Black-Scholes árral: E F (S T ) = E F BS (S M,T (ρ), σ,t ρ ), (.) ahol M,T (ρ) = exp ( σ,t = ( ρ ) / σudu σ u du + ρ σ u dw () u ) Ahhoz, hogy ez belássuk, ekinsük az.-ben felír részvényárfolyamnak megfelelő X = logs folyamao. Az Ió-formula alapján ehá dx = ρ σ dw () + ρσ dw () σ d X T X = = ρ σ d + ρσ dw () Ekkor H T F -re feléelezve X T X N ρ σ d + ρ σ dw (), dx s = log(m,t (ρ)) σ,t ρ + ρ σ s dw s () ( log(m,t (ρ)) σ,t ρ ), σ,t ρ Mivel S T = S e X T X és a lognormális eloszlás várhaó éréke alapján E(e X T X H T F ) = M,T (ρ), a oronyszabály alkalmazva megkapjuk.-e E f(s T ) = E [ E ( f(s e X T X H T F )] = E f BS (S M,T (ρ), σ,t ρ ), A Black-Scholes árak segíségével definiálhajuk, hogy mi érünk korreláció-immúnis kifizeésnek. Tekinsük az F kifizeés BS-árának ρ szerini Taylor sorá a ρ = pon körül. E F (S T ) = E F BS (S M,T (ρ), σ,t ρ ) E F BS (S, σ,t ) + ρs E [ F BS s (S, σ,t ) σ u dw () u ] + O(ρ )
Mivel σ,t nem mérheő F -re nézve, F BS / s nem emelheő ki a várhaóérékből. Azonban ha F BS / s) nem függ a második argumenumáól, akkor a várhaó érékből kihozva a lineáris ag elűnik, mivel az az F kifizeés éréke σ u dw u szochaszikus inegrál várhaó éréke zérus. Ebben az eseben ehá E F (S T ) E F BS (S, σ,t ) + O(ρ ) Ha.7-ben a G kifizeés rendelkezik a feni ulajdonsággal, akkor a korreláció csak egy négyzees hibá eredményez az árazás során. Ezek alapján az mondjuk, hogy egy < T időponban az F kifizeés korreláció-immúnis, ha léezik egy F -mérheő c, amire minden σ eseén.3.. Exponenciális kifizeések F BS s (S, σ) = c (.) A korreláció-immuniás iszázásá köveően áérünk az exponenciális kifizeések árazására. Ahogy.6-ben láuk, a variancia swapo végelen sok exponenciális kifizeésből fogjuk összerakni, így ezen fejeze kulcsfonosságú a swap árazása és replikálása szemponjából. λ C eseén a E e λ X T feléeles várhaó éréken belül, a időponból nézve a variancián kereszül van vélelenség. Célunk a várhaó érék áalakíás úgy, hogy a vélelen a variancia helye az S T részvényárfolyam érékéből származzon, és így a kifizeés a Breeden-Lizenberger formula alapján részvényopciók felhasználásával árazhaó és replikálhaó legyen. Ehhez ekinsük az X T X eloszlásá az F FT σ feléel melle. X T X T X = dx s = S s ds s σ s ds = σ s dw s X T X mérheő FT σ -re nézve, így az eloszlás szemponjából konsanskén viselkedik, azonban az inegrálban a részvényárfolyamo meghajó Wiener-folyama az inegráor, mely feléelezésünk szerin függelen F σ T -ől, és így ezen agon kereszül marad X T X -ben vélelen. Az inegrál normális eloszlás köve, így ( X T X N X ) T X, X T X Legyen p C. A oronyszabály alkalmazva ( )] E e p(x T X ) = E [E e p(x T X ) F FT σ (.3) A belső feléeles várhaó érékben X T X.3 alapján normális eloszlás köve, így a várhaó érék egyenlő a megfelelő paraméerű normális eloszlás generáorfüggvényével, ami alapján E e p(x T X ) = E [e ( p/+p /)( X T X ) ] = E e λ( X T X ), ahol λ = p / p/ helyeesíéssel élünk, ami alapján p = / ± /4 + λ. A jobb oldalon e λ X kiemelheő a várhaó érékből, amivel ászorozva, valamin figyelembe véve, hogy X = log(s T /S ) az exponenciális árára a kövekezőképp alakul: E e λ X T = e λ X E (S T /S ) /± /4+λ (.4)
Az iméni eredmény csak ρ = melle ponos. A kövekezőkben a feni függvény úgy módosíjuk, hogy az exponenciális kifizeés helyes árazása melle korreláció-immúnis legyen. Ehhez fel fogjuk használni Carr és Lee [3]-ben közöl eredményé, mely szerin σ és S függelensége melle eszőleges f kifizeési függvényre E f ( ST S ) [ ( )] ST S = E f S S T (.5) Ez felhasználva ovábbi, a variancia exponenciális kifizeésé szinén helyesen replikáló függvényeke alkohaunk, melyek közö alálni fogunk olya, ami eljesíi a korreláció-immuniás feléelé. ) /± /4+λ ( ) E e λ X T = e λ X E ( ST ST + f S ( ) T S f S S S S T Az f függvény eszőleges megválaszása melle a feni kifizeés helyesen árazza az exponenciális. Válasszuk meg f-e f(s T /S ) = θ(s T /S ) / /4+λ -nak, ahol θ eszőleges F mérheő. Így E e λ X T = e λ X E [( θ)(s T /S ) /+ /4+λ + θ(s T /S ) / /4+λ ], ahol θ eszőleges. Úgy szerenénk megválaszani, hogy a kifizeés eljesíse a korreláció-immuniás feléelé. Ehhez legyen Az exponenciális éréke így θ ± (λ) = p ± (λ) = / ± + 8λ (.6) + 8λ E e λ X T = e λ X [θ + (S T /S ) p+ + θ (S T /S ) p ] (.7) Leellenőrizheő, hogy ez a kifizeés valóban korreláció-immúnis, de az exponenciálisoka önmagukban nem fogjuk használni, így a korreláció-immuniás csak a volailiás-swap eseében fogjuk beláni..3.3. A replikáló porfólió Az exponenciálisok replikálásának ismereében részvényopciókból és beéből elő udjuk állíani a volailiás swapo. Ehhez a X T kifizeés fel fogjuk írni exponenciálisok inegráljakén..6 alapján, = X T helyeesíéssel élve E X T = π E = π = π = π E e z X T z /3 dz (.8) (θ + + θ ) E e z X T dz (.9) z /3 (θ + + θ ) e z X E (S T /S ) p± dz (.3) z /3 θ + e z X (S T /S ) p+ z /3 + θ e z X (S T /S ) p z /3 dz (.3).4-ben kihasználuk, hogy θ + + θ =, valamin alkalmazuk a Fubini-éel. (.4) szerin az exponenciális replikálása p + és P válaszás melle is helyes. θ ± -szal beszorozva ennek megfelelően
válaszjuk meg p-, végül (.3)-ben a várhaó érék és az inegrál felcserélésekor ismé használuk a Fubini-éel. Ezek alapján a volaliás swap szineikus volailiás swappal (SVS) örénő árazása a kövekezőképp örénik: G SVS (S T, S, X ) = π E X T = E G SVS (S T, S, X ) (.3) θ + e z X (S T /S ) p+ z /3 + θ e z X (S T /S ) p z /3 dz, (.33) ahol p és θ érékei (.5)-nek megfelelőek. A ké kifizeés közö nagyon fonos különbség, hogy X T -ben a vélelen a variancián kereszül van jelen, míg a G SVS (S T, S, X ) kifizeésben a részvényárfolyam a bizonyalanság forrása. X és S a időponban ismer, így azokra, min a G SVS kifizeés paraméereire ekinünk. SVS azon úl, hogy replikálja a volailiás swapo, korreláció-immúnis is. Ehhez (.) definíció szerin ekinsük a G SVS -nek megfelelő BS-kifizeés. G BS SVS S T = ( G SVS (ys T )φ(y)dy) (.34) ST =S S T ST =S = G SVS (ys T ) S T φ(y)dy (.35) ST =S = π = π e z X (θ + p + y p+ + θ p y p ) S z 3/ φ(y) dy dz (.36) e z X (θ + p + yp+ φ(y) dy + θ p yp φ(y) dy) S z 3/ dz (.37) A Wolfram Mahemaica számíásai alapján az y p+ φ(y) és y p φ(y) inegráljaik megegyeznek, így kihasználva, hogy θ + p + + θ p = a z szerini inegrandus elűnik, így eljesül a korrelációimmuniás feléele. G SVS -en a Breeden-Lizenberger formulá használva megkapjuk a volailiás swap részvényopciókkal, forwarddal és beéel örénő replikálásá. A variancia swap eseében az opciós porfólió saikus vol, jelen eseben azonban (.33)-ban G SVS második és harmadik válozóján kereszül az idő múlásával folyamaosan válozik, így az opciós csomag folyamaos kiigazíás fog igényelni. Az r = feléel melle a forward ár megegyezik a spo árral, így a vágási pon minden -re S lesz. Ebből kövekezik, hogy a replikációban a forward ügyle éréke mindig zérus. Beéből G SVS (S, S, X )- kell aranunk, ami G SVS (S, S, X ) = π θ + e z X z /3 + θ e z X z /3 dz, = X, mivel θ + + θ =. Az opciós súlyoka a kifizeési függvény második deriválja haározza meg. G SVS - készer deriválva kapjuk, hogy G SVS (S T, S, X ) = e z X π K z [θ +(K/S / ) p+ + θ (K/S ) p ] dz (.38) S T ST =K A vágási ponnak megfelelően a időponban K < S eseén pu, K > S eseén pedig call opció arunk. A replikáció ehá a időponban a kövekező ermékekből áll: dk e z X π K z [θ +(K/S / ) p+ + θ (K/S ) p ] dz X pu, ha K < S, call, ha K > S beé 3
A időponbeli opciós csomagnak nulla a kifizeése, ha lejárakor a részvényárfolyam megegyezik a vágási ponal, vagyis S -vel. A lejárahoz közeledve S T -nek egyre kevesebb ideje lesz elmozdulni S -ől, így az opciós csomag kifizeése T -hez arva elűnik, és az együes kifizeésé csak a X T érékű beé fogja adni, vagyis a porfólió replikálja a volailiás swapo. Carr és Lee [3] cikkükben a porfólió önfinanszírozóságá is beláják..4. Szimulációk a replikációra A replikáció a kövekezőképp inerpreáljuk: legyen [,,,..., n = T ] a [, T ] időinervallum feloszása. Ezeken az időponokon fogjuk a porfólió kiigazíani. Ismer, hogy az i. periódusban a K köési árfolyamú opcióból ω i,k darabo kell aranunk. Jelölje C i,k az i. periódusból nézve a T -ben lejáró opció árá. Ekkor az opciós csomag éréke Π i = K ω i,k C i,k A kövekező időperiódusra lépve az opciók árának válozásából Π éréke a kövekezőképp módosul Π i = K ω i,k (C i+,k C i,k ) Ebből a pénzből fedezzük az ásúlyozás, aminek a kölsége K (ω i+,k ω i,k )C i+,k, a maradék pénz pedig beébe helyezzük. Az opciós csomag éréke T -hez közeledve nullához ar, a kereskedés eredménye a beében kumulálódik fel, melynek T -beli éréke előállíja X T -. A kereskedési sraégiá megpróbálam Malabban implemenálni. Az eredmény a. ábra muaja.5.4.3.. opciós csomag éréke beé volailiás...4.6 Idõ.8... ábra. Variancia swap replikálása A megvalósíás egyenlőre nem ökélees. Az opciós csomag éréke a várakozásnak megfelelően folyamaosan csökken, lejárakor pedig elűnik, a beé azonban nem kövei X -. 4
3. fejeze Variancia opció Ebben a fejezeben a variancia opciókkal fogunk foglalkozni. K köési árfolyam melle a varianciára szóló call opció kifizeési függvénye: f( X T ) = ( X T K) + A variancia opcióka csak HM-ben fogjuk vizsgálni. Bemuajuk a ermék árazásához használhaó parciális differenciálegyenle levezeésé Mark Broadie és Ashish Jain [5] cikké köveve. 3.. Árazás differenciálegyenleel A PDE levezeése a BS-egyenle levezeéséhez hasonlóan fog örénni. Felállíunk egy dinamikus porfólió, melyben az opció melle megfelelő számú variancia swapo is arva elimináljuk belőle a kockázao, és így a porfólió hozamának kihasználva a piac arbirázsmenességé a kockazasemleges eszköz hozamával kell megegyezzen. Legyen a variancia call érékfolyamaa C = e rτ E (X K) + A porfólió álljon egy variancia opcióból és γ darab K var köési árfolyamú variancia swapból. Ekkor a porfólió -beli éréke Π = γ E (X T K var ) + C A volailiás swap eseéhez hasonlóan, ha a lejáraig kumulálódó varianciá a ponban ké részre bonjuk, akkor az opció -beli ára felírhaó, az addig felkumulálódo variancia, I és a pillananyi variancia, v függvényekén. Legyen ehá C = G(, v, I ) Az Ió-formulá alkalmazva G dinamikája dg = G G d + v dv + G I di + G v d v (3.) [ G = + G v α(β v ) + G I v + ] G v ηv d + G v ηv dw (3.) 5
Tekinsük a porfólió érekének megválozásá egy rövid idő ala. A variancia swap forward árának dinamikája.4 alapján ismer, így (3.)- is felhasználva, a folyamaok diszkreizálásá köveően kapjuk, hogy Π = α df + dg (3.3) ( ) [ F G = γ v η v W + + G v α(β v ) + G I v + ] G v ηv + G v ηv W (3.4) Ahhoz, hogy a vélelen elimináljuk a porfólióból, legyen γ = G v / F v. Az így megválaszo γ- visszahelyeesíve láhaó, hogy a porfólió kockázaá generáló Wiener-folyamaok kiesnek, és így Π megválozása Π = [ G + G v α(β v ) + G I v + ] G v ηv Az arbirázsmenesség feléele mia a kockáza eliminálásá köveően a befekeés hozama meg kell egyezzen a kockázasemleges ermék hozamával, így [ G + G v α(β v ) + G I v + ] G v ηv = rg -vel való egyszerűsíés uán kapjuk, hogy G + G v α(β v ) + G I v + G v ηv rg = (3.5) A variancia call kifizeési függvénye adja a lejárakori peremfeléel, vagyis G(T, v T, I T ) = (I T K) + A másik ké válozóhoz arozó peremfeléeleke.5-vel megegyezően válaszjuk, ehá F F I = I=Imin,I max v = v=vmin,v max 3.. Replikáció variancia opciókkal Az eddigiek során a Breeden-Lizenberger formulá arra használuk, hogy részvényopciókkal replikáljunk részvény alapermékű európai ípusú kifizeéseke. A dekompozíció azonban nem feléelez semmi az alapermékről, csupán a kifizeési függvény írja fel kereskede ermékek kövény, forward és opció kifizeési függvényeinek megfelelő kombinációjakén. Ez leheősége ad arra, hogy eszőleges variancia derivaíva kifizeési függvényére alkalmazva a Breeden-Lizenberger formulá, az beéel, variancia swappal és variancia opciókkal replikáljuk. X T alapermékkel felírva, szeparáornak κ- válaszva.5 szerin az f kifizeés dekompozíciója f( X T ) = f(κ) + f (κ)( X T κ) + κ f (K)(K X T ) + dk + κ f (K)( X T K) + dk (3.6) A részvény alapermékű származao ermék dekompozíciójához hasonlóan az első ag i is egy egyszerű beé. A második agban egy variancia swap kifizeésé ismerhejük fel, az inegrálok pedig egy variancia opciókból álló csomag kifizeésének felelnek meg. 3.6 ugyan ényleges replikálásra nem 6
használhaó, mivel a variancia opciók sokkal kevésbé kereskede ermékek, és az elérheő köési árfolyamok is sokkal rikábbak, min például az SnP5 indexopciók eseében, árazásra azonban mégis használhaó 3.6, feléve, hogy a variancia opciók ára haékonyan számolhaó. A volailiás swap 3.6 szerini dekompozíciója κ = K var válaszás melle a kövekezőképp néz ki X T = K var + X T K var K [ var Kvar 4 K (K X 3/ T ) + dk + ] K var K ( X 3/ T K) + dk Várhaó éréke véve a második ag elűnik, mivel a K var köési árfolyam melle a varianca swap szerződésköéskori éréke zérus. A volailiás swap fair köési árfolyama a variancia pu és call árai P var (K) és C var (K)-val jelölve K vol = [ K var Kvar 4 K P var(k) dk + 3/ ] K var K C var(k) dk 3/ Az iméni eredmény érdemes összehasonlíani (.4)-gyel. K vol - mindké eseben K var kiigazíásával haározzuk meg, fonos azonban megjegyezni, hogy 3.7-ben az opciós csomag érékének levonásával ponos eredmény kapunk, míg (.4) egyrész a másodrendűnél magasabb agok elhagyásából kifolyólag ovábbra is csak közelíő érékkel szolgál, másrész (.4) meghaározásakor kihasználuk, hogy a variancia CIR-folyamao köve. (3.7) A kövekezőkben Mone-Carlo szimulációval beárazzuk a variancia opció különböző köési árfolyamok melle. Az így kapo opcióárakkal 3.7 alapján megadjuk a variancia swap fair köési árfolyamá. A szimuláció HM-ben végezem, a 3.-ben láhaó paraméerek melle. A kapo opcióárak call eseén a 3. ábrán láhaók, a 3.7 alapján örénő árazás eredményei pedig a 3. ábláza muaja..5. Call ára.5...3.4.5.6.7.8.9. Köési árfolyam 3.. ábra. Variancia call ára különböző köési árfolyamok melle 7
K vol K vol variancia opciókkal.47 %.4 % 3.. ábláza. Volailiás swap köési árfolyama variancia opciókkal A ké árazási módszer megegyező eredményre vezee. Szimulációból számío opcióárakkal persze nincs érelme a variancia derivaíváka árazni, a szimulációs populációból egyenesen a derivaíva ára is számolhaó lenne. A 3. ábláza eredményei inkább csak az árazási módszerek konziszenciájá igazolják. 8
Paraméerilleszés Ebben a fejezeben bemuajuk a szimulációkhoz használ Heson modell kalibrációjá. A modellilleszés a [8]-ban írak alapján örénik, a Malab implemenációhoz használ kódok is onnan valók. Isméelen felírjuk a modell kockázasemleges mérék szerini dinamikájá: ds = rs d + v S dw () dv = α(β v )d + ησ dw () Cov(dW (), dw () ) = ρd A modell felállíásához az Ω = {v, α, β, η, ρ} paraméereke kell meghaároznunk. A modellben az opciók árai függnek ezen paraméerek érékeiől. Úgy fogjuk megválaszani a szabad paraméereke, hogy az így adódo opcióárak minél kisebb hibával írják le a piacon megfigyel, valós áraka. Az opciók árazása a kockázasemleges mérék szerin örénik, így a megfigyel árakból a kockázasemleges mérék alai paraméerekre udunk kövekezeni. Jelölje a K i köési árfolyamú és T i lejáraú call opció Ω paraméerek mellei árá C Ω i (K i, T i ), a piacon megfigyel ára pedig Ci P iaci (K i, T i ). Az Ω paraméerek illeszkedésének ponosságá a becsül és valós árak hibájának négyzeösszegével mérjük, célunk ehá a kövekező függvény érékének minimalizálása: G(Ω) = N i= [ C Ω N i (K i, T i ) Ci P iaci (K i, T i ) ] Az opimalizáció gyors lefuásához elengedheelen az opcióárak haékony számíása. A karakeriszikus függvények módszerével amennyiben ismer logs T karakeriszikus függvénye a vanilla opciók árai gyorsan számíhaók. Legyen logs T karakeriszikus függvénye Ψ(w). Ekkor a K köési árfolyamú call opció ára C = S Π e rt KΠ, ahol Π = + π Π = + π [ e iw logk ] Ψ(w i) Re dw iwψ( i) [ e iw logk ] Ψ(w) Re dw iw 9
A Heson modellben logs T karakeriszikus függvénye Ψ(w) = exp{βc(t, w) + σ D(T, w) + iwlog(s e rt )} C(, w) = α [r η ( )] ge h log g D(, w) = r e h ge h r, = b ± h η h = b 4aγ g = r r a = w iw b = α ρηiw γ = η A modellilleszéshez használ SnP5 call opciók adaai a Bloomberg program segíségével nyerem. Az SnP5 opciók ideálisak a kalibrációhoz, mer egyrész likvidek, így a ben lévő opcióárak jól reprezenálják a piaci várakozásoka, másrész ezen opciók sűrű köési árfolyamok melle érheők el. A modellilleszéshez szükséges még udni a spo árfolyamo valamin a kockázamenes hozamo, mely feléelezésünk szerin minden lejárara azonos. Az SnP5 spo árfolyama S = 57, 4, diszkon kamalábnak pedig az éves USD LIBOR- ekineem, melynek éréke r =, %. A paraméerilleszés eredményei a 3. ábláza muaja, a kalibráció során használ opciók adaai és az illesze modell szerini árak hibái a 3.3 és 3.4 áblázaok foglalják össze. A lejáraok évben érendők. v α β η ρ.7% 4.79 3.% 53.64% -.99 3.. ábláza. A kalibráció eredményei Az illeszési hibáka aralmazó 3.4 áblázaban az álagos négyzees eléréseke lejáraonkén és köési árfolyamonkén is felüneük. Ebből láhaó, hogy az illeszkedés a közepes lejáraok eseén ponos, a közelebbi és ávolabbi lejáraok melle a hibák növekedés muanak. A köési árfolyamok menén hasonló jelenség nem figyelheő meg. Az elérések az opciók áraihoz viszonyíva csupán néhány százalékosak, elekinve a mélyen ou of he money opciókól, melyek eseében azok alacsony ára mia a relaív hiba megnövekszik. Az illesze Heson modellből a Mone-Carlo szimulációhoz miná aralmazó populáció generálam. A kalibrálás során [8]-ban írak szerin az illesze paraméerekől megköveelük, hogy eljesísék a variancia folyama nem-negaiviásá bizosíó αβ > η Feller-feléel. A szcenáriók generálása során ennek ellenére a diszkerizációból adódóan megjelenek negaív varianciák. Ezen szcenárióka kiszűrük a populációból, és újaka generálunk helyeük. 3
Srike\Lejára...35.6. 8 6. 66.95 7.6 86.4 39.6 9 64.4 77. 87. 6. 36.5 95 9.5 35. 47.5 68.95.9 77.5 96.4.8 34. 69.55 5 58.55 78.7 93.85 7.9 54.3 5 4.5 6. 77.7.5 39.45 75 6.95 47. 6.75 87.75 5.35 5.45 33.75 49.5 74..8 5 3.5 3.85 6.95 5. 86.95.63 4..5 3.9 65. 3.3.38.8 8.8 3.55 3.3. ábláza. A kalibrációhoz használ opciók Srike\Lejára...35.6. err 8 3.3 4.75.3.3 3.3.55 9 3.3 3.43.6.6.. 95.3 3.78..9.8.4..34.9.7.6.6 5.58.35.4.87.3.64 5 4.49.3.4.46.4.3 75 9.54.4..4..4 7.5.34...7.8 5.9.4.9..7.57.5.44.3. 3.7. 3.53.6.54.35 3..3 err.64..6.8.4. 3.4. ábláza. A ényleges és a modellbeli árak abszolú elérése 3
Összefoglalás A dolgozaban öbb varianciára szóló derivaív ermék árazásá és replikálásá is áekineem. Az első fejezeben a log-kifizeések előállíására bemuaam egy szimulál adahalmazon örénő kalibrációs módszer. A folyonos modellől való apróbb elérés okának felderíése ovábbi vizsgálaoka igényel. A második fejezeben a közelíő módszerek bemuaása során Heson modellben meghaározam a másodrendű hibaago. Részleesen bemuauk Peer Carr és Roger Lee módszeré a variancia swap replikálására. Eredményük számíógépes reprodukálása nem vol eljesen sikeres, a hiba kijavíásán még dolgoznom kell. A dolgoza során láhauk, hogy a Breeden-Lizenberger formula jól használhaó eszköz bizosí a derivaív ermékek replikálásához. 3
Irodalomjegyzék [] Demeeri K., Derman E., Kamal M., Zou J., More Than You Ever Waned o Know Abou Volailiy Swaps. Goldman Sachs quaniiaive research noes (999) [] Peer Carr, Roger Lee, Realized Volailiy and Variance: Opions via Swaps. Asia Risk June (7),.64-7 [3] Peer Carr, Roger Lee, Robus Replicaion of Volailiy Derivaives. Mahemaics in Finance Working Paper Series (8). [4] Anhony Neuberger, The log conrac. Journal of Porfolio Managemen; Winer 994;, ; ABI/INFORM Global pg. 74 [5] Mark Broadie, Ashis Jain, Pricin and Hedging Volailiy Derivaives. (8) hps://www.gsb.columbia.edu/mygsb/faculy/research/ pubfiles/3967/pricing hedging.pdf [6] The CBOE Volailiy Index - VIX, hps://www.cboe.com/micro/vix/vixwhie.pdf [7] Fabrice Douglas Rouah, Variance swaps. Mahemaical Finance Working paper, hp://www.frouah.com/finance%noes/variance%swap.pdf [8] Ricardo Crisósomo, An Analysis of he Heson Sochasic Volailiy Model: Implemenaion and Calibraion using Malab. hps://arxiv.org/fp/arxiv/papers/5/5.963.pdf [9] Klaus Schürger, Laplace ransforms and suprema of sochasic processes. Universiy of Bonn () [] Emanuel Derman Saic Hedgeing and Implied Disribuion. Lecure noe, hp://www.emanuelderman.com/media/smile-lecure5.pdf [] Peer Carr, Dilip Madan Towards a Theory of Volailiy Trading. () hp://www.mah.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/wrdsfig.pdf [] Sebasien Bossu, Eva Srasser, Regis Guichard, Jus Wha You Need o Know Abou Variance Swaps. JPMorgan, working paper (5) [3] Peer Carr, Roger Lee, Pu-Call Symmery: Exensions and Applicaions. 33