Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium
A tétel története
Wigner tétele Tétel Legyen H komplex Hilbert tér és jelölje S az egységvektorok halmazát. Legyen φ: S S olyan (nem feltétlen bijektív!) transzformáció, melyre a következ teljesül: u, v = φ( u), φ( v) ( u = v = 1). (WF)
Wigner tétele Tétel Legyen H komplex Hilbert tér és jelölje S az egységvektorok halmazát. Legyen φ: S S olyan (nem feltétlen bijektív!) transzformáció, melyre a következ teljesül: u, v = φ( u), φ( v) ( u = v = 1). (WF) Ekkor létezik egy olyan lineáris vagy antilineáris izometria W : H H és egy függvény τ : S T, hogy φ( u) = τ( u) W u ( u H).
Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931).
Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931). Az els matematikailag teljes bizonyítások: J. A. Lomont és P. Mendleson (1963). Bijektívre
Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931). Az els matematikailag teljes bizonyítások: J. A. Lomont és P. Mendleson (1963). Bijektívre V. Bargmann (1964). Bijektívre Figure: Valentine Bargmann
U. Uhlhorn (1963)-ban Általánosítás (projektív geometria alaptétele), bijektívre! Figure: Ulf Uhlhorn
U. Uhlhorn (1963)-ban Általánosítás (projektív geometria alaptétele), bijektívre! Figure: Ulf Uhlhorn Ám ezek hosszú és nem könnyen átlátható bizonyítások.
Az els matematikailag kristálytiszta bizonyítás Molnár Lajos (1996) algebrai megközelítés. De nem elemi! Figure: Molnár Lajos
Gy ry M. (2004) Zorn lemmás megközelítés. Figure: Gy ry Máté
R. Simon et al. (2008) Csak a szeparábilis eset.
R. Simon et al. (2008) Csak a szeparábilis eset. A. Mouchet (2013) Felteszi, hogy φ kétszer deriválható, és hogy a tér szeparábilis.
Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u.
Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza.
Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = }{{} gap metrika
Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = gap metrika
Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = 1 Tr(P[ u]p[ v]. gap metrika
Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = 1 Tr(P[ u]p[ v]. gap metrika Tétel Tekintsünk egy φ: P 1 P 1 izometriát. Ekkor létezik egy W : H H lineáris vagy antilineáris izometria, mellyel a következ teljesül: φ(p[ u]) = WP[ u]w = P[W u] ( u = 1).
Metrikus rezolvens halmazok (ami inspirálta a bizonyítást)
Legyen dim H = N N {ℵ 0 }, N > 1. Fixálunk egy ONB-t: { e j } N j=1. Legyen v j := v, e j a v vektor j-edik koordinátája.
Legyen dim H = N N {ℵ 0 }, N > 1. Fixálunk egy ONB-t: { e j } N j=1. Legyen v j := v, e j a v vektor j-edik koordinátája. Deníció Legyen (X, d) egy metrikus tér és D, R X. Azt monduk, hogy az R rezolválja D-t, ha bármely két x 1, x 2 D pont esetén, ha d(x 1, y) = d(x 2, y) teljesül minden y R pontra, akkor szükségképpen x 1 = x 2.
A halmaz s r P 1 -ben. D := {P[ v]: v j 0, j} P 1
A halmaz s r P 1 -ben. Lemma D := {P[ v]: v j 0, j} P 1 Legyen H egy szeparábilis Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós). Ekkor a R = {P[ e j ]} N j=1 { P[ 1 2 ( e j e j+1 )], P[ 1 2 ( e j + i e j+1 )] } 1 j<n halmaz rezolválja D-t.
A halmaz s r P 1 -ben. Lemma D := {P[ v]: v j 0, j} P 1 Legyen H egy szeparábilis Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós). Ekkor a R = {P[ e j ]} N j=1 { P[ 1 2 ( e j e j+1 )], P[ 1 2 ( e j + i e j+1 )] } 1 j<n halmaz rezolválja D-t. Bizonyítás....
A Wigner tétel bizonyítása a szeparábilis esetben
Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1.
Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H.
Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H. Ezért ha deniáljuk az alábbi lineáris izometriát: és a V : H H, V e j = f j (j N N ), φ 1 ( ) = V φ( )V leképezést könnyen látható, hogy a φ 1 ( ) is teljesíti (WF)-t.
Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H. Ezért ha deniáljuk az alábbi lineáris izometriát: és a V : H H, V e j = f j (j N N ), φ 1 ( ) = V φ( )V leképezést könnyen látható, hogy a φ 1 ( ) is teljesíti (WF)-t. S t φ 1 (P[ e j ]) = V P[ f j ]V = P[V fj ] = P[ e j ] (j N N ).
Újra (WF)-miatt ( φ 1 P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] ( φ 1 P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N).
Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével.
Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével. 1 Ha ε 2 = iδ 2, akkor U legyen az az unitér operátor, melyre k U e 1 = e 1, U e k = e k (k > 1). j=2 δ j
Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével. 1 Ha ε 2 = iδ 2, akkor U legyen az az unitér operátor, melyre k U e 1 = e 1, U e k = e k (k > 1). 2 Ha ε 2 = iδ 2, akkor legyen U a fenti egyenl ségekkel deniált antiunitér operátor. j=2 δ j
A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]
A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )] xen maradnak φ 2 -vel. Az alábbiak is igazak: φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j ± i e j+1 )] (1 < j < N).
A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )] xen maradnak φ 2 -vel. Az alábbiak is igazak: φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j ± i e j+1 )] (1 < j < N). Tfh. létezik olyan N > j > 1, melyre φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j i e j+1 )]. Fth. ez a j az els ilyen index.
Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén.
Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása....
Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j 1 + 1 2 e j + 1 2 e j+1, y = i 2 e j 1 + 1 2 e j + i 2 e j+1.
Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j 1 + 1 2 e j + 1 2 e j+1, y = i 2 e j 1 + 1 2 e j + i 2 e j+1. A fenti Állítás és (WF) implikálja, hogy 2/4 = i/4 + 1/4 i/2 = i/4 + 1/4 + i/2 = 10/4, ami nyilván nem igaz.
Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j 1 + 1 2 e j + 1 2 e j+1, y = i 2 e j 1 + 1 2 e j + i 2 e j+1. A fenti Állítás és (WF) implikálja, hogy 2/4 = i/4 + 1/4 i/2 = i/4 + 1/4 + i/2 = 10/4, ami nyilván nem igaz. Tehát φ 2 -nek identikusan kell hatni az R-en, s így a P 1 -n is. Következésképpen φ a várt alakú.
Bizonyítás a nem szeparábilis esetben
Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j.
Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N)
Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N) Legyen K ϑ = { e ϑ,1, e ϑ,2, e ϑ,3, e ϑ,4,... }. A φ 1 P 1 (K ϑ ) megszorítás kielégíti (WF)-t a K ϑ altéren. A szeparábilis esetben látott módon választható egy U ϑ diagonális unitér vagy antiunitér operator, mely segítségével φ 1 áttranszformálható φ 2 -vé úgy, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) az identikus leképezés legyen.
Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy Legyen φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N) K ϑ = { e ϑ,1, e ϑ,2, e ϑ,3, e ϑ,4,... }. A φ 1 P 1 (K ϑ ) megszorítás kielégíti (WF)-t a K ϑ altéren. A szeparábilis esetben látott módon választható egy U ϑ diagonális unitér vagy antiunitér operator, mely segítségével φ 1 áttranszformálható φ 2 -vé úgy, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) az identikus leképezés legyen. Vegyük észre, hogy minden U ϑ unitér vagy minden U ϑ antiunitér.
Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ).
Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id.
Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben.
Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben. Legyen P[ w] := φ 2 (P[ v]), v ϑ := v, e ϑ,j e ϑ,j, w ϑ := w, e ϑ,j e ϑ,j. j=1 j=1
Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben. Legyen P[ w] := φ 2 (P[ v]), v ϑ := v, e ϑ,j e ϑ,j, w ϑ := w, e ϑ,j e ϑ,j. Az (WF)-b l a és j=1 v ϑ,j = w ϑ,j (ϑ Θ, j N) v, v ϑ = w, v ϑ (ϑ Θ) adódnak j=1
Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), j=1
Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. Látható, hogy létezik egy t ϑ [0, 2π[ szám úgy, hogy j=1 w ϑ = exp(it ϑ ) v ϑ (ϑ Θ).
Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. Látható, hogy létezik egy t ϑ [0, 2π[ szám úgy, hogy j=1 w ϑ = exp(it ϑ ) v ϑ (ϑ Θ). Tekintve a fenti egyenl ségben az els koordinátákat kapjuk, hogy v = exp(it) w teljesül valamely t [0, 2π[ számmal.