Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról

Hasonló dokumentumok
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

DiMat II Végtelen halmazok

[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Lagrange és Hamilton mechanika

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ 2005.

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Alkalmazott algebra - SVD

Önadjungált és lényegében önadjungált operátorok

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Konvex optimalizálás feladatok

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Határozatlansági relációk származtatása az

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Operátorkiterjesztések Hilbert-téren

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

17. előadás: Vektorok a térben

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Formális nyelvek - 9.

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Bázistranszformáció

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Diszkrét matematika 1.

Differenciálgeometria

FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ

Az impulzusnyomatékok általános elmélete

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

Iván Szabolcs október 6.

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét Matematika II.

Kvantumszimmetriák. Böhm Gabriella. Szeged. Wigner Fizikai Kutatóközpont, Budapest november 16.

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

Alkalmazott algebra - skalárszorzat

Mer legesség. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Mer legesség / 40

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

1 A kvantummechanika posztulátumai

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Direkt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

differenciálegyenletek

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Lineáris különböz ségek

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

1. feladat Az egyensúly algoritmus viselkedése: Tekintsük a kétdimenziós Euklideszi teret, mint metrikus teret. A pontok

Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

Parciális dierenciálegyenletek

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Modern differenciálgeometria Sokaságok és a Riemann-geometria elemei Szilasi József

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

Geometria II gyakorlatok

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Diszkrét matematika 2.

Itô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék

Átírás:

Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium

A tétel története

Wigner tétele Tétel Legyen H komplex Hilbert tér és jelölje S az egységvektorok halmazát. Legyen φ: S S olyan (nem feltétlen bijektív!) transzformáció, melyre a következ teljesül: u, v = φ( u), φ( v) ( u = v = 1). (WF)

Wigner tétele Tétel Legyen H komplex Hilbert tér és jelölje S az egységvektorok halmazát. Legyen φ: S S olyan (nem feltétlen bijektív!) transzformáció, melyre a következ teljesül: u, v = φ( u), φ( v) ( u = v = 1). (WF) Ekkor létezik egy olyan lineáris vagy antilineáris izometria W : H H és egy függvény τ : S T, hogy φ( u) = τ( u) W u ( u H).

Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931).

Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931). Az els matematikailag teljes bizonyítások: J. A. Lomont és P. Mendleson (1963). Bijektívre

Wigner bizonyítása nem volt matematikailag korrekt (1931). Az els matematikailag teljes bizonyítások: J. A. Lomont és P. Mendleson (1963). Bijektívre V. Bargmann (1964). Bijektívre Figure: Valentine Bargmann

U. Uhlhorn (1963)-ban Általánosítás (projektív geometria alaptétele), bijektívre! Figure: Ulf Uhlhorn

U. Uhlhorn (1963)-ban Általánosítás (projektív geometria alaptétele), bijektívre! Figure: Ulf Uhlhorn Ám ezek hosszú és nem könnyen átlátható bizonyítások.

Az els matematikailag kristálytiszta bizonyítás Molnár Lajos (1996) algebrai megközelítés. De nem elemi! Figure: Molnár Lajos

Gy ry M. (2004) Zorn lemmás megközelítés. Figure: Gy ry Máté

R. Simon et al. (2008) Csak a szeparábilis eset.

R. Simon et al. (2008) Csak a szeparábilis eset. A. Mouchet (2013) Felteszi, hogy φ kétszer deriválható, és hogy a tér szeparábilis.

Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u.

Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza.

Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = }{{} gap metrika

Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = gap metrika

Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = 1 Tr(P[ u]p[ v]. gap metrika

Wigner tétel átfogalmazása Ha u = 1, akkor jelölje P[ u] azt az egy-rangú (önadjungált) projekciót, melynek képtere pontosan C u. Legyen P 1 (H) az egy-rangú projekciók halmaza. Ekkor d g (P[ u], P[ v]) = P[ u] P[ v] = 1 u, v }{{} 2 = 1 Tr(P[ u]p[ v]. gap metrika Tétel Tekintsünk egy φ: P 1 P 1 izometriát. Ekkor létezik egy W : H H lineáris vagy antilineáris izometria, mellyel a következ teljesül: φ(p[ u]) = WP[ u]w = P[W u] ( u = 1).

Metrikus rezolvens halmazok (ami inspirálta a bizonyítást)

Legyen dim H = N N {ℵ 0 }, N > 1. Fixálunk egy ONB-t: { e j } N j=1. Legyen v j := v, e j a v vektor j-edik koordinátája.

Legyen dim H = N N {ℵ 0 }, N > 1. Fixálunk egy ONB-t: { e j } N j=1. Legyen v j := v, e j a v vektor j-edik koordinátája. Deníció Legyen (X, d) egy metrikus tér és D, R X. Azt monduk, hogy az R rezolválja D-t, ha bármely két x 1, x 2 D pont esetén, ha d(x 1, y) = d(x 2, y) teljesül minden y R pontra, akkor szükségképpen x 1 = x 2.

A halmaz s r P 1 -ben. D := {P[ v]: v j 0, j} P 1

A halmaz s r P 1 -ben. Lemma D := {P[ v]: v j 0, j} P 1 Legyen H egy szeparábilis Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós). Ekkor a R = {P[ e j ]} N j=1 { P[ 1 2 ( e j e j+1 )], P[ 1 2 ( e j + i e j+1 )] } 1 j<n halmaz rezolválja D-t.

A halmaz s r P 1 -ben. Lemma D := {P[ v]: v j 0, j} P 1 Legyen H egy szeparábilis Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós). Ekkor a R = {P[ e j ]} N j=1 { P[ 1 2 ( e j e j+1 )], P[ 1 2 ( e j + i e j+1 )] } 1 j<n halmaz rezolválja D-t. Bizonyítás....

A Wigner tétel bizonyítása a szeparábilis esetben

Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1.

Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H.

Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H. Ezért ha deniáljuk az alábbi lineáris izometriát: és a V : H H, V e j = f j (j N N ), φ 1 ( ) = V φ( )V leképezést könnyen látható, hogy a φ 1 ( ) is teljesíti (WF)-t.

Bizonyítás. Legyen P[ f j ] = φ(p[ e j ]), ekkor { f j } N j=1 ONR. H := { f j } N j=1. Ha v S és φ(p[ v]) = P[ w], akkor (WF)-b l v j = w, f j ( j) adódik és a Parseval azonosság adja, hogy w H. Ezért ha deniáljuk az alábbi lineáris izometriát: és a V : H H, V e j = f j (j N N ), φ 1 ( ) = V φ( )V leképezést könnyen látható, hogy a φ 1 ( ) is teljesíti (WF)-t. S t φ 1 (P[ e j ]) = V P[ f j ]V = P[V fj ] = P[ e j ] (j N N ).

Újra (WF)-miatt ( φ 1 P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] ( φ 1 P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N).

Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével.

Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével. 1 Ha ε 2 = iδ 2, akkor U legyen az az unitér operátor, melyre k U e 1 = e 1, U e k = e k (k > 1). j=2 δ j

Újra (WF)-miatt φ 1 ( P[1/ 2 ( ej e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j δ j+1 e j+1 )] φ 1 ( P[1/ 2 ( ej + i e j+1 )] ) = P[1/ 2 ( e j ε j+1 e j+1 )] ahol δ j+1 = ε j+1 = 1 (1 j < N). Ezért 2 = 1 + δj+1 ε j+1, melyb l δ j+1 = ±iε j+1 (j < N) adódik a koszínusz tétel segítségével. 1 Ha ε 2 = iδ 2, akkor U legyen az az unitér operátor, melyre k U e 1 = e 1, U e k = e k (k > 1). 2 Ha ε 2 = iδ 2, akkor legyen U a fenti egyenl ségekkel deniált antiunitér operátor. j=2 δ j

A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]

A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )] xen maradnak φ 2 -vel. Az alábbiak is igazak: φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j ± i e j+1 )] (1 < j < N).

A φ 2 ( ) := U φ 1 ( )U leképezés is megfelel (WF)-nek. S t: φ 2 (P[ e j ]) = P[ e j ] ( j) = φ 2 (D) D, φ 2 (P[1/ 2 ( e j e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j e j+1 )] ( j), φ 2 (P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )]) = P[1/ 2 ( e 1 + i e 2 )] xen maradnak φ 2 -vel. Az alábbiak is igazak: φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j ± i e j+1 )] (1 < j < N). Tfh. létezik olyan N > j > 1, melyre φ 2 (P[1/ 2 ( e j + i e j+1 )]) = P[1/ 2 ( e j i e j+1 )]. Fth. ez a j az els ilyen index.

Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén.

Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása....

Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j 1 + 1 2 e j + 1 2 e j+1, y = i 2 e j 1 + 1 2 e j + i 2 e j+1.

Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j 1 + 1 2 e j + 1 2 e j+1, y = i 2 e j 1 + 1 2 e j + i 2 e j+1. A fenti Állítás és (WF) implikálja, hogy 2/4 = i/4 + 1/4 i/2 = i/4 + 1/4 + i/2 = 10/4, ami nyilván nem igaz.

Állítás. Ekkor φ 2 (P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ]) = P[v j 1 e j 1 + t e j + v j+1 e j+1 ] teljesül minden t > 0, v j 1 0, v j+1 0, v j 1 2 + t 2 + v j+1 2 = 1 esetén. Állítás bizonyítása.... Végül legyen x = 1 2 e j 1 + 1 2 e j + 1 2 e j+1, y = i 2 e j 1 + 1 2 e j + i 2 e j+1. A fenti Állítás és (WF) implikálja, hogy 2/4 = i/4 + 1/4 i/2 = i/4 + 1/4 + i/2 = 10/4, ami nyilván nem igaz. Tehát φ 2 -nek identikusan kell hatni az R-en, s így a P 1 -n is. Következésképpen φ a várt alakú.

Bizonyítás a nem szeparábilis esetben

Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j.

Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N)

Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N) Legyen K ϑ = { e ϑ,1, e ϑ,2, e ϑ,3, e ϑ,4,... }. A φ 1 P 1 (K ϑ ) megszorítás kielégíti (WF)-t a K ϑ altéren. A szeparábilis esetben látott módon választható egy U ϑ diagonális unitér vagy antiunitér operator, mely segítségével φ 1 áttranszformálható φ 2 -vé úgy, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) az identikus leképezés legyen.

Bizonyítás. Az alábbi módon indexelünk egy ONB-t: { e 1, e 2 } { e ϑ,j : ϑ Θ, j N, j 3}. Ha j {1, 2} akkor e ϑ,j := e j. Bevezetve egy φ 1 új transzformációt kapjuk, hogy Legyen φ 1 (P[ e ϑ,j ]) = P[ e ϑ,j ] (ϑ Θ, j N) K ϑ = { e ϑ,1, e ϑ,2, e ϑ,3, e ϑ,4,... }. A φ 1 P 1 (K ϑ ) megszorítás kielégíti (WF)-t a K ϑ altéren. A szeparábilis esetben látott módon választható egy U ϑ diagonális unitér vagy antiunitér operator, mely segítségével φ 1 áttranszformálható φ 2 -vé úgy, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) az identikus leképezés legyen. Vegyük észre, hogy minden U ϑ unitér vagy minden U ϑ antiunitér.

Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ).

Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id.

Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben.

Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben. Legyen P[ w] := φ 2 (P[ v]), v ϑ := v, e ϑ,j e ϑ,j, w ϑ := w, e ϑ,j e ϑ,j. j=1 j=1

Ezért úgy transzformálható φ 2 -be a φ 1, hogy φ 2 P 1 (K ϑ ) Id P 1 (K ϑ ) (ϑ Θ). Állítás. φ 2 Id. Állítás bizonyítás. Tekintünk egy olyan P[ v] P 1 projekciót, melyre v 1 0. Ezen projekciók halmaza s r P 1 -ben. Legyen P[ w] := φ 2 (P[ v]), v ϑ := v, e ϑ,j e ϑ,j, w ϑ := w, e ϑ,j e ϑ,j. Az (WF)-b l a és j=1 v ϑ,j = w ϑ,j (ϑ Θ, j N) v, v ϑ = w, v ϑ (ϑ Θ) adódnak j=1

Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), j=1

Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. Látható, hogy létezik egy t ϑ [0, 2π[ szám úgy, hogy j=1 w ϑ = exp(it ϑ ) v ϑ (ϑ Θ).

Mivel v ϑ,j 2 = v, v ϑ = w, v ϑ = j=1 v ϑ,j 2 exp(it ϑ,j ), ahol w ϑ,j = v ϑ,j exp(it ϑ,j ) és t ϑ,j [0, 2π[. Látható, hogy létezik egy t ϑ [0, 2π[ szám úgy, hogy j=1 w ϑ = exp(it ϑ ) v ϑ (ϑ Θ). Tekintve a fenti egyenl ségben az els koordinátákat kapjuk, hogy v = exp(it) w teljesül valamely t [0, 2π[ számmal.