Valószíűségszámítás és statszta előadás If. S - szasa 008/09. félév Zemplé drás zemple@caesar.elte.hu zemple.elte.hu. előadás: evezetés Irdalm, övetelméye félév céla Valószíűségszámítás tárgya Törtéet lapfgalma Valószíűsége számítása Irdalm Jegyzet arót-gáré-fees Tóth-gyród: Valószíűségszámítás egyzet prgramzó szas hallgatóa atemata statszta egyzet prgramzó matematus hallgatóa Iteretes egyzete E, Debrece, stb Taöyve: répa: Valószíűségelmélet Slt: Valószíűségszámítás lla - Kráml: Statszta öveteztetése elmélete ál: valószíűségszámítás és a statszta alapa I-II éldatára gáré-gyród-répa-réy-szász: Valószíűségszámítás feladatgyűteméy rató lós, ra Vlms és Zemplé drás: evezetés a valószíűségszámításba és alalmazásaba: példáal, szmulácóal eletrus egyzet ór-szedl-zemplé: atemata statszta példatár Számérés Gyarlat gyarlat egy: csprtét zh- alapá Vzsga: írásbel, ésőbb egyeztetedő dőptba z előadás s ötelező a elelét 3 háyzás lehetséges! apírs elleőrzés lesz z óraütözést az tató gazlhata Előadás ayaga: zemple.elte.hu/t.html él Valószíűségszámítás és statszta alapaa smertetése Feladatmegldás észség alaítása elsősrba gyarlat lalmazás lehetősége bemutatása der módszere bg data, R Véletle tömegelesége Ismételhető/agy számba végbemeő eseméye például: X éves férf/ő mera valószíűséggel öt hóap belül házasságt Véletle: az smert feltételredszer em határzza meg egyértelműe az eredméyt pl. cadbás. em s érdemes determsztus mdellel ísérletez, mert túl bylult lee.
Valószíűségszámítás helye a tudmáy özött atemata tudmáy, mert precíze megfgalmaztt axómáxra épül. Gyarlat alalmazása: statszta öveteztetése levása pl.: ha egy érmével 000 dbásból 550 fe ött, ar 99.9% valószíűséggel állítható, hgy az érme em szabálys. Törtéet áttetés. Első smert feladat 494-ből: áté dő előtt abbahagyása eseté hgya sztzzaa? Helyes megldás több, mt 00 évvel ésőbb: ascal 3, Fermat 0 5 Köye adható szmulácós megldás precíz számítás a gyarlat arda 540 örül öyvet írt a caátéhz apcslódó valószíűségszámítás érdéseről Törtéet áttetés. de Wtt, Halley 7: életáradé-számítás valószíűség alap Jacb erull 73: rs ectad agy szám törvéye XVIII-XIX. sz: vre, ayes, Gauss, ss uff: gemetra valószíűség bevezetése paradx XIX.sz: sebsev, arv, Lapuv Törtéet áttetés 3. xmatzálás: Klmgrv 933 der alalmazás: Ifrmácóelmélet Sha Játéelmélet euma atemata statszta Fsher Sztchasztus flyamat agyar tudós: Jrdá Kárly 87-959 Réy lfréd 9-970 lapfgalma Eseméytér Kísérlet egy lehetséges meetele: elem eseméy, elölése ω. Elem eseméye összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmaza: eseméye,,,. Eseméy ar övetez be, ha az őt altó elem eseméye valamelye beövetez. éldá Kcadbás: Ω={,,,}. Ha az eseméy: párs számt dbtu, ar ={,4,}. Érmét étszer feldbva: Ω={II,IF,FI,FF} ={II,IF} az az eseméy, hgy az első dbás írás. Érmét addg dbu, míg feet em apu. Ω={F,IF,IIF,,ω } ahl ω =III. azaz mde dbás írás
Eseméye Specáls eseméye: Ω bzts eseméy lehetetle eseméy z eseméye összessége: halmazredszer Ω részhalmazaból űvelete eseméyeel: száss lga művelete = halmazművelete űvelete eseméyeel : vagy vagy beövetez az s lehet, hgy mdettő : és s beövetez eseméy elletette: Tuladság éldá \ De rga Kcadbás: ={párs számt dbu} ={legalább 3-ast dbu} ={4,} ={,3,4,5,} \={} ={,3,5} Valószíűség Szemléletes megfelelőe: relatív gyarság. Ha egymástól függetleül, azs örülméye özött végrehattt ísérletből az adtt eseméy -szr övetezett be, ar a relatív gyarság /. agy -re a relatív gyarság egy fx szám örül gadz: ezt evezzü az valószíűségée. Szmulácó applete: http://www.radmservces.rg/radm/ Kca-ísérlet valószíűség Jele: relatív gyarság tuladságaból: emegatív: 0 mde -ra Egymást záró eseméyere, azaz, ha : addtvtás Ω= Ω,,: valószíűség mező 3
Tuladság. ddtvtás eseméyre: ha,,, párét záró eseméye, ar zyítás: ducóval. =0. zyítás: Ω= Ω felbtásból és az addtvtásból Tuladság. \ zyítás: = \ felbtásból és az addtvtásból zyítás: = \ felbtásból, az addtvtásból és az előző tuladságból. Klmgrv-féle valószíűség mező Ω,,: Klmgrv-féle valószíűség mező, ha Ω emüres halmaz az Ω részhalmazaa σ-algebráa : [0,] halmazfüggvéy valószíűség, melyre. Ω=. σ-addtvtás: ha,,, párét záró eseméye, ar valószíűség tvább tuladsága Klmgrv-féle valószíűség végese s addtív: ha,,, párét záró eseméye, ar zyítás. + = + = = választással alalmazzu a σ-addtvtást. Tehát a rábba beláttt tuladság a Klmgrv-féle valószíűség mezőre s érvéyese. Véges valószíűség mező Ω={ω, ω,,ω }, = Ω. Jelölés: p = ω. p az addtvtásból. : : zaz a p emegatív, összegű szám meghatárzzá a valószíűséget. p Klasszus valószíűség mező p =/ mde -re azs valószíűségűe az elem eseméye. Er ahl az elemszáma, pedg az összes esetszám. áséppe: =edvező esete száma/ összes esetszám. 4
5 Vsszatevéses mtavétel termé, melyből seletes elemű mta vsszatevéssel : ptsa seletes va a mtába =0,, azaz a valószíűség feezhető a p=/ seletaráy segítségével: tavétel p p Vsszatevés élül mtavétel termé, melyből seletes elemű mta vsszatevés élül : ptsa seletes va a mtába =0,, tavétel Eseméye uóáa valószíűsége élda: agyar ártyacsmagból étszer húzu vsszatevéssel. a valószíűsége, hgy húzu prsat? : első prs, : másd prs ==/4, =/ Tehát =7/ Szta caré frmula Képlet az általás esetre: ahl az téyezős metszete valószíűségee összege. S S lalmazás Ha az egyes eseméye és metszete s egyfrmá valószíűe, ar Átfgalmazás metszetere: egállapdás: S 0 =. élda: a valószíűsége, hgy adtt számú cadbásból mde számt legalább egyszer megaptu? S 0 egldás : az számt em dbtu 0 0 0 3 4 5 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 =0 d s 0 3 4 5 0.0 0. 0.4 0. 0.8.0 =0 d s
Feltételes valószíűség. z eseméy valószíűségét eressü. Tudu, hgy eseméy beövetezett. relatív gyarságal: csa azat a ísérleteet ézzü, amelyebe beövetezett. Eze részsrzatba az relatív gyarsága: r / r Feltételes valószíűség. egfelelőe a valószíűségere: az eseméy -re vatzó feltételes valószíűsége feltétel: >0. élda: cadbás. ={párs számt dbu} ={3-ál agybbat dbtu} =/3. Teles eseméyredszer Defícó. Eseméye,,, srzata teles eseméyredszer, ha egymást párét zárá és egyesítésü Ω. Tuladság: Legtöbbször véges s elemből álló teles eseméyredszereet vzsgálu. Teles valószíűség tétele Legye,,, pztív valószíűségű eseméyeből álló teles eseméyredszer, tetszőleges. Er zyítás. dszut tagra btás, tehát és ada a tételt. élda Összetett mdelle pl. emtől függő valószíűsége: a szívaság valószíűsége a férfaál 0.0, a őél 0.00 Tfh. ugyaay a férf, mt a ő. a valószíűsége, hgy egy találmra választt ember szíva? teles eseméyredszer: {férf} {ő}. p=0.0/+0.00/=0.0055 Ugyaígy tudu száml em azs valószíűségű eseméyere s ayes tétele Legye,,, pztív valószíűségű eseméyeből álló teles eseméyredszer és pztív valószíűségű. Er zyítás. evező éppe a teles valószíűség tétele matt. számláló pedg, defícó szert. Spec.: Két elemű teles eseméyredszerre: