Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk. P (ξ 8 ξ 5 P (ξ 8, mivel P (ξ 5 annak az eseménynek a bekövetkezése, hogy ξ 8 maga után vonja azt, hogy ξ 5. A keresett valószínűséget az ellentett esemény valószínűségének a meghatározásával kapjuk meg. Tehát 3.3. gyakorlat megoldása P (ξ 8 ξ 5 ( P (ξ 8 P (ξ 5 (,6,4 8 6,4 5 6,4 (0, 69 ((0, 60 0, 7549 0, 757 Az /(ξ + valószínűségi változó az /(k + értékeket veszi fel 0, 333943. λ k k! e λ valószínűséggel, k 0,,,.... Ezért a várható érték meghatározása alapján k0 ( M ξ + k0 λ k k + k! e λ, amit összegeznünk kell. Az exponenciális függvény Taylor-sorát használjuk fel: λ k M k + k! e λ e λ λ k + k + k! e λ e λ + e λ k e λ + e λ λ k λ k (k +! e λ + e λ j j λ j j! λ j j! e λ + e λ λ (e λ λ λ ( e λ.
MEGOLDÁSOK 3.6. gyakorlat megoldása Megoldás az egyenletes eloszlás (3.3.5 definíciója alapján. f(x σ (ξ (b a, amiből b a. ξ entrópiája: { b a ha a < x < b, 0 különben. (3.. f ξ (x ln f ξ (xdx ln b b a ln(b a ln, 4. Az N(m, eloszlás entrópiája: a b a ln dx (a b b a b a ln b a ln πe, 4. 3.7. gyakorlat megoldása Ha η gamma eloszlású, akkor sűrűségfüggvénye: { f(x β α Γ(α xα e x β, ha x > 0 0 különben (3.. A sűrűségfüggvényt az eloszlásfüggvény deriváltjaként értelmezzük. Az eloszlásfüggvény definíciója: f(x F ξ(x.(..4 F ξ (x P ({ω Ω : ξ(ω < x}. (.. Ha akkor F ξ (x P ξ(ω c η(ω, ({ ω Ω : η(ω < x } ( x F η. c c Ebből az összetett függvény deriválási szabálya alapján Ezzel 3.8. gyakorlat megoldása f ξ (x F ξ(x F η ( x c c ( x c f η. c f cη (x x α c β α Γ(α c e x c β ha 0 < x. 0 különben
Legyen ξ a eloszlásfüggvénye F a, sűrűségfüggvénye f a. Ekkor F a (x P (ξ a < x P (ξ < x /a F (x /a. A közvetett függvény differenciálási szabályával 3 Behelyettesítve kapjuk f a (x d dx F a(x d dx F (x/a F (x /a d dx x/a f(x /a a x a ami exponenciális eloszlás b a paraméterrel. f a (x b a e b ax, 3.9. gyakorlat megoldása A lognormális eloszlás sűrűségfüggvénye f η (x A keresett valószínűség π σ x e (ln(x m σ (3.4. P (4, 7 < η < 9, 8 F η (9, 8 F η (4, 7 (... F η (9, 8 9,8 f η(xdx F η (4, 7 4,7 f η(xdx F η (9, 8 F η (4, 7 u x 9,8 x 4,7 π x (ln(x+ e 8 dx ln(x+ du x dx F η (9, 8 F η (4, 7 Φ ln 9,8+ π ln 4,7+ ln(9,8+ Φ e n dn ( ln(4,7+ A standard normális eloszlás táblázatából a Φ(u és Φ(u értékek kikereshetők, és különbségük, Φ(u Φ(u szolgáltatja a keresett valószínűséget. 3.. gyakorlat megoldása Megoldás (3.. szerint. Igazolni kell, hogy A geometriai eloszlás definíciója Φ(, 4 Φ(, 7738 0, 9838 0, 966 P (4, 7 < η < 9, 8 0, 0. P (ξ x + y ξ x P (ξ y. P (ξ k { 0, ha k 0 q k p, ha k > 0 (...
4 MEGOLDÁSOK F (x { 0 ha x 0 p qk, q ha k < x k + ahol k Ezt felhasználva P (ξ x + y ξ x P (x ξ x + y P (x ξ F ξ(x + y F ξ (x. F ξ (x Az állítás triviálisan igaz y 0 esetén, ezért elég a bizonyítást az y esetre elvégezni. Tegyük fel, hogy k < x k + és l < y l +, ahol k és 0 l. Ekkor F ξ (x + y p qk+l q F ξ (x + y F ξ (x F ξ (x p q rendezve és felhasználva, hogy p + q q k (q l p qk q F ξ (x p qk q pq k q l q pq k + p P (ξ x + y ξ x P (ξ x + y ξ x ( q l p p (ql p ql q F ξ(y. p ( q (ql 3.. gyakorlat megoldása A mintában szereplő balkezesek ξ száma binomiális eloszlású valószínűségi változó p 0. és n 0000 paraméterekkel, amelyre M(ξ 000 és D n (ξ 40. Így (a P (ξ 00 0000 k00 (b P (960 ξ 040 040 0000 0. k k ( 0. 0000 k k960 0000 0. k k ( 0. 0000 k Ennek a kiszámítása elég nehézkes, de nem szükséges, mivel n p 000 és n q 8000, így a 3.5 tétel alkalmazható. Tehát η ξ 000 40 standard normális eloszlású valószínűségi változó. (a P (ξ 00 P (ξ.5 P (ξ <.5 0.006 (b P (960 ξ 040 P ( η 0.68. 3.5. gyakorlat megoldása cm 3 vízben átlagosan 4 baktérium van, így λ 4 paraméterû Poisson-eloszlásról van szó. Tehát (a P (k 0 e 4 0.083 (b Az elemzett események valószínűségét felhasználva P (k 0 P (k 5e 4 0.908.
3.6. gyakorlat megoldása Legyen ξ olyan valószínűségi változó, amely az A ponttól időgység alatt megtett távolságot jelenti. Ekkor ξ eloszlásfüggvénye F (r r 0 e t dt e r. (a P (ξ F ( e 0.35. 5 (b A jelenség exponenciális eloszlással jellemezhető x paraméterrel. méter. λ Így a várható érték 3.7. gyakorlat megoldása Független normális eloszlású valószínűségi változók összege szintén normális eloszlású m + m és σ + σ paraméterekkel. A keresett valószínűséget a integrál értéke adja meg. x0 π(σ + σ [x (m +m ] e (σ +σ dx