2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH

Hasonló dokumentumok
Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

A kémiai kötés eredete; viriál tétel 1

Atomok és molekulák elektronszerkezete

A spin. November 28, 2006

Elektronok mozgása nanostruktúrákban 2-D elektrongáz, kvantumdrót és kvantumpötty

Két 1/2-es spinből álló rendszer teljes spinje (spinek összeadása)

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére

Kvantummechanikai alapok I.

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.

Lagrange és Hamilton mechanika

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)


Fizika M1, BME, gépészmérnök szak, szi félév (v6)

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

A s r ségfunkcionál elmélet (Density Functional Theory)

Bell-kísérlet. Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016.

2, = 5221 K (7.2)

Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei

Kifejtendő kérdések június 13. Gyakorló feladatok

Lineáris algebra gyakorlat

Fizikai mennyiségek, állapotok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Molekulák világa 1. kémiai szeminárium

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Fizikai kémia 2. ZH I. kérdések I. félévtől

I. Az atomok stacionárius állapotainak leírása A hélium gerjesztett állapotai 45

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra

Stern Gerlach kísérlet. Készítette: Kiss Éva

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Magszerkezet modellek. Folyadékcsepp modell

Analízis III. gyakorlat október

MOLEKULÁRIS TULAJDONSÁGOK

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

1 A kvantummechanika posztulátumai

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN

SZTE Elméleti Fizikai Tanszék. Dr. Czirják Attila tud. munkatárs, c. egyetemi docens. egyetemi docens. Elméleti Fizika Szeminárium, december 17.

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.

SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS SÍKBELI KERINGŐMOZGÁS

Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

ω mennyiségek nem túl gyorsan változnak

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Radiokémia vegyész MSc radiokémia szakirány Kónya József, M. Nagy Noémi: Izotópia I és II. Debreceni Egyetemi Kiadó, 2007, 2008.

3. A kvantummechanikai szemlélet kialakulása

Fizika M1, BME, gépészmérnök szak, őszi félév (v10)

Energiatételek - Példák

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Az impulzusnyomatékok általános elmélete

2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése

Képfeldolgozás. 1. el adás. A képfeldolgozás m veletei. Mechatronikai mérnök szak BME, 2008

Fluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

Atomfizika. A hidrogén lámpa színképei. Elektronok H atom. Fényképlemez. emisszió H 2. gáz

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Kvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba

Meteorológiai Adatasszimiláció

Kvantum termodinamika

GROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

3. Lineáris differenciálegyenletek

Fermi Dirac statisztika elemei

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

1.feladat. Megoldás: r r az O és P pontok közötti helyvektor, r pedig a helyvektor hosszának harmadik hatványa. 0,03 0,04.

Atommodellek. Az atom szerkezete. Atommodellek. Atommodellek. Atommodellek, A Rutherford-kísérlet. Atommodellek

Forgó molekulák áthaladása apertúrán

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

Szélsőérték feladatok megoldása

Elektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

Egyszabadságfokú grejesztett csillapított lengõrendszer vizsgálata

1. Feladat: beolvas két számot úgy, hogy a-ba kerüljön a nagyobb

REGIONÁLIS GAZDASÁGTAN

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

Kvantum kontrol frekvencia csörpölt lézer indukált kónikus keresztez désekkel

3.1. ábra ábra

Úton az elemi részecskék felé. Atommag és részecskefizika 2. előadás február 16.

Elektronok, atomok. Általános Kémia - Elektronok, Atomok. Slide 1 of 60

1. fejezet. Gyakorlat C-41

Átírás:

2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges az összes feladat hibátlan megoldása 3. Az elégséges jegy megszerzéséhez mindenképpen oldjatok a sok állapotú rendszereket, és a könnyebb degenerált perturbáció számításokat! 4. Nem véletlenül lehet füzetet használni! 5. Minden feladat legyen külön lapon, szépen, jól átláthatóan leírva! 6. Egyéb kérdéssel forduljatok bizalommal a gyakorlatvezet khöz!

1. Hidrogénatom 1.1. Várható értékek Legyen egy hidrogén atom n, l = n 1 kvantumszámokkal rendelkez állapotban. hullámfüggvény radiális része az következ : ( R n,l 1 = N n r n 1 exp r ) na a. Határozzuk meg a normálási tényez t! Megmutatható, hogy a (1) b. Határozzuk meg r és r 2 várható értékeket! c. Mutassuk meg, hogy σ r = r 2n+1 d. Növekv n-re egyre keskenyebb, és ezzel egyidej leg egyre csúcsosabb lesz a hullámfüggvény, Mit jelent ez zikailag? 1.2. Hullámfüggvény Jelöljek be mindegyik képhez, hogy mely nlm kvantumszámokhoz tartoznak! 1

2. Elektron mágneses térben 2.1. Konstans tér B = B0 e z. Az elektron Hamilton operátora (spin- Vegyünk egy elektront és tegyük konstans mágneses térbe: függ rész): a. Írjuk fel ezt mátrix alakban! H 0 = eb z m S z (2) Kapcsoljunk be egy perturbációt, úgy hogy egy konstans x irányú mez t alkalmazunk: H = e m B xs x (3) b. Írjuk fel ezt is mátrix alakban! c. Oldjuk meg H = H 0 + H sajátérték problémáját! d. Becsüljük meg az alapállapoti energiát variációs módszerrel is. Legyen az próbafüggvény az alábbi: ( ) cos(α) Ψ = sin(α) (4) e. Mennyire tér el az egzakt megoldástól? 2.2. Oszcilláló tér Legyen a mágneses tér id függ : B = B 0 cos(ωt) e z (5) a. Határozzuk meg az elektron Hamilton operátorát! H = γ B S (6) b. Kezdeti állapot legyen olyan, hogy S x -et megmérve h 2 -t kapunk. Határozzuk meg az állapot id fejl dését! Vigyázat! Hamilton is függ explicite az id t l! c. Mekkora annak valószín sége, hogy az elektron x irányú spinjének mérésekor h 2 -t mérünk! Lehetséges, hogy teljesen megforduljon? Hogy függ ez a mágneses tér nagyságától? 3. Variáció számítás 3.1. Elméleti alapok Bizonyára felmerült a kérdés mindenkiben, hogy a variációs módszernél egyáltalán minek próbafüggvény? Mindenki tud variálni, és megkeresni egy funkcionál széls értékét. Amennyiben ez a széls érték minimum, meg is találtuk a keresett hullámfüggvényt! a. Keressük meg a variációszámítás szabályait alkalmazva az energia-funkcionál széls értékét. Milyen egyenletet kapunk? Olyan függvényekre szorítkozunk, melyeknek egyre normáltak. Tekintsük ezt egy holonom kényszernek! b. A kapott dierenciál egyenlet megoldása mennyire közelíti jól a valódi megoldását a problémának? c. Milyen esetben kapunk egzakt megoldást? 2

3.2. Mi lehet a baj? Természetesen ismerjük a dobozba zárt részecske kvantummechanikáját. Azt is tudjuk, hogy megfelel koordinátázás esetén az alapállapoti hullámfüggvény: Míg az energia: Ψ(x, y, z) = 8 ( π ) ( π ) ( π ) abc sin a x sin b y sin c z E 111 = h2 π 2 2m ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 ) c 2 (7) (8) Alkalmazzuk erre a variációs módszert! Harmonikus oszcillátor esetén láttunk, hogy e bx2 vissza kaptuk az egzakt megoldást! Most legyen a próbafüggvényünk a következ : próbafüggvénnyel Ψ p = N sin (k x x) sin (k y y) sin (k z z) (9) a. A fenti próbafüggvényt használva becsüljük meg az alapállapoti energiát! b. Az egyszer, naiv számolás során beleütközünk egy problémába, hogy 0-t kapunk eredményül, ami biztosan nem lehet jó! Mi lehet ennek az oka? Ezek szerint nem jó mindenre ez a módszer? Mikor alkalmazható? 3.3. Összehasonlítás Perturbáljuk az egydimenziós harmonikus oszcillátort egy λx 6 -os taggal. a. Mikor tekinthet ez a tag perturbációnak? Adjuk meg egy skálázást a bemenetei paraméterekkel (m, ω 0, h). b. Oldjuk meg a. részt máshogyan is! Mihez lehet még mérni λ paramétert? c. Vegyük próbafüggvénynek az alábbit Ψ p = Ne bx2 Becsüljük meg az alapállapoti energiát variációs módszerrel! d. Mekkora az energiajárulék a perturbálatlan energiához képest? Hasonlítsuk össze ezt az energiajárulékot azzal, amit nem degenerált perturbációszámításnál kapunk! 3.4. Hélium alapállapota Becsüljük meg a Hélium atom alapállapoti energiáját! A próbafüggvényt legyen két hidrogénatom alapállapoti hullámfüggvényének (100 állapotának) szorzata. A Hamilton függvény tartalmazza a két Coulomb potenciálban mozgó részecske hullámfüggvényét, és a kölcsönhatási tagot is! H = p2 1 2m + Ze2 + p2 2 r 1 2m + Ze2 e 2 + r 2 r 1 r 2 (10) ( Z 3 Φ 100 = πa 3 0 ) 3 2 e Zr a 0 (11) Annyit még tegyünk meg, hogy a Hidrogén hullámfüggvénybe egy módosított Z-t teszünk bele (Z Z ). Ennek van zikai megfontolása is. Mi lehet ez a megfontolás? Ezt a módosított Z lesz az paraméter, amelyet hangolunk majd (Z < Z). Megoldás során mindenképpen maradjon érvényben a többet ésszel, mint er vel elv! Vegyük észre a lehetséges trükköket! 4. Degenerált perturbációszámítás 4.1. A speciálisan választott paraméterek Adott egy olyan rendszer, hogy x, y irányban be van zárva egy dobozba, z irányban pedig kvadratikus potenciálban mozog! V (x, y, z) = 1 2 mω2 z 2 + V (x, y) doboz (12) 3

A doboz méretei a, b, ahol a = b. Abban az érdekes helyzetben vagyunk, hogy van egy összefüggés a kvadratikus potenciál paramétere és a doboz paramétere között: 2ω = hπ2 ma 2 (13) a. Melyik a legalacsonyabb degenerált energiaszint? Hányszorosan degenerált? Mik a hozzá tartozó hullámfüggvények? b. Van-e háromszorosan degenerált energiaszint? Mik a hullámfüggvények? c. Vegyük az utóbbi esetet. Adjunk a potenciálhoz egy V (x, y) p = λxyz tagot. Adjuk meg a szintek felhasadását. Ábrázoljuk ezt a szokásos diagramon is! 4.2. Hét állapotú rendszer Adott az alábbi hét állapotú rendszer leíró Hamilton operátor: ɛ 0 0 0 0 0 0 0 0 ɛ 0 0 0 0 0 0 0 0 ɛ 0 0 0 0 0 H 0 = 0 0 0 ɛ 1 0 0 0 0 0 0 0 ɛ 1 0 0 0 0 0 0 0 ɛ 2 0 0 0 0 0 0 0 ɛ 2 (14) Perturbáció legyen a következ : 0 0 w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w 0 w 0 0 0 0 H = 0 0 0 0 2w 0 0 0 0 0 2w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 iw 0 0 0 0 0 iw 0 (15) Legyen w ɛ 0 < ɛ 1 < ɛ 2. Oldjuk meg a felhasadások problémáját! Mik a jó saját függvények? Ezek után legyen ɛ i = ɛ(i + 1), míg w = 4 3 ɛ. Mik lesznek a nívók sorrendjei, ha kezdetben s 1 = s 2 = s 3 = ɛ, p 1 = p 2 = 2ɛ, d 1 = d 2 = 3ɛ voltak. Legyenek ezek a szintek index szerint növekv sorrendben (s 3 s 2 s 1 ). 4

5. Pontozás Feladatszám Maximális pontszám Szerzett pontszám 1.1 20 1.2 10 2.1 20 2.2 30 3.1 20 3.2 10 3.3 40 3.4 50 4.1 40 4.2 30 Összesített 270 Gyakorlat értékelése (ett l nem függ az érdemjegy :)) Értékeld 1-5 közötti skálán az alábbi kérdéseket Kérdés Értékelés (1-5) Mennyire volt érthet a gyakorlat anyaga? Milyen volt az óra hangulata? Kielégít ek voltak-e a kérdésekre adott válaszok? Elégedett vagy-e a kapott jeggyel (els ZH)? Elegend tudást nyújtott-e a gyakorlat? Min változtatnál? Bármely megjegyzés 5