Eötvö Loránd Tudományegyetem Termézettudományi Kar Laplace-tranzformáció é alkalmazáa Szakdolgozat Ki Ezter Matematika BSc., Elemz zakirány Témavezet : Bátkai Andrá, Egyetemi docen Alkalmazott Analízi é Számítámatematikai Tanzék Budapet 22
Tartalomjegyzék. Bevezeté 2 2. Laplace-tranzformáció 4 2.. Deníció é alkalmazáa............................... 4 2.2. Fontoabb alkalmazái zabályok........................... 3. Deriválhatóág é integrálhatóág 3 3.. A generátor függvény deriváláa........................... 3 3.2. Laplace-tranzformált deriváláa........................... 5 3.3. A generátor függvény primitív függvényének tranzformáltja........... 6 3.4. Laplace tranzformált integráláa.......................... 7 4. Inverz Laplace-tranzformáció 9 4.. Parciáli törtekre bontá módzere.......................... 2 5. Közönége dierenciálegyenletek é egyenletrendzerek 23 5.. Példák dierenciálegyenletekre............................ 24 5.2. Dierenciálegyenletrendzerek............................ 26 5.3. Integrálegyenletek................................... 3
. fejezet Bevezeté A dolgozat a Laplace-tranzformációval é annak alkalmazáával foglalkozik. El zör röviden imertetném Laplace életét é munkáágát, majd a tranzformáció deníciója é annak alkalmazáa következik néhány függvényre. Ezek után a tranzformáltra vonatkozó tulajdonágokat vezük orra. A következ fejezetben a Laplace-tranzformált é a generátor függvény alakuláát nézzük meg deriválára é integrálára vonatkozóan. Ezek után a tranzformáció inverzét é a parciáli törtekre bontá módzerét tárgyaljuk. A dolgozat tranzformáció legfontoabb alkalmazáával, a közönége dierenciálegyenletek é egyenletrendzerek valamint az integrálegyenletek tárgyaláával zárul. Ahol láthatjuk hogy a tranzformáció a dierenciálegyenletek é egyenletrendzerekb l algebrailag könnyebben megoldhatót hoz létre. Laplace élete é munkáága Szülei zegényparaztok voltak. Beaumont-ban zületett. A beaumont-i katonai ikolának bejáró növendéke volt, ahol felt nt kit n emlékez képeégével. Tanulmányainak elvégzée után ugyanennek az ikolának lett tanára. Képeégeinek azonban a ki vidéki ikola nem biztoított elég lehet éget, é ezért Párizba ment. Ajánlóleveleivel D'Alembertnél jelentkezett. A híre enciklopédita azonban nem fogadta Laplace-t. Ekkor Laplace ajátkez leg írt levélben kerete fel. A levél elolvaáa után Laplace el tt megnyílt D'Alembert ajtaja, hizen ez az írá a mechanikai elvekr l zóló remek értekezé volt. Pár nap múlva Laplace-t az École Militaire matematika tanárává nevezték ki. Ett l kezdve gyoran haladt el re. 24 éve korában már az akadémia levelez tagja, majd a királyi tüzérég növendékeinek examinátora (vizgáztatója) lett. 8 után majdnem minden európai tudományo akadémia tagjául válaztotta. 794-ben az École Normale Supérieure analízi tanára lett, nem okkal ké bb pedig a Mértékügyi Hivatal tagja é elnöke. 82-ben jelent meg a Théorie analitique de probalitité (A valózín ég analitikai elmélete) cím m ve, amely a valózín égzámítát a matematika önálló ágaként 2
tárgyalja. Ebben a m ben jelent meg a valózín ég klaziku modellje, amely akkor alkalmazható, ha vége ok elemi eemény van, é azok bekövetkezée egyformán valózín. A newtoni mechanika alapjain az égi mechanika kifejl dée L. Euler, J. L. D'Alembert, J. L. Lagrange é P. S. Laplace tevékenyége nyomán indult meg. Különöen jelent Laplace munkáága, mely az égi mechanika valamennyi területére kiterjedt. Nagy özefoglaló m ve a "Traité de Mécanique Célete" (I.-IV. kötet 798-85, V. kötet 825) az égi mechanika problémáinak el rendzere tárgyaláát adja. Joggal tekintik Laplace-t az égi mechanika megalapítójának (az égi mechanika elnevezé i t le zármazik). 3
2. fejezet Laplace-tranzformáció Ebben a fejezetben a Laplace-tranzformáltat fogom deniálni é ennek alapján néhány függvénynek kizámolom a trazfolmáltját. 2.. Deníció é alkalmazáa 2.. Deníció. Az f : [, [ C, t f(t) függvény Laplace-tranzformáltja az F () f(t) e t dt függvény, melynek értelmezéi tartománya a ], [ intervallum azon pontjaiból áll, ahol a fenti impropriu integrál konvergen. Jelölé: L[f(t)] F () Deníció alapján zámítuk ki néhány függvény Laplace-tranzformáltját! Az értelmezéi tartományt a továbbiakban nem jelöljük külön.. f(t) Alkalmazva a deníciót a következ t kapjuk. [ e F () e t t dt ] +. Tehát L[] é az integrál linearitáa miatt tetz lege c R eetén L[c] c. 2. f(t) t A parciáli integrálát alkalmazom a következ megoldáakor. F () t e t dt ] [t e t e t dt 4 e t [ ] e t 2
Tehát L[t] 2, illetve bármely c R eetén L[c t] c 2. 3. f(t) t n, n N +, n 2. Ennek meghatározáához telje indukciót haználok. Kizámolom n 2 é n 3 eetet i. a) El zör legyen n 2. Ekkor parciálian integrálunk majd felhaználjuk a 2. feladatban kapott eredményt, így F () + 2 t 2 e t dt ] [t 2 e t 2t e t dt t e t dt 2 L[t] 2 2 2 3 L[t2 ]. b) Ha n 3, akkor F () + 3 t 3 e t dt ] [t 3 e t 3t 2 e t dt t 2 e t dt 3 L[t2 ] 3 2 4 3! 4 L[t3 ]. c) Telje indukcióval megkapható bármely n-re megkaphatjuk L[t n ] képletét. L[t n ] t n e t dt [t n e t ] n t n e t dt n tn e t dt n t n e t dt n ] ([t n e t ) (n )t n 2 e t dt n ( ) n tn 2 e t dt n n t n 2 e t dt n n ] ([t n 2 e t ) (n 2)t n 3 e t dt 5
n n n 2 ( tn 3 e t dt) n n n 2 t n 3 e t dt... n n n 2... 4 t 3 e t dt n n n 2... 4 L[t3 ] n n n 2... 4 3! 4 n! n+ L[tn ]. A fontoabb exponenciáli é trigonometriku függvények trazformáltja közetkezik.. f(t) e at Ekkor F () [ e (a )t a e at e t dt ] e (a )t dt a a. Ez alapján L[e at ] + a. 2. Legyen f(t)t e at, ahol a tetz lege való vagy komplex állandó. Imét a parciáli integrálát alkalmazzuk az f t é a g e at e t kioztáal. 3. f(t) t n e at n-re már láttuk F () t e at e t dt [ ] e ( a)t t ( a) [ ] e ( a)t ( ( + a) 2 L[t e at ] t e ( a)t dt e ( a)t ( a) dt ) ( a) 2 ( a) 2. ( a) 2. 6
n2 eetben a következ képpen alakul F () [ t 2 + 2 a e ( a)t ( a) t 2 e at e t dt ] 2 t t 2 e ( a)t dt e ( a)t ( a) dt t e at e t dt 2 a ( a) 2 2 ( a). 3 Folytatható az eljárá n 3 eetén i. Telje indukcióval pedig megkaphatjuk L[t n e at ] képletét. Az indukció orán parciáli integrálát hajtunk végre. Tehát L[t n e at ] t n e at e t dt t n e ( a)t ] [t n e ( a)t ( a) n e ( a)t n t ( a) dt n ( a) tn e ( a)t dt n a t n e ( a)t dt n ([ ] a t n e ( a)t ( a) (n ) t n 2 ) e ( a)t ( a) dt n ( ) a n ( a) tn 2 e ( a)t dt n a n a t n 2 e ( a)t dt n a n ([ ] a t n 2 e ( a)t ( a) (n 2)t n 3 ) e ( a)t ( a) dt n a n ( a n 2 ( a) ) t n 3 e ( a)t dt n a n a n 2 a t n 3 e ( a)t dt... 7
n a n a... 3 a t 2 e ( a)t dt n a n a n 2 a... 3 a L[t2 e at ] n a n a n 2 a... 3 a 2! ( a) 3 n! ( a) n+ L[tn e at ]. 4. f(t) co(at) Ebben az eetben haználjuk az Euler formulát (e iφ co φ+i in φ, e iφ co φ i in φ). A két egyenl éget kivonva egymából é rendezve kapjuk, hogy a co(at) eiat +e iat.ez 2 alapján a tranzformált a következ képpen alakul. F () co(at) e t dt e (ia )t + e ( ia )t 2 ( 2 ) ia ia 2 e (ia )t e iat + e iat e t dt 2 2 + e ( ia )t ( ia ) (ia ) a 2 2 2 2 2 a 2 2 a 2 + 2. Végül a hiperboliku függvényekre mutatunk néhány példát. 5. f(t) coh(at), a C tetz lege, z at. A coh z ez +e z 2 a 4.példára hivatkozva, így kapjuk F () e at + e at 2 e t dt 2 e at e t + e at e t dt 2 L[eat ] L[e at ]. Az exponenciáli függvényeknél már láttuk e ±at tranzformálját,ez alapján az eredmény ( 2 a + ) + a 2 a. 2 8
6. f(t) inh(at) Itt i felhaználjuk az Euler-formulát,így inh z ez e z, 2 tehát F () 2 (e at e t e at e t ) 2 [ ] + a a 2 a 2. 7. f(t) t inh(at) 2 F () t e at e t 2 t inh(at) e t dt t eat e at 2 e t dt te at e t 2 ( a) 2 2 ( + a) 2a 2 ( 2 a 2 ). 2 Az alábbi táblázatban özegy jtöttem a fontoabb függvények Laplace-tranzformáltját. f(t) L[t]. 2. t 2 3. t 2 2 3 4. t n n! n+ 5. e at a 6. ln(t) (C + ln()) 7. co(at) 2 +a 2 8. in(at) a 2 +a 2 9. co 2 (at) 2 +2a 2. in 2 (at) ( 2 +4a 2 ) 2(a 2 ) ( 2 +4a 2 ). t co(at) 2 a 2 ( 2 +a 2 ) 2 2. t in(at) 2a ( 2 +a 2 ) 2 in(at) 3. arctan( a) t 4. coh(at) 2 a 2 5. inh(at) a 2 a 2 6. coh 2 at 2 2a 2 ( 2 4a 2 ) 7. inh 2 at 2a 2 ( 2 4a 2 ) 9
2.2. Fontoabb alkalmazái zabályok A következ pontban 5 fonto alkalmazái tulajdonágát zemléltetem a tranzformáltnak.. Linearitá Adott f(t), amelynek Laplace tranzformáltja L[f(t)] F () akkor L[K f(t)] K L[f(t)] K F (), valamely K való vagy komplex zámra. Ugyani a kontan kiemelhet ége miatt L[Kf(t)] K f(t)e t dt K f(t)e t K L[f(t)]. Adott f (t), f 2 (t), amelyeknek Laplace tranzformáltja F (), F 2 (), akkor L[f (t) + f 2 (t)] L[f (t)] + L[f 2 (t)] F () + F 2 (). Ugyani az integrál additivitáa é diztributívitáa miatt L[f (t) + f 2 (t)] (f (t) + f 2 (t))e t dt f (t)e t dt L[f (t)] + L[f 2 (t)] F () + F 2 (). Mindkét törvényzer ég azzal igazolható hogy a Laplace-tranzformált tulajdonképpen határozott integrál. 2. Eltolái tétel Adott f(t), amelynek Laplace tranzformáltja L[f(t)]F(), ekkor f(t τ) eetén a Laplace tranzformált eredménye a t τ z,t z + τ,dt dz helyetteítéel L[f(t τ)] f(t τ)e t dt f(z)e (z+τ) dz f(z)e z e τ dz e τ f(z)e z dz e τ F (). 3. Cillapítái tétel Mot megvizgáljuk az el z kérdé fordítottját. Ha F az f függvény tranzformáltja, akkor az F ( + a) függvény mely generátorfüggvényhez tartozik? Mivel F () f(t)e t dt
ezért F ( + a) f(t)e (+a)t dt f(t)e at e t L[f(t)e at ]. Tehát a Laplace-tranzformált eltoláa a generátorfüggvény e at exponenciáli tényez vel való zorzáával egyenérték. A cillapítái tétel egítégével zámítuk ki a következ függvény tranzformáltját! f(t) e at coh(bt) Korábban már láttuk hogy L[coh(bt)] 2 2 b 2 Ebb l következ en + a helyetteítéel adódik: 4. Haonlóági tétel L[e at coh(bt)] ( + a)2 ( + a) 2 b 2 Adott f(t), amelynek Laplace tranzformáltja L[f(t)] F () ekkor f(at) eetén a Laplace tranzformáció eredménye: Legyen at z, ekkor t z a é dt dz így, a L[f(at)] f(at)e t dt f(z)e z a a dz a f(z)e a z dz a F ( a ). Haonlóági tétellel zámoljuk ki a L[ln(at)]-t! Laplace-tranzformáltakat tartalmazó táblázatból tudjuk hogy: L[ln t] (C + ln ), ahol C egy állandó. Innen a haonlóági tétellel adódik: L[ln at] a Számoljuk ki a L[(at) 2 coh(at)]-t! ( ( C + ln )) ( C + ln ). a a a Szintén a táblázatból tudjuk, hogy L[t 2 coh(t)] 2(2 + 3) ( 2 ) 3.
Ahonnan a haonlóági tétellel adódik L[(at) 2 coh(bt)] a (( 2 ) 2 a a) + 3 (( 2 ) 3 a) ( 2 2 a a ) + 3 a 2 ( ) 3 a 2 2 (2 + 3a 2 ). ( 2 a 2 ) 3 2 a 2 5. Konvolúció Az f (t) é f 2 (t) függvények konvolúcióját a g(t) t f (t)f 2 (t τ)dτ özefüggéel értelmezzük. Mot tekintük a g(t) Laplace-tranzformáltját. Ceréljük meg az integrálá orrendjét, é vezeük be a t t τ változót: G() e t dt f (t)dτ e t f (τ)dτ t t f (t)f 2 (t τ)dτ e t f 2 (t τ)dt e t f 2 (t )dt F ()F 2 (). Így a konvolúció tranzformáltja egyzer en az egye tranzformáltak zorzata. 2
3. fejezet Deriválhatóág é integrálhatóág 3.. A generátor függvény deriváláa Eddig a deníció alapján határoztuk meg egy függvény Laplace-tranzformáltját. A mot következ rézben a gyakorlati zempontból fonto eljárát fogalmazunk meg. Melynek egítégével könnyebben el állítható a tranzformált. El zör egy függvény deriváltjának Laplace-tranzformáltjával foglalkozunk. A deníció alapján adódik L[f (t)] f() + f (t)e t dt ahol F az f függvény Laplace-tranzformáltja. Tehát [ f(t) e t ] f(t)( )e t dt f(t)e t dt L[f(t)] f() F () f(), L[f (t)] L[f(t)] f(). Ennek a formulának az imételt alkalmazáával el állíthatjuk magaabb rend deriváltak tranzformáltját i L[f (t)] L[f (t)] f () (L[f(t)] f()) f () 2 L[f(t)] f() f (). Így ha tovább folytatjuk adódik az n-edrend deriváltakra vonatkozó formula L[f (n)(t) ] n L[f(t)] n f() n 2 f... f (n ) (). 3
A következ példákon kereztül illuztrálnám ezt a zabályt..f(t) t Akkor L[f (t)] 2 f(). 2.f(t) co(at) A táblázatból láthatjuk hogy akkor L[co(at)] 2 + a 2 3.f(t) co 2 at L[f (t)] L[ a in(at)] L[co(at)] f() 2 + a 2 f(). ekkor f (t) 2 co(at)( in(at))a a2 in(at) co(at) a in 2(at) tehát L[f 2a (t)] al[in 2at] a L[f(t)] f() L[f(t)], 2 + 4a2 4.f(t) in 2 at Mivel L[f(t)] ) ( 2a2 2 + 4a 2 + 4a 2 2a 2 2 + 2a 2 2 2 + 4a 2 ( 2 + 4a 2 ). ezért f (t) 2 in(at) co(at) a a2 in(at) co(at) a in 2a, tehát L[a in 2a] a L[in 2a] a 2a 2 + 4a 2, L[f(t)] a 2a + 2 +4a 2 2a 2 ( 2 + 4a 2 ). 4
3.2. Laplace-tranzformált deriváláa Az alábbi eredmény azt mondja, hogy a Laplace-tranzformált -zerinti deriváltját kizámíthatjuk úgy,hogy a deriválá é az impropriu integrál orrendjét felcerélhetjük, azaz el zör zerint deriváljuk az e t f(t) kifejezét, majd a kapott eredménynek bezük az impropriu integrálját. Ezért: így d d F () d d f(t) e t dt f(t)( t) e t f(t) d d e t dt t f(t) e t dt d F () L[t f(t)]. d Általánoan n-edrend deriváltra a következ t kapjuk vagyi d n dn F () dn d n f(t) e t ( t) n f(t) e t dt ( ) n t n f(t) e t dt ( ) n L[t n f(t)], d n d n F () ( )n L[t n f(t)]. A következ rézben az el z ekhez haonlóan néhány feladaton kereztül mutatnám be az egye függvények tranzformáltjának deriváláát..legyen f(t) t in(at). Felhaználva L[in(at)] kapjuk, hogy a 2 +a 2 F (), valamint alkalmazva d F () L[t f(t)] formulát d L[t in(at)] d ( d a 2 + a a 2 ) 2 ( 2 + a 2 ) 2 2a ( 2 + a 2 ) 2. 2. Legyen f(t) t 2 coh(at) Korábbról tudjuk a hiperboliku függvény tranzformáltját F () L[coh(at)] 2 a 2. 5
Erre alkalmazzuk a képletet így, 3. Legyen f(t) t n e at. d 2 d 2 F () ( )2 L[t 2 coh(at)] ( ) L[t 2 coh(at)] d2 d ( ) ( 2 a 2 ) 2 d 2 2 a 2 d ( 2 a 2 ) 2 d ( ) 2 a 2 2(2 + 3a 2 ) d ( 2 a 2 ) 2 ( 2 a 2 ). 3 Induljunk ki az e at Laplace tranzformáltjából L[e at ] F (). Alkalmazzuk erre az F-re a dn d n F () ( ) n L[t n f(t)] formulát. L[t n e at ] ( ) n dn d n a ( ) dn n d n ( a) 2 ( ) dn 2 ( )( 2)... n! n dn 2 ( a) 3 ( ) n ( )n ( a) n! n+ ( a), n+ ahol Re( a) >. 3.3. A generátor függvény primitív függvényének tranzformáltja A deriváltra vonatkozó formula alkamazáával könnyen levezethetünk egy özefüggét,egy f függvény integrálfüggvényének Laplace tranzformáltjára vonatkozóan. Legyen φ(t) Ekkor d φ(t) f(t) özefüggé miatt egyrézt dt Márézt a deriváltra vonatkozó zabály zerint t f(t)dt [ ] d L dt φ(t) L[f(t)]. [ ] d L dt φ(t) L[φ(t)] φ() L[φ(t)], 6
hizen φ() f(t)dt. Átrendezve az egyenletet, kapjuk a kereett özefüggét [ t ] L f(t)dt F () L[f(t)], ahol F zoká zerint f Laplace tranzformáltja. Laplace tranzformált -el való oztáával egyenérték. Ezerint a generátorfüggvény integráláa a. Számítuk ki a φ(t) t t in(at)dt függvény Laplace tranzformáltját! Az el z megállapítá alapján az integrandunak a Laplace-tranzformáltját kell oztani -el, így L[φ(t)] L[t in(at)] 2a ( 2 + a 2 ) 2a 2 ( 2 + a 2 ). 2 2. Számítuk ki φ(t) t t2 e t dt függvény tranzformáltját. Induljunk ki abból hogy imerjük a t n e at tranzformáltját, mot ezt az n 2, a helyetteítéel kapjuk: L[φ(t)] L[t2 e t ] 2! ( ( )) 3 2 + 2a 2 2 ( 2 + 4a 2 ). 3.4. Laplace tranzformált integráláa A Laplace tranzformáltnak az integrálfüggvényét ha megvizgáljuk hazno özefüggét kapunk. Ehhez állítuk el t f(t) t L[f(t)] függvény tranzformáltját ahol felhaználtuk a d ( e t ) e t özefüggét. d t f(t) e t dt f(t)dt e t dt t ( ) f(t)e t dt d F ()d,. Számítuk ki az f(t) in(at) függvény tranzformáltját! t Az el bb levezetett özefüggét alkalmazva 7
[ ] in(at) a L L[in(at)]d t 2 + a d 2 [ ( ( )) ] a ( a )2 + d arctan a a a [ ( )] arctan π ( ) ( ) a a 2 arctan arctan. a 2. Számítuk ki az f(t) in2 at t függvény tranzformáltját. Itt felhaználjuk hogy L[in 2 at] L[f(t)] 2a2, amit már kizámoltunk korábban. Innen következik ( 2 +4a 2 ) L[in 2 at]d Az integrál kizámítáához parciáli törtekre bontunk ennek primitív függvénye ahonnan 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) 2 2 + 4a, 2 2 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) d. ( 2 2 )d 2 4 2 + 4a ln 4 ln 2 2 + 4a 2 4 ln 2 2 + 4a 2 [ ] in 2 at L t 2a 2 ( 2 + 4a 2 ) d [ ln 2 4 2 + 4a 2 4 ln + 4a2 2. ] 8
4. fejezet Inverz Laplace-tranzformáció 4.. Deníció. Legyen az F egy, komplex zám független változójú függvény, é létezzen egy f(t) egyváltozó való zám értek függvény,amelyre teljeül,hogy L[f(t)] F. Az f(t) függvényt az F függvény inverz Laplace tranzformáltjának nevezzük. Az inverz Laplace trazformált jelölée: L [F ] f(t). A gyakorlati alkalmazá zempontjából egyik legfontoabb tulajdonágot az alábbi állítában adjuk meg. Állítá: Ha létezik f (t)l [F ]; f 2 (t) L [F 2 ] ;... ; f k (t) L [F k ] inverz Laplace tranzformált függvények, é c ;c 2 ;... ; c k tetz lege adott való vagy komplex zámok akkor L [c F + c 2 F 2 +... + c k F k ] c L [F ] + c 2 L [F 2 ] +... + c k L [F k ] c f (t) + c 2 f 2 (t) +... + c k f k (t) azaz az inverz Laplace tranzformáció lineári tulajdonágú. Fonto még a konvolúció tételként imert állítá Állítá: Egy imeretlen f(t) függvény F Laplace tranzformáltja legyen zorzat alakú: F F F 2,de legyenek imertek az f (t) é f 2 (t) függvények, mint a tényez k inverz Laplace-tranzformáltjai: f (t) L [F ] é f 2 (t) L [F 2 ] Ekkor f(t) L [F ] L [F F 2 ] Alkalmazom a fent megfogalmazottakat néhány függvényre. t f (x)f 2 (t x)dx.. Számítuk ki az F () 3 2 + 4 + 3 9
függvény inverz Laplace-tranzformáltját! A tört nevez jét telje négyzetté alakítjuk F () 3 2 + 4 + 3 3 ( + 2) 2 + 9 3( + 2) 7 ( + 2) 2 + 9 3 + 2 ( + 2) 2 + 9 7 3 3 ( + 2) 2 + 9 ezért az inverz Laplace-tranzormált linearitáát,a cillapitái tételt é a kozinuz é zinuz függvényekre vonatkozó azonoágokat alkalmazva: [ ] L [F ()] 3L + 2 73 [ ] 3 ( + 2) 2 + 3 2 L 3e 2t co(3t) 7 ( + 2) 2 + 3 2 3 e 2t in(3t). 2. Számítuk ki az függvény inverz Laplace-tranzformáltját! tehát 9 2 2 + 6 F () 9 2 2 + 6 9 2 ( 2)( + 3) A 2 + B + 3 9 2 A( + 3) + B( 2) A + 3A + B 2B A + B 2 A 2 B 3A 2B 9 3( 2 B) 2B 9 6 3B 2B 9 6 5B 9 5B 25 B 5 A 2 + 5 3 F () 3 2 5 + 3. Inverz Laplace-tranzformáció linearitáát alkalmazva [ ] [ ] L [F ()] 3L 5L 3e 2t 5e 3t. 2 + 3 2
4.. Parciáli törtekre bontá módzere Ez a módzer a ké bbiekben i fonto lez. Ebben a rézben általánoan zeretném imertetni majd egy egyzer példán bemutatni. Legyen f(x) p(x) alakú, ahol p(x) egy m-edfokú, q(x) pedig n-ed fokú polinom. A nevez nek q(x) cak egyzere, való gyökei vannak. Ekkor q(x) felírható gyöktényez alakban. Ekkor pedig p(x) q(x) felírható: p(x) q(x) p(x) (x x )(x x 2 )... (x x n ) A x x + A 2 x x 2 +... + A n x x n alakban. Itt az A, A 2,..., A n zámokat az egyenl együtthatók módzerével kapjuk meg. Tehát p(x) q(x) p(x) (x x )(x x 2 )... (x x n ) A x x + A 2 x x 2 +... + A n x x n azonoágban a jobb oldalt közö nevez re hozzuk, majd az így kapott zámláló együtthatóit özevetjük p(x) megfelel együtthatóival, így egy egyenletrendzert kapunk A i -kre, amelyet megoldva megkapjuk a kívánt együtthatókat. PÉLDA. Legyen F () 9 2 2 + 6. A nevez zorzattá alakítáa után kapjuk, ebb l F () 9 2 ( 2)( + 3) A 2 + B + 3 9 2 A( + 3) + B( 2) A + 3A + B 2B ahonnan A + B 2 A 2 B 3A 2B 9 2
Behelyetteítem A-t a máodik egyenletbe 3( 2 B) 2B 9 6 3B 2B 9 5B 25 B 5 B-t behelyetteítve az el egyenletbe A 2 ( 5) 3 így F () 9 2 2 + 6 3 2 5 + 3. 22
5. fejezet Közönége dierenciálegyenletek é egyenletrendzerek A Laplace tranzformáció egyik legfontoabb alkalmazáa az álladó együttható lineári dierenciálegyenletek é dierenciálegyenletrendzerek megoldáa. Ehhez tekintünk egy máodrend dierenciálegyenletet ax + bx + cx f(t) ahol a, b, c adott kontanok, x x(t) az imeretlen függvény,f zintén adott függvény. A megoldái módzer lényege abban áll, hogy képezzük az egyenlet mindkét oldalának Laplacetranzformáltját. Ha bevezetjük az imeretlen t x(t) függvény tranzformáltjának jelöléére az X() jelet, é felhaználjuk a korábban bizonyított L[x (t)] X() x() L[x (t)] 2 X() x() x () özefüggéeket,akkor a tranzformáció eredménye az a( 2 X() x() x ()) + b(x() x()) + cx() F () algebrai egyenlet. A tranzformáció elvégzée után tehát az imeretlen x függvény tranzformáltjára egy közönége algebrai egyenletet kapunk. 23
5.. Példák dierenciálegyenletekre. Tekintük az kezdeti érték feladatot. x 4x, x(), x () Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját L[x ] 4L[x]. Haználva az X() L[x] jelölét valamint a máodik derivált Laplace-tranzformáltjára vonatkozó azonoágot, kapjuk A kezdeti értéket haználva 2 X() x() x () 4X() azaz ( 2 4)X() Bontuk parciáli törtekre X()-t, X() 2 4. 2 4 amib l átzorozva kapjuk, hogy ( + 2)( 2) A + 2 + B 2 A( 2) + B( + 2) A + B A B 2A + 2B ( B) + B 2B B 2 A 2 2 24
ezért 2 4 2 + 2 + 2 2. Inverz Laplace-tranzformáltat haználva megkapjuk a kezdeti érték feladat megoldáát 2. Tekintük az [ ] [ x(t) L [X()] L L 2 4 2 + 2 + ] 2 2 2 e 2t + 2 e2t. x (t) + 4x (t) + 3x(t) x() x () Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját ekkor 2 X() x() x () + 4X() x() + 3X() X() 2 + 4 + 3 3 + 4 2 + 3. A nevez t zozattá alakítjuk é haználjuk a parciáli törtekre bontá módzerét: átzorozva kapjuk X() ( + )( + 3) A + B + + C + 3 A( 2 + 4) + 3) + B 2 + 3B + C 2 + C ebb l A + B + C 4A + 3B + C 3A A 3 A-t behelyetteítve a máik két egyenletbe { 3 + B + C 4 3 + 3B + C 25
Kivonjuk egymából a két egyenletet 2B B 2 így 3 2 + C C 6 X() 3 2 + + 6 + 3. Inverz Laplace-tranzformáltat haználva megkapjuk az egyenlet megoldáát: x(t) L [X()] L [ 3 2 + + 6 + 3 ] 3 (t) 2 e t + 6 e 3t. 5.2. Dierenciálegyenletrendzerek Dierenciálegyenletek eetén felhaználva az az el z ekben megkapott özefüggéeket, algebrai lineári egyenletrendzert kapunk az imeretlenfüggvények tranzformáltjára vonatkozólag. Az egyenletrendzer megoldáa után imét a vizatranzformálá a feladat.. Számítuk ki a következ egyenletrendzert! x 3x 2y + e t y x + 6y e t x() 2 y() vegyük mindkét egyenlet mindkét oldalának Laplace-tranzformáltját: { X() x() 3X() 2Y () + Y () y() X() + 6Y () a kezdeti feltételeket haználva: ( 3)X() + 2Y () 2 + X() + ( 6)Y () az egyenletrendzert rendezve kapjuk: 26
é így parciáli törtekre bontva X()-t: { X() 2 2 +6 Y () ( 4)( 5)( ) 2 5+ ( 4)( 5)( ) 2 2 + 6 ( 4)( 5)( ) A 4 + B 5 + C 2 2 + 6 A( 2 6 + 5) + B( 2 5 + 4) + C( 2 9 + 2) 2 2 + 6 A 2 A6 + 5A + B 2 5B + 4B + C 2 9C + 2C A + B + C 2 A 2 B C 6A 5B 9C 6(2 B C) 5B 9C B + 3C 5A + 4B + 2C 6 5( 4C) + 4( + 3C) + 2C 6 9 + 2C 6 C 4 B + 3( 4 ) 4 A 2 4 ( 4 ) 2 [ 2 x(t) L 4 + 4 5 ] 4 x(t) 2e 4t + 4 e5t 4 et majd imét a parciáli törtekre bontá módzerével megkapjuk y(t) i: A + B + C A B C 6A 5B 9C 5 6( B C) 5B 9C 5 B + 3C 5A + 4B + 2C 5( 4C) + 4( + 3C) + 2C 4 + 2C C 4 B + 3C 4 ( A ) 4 4 27
2. Legyen: x 7x + y + 5 x() y 2x 5y 37 y() [ y(t) L 4 4 5 + ] 4 y(t) e 4t 4 e5t + 4 et. Mindkét egyenletnek vezük a Laplace-tranzformáltját. Ekkor: { X() 7X() + Y () + 5 Y () 2X() 5Y () + 37 2 Az el egyenletet megzorozzuk + 5-tel majd özeadjuk a két egyenletet így megkapjuk az X()-t: Parciáli törtekre bontjuk X()-t: X() { X()( + 7) Y () 5 /( + 5) p Y ()( + 5) + 2X() 37 p 2 { X()( + 5)( + 7) Y ()( + 5) Y ()( + 5) + 2X() 37 2 X()( 2 + 2 + 35 + 2) 37 5 + 25 2 X() 37 + 52 + 25 2 ( 2 + 2 + 37) 37 + 52 + 25 2 ( 2 + 2 + 37) A + B + C + D 2 2 + 2 + 37 37 + 5 2 + 25 A(( 2 + 2 + 37)) + B( 2 + 2 + 37) + C( 2 ) + D 2 37 + 5 2 + 25 A + C C 2A + B + D 5 D 6 37A + 2B 25 37A 2 25 A 37B 37 B [ x(t) L + ] + 6 t e 6t co(t). 2 ( + 6) 2 + 28
Majd az egyenletrendzerb l megkapjuk az Y()-t ha az el egyenletet megzorozzuk 2-vel a máodikat pedig + 7-tel é kivonjuk egymából: { 2X()( + 7) 2Y () p Y ()( + 5)( + 7) + 2( + 7)X() 37+259 2 Y ()( 2 + 2 + 37) Y () Parciáli törtekre bontjuk Y()-t: Megkaptuk hogy: 37 259 2 ( 2 + 2 + 37) 37 259 2 p 47 259 2 + 2 + 37. 47 259 2 + 2 + 37 A + B + C + D 2 2 + 2 + 37 47 259 A(( 2 + 2 + 37)) + B( 2 + 2 + 37) + C( 2 ) + D 2 47 259 A 3 + A2 2 + A37) + B 2 + B2 + 37B + C( 2 ) + D 2 A + C C 2A + B + D 2 7 D D 5 37A + 2B 47 37A + 84 47 A 37B 259 B 7. + 7 + + 5 2 2 + 2 + 37. Vezük az el z egyenlet inverz Laplace-tranzformáltját: [ y(t) L 7 + 5 ] 2 + 2 + 6 y(t) 7t + e 6t co(t) + e 6t in(t). 29
5.3. Integrálegyenletek Néhány eetben el fordulnak olyan integrálegyenletek,amelyekben az imeretlen függvény egy konvolúcióban zerepel. A g(x) f(x) + λ b a k(x y)g(y)dy egyenlet, ahol f(x) é k(x) megadott függvények é a λ adott állandó. Ha az el z egyenletben a x x a, y y a változó cerével a következ t kapjuk x g(x ) f(x ) + λ k(x y )g(y )dy Az általáno megoldái módzer: alkalmazzuk a Laplace tranzformációt az egyenletre, G() F () + λk()g() algebrai egyenletre jutunk, amelyb l következik, hogy Az egyenlet átírható a G() F () λk(). alakra. G() F () + λk() λk() F (). Tekintük az e t g(t)dt egyenletet. A Laplace tranzformáltja a következ innen 2 G() G() 2 2, g(t) t. 3
2. Tekintük a egyenletet. Ekkor g(x) x (x y)g(y)dy G() 2 G(), ami a következ megoldát adja: G() + 2 g(x) cox. 3
Irodalomjegyzék [] Hanka Lázló, Zalay Mikló Komplex függvénytan M zaki könyvkiadó(2) [2] Brain Davie Integráltranzformációk é alkalmazáaik M zaki könyvkiadó(983) [3] Simon L. Péter, Tóth Jáno Dierenciálegyenletek, Typotex (25) 32