Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4.. feladat: Megoldás: x x a) Igazold, hogy + Mikor áll fe az egyelőség? b) Igazold, hogy, bármely x > 0 és eseté! +, bármely Alkalmazzuk a számtai és mértai közepek egyelőtleségét: + x x x+ 4 x x x " " x = vagy 0 ( pot) a. Az a) alpotba * eseté! Koziger Éva, Szatmárémeti Dávid Géza, Székelyudvarhely (4 pot) x értékre kapjuk a kért egyelőtleséget. (3 pot)
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia. feladat: Az XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4. x sorozatot a következőképpe értelmezzük: x és... x x x x, bármely természtes szám eseté. Igazold, hogy: Megoldás: a) b) xk, bármely természetes szám eseté; k k k, bármely természetes szám eseté! kx k k Becze Mihály, Bukarest Mivel a feltételbe szereplő összefüggés mide eseté igaz, felírhatjuk, x x x... x hogy x x x... x ( pot) A két összefüggést kivova egymásból azt kapjuk, hogy x x ( ) x ( pot), ahoa ( ) x ( ) x ( pot),mide. Ie kapjuk, hogy x ( ) mide eseté( pot). Ezt felhaszálva x k k ( pot) k k k és k kx k( k ) k k.( pot) k k k k Megjegyzés: ) Ha az első alpotál kért azoosságot a matematikai idukció módszerével próbáljuk igazoli, akkor az -ről ( ) -re való bizoyításaál azt kell igazoluk, hogy x idukcióval igazolhatuk. ( ) mide eseté, amit szité
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia ) Az hogy XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4. x ( ) mide eseté, iduktív módo is megfejthető, felírva a feladat feltételébe szereplő összefügést redre,,3,4 -re. Így redre kapjuk, hogy 0 x, x 3, x3 4, 3 x4 5,...
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4. 3. feladat: Az ABC háromszög oldalai felvesszük a következő potokat: A, A BC ; B, B AC, C C AB úgy, hogy Megoldás:, AC, AB BC, AC C B BA. Legye G az ABC háromszög súlypotja. Mutasd ki, hogy az ABC háromszög síkjáak bármely P potja eseté feáll a következő összefüggés: PA PA PB PB PC PC 6 PG Masta Eliza és Zákáy Móika, Nagybáya Legyeek M, N és Q potok az BC, AC, illetve AB oldalak felezőpotjai. PBC háromszögbe PM oldalfelező, ezért: PA PA PM.( pot) Hasolóa írhatuk még két összefüggést a PN és PQ oldalfelezőkre: PB PB PN, PC PC PQ.( pot) Összeadva az utóbbi három összefüggés megfelelő oldalait, kapjuk:
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4. PB PC PC PA PA PB PA PA PB PB PC PC ( PM PN PQ) PA PB PC 3 PG Ie következik a kért összefüggés. (5 pot)
Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4. 4. feladat: Adott 7 pot egy kör kerületé. Bármely 4 pot által meghatározott égyszög súlypotját összekötjük a maradék 3 pot által meghatározott háromszög magasságpotjával. Bizoyítsd be, hogy a kapott egyeesek egy poto meek át! Borbély József, Székesfehérvár Megoldás: Legye a kör középpotja az origó, legye a 7 pot a körö A, B, C, D, E, F, G, a potok helyvektorai redre a,b,c,d,e,f,g. ( pot) Az ABCD égyszög súlypotjába mutató vektor ( pot), a GEF háromszög magasságpotjába mutató vektor g+e+f (a Sylvester-összefüggés miatt) ( pot). Tehát azo potok helyvektorai, amik rajta vaak az ABCD súlypotját és a GEF háromszög magasságpotját összekötő e egyeese, éppe t + (g+e+f). ( pot) Ha = -t, akkor t=4/5. ( pot) Ha t=4/5-öt helyettesítük, akkor azt kapjuk, hogy rajta va az e egyeese. ( pot) Betűcserével kapjuk, hogy a többi ilye egyeese is rajta va. ( pot) Általáosítás: db pot va a körö, bármely (-3) által meghatározott sokszög súlypotját összekötve a maradék három által feszített háromszög magasságpotjával, az így kapott egyeesek egy poto meek át.