eress Árád Galla Tbor ohács József SÚÓDÁSMENTES KÖZEG NMEIKS ÁAMÁSTANI MODEEZÉSE ÉS ÉÉNYESÍTÉSE ÖSSZEFOGAÁS A ublkácó céla eg dmezós az összeomható áramlás modellezésére alkalmas ks számítógé kaactásgéel redelkező rogram feléítéséek működéséek és éréesítéséek bemutatása. Az mlemetált algortmus az összeomható közegre oatkozó Euler egeletek kozeratí alakára éül. A dszkretzácó alaa eg strukturált cella közéotú éges térfogat módszer amelet obektum oretált C körezetbe alósítottuk meg. A koektí tagok térbel dszkretzálására az úg eezett oe által közelített ema megoldót mlemetáltuk. A térbel dszkretzácó redéek öelése az MSC (Mootoe stream Schemes for Coserato aws) elárás a moototás megőrzése MMod tíusú határoló segítségéel törtét. Az algebra egeletek megoldására eg egedredű uge-kutta elárást alkalmaztuk. A eremfeltételek meghatározása a karaktersztkák módszeréel törtét a beléő és a kléő ereme. A szlárd fal eremek eseté a rugalmas fal tíusú megoldást alkalmaztuk a szofter számítás sebességéek öelése érdekébe. Az elárás legkább a reülőgé ar és az áramlásta géek terezése szemotából lehet fotos ezért az Euler megoldó aldácóát eg NACA 65-4 tíusú szár rofl körül és az uga eze rofl segítségéel kalakított laátrácsba kalakult áramlásra égeztük el. JEÖÉSJEGYZÉK at betűk elölések: A: F fluus-ektor Jacob-féle mátra; C: H fluus-ektor Jacob-féle mátra; C : álladó omáso ett fahő [J/(kgK)]; C : omástéező; C : álladó térfogato ett fahő [J/(kgK)]; c: hagsebesség [m/s]; c: húrhossz [m]; E: torlóot eerga [J/kg];
e: statkus eerga [J/kg]; e : e : ráú egségektor; ráú egségektor; F: koektí fluusektor ( komoes); G: koektí fluusektor ( komoes); H : Euler-egelet teles fluusektora; H ~ : umerkus fluus-függé; H : torlóot etala [J/kg]; k : mereség téező; : C mátr bal oldal saátektor mátra; M: Mach-szám; : a számítás tér összes otaak száma [db]; f : az elleőrző térfogatot határoló oldalak száma [db]; : ormáls rá; : kfelé mutató ormál egségektor ( q : damkus omás a táol rááramlásba [Pa]; : statkus omás [Pa]; to : torlóot omás [Pa]; r () : obboldal ormáls ráú saátektorok; : C mátr obb oldal saátektor mátra; : secfkus gázálladó (leegőre: 87 [J/(kgK]); : rezduum; e: eolds-szám; s : -ra merőleges ele obbredszert alkotó egségektor; t: dő [s]; T: statkus hőmérséklet [K]; T to : torlóot hőmérséklet [K]; : kozeratí áltozók ektora; u: ráú sebességkomoes [m/s]; : sebességektor (u w) komoesekkel [m/s]; : abszolút sebesség agsága [m/s]; eüléstudomá Közleméek. árls 6.
: ráú sebességkomoes [m/s]; W: karaktersztkus áltozók ektora; w: z ráú sebességkomoes [m/s]; z: Descartes-féle térbel áltozók; Görög betűk elölések: α : sebességektor ráa [ ]; α : csllaítás téező; α k : uge-kutta egüttható; β : komresszós araméter kostas; β l : áramlás szöge [ ] (tegeltől mére); : két állaot között eltérés; ε : stablzáló tag hagoló aramétere; Γ : Ω elleőrzőfelületet határoló oldalfal-hossz [m]; γ : fahőszo; κ : rekostrukcós araméter; λ : C Jacob-féle mátr saátértéke; Λ : saátérték mátr; µ : súlozó araméter; : sűrűség [kg/m 3 ]; τ : súlozó-araméter; χ : oe által átlagolt sűrűség; Ω : elleőrző felület [m ]; Ideek: : statkus állaotelzők; : ektormeség; : oe-féle araméterektor-elem; : refereca állaot; : oztí (l. saátérték); -: egatí (l. saátérték); eüléstudomá Közleméek. árls 6.
: számítás térből etraolála rááramlás araméter; : bal oldala a cellafalak; : térbel deek; : bemeet (ut); l: lokáls; : ráába; : dőbel de; out: kmeet (outut); : obb oldala a cellafalak; BS: múlt ele és öő (araméterek a ereme); S: a köetkező dőlééshez tartozó a ereme érées araméter; s: s ráába; st: statkus állaotelzők; to: torlóot állaotelzők; ödítések: BC: Boudar Codto (eremfeltétel); CF: Courat szám; CFD: Comutatoal Flud Damcs; DNS: Drekt Numerkus Szmulácó ENO: Essetall No-Oscllator (schemes); E le: beléőél (eadg Edge); MSC: Mo. stream Schemes for Co. aws; e: eolds szám; TE te: kléőél (Tralg Edge); TD: Total arato Dmshg; BEEZETÉS A mérök terezés két alaető eszköze a terezés és a zsgálat. E két elárás kombácóa ada a terezés folamat teratí ellegét. Az áramlás számítógées modellezése kezdetbe elsősorba az aalízst ags a zsgálatot segítette ol módo hog alkalmazásáal a mérések száma olt csökkethető íg a terezés költsége s eletőse csökketek. A számítás telesítmé öekedéséel azoba a umerkus eüléstudomá Közleméek. árls 6.
áramlásta a terezés és az otmalzálás folamatába s egre agobb szereet kaott hsze a fzka alósággal elletétbe a rtuáls lágba a geometra araméterek egszerűe módosíthatók. Ez eletőse hozzáárul a mérök gakorlatba alkalmazható otmalzácós algortmusok teredéséhez melek a költségcsökketése kíül kedező hatással aak a kaactásra és a mukadőre s. A számításokhoz szükséges dő tektettel a ag számú araméterre azoba még a szuerszámítógéek alkalmazásáal s a költséghatékoság csökkeéséhez ezethet ezért e muka elsődleges céla eg ola számítás elárás mlemetálása mel segítségéel aulás érhető el az elct módszert alkalmazó umerkus áramlásta számítások területé. NMEIKS MÓDSZE A súrlódásmetes deáls áramlás feltételezéséel éle a Naer-Stokes-egeletek a szkózus és a hőezetés tagok elhaagolásáal az Euler-egeletekre ezethetők ssza amelek az áramlásba megeleő dszkotutások lökéshullámok kotakt- és az öréfelületek kezelhetősége szemotából a em szkózus áramlás legmagasabb fokú aromácóát eletk. Az Euleregeletek elsősorba a határrétege kíül és a ag eolds-számú leálás élkül összeomható áramlás modellezésére alkalmasak. Mel aak ar-áramlásta folamataba lezaló folamatokra a ag eolds-szám ellemző ezért ebből a szemotból az Euler-egeletek alkalmazása áramló közegek modellezésére ó közelítések tűk. A külöféle umerkus módszerek tektetébe a szkózus és a em szkózus áramlásmodellek eseté az elégzedő műeletek száma ez utóbb esetbe a turbuleca modellek háa matt ksebb íg a számításhoz szükséges gédő s rödebb. Másrészt a legtöbb komle 3D-s áramlás a megfelelő szmmetra-feltételek llete közelítések fgelembeételéel sszaezethető D-s folamatokra. Az Euler-egeletek eseté l. a határréteg és ezáltal a szekuder-áramlások modellezéséek háa matt éldául a llete a 3D-s eredméek között eltérés ksebb mt a szkózus áramlásmodellezések eseté. Mdezek fgelembeételéel elsősorba az előterezés folamatok lerödítéséek érdekébe a ksebb gédő-gé ól komezálhata a legagobb aromácós fokú D-s deáls áramlásta modellekbe relő közelítést. Az Euler egeletek eg ola em leárs arcáls dfferecálegelet redszert foglalak magukba melek komletásuk matt aakg em létezk általáos éréű zárt alakú megoldása ezért a külöféle áramlásta-mérök roblémák megoldása sorá hathatós segítséget útaak az áramlásta umerkus módszere. A külöféle elárások alkalmazásakor a megfelelő otosság bztosítása mellett az alaegeletekbe szerelő áramlásta araméterek a zárt alakú foltoos megoldás helett dszkrét értékekkel helettesíthetők. Ezért először a foltoos számítás tartomá éges számú dszkrét felosztását a hálózást kell elégez. A háló otaak segítségéel határozhatók meg az áramlásta araméterek. A dfferecál ag tegrál formába felírt eüléstudomá Közleméek. árls 6.
alaegeletek a dszkretzálást köetőe kerülek a számítógé által ól kezelhető alakra. A leárs ag em leárs algebra egeletek azoba a kduló egeletek meghatározott fokú aromácóát s eletk. A foltoosról dszkrét alakra törtéő átalakítás sorá általába eg adott ot körül Talor-sorba fetés maradék tagáak segítségéel állaítható meg a közelítés rede. A hálóméret ullához tartása eseté a umerkus dszkretzácó hbááak s a zérushoz kell tartaa a sebessége edg aráos a dszkretzácó aromácóáak redéel. Az eredméek otosságát a hálózás mősége homogetása s eletős mértékbe befolásola. A külöféle dszkretzácós techkák három főbb csoortba oszthatók: a éges dfferecák módszere a éges elemek módszere és a éges térfogat módszere. Naakba a éges térfogat módszer a legelteredtebb a umerkus áramlásta ar alkalmazásaba mert magába foglala a égeselemes módszer geometra és a éges dfferecák dszkretzálás flebltását mérsékelt memóragéel ezért ebbe a mukába s ezt a közelítést alkalmaztuk. Alaegeletek A Naer-Stokes egeletredszerből a szkózus és hőezetés tagok elhaagolásáal állítható elő az Euler-egelet redszer am súrlódásmetes áramlást leíró legáltaláosabb dfferecálegeletredszer. Ez az egeletredszer két dmezóba kozeratí alakba dőfüggő formába tehetetleség erők és belső hőforrás élkül összeomható áramlásra és a Descartes-féle koordáta redszerbe a köetkező formába írható fel [5] t F G ahol a kozeratí áltozók és a koektí tagok ektora () u E u u F u uh u. () H G A torlóot eerga és etala a köetkező formába írható fel u E γ H γ u γ. (3) A térbel dszkretzácós módszer A éges térfogatok módszere az alaegeletek tegrálása utá megeleő kfeezések dszkretzálásá alaszk. Az () egelet összeoását tegrálását és a Gauss Osztrogradszk tétel alkalmazását köetőe a Γ -al határolt Ω tartomá felett a köetkező formába írható fel eüléstudomá Közleméek. árls 6.
t Ω rr dω HdΓ. (4) Γ A kotúrtegrált a H fluusok felületelemre merőleges komoeseel egszerűbb meghatároz mt a koordátaredszer ráa szert összeteők segítségéel ezért ezt a közelítést alkalmaztuk. A teles fluus r rába eső komoese a köetkező alakba írható fel melbe H rr u H H r r r r ( ( ue e )( e e ) u ) rr (5) a cellafalra ormáls ráú sebességkomoes. Ezek utá (4) egelet a köetkező formát ölt dω H dγ t Γ. (6) Ω A foltoosról a dszkrét alakra törtéő átalakítás sorá a éges térfogat felett megoldásfüggé az dszkrét smeretleel közelíthető Ω dω (7) Ω amel a cella közotú megközelítések felel meg. Ezért az smeretle megoldásektor kább értelmezhető az Ω elleőrző felület felett közéértékek mtsem eg csomóot függéértékek amel a cella csomóot közelítés ellemző aramétere. A Ω elleőrző felület - 4 Γ 4 -/ / Γ -/ Γ 3 Ω / Γ e - 3 e. ábra. Cella közotú éges térfogat háló modell eüléstudomá Közleméek. árls 6.
f számú kotúrára elégzedő összeggel helettesíte a (6) egeletbel másodk tegrált a köetkező ot körül szem-dszkretzált dfferecálegeletre ezethető ssza t f Ω k [ H ] Γ k k (8) amelbe [ ] k H az Ω elleőrzőfelülethez tartozó a és k csomóotok között elhelezkedő a Γ k oldalhosszra ellemző koektí fluus (. ábra) és az elköetkezedőkbe mt umerkus fluus függé fog szereel. Előállítása alaetőe meghatározza a séma tuladoságat. Az áramlásráú (u. uwd) módszerek eseté az oszcllácós eleségek elkerülése érdekébe cs szükség ú egeletbel tagok hozzáadására mel a umerkus fluusok az áramlás rááak ags a karaktersztkus görbék meredekségéek (a fzka formácóteredés rááak) megfelelőe aak szétálaszta. egeek az ( ) alamt a ( ) ( ) és (9) szomszédos cellákra ellemző kozeratí állaotelzők ameleket az cellahatár álaszt el egmástól. Az rába leetített a teles fluus kozeratí áltozók szert derálta a C mátr a köetkezőkée írható fel C H. () Az áramlás rá szert dfferecált (uwd) sémák umerkus fluus-függée a köetkezőkée defálhatók amelbe ( α) λ a ( ) H ( ) H ~ ( α) ha λ > és () ( ) H ( ) H ~ ( α) ha λ < () C mátr saátértéke. A fet feltétel a hagsebesség felett áramlás eseté azt a fzka eleséget modellez mszert cs formácóteredés az áramlással elletétes rába. Tetszőleges és araméterek segítségéel eg hozzáuk közel fluus-függé Talor-sorba fetése a köetkezőkée írható fel H ~ ( ) H ( ) C ( )( ) C ( )( ) referecaállaottal a eüléstudomá Közleméek. árls 6.
Az egeletbe szerelő C és ( ) ( )( ) ) Ο. (3) C mátrok a obb és bal oldal saátérték mátrok C Λ és (4) C Λ (5) alamt Λ oztí ésλ egatí dagoáls mátrok segítségéel állíthatók elő. A dagoáls mátrokba szerelő egatí llete a oztí értékek helére zérust kell ír. ege artmetka közéértéke ( ) köetkező és /. Ekkor a (8) umerkus fluus-függé az / hele a H ~ H ( ) H ( ) C ( ) H H ( ) H. (6) A H tagak k kell elégítee a kozsztecát ags H ( ). (7) H léegébe eg mesterséges dsszácós tag amel a cetráls dszkretzácó stablzálására szolgál. Az uwd ellegű sémák többségébe a közöttük léő külöbség a H tag külöféle recíz meghatározásába relk. A ele mukába oe [6] által közelített fluus-külöbség megosztáso alauló módszert alkalmaztuk mert ez tekthető az egk legkeésbé dsszatí elárásak (umerkusa) és a legközelebb áll a karaktersztkus traszorteleségek elméletéhez. Az elárás a fluus külöbségek karaktersztkus mező dekomozícóá alaszk. Ez az egk legkább alkalmazható ema megoldó az áramlásba megeleő szakadások otos modellezésre (l. lökéshullámok írás). A ()-be szerelő em szkózus fluusok a kozeratí áltozók elsőfokú függée am azt elet hog Kéezzük a (8) egelet β szert deráltát β hele F( β ) βf β. (8) ( β) F β F F ( β) ( β) β β A. (9) eüléstudomá Közleméek. árls 6.
A (9) egelet alaá alamt felhaszála hog a áltozók ektora szert dfferecálásáal állítható elő a írható fel C mátr a H eredő fluus kozeratí H fluus formálsa a köetkezőkée amelbe Λ H H C Λ () C mátr saátértékeek dagoál mátra: Λ ( α) Dag( λ ) α 3 4 két dmezóba: alamt és λ λ ( 3) λ c ( 4) a obb és bal oldal saátektor mátrok ( ) Az formácóteredés rááak megfelelőe a λ c ( c γt a hagsebesség). Λ mátr elemeek előele szert eg oztí és eg egatí mátrra botható fel malatt a egatí és oztí elemek helére zérus kerül. Ezzel a megosztással az eredő fluus a köetkezőkée írható fel H ( Λ ) ( C C ) H H Λ. () Az előzőek értelmébe a cellahatáro megeleő fluus-függé a bal és a obb oldal állaotokak megfelelőe alakul ag H ~ H ~ ( ) H ( ) H ( ) () ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) C d Másrészt szté felírható hog H ~ ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) C d. (3). (4) A megoldás azo a leárs hullám-dekomozícó ele alaul amelek sorá a obb és a bal oldalak létezk eg secálsa átlagolt állaota (kalaal elöle) amelet oe araméterektorak eezek. Az tegrálás elégzését köetőe az előző két egelet segítségéel a köetkező összefüggés adódk A ( ) H ~ { } ( ) H ( ) H ( ) Ĉ ( )( ) Ĉ mátr a köetkező secáls tuladoságokkal redelkezk. alós értékű saátektora és leársa függetle saátektora aak.. (5) eüléstudomá Közleméek. árls 6.
. Ha akkor Ĉ ( ) Ĉ 3. H ( ) H ( ) Ĉ ( )( ).. Az első feltétel a herbolkus tíusú egeletek ellemző tuladosága a másodk a kozszteca. A harmadk feltétel bztosíta hog ugó lökéshullámok eseté amkor ( ) H ( ) umerkus fluus-függé a fzkalag releás [ H ( ) H ( )] H a (5) fluussá alakulo. Más szóal ez azt elet hog a séma kées lege a dszkotutás megoldására eg cellá belül ha a szakadás hálóráú [5]. A (5) egeletbel Ĉ ( ) ektor a obb oldal saátektorok mátráak a karaktersztkus áltozók ektoráak és a saátérték mátrak leárs kombácóáal állítható elő Ĉ Ĉ W Ĉ W Λ W 4 λ (6) r W amelbe obb oldal saátektor mátr r oszloektorok a W ektor edg a W karaktersztkus áltozók segítségéel állítható elő. oe megmutatta hog deáls gázok eseté mátr abba az esetbe egezk meg C Jacob-mátrszal ha Ĉ Ĉ felírható û és Ĥ áltozók ola függéekét amelek a sűrűség égzetgökéel átlagolt araméterek formáába írható fel χ u χ u û χ χ χ llete Ĥ Ĥ χ Ĥ χ (7) ahol χ amhez a számítástechkalag leggazdaságosabb eg égzetgökszámítás szükséges. A hagsebesség az előbb araméterek segítségéel szté kfeezhető c ( ṷ ) Ĥ γ. (8) Ezek utá oe fluus-függée a köetkezőkée alakul H ~ amelbe a obb oldal saátektor mátr 4 ( ) H ( ) H ( ) r W λ (9) eüléstudomá Közleméek. árls 6.
eüléstudomá Közleméek. árls 6. û û û û γ α γ α α (3) ahol e ûe û α és e e e ûe û. r oszlo ektorok mátr oszlo eleme ( 3 4 balról obbra). A karaktersztkus ektor eleme a köetkezőkée írhatók fel s W W W W W 4 3 (3) amelbe e e s -ral obbredszert alkotó rá merőleges egségektor a -al elölt araméterek eletése: φ φ φ. égezetül a Λ saátérték mátr kfete köetkezőkée éz k 4 3 λ λ λ λ Λ. (3) A umerkus elárást azoba célszerű kbőíte az u. etróa feltétellel hog elkerülhetők legeek az ola em fzka megoldások mt éldául az eazós hullámok. Az etróa korrekcó léegébe eg hozzáadott umerkus dsszácót elet azokba a krtkus esetekbe amkor a saátérték előelet ált (l. lökéshullám hagsebesség). A mukába alkalmazott módszer Yee (989) által aasolt eláráso alaszk amelbe a saátértékek λ - től 4 λ -g eg u. etróaf függé segítségéel állíthatók elő [8] λ ψ λ (33) ahol a ψ függé:
eüléstudomá Közleméek. árls 6. < z ha z z ha z z ψ (34) alamt û (35) amelbe álladó értéke 5. oe által közelített fluus-külöbség megosztásá alauló módszer elsőredű. A séma otosítása a magasabb redű térbel dszkretzácó beezetéséel érhető el. A dszkretzácó otosságáak rede az és állaotok megfelelő függékacsolatáak fgelembeételéel határozható meg a umerkus fluusok előállítása sorá. Mt ahoga már korábba olt róla szó az első redű sémák esetébe az elleőrző felület felett álladó értékkel szereelek a araméterek és (36) az ( ) cellahatáro az ( ) llete az ( ) éges térfogat elemek között. A magasabb redű aromácó érdekébe az álladó araméterek leársa áltozó másod- ag magasabb redűekkel cseréledők fel. Eek értelmébe felírható megoldás függé ot körül Talor sora (foltoos függéek eseté) 3 Ο (37) toábbá lege Ο Ο és (38) Ο Ο. (39) A (38) és a (39) egeletek segítségéel a (37) egelet a köetkezőkée írható fel 3 Ο (4)
amel az [ ( ) ( ) ] tartomába érées. A cellaközotú elárás sorá az állaotáltozók az elleőrzőfelület felett átlagolt araméterek formáába kerülek meghatározásra ags d. (4) A (4) egelet a (4) egeletbe aló behelettesítése és az tegrálás elégzése utá a köetkező összefüggés adódk 3 ( ) Ο. (4) 4 A (4) egelet (4) egeletbe aló sszahelettesítése utá edg felírható hog 3 ( ) ( ) Ο( ). (43) Az egszerű kezelhetőség érdekébe érdemes beszoroz a szögletes záróelbe léő tagot araméterrel. Eek értelmébe κ 3 eseté a (43) egelet harmadredűe otos és másodfokú közelítést elet térbel dszkretzácóára éze. Ha azoba κ 3 de κ akkor a (43) egelet leárs a leágás hba agsága κ értékétől függőe külöböző lehet am az aromácó redét a legtöbb esetbe másodredűre csökket. A többdmezós roblémák eseté az smeretle araméterek ektoráak leárs ag másodfokú előállítását mde eges cellahatár ormáls ráába el kell égez. A umerkus fluus-függére csak a cellahatáro a szükség ezért az ± (uforms hálózás feltételezéséel) llete az helettesítéssel a (43) egelet a köetkezőkée írható fel amelbe az ( ) és 4 ( ) 3 ( κ) 4 3 κ κ és (44) ( ) ( κ) κ (45) araméterek az ( ) és az ( ) cellák között elhelezkedő cellahatár obb és bal oldalá megeleő értékeket eletk toábbá 3 eüléstudomá Közleméek. árls 6.
és. A (44) és a (45) kfeezések a magasabb redű sémák eg általáos alaka amelet gakra eezek a másodredű sémák κ osztáláak. Az egoldalú másodredű dszkretzálás a κ a Fromm séma κ a harmadredűe otos (uwd) dszkretzácó κ 3 a eoard séma κ és a három otos cetráls dffereca séma κ eseté áll elő. Saos azoba a magasabb redű uwd elárások eseté hasolóa a cetráls sémákhoz hams oszcllácók eleek meg a lökéshullámok közelébe amelekért a umerkus dszkretzácó egeértékű egeletébe megeleő áratla redű deráltak tehetők felelőssé (a árosak okozzák a umerkus dsszácót). A em oszclláló megoldások érdekébe komleebb módszereket kellett beezet. Két ag osztála létezk az le ellegű elárásokak; az ENO (Essetall No-Oscllator) llete a TD (Total arato Dmshg) sémák. Mel ge otosa oszcllácó-metese kéesek modellez az áramlást a szakadás körezetébe alamt legalább másodredűe otosak azo kíül ezért gakra eezk ag megoldó-kéességű módszerekek (hgh resoluto methods). Az ENO sémák esetébe a magasabb redű kteresztés matt em mdg bztosítható az oszcllácó-metesség ezért ebbe a mukába a TD- alauló elárásokat részesítettem előbe. Az köetkezőkée írható fel araméter teles áltozása (total arato) a T. (46) A módszer akkor TD ha T ( ) T( ) (47) am léegébe azt elet hog em alakul k lokáls szélsőérték a megoldásba. A moototás tuladoság a TD-él erősebb feltétel az oszcllácó-metesség szemotából. A TD a moototás a ozttás tuladoságokról bőebb formácó a [5] rodalomba található. A másod llete magasabb redű térbel aromácók eseté megfelelő korlátok között kell tarta a obb és bal oldal kozeratí áltozók gradesét hog e szűö meg a megoldás moototása. Ezért a MSC módszerek eseté emleárs függéeket úgeezett lmtereket kell alkalmaz. A legelteredtebbe haszált lmterek a a Albada a Mulder és a MMod. Ez utóbb esetébe az etraolácós elárás a köetkezőkée módosul [5] 4 ( ) ( κ) κ és (48) eüléstudomá Közleméek. árls 6.
4 ( ) ( κ) κ (49) ahol MMod β és MMod β (5) és amelbe a MMod függé a köetkezőkée számítható k: ( ) sg( )ma[ m( sg( ) sg( ))] MMod. (5) 3κ β a komresszós araméter: β amelet a aldácós elárás sorá 3 értékkel ettük κ fgelembe. A (48) llete a (49) egeletekbe szerelő magasabb redű terolácós függéek külöböző tíusú áltozókkal számíthatók k; a kozeratí a rmtí llete a karaktersztkus áltozók segítségéel. Az D-s áramlások tektetébe a karaktersztkus áltozók egértelmű előt élezek a rmtí és a kozeratí áltozókkal szembe. Eek oka hog a ema arások közül csak az egk áltozk meg ksmértékbe a lökéshullámo llete a kotakt-felülete keresztül ellebe a kozeratí ag rmtí áltozós esetekbe ahol a araméterek áltozása eletős [5]. llete 3Ds esetekbe szté a karaktersztkus áltozók eletk a legkozsztesebb közelítést. A számítás gorsaságáak tektetébe azoba a rmtí áltozók előt élezek a kozeratí és a karaktersztkus áltozókkal szembe ugas ebbe az esetbe elkerülhető a külöböző tíusú áltozók között traszformácó. Maa [5] és mások által égzett umerkus zsgálatok arra egedtek köetkeztet hog a kozeratí áltozók haszálata eseté csökket a koergeca sebessége toábbá émel araméter esetébe oszcllácók eletek meg a szakadások közelébe. Ezekből llete előzetes összehasolító elemzésekből köetkezőe a rmtí áltozókat ( ( u ) ) alkalmaztam az terolácós függéek meghatározásra. Az dőbel dszkretzácós módszer Az előző alfeezetekbe smertetett térbel dszkretzácós módszer sorá utottuk el a megmaradás egeletek a szem-dszkretzált alakág ((8) egelet) t (5) amelbe eg tetszőleges otbel dőllaathoz tartozó rezduumot ags a (6) egeletbel kotúrtegrál umerkus megfelelőét elet. A közöséges elsőredű dfferecálegelet redszer egarát megoldható mlct (l. Newto learzácó relaácó módszerek) és elct (l. haladó eüléstudomá Közleméek. árls 6.
Euler egedredű ugekutta-módszerek) tegrálás segítségéel. Az mlct módszerek ag előe a feltétel élkül stabltás. Az elct dőtegrálás eseté eletkező feltételes stabltás matt mamál kell a megegedhető legagobb t dőléés értékét. Az dőbe beállt folamatok modellezése eseté a égső cél az rezduum zérus értékre törtéő beállítása ola gorsa amle gorsa lehetséges. Az terácók sorá az dőbe otos trazes fzka eleségek em fotosak a számítás elárás léegébe eg umerkus szállítóeszközek tekthető amel a megoldást az dőbe beállt folamat ráába sz. Ebből a szemotból az mlct módszerek haszálata a legalkalmasabb megfelelő korlátozással célszerűe agra álaszta az dőléést. A megfelelő korlátozás a emleartások matt oszcllácós eleség megszütetése érdekébe szükséges dőléést elet. Az elct módszerek szté alkalmasak az dőbe beállt folamatok modellezésére a stabltás feltételek megfelelő a mamálsa megegedhető dőléés korlátozásáal. Az dőbe áltozó trazes folamatok modellezésére az elct módszerek alkalmasak azoba a számítás dő csökketése érdekébe az mlct módszerek agobb hatásfokkal haszálhatók a fzka szemotból megfelelőe megálasztott dőléés fgelembeételéel. A számítógé kaactás a memórafoglalás az terácós dő és a rogramozhatóság szemotából az elct módszerek előt élezek. Az mlct módszerek eseté a háló csomóotaak mamáls száma az esetlegese előálló mátrműeletek elégezhetősége matt korlátoza a am a komle háromdmezós (esetleg DNS (Drekt Numerkus Szmulácó)) számításokra elethet korlátot. Elsősorba a ksebb számítógé kaactás gé matt a ele esetbe elct dőtegrálást alkalmaztuk. Megfelelő megkötések mellett többféle stabl elct módszer létezk (l. Haladó Euler Elct McCormack redktor-korrektor uge-kutta-módszerek) az ola közöséges elsőredű dfferecálegeletek megoldására mt éldául a (8) egelet t Ω f [ H ] Γ k ( k) k k. (53) A lehető legksebb számítógé kaactás llete az α k araméter otmáls megálasztása eseté elérhető széles stabltás terallum eléréséek érdekébe a egedredű emleárs uge-kutta módszert alkalmaztuk amel a köetkezőkée írható fel k k ( ) k... 4 α t. (54) k m Az elárás stabltászsgálata em céla a mukáak erről a szakrodalomba elégséges formácó áll redelkezésre [5]. Általába az dőbe egedredű otosság elérése érdekébe az α k araméter a köetkezőkée állítható elő eüléstudomá Közleméek. árls 6.
α k. (55) 4 k A stabltás tartomá alós tegel met legagobb kteredtsége érdekébe az uwd tíusú dszkretzácók α k araméteréek meghatározása ol módo törték hog mamála a Courat ag CF (Courat-Fredrchs-e) számot α α 5 α 5 és α. 3 A számítás dő toább csökketése érdekébe a cellára érées mamálsa előírható dőléést alkalmaztuk 4 t Ω CF (56) λ µ k k melbe a λ a sektráls sugár k rába k µ k λ k µ k ( c) Γ cellafal k. (57) összes cellafal Peremfeltételek A fzka és umerkus eremfeltétek a karaktersztkák módszeréek segítségéel határoztuk meg. Ha eg hullám által szállított formácó a számítás tér felől érkeze ér el a cellahatárt (egatí meredekségű (lásd. ábra)) a megfelelő áltozó eek az formácóak a segítségéel állítható elő. Ha a karaktersztkus görbe a számítás tére kíülről érkezk akkor eg fzka aramétert kell előír a ereme. Hagsebesség alatt beléő erem eseté három beöő és eg kmeő karaktersztkus görbe ér el a cellahatárt mt ahog az a. ábrá látható. Ezért három aramétert a torlóot omást to a torlóot hőmérsékletet to T és a beléő áramlás ráát α írtuk elő mt fzka eremfeltételeket. A W c o the cure d dt W s o the cure d dt 3 W c o the cure d dt c 4 W c o the cure d dt c karaktersztkák módszeréek megfelelőe a roblémát a cellahatárra merőleges és arra árhuzamos ráokba felíra csak (58) d dt c görbe redelkezk egatí meredekséggel ezért a ( 4 ) - hez (58) [3] tartozó karaktersztkus egeletet alkalmaztuk teles dfferecál formába (59). W eüléstudomá Közleméek. árls 6.
eüléstudomá Közleméek. árls 6. c c t c t (59) A (6) az (59) egelet dszkretzált alakát mutata be melek a sémáa a. ábrá látható. A a cellahatárra ormáls sebesség komoes értékét elet a toábbakba. c c c S S k t S k t S. (6). ábra. A beöő és kmeő karaktersztkus görbék sémáa a dszkretzált egeletek értelmezéséhez (. ot: cella közéot (a fal felületére etraolála); B S otok: araméterek a ereme az előző az aktuáls és a köetkező dőléésbe) A házó araméter meghatározása az eerga- és a Posso egelet segítségéel törtét α γ γ γ γ to to to tg. (6) A (6) és (6) egeletredszer a s és a s araméterekre a Newto-ahso elárás segítségéel oldottuk meg az ú S dőléésre. A hőmérséklet a sűrűség és a sebességektor komoese a Posso egelet az deáls gáztöré és az áramlás smert rááak segítségéel határozhatók meg ha feltételezzük hog cellahatárral árhuzamos sebességkomoes em áltozk. A kléő eremfeltételek fzka és umerkus eremfeltételeek száma és a kokrét számértékek szté a karaktersztkák módszeréek segítségéel határozhatók meg. Ebbe az esetbe két kmeő és eg beöő karaktersztkus görbe elek meg azért eg a kléő statkus omás írható elő mt fzka eremfeltétel. A házó eremfeltételek meghatározására a ) ( W és a 3 ) ( W karaktersztkus áltozókhoz tartozó egeleteket alkalmaztuk (58) melek dszkretzált formába a köetkezők
S [( c )( a ) a ( a )] cs és (6) c s c S c (( c )( c ) a ( c )). (63) A omás smeretébe a fet egeletek a sűrűségre és a ormáls ráú sebességre megoldhatók meg. A tagecáls sebesség álladósága szté toább feltétele olt a házó eremfeltételek meghatározásáak. A számítás dő csökketése érdekébe eg ú umerkus eremfeltétel számítás elárást alkalmaztuk a [] alaá a szlárd fal eremekre amelek haszálatáal eletőse csökkethető az dő terácók száma és a számítás dő. A rugalmas fal erem-feltétel léege eg rugó-csllaító legőredszer amel az dő terácók sorá megeged a falra merőleges em zérusértékű sebességkomoesek megeleését malatt a herbolkus tíusú roblémákra ellemző zaarások a falo keresztül sszaerődés élkül táozhatak a számítás térből. A szlárd fal erem eseté a cellára merőleges sebesség zérus ezért eg beöő és eg kmeő karaktersztkus görbe értelmezhető. A mt umerkus eremfeltételt haszáltuk fel dszktretzált formába d dt c görbéhez tartozó karaktersztkus egelet S S S S c c k k t t / / A tömeg élkül legőredszer rerezetála az áteresztő falat [] ( c ). (64) t µ (65) τ c t melbe k µτ a mereség és α µ a csllaítás téező. Az otmáls araméterkombácó a sszaert hullámok mmalzálására a köetkező: µ. 5 és τ t dszkretzált formáa. Az egelet S k t τ ( ) ( ) S µ c S. (66) A (64) és a (66) egeletek a ereme érées omásra S és ormáls sebességre S oldhatók meg a köetkező dőléésre. A tagecáls sebesség szté álladóak tektedő. A hőmérséklet a Posso egelet segítségéel határozható meg mel a fal adabatkusak tektedő az terácók alatt. eüléstudomá Közleméek. árls 6.
aldácó A bemutatott elárás matematka szemotból kelégít a kozsztecára a koergecára és a stabltásra oatkozó feltételeket ezt több ublkácó s alátámaszta (l. [7]). A gakorlat alkalmazást tekte azoba célszerű megzsgál a rogram működéséek helességét hog mle hatással aak az eredméekre a korábba említett elhaagolások egszerűsítések. Ezért a toábbakba két méréssel összehasolított tesztesetet mutatuk be; először eg NACA 65-4 szárrofl körül áramlást mad a rofl segítségéel kalakított laátrácsba törtéő áramlást. Abbott és mukatársa [] eletős számú mérést égeztek el a NACA 6 tíusú roflok zsgálatáal kacsolatba többek között a felhatóerő az elleállás és a omaték téező meghatározása célából. A teszteket két dmezós ks omású agle szélcsatorába hatották égre melek befoglaló mérete.944 X.86 m és amelbe leggakrabba.6 m húrhosszúságú roflokat mértek. A tesztmodellek teles szélességbe ktöltötték az áramlásra merőleges a szárdarab elhelezkedéséek megfelelő keresztmetszetet. A szélcsatorába elérhető mamáls sebesség 7 m/s körül olt. A mérésről bőebb formácó az []-be található. 3. ábra. Mach szám eloszlás a NACA 65-4 rofl körül α 8 o -s állásszögö és e4 6 eseté C 4 8 6 4-4 4 8 - α[ o ] eermetal a mérés eredmée data umercal számítás eredmé results 4. ábra. Felhatóerő téező az állás szög függéébe NACA 65-4 rofl eseté (feket: mérés szürke: számítás eredmé) eüléstudomá Közleméek. árls 6.
A számítás eredméeket tekte a rofl körül Mach szám eloszlás a 3. ábrá látható olc fokos állásszög eseté. Az 4 6 eolds számmal elzett áramlás a köetkező eremfeltételek segítségéel állítottuk elő: bemetet torlóot omás: tot 6 [Pa]; bemeet torlóot hőmérséklet: T tot 93.5 [K]; statkus kmeet omás: statout 35 [Pa]. A háló mérete: 9. A számítás és mérés eredméek összehasolításáak érdekébe a felhatóerő téező ábrázolása az állásszög függéébe a 4. ábrá látható. Mérök szemotból a módszer elfogadhatóak tekthetők mel a mérés és a számítás eredmée között eltérés százalék alatt a. A másodk aldácós teszt eset szté NACA 65-4 roflo alaul. A segítségéel létrehozott laátrácsba a laátosztás: σ. 5 a húrhossz: c. 7 cm és amelekből a két rofl között táolság c g. (67) σ A β és az α szögek az áramlás llete a húr és az aáls tegel által bezárt szögeket elöl. A méréssel megegező [4] a e45e5 eolds számak megfelelő áramlás a köetkező eremfeltételek beállításáal érhetük el: beléő torlóot omás: tot 75 [Pa]; beléő torlóot hőmérséklet: T tot 93.5 [K]; kléő statkus omás: statout 35 [Pa]. A H tíusú strukturált umerkus háló elemszáma: 6. Az áramlásta számítás eredmée az 5. ábrá látható amelbe a Mach szám eloszlást mutatuk be β 3 o és α o eseté. 5. ábra. Mach szám eloszlás a NACA 65-4 komresszor laátrácsba β 3 o α o és e45e5 ( f let 9 m/s) eseté A kaltatí számítás eredméek méréssel aló összehasolítása a omástéező értékéek segítségéel törtét több állásszögö. Az eredméek a 6. ábrá láthatók. A zsgált számítás eredméek ól korrelálak a méréssel. A közöttük léő külöbség ksebb mt 8 százalék am mérök szemotból elfogadható. A omástéező értéke eletősebb eltérést a beléőél közelébe mutat am a geometra dszkretzácó otatlaságáak tudható be. eüléstudomá Közleméek. árls 6.
c 35 3 5 5 5-5 Nomástéezõ eloszlás α -5 umerkus eredmé kísérlet adat 4 6 8 relatí húrhossz c 35 3 5 5 5-5 Nomástéezõ eloszlás α umerkus eredmé kísérlet adat 4 6 8 relatí húrhossz c 35 3 5 5 5 Nomástéezõ eloszlás α7 umerkus eredmé kísérlet adat c 35 3 5 5 5 Nomástéezõ eloszlás α9 umerkus eredmé kísérlet adat -5 4 6 8 relatí húrhossz -5 4 6 8 relatí húrhossz c 35 3 5 5 Nomástéezõ eloszlás α5 umerkus eredmé kísérlet adat c 35 3 5 5 Nomástéezõ eloszlás α umerkus eredmé kísérlet adat 5 5-5 4 6 8 relatí húrhossz -5 4 6 8 relatí húrhossz 6. ábra. Nomás téező a relatí húrhossz függéébe külöböző állásszögek eseté ( β 3 o ad e45e5 f let 9 m/s foltoos oal: számítás eredmée körök: mérés [4]) A omástéző a táol rááramló torlóot damkus és a lokáls statkus omások segítségéel a köetkezőkée számítottuk k C tot stat l P. (68) q eüléstudomá Közleméek. árls 6.
Sûrûség rezduum -35-4 -45-5 3 4 Iterácó szám Tükör szlárd fal ugalmas szlárd fal 7. ábra. A koergeca lefutás tükör llete rugalmas szlárd fal alkalmazása eseté A számítás sebesség csökketése érdekébe alkalmazott rugalmas fal a koergeca krtérumtól függőe eletős hatást gakorol a számítás dőre. A 7. ábrá látható a sűrűség rezduum ormalzált ormáa az terácó szám függéébe a hagomáos (tükör) és a rugalmas fal tektetébe. Megfgelhető hog az ú elárás eseté 4 terácót köetőe eg agságreddel ksebb eredmé született. A sűrűség rezduum ormalzált ormáa a köetkezőkée számolható log (69) amelbe a háló otaak száma és a kfeezés két egmást köető dő terácó között ele esetbe sűrűség áltozásra utal. KONKÚZIÓ A ele mukába eg ks számítógé kaactásgéű kétdmezós umerkus áramlásta szoftert dolgoztuk k és éréesítettük. A módszer az Euler egeletredszerre éül és az összeomható súrlódásmetesek feltételezett áramlás modellezésére alkalmas. A beéített rugalmas fal eremfeltétel segítségéel eletőse csökket a számítás dő (-3 %) am alkalmassá tesz a módszert összetettebb éldául otmalzácós elárásokkal aló összekacsolásra. A rogram eredméeek elleőrzésére két mérése alauló tesztesetet modelleztük és számoltuk k. Az első eg NACA 65-4 tíusú szárrofl körül áramlás aalízse és a felhatóerő téező meghatározása olt több állásszög eseté. A másodk eg uga eze rofl segítségéel kalakított laátrácsba kalakult áramlás eredméek méréssel aló összehasolítása szté több állásszög eseté. A számszerű eredméek mdkét esetbe ól lleszkedtek a mérés eredméere az eltérés mde esetbe százalék alatt olt. Az elárás otosságáak toább zsgálatára úabb éréesítő eüléstudomá Közleméek. árls 6.
számítások elégzése szükséges melőtt felhaszálható lee kutatás köetkező léésébe a felületmorfológa otmalzácós elárásba. KÖSZÖNETNYIÁNÍTÁS A ele muka az OTKA F 67555 számú kutatás álázat támogatásáal ött létre. IODAOMJEGYZÉK [] I. H. Abbott A. E. o Doehoff ad. S. Sters NACA EPOT No. 84. Summar of Arfol Data. [] K. M Bod Numercal Wae Proagato ad Stead-State Solutos Ph.D. thess Aerosace Egeerg ad Scetfc Comutg erst of Mchga 99. [3] A. Demeuleaere A Euler/Naer-Stokes Ierse Method for Comressor ad Turbe Blade Desg o Kármá Isttute for Flud Damcs Ierse Desg ad Otmsato Methods ecture Seres (997-5) -45. [4] J. C. Emer et al. Sstematc two-dmesoal cascade tests of NACA 65-seres comressor blades at low seeds NACA eort 368 958. [5] MANNA M.: A Three Dmesoal Hgh esoluto Comressble Flow Soler. PhD Thess Catholc erst of oua 99. [6] P.. oe Aromate ema Solers Parameter ectors ad Dfferece Schemes Joural of Comutatoal Phscs ol. 43. 357-37 98. [7] E. Ste. Borst ad T. Hughes Fte olume methods: foudato ad aalss Edted b Joh Wle & Sos td. c 4. [8] H. C. Yee A class of hgh-resoluto elct ad mlct shock-caturg methods KI lecture seres 989-4 March 6-989; NASA TM-88 Feb. 989. eüléstudomá Közleméek. árls 6.