Véletlen mátrix extrém-érték statisztika: Ábel Dániel June 15, 2006 1 / 34
2 / 34
Előző alkalommal bevezetett dolgok, amiket használni fogunk: 3 / 34
Előző alkalommal bevezetett dolgok, amiket használni fogunk: GOE, GUE, GSE sokaság (β = 1, 2, 4) sajátértékek együttes eloszlásfüggvénye: P Nβ (x 1...,x N ) = C Nβ exp β 1 2 N j=1 x 2 j x k x j β, j<k 3 / 34
n-pont korrelációs függvény: R n (x 1..., x n ) := N! (N n)! = det [K N (x i, x j )] i,j=1...,n... P (x 1...,x N )dx n+1 4 / 34
n-pont korrelációs függvény: R n (x 1..., x n ) := N! (N n)!... P (x 1...,x N )dx n+1 = det [K N (x i, x j )] i,j=1...,n ahol K N (x, y) kernel-függvény, amely a kal felírva, ill. erre az alakra a Christoffel-Darboux formulát alkalmazva: = N 2 K N (x, y) = N 1 j=0 φ j (x)φ j (y) = ( ) φn (x)φ N 1 (y) φ N (y)φ N 1 (x) x y ahol φ j (x) az ortogonalizált : φ j (x) = ( 2 j j! π ) 1 2 e 1 2 x2 H j (x) 4 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása 5 / 34
aszimptotikája A aszimptotikus alakja, kvantum-harmonikus oszcillátor analógia alapján 6 / 34
aszimptotikája A aszimptotikus alakja, kvantum-harmonikus oszcillátor analógia alapján V (x) = x 2 /2 potenciál, E N energia esetén fordulópont: x 0 = 2E N 6 / 34
aszimptotikája A aszimptotikus alakja, kvantum-harmonikus oszcillátor analógia alapján V (x) = x 2 /2 potenciál, E N energia esetén fordulópont: x 0 = 2E N fordulópont körül lineáris közeltéssel: V (x) E N = V (x 0 )(x x 0 ) = x 0 (x x 0 ) Beírva Schrödinger-egyenletbe: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 6 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 7 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) 7 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): 7 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) 7 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) 7 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) tehát a = 1/3-ot kell használni, így megoldás Ai(λ 1/3 x) 7 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) tehát a = 1/3-ot kell használni, így megoldás Ai(λ 1/3 x) A mi esetünkben: Ai( 2 6 E N x) 7 / 34
aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Megoldandó: 1 2 Ψ + 2E N xψ = 0 Airy-függvényeket definiáló diffegyenlet: Ψ (x) = λxψ(x) ebből általánosabb esetre, Ψ (x) = λxψ(x): x λ a x helyettesítéssel: λ 2a Ψ (x) = λ 1 a xψ(x) leosztva λ 2a -val: Ψ (x) = λ 1 3a xψ(x) tehát a = 1/3-ot kell használni, így megoldás Ai(λ 1/3 x) A mi esetünkben: Ai( 2 6 E N x) ezzel megkaptuk a alábbi ismert aszimptotikáját: exp( x 2 /2)H N (x) = π 3/4 2 N/2+1/4 (N!) 1/2 N 1/12 A(t) + O(N 2/3 ) ahol: x = (2N + 1) 1/2 2 1/2 3 1/3 N 1/6 t A(t) = πai( 3 1/3 t) 7 / 34
aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: 8 / 34
aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: fix x 0 -nál nézve E esetén V elhanyagolható 8 / 34
aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: fix x 0 -nál nézve E esetén V elhanyagolható így szabad részecske Schrödinger-egyenletét kapjuk vissza: 8 / 34
aszimptotikája szinusz-kernel aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása előző alkalommal használt átskálázás: fix x 0 -nál nézve E esetén V elhanyagolható így szabad részecske Schrödinger-egyenletét kapjuk vissza: N = 2m és 2 mx = πξ és 2 my = πη, majd vegyük az m, x 0, y 0 határesetet, miközben ξ és η véges marad ebben a határesetben lim m ( 1)m m 1 4 φ2m (x) = π 1 2 cos πξ lim m ( 1)m m 1 4 φ2m+1 (x) = π 1 2 sinπξ 8 / 34
A két kernel összehasonlítása aszimptotikája aszimptotikája aszimptotikája szinusz-kernel A két kernel összehasonlítása Tehát: lim N spektrum belsejében (z körül) szinusz-kernel: lim N ( π K N z + πx, z + πy ) 2N 2N 2N spektrum szélénél Airy-kernel: 1 2N 1/6 K N ( 2N + x 2 1/2 N 1/6, 2N + = 1 π y ) 2 1/2 N 1/6 sinπ(x y) (x y) = = Ai(x)Ai (y) Ai (x)ai(y) x y 9 / 34
: E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 10 / 34
: E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. 11 / 34
: E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. Ekkor nyilvánvalóan I S := (S, ) jelöléssel S E(0; I S) a legnagyobb sajátérték sűrűségfüggvénye. 11 / 34
: E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. Ekkor nyilvánvalóan I S := (S, ) jelöléssel S E(0; I S) a legnagyobb sajátérték sűrűségfüggvénye. Ezen E(0; I S )-t felírhatjuk a sajátértékek P N2 (x 1...,x N ) együttes eloszlásfüggvényével: E(0; I S ) = I c S dx 1... I c S ahol I c S a I S halmaz komplementere. dx n P Nβ 11 / 34
: E(n; J) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai β = 2-t fogjuk nézni jelöljük E(n; J)-vel annak valószinűségét, hogy a J halmazban pontosan n darab sajátérték van. Ekkor nyilvánvalóan I S := (S, ) jelöléssel S E(0; I S) a legnagyobb sajátérték sűrűségfüggvénye. Ezen E(0; I S )-t felírhatjuk a sajátértékek P N2 (x 1...,x N ) együttes eloszlásfüggvényével: E(0; I S ) = I c S dx 1... I c S dx n P Nβ ahol IS c a I S halmaz komplementere. sajnos azonban ez az alak nem nagyon használható N határeset vizsgálatára 11 / 34
Fredholm determináns bevezetése I (táblán) : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 12 / 34
Fredholm-determináns : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Tehát: E(0; I S ) = det(i K N2 ) ahol det(i K N2 ) az I K N2 kernelű (I c S -en értelmezett függvényeken ható) integráloperátor determinánsa. 13 / 34
Fredholm-determináns : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Tehát: E(0; I S ) = det(i K N2 ) ahol det(i K N2 ) az I K N2 kernelű (IS c -en értelmezett függvényeken ható) integráloperátor determinánsa. Kicsit általánosabban, E(n; I S )-re: 13 / 34
Fredholm-determináns : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Tehát: E(0; I S ) = det(i K N2 ) ahol det(i K N2 ) az I K N2 kernelű (IS c -en értelmezett függvényeken ható) integráloperátor determinánsa. Kicsit általánosabban, E(n; I S )-re: E(n; I S ) = ( 1)n n! n λ n det(i λk N2) λ=1 13 / 34
felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 14 / 34
felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx ahol q( ; λ) egy olyan (R R) függvény, amely kielégíti a q = sq + 2q 3, ( = d ds ) differenciál-egyenletet, és s -re q(s; λ) λai(s) 14 / 34
felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx ahol q( ; λ) egy olyan (R R) függvény, amely kielégíti a q = sq + 2q 3, ( = d ds ) differenciál-egyenletet, és s -re q(s; λ) λai(s) (így ezzel egyértelműen meghatározott) Ez a differenciál-egyenlet Painlevé-II-esként ismert, így a q( ; λ) függvény egy Painlevé-II függvény. 14 / 34
felírása : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Meg lehet mutatni, hogy: det(i λk N2 ) = exp ( s ) (x s)q(x; λ) 2 dx ahol q( ; λ) egy olyan (R R) függvény, amely kielégíti a q = sq + 2q 3, ( = d ds ) differenciál-egyenletet, és s -re q(s; λ) λai(s) (így ezzel egyértelműen meghatározott) Ez a differenciál-egyenlet Painlevé-II-esként ismert, így a q( ; λ) függvény egy Painlevé-II függvény. Az eredeti E(0; I S ) függvényt λ = 1 választással kapjuk vissza. 14 / 34
GOE és GSE esetén : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Mivel GOE, GUE, és GSE felírható β = 1, 2, 4 paraméterrel, így a másik két sokaságra is hasonló eredményt várunk. Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai 15 / 34
GOE és GSE esetén : E(n; J) Fredholm determináns bevezetése I Fredholm-determináns felírása GOE és GSE esetén grafikonjai Mivel GOE, GUE, és GSE felírható β = 1, 2, 4 paraméterrel, így a másik két sokaságra is hasonló eredményt várunk. A legnagyobb sajátérték (megfelelően átskálázott) eloszlását F β (s)-el jelölve: ( F 1 (s) 2 = exp ( F 2 (s) = exp F 4 (s/ 2) 2 = cosh 2 ( 1 2 s s s ) q(x) dx F 2 (s) ) (x s)q(x) 2 dx ) q(x) dx F 2 (s) 15 / 34
grafikonjai A Painlevé-függvényes alak segítségével az eloszlás numerikusan számolható. A legnagyobb sajátérték df β (s)/ds sűrűségfüggvényét ábrázolva: 16 / 34
grafikonjai A Painlevé-függvényes alak segítségével az eloszlás numerikusan számolható. A legnagyobb sajátérték df β (s)/ds sűrűségfüggvényét ábrázolva: Probability densities 0.5 β = 4 0.4 0.3 β = 2 0.2 0.1 β = 1-4 -2 0 2 s 16 / 34
I II 17 / 34
I Paul Painlevé, Émile Picard, and B. Gambier: minden, másodrendű, polinom-együtthatós differenciál-egyenlet ötven kanonikus forma egyikeként felírható. I II 18 / 34
I I Paul Painlevé, Émile Picard, and B. Gambier: minden, másodrendű, polinom-együtthatós differenciál-egyenlet ötven kanonikus forma egyikeként felírható. Ezen ötven közül: 44 megoldása felírható ismert speciális függvényekkel. II 18 / 34
I I II Paul Painlevé, Émile Picard, and B. Gambier: minden, másodrendű, polinom-együtthatós differenciál-egyenlet ötven kanonikus forma egyikeként felírható. Ezen ötven közül: 44 megoldása felírható ismert speciális függvényekkel. a maradék 6 azonban nem, ezek megoldása új speciális függvényt definiál. 18 / 34
II I II Ezen 6 egyenlet: (y(t) függvényre) d 2 y 1. = 6y 2 + λt dt 2 d 2. 2 y = 2y 3 + ty + µ dt 2 ( ) 2 3. ty d2 y = t dy dt 2 dt y dy dt + at + by + cy3 + dty 4 ( ) 2 4. y d2 y = 1 dy dt 2 2 dt 1 2 a2 + 2(t 2 b)y 2 + 4ty 3 + 3 2 y4 ( dy dt 5. t 2 (y y 2 ) d2 y = 1 dt 2 2 t2 (1 3y) 6. y) 3 + b(1 y) 3 + cty(1 y) + et 2 y 2 (1 + y) ( ) ( d 2 y = 1 1 dt 2 2 y + 1 y 1 + 1 dy y t dt ( ) y(y 1)(y t) α + β t + γ t 1 + δ t(t 1) t 2 (t 1) 2 y 2 (y 1) 2 (y t) 2 ) 2 ty(1 y) dy dt + ay2 (1 ) 2 ( 1 t + 1 t 1 + 1 y t ) dy dt + 19 / 34
20 / 34
S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. 21 / 34
S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 21 / 34
S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 21 / 34
S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 Lássuk el S N -t az egyenletes eloszlással, és nézzük l N (π) eloszlását. 21 / 34
S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 Lássuk el S N -t az egyenletes eloszlással, és nézzük l N (π) eloszlását. Ennek N aszimptotikus alakját fogjuk nézni (megfelelő átskálázással) 21 / 34
S N a permutációs csoport, azaz 1, 2,...,N permutációi. egy adott π S N permutáció esetén a leghosszabb növekvő részsorozat hosszát jelöljük l N (π)-vel. Pl. az 5, 1, 3, 2, 4 permutációnál a leghosszabb növekvő részsorozat: 1, 2, 4 illetve 1, 3, 4, így l N (π) = 3 Lássuk el S N -t az egyenletes eloszlással, és nézzük l N (π) eloszlását. Ennek N aszimptotikus alakját fogjuk nézni (megfelelő átskálázással) A tétel: lim P N ( l N 2 N N 1/6 t ) = F 2 (t) t R ahol F 2 (t) a : F 2 (t) = exp ( t ) (x t)q(x) 2 dx 21 / 34
Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 22 / 34
Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 23 / 34
Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van PNG modell véletlen permutációk Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 23 / 34
Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van PNG modell véletlen permutációk magasság-fluktuáció leghosszabb növekvő részsorozat Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 23 / 34
Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 (PNG) modell a Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) univerzalitási osztályban van PNG modell véletlen permutációk magasság-fluktuáció leghosszabb növekvő részsorozat Így: magasság-fluktuációk t követnek. 23 / 34
PNG modell kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 24 / 34
PNG modell kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 24 / 34
PNG modell Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek feltételezzük, hogy ezen terjedés kör-alakú és állandó sebességű 24 / 34
PNG modell Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek feltételezzük, hogy ezen terjedés kör-alakú és állandó sebességű a terjedési sebességet egységnyinek választjuk 24 / 34
PNG modell Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 kristály-növekedést ír le: sima kristály, amely túltelített gőzével érintkezik felületen véletlenszerűen kristályosodási magok jönnek létre, amelyek vízszintesen (egy kristálysíkban) terjednek feltételezzük, hogy ezen terjedés kör-alakú és állandó sebességű a terjedési sebességet egységnyinek választjuk egyszerűség kedvéért 1 dimenzióban és droplet geometry : egyetlen kristályosodási mag origóból, és további magok ezen jönnek létre ekkor x, t koordináta-rendszerben a kristályosodási magok széle 45 fokos egyenes 24 / 34
PNG modell ábrán 25 / 34
PNG modell F 2, F 1 droplet geometry: F 2 eloszlás síkból indulás esetén: F 1 eloszlás Alkalmazás növekedési modellekre: KPZ egyenlet PNG modell PNG modell ábrán PNG modell F 2, F 1 26 / 34
véletlen csempézések azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 27 / 34
azték gyémánt A végtelen négyzetrács egy alábbi alakú részét fogjuk nézni azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 28 / 34
azték gyémánt csempézve Ezt 2x1-es dominókkal fedjük le. Lefedéseken egyenletes valószinűségi mértéket nézünk. azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 29 / 34
azték gyémánt a csempék Az eredeti négyzetrács sakktábla-szerű befestése alapján 4 féle dominót fogunk megkülönböztetni azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 30 / 34
azték gyémánt kiszinezve Ezeket kiszinezzük azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 31 / 34
azték gyémánt a sarkkör nagyobb méretnél nézve: befagyott terület, sarkkör, mérsékelt égöv (frozen region, arctic circle, temperate region) azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 32 / 34
azték gyémánt összevetés négyet esetével Összehasonlításként: négyzetes részt nézve (más határfeltétel) egyenletes eloszlást tapasztalunk azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika 33 / 34
azték gyémánt Tracy-Widom statisztika A sarkkör körüli fluktuációk F 2 eloszlást követnek. Dominókra vonalakat rajzolunk, így nem-metsző utakat kapunk. azték gyémánt azték gyémánt csempézve azték gyémánt a csempék azték gyémánt kiszinezve azték gyémánt a sarkkör azték gyémánt összevetés négyet esetével azték gyémánt Tracy-Widom statisztika A legfelső vonal közepének fluktuációja (x N/2)/(2 5/6 N 1/3 ) módon skálázva F 2 eloszlású (N esetén) 34 / 34