Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

. A Bernoulli-egyenlőtlenség. Def.: Ha és h, akkor ( + h) + h. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha = vagy h = 0. Bizonyítás: Teljes indukcióval. =: +h=+h Tfh.: (+h) + h Bizonyítsuk +-re: ( + h) + ( + )h Mivel h +h 0: (+h) (+h) ( + h)(+h)=+h+h+h =+(+)h + h +(+)h Egyenlőség: ha = vagy h=0, akkor +h +h illetve + 0. Az ellenkező irány bizonyításához tegyük fel, hogy ( + h) + h valamely N és h [,+ ) esetén. Tegyük fel még azt is, hogy 2. Azt kell igazolnunk, hogy ekkor h csak 0-val lehet egyenlő. Mivel (+h) =+h h((+h) + (+h) + +)= h ezért h>0 nem lehet, mert ekkor (+h) + (+h) + +>. Viszont h<0 sem lehet, mert ebben az esetben 0 (+h) + +(+h) + +<. Ezzel az egyenlőtlenséget bizonyítottuk. 2. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség. Def.: Minden N + -ra és a a n 0 valós számokra: a a + +...+ Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a = a 2 =.= a n. Bizonyítás: Teljes indukcióval. = esetén egyenlőség. Tfh.: a a a Bizonyítás +-re:... = + + + + = (+) + + = + ( + ) = = + = + = + + = Ha =0 0= = = egyébként 0 ekkor: h = ( + )

ugyanis (+) Erre a h-ra alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget + (+) +(+) = (+) + =(az indukciós feltevés miatt) = = Ha = =, akkor egyenlőség van. Ha egyenlőség van az ( + )-dikben, akkor h=0, azaz (+) =0 = Feltehető, hogy max {,, }, ekkor: = max{,, }= = = = 3. A valós számok Dedekind-féle axiómarendszere (testaxiómák, rendezési axiómák, tel-jességi (vagy Dedekind-féle) axióma). A természetes számok halmaza (N). A teljes indukció elve 3.. Testaxiómák:. Összeadás R-en: - kommutatív +=+, R, - asszociatív ( +)+=+(+),, R, - létezik null elem, azaz 0 R: + 0 =, R, - létezik ellentett, azaz R-re: ( ) R: + ( ) = 0. 2. Szorzás R-en: - kommutatív =, R, - asszociatív () =(),, R, - létezik egység elem, azaz R ( 0): =, R, - létezik reciprok, azaz R-re ( 0): R: =. 3. Disztributivitás: -(+)=+,, R, 3.2. Rendezési axiómák:. Létezik lineáris rendezés (, R vagy ): é, akkor = Ha ezek teljesülnek akkor R test é,akkor 2. Műveletek és rendezés közötti összefüggés: + +,,, R, 0 Ha ezek teljesülnek akkor R rendezett test,,, R, 0 3.3. Teljességi (Dedekind-féle) axióma: Ha, R, 0, 0és, :, ekkor: R:, -re. 2

3.4. Természetes számok: R összes induktív halmazainak metszetét természetes számok halmazának nevezzük. Jelölése: N és N ={ N:>0}. 3.5. Teljes indukció elve: Def.: Tegyük fel, hogy () N-re egy állítás úgy, hogy:. (0) igaz, 2. ha () igaz ( + ) is igaz. Ekkor () igaz N. Bizonyítás: Jelölje ={ N:() igaz} Így, mivel 0, és ha (+). Tehát S induktív halmaz. Mivel induktív halmazok metszete is induktív ezért N, de N, mivel N a legszűkebb induktív halmaz. Tehát = N. 4. A szuprémum elv: számhalmaz maximuma, minimuma, korlátossága, a szuprémum elv, a szuprémum definíciója, ekvivalens átfogalmazás, a teljességi axióma ekvivalens a szuprémum elvvel, infimum. 4. Maximum: R halmaznak maximuma van, ha létezik, minden -ra. 4.2 Minimum: R halmaznak minimuma van, ha létezik, minden -ra. 4.3 Szuprémum elv: Def.: Ha R halmaz felülről korlátos, ekkor min{ R: felsőkorlátja nak}. Bizonyítás: Legyen = { R: felsőkorlátja nak}, ekkor:, : A teljességi axióma miatt: R:, -re. Tehát felső korlátja A-nak, így,de,( ). Azaz = min. 4.4 Szuprémum: R halmaz felülről korlátos halmaz. A legkisebb felső korlátot a halmaz szuprémumának nevezzük. Jelölés: sup = min{ R: felső korlátja nak}. 4.5 Ekvivalens átfogalmazás: R halmaz felülről korlátos halmaz, ekkor:. =, és ha felső korlát 2. =, és ha < :>. 4.6 A teljességi axióma ekvivalens a szuprémum elvvel: Bizonyítás: A szuprémum elv következik a teljességi axiómából, hiszen így bizonyítottuk azt be. Így elegendő a visszafele irányt belátni. Legyen, R,,, hogy, :. Tehát felülről korlátos (és -ben felső korlátok vannak). Azaz: = sup :. De a szuprémum elv miatt a legkisebb felső korlát. Azaz: :. 3

4.7 Infimum: R halmaz alulról korlátos halmaz. A legnagyobb alsó korlátot a halmaz infimumának nevezzük. Jelölés: inf = max{ R: alsó korlátja nak}. 5. Az archimédeszi tulajdonság és a Cantor tulajdonság. 5.. Archimédeszi tulajdonság: Def.:, R : N: < Bizonyítás: Indirekt Tfh.:, R : N:. Legyen = {: N}. Ekkor felülről korlátos, és egy felső korlát. Tehát: = sup Így: ( N) De legkisebb felső korlát, tehát ( ) már nem felső korlát. Tehát N:> azaz N: ( + ) > ami ellentmond az indukciós feltevésnek. 5.2. Cantor tulajdonság: Def.: Tfh.: N: [, ] egy zárt intervallum ( ) úgy, hogy [, ] [, ]. Ekkor ezen intervallumok metszete nem üres azaz: [, ] 0 Bizonyítás: = { : N} és = { : N}. Ekkor, N: Ugyanis ha ha > A teljességi axióma miatt: R: (, N) ( N) [, ]( N) [, ] 6. Halmazok, relációk és függvények. 4

7. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdonságok. Konvergens és divergens sorozatok. Sorozat határértéke. A határérték definíciójának egyszerű következményei. 7. Számsorozat: Az : R függvényt valós sorozatnak nevezzük. Az sorozat () helyettesítési értéke a sorozat n-edik tagja ( N),n az sorozat indexe. 7.2 Korlátosság: : R sorozat, ekkor:. ha R: N:, akkor felülről korlátos 2. ha R: N:, akkor alulról korlátos 3. ha R: N:, akkor korlátos 7.3 Monotonitás : R sorozat, ekkor:. ha < : akkor monoton nő 2. ha < : akkor monoton fogy 3. ha < : < akkor szigorúan monoton nő 4. ha < : > akkor szigorúan monoton fogy 7.4 Környezet: () ={ R: 7.5 Konvergencia definíciója : R sorozat konvergens, ha létezik R, hogy -nak bármely környezetén kívül a sorozatnak legfeljebb véges tagja van. Azaz R: > 0:{: ()} legfeljebb véges. 7.6 Divergens sorozat Ha az ( ): N R sorozat nem konvergens, akkor divergens. Azaz R, > 0, N, :. 7.7 A határérték definíciójának egyszerű következményei. 8. A rendezés és a limesz kapcsolata. Monoton sorozat határértéke. 8.. A rendezés és limesz kapcsolata: Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) konvergens és lim =lim =. Ha N: akkor ( ) is konvergens és lim = (rendőr elv) A feltétel alapján tudjuk, hogy 0 N Nyilvánvaló, hogy ( ) nullsorozat. Ekkor a nullsorozatok tulajdonságaiból adódik, hogy ( ) is nullsorozat. Végül a nullsorozatokra vonatkozó műveleti tételek alapján kapjuk, hogy a ( ) sorozat, amely az ( ) konvergens és ( ) nullsorozat összege, maga is konvergens és lim = lim( ) + 0 = lim( ). 8.2. Monoton sorozat határértéke 5

8.2.. Tétel. Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről korlátos, ekkor konvergens, és lim = sup { N} R N: sup( ) és > 0: N: > sup( ) ( ) monoton nő, ekkor ha > 0: N: : sup( ) < sup( ) : sup( ) < lim = sup( ) 8.2.2. Tétel Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, ekkor konvergens, és lim = inf { N} R N: inf ( ) és > 0: N: > inf ( ) + ( ) monoton csökken, ekkor ha > 0: N: : inf( ) + inf( ) : inf( ) < lim = inf( ) 9. Nullsorozatok. Műveletek nullsorozatokkal. Műveletek konvergens sorozatokkal. 9.. Nullsorozat Az ( ): N R sorozat nullsorozat, ha ( ) konvergens és lim =0. Azaz: > 0, N, : 0 < 9.2. Műveletek nullsorozatokkal (.) Ha ( ) és ( ) is nullsorozat, akkor ( + ) is nullsorozat. (2.) Ha ( ) nullsorozat és ( ) korlátos sorozat, akkor ( ) is nullsorozat Lemma: Ha ( ) nullsorozat, akkor ( ) is nullsorozat. A bizonyításhoz írjuk fel a nullsorozat definícióját: lim =0 >0, N, : 0 = < ami azt jelenti, hogy lim =0. (.): Tegyük fel, hogy lim =0. Ekkor: és legyen lim =0, ekkor: > 0, N, : < 2 > 0, N, : < 2 Legyen = max{, }, ekkor a háromszög-egyenlőtlenség miatt Tehát ( + ) sorozat konvergens. > : + + < 2 + 2 = 6

(2.): A bizonyításhoz tegyük fel, hogy ( ) sorozat nullsorozat. Ekkor: > 0, N, : < Tegyük fel, hogy ( ) korlátos. Ekkor > 0: N: <. Ezért N: <. Tehát ( ) nullsorozat. 9.3. Műveletek konvergens sorozatokkal Ha ( ) és ( ) sorozatok konvergensek és lim = R, lim = R, akkor: (.) ( + ) sorozat is konvergens és lim ( + )=+ (2.) ( ) sorozat is konvergens és lim( )= (3.) ( ) sorozat is konvergens és lim ( )= (4.) ha ( ) 0( N) és 0 is teljesül, akkor az sorozat is konvergens és lim =. (.): A bizonyításához elegendő azt belátnunk, hogy ( + ) nullsorozat. Ekkor: ( + )=( )+( ) de ( ) nullsorozat, hiszen lim =, ugyanígy ( ) is nullsorozat, hiszen lim =. A 9.2..-es tétel miatt lim + = +. Ezzel beláttuk 9.3..-et. (2.): A bizonyításhoz azt kell belátnunk, hogy ( ) is nullsorozat. Ekkor ( ) =( ) nullsorozat mivel egy konstans és lim = ezért ( ) nullsorozat. Ebből követezik, hogy lim =. Ezzel a 9.3.2.-t beláttuk. (3.): A bizonyításához elegendő azt igazolni, hogy ( ) nullsorozat. Ekkor ( ) = ( + ) = ( ) + ( ) mivel ( ) konvergens, ezért korlátos is és ( ) nullsorozat. Mivel lim = ebből következik, hogy ( ) nullsorozat. Az ( ) szintén nullsorozat mivel ( ) nullsorozat és 9.3.2. miatt ( ) szintén nullsorozat. Tehát ( ) nullsorozat, ezértlim ( ) =. (4.): Mielőtt a belátnánk, bizonyítsuk be, hogy lim =, 0, akkor korlátos. Bizonyítás: legyen = ekkor N: : < = + = ( ) > 2 = 2 Ha, akkor: N: : < 2 < max,,, 2 korlátos. 7

(4.)-es bizonyításához, elég belátnunk, hogy nullsorozat. Ekkor = + = ( )+ = = ( )+ ( ) korlátos az előbb bizonyított tétel miatt és ( ) nullsorozat, és ( ) is nullsorozatok. ( )+ ( ) nullsorozat a 9.2-es tétel miatt. Ezért lim =. 0. Rendezés és műveletek az R halmazon. A műveletek és a határérték kapcsolata. 0.. Műveletek Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) sorozatok tágabb értelemben konvergensek és lim = R, lim = R, ekkor: (.) ( + ) tágabb értelemben konvergens és lim ( + )=+, ha + értelmes (2.) ( ) tágabb értelemben konvergens és lim ( )=, ha értelmes (3.) ha ( ) 0( N) és 0 is teljesül, akkor az tágabb értelemben konvergens és lim = ha értelmes. Ha, R, akkor a műveletek konvergens sorozatokra vonatkozó tétel miatt igaz. (.): A bizonyításhoz tegyük fel, hogy: = R vagy =0 Ha R: > 0: N: : < Mivel <+ és = < : N: : > Ha = : R: N: : > Mivel := : > 0: N: : > Összeadva az utolsó két egyenlőtlenséget, kapjuk: > 0: = max{, }: : + > Tehát lim ( + )=. Hasonlóan = -re. (2.): A bizonyításhoz szintén tegyük fel, hogy: = és >0. A határérték értelmezéséből következik, hogy < : N: : > továbbá > 0: N: : > Összeszorozva a két egyenlőtlenséget, kapjuk: > 0: = max{, }: : > Ez azt jelenti, hogy ( ) konvergens és l lim ( )=. A másik három állítást hasonlóan lehet belátni. 8

(3.): Az állítás a szorzatra és a reciprokra vonatkozó tétel következménye. Éppen ezért elég azt megmutatni, hogy ha {, + }, akkor 0. = Tegyük fel, hogy = : Ebből következik, hogy Másrészről >0, ha. Tehát > 0: N: : > : < > 0: =max{, }: < Tehát lim =0. Ezt akartuk megmutatni. A többi eset hasonlóan bizonyítható. 0.2. Műveletek és határérték kapcsolata. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel... Részsorozat Ha : N R sorozat és : N N indexsorozat, akkor az : N R sorozatot az részsorozatának nevezzük..2. Minden sorozatnak van monoton részsorozat Minden : N R sorozatnak van monoton részsoroazata. A bizonyításhoz vezessük be a csúcs fogalmát. Csúcs: N az ( ) sorozat csúcsa, ha > -ra <.. eset: végtelen sok csúcsa van -nak: Legyen a csúcsok szigorúan monoton növekedő sorozata. Ekkor csúcs, hiszen > : > > ugyanis >, tehát is csúcs. Így > : > > ugyanis >. Ezt az eljárást folytatva: > > Tehát szigorúan monoton fogy. 2. eset: véges sok csúcsa van -nak: Ekkor legyen a legnagyobb csúcs. Ha nem csúcs, akkor :. Legyen =+= ez nem csúcs, tehát: >+= : Így nem csúcs, ekkor = : > és. Ezt az eljárást folytatva kapjuk : N N indexsorozat, hogy: 9

Tehát monoton nő..3. Monoton sorozatok konvergenciája.3..: Tegyük fel, hogy ( ) monoton nő és felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens és lim =sup N: sup ( ) és > 0, N: > sup( ) ( ) monoton nő, ekkor: ha > 0: N: : sup( ) < sup( ) : sup( ) < lim = sup( ).3.2.: Tegyük fel, hogy ( ) monoton csökken és alulról korlátos, ekkor ( ) konvergens és lim = inf N: inf ( ) és > 0, N: > inf( ) ( ) monoton csökken, ekkor: ha > 0: N: : inf( ) + inf( ) : inf( ) < lim = inf( ).4. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Ha ( ) korlátos akkor indexsorozat, hogy konvergens. indexsorozat, hogy ( ) monoton. De ( ) korlátos is (alulról és felülről), ezért a monoton sorozatok konvergenciájára vonatkozó tétel miatt ( ) is konvergens. 2. Cauchy-féle konvergencia kritérium Cauchy-sorozat: Az ( ): R sorozat Cauchy-sorozat, ha > 0, N és, <. Cauchy-féle konvergencia kritérium: Az ( ): R sorozat konvergens akkor és csak akkor ha Cauchy-sorozat. Ha ( ) konvergens és =lim, akkor ekkor, : Tehát > 0: N: > : < 2 = + + < 2 + 2 0

3. > 0: N:,> : < Ezzel az "oda" irányt beláttuk. Nézzük a vissza irányt. Ehhez tegyük fel, hogy ( ) Cauchy sorozat Igazoljuk, hogy ( ) korlátos! A Cauchy sorozat definíciójából = választás mellett azt kapjuk, hogy N:,> : < Ekkor legyen = esetén: = + + < + következik. Ekkor legyen = max {,,,,, + } Ekkor N indexre <, tehát ( ) korlátos. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel szerint ( )-nek van egy konvergens részsorozata. Legyen =lim Igazoljuk, hogy lim =. A határérték értelmezése alapján: > 0: N: > : < 2 Továbbá, mivel ( ) Cauchy-sorozat: > 0: N: > : < 2 Ekkor a háromszög egyenlőtlenség miatt = + + Tehát = {, }, ekkor > 0: N: > : < 2 + 2 = Más szóval az ( ) konvergens, és határértéke. 4. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az + N sorozattal. 4.. Geometriai sorozat: 0, <, = lim =, >, Először igazoljuk a < esetet: Nyílván >, így =+ Alkalmazzuk 0<h = Ekkor -re a Bernoulli-egyenlőtlenséget: = (+h) + h 0 + h A rendőr elv alapján lim =0 lim =0. Ha >, akkor =+( )

Ismét alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlőtlenséget h = -re: = (+h) + h Ekkor lim =. Ha >, akkor lim =. Ha =, akkor a ( ) sorozatot kapjuk, ami divergens. Ha <, akkor a sorozat váltakozó előjelű, és nem korlátos sem alulról, sem felülről, tehát divergens. 4.2. Tétel: N:, ekkor: + <+ + Használjuk a számtani mértani közép közötti összefüggést a következő számokra +,+, +, összesen db + van. Ekkor + + < + + Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek. + < +2 + = + + 4.3. Tétel: N:, ekkor: 2 + <4 A Bernoulli-egyenlőtlenséget alkalmazzuk h = -re, így + + =2 Felső korlát bizonyításához alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti összefüggést a következő számokra: összesen db + van. Ekkor + +, +, 2, 2 2 2 <++ 2 + 2 +2 = +2 +2 = Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek. Így szorozzuk be 4-gyel, ekkor kapjuk, ami a bizonyítandó állítás. + <4 4.4. Az e szám bevezetése: Láttuk, hogy 2 + sorozat monoton nő és korlátos. Tehát a sorozat konvergens és létezik valós határértéke. Legyen ez a határérték az. Azaz:

= lim +. 5. Az, N,, N,, N,(!, N),(!, N) sorozat határértéke. 5.., N határértéke = Először lássuk be >-re: A számtani és mértani közép közti összefüggést felhasználva adódik, hogy: A rendőr elv miatt lim Ha =, akkor triviális. Ha <, akkor = =. ( )+ = + >. Erre alkalmazva az előzőleg bebizonyított állítást kapjuk, hogy. 5.2., N határértéke = Alkalmazzuk itt is a számtani és mértani közép közti összefüggést, így: = a rendőrelv miatt itt is lim =. 5.3., N határértéke = Ha <, N és, rögzítettek, akkor: lim =0 + + ( 2) = 2 + 2 Legyen =+h. Ekkor: = ( + h) =+ h+ 2 h + + h + h vegyük mindkét oldal reciprokát + h Szorozzuk be mindkét oldalt -nal: 0 ( +)!! =! h ( +)!( +)! h ( ) ( ) = (+)! h A nevezőben + tényező van. A rendőrelv miatt lim =0. 3

5.4. (!, N) határértéke!= R, lim! =0. 0 =! 2 2 ugyanis, N: :. Ilyen például a ( = [ ] +). Ekkor a rendőrelvet felhasználva, kapjuk, hogy lim! =0. 5.5. (!, N) határértéke! = lim! =0.! = 2 0 6. Végtelen sor fogalma, konvergenciája, összege. Cauchy-féle konvergenciakritérium. A konvergencia egy szükséges feltétele. 6.. Végtelen sor Def.: Az (, N) sorozat által meghatározott = + +...+ sorozatot (az által generált) végtelen sornak nevezzük. Jelölés:. a sorozat n-edik részletösszege. 6.2. Végtelen sor konvergenciája Def.: sor konvergens, ha az sorozat konvergens. Ha -nek létezik határértéke, akkor a sor összege ez a határérték, azaz =lim. 6.3. Végtelen sor összege Def.: sor konvergens, ekkor a lim ( ) N = lim számot a végtelen sor összegének nevezzük. Jelölés: ( ) =lim 6.4. Cauchy-féle konvergenciakritérium Def.: akkor és csak akkor konvergens, ha > 0, N,,, > : <. konvergens, akkor és csak akkor, ha ( ) konvergens > 0: N,,, > : < De 6.5. A konvergencia egy szükséges feltétele Def.: Ha konvergens, akkor lim = 0. = <. 4

Tegyük fel, hogy konvergens, ekkor: > 0, N,,, > : < Legyen =+, így < Tehát > 0, N,, : < Ez az jelenti, hogy az sorozat a 0-hoz tat. 7. Nevezetes sorok: a geometriai sor, teleszkópikus sor, a sor, a harmonikus sor. 7.. Geometriai sor Def.: R, ekkor akkor és csak akkor konvergens, ha < és ekkor az összege. +, h = (. ) = =++ + =, éé (2. ) (.) eset: ekkor divergens (2.) eset: ekkor sorozat konvergens <, ekkor lim =0. Ekkor 7.2. Teleszkópikus sor Def.: konvergens és () =lim = =. () = 2 + 2 3 + + ( + ) felírható parciális törtként: = () () Ekkor: = 2 + 2 3 + 3 4 + + + = + = ( + ) 7.3. sor Def.: konvergens és, ekkor: () 2. 5

=+ 2 + 3 + + + 2 + 2 3 + + ( ) =+ = =2 2 7.4. Harmonikus sor Def.: sor divergens és = -hez válasszuk meg -t úgy, hogy: 2 2 =+ 2 + 3 + 4 + 5 + + 8 + + 2 + + + 2 + 2 + + + Minden zárójeles rész 2 2 ( ) 8. Az -re vonatkozó = előállítás. Az irracionális szám, < < 2,8.! 8.. Def.: = + 8.2. Tétel: (.) = (2.) (3.) Q!! <! (.): A bizonyításhoz alkalmazzuk a binomiális tételt, ekkor + = =! ( )!! = =! ( +)( +2) =! =! 2 < <!! mivel a hányados kritérium miatt! konvergens. Ha akkor a definíció miatt! De rögzített N-re : = +!! 2 6

Ekkor N! 2 Az előző kettő miatt =! = lim +! (2.): A bizonyításhoz bontsuk ki: ekkor:! = = =!!!! = ( +)! + (+2)! + (+3)! +..= (+)! + +2 + (+2)(+3 + < < (+)! + + + (+) + = (+)! + = Ezzel beláttok az állítást. = (+)! = (+)! + =! + (3.): Indirekt bizonyítjuk: tegyük fel, hogy Q, ekkor,,, N legyen =! 0< <! 0< <! 0<!!< De előző miatt!=( )! N! =!! N!! Z 0<!!< Viszont ez ellentmondás mivel < ( N ) azaz 0 és között találtunk egész számot, ami nem lehetséges. 7

9. Pozitív tagú sorok konvergenciája. Az összehasonlító kritérium. 9.. Pozitív tagú sorok konvergenciája Def.: A pozitív tagú sor konvergens, akkor és csak akkor,ha = sorozat konvergens ( N), hiszen = + és 0. Ekkor konvergens ( ) konvergens ( ) korlátos. 9.2. Összehasonlító kritérium Def.: Legyenek és nemnegatív tagú sorok és létezik N, hogy 0 minden -re. Ekkor: (.) ha konvergens, akkor is konvergens. (2.) ha divergens, akkor is divergens. Jelölje: = = ekkor ( ). A (.)-es bizonyításához tegyük fel, hogy konvergens, akkor is konvergens. Ekkor ( ) korlátos. De ekkor ( ) is korlátos. Az előző tétel miatt a konvergens. Mivel a sorozat nem függ az első "néhány" tagtól, ezért is konvergens. A (2.)-es bizonyításához induljunk ki abból, hogy divergens. Ekkor is divergens, azaz az ( ) nem korlátos. Ekkor azonban ( ) sem korlátos, így divergens, tehát is divergens. 20. A gyök- és hányadoskritérium 20.. Gyökkritérium Def.: Tegyük fel, hogy létezik lim. Ekkor: (.) Ha lim (2.) Ha lim <, akkor a sor abszolút konvergens. >, akkor a sor divergens. Legyen = lim. (.)-ben feltettük, hogy <. Ekkor R:<<. Ekkor N: : < < De konvergens, ha <. Az összehasonlító kritérium miatt konvergens, azaz abszolút konvergens. A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > R:<<. Tehát N: : > > 8

Ekkor ( ) divergens (hiszen <), így az összehasonlító kritérium miatt divergens. 20.2. Hányadoskritérium Def.: Tegyük fel, hogy 0 ( N) és létezik lim. (.) ha lim (2.) ha lim <, akkor a sor abszolút konvergens. >, akkor a sor divergens. Legyen = lim (.)-ben feltettük, hogy <. Ekkor R:<<. Ekkor: azaz ha N: N: : < Ha a kapott első egyenlőtlenséget összeszorozzuk, akkor: egyszerűsítés után < De konvergens, ha <. Az összehasonlító kritérium miatt konvergens, azaz abszolút konvergens. A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > R:<<. Tehát N: : >> Az előző részhez hasonlóan, most is szorozzuk össze az első egyenlőtlenséget, majd egyszerűsítés után kapjuk: > De divergens, így az összehasonlító kritérium miatt divergens. 2. 22. Abszolút konvergens sorok. 22.. Def.: A abszolút konvergens, ha konvergens. 22.2. Tétel Tegyük fel, hogy abszolút konvergens, ekkor konvergens is. abszolút konvergens, alkalmazzuk a Cauchy-kritériumot, azaz: 9

> 0: N: : > : < De a háromszög-egyenlőtlenséget felhasználva kapjuk, hogy Azaz Tehát konvergens. > 0: N: : > : < 23. Tizedes törtek 23.. Def.: : N {0,,2,,9}, akkor a sor konvergens és [0,] De 0 9 0 0 9 0 9 0 = 9 0 0 konvergens, mert geometriai sor. De ennek ki tudjuk számolni az összegét is 9 0 = 9 0 0 0 0 = 9 0 = 0 23.2. Tétel Def.: Ha [0,] akkor létezik ( ): N {0,,2,,9}, hogy = 20. Osszuk fel [0,]-et 0 egyenlő részre. Ekkor intervallum, hogy és = 0, + 0 Majd 0 egyenlő részre osztjuk -et is. Ekkor, : = 0 + 0, 0 + + 0 Ezt az eljárást folytatva : N {0,,2,,9}, hogy = 0 + 0 + + 0 0 + 0 + + + 0

Ekkor =, + és Azaz Jelölés: =0, < 0 0 lim = 0 lim =0 0 = 23.3. Egyértelműség Az előállítás nem egyértelmű, hiszen 0,=0,09999 ugyanis: 0,09999 = 9 0 = 9 0 0 = 9 0 = 0 0 23.4. Def.: A 0, véges tizedes tört, ha N: : = 0. 23.5. Állítás: Igazolható, hogy a véges tizedes törteknek nem egyértelmű a felbontása. A nem véges (végtelen) tizedes törtek egyértelműen írhatók fel. 23.6. Def.: A 0, tizedes törtet végtelen szakaszos tizedes törtnek nevezzük. 23.7. Állítás: Igazolható, hogy ha [0,] Q, akkor véges tizedes tört, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. 24. 25. 26. Végtelen sorok szorzása 26.. Def.: és végtelen sorok. Akkor ezek: (.) téglányszorzata: = (2.) Cauchy-szorzata: = {,} = (3.) Sorösszeg-szorzata: = = 2

(4.) Oszlopösszeg-szorzata: = = = 26.2. Tétel Tegyük fel, hogy és konvergens és = és =. Ekkor ezek: (.) téglányszorzata, (2.) sorösszeg-szorzata (3.) oszlopösszeg-szorzata is konvergensek és a sorösszeg AB. (.) Írjuk fel a téglányszorzat definícióját: = Ekkor a szorzat részletösszege {,} = = tehát konvergens és (2.) bizonyítása hasonlóan: (,) = = = = tehát konvergens és (3.) bizonyítása hasonlóan: = = = = tehát konvergens és = 26.3. Def.: Ha és abszolút konvergens sorok és =, =, akkor ezek Cauchy szorzata, téglányszorzata, sorösszeg szorzata és oszlopösszeg szorzata is abszolút konvergens és összegük AB. 22

Legyen N =N N. Ha -ek diszjunktak, és =N. Tekintsük a sort. Legyen: (,) = (,) Nyilván sorozat monoton nő. Igazoljuk, hogy ( ) felülről korlátos. Jelölje az -ben lévő legnagyobb indexet. Ekkor: Tehát az felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens. De ekkor (,) konvergens, azaz (,) abszolút konvergens. DE: minden átrendezésnek ugyanaz az összege. Tudjuk viszont, hogy = az előző tétel miatt. Tehát az összeg mindig AB. Azaz = (,) Ebből következik, hogy mind a négy szorzatsor abszolút konvergens. 27. 23