Eg feltételes sélsőérté - feladat A most öveteő feladattal már régen találotam; most újra elővesem. Ami lepő, a a, hog a 80 - as éve elején történt találoás óta sehol nem uant fel, pedig jócsán hordo tanulságoat. E feladat első tanulsága sámomra, hog a isoláan tanult, aorian esetleg hason nélüline gondolt matematia egser csa nagon értées és hasnos lehet. A másodi pedig a, hog a matematia csa esöt ad, ést aonan nemigen. A mű eleteési örülménei ahog irodalomóráon mondtu lehetősen érdeese. Eg olan munahelre erültem, ahol fa heverő - erete / ává silárdsági visgálata / ellenőrése volt a feladat. E aorian rita volt, mint a fehér holló: is haánan nemigen foglalota ilesmivel so helen. Sóval, jó soásom serint eledtem tanulmánoni a rendeleésemre álló sairodalmat, ahol is eg eletnémet faipari safolóiratan ráuantam eg lengel serő tolláól sármaó, igen érdeesne tűnő prolémára. Sajnos, a pontos lelőhelét már nem tudom adni. A léneg, hog nem én találtam i a feladatot és oldását, csa tanulmánotam és alalmatam. A feladat leírásáho teintsü a 1. árát is! Itt eg egenes tengelű, a hossa mentén állandó x h méretű, téglalap erestmetsetű gerenda eg daraját áráoltu, a x = x 0 iválastott erestmetset jellemő ( N,, ) igénevételi omponenseivel. Tudju, hog a elemi Silárdságtan serint a σ - fesültsége oslása [ 1 ] : N. ( 1 ) F I I 1. ára A 1. árán áráolt igénevételi omponense mind poitíva, aa N 0, 0, 0. ( * ) Eor a legnago húófesültség a erestmetset A pontjáan éred; nagsága a ( 1 ) éplettel és a A pont h A, A ( ) oordinátáival:
N h A max. ( ) F I I ost felhasnálva, hog a téglalap erestmetset és súlponti főtengeleire vett másodrendű nomatéai [ 1 ] : h h I, I, ( 4 ) 1 1 valamint, hog a téglalap területe: F h, ( 5 ) ( ), ( 4 ) és ( 5 )- tel: N h N 6 6 max, h h h h h h tehát 1 1 N 6 6 max. h h h ajd a σ engedett fesültséggel a orlátoó feltétel: ( 7 ) max. Eután ( 6 ) és ( 7 ) - tel, a határeseten érvénes egenlőséget véve: N 6 6. h h h Ahog eg orái dolgoatunan is melne címe: Két silárdságtani sélsőérté - feladatról és ao eredméneine felhasnálásáról, jele: ( K D ), most is eveetjü a h ( 9 ) jelölést. ost ( 5 ) és ( 9 ) - cel: F. ( 10 ) ajd ( 8 ) és ( 9 ) - cel: N 6 6 ( 11 ) - et átalaítva:. ( 6 ) ( 8 ) ( 11 ) N 6 6 0. ( 1 )
Ee után a feltételes sélsőérté - feladat a öveteő formáan fogalmaható : eressü a ( 10 ) függvén sélső értéét, a ( 1 ) feltétel mellett. atematiailag a teendő [ ], [ ] : ahho, hog találju a F, ( 10 / 1 ) függvén aon sélsőérté - heleit, mele ielégíti a ( 1 ) serinti N 6 6, 0 ( 1 / 1 ) feltételt, épeü a, F,, ( 1 ) függvént, ahol λ: a Lagrange - féle multipliátor, majd felírju a, függvén feltétel nélüli sélsőértééhe süséges alái egenleteet: ', F', ', 0, ', F', ', 0; ( 14 ) ( 15 ) eehe hoávéve a ( 1 / 1 ) serinti, 0 ( 16 ) egenletet, aptu a ( 14 ), ( 15 ), ( 16 ) egenleteől álló egenletrendsert, a,, ismeretlenere. ost ( 10 / 1 ), ( 1 / 1 ) és ( 1 ) - mal: N 6 6,. ( 17 ) ajd ( 14 ) és ( 17 ) - tel, rendeés után: N 1 6 0. ( 18 ) Továá ( 15 ) és ( 17 ) - tel, rendeés után: N 0. ( 19 ) Eután fejeü i λ - t ( 19 ) - ől! Eor: 1 N N ; ( 0 )
4 eután helettesítsü e ( 18 ) - a ( 0 ) - at! Kapju, hog 1 N 1 6 0; N ( 1 ) - et rendeve: N 8 4 0. Írju ide még egser ( 1 ) - t is! N 6 6 0. ost épeü a ( ) és a ( 1 ) egenlete ülönségét! 8 6 4 6 0, innen 0, majd, innen ( 9 ) - cel is: ( 1 ) ( ) ( 1 ) h ( ). A ( ) éplet felel a ( K D / 14 ) épletne, figelve a ~ tengel - cserére is. ost ( 1 ) és ( ) - mal: N 6 6 0, vag N 6 6 0, aa
5 N 1 0. ( 4 ) A övetlen feladat: a ( 4 ) harmadfoú egenlet oldása. E Cardano épletével történi [ ]. A ( 4 ) egenlet más alaan: s t 0, ahol ( 5 ) N s, 1 t. ( 6 ) ( 7 ) A harmadfoú egenlet idevágó oldóéplete: u v, ( 8 / 1 ) ahol t t s u, ( 8 / ) t t s v. ( 8 / ) A göéplet een a alaan aor hasnálható, ha fennáll a t s D 0 feltétel [ ]. Esetünen, ( 6 ), ( 7 ) és ( 8 / 4 ) - gel: 1 N 6 N D 0, amiől átalaításo után, ( * ) - gal is a: ( 8 / 4 ) 0 N 97 ( 9 ) feltétel adódi.
6 Ee után ( 4 ) oldása: t t u v D D 6 6 N 6 6 N, tehát 6 6 N 6 6 N. ajd ( ) - mal: ( 0 ) ( 1 ) h, valamint F h. ( ) A N 0 speciális eseten ( 0 ) - ól: 1 *. ( ) A ( ) éplet egei a ( K D / 15 ) éplettel, figelve a ~ tengel - cserére is. Aan a eseten, ha a hajlítónomatéo is érussá válhatna, aor vissa ell térni eg orái épletalaho, elerülendő a nullával való ostást. Et itt már nem résleteü. egjegeü, hog termésetesen fennállna a 0, h 0 ( 4 ) feltétele is. Ee is segítheti a matematiai résleteen való eligaodást. A fentieen a láindex a jelett menniség ionos értelemen vett imális voltára utal. ost ejtsün pár sót a itteni imaliálás mienlétéről!
7 A téglalap erestmetsetű, l hossúságú rúd elésítéséhe felhasnált anag mennisége / töe: m V, ( 5 ) ahol ρ a alalmaott anag sűrűsége, V a térfogata. A rúd térfogata: V F l, ( 6 ) íg ( 5 ) és ( 6 ) - tal: m Fl l F, ( 7 ) vagis a felhasnált anagmenniség egenesen arános a primatius rúd erestmetseti területével. A proléma a anagtaaréos méreteés apcsán merült fel, e a oa anna, hog a erestmetseti terület sélsőértéét erestü. Hog e minimum és nem maximum, a fiiai alapon is indoolható. Enne elvégését már a Olvasóra íu. ost gondolju még tová a teendőet! Tudnivaló, hog a ( 7 ) serinti orlátoás csa eg a lehetséges so öül, a ténleges feladat igéneine felelően. Íg a ( 0 ) és ( 1 ) épleteel adódó erestmetseti mérete csa eg első öelítésne teintendő, mele még jócsán váltohatna a egé feltétele figeleme vétele során. Például faanagnál egé feltétel lehet a csústatófesültségere vonatoó, pl., max ( 8 ) alaú, vag a ehajlásora vonatoó, pl. fmax f ( 9 ) alaú orlátoás. Ee csa lehetősége; a ténleges orlátoó feltétele irovásaor figelni ell a saváno előírásaira is. Irodalom: [ 1 ] Walter Schnell ~ Dietmar Gross ~ Werner Hauger: Technische echani Band : Elastostati 7. Auflage, Springer, Berlin, 00. [ ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Semengajev: atematiai seönv űsai Könviadó, Budapest, tö iadásan [ ] A. F. Bermant: atematiai analíis II. rés Tanönviadó, Budapest, 1951. Sődliget, 010. feruár 16. Össeállította: Galgóci Gula mérnötanár