Kompozit lemezek stabilitásvizsgálata

Szilárdságtani anszék DK dolgozat 3. Kompozit lemezek stabilitásvizsgálata a Ritz-módszer alkalmazásával Készítette: Somogi István Károl Építőmérnök hallgató V. évfolam Konzulens: Kollár ászló egetemi tanár BME - Szilárdságtani anszék Budapest 3. október

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Előszó Ezt az Előszót elsősorban nem a DK dolgozat témájával hanem a DK dolgozat külalakjával kapcsolatos néhán gondolat előrebocsátására szánom. Dolgozatom szerkesztése közben az érthetőség mellett fontos célom volt hog igénes szakirodalomhoz méltó munkát készítsek. Ezért a szövegszerkesztő program adta lehetőségeket kiaknázva készítettem el a dolgozatot. Néhán probléma azonban íg is adódott melekért ezúton kérek elnézést a nájas olvasótól. A program angol verziójának magarítása közben az angol és a magar nelv ábra és egéb hivatkozási eltéréséről a programozók megfeledkeztek ezért fordul elő a szövegben a furcsán hangzó Ábra XY. vag a ábla XY. kifejezés mel az angolszász irodalomban megszokott Figure XY. tükörfordításából keletkezett tévesen.

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. artalomjegzék. A KOMPOZIOK ÖRÉNEE... 4.. A KOMPOZIOK MEGJEENÉSE... 4.. A KOMPOZIOK SRUKÚRÁJA... 5.3. A KOMPOZIOK GYÁRÁSECHNOÓGIÁJA... 6.4. KOMPOZI ERMÉKEK: EÕNYEIK ÉS HÁRÁNYAIK... 7. CÉKIÛZÉSÜNK... 9.. A PROBÉMAKÖR ÖSSZEFOGAÁSA... 9.. A CÉ ISMEREÉSE... 3. A VIZSGÁA EMÉEI HÁERE... 5 3.. A KOMPOZIOK SZÁMÍÁSI MÓDSZEREI MÁRIXOK JEÖÉSEK... 5 3.. A RIZ-IMOSHENKO EJÁRÁS... 7 4. A VIZSGÁA A GYAKORABAN... 4.. RUDAK VIZSGÁAA... 4... A RÚD MODEEZÉSE... 4... AZ EGYENEEK... 4..3. A VIZSGÁA MENEE... 4..4. A SZÁMÍÁS EREDMÉNYEI... 3 4.. EMEZEK VIZSGÁAA... 7 4... A EMEZ MODEEZÉSE... 7 4... AZ EGYENEEK... 8 4..3. A VIZSGÁA MENEE... 34 4..4. A SZÁMÍÁS EREDMÉNYEI... 35 4..5. AZ EXPICI ÖSSZEFÜGGÉSEK EGYÜHAÓINAK KERESÉSE... 43 5. AZ EVÉGZE VIZSGÁAOK ÉRÉKEÉSE... 44 5.. AZ EREDMÉNYEK ÉRÉKEÉSE... 44 5.. A OVÁBBI FEADAOK ÁEKINÉSE... 45 6. ÖSSZEFOGAÁS... 47 3

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7.. A kompozitok története A címben használt kompozit szó közvetlenül az angol composite kompozit szóból származtatható a javarészt angol nelvű szakirodalomnak köszönhetően. A latin eredetű szó összetételt összeállítást illetőleg keveréket jelent. ágabb értelemben az építőanagok nagobb része kompozitnak tekinthető például a beton is az azonban szűkebb értelemben a szakirodalom a kompozit szót a két fő összetevőből szálból és mátriból kialakuló mesterséges anagra illetőleg a belőle készülő termékek megjelölésére használja... A kompozitok megjelenése A hagomános építőanagok mellett a XX. század második felében egre több új építőanag jelent meg. Ezek eg része a korábban ismert termékek tulajdonságainak kedvező megváltoztatásával jött létre pl: laminált fa termékek míg másik felük az ipari gártástechnológiák fejlődésével alakult ki pl: alumínium. Műanagokat már az 85-es években elő tudtak állítani gumit celluloidot és a századfordulóra már műselmet is készítettek. A fejlődés igazából a XX. század első felében indult meg a bakelit és a műgumi feltalálásával majd a második világháború után kapott nag lendületet. Ekkor jelentek meg a szálerősítésű műanagok is melekben a teherviselő de sérüléken szálakat a mátrinak nevezett anaggal vették körül és kapcsolták össze. Ez a szálerősítésű termék a többi műanaggal ellentétben már alkalmas volt tartószerkezeti Ábra : A kompozitok felhasználása a repülőiparban célokra is uganis a kúszása alacsonabb kihasználtság kb. 5% esetén végérintőhöz tart íg más műanagokkal szemben alakváltozásai időben korlátozottak Palotás 979.. 4

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. A kompozitok ára kezdetben igen magas volt ezért elsősorban speciális igénű heleken alkalmazták pl: űrkutatásban majd a repülőiparban; Ábra : A kompozitok felhasználása a repülőiparban. artószerkezeti megjelenéséhez gártástechnológiájuk fejlődése és ezáltal az áruk csökkenése nagban hozzájárult: ma már a teherbírás/ár arána az acélszerkezetekével összevethető... A kompozitok struktúrája A kompozitok alapvetően két alkotóelemből épülnek fel: szálból fiber és mátriból matri. A réteges felépítés egmásra helezett szálrétegekből Ábra : Az üvegfátol és a köztük lévő mátri térkitöltésből alakul ki. Ezért a kompozit megnevezés helett a laminátum megnevezést is használjuk. A laminátumban a szálak térfogatarána általában 5% körül mozog. úl sok szál esetén a szálrétegeket közötti kapcsolat nem megfelelő ezért terhelés hatására az eges rétegek Ábra : Az üvegfátol elválnak egmástól delaminálódnak a kompozit tönkremeg Ábra 3: A kompozit Ábra 3: A kompozit gerenda tönkremenetele delaminálódással és szálszakadással gerenda tönkremenetele delaminálódással és szálszakadással. Uganakkor ha a szálak arána alacson akkor az alacson teherbírású de merev mátrira túl nag erő jut és a mátri elreped és laminátum tönkremeg. A száltartalom mellett a kompozit tulajdonságát alapvetően befolásolja a szálak elhelezkedési irána és az eges iránokba elhelezkedő szálak arána: Ha csak egiránú szálakat helezünk el akkor abba az iránba teherviselő lesz a kompozit lemez de az ezzel az iránnal szöget bezáró terhelésekre csak a mátri tud erőt felvenni ami alacson teherbírása miatt erre alkalmatlan. Ha két egmással szöget bezáró iránba helezünk el szálakat akkor a két iránba a teherbírás biztosítható de eg harmadik iránú síkbeli erő a szálszerkezetet már nem tudja terhelni íg ismét a mátri lesz terhelt ez pedig tönkremenetelt okoz a laminátumban. Éppen ezért a szálszerkezet felépítésénél fontos hog legalább három iránba helezzünk el szálakat úg hog a szálak 5 -nál nagobb szöget zárjanak be egmással 5

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. és minden iránba legalább % szálat helezzünk el. Ezáltal a kompozit száldomináns lesz és bármilen iránú síkbeli terhelést képes lesz felvenni A három iránba futó szálak háromszög-rácsot alakítanak ki amel már képes a síkban mereven viselkedni vagis terheket viselni. A szálak irána mellett fontos a száliránok sorrendje is. Ezeket a száliránokat és ±9 között adják meg. Ha minden szálréteghez tartozik eg ellentett iránba futó azonos szálmenniséget Ábra 4: A kompozit lemezek felépítése tartalmazó szálréteg is akkor a laminátumot kiegensúlozottnak nevezzük. Ha a geometriai középfelületre nézve a szálrétegek irána szimmetrikus akkor pedig szimmetrikusnak nevezzük a laminátumot Ábra 4: A kompozit lemezek felépítése. Ezek a megjelölések azért fontosak mert a szálak iráneloszlása nemcsak a teherbírást hanem az alakváltozásokat is befolásolják. Ha eg szimmetrikus lemezt a geometriai középfelületében terhelünk akkor az eges rétegekben kialakuló feszültségek a középfelületre nézve szimmetrikusak lesznek vagis a lemezben nem alakul ki belső hajlítónomaték a lemez síkbeli alakváltozást szenved. Uganakkor ha a geometriai középfelületére nem szimmetrikus akkor a terhelés hatására belső állandó érétkű nomaték alakul ki ami a lemezt a középfelületére merőleges iránban hajlítja. Ez a deformáció a stabilitásvesztéssel járó terhelések esetében megfontolást igénel és előfordulhat hog kedvezőtlen hatású lesz..3. A kompozitok gártástechnológiája A kompozitok gártásához alapvetően nég dolgot kell megoldani: a megfelelő gártóforma negatív vag pozitív minta elkészítése a mátri felhordása a szálak felhordása és bedolgozása a mátriba a mátri kötéséhez szükséges körülmének megteremtése Ábra 5: Kézi hengerlő a lamináláshoz 6

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Ezen ténezők közül a kompozitok gártását a legártandó alak nagmértékben befolásolja: a térbeli bonolult felületeket általában csak kézi technológiával készítik Ábra 8: Kézi laminálás; Ábra 5: Kézi hengerlő a lamináláshoz uganis a gépesítés hibaarána magas. A körszimmetrikus elemeket tekercseléssel Ábra 6: A tekercselés technológiája készítik a legegszerűbb állandó Ábra 6: A tekercselés technológiája keresztmetszetű rúdszerű termékeket pedig pultrúzióval Ábra 7: A pultrúziós gártástechnológia elvi Ábra 8: Kézi laminálás vázlata. Ennek lénege hog a pultrudáló gép a motringokon lévő szálakat eg mátriszal teli téren húzza át majd utána eg fűthető csőben a kívánt keresztmetszetet alakítja ki a keverékből. Ezzel a gártástechnológiával készülnek a gép- és az építőipar számára is hasznos négszög keresztmetszetű zártszelvének és az I U C és Z keresztmetszetű tartók. Ábra 7: A pultrúziós gártástechnológia elvi vázlata.4. Kompozit termékek: előneik és hátránaik A kompozit terméke nag előne a kis fajsúl a nag szakítószilárdság és a korrózióállóság. Előállítási költségük folamatosan csökkenése révén árszakítószilárdság aránuk ma már az acéléval összemérhető. Elterjedésükhöz és 7

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. nagobb volumenű ipari felhasználásukhoz a pultrúziós technológiával olcsón és kellően széles méretválasztékban előállítható termékek is nagban hozzájárulnak. A kompozitokból magas szakítószilárdságuk miatt alapvetően vékonfalú szelvéneket készítenek. Ezeknek a vékonfalú szelvéneknek azonban nem a szilárdsági hanem a stabilitási határállapotai jelentenek teherbírási korlátot Qiao et al. 999. Barbero. Más régóta használt építőanagok például az acél esetében ezek a stabilitási vizsgálatok már kiforrottak szabálzati szinten is összefoglaltak míg kompozitok esetében még nincsenek kidolgozott útmutatások és méretezési elvek. Ezek hiánában pedig a termékek szélesebb körű elterjedése még várat magára. 8

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7.. Célkitűzésünk Célkitűzésünk alapvetően ezeknek a méretezési hiánosságoknak a pótlására illetőleg a még megoldásra váró feladatrészek megoldása amit több lépcsőben kívánunk végrehajtani... A problémakör összefoglalása Eg méretezés során szilárdsági stabilitási valamint ha szükséges állékonsági vizsgálatokat kell elvégezni. A vizsgálatokat többféle szinten végezhetjük el: a Szerkezet szintjén b Szerkezeti elem szintjén c Keresztmetszeti szinten illetőleg d Keresztmetszetet alkotó elemek esetünkben lemezek szintjén A Szerkezet a és Szerkezeti elem b szintű méretezést általában állékonsági vizsgálatokban kell elvégezni míg a szilárdsági vizsgálatok a Keresztmetszeti c és a Keresztmetszetet alkotó elemek d szintjén végezhetők el. A stabilitási ellenőrzéseket két csoportra oszthatjuk: Egik csoportba a Szerkezet a és a Szerkezeti elem b szintjén vizsgálható globális stabilitási méretezés tartozik amit a szabálzatok általában a Keresztmetszetek c szintjén végrehajtott szilárdsági méretezésre vezetnek vissza. Erre egik legjobb példa az acélszerkezetek kihajlási vag kifordulási méretezése a tervezési feszültség csökkentésével amit többek közt az MSZ és az EC3 is alkalmaz. A stabilitási méretezés másik szintje a lokális stabilitásvizsgálat melet a Keresztmetszetet alkotó elemek szintjén d végzünk el. Ilen vizsgálatokat tartalmaz például az MSZ is a lokális lemezhorpadás vizsgálatára. A nag szilárdságú és ezért általában vékonfalú szerkezetekben alkalmazott anagok esetében az alkotóelemek alkotólemezek általában lokális stabilitásvesztéssel mennek tönkre. Ezért a szakirodalmi ajánlásokat figelembe véve Bleich 95.; Bulson 955. a vékonfalú kompozit szelvének méretezéséhez mi is az alkotó lemezekre bontás elvét alkalmazzuk. Emellett természetesen szükséges még a szilárdsági ellenőrzést is elvégezni. 9

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Vagis a kompozit termékek vizsgálatához a c és a d esetre vonatkozó vizsgálati módszerek tanulmánozása illetőleg kidolgozása fontos. A Keresztmetszeti szintű c vizsgálatokat a keresztmetszetek igénbevételei alapján az alábbiak szerint foglalhatjuk össze: engeliránú nomás iszta hajlítás Nírás engeliránú nomás és hajlítás interakciója Hajlítás és nírás interakciója Az Keresztmetszetet alkotó lemezek d szintjén fellépő lokális stabilitásvesztést okozó esetek megismeréséhez pedig az alábbi geometriai eseteket kell megvizsgálni: Nég peremén csuklósan megtámasztott lemez Nég peremén rugósan megtámasztott lemez Nég peremén befogottan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan kettőn rugósan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan kettőn befogottan megtámasztott lemez Három peremén csuklósan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan eg peremén rugósan megtámasztott lemez Két peremén csuklósan eg peremén befogottan megtámasztott lemez Mindegik geometriai kialakítás esetén a lemez síkjában működő nomást nírást hajlítást illetőleg ezek interakcióját kell megvizsgálni. A peremeken alkalmazott csuklók rugók illetőleg befogások a szomszédos lemezek megtámasztó hatásait modellezik. Ha a szomszédos lemezek csavarómerevsége elhanagolható akkor csuklós megtámasztásról beszélünk ha nag a csavarómerevségük akkor befogott lemezperemet tételezhetünk fel ha pedig köztes értékű a csavarással szembeni merevség akkor azt az elfordulás elleni rugókkal megtámasztott röviden rugós lemezperemmel vehetjük figelembe. A húzás illetőleg a húzás és hajlítás interakciója mind a c mind pedig a d esetből kimaradt. Enne az oka hog a húzás nem okoz sem globális sem pedig lokális tönkremenetelt a szilárdsági tönkremenetel pedig a kompozitok törési feltételéből egszerűen számítható. A szakirodalom részletes áttanulmánozásával a már megoldott problémákat illetőleg a még megoldandó problémákat az alábbi két táblázatban áblázat : A keresztmetszeti szintű vizsgálatok kidolgozott elméletei; áblázat : Az alkotólemezek vizsgálatainak összefoglalása

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. foglalhatjuk össze. Ezekben a táblázatokban az adott problémát eplicit kifejezéssel megoldó személét tüntettük föl a problémára korábban numerikusan megoldást adók íg nem szerepelnek benne. Az igbv. típusa I keresztmetszet Zártszelvén iszta nomás Kollár. Kollár. iszta hajlítás Kollár. Kollár. Nírás Még nincs megoldás Még nincs megoldás Nomás és hajlítás Még nincs megoldás Még nincs megoldás Hajlítás és nírás Még nincs megoldás Még nincs megoldás áblázat : A keresztmetszeti szintű vizsgálatok kidolgozott elméletei A lemez és igbv.-ei A számítás kidolgozója A lemez és igbv.-ei A számítás kidolgozója ekhnitskii 968. ekhnitskii 968. Veres és Kollár. Még nincs megoldás ekhnitskii 968. Veres és Kollár. Whitne 987. Kollár. Még nincs megoldás

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. A lemez és igbv.-ei A számítás kidolgozója A lemez és igbv.-ei A számítás kidolgozója Barbero 999. ekhnitskii 968. Kollár. Még nincs megoldás Kollár. Még nincs megoldás Jelölések: szabad lemezperem csuklós lemezperem elfordulás elleni rugóval megtámasztott perem befogott perem áblázat : Az alkotólemezek vizsgálatainak összefoglalása.. A cél ismertetése A.. pont alatt megfogalmazott elvek figelembe vételével az A keresztmetszeti szintű vizsgálatok kidolgozott elméletei című táblázatban áblázat összefoglalt keresztmetszet méretezési vizsgálatok elvégzéséhez a Az alkotólemezek vizsgálatainak összefoglalása című táblázatban áblázat összefoglalt lemezstabilitási problémákat kell megoldani. Ezek eg részére a szakirodalomban már vannak kidolgozott eplicit összefüggések melek valós vag a valóshoz képest ±5%-on belüli eredmént adnak. Másik részük még csak

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. numerikus formában oldható meg illetőleg van olan eset is amelre még nem létezik numerikus megoldás sem. Célunk hog a még megoldatlan feladatokra kielégítő megoldást adjunk illetőleg a meglévő de nem pontos számítási módszereket lehetőség szerint kijavítsuk pontosítsuk majd a kidolgozott eljárások ismeretében keresztmetszeti méretezési eljárásokat alkossunk melek már alkalmasak a gakorlati méretezésben való alkalmazásra is. A cél elérése érdekében a feladatott több egmásra épülő és jól elhatárolható szakaszra bontottuk: Az első szakaszban a szakirodalom alapján eg jól alkalmazható közelítő eljárás segítségével numerikus megoldási módot kell találnunk a különböző terhelésű és megtámasztási viszonú lemezek stabilitásvizsgálatának elvégzéséhez. Ezután a kiválasztott közelítő eljárás számítására eg számítógépes rutint kell alkotnunk. A program elkészülte után a szakirodalomban megtalálható megoldott feladatok segítségével tesztelnünk kell annak működését majd ezt követően a működő rutinnal az alkalmazott közelítő eljárás paramétereinek függvénében meg kell határoznunk a számítás pontosságát. 3 Ezeknek az ismereteknek a birtokában a még megoldásra váró lemezstabilitási vizsgálatokat kell elvégeznünk. A kapott eredmének alapján a stabilitásvesztést okozó terheket az anagi és geometriai jellemzők függvénében felíró eplicit kifejezések egütthatóit kell meghatároznunk. Ezek meghatározásához többek közt görbeillesztési eljárásokat is alkalmazni kívánunk. A vizsgálatokat a áblázat.-ben összefoglalt esetekre kívánjuk elvégezni. A folamat utolsó lépése a kompozit rúdszerkezetek keresztmetszeti méretezéséhez szükséges összefüggések megalkotása melekhez a geometriai és anagjellemzők segítségével kifejezett eplicit kritikus teher számítási eljárások által kapott eredméneket mint rész-eredméneket használjuk. A teljes ismertetett problémakör megoldása tekintéles munka- és időráfordítást igénel mel lénegesen meghaladná eg DK dolgozat kereteit. Ennek megfelelően ebben a DK dolgozatban az irodalmi áttekintés valamin a kompozit termékek és a jelölésrendszer ismertetése mellett csak az. részfeladat elvégzését tűztük ki célul míg 3

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. a további két részfeladat elvégzését eg későbbi dolgozat keretében kívánjuk megvalósítani. 4

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 3. A vizsgálat elméleti háttere A fentebb összefoglalt vizsgálatok elvégzéséhez a Ritz-módszer eg speciális esetét a Ritz-imoshenko eljárást alkalmaztuk polinomos közelítéssel. Választásunkat az alábbi indokokkal támasztjuk alá: a polinomos közelítés során a kapott kifejezések egszerűen kezelhetők számítástechnikailag kedvező mátrios alakban írhatók fel a kifejezések integrálása és deriválása során a műveletek az eges polinom tagokra egszerűen és jól ellenőrizhetően végezhetők el íg a vizsgálat során a debugging hatásosan megvalósítható valamint a számítógépes számábrázolásból kifolólag a kerekítési és közelítési hibákat is csökkenthetjük. Ezeket előrebocsátva most tekintsük át a számításhoz használt matematikai apparátust illetőleg a Ritz-imoshenko eljárás néhán speciálisabb jellemzőjét ami kifejezetten a kompozit lemezekre való alkalmazás során kerül elő. 3.. A kompozitok számítási módszerei mátriok jelölések A kompozit réteges lemezek esetében az eges rétegek merevségi tulajdonságai a szálarántól és a szálirántól jelentősen függnek. Az. A kompozitok struktúrája című részben felvázoltak alapján eg lemezkeresztmetszet tanulmánozása során az alábbi megállapítások tehetők. A keresztmetszeten meredek merőlegeshez közeli szögben átfutó szálrétegekben nag merevségük miatt már kis alakváltozás hatására is nag feszültségek ébrednek míg a lapos párhuzamoshoz közeli szögben érkező szálrétegekben csak kis feszültségek alakulnak ki. Ha a Bernoulli-Navier hipotézist a kompozit lemezek esetében is igaznak tekintjük akkor a száliránok egmásutániságának függvénében a feszültségeloszlás az eges 5

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. rétegekben erőteljesen eltérhet illetőleg a keresztmetszet semleges tengele ahol az alakváltozások zérus értékűek nem feltétlenül esik egbe a lemez középfelületével. Emiatt a hagomános feszültségszámítás erő/felület alkalmazása nem túl célravezető már csak azért sem mert eg sokrétegű laminátban ébredő eredő erő meghatározása elég hosszadalmassá válik ha a feszültségekből számítjuk ki a rétegek eredőjét majd ezeket előjelhelesen összegezzük. Ehelett a keresztmetszetek vizsgálatakor eleve a keresztmetszetekben ébredő erőt számítjuk méghozzá a keresztmetszethez tartozó alakváltozások függvénében. Íg nem keresztmetszeti területet és keresztmetszeti modulust hanem egfajta húzómerevséget hajlítási merevséget illetőleg az egenlőtlen feszültségeloszlás hatására bekövetkező keresztmetszeti torzulások figelembe vételére torzulási merevséget számítunk. Mivel lemezszerkezetet vizsgálunk ezért a tér két iránában ható feszültségek és alakváltozások egmásra hatását is figelembe kell vennünk ezért a számításban a merevségek merevségi mátriként jelennek meg. A mátriokat és számításukat a következőkben foglaljuk össze: Húzómerevségi mátri: orzulási merevségi mátri Hajlítási merevségi mátri A B D K zi zi i K zi zi i K 3 3 zi zi i Q i [] Qi [] Qi 3 [3] ahol Q i a globális koordinátarendszerbe transzformált a Hooke törvénből levezethető merevségi mátri z i pedig az eges rétegek határfelületeinek távolsága a középfelülettől: Q Q Q6 Q i Q Q Q6 [4] Q6 Q6 Q66 Ezek segítségével a keresztmetszetben ébredő igénbevételek az alakváltozások függvénében az alábbi kifejezéssel számíthatók: N A M B B ε D κ [5] ahol: 6

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Ν az erővektor [ N N N ] Μ a nomatékvektor [ M M M ] ε a núlásvektor [ ε ε ε ] κ a görbületvektor [ κ κ κ ] N [6] M [7] ε [8] κ [9] Az anagi jellemzőket tartalmazó A B és D mátriok a legáltalánosabb kompozitok esetében szimmetrikus teli mátriok azonban a speciálisabb laminátumok esetében a mátriok eges elemei zérussá válnak. Ha a laminátum a középfelületére szimmetrikus kialakítású akkor a középfelületében ható erő szimmetrikus feszültségeloszlást fog eredménezni vagis a lemez nem szenved torzulást a B mátria zérusértékű lesz: B Ha a laminátum kiegensúlozott vagis minden rétegnek van ellentett iránú és azonos száltartalmú párja akkor az A mátri 6 6 elemei lesznek zérussal egenlők. Az elemek indeelése az általános Hooke-törvénben szereplő nag 66 hajlékonsági mátri adott sorainak és oszlopainak elhagása után kialakuló 33 hajlékonsági mátri invertálásával kapjuk. a z /3/ iránú alakváltozások lénegtelenek mert nem ébresztenek z iránú feszültséget akárcsak az z /4/ és z /5/ iránú deformációk sem: [] S i 6 6 S S S 6 S S S 6 S6 S 6 S 66 S S S 6 S 6 66 6 S i 3 3 S S S S S i S i 33 Q [] 3.. A Ritz-imoshenko eljárás A kompozit lemezek számításakor alkalmazott jelölésrendszer vázolása után röviden ismertetjük az alkalmazott Ritz-imoshenko eljárást. A Ritz-módszer lénege hog a kihajlási alakot eg függvénnel közelítik és erre a függvénre alkalmazzák a ténleges kihajlási alakra vonatkozó differenciális 7

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. összefüggéseket. Ez a közelítés annál pontosabb minél pontosabban tudjuk közelíteni a kihajlási alakot Koráni 965.. A Ritz-imoshenko eljárás során a ténleges alakot eg olan függvénsorral közelítjük: F a + a f + a f +... + a f n n melben az eges ismert függvének f i önmagukban kielégítik a geometriai peremfeltételeket az ismeretlen menniségek pedig a függvénsor egütthatói melek a kihajlás pillanatában a potenciális energia stacionaritását kimondó feltételből [3] határozhatók meg: [] δ Π [3] Eg többváltozós függvén Π pedig akkor állandóértékű ha minden változója szerinti parciális deriváltja zérus. Ezt a feltételt használva eg homogén egenletrendszer [4] írhatunk fel az a k egütthatókra Iváni 995: Π a k a k ra [4] Az eljárás során alkalmazható közelítő függvénsorok [] többféleképpen is felvehetők. ehetnek Fourier-sorok melek már kevés tag esetén is jó közelítést adnak lehetnek trigonometriai sorok melek integráljai viszonlag können előállíthatók illetőleg bármilen más differenciálható függvének Koráni 965.. A kompozit lemezek számításhoz mi polinomokat alkalmaztunk mert ezekkel a deriválási és integrálási műveletek a függvénsor tagokra bontásával egszerűen végrehajthatók és il módon können ellenőrizhetők is. A számítás elméletéhez még a számítás pontossága és hibáinak ismerete is hozzátartozik: A számítás pontosságát a számításkor használt közelítő függvén pontossága adja. Minél jobban közelítjük a ténleges kihajlási alakot az eredmén annál pontosabb lesz. Az egszerűbb esetekben amikor a pontos számítás eredménei ismertek akkor a számítás pontossága ezekkel kontrollálható. Ha a pontos kihajlást okozó teher nem ismert akkor több egmást követő egre magasabb hatvánokat figelembe vevő számítás eredméneinek eltéréséből következtethetünk a kapott eredmének pontosságára. Ez azért tehető meg mert a Ritz-módszer és azok speciális változatai bizonítottan konvergensek de legalábbis a több tag nem rontja a közelítés pontosságát Koráni 965.. 8

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Az eljárás hátrána hog a szerkezetet a ténlegesnél merevebbnek tételezi fel ezért a kihajlási kritikus teherértéket minden esetben felülről közelíti. 9

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 4. A vizsgálat a gakorlatban A kompozit lemezek kihajlás-vizsgálatának elvégzése előtt az egszerűbb rúdkihajlás esetét vizsgáltam. Ennek segítségével egrészt a Ritz-imoshenko eljárás használatát sajátítottam el másrészt pedig hasznos programozástechnikai tapasztalatokat szereztem a rúdkihajlás esetét vizsgáló MAPE program megírása során. Ezen gondolatok alapján a következőkben először a rúdkihajlás esetét mutatom be majd rátérek a kompozit lemezek stabilitásvizsgálatára. 4.. Rudak vizsgálata 4... A rúd modellezése A kihajlásvizsgálat elvégzéséhez a vizsgált rúd modelljét Ábra 9: A rugós rúd modellje az alábbiak szerint vettem fel: a rúd anagát tökéletesen rugalmasnak tételeztem fel melnek rugalmassági modulusa E C P cr a rúd teljes hosszában állandó keresztmetszetű és önsúla elhanagolható Φ a rúd tengeliránú megtámasztása és a terhelő erő a rúd tengelében hat a rudat a kihajlás előtti pillanatban alakváltozásmentesnek tételeztem fel a rúdban a kihajlás előtt és után is a síkkeresztmetszetek hipotézise érvénes C Φ Ábra 9: A rugós rúd modellje

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. a rúd két végét elfordulás ellen ható spirálrugókkal támasztottam meg melek az elfordulást C i rugómerevségükkel gátolják a síkbeli koordinátarendszert úg vettem fel hog az tengel a rúdtengel iránába mutasson míg az tengel a kihajlás síkjába essen. 4... Az egenletek A fenti Ábra 9 ábra alapján a kihajlás közben átalakuló energiák az alábbi egenletekkel írhatók fel: Az P cr erő elmozdulása hosszon az integrálon belüli ívhossz kifejezésére a binomiális tételt alkalmazva és a másodfokúnál nagobb tagokat elhagva kaphatjuk az alábbi formulát Iváni 995.: k P cr P d d + d P d [5] d d A elfordulást φ és az alakváltozást κ a kihajlási alak függvénében az alábbi kifejezések adják: φ κ d d d d [6] [7] A két rúdvégi rugóban felhalmozódó energia a rúdvégi elfordulások hatására és a [6] behelettesítése után: R C d d φ + Cφ C + C [8] A rúd meggörbülése következtében felhalmozódó rugalmas energia d d B EI d Mκ d d [9] d A rúd tengeliránú összenomódásától a 4... pontban tett megfontolások alapján zérusnak tekintjük íg az energia [] felírásakor nem kell számításba venni:

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Π d d d d + + + B R k EI P d C C d [] d d d A potenciális energia felírása után az függvén polinomos közelítését kell felírnunk majd ezt a potenciális energiába visszahelettesíteni és a kijelölt integrálásokat elvégezni. A közelítő függvént a 4... Az egenletek szakaszban leírtak alapján már nem általános alakban vesszük fel hanem egből a peremfeltételeket kielégítő polinomokat alkotunk. A peremfeltételek a két rúdvég iránú mozdulatlanságát írják le. Ennek megfelelően a polinom alakja a számítógépes programban alkalmazott mátrios számítási megfogalmazáshoz igazodva: F a [] ahol: [ a a a ] a... [] 3 n 3 n n [... ] [3] A közelítő függvén deriváltjait az vektor elemeinek deriválásával állítottuk elő és illetőleg jelöltem. Az íg kapott energia-kifejezés: a P a d + C a + C a Π EI [4] 4..3. A vizsgálat menete A [4] módon felírt energia-kifejezés programozás-technikailag sokkal kedvezőbb mert a szummázások helett mátri-szorzásokat kell csak végrehajtani. Az integrálások az a i -ktől függetlenek íg azok is elvégezhetők. Ha a program futásának gorsítása a cél akkor az integrálások akár kézzel is elvégezhetők minden mátrielemre különkülön és a már kiintegrált formulát lehet utána a programba beadni. Egdimenziós esetben ez elég egszerűen végrehajtható azonban kétdimenziós esetben már jóval időigénesebb ezért ott nem is alkalmaztam a program futásának gorsítására. A program lénegében az alábbi lépéseket valósította meg ciklikusan n értékének ciklusonkénti növelésével n-től indulva:

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. mátriok vektorok megfelelő méretben történő definiálása a mátriok vektorok feltöltése a deriváltakból álló vektor kiszámítása a sajátérték feladat mátriainak kiszámítása a sajátérték feladat megoldása. Minden eges ciklusban kiválasztottam a legkisebb sajátértéket és azt az n értékével párban eltároltam majd a program futásának végén az eredménekből grafikont rajzoltattam. 4..4. A számítás eredménei A számítást három különböző rúdvég befogási módra végeztem el: a rugómerevségek -ra választásával csuklós rudat vizsgáltam 3

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. az egik rugómerevség kellően nagra választásával az EI rúdmerevséghez képest 4-5 nagságrenddel nagobbra választva az egik végén befogott rúd esete állt elő míg ha mindkét rugómerevség kellően nagra választásával az EI rúdmerevséghez képest 4-5 nagságrenddel nagobbra választva a mindkét végén befogott rúd esete állt elő. A számítás eredménei az eges n értékekhez tartozó diszkrét pontok voltak. A szemléletesség kedvéért ezeket a pontsorozatokat eg-eg vonallal összekötve az Ábra - n P cr [*EI/ ] [ ] [%] 34 5854 3 34 5854 4 9875975 55 557 5 9875975 55 557 6 986967 7 986967 8 9869644 9 9869644 9869644 9869644 9869644 3 9869644 4 9869644 Elméleti érték: 9869644 áblázat 3: A mindkét végén csuklós rúd eredménei en látható három görbét kaptuk. A legfelső kék vonal a mindkét végén befogott rúd kihajlási terhét a középső zöld vonal az egik végén befogott rúd eredménét míg a piros a csuklós rúdnál kapott eredméneket mutatja. A grafikonokról az is kiderül hog mindhárom esetben az első két -három n Ábra : A rúd számítási eredménei 4

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. n P cr [*EI/ ] [ ] [%] 4 4979499 545 6445 5 4979499 545 6445 6 39485746 467 85 7 39485746 467 85 8 39466866 37 6 9 39466866 37 6 394663 37 6 394663 37 6 394663 37 6 3 394663 37 6 4 394663 37 6 Elméleti érték: 39438979 áblázat 5: A mindkét végén befogott rúd eredménei alapján a következők: tagos közelítés nem a pontos eredmént adja. Az alacson fokszám csuklós rúdnál % egik végén befogott rúdnál 3% míg mindkét végén befogott rúdnál 6% felülbecslést eredménez. A további tagok azonban ugrásszerűen megközelítik a pontos eredmént alig van néhán tized ezrelékes eltérés. Ezt a következő a görbék értékeit tartalmazó táblázatok is jól mutatják áblázat 3 áblázat 4 áblázat 5 - a piros értékek az eltérést a zöld értékek pedig a jó egezést mutatják. A táblázatokban használt pontos értékek Iváni 995. Csuklós rúd esetén : EI P cr Π EI 98696 Csuklós-befogott rúd esetén 7: n P cr [*EI/ ] [ ] [%] 3 99935 985 48986 4 9377 777 383 5 86864 396 6933 6 9783 48 394 7 86897 448 7 8 86695 446 7 9 86695 446 6 86694 446 6 86694 446 6 86694 446 6 3 86694 446 6 4 86694 446 6 Elméleti érték: 45 EI EI P cr Π 98696 7 Befogott rúd esetén 5: EI EI P cr Π 98696 5 EI 4 EI 394389 Még eg érdekességet kell megjegeznünk a görbékkel kapcsolatban: A csuklós rúd esetén másodfokú polinomos közelítéssel indul a közelítés míg egik végén befogott rúdnál 3-ad fokú és a befogott rúdnál pedig neged fokú polinommal. Ennek az a magarázata hog a másodfokú görbe áblázat 4: A csuklós-befogott rúd eredménei 5

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. második deriváltja konstans íg a befogásnál fellépő görbületváltozást nem tudja modellezni. Hasonló a helzet a mindkét végén befogott rúdnál is: a két befogás között a rúd görbülete kétszer vált előjelet azonban ezt harmadfokú polinommal nem tudjuk leírni csak legalább negedfokúval. A számítás során ha túlságosan alacson fokszámú polinomot adunk meg akkor a hibás görbületi érték miatt a rúd kritikus terhe nagon nagra adódik. Ez a nagon nag érték a rugó és a rúdmerevség aránától függ. A kapott eredmének alapján az elvégzett számítások sikeresek voltak hiszen a már meglévő szakirodalmi eredméneket sikerült a számításokkal előállítani. A lefuttatott MAPE program forráskódját a DK dolgozatom az. sz. függeléke tartalmazza. 6

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 4.. emezek vizsgálata A rúdkihajlás vizsgálatakor alkalmazott általános összefüggéseket a lemez vizsgálata során is felhasználtam. Íg többek között a [5] [6] és [7] összefüggéseket a szakirodalom alapján lemezek esetében is alkalmaztam Whitne 987. Ezt előrebocsátva a lemez modellezését a következők szerint hajtottam végre: 4... A lemez modellezése A lemez modelljét a rúd modelljéhez hasonlóan az alábbi kitételeket alkalmazva vettem fel: a lemez anagát tökéletesen rugalmasnak tételeztem fel melnek anagjellemzőit a kompozitoknál szokásos mátriok tartalmazzák A D B a lemez geometriáját tekintve derékszögű négszög alakú téglalap alakú teljes felülete mentén állandó vastagságú és középfelülete a vizsgálat megkezdésekor P P P C P C C P C P z P P Ábra : A lemezvizsgálat modellje 7

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. tökéletesen sík önsúla pedig elhanagolható a lemez síkbeli megtámasztása és a terhelő erő a lemez középfelületében hat a lemezt a kihajlás előtti pillanatban alakváltozásmentesnek tételeztem fel a lemez nég peremét elfordulás ellen ható spirálrugó-sorral támasztottam meg melek az elfordulást C i C i rugómerevségükkel gátolják illetőleg a térbeli koordinátarendszert úg vettem fel hog az és az tengelek a lemez középfelületébe essenek és a lemez oldalaival párhuzamosak legenek az origó pedig a lemez egik csúcsában helezkedjen el. Ekkor a z tengel a lemez felületére merőleges ld: Ábra : A lemezvizsgálat modellje. 4... Az egenletek A lemeznek nemcsak a modelljét lehet a rúdmodellhez képest analóg módon felvenni hanem a számításhoz szükséges egenleteket is. Ezek közül az alábbiakban csak a legfontosabb egenleteket közöljük. A teljes energia-kifejezést δ Π általánosan az alábbiak szerint írhatjuk fel: Π ε [ N M ] dd + ϕ C ϕ d + ϕ C ϕ d κ ε i Pε dd i [5] Ha az [5] kifejezést behelettesítjük akkor az energia már csak a terhelő erőrendszer az anagra jellemző állandók és az alakváltozások függvéne lesz: ahol: Π C A Bε [ κ ] dd + ϕ C ϕ d + ϕ C ϕ d ε ε i Pε idd [6] B Dκ az tengellel párhuzamos oldalakon lévő elfordulás elleni rugók merevsége [7] C az tengellel párhuzamos oldalakon lévő elfordulás elleni rugók merevsége [8] φ az tengellel párhuzamos peremeken kialakuló elfordulás [9] φ az tengellel párhuzamos peremeken kialakuló elfordulás [3] P a peremeket terhelő erőrendszert leíró mátri [3] ε i az alakváltozások vektora [3] 8

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 9 A mátriok és vektorok értékei pedig: C C C [7] C C C [8] ϕ [9] ϕ [3] P P P P P [3] i ε [3] illetőleg: ε [33] κ [34] A stabilitásvizsgálat során a kihajlás előtti pillanatban a kritikus teher már éppen rajta van a szerkezeten ezért a terhelés hatására bekövetkező összenomódási alakváltozások eddigre már lezajlottak. Mivel karcsú szerkezeteket vizsgálok ezért a kihajlás rugalmas kihajlással következik be. Ez azt jelenti hog a kihajlás során a szerkezet további összenomódási alakváltozásokat már nem fog elszenvedni. Ezek

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 3 alapján ha a kihajlás előtti állapotot választom kiindulási alakváltozásmentes állapotnak akkor a kihajlás során összenomódási alakváltozások nem keletkeznek vagis a [33] feltételezés lesz érvénes. A vizsgálat során eg további megkötést is alkalmazunk: mivel a P terhelő erőrendszer és függvéne ezért a számítás során az és iránú erők egmáshoz viszonított aránát rögzítjük ezáltal egparaméteres terhet kapunk. A számításaink során paraméterként a λ alkalmazzuk indoklás ld. lejjebb. Ezeknek a megkötéseknek a figelembe vételével az energia-kifejezés tagjai az alábbiak szerint képezhetők: A P cr erőrendszer elmozdulása a és a hosszon illetőleg a lemez síkjában bekövetkező szögtorzuláson Whitne alapján Whitne 987.: + + cr cr cr k dd P P P λ [35] A peremeken lévő elfordulást gátló rugókban a kihajlás következtében felhalmozódó energia a következők szerint számítható: + + + R d C C d C C [36] A lemezben kialakuló rugalmas deformáció energiaértéke pedig: R dd D [37] Mindezeket összevetve az energia-kifejezés eg a terhelő erőrendszertől az anagi jellemzőktől és a kihajlási kihorpadási alaktól függő meglehetősen hosszú de egszerűen kiszámítható egenlőséggé alakul át: + + Π i i dd P d C d C dd D ε ε λ ϕ ϕ ϕ ϕ κ κ [38] illetőleg a behelettesítéseket elvégezve:

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 3 + Π dd P P P P D λ + + d C C + d C C [39] A következő lépésként a kihajlási alak helére kell F közelítő függvént beírni. A közelítő függvén felvételekor a függvénsor eges függvéneit eg csak -től és eg csak -tól függő polinom szorzataként írjuk fel. Ez a felírási mód lehetővé teszi az és az változók önálló kezelését ezáltal megkönnítve a deriválások és integrálások elvégzését. Ehhez a felírási módhoz az eddig vektorba összefogható a k egütthatókat is át kell csoportosítani eg a mátriba. Az a ij egütthatókat az a k egütthatókból a polinomok fokszáma alapján tudjuk szétválogatni i az -es tagok hatvánkitevőjét j az -os tagok hatvánkitevőjét jelenti. Az és változók szerinti szétbontás után kézenfekvő megoldásként kínálkozik a következő közelítő függvénalak: n i m j j i ij a F [4] mert: egszerűen megfogalmazható programozás-technikailag jól formulázható akár mátrios alakban is a deriváltjai és integráljai könnedén előállíthatók és a közelítés pontosságának fokozása a polinom fokszámának emelésével n m növelésével können megvalósítható valamint a polinom felírása független a peremfeltételektől mert azok kielégítése a számítás következő lépésében történik meg vagis ez a megfogalmazás a peremfeltételektől függetlenül általánosan igaz. Azonban a peremfeltételek kielégítéséhez szükséges átalakításokat ebben a formában nagon körülménes elvégezni! A probléma egdimenziós rúdkihajlás-vizsgálat során nem jelentkezik mert a peremfeltételekből az a és az a egütthatók kifejezhetők és ahol n és m legalább.

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. ezeket a polinomba visszahelettesítve a közelítő függvénre eg a..a n -től függő kifejezést kapunk. Kétdimenziós esetben lemezkihajlás-vizsgálat során azonban az a i és az a j egütthatók az és peremen lévő feltételből kiesnek de például az a értékek kifejezésekor az a j tagok is bekerülnek a kifejezésbe ezért nem lehet a polinomból ezeket a tagokat eliminálni. Uganez az eset áll fenn ha az a j tagokat kívánjuk kifejezni. Ez pedig azt jelenti hog nem tudjuk sem az a j sem pedig a i tagokat a közelítő függvénből eliminálni vagis nem tudjuk peremfeltételeket kielégíteni. Ezt a problémát szemléletesen eg mátriszal modellezhetjük: a peremfeltételek vag az első sorra vag az első oszlopra vonatkoznak nekünk pedig az első sort és az első oszlopot is el kell hagnunk a polinom kifejezésből. Ez nem lehetséges mert az első elem mindkét peremfeltételben benne van. Ezen problémák zsákutcák miatt célravezetőbb a polinomos közelítés olan felírása melben az eges függvéntagok eleve kielégítik a peremfeltételeket. Habár íg a polinom megfogalmazása már nem lesz általános érvénű azonban a peremei mentén elmozdulás ellen megtámasztott lemezek vizsgálatához ez is elegendő[6]: F n m i i j j aij [4] i j A peremfeltételek kielégítéséhez az a j a j a i az a i egütthatókat ki kell ejtenünk ezért a szummázás csak i j-től indul. A []-es összefüggés analógiájára a [4] kifejezés a következő mátrios formára hozható: F a ahol az és a mátriok az alábbiak szerint értelmezendők: 3 n n [... ] 3 m m [... ] [4] [43] [44] a a3 a an a a a 3 33 n3......... a a a m 3m nm [45] 3

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 33 A deriváltvektorokat a megfelelő vektorok minden eges tagjának deriválásával állíthatjuk elő és -tal jelöljük. Ezt felhasználva az energia-kifejezésben a kihajlási alaktól függő tagok az alábbiak szerint számíthatók ld. még [9] [3] [3] [34]: a a a κ [46] a a i ε [47] a a ϕ [48] a a ϕ [49] A vektorok és mátriok ismeretében a rendszer teljes energiáját mátrios formában a következő összefüggés adja: [ ] [ ] + Π dd a a P P P P a a a a a D a a a λ [ ] d a a C C a a d a a C C a a + + [5] Ezután a kijelölt integrálások elvégzése következik majd az a ij szerinti deriváltakat kell előállítani. Mivel az F függvénben az egütthatók első hatvánon szerepelnek csak és az integrál-kifejezésekben az F-nak csak a szorzatai fordulnak elő ezért a deriváltakban az a ij ténezők maimálisan az első hatvánon szerepelnek csak vagis a ij -re nézve ez eg lineáris homogén egenletrendszert ad: E a [5]

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. A [38] és [39] egenleteket figelve azt is megállapíthatjuk hog az [5] egenletrendszer E mátriát szétbonthatjuk eg a P-t tartalmazó E és eg a P-t nem tartalmazó mátrira E. Ha ezt a szétbontást végrehajtjuk akkor a terhelő erőrendszer λ teherparaméterét az E mátri elé skalár szorzóként kiemelhetjük. Az átalakítás előne hog íg az egenletrendszer eg sajátérték problémává alakítható amelnek a megoldására már számos numerikusan stabil számítási módszert dolgoztak ki: E λ E a [5] Ha a sajátérték feladatot numerikusan megoldjuk akkor a λ sajátértékek azokat a teherszorzókat fogják tartalmazni amelek esetén a potenciális energia stacionáriussá válik. A kihajlás már a legkisebb teherparaméter esetén be fog következni ezért az eredmének közül a mindig a legkisebb teherparamétert kell horpadási kritikus teherparaméterként figelembe venni. 4..3. A vizsgálat menete A számítás alapösszefüggését az [5] kifejezés adja. A rúdkihajlással ellentétben a lemezek horpadásvizsgálatánál a merevséget nem -es hanem 33 mátri tartalmazza emiatt a kézi kifejtés és az integrálás lekövetése meglehetősen komplikálttá válik. Ezért a számítógépes programban nem alkalmaztunk a számítást gorsító átalakításokat hanem a teljes [5] kifejezést programoztuk be. A program a következő lépéseket végezte el n és m értékét két egmásba ágazott ciklussal lépésenként növelve n és m-től indulva: mátriok vektorok definiálása az n és az m méret függvénében.a illetőleg ezek deriváltvektorai mátriok vektorok feltöltése a mátriok és vektorok behelettesítése az energia-összefüggésbe az a ij szerinti deriváltakból álló vektor kiszámítása a sajátérték feladat mátriainak kiszámítása E E a sajátérték feladat megoldása. A program minden eges ciklusban a kapott sajátértékek közül a legkisebbet választotta ki mint horpadási kritikus teherparamétert és azt az n m értékpárral összekapcsolva eltárolta majd a futtatás végén az eredménekből eg grafikont rajzolt. 34

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. 4..4. A számítás eredménei A számítást először a szakirodalomban fellelhető kidolgozott mintapéldák adataival végeztük el hog kontrolláljuk a program működését. A számításokat először konkrét számértékekkel végeztük el mert a sajátérték feladat megoldása numerikus értékek használatával lénegesen egszerűbb mint a MAPE által ugan támogatott de meglehetősen instabil szimbolikus kifejezések használatával. A futtatást több modellen is elvégeztük: először a peremei mentén csuklósan megtámasztott lemezt vizsgáltuk majd a befogott és az elfordulás ellen a peremei mentén rugósorral megtámasztott lemezre is elvégeztük a számításokat. A modelleket programok futtatási paramétereit a szakirodalmi eredméneket Kollár et al. 3. valamint az általunk kapott numerikus értékeket az alábbi ábrák és táblázatok foglalják össze Ábra 3: A tesztfuttatás konvergenciája valamint a áblázat 6: Az első tesztfuttatás eredménei. A kapott eredmének azt mutatják hog a számítások eredménei másod és harmadfokú polinomok esetén gakorlatilag nem különböznek. Ennek az az oka hog a szerkezet szimmetrikus geometriai P viszonú valamint szimmetrikus terhelésű ezért csak szimmetrikus görbe-tagok adnak az előzőeknél lénegesen jobb közelítéseket. Mivel a harmadfokú görbék nem lehetnek tükörszimmetrikusak a lemez szimmetriatengelére ezért az eredmént csak alig z P pontosítják. Uganez a jelenség figelhető meg a magasabb fokú Ábra : A számítási modell de páratlan hatvánkitevőjű tagoknál is mind mind pedig iránban is. Ez fontos észrevétel uganis íg a páratlan hatvánok kihagásával az eredmén pontossága alig csökken miközben az egenletrendszer méretét majdnem a felére tudtuk visszaszorítani. Arra azonban figelni kell hogha a rendszer szimmetriája elveszik akkor a páratlan kitevőjű tagok is lénegessé válhatnak. m D 453 Nm D 56 Nm 7 m D 95 Nm D 66 6 Nm 35

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Szakirodalmi eredm. Polinom foksz. Számítási eredmén Eltérés N cr N cr n m N cr N cr N cr N cr [kn/m] [kn/m] [kn/m] [kn/m] [kn/m] [%] [kn/m] [%] 367-65 - 455 793 - - 367-3 65-455 793 - - 367-4 3747-447 33 - - 367-5 3747-447 33 - - 367-6 3785-385 8 - - 367-7 3785-385 8 - - 367 8 37849-385 8 - - 367 9 37849-385 8 - - 367-3 65-455 793 - - 367-3 3 65-455 793 - - 367-4 3 3747-447 33 - - 367-5 3 3747-447 33 - - 367-6 3 3785-385 8 - - 367-7 3 3785-385 8 - - 367 8 3 37849-385 8 - - 367 9 3 37849-385 8 - - 367-4 67873-487 76 - - 367-3 4 67873-487 76 - - 367-4 4 3678-8 - - 367-5 4 3678-8 - - 367-6 4 36666 - -34 - - - 367-7 4 36666 - -34 - - - 367 8 4 36666 - -34 - - - 367 9 4 36666 - -34 - - - áblázat 6: Az első tesztfuttatás eredménei Az első tesztfuttatás konvergenciája 8 6 4 8 6 4-3 4 5 6 7 8 9 m m3 m4 Ábra 3: A tesztfuttatás konvergenciája Következő tesztpéldánk eg négzetes lemez volt. A számítást m esetében n..-re végeztük el azonban m3-tól kezdve az előbbi megállapítást figelembe véve már csak párosával haladtunk felfele. A számítás eredménei az elvárásoknak 36

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. megfelelően alakultak áblázat 7: A második teszt eredméne Ábra 4: A második futtatás eredméneinek eltérése: Az eredmének a negedfokú polinom-tagok megjelenésével ugrásszerűen pontosodtak de az eredmén csak akkor ért a feladat szakirodalmi megoldásának hiba%-os közelébe amikor mindkét iránba legalább negedfokú függvént alkalmaztunk. Ennek az az oka hog a négzet alakú lemez kétiránú teherviselő ezért mindkét iránba jól kell közelíteni a kihajlási alakot hog a kihajlási terhet minél pontosabban kaphassuk meg. m D 453 Nm D 56 Nm m D 95 Nm D 66 6 Nm Szakirodalmi eredm. Polinom foksz. Számítási eredmén Eltérés N cr N cr n m N cr N cr N cr N cr [kn/m] [kn/m] [kn/m] [kn/m] [kn/m] [%] [kn/m] [%] 47394-5548 - 454 876 - - 47394-3 5548-454 876 - - 47394-4 49438-8474 39 - - 47394-5 49438-8474 39 - - 47394-6 493545-844 389 - - 47394-7 493545-844 389 - - 47394-8 493545-844 389 - - 47394-9 493545-844 389 - - 47394-493545 - 844 389 - - 47394-3 5548-454 876 - - 47394-4 3 49438-8474 39 - - 47394-6 3 493545-844 389 - - 47394-8 3 493545-844 389 - - 47394-3 493545-844 389 - - 47394-4 49798-3358 493 - - 47394-4 4 474444-4 - - 47394-6 4 4739845-45 - - 47394-8 4 4739845-45 - - 47394-4 - - - - - - 47394-6 49754-33 49 - - 47394-4 6 4739983-58 - - 47394-6 6 4739385 - - - - 47394-8 6 - - - - - - 47394-6 - - - - - - áblázat 7: A második teszt eredméne A második tesztfuttatás konvergenciája eltérése [%] 8 6 4 4 6 8 m m3 m4 m6 Ábra 4: A második futtatás eredméneinek eltérése 37

Somogi István Károl Error! Stle not defined.. Error! Stle not defined. konz: Kollár ászló 3. október 7. Az első futtatáskor a lemez oldalarána :35 volt ami az : határnak tekinthető értéket jóval meghaladja ezért a keresztiránú hatás alig volt érzékelhető 33 -ről -re csökkent a számított eredmén eltérése. A második futtatáskor a lemez : oldalaránú volt ezért az eredmén pontossága a keresztiránú alak pontosabb figelembe vételekor jelentősen javult: 39 -ről -re. Ezeknek az eredméneknek a tükrében eg : oldalaránú lemezre is lefuttattuk a programot. Az eredmének nem okoztak nag meglepetést: a keresztiránú tagok figelembe vétele csak kisebb mértékben növelte a pontosságot: -ről 3 -re csökkent az eltérés arána Ábra 5: Az : oldalaránú lemez eredméneinek pontossága áblázat 8: Az : oldalaránú lemez eredménei. m D 453 Nm D 56 Nm 4 m D 95 Nm D 66 6 Nm Szakirodalmi eredm. Polinom foksz. Számítási eredmén Eltérés N cr N cr n m N cr N cr N cr N cr [kn/m] [kn/m] [kn/m] [kn/m] [kn/m] [%] [kn/m] [%] 963-65863 - 5956 36 - - 963-3 6586-5956 36 - - 963-4 9584-954 3 - - 963-5 9584-954 3 - - 963-6 95-89 99 - - 963-7 95-89 99 - - 963-8 95-89 99 - - 963-9 95-89 99 - - 963-95 - 89 99 - - 963-3 65863-5956 36 - - 963-4 3 9584-954 3 - - 963-6 3 95-89 99 - - 963-8 3 95-89 99 - - 963-3 95-89 99 - - 963-4 4784-478 63 - - 963-4 4 96945-65 3 - - 963-6 4 9635-3 - - 963-8 4 9635 - - - 963-4 9635 - - - 963-6 4743-474 63 - - 963-4 6 9694-6 3 - - 963-6 6 9684 - - - - 963-8 6 - - - - - - 963-6 - - - - - - áblázat 8: Az : oldalaránú lemez eredménei 38