ÝÞ Ø Ô Ø Ñ ÖÒ ÖÒÝ Þ Ø Ñ ÖÒ ÐÐ Ø Ò ¾¼¼¾º½¾º¾¾º Ú ÐØÓÞ Ø Ë ÑÓÒ Ã ÖÓÐÝ ¾¼¼¾º½¾º¾¾

Átírás

1 ÝÞ Ø Ô Ø Ñ ÖÒ ÖÒÝ Þ Ø Ñ ÖÒ ÐÐ Ø Ò ¾¼¼¾º½¾º¾¾º Ú ÐØÓÞ Ø Ë ÑÓÒ Ã ÖÓÐÝ ¾¼¼¾º½¾º¾¾

2 ¾ Ä ØÓÖ ÐØ Öº Ë Ò ÓÖ Ý Ø Ñ ÙÒ ØÙ Ð Þ Þ ÝÞ Ø Öº Ë ÑÓÒ Ã ÖÓÐÝÒ Å Ô Ø Ñ ÖÒ Ã ÖÒÝ Þ Ø Ñ ÖÒ ÐÐ Ø Ò Ø ÖØÓØØ Ð ÒÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ÝÞ ØÒ Þ Þ Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ÞØÓ Ó Ý Ñ Ò Ñ Ú Ø Ö ÞÓÖÙк Ã Ö Ñ Ó Ý ÞÖ Ú Ø Ð Ø Ð Ð Þ Ñ Ð Ñ ÑÖ ÑÓÒ Ñ Ø º Ñ º Ùµº Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø Þ ÖÞ Þ Ò Ø Ø Þ ÈÖÓ º Ô Ö Êº ÙÖ Ð¹ Ò ÍÒ Úº Ó Ï Ò ØÓÒµ Ò Ó Ú Ú ØÓÖ Ò Ð Þ Ø Ò Ø Ø Ô Þ¹ Ø Ð Ø Ð Þ ÖÞ Ó Ø Ñ Ö Ø Øغ ÝÞ Ø º Þ Ø Ú ØÓÖ Ò Ð Þ µ Ð ÒÝ Ò ÈÖÓ º ÙÖ Ð ÝÞ Ø Ò ¾ Þ ÐÐ Ñ Ò Ö ÓØغ Ã Þ Ò Ø ÐÐ Ø Öº Ë ÑÓÒÒ Ó ÖÞ Ø Ø ÝÞ Ø Ò Ý Ö Þ Ò Ô Ð ÖØ ÓÖ À Ð Ô Ø Ñ ÖÒ ÐÐ Ø Ø Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ ØÓÖ Ó ÞÒÓ ÞÖ Ú Ø ÐÐ Ð Ø Ò Ð Ø ØØ ÝÞ Ø Þ Ø Òº ÌÓ¹ Ú Þ Ò Ø Ø ÑÓÒ ÙÒ À ÖÒ Ø ËÞ ÓÐ Ò Þ Ð ÖÓÑ Þ Ø ¹ Ö Ò Ð Þ Ø Öغ Ã Þ Ò Ø ÐÐ Ø Ö ÒÝ ØØ Ð ÓÐÐ Ñ Ø Æ Ñ Ø Ð Þ ÖÒÝ Þ Ø Ñ ÖÒ ÐÐ Ø Ø ÝÞ Ø Ð Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ò Ø ¹ Ð Ð Ø Ô Ð Þ Ð Ó Ö Ð ÚØ Ý ÐÑ Ñº

3 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ã Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ½º½º Ú Þ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ó ÞØ ÐÝÓÞ º º º º º º º º º º ½º½º¾º È ÖØ ÙÐ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ º º º º º º º º º º º ½º½º º Þ ÞØ Ò ÙÒ Ø Ø Ð Ø º º º º º º º º º º º º ½º¾º Ð Ö Ò ò Þ Ò º Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½º ËÞ ØÚ Ð ÞØ Ø º Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾º Î ÐØÓÞ Ò ÓÑÓ Ò º Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º ½¼ ½º¾º º Ð Ö Ò ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º ½½ ½º º Ä Ò Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º½º ÀÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º ½ ½º º¾º ÁÒ ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º º À ÒÝÓ Ñ Ó Ö Ò ò º Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º Þ Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º º Þ ÞØ Ò ÙÒ Ø Ø Ø Ð Þ y = f (,y) Ý ÒÐ Ø Ö º º ¾ ½º º ÆÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö Þ y = f (,y) Ð Ý ÒÐ Ø Ö º º º ¼ ½º º ËØ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º È Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ¾º½º Ê Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½º Áº Ñ ÓÐ Ú ÖÒÓÙÐÐ Ø Ð º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º½º¾º ÁÁº Ñ ÓÐ ³ Ð Ñ ÖØ¹Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º º ÖÒÓÙÐÐ ³ Ð Ñ Öع Ð Ñ Þ Ö Þ ¹ ÓÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º º Î Ø Ð Ò Ó Þ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º À Ú Þ Ø Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 Ì ÊÌ ÄÇÅ à ¾º¾º½º À Ú Þ Ø Ú Ó Þ Ö Ò º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾º¾º ÓÙÖ Ö¹ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º º À Ú Þ Ø Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ö Ò º º º º º º º º º º º º Ö Ò Ð ÓÑ ØÖ ½ º½º Ö Ø Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½º Ö Ú Ó Þ Ô ÖÑ Ø Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º¾º Ð Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½º Ú Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾º Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º º Ð Ð Ø Ð Þ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ð Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ð Ð Ø Ö Ö Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾º Ö Ð Ø Ö ÒÝÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º Î ØÓÖ Ò Ð Þ º½º Î ØÓÖØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÎÓÒ ÐÑ ÒØ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½º ÎÓÒ Ð ÒØ Ö Ð ØÐ Ò Þ ØØ Ð º º º º º º º º º º ½¼½ º¾º¾º ÙÖÐ¹Ø ÞØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º º ÙÖÐ¹Ø ÞØ Ø Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾º º ÈÓØ Ò Ð Ú ÒÝ Ñ Ø ÖÓÞ º º º º º º º º º º º ½¼ º º Ð Ð ØÑ ÒØ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º½º Ù ¹ Ð Ú Ö Ò Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º¾º Ù Ø Ø Ð Ú Ý Ú Ö Ò Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º ½½ º º º ËØÓ ( Ø Ø Ð ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º º ÙÖÐ F Þ Ð ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º º º Ö Ò¹Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º º Æ ÒÝ Ð Ø Ú ØÓÖ Ò Ð Þ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ½¾

5 ½º Þ Ø Ã Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ½º½º Ú Þ Ø Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÓÐÝ Ò Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝ Ò Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ý ¹ Ú ÒÝ Þ Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ö Ú ÐØ Ð ÓÖ Ùк È Ð ÙÐ y = y () Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ ÓÖ y = y ½º½µ y = y ½º¾µ y = y ½º µ y = y + ½º µ Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Þ Ð Þ Ð ÖÓÑ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò ¹ Ý Ñ Ö Ò Ñ Ñ ÖØ ÓØØ Þ Ñ Ö ØÐ Ò y = y () Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö ¹ Ú ÐØ Ò Ñ Þ Ö Ô Ðº Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Þ ÖØ ÓÒØÓ Ñ ÖØ Ñ ÒØ Æ ÛØÓÒ ÑÓÒ Ø Ø ÖÑ Þ Ø Ø ÖÚ ÒÝ Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ð º Þ y = y Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÓÐ Ò ÒÒÝ Ø Ð ÒØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ð ÐÒ Þ Þ ÓÐÝ Ò Ú ÒÝØ Ñ ÐÝ Ý ÒÐ Þ Ö Ú ÐØ Ú ¹ ÒÝ Ú Ðº à ÒÒÝò Ð ØÒ Ó Ý Ñ Ò Ò c R¹Ö Þ y = ce Ð Ú ÒÝ Ö Þ Ó Ý Þ Ö Ú ÐØ Ø Ñ Ù Ð Ñ Ý ÞÒ Ø Ø Þ Þ y = ce Ð Ú ÒÝ ½º½µ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ º ÞØ Ó Ý

6 Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ Ñ Ò Ò Ñ ÓÐ y = ce Ð Ñ Ð Ø Ù ºµ ½º¾µ Ý ÒÐ Ø Ø ÐÐ Ø Ò Þ Ô ÓÐ Ø ÒÙÐÑ ÒÝ Ò Ö Ú Þ ÓÒ ÓÐÚ Ð Ø Ø Ù Ó Ý Ñ Ò y () = cos (), Ñ Ò Ô Þ y () = sin () Ú ¹ ÒÝ Ö Þ Ó Ý Þ Ñ Ó Ö Ú ÐØ Ù Ø Ñ Ù Ò Ø Ú Ú Ð Ý Þ Ñ Ú Ý Ó Ý cos () sin () Ú ÒÝ ½º¾µ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Ô Þ º ÞØ Ò ÝÓÒ ÒÒÝò Ð ØÒ Ó Ý Þ Ø Ø Þ Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò ¹ Þ ÒØ Ò Ñ ÓÐ Ø º Ì Ø Ø Ø Þ Ð Ò Ú Ð ÞØÓØØ a,b R Þ ¹ ÑÓ Ö Þ y () = a cos () + b sin () ½º¾µ º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø º ËÞ ÒØ Ò Ó Ù Ð ØÒ Ó Ý ½º¾µ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ò Ñ Óй ÐÝ Ò Ð º À ÓÒÐ Ò Ô Ù Ó Ý ½º µ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ò Ñ ÓÐ y = a ch () + b sh (). Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý ÒØ ÖÓÑ Ö Ò ¹ Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ý Þ Öò Ð Ò Ñ¹ØÖ Ú Ð Ö Ò Ð Ý ÒРغ à РØÒ Ó Ù Ó Ý Þ Ñ Ò Ý Ö Ò Ú Ð ÓÒØÓ Ñ ÖØ Ð ÓÒØÓ Þ Ð ÐÑ Þ Ó Ò Þ ÓÖ ÙÐÒ Ð º Þ Ð Ð Ú Ò Ð Þ Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓ ÙØ Ò Ñ Ö ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Ö Ñ ÐÒ Ñ ÞØ Ó Ý Ñ Ò Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Ú Ð ¹ Ñ ÐÝ Ò ÔÐ ØØ Ð Ð Ö Ø Ú ÒÝ Ø Ú Ð Ñ Ø Ù º Í Ý Ò Þ f () = e Ú ÒÝÒ Ò Ò ÔÐ ØØ Ð Ñ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ º Þ ÔÔ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ y = e Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØÒ Ò Ò ÔÐ ØØ Ð Ñ Ø Ñ ÓÐ º ØÓÚ Ò Þ Ð Þ Þ Ð ÐÙÒ Ó Ý Þ Ýò Ø Ò Ò ÒÝ ÓÐÝ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ø ÔÙ Ø Ñ ÐÝ Ø ÒØ Ö Ð Ð Ñ ÓÐ ØÙÒ º Þ Ð Þ Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ó ÞØ ÐÝÓÞÒÙÒ Ðк ½º½º½º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ó ÞØ ÐÝÓÞ Æ ÒÝ Ô Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ñ ÐÝ Ú Ö ÞØ Ë ÖÒ ØÞ Ý Î ¹ ØÓÖ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ñò Ð Ø Ýò Ø Ñ ÒÝ Ð Ú ØØ Øº ÞØ Ð¹ Ø Ýò Ø Ñ ÒÝØ ØÓÚ Ò Ë ¹Ú Ð Ð Ð ½º Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ y = y () Ð µ y y 2 = 1 µ y + 2y = 0 Ë ½¾ ºÐº µ y y = Ë ½¾ ºÐº µ 2 y + y + ( 2 p 2 ) = 0 ÓÐ p Ý Ø Ø Þ Ð Ú Ð Þ Ñ p R й Ð º ºµ

7 ½º½º Î Ì Ë ÁÆ Á à µ y 3y + 2y = 0 Ë ¾ ºÐº µ y 3y + 2y = e + 2e 3 Ë ¾ ºÐº µ (4 3 y 3 2y) d + (3 4 y 2 2 )dy = 0 Ë ½¼¾ºÐº ¾º Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ z = z (,y) Ð º µ 2 z z y 2 = 0 µ 2 z 2 z y = 0 µ 2 z 2 2 z y 2 = 0 µ z + z y = 0. ÒØ Ð ÓÔÓÖØ Ø ÖØÓÞ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ò ¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ù Ñ ÖØ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ ÝÚ ÐØÓÞ ¹ Ú ÒÝ Ø Ø Þ Ò Ö Ú ÐØ ÓÖ ÙÐ ØÒ Ð µ º Ñ Ó Ó¹ ÔÓÖØ Ø ÖØÓÞ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Þ Ò ØØ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø Ú ÐØÓÞ Ý Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ô Ö Ð Ö ¹ Ú ÐØ ÓÖ ÙÐÒ Ð º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ð Ñ Ö Ò ò Ö Ú ÐØ Ô Ö Ð Ö Ú Ðص Ö Ò º Ì Ø Ð Ö Ò ò ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ ¾º µ Ñ Ó Ö Ò ò ½º µ ½º µ ½º µ ¾º µ ¾º µ ¾º µ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ö À Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Þ Ñ Ö ØÐ Ò ¹ Ú ÒÝÖ ÒÒ Ö Ú ÐØ Ö Ò ÞÚ Ð Ò Ö º Ì Ø Þ Ñ Ö ØÐ Ò ¹ Ú ÒÝ y ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ôк sin (y), y y, (y ) 2, y 3 ºµ Ð Ò Ö ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ ¾º µ ¾º µ ¾º µ ¾º µ Ò Ñ Ð Ò Ö ½º µ ½º µº Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÐÐ Ò ¹ Ý ØØ Ø À Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝØ Ö Ú ÐØ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ó ÐÐ Ò ¹ Ý ØØ Ø Ø Ø Ôк Ò Ñ Ð Ø ÒÒ y sin (), y Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú Òݵ ÐÐ Ò ¹ Ý ØØ Ø ½º µ ½º µ ½º µ ¾º µ ¾º µ ¾º µ ¾º µ Ú ÒÝ Ý ØØ Ø ½º µ ½º µ ½º µ ½º µº Ò Þ Ø Ò Þ Ò Ú Ø Þ Þ Ø Ò Ô Ö Ð ¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ø Ö Ý Ð Ù º

8 Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ½º½º¾º È ÖØ ÙÐ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ ½º ÁÆ Á Ý N¹ Ö Ò ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ý ÓÐÝ Ò Ñ ÓÐ Ñ N Ö ÓÒ Ø Ò Ø Ø ÖØ ÐÑ Þº È Ð ÙÐ Þ y = y Ñ Ó Ö Ò ò º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ñ ÒØ ÒØ ÑÐ Ø ØØ y = a cos + b sin. ¾º ÁÆ Á Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÓÐÝ Ò Ñ ÓÐ Ø Ñ Ñ Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÒ Ø Ò Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ò Ú Ù º È Ð ÙÐ Þ y = y º Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ y = 5 cos + 6 sin. Ã Þ Ø ÖØ Ð Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ µ Þ N Ö Ò ò Ö Ò Ð ¹ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Ö ÞÞ Ð ÐØ Ø ÐÐ Ð Ó Ý Ý ÓØØ ÔÓÒØ Ò Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ ÒÒ Ð N 1 Ö Ú ÐØ Ð Ú Ò ÖÚ º { } y (0) = 1 ½º È Ä y = y y ØØ N = 2µº Å ÒØ ÑÐ Ø ØØ Þ (0) = 0 ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ { y = a cos +b sin. Ì Ø y = a sin +b cos. ÓÖ a cos 0 + b sin 0 = 1 = 0¹ Ø ÖÚ, Ñ Ð a = 1 b = 0 º a sin 0 + b cos 0 = 0 Ì Ø Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ y = cos. ½º½º º Þ ÞØ Ò ÙÒ Ø Ø Ð Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ú Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ö ÐÒ ÒÒ Ò Ø Ú Ø Þ ÔÖÓ Ð Ñ µ ÙÒ Ø ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ ÙÒ Ø Ø Ð Ð Ù Ý Ð Ø¹ Ò Ý ØÐ Ò Ñ ÓÐ Ú Òº µ Þ ÞØ Ò ÓÖ Ø Ð Ð Ú Ò Ñ ÓÐ Ö Ò Ð Ý ÒРع Ò º µ Ø Ð Ø ÙÖÚ Ò Þ ÐÚ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ù Ý Ð Ø Ò Þ Ø ÖØ Ø Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ù Ñ ÓÖ ÒÒ Ø Ó Þ Ñ ÐÚ Ð ÞÖ Ú Ø Ð Þº ÔÓÒØÓ Ò µº

9 ½º¾º ÄË Ê Æ æ à ÆË Ë Á º ÆÄ Ì Ã ½º¾º ½º¾º½º Ð Ö Ò ò Þ Ò º Ý ÒÐ Ø ËÞ ØÚ Ð ÞØ Ø º Ý ÒÐ Ø Ä Ý Ò f () Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ú Ð Ñ ÐÝ I 1 g (y) Ý ÓÐÝØÓÒÓ ¹ Ú ÒÝ Ú Ð Ñ ÐÝ I 2 ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ØÓÚ g (y) 0 y I 2 º ÓÖ Þ y = f () g (y) ½º µ Ð Ð Ö Ò ò Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ù º Ä Ý Ò h (y) = 1. Ì Ø ½º µ Þ Ö ÒØ g(y) h (y)y = f (). ÓÖ ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Þ ÐÝ Þ Ö ÒØ dy = d y Ð Ô Ò h (y)dy }{{} Þ y¹ø Ð = f ()d } {{ } Þ ¹Ø Ð + C. Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Ú Ø Þ Ô Ð¹ Ò ÑÙØ Ø Ù ¾º È Ä ½º y y 2 = 1. Þ º Ý ÒÐ Ø Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ Ñ Ú Ð ÒØ f () = 1 g (y) = 1 Ú Ð ÞØ Ð y = f ()g (y). Þ y 2 y = dy ¹ Ø ÖÚ d¹ Ð ÓÖÑ Ð Ò Ø ÞÓÖÓÞÚ Ô Ù Ó Ý d y 2 dy = d. Å Ò Ø ÓÐ ÐØ ÒØ Ö ÐÚ y 2 dy = y d. Ñ Ð 3 = + C ¹ 3 º ÁÒÒ Ò y = C Ñ Ú Ð C Ø Ø Þ Ð ÓÒ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ 3¹ Ð Ñ ÞÓÖÓÞÒ Ñ ÖØ 3C Ù Ý Ò Ý Ñ Ò ÒØ Ð ØÐ Ò ÓÒ Ø Ò Ñ ÒØ Cµº ¾º y 2y ln y =. Þ º Ý ÒÐ Ø Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ Ù Ý Ò 2 1 f () = 2 ¹ Ø g (y) = y ln y¹ø ÖÙÒ ÓÖ º Ý ÒÐ Ø 2 1 y = f ()g (y) Ð Ð Þº º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ ÑÓ Ø Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý y = dy ¹ Ø ÖÚ d dy 2y ln y = d 2 1.

10 ½¼ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ÅÓ Ø Þ y¹ó ¹ Ø Ó Ø Ñ ¹Ñ ÓÐ ÐÖ Ö Ò ÞÚ dy y ln y = d. À y ln y 0.µ Å Ò Ø ÓÐ ÐÓÒ ÒØ Ö ÐÚ 1 dy y lny = d ¹ Ð Ó Ý ln ln y = ln lnc. ÁØØ ÓÒ Ø Ò Ø Ð Ú ln C Ð ÖØÙ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ò Ñ ÖØ Þ ln Ú ÒÝ ÖØ Þ¹ Ð Ø Þ R.µ ÓÒÒ Ò y = e C(2 1). Þ ln y = 0¹Ò Þ y 1 Ð Ð Ñ º º ÒÓÖÑ Ð Ò Ú Ý ÒÐ Ø Ð Ý Ò k R\ { } a R y = ky y (0) = a. ½º µ ½º¾º¾º Þ Ò ÝÓÒ ÓÒØÓ Ý ÒÐ Ø Ñ ÖØ Ó ÞÓÖ Ð ÓÖ ÙÐ Ý ÓÖÐ Ø Ò Þ ÖØ Ñ ÓÐ Ø Ð ÐÐ ØÙ Ò º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓ¹ Þ º Ý ÒРغ ËÞÓ ÙÒ Þ Ö ÒØ y = dy dy ¹ Ø ÖÚ = ky. Þ d d 1 dy y¹ó ¹ Ø Ó Ø Ð Ò ÓÐ ÐÖ Ö Ò ÞÚ = d. Å Ò Ø ÓÐ ÐØ k y ÒØ Ö ÐÚ ln y = k + C, Ñ Ð Þ y = ky ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y = e c e k. À ÞÒ ÐÚ Ó Ý a = y (0) = Ce 0, Ð ½º µ Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ y = ae k. Î ÐØÓÞ Ò ÓÑÓ Ò º Ý ÒÐ Ø Þ y = ϕ (,y) Ð º Ý ÒÐ Ø Ú ÐØÓÞ Ò ÓÑÓ Ò t 0¹Ö ϕ (t,ty) = ϕ (,y). ÓÖ Ú Þ ØÚ f (u) = ϕ (1,u) Ð Ð Ø Ð Ø Ø Ó Ý ϕ (,y) = ϕ ( ( 1, ) y = f y ), Ñ Ð Ú Ø Þ Ð Ú ÐØÓÞ Ò Ó¹ ÑÓ Ò º Ý ÒÐ Ø Þ u = y ÐÝ ØØ Ø ÙØ Ò Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ º Ý ÒÐ Ø Ñ Ý Øº ÒÒ Ñ ÓÐ Ø Ú Ø Þ Ô Ð Ò Ö ÞØ Ð Ø ÒÙÐ Ø Ù Ñ º È Ä sin y y cos y +y cos y = 0. Ð Þ Ö ¹ Ð Ð Ó ÞØÚ Ô Ù sin y y cos y + y cos y = 0 ½º µ

11 ½º¾º ÄË Ê Æ æ à ÆË Ë Á º ÆÄ Ì Ã ½½ Þ Ø Ø Ý Ú ÐØÓÞ Ò ÓÑÓ Ò º Ý ÒÐ Ø Þ Ò Ñ Ò Ò ÐÝ t¹ Ø Ñ Ò Ò y ÐÝ ty¹ø ÖÚ Ù Ý Ò ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù Ñ Ú Ð Þ y ¹ Ò Ú Ð Ò Ò Ð Ò Ñ Ñ y y ). ÓÖ Ú Þ Ø Þ u = u () = y() = y Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝغ Å Ú Ð y () = u (), Ø Ø Þ y = u + u Þ Ø ½º µ¹ ÐÝ ØØ ØÚ Ô Ù Ñ Ð Ý Þ Öò Ø ÙØ Ò Ô Ù sin u u cos u + (u + u ) }{{} Þ ÚÓÐØ Þ y cosu = 0 du cos u = sin u d Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ º Ý ÒÐ Ø Øº ÒÒ Ñ ÓÐ Þ Ð Þ Þ Ø¹ Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ñ ÓÒ sin u = C, Ñ Ð ½º µ º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ ÑÔÐ Ø Ð Ò sin y = c. ½º¾º º Ð Ö Ò ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Þ y + p ()y = q () Ð º Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ö Ò ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ù º Ñ ÓÐ Ø Ú Ø Þ Ô Ð Ò Þ ÑÐ ÐØ Ø y y = ½º µ Þ ½º µ ÁØØ p () = 1 ; q () = ) Ñ ÓÐ Ø Ð Ô Ð Ðк Ð Þ Ö Ñ ÓÐ Ù Þ Y Y = 0 ½º½¼µ ÓÑÓ Ò º Ý ÒÐ Ø Øº Å ÒÒ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Ð ÓÖ ÙÐ C ÓÒ Ø Ò ÐÝ Ö Ý ÓÐÝ Ò C () Ú ÒÝØ ÖÙÒ Ó Ý ÞÞ Ð ½º µ Ñ ÓÐ Ø Ô Ù º ÁÐÝ Ñ ÓÒ ½º µ Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ ÓÞ ÙØÙÒ º ½º µ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø Ý Ô Ù Ó Ý y i,ált = Y h,ált + y i,p ½º½½µ

12 ½¾ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Ú Ý ½º µ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y i,ált Ý ÒÐ Þ ½º½¼µ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Y h,ált ÔÐÙ Þ ½º µ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ y i,p º ½º Ð Ô Þ Y Y Y h,ált = C. = 0 º Ý ÒÐ Ø Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ Ñ ÓÐ ¾ºÐ Ô Å Þ Ö ØÒ Ò Ø ÖÓÞÒ ÞØ C () Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÖ y = C () Ñ ÓÐ ½º µ Ý ÒÐ ØÒ º Å Ú Ð y = C () + C (), ÞØ ¹ ÐÝ ØØ ØÚ ½º µ Ý ÒÐ Ø Ô Ù Ó Ý C () + C () C () = ÁÒÒ Ò C () = ln ØØ Ò Ñ ÐÐ ÐØ ÒØ ØÒ Þ ÒØ Ö Ð¹ 2 Ð ÓÒ Ø Ò Ø Ñ ÖØ Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Ö Ò µº Ì Ø y i,p = C () = ln. Ý Þ ½º µ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y i,ált = Y h,ált + y i,p = c }{{} Y h,ált ln }{{} y i,p. Ñ ÓÐ Ò ÞØ Ñ Þ Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ú Ö Ñ Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ Ñ ÖØ Þ y i,p ¹Ø Ý Ø ÖÓÞØÙ Ñ Ó Ý Þ ½º½¼µ ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Ð ÓÖ ÙÐ C ÓÒ Ø Ò Ø ÐÝ ØØ Ø Ø¹ Ø Ý C () Ú ÒÒÝ Ðº ½º º Ä Ò Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ø Ò Þ n¹ Ö Ò ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö y (n) + a n 1 () y (n 1) + + a 1 () y + a 0 ()y = 0 ½º½¾µ Þ n¹ Ö Ò ò Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö y (n) + a n 1 ()y (n 1) + + a 1 ()y + a 0 () y = r () ½º½ µ

13 ½º º ÄÁÆ ýêáë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ½ º Ý ÒÐ Ø Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Î Ý ÞÖ Ó Ý ÒØ Ø Ý Ò¹ Ð Ø Ð Ú Ý Ú Ò Ð ÖÚ Ó Ý Ð Ñ Ö Ò ò Ø Ý ØØ Ø 1. Þ Ò Ñ Ð ÒØ Ð ÒÝ Ñ ÞÓÖ Ø Ø Ñ ÖØ Ð Ø Þ Ö Ð Ò ÝÓ Ö Ò ò Ø Ý ØØ Ø Ú Ð Ú Ð Ú Þ Ó ÞØ Ð ÖÖ Þ ØÖ ÙØ ØÙÒ ºµ Æ ÞÞ Ñ Ò ÞØ Ý Ô Ð Ò Ö ÞØ Ð º È Ä À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ y 2 y + 2 2y = 2 ½º½ µ Ñ Ó Ö Ò ò Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓРغ Ð Þ Ö Ú Ý ÞÖ Ó Ý Þ Ý ÓÐÝ Ò Ø ÔÙ Ý ÒÐ Ø Ñ ÒØ Ñ ½º½ µ¹ Ò Ð Ò Ñ ÐØ Ð ÒÓ Òº Þ ÓØØ Ò n = 2, a 1 () = 2 Þ ÓØØ Ò a 0 () = 2 2 r () = 2. ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ö Þ Ò ÞÓ Ø Þ Þ Þ Ø Ø ÒÙÐ Ù Ñ Ñ ÐÝ ÐÝ Ò ÐÐ ò Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ö ÞÓÐ ÐÒ º Þ Ò Þ ØÓÒ Þ Ð Ð Ô Ú Ø Þ ÞÖ Ú Ø Ð Ñ ÐÝÒ ÞÓÒÝ Ø Ò ÝÓÒ Ý Þ Öò ØØ Ò Ñ Ö ÞÐ Ø ÞÞ ½º Ì Ì Ä Þ ½º½ µ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø y i,ált Ñ ¹ Ô Ù ½º½¾µ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Y h,ált Þ ½º½ µ Ò ÓÑÓ¹ Ò Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ò y i,p Þ Òغ y i,ált = Y h,ált + y i,p. ½º½ µ Í Ý Ò ÞØ Ñ ÒØ ½º½½µ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ Ö Ð ØØÙ Þ Ð Ö Ò ò Ð Ò Ö Ø Òº ÅÓ Ø ØØ Ò Ø Ø Ð Ò Þ Þ Ó Ý Ò Ñ Þ Ð Ö Ò ò º Ý ÒÐ ØÖ ¹Ö Ò Ñ Ø Ø Þ Ð n¹ Ö Ò ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ ØÖ Þ Ó Ý Þ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ý ÒÐ ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ ÔÐÙ Þ Þ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ú Ðº Î Ý Þ Ø Þ Ñ Ë Ã Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Ò Ñò º ÒØ Ø Ø Ð ÑÙØ Ø Ó Ý Ð Þ Ö ÞØ ÐÐ Ñ ÖØ Ò Ò Ó Ý Ò Ø Ð Ð¹ Ø Ù Ñ Þ n¹ Ö Ò ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø ½º½¾µ ÐØ ¹ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø ÞØ Ú ÒÝ Ý ØØ Ø Ø Ò Ò Ñ Ñ Ò ØÙ Ù Ó Ý Ò Ð Ø Ð ÐÐ Ø Ò Þ ÐÐ Ò ¹ Ý ØØ Ø Ø Ò Ú Ò Ý Ñ Ñ Ñ Ò Ñ ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓРصº Å Ó Ð Ô ÒØ ÞØ ÐÐ Ñ ÖØ Ò Ò Ó Ý Ò Ø Ð Ð Ø Ù Ñ ½º½ µ Ý ÒÐ ØÒ Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓРغ ÖÖ Ø Ñ Þ ÖØ Ø ÒÙÐÙÒ Ñ º

14 ½ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ½º º½º ÀÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ø Ò Ø Ø ½º½¾µ Ð º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ ¹ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Ð Þ Ö ÞØ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ø Òع Ñ ÓÖ Þ Ý ØØ Ø Ú ÒÝ º Ú ÒÝ Ý ØØ Ø Ø º Ä Ý Ò I Ý Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ú Ý Þ Þ Þ Ñ Ý Ò º  РРC n (I)¹Ú Ð Þ I¹Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ n¹ Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ú Ý ÞÓÒ Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø Ñ ¹ ÐÝ Ò Ð Ø Þ ÓÐÝØÓÒÓ Þ n¹ Ö Ú ÐØ º ÖÖ Þ ÖØ Ú Ò Þ Ò Ñ ÖØ ½º½¾µ Þ ½º½ µ º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø C n (I) ÐÑ ÞÓÒ Ð Ð Ö º À Ø ÒØ Ú ÒÝ Þ Ø Þ ÑÑ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ø Þ ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Ð ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ñ ÒØ Ú ØÓÖÓ Þ Þ ÑÑ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Þ ÖØ C n (I)¹Ø Ú ÒÝ Þ Ö Þ Ñ¹ Ñ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ö Ò ÞÚ Ú ØÓÖØ ÖÒ Ò Ú ÞÞ º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý V Ý Ð Ò Ö ÐØ Ö C n (I)¹Ò f,g V ¹Ö α,β R¹Ö αf + βg V Ø Ð Ð Ú Ý V Ð Ò Ö ÐØ Ö Þ ÖØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ö Ò ÞÚ º V Ð Ò Ö ÐØ Ö Þ V Ð Ñ Ð ÐÐ ÓÐÝ Ò Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ð¹ Ñ Þ Ñ ÐÝ Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÒØ V Ñ Ò Ò Ð Ñ Ð Ðк Î Ý f 1,...,f n V V Ý Þ µ Þ f 1,...,f n Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú Ý α 1 f α n f n 0, ÓÖ α 1 = = α n = 0 µ g V ¹Ö Ð Ø Þ α 1,...,α n R, Ñ Ö g = α 1 f α n f n. Å Ò Þ Þ ÖØ ÓÒØÓ ØØ Ñ ÖØ Þ n¹ Ö Ò ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö ½º½¾µ Ý Ò¹ Ð Ø Ñ ÓÐ C n (I) Ý Ð Ò Ö ÐØ Ö Ø ÒÒ Þ ÐØ ÖÒ Ý Þ Ø Ñ Ø Ð ÔÖ Ò Þ ÖÒ ÚÙÒ µ ÐÐ Ñ Ñ Ø Ð ÐÒÙÒ º Ò Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ð ¾º Ì Ì Ä ½º½¾µ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ò ÐØ Ö n¹ Ñ ÒÞ Ú Ý Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö n Ú ÒÝ Ð Ðк

15 ½º º ÄÁÆ ýêáë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ½ Å Ò ÞØ Ð Ù ½º½ µ Ø Ò ½º½ µ Ô Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ò ÓÑÓ Ò º Ý ÒÐ Ø ÓÑÓ Ò Ö Þ y 2 y + 2 2y = 0. ½º½ µ ÒÒÝò ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý Þ y 1 = Þ y 2 = 2 Ú ÒÝ Ñ ÓÐ ½º½ µ Ý ÒÐ ØÒ º ÞØ ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý Þ Ñ ÓÐ Ó ØÖ Ú Ð Ö ÒÒ ÖÖ Ó Ý Ñ ÖØ ÔÓÒØ Þ Ñ ÓÐ Ó Ó Ð Ò Þ ÐÝ Ò ÐÐ ò Ø Ò Ø Ú ÐØ Ð ÒÓ ÐÐ Ò Ý ØØ Ø Ø Ò Ø ÒÙÐÙÒ Ñ ºµ Ì Ø Þ {, 2 } Ñ ÓÐ ½º½ µ¹ò º ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Ø Ó Ý Þ y 1 = Þ y 2 = 2 Ú ÒÝ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Þ Ò a + b 2 0 ÓÖ ÞØÓ Ó Ý a = 0 b = 0. À ÞÒ ÐÚ ¾º Ø Ø ÐØ Ñ Ó Ö Ò ò Ý ÒÐ Ø Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ø Ú ÒÝ Ð Ðк Ì Ø ½º½ µ¹ò Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö {, 2 }, Ú Ý ½º½ µ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ yált = a + b 2. Å ÒØ Ô Ð Þ ÑÐ ÐØ Ø Þ n¹ Ö Ò ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ Ø Ñ Óй Ò Ð Ø ÓÐ ÓØ ÐÐ Ø ÒÒ Ò ÐÐ Ø Ð ÐÒ n Ñ ÓÐ Ø ÐÐ Ð ØÒÙÒ Ó Ý Þ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò º Þ n Ñ ÓÐ Ö Ø Ñ Þ ÐÐ Ò Ý ØØ Ø Ø Ò Ø ÒÙÐ Ù Ñ ÓÐ Ó ØÐ Ò Ò ÐÐ Ò¹ ÖÞ Ø ÞÓÒ Ò ÑÓ Ø Ó Ù Ñ Ø ÒÙÐÒ º º ÁÆ Á ÏÖÓÒ ¹ Ð Ø ÖÑ Ò Ò ÓØØ ½º½¾µ ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø y 1,...y n Ñ ÓÐ º ÓÖ y 1 () y 2 ()... y n () y 1 () y 2 ()... y n () W () = det y 1 () y 2 ()... y n () ½º½ µ y (n 1) 1 () y (n 1) 2 ()... y n (n 1) () Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÏÖÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ú Ù º ÏÖÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ú ÒÝ Ñ ÐÝÒ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Þ I ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÖØ ÞÐ Ø Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Þ W () Ú ÒÝ Ö Ò Ð Þ Ú Ø Þ ÞÓ ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ ¹ Ð Ò Þ y 1 (),...,y n () Ú ÒÝ Ø Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ð Ø

16 ½ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã W ()¹Ò Ý ÐØ Ð Ò Ò Ò Þ ÖÙ ÐÝ Ú Ý Ô W () 0 Þ I ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº Î Ý Ú Ý Ò Ò W ()¹Ò Ý ØÐ Ò Þ ÖÙ ÐÝ Ñ Ú Ý W () ÞÓÒÓ Ò ÒÙÐÐ º ÏÖÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Þ ÖØ ÓÒØÓ Ò Ò Ñ ÖØ º Ì Ì Ä Þ y 1 (),...,y n () Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ Ð ÓØ ½º½¾µ ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ø Ð Ø Þ I Ó Ý W () 0. ÒØ Ñ ÝÞ Þ Ö ÒØ ÓÖ Þ Ñ Ò Ò ¹ Ò Ø Ð Ðºµ º È Ä Ì ÒØ Ð Ñ ÖØ y + y = 0 º Ý ÒÐ Ø Øº Þ ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ø Ø ÒØ Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Ø Ö º Å ÒØ Ñ Ö ÑÐ Ø ØØ Þ Ô Ó¹ Ð Ð Ø ÐÐ Ò Ö ÞÒ ÞØ Ó Ý Þ y 1 = cos () Þ y 2 = sin () Ú ÒÝ Ñ ÓÐ ÒØ Ý ÒÐ ØÒ º ÌÙ Ù ¾º Ø Ø Ð Ð Ó Ý Ñ Ó Ö Ò ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ Ø Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ø Ú ÒÝ Ð Ðк Ì Ø Þ Ñ Ö ØÖ Ó Ý ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ó Ý ÒØ cos, sin Ú ÒÝ Ø¹ Ð Ò Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ ¹ Ñ Ø Ñ ÒØ º Ø Ø Ð ÑÙØ Ø Ý ÒØ Ò Ð Ó Ý Ñ Ú Þ Ð Ù Ó Ý [ W () Ú ÒÝ ÒÙÐÐ ¹ ] Ú Ý Ñº ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Þ cos () sin () Ó Ý W () = det = cos sin () cos () 2 () + sin 2 () 1 0. Ì Ø {cos (),sin ()} Ý Ð ÔÖ Ò Þ Ö Þ y + y = 0 º Ý ÒÐ ØÒ Ú Ý Þ Ò º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y = a cos + b sin º º È Ä À ÓÒÐ Ò Ø ÒØ Ø Þ y y = 0 Ñ Ó Ö Ò ò ÓÑÓ¹ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Øº ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Ø Ó Ý Þ y 1 = ch () Þ y 2 = sh () Ú ÒÝ Ñ ÓÐ ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ º [ ÓÞ Ó Ý Þ ] ch () sh () Ð ÔÖ Ò Þ ÖØ Ð Ó Ò Þ ÐÐ Ó Ý W () = det = sh () ch () ch 2 () sh 2 () 1 0. Ì Ø Þ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y = ach () + bsh (). º È Ä Ì ÒØ ( ) y + y y = 0 ½º½ µ Ñ Ó Ö Ò ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Øº Ð Ø Þ Ó Ý Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ÒÒ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø Þ Ñ Ö Ò Ñ Ø Ð Ð Ø ÙØ Ò Ö Ò Ó Ý Þ y 1 = Ý Ñ ÓÐ ½º½ µ¹ò º ÁÐÝ Ò ÓÖ Ý Ö Ò ÞÒ Ð Ý

17 ½º º ÄÁÆ ýêáë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ½ Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Þ y 2 = c () y 1 = c () Ð Ò Ö Ò º Î Ý Ñ Þ Ö ØÒ Ò Ø Ð ÐÒ Ý ÓÐÝ Ò c () 1 Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÖ y 2 = c () Þ ÒØ Ò Ñ ÓÐ ½º½ µ Ý ÒÐ ØÒ º ÓÖ y 2 = c + c y 2 = c + c + c = c + 2c. ÞØ ½º½ µ º Ý ÒÐ Ø ÐÝ ØØ ØÚ ( ) (c + 2c ) + (c + c) c = 0, ½º½ µ Ñ Ð c º Ì Ø ÔÙÒ Ý º Ý ÒÐ Ø Ø Ñ Ò c c Þ Ö Ô Ðº À ØØ Ú Þ Ø d = c Ñ Ö ØÐ ÒØ ÓÖ Ý Ð ¹ Ö Ò ò º Ý ÒÐ ØÖ ÙØÙÒ Ñ ÐÝ Ò Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ d. ÒÒ Ð Ý ØÐ Ò Ñ ÓÐ Ø Ñ Ø ÖÓÞÒ Ñ Ð Ô Ù Ó Ý ½º½ µ º Ý ÒÐ Ø Ý Ñ ÓÐ c () = 1+ 2, Ú Ý y 2 = Ö¹ Ø Ø ÑÓ Ø Ñ Ö Þ Ó Ý Þ {, 1 + 2} Ö Ò Þ Ö Ð ÔÖ Ò Þ Ö¹ Ú Ý Ñ Ú Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ó Ö Ò ò Ý Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö 2 Ð Ñ Ð ÐÐ Ð ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý ÏÖÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ ÒÙÐÐ ¹ º [ ] W () = det = 1 (1 + 2 ) < Ñ Ò Ò ¹Ö Ý ÏÖÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ 0 Ý {, 1 + 2} Ý Ð Ô¹ Ö Ò Þ Öº Þ ÖØ ½º½ µ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y = a + b ýðð Ò Ý ØØ Ø ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø º Þ ÐÐ Ò Ý ØØ Ø Ø ÒØ Ñ ÖØ Ø ØØ Ú ÒÝ Ý ØØ Ø ØÒ Þ Ô ¹ Ð Ø Ñ ÓÖ Þ Þ Ý ØØ Ø Ú ÒÝ ÓÒ Ø Ò Ú Ý a n 1 () a n 1,...,a 1 () a 1,a 0 () a 0. Ì Ø º Ô Ð ¹ Ð Ý ÒÐ Ø ÐÐ Ò Ý ØØ Ø Ñ ½º½ º ½º½ º Ý ÒÐ Ø Ú ÒÝ Ý ØØ Ø ¹ º Î Ý ÑÓ Ø y (n) + a n 1 y (n 1) + a 1 y + a 0 y = 0 ½º¾¼µ Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ù Ñ ÓÐ Ò ÓÐ a 0,a 1,...,a n 1 Ú Ð Þ ÑÓ º Þ Ð¹ Ø Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ñ Ø ÖÓÞ ÓÞ Ý Ð ÔÖ Ò Þ ÖØ ÐÐ Ø Ð ÐÒ º Ò ÙÐ Þ Ö Ô Ú Ò Þ Ý ÒÐ Ø Þ Ø ÖØÓÞ Òº Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓѹ Ò p (λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0, ½º¾½µ Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ r 1,...,r n Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ð Ò Þ µ Ý ¹ Ò º È Ð ÙÐ Þ º Ô Ð Ð y + y = 0 Ý ÒÐ Ø Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ λ ÒÒ Ý r 1 = i r 2 = i. º Ô Ð Ð y y = 0 Ý ÒÐ Ø Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ λ 2 1, ÒÒ Ý r 1 = 1,r 2 = 1.

18 ½ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã º È Ä Ì ÒØ y 7y +16y 12 = 0 ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö ÐÐ Ò Ý ØØ Ø º Ý ÒÐ Ø Øº ÒÒ Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ λ 3 7λ λ 12 = (λ 2) 2 (λ 3). Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ Ý Ø Ø r 1 = 2, r 2 = 2, r 3 = 3. Ý n¹ Ö Ò ò Ý ÒÐ Ø Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ Ò n¹ Ó ÔÓÐ ÒÓѺ ÒÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ð Þ ÑÓÐÚ µ Þ Ò n Ý Ú Ò Ñ ¹ ÐÝ Þ ØØ ÓÑÔÐ Ü Ý Þ Ö Ô Ð ØÒ µº Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ò Ý Ò Ñ Ð Ð Ý Ú ÒÝ º Ý ÒÐ Ø Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ò Þ Ð Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ñ ÓÒ ½º À r Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ ØÒ Ý Þ Ö Ú Ð Ý ÓÖ Þ ÓÞÞ Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö Þ y () = e r Ú ÒÝØ ¾º À r Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ Ø s¹ Þ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ð Ý ÓÖ Þ ÓÞÞ Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ú Ø Þ s Ö Ú ÒÝØ e r,e r, 2 e r,..., s 1 e r. ½º¾¾µ º À r = u + iv Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ Ø Ý Þ Ö ÓÑÔÐ Ü Ý ÓÖ r ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù ÐØ r = u iv Ý Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ ØÒ ØØ Ò ÓÞÞ Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ú Ø Þ Ø Ú ÒÝØ e u cos v e u sin v º r = u + iv Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ Ø s¹ Þ Ö ÓÑÔÐ Ü Ý ÓÖ Þ r ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù ÐØ r = u iv s¹ Þ Ö Ý Ö Ø Ö ÞØ ¹ Ù Ý ÒÐ ØÒ ÓÞÞ Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ú Ø Þ 2s Ö Ú ÒÝØ e u cos v,e u cos v,..., s 1 e u cos v e u sin v,e u sin v,..., s 1 e u sin v º È Ä À Ý ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö ÐÐ Ò Ý ØØ Ø º Ý ÒÐ ØÒ Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ λ 8 22λ λ λ λ λ λ λ = (λ (2 + 3i)) 3 (λ (2 3i)) 3 (λ 5) 2

19 ½º º ÄÁÆ ýêáë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ½ ÓÖ Þ Ò º Ý ÒÐ Ø Ð ÔÖ Ò Þ Ö e 2 cos 3,e 2 cos 3, 2 e 2 cos 3,e 2 sin 3,e 2 sin 3, 2 e 2 sin 3 e 5,e 5. Ð ÓÖØ (λ (2 + 3i)) 3 (λ (2 3i)) 3 Þ Ð ÓÖØ Ô (λ 5) 2 ÓÞØ Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö º ½¼º È Ä À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ y + 3y + 2y = 0 ÐÐ Ò Ý ØØ Ø Ñ Ó Ö Ò ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Ð Þ Ö Ñ Ø Ð Ð¹ Ù λ 2 + 3λ + 2 Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ r 1 = 2,r 2 = 1 Ý Øº Ì Ø Þ Ð ÔÖ Ò Þ Ö {e 2,e } Ú Ý Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y = ae 2 +be. ÒØ Ñ Þ Ö Ë Ã Þ ÐÐ Ò Ý ØØ Ø Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ý Ò¹ Ð Ø Ø Ò Ñò º ½º º¾º ÁÒ ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Þ ½º Ø Ø Ð ÖØ ÐÑ Ò Þ Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö ½º½ µ Ð º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø Ý Ô Ù Ñ Ó Ý ½º½¾µ ÓÑÓ Ò Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ ÓÞ ÓÞÞ Ù Þ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ ¹ غ Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ø Ö Ý ÐØÙ ÓÑÓ Ò Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ñ Øº Ò Þ Ø Ò ½º½ µ Ð º Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ¹ ÓÐ Ö Ø ÒÙÐÙÒ Ø Ñ Þ Öغ ÓÒ Ø Ò Ú Ö Ñ Þ ÖØ Ú Þ Ð Þ Öº ÞØ Ñ Ò Ð Ø Ð ÐÑ ÞÒ ÞÓ Ò Ô Ð Ø Ò Ñ ÓÖ Ñ Ó ÒØ Ú Þ Ø Ö Ö Ð Òº ÔÖ Ú ÒÝ Ñ Þ Ö Ø Ð Ø Ð ÐÑ ÞÒ ÔÖ Ú ÒÝ Ñ Þ Ö ÐØ Ð Ò ÒÝ ÐÑ º Å Ò Ø Ñ Þ Ö Ð ÐÑ Þ Ø Ò Ð Þ Ö Ñ ÐÐ Ø Ð ÐÒ ½º½¾µ ÓÑÓ Ò Ö Þ Ý Ð ÔÖ Ò Þ Ö Øº ÓÒØÓ Ð Ð Þ Ø ØÖ Ð Ú Ö Þ Ò Þ y 1,...,y n Ú ÒÝ Ñ Ò ½º½¾µ ÓÑÓ Ò Ö Þ Ý Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ø Ó Ð ÒØ Ò º ÃÓÒ Ø Ò Ú Ö Ñ Þ Öº ÓÒ Ø Ò Ú Ö Ñ Þ Ö Ò ÐÐ Ó Ý Ö Ò ÓÐÝ Ò c 1 (),...,c n () Ú ÒÝ Ø Ñ ÐÝ Ð ÔÞ ØØ y () = c 1 ()y 1 () + + c n ()y n () ½º¾ µ ½º½ µ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ð Þº

20 ¾¼ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã º Ì Ì Ä Þ y (n) + a n 1 () y (n 1) + a 1 () y + a 0 () y = r () Ò Ó¹ ÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ ØÒ Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Ñ Ô Ø Ù y () = c 1 ()y 1 () + + c n ()y n () Ð Ò y 1,...,y n ÓÑÓ Ò Ö Þ Ý Ð ÔÖ Ò Þ Ö Ø Ð ÓØ c 1 (),...,c n () Ú ÒÝ Ö Ú ÐØ Ð Ø Ø ÞÒ Ú Ø Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ c 1 ()y 1 () + + c n ()y n () = 0 c 1 ()y 1 () + + c n ()y n () = 0 c 1 ()y (n 2) 1 () + + c n ()y n (n 2) () = 0 c 1 ()y (n 1) 1 () + + c n ()y n (n 1) () = r () ½º¾ µ ½½º È Ä À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ y 2 y y = 2 Ñ Ó Ö Ò ò Ò Ó¹ ÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø ÒÒ ÓÑÓ Ò Ö Þ ½º½ µ Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Ö Ú Þ ÐØÙÒ Ñ ÐÐ Ô ØÓØØÙ Ó Ý ÓÑÓ Ò Ö Þ Ý Ð ÔÖ Ò Þ Ö {, 2 }. Ð ÖÚ ½º¾ µ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Ñ ÐÝ Ò Ø Ø y 1 () = 2,y 2 () = µ c 1 () 2 + c 2 () = 0 c 1 () 2 + c 2 () = 2 ÒÒ Ò c 1 () = 2 c 2() = 2. ÓÒÒ Ò c 1 () = 2, c 2 () = 2. ÁØØ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ð Ð Ô ÓÒ Ø Ò Ó Ñ ÖØ Ë Ã c 1 (),c 2 ()¹Ö Ú Ò Þ Ò Þ Ò Ý ØÐ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Ö Ò ºµ Ì Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Þ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ ØÒ y i,p = = 3. Î Ý Þ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y i,ált = Y h,ált + y i,p = a + b ÈÖ Ú ÒÝ Ñ Þ Öº ÞØ Ñ Þ ÖØ ÐÐ Ò ¹ Ý ØØ Ø Ð ¹ Ò Ö Ò ÓÑÓ Ò º Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ö Þ Þ y (n) + a n 1 y (n 1) + a 1 y + a 0 y = r (), ½º¾ µ a 0,...,a n 1 Rµ Ð º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ö Ð ÐÑ Þ Ø Ù ÓÖ Ó ÓÐ ÐÓÒ Ø Ð Ð Ø r () Òº Þ Ú Ö Ú ÒÝ Ú Ø¹ Þ Ð r () = e u [P n () cos(v) + Q m () sin (v)], ½º¾ µ

21 ½º º ÄÁÆ ýêáë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ¾½ ÓÐ P n () Q m () Ø Ø Þ Ð n¹ ÐÐ ØÚ m¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ º Ì Ý Ð Ó Ý u + iv ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ s¹ Þ Ö Ý ÓÑÓ Ò Ö Þ p (λ) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ Ò º ÓÖ Þ ½º¾ µ Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö º Ý ÒÐ Ø Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Ñ Ø Ð Ð Ø Ù y i,p = s e u [P k cos (v) + Q k sin (v)] ½º¾ µ Ð Ò ÓÐ k = ma {n,m} P k,q k ÐØ Ð ÒÓ k¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ º ½º Å Â Ë À u + iv ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ Ò Ñ Ý ÒØ Ö Ø ¹ Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑÒ ÓÖ s = 0 Ú Ý Ò Þ Ø Ò s 1, Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÐ Ø y i,p = e u [Pk cos (v) + Q k sin (v)] Ð Ò Ö Ø º ¾º Å Â Ë ÞØ Ó Ý Pk,Q k ÐØ Ð ÒÓ k¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ý ÐÐ ÖØ Ò Ó Ý Pk () = p k k + p k 1 k p 1 + p 0 Q k () = q k k + q k 1 k q 1 + q 0, ÓÐ p 0,p 1,...,p k,q 0,q 1,...q k R ÅÓ Ø Ò ÞÞ Ò Ò ÒÝ Ô Ð Ø ÒÒ Ð ÐÑ Þ Ö º Ð Þ Ö ÞØ Ý ¹ ÓÖÓÐ Ù Ó Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Ò ÐÐ Ö Ò ÙØ Ò Ñ ÓÐ ÙÒ º Ý ÒÐ Ø Ø ÞÞ Ð Ñ Þ ÖÖ Ðº ½¾º È Ä Ì Ý Ð Ó Ý ÓØØ Ý ÖÑ Ö Ò ò Ð Ò Ö Ò ÓÑÓ Ò ÐÐ Ò ¹ Ý ØØ Ø º Ý ÒÐ Ø Ò Ñ ÐÝÒ Ð ÓÑÓ Ò Ö Þ Ö ¹ Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ý Ì Ý Ð Ó Ý Þ Ú Ö Ø λ 1 = 2,λ 2 = λ 3 = 5. ºµ r () = cos 2. ÓÖ ½º¾ µ¹ Ð u = 0,v = 2,P n 1,Q m 0 n = m = 0. Å Ú Ð u + iv = 2i Ò Ñ Ý Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ ØÒ Þ ÖØ s = 0. Ì Ø ÓÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø y i,p = p cos 2 + q sin 2 Ð Ò Ö Þ Ò p,q ÓÒ Ø Ò Ó Ð ÒØ Þ ÐØ Ð ÒÓ 0¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ Øº

22 ¾¾ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ºµ r () = 2 e 5. ÓÖ ½º¾ µ¹ Ð u = 5,v = 0,P n () = 2,Q m () 0 n = 2,m = 0 Ú Ý k = ma {n,m} = 2. Å Ú Ð Þ u + iv = 5 Ø Þ Ö Ý Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑÙÒ Ò Þ ÖØ s = 2. Ì Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø y i,p = 2 e 5 (p p 1 + p 0 ) Ð Ò ÐÐ Ö Ò Ò º ½ º È Ä À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ y 12y +45y 50y = cos 2 Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓРغ ÓÖ ÓÑÓ Ò Ö Þ Ö Ø Ö ÞØ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ p (λ) = λ 3 12λ λ 50º ÒÒ Ý λ 1 = 2,λ 2 = 5,λ 3 = 5. Î Ý Ù Ý Ò Þ ÐÝÞ Ø Ñ ÒØ ÒØ ºµ Ô Ð Òº Å ÒØ ÓØØ Ð ØØÙ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø y i,p = p cos 2 + q sin 2 Ð Ò ÐÐ Ö Ò º Ì Ø Þ Ñ Ö Ø ØÖ Ó Ý Ñ Ø ÖÓÞÞÙ p q Þ ÑÓ Øº Þ y i,p = 2p sin 2 + 2q cos 2, y i,p = 4p cos 2 4q sin 2, y i,p = 8p sin 2 8q cos 2. Þ Ø Ú Þ ÖÚ Ñ ÓÐ Ò y 12y + 45y 50y = cos 2 Ý ÒÐ Ø ÐÓÐ ÐÓÒ cos¹ó sin¹ó Ø Ó Þ Ö ÒØ Ö Ò ÞÚ Ø ÓÐ Ð Ý ØØ Ø Ý Þ Ð Ò cos 2( 8q + 48p + 90q 50p) }{{} 1 Ú Ý + sin 2(8p + 48q 90p 50q) = cos 2 }{{} 0 2 p + 82 q = 1 82 p + 2 q = 0 ÒÒ Ñ ÓÐ Ø Ø p = 1 41 q = º Î Ý y i,p = 1 cos sin 2. ÌÓÚ Þ Ò ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ Ø y 3360 i,ált ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ y i,ált = c 1 e 2 + c 2 e 5 + c 3 e 5 }{{} Y h,ált cos 2 + sin 2 } 3360 {{ 3360 } y i,p. ½ º È Ä À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ y 6y + 13y = + sin 3 º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø ÓÑÓ Ò Ö Þ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ý ÒÐ Ø λ 2 6λ+ 13. ÒÒ Ý λ 1 = 3 + 2i, λ 2 = 3 2i. Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ Ú Ö Ø r () = + sin () Ò Ñ ÓÐÝ Ò Ñ ÒØ ½º¾ µ ÔÐ Ø Ò Ñ Ú Ø ÐØ Ø ½º¾ µ ÔÐ ØÒ Ð Ø Ø Ú Ú ÒÝ Ú Ý Þ r 1 () = Þ r 2 () = sin () Ú ÒÝ Þ º Þ ÖØ Ø Ø Ö Ò ÒØ Ð ÖØ Ñ Þ ÖÖ Ð Ý y i,p,1 Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Þ y 6y + 13y =

23 ½º º ÀÁýÆ ÇË ÅýËÇ Ê Æ æ Á º ÆÄ Ì Ã ¾ º Ý ÒÐ ØÒ Ñ Ý y i,p,2 Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÓÐ Ø Þ y 6y + 13y = sin 3 º Ý ÒÐ ØÒ Þ Ö Ø y 6y +13y = +sin 3 Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö y i,p Ñ ÓÐ Ø Ñ ÒØ y i,p = y i,p,1 + y i,p,2 ¹ Ø Ô Ù º Ú Ö Ñ ÒÝ y i,ált = c 1 e 3 cos 2 + c 2 e 3 sin }{{} cos 3 + sin 3 } 2 85 {{ 170 } ÓÑÓ Ò ÐØ Ð ÒÓ ÑºÓº Ò ÓÑÓ Ò Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö ÑºÓº ½º º À ÒÝÓ Ñ Ó Ö Ò ò º Ý ÒÐ Ø À ÒÝÓ Ò Ò Ú Þ Ò Ý Ñ Ó Ö Ò ò º Ý ÒÐ Ø Ø Þ,y,y, ¹ Þ Ð Ð Ð Þ Ý ÒÝÞ º ÅÓ Ø Ó ÞØ ÐÝÓÞÞÙ ÒÝÓ Ñ Ó Ö Ò ò º Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ö ÒØ Ó Ý Þ,y,y Þ Ð Ñ ÐÝ ÒÝÞ Ñ Ò Ý Ø Ò Ñ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ò Ø Ð Ð Ø Ù Ñ Ñ ÓРغ ½º À y y ÒÝÞ ÓÖ y = f (). Ð ØÓØ f () Ø Þ Ö ÒØ Ö Ð Ú Ð ÓÐ Ø Ù Ñ º ½ º È Ä y = 5 + sin 3. ÓÖ y = (5 + sin 3) d = 5 cos 3 +C 3 1. Ì Ø y = ( ) cos C 3 1 d = sin 3 +C 9 1 +c 2. ¾º À y ÒÝÞ º Þ Þ F (,y,y ) = 0 Ð º Ñ ÓÐ ÙÐ Þ Ó Ý p () = y () ÐÝ ØØ Ø Ø ÐÐ Ð ÐÑ ÞÒ ÓÖ y () = p ()º ½ º È Ä ÇÐ Ù Ñ Þ Ù Ý Ð ØÓØ 1 ( ) y (0) = 0 y y = 0,{ 2 y (0) = 3 Å ÓÐ Å Ú Ð y = p () Þ ÖØ y = p (). ÞÞ Ð ÐÝ ØØ Ø Ð Þ Ý ÒÐ Ø 1 ( ) p p = 0 2 }

24 ¾ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ º Ý ÒÐ Ø Ñ Ý Øº ÒÒ Ñ ÓÐ p = c (1 + 2 ). Ì Ø y = c (1 + 2 ). ÁÒÒ Ò Ô Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ Óй ) yált = c ( K. 3 Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ Ø Ý Ô Ù Ó Ý ÐÝ ØØ Ø Ò = 0¹ Ø Ñ Ò Þ yált Ñ Ò Þ y ált ÔÐ Ø y (0) = K = 0 y (0) = c = 3. Ì Ø Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ y = º À ÒÝÞ º ÓÖ Þ Ý ÒÐ Ø F (y,y,y ) Ð º Ò Þ Ø Ò Þ y = p (y) ÐÝ ØØ Ø Ø ÐÐ Ð ÐÑ ÞÒ º ÓÖ y = dp (y ()) d = dp dy dy d = dp dy y = dp dy p. ½ º È Ä ÇÐ Ù Ñ Þ yy = 2 (y ) 2 2y Ý ÒÐ Ø Øº Å ÓÐ Þ Ý ÒÐ Ø ÐÝ ØØ Ø Þ y = p y = dp dy p Þ Øº Ý Ô Ù Þ y dp dy p = 2p2 2p Þ ØÚ Ð ÞØ Ø Ú ÐØÓÞ º Ý ÒÐ Ø Ø ØØ y Ú ÐØÓÞ p = p (y) Þ y Ú ÒÝ µº ÒÒ Ñ ÓÐ p 0 p = c 2 y º Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý y = p Ô Ù Ó Ý y C y = 1 c tg (c + c 2). ½º º Þ Þ Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø M (,y)d + N (,y) dy = 0

25 ½º º ÃÌ Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ¾ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Þ Ø M y N ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ñ Ò M (,y) Ñ Ò N (,y) Ú ÒÝ Ô Ö Ð Ö ¹ Ú ÐØ Ð Ø ÞÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ý ÓÐÝ Ò Ø ÖØÓÑ ÒÝÓÒ Ñ ÐÝ Ò Ò Ò Ò ÐÝÙ º Þ ÐÝ Ò Ø ÖØÓÑ ÒÝÓ Ø Ý Þ Ö Ò Þ Ò Ú Ù º ½º½º Ö º Ý Þ Ö Ò µ Ò Ñ Ý Þ Ö Ò µ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝÓ º Ì Ì Ä À M N Ñ Ò M (,y) Ñ Ò N (,y) Ú ÒÝ Ô Ö¹ y Ð Ö Ú ÐØ Ð Ø ÞÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ý Þ Ö Ò Þ Ø ÖØÓ¹ Ñ ÒÝÓÒ ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò F : R 2 R Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ M = F N = F y Ú Ý grad (F) = (M,N). ÓÖ Þ M (,y) d + N (,y) dy = 0 Þ Ø º Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ø Þ F (,y) = C ÑÔÐ Ø Ð Ò Ô Ø¹ Ù Ñ º ½ º È Ä ÇÐ Ù Ñ y ( 3 4 y 2 2) + ( 4 3 y 3 2y ) = 0 º Ý ÒÐ Ø Øº Å ÓÐ À ÞÒ Ð Ù Ð Ó Ý y = dy ÓÖÑ Ð Ò ÞÓÖÓÞÞÙ Ñ d Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ø d¹ к Ã Ô Ù Ó Ý ( 4 3 y 3 2y ) d + ( 3 4 y 2 2) dy = 0. }{{}}{{} M(,y) N(,y) Þ Þ º Ý ÒÐ Ø Þ Ø Ñ Ú Ð Þ M Þ N Ú ÒÝ Ñ Ò Ò Ô Ö ¹ Ð Ö Ú Ø Ñ Ò Ò ØØ ÖØ ÐÑ Þ ØØ M = y 123 y 2 2 = N. Ì Ø

26 ¾ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ÒØ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ Ý F Ñ ÐÝÖ M = F Ñ Ø ÖÓÞ Å Ú Ð F = M (,y), Þ ÖØ F (,y) = F N =. Þ F Ú ÒÝ y M (,y) d = (4 3 y 3 2y ) d = 4 y 3 2 y + f (y). ÞÙØ Ò Ñ Ö Þ f (y) Ú ÒÝØ ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒ º ÞØ Ð Ô Ù Ó Ý N = F. ÞØ Ð ÖÚ y (34 y 2 2 ) = 3 4 y 2 2 +f (y). ÁÒÒ Ò f (y) 0 Ú Ý f (y) C. Ì Ø F (,y) = 4 y 3 2 y+c. ÒØ Ø Ø Ð ÖØ ÐÑ Ò Ø Ø º Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ø Þ 4 y 3 2 y = C º ÁØØ Ñ ÓÐ Ø ÑÔÐ Ø Ð Ò ÔØÙ Ñ º ½º º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ö Ò Þ Ö Ò Þ Ø Ò ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ Ø t¹ú Ð Ð Ð Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ¹ ÒÝ Ø Ô (t) y (t)¹ú к À ÞÒ ÐÒ Ó Ù D Ö Ò Ð ÓÔ Ö ØÓ¹ Ö Øº Î Ý (t) = D (t) y (t) = Dy (t). À ÞØ Ö Ù Ô Ð ÙÐ Ó Ý (D 5) Þ ÞÞ Ð Ý Ò ÖØ ò Ó Ý (t) 5 (t). Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Þ Ð Ð Ý Þ Öò Ø Ø ÒØ Þ Ò Ñ ÓÐ Ø Ú Ø Þ Ô Ð Ò ÑÙØ Ø Ù ½ º È Ä ÇÐ Ù Ñ Ú Ø Þ º Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ ÖØ 2 + y 4 y = e t y = 0 Å ÓÐ Þ Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö D ÓÔ Ö ØÓÖÖ Ð 2 (D 2) + (D 1) y = e t (D + 3) + y = 0 Ö Ñ Ö¹ Þ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ý ÖØ ÐÑò Ñ ÓÐ Þ ÖØ Ú Ò Ñ ÖØ = 2 (D 2) D 1 D = ( D ) 0. Ñ ÓÐ Ó Ò Ú Ø Þ Ø Ý ÒÐ Ø Ð = et D y = 2 (D 2) e t D

27 ½º º Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì¹Ê Æ Ë Ê Ã ¾ Þ Ø ØÚ ( D ) = e t ( D ) y = 4e t. Þ Ñ ÓÐ (t) = c 1 cos t + c 2 sin t 1 2 et y (t) = c 3 cos t + c 4 sin t + 2e t. Ø Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Þ ÖØ c 3,c 4 Þ Ø c 1,c 2 ¹Ú к Þ (t),y (t) ÒØ ÔÐ Ø Ø Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ¾º Ý ÒÐ Ø ÐÝ ØØ ØÚ c 2 + 3c 1 + c }{{} 3 cos t + 3c 2 c 1 + c 4 sin t = 0 }{{} 0 0 Þ Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ 3c 1 c 2 = c 3 c 1 3c 2 = c 4 Î Ý Þ Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ñ ÓÐ (t) = c 1 cos t + c 2 sin t et 2 y (t) = (3c 1 + c 2 ) cost + (c 1 3c 2 ) sin t + 2e t. ¾¼º È Ä ÇÐ Ù Ñ Ú Ø Þ Ù Ý Ð ØÓØ { } y + 3 = 0 y (0) = 1,y (0) = = 0 ½º¾ µ Å ÓÐ Ð Ö Ù Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ D ÓÔ Ö ØÓÖ ÞÒ Ð Ø Ú Ð (D + 3) y = Dy = 0 Ã Þ Ñ Ø Ù = D D = D2 +3D+2 0. Ì Ø ÒØ Ñ Þ Ö Ð ÐÑ Þ Ø º ÞÙØ Ò Ö Ñ Ö¹ Þ ÐÝ Ð = D = 0 y = D = 0 ÞØ ÖÚ = 0 y + 3y + 2y = 0. ½º¾ µ

28 ¾ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Þ Ø Ñ ÓÐ Ú Ô Ù Ó Ý (t) = c 1 e t + c 2 e 2t (t) = c 3 e t + c 4 e 2t. Å Ú Ð Ø ÓÒ Ø Ò Ð Ø Ò Ý ÐÝ ØØ Ñ Ò ÞØ Ú Þ ÐÐ ÐÝ ØØ ¹ Ø Ò Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ú Ð Ñ ÐÝ ÑÓÒ Ù Ñ Ó Ý ÒÐ Ø º Ð Ó Ý 2c 1 c }{{} 3 e t + 2c 2 2c 4 e 2t 0. }{{} 0 0 Ì Ø c 3 = 2c 1, c 4 = c 2. ÞØ Ú Þ ÐÝ ØØ ØÚ ½º¾ µ Ñ ÓÐ Ô Ù Ó Ý º Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ (t) = c 1 e t + c 2 e 2t y (t) = 2c 1 e t + c 2 e 2t. ½º ¼µ ٠ݹ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø Ý Ô Ù t = 0¹ Ø ÐÝ ØØ Ø Ò Ñ Ò ¹ Ø ÓÐ ÐÖ Ð ÞÒ Ð Ù Þ y (0) = 3,(0) = 1 Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø 1 = (0) = c 1 + c 2 3 = y (0) = 2c 1 + c 2. Þ Ò Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÒØ Ô Ù Ó Ý c 1 = 2, c 2 = 1. Þ Ø ½º ¼µ¹ Ú Þ ÖÚ Ô Ù Ù Ý¹ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø (t) = 2e t e 2t y (t) = 4e t e 2t. ½º ½µ Þ Ð Ý Ð ÐÑ Þ Ì Ý Ð Ó Ý ÓÒ ÑÓÞÓ Ý ÔÓÒØ Þ Öò Ó Ö Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ó Ö t = 0 ¹ ÔÓÒØ Ò A = (1, 3) ÔÓÒØ Ò Ø Ð Ð Ø º Ó Ö ÑÓÞ ÓÖ Ò ÖÑ ÐÝ (,y) ÔÓÒØ ÙØ Ô ÐÐ Ò ØÒÝ Ò ÔÓÒØ Ò Þ (y 3, 2) Ú ØÓÖ ÐØ Ð ÓØغ Ð Ø Ö Ù Ð Ó Ö ÑÓÞ Øº Å ÓÐ Å Ú Ð Ó Ö Þ A ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐ Ô ÐÐ Ò ØÒÝ (,y ) = (y 3, 2) Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ó Ö Ô ÐÝ Ò y ÓÓÖ Ò Ø Ò Ð Ø Ð Ö (t),y (t) Ú ÒÝ Ð Ø Ø ÞÒ ÒØ ½º¾ µ Ù Ý Ð ØÒ Ú Ý Ó Ö Ô ÐÝ ÐÝ Ø ¾¼ Ô Ð Ñ ÓÐ ÒØ ÔÓØØ Ú ÒÝ Ö Ð º (t) = 2e t e 2t y (t) = 4e t e 2t. ½º ¾µ

29 ½º º ÁË Ì Æ Á Ë ÍÆÁ ÁÌýË Ì Ì Ä Y = F (X,Y ) ÆÄ Ì ÃÊ ¾ ½º º Þ ÞØ Ò ÙÒ Ø Ø Ø Ð Þ y = f (, y) Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ø Ò Þ y = y () Ö ØØ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Ø¹ Ð Ò Ú ÐØÓÞ º Ä Ý Ò ØÓÚ T R 2 Ý ÓÖÐ ØÓ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ f : T R Ú Òݺ Ò Þ Ø Ò Þ y = f (,y) ½º µ Ð Ð Ö Ò ò º Ý ÒÐ Ø Ø Ú Þ Ð Ù º ÖÖ Ö Ö Ö Ú ¹ Ð ÞØ Ó Ý Þ y = f (,y) y ( 0 ) = y 0 ½º µ Ù Ý Ð ØÒ ( 0,y 0 ) T µ Ñ ÐÝ Ò Þ f Ú ÒÝÖ Ø ØØ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ Ú Ò Ñ ÓÐ Þ Þ ÞØ Ò Ö µ Ú Ò Ñ ÓÐ ÒÝ Ñ ÓÐ Ú Ò ÙÒ Ø Ö µº Ú Ð Þ Ñ Ó ÐÑ Þ ÓÞ ÐÐ Ú Þ ØÒ Ò Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐØ º ÁÆ Á ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ f : T R Ú ÒÝ Þ y Ú ÐØÓÞ Ö Ð Ø Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐØ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò L Þ Ñ Ó Ý ÖÑ ÐÝ T Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø ÖØÓÞ (,y 1 ) (,y 2 ) ÔÓÒØÓ Ø Ò f (,y 1 ) f (,y 2 ) L y 1 y 2 ½º µ Ø Ð Ðº Þ L¹ Ø Ä Ô ØÞ Ó Ø Ò Ò Ú Ù º Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐØ Ð Ø Ñ Ò Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø f (,y) Ú ÒÝ Þ Ò T ÓÖÐ ØÓ µº Ì Ø Þ f (,y) Ñ Ò Ø Ô Ö Ð Ö ¹ Ú ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ T ¹Ò ÓÖ f (,y)¹ö Ø Ð Ð Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø Ðº ÞÓÒ Ò Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐØ Þ y Ú ÐØÓÞ Ö ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ Ð Ø Ø Ñ ¹ ÐÝ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ñ Ò Ø Ô Ö Ð Ö Ú ÐØ º È Ð¹ ÙÐ Þ f (,y) = + y Ú ÒÝ Ò Ñ Ö Ò Ð Ø Þ y¹ø Ò ÐÝ Ý Ø¹ Ð Ò ÔÓÒØ Ò Ñ Þ y Ú ÐØÓÞ Ö Ð Ø Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐØ Þ Ò f (,y 1 ) f (,y 2 ) = + y 1 ( + y 2 ) = y 1 y 2 y 1 y 2. Ì ¹ Ø Þ f (,y) = + y Ú ÒÝ Þ y Ú ÐØÓÞ Ö Ð Ø Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐØ Ñ Ô L = 1 Ä Ô ØÞ ÓÒ Ø Ò Ðº º Ì Ì Ä Þ ÞØ Ò Ø Ø Ðµ À Þ f (,y) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ ¹ ÓÖ Ð Ø Þ Ñ ÓÐ Þ y = f (,y) y ( 0 ) = y 0 Ù Ý Ð ØÒ ( 0,y 0 ) T µº

30 ¼ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ÞØ ÞÓÒ Ò ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ù Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ð Ø Ø ÐÐ Ñ ¹ Ú Ø ÐÒ ÓÞ Ó Ý Ñ ÓÐ Ý ÖØ ÐÑò Ø Þ ÙÒ Ø Ø Ñ Ô¹ Ù º Í Ý Ò f (,y) = y 2 3, ÓÖ Þ f ÓÐÝØÓÒÓ ÓÒ Ñ Þ y = y 2 3 y (0) = 0 Ù Ý Ð ØÒ Ñ ÓÐ Ñ Ò Þ y 0 Ñ Ò Ô Þ y () = ( 3) 3 Ú Òݺ º Ì Ì Ä ÍÒ Ø Ø Ø Ðµ À Þ f (,y) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ y Ú Ð¹ ØÓÞ Ö Ð Ø Ä Ô ØÞ¹ ÐØ Ø ÐØ ÓÖ Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑò Ñ Óй Þ y = f (,y) y ( 0 ) = y 0 Ù Ý Ð ØÒ ( 0,y 0 ) T µº ½º º Þ ÆÙÑ Ö Ù Ñ Þ Ö Þ y = f (, y) Ð Ý ÒÐ Ø Ö º y = f (,y) y ( 0 ) = y 0 ½º µ Ù Ý Ð Ø Ñ ÒØ ÒØ Ð ØØÙ Ñ Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ ÓÐ Ø Þ f ÓÐÝØÓÒÓ Þ y Ú ÐØÓÞ Ò Ð Ø Ø Þ Ä Ô ØÞ ÐØ Ø ÐÒ º Þ ÞÓÒ¹ Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Ñ ÓÐ Ý ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ø ÑÑ ÐÝ Ò ÔÐ ØØ Ð Ò Ñ Ð Ø Ð ÐÐ Ø Ò Ú Ý ÓÐÝ Ò ÓÒÝÓÐÙÐØ ÔÐ Ø ÐÐ Ø Ð Ñ ÐÝ Ð Ò ÝÓÒ Ò Þ Ò Ð ØÒ Ú Ø ÞØ ØÒ ÖÖ Ó Ý Ò Þ Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ Ò Ö ÓÒ º À ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ Ø Ò Ñ Ñ Ò ØÙ Ù Ð ÐÐ Ø Ò Þ Ð Ø Ñ ÓÐ Ó Ø Ø Ð Ð ØÙÒ Ñ ÐÝ Ø Ø¹ Þ Ð Ð Ö ÓØØ ÔÓÒØÓ Ð Þ Ð Ø Ù Ý Ð Ø Ñ ÓРغ Þ Þ Ð Þ ÙÐ Ö¹ ÊÙÒ ÃÙØØ Ñ Þ Ö Ø Ø ÒÙÐ Ù ÙÐ Ö Ñ Þ Ö Þ y = f (,y), y ( 0 ) = y 0 Ù Ý Ð Ø Ñ Óй Ö º Ä Ý Ò n = 0 + nh º Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ØÐ Ò y = y () Ñ Óй Ø ÓÐÝ Ò Ý Ò Þ ÞÓ Ð ÐÐ Ø ÖØÚÓÒ Ð Ð Þ Ð Ø Ñ ÐÝ Þ ( n,y n ) ÔÓÒØÓ Ø Ø Þ ÓÐ n = 0 + nh y n+1 = y n + f ( n,y n ) h. Þ Ð Ø ÐÓ Ð Ò Ð Ð h 2 Ò Ý Ö Ò òº ÁØØ Ð ÒÝ Ò h Ó Þ µ Þ ÞÓ ÓÒ Ö ØØ y = y () Ú ÒÝØ Þ Ö ÒØ Ú Ð ÐÝ ØØ Ø Þ Ò y = f (,y), Ñ Þ ( 0, 1 ) Þ ÞÓÒ Þ y = y () ÐÝ ØØ Þ Ö ÒØ Ø Ú Ý Þ y = y n +y ( 0 ) ( }{{} 0 ) = y n +f ( 0,y 0 ) ( 0 ) f( 0,y 0 ) Ú ÒÝØ Ò Ú ÞÞ º

31 ½º º ËÌ ÁÄÁÌýË ½ y y 2 y 1 y 0 y Æ Ý Ö Ò ò ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Þ Ö y = f (,y) y ( 0 ) = y 0 À ÓÒÐ ÒØ Þ ÓÒÝÓÐÙÐØ ÒÒ Ö Ñ ÒÝ ÔÔ Ò ÐÓ Ð Ò Ð Ð h 5 Ö Ò òº ÁØØ Ý ÓÐÝ Ò Ý Ò Þ ÞÓ Ð ÐÐ Ø Ö ØØ ÚÓÒ ÐÐ Ð Þ Ð Ø Þ Ñ Ö ØÐ Ò y = y () Ú ÒÝØ Ñ ÐÝ Þ ( n,y n ) ÔÓÒØÓ Ø Ø Þ ÓÐ n = 0 + nh, y n+1 = y n + 1 (k k 2 + 2k 3 + k 4 ), ÓÐ k 1 = hf ( n,y n ) k 2 = hf ( n + 1h,y 2 n + 1k ) 2 1 k 3 = hf ( n + 1h,y 2 n + 1k ). 2 2 k 4 = hf ( n+1,y n + k 3 ) ½º º ËØ Ð Ø Ò Þ Ø Ò ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ t R Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Þ = (t). Þ Ð Ð Ð Ð Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ú Þ ÐØ ÓØØ y = f (,y)µ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Þ ØØ Ò Ð Ð Ð ẋ = f (,t) Ð ÓÐ ẋ = d dt. Ò Þ Ø Ò Þ ẋ = f (,t) º Ý ÒÐ Ø Ô Ð Ø ÒØ Ø ÒØ Ø ẋ = v () Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØØ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Î Ý Ó ÓÐ Ð Þ ¹Ø Ð ÜÔÐ Ø Ò Ò Ñ t¹ø Ð ØØ t Ú Ð Ò Þ Ø Ð ÒØ µº Þ ẋ = v () Ð Ý ÒÐ Ø Ø ÙØÓÒ Ñ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ú¹ Ù º ÞÓ Ø ÔÓÒØÓ Ø ÓÐ v : R R Ø Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò ¹

32 ¾ Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Ð Ø ÞØ Ñ Ò ÐØ Þ Ò Þ Ø Ò v¹ö е Ú ÒÝ Þ ÖÙ Ð Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º ¾½º È Ä ẋ = (a b). Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Þ = 0 Þ = a }{{}. b v() Þ ÖØ Ò Ú ÞÞ Þ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ ØÒ Ñ ÖØ Þ ẋ = v () Ý Ö Ò Þ Ö Ð Ð Ø Ö Ð Ý t 0 Ô ÐÐ Ò Ø Ò ÔÔ Ò Ý ÓÐÝ Ò 0 ÐÝÞ Ø Ò Ú Ò Ö Ò Þ Ö Ñ ÐÝÖ v ( 0 ) = 0, ÓÖ ẋ (t 0 ) = v ( 0 ) = 0. Ì Ø Ú ÐØÓÞ Ý ÒÐ ÒÙÐÐ Ú Ðº Î Ý Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ø Ø Þ 0 ÐÝÞ Ø Ò Ñ Ö Þ Ú Þ Ø º Þ Ð Ó Ý Þ (t) 0 Ñ ÓÐ Ð Þ Þ ẋ = v () (t 0 ) = 0 Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ú Ð v () Ð Ñ Ý Þ Ð Þ Þ Ø Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ý Ñ ÓÐ Ð Ø ÙÒ Ø µ Ø Ø Ò Ò Ñ Ñ ÓÐ º º ÁÆ Á Þ (t) 0 Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ø Ä ÔÙÒÓÚ¹ Ø ÐÒ Ò Ú ÞÞ ε > 0 δ > 0, Ó Ý ϕ (t) Þ ẋ = v ()¹Ò Ý ÓÐÝ Ò Ñ ÓÐ Ñ ÐÝÖ ϕ (0) 0 < δ, ÓÖ ϕ (t) 0 < ε t¹ö º Î Ý Þ Ø ÐØ Ø ÐØ Ý Ø Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ù ÓÖ Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ñ ÓÐ Ý Ø Ø Ö Ð Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ ØØ Ð ÖÑ ÐÝ Ò Ó Ñ ÐÚ º ¾¾º È Ä Ò Ô Ð Ò : R R 2 Ø Ø (t) Ý ÔÓÒØ º Ì Ø (t) = ( 1 (t), 2 (t)). ẋ (t) = ( 2 (t), 1 (t)) (0) = (u, 0), u R }{{} v()=( 2, 1 ) Î Ý v() = ẋ (t) (t) Ñ Ö Ð ÝÑ Ö ÞÓÒÓ Ó Þ º ÓÖ Þ Ý ØÐ Ò ÐÝ ÓÐ v () = 0 Þ = 0 Ø Ø Þ ÓÖ µº Ý Þ Ý ØÐ Ò { Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø } Þ (t) 0. ÒØ Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ ẋ1 = 2 ẍ = ẋ 2 = 1 1 = a cos t + b sin t 1 u = 1 (0) = a, Ø Ø 1 = u cos t + b sin t 2 = ẋ 1 = u sin t + b cos t. 2 (0) = u sin 0 b cos 0 = 0, Ý b = 0, Ú Ý 1 = u cos t. Ý 2 = ẋ 1 = u sin t. Î Ý Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ (t) = (u cos t,usin t).

33 ½º º ËÌ ÁÄÁÌýË y (u, 0) ÓÖ Ú ÞÓÒØ (t) = u, Þ Ò Þ (t) ÔÓÒØ Ñ Ò Þ ÓÖ Þ ÔÔÓÒØ u Ù Ö Ö Ò Ú Òº ÁÒÒ Ò Ó Ý Þ (t) 0 Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ä ÔÙÒÓÚ¹ Ø Ð Ò Ò Þ Ö ÔÐ δ¹ Ø Ú Ð ÞØ Ø Ù δ = ε¹ò º º ÁÆ Á Þ (t) 0 Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ð ¹ Ä ÔÙÒÓÚ¹ Ø Ð ¹ lim t ϕ (t) = 0 Ø Ð Ð Þ ẋ = v () Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ϕ (t) Ñ ÓÐ Ö Ñ ÐÝÖ ϕ (0) Þ 0 ¹ ÓÞ Ð Þ Ð Ú Òº ¾ º È Ä Ä Ý Ò (t) Ý ÓÐÝ ÐÝÞ Ø Ñ ÐÝ Þ Ö Ò Ð Ø Ø ÔÓ¹ Ö ÐÝ ÞÚ ÑÓÞÓ ÖÐ Ø ÐØ Ø Ð Þ Ò µº ÆÝ ÐÚ Ò ÓÐÝ Ø ÔÓ Ö Ð Ð Ö Ø Þ ÓÖ Þ Ö Ö ÓØØ Ñ Ö Ø Ø Þ Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Øº À Ú ÞÓÒØ ÒÒ Ò Ý Ø ÑÓÞ Ø Ù ÓÖ ÖÐ Ñ ØØ Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Þ Ó Ñ Ø ÖØ Ò Ø Ø Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ðº ¾ º È Ä ẋ = ØØ v () =,º

34 Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Ì Ø Þ Ý ØÐ Ò Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØ Þ 0¹ Ò Ú Òº Ö Ò Ð ¹ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ (t) = ce t. Ì Ø Þ ẋ =, (0) = u Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ (t) = ue t. Î Ý u ÖÑ ÐÝ Ò Ò Ñ ¼ Þ Ñ ÓÖ Ñ ÒØ t limue t =, Ú Ý Þ 0 Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø t Ä ÔÙÒÓÚ¹ Ò Ø Ð Ý Ô Ö Þ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ò Ø Ðµº ýðø Ð ÒÓ Ò Þ ẋ = k Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ÒÓÖÑ Ð Ò Ú ¹ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø µº ÖÖ Þ Þ Ó Ý k > 0, ÓÖ Þ Ý ØÐ Ò 0 Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØ Ò Ø Ðº Þ ẋ = k Ý ÒÐ Ø Þ ÖØ ÓÒØÓ Ñ ÖØ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ú Ø ÑÑ Ò Ñ ÐÝÓÞÞ Ñ Ö ÓÞ Ñ Ø Ô¹ Ð Ð ÒÝ Ñ Ø µ ÓÖ Þ ÔÓÔÙÐ t Ñ ÐÚ ce kt Ý Ø Þ ÑÐ Ð Ñ ÔÔ Ò ÒØ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ º À Ú ÞÓÒØ ÔÓÔÙÐ Ý Ò Ø ÔÐ Ð ÖØ Ú Ö ÒÝ ÞÒ ÐÐ ÓÖ Þ ẋ = (a b) Ý ÒÐ Ø ÔÓÔÙÐ ÐÐ ÔÓØ Ø t Ñ ÐÚ º Ó ÓÐ ÐÓÒ Þ a,b > 0, Ý (a b) ÞÓÖÞ Þ Ü Ý Ò Ú ÒÝ Þ Ý ÒÐ Ø Ò Þ ÞØ Þ Ó Ý Ò ÝÓ Ñ ÒØ a, ÓÖ Ø Ð Ó Ý b Ú Ò Þ Ð Ð Ñ Þ Ô Ø Ý Þ ẋ < 0 Ð Þ Ú Ý Þ Ý Þ Ñ Ò Ý º À Þ ẋ = (a b) Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Þ Þ Ñ ÖØ Ý¹ Ø ØÔ Ö Ñ Ø Ö ÞÞ Þ ẏ = (1 y)y Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Þ ÙØÙÒ º ÁØØ Þ Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØÓ Þ y 1, y 0. Þ ẋ = (1 ) (0) = u Ù Ý Ð Ø Ñ ÓÐ (t) = et c e t c +1, u < 1 (t) = et c e t c 1, u > 1 y (t) = et c e t c 1 Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø (t) = et c e t c +1 t Ý Þ Ö Ö Ð Ð Ø Þ Ó Ý Þ 1 Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ø Ð Þ 0 Ò Ø Ð Ñ Ò Ø ÖØ Ð Ñ Òµº ¾ º È Ä Ú Ø Þ Ð Ô Ò ÞØ Ú Þ Ð Ù Ó Ý Ò Ð ÙÐ ÔÓÔÙ¹ Ð Ð Ø Ò Ý Ð Ø Ò

35 ½º º ËÌ ÁÄÁÌýË µ Þ Ý Ú Ö Ò Ò Þ Ð Ð Ñ ÖØ µ Ð Ø ÓÒ Ø Ò c Ð Ð Þ º ẋ = (1 ) }{{} }{{} c. Þ Ð Ð Ñ ÖØ ÓÐÝØ ØÓØØ Ú Ö Ò Ð Þ Ø Ð Þ Ö Ñ ÐÐ Ø Ð ÐÒ Þ Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØÓ Ø Ú Ý v () = (1 ) c Ú ÒÝ Ý Øº Å Ú Ð v () = ( 2) c, Þ ÖØ 4 ÖÓÑ Ø Ø Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ y 1 c v() 4 A 1 2 B ºµ c < 1 Þ Ú Ò Þ Ö Òµ ÓÖ v ()¹Ò Ø ÔÓÞ Ø Ú Ý Ú Ò Þ Ò 4 c > 0. Ä Ý Ò Þ A B. Î Ý Þ A B Þ Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØÓ º À (0) < A Ú Ý (0) > B, ÓÖ Ñ ÓÐ (t) = B + B A Ke 1 4ct 1, ÓÐ K = 1 + B A (0) B. À 0 < (0) < A. À B < (0). Ì Ø (0) ÖÑ ÐÝ Ò Ø Ñ ÒØ A, ÓÖ ÔÓÔÙРк À (0) > B, ÓÖ lim t (t) = B. À A < (0) < B, ÓÖ (t) = B Î Ý B A (0) A Ke, ÓÐ K =. 1 4ct +1 B (0) ÒØ ÖÓÑ Ö ÑÙØ Ø Ó Ý Þ A Ò Ø Ð B Ô Þ ÑÔ¹ ØÓØ Ù Ò Ø Ðº

36 Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã B (t) A ln 2B A A t B A (t) t y B (t) A ºµ c = 1, ÓÖ A = B = 1. ÓÖ ÖÑ Ö ÓÒ ÐØ Ð Þ ÑÐ ÐØ ¹ 4 2 Ø ØØ Ø Ñ Ð Ý ÒØ Ô Þ Ñ ÒØ ÒØ Ú Ý Þ Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØ Ò Ø Ðº ºµ c > 1, ÓÖ Ò Ò Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓغ ÔÓÔÙÐ Ú Ò Ð Ð 4

37 ½º º ËÌ ÁÄÁÌýË Ðº Þ Ö ÞØ Þ ÑÐ ÐØ Ø º (t) t

38 Â Ì ½º à ÆË Ë Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã

39 ¾º Þ Ø È Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø ¾º½º Ê Þ Ö u u(, t) 0 L Ì ÒØ Þ l Ó Þ Ø Ð Ø Ò ÖÙ ÐÑ Öغ À ÐÝ ÞÞ ÞØ ÖØ Þ ¹Ø Ò ÐÝ [0,l] Þ Þ Ö ÑÓÞ Ø Ù Þ Ø Ò ÐÝÖ Ñ Ö Ð ¹ Òº Ö Þ Ø Ò ÐÝÖ Ñ Ö Ð Ò Þ (,u) Ò ÑÓÞÓ º ÞØ Ó Ý Ö Ý Þ Þ ÔÓÒØ ÓÐ Ú Ò t Ñ ÐÚ Þ u (,t) Ú ÒÝ Ñ º Ö Þ Ö ÑÓÞ Ø Ø Ø Ñ Ø ÖÓÞØÙ Þ u (,t) Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝØ Ñ Ø Ð Ð Ù º Ñ ÒØ Þ Þ Ñ ÓÒØÓÐ Ó Ð Ö ØØ u (,t) Ú ÒÝ Ð Ø 2 u t = u 2 c2 2 2 ¾º½µ

40 ¼ Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø ÓÐ c > 0 Ý ÓÒ Ø Ò º ÒØ ¾º½µ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ö Þ Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ù º ÓÞ Ó Ý Ð Ö ÐÝÞ Ø Ø Ð Ö u (,t)¹ø Ñ Ô Ù Ñ ØÙ ÒÙÒ ÐÐ Ö Ð Ø t = 0 ÔÓÒØ Òº ÒØ ÐØ ØØ Ó Ý Þ Þ ¹Ø Ò ÐÝ [0,l] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð Ø ÐÝ ØØ ÖÑ ÐÝ f () Ú ÒÝ ºµ ÌÓÚ Þ Ñ ØÙ ÒÙÒ Ó Ý t = 0¹ Ò Ö Ý ÔÓÒØ Ø Ñ ÐÝ Ò Ð ÑÓÞ ØÓØØÙ Ð Þ u Ø Ò ÐÝ Ö ÒÝ º Î Ý 2 u = c 2 2 u t 2 2 Ö Ò Ð Ý ÒÐ ØÒ ÓØØ Þ { u(, 0) = f () u Þ Ø ÐØ Ø Ð º t (,0) = g () Ý Ö Ð Ø ÐØ Ø Ð u (0,t) = u (l,t) = 0 t¹ö º ÒØ ÞÒ ÐØÙ u t (,0) РРغ º ÁÆ Á ýðø Ð Ò F Ý Ú ÒÝ H Þ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓ¹ Ñ ÒÝ Ò Ý Ò Ñ Ö µ Ö Þ ÐÑ Þ ÓÖ F H Ð ÒØ Þ F Ñ ÞÓÖ Ø Ø H¹Ö º Î Ý F H Ý ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ Ñ ÐÝÒ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ H Þ F H Ú ÒÝ H ÐÑ ÞÓÒ Ñ Ý Þ Þ F Ú ÒÒÝ Ðº À Ô Ð ÙÐ H Ý Ý Ð Ñò ÐÑ Þ H = {P } ÓÖ Þ F P = F(P)º Ì Ø Ñ ÐÐ ÓÐ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Þ 2 u t = u 2 c2 2 2 ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ Øغ u (, 0) = f (),u t (, 0) = g () u (0,t) = u (l,t) = 0 ¾º½º½º Áº Ñ ÓÐ Ú ÖÒÓÙÐÐ Ø Ð Ñ ÓÐ Ø Ö Ø u (,t) = X () T (t) Ð Òº ÓÖ 2 u = X () T (t) 2 2 u = X () T (t). Þ Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ú Þ ÖÚ Ô Ù Ó Ý X ()T (t) = t 2 C 2 X ()T (t), Ú Ý T (t) T (t) = c2 X () X () = α2.

41 ¾º½º Ê ÀÊ ½ Í Ý Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ð ÓÐ Ð t¹ø Ð Ó ÓÐ Ð ¹Ø Ð Ñ Ð Ó Ý Ù Ý Ò ÞÞ Ð Þ ÐÐ Ò Ú Ð Ý ÒÐ Ñ Ø Þ Ó Ð Ò ¹ Ø ÚÒ ÐÐ ÐØ Ø Ð ÞÒ Ò º Ý Ø Ø Ø Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø ÔØÙÒ º T ½µ (t) = α 2 ; ¾µ c 2 X () = α 2. T(t) X() Î Ý ½ µ T (t) + α 2 T (t) = 0, ¾ µ X () + ( ) α 2 c X () = 0, T (t) = A cos(αt) + B sin(αt), X () = C cos ( α ) + D sin ( α ) Þ C C ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ó º ÁÒÒ Ò ( ( α ) u (,t) = X () T (t) = (A cos (αt) + B sin (αt)) C cos }{{} c T(t) ( α )) + D sin c } {{ } X() ÌÙ Ù Ó Ý u (0,t) = (A cos αt + B sin αt)c 0. ÁÒÒ Ò C = 0, Ñ Ö ÞØ Ù(l,t) 0 = (A cos αt + B sin αt) D sin ( α l), Ý sin ( α c c l) = 0, Ñ Ð }{{} kπ Ð Ð Ø Ø Ó Ý u(,t) = k=1 α k = kcπ, k = 1, 2,... l ( )[ ( ) ( )] kπ kcπ kcπ sin l A k cos t + B k sin t l l Þ {A k } k=1 {B k } k=1 Ý ØØ Ø Ø Þ Ø ÐØ Ø Ð Ð ÔÓÒØÓ ¹ Ò Þ f () g() Ú ÒÝ Ø ÞØ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ Ò Ø ¹ Ú Ð ÐÐ Ø Ø Ù Ð º Å Ú Ð u (, 0) = f () u (, 0) = Σ k=1 A k sin( kπ l ) Ý A k Þ f () Ú ÒÝ [0,l] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ú ØØ Ø ÞØ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ Ò k¹ Ý ØØ Ø º Å Ö ÞØ u t (,t) = ( αk ) Σ ( A k α k sin α k t + B k α k cos α k t) sin k=1 c. À ÐÝ ØØ ØÚ t = 0¹ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý sin(0) = 0; cos(0) = 1 Ô¹ Ù Ó Ý

42 ¾ Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ( ) u t (, 0) = kπ Σ α k B k sin k=1 l = g (). Ì Ø Ñ ÐÐ Ø ÖÓÞÒ g ()függvény Ø ÞØ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ Øº [0,l] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ð Ý Ò Þ ( ) g () = kπ Σ b k sin k=1 l. Σ α k B k sin ( kπ ) = g () g () = Σ b k=1 l k sin ( kπ ) Ý ÒÐ Ø Ð ¹ k=1 l Ó Ý α k B k = b k. Ì Ø k = b k α k = lb k. kcπ ¾ º È Ä Ä Ý Ò Þ u tt = c 2 u ¹ Ò Þ Ö ÔÐ c = 1. ¾¼ Ñ Ó Þ Ø Ú Ò Ö Þ Ø ØØ ÖØ Ñ Þ Ø Ý Ó Ý Ò Þ Ö ÑÙØ Ø ÞÙØ Ò Ð Ò º À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ö ÑÓÞ Ø Ð Ö u (,t) Ú ÒÝØ y y = 0.05 y = ¼º Ñ ½¼Ñ ¾¼Ñ

43 ¾º½º Ê ÀÊ Å ÓÐ Å Ú Ð ÖØ Ñ Ö ÝØÙ Ò Ñ ØÙÒ Ò Þ Ø Øµ Þ ÖØ Ö Þ Ø ¼º Ì Ø g () 0. ÁÒÒ Ò k 1¹Ö B k = 0, Þ Ò g () 0 Ú ÒÝ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ Ñ Ò Ò b k Ý ØØ Ø ¼ Ð Þº Þ {A k } Ý ØØ Ø Þ ÑÓÐ ÓÞ Ñ ÐÐ Ø ÖÓÞÒ Þ { 0, 05, 0 10 f () = ¾º¾µ 1 0, 05, Ø ÞØ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÖ Ø Ø A k = 2 20 f () sin kπd = , 05 sin ( kπ ) d+ 2 l l sin kπ (kπ) 2 2 ÒÝÞ Ö ÞÐ Ø Þ Ñ Ø Ó Ë º ¾ ºÓÐ Ð Ò Ø Ð Ð ØÓ ºµ Ì Ø u (,t) = 40 Σ k=1 k 2 π sin kπ ( ) ( ) kπ kπ 2 2 cos 20 t sin 20 Î Ý ¾º½º¾º 2 u t 2 u(,t) = 40 1 ( π ) π 2( 1 cos 2 20 t 1 ( ) 3π 3 cos 2 20 t 0 ( 3π sin 20 ( π ) sin 20 ) cos ( 5π 20 t ÁÁº Ñ ÓÐ ³ Ð Ñ ÖØ¹Ø Ð ) (1 0, 05) sin kπ 20 d = ( ) 5π sin 20...) (,0) = g () ; u (0,t) = = c 2 2 u Ý ÒÐ ØÖ Þ u (, 0) = f () ; u 2 t u (l,t) = 0 ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ³ Ð Ñ ÖØ Ñ ÓÐ ÞÓÒ Þ ÞÖ Ú Ø Ð Ò Ð ÔÙÐ Ó Ý u 1, u 2 : R R Ø Þ Ö Ö Ò Ð Ø Ø Ø Þ Ð Ú ¹ ÒÝ ÓÖ Þ u (,t) = u 1 ( + ct) + u 2 ( ct) Ñ Ò Ð Ø Ö Þ Ö 2 u = c 2 u Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Øº t 2 2 Í Ý Ò u (,t) = u 1 ( + ct)+u 2 ( ct), ÓÖ u t (,t) = cu 1 ( + ct) cu 2 ( ct). ÌÓÚ 2 u t 2 (,t) = c 2 u 1 ( + ct) + c 2 u 2 ( ct)

44 Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Å Ö ÞØ u = u 1 ( + ct) + u 2 ( ct) ÒØ Ø Ý ÒÐ Ø Ð 2 u 2 = u 1 ( + ct) + u 2 ( ct) 2 u t 2 (,t) = c 2 [u 1 ( + ct) + u 2 ( ct)] = c 2 2 u 2 (,t) ÓÖ Ø Ø ÐØ Ø Ð Ð ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒÙÒ Þ u 1, u 2 Ú ÒÝ Øº Å ÓÐ Þ u (, 0) = f () u t (, 0) = g () Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò Þ u (,t) = u 1 ( + ct) + u 2 ( ct) Ý ÒÐ Ø t = 0¹Ø ÖÚ u (, 0) = u 1 () + u 2 (). À Þ u (,t) = u 1 ( + ct) + u 2 ( ct) Þ Ø t Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð Ù Ñ t = 0¹Ø ÐÝ ØØ Ø Ò ÓÖ Ì Ø Ô Ù Ó Ý Ý u (,0) = cu 1 () cu 2 (). t f () = u (, 0) = u 1 () + u 2 () g () = u t (, 0) = c (u 1 () u 2 ()) { u 1 () + u 2 () = f () u 1 () u 2 () = g() c Ý Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ Ö Ñ ÐÝÒ Ñ ÓÐ Ø Ø ÒÙÐØÙ ½º º Þ Øµº Ð ÐÑ ÞÚ Ø ÒÙÐØ Ñ Þ ÖØ Ó Ý s u 1 (s) = 1f (s) + 1 g (τ)dτ + A 2 2c 0 s u 2 (s) = 1f (s) 1 g (τ) dτ + B 2 2c 0 }

45 ¾º½º Ê ÀÊ Ð Ô Ù Ó Ý A + B = 0 ÐÐ Ð Ý Òº Ý Ø Ø u (,t) = u 1 ( + ct) + u 2 ( ct) = 1 [f ( + ct) + f ( ct)] c +ct ct g (τ)dτ Î Ý ÞÖ Ó Ý Ò Ð Ú Þ Ø Ò Ò Ñ ÞÒ ÐØÙ ÞØ Ö Ð Ø ÐØ Ø ÐØ Ó Ý u (0,t) = u (l,t) = 0, Ø Ø ÒØ Ð Ú Þ Ø Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ö Ø Ò Ñò º ¾ º È Ä Ì ÒØ Ñ ÒØ Þ Ð Þ Ô Ð Ø ÓÐ Ù Ñ ³ Ð Ñ ÖØ Ñ Þ Ö Ú Ðº Ö Þ Ø Ð Ø Þ Ö ÑÙØ Ø º Ð Ò Ú ÖØ Ù Ñ Ö ÑÓÞ Ø Ð Ö u (,t) Ú ÒÝغ y y = 0.05 y = ¼º Ñ ½¼Ñ ¾¼Ñ Å ÓÐ { u (,t) = 1 [f ( + t) + f ( t)], ÓÐ f () = 2 1 0, Ò Ø Ö ÞØ Þ Ñ Ý Ò Ö } ¹ y f() ¹¾ ¹½ ¹ ¹ ½ ¾

46 Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Ì Ø ÞØ Ó Ý 10 Ý Ñ ÐÚ Þ = 2 cm¹ Ò Ñ Ð Þ Ö Ø Ö Ý Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ó Ý u (2, 10) = 1 2 [f (12) f ( 8)] = 1 2 = 1 [1 + 0, 4 0, 6] = 0, } 0.05 {{ 12 } 0, 05 8 }{{} f(12) f( 8) ¾º½º º ÖÒÓÙÐÐ ³ Ð Ñ Öع Ð Ñ Þ Ö Þ ¹ ÓÒÐ Ø ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ð Ñ Þ ÖÒ Ð Ñ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø u (, 0) = f (), u t (, 0) = g (), Ñ Ò Ö Ð Ø ÐØ Ø Ð Ø u (0,t) = u (l,t) 0 Ð Þ¹ Ò ÐØÙ º ³ Ð Ñ Öع Ð Ñ Þ ÖÒ Ð Þ u (,t) = 1 [f ( + ct) + f ( ct)]+ 2 +ct 1 g (τ) dτ Ñ ÓÐ Ø ÔØÙ ÔÙ ÞØ Ò Þ Ø ÐØ Ø Ð Ý Ð Ñ Ú Ø ¹ 2c ct Ð Ú Ðº ÀÓ Ý Ñ ÓÐ Ö Ð Ø ÐØ Ø Ð Ò Ð Ø Ø Ý Ò Þ f g Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÐÐ Ø Ö ÞØ Ò [0,l]¹Ö Ð R¹ Ú Ø Þ Ô Ò ÓØØ Ö ÓÒÓÒ Ð Ø Ø Ú ÒÝ Ñ ÐÝÒ [0,l] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÓÞ Ø Ö¹ ØÓÞ Ö Ø Þ ÓÖ Ö Ø Ö ÞÞ º Þ Ý ÔÓØØ [ l,l]¹ Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ú ÒÝØ 2l Þ Ö ÒØ Ô Ö Ó Ù Ò Ø Ö ÞØ Þ Ñ Ý Ò Ö º y Ð Þ Ö ÓØØ Þ Úº 3l 2l l l 2l 3l 4l Þ Þ ÓÖ Ö Ø Ö Þ ØØ Ú ³ Ð Ñ ÖØ Ñ Þ ÖÖ Ð ÔÓØØ Ñ ÓÐ Ñò Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ö Ø Ò Ñ ÓÖ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ò Ò Þ u (0,t) = u (l,t) 0 Ö Ð Ø ÐØ Ø Ð Þ f,g Ú ÒÝ Þ Þ Þ Ñ Ý Ò Ò ÓØØ º ³ Ð Ñ ÖØ ÓÖÑÙÐ Ý ÓÒÝÓÐÙÐØ ÓÖÑÙÐ Ø Ñ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÙÐÐ ÑÓ Þ ¹Ú Þ Ú Ö Ø Ñ Ò Ø Ø ÖÒ Ð = 0 = lµ¹ò к Î Ð ÞÙÒ Ý ÓÒ Ö Ø ( 0,t 0 ) ÔÓÒØÓØ Ñ ÐÝ Þ Ö Ò t = 1 c ( 0)+t 0 t = 1 c ( 0) + t 0 Ý Ò Ò Þ º

47 ¾º½º Ê ÀÊ t ( 0, t 0 ) (0, t 0 0 c (0, t c 2l c (l, t c l c ) (l, t 0 0 c l c ) t 0 1 c ( 0) + t 0 t + 1 c ( 0) + t 0 (l, t l l l 2l 3l 0 ct 0 0 ct 0 + 2l 4l 0 ct 0 + ct 0 c 3l c ) Þ Þ ÖØ ÓÒØÓ Ñ ÖØ Þ + ct = const 1 Þ ct = const 2 Ð Ú ÒÝ Ý Ò º Ð Þ Ö ÞØ Þ Ö ØÒ Ò ØÙ Ò Ó Ý Ñ Ú Ð Ý ÒÐ f ( 0 + ct 0 )º Þ Ð Ó Ý 0 ct 0 f( ) f( + 2l) f( + 4l) f() 2l l ¼ l 2l 3l 4l f( + 2l) f( 2l) 0 + ct 0 Ì Ø f ( 0 + ct 0 ) = f (4l 0 ct 0 ) Ù Ý Ò Ý f ( 0 ct 0 ) = f ( 0 ct 0 + 2l). 4l 0 ct 0 Þ 0 ct 0 +2l Ö ÙÑ ÒØÙÑÓ Ñ Ö [0,l]¹ Ð Ú ÒÒ ºµ Ì Ø

48 Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã u ( 0,t 0 ) = 1 2 f ( 0 ct 0 + 2l) 1 2 f (4l 0 ct 0 ) + 1 2c + 2l l l ct g (y + 2l) dy + g ( y + 2l) dy + 0 l 3l 2l g ( y)dy + l 0 g (y)dy } {{ } 0 g (y 2l) dy + } {{ } 0 à ÞÒ ÐÚ Ó Ý g (y + 2l) dy = ct [ s = y + 4l, y 3l 0 + ct 0 ds = dy, s l 4l 0 ct 0 Ì Ø g (s)ds 2l+ ct ] 4l 0 ct 0 = l +ct 3l +ct 3l g (s)ds. g ( y + 4l) dy g ( y + 4l) dy = u ( 0,t 0 ) = 1 2 (f ( 0 ct 0 + 2l) f (4l 0 ct 0 )) l 4l 0 ct 0 g (s)ds + g (s)ds 2c 2l+ 0 ct 0 l = 1 2 (f ( 0 ct 0 + 2l) f (4l 0 ct 0 )) + 1 4l 0 ct 0 g (s)ds. 2c 2l+ 0 ct 0 Þ Þ ÖØ ÞÒÓ Ñ ÖØ ( 0 ct 0 + 2l), (4l 0 ct 0 ), (4l 0 ct 0 ) (2l + 0 ct 0 ) [0,l] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð Ú ÒÒ º Æ ÝÓÒ ÓÒØÓ Ó Ý Þ ÓÖÑÙÐ ÖÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö ( 0,t 0 )¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ ÐÝ Ø Ð ÙØÓÐ Ö ÑÙØ Øº ØØ Ð Ò Ó Ý ÒÝ Ú Þ Ú Ö Ð ÙØ ØÙÒ Ý (,t) ÔÓÒØ Ð [0,l] } ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ ÐÓ ÞØ Ù {(,y) : 0 l, 0 y} ÚÓØ + ct = kl Ð Ý Ò Ö º ct = kl

49 ¾º½º Ê ÀÊ t 4 l c 3 l c ¾ ¾ 2 l c ¾ ¾ ¾ ½ ½ ¾ l c ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ l Þ Ð Þ Ð Ø ( 0,t 0 ) ÔÓÒØ Ø ÖÓÞÓØØ (2, 3) Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò ÚÓÐØ Ñ ÖØ Þ ct = kl Ý Ò Ö ÒÝ Ò ØØ Þ +ct = kl Ý Ò Ö ¹ ÒÝ Ò ÖÓÑ Ø Ö Þ Ú Òº Ì Ø Þ Ò (2, 3) Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ð Ú Ö¹ Ñ ÐÝ Ñ (,t)¹ö Þ u (,t) Þ 1 (f ( 2 0 ct 0 + 2l) f (4l 0 ct 0 )) + [ 4l 0 ct 0 ] 1 g (s)ds ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ú Ð Þ ÑÓÐ Ø Ñ Ø ÖØÓÑ ÒÝÓ ¹ 2c 2l+ 0 ct 0 Ò Þ ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ð Ò Þ Ð Þº ÞÞ Ð ÞØ Þ u tt = c 2 u, u (, 0) = f (), u t (, 0) = g () Þ Ø u (0,t) = u (l,t) 0 Ö Ð Ø ÐØ Ø Ðò Ý ÒÐ Ø Ú Þ Ð Ø Øº ¾º½º º Î Ø Ð Ò Ó Þ Ö Ø ÅÓ Ø ÒØ Ð Þ u (0,t) = u (l,t) 0 Ö Ð Ø ÐØ Ø ÐØ Ð Ý Ù º Å Ö Þ Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ö Ø Ú Ý Ý Ð Ó Ø Ù Ó Ý ÙÐÐ Ñ Ý ÒÐ Ø º u tt = c 2 u, u (, 0) = f (), u t (, 0) = g (), R.

50 ¼ Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã Å ÒØ ÓÖ Ò ³ Ð Ñ ÖØ Ñ Þ ÖÒ Ð Ð ØØÙ ÒÒ Ñ ÓÐ u (,t) = 1 2 (f ( + ct) + f ( ct)) + 1 2c ¾ º È Ä À f () 0 () = cos, ÓÖ +ct ct g (s)ds u (,t) = 1 2c (sin ( + ct) sin ( ct)) = 1 cos sin ct. c À ÞÒ ÐØÙ sin (α + β) sin (α β) = 2 cosαsin β Þ Øºµ ¾ º È Ä Ì ÒØ Ò Ý Ú Ø Ð Ò Ó Þ ÖØ Ñ ÐÝ Ø ÖÓÑ Ù ÙÒ ¹ Ð Ð Ó ÙÒ ( a, 0) ; (a, 0) ; (0,b) ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ð Ò º Ö Ù Ð Ö ÑÓÞ Ø Ð Ö u (,t) Ú ÒÝغ u B t = 0 A A { b b ha a Å ÓÐ ÓÖ f () = a 0 ha > a ÖØ Ñ Ö ÝØÙ º Ö ØØ u (,t) Ú ÒÝ g () 0, Þ Ò u (,t) = 1 [f ( + ct) + f ( ct)], 2 Ñ ÐÝ Ø ¾º½º Ö Þ ÑÐ ÐØ ØÒ ¼º È Ä Ã Ð Ô Ø

51 ¾º½º Ê ÀÊ ½ u B t = 0 b 2 b 2 b 2 3a 2a a a 2a 3a u t = a 2c t = a c t = 2a c a a Þ Ð Ô ÒÝ Ð Ö Þ Ø Ò ÐÝ Ò Þ ÔÞ Ð Ø Ò Ö Ú ÙÒ Ý Ø Ð ¹ Ô Ðº Þ Ø Þ ÔÔÓÒØ Þ = 0º Ð Ô Ø t = 0¹ Ò Þ < a ÔÓÒØÓ Ò g () = 1 Ø Ø ÔÓÒØÒ Ò Ñ ¹ غ Ö Ù Ð Ö Ð Ø Ð Ö u (,t) Ú ÒÝØ Å ÓÐ { 1, ha < a f () 0; g () = 0, ha a. u (,t) = 1 2c +ct ct g (s)ds = 1 { Ó Þ Þ ( ct, + ct) ( a,a) ¹Ò }. 2c

52 ¾ Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ÓÖ ( u, a ) = 1 { ( Ó Þ Þ a 2c 2c 2, + a ) } ( a,a) ¹ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ. 2 Þ Ð Ò Þ < a 2 ¹Ö a 2 < < 3a 2 ¹Ö > 3a 2 º ÙÐÐ Ñ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ò u (,t) = 1 2 (f ( + ct) + f ( ct)) + 1 2c +ct ct g (s)ds Ð Ð Ð Ø Þ Ó Ý Þ ( 0, 0) Ð Þ Ø ÐØ Ø Ð Ø c Ð Ú Ý Ð Ð c Ð Ø Ö º ¾º¾º ¾º¾º½º À Ú Þ Ø Ý ÒÐ Ø À Ú Þ Ø Ú Ó Þ Ö Ò Ã ÔÞ Ð Ò Ð Ý ÖÙ Ø Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ø Ú Ø 0 0 C¹Ó Ú ÞÞ Ð Ø ÐØ Ø ÐÑ Ø ÖØ ÐÝÓ Ø ØØ º Ö Ó Þ lº Ý ÔÞ Ð Ó Ý Ö Þ Ø Ò ÐÝ Ò Ú Ò Ð Ú ÔÓÒØ Þ ÖÙ ÔÓÒغ Ö Þ Ø Ñ Ö Ð Ø Ø Þ f () Ú ÒÝ Ñ º Ù Ñ Þ u (,t) Ú ÒÝØ Ñ ÐÝ Ö Ñ Ö Ð Ø Ø Ö Ð Þ ÔÓÒØ Ò t Ñ ÐÚ º Þ Ø Ñ Ö Ð Ø Ø t = 0¹ Ò ¾º¾º½º Ö ÑÙØ Ø º Å Ú Ð Ñ Ð ÐÝÖ Ð Ö ÑÐ Ð Þ ÖØ Þ Ö ÐØ Ð Þ ÑÐ ÐØ Ø ØØ ÐÐ ÔÓØ Þ Ñ Ð Ú Ð Ú ÐØÓÞ º Ý ÓØØ ÔÓÒØ Ò Ö Ò Ò Ñ ¹ Ò Ð ÓÒÝ Ñ Ö Ð Ø Þ Ð Ö Ð Ú Ðº ÀÓ Ý Ý ÓØØ ÔÓÒØ Ò t ÑÙÐÚ Ñ ÖØ u (,t) Ñ Ö Ð Ø Ø Ñ Ø ÖÓÞ Ù Ð ÐÐ ÞÒ ÐÒ ÞØ ÓÙÖ ÖØ Ð Þ ÖÑ Þ ÞÖ Ú Ø ÐØ Ó Ý Ø Ö Ø Þ u t = ku, (0 < < l; 0 < t) Ñ Ó Ö Ò ò Ô Ö Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ð º ÒÒ Ð Ú Þ Ø Ø Ñ ¹ Ø Ð Ð Ø Ù Ë ÑÓÒÝ Ã ÖÓÐÝ Þ ÙÐØ ÖØ ÖØ Ò Ø Ñò ÒÝÚ Òºµ Þ Ø ÐØ Ø Ð Ö Ñ Ö Ð Ø t = 0¹ Ò Ú Ý u (, 0) = f (). Ö Ð Ø ÐØ Ø Ð Ô Ð Ó Ý Ö Ø Ú ÓÐÝ Ò Ò Ý 0 0 C¹Ó Ú Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÝÓ Ò Ú Ò Ñ ÐÝ Ø Ö Ð Ö ÑÐ Ò Ñ ØÙ

53 ¾º¾º À Î Ì Ë ÆÄ Ì Ò ÝÓÒ Ò Ý Ø ÖØ ÐÝÓ Ñ Ö 0 C¹Ó Ú Þ 0 C¹Ó Ú Þ Ö Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ f() ¼ l ÐÑ Ð Ø Ò º Þ ÖØ ÐÐ Ó Ý Ø ÖØ ÐÝÓ Ò ÝÓÒ Ò ÝÓ Ð Ý Ò ºµ Ì Ø Ö Ð Ø ÐØ Ø Ð u (0,t) = u (l,t) 0. Î Ý u t = ku, u (0,t) = u (l,t) 0 u (, 0) = f () 0 < < l, 0 < t ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÙÖ Ö¹ ÓÖÓ ÞÒ Ð Ø Ú Ð ÓÐ Ù Ñ º Ú Þ Ø

54 Â Ì ¾º È Ê ÁýÄÁË Á Ê Æ ÁýÄ ÆÄ Ì Ã ÐÑ Ð Ø Ø ÓÙÖ Ö Ð ÓØØ Ñ Ö Ð ÐÒ Ú Þ ØØ ÓÖÓ Ø ÔÓÒØÓ Ò Þ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ Ð Ð Ú Þ ØØ ½ ¾¾¹ Òºµ Å ÓÐ Þ Ñ Ö ØÐ Ò u(,t) Ú ÒÝØ Ý Ñ ÒØ Ö Þ Ö Ø Ò u (,t) = X ()T (t) Ð Ò Ö º Ð Ú Þ Ø Ú Ø Ö Þ Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ð Ú Þ Ø Ò Ð Ð ÐÑ ÞÓØØ Ð Ô Øº Î Ý ÁÒÒ Ò ÌÓÚ T kt = X X = λ = ÓÒ Ø Ò. T = λkt T (t) = Ae λkt. X () = λx (), 0 < < l ¹Ö X (0) = X (l) = 0. Þ ÔÓÒØÓ Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÒØ Ñ Ö Þ Ö Ø Ò ÓÖ ÙÐØ Ð º Ñ ÒØ ÓØØ Ð ØØÙ ÒÒ Ñ ÓÐ Ì Ø ÐØ Ú Ó Ý X () = sin nπ. l u (,t) = nπ Σ A n e ( l ) 2 kt sin nπ n=1 l f () = Σ A n sin nπ n=1 l Þ f () Ú ÒÝ Ø ÞØ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ º Þ u t = ku, (0 < < l, 0 < t) u (0,t) = u (l,t) 0 u (, 0) = f () ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ø Ý ÓÐ Ù Ñ Ó Ý Þ f () Ú ÒÝØ Ø ÞØ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ Ø [0,l]¹ Òº ÞØ Ñ Ö Ý ÓÖÓÐØÙ Ö Þ Ö Ø Òºµ ÁÒÒ Ò ÒÝ Ö Þ {A n } n=1 Ý ØØ Ø Ø Ñ Þ Ø Ú Ð Ð Ö Ù Þ u (,t) ÔÐ Ø Ø Þ {A n }¹Ò ÖØ Ò ÐÝ ØØ Ø Ú Ð Þ u (,t) = Σ n=1 A n e ( nπ l ) 2 kt sin nπ l

55 ¾º¾º À Î Ì Ë ÆÄ Ì Þ º λ n = ( ) nπ 2 Þ ÑÓ Ø Ø ÖØ Ò Þ X l n () = sin ( ) nπ l Ú ¹ ÒÝ Ø Ô Ø Ú ÒÝ Ò Ú Ù º Þ Ó ÖÖ Þ Ó Ý A Ý Þ R R¹ Ô Þ Ø Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ò ÖØ Ð¹ Ñ Þ ØØ Òº ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÖ ÓÖ ÞÞ Ð Ð Ð Ð Ag = g, AX n = λ n X n. Î Ý ÞÖ Ó Ý A¹Ò Ú Ø Ð Ò Ó Ø ÖØ Ú Ò π 2 l 2 ; 4π2 l 2 ; 9π2 l 2 ;... Ð Ø Ð ØÒ Ó Ý A¹Ò Þ Ø ÖØ º ½º È Ä ÇÐ Ù Ñ ØÓØ l = 10 f () = u t = ku, (0 < < l, 0 < t) u (t, 0) = u (l,t) 0 u (, 0) = f () { 20 ha ha 5 10 й к¾º¾º½º Ö ºµ Ä Ý Ò k = 1. Î Ý t = 0¹ Ò Ö Þ Ô Ò Ñ Ö Ð Ø C¹Ó Ú Ð Ð Ò Ö Ò Ò 0¹ ÓÞº Å ÓÐ Ì ÞØ Þ ÒÙ ÞÓ ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ ÐÐ Ø Ò Þ f () Ú ÒÝغ Î Ý Ñ ÐÐ Ø Ð ÐÒ Þ {A n } n=1 ÖØ Ø Ñ ÐÝ Ö f () = Σ A n sin nπ n=1 l l (0 l). ÓÖ Ø ÒÙÐÑ ÒÝ Ò Ð ØÙ Ù Ó Ý A n = 2 f () sin nπ d. l l A n = sin nπ 10 d sin(nπ 2 = 200 ) + nπ cos ( nπ 2 n 2 π 2 5 ) 5 (200 20) sin nπ 10 d = ( 2 sin(nπ) + nπ cos nπ ) sin( nπ ) = n 2 π 2 0 = 800 n 2 π 2 sin(nπ 2 ). ¾º µ