Magyar utca. Muzeum krt. Realtanoda u Astoria. Kossuth Lajos u

Átírás

1 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ ¹¼ ÁÁº Ð Ú Ë ÑÓÒÓÚ Ø Å Ð» Ý Ö ÖÚ Ò ¾¼¼ ÔÖ Ð Ú Þ ÓÞ Ð ØÓ Ø Ö Þ Ò Þ Ø ØØ Ñ Ò Ð Ñ ÓÐ ØÐ Ø Ð Ð Ø Ó Ý ÓÒÞÙÐØ Ñ Ò ÒÝ ÔÖ ÞÓÐ Ø ØÚ Þ Ø ØÓÚ Ø Ø Ô Ð º Ë Ø ÓÒÞÙÐØ Ò Þ Ö ÐØ Ó Ý Ð ÐØ Ð ØÓ Ò ÚÓÐØ ÓÐÝ Ò Ð Ö ¹ Ó Ñ ÐÝ Þ Ú Ö Ò ÞÓÒÝÙÐØ º À ÖÓÑ ÐÝ Ø ØØ Ð ÓÖÓÐÓ Ä Ò Þ ÓÖÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø ÐÒ Ð ½¾º½º Рص Ð Ñ Ö Ø Ó Ý a n 0 Ý Ò Ñ Þ Ø Ø Ðº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ý Ò Ñ Þºµ º½º Ð Ø Ò Þ Ó Ý f¹ò Ò Ò Ð Ô Ö Ù ÞØ Ð ÒØ ØØ Ó Ý Ú Ò Ô Ö Ù Ò Ò Ð º Ø ØØ Ñ Ó Ý Ø Ñ ¹ ÝÞ Ø µ P 3 ÜØÖ Ñ Ð Þ Ñ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð Ø Ò ÐÝØ Ð Ò Ðµ P 3 Ðò Ö ÓØ Ð Ð Ò Ñ Ò P 4 ¹ Ý Ð Ð Ð Ñ ÞØ ÔÓÒØ Ö Óغ ¾ º Ð Ø Ò Ø Ø Ðò Ö Ö Ð Ú Ò Þ ÐÝ Ò Þ P 4 Ð ÒÒ ÑÓ Ø Ñ Ö ÖÖ Ø Ú ØÓØØ Ñº ÐÝ Þ Ú ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ex(n, P 4 ) n. ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ý Ö Ò Ð µ Á ÔÓÒØ Ô ÒØ Ò ÒØ ½ º½ ¹½ º À ÐÝ ÄÌ ÌÌÃ Ð Ø Ñ ¼¹¾¾¼ Ñ Ð Ñ Ñ Ñ Ö ÒÝ º Ùº Ú Þ Ø ¾º Ð Ú Þ Þ ØØ Ð ÖØ Ð ÓÖ Ò ÞÓ Ò Þ ÐÒ ÑÓ Ø Þ Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑÓغ Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ÐÓÞ Þ Ó Ý ÐÐ Ý Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ÓÐ

2 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ú ÐÓ ØÓØØ Þ Ø Ø Ý Ò Ý Þ Ñ Ø Ø Ö Ý ÐÙÒ ÓÐ Ò Þ» ÓÒØÓ Ð ØÓ Ø Ø Ö Ý ÐÙÒ ÓÐ Ú Ð Ò Ð Ø ÖÖ Þ Ñ Ø Ò Ó Ý ÐÐ Ø Þ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Þ Ð Þ Ú Ò Ð ÓÞÒ Þ Ô Ø Ø Ð Ñ ÖØ Ö º ÓÖÑ ØÙÑ Å Þ Ð Ò Ú Ð Ñ ÐÑ Ð Ø Ö Øº Å Þ Ð Ò Ú Ð ÒÝ Ø ÐÐ Ø ÐØ Ð Ñ ÓÐ ÓØØ Ú Ý Ö Ò Ò ÞÒ Ø ÖØÓØØ Ð ØÓ Ð Ò Ñ Ø Ð Ö ÞÐ Ø Ð Ò Ñ ÒÒÝ Ö Ö ÞÐ Ø Ò Ó Ý Þ Ö Ð ÐÐ Ø Ö ÞÐ Ø Ø Ø ÓÒ ÓÐ º Ð Ó Ð ØÓ Ø Ð Ø ÓÖÓ Ø Ð Ø ÓÖÓ ÓÖ Ð ÐÑ ÞÙÒ Ð Ø ÓÖÓ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÓÒØÓ Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÓÐ Ø Ð Ø ÓÖÓ Ö ÓÒØ Ù º ÁÐÝ Ò ÓÖ Ð Þ Ö Ò Ú Ð Ø Ø Ð Ñ Þ Ý Ð ØÓ º Î Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò È ÐÝ Ø ÖØ Ò Ø ØÙ Ð Þ Ò Ø»Ú Þ Ð Î Þ ÔÓÒØ Ñ Ù ¾ Ù Ö ÓÖ Ó Ý Þ Ò Ò Ø Þ¹ Þ Òµº ÔÓÒØÓ ÐÝ Ø Ø ÒÙÐÑ ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ú Þ ÐÞ ÙØ Ò ÖÓÑ Ñ Ú Ð Þ ÒòÐ ÞÓ ÓØØ ¼¹¾¾¼¹ Ø Ö Ñ Òº ÁØØ Ú ØÓØØ Ñ Ö ÓØØ Ð Ø¹ ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒ ÞÞ Ð Ó Ý ØÓÚ Ò ØÐ Ø Ø Þ Ø Ð Ð ØØ Ñ Ðº ÃÓÒÞÙÐØ Ñ Ù ¾ ÅÌ Å Ø Ñ Ø ÃÙØ Ø ÁÒØ Þ Ø Ù Ê ÐØ ÒÓ Ù ½ ¹½ Áº Ñ Ð Øº ØÓÖ Ø Ð Úº Ö Ò Ø Ö Ø Ð Ô Ö Ý ÐÓ ÃÓ ÙØ Ä Ó ÙØ Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ ÙØ Ã ÐÚ Ò Ø Ö Ð º

3 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º Muzeum krt Magyar utca Realtanoda u Astoria Kossuth Lajos u Ð Ò Ð ÐÐ Ò Ú ÐØÓÞ Ò Ú Òº Ê Ò Þ Ö ÒØ Ø ÒØ Ý Þ Ö Ú Ø Ñº Þ ÓÐ Ó Ø Þ Ð Ö Ó ÓÑ ÖÒ Ñ ÒÒ Ò Ú Ò ÓÖÓÐÒ Ð¹ Ø Ýò Ø Ñ ÒÝ Ñ Ð Ð Ð Þ Ø º Ñ ÓÖ ÄÓÚ Þ Ä ÞÐ Ñ ÖØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ø Ýò Ø Ñ ÒÝ Ø Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ñ ÓÒÐ Ð Ô ÐÚ Ø Ú Ø Ñ ÒØ Ñ Þ Ñ Ò Ö Ù¹ ÑÙÒ Ó ØòÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ý Ð Ô ÒÝÚ Ú Ú ÐØÓÞÓØغ Á Ò Ð Ó ÙÒ Ð ØÓ Ø ÓÐ Ó ØÒ Ó Ð ÓÖ Ò Ö ÓÐØ Ò Ñ Ö Ø ÖØÓØØ Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑÓØ Ð Ð º Å Ú Ð Ø Þ Ö Ð Þ Ð Ð Ò ÞØ Ö ÞØ Ý Ö ÖÚ Ò Ó Ø ÖØ Ò ÓÐÝ Ò ÓÖ Ñ ÓÖ Ò Ñ Ú ÝÓ ØØ ÓÒº ÓÑ Ò ØÓÖ Ö ÒØ Ö Ð Ò Ö Ñ ÄÓÚ Þ ÒÝÚ Ø Ñ Ú Ò¹ Ò Ý ÒØ Ñ Ð Ò Ö Ò Þ Ø»Ð Ø ÐØ Ø Þ Ð ÑÖ Ð ØØÔ»»ÛÛÛºØ Ò ÓÒÝÚØ Öº Ù»Ñ ÒºÔ Ô Ó ØÁ Þ Ø Ó Ó Ó Ð Ò Ñ ÚÓÐÒ ÐÝ Ñ ÓÐÒÓѺ Æ ÒÝ Ð ¹ Ø Ô Ö Þ Ñ ÒØ Þ Ò Ð Ú Þ Ö Ô Ð Þ Ð Òº Ý Ö ÖÚ Ò Ú Ø Þ Ð ØÓ Ø Ø Ö Ý ÐØ ½º Å Ò Ò ¹ Ò Ú Ò Ð Ð Þ Ñ Ô ÖÓ Ú Ð ØÐ Ò Ú ÐÐ ØÚ Ð ÓÖ ØÑÙ µ ¾º À ÖÓÑ Þ Ñ ÒØ Ô ÖÓ Ø Ø n 2 /16 Ð Ð Ý Ú Ðº ÄÓÚ Þ ÒÝÚ ½¼º Þ Ø Ð ½ ¾ ¼ ½ ¾ µ

4 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½º Ñ Å ÓÖ Ì ÝÐÓÖ ÓÖÓ Ò Ö ØÓÖ Ú ÒÝ Ñ ÓÖ ÞÒ Ð Ù an Ð Ò Ö ØÓÖ Ú¹Ø Ì ÝÐÓÖ ÓÖÓ ÓÒÚÓÐ Ö ÙÖÞ Ö Ö Ð Ø ÓÖÓ Ô Þ Ñ ÐÑ Ð Ø Ö Ò Ðº ÀÓ Ý Ò Ò Þ ÅÓ Ù Ú n s ¾º Ð ØÓ ½º½º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò Ú¹Ø Ñ ÐÝ Ö Ò Ð Ø ¼ ½ ¹ Ò Ö Ú ÐØ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ¼¹ Òº ½ ½º¾º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò Ú¹Ø Ñ ÐÝ Ò ¼ Þ Ð ÖØ ÐÝ Ö Ú ÐØ ¼ ÖÑ ÐÝ Ò ÖÒÝ Þ Ø Ò Ð Ð Ø Ú Ðغ Ç ¼» ¾ ½º º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò Ö Ò Ð Ø f¹ Ø ¼ ½ ¹ Ò Ñ ÐÝ Ö f (0) > 0 f Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒ 0 Ñ ÐÝ ÖÒÝ Þ Ø Ò Ñº Ç ½» ½º º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò Ú ÒÝØ Ñ ÐÝ ¼ ½ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ½ Ñ ÐÝ Ö Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ò Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ú¹ º = Î Þ ½ Ä Ý Ò f Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ò ¼ (p/q)¹ Ò 1/qº Ð Ö Ð ÔØ Ø Ð Þ Ö Þ Ñ Ý Ø Ø Ð Ø Ñ Ö Ñ Ú ÐÒ Ó Ò Ñ ÖØ Ñ Ò ÝÓÒ Ð ÞØ ØÒ Ö Øº Ò ½ Þ Ú ÒÝ µº Ý f(z) Ú ÒÝØ Þ Ú ÒÝÒ Ò Ú Þ Ò Ñ Ò Ò a C ÓÑÔÐ Ü ÔÓÒØ Ò ÓÑÔÐ Ü Ö Ò Ð Ø Ð Ø Þ lim z a f(z) f(a). z a

5 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ñ Ò Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Þ Ú Òݺ = Î Þ ¾ Å ÝÞ ½º Þ Ð Ø Ò Ñ ÒÝ Ð ÑÑ Ð Ò Ð ÔØ٠غ À Ö Ó Ý ØÙ Ù ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý ÔÓÐ ÒÓÑÓ Þ Þ Þ Ñ Ý Ò Ò Ö Ò Ð Ø Þ ÞÓÒÝ Ø Ñ Ò Ñ ÞØÓ Ó Ý Ú ÐØÓÞ ØÐ ÒÙÐ ØÑ Ý Þ Þ ÓÑÔÐ Ü Ö º Þ Ý Ð Ø Ú Ø Þ Ð ØÓ Ñ ÓÐ º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ f(z) = cz+d ÓÖ ØÚ Ò Ý Ø ÐØÓÐ º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý f(z) = cz + d Úº Þ Þ ÓÒ Ö Ò Ð Ø º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý z k Þ Þ ÓÒ Ö Ò Ð Ø º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý f g Þ Þ ÓÒ Ö Ò Ð Ø ÓÖ Þ Þ ÞÓÖÞ ØÙ Þ Þ ÓÒ Ö Ò Ð Ø º Å ÐÝÞ Ø f/g¹ú Ð Å ÐØ Ð Ú Ò Þ Ð Ö Ý ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ Ò ÑÙѹ ÐÚ Ø Ú Ð ØÙ Ñ º ÅÓ Ø Ý ØÓÔÓÐ ÞÓÒÝ Ø Ñ Ý Ò Ð ÞÓÒ Ò Þ ØÓÔÓÐ ÞÓÒÝ Ø Ý Þ Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÞÓÒÝ Ø Ð Ñ Ø Ø Ð Ð Òº Ð Ñ Ò Ø Ò Ú ÞÓÐ Ù Þ Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Þ ÖØ ÊÓÙ Ø Ø Ð Ò ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ Ú Þ Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ Ø Ó Ý Ð Ñ Ú Ø Ý º Ñ ÓÖ Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ Ö Ð Þ Ð Ò ØØ Ñ Ò ÞÓÖ Ø ÓÞ ØÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ö ÓÑÔÐ Ü ÓÒ ÐÐ ØÚ ÐØ Ð ÒÓ Ò Þ Ú ÒÝ Ö º º º Ò ¾º ½º½¼º Ð Ø n = 1¹Ö f(ζ) dζ := lim f(ζ j )(ζ j ζ j 1 ). Γ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý z n d z = 0 n 1¹Ö º Å ÐÝÞ Ø ½¼ Ò º Ä Ý Ò X Ý ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ C¹ Ò Þ Þ ÓÑÔÐ Ü ÓÒº  РРN(f, X) Þ f Ú ÒÝ ¼¹ ÐÝ Ò Þ Ñ Ø Þ X¹ Òº ½ Þ Ó Ý Ý Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð Ø Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ Ñ Ø Þ Ð Ú Ò Ý Þ¹ Öò Ò ÒØ Ö Ð Ø Ò ÑÓÒ ÙÒ º Þ ÖØ ÑÓÒ Ù Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð Ø Ò Ð Ó Ý Ñ ¹ Ð ÞØ ò Î Ð Ú ÒÝØ Ò Ò Ø ÒÙÐ Ò Ä Ù ÒØ Ö Ð Ø Ø Ðº Þ ÙØ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó Ð Ó Ò ÞÒ Ð Ø º

6 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º Ò º Æ Ú ÞÞ Ò Ý ÒÝ ÐØ X ÐÑ ÞÓÒ Ñ ÓØØ f : X C¹Ø ÓØØ Ö ÙÐ Ö Ò ÞÓÒÝ Ø Ú ÞÐ Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý N(f, D) = 1 f (ζ) 2πi f(ζ) dζ Γ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý N(f + λg, D) ÓÐÝØÓÒÓ λ [0, 1]º ¾º Ð Ø ÓÖ Ð Ö Ð ÔØ Ø Ð»ÊÓÙ Ø Ø Ð µ ÊÓÙ Ø Ø Ð À ÓØØ Ý Γ ÂÓÖ Ò Ö ÐØ Ð Ø ÖÓÐØ Ø ÖØÓÑ ÒÝ D Ø ÒÒ Ð Þ Ö Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ð Ð Ö ÙÐ Ö Ú ÒÝ f g ÓÖ Γ¹Ò f(z) > g(z) Ñ Ò Ò Øص ÓÖ N(f, D) = N(f + g, D). ¾º½º Ð Ø Å ÖØ ÐÐ ½½ ¾º¾º Ð Ø Å Ö ÞÓÒÝ Ø Ù Ð Ð Þ Ð Ö Ð ÔØ Ø Ð Øº ½¾ ¾º º Ð Ø Ì Ð Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ò µ ÓØØ Γ ÂÓÖ Ò Ö Ý P ÔÓÒØ Ð Òº ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý À ρ(γ, P)¹Ò Ð ØÑ Ö ò Ö Þ Ú Ö ÓÒØ Ù Γ¹Ø a i ÔÓÒØÓ Ð ÓÖ i a ipa i+1 ØÓÚ ÒÓÑ Ø Ó Ò Ð Ñ Ö Ò Ñ Ú ÐØÓÞ º ÞØ Þ Þ Ø Ò Ú ÞÞ Ø Ð Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ò º ½ ¾º º Ð Ø Ì Ð Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ý º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý z n Ø Ð Þ Ð ÓÖ ÙÐ 0¹Ö 2πnº ¾º º Ð Ø Ø Ð Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ú Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý P(z) z = R ÖÚÓÒ ÐÓÒ ¼¹Ø k¹ ÞÓÖ Ö Ð Ñ Q(z) z = R ÖÚÓÒ ÐÓÒ l¹ Þ Ö ÓÖ P(z)Q(z) z = R ÖÚÓÒ ÐÓÒ ¼¹Ø k + l¹ Þ Ö Ö Ð Ñ º ½ ¾º º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ù ÊÓÙ Ø Ø Ð Ø Ð Ð ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ö µ Ø Ð Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ú Ðº ½ ½

7 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º Å ÓÐÝÓÒ Ö Ð º º º ¾º º Ð Ø Å Ú Ð Þ Òò ÒÒ Ó Ý 2n¹ Ð Ô Ò Ö Ò Ð Þ Ö Ú Þ ¼¹ ½ º Ð Ø ÓÖ Ï Ö ØÖ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø Ðµ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý x ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø ε ÔÓÒØÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ð ¹½ ½ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº Ð Ô ØÐ Ø y 2 = x 2 ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÓÐ Ø Ö Ù Þ Ð Ø Ò Þ Ð Ø Ø Ö ÙÖÞ Ö Ú Þ Ø Ú Þ ÓÐ Ö ÙÖÞ Ò ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ð ÞÒ Þ Ð Ø º y = 1 z 1 2z + z 2 = x 2 z = 1 2 (z2 + (1 x 2 )). z(x) = 1 x. ËÞÙ Þ Ú ÔÔÖÓÜ z 0 (x) 1. ĺ ËÞ ÐÚ Ô ÓÐ ËÞ ÐÚ ÞØ Ð Ö Ó Ý Þ ÓØØ Ø Ø ÐÒ Ú Ò Ø Ñ ÞÓÒÝ Ø º º º µ º½º Ð Ø Æ ÛØÓÒ ÔÔÖÓÜ Ñ Ý ÚÓÒ Ö ½ º¾º Ð Ø Ã Ý ÚÓÒ ½ º º Ð Ø Å ØÖ Ü ÒÚ ÖØ Ð Þ Ð Ø ÒÚ ÖØ Ð Ð Ñ Ø Ö Ø Ú Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ Ú Ðº ¾¼ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ x Ú ÒÝØ ØÙ Ù ÔÔÖÓÜ Ñ ÐÒ [ 1, 1] Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖ Ñ Ò Ò Ø Ö ØØÚÓÒ Ð¹ Ú ÒÝØ ØÙ ÙÒ Ô¹ ÔÖÓÜ Ñ ÐÒ º ¾ ¾½ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ñ Ò Ò Þ ÞÓÒ ÒØ Ð Ò Ö Ú ÒÝØ ØÙ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ ÐÒ ÓÖ Ñ Ò Ò [a, b]¹ò ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝØ ØÙ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ ÐÒ º ¾¾ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÐÝ sin x¹ Ø ε = 1 ÔÓÒØÓ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð (, )¹Òº ¾ ¾ Ø Ö ØØÚÓÒ Ð¹ Ú ÒÝØ Ú Ð Ò ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÞÓÒ ÒØ Ð Ò Ö Ú ÒÝÒ Ð¹ Ð Ò Ò Ú ÞÒ Ò ÓÐÝ Ò [a, b]¹ò ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ [a, b] Ú Ó ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ ÓÒØ Ø Ý Ó Ý Ú ÒÝ Ñ Ò Ý Ò Ð Ò Ö º

8 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º Þ Ð Ø ÓÖ Ñ Þ ØÐ Ò ÞØ Ó Ý f(x) = x ÔÓÐ ÒÓÑÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø Ñ Ò Ñ ÓÒØÓØØÙ Ð Ö Þ Ð ØÓ Ö Þ Ð Ô ØÐ Ø Ø Ó ÐÑ ÞØÙ Ñ Ò ÝÓÒ Ú ÞÐ ØÓ Òº Þ Ð Ð Ø ÓÖ ÓÞ Þ Ò Ð Þ Ý Ø Ø ÐÖ Ì Ø Ð ½º À D C Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò w = f(z) ÓÑÔÐ Ü Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò z 0 D ÔÓÒØ Ö Ð f(z) ØÚ ÒÝ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò K ÖÐ Ñ Þ Ò Ñ ÐÝ Ø Ð Ò D¹ Ò Ú Òº º Ð Ø ÓÖ µ ÁÒÒ Ò Ø ÒÝ Ö ÓÖ ÒÝ Ø Ð Ð Ø º ýðø Ð Ò Ó Ð Ò Þ Ð ØÓØ Ø ØØ Ñ Ð Ø Þ Ð Ú Ð ØÐ Ò Þ Öò ÓÖÖ Ò ¹ Òº Þ Þ Ð Ò ÒÝ Ø ½¼¹½ ¹ Ø Ñ Ð ÐØ Ñ Ñ ÐØ Ý Ð ÑÖ Ñ Ö Ò Ý Þ ÑÓÞÓØØ ÒÝ ÐÐ Ð Ñ ÒØ ØØ Þ ÓÐ Ð Þ Ñ Ò Ö ÙÑ Ú Ð ÞØ Ð ØØ ÐÐ Ñ Ö ÐÓÐÚ ÓØØ Ö Þ Ú ÐØÓÞ ØÒ ÐØ Ð Ò Ú ÐÒ º Þ Ð Ò Ø Ð Ð Ø Ð ØÓ Ð Ó ÙÒ Ú Ð ÞØ Ò Ò ÒÝ Ø ÞÓ ¹ Ö Ð Ó ÙÒ Þ Ð ØÒ ÑÓ Ø Ô ÒØ Òº Ã Þ ÖÚ Ø Ð ØÓØ Ø Þ Ú Ð Ò Ñ Ò Ð ØÓ Ý Ö Þ Ö Ö Ð ÓÖº Þ Ð Ó Ø Ø ÒÝ Ò Ò Ø Ð ÞÓÐÚ Ôк Ð Ö Ó Ñ Ý Ö Þ Ø Ò Ò Ñ Ò Ö Ò Ø Ú º Ë Ø ÐØ Ø Ò Ð ØÓ Ð ØÓ Ö ÐØ Ò Ñ Þ ÖÚ Ò Ñ Ý ÐÑ ØÐ Ò Ñ Ñ ØØ Ò Ò ÝÓÒ Ó Ñ Ú ÐØÓÞÒ Þ ÒÝ Ó Ý ÞÓÒÝÓ Þ ØÐ Ò Ð Ø ÓÖÓ Ø Ñ Ó ÙÒ ÓÐÝØ ØÒ Ñ ¹ ÞÒ Ð ØÓ ÓÞ ÓØØ Ö Þ Ú Ú ÐØÓÞÒ Ó Ò Ø ÒÝ Ö Ú ÐÒ Ò ÓÐ Ò Þ ÐÞ Ð Ó ÓÑ Ð ØÓ Ø ÐÐ ØÒ Ñ Ú Ð Þ ÒÝ ÙØÓÑ Ø Ù Þ ÑÓÞ Ð Ú Ò ÐÐ ØÚ ÙØÓÑ Ø Ù Ò Ø Ó Þ ÑÓÞ Ò ÓØØ Þ Ø Ð ØÓ ÓÖ Þ Ñ Ú ÐØÓÞ Ø Ñ º

9 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º Ã Ò Þ ÐØ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ Þ ÚÓÐØ Ñ Ò Ò ØÖ Ð Ò Þ Ö º µ Ð ÒØ Þ Ò ÓÑÓ Ò ÐÐ Ø ÓØ Ð ÓØÒ Ú Ö ÐÐ Ø ÓÑÓ Ò Þ Ð º Ý Þ ÖÖ ÓÞÓ ÒÒÝ Ò Þ Ð ØÓ Ø ÓÐÝ Ò Ð ØÓ Ø Ñ ÐÝ Þ Ú Ð Ñ Ö Ø ÐÐ ÓÐÝ ÒÓ Ø Ñ ÐÝ Þ Ø Ðк Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ñ ¾º Ð ØÓ º ÓÑ ØÖ ½½ º À ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø ½ º½º Å Þ ÑÐ Ð Ø ÐÑ ÞÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÖÒ Ø Ò Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ú ÒÝ ½ º ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ ½ º ÙÖ Ú ÒÝ ½ º ÃÓÒÚ Ü Ø ½ º ÈÓÐ ÒÓÑÓ ½ ½¼ºËÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò ¾¼ ½¼º½º ÃÓÒÚ Ü Ø Ú ÒÝ Ð Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½½ºÃÓÒÚ Ö Ò ¾¾ ½¾ºÄ Ò Þ ÓÖÓ ¾ ½ ºÌ ÝÐÓÖ ÓÖÓ ¾ ½ ºÅòÚ Ð Ø ÓÖÓ Ð ½ ºÎ Ý Ð ØÓ ÓÖÓ Ö ½ ºýÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ø Ö ÖØ ¾ ¾ ¾

10 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½¼ ½ º Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò ½ ºÀ ØÚ ÒÝ ÓÖÓ ½ ºÌÓÔÓÐ ½ º½º Å ØÖ Ù Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º À Ð ÖØ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ë ØÓÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ºÃ ÐÑ ÞÓ ¾½ºÎ Ý Ð ØÓ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾º Ö ÐÑ Ð Ø ¼ ¾¾º½º ÜØÖ Ñ Ð Ö ÐÑ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾ ºÎ Ð ØÐ Ò Ö Ó ½ ¾ º½º Ê Ñ Ý ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ºÃÓÑ Ò ØÓÖ ¾ ¾ º½º Å ÓÖ Ñ ÖØ ÞÒ ÐÙÒ Ò Ö ØÓÖ ò Ú ÒÝØ º º º º º º º º ¾ ¾ ºÎ Ý Ñ ÝÞ ¾ ¾ ºÅ ÓÐ Ó ¾ º½º Î ÞÐ ØÓ Þ Ð ØÓ ÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º Þ ÑÔØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ú ÒÝ ¾ º½º Î Ý Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Þ Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø Ý Ø Ö Ð Ø Ö Ð Ð ØÓ» Ð Ø ÓÖÓ Ð Ð Ð ØÓ Ñ Þ Ð Î Þ Ø Ö ÓÖ Ð ØÓ ÓÞº

11 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½½ Ì Ñ Ð ÓÖ Ò Ò Ð Þ ÌÓÔÓÐ Ã Ô ÓÐ Þ Ò Ð Þ Þµ ÃÓÒÚ Ü Ø Ê Ò Ý ÓÑ ØÖ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ººº Ñ Ó º½º Ð Ø Ë Ñ Ó µ¹ Ð Ñ Ð ÐØ ÑÓÒ Ø º ¾ Ð Ô ØÐ Ø Å ÖØ Ò Ñ ÐÐ Ø ÓØ Ò Ñ Ð ØÑ ÓÐ Ø Ú ÖÓ Þ Ñ Ò Ö ÙÑÖ º º ÓÑ ØÖ º½º Ð Ø Æ Ñ ØÖ Ú Ð µ À ÓÒ ÓØØ Ú Ø Ð Ò Ó ÔÓÒØ ÖÑ ÐÝ ØØ Ø ÚÓÐ Þ Þ Ñ ÓÖ Þ Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ º Å ÓÐ ¾ ¾ º¾º Ð Ø Æ Ñ ØÖ Ú Ð µ Å Ø ÓÒ Ú Ø Ð Ò Ó ÔÓÒØ Ý Ó Ý Ò Ð Ý Ò Ý Ý Ò Ò ÖÑ ÐÝ ØØ Ø ÚÓÐ Ö ÓÒ Ð Þ Ñ Ð Ý Òº ¾ Å ÓÐ ¾ º º Ð Ø Å Ø ÓÒ Ö ÒÝ ÔÓÒØ Ý Ó Ý ÖÑ ÐÝ ØØ Ø ÚÓÐ Þ Ò Ñ Ø Ñ Ú Ø Ð Ò Ó º ¾ º º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ý Ö ÔÓÒØ Ð Ò Ñ Þ Ö ÞØ Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÚÓÒ ÐÞ Ú Ðº ËØ Ò Ù Å Ø Ñ Ø Ð Ó Þ Ôµ Å Ó ÐÑ Þ Ò Ñ Ø Ð ÒØ ÔÓÒØÓ Ò Þ Ð Øºµ Ð Ô ØÐ Ø Ã Ö Ò Ø Ö Ý Ð Ô Þ ÞØ Ø Ö Ò Ñ ÐÝ Ý Ò Ø ÖØ Þ ÔÔÓÒØÓØ Ò Ñ Ú Þ Þ ÔÔÓÒØ º º Ð Ø ÓÖ µ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ý R Ù Ö n¹ Ñ ÒÞ Ñ Ð Ð Ø Ò Ñ ÓØØ m ÔÓÒØ ÓÒÚ Ü ÙÖ K Ð Ø m Ö ½»¾ Ù Ö Ñ Ðº Ð ºµ º½º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Þ Ð ÐÐ Ø Ø ¾ Ñ ÒÞ Ö º ¾ º¾º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Þ Ð ÐÐ Ø Ø Ñ ÒÞ Ö º ¾

12 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½¾ Ð Ý Ö Ý ÞÞ Ð ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý Ò Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ö º ÞØ ÔÓÒØÓ Ò Ó ÐÑ Þ ØÒ Ñ µ ÞØ Ð Ø ÓÖØ Þ Ð ÑÐ Ð Ð ØØ Ú ØØ Ñ ÚÓÐÒ Ò Ñ Ñ Ö Ð Ò¹ ÒÝ Ð ÐÓѺ ÇØØ ÄÓÚ Þ Ä ÞÐ ÔÔ Ò ÖÖ Ð Þ ÐØ ÒÒ Ñ ÓÐ Ø Ñ Ý Ö ÞØ Ð Ý Þ Øغ º º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò Þ Ô Ð Ø ÖØÓÑ ÒÝ ÐØÓÐ Ø Ý Ó Ý ÒÒÝ Ö ÔÓÒØÓØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞÓÒ Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ø Ö Ð Ø º ¼ Å ÝÞ ¾º ÒØ Ð Ø Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ò ÐØÙ Ö ÔÓÒØÓ Øº ÁØØ Ö ÔÓÒØÓÒ ÓÐÝ Ò (x, y) ÔÓÒØÓØ ÖØ Ò Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Þ Þ Ñº Æ Ñ ÑÓÒ ØÙ Ñ ÞØ Ñ Ó Ý Ñ Ø Ð ÒØ Þ Ó Ý Þ Ôº Ä Ý Þ Öò Ð Þ Ö ÔÓÐ ÓÒÓ Ð Ø ÖÓÐØ Ø ÖØÓÑ ÒÝÓ Ö ÞÓÖ Ø ÓÞÒÙÒ Ñ Ø ÓÒ ÓÐÒ Ñ ÒÒÝ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø º Å Ò Ò ØÖ Ú Ð Ñ Ø Ð ÐÐ Ø ÒÒ Ò Þ Ò Ú Ò¹ Ò ÓÐÝ Ò ÐÑ ÞÓ Ñ ÐÝ Ò Ò Ò ÞÓ Ó Ø Ö Ð Ø º Þ Þ Ñ Ø Ö Ð Ø Ý Ò ÝÓÒ Þ ÑÐ Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÐÓѺ Å ÐÝ Ò Ø Ö Ð Ø Ö ÞÒ Ý ¹ Ú ÐÐ Ø Ê Ñ ÒÒ Ø Ö Ð Ø Ä Ù Ø Ö Ð Ø µ Å Ð Ø ËØ Ò Ù ÒÝÚ Ð Ú Ð º À Ñ Ò Û Ø ÓÖ Ñ ÖÓÑ Ï Ô Ø Ö ÒÝÐÓÔ ÁÒ Ñ ÙÖ Ø ÓÖÝ Ö Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ø Ñ Ò Û Ø ÓÖ Ñ Ð Ó ÐÐ Ø ËØÓÒ ¹ÌÙ Ý Ø ÓÖ Ñ Ø Ö ÖØ ÙÖ Àº ËØÓÒ Ò ÂÓ Ò ÌÙ Ý Ø Ø Ø Ø Ú Ò n Ó Ø Ò n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô Ø ÔÓ Ð ØÓ Ú ÐÐ Ó Ø Ñ Ò Ð ÓÖ Ò ØÓ ÚÓÐÙÑ µ Û Ø Ò Ð (n 1)¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÝÔ ÖÔÐ Ò º À Ö Ø Ó Ø ÓÙÐ Ø Ó Ò Ø Ñ ÙÖ ÓÖ Ò Ø Ù Ø Ó Ò Ø ÓÙØ Ö Ñ ÙÖ µ ÓÖ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ú Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ò Ð ØÓ Ñ Ò º ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»À Ñ Ò Û Ø ÓÖ Ñ º º Ð Ø Ä Ý Ò Γ Ý Ð Þ ÖØ Ö º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ö ÖØ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ð Ð Ô Ñ ÐÝ Ò ÝÞ Øº ½ º º Ð Ø À ѹ Ò Û ½µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓØØ Ý Γ ÓÒ¹ Ú Ü Ö ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ö Ð Ø Ø Ø Ö Ð Ø Ø Ð Þ º ¾ º º Ð Ø À ѹ Ò Û ¾µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓØØ Ø ÓÒ¹ Ú Ü ÓÑ D 1 D 2 Ý P Þ Ð ÔÓÒØØ Ð ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý Ø Ö Ð Ø Ø Ñ Ð Þ º Å ÐÝ ÐØ Ø Ð ÓÒØÓ Þ Ð Þ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò

13 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ º À ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø º Ð Ø ÓÖ µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ý Ò ÝÞ ØÒ Ù Ý Ò ÒÒÝ ÔÓÒØ Ú Ò Ñ ÒØ Þ Ý Þ ÞÒ º º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ¼¹½ ÓÖÓÞ ØÓ Ù Ý Ò ÒÒÝ Ò Ú ÒÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ð ÓØÓØØ Ô ÖÓ º º½º Å Þ ÑÐ Ð Ø ÐÑ ÞÓ º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ö ÓÒ Ð Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ó Ò Ú ÒÒ ÓÖÓÞ Ø Ö Ò Þ Ø º º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ö ÓÒ Ð Ø Ö ØØÚÓÒ Ð Ö ÓÒ Ð Ú ÔÓÒØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ñ ÓØØ Ú Ó Ö ÓÒ Ð ÔÓÒØ Ò Ø ÖÒ ÓØØ Ö ÓÒ Ð Þ ÖØ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ó Ò Ú ÒÒ ÓÖÓÞ Ø Ö Ò¹ Þ Ø º º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ö ÓÒ Ð Ø Ö ØØÚÓÒ Ð Ñ Ò Ò ØØ òöòò Ú ÒÒ C[0, 1]¹ Ò Å Ò Ò f [0, 1]¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Þ Ñ Ò¹ Ò ε > 0¹ ÓÞ Ú Ò ÐÝ Ò Γ Ø Ö ØØÚÓÒ Ð¹ Ú ÒÝ Ó Ý Γ(x) f(x) < ε, x [0, 1]. Å ÝÞ º Ð ÙØÓÐ Ð Ø Ñ Ö Ò Ñ ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ò Ñ ÒÒ Ý ÞÓÒÝ Ø Ð Ô Ð Ø Ó Ý Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ðº ½ º º ½ º¾ Þ Øµº ÓÐ Ñ ØÖ Ð Ò Ñ Ü¹ ÑÙÑ Ö Ò Ð Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ñ Ò Ò ØØ òöò ÐÑ ÞÞ Ð Þ Ô Ö Ð Ñ ØÖ Ù Ø Öº Ò º Ý A Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þ µ Ð Ñ Þ ÙÔ Ö ÓÖ lim sup A Þ {(a i ) : a i A} ÓÖÓÞ ØÓ Ñ Ü Ñ Ð Ø Ö ÖØ º µ Ð Ñ Þ Ò Ö ÓÖ lim inf A Þ {(a i ) : a i A} ÓÖÓÞ ØÓ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ö ÖØ º º º Ð Ø Á Þ¹ Ó Ý lim sup a n b n = (lim sup a n ) (lim sup b n )?

14 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ º º Ð Ø Ì ÒØ ÓÖÐ ØÓ ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒ ÞØ Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ø Ñ ÐÝ Ò Ð a := {a 1, a 2,...,a n,...} Ø ÚÓÐ b := {b 1, b 2,...,b n,...} ρ(a,b) := sup a i b i. ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ñ ØÖ Ù Ø Öº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ñ Þ Ô Ö Ð º Ì Ð ¹ º¾º ÖÒ Ø Ò Ø Ø Ð Å ÓØØ ØÖÙ Ø Ö Ò Ú ÒÒ Ð ÔØÙÐ ÓÒ ÓÖ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ø Ñ ÓØØ ØÖÙ Ø Ö Þ Ð Þ Ý A ¹ Ý ÒÐ Ñ ÒØ Ñ B A Ð Ô Þ Ø B Ý Ö Þ¹ ØÖÙ Ø Ö ½¹½ ÖØ ÐÑò Ò ØÙÐ ÓÒ¹ Ó Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ðº ÁÐÝ Ò ÓÖ Þ ÚÓÐÒ Ø ÖÑ Þ Ø Ð Ó Ý A B B A Ú Ø ÞÒ Ó Ý A = Bº Þ Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ú Ò Ýº Ð Ð ØÙÒ Ý Ø Ø ÓÐ Þ Ý Ú Ò ¾ Ø Ø ÓÐ Þ Ò Ò Ýº Å Ò Ò ØÖ Ñ Ò Ò ÐÒÙÒ ÐÐ Ö Ð Ø Ó Ý Ñ ÓÖ Ø Ò¹ Ø Ò Ø Ó ØÙÑÓØ Ý ÒÐ Ò º º º Ð Ø Ã ÒÒÝò Ú Þ Ø µ Ò Ð Ù Þ A ÖÓÑ Þ Ø ÖÓѹ Þ Ð Ñ Þص Ò Ñ ÒØ B A Ý Ú Ð Ð Ú Ø B¹ º Ê Ò Þ Ø ÔÙÒ ¹ ÌÖ ÒÞ Ø Ú Ø µ Å ÐÝÞ Ø ÑÓ Ø ÒØ Ð ¼ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý A Ð Ô Þ Ø ½¹½ ÖØ ÐÑò Ñ ÓÒ B Ý Ö Þ B Ð Ô Þ Ø ½¹½ ÖØ ÐÑò Ñ ÓÒ A Ý Ö Þ ÓÖ Þ Ð Ô Þ Ø ½¹½ ÖØ ÐÑò Ò ÝÑ Ö º ½ Å ÝÞ º Þ Ð Ð ØÒ Þ Ø ÖØ ÐÑ Ó Ý ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø¹ Ò Þ ÑÓ Ó Ò Ð A B B A ÓÖ A = Bº ÖÓÑ Þ Ö Þ Ðк Þ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ð Ô ÐÝÞ Ø Ò Ú Ò Ýº ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Þ Ð ¾ Рغ º º Ð Ø Ý Ð Ô Þ A B Þ ØØ ØÓÔÓÐ Ú Ú Ð Ò ½¹½¹ ÖØ ÐÑò Ó ¹Ú Þ ÓÐÝØÓÒÓ º Á Þ¹ Ó Ý A ØÓÔÓÐ Ð Ú ¹ Ú Ð Ò ÓÑ ÓÑÓÖ µ B Ý Ö Þ Ú Ð Ú ÞÓÒØ ÓÖ A B ÝÑ Ð ØÓÔÓÐ Ð Ú Ú Ð Ò º Ã Ö Ò ÖÖ ÒÒÝò ÐÐ ÒÔ Ð Øºµ ¾

15 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ º½¼º Ð Ø Á Þ¹ Ó Ý Ý A Ú Ø Ð Ò Ö Ð Ô Þ Ø ½¹ ½¹ ÖØ ÐÑò Ò Ý B Ö B Ö Þ Ú ÞÓÒØ B Ö Ô Þ Ø A Ý A Ö Þ Ö ÓÖ A B Þ ØØ Ú Ò ½¹½¹ ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø º Å ÝÞ º ÓÑ ÓÑÓÖ ¹ Ð ØÓ Ö Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÐÐ ÒÔ Ð Ø ¹ Ò º Å ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ ØÐ Ò Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð Þ Ò Ý Ú Ø Ð Ò Ò Ö Ò Ý Ú Ø Ð Ò Ø ÓÐ Ø Ý Ú Ð Þ ÑÓØ Ý Ñ ÓÐ Ø Ú Ð Þ ÑÓ Ý Ö Þ ÐÑ Þ Øº µ º Ú ÒÝ ½º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò P(x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÐÝ [0, )¹ Ò sin x Ú ÒÝØ ÐÐ Ø Ò Ð º ½º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò P(x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÐÝ [0, )¹ Ò sin x Ú ÒÝØ ÐÐ Ø Ò Ð º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò P(x) ÔÓÐ ÒÓÑ Ñ ÐÝ [0, 1]¹ Ò sin x Ú ÒÝØ ÐÐ Ø Ò Ð º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò P(x)/Q(x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ [0, )¹ Ò sin x Ú ÒÝØ ÐÐ Ø Ò Ð º ½º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ò ÓÐÝ Ò P(x)/Q(x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ [0, 1]¹ Ò sin x Ú ÒÝØ ÐÐ Ø Ò Ð º Å ÓР˾»Å Å ÝÞ ½º ÒØ Ñ ÓÐ Ð Ö Ð Ð ÒÝ Ø Ú Ó ÐÓÑÑ Ð ÓÔ¹ Ö Ð Ú ÞÓÒØ Ð Ñ º Þ Þ Ñ ÓР˾»Å º º ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝÒ Ú Ð Þ Ñ¹ Ý Ò Ò Ú Ý Ò Ò Ô Ö Ù Ú Ý Ú Ò Ð Ô Ö Ù Ú Ý ÓÒ Ø Ò º = Î Þ Å ÝÞ º Ä Ý Ò f (, )¹ Ò ÓØØ ÓÐÝØÓÒÓ Ú Òݺ µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Ò Ð Ô Ö Ù ÓÖ Ú Ò ÖÑ ¹ ÐÝ Ò Ô Ö Ù º µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý f¹ò Ú Ò Ø Ð Ò Þ ÖØ ÓÖ Ò Ñ Ð Ø ÖÑ ÐÝ Ò Ô Ö Ù º µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ð Ð Ò Ñ Þ µº

16 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ f(x, y) Ú ÒÝÒ ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ ÐÑ ÞÓÒ Ú Ò Ñ Ò ÑÙÑ º ¼ º ÙÖ Ú ÒÝ Ò ÃÓÖÐ ØÓ µº Þ A ÐÑ ÞÓÒ f ÓÖ ÓÖÐ ØÓ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÓÒ Ø Ò K Ó Ý Ñ Ò Ò x A¹Ö f(x) < Kº Í Ö º Ð Ø ÓÖ µ Ù Ý Ý ÒРص ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ (, )¹ Ò f(x + y) = f(x) + f(y) ½µ ÓÖ f Ð Ò Ö f(x) = cxº º½º Ð Ø ÒØ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ f(kx) = kf(x)º ½ º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ý f C(, ) f(kx) = kf(x), f(lx) = lf(x) ÓÐ x 0, (k, l) = 1 ÓÖ f Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ ¾ º º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò Ú ÒÝØ ¼ ½ ¹ Ò Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò ØØ Ú ÖØ ò Ñ ÐÝ Ò Ö Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ º Å ÝÞ ¾º Î Ò ÒØ Òº Ù Ý Ý ÒÐ ØÒ ½µ¹Ò Ò Ñ Ð Ò Ö Þ Þ ØØ Ò Ñ¹ ÓÐÝØÓÒÓ µ Ñ ÓÐ º Þ Ñ ÓÐ Ò ÝÓÒ Ú Ñ ¹ ÓÞ Ã Ú Ð ÞØ Ü Ñ Ø Ú Ý ÒÒ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ú Ú Ð Ò ÓÖÑ Ø ÑÓÒ Ù ÓÖÒ Ð ÑÑ Ø ÐÐ ÞÒ ÐÒ º Þ Ð Þ Ð Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Ú ÒÒ Ò ÝÓÒ Ú Ú ÒÝ º Ò ÝÓÒ Ú Ú ÒÝ Þ ØØ Ú ÒÒ Þ ÙÖ Ñ ÓÐ Ó º Ò ÓÐÝØÓÒÓ µº ººº º º Ð Ø Ì ÒØ Ú Ø Þ Ú ÒÝØ { 0 x ÖÖ ÓÒ Ð f(x) = 1 x = p q q

17 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ Â Ð Ò Ðع Þ Ú ÒÝ Â Ú Ø Ù Ò Øº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ú ÒÝ º º º º º Ð Ø Ì ÒØ Ú Ø Þ Ú ÒÝØ { 0 x ÖÖ ÓÒ Ð f(x) = q x = p (p, q) = 1 q ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ú ÒÝ Ð Ø Ø Þ ØØ Ú Ð ÓÖ Ú Ø ÐÑ ÒÝ Ò º º Ð Ø ÓÖ µ Ä Ø¹ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ú ÒÝ Ø Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØØ Ð Ò ÐÒ Å ÝÞ º Ö Ö ØÙÒ Ø ÞØ Ò Ú Ð Ðк ÓÑÔÐ Ü Ú Ð ÞØ º Þ Ð Ò Ñ Ò ØØ Ö Ø Ö Ò º Þ Ð Ð ØÓ Ò Ð Ø Ú ØÓ Ò ÐÐ Ð ÒÒ Ò ÞØ Ý Ø Ð¹ ÑÓ Ú Ó ÐÑ ÞÓÑ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Ú Ð Ø Ø Þ Ò Ð Ú ÒÝÖ Ðº Ú Ð ¹ Ò Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ Ø Ý Ð Ó Ý Þ Þ Þ Ñ Ý Ò Ò Ñ ÓØØ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ö ÓÒ ÓÐÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ò Ù Ý Ò Þ Þ Þ ÓÑÔÐ Ü ÓÒº º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ ÓÖÑÙÐ Ñ Ø ÖÓÞÞ sin x¹ Ø cosx¹ Ø Ñ Ú Ð Ó Ý Ò ÒÓÖÑ Ð Ù Ì ÒØ f(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y) ¾µ g(x + y) = g(x)g(y) f(x)f(y) µ Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö (f, g) Ñ ÓÐ Ø (, )¹Òº Å ÐÝ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ÜØÖ Ø Ø Ò Ò Ñ ØÙ ÙÒ Ð ÔÞ ÐÒ Ñ ÐÝ Ð Ñ Ö ØÙ Ù Ó Ý ÒØ Ö Ò Þ ÖÒ Ý Ñ ÓÐ Ú Ò ÖÖ f(0) = 0 g(0) = 1º Ð ÓÒ ÚÓÐØ Å ÝÞ º Î Ð Ó Ó Ý f, g Ñ ÓÐ Ú ÒÝ Ý ÒÐ ØÖ Ò ¹ Þ Ö Ò Ò ÓÖ f(cx), g(cx) Ñ ÓÐ º º¾º Ð Ø ÑÙРк º º Ð Ø Ú Ð Ý Ò Òº º º Ð Ø ÓÑÔÐ Ü ÓÒº Ò Ð Ù ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ú ÒÝ Ø Þ ÓÖ¹ ÇÐ Ù Ñ Þ f(x + y) = f(x)f(y) Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø ÇÐ Ù Ñ Þ f(x + y) = f(x)f(y) Ú ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ø

18 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ º ÃÓÒÚ Ü Ø Ò º Ý C E n ÓÒÚ Ü Ú Ð ÒÝ ÞÓÖ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÔÓÒØÓØ Þ Ø Þ Ø Þ ÞØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ËÞ Ñ Ö Ø ÃÓÒÚ Ü ÒÝ ÐØ»Þ ÖØ ÐÑ Þº ØÐ ÞÓÖ Ø ÓÞ ØÙÒ ÓÒÚ Ü Þ Öص Ó Þ ¹ Ö º º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓÒÚ Ü ÐÑ ÞÓ Ñ Ø Þ Ø ÓÒÚ Üº ÊÙØ Òµ ¼ º¾º Ð Ø ÈÓÒØÓ Ø Ù Þ Ð Þ Ð ØÓØ Å Ø Ö ÞØ Ñ Î Ó Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ú Ý Ö ÒÝ ÓÒÚ Ü ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ººº Ö ÓÒÚ Ü ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø ÓÒÚ Üº ÊÙØ Òµ ½ º º Ð Ø À ÐÐÝ Ø Ø Ð µ À ÓÒ ÓØØ n ÓÒÚ Ü Þ ÖØ Ð Þ Ø ÖÑ ÐÝ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö ÓÖ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý Þ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ º ¾ º º Ð Ø À ÐÐÝ Ø Ø Ð µ À ÓÒ ÓØØ n ÓÒÚ Ü Þ ÖØ Ð Þ Ø ÖÑ ÐÝ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö ÓÖ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý Þ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ º º º Ð Ø À ÐÐÝ Ø Ø Ð µ À Þ R d d¹ Ñ ÒÞ Ø Ö Ò n = 2, 3 Ú Ý ÖÑ µ ÓØØ n ÓÒÚ Ü Þ ÖØ Ð Þ Ø ÖÑ ÐÝ d+1 Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö ÓÖ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý Þ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ º º º Ð Ø Ð Þ Ø ÓÙÒ Ø Ø Ð Þµ Å ÓÖ Þ ½ ÓÐ Ð Þ ÐÝÓ ÖÓÑ Þ Ö ÖØ Ö Ù Ö º º Ð Ø ÓÙÒ Ø Ø Ð µ Ý Ð ½ ØÑ Ö ò ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ð Ø Ý 1/ 3 Ù Ö Þ ÖØ ÖÐ Ñ ÞÞ Ðº º ÈÓÐ ÒÓÑÓ ËÞ Ñ Ö Ø ËÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ º½º Ð Ø ÓØØ P(z) = a n z n ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÞ Ö Ò ÓÐÝ Ò R¹ Ø Þ Ý ØØ Ø Ú ÒÝ Òµ Ñ ÐÝ Ö ØÙ Ù Ó Ý z > R Ø Ò Ñ Ö Ò Ñ Ð Ø Ý º

19 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ ½¼º Ð Ø ÓÖ µ Ù Ø Ø Ð µ À P(z) ÔÓÐ ÒÓÑÒ ÓÒ n Ð Ò Þ µ Ý Ú Ò ÓÖ Ö Ú ÐØ Ñ Ò Ò Ý Þ ÓÒÚ Ü ÙÖ º ½¼º½º Ð Ø Ð Þ Ö ÞÓÒÝ Ø Ù Ù Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ø Ò Ñ ÓÖ P(x) Ú Ð ÔÓÐ ÒÓÑÒ n Ð Ò Þ Ú Ð Ý Ú Òº ½¼º¾º Ð Ø Ã Ðй Þ Ð Þ Ð Ø Ò Ó Ý P(x) Ú Ð ÔÓÐ ÒÓÑÒ n ÙÔ Ð Ò Þ Ú Ð Ý Ú Ò ½¼º º Ð Ø Ý f Ú ÒÝ ÐÓ Ö ØÑ Ù Ö Ú ÐØ f (z) Å ÖØ Ú Ù f(z). ÞØ ÐÓ Ö ØÑ Ù Ö Ú ÐØÒ µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÞÓÖÞ Ø ÐÓ Ö ØÑ Ù Ö Ú ÐØ ÐÓ Ö ØÑ Ù Ö Ú ÐØ Þ º ¼ Å Ý Ö Þ Ø ½º Ö Ú ÐØ Ú Ý Ö Ò Ð ÒÝ Ó Ù Ý Ò Þº ÈÓÐ ÒÓÑÓ Ö Ö Ú ÐØ Ò ÓÞ Ò Ò Þ Ò Ð Þ Ö Ò Ð Ø Ù ÓÖÑ Ð Ò Ý P(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n Ö Ú ÐØ ½¼º º Ð Ø P (z) = a 1 + 2a 2 z na n z n 1. Ì Ý Ð Ó Ý P(z) = (z a 1 )(z a 2 )...(z a n ), ÓÐ Ý Þ ØØ Ð ØÒ Ñ Ý Þ Þ Þ Ø Þ Ö µº Ö Ù Ð P /P ÐÓ Ö ØÑ Ù Ö Ú ÐØ Ø Ý Ø Ú Ð ½ ½¼º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ý Ñ Ò Ð Ð Ò Ú ÒÒ ÓÖ ÐÓ Ö ØÑ Ù Ö Ú ÐØ Ý Ð Ð Ò Ú ÒÒ º ¾ ½¼º º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Ð Ø ÓÖ Ð Ò ÑÓÒ ÓØØ Ù Ø Ø Ðغ ½½º Ð Ø ÓÖ µ Þ Ð Ö Ð ÔØ Ø Ð Ò Ð Ñ ÞÓÒÝ Ø Á Ñ Ö ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ú Ð Ú Ð ÓÑÔÐ Ü ÓÒ ½½º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ý n¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ P(z) Ð ÐÑ A, B ÓÒ Ø Ò Ó Ö Ð Ø Ø Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ò º Ð Ô ØÐ Ø Ã Ö ÞÐ Ø Ò P(z) < A z n + B

20 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾¼ ½¼º ½¼º½º ËÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò ÃÓÒÚ Ü Ø Ú ÒÝ Ð Ó Ö Þ Ð ÑÓØ Ú Ø Ú ÐØÓÞ ÓÑÔÐ Ü Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ ÐÑ Ð Ø Ð Ò Ñ ÖØ Þ Ñ ÓÐ Ù ÓÞ Ò Ñ ÐÐ Ð Ñ Ö Øº Ä Ý Ò ÓØØ Ý D Ø ÖØÓÑ ÒÝ F Ð Ý Ò Þ Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ú ÒÝ Ð Ö Ú ØÓÖØ Ö Ñ ÐÝ Ú ÒÝ ÞÓÖÞ ØÖ Þ Öغ Ò º Ý K ÐÑ Þ F¹ ÓÒÚ Ü ÙÖ ÞÓÒ z ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ñ ¹ ÐÝ Ö Ñ Ò Ò f F¹Ö f(z) max z D f(z). ½¼º½º Ð Ø Þ Ð Ý Ø Ñ Ò Ø ÙÒ Ñ ÞÓÒÝ ¹ Ø Ò Ó Ý Ø Ò Ú Ú Ð Ò º Ò ½¼ Å Ó µº Å Ò Ò f D¹Ö c 0¹Ö Ð Ý Ò A(f, c) := {z : f(z) c} Ý K ÐÑ Þ F¹ ÓÒÚ Ü ÙÖ ÞÓÒ A(f, c) Ñ Ò Ò f F¹Ö f(z) max z D f(z). ÓÖ Ý X ÐÑ Þ F¹ ÓÒÚ Ü ÙÖ ˆX := f F, c>0 A(f, c). Å ÝÞ º Î Ð Ñ Ø ÒØ Ð Ø Ò ÐÐ Ò ÐÒÙÒ Þ Ö ÐÑ ÞÞ Ðº Ç ÓÞ¹ Þ ÓÒ ÓØ Å Ø Ò Ð ÙÒ ÅÓÒ Ù Ñ Ý Þ Ø Ò Ó Ý Ò Ñ¹ Ö Ø Ø ÒØ ººº ½¼º¾º Ð Ø Ä Ý Ò Þ F a (z) Ú ÒÝ ÐÑ Þ Þ ÓØØ a R n ¹Ø Ð Ú ØØ Ø ÚÓÐ º Ä Ý Ò K ÓÑÔ Ø ÓÖÐ ØÓ Þ Öغ Å Ð Þ ˆK = Î Þ Å ÝÞ ½¼º Å Ú Ð Ò ÝÓÒ Ò Ý Ö Ð Þ Ð Ø Ð Ó Ø Ý Ò Ñ Ñ Ð Ô Ó Ý ÒØ Ð ØÖ Ú Ð Þ Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ K¹Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ó Ñ Ø Þ Ø Ø Ú ÒÒ Ò ÔÔ Ò K ÓÒÚ Ü ÙÖ

21 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾½ ½¼º º Ð Ø ÀÓ Ý Ò Ñò ÒØ Ð Ø Ý Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Þ Ö Ò Ôк Ó Ð Ò D := {z : Re z 0} ¹Ö ½¼º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ˆK = ˆKº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò ÝÓ Ú ÒÝ Ð Ö ÙÖÓ Ò Ñ Ð Ø º ÀÓ Ý ˆK Kº = Î Þ ½¼º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ò Þ Þ ÔÓÐ ÒÓÑÓØ Ú Þ ÓÖ ÙÖÓ Ð Ø Ø ÖÓÞÓØØ Ò Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ü ÙÖÓ º ½¼º º Ð Ø Â ¹ Ú Ø Þ Ò K ÓÖ F¹ ÓÒÚ Ü K = ˆK Å Ø Þ Ò Ôк R 2 ¹ Ò z a Ð Ú ÒÝ Ö a Ø Ø Þ Ð ÓÑÔÐ Ü Þ Ñ ¼ ½¼º º Ð Ø Â ¹ Ú Ø Þ Ò K ÓÖ F¹ ÓÒÚ Ü K = ˆK ½ ËÞ Ñ Ö Ø ËÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ ½½º Ð Ø ÓÖ µ Á Ñ ÖØ Ú ÒÝ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Þ ÞÓÖ Ø º ½¾º Ð Ø ÓÖ µ ÅÓÒÓØÓÒ h n := ( ) n+ 1 2 n ÓÖÓÞ Ø ½¾º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ( ) n+α n ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú α < 1 2 ÑÓÒÓØÓÒ Ò α > 1 2 º ¾ Ò ½½º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý a n ÝÓÖ Ò Ø ÖØ Ú Ø Ð Ò Þ Ñ ÒØ b n a n /b n º

22 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾¾ ½¾º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓØØ Ú Ó Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ ÓÖÓÞ Ø ÓÖ Ú Ò Ý ÓÐÝ Ò Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý Ò Ð ÝÓÖ Ò Ø ÖØ Ú Ø ¹ Ð Ò Þº ½¾º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓØØ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Ú Ø ¹ Ð Ò Þ Ø ÖØ ÓÖÓÞ Ø ÓÖ Ú Ò Ý ÓÐÝ Ò Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý Ò Ð ÝÓÖ Ò Ø ÖØ Ú Ø Ð Ò Þº = Î Þ = Î Þ Å ÝÞ ½½º Þ Ð Ø ÓÞ Þ ØÐ Ð Ö Ø ÐÐ ÞÒ ÐÒ Ð Ô ¹ Ò ÒØ ÓÒ ØÖÙ ÐÒ Ñ Þ u n ÓÖÓÞ ØÓØ Ý Ó Ý Ú Ð ÓÒÒ Ò Ý Ð ÐÑ Ω(n)¹Ø Ð Þ Ú Ñ Ö Ó Ð Ò ÝÓ Ñ ÒØ Þ Ð n ÓÖÓÞ ØÑ Ð Ð Ø º ½¾º º Ð Ø Ò Ð ÞØ Ó Ý Ý ÓÖÓÞ Ø ÝÓÖ Ò Ø ÖØ ¼¹ ÓÞ Ñ ÒØ Ñ º ½¾º º Ð Ø Å ÐÝ Ò ØØ Ú Ð Ñ Ð Þ Þ ÓÒÐ ÐÐ Ø ÑÓÒ Ø ¼¹ ÓÞ Ø ÖØ ÓÖÓÞ ØÓ Ö º ½¾º º Ð Ø Î Ý Þ Þ Þ Þ ÑÓ Ð ÐÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÓÖÓÞ ØÓغ Á Þ¹ Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Þ Ñ Ò Ý Ò Ð ÝÓÖ¹ Ò Ø ÖØ ¼¹ ÓÞº ½½º ÃÓÒÚ Ö Ò ½¾º Ð Ø ÓÖ µ Å Ø Ð ÖÖ ÓÒ Ð Þ e Å Ý Ö Þ Ø ¾º Ú Ø Þ Ø Ð Ø ÖÖ Ð Þ Ð Ó Ý Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø Ö ÓÒ Ð Ð Ñ Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ð α ÖÓ ÞÙÐ ÔÔÖÓܹ Ñ Ð Ø Ø Ð Ð Ò Þ Ö ÓÒ Ð Ðº ½¾º½º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò α Ö ÓÒ Ð Þ Ñ ÓÞ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò c > 0 Ó Ý p/q α Ø Ò p q α > c q. ½¾º¾º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò α ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñ ÓÞ Ú Ø Ð Ò Ó ÓÐÝ Ò p Ð Ø Þ Ñ ÐÝÖ q p q α < 1 q 2.

23 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ ½¾º Ä Ò Þ ÓÖÓ ½¾º½º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý a n > 0 ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÓÖ = Î Þ a 0 a 1 + a 2 a ± a n... ÓÒÚ Ö Ò Þ S n := a 0 a 1 + a 2 a ± a n Þ Ð Ø Ö ÞÐ Ø Þ µ Þ Ð Ð ÝÓØØ Ø º Þ ÐÝ Ò ÓÖÓ Ø Ú Ù Ä Ò Þ ÓÖÓ Ò º ¼ Å ÝÞ ½¾º ÞØ ÐÐ ÞÖ Ú ÒÒ Ó Ý Þ ÝÑ ÙØ Ò Ö ÞÐ Ø Þ ÝÑ ØÙÐÝ ÞÓØØ ÝÖ Þò Ð ÒØ ÖÚ ÐÐÙѹ ÓÖÓÞ ØÓØ Ð ÓØÒ º Þ Ò Ú Ò Ý ØÐ Ò Ý Þ ÔÓÒØ Ù Þ Ö ØØ Ø Ö ÖØ º ½¾º¾º Ð Ø ÓÖÖ Å Ø Ð ÒØ ÒØ Ø Ø Ð x n n! ½ ½ º Ì ÝÐÓÖ ÓÖÓ ½ º½º Ð Ø Ä Ý Ò a n ÓÖÐ ØÓ º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý N s N (z) := a n z n n=1 = Î Þ Ù Ý ÓÖÓÞ Ø z < 1 ÒÝ ÐØ Ý ÖÐ Ñ Þ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Òº ¾ Å ÝÞ ½ º ÞÓ Ø Þ f(z) Ú ÒÝ Ø Ø ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑÓ ÙØ Òµ Ð Ý Þ Öò Ú ÒÝ Ò Ñ ÐÝ Ý D Ø ÖØÓÑ ÒÝÓÒ ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ø Ö ÖØ Þ Ð ÖØ Ð Ñ Ò D Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ Ò Ò K ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ð Ø Þ ÓÞÞ Ù ÓÐÝ Ò ÔÓÐ ÒÓѹ ÓÖÓÞ Ø P n (z) Ñ ÐÝ Ö lim n max z K f(z) P n(z) 0.

24 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ ½ º ÅòÚ Ð Ø ÓÖÓ Ð ½ º½º Ð Ø À ØÚ ÒÝ ÓÖÓ ÞÓÖÞ Ø Ù Ý ÞÓÖÞ Øµ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý c n := n i=0 a ib n i ÓÖ ( ) ( ) a n z n b n z n = c n z n. n=0 n=0 n=0 ½ º¾º Ð Ø Ñ Ó Ý ÓÖ À ØÚ ÒÝ ÓÖÓ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ò Ð Ø µ ÅÙØ Ù f(z) := c n z n, n=0 f (z) = nc n z n 1. n=0 Å ÝÞ º Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÒÝ Ðº Ä Ø Ý ÖØ ÐÑ ÞÒ Ó Ý z ( a, a) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ ÓÒ ÓÐÙÒ Ý Ó Ý z < r ÖÐ Ñ ÞÖ º Þ ÙØ Ø Ò f f(z) f(a) (a) := lim. z a z a ÁÐÝ Ò ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ f : C C Ú ÒÝ ÓÑÔÐ Ü Ö Ò Ð Ø º À ÞØ Ý ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓÒ Ø Þ Ð Þ Ø ØÐ Ò Ð Ö Ñ Ø ÑÔ¹ Ð Ð ØÚ ÒÝ ÓÖ Ø Ø Øº ½ º Î Ý Ð ØÓ ÓÖÓ Ö ½ º½º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò Þ Ôµ Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓØ [0, 1]¹ Ò Ñ ÐÝ Ö lim n 1 0 f n (x) dx 1 0 lim f n(x) dx. n = Î Þ ½¼ Å ÝÞ ½ º Î Þ Ø Þ Ø Ð Ø ÖÖ Ñ ÓÖ Ú ÒÝ ¼¹ ÓÞ Ø ÖØ Ò Þ ÒØ Ö Ð Ò Ñ Ø ÖØ Ò ¼¹ ÓÞº Þ Ñ Ð Ø ÞÓÒ Ó Ý Þ ÓØØ Ú ÒÝ Ò Ñ¹Ò Ø Ú ÝÖ Ñ Ö Ñ ÒÒ Ð ÝÖ Ö Ú Ö Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ [0, 1]¹ Ò Þ ÖØ Ñ ¼¹ ÓÞ Ø ÖØ Ò Þ Ð ØØÙ Ð Ú Ø Ö Ð Ø Ñ Ð Ò ÝÓ Ñ Ö Ò Ò Ñ Ø ÖØ Ò ¼¹ ÓÞº

25 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ ½ º ýðø Ð ÒÓ ØÓØØ Ø Ö ÖØ ½ º Ð Ø ÓÖ µ ÃÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ ØÓ Þ ÑØ Ò Þ Ô Ò ÓÒÚ Ö Ò º Å ÖØ ÓÒØÓ ÀÓ Ý Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø ½ º½º Ð Ø Ä Ý Ò Þ (a n ) ÓÖÓÞ Ø Þ ÑØ Ò Þ Ô b n ¹ Þ Þ ÑØ Ò Þ Ô c n ¹ = Î Þ ½½ b n := 1 n a i c n := 1 n b i. n n i=1 Ä Ø ¹ Ó Ý c n ÓÒÚ Ö Ò b n Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò Ä Ø ¹ Ó Ý c n ÓÒÚ Ö Ò b n Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÞØ ÐØ Þ Ó Ý a n > 0 i=1 Å ÝÞ ½ º ÁØØ ÖÖ Ð Ú Ò Þ Ó Ý Þ Ó Þ ÐÐ ÐÐ Ò Ø ÓÒÚ Ö¹ Ò Ò Þ ØÐ ÓÐ Ý Ó Þ ÐÐ Ð ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ Ø Ø Ð Ò Ý Ñ Ø Ò Ñ Ð Ö ØØ Ñ Ö ÓÒÚ Ö Ò Ø Þ Ý ØÐ ÓÐ Ñ Ò Ñº ÈÖ Ð¹ ÓÞÞÙÒ Þ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ð a n = ( 1) n a n = ( 1) n n a n = ( 1) n n a n = ( 1) n n n a n = ( 1) n n 2 a n = ( 1) n n 3 a n = ( 1) n 3 n Å ÖØ ÓÒØÓ ÀÓ Ý Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø ½ º Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Ò ½¾º f n (z) Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ð Þ A ÐÑ ÞÓÒ f(z)¹ Þ Ñ Ò¹ Ò ε > 0¹ ÓÞ Ñ Ø ÓÐÝ Ò n 0 (ε) Ó Ý n > n 0 Ø Ò f n (z) f(z) < εº Å Ý Ö Þ Ø º Þ Ý ÒÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ú Ð Þ Ñ Ò ÐÐ ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ò f n (z) ÔÓÒØÓÒ ÒØ ÓÒÚ Ö Ð Þ A ÐÑ ÞÓÒ f(z)¹ Þ Ñ Ò¹ Ò z A¹Ö ε > 0¹ ÓÞ Ñ Ø ÓÐÝ Ò n 0 (ε, z) Ó Ý n > n 0 (ε, z) Ø Ò f n (z) f(z) < εº Ð Ò Ð ÒÝ Ø Ø Ó Ý Þ n 0 (ε) Þ Ý ÒÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò Ò Ñ ÐÝØ Ð z¹ø к ½ º½º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò Ú ÒÝ ÓÖØ Ñ ÐÝ [0, 1]¹ Ò ÓÒÚ Ö¹ Ò Ò Ñ Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò º

26 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ ½ º À ØÚ ÒÝ ÓÖÓ ½ º½º Ð Ø ÙÒ Ñ ÓÐÝ Ò ØÚ ÒÝ ÓÖØ Ñ ÐÝ ÓÒÚ Ö Ò Þ Ý ÖÐ Ñ Þ Ò Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ð ÓÐ Þ Ý ¹ Ö Ò Ú Ðº = Î Þ ½¾ ½ º¾º Ð Ø Ë Ø Þ Ð Þ Ð Ø ÓÞ µ Î Þ Ð Ù Ñ ÞØ ØÚ ÒÝ ÓÖØ a n z n ¹ Ø ÓÐ n k! ÓÖ a n = 0 n = k! ÓÖ a n = 1 k 2 f(z) = 1 + z z z z ½ º Ð Ø ÓÖ µ À Ñ Ö ÓÖÑÙÐ µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý a n z n Ú ÒÝ ÓÖ Ý ÖÐ Ñ Þ Ð Ò ÓÒÚ Ö Ð Ð Ò Ú Ö Ðº ÖÖ Ð Ó Ý Ø ÖÓÒ Ñ Ø Ø Þ Ò Þ ÖÑ Ø ÑÓÒ Ò º ½ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý a n z n Ú ÒÝ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ð z 0 ¹ Ò ÓÖ Ý ÒÐ Ø Ò ÞÓÐÙØ ÓÒÚ Ö Ò z < z 0 ε ÖÐ Ñ Þ Ò Ñ Ò Ò ε > 0¹Ö µº ½¼¼ ½ º º Ð Ø ½¼½ ¾¼º Ð Ø ÓÖ µ Ð ÞÙÑÑ µ ½ º ÌÓÔÓÐ ½ º½º Å ØÖ Ù Ø Ö Ò ½ º Þ M ÐÑ ÞØ Ý ρ(x, y) ØÚ ÐØÓÞ Ø ÚÓÐ Ú ÒÒÝ Ð Ñ ØÖ ¹ Ú Ðµ Ñ ØÖ Ù Ø ÖÒ Ò Ú ÞÞ Ú Ø Þ Ø Ð Ð ½º ρ(x, y) 0º ¾º ρ(x, y) = 0 ÓÖ ÓÖ x = yº º À ÖÓÑ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Å Ò Ò x, y, z M¹Ö ρ(x, y) + ρ(y, z) ρ(x, z). Ý Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ø M = (M, ρ) Ð Ò ÙÒ Ñ Ñ Ù Ð¹ Ñ ÞØ ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Ø Ñ Ù Ñ ØÖ Øº

27 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ Å ÝÞ ½ Ý ÓÒØÓ Ô Ð µº Þ Ð Ò Ý ÓÐÝ Ò Ð Ø ÓÖØ ÓÒ ØÖÙ ÐÓ Ñ ÐÝ Ñ Ø Ñ Ø Ý Ò ÝÓÒ ÓÒØÓ ÐÐ Ø Ø ÓÐ ÓÞÞ Ðº Þ ÐÐ Ø Ö Ò Ø Ó ÐÑ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ó ÐÑ ÞÓÑ ÅÇËÌ Ñ ÞØ Ò Ñ ÐÐ Ñ ÖØ Ò º ýðð Ø ÃÓÑÔ Ø Ø Ö Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ý Ø Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ø Ð Óع Ò º Þ Ò Ð Ð C[a, b]¹ò Þ Þ ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ý Þ Ô Ö Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ø Ð ÓØÒ º ÅÓ Ø Ð Ø Ð ÒØ Ñ Ó ÐÑ ÞÓØØ Ð ÐØ Ð ÒÓ ÓÖÑ Ø Þ ÙØÓÐ ÑÓÒ ØÖ ÓÒ ÒØÖ ÐÙÒ º Ã Ñ Ò Þ Ø Ø ÒÙÐ Ù ØØ Ò Ñ Þ Ð Ó Ý Ý ÓÒØÓ Ø Ñ Ø ÓÖ Ö ÓÞÞÙÒ Ò Ñ Þ Ó Ý ÞØ Ð Ø ÓÖ Ò ÓÐ ÓÞÚ Ð Ø Ò Ø Þ Ö ÞÞ Ò º Æ ÒÝ Ò Ö Ð Þ Þ Ò Ò ½ Å ØÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ø Ö Òµº Ä Ý Ò K = [a, b]º ÓÖ ρ(f, g) := max f(x) g(x). µ x K ½ º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý C[a, b] Ñ ØÖ Ù µ Ø ÚÓРк ½¼¾ Ò ½ Ì Ð µº Ý (M, ρ) Ñ ØÖ Ù Ø Ö ÓÖ Ø Ð Ø Ð Ð Ö Ù Ý Ð ÓÒÚ Ö Ò ¹ Ö Ø Ö ÙÑ ÒÒ Ñ Ò Ò Ù Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö¹ Ò º ½ º¾º Ð Ø ÓÒ ÓÐ Ù Ø Ñ Ø Ð ÒØ ÒØ Ð Ø Ñ Ø Ð ÒØ Ù Ý ÓÖÓÞ Ø Ñ Ø Ð ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ý Ñ ØÖ Ù Ø Ö Òº ½¼ Ò ½ ËÞ Ô Ö Ð Ø µº Ý (M, ρ) Ñ ØÖ Ù Ø Ö ÓÖ Þ Ô Ö Ð Ú Ò ÒÒ Ý (x n ) ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ö Ñ Ò Ò a M¹Ö Ú Ò (x n )¹Ò a¹ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ð Ö Þ ÓÖÓÞ Ø º ¾¼º Ð Ø ÓÖ µ C[a, b]¹ò Þ Þ ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ý Þ Ô Ö Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ø Ð ÓØÒ º

28 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ ½ º¾º À Ð ÖØ Ø Ö Ò ½ Å ØÖ Ù Ø Öµº Ý X ÐÑ Þ Ô Ö Ò Ñ ÓØØ ρ(x, y) ØÚ Ð¹ ØÓÞ Ú ÒÝ Ñ ØÖ Þ X ÐÑ Þ ÞÞ Ð Ñ ØÖ Ú Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö µ Å Ò Ò x, y X Ø Ò ρ(x, y) = ρ(y, x) µ Ñ Ò Ò x, y X x y Ø Ò ρ(x, y) > 0 Ú ÞÓÒØ ρ(x, x) = 0 µ Ñ Ò Ò x, y, z X¹Ö Ø Ð Ð ÖÓÑ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Þ n¹ Ñ ÒÞ Ù Ð Þ Ø Ö Ð Ñ Ú Ð Þ Ñ n¹ a = (a 1,...,a n ) µ Ì ÚÓÐ ρ(a,b) 2 := ¾¼º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ñ ØÖ Ù Ø Öº n (a i b i ) 2. µ i=1 Þ Ù Ð Þ Ø Ö Ø ÖÑ Þ Ø Ø Ö ÞØ l 2 Þ Òº ¹l¹ ØØ Ø Ö Ð Ñ ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ð ÞÓ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò ÝÞ Ø Þ ÓÒÚ Ö ÐÒ a 2 i < µ Ì ÚÓÐ i=1 ρ(a,b) 2 := ¾¼º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ñ ØÖ Ù Ø Öº ½¼ (a i b i ) 2. µ i=1 ¾¼º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Þ Ú Ñ ÒÞ Ù Ð Þ Ø Ö Øº ½¼ ½¼ = Î Þ ½ = Î Þ ½ ½ º º Ë ØÓÔÓÐ Ì Ø Ð ¾ ÂÓÖ Ò Ö Ø Ø Ð ÔÓÐ ÓÒÓ Ö µº À Ð Ð ÝÙÒ Ý Þ ÖØ ÔÓÐ ÓÒØ Ø Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Ø Þ Ñ ÐÝ Þ Ð Þ Ý ÓÖÐ ØÓ Ý Þ Ö Ò Þ º ¾½º Ð Ø ÓÖ µ ÞÓÒÝ Ø Ù ÂÓÖ Ò Ö Ø Ø Ð Ø ÔÓÐ ÓÒÓ Ö º

29 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ Å Ý Ö Þ Ø º ÒØ ÐÐ Ø ÓÐÝ Ò Ý Þ Öò Ó Ý Ñ Ö ÞØ Ò Þ Ñ ÖØ Ò Ñ ÖØ ÐÐ ÞÓÒÝ Ø Ò º Þ Ý Ø Ñ º Ú Ò Ø ÖÑ Þ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò º ÅÓ Ø Ð Ø ÓÖ Ò ÓÐ ÓÞÞ٠к ¾½º½º Ð Ø Óغ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ý ÒÝ ÐØ ÔÓÐ ÓÒ Ò Ñ Ú ØØ ¾½º¾º Ð Ø Ä Ý Ò P Ý Þ ÖØ ÔÓÐ ÓÒ x Ý Ö Ø Ú Ð Ð Ú ÔÓÒغ  РРb(x, P) Þ x¹ Ò ØÑ Ò Ð Ý Ò P ¹Ú Ð Ú Ð Ñ Ø Þ Þ Ñ Ò Ô Ö¹ Ø Ø ÓÐ ÐØ Þ Ó Ý Ð Ý Ò Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ P Ý Þ Þ Øµº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ô Ö Ø Ò Ñ Ð Ý Ò Ú Ð ÞØ Ø Ðº ½¼ ½¼ ¾¼º à ÐÑ ÞÓ ¾¼º½º Ð Ø Ö Ø Ø Ð µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ¼ ½ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ð Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Þ ÖØ ÐÑ ÞÞ Ð [0, 1] F i, ÓÖ Ú Ð Ñ ÐÝ F i Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ÒÝ ÐØ (α, β) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓغ ¾¼º¾º Ð Ø Ö Ø Ø Ð µ Á Þ Ñ Ö ¹ Þ Ð Þ Ð Ø ÐÐ Ø Þ ÖØ ÓØ Ò Ñ Ø Þ Ð ½½¼ ½¼ ¾½º Î Ý Ð ØÓ ¾½º½º Ð Ø Â Ð Ð {x} x Ø ÖØÖ Þ Ø x = x [x]µº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý α ÖÖ ÓÒ Ð ÓÖ {nα} Þ ÑÓ Ñ Ò Ò ØØ òöòò Ú ÒÒ ¼ ½ ¹ Òº = Î Þ ½ ½½½ ¾¾º Ð Ø ÓÖ µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ½ ¹ Þ Ñ Ø Ò ÐÝÞ Ø Ø ÓÐÝ Ò Ó ÞØ ÐÝ Ó ÞØ Ø ÓÐ Þ Ý ÓÔÓÖØ Ð ÓÖÖ Ø ØÓÐÓ Ø Ð Ò Ñ ÙØ ØÙÒ Ð Ñ º Å ÓР˾ º½»Å

30 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¼ ¾¾º Ö ÐÑ Ð Ø ¾¾º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ó Ý G¹ Ò ÞØ ØØ Ú Ø Ú Þ Ñ ÐÝ Ö Ð Ø Ð Ñ Ý Ö ÞØ ÓÖ Ð Ð Þ Ð Ð Ö ÞØ Ñ Ýº ½½¾ = Î Þ ½ ¾ º Ð Ø ÓÖ µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ó Ý A Ý d¹ö ÙÐ Ö Ö Ò ¹Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ð Ò ÝÓ ÞÓÐÙØ ÖØ òµ Ø ÖØ d Þ ÓÖ ÓÖ Ý Þ Ö Ö Þ º ¾ º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý A Ý d¹ö ÙÐ Ö Ö Ò ¹ Ñ ØÖ Ü ÓÖ 1 = (1, 1,..., 1) ØÚ ØÓÖº ½½ ¾ º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý A Ý d¹ö ÙÐ Ö Ö Ò ¹ Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ð Ò ÝÓ ÞÓÐÙØ ÖØ òµ Ø ÖØ dº ½½ = Î Þ ½ ¾ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý A Ý d¹ö ÙÐ Ö G Ö Ò ¹ Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ð Ò ÝÓ ÞÓÐÙØ ÖØ òµ Ø ÖØ d Þ Ø ÖØ Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ¼¹½ Ú ØÓÖ Ñ ÐÝ Ý ÖØ Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ò ÓÒ¹ Ø Ò º ½½ ¾ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý A Ý d¹ö ÙÐ Ö Ö Ò ¹ Ñ ØÖ Ü ÓÖ d Ø ÖØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ñ Ý Þ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ ¹ Ú Ðº ½½ ¾¾º½º ÜØÖ Ñ Ð Ö ÐÑ Ð Ø Ò ½ º Þ Ð Ò G n Ñ Ò Ý n Ý Þ Öò Ö Ò Ò¹ Ò ÒÒ ÙÖÓ ¹ Ð Ø Þ Ö Ð º À ÓØØ Ý L Ö ÓÖ ex(n, L) := max{e(g n ) : L G n, } Þ Þ Þ L¹ Þ n¹ Þ Ø ÖØÓÞ ÜØÖ Ñ Þ Ñ Ð Ø Ð Ò ÝÓ Ð Þ Ñ Ý L¹ Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Òº ¾ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ex(n, P 4 ) n. = Î Þ ½ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ý Ö Ò Ð µ ½½ ¾ º º Ð Ø Ì Ð Ð ÙÒ Ý Þ Öò ÓÖÑÙÐ Ø = Î Þ ½

31 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ½ ¹Ö º uv E(G) (d(u) + d(v)) ½½ Å ÝÞ ½ º Þ Ó Ó Ò ÝÞ Ø Þ º Å ÖØ ¾ º º Ð Ø Þ Ð Þ Ð Ø Ð Ô Ò ÑÙØ Ù Ñ Ó Ý G¹ Ò Ú Ò Ø ÓÐÝ Ò ÐÐ Ð Þ Ø ØØ Ñ ÐÝ Ó Þ Þ ØÐ Ó Þ ÑÒ Ð Ð Ø Þ Ö º ½½ Ò ½ º ÓØØ L Ö Ó ÞØ ÐÝ Ø Ò ex(n, L) := max e(g n ) L Gn ha L L Æ Ú ÞÞ Ò Ý ÖØ Ý ØÐ Ú Ð Ø Ø ¹ Ö Ò Ñ ÖØ ÓÒÐ Ø Ö Θ¹Ö µº ¾ º º Ð Ø Ä Ý Ò L T Ø Ø ¹ Ö Ó ÐÑ Þ Þ Ö Ý ØÐ Ú Ðº ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý ex(n, L T ) 3 (n 1). 2 ½¾¼ = Î Þ ¾¼ ¾ º Î Ð ØÐ Ò Ö Ó ¾ º½º Ð Ø Å Ò Ò G n Ö ÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ø Þ e(g n ) ( n 2) = Î Þ ¾½ Ð òöò غ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý G n k¹ Þ ÔÓÒØ Ö Þ Ö Ð òöò Ò ØÐ ÔÔ Ò G n º ½¾½ ¾ º¾º Ð Ø Ä Ý Ò n Ô ÖÓ º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ú Ò G n ¹Ò ÓÐÝ Ò Ô ÖÓ Ö Þ Ö Ñ ÐÝ Þ Ð Ò Ð Ð Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ø n/2 = Î Þ ¾¾ Ñ Ö Øò Þ ÒÓ ÞØ ÐÐÝ Ð Ö Ò Ð Þ º ½¾¾ ¾ º º Ð Ø Å Ò Ñ Ñ Ò Ò Ö Ò Ð Ò ÝÓ Ø Ð Ö Þ Ö (2 + ε) log 2 n¹ò к Ô Ö Þ Ð Ò ÝÓ Ö Ö Þ Ö (2 + ε) log 2 n¹ò к ½¾ ¾ º º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò G n ¹ Ò n log n ÐÐ Ð Ú Ò C 7 º ÀÓ Ý Ò Ð Ø Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø º ½¾

32 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ ¾ º½º ¾ º ¾ º½º Ê Ñ Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÃÓÑ Ò ØÓÖ Å ÓÖ Ñ ÖØ ÞÒ ÐÙÒ Ò Ö ØÓÖ ò Ú ÒÝØ ¾ º º Ð Ø ËÞ Ñ Ø Ù Ò Ö ØÓÖ Ú ÒÝ» Ò Ö ØÓÖÔÓÐ ÒÓÑ Ø Ú Ð n k=0 k( n k) ¹ غ ½¾ ¾ º Î Ý Ñ ÝÞ Å Þ Ì ËÓØØ ÓÓ Æ Þ Ñ Ó ÐÑ ÞÒ Ñ ÖØ Ö Ñ Ø Ð ÓÐÚ Ò Þ Ð Ð¹ ÝÞ Ë Ø ÒÝÚÖ Ðº ÄÚÓÚ Ò Ú Ý Ñ Ù Ý Ò Þ Ä Ñ Ö Òµ ÚÓÐØ Ý Ë Ø Ú Þ Ñ Ñ Ö Ò ÝÓÒ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ù Ó Ý Ö Ò ØØ Ø Ð Ð ÓÞØ º Ý Ö Ò Ø Ð ÝÑ Ò Ö Ö Ø Ñ ÓÐ ¹ Ó Ö Ð Ó Óе ÙØ ÐÑ Ø ØòÞØ º ÀÓ Ý Ñ ÖØ Ö Ë Ø ÈÖÓ Ð Ñ ÒÝÚ Ñ Ð ÓÐÚ Ò Å ÖØ Ð Ø Ö Þ Ó Ý ÓÖ Ñ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞØ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ð Þ ØÓÔÓÐ ¹ ÞÓÒÝÓ Ú Þ Ø Ð º ØØÔ»»ÛÛÛ¹ ÖÓÙÔ º º ع Ò º ºÙ» ØÓÖÝ»À ØÌÓÔ»ËÓØØ ÓÓ º ØÑÐ ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»ËÓØØ ËØ Ò Ö Û Å Ø Ñ Ø ¹Ø ÖØ Ò Ø Ð ÝÞ À Þ ÒØ ÖÒ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ¹Ø ÖØ Ò Ø ØÓ Ö Ú ÞÙÒ Ý Ö Ò ÓØÐÙÒ Ý Ò ÓÐ Ý Ø Ñ ËØ Ò Ö Û ÓÑ ¹Ô ¹ Ö Þ ØØ Ø Ð Ð Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ø ÖØ Ò Ø Ö º ØØÔ»»ÛÛÛ¹ ÖÓÙÔ º º ع Ò º ºÙ» Ñ Ø ÒØ ¼ Ö Ð Üß Ð ØÓÖÝ»ÁÒ Ü»À ØÓÖÝÌÓÔ º ØÑÐ Ê Ñ ÒÒ Ð ζ Úº ÀÓÐ ÓÐÚ ØÙÒ Ö Ð ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Û»Ê Ñ ÒÒ Þ Ø ÙÒØ ÓÒ Å ÖØ Ú ØØ Ð Å ÖØ Þ Ý Ð ÓÒØÓ ÒÝ ØÓØØ Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ê Ñ ÒÒ Ø Ñ ÐÝ ÞØ ÑÓÒ Ó Ý ζ(s) Ò Ñ¹ØÖ Ú Ð Ý Re s = 1 Ý Ò Ò Ú ÒÒ º 2

33 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ º Ð Ø ÓÖ µ ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓÒÚ Ö Ò Re s > 1º ζ(s) := 1 n s ¾ º½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý a n ց 0 b n ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ an b n ÓÒÚ Ö Ò º ½¾ ¾ º¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ÓÒÚ Ö Ò x > 1º f(x) := 1 n x Î Ð Ò Ð ÐÑ Þ Ø Þ Ð Þ Ð Øºµ ½¾

34 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ º Å ÓÐ Ó ¾ º½º Î ÞÐ ØÓ Þ Ð ØÓ ÓÞ Â Ú Ð Ø ººº Ð Ø ÓÞ Ä Ý Ò s n := i n b i. ÓÖ s n sº Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ ÓÖÖ ¹ Ø Ó Ð Þ Ð Ø Ð Ý Ù Ú Ò Ñ ÐÐ Ô Þ M n := a n+1 s n a n s n 1 0. Ì Ý Ð Ó Ý M n < M s n < S º Ð ØÖ Ò Þ Ð i b i = m<i na a i (s i s i 1 ) = M n + s i (a i a i+1 ) = i n i n M n M m (?) + s(a i a i+1 ) + (s i s)(a i a i+1 ) 0. m<i n m<i n Í Ý Ò Ú Ò Ð Ú Ø Ó a n s n a n s n 1 ÐÐ ØÚ a n s n a n+1 s n Ø Ø ØØ M n := a n+1 s n a n s n 1 º ¾ º¾º Å ÓÐ ½º Þ ÑÔØÓØ ËÞ Ò Ð ÒÒ Ú Ø Þ Ö À x > 0 ÓÖ ( ) log(1 + x) x x2 2 + x3 < x ÄÓ Ö ØÑ Þ Ð ÙÒ b n : = log h n = (n ) log(1 + 1 ( n ) n + 1 ) ( 1 2 n 1 2n + 1 ) 2 3n 3 = 1 1 2n + 1 3n n 1 4n n 2. ¾ º º Å ÓÐ ¾º ÓÑ ØÖ Î Ý Ò ÔÓÒØÓØ Ñ ÐÝ Ò Ò Ò Ý Ý Ò Ò A, B, C¹Øº Þ Þ Ø Þ AB Ø Ò ÐÝò Ú Ó Ô Ö ÓÐ Ú Ò Ú Ò Ú Ó AC Ø Ò ÐÝòÒ º Ý Ú Ó ÐÝ Ò ÔÓÒØ Ð Øº

35 Ë ÑÓÒÓÚ Ø Ð ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ò Ö ÙÑ ¾¼¼ º Ñ Ù ¾ º ¾ º Ú ÒÝ ¾ º½º Å ÓÐ ½ µº Î Ý Ð ØÓ Ì Ö Ø 4 4¹ Ø Ð Ø À Þ Ö ÐÝÖ Ö Ù ½ ¹ÓØ Ý Ô ÖÑÙØ Ñ Ò Ò ÔÓÞ º Å Ò Ò Ô ÖÑÙØ Ö ÐÐ ÑÞ Þ ÒÚ ÖÞ Þ Ñ À ÒÝ ÞÓÖ Ú Ò Ø Ð Ñ ÓÖ ØÓØØ ÓÖÖ Ò Ò Ñ ÒØ ÐÐ Ò º Þ Ò ÒÚ ÖÞ Þ Ñ Ô Ö Ø ÔÓÞ Ô Ö Ø º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Ô Ö Ø Ø Ð ØØ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ ÁÆÎ ÊÁýÆË ÁÖÓ ÐÓÑ ½ Ð ÙѹÇÐÑ Ø ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ Ò Ò ÐÝ Ò ÓлÓÖÓ Þµ ¾ ƺ ź ÙÒØ Ö Êº Ǻ ÃÙÞÑ Òº Ð Ñ Ø Ñ Ø Ô Ð Ø Ö Ì Ò ÒÝÚ Î ÐРРغ ½ ½º Ý Ñ ÓÚ Å Ø Ñ Ø Ò Ð Þ º Ð Ø Ýò Ø Ñ ÒÝ Ù Ô Ø ½ ½º Ì Ò ÒÝÚ Ä Þ ÓÚ Å Ð ¹Ìº Ë Î Ö Ò Ð Þ Á¹ÁÁº ĺ ÄÓÚ Þ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÄÓÚ Þ Ä ÞÐ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ü Ö¹ º ÓÖÖ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ó Ø ½ ÓÒ Ø ÓÒº ÅË Ð ÈÙ Ð Ò ÈÖÓÚ Ò ÊÁ ¾¼¼ º ¾ ÔÔº ÁË Æ ¹¼¹ ¾½ ¹ ¾ ¾¹½ ¼ ¹¼½ ÄÓÚ Þ Ä ÞÐ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ØÓ ÌÝÔÓØ Ü È ÐÝ ¹ËÞ Ò Ñ Ø» Ò ÓлÓÖÓ Þ»Ñ Ý Ö Ñ Ð Ò ÓÖÖ Ò Òµ Ã Ø Ø Ø Å Ý ÖÙÐ È ÐÝ Ý Ö Ý ËÞ ÓÖ Ð ØÓ Ø Ø Ð Þ Ò Ð Þ Ö Ð Á¹ÁÁº Ì Ò ÒÝÚ ½ ¼º ÀÙ Ó ËØ Ò Ù Å Ø Ñ Ø Ã Ð Ó Þ ÓÔ Ò ÓÐÙÐ Å Ø Ñ Ø Ð ËÒ Ô¹ ÓØ Ñ Ý Ö Ó ºµ ËÞ ÐÚ Æ Ý Ð Î Ð Ú ÒÝ Ú ÒÝ ÓÖÓ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÑ Ô ¹ Ñ ÛÛÛºÖ ÒÝ º Ù» Ñ Ï Ô ÏÓÐ Ö Ñ Å Ø Ë Æ Ø Î Þ Ð ØÓ Þ Ñ ¾¾