ÄÓ Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Ö Þ Ö ÝÞ Ø Ð Öº Þ ÓÐØ ÍØÓÐ Ñ Ó Ø ¾¼¼ º Ñ Ö ¼º

Átírás

1 ÄÓ Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Ö Þ Ö ÝÞ Ø Ð Öº Þ ÓÐØ ÍØÓÐ Ñ Ó Ø ¾¼¼ º Ñ Ö ¼º

2 ¾

3 ½º Þ Ø Ð Þ Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ú Ð Ö ÝÞ Ø Þ ÄÌ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ã Ö Ò ¾¼¼ ¹ ¾¼¼ ¹ Þ Þ Ñ ÞØ Ö Ò Ø ÖØÓØØ ÄÓ Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Ñò ÙÖÞÙ Þ ¹ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Þ Ô ÓÐ ÒÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Þ ÐØ Ð Ø Ø ÒÝ Ø Ø ÙÖÞÙ Ó Ñ ÖØ Þ Ú Þ Ö Ú Ð Ð Þ Ð Þº Þ Ð Ð Ó Ý Ø ÒØ Ø ÒÝ Ø ÓÒ Þ ÐÑ Ð Ø Þ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ Ð Ø Ö Ð Ø Ö Ã Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Å ÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ Ø Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ù¹ Ò ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø Þ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Ñ ÓÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð Ñ ÐÝ Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ý ÞÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÐÝ Ñ ÓÐ Þ Ö ÓÖÖ Ó Ø Ö µ Ð ÞÒ Ð Þ ÑÔÓÒØ Ð Ò Ñ Ø ÓÒÝ ÒØ Ú Þ Ð Ø ÓÞ Þ Ò Ð Þ ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ð Ô Þ ÒØò Ñ Ö Ø Ö º Å ÖØ ÞÒÓ Þ Ø ÓÐ Ó Ø Ñ ÖÒ Ì Þ ØØ Þ ÖØ Ñ ÖØ Ò Ñ Þ Ò Ð Ñ ÓÐ Ò Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÙ Ù Ó Ý Ñ ÓÐ Ø ØÐ Ò Ñ ÖØ Ó Ý Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÖØ Ò Þ Ò Ñ ÓÐ Ø ÓÖ Ñ ¹ Ó ØÚ Ò Þ Ø Ó ÓÞ Ö ÞØ ØÐ Ý ÒÒÝ Ò Ñ ÓÐ Ø ÐÒ Ñ Ñ Ð Ð µ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÙÒ ØÙ Ù Ó Ý ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ Ñ Ø Ð Ð Ò Þ Ð Ø ÓÖ Ø¹ Ð Ñ Ð Þ Ò Þ Ð Ø Ñ ÓÐ Ó Ö Ú Ú Ý Ñ ÔÖ ÐÙÒ Ý ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ò Ñ Ý ÐØ Ð ÒÓ Ñ Ò Ø Ò Ù Ý Ò ÜÔÓÒ Ò¹ Ð ÒÝò Ý ÓÖÐ Ø Ò Ð Ø Þ Ö Ð ÓÖ ÙÐ Ñ Ò Ø Ò Ø ÓÒÝ Ò Ñò º

4 Â Ì ½º Ä Ë

5 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ð Þ ¾º Ú Þ Ø ¾º½º Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ö Ú Ø ÖØ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ð Ô Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ º º º º º º º º º º º º º ½½ º Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð Ô ½ º½º ÌÙÖ Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ã Ð Ò Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú ÐØÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º½º Ì Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º¾º ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð Ð Ò Ñ Ø Ò¹ ÒÝ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º º Æ Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º½º ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾º Ý Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ º º º º º º º º º º º ¾ º º º Ý Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò Ñ Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ º º º ¾ º º ÌÓÚ Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½º Ê Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ú Þ Ø ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø º½º NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½º Ë Ø NP¹Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

6 Ì ÊÌ ÄÇÅ à º½º¾º ÌÓÚ NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º

7 ¾º Þ Ø Ú Þ Ø Ò Þ Ø Ò Ñ Ñ Ö Ò Ø ÒØ Ö Ý Ð Ô Ó ÐÑ Ú Ð Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ö Ú Ø ÖØ Ò Ø Ú Ðº Å Ø Ò Ô Ö Þ Ø ÖÖ Ð Ó Ý Ñ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ Þ Ð Ñ Ø Ñ Ö ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Øº ¾º½º Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ö Ú Ø ÖØ Ò Ø ½ ¼¼¹ Ò Þ Þ ÓÖ ÙÐ Ð ÐÑ Ð Ú À Ð ÖØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ù ¾ Ñ Ú Ð ÞÓÐ ØÐ Ò Ö Ø ÒØ Þ ØØ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÓÞº Þ Þ Ð Ò ÒÝ Ñ ÒØ Ó Ý Þ Ö ÐØ Ò Ý Ø Ð ÚÓÐØ Ù Þ Þ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò Ò Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð Ö º Þ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð ½¼¹ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Þ Ðغ ÓØØ Ý p Þ Ý Øع Ø ÔÓÐ ÒÓѺ Ö Þ Ó Ý ØÙ ÙÒ ¹ p Ú ÐØÓÞ ÓÐÝ Ò Þ Þ ÑÓ Ø ÐÝ ØØ Ø Ò Ó Ý p ÖØ ¼ Ð Ý Ò Ä Ý Ò Ô Ð ÙÐ p = 2x 2 3xy + 2zº ¹ ÓÖ x y z ÐÝ Ö Ò Ö 2¹Ø 1¹ Ø 1¹ Ø ÐÝ ØØ Ø Ò ÓÖ p ÖØ 0 Ð Þº Ì Ø ÒÒ ÓÒ Ö Ø ÔÓÐ ÒÓÑÒ Þ Ø Ò Ò Ú Ð Þ Ö Ö º À Ð ÖØ ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ØØ Ñ Ø Ø Þ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ø Ò Ò Ú Ý Ò Ñ Ú Ð ÞØ º Ý ÓÒ ÓÐØ Ó Ý Ò Ò Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÚÓÐØ Ý Þ Ú Ö Ð Ó Ý ½¼¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ð Ð ÓÖ ØÑ٠к ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Ð Å Ø Ú ÓÐ ÓØØ Ñ ½ ¼¹ Òº Å ÑÙØ ØØ Ó Ý À Ð ÖØ ½¼¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Ð ÒØ Ø ØÐ Òº À Ð ÖØ Þ ½ ¾¼¹ Ú Ò Ñ Ö ØØ Ò ÝÖ Ø Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ñ ÐÝÒ Ð ¹ ÒÝ Þ ÚÓÐØ Ó Ý ÓÖÑ Ð Þ ÐÒ Ü ÓÑ Ø Þ ÐÒ ÐÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Þ ÐÑ Ð Ø Ø Ý Ñ Ð Ð ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ò Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Þ Ü Ñ Ö Ò ¹ Þ Ö Ø Ð Ñ Ò Ò Þ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ø Ö Ò Þ Ö Òµ ÓÒÞ ÞØ Ò Ò Ñ Ú Þ Ø Ø Ð Ð Ð ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ Þ Ý ÐÐ Ø ÒÒ Ø µº À Ð ÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ö Þ ÚÓÐØ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ý Ö¹

8 Â Ì ¾º Î Ì Ë Ö Ð ÒØ Ø ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ø µ Ñ ÐÝ Ý ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ¹ Ø ØòÞØ ÐÙÐ Ñ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Þ Ð ÐÐ Ø Ö Ð Ð ÒØ Ó Ý Þ Þ Ú Ý Ñ º ½ ¾ ¹ Ò ÃÙÖØ Ð Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý Þ Ð Ö Ò ò Ð ÙÐÙ Ø Ð Þ Þ Ñ Ò¹ Ò ÖÚ ÒÝ ÓÖÑÙÐ Ð Ú Þ Ø Ø ÞÓÒÝ Ø Ø µ Ý Ñ Ð Ð Ü Ñ Ö Ò Þ Ö¹ к ÞØ Ø Ø ÐØ Ú Ù Ð Ø Ð Ø Ø Ð Ò º Ã Ø ÚÚ Ð Ð ÞÓÒÝ ØÓØØ Þ Òº Ð Ò ÑØ Ð Ø Ø Ð Ø Å Ò Ò ÓÐÝ Ò Ñ Ò Ù Ò Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ð Ñ Ö ØÑ Ø Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò ÐÐ Ø Ó Ý Þ ÓØØ ÐÑ Ð Ø Ò Ñ Þ ÐÐ Ø Ñ ÒÒ Ø Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ø Ø Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò ÐÐ Ø Ñ Þ Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ø º Ø Ø Ð ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò ÞØ ÑÓÒ Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÐÑ Ð Ø Ñ Ð Ø Ø Þ ÒØ Ð ÖØ Ò Ò Ñ Ð Ø Ý Þ ÖÖ Ø Ð ÓÒÞ ÞØ Ò º Ò ÑØ Ð Ø Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý À Ð ÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ð ÔÚ Ø Ð ØòÞ Ñ Ú Ð Ø Ø ØÐ ÒÓ º ÞØ Ú ÞÓÒØ Ò ÑØ Ð Ø Ø Ð ÐÚ Ð Ò Ñ Þ ÖÒ Ó Ý ØÐ Ð Ø Þ Ð¹ ÓÖ ØÑÙ Ñ Ð ÒØ Ñ Ø Ñ Ø Þ ÐÐ Ø Ø Ñ Ú Ð Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ Ò Ñ Ð Ø Þ Øغ Þ Ð ÒØ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø Ú Ú Ð ÞØ Ú Ð ÐÓÒÞÓ ÙÖ Ð Ò ÌÙÖ Ò Ø Ñ ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò Ð Ò Ý Ð Ý Ò ½ ¹ Òº Þ Ú ÞÓÒØ Þ ÐÐ ØØ Ó Ý Ú Þ Ø Ö ¹ Ö Ð Ò ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ÑÓ ÐÐ Ñ ÐÝ Ö Ð Ö Ð Ó Ý ÝÑ Ð Ñ Ý Þ Þ Ñ Ø Ö Ú Ð Ö Ò Ð ÞÒ Ð ½ ½¹ Ò Ú Þ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖÞ Ú Ú ÒÝ Øº ½ ¹ Ò Ý Ð ¹ ÓÒ À Ö Ö Ò Ú Ð Ø Ö Ò Ð Þ ÐØ Ð ÒÓ Ö ÙÖÞ Ú Ú ¹ ÒÝ Ø Ñ Ó ÐÑ ÞÞ ÞØ Ò Þ Ø Ø Ó Ý Þ Ú ÒÝ Ñ Ð ÐÒ Ñ Ò Ù Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ò º ÙÖ Þ ½ ¼¹ Ú Ð Ò Ø Ò ØÚ ÒÝ Ú Ð ÃÐ Ò ÊÓ Öµ Ñ Ð ÓØ λ¹ Ð ÙÐÙ Ø Ý ÓÖÑ Ð Ö Ò Þ ÖØ Ñ Ú ÒÝ Ó ÐÑ Ò ¹ Ú ÒÝ Ò Ú ÐØÓÞ ÖØ Ö Ú Ð Ð ÐÑ Þ Ò Ð Ô Þ º Þ Ò Ð Ð Ñ Ð ÓØ λ¹ Ò Ð Ø Ú ÒÝ Øº à ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ Ú Ú Ð Ò Ö ÙÖÞ Ú Ú ÒÝ Ðº ÌÙÖ Ò ½ ¹Ó Ò Ò Ð Ö Ð ÐÒ Ú Þ ØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ó ÐÑ ÞÞ ÞØ Ò Þ Ø Ø Ó Ý ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Þ Ñ Ø Ø Ú ¹ ÒÝ Ñ Ý ÞÒ Þ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ðº Ú Ò Ú ÞÓÐ ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý λ¹ Ò Ð Ø Ú Ð Ñ Ø ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ñ Ý ÞÒ º à ØÓÚ ÑÓ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ôк Ê Å Ô ÈÓ Ø¹ Ô Å Ö ÓÚ¹ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó µ Ñ Ò Ö Ð Ö ÐØ Ó Ý Ò Ñ Ö Ò Ð ÞÒ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÒ Ð Ò ¹ ÝÓ Þ Ñ Ø Ö Ú Ðº Þ Þ Ö Ñ ÒÝ Ð Ø Ñ ÞØ Þ Òº ÙÖ ¹ ÌÙÖ Ò Ø Þ Ø Þ Ñ Ø Ø Ð Ò Þ Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ñ Ò Þ ¹ Ø Ú Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ò Ð º ÙÖ Þ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ¹Ö Ý ÓØØ Ò Ø Ú Ú Ð ÞØ Ó Ý Ñ ÑÙ¹ Ø ØØ Ò Ò ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ñ Ø λ¹ Ð ÙÐÙ Ð Þ Ö Ð Ð¹

9 ¾º¾º Ä È Ç ÄÅ Ã ÒØ Ó Ý Ú Ú Ð Ò ¹ º ÌÙÖ Ò Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÓÒ ÓÐ Ó ÓØغ Ð Þ Ö Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø ØÐ Òº ÍØ Ò Ô Ñ Ó ÐÑ ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Òغ Ð Ñ Ö Ú Ø ¹ Þ ØØ Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ Ø ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ð ÒØ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Ó Þ ÖØ Øº ¾º¾º Ð Ô Ó ÐÑ ËÞ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ú Þ Ò Ý ÓÐÝ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ó ÐÑ ¹ ÞÓØØ Ö Ø Ñ Ö Þ Ñ Ø ÔÔ Ð Þ Ö ØÒ Ò Ñ Ò Ú Ð Þغ Ý ÓÖÐ Ø Ð Ø Þ ÒØ Ñ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÞ Ö Ò Ð Ø Ñ Ð Ð ÞØÖ Ø ÞÒ ÐÚ Ý Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ º È Ð Ì ÒØ Ú Ø Þ Ú Ð Ð Ø Ð Ú ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ò Ø ÞÓÒÓ Ñ Ð Ò Þ Ñ Ö Øò ÓÖ Ò Ñ ÐÝ Ø Ð Þ Ö ØÒ Ò Þ ÐÐ Ø Ò Ú Ð ÓÚ º Ö Ó Ý Ò ÐÝ ÞÞ Ð Ø Ö ÙØ Ò ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ý Ó Ý Ñ Ò Ð Ò ÝÓ Ð Ý Ò ÓÖ Ý ØØ òöø ÖØ ÐÑ º Þ Þ Ð Ø ÓÞ Ö Ò Ð Ø Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ý Ò ÐÝ Þ Ø Ò Ð Ý Ø Ð Ð Ô Ò Ð Ò Þ Ù Ö Ö Ø Ý Ó Ý Ø Ð Ð ÔÒ Ñ Ò Ð Ò ÝÓ Ö Þ Ø Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØ ØØ Ð Ý ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ò Ò Ú ÞÞ º ÒØ Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Þ Ñ ÓÖ Ñ Ù Ø Ð Ð Ô Ö ÓÒ Ö Ø Ñ Ö Ø Øº ËÔ Ð Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÐÝ Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð Ô ÓÐ ØÓ Ö Ý Ð ÒØ Ò Ö Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ö Ú Ð Þ Ò Ú Ý Ò Ñ Ð Þº ÁÐÝ Ò Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò ÐÙÒ º ÓØØ Ý φ Þ ÖÙ Ö Ò ò Ø Ð Ø Ð ÙÐÙ Ð µ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖ¹ Ñ º Ö Þ Ó Ý Ð Ø Ø ¹ φº Ì Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ð Þ Ò φ Ð Ø Ø Ò Ñ Ý Òغ Ý Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ø Ý f : A B Ô Ö Ð Ú ÒÒÝ Ðº Þ A ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ø ÐÐ ÑÞ Ò Ý Ñ Ð Ð Ð ØØ Þ Ò Ð ÓÐÚ Ñ B ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ý Ô Ð ÒÝÓ Ö Ú ÒÝ ÐØ Ð ÓØØ ÖØ Ø Þ ÒØ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ð ÐÑ Ð ØØ Þ Ò Ð ÓÐÚ º ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ú Ò Þ ÓÖ Þ f Ö¹ Ø ÞÐ Ø Ú Ý B Ý Ø Ð Ñò ÐÑ Þ { Ò Ò Ñ} {1, 0} Ø º Þ f Þ ÖØ Ô Ö Ð Ú ÒÝ Ñ ÖØ Þ f ÐØ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÓÐÝ Ò Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ö Ò Ñ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Þ Ñ Ø Ò Ú Ð Þغ Ý f : A B Ú ÒÝØ Þ Ñ Ø Ø Ò Ò Ú Þ Ò Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ Ø¹ ÑÙ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò x A Ð ÑÖ Ú Ó Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Þ f(x) B ÖØ Ø Ø Ø f Ø Ð Ò Ò ÐØ Þ Þ ØÓØ Ð Ú Òݵº Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ñ ÓÐ Ø Þ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ú ÒÝ Þ Ñ Ø Ø º À Ý Ð Ò¹

10 ½¼ Â Ì ¾º Î Ì Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ Ø ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø º ØÓÚ Ò ÐÐ ÑÞ Ò Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø Þ ÒÒÝ Ò Ø Ý Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ð ÒØ ÞØ Ó Ý Ý φ ÓÖÑÙÐ Ð Ø Ø ¹ º Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ñ Ò Ð Ñ Ø Ñ ÒØ φ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ú ÐØÓÞ Ò ÐÓ ÖØ Ø Þ Þ Ð Ø Ñ ÓÒ Ñ Ö Ò Ö ÖØ Ð ÓÖÑÙРغ Ò Ý Ö Ò Ð Þ Þ Ò ÖÖ Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ð¹ ÓÖ ØÑÙ Ó ÒÝ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ñ Ö Ø Ò Ú ÒÝ Ò Ú Þ ¹ Ð Ù º Á Þ Ð Ò Ñ ÔÓÒØÓ ÒÝÖ Ð Þ Ò Ú Ò Ò Ñ ÒÒ Ò Ý Ö Ò Ö Þ ÖØ Ú Þ Ø Ú Ø Þ Ó ÐÑ Øº Ò Ä Ý Ò f, g : N R + Ú ÒÝ ÓÐ N Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ R + Ô Ò ÑÒ Ø Ú Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý f Ð Ð ÓÐÝ Ò ÝÓÖ Ò Ò Ñ ÒØ g Ð Ð f(n) = O(g(n))µ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò c > 0 Þ Ñ n 0 N Ó Ý f(n) c g(n) Ñ Ò Ò n n 0 Þ ÑÖ º Þ f(n) = Ω(g(n)) Ð Ð ÞØ Ó Ý g(n) = O(f(n)) Ø Ð Ð f(n) = Θ(g(n)) Ð Ð ÞØ Ó Ý f(n) = O(g(n)) f(n) = Ω(g(n)) Ø Ð Ðº È Ð 3n 3 + 5n = O(n 3 ) 123n = O(n 2 ) n k = O(2 n ) Ñ Ò Ò k 0¹Ö log 2 n = O(n) log log n = O(log n)º Æ ÝÓÒ ÓÒØÓ Ú Ø Þ Ö Ñ Òݺ Ì Ø Ð Å Ò Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ú ÒÝ Ð Ò Ò Ñ ÒØ ÖÑ ÐÝ ÜÔÓÒ Ò Ð Ú ÒÝ Þ Þ Ñ Ò Ò p(n) ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÞ c ÔÓÞ Ø Ú Ú Ð Þ Ñ ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ Ò n 0 Þ Þ Ñ Ó Ý Ñ Ò Ò n n 0 Ø Ò p(n) 2 cn º Ì ÒØ Ô Ð ÙÐ Ö Þ Ð ÒØ Ø Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Øº Î ÓÒ Ë Ø Ñ ÓÐ Ø ¹ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Þ Þ ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ñ Ñ Ò Ø ÒØ ÔÓØØ ÓÖÑÙÐ Ñ Ö Ø Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ú ÒÝ Ò Ñ Ðе ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ö ÞÒ Ð Ø Ñ Ò Ò Ú ÐØÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ø Ñ Ú Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖÑÙÐ Ú ÐØÓÞ Þ Ñ ¹ Ò Ú ÒÝ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð Ð Ô Þ Ñ Ñ ÖØ Ð ÖÓ Þ Ø Ò ÜÔÓ¹ Ò Ò Ð Ò Ó ÓÞÞ Ö Ò Ð Ø ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ µº Þ Ô Ý ÓÖÐ Ø Ò Ð Ð Ó Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÖÑÙÐ Ö ÞÒ Ð Ø ØÐ Òº ÀÓ Ý ÞØ Ð Ù Ø ÒØ Ò Ý ½¼¼ Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ φ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Øº ÌÙ Ù Ó Ý φ Ð Ø Ø Ò Þ Ð ÒØ Þ ÐØ Ð Ò ÖØ Ð Þ º Þ ÓÖ Þ Ñ Ó Ý Ý Ñ Ó Ô Ö Ò ÒØ ÑòÚ Ð ØÖ Ô Þ Ñ Ø Ô Ö Ð¹ Ð Ð Ú ÓÐ ÓÞÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ô Ø Ñ ÒØ Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÒÐ Ð Ø ÓÖ º  РÒÐ Ñ Ú Ð ÞÓÐ ØÐ Ò Þ Ö Ó Ý Ò¹ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ ÒÒ Ö Ò Ú Þ Ð Ø Ñ Ö ÓÒÝÓÐÙÐع ÐÑ Ð Ø Ø Ñ Ö º Þ Ú ÞÓÒØ Ø ÒÝ Ó Ý Ú Ð ØÙ Ò Ò Ý ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ñ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÒØ ÓÖ Þ ÑÓ ÓÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÐÝÒ Ð ÒØ Ö Ð ÒÐ ÜÔÓÒ Ò Ð ÒÝò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÖØ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÒØ Ø Ð ÒÒ º Å ÝÞ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ñ ÞÓÖ ØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ÓÖ Ñ Ò Ò ÓÒ¹

11 ¾º º ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎ Ã Ë Î Ë Ê ÈÊ ÆÌý Á Áà ½½ ÙÒ Ø Ð Ð Ý ÔÓÞ Ø Ú Ð Ø Ö ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ º Ý Ð ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒØ Ø Ý Ñ ÒØ Ý ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚº ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ð ÒÝ Ø Ð ÓÐ Ù Ý Ñ Ð Ð Ð ØØ Þ Ú Òº Þ ÙØ Ò Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÞÓÒÓ Ø Ù ÞÞ Ð ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚÚ Ð Ñ ÐÝ ÞÓ Ø Þ Ú Ø Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ô Ð ÒÝ Ø ÓÐ Ú Ý ÞÓ Ø Ô Ð ¹ ÒÝÓ Ø Ñ ÐÝ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ú Ð ÞØ º Þ Ý ÔÓØØ ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ø ÐØ Ð Ò Ù Ý Ò Ý Ò Ú ÞÞ Ñ ÒØ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ì Ø Ô Ð ÙÐ Ë Ø Ð ÒØ Ø ÒØ Ò ÐØ Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÞØ ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ø Ñ ÐÝ Þ Ú Ð Ø Ø Þ ÖÙ Ö Ò ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÐ º ¾º º ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ä Ý Ò Σ Ý Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þº Σ¹Ø Ò Þ Ð Ñ Ø Ô Øò Ò Ò Ú ÞÞ º Σ Øò Ò Ý Ø Ø Þ Ð Ú Ö Ö µ ÓÖÓÞ Ø Ø Σ¹ Ð ØØ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º Σ Ð Ð Þ Þ Σ¹ Ð ØØ Þ Ø Σ + Σ {ε} ÐÑ ÞØ l(u) Þ u Σ Þ Ó Þ Ø l a (u) Ô Þ u¹ Ð a Øò Þ Ñ Øº 0 Ó Þ Þ Ø Ö Þ Ò Ò Ú ÞÞ Ð εµº Σ¹ Ð ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Σ Ý Ö Þ ÐÑ Þ Ø ÖØ º È Ð Ä Ý Ò Σ = {0, 1}º ÓÖ Σ = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11,...}º Þ Ð ÒÝ ÐÚ Ô Ñ Ò Σ Ö Þ ÐÑ Þ, {0, 111, 0 5, 1 10 }, {ε}, {ε, 0, 1, 10, 11} {(01) n : n 0}, {0 n 1 n : n 0}, {u Σ : l 0 (u) = l 1 (u)}. Å Ú Ð Ý ÒÝ ÐÚ ÐØ Ð Ò Ú Ø Ð Ò ÐÐ Ø Ð ÐÒ Ý Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÒÝ ÐÚÒ º ÀÓ Ý Ò Ð Ø Ñ Ò Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ñ Þ ÒÔÙØ Ö ÓØØ u Σ Þ Ö Ò ¹Ò Ð ÐÐ Ñ u L Ò Ñ ¹Ñ Ð u Lº Þ ÐÝ Ñ ÓÒ Ñ Ø ÒÝ ÐÚ Ø Ò Ú ÞÞ Ð ÒØ Ø Ò Ú Ý Ö ÙÖÞ ÚÒ º Ð Ö Ð Ñ Þ ÒÔÙØ Ö ÓØØ u Σ Þ Ö Ò ¹Ò Ð ÐÐ Ñ u L Ú Ý Ò Ñ ÐÐ Ñ Ú Ý Ò Ñ ¹Ñ Ð ÐÐ Ñ u Lº Þ ÐÝ Ñ ÓÒ Ñ Ø ÒÝ ÐÚ Ø Ò Ú ÞÞ ÌÙÖ Ò Ð Ñ Ö Ø Ò Ú Ý Ö ÙÖ¹ Þ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò º Î Ð Ó Ó Ý Ñ Ò Ò Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ Ð Ñ Ö Ø º Ú ÞÓÒØ Ð ØÒ Ó Ù Ó Ý Ò Ñ ÐÐ ÒÒº ÓÖ ØÓØØ ÐÐ Ø Ö Ð

12 ½¾ Â Ì ¾º Î Ì Ë ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ ØÓÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ ÒÝ ÐÚØ ÒÓ Ð Ò¹ Þ Ú Ó ÐÐ ÔÓØØ Ð Ö Ò Ð Þ Ô Ú ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô º Ú Ø Þ Þ Ø Ò ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Ó ÙÒ Ñ Ñ Ö Ò º

13 º Þ Ø Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð Ô ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ú Ó Ð ÐÐ ÔÓØØ Ð Ö Ò Ð Þ Þ Þº ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ý Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ ÓÐ ÓÞ º Þ Ð ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ô ÓÖÐ ØÐ Òµ Ñ Ñ Ö º Ã Þ Ø Ò Þ Ð ÓÒ Ñ Ò Þ Ú Ò Ñ ÐÝ Þ Ð Ð Ú Ò ÐÝ Þ Ðº Ô Òº Ö ¹ÓÐÚ Ñ Ò Þ Ð Øò Ò ÐÐ Ô Þ ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Òº Þ Ð Ñ Ò Þ Ò Ú Ð Ö Þ Ö µ Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þº º½º ÌÙÖ Ò ¹ Ô À ÓÒÐ Ò Ú ÙØÓÑ Ø ÓÞ Ú Ý Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø ÓÞ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ú Ó ÐÐ ÔÓØØ Ð Ö Ò Ð Þ Þ Þº ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ý Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ ÓÐ ÓÞ º Þ Ð ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ô ÓÖÐ ØÐ Òµ Ñ Ñ Ö º à ޹ Ø Ò Þ Ð ÓÒ Ñ Ò Þ Ú Ò Ñ ÐÝ Þ Ð Ð Ú Ò ÐÝ Þ Ðº Ô Òº Ö ¹ÓÐÚ Ñ Ò Þ Ð Øò Ò ÐÐ Ô Þ ÐÐ ¹ ÔÓØ Ò Ú Òº Þ Ð Ñ Ò Þ Ò Ú Ð Ö Þ Ö µ Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þº Ô Þ Ö ¹ÓÐÚ Ø Ø Ø Þ Ð Ò Ô ÑÓÞ ØÒ Þ Ð ÓÒ Ø ÒÒÝ Ó Ý Ò Ñ Ø Ð Þ Ð Ð ÓÐ Ð Ò Þ Þ Þ Ð Ð Ð Ò Ú Ò ÓÖ Ô Ò Ñ ØÙ Ø ÐÖ Ð ÔØ ØÒ º Ô Ô ØÓÚ ÔÓÞ Ò Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ Ø ÓÐÚ Ò Ø ÖÒ º ÔÒ Ú Ò Ø Ø ÒØ Ø ØØ ÐÐ ÔÓØ q i q n ÐÐ ÔÓØÓ º À Þ Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ö Ð Ô ÓÖ Ö Ò Ö Ð Ó ÐÐ ØÚ ÐÙØ Ø Ñ Ò Þ Øº ÓÖÑ Ð Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ò Ð Ù º Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý ÓÐÝ Ò M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q i, q n ) Ö Ò Þ Ö ÓÐ ½

14 ½ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á Q Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þ q 0, q i, q n Q q 0 Þ ¹ q i Þ Ð Ó q n Þ ÐÙØ Ø ÐÐ ÔÓØ Σ Γ Ñ Ò Ð ÐÐ ØÚ Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ Ý Ó Ý Σ Γ Γ Σ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý Ô Ð Þ Ñ ÐÙÑÓØ δ : (Q {q i, q n }) Γ Q Γ {L, R} Þ ØÑ Ò Ø Ú Òݺ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñò Ò Þ Ø Ô ÝÒ Ú Þ ØØ ÓÒ ÙÖ Ú Ð Ö Ù Ð º ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÒ ÙÖ Ý uqv Þ ÓÐ q Q u, v Γ v εº Þ ÓÒ ÙÖ Ô ÞÓÒ ÐÐ ÔÓØ Ø Ø Ö Þ Ñ ÓÖ Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ uv uv ÙØ Ò Þ Ð ÓÒ Ñ Ö Ú Òµ Ô q ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Ò Ô Ö ¹ÓÐÚ v Ð Øò Ö ÑÙØ Øº Ô Þ ÓÒ ÙÖ Ý ÓÐÝ Ò q 0 u Þ ÓÐ u Σ Ð Øò Ø Ø ÖØ ÐÑ Þº Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø Ø Þ Ð Þ Ö ÒØ Ò Ð Ù º Ò Ä Ý Ò uqav Ý ÓÒ ÙÖ ÓÐ a Γ u, v Γ º À δ(q, a) = (r, b, R) ÓÖ uqav ubrv ÓÐ v = v v ε Ð Ò Ò v = º ÅÓ Ø Ø Ý Ð ÞØ Ó Ý δ(q, a) = (r, b, L)º Ò Þ Ø Ò u ε ÓÖ uqav u rcbv ÓÐ c Γ u c = u Ý ÒØ Ô uqav urbvº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M Ú Ó Ð Ô Ò Ð ÙØ C ÓÒ ÙÖ Ð C ÓÒ ¹ ÙÖ Ð C C µ Ú Ò ÓÐÝ Ò n 0 C 1,..., C n ÓÒ ÙÖ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý C 1 = C C = C n Ñ Ò Ò 1 i < n¹ö C i C i+1 º À q {q i, q n } ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ uqv ÓÒ ÙÖ Ý Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ º q = q i Ø Ò Ð Ó Ñ q = q n Ø Ò ÐÙØ Ø ÓÒ Ù¹ Ö Ö Ð Þ Ð Ò º Þ M ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ñ Ø L(M)¹Ñ Ð Ð Ð Ò µ ÞÓ Ò Þ u Σ Þ ¹ Ú Ò ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö Þ Ó Ý q 0 u xq i y Ú Ð Ñ ÐÝ x, y Γ, y ε Þ Ú Ö º È Ð Ì ÒØ Þ L = {u#u u {0, 1} + } ÒÝ ÐÚ Øº Þ L Ð Ñ Ö Ø Ý ÓÐÝ Ò ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Ñ ÐÝ Ú Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ö ÒØ Ñò º ½º Î ÓÐÚ Ú Þ ÒÔÙØÓØ ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ð Ó Ý Þ ÔÓÒØÓ Ò Ý #¹Ø Ø ÖØ Ð¹ Ñ Þ¹ º À Ò Ñ ÓÖ ÐÙØ Ø Ù Ñ Ò Ø Øº Ý Ð Ñ Ñ Þ Ð Ð Ô Ò Ñ ÐÐ Ð ÐÒ Þ ÒÔÙØ Ð Øò Ø Ð Ò Ò Ô Ò Ñ Ó ØÙ Ò Ñ ÓÖ ÖØ Ú Þ Þ Ð Ö º Ø Ò Ò Þ Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý Ø Ö Ù Þ Ð ØòØ ¹Ö Ý ÐÐ ÔÓØ Ò Ñ Ý ÞÞ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Þ Ñ ÐÙÑÓØ Ø Ö ÐØ Ò º ¾º Þ Ð ÓÒ Ó ¹Ú Þ Ð Ú ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ð Ó Ý # Ó Ð ÓÐ ¹ Ð Ò Þ ÝÑ Ò Ñ Ð Ð ÔÓÞ ÓÒ Ù Ý Ò ÞÓ Þ Ñ ÐÙÑÓ Þ Ö ¹ Ô ÐÒ ¹ º Þ Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý Ð Þ Ö # Ð ÓÐ Ð Ò Ø Ö Ù ÓÖÓÒ Ú Ø Þ ØòØ x¹ö Ô Þ ÐÐ ÔÓØ Ò Ñ ÝÞ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò ØòØ ÖØ Ø ÐÝ Ò ØòØ Ó Ö Ò # Ó ÓÐ Ð Òº À Ø Ð Ð ÐÝ Ø ÓÖ

15 º½º ÌÍÊÁÆ ¹ È Ã ½ Ø Ö x¹ö Ý ÒØ Ô ÐÙØ Ø Ñ Ò Ø Øº ÞÙØ Ò Ô Ú Þ Ñ Ý Þ Ð Ö Þ Ö ÑÓ Ø Ú ÞÓÐØ ÑòÚ Ð Ø Øº º À # Ð ÓÐ Ð Ò Ñ Ò Ò Þ Ñ ÐÙÑ Ø Ö ÓØØ x¹ö ÓÖ Ð ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ó Ý # Ó ÓÐ Ð Ò Ú Ò¹ Ñ Ð ÓÐ ÓÞ ØÐ Ò Øò ÓÐÝ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ø ÖÚ x¹ö µº À Ò ÓÖ ÐÙØ Ø Ù Ñ Ò Ø Ø Ý ÒØ Ô Ð Ó Ù º Þ Ð Ö Ò Þ L¹ Ø Ð Ñ Ö ÌÙÖ Ò ¹ Ô δ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ð Ø Ø Ô ÐÐ ÔÓØ ÐÑ Þ Ñ Ò ¹ ÐÐ ØÚ Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Ð ÓÐÚ Ø Þ Ö Ö Ð Ô Þ ÐÐ ÔÓØ q 1 ÐÐ ÔÓصº Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ý Ö Ð Ú Ò Ñ Ú Ñ Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ ÐÐ ÖØ ÐÑ ÞÒ º Ä Ý Ò q p Ô Ø ÐÐ ÔÓØ a, b Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ D Ô Ý {L, R}¹ Ð Ö Òݺ ÓÖ Þ Ö Ò Ý q¹ Ð p¹ Ú Þ Ø Ð a/b, D Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý δ(q, a) = (p, b, R)º Ô Ò Ñ Ö ÞÓÐØ ØÑ Ò Ø δ Ò Þ Ö ÒØ ØÓØ Ð Ú ÒÝ ÐÐ Ó Ý Ð Ý Òµ q n ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ØÒ º 0/x, R 0/0, R 1/1, R 0/0, R 1/1, R 0/0, L 1/1, L #/#, L 0/0, R 1/1, R x/x, R #/#, R /, L /, R #/#, R q 3 q 5 q 7 q 9 q 11 1/, R 0/x, L 0/0, L 1/1, L q 1 q 12 x/x, L 1/x, L 0/, R #/#, R /, L /, R #/#, R #/#, L q 2 q 4 q 6 q 8 q 10 /, R q 13 0/0, R 1/1, R 0/0, R 1/1, R 0/0, L 1/1, L #/#, L 0/0, R 1/1, R x/x, R x/x, R 1/x, R q 14 #/#, R /, R x/x, R q i Ô Þ Ñ Ø Ø 01#01 Þ Ò Ú Ø Þ ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø Ð Ð Ø Ð ¹ ÖÒ º q 1 01#01 q 2 1#01 1q 2 #01 1#q #01q 4 1#0q q 6 1#01 q 8 1#01 1q 8 #01 1#q q 12 #x1 2 q 12 1#x1 q 13 1#x1 xq 9 #x1 x#xx q i. Ì Ø Ô ÐÝ Ò Ð Ó 01#01 Þ Øº Å ÝÞ ËÞÓ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ý Ò ÐÒ Ó Ý Ô Ö ¹ÓÐÚ Ô Ý ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ñ Ö Ò º Æ Ñ Ò Þ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ý ÐÝ Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ ÑÙÐ Ð Ø Ý ÓÐÝ ÒÒ Ð Ñ Ó Ö Ú Ý ÐÖ Ð Ô Øº

16 ½ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á ÅÓ Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ú Ð Ò Ð Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø ÐÐ ØÚ Þ Ð¹ ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ Øº Á Þ Ó Ý ÓÖ Ò Ñ Ö Ò ÐØÙ Þ Ø ÒÝ ÐÚÓ ÞØ ¹ ÐÝÓ Ø ½½¹ ÓÐ ÐÓÒµ Ò Ñ Ö Ð Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ ÞÞ Ð Ò Ú Ð Ñ ÓÒ ÓÐ Ù Ó Ý ÙÖ ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ ÖØ ÐÑ Ò Ñ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ø ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº Ò Ý L Σ ÒÝ ÐÚ ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø L = L(M) Ú Ð Ñ ÐÝ M ÌÙÖ Ò ¹ ÔÖ º ÌÓÚ Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ ÙØ Ð Ñ Ö Þ L¹ غ ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ø ÞÓ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò Þ Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ Ø Ô Ö ÙÖÞ ÚÒ Ò Ú ÞÒ º Å Ý ÞÞ Ó Ý ÒØ Ô Ð Ò Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò Ñ Ð Ñ Ö Ò Ñ Ð ÒØ Þ L ÒÝ ÐÚ Øº ÅÓ Ø Ò Ð Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÙØ Ò ÒÝ Øº Ò Ì ÒØ Ò Ý M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q i, q n ) ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø ÒÒ Ý u Σ Ñ Ò Þ Ú Øº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M ÙØ ÒÝ µ Þ u Þ Ò n n 0µ M q 0 u Þ ÓÒ ÙÖ Ð n Ð Ô Ò Ð ØÙ ÙØÒ Ý Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ º À Ò Ò ÐÝ Ò Þ Ñ ÓÖ M ÙØ Þ u¹ò Ú Ø Ð Òº Ä Ý Ò f : N N Ý Ú Òݺ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M ÒÝ f(n) Ú Ý Ó Ý M Ý f(n) ÓÖÐ ØÓ Ôµ Ñ Ò Ò u Σ ÒÔÙØ Þ Ö M ÒÝ Þ u Þ Ò Ð Ð f(l(u))º È Ð Ì ÒØ Ö ÒØ Ô Ð Ò Ð Ø Ø L ÒÝ ÐÚ Ø Þ Ø Ð ÒØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Øº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ô ÒÝ Ý u#u n Ó Þ Þ Ò Ú Ø¹ Þ ÔÔ Ò Ð Ùк Þ ÒÔÙØ Ð ÐÐ Ò ÖÞ 2n Ð Ô º Ý Øò Ô Ö Þ ÓÒÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ 2( n 2 +1) n 2 Þ n 2 Þ Ö Þ Ø Ð Ð µ Ñ Ü ÑÙÑ 2n Ð Ô ØØ Ð Ò Ó Ý Ñ ÐÝ ÔÓÞ Ò Ð Ø ÖØÙÒ Þ Þ ÓÒÐ Ø Òµº Þ Ð Ð ÖØ ÐÐ Ò ÖÞ Ø Ô n 2 Ø Ò ÐÐ Ú Ö Ø Ò º Ì Ø Ô Þ Ñ Ø Þ u#u Þ Ò Ò Ý Ö Ò Ð 2n + n 2 2n Þ Þ n2 + 2n Ð Ô Ð Ðк À Ô Þ Ð Ò ÓÐÝ Ò u Þ Ø Ô Ñ Ò Ø ÒØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ñ L¹Ò ÓÖ Øò Ô ÖÓ Ð ÐÐ Ò ÖÞ n 2 ¹Ò Ð Ú Þ Ö Ø Ú Ö º Å Ò Þ Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ L ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø Ý O(n 2 ) ÓÖ¹ Ð ØÓ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº

17 º¾º ÃÄ Æ ÌÍÊÁÆ ¹ È ÎýÄÌÇ ÌÇà ½ q 0 0, /0, #, S, R 1, /1, #, S, R 0, /0, 0, R, R 0, /0,, R, S 1, /1, 1, R, R 1, /1,, R, S q 2 #, /#,, R, S, /,, L, L q 3 0,0/0, 0, L, L 1,1/1, 1, L, L q 4 #, #/#,#, S, S q i º¾º Ã Ð Ò Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú ÐØÓÞ ØÓ Ò Þ Ø Ò Ñ Ú Þ ÐÙÒ Ò ÒÝ Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Ò Þ Ú ÐØÓÞ Ø Þ Ðº Þ Ô Ö ÐØ Ð ÒÓ Ò Ú ÒÒ Ò ÐÚ Ñ Ø Ñ ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò Ú Ú Ð Ò Ú Ð º º¾º½º Ì Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò ÝÒ Ð Ø Þ Ð Ð Ö Ò Ð Þ¹ Ò º Å Ò Ý Þ Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý Ö ¹ÓÐÚ Ñ ÐÝ ÝÑ Ø Ð ¹ ØÐ Ò Ð Ô ÑÓÞÓ Ò Ó Ö ÐÖ Ú Ð Ñ ÒØ Ô ÖÖ Ó Ý Ý ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ñ Ö Ò º Ò Ä Ý Ò k > 1º Ý k¹ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý ÓÐÝ Ò M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q i, q n ) Ö Ò Þ Ö ÓÐ ÓÑÔÓÒ Ò δ Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Ý ÞÒ Þ Ý¹ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÑÔÓÒ Ò Ú Ð δ Ô Ú Ø Þ ÔÔ Ò º δ : (Q {q i, q n }) Γ k Q Γ k {L, R, S} k º ÁØØ Þ S Þ Ñ ÐÙÑ ÞØ Þ ¹ Ø Ø Ð Ð Ñ ÓÖ Þ Ö ¹ÓÐÚ ÐÝ Ò Ñ Ö º Ä Ý Ò q, p Q¹ Ð ÐÐ ÔÓ¹ ØÓ a 1,..., a k, b 1,..., b k Γ¹ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ D 1,..., D k Ô {L, R, S}¹ Ð Ö ÒÝÓ º À δ(q, a 1,..., a k ) = (p, b 1,..., b k, D 1,..., D k ) ÓÖ Ô q ÐÐ ¹ ÔÓØ Ð Þ Ð Ò Ö Ò Ö Þ a 1,...,a k Øò Ø ÓÐÚ Ø ØÙ Ñ ÒÒ p ÐÐ ÔÓØ Ñ Þ Ò Þ a 1,...,a k Øò Ø Ø Ö b 1,..., b k Øò Ö Þ Ð ¹ Ó ÓÒ Ø D 1,...,D k Ö ÒÝÓ ÑÓÞ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ 1 i k Ø Ò D i = S ÓÖ Þ i¹ Þ Ð ÓÒ ÐÝ Ò Ñ Ö µº Ö Þ Ý Þ Ð Ó Ø Ò Ò Ñ ÑÓÞ ÙÐÒ ÐÖ Þ Ð Ð Ð Ò ÐÐÒ º Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÒ ÙÖ ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ð Ñ ÖØ ÐÐ ØÚ Ð ÒØ ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Þ Ý Þ Ð Ó Ø ÖØ Ð Ñ Þ Öò ÐØ ¹ Ð ÒÓ Ø º Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÑÓ ÐÐ ÒÝ Ø Þ Ý Þ Ð Ó ÓÞ ÓÒÐ Ò Ò Ð Ù º ØÓÚ Ò Ý L ÒÝ ÐÚ Ø f(n) Ò Ð ÒØ Ø Ò Ò Ú Þ Ò Ð Òع Ø Ý f(n) ÓÖÐ ØÓ Ö Ø Þ Ð Ó µ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº È Ð Ì ÒØ Ö Þ L = {u#u u {0, 1} + } ÒÝ ÐÚ Øº Þ Ð Ø Þ ¹ Ð Ó Ô Þ ÒØ Ò L¹ Ø ÒØ Ðº Ô δ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ú Ø Þ Ñ ÓÒ

18 ½ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á ÓÐÚ Ø Þ Ö Ðº Ä Ý Ò q p Ô Ø ÐÐ ÔÓØ a 1, a 2, b 1 b 2 Þ ¹ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ D 1 D 2 Ô {L, R, S}¹ Ð Ö ÒÝÓ º À Þ Ö Ò Ú Þ Ø Ð q¹ Ð p¹ Þ Ð Ñ a 1, a 2 /b 1, b 2, D 1, D 2 ÓÖ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý δ(q, a 1, a 2 ) = (p, b 1, b 2, D 1, D 2 )º Ô Ò Ñ Ö ÞÓÐØ ØÑ Ò Ø ØØ q n ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ØÒ º Ô Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ñò º Ð Þ Ö Ö Ý # Þ Ñ ÐÙÑÓØ Ñ Ó Þ Ð Ö Ñ Ð ÐÚ ÞÞ Ð 2¹ Þ Ð ÓÒ Þ Ð Øº ÞÙØ Ò ØÑ ÓÐ # ÐÓÐ Ð Ò Ð Ú Þ Ø 2¹ Þ Ð Ö º Å ÐÑ Ý Þ Ð Þ Ð ÓÒ Þ Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ð ÓÒ Þ ÙØÓÐ Ò Ñ Þ Ñ ÐÙÑÖ Ðк Î Ð Ñ Ò Ø Þ Ð ÓÒ ÐÖ Ð Ô Ú Þ ÓÒÐ Ø Þ Ð Þ Ð ÓÒ #¹Ø Ð Ó Ö Ð Ú Þ Ø 2¹ Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Ú Ðº À Ø Þ Ð ÓÒ Ý Þ ÖÖ ÓÐÚ Ò #¹Ø ÓÖ Ô Ð Ó Ð Ò Ò ÐÙØ Øº Ô ÒÝ Ø Ý n Ó Þ Þ Ò ÒÒÝò Þ ÑÓÐÒ Þ Ð Ð n 2 +n+1 Ð Ô º Ì Ø L Ý O(n) Ú Ý Ð Ò Ö Ò Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚº Ö ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Þ Ð Ð Ý Þ Öò Ò Ô Ð Ñ ÖÒ Ý ÒÝ ÐÚ Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Þ Ñ Ø Ö Ò Ñ Ò Þ ÐØ Ð Ó Ý ÞØ Þ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ ¹ Ø Ò Ð ØÒ Ó Ù º Ã Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ò Ú Þ Ò Ù Ý Ò ÞØ ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº Ì Ø Ð Å Ò Ò k¹ Þ Ð Ó f(n) ÓÖÐ ØÓ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ú Ò Ú Ð Ú Ú Ð Ò Ý Þ Ð Ó O(f(n) 2 ) ÓÖÐ ØÓ ÌÙÖ Ò ¹ Ôº ÞÓÒÝ Ø Î ÞРص Ä Ý Ò M Ý k¹ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú Ð Ñ ÐÝ k 2¹Ö º Å ÙÒ Ý M Ý Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ô Þ ÑÙÐ ÐÒ M Ñò غ Þ ÑÙÐ ØÐ Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º M ÝÑ ÙØ Ò Ø ÖÓÐ Þ Ð Ò M Þ Ð Ò Ø ÖØ ÐÑ Øº Ð Ò Þ Þ Ð Ó Ø # ÐÐ Ð Ú Ð ÞØ Ð ÝÑ Ø Ðº ÞØ Ó Ý M Þ Ð Ò Ñ ÐÝ Þ Ñ ÐÙÑÓ Ö ÑÙØ ØÒ M Ý Ø ÖØ Þ ÑÓÒ Ó Ý Ö Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø Ñ Ð Ð Ý ˆ ÐРк Ì Ø M Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Þ ØØ Þ M Þ Ð Þ Ñ ¹ ÐÙÑ Ñ ÐÐ ØØ ÓØØ Ú Ò Ñ # Þ Ñ ÐÙÑ Ú Ð Ñ ÒØ M Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Ò Ý ˆ¹Ô Ð Ñ Ð ÐØ Ú ÐØÓÞ Ø º Þ ÑÙÐ Ð Ô Ú Ø Þ º Ä Ý Ò w = a 1...a n M Ý Ñ Ò Þ Ú º ½º M Ð Þ Ö Ð ÐÐ Ø Þ Ð Ò M Þ ÓÒ ÙÖ Ø #â 1 a 2...a n #ˆ #ˆ...#º ¾º M Ý Ð Ô Ò Þ ÑÙÐ Ð ÓÞ M Ú ÓÐÚ Þ Ð Ø Þ Ð #¹Ø Ð Þ Ú Þ ÙØÓÐ k+1¹ µ #¹ º Þ Ò Þ ÐÐ ÔÓØ Ò ÐØ ÖÓÐ ÔÓÒØØ Ð Ñ Ð ÐØ Þ Ñ ÐÙÑÓ ÔÓÒØ Ò Ð Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ø M ÐÐ ÔÓØ Ý Ú ÒÒ Ò ÐÚ Ó Ý Ñ Ò Ý Ô Ø ÖÓÐÒ M k Ö Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Øµº º M ÞÙØ Ò Þ ÐÐ ÔÓØ Ò ÐØ ÖÓÐØ ØÓ M ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ð Ô Ò Ú Ö Ø Ø Þ Ð Ò ÞÓ Ø Ñ Ó Ø Ó Ø Ñ ÐÝ Ø M Ú Þ Þ Ð Òº

19 º¾º ÃÄ Æ ÌÍÊÁÆ ¹ È ÎýÄÌÇ ÌÇà ½ M a a M # ˆ # 1 1 ˆ0 1 # a â # º À M Ú Ð Ñ ÐÝ Þ Ð Ò Þ ÙØÓÐ Ò Ñ Þ Ñ ÐÙÑ ÓÐÚ ÙØ Ò Ó Ö Ð Ô ÓÖ M Ñ Ð Ð #¹Ø Ð Þ Ú Ó Ö ÑÓÞ Ø Ý ÔÓ¹ Þ Ú Ð Þ Ð Ò Ø ÖØ ÐÑ Ø Ð Þ ÙÐØ ÐÝÖ Þ Ö Ý ˆ Þ Ñ ÐÙÑÓغ º À M Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ð Ó Ú Ý ÐÙØ Ø µ Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ ¹ Ö Ð ÓÖ M Ñ Ð Ð Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ð Ôº Ý ÒØ M ÓÐÝØ Ø M Ð Ô Ò Þ ÑÙÐ Ð Ø ¾º ÔÓÒØØ Ðº Ä Ø Ø Ó Ý M ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ô Ð Ó ÐÐ ÔÓØ Ñ ÓÖ M Ø Ø L(M) = L(M )º ÌÓÚ Ò Ñ Ò Þ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý M f(n) ÓÖ¹ Ð ØÓ ÓÖ M O(f(n) 2 ) ÓÖÐ ØÓ º º¾º¾º ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð Ð Ò Ñ Ø Ò ÒÝ µ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò Ð Ø Ý Ó Ý Ò Ñ Ý Ý Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ¹ ÓÒ Ò Ñ Ý Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Ò ÓÐ ÓÞ º ÓÖ ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÖÐ ØÐ ÒÙÐ Ð Ô Ø Ó Ö ÐÐ ØÚ ÐÖ Þ Ð Ò Ñ ÒØ Þ Ú Ö Ø Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð Ð Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ñ Ø Ö Ñ Ò ÝÓ Ñ ÒØ Þ Ý Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ô º Ì Ø Ð Å Ò Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ú Ò Ú Ð Ú Ú Ð Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ôº ÞÓÒÝ Ø Ú ÞÐ Ø Ú Ø Þ º Ä Ý Ò M Ý Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ôº Ð M¹ Þ Ñ ÓÒ ØÖÙ ÐÒ Ý Ú Ú Ð Ò M Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ ÖØ ÞØ Ñ Ö ØÙ Ù Ó Ý M ¹ Þ Ñ Ø Ý Ú Ð Ú Ú Ð Ò Ý Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ôº

20 ¾¼ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á M Ñò Ò Þ Ð Ô ØÐ Ø Ú Ø Þ º M Ø Þ Ð Ð Ö Ò Ö Þ Ð ÐÐ ØÚ Ñ Ó Þ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð M Þ Ð Ò ÞÓÒ Ö Þ Ø Ñ ÐÝ M Þ¹ ÓÒ ÙÖ Ò Ø Ð Ó Ö ÐÐ ØÚ ÐÖ Þ Ö Ô Ðº Ñ ÓÖ M Þ¹ ÔÓÞ ÓÞ Ô Ø Ó Ö ÓÐ ÓÞ ÓÖ M Þ Ð Þ Ð ÓÒ Ð Ñ ÓÐ M Ñò غ Ñ ÓÖ M Þ ÔÓÞ Ø Ð Ý Ø ÐÖ Ð Ô ÓÖ M Ñ ¹ Ó Þ Ð Ò Þ Ð ÓÐ ÓÞÒ Ý Ó Ý M Ñ Ò Ò Ý ÓÐÝ Ò Ð Ô Ø Ñ ÐÝ Þ ÔÓÞ Ø Ð ÐÖ Ð Ú Þ Ð Ö Þ Ò ÓÐ ÓÞ Ý Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ø ÖØ Ò ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ Ð Ô Ð Þ ÑÙÐ Ð º À Ý Þ Ö Ö Þ¹ ÔÓÞ Ø Ð Ó Ö Ð Ú Þ Ð Ö Þ Ò Þ Ð ÓÐ ÓÞÒ ÓÖ M Ö Þ Ð Þ Ð Ò Þ Ð Þ ÑÙÐ ÐÒ M Ñò غ Å Ò Þ Ò M ÐÐ ÔÓØ Ø ÖÓÐ M ÐÐ ÔÓØ Ø ÔÐÙ Þ Ñ ÞØ Þ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ý M ¹Ò Þ Ð Þ Ð ÓÒ Ú Ý Ñ Ó ÓÒ Ðй ÓÐ ÓÞÒ º º¾º º Æ Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò Þ Ð Þ Ø Ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Ñ Ö Ò Ñ º Ý M Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ δ : (Q {q i, q n }) Γ P(Q Γ {L, R}) Ð º Ì Ø M Ñ Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ð Ò ÒÝ Ø¹ Ð ÒÙÐÐ µ Ð Ò Þ ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Øº ÁÐÝ Ñ ÓÒ M Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ý u Þ Ò Ý Ú Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ø º M Þ ÓÒ ÙÖ Þ ÔÓÒØ Ô M ÓÒ ÙÖ º Ñ Ò Ò Ð Ú Ð Ñ Ð Ð M Ý Þ Ñ ¹ Ø ÓÖÓÞ Ø Ò Þ u¹òº Î Ð M ÓÖ Ó Ð u¹ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ð Ú Ð Ð Ó ÓÒ ÙÖ º Æ Ú ÞÞ ÞØ ÑÓ Ø Ð ÖØ Ø M Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Þ Ñ Ø Ò Þ u¹òº Þ M ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ø Þ ÓÒÐ Ò Ò Ð Ø Ô ÐØ Ð Ð ÒØ ØØ ÒÝ ÐÚ Ô Ú Ø Þ ÔÔ Òº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð ÒØ Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ø Ð Ñ Ö Ñ Ò Ò u Σ Þ Ö M Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ú Ð Ó Ú Ý ÐÙØ Ø ÓÒ ÙÖ Ú Þ ØÒ º Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ø Ö ÞØ Ø Ø Þ Ð Ó ØÖ º È Ð Þ Ð ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ L = {ww w {a, b}} ÒÝ ÐÚ Ø ÒØ Ð Ò Ñ Ð ÐØ ØÑ Ò Ø q n ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ØÒ µº Ô q 0 ÐÐ ÔÓØ Ò Ð Þ ÓÐÚ Ò Ñ Ò Þ Ø Ñ Ð Ð Þ Ð Ø Ñ q 1 ÐÐ ÔÓØ Ò ØÓÚ ÓÐÚ Þغ Å Ò Þ Ò ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ö ÐÓÐÚ ÓØØ Ö Þ Ø Ñ Ó Þ Ð Ö º q 1 ¹ Ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ò ÒØ Ø Ý Ó Ý Ý Þ Ñ ÓÐ Ø ØÑ Ý q 2 ÐÐ ÔÓØ º ÁØØ ÐÑ Ý Þ Ð Þ Ð ÓÒ Þ Ú Ö Ñ Ó Þ Ð ÓÒ ÐÝ Ò Ñ Ö º À Þ Ú Ö ÖØ Þ Ð Þ Ð ÓÒ ÓÖ ØÑ Ý q 3 ¹ ÓÐ Ð Þ Þ ÓÒÐ Ø Ò Þ Ð Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Øº À Ý ÓÖÑ Ò Ø Ð Ð Ø ÓÖ Ð Ó Ñ Ò Ø Ø Ý ÒØ Ô ÐÙØ Ø º À Ñ Ò Þ Ð Ñ ÒÝ ÐÚÒ ÓÖ Ð Þ ÔÒ Ý ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Þ Ð Ò Ð Ý Þ Ñ ÓÐ Ø Ò Þ Ø Ò Þ Ð Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ù Ý Ò Þ Þ Ð Þº Ì Ø Ô Ð Ó Ñ Ò Ø Ø Ø ÒØ Ø Ò Ð Ð ÖÖ Ó Ý Þ Ò Þ Þ Ø Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø ÖØ Ð Ò Ð Þº

21 º¾º ÃÄ Æ ÌÍÊÁÆ ¹ È ÎýÄÌÇ ÌÇà ¾½ q 0 a, /, â, R, R b, /,ˆb, R, R a, /, a, R, R b, /, b, R, R a, /a,, R, S b, /b,, R, S a, /, a, R, S b, /, b, R, S q 1 q 2, /,, L, L a, a/a, a, L, L b, b/b, b, L, L q 3, /,, R, R q i, â/, â, R, R,ˆb/,ˆb, R, R q 4 a, â/a, â, L, S b,ˆb/b,ˆb, L, S Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÒÝ Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ò Ð Ù º Ä Ý Ò f : N N Ý Ú ÒÝ M Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ôº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ M ÒÝ f(n) Ý n Ó Þ Ñ Ò Ø Ò Ò Ò Ò M¹Ò n¹ò Ð Ó Þ Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø º Þ Ð Ô Ð Ò Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô O(n) Ò ÒØ Ð Þ L ÒÝ ÐÚ Øº ÅÓ Ø Ð Ø Ù Ó Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞÑÙ Ò Ñ Ð ÒØ ÔÐÙ Þ Þ Ñ Ø Ö Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Òº Ì Ø Ð Å Ò Ò M f(n) ÒÝò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú Ú Ð Ò Ý 2 O(f(n)) ÜÔÓÒ Ò Ð µ ÒÝò Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ø Ò ÒÝ µ Ä Ý Ò M Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ôº Å ÙÒ Ý M ÖÓÑ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ú Ú Ð Ò M ¹Ñ к ÞØ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙ Ó Ý M ¹ Þ Ñ Ø Ý Ú Ú Ð Ò Ý Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ôº M Ð Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ u Ñ Ò Þ Øº Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ø ÖØ Ò Þ M Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ò Þ ÑÙÐ º Þ Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ M Ý ÓÒ Ö Ø Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ò Ð Ô Ò ÒØ Ö Ñ ÒÝ Øº ÖÑ Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Ð Ô Ò Þ ÑÙÐ Ð M Þ M Ý Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Øº Þ Ð ÓÒ ÔÓÞ ÑÙØ Ø ÞØ Ó Ý Ñ ÐÝ Ð Ô Ò Ð Ø ÖØ M Þ ÑÙÐ Òº ÖÑ Þ Ð ÓÒ ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Þ u¹ø Ð Ó ÓÒ ÙÖ Ý Þ Ð Ö Ø ÖØ Ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Þ Ñ Ø Òº M Ý ÓÒ ÙÖ Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º M a b a b Ñ Ò Ø x x a b Þ ÑÙÐ Þ Ð Þ ÑÙÐ Ð Ò Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ä Ý Ò b Þ M ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ ÐØ Ð Ñ ÓØØ ÐÑ ÞÓ Þ Ð Ð Ò ÝÓ Ð Ñ Þ Ñ Ò Þ ÑÓ º Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ ÐØ Ð Ñ ÓØØ ÐÑ ÞÓ Ò Þ Ð Ñ Ò Ú Ò Ý Ö Þ Ø ØØ ÓÖÖ Ò º Ý Þ u Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Þ Ñ Ø Ò Ñ Ò Ò Þ ÔÓÒØ ÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð ¹

22 ¾¾ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á Ø Ò Ý Σ = {1, 2,..., b} Ð ØØ Þ Øº È Ö Þ Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ñ Ò Ò Σ¹ Ð ØØ Þ Ó ÓØ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÒ Ò Þ Ò Ñ Ó ÓÞ Ñ ÓÒ Óغ Þ ÑÙÐ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ø ÖØ Ò º ½º Ã Þ Ø Ò Þ 1¹ Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ w Ñ Ò Þ Ø ¾¹ ¹ Þ Ð Ó Ö º ¾º M Þ Ð Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ Ø Ö Ñ ÓÐ Ñ Ó Þ Ð Ö º º M Þ ÑÙÐ Ð ¾¹ Þ Ð ÓÒ M Ý Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Øº Þ Ó Ý Ñ ¹ ÐÝ Ø ÐÐ Þ ÑÙÐ ÐÒ ¹ Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Ø Ð º M Þ ÑÙÐ Ñ Ò Ò Ð Ô Ð ØØ Ñ Ò Þ ¹ Þ Ð Ò Ð Ú Þ Ú Ø Þ Øò Ø Øò Þ Ö ÒØ Ñ Ý Þ Ñ Σ¹ е Ú Ð ÞØ M ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ò Ð Ø Þ Ðº À Ò Ò Ñ Ð Ð ÓÖ Þ Ñ Ú Ð ÞØ Ð Ø Ú Ý ¹ Þ Ð ÓÒ Ñ Ö Ò Ò Ø Øò ÓÖ Þ ÑÙÐ Ú Ø Ö Ù Ö ¹ Ð Ô Ö º À Ð Ô Þ ÑÙÐ Ð ÓÖ Ò M ÐÙØ Ø ÓÒ ÙÖ Ö Ð ÓÖ Þ Ò¹ Ø Ò Ù Ö ¹ Ð Ô Ö º Î Ð Ð Ó ÓÒ ÙÖ Ö Ð M ÓÖ M Ð Ó ÓÒ Ù¹ Ö Ö Ð Ñ Ðк º M Ö Ð ¹ Þ Ð Ò Ð Ú Þ Ø Þ ÞØ Ð Ø Ù Ò Ú Ø Þ Ö ¾¹ ÔÓÒØÖ Ù ÓÖÚ Ö Þ M Ñò Ò Þ ÑÙÐ Ð Ø Þ Ò Þ Ð Ô Òº Ä Ø Ø Ó Ý M ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ð Ð Ó ÐÐ ØÚ ÐÙØ Ø ÓÒ ÙÖ ¹ Ñ ÓÖ M M Ò Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ò Þ Ò ÓÖ M Ñ ÐÐ Ñ º Ã Ú Ø Þ Ø Ø Ó Ý M M Ú Ú Ð Ò º Æ Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý M Ý f(n) ÒÝò ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÖ M 2 O(f(n)) ÒÝòº ËÔ Ð Ò M ÔÓÐ ÒÓÑ ÒÝò ÓÖ M ÜÔÓÒ Ò Ð ÒÝò Ð Þº º º Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Þ Ø Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ö ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ¹ Ð ÓÖ ØÑÙ ÑÓ ÐÐ Ñ Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÐÝ Ò Ñ Þ Ñ Ø ¹ Ø ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº Ð Þ Ö Ð ÞÞ ÞØ Ó Ý Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø Ò Ú Ý Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò µ Ò Ú Þ Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Þ Þ L¹ Ð Þ Ö q i ¹ Ò ÐÐ Ñ Ø Þ Ö Ô q n ¹ Ò ÐÐ Ñ Ú Ý ØÐ Ò Ñ ÐÐ Ñ º Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ø RE¹Ú Ð Ð Ð º ÌÓÚ L¹ Ø Ð ÒØ Ø Ò Ú Ý Ö ÙÖÞ ÚÒ µ Ò Ú ÞÞ M Ñ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ñ

23 º º Ä ÆÌÀ Ì ÌÄ Æ ÈÊÇ Ä Åýà ¾ Ðк Ö ÙÖÞ Ú ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ø R¹Ö Ð Ð Ð º Î Ð Ó Ó Ý ÒÒ ÐÐ Þ R RE Ø ÖØ ÐÑ Þ º ÐÙÒ Þ Ó Ý Ñ ÑÙØ Ù Þ R Ú Ð Ö Þ ÐÑ Þ Þ RE¹Ò Þ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐÚ ÔÖÓ Ð Ñ µ Ñ ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø Ò Ñ Ð ÒØ Ø Þ Þ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ò º ÒØ ÐÒ Ñ Ð Ð ÒÝ ÐÚ Ú Ø Þ Ð Þ ÞÓÒ (M, w) Ô ÖÓ ÐÑ Þ Ý Ñ Ð Ð Ò Ö Þ Ò Ð ÓÐÚ µ ÓÐ M Ý {0, 1} Ñ Ò Ð ØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô w Ô Ý {0, 1}¹ Ð ØØ Þ Ý Ó Ý w L(M) Þ Þ M Ð Ó w¹øº  РРÞØ ÒÝ ÐÚ Ø L Ù ¹Ú к ÓÞ Ó Ý ÐÙÒ Ø Ð Ö Ð Þ Ö Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý {0, 1} Ð ØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð ÓÐ Ø Ý Ò Ö Þ Ú Ðº Þ ÙØ Ò Ô Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ L ØÐ ÒÝ ÐÚ Ñ ÐÝ ÞÓÒ {0, 1}¹ Ð ØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ó Ð ÒÑ Ù Ø Ñ ÒØ Ñ Ò Þ Ø Ý ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐÚ Ñ Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º º º½º ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÐ Ð Þ Ö Ñ Ý ÞÞ Ó Ý {0, 1}¹ Ð ØØ Þ Ú Ð ÓÖÓÐ Ø Ú Ý Ñ ¹ Þ ÑÐ Ð Ø µº Î Ð Ò Ø ÒØ ÞØ Ð ÓÖÓÐ Ø Ñ ÐÝ Ò Þ Ú Ó ÞÙ Þ Ö ÒØ Ú Ø ÝÑ Ø Ø Ý ÓÖÑ Ó Þ Þ Þ Ð Ô Þ Ú Ò Ð Ñ ÐÝ Þ Ð Ø Ù Ö Ò Þ Þ Ö ÒØ Ñ Ð Þ Ñ Øº ÁÐÝ Ñ ÓÒ {0, 1} ÐÑ Þ Ð Ñ Ò Ý Ð ÓÖÓÐ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ð ÙÐ w 1 = ε w 2 = 0 w 3 = 1 w 4 = 00 w 5 = 01 Ý ØÓÚ º ÞÙØ Ò {0, 1} ÐÑ Þ i¹ Ð Ñ Ð ØØ w i Þ Ø ÖØ º Ä Ý Ò ØÓÚ Ò M = (Q, {0, 1}, Γ, δ, q 0, q i, q n ) Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ôº ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò k > 0 Þ Ñ Ó Ý Q¹Ø Ð Ö Ø Ù Q = {q 0, q 1,..., q k } Ð Ò ÓÐ q k 1 = q i q k = q n º ÌÓÚ Ú Ò ÓÐÝ Ò m > 0 Þ Ñ Ó Ý Γ Ð Ö Ø Γ = {X 1, X 2,..., X m } Ð Ò ÓÐ X 1 = 0 X 2 = 1 X 3 = X 4,..., X m Þ M ØÓÚ Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ º Æ Ú ÞÞ Ú Ð Þ L R S Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø Þ Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ò Þ Ö ÔÐ Ö ÒÝÓ Ø Ö Ò Ö D 1 ¹ D 2 ¹ D 3 ¹ Ö ÒÝÒ º Þ ÙØ Ò M Ý δ(q i, X j ) = (q r, X s, D t ) ØÑ Ò Ø 0 i, r k 1 j, s m 1 t 3µ Ð ÓÐ Ø 0 i+1 10 j 10 r+1 10 s 10 t Þ Òº Î Ð Ò Þ Ð ÖÑ ¼¹ ÐÓ Ò Þ Ö ÔÐ 0¹ Þ Ñ Ð ÚÓÒÙÒ Ý Ø ÓÖ Ñ Ô Ù Þ ØÑ Ò Ø Ò Þ Ö ÔÐ ÐÐ ÔÓØÓ Ò Ü Øº Ñ Ó Ò Ý Ø ¼¹ ÐÓ Ò Þ Ö ÔÐ ¼¹ Þ Ñ Ô Ö Ò Ö Þ ØÑ Ò Ø Ò Þ Ö ÔÐ Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ Þ Ö ÒÝ Ò Ü Ø º ÌÓÚ Ñ Ú Ð Ñ Ò 0¹ ÐÓ Ó Þ Ð Ð ½ Þ ØÑ Ò Ø Ø ÓÐ Þ Ò Ò Ñ Þ Ö Ô Ð Þ 11 Ö Þ Þ º Ì Ø Þ M Þ ØÑ Ò Ø Ø ÓÐ Þ Ú Ø Þ òþ Ø Ý ÓÐÝ Ò Þ Ú Ñ ÐÝ Ò Þ ØÑ Ò Ø Ø Þ 11 Ö Þ Þ Ú Ð ÞØ Ð ÝÑ Ø Ðº Þ Ý ÔÓØØ Þ Ô Ñ Ø M¹ Ø ÓÐ º ØÓÚ Ò Ñ Ò Ò i 1¹Ö M i ¹Ú Ð Ð Ð ÞØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ø w i Ò Ö Þ ÓÐ ÑÐ ÞØ Ø Ð w i Þ i¹ Ð Ñ {0, 1} Ð Ñ Ø Ð ÓÖÓÐ Ð Ø Òµº Å Ý Þ Ò ØÓÚ Ò Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ i¹ö w i Ò Ñ ÒØ Ð ÖØ ÓÐ Ý ÌÙÖ Ò ¹ ÔÒ ÓÖ M i ¹Ø ÞÓÒ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÒ Ø ÒØ Ñ

24 ÌÙÖ Ò ¹ Ô ¾ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á Ñ Ò Ò ÒÔÙØÓÒ ÞÓÒÒ Ð q n ÐÐ ÔÓØ Ñ Ý Ú Ý L(M i ) = º ¹ Ò Þ Ò Ð Þ ÖÖ Ó Ý Ð ÓÐ ÙÒ Ý (M, w) ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ò Þ Ô ÖÓ Ø Ý {0, 1}¹ Ð ØØ Þ Òº Þ Ð ÞÒ Ð Ø Ù ÞØ Ó Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÒØ ÓÐ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖÓÑ 1¹ Ø ÝÑ Ñ ÐÐ Øغ Ì Ø Þ (M, w) Ô ÖØ Ý ÓÐ Ù Ð Ó Ý M ÙØ Ò Ö Ù Þ 111 Þ Ø ÞÙØ Ò Ô w¹øº Ò Ý (M i, w) Ô ÖÓ Ø ÓÐ w i 111w Þ ÐÝ ØØ ÒÒÝ ÓÐÚ Ø Ú ÖØ Ý Ö Ò Ö Ù Ñ Þ M, w Þ Øº º º¾º Ý Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ð ÞÒ ÐÚ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Ð ØÓØØ Ð ÓÐ Ø ÑÓ Ø Ñ Ö ÔÓÒØÓ Ò Ò ÐÒ ØÙ Ù Ó Ý Ñ Ø ÖØ Ò ÒØ ÑÐ Ø ØØ L Ù L ØÐ ÒÝ ÐÚ Ð ØØ L Ù = {w i 111w j i, j 1, w j L(M i )} L ØÐ = {w i i 1, w i L(M i )}º ÖÖ Ð Þ ÙØ ÒÝ ÐÚÖ Ð ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º ÞØ ÒÝ ÐÚ Ø Þ ÖØ Ò Ú ÞÞ L ØÐ ¹Ò Ñ ÖØ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Ñ ¹ Ô Ø Þ Ð Ñ ÓÒº Ì ÒØ Ý Ú Ø Ð Ò Ø Ð Þ ØÓØ Ñ ÐÝÒ Ó ÞÐÓÔ ÓÖ Ö Ò Ö Þ 1, 2, 3,... Þ ÑÓ Ð Ú ÒÒ Ñ ÞÚ Þ Ð Ñ Ô 0 1 Ð ØÒ Þ Ð Þ Ö Òغ Å Ò Ò i, j 1¹Ö Þ i¹ ÓÖ Ò j¹ Ð Ñ ÖØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ 1 w j L(M i ) 0 Ý Òغ Ì Ý Ð Ó Ý Þ Ý Ø ÐØ ØØ Ø Ð Þ ØÙÒ Þ Ð Ñ ÓÒ Ò Þ º ½ ¾ ººº ½ ¾... ¼ ½ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ Þ Ú Ò Ø Ð Þ Ø Ò Ô Ð ÙÐ Ñ Ó ÓÖ Ñ Ó Ð Ñ 1 Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý M 2 Ð Ó w 2 Þ Ø Þ Ô Ö Þ Ú Ð Ò Ò Ñ Þ Þ w 2 Ò Ñ ÓÐ Ð Ð ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ý M i Ò Ñ Ñ Ö Ø Ð ÑÑ ÐÝ Ò Þ Ø Þ Þ Þ ÑÐ ÐØ Ø Þ ÐØ Þ Ó Ý ÒØ Ø Ð Þ Ø ÐÝ µº Å Ò Ò i 1¹Ö ÒØ Ø Ð Þ Ø i¹ ÓÖ Ø ÒØ Ø Ý Ñ ÒØ Þ L(M i ) ÒÝ ÐÚ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ º Å Ô Þ ÖØ Ñ ÖØ Ñ Ò Ò j 1¹Ö w j Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ñ L(M i )¹Ò Þ i¹ ÓÖ j¹ Ð Ñ 1º Ò Þ Ö¹ Ø Ð Ñ Ò Ø Ð Þ Ø ØÐ Ò Þ Ö ÔÐ Ø ÓÖÓÞ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Þ L ØÐ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ º Þ ÖØ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ñ Ò Ò i 1¹Ö Þ L ØÐ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Ð Ò Þ L(M i ) Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Ø Ðº ÞØ ÞÒ Ð Ù Ð Þ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Òº Ì Ø Ð Þ L ØÐ Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º ÞÓÒÝ Ø ÁÒ Ö Ø ÞÓÒÝ Ø Ø ÙÒ º Ì Ý Ð Ó Ý L ØÐ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð Ó¹ ÖÓÐ Ø º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÓÞ Ú Þ Øº À L ØÐ Ð Ñ Ö Ø

25 º º Ä ÆÌÀ Ì ÌÄ Æ ÈÊÇ Ä Åýà ¾ ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò M {0, 1}¹ Ð ØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ö L ØÐ = L(M)º Å Ú Ð M Ý {0, 1}¹ Ð ØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú Ò ÓÐÝ Ò i 1 Ó Ý M Ú Ú Ð Ò M i ¹Ú Ð Ú Ý L ØÐ = L(M i )º Î ÓÒ Ð Ñ ¹ w i Þ L(M i ) ÒÝ ÐÚÒ M M i Ú Ú Ð Ò Ñ ØØ w i L(M i ) ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ð Ð w i L ØÐ Ø Ð Ðº Þ ÙØ Ú ÞÓÒØ L ØÐ Ò Þ Ö ÒØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ w i L(M i )º Ì Ø ÐÐ ÒØÑÓÒ Ø ÔØÙÒ Ñ ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý L ØÐ Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓй Ø º º º º Ý Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò Ñ Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ Þ Ð Þ Ð Þ Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Þ Ö ØÒ Ò Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Þ L Ù Ý ÓÐÝ Ò Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ñ Ò Ñ Ö ÙÖÞ Úº Þ Ð Þ Ö Ò ¹ ÐÒÙÒ ÐÐ Ó Ý Ñ Ø ÖØ Ò Ý ÒÝ ÐÚ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Òº Ä Ý Ò L Ý Σ¹ Ð ØØ Ø Ø Þ Ð ÒÝ ÐÚº Þ L ÒÝ ÐÚ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø L¹ РРй Þ Ð Ñ ÓÒ Ò Ð Ù L = {w w Σ, w L}º ÅÓ Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ Ø ÒÝ ÐÚ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô ÓÐ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÐ Ø Øº Ì Ø Ð À L Ý Ö ÙÖÞ Ú ÒÝ ÐÚ ÓÖ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ö ÙÖÞ Úº ÞÓÒÝ Ø À L Ö ÙÖÞ Ú ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ð ÒØ L¹ غ Ì Ø M ÓÐÝ Ò Ó Ý ÒÝ ÐÚ Ð Ñ Ò Ò ØÚ q i ¹ Ò ÐÐ Ñ Þ Þ Ø Þ Ò Ô q n ¹ Ò ÐÐ Ñ Ú Ý Ñ Ò Ò Þ Ò Ñ Ðк Ä Ý Ò M Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ø Ý ÔÙÒ M¹ Ð Ó Ý M Þ ÓÐÝ Ò ØÑ Ò Ø Ø Ñ q i ¹ Ñ Ý q n ¹ Ö ÒÝ Ø Ù q n ¹ Ñ Ò ØÑ Ò Ø Ø Ô q i ¹ º Æ Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý Þ Ý Ò ÐØ M Þ L ÒÝ ÐÚ Ø ÒØ Ðº ÅÓ Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Ý L ÒÝ ÐÚ Þ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÓÖ L Ö ÙÖÞ Ú º Ì Ø Ð Ä Ý Ò L Ý ÒÝ ÐÚº À L, L RE ÓÖ L Rº ÞÓÒÝ Ø À L L Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò M 1 M 2 ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÐÝ Ö Ò Ö L¹ Ø L¹ Ø Ñ Ö Ðº M 1 M 2 Ð ÞÒ Ð Ú Ð Ñ ÓÒ ØÖÙ ÐÙÒ Ý ÓÐÝ Ò M ØÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ð ÒØ L¹ غ M Ý ÓÐÝ Ò Ø Þ Ð Ó Ô Ñ Ý w Ñ Ò Ø Ò Þ Ð Ø Ø Þ º Ð Ð Ô ÒØ Ñ Ó Þ Ð Ö Ñ ÓÐ w¹øº ÞÙØ Ò Ý ÐÙ Ò Þ ÑÙÐ Ð Þ M 1 Ý Ð Ô Ø Þ Ð Þ Ð ÓÒ Þ M 2 Ý Ð Ô Ø Ñ Ó ÓÒº ÐÙ ÙØ Ñ M 1 M 2 Þ Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ð Ó ÐÐ ÔÓØ Ò Ñ Ð Ôº Å Ú Ð w Ú Ý Þ L(M 1 )¹Ò Ú Ý Þ L(M 2 )¹Ò Þ Ð Ñ Ú Þ Ñ Þ ÑÙÐ Ð Ô ÙØ Ò Ú Ý M 1 Ú Ý M 2 Ð Ó w¹ø Ø Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ð ¹ÙØ ÞØÓ Ò q i ¹ Ð Ôº À M 1 Ð Ô q i ¹ ÓÖ M Ð Ó Ñ Ò Ø Ø M 2 ÓÖ Ô ÐÙØ Ø Þغ à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý M L¹ Ø Ñ Ö Ð Ö ÙÐ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ñ ÐÐ Ø Ø Ð ÒØ L¹ غ Ã Ú Ø Þ ÔÔ Ò L Rº ÅÓ Ø Ñ Ö Þ Ò ÐÐÙÒ ÖÖ Ó Ý Ñ ÑÙØ Ù ÞØ Ó Ý L Ù Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð Ó¹

26 ¾ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á ÖÓÐ Ø Ò Ñ Ö ÙÖÞ Úº Ð Þ Ö ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓй Ø º Ì Ø Ð L Ù REº ÞÓÒÝ Ø Å ÙÒ Ý ÓÐÝ Ò U ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ L Ù ¹Ø Ñ Ö Ðº ÞØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ò Ú ÞÞ Þ ÍÒ Ú ÖÞ Ð ÌÙÖ Ò ¹ ÔÒ Ñ ÖØ Ñ ÒØ Ð ØÒ Ó Ù U Þ ÑÙÐ Ð Ñ Ò Ø Ò ÔÓØØ M, w Þ ÐØ Ð ÓÐØ M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñò Ø w Þ Òº U¹Ò Ò Ý Þ Ð Ú Òº Ð Þ Ö Ð ÐÐ Ò ÖÞ Ó Ý Ñ Ò Ø Ý M, w Ð Þ ¹ º À Ò ÓÖ Ð Þ Þ ÑÙÐ ÐÒ M Ñò غ U Ñ Ó Þ Ð Ò Ø ÖÓÐ Þ M Þ Ð Ø Ñ Ô Ù Ý ÒÓÐÝ Ò ÓÐ Ð Ñ ÒØ Ñ ÐÝ Ò Þ M Ð ÓÐ Ò Ð ÞÒ Ð ØÓ º Î Ý Ô Ð ÙÐ Þ M X j Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ 0 j Þ Ú Ð Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÚ Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ Ô Ý ½¹ Þ Ñ ÐÙÑÑ Ð Ú ÒÒ ÐÚ Ð ÞØÚ º ÖÑ Þ Ð ÓÒ Ø ÖÓÐ U Þ M ØÙ Ð ÐÐ ÔÓØ Ø ÞÓ Ó Ñ ÓÒ ÓÐÚ q i ÐÐ ÔÓØ Ô Ð ÙÐ 0 i+1 Þ Ú Ð Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÚ º U Ð Ô Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º U ¼ ½ ¼ ¼ ½ ººº ½ ½ ½ ¼ ¼ ½ ººº {z } {z } M w Ñ Ò Ø ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ M Þ Ð Ð ÓÐÚ ¼ ¼ ¼ M ÐÐ ÔÓØ Ð ÓÐÚ Ë Þ Ð U Ñò Ý v Ñ Ò Ø Ò Þ Ð Ñ ÓÒ Ó Ð Ð Ø Þ º ½º U Ð Þ Ö Ñ Ú Þ Ð Ó Ý v M, w Ð ¹ º À Ò Ñ ÓÖ ÐÙØ Ø Ñ Ò Ø Øº ÞØ ÐÝ Ò Ø Þ Þ Ò Þ Ø Ò Ñ ÐÐ ÔÓ ÙÒ Þ Ö ÒØ v Ý ÓÐÝ Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø ÓÐ Ñ Ò Ñ Ó Ð Ý ØÐ Ò Ñ Ò Þ Ø Ñº ÓÖ Ú ÞÓÒØ v Ò Ñ Ð Ø Ð Ñ L Ù ¹Ò º ¾º U Ö Ñ ÓÐ w¹ø Ñ Ó Þ Ð Ö ÓÐØ ÓÖÑ Òº º U 0¹Ø Ö ÖÑ Þ Ð Ö ÞÞ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÚ M Þ ÐÐ ÔÓØ Øº º U Þ ÑÙÐ Ð M Ý Ð Ô Ø Þ Ð Ñ ÓÒº Ã Ö Ý 0 i 10 j 10 r 10 s 10 t Ð Ö Þ Þ Ø M Ò Þ Ð Þ Ð Ò Ý Ó Ý 0 i ÖÑ Þ ¹ Ð ÓÒ Ð Ú ÐÐ ÔÓØ Ð Ý Ò 0 j Ô Þ 0¹ ÐÓ Ñ Ñ Ó Þ Ð ÓÒ

27 º º Ä ÆÌÀ Ì ÌÄ Æ ÈÊÇ Ä Åýà ¾ ÔÓÞ Ò Þ º Þ ÙØ Ò U ÐÚ Þ ÒØ ÓÐØ ØÑ Ò Ø Ð Ô Ò M Ý Ð Ô Ø Ã Ø ÖÐ ÖÑ Þ Ð ÓÒ 0 i ¹Ø Ñ Ó Ö Ð ØÑ ÓÐ ÖÑ ¹ Ö 0 r ¹Ø ÒÒ Þ ÐÐ ÔÓØÒ Ø Ñ M¹Ð ÔÒ µº Ã Ö Ð Ñ Ó Þ Ð ÓÒ 0 j ¹Ø 0 s ¹Ö Þ Þ Ø Ö M Þ Ð Þ Ñ ¹ ÐÙÑ Ø Þ ØÑ Ò ØÒ Ñ Ð Ð Òº Þ ÐÐ Ð ÞÒ Ð Ò Ý ¹ Þ Ð ÓØ Ù Ý Ò j s ÓÖ Ö Ñ ÓÐ Ò Ý Þ Ð Ö Ñ Ó Þ Ð Ö Ð 0 i Ñ ØØ Ö ÞØ Ø ÖÐ Ñ Ó Þ Ð ÓÒ 0 i ¹Ø ÐÝ Ö Ö 0 s ¹Ø Ú Ð Ú Þ Ñ ÓÐ Ò Ý Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Ø Ñ Ó Þ Ð Ö Ø 0 s ÐÓ Ð Ö ÐÐ Ø º U Ñ Ö Ñ Ó Þ Ð ÓÒ ÔÓÞ Ò Þ 0¹ ÐÓ Ø Ð ÐÖ Ú Ý Ó Ö Ð Ú 0¹ ÐÓ Þ Ø Ø Ú Ý ÐÝ Ò Ñ Ö ØØ Ð Ò Ó Ý t ÖØ 1 2 Ú Ý 3º º À U ÞØ Ø Ð Ð Ó Ý M 4¹ ÔÓÒØ Ò q i Ú Ý q n ÐÐ ÔÓØ Ð Ô ØØ ÓÖ U q i ¹ Ú Ý q n ¹ Ð Ôº Ý ÒØ Ô ÓÐÝØ Ø M Ú Ø Þ Ð Ô Ò Þ ÑÙÐ Ð Ø 4¹ ÔÓÒØØ Ðº Î Ð Ó Ó Ý U ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ó Ð Ý M, w Ð Ñ Ò Ø Ø w L(M) Ú Ý M, w L Ù º Ì Ø U Ð Ñ Ö L Ù ¹Ø Þ Þ Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÖØÙÒ º ÅÓ Ø Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý L Ù Ò Ñ Ð ÒØ Ø º Ì Ø Ð L Ù Rº ÞÓÒÝ Ø Þ ÐÐ Ø Ø Ò Ö Ø Ñ ÓÒ ÞÓÒÝ Ø Ù º Ì Ý Ð Ó Ý L Ù Ð Òع Ø º ÓÖ Ý ÓÖ Ø Ø Ð Ò Ð Ô Ò L Ù Ð ÒØ Ø º Ä Ý Ò ÓÖ M Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ð ÒØ L Ù ¹Øº M¹ Ð Ñ ÓÒ ØÖÙ ÐÙÒ Ý ÓÐÝ Ò M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ L ØÐ ¹Ø ÒØ Ð ÐÐ ÒØÑÓÒ Ú ÞÓÒ ÓÖ Ø Ø Ð Ò Ò Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ L ØÐ REº M Ð Ô Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º w Å ÓÐ w111w M q i q n q i q n M ÓØØ w Ñ ÒØ Ö M Ú Ø Þ Ø Ò Ð ½º Ð ÐÐ Ø w¹ Ð w = w111w Þ Øº ¾º w ¹Ò Þ ÑÙÐ Ð M¹ Ø

28 ¾ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á º À M Ð Ó w ¹Ø ÓÖ M Ð Ó w¹øº º À M ÐÙØ Ø w ¹Ø ÓÖ M ÐÙØ Ø w¹øº Î Ý w ÓÖ ÓÖ Ð Ñ L(M )¹Ò w111w L Ù Þ Þ w L ØÐ º ÞØ ÔØÙ Ø Ø Ó Ý L(M ) = L ØÐ Ú Ý L ØÐ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º Þ Ú ÞÓÒØ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÒÒ ÓÖ Ø Ø Ð Ò Ò Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ L ØÐ Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º ÞÞ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ø ÞØ º º º ÌÓÚ Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ò Ø Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ý Ò Þ L 1 L 2 º Ð ¹ ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý L 2 ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ö Ú Ò Ý A 2 Ð ÓÖ ØÑÙ ÙÒ L 1 ¹ Ö Ò Ò º À Ú ÞÓÒØ L 1 ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ò w Ô Ð ÒÝ ÓÞ Ñ ØÙ Ù ÓÒ ØÖÙ ÐÒ L 2 ÔÖÓ Ð Ñ Ý w Ô Ð ÒÝ Ø Ý Ó Ý w ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ò Ô Ð ÒÝ L 1 ¹Ò w Ò Ô Ð ÒÝ L 2 ¹Ò ÓÖ Ñ Ö L 1 ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ø Ð ØÙ Ù ÒØ Ò Þ Ð Ñ ÓÒº L 1 ¹ Ø Ð ÒØ A 1 Ð ÓÖ ØÑÙ Ý w Ñ ÒØ Ð Ð Þ Ö Ð Þ Ø L 2 ÒØ Ð ÖØ w Ô Ð ÒÝ Øº ÞÙØ Ò A 1 Þ ÑÙÐ Ð A 2 Ñò Ø w Ñ Ò Ø Òº À A 2 Ò Ú Ð ÞØ w Ñ ¹ Ò ØÖ ÓÖ A 1 Ò Ú Ð ÞØ w Ñ Ò ØÖ Ñ A 2 Ò Ñ Ú Ð ÞØ ÓÖ A 1 Ò Ñ Ú Ð ÞØ Ñ Ò ØÖ º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ Ý Ð ÖØ A 1 Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ð Ò L 1 ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒØ Ðº ÑÓ Ø Ú ÞÓÐØ Ñ Þ ÖØ Ò Ú ÞÞ Ú Þ Ú Þ Ø Ò Ñ ÐÝ ÓÖ Ò L 1 ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø Ú Þ Ú Þ Ø Ý Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ö º Ñ Þ ÖØ ÞÒ Ð Ø Ù ÖÖ Ó Ý Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ñ ÑÙØ Ù Ó Ý Ð ÒØ Ø ØÐ Òº ÌÙ Ù Ô Ð ÙÐ Ó Ý Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ú ÞÓÐØ L Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ð¹ ÒØ Ø ØÐ Òº À L Ù ¹Ø Ö ÐÒ Ú Þ Ú Þ ØÒ Ý Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÖ Þ Ð¹ Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò ØÙ Ò Ò Ó Ý Þ Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ù Ñ Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ð ÒØ Ø Ð ÒÒ ÓÖ Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ñ ØÙ Ò Ò Ò Ý L u ¹Ø Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ¹ ÓÞ Ú Þ Øµº Ú Þ Ú Þ Ø Ø ÓÖÑ Ð Ò Þ Ð Ñ ÓÒ Ò Ð Ù º Ò Ä Ý Ò Σ Ø f Ý Σ ¹ Ð ¹ Ô Þ Ú Òݺ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý f Þ Ñ Ø Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ó Ý M¹ Ø Ý w Σ Þ Ú Ð Ñ Ò Ø Ò Ò ØÚ M Ý ÐÐ Ñ Ó Ý Þ Ð Ò Þ f(w) Þ Ú Òº Ä Ý Ò L 1 Σ L 2 Ø ÒÝ ÐÚ Þ Þ Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ µº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý L 1 Ú Þ Ú Þ Ø Ø L 2 ¹Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò f : Σ Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ó Ý Ñ Ò Ò w Σ Þ Ö w L 2 ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð f(w) L 2 Ø Ð Ðº Ì Ø Ð Ä Ý Ò L 1 L 2 Ø Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ý Ð Ó Ý L 1 Ú Þ Ú ¹ Þ Ø Ø L 2 ¹Ö º ÓÖ Þ Þ Ð ÐÐ Ø Ó

29 º º ÌÇÎý Á Ä ÆÌÀ Ì ÌÄ Æ ÈÊÇ Ä Åýà ¾ ½º À L 1 Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÓÖ L 2 Þº ¾º À L 1 RE Þ Þ Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÓÖ L 2 RE Þ ÒØ Ò Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø Ñ Ó ÐÐ Ø Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Þ Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÒÐ º ÁÒ Ö Ø Ñ ÓÒ Ø Ý Ð Ó Ý L 2 Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò M 2 ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ó Ý L 2 = L(M 2 )º ÌÓÚ Ú Ò ÓÐÝ Ò M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Þ ÑÓÐ Þ L 1 ÒÝ ÐÚ L 2 ¹Ö Ú Ð Ú Þ Ú Þ Ø Øº Þ Ò Ô Ø Ú Ð Ñ ¹ ÙÒ Ý ÓÐÝ Ò M 1 ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ L 1 ¹ Ø Ñ Ö Ðº M 1 Ý w Ñ Ò Ø Ò Ð Þ Ö Þ ÑÙÐ Ð Þ M Ô Øº Ñ ÓÖ Ú Þ ÓÖ Þ Ð Ò Ð Ú f(w) Þ Ò Þ ÑÙÐ Ð M 2 Ñò غ À M 2 Ð Ó Þ f(w) Þ Ø ÓÖ M 1 Ð Ó w¹øº À M 2 ÐÙØ Ø f(w)¹ø ÓÖ M 1 ÐÙØ Ø w¹øº À M 2 Ò Ñ ÐÐ Ñ Þ f(w) Ñ Ò Ø Ò ÓÖ M 1 Ñ ÐÐ Ñ w¹òº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ Ý Ú ÞÓÐØ M 1 Ô ÔÓÒØÓ Ò Þ L 1 ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº ÐØ Ú Ò Þ Ö ÒØ ÞÓÒ¹ Ò Þ L 1 RE Ú Ý L 1 Ò Ñ Ð Ñ Ö Ø Ø Ø ÐÐ ÒØÑÓÒ ÓÞ ÙØÓØØÙÒ º Ã Ú Ø Þ ÔÔ Ò L 2 Ò Ñ Ð Ø Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º ÅÓ Ø Ò Ð Ù ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ ÐÝ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ ¹ ÒØ Ñ ÖØ Þ ÒØ Ò Ý Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º ÒÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Þ Ð ÒØ Ø ØÐ Ò Ø Ý ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ú Þ Ú Þ Ø Ö Þ L Ù ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ä Ý Ò L ÐØ = { M, w Å Ñ ÐÐ w Ñ Ò Ø Ò} Þ Þ L ÐØ ÞÓÒ (M, w) ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ò Ø Ô ÖÓ Ó Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ð Ð Ò Ð ÓÐÚ Ó Ý Þ M Ô Ñ ÐÐ w Ñ Ò Ø Øº Ã Þ Ø Ö ÒØ Ð Þ Ö ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý L ÐØ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø º Ì Ø Ð L ÐØ REº ÞÓÒÝ Ø Î Ý ÞØ Þ U ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Þ L Ù ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº ÞØ Ô Ø Ó Ù Ñ Ó Ø Ò Ý Ó Ý L ÐØ ¹ÓØ Ñ Ö Ðº U Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ØÑ Ò ¹ Ø Ø Ñ q n ¹ Ñ Ý Ö ÒÝ Ø Ù q i ¹ Ð Ð ÔÓØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø M ¹Ú к Æ Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý Ý M ÌÙÖ Ò ¹ ÔÖ ÒÒ w Ñ Ò Þ Ú Ö Þ M, w Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ñ L(M )¹Ò M Ñ ÐÐ w Ñ Ò Ø Ò q i ¹ Ò Ú Ý q n ¹ Òµº Þ Ô ÞØ Ð ÒØ Ó Ý L ÐØ = L(M ) Ú Ý M Þ L ÐØ ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ð ÒÒ Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ô Ð ÒÒ Ð ÒØ Ò Þ L ÐØ ÒÝ ÐÚ Ø ÓÖ Ø Ø Þ Ð ÌÙÖ Ò ¹ ÔÖ Ð Ý ÙÖ ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ ÖØ ÐÑ Ò Ø Ø Þ Ð Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ð È Ð ÔÖÓ Ö ÑÖ Ð Ø ºµ Ð ØÙ Ò Ò ÒØ Ò Ó Ý Ñ Ðй Ñ Ò Ø Ò Ú Ý Ñº Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ò ÞÒÓ Þ Þ Ð ÒÒ Þ ÑÙÒ Ö Ò Ð ØÓ Ñ ÓÒ ÞÓÒ Ò ÐÝ Ò Ô Ò Ñ Ð Ø Þ º Ì Ø Ð Þ L ÐØ ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø ØÐ Òº ÞÓÒÝ Ø Î Þ Ú Þ Ø Þ L ÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Þ L Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ý Ó¹ Ö Ø Ø Ð Ò Þ Ö ÒØ Ñ Ú Ð L Ù Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÞÓÒÝ Ø ÞØ Ó Ý L ÐØ Ð ÒØ Ø ØÐ Òº Ú Þ Ú Þ Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ø ÖØ Ò º Ý Ø Ø Þ Ð M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ð Ý Ò M Ú Ø Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ôº

30 ¼ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á M Ý w Ñ Ò Ø Ò ½º ÙØØ Ø M¹ Ø w Þ Ò ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ñ Ú Þ U ÙÒ Ú ÖÞ Ð ÌÙÖ Ò Ô Ø M, w Þ Ö µº ¾º À M Ð Ó w Ñ Ò Ø Ø ÓÖ M Ð Ó w¹øº º À M ÐÙØ Ø w¹ø ÓÖ M Ý ÓÐÝ Ò ÐÐ ÔÓØ Ñ Ý ÓÐ Ý Ú Ø Ð Ò ÐÙ Ò Ð ÔØ Ø Ø Ó Ö Ø Ø M Ò Þ Ø Ò Ó Ò Ñ ÐÐ Ñ º à ÒÒÝò Ð ØÒ Ó Ý M, w L Ù ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð M, w L ÐØ Ø Ð Ðº ÌÓÚ M Ñ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø M¹ Ð Ý ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº ÞØ ÔØÙ Ø Ø Ó Ý L Ù Ú Þ Ú Þ Ø Ø L ÐØ ¹Ö Ñ Ð Ú Ø Þ Ó Ý L ÐØ Ð ÒØ Ø ØÐ Òº º º½º Ê Ø Ø Ð Ò Þ Ð Þ Ø Ò ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð ÔÓÒØÓ Ò Þ ÐØ ÐÙ Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Þ Ò Ñ ØÖ Ú Ð Ö Ð ÓÖ Ø¹ Ñ Ù Ò Ð ÒØ Ø ØÐ Òº Ð Þ Ö Ø ÞØ ÞÒ ÐÐ Ó Ý Ñ Ø Ò Ú Þ Ò Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ý Ò Ñ ØÖ Ú Ð ØÙÐ ÓÒ Ò º Ò À P Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ý ÐÑ Þ ÓÖ P¹Ø Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ý ØÙÐ ÓÒ Ò Ò Ú ÞÞ º ÌÓÚ P Ý Ò Ñ ØÖ Ú Ð ØÙÐ ÓÒ P P REº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ý L RE ÒÝ ÐÚ Ö Ò Ð Þ P ØÙÐ ÓÒ Ð L Pº È Ð ÙÐ P Þ Ö ÐÑ Þ ÓÖ Ý ØÐ Ò L Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ñ Ö Ò Ð Þ P ØÙÐ ÓÒ Ðº Î ÞÓÒØ P = { } Þ Þ P Þ Ö ÒÝ ÐÚ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÒÝ ÐÚ Ò Ý Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚµ ÓÖ Þ Ö Ð Ú Ý Þ Ö ÒÝ ÐÚ Ö Ò Ð Þ P ØÙÐ ÓÒ Ðº Ò Þ Ð Þ Ø Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý P Ý Ò Ñ ØÖ Ú Ð ØÙÐ ÓÒ ÓÖ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ø Ø Þ Ð L RE ÒÝ ÐÚÖ Ð ÒØ Ò Ó Ý L Ö Ò Ð Þ ¹ P ØÙÐ ÓÒ Ð Þ Þ L P Ú Ý Ñ Ñ Ý ÞÞ Ó Ý P Ý ØÖ Ú Ð ØÙÐ ÓÒ Ð ÒÒ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ ØÖ Ú Ð Ð ÒÒ µº Ó Ý Ò ÙÒ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ò Ø Ö Ý ÒÝ ÐÚ Ø Þ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð¹ ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ ÐØ Ð Ò Ú Ø Ð Ò Ó Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Ó Ý ÞØ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙ ÐÝ Ò ÓÖ Ò Ñ Ñ ÒÝ ÐÚ Ð Þ Ñ Ò Ø Ò Ñ Ý ÒÝ Ð¹ Ú Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ú Þ Þ Ø Ò Ò Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ôº Ì Ø Þ Ð Ò Ñ ÞØ Ö Ù Ð ÒØ Ò Ó Ý Ý ÓØØ L ÒÝ ÐÚ Ö Ò Ð Þ ¹ P ØÙÐ ÓÒ Ð Ò Ñ ÞØ Ó Ý Þ L¹ Ø Ð Ñ Ö M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Ñ ¹ Þ L P ÒÝ ÐÚÒ ÓÐ L P ÞÓÒ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ P ØÙÐ ÓÒ Ð Ö Ò¹ Ð Þ ÒÝ ÐÚ Ø Ñ ÖÒ Ðº Þ Ð Ø Ø Ð Ò ÞØ ÑÓÒ Ó Ý Þ L P ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø ØÐ Ò Ñ ÒÒÝ Ò P Ý Ò Ñ ØÖ Ú Ð ØÙÐ ÓÒ º

31 º º ÌÇÎý Á Ä ÆÌÀ Ì ÌÄ Æ ÈÊÇ Ä Åýà ½ Ì Ø Ð Ä Ý Ò P Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ý Ò Ñ ØÖ Ú Ð ØÙÐ ÓÒ º ÓÖ Þ L P ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø ØÐ Òº ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ø Ò ÒÝ µ Þ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò P Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ý Ò Ñ ØÖ Ú Ð ØÙÐ ÓÒ º Ì Ý Ð Ó Ý P ÞÓÒÝ Ø Ú Ò Ñ Ú Þ Ø Ö Ò ÓÞ Þ Ø Þ Ñ ÓÖ Pµº Ä Ý Ò ØÓÚ L Ý Ø Ø Þ Ð ÒÝ ÐÚ P¹ Ð Ñ Ú Ð P Ò Ñ ØÖ Ú Ð P L Ò Ñ Ð Ø Þ Ö ÒÝ ÐÚµº Ä Ý Ò M L Þ L¹ Ø Ð Ñ Ö ÌÙÖ Ò ¹ Ôº Ú Ø Þ Ò Ú Þ Ú Þ Ø Þ L u ÒÝ ÐÚ Ø Þ L P ¹Ö º Ä Ý Ò M, w Ý Ø Ø Þ Ð ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÒÒ Ý w Ñ Ò Ø º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ñ ¹ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ý M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ó Ý L(M ) = w L(M) L(M ) = L w L(M)º Ñ ÓÒ ØÖÙ ÐØ M Ý Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Þ Ô Ú ÞÐ Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º x w M q i M L q i q i q n q n M M Ý Ø Ø Þ Ð x Ñ Ò Ø Ò Ú Ø Þ Ø Ò Ð ½º M ØÐ Ò Ð ØØ Ð Ó Ý Ñ Ñ Ò Ø Þ ÑÙÐ Ð Þ Ý Þ Ð ¹ Ò M Ñò Ø w Þ Ò M w Ú Ò Ô ØÚ M M ÐÑ ÓÐ Þ Ð Ö w¹ø Ñ Ú Þ ÙÒ Ú ÖÞ Ð ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ ÐÝÒ Ø Ú Ð Þ ÑÙÐ Ð M Ñò Ø w¹òµº ¾º À M ÞØ Ø Ð Ð Ó Ý M Ò Ñ Ó Ð w¹ø ÓÖ M Ò Ñ Ò Ð ÑÑ Ø Ú Ý Ò Ñ Ó Ð x Ñ Ò Ø Øº Ò Þ Ø Ò L(M ) = Ú Ý M L P º º À M ÞØ Ø Ð Ð Ó Ý M Ð Ó w¹ø ÓÖ Ð Þ Þ ÑÙÐ ÐÒ M L Ñò Ø Þ x Ñ Ò Ø Òº Ò Þ Ø Ò Ô L(M) = L Ú Ý M L P º Ä Ø Ø Ó Ý M, w L Ù ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð M L P Ú Ý ÒØ Ð Ö L Ù Ú Þ Ú Þ Ø L P ¹Ö º Å Ú Ð L Ù Ð ÒØ Ø ØÐ Ò Ô Ù Ó Ý L P Ð ÒØ Ø ØÐ Òº Å ÐÐ Ñ Ú Þ ÐÒ ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ Pº Ò Þ Ø Ò Ñ Ø Ð¹ Ñ ÒØ ÞÓÒÝ Ø Ø P = RE P ØÙÐ ÓÒ Ö º ÞØ Ô Ù Ó Ý L P Ò Ñ Ð ÒØ Ø º Ì Ý Ð ÑÓ Ø Ó Ý Þ L P ÒÝ ÐÚ Ú ÞÓÒØ Ð ÒØ Ø º ÃÓÖ Ø Ø Ð Ò Ð Ô Ò ØÙ Ù Ó Ý Ò Þ Ø Ò L P Ð ÒØ Ø º Å Ö ÞØ Ò Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý L P = L P Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý L P Ð ÒØ Ø Þ Ô ¹ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ñ Ð Ú Ø Þ Ó Ý L P Ð ÒØ Ø ØÐ Ò Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÖØÙÒ º

32 ¾ Â Ì º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á ÒØ Ð Ô Ò Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ý Ð ÒØ Ø ØÐ Òº ½º Ý Ø Ø Þ Ð M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ö ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö ¹ к Ò Þ Ø Ò P = { }ºµ ¾º Ý M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö¹ Ð P = {L L Ú }µº º Ý M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ö ÙÐ Ö ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö¹ Ð P = {L L Ö ÙÐ Ö }µº º Ý M ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö¹ Ð P = {L L ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò}µº

33 º Þ Ø Ú Þ Ø ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø Ñ ÒØ ÞØ Þ Ð Ð Ò ÑÐ Ø ØØ ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø Ð Ñ ÓÐ Ø Þ Ò Ð Ð Þ Ð ÒØ Ø µ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ñ ÓÐ ÓÞ Þ Ö ÓÖÖ Ó ÐÐ ÑÞ Ò Þ Ø Öµ Ñ ÒÒÝ Þ Ö Òغ ËÞ Ò Ð Þ Þ Ð Ò Ö º Ò Ä Ý Ò f(n) : N N Ý Ú Òݺ ÓÖ TIME(f(n)) = {L L Ð ÒØ Ø O(f(n)) ÒÝò ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð}. ÌÓÚ P = k 1 TIME(nk ). Ì Ø P ÞÓÒ ÒÝ ÐÚ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ Ð ÒØ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÖÐ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº ÁÐÝ Ò Ô Ð ÙÐ Ð Ñ ÖØ Ð Ö Ø ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ø Ý G Ö ÒÒ Ø Ø ÒØ Ø ØØ s tµº Ö Þ Ó Ý Ú Ò¹ G¹ Ò Ø s¹ Ð t¹ º À Þ Ð Ö Ø ÔÖÓ Ð ¹ Ñ Ö ÒÝ ÐÚ ÒØ Ø ÒØ Ò ÓÖ Ö Ø Ù ÞØ Ó Ý Ð Ö Ø = { G, s, t G¹ Ò Ú Ò Ø s¹ Ð t¹ } ÓÐ G, s, t Ð Ð Ñ ÒØ ÞØ Ñ Ö Ñ ÞÓ ØØÙ G s t Ý Ñ Ð Ð Ð ÓÐ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ð ØØ Þ Òº à ÒÒÝ Ò Ñ ¹ Ø Þ Ð Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÒØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ø Ð Ö Ø Pº ÅÓ Ø Ò Ð Ù Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò ¹ Ð ÒÝ ÐÚÓ ÞØ ÐÝ Øº Ò À f(n) : N N Ý Ú ÒÝ ÓÖ NTIME(f(n)) = {L L Ð ÒØ Ø O(f(n)) ÒÝò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð}. ÌÓÚ NP = k 1 NTIME(nk ). Þ NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ð ÞÒ Ý Þ ØÙÐ ÓÒ Ð Þ Ð ÖØ Ð Ñ¹ Òº À Ø ÒØ Ý NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ø Ý Ð Ø ÞÓ¹

34 Â Ì º Î Ì Ë ÇÆ ÇÄÍÄÌËý ÄÅ Ä Ì ÒÝ Ø ÓØ ÖÖ Ò ÞÚ Ó Ý Þ Ô Ð ÒÝ Ò Ô Ð ÒÝ Þ ÓØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÖ Þ Ò ÞÓÒÝ Ø ÐÝ Ò Ð ÐÐ Ò ÖÞ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò ÐÚ Þ Ø º ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ý NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÐØ Ð Ò Ý Ñò Ó Ý Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ø Ò Ý Ð ¹ Ø Ñ ÓÐ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÐÐ Ò ÖÞ Ó Ý Ñ ÓÐ ÐÝ ¹ º Ì ÒØ Ô Ð ÙÐ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Øº ÌÙ Ù Ó Ý Ë Ø Ò Ô Ð ÒÝ ÞÓÒ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ñ ÐÝ Ð Ø Ø º Ì ÒØ Ò Ý Ø Ø Þ Ð φ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Øº ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý φ Ð Ø Ø Ý ÓÐÝ Ò Ú ÐØÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ñ Ñ ÐÐ ØØ ÖØ ÐÚ φ¹ø Þ ÖØ Ø ÔÙÒ º Ý Ø Ø Þ Ð Ú ÐØÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ø Ø φ Ð Ø Ø Ò Ý Ð Ø¹ ÞÓÒÝ Ø º ÒÒ Ð ÐÐ Ò ÖÞ Ô Ó Ý Þ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ø ÒÝÐ ÞÞ Ø Þ ¹ φ¹ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ò ÐÚ Þ Ø º ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ë Ø Ð Òع Ø Ý ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Ñ ÐÝ Ñ Ø Ý Ú ÐØÓÞ ¹ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÐÐ Ò ÖÞ Ó Ý Þ Ð Ø ¹ Ñ Ò Ø Øº Ã Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ë Ø Ý NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ë Ø ÞÓÒ Ò Ô Ð Þ NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Þ ØØ Ñ ÖØ Þ Ð ÒØ Ö Ñ ÖØ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÐÝ Ò Ó Ý Ñ Ò Ø Ñ Ö Ø Ò Ú ÒÝ Ò Ü¹ ÔÓÒ Ò Ð Ð Ô Þ Ñ º Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ð ÔÚ Ø Ò Ý Ñò Ò Ó Ý Ý φ Ñ Ò ØÖ Þ ÞØ Ñ Ø Ù Ò Ñ Ú Þ Ð Ð Ø Ñ ÓÐ Ó Ø Ö Ø Þ Þ ÐÐ Ø Ð φ Ú ÐØÓÞ Ò ÖØ Ø Ú ÐØÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð ¹ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ð ÐÒ Ý ÓÐÝ Ø Ñ Ð Ø φ¹øº Þ Þ Ð Ø ÓÞÞ Ö Ò Ð Þ Ñ Ú ÞÓÒØ φ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ú ÐØÓÞ Þ Ñ Ò Ñ Ö Ø Ò ÜÔÓÒ Ò Ð Ò Ý Ö Ò ò Ø Ø Ë Ø¹ÓØ Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ ÜÔÓÒ Ò Ð ÒÝò Ð Þº Ñ ÒØ ÖÖ Ð Ñ Ö ÚÓÐØ Þ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ð¹ ÓÖ ØÑÙ ÑÓ ÐÐ Ú Ø Þ Ø Ø Ó Ý Ë Ø¹ÓØ Ð ÒÐ Ñ Ö Ø Ò Þ Ö ÒØ ÜÔÓÒ Ò Ð ÒÝò Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð ØÙ Ù Ð ÒØ Ò º Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÞÞ Ð Þ Ñ Ò Ö Ò Ð Þ ÞÞ Ð Ò Ñ Ö ¹ Ð ÞØ Ù ØÙÐ ÓÒ Ð Ó Ý Ô Ö ÞÒ Ñ Ð Ð Ñ ÓÐ Ö Ò Ñ ÐÐ Þ ÞØ Ñ Ø Ù Ò ØÚ Þ ÐÒ Ð Ø Ñ ÓÐ Ó Ø Ö Øº Þ Ò Ð Ú Ø Þ Ó Ý ÒÒ ÐÐ P NP Ø ÖØ ÐÑ Þ º Þ Ø Þ Þ Ñ Ò Ñ ÞÓÒÝ ØÓØص Ó Ý ÒØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ð º ÔÔ Ò Ë Ø Þ Ý ÓÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ú Ð Þ ÒòÐ Ò Ñ Ð Ñ P¹Ò Ú ÞÓÒØ NP¹ Ð º Å Ö ÞØ Þ Ó Ý Ö ÐÒ Ë Ø Ð ÒØ Ö ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÒÝò Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ø Ð ÐÒ ÓÖ Þ ÞØ Ð ÒØ Ò Ó Ý Þ NP Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ý Þ P Ó ÞØ ÐÐÝ Ðº Ë Ø¹ÓØ Ú Ð Ñ Ý Þ Ò Þ ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ú ÞÞ Ñ NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò º º½º NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÞ Ó Ý Þ NP Ó ÞØ ÐÝ Þ Ö Þ Ø Ø Ú Þ ÐÒ ØÙ Ù Þ Ò Ð Þ Ú Þ Ú Þ Ø Ý Ô Ð Ó ÞØ ÐÝ Ö º Þ ÔÓÐ ÒÓÑ ò Ú Þ Ú Þ Ø º

35 º½º NP¹Ì ÄÂ Ë ÈÊÇ Ä ÅýÃ Ò Ä Ý Ò Σ Ø f Ý Σ ¹ Ð ¹ Ô Þ Ú Òݺ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý f ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Þ Ñ Ø Ø Þ Ñ Ø Ø Ý ÔÓÐ ÒÓÑ ÒÝò ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº Ä Ý Ò L 1 Σ L 2 Ø ÒÝ ÐÚº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý L 1 ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ú Þ Ú Þ Ø Ø L 2 ¹Ö Ð L 1 p L 2 µ Ú Ò ÓÐÝ Ò f : Σ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ó Ý Ñ Ò Ò w Σ Þ Ö w L 1 ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð f(w) L 2 Ø Ð Ðº Ã Ø ÝÑ Ö ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ú Þ Ú Þ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ ØØ Þ Ð Ô¹ ÓÐ ØÓØ Ý Ð Ø Ñ º Ì Ø Ð Ä Ý Ò L 1 L 2 Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ó Ý L 1 p L 2 º À L 2 ½º P¹ Ð ÓÖ L 1 P¹ Ð º ¾º NP¹ Ð ÓÖ L 1 NP¹ Ð º ÞÓÒÝ Ø Ñ Ó Ø Ø Ú Þ Ð Ù Þ Ð Ø ÞÓÒÝ Ø ÓÒÐ µº Ì Ý Ð Ø Ø Ó Ý L 2 NPº Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý L 1 NP Ø Ð Ðº Ä Ý Ò Ù Ý Ò M 1 Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Þ ÑÓÐ Þ L 1 p L 2 Ú Þ Ú Þ Ø Ø M 2 Ô Þ Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ô Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÒØ L 2 ¹ غ ÃÓÒ ØÖÙ Ð ÙÒ Ñ M 1 ¹ Ð M 2 ¹ Ð Ý M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒº M Ý w Ñ Ò ØÖ Þ ÑÓÐ Þ f(w) Þ Ø Þ ÑÙÐ Ð M 1 ¹ ص Ñ ÔÓØØ f(w) Þ Ö Ñ Ú M 2 ¹Øº À M 2 Ð Ó f(w)¹ø ÓÖ M Ð Ó w¹ø M 2 ÐÙØ Ø f(w)¹ø ÓÖ M ÐÙØ Ø w¹øº à ÒÒÝò Ð ØÒ Ó Ý Þ Ý Ú ÞÓÐØ M Ý ÔÓÐ ÒÓÑ ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ú ÞÓÒØ L 1 ¹ Ø ÒØ Ðº Î Ý L 1 NP Ø Ð Ð Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÖØÙÒ º ÅÓ Ø Ò Ð Ù NP Ý ÓÒØÓ Ö ÞÓ ÞØ ÐÝ Øº Ò Ä Ý Ò L Ý ÔÖÓ Ð Ñ º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý L NP¹Ø Ð ½º NP¹ Ð ¾º Ñ Ò Ò ØÓÚ NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ú Þ Ú Þ Ø Ø L¹Ö º ÅÓ Ø Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ý NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ P¹Ò ÓÖ P = NPº Ì Ø Ð Ä Ý Ò L Ý NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º À L P ÓÖ P = NPº ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ø Ò ÒÝ µ Ì Ý Ð Ó Ý L Pº Å Ú Ð P NP Ð Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý NP P Ø Ð Ð Þ Þ Ñ Ò Ò L NP¹Ö L Pº Þ Ú ÞÓÒØ Þ Þ Ò Ñ Ú Ð L NP¹Ø Ð L p L Ò Þ Ø Ò Þ Ð Þ Ø Ø Ð Ò Ð Ô Ò L P ÒÒ Ðк

36 Â Ì º Î Ì Ë ÇÆ ÇÄÍÄÌËý ÄÅ Ä Ì Ó Ý ÞØ Þ NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ð ØØÙ Ñ Ö Ù ÑÙ¹ Ø ØÒ Ó Ý Ý NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ NP¹Ø Ð ÓÖ Ñ ÐÐ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ñ Ò¹ Ò NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ö º Þ Ñ ÒØ Ó Ý ÞØ Ë Ø Ø Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ØÒ Ó Ù ÐØ Ð Ò Ò Þ Ð Øº Þ Ð Ø Ø ÐØ Ð ÐÑ ÞÚ Ú ÞÓÒØ Ý NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Ð ØÓÚ NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ð Ø¹ Ø Ù Ó Ý NP¹Ø Ð º Ì Ø Ð Ä Ý Ò L 1 Ý NP¹Ø Ð L 2 Ý NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º ÓÖ L 2 NP¹Ø Ð º À L 1 p L 2 ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ø Ò ÒÝ µ Ä Ý Ò L Ý Ø Ø Þ Ð NP¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Å ¹ Ú Ð L 1 NP¹Ø Ð Ô Ù Ó Ý L p L 1 º Ä Ý Ò M 1 Þ L p L 1 Ú Þ Ú Þ Ø Ø M 2 Þ L 1 p L 2 Ú Þ Ú Þ Ø Ø Þ Ñ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÒÝò ÌÙÖ Ò ¹ Ôº M 1 ¹ Ð M 2 ¹ Ð ÒÒÝ Ò Ñ Ø Ý ÓÐÝ Ò M ÔÓÐ ÒÓÑ ÒÝò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Þ L p L 2 Ú Þ Ú Þ Ø Ø Þ ÑÓÐ º Å Ú Ð L Ý Ø Ø Þ Ð NP¹ Ð ÒÝ ÐÚ ÚÓÐØ Ô Ù Ó Ý Ñ Ò Ò NP¹ Ð ÒÝ ÐÚ Ú Þ Ú Þ Ø Ø ÔÓÐ ÒÓÑ Ò L 2 ¹Ö º Å Ú Ð L 2 NP¹ Ð Ú Ø Þ Ó Ý L 2 NP¹Ø Ð º º½º½º Ë Ø NP¹Ø Ð Ò Ö Þ Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø Ý ÓÒØÓ Ö Ñ ÒÝ Ø Ò Ú Þ Ø Ò Ó Ý Ë Ø Ý NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Þ Ð Þ Ö Ò Ð Ù Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÓ Ø Ñ ÒØ ÒÝ ÐÚ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ò ÒÝ ØÓÚ ÐÓ Ò ÞÒ Ð ØÓ Ð Ô Ó ÐÑ Øº Ò Ä Ø Ö ÐÒ Ò Ú Þ Ò Ý Ø Ð ØÚ ÐØÓÞ Ø Ñ ÐÝÒ ÖØ Þ ÐÐ ØÚ Ñ Ð Øµ ÐÐ ØÚ ÒÒ Ò ÐØ Øº Ì Ò Ò Ú ÞÞ Ð Ø Ö ÐÓ Þ ÙÒ Ø Ú Ý Ô ÓÐ Ø Øµ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò Ò µ Ø Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ô ÓÐ Ø Øµº Þ ÙØ Ò Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Ð Ù º Ë Ø { φ φ Ð Ø Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò ÓØØ ÐÓ ÓÖÑÙÐ } Ì Ø Ë Ø ÞÓÒ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ý Ñ Ð Ð Ð ØØ Ð ÓÐÚ Ñ ÐÝ Ð Ø Ø º È Ð (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) Ë Ø. Ì Ø Ð ÓÓ Ø Ø Ð µ Ë Ø NP¹Ø Ð º ÞÓÒÝ Ø ÞØ Ó Ý Ë Ø NP¹ Ð Þ Ø Ð Ò Ñ Ö Ð ØØÙ º Ñ Ø ÐÐ Ñ ÞÓÒÝ Ø Ò Þ Þ Ó Ý Ñ Ò Ò NP¹ Ð ÒÝ ÐÚ ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ë Ø¹Ö º Ä Ý Ò L Ý Ø Ø Þ Ð NP¹ Ð ÒÝ ÐÚ Ð Ý Ò M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q i, q n ) Ý p(n) ÒÝò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú Ð Ñ ÐÝ p : N N ÔÓÐ ÒÓÑÖ Ý Ó Ý L = L(M)º ÐØ Ø Ó Ý Ñ Ò Ò n N¹Ö p(n) nº Ð ØÙÒ Þ Ó Ý M Ñ Ò Ò w Ñ Ò Þ Ú ÓÞ Ð Þ Ø Ò Ý φ ÓÖÑÙ¹ Ð Ø Ý Ó Ý

37 º½º NP¹Ì ÄÂ Ë ÈÊÇ Ä Åýà w L ÓÖ ÓÖ φ Ð Ø Ø w φ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ñ Ú Ð Ø Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÖÐ ØÓ Ø ÖÑ Ò Þ¹ Ø Ù ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº ÞÓÒÝ Ø ØÓÚ Ö Þ Ñ Ö Ò Ñ Ø Ò ÒÝ M Ñò w Þ Ò Ð Ö Ø Ý ÓÐÝ Ò Ø Ð Þ ØØ Ð Ñ ÐÝÒ Ð ÓÖ M Þ ÓÒ ÙÖ Ò Ø ÝÑ Ø Ú Ø ÓÖ Ô M Ø ÝÑ Ø Ú Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ð Ð Ñ w¹òº Ý ÐÝ Ò Ø Ð Þ Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º # q 0 w 1 w 2 w n # # # Ð # # p(n) + 1 # # p(n) + 3 Ì Ý Ð Ó Ý w = w 1 w 2... w n Ú Ð Ñ ÐÝ n N Þ ÑÖ º Å Ú Ð M p(n) ¹ ÓÖÐ ØÓ Ô Þ Þ Ñ Ò Ò Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ñ Ü ÑÙÑ p(n) Ð Ô Ò Ú Ø Ö w¹ò ÒØ Ø Ð Þ Ø (p(n) + 3) (p(n) + 1) Ö ÐÐ Ð Ðк Ø Ð Þ ØÒ Ø Ø Ú Ò Ý ÓÐÝ Ò i¹ ÓÖ 1 i p(n)+1µ Ñ ÐÝ M Ý Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ ¹ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð º Å Ý Þ Ò Ò Ó Ý Ø Ð Þ Ø Þ i¹ò Ð Ò ÝÓ ÓÖ Þ Ñ ÓÖ Ñ Ý Þ Þ i¹ ÓÖÖ Ðº Ø Ð Þ Ø Ñ Ò Ò ÐÐ C = Q Γ {#} ÐÑ Þ Ý Ð Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø º Å Ò Ò ÐÐ ÓÞ C¹ Ð Þ Ñ ÐÙÑ ÓÞ Ú Þ Ø Ò Ý Ø Ð ØÚ ÐØÓÞ Ø Þ Þ Ñ Ò Ò 1 i p(n) + 1¹Ö 1 j p(n) + 3¹Ö s C¹Ö Þ x i,j,s Ý Ø Ð ØÚ ÐØÓÞ Ð Þ φ¹ Òº Þ x i,j,s Ú ÐØÓÞ Þ ÖØ φ¹ Ò ÞØ Ó Ð ÒØ Ò Ó Ý Ø Ð Þ Ø i¹ ÓÖ Ò j¹ Ó ÞÐÓÔ Ò Þ s Þ Ñ ÐÙÑ Ú Òº Ø Ð Þ Ø Ð Ó Ú Ý w L Þ ÙØÓÐ ÓÖ Ý Ð Ó ÓÒ ÙÖ Þ Þ Þ ÙØÓÐ ÓÖ Ò Þ Ö ÔÐ ÐÐ ÔÓØ q i º Ñ ÓÒ ØÖÙ ÐØ φ¹ò ÞØ ÐÐ Ð ÖÒ Ó Ý Ø Ð Þ Ø Ý Ð Ó Ø Ð Þ Øº ÒÒ Ñ Ð Ð Ò φ Ò Ý Ö Þ ÓÖÑÙÐ Ð ÐÐ φ = φ 0 φ start φ move φ accept º φ 0 ÞØ Þ Ó Ý Ø Ð Þ Ø Ñ Ò Ò Ý Ñ Þ Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Ö Ø Ö Ú Ò

38 Â Ì º Î Ì Ë ÇÆ ÇÄÍÄÌËý ÄÅ Ä Ì φ 0 = 1 i p(n)+1 1 j p(n)+3 ( ) x i,j,s s C s,t, C,s t ( x i,j,s x i,j,t ). φ start ÞØ Þ Ó Ý Ø Ð Þ Ø Ð ÓÖ Ò w¹ Þ Ø ÖØÓÞ Þ ÓÒ ¹ ÙÖ Ú Ò φ start = x 1,1,# x 1,2,q0 x 1,3,w1... x 1,n+2,wn x 1,n+3,... x 1,p(n)+2, x 1,p(n)+3,#. φ accept ÞØ Þ Ó Ý Ø Ð Þ Ø ÙØÓÐ ÓÖ Ò Ð Ó ÓÒ ÙÖ Ú Ò φ accept = p(n)+2 j=2 x p(n)+1,j,qi. Î Þ Ø Ð φ move ÓÖÑÙÐ Ò ÞØ ÐÐ ÞÒ Ó Ý Ø Ð Þ Ø Ø ÝÑ Ø Ú Ø ÓÖ M Ø ÝÑ Ø Ú Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ð Ð Ñ w¹òº ÓÞ Ó Ý ÞØ ÓÖÑ Ð Þ ÐÒ ØÙ Ù Þ Ò Ð Þ Ò Ñ Ð Þ Ð ØÖ º Æ Ú ÞÞ Ø Ð Þ Ø Ý a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 Ö Þ Ø Ø Ð Þ Ø Ý Ð Ò º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ø Ð Þ Ø Ý Ð Ð Ð Þ Ñ Ò ØØ Þ M ØÑ Ò Ø Ö Ð ÐØ Ð Ð Þ Ð ÓÖ Ñ Ý Þ ÓÖ Þ ÒØ Ò Ð Ð Þ Ð µº È Ð ÒØ Ø Ý Ð Ó Ý δ(q 1, a) = {(q 1, b, R)} δ(q 1, b) = {(q 2, c, L), (q 2, a, R)} a a q q 1, q 2 Q a, b, c 1 Γµº ÓÖ Ú Ø Þ Ø Ð Ð Ð a a b a q 1 b º Å Ö ÞØ ÖÑ ÐÝ Ò ØÓÚ ØÑ Ò Ø Ø Ò Ò Ñ δ Þ q 2 a c a a a Ð Ò Ñ Ð Ð º a b a Þ ÙØ Ò Þ ÐØ ÐÙÒ Ñ ÓØØ φ move ÞØ Ó ÞÒ Ó Ý Ø Ð Þ Ø Ñ Ò¹ Ò Ð Ð Ð º Þ Ó Ý φ move Ý ÞØ Þ Ñ Ø ÐÚ ÖÙÒ Ø Ð Ú Ø Þ Þ Ð ÐÐ Ø Ð Ñ ÐÝ Ø Ò Ñ ÞÓÒÝ ØÙÒ À Ø Ð Þ Ø Ð ÓÖ Þ M Þ ÓÒ ÙÖ w¹ò Ø Ð Þ Ø Ñ Ò Ò Ð Ð Ð ÓÖ Ø Ð Þ Ø Ñ Ò Ò ÓÖ Ý ÓÐÝ Ò ÓÒ ÙÖ M¹Ò Ñ Ð Ð Ò Ú Ø M¹Ò Ø Ð Þ Ø Ñ Ð Þ ÓÖ Ò Ð Ú ÓÒ ÙÖ Øº Ä Ý Ò Ø Ø φ move = 1 i p(n) 2 j p(n)+2 ψ i,j,

39 º½º NP¹Ì ÄÂ Ë ÈÊÇ Ä Åýà ÓÐ ÓØØ i¹ö j¹ö ψ i,j Þ ÓÖÑÙÐ Ñ Ò ÞØ Þ Ó Ý Ø Ð Þ Ø i¹ ÓÖ Ò ÒÒ j 1¹ ÔÓÞ Ò Þ Ð Ð Ð º ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø x i,j 1,a1 x i,j,a2 x i,j+1,a3 x i+1,j 1,a4 x i+1,j,a5 x i+1,j+1,a6 (a 1,...,a 6) Ð Ð ÓÖÑÙÐ Ú Ð Ð Ø Ð ÖÒ Þ ÓÖÑÙÐ ÒÓ Ò Ñ Ò º Þ ÖØ ψ i,j ¹Ú Ð Ý Ú Ú Ð Ò ÐÐ Ø Ø Ó ÙÒ ÓÖÑ Ð Þ ÐÒ Ò Ñ Þ Þ Ó Ý Ø Ð Þ Ø i¹ ÓÖ Ò ÒÒ j 1¹ ÔÓÞ Ò Þ Ð Ò Ñ Ð Ð º ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø ( (a 1,...,a 6) Ò Ñ Ð Ð x i,j 1,a1 x i,j,a2 x i,j+1,a3 x i+1,j 1,a4 x i+1,j,a5 x i+1,j+1,a6 ) ÓÖÑÙÐ Ö Ð º Ð ÓÖÑÙÐ Ð ÅÓÖ Ò ÞÓÒÓ Ó Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ù Ö ØØ ψ i,j ÓÖÑÙÐ Ø ψ i,j = (a 1,...,a 6) Ò Ñ Ð Ð x i,j 1,a1 x i,j,a2 x i,j+1,a3 x i+1,j 1,a4 x i+1,j,a5 x i+1,j+1,a6. Å Ú Ð Ý ψ i,j Ò Ô Ù Ó Ý φ move Þº Å Ö ÞØ φ 0, φ start Ú Ð Ñ ÒØ φ accept Ö Þ ÓÖÑÙÐ Ñ Ò Ý Ò º Þ ÖØ Þ Þ φ ÓÖÑÙÐ Ñ Ò º Ð ÞÒ ÐÚ ØÓÚ ÞØ Ó Ý Þ Ò Ö Þ ÓÖÑÙÐ Ñ Ö Ø n Ú ÒÝ Ò ÔÓ¹ Ð ÒÓÑ Ð Ò Ý Ö Ò ò Ñ ÑÙØ Ø Ø Ó Ý φ ÓÒ ØÖÙ n Ú ÒÝ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØØ ÐÚ Þ Ø º Å Ö ÞØ Þ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý w L ÓÖ ÓÖ Þ φ Ð Ø Ø º Ì Ø φ ÓÒ ØÖÙ Þ L ÒÝ ÐÚ ÔÓÐ ÒÓÑ ò Ú Þ Ú Þ Ø Ë Ø¹Ö º Å Ú Ð L Ø Ø Þ Ð NP¹ Ð ÒÝ ÐÚ ÚÓÐØ Ô Ù Ó Ý Ë Ø NP¹Ø Ð º º½º¾º ÌÓÚ NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ñ ÓÒ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ NP¹Ø Ð Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ð¹ ÒÝ Ò ÞÓ Ø Ò ¹ Ø Ø ÒØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò Ø ÔÓÒØÓ Ò ÖÓÑ Ð Ø Ö ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þº ØÓÚ Ò ÞØ Þ Ý ÔÓØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Þ Ð Ù º Ò Ä Ý Ò k 1º k Ø = { φ : φ Ø, φ Ñ Ò Ò Ø Ò k Ð Ø Ö Ð Ú Ò }º ÅÓ Ø Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý 3 Ø ÔÖÓ Ð Ñ NP¹Ø Ð º Ì Ø Ð 3 Ø NP¹Ø Ð º ÞÓÒÝ Ø Å Ú Ð Ë Ø Np ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý 3 Ø NP Ø Ð Ðº Å ¹ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ø p 3 Ø Ñ Ý ÓÖ Ø Ø Ð Ò Ð Ô Ò ÑÔÐ Ð 3 Ø NP¹Ø Рغ