Ú Þ Ø Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø ÁÁº Å Ò ÓÖÑ Ø Ù ¹ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö Ð Ø ¾¼¼ º Ø Ú Þ ÎÁË ½½¼ Ð ÓÞ Þ ÐÐ ØÓØØ Ð Ò Ö Ì Ñ A B s t X

Átírás

1 Ú Þ Ø Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø ÁÁº Å Ò ÓÖÑ Ø Ù ¹ ÐÐ Ø Þ Ñ Ö Ð Ø ¾¼¼ º Ø Ú Þ ÎÁË ½½¼ Ð ÓÞ Þ ÐÐ ØÓØØ Ð Ò Ö Ì Ñ A B s t X

2 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø ¾ ½ºº ÙÐ Ö À Ñ ÐØÓÒ Ö Ó ¾ºº À Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÓ ºº Å Ò Ö Ø Ø Ð ºº È ÖÓ Ö Ó Ô ÖÓ Ø Ó ½¼ ºº Ö Ó Þ Ò Þ ½ ºº È Ö Ø Ö Ó ½ ºº ÌÙÖ Ò¹Ø Ø Ð Ö ½ ºº Ç ÞØ Ø ÔÖ Ñ ½ ºº ÃÓÒ ÖÙ Ò ¾½ ½¼ºº Ð Ö ØÖÙ Ø Ö ¾ ½¼º½ºº ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º¾ºº Ð Ù ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ºº Ö ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ººÈ ÖÑÙØ ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ºº ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ºº Ú Ø ÖÒ ÓÔÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½½ºº ÝòÖò Ø Ø ¼ ½¾ºº Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ø ÓÒÝ ½ ½ ººÆÝ ÐÚ ÒÓ ÙÐ Ø Ø Ó Ö Ó ½

3 Ú Þ Ø Þ ÝÞ Ø Å ¹Ò ¾¼¼»¾¼¼ ¹Ó Ø Ò Ú Ñ Ó Ð Ú Ò Þ Ò ÓÖÑ Ø Ù ¹ ÐÐ Ø Þ ¹ Ñ Ö Ð ÓØØ Ú Þ Ø Þ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø ÁÁº º Ð ÓÞ Ô ÓÐ Ð ÓÖ Ò Þ ÑÐ Ø ØØ Ø Ö Ý Ð Ø ÖØ Ò Ú Þ Ö Ú Ð Ð Þ Ð ÒÝ º Æ Ñ Ô ØÓÐ ÞÓÒ Ò Ö Ò Ð Þ Ö ÐÐ ÒÝÚ¹ ÓÖÑ ØÙÑ ÝÞ Ø Ø Ñ ÐÐÝ Ð Þ ÑÓ Ø ÒØ Ø Ò Ý Þ º Ð ÒÝ Ø Ð Ò Ñ ÒÒÝ Ó Ý ÞÓÖÓ Ò Ô ÓÐ Þ Ö Ò Ð ÓØØ ÒÝ ÓÞ Ý ÓÒ ÒØÖ ÐØ Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ú Þ Ò Þ ÑÓÒ ÖØ ØÙ¹ غ Â Ð Ò ÝÞ Ø Ú Ð Ñ ÒÒÝ Ö Ø Ð ÑÙØ Ø ÞÓÒ Ò Þ Ð ÓÒ Ð Ò ÞÓØØ ÓÒ Ý ÓÐÝ Ò Ö Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ò Ñ Ò ÞÓØØ Ð Þ Ð ÓÒ ÐÐ ØÚ Ñ Ø Ò Ñ Ö Ò Þ ÑÓÒ Ú Þ Òº À Ø Ø Ú Ð Þ Ò Ú Ð ØÐ Ò Ð ÓÑÓÐÝ Ò Ö Ð Ý¹ Ý Ø Ñ Ö Ö ÒØ Ö Þ ÒØ Ò Þ ÐÚ Þ Ô¹ Ø Ù Ú ÝÓ ÞÞ Ð Ô ÓÐ Ø Òµ ÞÓ Þ Ñ Ö Ó Ý ÞØ ØØ Ñ Ò ÒÝ ÐØ Ð Ñ Ö Ò Ø ÐØ Ñ ÝÞ Øº Þ Ð ÝÞ Ø Ò ½ Ðк ÔÖ Øò Þ Ð ÓÐÚ Ø º Æ Ð Ø Ð ÞÓÒ Ò Ó Ý Þ ÙÔ Ò Ø Ò ÒÝ ÓØ Þ Ø Ñ ÝÞ ÓÞ Ó Ý Ý ÓØØ ÒÝ Ö Þ Ò Ú Ð Ø ÒÝÐ Ò ÐÑ ÐÝ Ð Ò Ñ Ð Ð Þ ÖÓ ÐÑ Ø µ Ð Þ Öò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞÒ º ÞÓÒÝ Ø Ó Ú Ø ÓÐÝ Ò Ó ÐÞ Ñ ÒØ Ñ ÐÝ Ò Ôк Ò ÓÖ Ò Ðк ÀÓ Ý Ò ØØ Ð ØÖ ÝÞ Ø Ý Ð ÓÖÓÞ Ø Ø ÖÚ Þ ÓÖ Þ Ð Ò Ð Þ Öò Ø Þ¹ Ò Ð Ø Ö Ú ÞÐ ØÓØ Þ Ø Ò Þ Ð Ò Þ ÒÝ Ö Ð Ó Ý Þ Ñ Ò Ð Ý Þ ÖÚ Ò Ð Ô Ð Ð Òº À Ð ÓÖ Þ Öò Ø ÒÓÐ Ð Ö Ô Þ Ò ÑÑ Ö ÓØØ Ø ÖØÙÒ Ó Ý Ò Ñ Ð ÒÝ Ò Ó¹ ÒÝÓÐÙÐØ Ý ÐÝ Ø ÒÝ ÓØ Ø Ð Ò Þ Ö ÞØ Ò Ðк Ø ÖÓÐÒ Ñ ÒØ ÝÓÑ ÒÝÓ Ô Ô Ö Ð ÔÓÒ ¾ º ÝÞ Ø Ð ÓÖ Ò Ø Ø Þ Ð Ø ÒÝ ÒØ Ö ÐØ Þ ÐÐ Ø Ö º ÒÒ Ý Ú Ø Þ¹ Ñ ÒÝ Ó Ý Ø ÐÙ Ñ Ð Ø Ò Ø Ñ Öº Æ Ñ ÐÐ Ñ Ð Ô Ò Ý¹ Ý ÑÓÒ Ø Ø Ð Ñ ÖØ Þ Ö Ø ÓÐ ÓØ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐÒ º ËÞ Ö Ò Ö Ò Ñ Ù ÒÒ Ð Ð ÔØ Ò¹ÒÝÓÑÓÒ ÐÝ Ò ÑÓÒ ØÓ º Å Ò Ò Ö Þ Ø ÐÐ Ò Ö Ú Ð Þ ÒòÐ Þ ÑÓ Ñ Ö Ø Þ Ð ÝÞ Ø Òº Ä ØÒ Ô Ö Þ Ø º ËÞ Ö Ò Ö ÚÓÐØ Ø ØØ º ÝÓ Ý Þ Ò Ø Ø ÑÓÒ Ó Ñ Ò Ò Ò Ö ÞØ Ú ØØ Þ ÒÝ Ú Ø Ò ÞØ Þ ÑÓ Ú ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ ¹ ÐÐ Ø Ò ÝÞ Ø ÓÖ Ú ÖÞ Ò Ø Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÚØ Ð Ý ÐÑ Ñº Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ò Ò Ñ Ñ Ö Ø ÖØ Ð Ð Ý Ð Þ ÖÞ º Þ Þ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ñ ÝÞ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÓÞÞ Þ Ð Ó Ø Þ Ò ØØ Ð Ó ÓÑ Ð Ò Ö º Ñ º Ù Ñ Òº Â Ð Ò ÝÞ Ø Ð ÒØ Ö Þ Þ ÐÐ Ñ Ø ÖÑ Ò Ñ Þ ÖÞ º Ì Ö ÞØ Å ËÞ Ñ Ø ØÙ¹ ÓÑ ÒÝ ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ Ð Ø Ì Ò Þ ÓÖ ÐÓÑ ÓÞ Ø Ð Ò ÐØ ÖÓÒ Ø ÖØ Ò º Þ ÖÞ Ó Ó Ø ÒØ Ø Ò Þ ÖÞ Ð ÔÞ Ð Þ Ð º ÝÞ Ø Ð ÒÐ ÓÖÑ Ò Ñ ÓÐ Ø Ø Ö ÞØ Ø Þ Ö Ð Þ ÖÞ ÓÖÖ ÔÓÒØÓ Ñ Ð Ð Ú Ð Ò Ý Ò Òº Í Ý Ò Þ Ñ Ø Ö Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Þ ÖÞ Ó Ø ÐÝ Ð ÓÐÓ Ö Ñ Ð Ò ÑÙÒ ÒØ Ø ÔÙ Ð ÞÒ Ð ÓÖ Ò Þ ÖÑ Þ º Þ Ñ Ø ØØ Ð ÐØ Ö Ð Ð ÞÒ Ð ÓÞ Ôк ÝÞ Ø Þ Ö ÞØ Þ Ø ÓÐ ÓÞ ÓÞ ÖÙ Ø ÓÞµ Ð Ò ÑÙÒ Þ ÖÞ Ò Ò ÐÝ Þ º ÝÞ Ø Ö Ñ ÒÝ Ñ Þ Ö ÒØ Ö ÒØ ÖØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø ÛÛÛº º Ñ º Ù» Ð Ò Ö» Þ¼ ¾ Û Ð ÔÖ Ð Ø ÐØ Ø Ð º Å Ò Ò ÓÐÚ Ò Ö Ð Þ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ú Þ Þ Ø Ú ÒÓ º Ù Ô Ø ¾¼¼ º Ñ Ù ½¼º Ð Ò Ö Ì Ñ ½ Å ÒØ Ôк Þ Øغ ¾ ÐÐ ØÚ Ó Ý Ò Ñººº Î Ð Ý Ú ÞÐ ØÓ ÒÝ ÚÓÐØ ÝÞ Ø ÓÖ Þ Ñ Ø ¹ Ú µ Þ ÚÓÐØ Ö º Ã Ð Þ ØØ Ú ÐÒ ÝÖ Ò ÝÞ Ø ÓÖÑ Ð Øغ Æ Þ Ñ Ö Ý Ô Ò ÙÖ Þ ÞÑ Ø Ð Ð Öغ ¾

4 ½º ÙÐ Ö À Ñ ÐØÓÒ Ö Ó G = (V, E) Ö ÙÐ Ö¹ Ø ÙÐ Ö¹ Ö µ G Ö Ý ÓÐÝ Ò Þ Öص Ð ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ G Ñ Ò Ò Ð Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ÎÓÐØ ÔÔ Ò G Ö Ð Ò ÓÐÝ Ò Ö Ö Ð Ú Ò Þ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò ÐØ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ö ÒØ Ò º Ö ØÚ ÒÝ ¹ Ó Ò ÞÓ Ó Ö ÞÓÐ Ù Ð Ý ÚÓÒ ÐÐ Ð ÖÙÞ Ð Ñ Ð Ò Ð Ð Ø ÔÙ Ø Ö ÞØÖ Ø Ú ÐØÓÞ Ø Ð Ö ÞÓÐ Ò Ö Ø Ý Ö ÞÓÐص Ö Ò Ø ÒØ Ñ ÐÝÒ Þ Ö ÓÑ ÔÓÒØ Ð Ô ÓÑ ÔÓÒØÓ Þ ØØ ÙØ Ú ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò Ò Þ Ø Ò ÓÐ Ø Ñ Ð Ú ÒÝ Ð Ø Þ Þ ÑÐ Ø ØØ Ö Ò ÙÐ Ö¹ Ø º Ö ÐÑ Ð Ø Þ Ð Ø Ò Ã Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ ÓÐ Ø ÞÓ Ø ÒØ Ò º Ì ÖØ ÒØ Ù Ý Ò Ó Ý ½ ¹ Ò Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ñ Ú Ð ÞÓÐØ Ú ÖÓ ÔÓÖÓ Þ Ã Ò Ö ÔÓÐ Ö Ø Þ ÐÓÑ Ò Ø ÖØ Ö Ø Ñ Þ Ö ÒØ Ñ ÖØ Ò Ñ Ö Ð Þ Ö Þ Ð Ð ÓÐÝ Ò Ø Ø Ø ÒÒ Ñ ÐÝ Ò ÈÖ ÓÐ ÓÐÝ Ø Ò Ñ Ò Ý Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ð Ò Ø Ñ Ò Þ Ò Ú Þ ÖÑòÚ Ø Ò Ñ Ú ÞÒ ÒÝ º ½º Ö º Ã Ò Ö ÎÁÁÁº Þ Þ Ò Ã Ð ÒÝ Ò Ö Áº¹ Òº ÙÐ Ö Ñ Ý ÐØ Ó Ý Þ Ý Þ Ö Þ Ð Ø Ó Ò Ø Ô Þ ØØ ÙØ Ð Ò Ø ÒØÚ ÔÔ Ò Ý Ñ Ò Ò ÐØ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð ÓÖÓÞ Ø Ð Ø Þ Ö º ÓÒ Ö Ø Ø Ò Ô Ò Ñ Ø Ð Ð Þ Ð Ú Ø Þ Þ ÐØ Ø Ðº ýðð Ø À Ú G Ö Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ö ÓÖ G Ñ Ò Ò Ò Ô ÖÓ Ó Þ Ñ º À G¹ Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ø ÓÖ G¹Ò 0 Ú Ý 2 Ô Ö ØÐ Ò Ó Ú Òº Þ Ø Ð Ø Þ ÞÓ ÓÒ Ú Ð Ø Ð Þ Ö ÒØ Ö ÒÝ ØÚ Ñ Ò Ò Ó ÞÓÒÓ Ð Þ Ó Ú Ð Ú Ú ØÐ Þ Ð ÙØÓÐ Óغ Ó Þ Ñ Ô Ó Ó Þ Ø Ø ÓÐ Þ Ý ÒÐ ÓØØ Ô ÖÓ º Þ Ñ ÒØ Þ ÐØ Ø ÐÒ Þ ÖØ ÐÑ Ñ ÓÖ Ø Þº Ì Ø Ð À G = (V, E) Ö Ú Þ ÓÖ ½º G¹Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö G Ñ Ò Ò Ô ÖÓ Ó Ðк ¾º G¹Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ø G¹Ò 0 Ú Ý 2 Ô Ö ØÐ Ò Ó Ú Òº Þ ½º Þ ÒØ Ñ Ý Ð Ð Ú Ø Þ º Þ Ð Ø G Ð Þ Ñ Þ Ö ÒØ Ò¹ Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ º 0¹ Ðò Ö Ó Ö Ø Ø Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Þº Ì Ý Ð Ó Ý m¹ò Ð Ú Ðò Ö Ó Ö Ø Ø ÐØ Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØÙ Ð Ý Ò G¹Ò m Ð º Â Ý ÞÞ Ñ Ó Ý Ã Ò Ö Ñ Ò Ú Ã Ð ÒÝ Ò Ö Ã Ð ÒÝ Ò Ö ÇÖÓ Þ Ü Ð Ú Þ ÐÝ º Þ Ü Ð Ú ÒÒÝ Ø Ø Þ Ñ ÒØ ÇÖÓ ÞÓÖ Þ ÓÐÝ Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÅÓ Þ Ú Øº ËÞÓÑ Þ Ä ØÚ Ò Ä Ò Ý ÐÓÖ Þ Ý ¾¼¼ Ø Þ Í Ú Þ Ö Ð ÇÖÓ ÞÓÖ Þ Ý Ö Þ Øº à РÒÝ Ò Ö ØÖ Ø Ð ÒØ Ð Ó Ý Þ Þ ÇÖÓ Þ Ö Þ Ý ØÐ Ò ÝÑ ÒØ Þ Ø ÞÓÚ Ø ÐØ ÓØØ ÓÖ ÐÐÓÑ ÐÝ º Ã Ò Ö Ø Ø Ö ÐÑ Ð Ø Ð Ò Ø ÒØ Ø º Ñ Ø Ñ Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ñ ØØ ÓÒØÓ Þ Ò Þ Ð ØØ ÚÓÐØ Þ Ñ ÐÑ Ð Þ Ö Ø Ò ÓÐ Ò Ø Ö Ø Ö Ò µ ÓÑ Ø Ö Ú À Ð ÖØ Þ Ñ ÐÑ Ð ØØ Ð ÓÙÖ Ö¹ Ò Ð Þ Þ ÑÓ Ø Ö Ð Ø Ø ÑòÚ Ð ÊÙ ÓÐ Ä Ô ØÞ Ñ Ó Ò Ñ Ó º Ú ÖÓ ÓÖ Ð Þ ÐÐ Ñ Ð ØÒ Þ ÒØ Ò Þ Ý ÞÔÓÒØ ÚÓÐØ ÒÒ Ò Þ ÖÑ Þ Ô Ð ÙÐ ÐÓÞ Ù ÁÑÑ ÒÙ Ð Ã ÒØ Þ Ù Ù Ø Ú Ã Ö Ó ÙØ Ö Ð Þ ÒØ Ò Þ Ð Þ Ò Ñ Ó Ö º ÙÐ ÖÖ Ð Ý Ö Ø ÒÝ Ñ Ó Ý Ñ ÓÑ Ò ØÓÖ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ñ Ø Ñ Ø Ù Ó Ò Ð Ñ Ú Þ Ð Ù ÚÓÐØ Ó ØÓÖ Ø Ñ Ú Þ Ø Ò Ó ØÓÖ Ø Ñ Ú Þ Ø Ò ººº Ø ÓÖ Þ Ø Ð ÒØ Ö Þ Ò Ä ÓÒ Ö ÙÐ Ö ÙØÙÒ Ð Ò ÝÞ Ø Þ ÖÞ Þ ÙÒÓ º Ö Ú Þ Ø ÖÚ ÑÐ Ø Ø Ö Ñ Ð Ñ Ó Ý ÓÖ Ð Ø Ð ØØ Ñ Ö Ò Ñ ÐÐ Ô ÐØ Ú ÞÓÒØ Ñ ØØ Ñ ÐÝ Þ Ò Ñ Þ Ö Þ Ð Ø ØÒ Þ º Ð ÒÝ Ò Ö Ø Ö ÒÒ ÐÐ Ò Ö ØÓÚ Ö Ñ Ð Ø Ð ÒÐ Ö ÞÓÑÓÖ Þ ÙÐ Ö ÓÖ Ð Ú Ðº Ä º Þ Ö Øµ Þ Ý Ð Ö ÐÑ Ð ØØ Ð Ó Ð Ð ÓÞ ÒÝÚ Ò Ø Ø Ð Ð Ö Þ Ý Þ Ö Ô Ð Ý Ú G Ö Ò ÓÖ ÓÖ Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö G Þ Ô ÖÓ º Ì ÒÙÐ Ó Ñ ÓÒ ÓÐÒ Ñ ÖØ Ò Ñ Þ Þ Þ ÐÐ Ø º

5 G¹ Ò Ð Ø Þ Ý C Ö Ñ ÖØ Ñ Ò Ò Ó Þ Ñ Ð Ð ØØ Ð Ò ÙÐÙÒ G Ý Ø Ø Þ Ð Ð Ñ Ò ØÐ ÓÞ Ð Ò Ð Ô Ò ØÓÚ ÓÖ Ý Þ Ö Ý ÓÖ Ò Ö ÒØ ØØ v ÐÐ ÙØÒÙÒ Þ Ð Ó ÔÓÒØ Ò Ó Ñ ØÙÒ Ðº v Ø Ö ÒØ Þ ØØ Ô ÔÔ Ò Ý ÖØ ÖØÙÒ º Ì ÒØ G = G C Ö ÓØ Ñ ÐÝ C Ð Ò Ø ÖÐ Ú Ð Ð Ø¹ Þ G¹ к G Ñ Ò Ò Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ú m¹ò Ð Ú ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ò Ò Ó Þ Ñ Ô ÖÓ Þ ÖØ Þ Ò Ù ÐØ ¹ Ú Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö º G ÙÐ Ö¹ Ö Ø Ý Ô Ù Ó Ý C Ý v Ð Ò ÙÐÚ C Ð Ò Ð ÙÒ Ú ¹ ÞÓÒ Ò Ñ ÓÖ Ý Ò ÑØÖ Ú Ð ÓÑÔÓÒ Ò Ö Þ Ò ÓÖ Þ ÓØØ ÓÑÔÓÒ Ò ÙÐ Ö¹ Ö Þ Ö ÒØ Ð ÙÒ ØÓÚ Ñ Ñ ÙØ Ò ÞÞ Ð Ú ÞØ Ò ÓÐÝØ Ø Ù C Ö Ö Øº ÁØØ Ð ÞÒ ÐØÙ Ó Ý Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú Ò ÙÐ Ö¹ Ö ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÙÐ Ö¹ Ö Ñ Ò Þ ¹ Ý Ú ÔÓÒØ µ ÓÑÔÓÒ Ò Ý ÓØØ ºµ ÔÓØØ Ð ÓÖÓÞ Ø ÒÝ ÐÚ Ò G ÙÐ Ö¹ Ö Ð Þº ¾º À G Ñ Ò Ò Ò Ó Ô ÓÖ ½º Ñ ØØ Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ö Ñ Ý ØØ Ð ÙÐ Ö¹ Ø º Ý ÒØ ÞÞÙÒ G ÔØÒ Ó Þ ØØ Ý e Ðغ ½º Ñ ØØ Ð Ø Þ G Ö Ò Ð Ø Þ ÙÐ Ö¹ Ö ÐØ Ø Ó Ý e Ö ÙØÓÐ Ð º Þ e Ð ÙÐ Ö¹ Ö Ð Ú Ð Ø ÖÐ ÓÖ ÔÔ Ò G Ý ÙÐ Ö¹ Ø Ø Ô Ù º G Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ Ø µ G ÓÐÝ Ò Ö Ø µ Ñ ÐÝ G Ñ Ò Ò Ø Ø ÖØ Ð¹ Ñ ÞÞ º Å ÝÞ Å Ú Ð Ý Ö Ò Ø Òµ Þ Ö ÔÐ Ñ Ò Ò Ð Ò Þ Þ ÖØ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ ص G Ö ÓÐÝ Ò Ö Ñ ÐÝ G Ñ Ò Ò Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Ö ÒØ º ýðð Ø À Ú G Ö Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ðк À Ñ ÐØÓÒ¹ ص ÓÖ G¹Ò k Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØ Ø Ø Ö ÐÚ Ð Ø Þ Ö Ò Ð Ð k Ðк k + µ ÓÑÔÓÒ Ò Ú Òº Þ À G Ö Ñ Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö À Ñ ÐØÓÒ¹ ص ÓÖ Þ ÐÐ Ø Ú Ð Ó º À G¹Ò ØÓÚ Ð Ú ÒÒ ÓÖ ÔÓÒØÓ Ø ÖÐ ÙØ Ò Ð Ø Þ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Ò Øº Å ÝÞ ÒØ ÐÐ Ø Ý Þ Ñ Ò Ñ Ð ÐØ ¹ Ø Ðº È Ø Ö Ò¹ Ö Ò Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö ÒÓ Ø Ð Ø ÐØ Ø Ðغ À ÚÓÐÒ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö ÓÖ 3 Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ ØÒ Ò Þ Ð Ø Ý Ó Ý Þ ÞÓÒÓ Þ Òò Ð Ô ÒØ Þ ÙÒ Ø Ð Ý Ò º À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö 0 Ð Ö ÐÐ 2 Þ Ò Ñ Ö Ð Ô Þ ÙÒ Ø Ñ Ú Ð È Ø Ö Ò¹ Ö 3¹Ö ÙÐ Ö ºµ Å ÖÔ Ð Ø Þ ÓÞÞ ØÐ ¹ ÓÞ Ð 3¹ Þ Ò Þ Þ ÑÑ ØÖ Ñ Øص Ð ÒÝ Ò Ý ÖØ ÐÑò Þ Ò Ñ Ø Ö ÞØ Ø ÐÓ Ð 3¹ Þ Ò Þ º À È Ø Ö Ò¹ Ö Ð Ö Ð a Ð Ö Ð Ô b ¹ ÓØ ÝÙÒ Ð ÓÖ Ð Ðк Ð Ö Ò Ð Ø Þ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Ð Ð a Ðк b Ú Ý Ö Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ø Þ ¹ Ò a + b¹ò Ð Ø ÓÑÔÓÒ Ò º È Ø Ö Ò¹ Ö Î ÒÒ ÞÓÒ Ò Ð ÞÒ Ð Ø Ð ÐØ Ø Ð À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ð Ø Þ Ö º Ö Ø Ø Ð À Þ n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò G Ö Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ó Ð Ð n 2 ÓÖ G¹Ò Ú Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º ÇÖ Ø Ø Ð À Þ n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò G Ö ÓÐÝ Ò Ó Ý uv E(G) Ø Ò d(u) + d(v) n ÓÖ G¹Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º Å ÝÞ À Ý Ö Ö Ø Ð Ð Ö ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ð Ð Ö Þ ÇÖ º Þ ÖØ Ö Ø Ø Ð Ú Ø Þ Þ ÇÖ Ø Ø Ð Ðº È Ø Ø Ð À Þ n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò G Ö Ó Þ Ñ d d 2... d n Ñ Ò Ò k < n 2 Ø Ò d k k + ÓÖ G¹Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º ýðð Ø À Ý Ö Ö Ø Ð Ð Þ ÇÖ ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ð Ð Ö È º Þ ÖØ Þ ÇÖ Ø Ø Ð Ú Ø Þ È Ø Ø Ð Ðº Þ ÁÒ Ö Øº Ä Ý Ò d k k Ú Ð Ñ ÐÝ k < n ¹Ö Ð Ý Ò U k Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ º ÖÑ ÐÝ U¹ Ð 2 ÔÓÒØ Ó Þ Ñ Ð Ð k Ý ÖÑ ÐÝ Ø U¹ Ð ÔÓÒØ Ó Þ Ñ Þ Ñ ÒØ n Þ ÖØ Þ ÇÖ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ U Ø Ð Ö ÓØ Þ Øº Å Ò Ò U¹ Ð ÔÓÒØ Ð Ø Ø k Ð Ò ÙÐ U¹ Ð ÔÓÒØ ÓÞ Þ ÖØ Ð Ð Ð Ò ÙÐ Ø U¹Ò Ú ÐÖ º k < n 2 Ñ ØØ Ð Ø Þ Ø Ø V (G) \ U¹Ò ÓÐÝ Ò v ÔÓÒØ Ñ ÐÝ U Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ Ú Ð Ò Þ ØÚ º ÓÖ Ø Ø Þ Ð u U Ö u v Ó Þ Ñ Þ Ð Ð k + (n k ) = n Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ ÇÖ ÐØ Ø ÐÒ º Ú Ø Ð Ø Ø Ð Ä Ý Ò G n¹ôóòø n 3µ Ý Þ Öò Ö Ñ ÐÝÒ Ó Þ Ñ d d 2... d nº Ì Ý Ð Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò k < n 2 ¹Ö Ñ ÐÝÖ d k k Ø Ð Ð ÒÒ ÐÐ d n k n k Ý ÒÐ ØÐ Ò º ÓÖ G¹Ò Ð Ø Þ À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö º Å Ö ÞØ d d 2... d n Ó Þ Ñ ÓÖÓÞ ØÖ Ò Ñ Ø Ð Ð Þ Ð Þ ÐØ Ø Ð ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ö Ñ ÐÝÒ Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö d d 2... d n Ó Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø Ö Ø Ð Ð Ó Ý d i d i i =, 2,..., nº Å ÝÞ À Ý Ö Ö Ø Ð Ð È ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ð Ð Ö Ú Ø Ð º Þ ÖØ È Ø Ø Ð Ú Ø Þ Þ Ú Ø Ð Ø Ø Ð Ðº v v C C

6 Þ ÇÖ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò G Ý ÐÐ ÒÔ Ð Ø Ø ÐÖ º Å ¹ Ú Ð Ð Þ Ò Ñ ÖÓÒØ Ð Þ ÇÖ ¹ØÙÐ ÓÒ ÓØ ÐØ Ø Ó Ý v k G¹ Ò ÖÑ ÐÝ Ð Þ Ð ØÖ ÓÞ Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ ÖØ Þ Þ G Ö¹ Ñ ÐÝ Ø Þ Ø ØÐ Ò ÔÓÒØ Þ ØØ Ú Þ Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ غ À Ø Ø u v Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ Ð Ø Þ Ý P À Ñ ÐØÓÒ¹ Ø u¹ Ð v¹ ÐØ Ø¹ Ó Ý Þ Þ Ø Þ u = v, v 2, v 3,...,v n = v ÓÖÖ Ò Ò Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ G v 2 غ À ÑÓ Ø v v k G Ö Ð ÓÖ v k v n Ò Ñ Ð Ø G Ð Ñ ÖØ v, v 2,..., v k, v n, v n, v n 2,...,v k, v Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ð ÒÒ ÐÐ ÒØ Ø¹ Ò G Ú Ð ÞØ Ú Ðº v v n À Ø Ø v ÞÓÑ Þ v i, v i2,..., v im Ó ÓÖ v n ¹Ò Ò Ñ Ð Ø ÞÓÑ Þ v i, v i2,...,v im Ó Ý Ñ Þ Þ v n ÞÓÑ Þ Ò Þ Ñ Ð Ð n m Ð Þ Ú Ý d(v ) + d(v n ) m + n m = n < n ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ú Ø Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÐØ Ø Ó Ý G Þ, 2,... n ÔÓÒØÓ d() d(2)... d(n)º ÁÒ Ö Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ Ð Ý Ò G Ý ÐÐ ÒÔ Ð Ø Ø ÐÖ º Å Ú Ð Ð Þ Ò Ñ ÖÓÒØ Ð Ú Ø Ð¹ØÙÐ ÓÒ ÓØ ÐØ Ø Ó Ý G¹ Ò ÖÑ ÐÝ Ð Þ Ð ØÖ ÓÞ Ý À Ñ ÐØÓÒ¹ ÖØ Þ Þ G ÖÑ ÐÝ Ø Þ Ø ØÐ Ò ÔÓÒØ Þ ØØ Ú Þ Ø À Ñ ÐØÓÒ¹ غ À Ø Ø k l Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ Þ P kl À Ñ ÐØÓÒ¹ ØÓÒ k ÞÓÑ Þ Ø Ñ Ð Þ ÔÓÒØÓ V kl ÐÑ Þ Ð Ò Ñ ÙØ Ø Ð l¹ Ñ ÖØ ÓÖ Ð ÒÒ G¹ Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Öº Þ ÖØ Ý Ð Ñ Ú Ú Ó Ý k V kl µ d(k) + d(l) d(k) + (n ) d(k) = n Ø Ð Ðº Þ Ø Ô Þ ÇÖ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ºµ Î Ð ÞÙ ÑÓ Ø Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó k, l ÔÓÒØÓ Ø Ý Ó Ý d(k)+d(l) Ñ Ü Ñ Ð Ð Ý Òº Î Ð Ó Ó Ý d(k) 2 (d(k)+ d(l)) n < n 2 2 ºµ Å Ú Ð Ò Ñ V kl ÔÓÒØ Ø Ú Ð ÞØÓØØÙ k ÐÝ ØØ Þ ÖØ d(i) d(k) ÐÐ Ñ Ò Ò i V kl ¹Ö º Þ Ö ÒØ d(d(k)) d(k) Ý Ú Ø Ð ÐØ Ø Ð Ñ ØØ d(n d(k)) n d(k) ÐÐ Ú Ý G¹Ò Ð Ð d(k) + ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ú Ò Ñ ÐÝ Ð Ð n d(k)¹ Ó º d(k) < n 2 Ñ ØØ Ú Ò Ø Ø ÔÓÒØÓ Þ ØØ Ý l Ñ ÐÝ Ò Ñ ÞÓÑ Þ k¹ò ÓÖ d(k) + d(l ) d(k) + n d(k) = n > d(k) + d(l) ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò l Ú Ð ÞØ Ú Ðº Å ÝÞ À Ó Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø Ð Ô Ò ÐÐ Ñ ÑÓÒ Ò Ú Ò¹ ÞØÓ Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö Ö Ò ÓÖ Ò Ñ ÐÐ Ø ØÙÒ Ö Ø Ú Ø Ð Ø Ø Ð Ò Ðº Ì Ø Þ Ð n N¹Ö Ø Ø Þ Ð k < n ¹Ö Ð Ø Þ Ù Ý Ò ÓÐÝ Ò n¹ôóòø 2 Ý Þ Öò Ö Ñ ÐÝÒ Ò Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Ö k k¹ Ó (n 2k) (n k )¹ Ó k (n )¹ Ó ÔÓÒØ Ú Òº Þ ÒÒ Ò Ó Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø k¹ö ÖØ Ñ Ú Ø Ð ÐØ Ø Ðغ ÖÑ ÐÝ Ó Þ Ñ Ñ Ò Ú Ð Ú Ð Ô Ø Ð Ð Ú Ø Ð ÐØ Ø Ðºµ Ä Ý Ò Ù Ý Ò Þ A, B, C ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ Ö Ò Ö k, k Ðк n 2k ÔÓÒØ ÞÞÙ C¹Ò Ð Ð Þ Þ ÐØ ØÓÚ Þ B Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ø Þ Þ Ø ÔÓÒØØ Ðº Ó Þ ÑÓ ÒØ Ð ÞÒ B Ð Ý Ú Ð k + ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ø Þ Ò Ñ Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ö Ò À Ñ ÐØÓÒ¹ Öº ¾º À Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÓ ØÓÚ Ò ÓÐÝ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Ø Ú Þ ÐÙÒ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò Ð Þ Ø ÖØÓÞ Ý Þ ÓØØ ÐØ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ ÑÔÓÒØ Ð ÐÐ ÑÞ Þ Ñº Þ ÐÝ Ò Þ ÑÓÞÓØØ Ð Ð Ö Ò Ð Þ Ö Ó Ø Ý ÓÖÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ò ÝÓÒ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ù ÒÒ Ð Ð ØØ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐÑ Ð Ø Ð Ø ÒÙÐØ È ÊÌ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÙØ ÐÒ º Å ØØ ÑÓ Ø Ý Ñ ÑÓ ÐÐ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º À Ð Þ ØÒ Ò Ú Þ Ò Ý ÓÐÝ Ò (G, s, t, c) Ò Ý Ø Ñ ÐÝ Ò G Ý Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ñ Ò s t Ð Ò Þ ØÓÚ G Ñ Ò Ò e Ð Ø ÐÐ ÑÞ Ý Ò ÑÒ Ø Ú c(e) Þ Ñ Þ e Ð ºÒº Ô Ø º Æ Ñ Ú Ø ÐÑ ÒÝ Ó Ý G Ö Ð Ù Ð Ý Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ø Ñ Ò Ò º G Ö ÓØ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ý Þ Ñ Ø Ô Ð Þ Ø ÑÓ ÐÐ Ò ÓÒ ÓÐ Ø Ù G Ñ Ò Ò Ý¹ Ý Þ Ñ Ø Ô Þ s Ò Ø Ð Ð Ø Þ Ñ Ø ÔÖ Ð Þ Ö ØÒ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ð Ò t Ð º Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ð Ô Ø Þ Ø ÓÑÑÙÒ ØÓÖÒ Ò Ð ÐÒ Ñ º Å Ò Ò ÐÝ Ò ØÓÖÒ Ò Ý Ö ÒÝ Ð Ø Ò ÓÖÑ ØÓÚ Ñ Ò Ò ØÓÖÒ Ò ÓØØ Ñ Ü Ñ Ð Ú Þ Ð º Ý Ñ Þ Ñ Ð Ø Ð Ô Ò Ý Ð Þ Ø ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÒØ Ø Ð Þ Ø ÓÐ s¹ Ò Ø ÔÐ Ð Ù Ð Þ Ø t¹ Þ ÐÐ Ø Ò ÓÐÝ Óغ ÔÓÒØÓ Þ ØØ Ô ÓÐ ØÓØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ð ØØ Ý¹ Ý Ò Ð ÐÒ Ñ Ñ ÐÝÒ c(e) Ô Ø ÞØ Þ Ñ ÒÒÝ ÓÐÝ ÓØ Ð Ø Þ ÓØØ Ú Ò Ý ÒÝ Ð ØØ ØÓÚ Ø Ò º ÓÒÐ Ø ÒÒÝ Ò ÒØ Ø Ó Ý Ý ÞÓ Ú ÒÝÓ Ú Ò ÖÑ ÖÖ Ð Ø ÓÐÝ ÓØ Þ ÐÐ Ø Ò Ñ ÑÓ ÐÐ Ð Ö ÒÝ ØÓØØ Ð ÞØ Ý Ö ÒÝ Ò Ñ º ÞÓÒ Ò G Ñ Ò Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ð Ò ÐÐ Ò Þ Ö ÒÝ Ø Ô Ö Ù Ý Ò ÓÖ Ô Ø Ð G¹Ò ÓÖ Þ Ñ Ö Ú Ð Ò Ø Ö ÒÝ Ð Þ Ø Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ð Þº ÁÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Ò Ø Ø Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÑÓ ÐÐ ÐØ Ð ÒÓ Ð Þ ØÒ Ðºµ Ì ÖÑ Þ Ø Ö Ó Ý Þ ÓØØ Ô Ø ÓÖÐ ØÓ Ñ ÐÐ ØØ Ñ ÒÒÝ Ð Þ Ø Ø Ó Ø Ô Þ Þ Ý ÒÝ Ð ØØ Ñ ÒÒÝ Ò ÓÖÑ Ðк ÓÐÝ ÙØ Ø s¹ Ð t¹ º (G, s, t, c) Ð Þ Ø Ò ÓÐÝ ÑÒ ÑÓÒ ÙÒ Ø Ø Ý ÓÐÝ Ò f Ú ÒÝØ Ñ ÐÝ G Ñ Ò Ò Ð Þ Ý Þ ÑÓØ Ö Ò Ð Ý Ó Ý Ò Þ Ò Þ ÔÖ Øò ÖÖ ÙØ Ð Ó Ý Ö ÞÒÓ ÓÐÓ Þ ÑÐ Ð Ø Ð ÒØ Ø ØÙÐ ÓÒ Ø Ò Ú Þ ÐØ ÐÓÞ Ø ÑÓ ÐÐÒ Ñ Ò Þ Ò Ñ Ð Ò ÓÐÝ ÑÓ Þ ÞØ Ú Ø Å Ò Ö Ô ÖÓ Ø Ó µ ÒÝ Ö Þ ÐÚ ÖØ Þ ÒØò Ñ ÖØ Þº Ì Ô ÞØ Ð ØÓÑ Þ Ö ÒØ Þ ÑÓ ÐÐ Ø ÔÙ ÞØ Ò Þ ÑÐ Ð Ø Ð ÒØ Ñ Ö Ø Ú Ð ÐÚ ÖØ ÞÚ Ú Ò Ú Þ Ò Ò Ñ Ô Ò ÐÒ Þ ÞØÖ Ø Ó ÐÑ Ø ÝÑ ÒØ Ð Þ Ø ÓÐÝ Ñ ÓÐÝ Ñ ÖØ st¹ú Ðк Ú Ô Ø µº Ì ÞØ Ð ØØ Ð Þ Ö ØÒ Ñ Ò Ò Ø Ð Þ ÐÒ Þ Ø ÔÖ Ð ÓÞ Ö Ðº v k

7 ½º 0 f(e) c(e) Ø Ð Ð G Ñ Ò Ò e Ð Ö ØÓÚ ¾º {c(uv) : u V (G)} = {c(vu) : u V (G)} ÐÐ G Ñ Ò Ò s¹ø Ð t¹ø Ð Ð Ò Þ v Ö º () 5 (0) s 3 (3) Þ Ð Ô Ø ¹ ÐØ Ø Ð ÞØ Þ Ó Ý ÓÐÝ Ñ Ñ Ò Ò Ð Ò Ð Ð Ô Ø ÒÝ Ð Ø Ñ Ó ºÒº Ã Ö Ó ¹ Þ ÐÝ ÞØ ÑÓÒ Ó Ý () 2 (0) () Ñ Ò Ò s¹ø Ð t¹ø Ð Ð Ò Þ v Ö ÓÐÝ ÓÐÝ Ñ ÞÑ ÒÒÝ À Ð Þ Ø ÓÐÝ Ñº Þ Ö Ð Ò Þ f ÓÐÝ Ñ ÞÓÒÓ ÓÐÝ Þ ÓÐÝ ÑÑ Ð Ø Ø Ý ØÐ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ú Ý ÐØ Ð ÐÚ ØØ ÖØ ÐÐÒ º ØòÒ Ð ÓÐÝ º Ò Ú Ý ØØ Ð ÖÖ ÙØ Ð Ó Ý Ð Þ Ø ÓÐÝ Ñ Ó ÐÑ ÓÐÝ Ñ ÖØ m f = = 5 º Þ Ð ØÖÓÑÓ Ð Þ ØÓ ÐÑ Ð Ø Ò ÞÒÓ Þ Þº Þ ØÓØØ ÚÓÒ Ð Ý 5 ÖØ ò Ú Ø Ð Ðº Þ f ÓÐÝ Ñ m f ÓÐÝ Ñ ÖØ Þ ÓÐÝ ÑÑ ÒÒÝ Ñ s¹ Ð ÓÐÝ () m f := {f(sv) : v V (G)} {f(vs) : v V (G)}. Ê Ò Þ Ö ÒØ Ò Ò Ó ÖÖ Ó Ý s¹ ÓÐÝ Ñ Ö ÞÞ Ò Þ Ò ÓÒÒ Ò Ñ Ò Ð Ø Ø ÖÙÒ ÙØØ ØÒ ÐØ Ð Ò Ò Ñ Þ Ö Ø Ù ÞØ Ð Ø Ø Ñº Þ s¹ø Ð Ý Þ ÓÐÝ ÑÑ ÒÒÝ Þ Ñ Ø ÓÞ Ø Ø Ð ÐÐ ÚÓÒÒ ÞØ Ñ s¹ Ö Þ ºµ Þ f ÓÐÝ Ñ ÖØ Ø Ñ Ó Ý Ò Þ Ñ Ø Ø Ù º Ä Ý Ò X G Ò Ý s¹ø Ø ÖØ ÐÑ Þ t¹ø Ð Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÐÑ Þ º Þ X V (G) \ X Þ ØØ ÙØ Ð Ò ÐÑ Þ Ø Ð Þ Ø Ý st¹ú Ò Ò Ú ÞÞ º Þ X ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ st¹ú Ô Ø Þ X¹ Ð V \ X¹ ÙØ Ð Ô Ø Þ Þ Þ {c(xv) : x X v V (G)}º ËÞ ÑÐ Ð Ø Ð Ô Ò Ú Ð Ó Ó Ý Þ X ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ st¹ú Ô Ø Ð ÓÖÐ Ø Ð Ø ÓÐÝ Ñ ÖØ Ö º Ë Ø ÞØ Ñ Ò Þ Ð ÒÒ Ó Ý Ø Ø Þ Ð f ÓÐÝ Ñ m f ÓÐÝ Ñ ÖØ Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ý Ó Ý Þ X¹ Ð V (G)\X¹ ÙØ Ð Ò Ð Þ ÓÐÝ ÑÑ ÒÒÝ ¹ Ð Ð ÚÓÒ Ù V (G) \ X¹ Ð X¹ ØÓÚ ØÓØØ ÓÐÝ ÑÑ ÒÒÝ Øº ÞØ Ø Ø ÒÝØ ÞÓÒÝ Ø Ù Þ Ð Òº ýðð Ø À f (G, s, t, c) Ð Þ Ø Ý ÓÐÝ Ñ s X V (G) \ {t} ÓÖ m f = {f(xv) : x X v V (G)} {f(vx) : x X v V (G)} ØÓÚ m f {c(xv) : x X v V (G)}º Þ Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý Ñ Ò Ò s x X¹Ö P {f(xv) : v V (G)} P {f(vx) : v V (G)} = 0 0 f(uv) c(uv) Ô Ù Ó Ý m f = X {f(sv) : v V (G)} X {f(vs) : v V (G)} = X x X( X {f(xv) : v V (G)} X {f(vx) : v V (G)}) = 3 (0) 2 (0) 4 () 3 (3) () t = X x X( X {f(xv) : v V (G) \ X} X {f(vx) : v V (G) \ X}) = = X {f(xv) : x X v V (G)} X {f(vx) : x X v V (G)} X {c(xv) : x X v V (G)} Þ st¹ú Ø Ø Ý Þ Ò Ú Þ Þ ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ö Ó Ý ÓÐÝ Ñ ÖØ Ò Ñ Ð Ø Ò ÝÓ Ý ÓØØ Ñ ÒÒÝ Ò Ðº Î Ð Ò ÒÒ Ð Ó ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ ÐÐ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ ÖØ ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ý Þ Ñ Ò Ñ Ð Ú Ô Ø Ðº ÞØ ÑÓÒ Þ Ð Ñ Ü¹ ÓÛ Ñ Ò¹ÙØ Å Å µ Ø Ø Ðº ÓÖ ¹ ÙÐ Ö ÓÒ Ø Ø Ð À (G, s, t, c) Ý Ú Ð Þ Ø ÓÖ Ð Ø Þ Ý f ÓÐÝ Ñ Ý s X V (G) \ {t} Ö Þ ÐÑ Þ Ý Ó Ý Þ m f ÓÐÝ Ñ ÖØ ÞÓÒÓ Þ X ÐØ Ð Ò ÐØ st¹ú Ô Ø Ú Ðº Þ Ð Þ Ö Ö Ò Ú Öص ÞÓÐ Ù Ó Ý Ð Ø Þ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ Þ Þ ÓÐÝ Ò f ÓÐÝ Ñ Ñ ÐÝÖ m f m f Ñ Ò¹ Ò f ÓÐÝ ÑÖ º ÆÝ ÐÚ Ò Þ X = {s} ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ú Ú Ô Ø Ð ÓÖÐ Ø Ð Ø ÓÐÝ Ñ ÖØ Ö º Ð Ø ÓÐÝ Ñ ÖØ x ÞÙÔÖ ÑÙÑ Ø Ø Ú º ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ð Ø Þ x ÖØ ò ÓÐÝ Ñº ÞÙÔÖ ÑÙÑ Ò Ñ ØØ Ð Ø ÞÒ f, f 2,... ÓÐÝ ÑÓ Ñ ÐÝ Ö lim n m fn = xº Þ f n ÓÖÓÞ ØÒ G Ö Ñ Ò Ò e Ð Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Þ e Ð Ò ÓÒÚ Ö Ò º Î Ú Ö Þ ÓÖÓÞ ØÓ Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Þ Ö Ø f n ÓÖÓÞ ØÒ ÓÐÝ Ò f ni Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Ô Ù Ñ ÐÝÖ Ø Ð Ð Ó Ý G Ñ Ò Ò e Ð Ö f ni (e) ÓÒÚ Ö Ò º  РРf(e) Þ f ni (e) ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Øº Å Ú Ð 0 f ni (e) c(e) Þ ÖØ Ö Ò Ö¹ ÐÚ Ñ ØØ 0 f(e) c(e) Ð Ñ Þ f Ú ÒÝÖ Ã Ö Ó ¹ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð ÓÒÐ Ò Ú Ø Þ º ÞØ ÔØÙ Ø Ø Ó Ý f Ý ÓÐÝ Ñº ÓÐÝ Ñ ÖØ Ò Ð Ô Þ Ð Ø Þ Ó Ý x = lim m fn = lim m fni = m f Ø Ø f Ù Ý Ò Ý Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñº Ä Ý Ò Ø Ø f Ý Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñº ÐÙÒ f Ø Ú Ð Ý m f Ô Ø Ú Ñ Ø Ð Ð º Ú Þ Ø (G f, s, t, c f ) Ð Þ ØÓØ G f = (V (G), E f ) Ö ÓÒ Ñ ÐÝÖ E f := E Ð Ö f E Ð Ö f := {uv f(uv) < c(uv)} E Ú Þ f := {vu : 0 < f(uv)}. E Ú Þ f ÓÐ G f ¹Ò Ø Ø Ð Ö Ú Þ Ð Ú ÒÒ Þ Ð Ö Ð G ÞÓÒ Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ ØÓÚ Ò Ú Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ú Þ Ð Ô G ÞÓÒ Ð Ò ÓÖ ØÓØØ Ñ ÐÝ Ò ÓÐÝ Ñ ÔÓÞ Ø Ú Ø Ø ÒØ Ø º G f Ö ÓÒ Ò Ð Ù

8 { c(uv) f(uv) uv Ð Ö Ð c f (uv) := f(vu) uv Ú Þ Ð Ô Ø Ó Øº À Ø Ø Ú Ò Ý P Ö ÒÝ ØÓØØ Ø G f ¹ Ò s¹ Ð t¹ ºÒº Ú Ø Øµ ÓÖ P Ð Ö Ð Ò ε¹ò Ð Ñ Ò Ú ÐÚ f¹ø P Ú Þ Ð Ò Ñ ÓÖ¹ ØÓØØ Ò ε¹ò Ð ÒØÚ f¹ø Ý Ã Ö Ó ¹ Þ ÐÝØ Ø Ð Ø f ¹Ø ¹ ÔÙÒ º À ε¹ø Ð ÐÑ Ò Ú Ð ÞØ Ù Ò Ú Þ Ø Ò ε P Ø Ð Ò c f Ô ¹ Ø Ú ÒÝ Ñ Ò Ñ Ð ÖØ µ ÓÖ Þ Ö Ø Ô Ø ÐØ Ø Ð ÒÒ¹ Ñ Ö Ò Ø Ø f ÓÐÝ Ñ Ð Þ Ñ ÐÝÒ ÓÐÝ Ñ ÖØ m f = m f +ε > m f s Þ Ð Þ Ô Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞ (G f, s, t, c f ) Ð Þ Øº Æ Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ø ÙØ Øºµ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò f Ñ Ü Ñ Ð Ø Ú Ðº Ä Ý Ò Ø Ø X G f ¹ Ò s¹ Ð Ð Ö Ø ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ º ÒØ Ð Ô Ò t X Þ Þ X Ý st¹ú Ø Ø ÖÓÞ Ñ º Å Ú Ð X¹ Ð Ò Ñ Ð Ô G f ¹Ò Ð Þ ÖØ Ñ Ò Ò X¹ Ð V (G) \ X¹ Ú Þ Ø uv ÐÖ f(uv) = c(uv) Ñ Ò Ò V (G) \ X¹ Ð X¹ Ð Ô uv Ð Ò f(uv) = 0º À Ø Ø Þ Ð Þ ÐÐ Ø Ð ÞÒ Ð Ú Ð Þ Ñ Ø Ù Þ m f ÓÐÝ Ñ ÖØ Ø Þ X ÐØ Ð Ò ÐØ st¹ú Ø Ú Ð ÓÖ m f = {f(xv) : x X v V (G)} {f(vx) : x X v V (G)} = {c(xv) : x X v V (G)} Ñ ÔÔ Ò Þ X ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ st¹ú Ô Ø º À c Ô Ø Ó Þ ÓÖ ÒØ ÞÓÒÝ Ø Ý Ò Ñ Þ ÖØ Ò Ð Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ Ö Ö Ò ÙÐÙÒ Þ f 0 0 ÓÐÝ Ñ Ð Ð Þ Ø Þ f 0, f, f 2,... ÓÐÝ ÑÓ ÓÖÓÞ Ø Ø Ñ ÐÝ Ö 0 = m f0 < m f < m f2 <... Þ º À f k ¹Ø Ñ Ö Ñ Ø Ð ÐØÙ f k Ñ Ò Ò Ð Ò Þ ÖØ Ø Ú ØØ Ð ÓÖ G fk Ö Ò Ö Ò Ý P ÙØ Ø s¹ Ð t¹ f k+ ¹Ø Ý Ô Ù Ó Ý P Ñ ÒØ Ò ε¹òý ÓÐÝ ÑÓØ Ú Þ Ø Ò ÓÐ ε P Ð Ñ ÒØ Ò c fk Ô Ø Ú ÒÝ Ñ Ò Ñ Ð ÖØ º ÈÓÒØÓ Ò P Ð Ö Ð Ò ε¹ò Ð Ò Ú Ð Ú Þ Ð Ò ÓÖ ØÓØØ Ò ε¹ò Ð ÒØ f k ¹Øºµ ÞØ ÐØ Ð f k+ Þ ÓÐÝ Ñ Ð Þ Þ Þ ε Þ Ñ Ø ÓÖ ÞÓÒÝÓ c fk (e) ÔÓÞ Ø Ú Þµ Ô Ø Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÐÐ ØØ Ô ÞÒ º Ì Ø m fk < m fk+ Þ m fk+ ÓÐÝ Ñ ÖØ Þº Å Ú Ð Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ ÖØ Ø ÖÑ ÐÝ Ú Ô Ø Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓÞÞ Ð ¹ÙØ ÓÐÝ Ò f l ÓÐÝ ÑÓØ ÔÙÒ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ö Ò Ñ ØÙ ÙÒ ÒØ Ð Ö Ð Ú Ø Ò º ÓÖ Ø Ø Ò Ò G fl Ö Ò st¹ Ø Ð Ø Þ Ø Ø m fl Ô Ø Ú Ø Ø Þ f l Þ ÓÐÝ Ñ Ý ØØ Ð Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ º ÞÞ Ð ÞÓÐØÙ Þ ÓÖ ÙÐ Ö ÓÒ Ð Ø Ø Ð Øº Þ ÖØ ò Ð ÑÑ À (G, s, t, c) Ð Þ Ø Ò Ñ Ò Ò e Ð c(e) Ô Ø Þ Þ Ñ ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ñ Ü Ñ Ð f ÓÐÝ Ñ Ó Ý f G Ö Ñ Ò Ò Ð Ò Þ ÖØ Ø Ú Þ Ðº ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ Ú Ð Ö Ò Ñ ÞØ Ø Ô Ø Ó Ö Ð Ó Ý Þ Ò Ñ ÙÔ Ò ÒÒÝ Ø Ó Ý Ö ÓÒ Ð º Ô Ø Ó Þ Ò Ú Þ Ú Ð Ù Ý Ò Ñ Ò ÒØ Ú ÞÓÖÓÞÚ Ý Þ Ô Ø Ó Ð Ö Ò Ð Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÙÒ Ñ ÐÝ Ò Ú Ó ÞÓÖ Ò Ú Ð Ø Ð Ð ¹ Ý Ð ÓÐÝ Ñ ÖØ Øº À ÞÓÒ Ò c Ô Ø Ú ÒÝ Ò Ñ Ö ÓÒ Ð ÓÖ Ñ Ö Þ Ñ ¹ Ø ÖØ Ò Ø Ó Ý Ñ Ò Ò f k ¹Ø ØÙ ÙÒ ØÓÚ Ú Ø Ò Ö ÙÐ Þ m fk ÓÐÝ Ñ ÖØ Ò Ñ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ ÖØ Þ ÓÒÚ Ö ÐÒ º Ý Ñ ÐÐ Ñ ØÐ Ò Ó Ý ÒØ Ò Ú Ð ÙØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÞÓÖ ÒÓ Ò Ñ Ð Ø ÓÒݺ Þ Ð Ø Ø Ð Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ñ ÓÐ Ø Ò Ðº ÑÓÒ ¹Ã ÖÔ Ø Ø Ð À (G, s, t, c) Ð Þ Ø Ò Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ ÑÓØ Ú Ø ÙØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ö Ñ Ò Ý Ð Ú Ð Ð ÐÐ Ú Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ò Ú Ð Ò ÓÖ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ Ñ Ø ÖÓÞ ÓÞ Þ Ð Ô Þ Ñ Ð ÐÖ Ð Ð Ø V (G) ÔÓÐ ÒÓÑ Ú Ðº Å ÝÞ Þ ÑÓÒ ¹Ã ÖÔ Ø Ø Ð Ø Ø ÞØ ÞØÓ Ø Ó Ý Ð Ö Ú Ú Ø ÙØ ÓÒ Ñ Ü Ñ Ð Ñ ÖØ ò Ú Ø Ó Ø Ú Ö ØÚ ÝÓÖ Ò Ø Ð Ð ÙÒ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ ÑÓغ À Þ ØÐ Ò Ð ÔÖ ÐÙÒ Ú Ø Ò ÓÖ Ò Ó ÓÐ ØÐ ÒÙÐ Ó ÑÙÒ Ö Ð Ø Ý Ñ Ü Ñ Ð Ó¹ ÐÝ Ñ Ñ Ø Ð Ð Þ Ö Ò Ð Ø Ø Ð Þ Ø Ò ÐÚ ÐØÚ Þ sabt Ðк sbat Ú Ø ÙØ Ø Ú Ð ÞØÚ Ñ Ò Ý ÒÝ Ø ØÙ ÙÒ Ñ ÐÒ ÓÐÝ Ñ ÖØ Ò Ø Ø Þ ÑÓÒ ¹Ã ÖÔ Ð ÓÖ ØÑÙ ÐØ Ð Ø Ú Ø ÙØ Ò Ñ Ø Ð ÐØ ÖØ ò Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ ÑÓØ ÐÐ Þ Ø Þ Ñ Ð Ô ÙØ Ò Ø Ð Ð Ù Ñ º ÓÐÝ ÑÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÞØ Ø ÖÖ Þ ØÖ Ø ÓÖÖ Ð Ø ÒÝ Ð ÖÙÒ ÓÐÝ ÑÓØ Ú Þ ØÒ Ò Ò Ñ Ø ÖÖ Ó Ý Ñ ÐÝ ÓÖÖ Ð Ñ ÐÝ ÒÝ ¹ Ð Ö ÞÞ ÓÐÝ Ñº À Ø Ø s, s 2,..., s k ÓÖÖ Ó t, t 2,..., t l ÒÝ Ð ÓÖ Ú Þ Ø Ò Ý¹ Ý s Ðк t ÓØ Ñ s¹ Ð Ñ Ò Ò s i ¹ Ðк Ñ Ò Ò t j ¹ Ð t¹ Ú Þ Ø Ò Ý Ô Ø ÐØ º ÓÖ Þ Ð Þ Ø Ð ÓÐÝ ÑÓ ÔÔ Ò Ø Ø ÖÑ Ð Ø Ó Ý ÞØ ÓÐÝ ÑÒ Ð ÐÒ Ñ º ÖØ ÐÑ Þ Ø Þ ÓÐÝ ÑÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ Ò Ñ Þ Ð Ò Ò Ñ ÔÓÒØÓ Ò Ú Ò Ô Ø Ù Ñ Ð ÓÖÐ Ø ÔÓÒØÓÒ Ø ÓÐÝ ÓÐÝ ÑÑ ÒÒÝ Ö º Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Þ Ú Þ Ø Ø ÞÓ Ó ÓÐÝ ÑÔÖÓ Ð Ñ Ö Þ Ð Þ Ö Òغ Ð Ý Ð Þ Ø Ò Þ Ð Ô Ø Ú º Ú Ø Ð Ò ÞÓÒ Ò ØØ ÒÒÝ Ø Ð ÒØ Ó Ý ÓÐÝ Ò Ú µ Ô Ø Ø ÙÒ Þ ÓØØ ÐÒ Ó Ý Þ Ò Ð Ý Ò ÑÑ Ò ÓÖÐ Ø º ÃÓÒ Ö Ø Ò Þ ss i Ð Ô Ø Ð Ý Ò Ø Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ ÓÐÝ Ñ Þ s i ¹ Ð ÓÐÝ Ø t j t Ð Ô Ø Ô Ð Ý Ò Ø ÒÒ Ð Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ ÓÐÝ Ñ t j ¹ Ö Þ Ø Þ Ó Ú Þ Ø Ð Òº s s s2 s k s t t l 3 a b 3 G 0 0 t 0 0 t t

9 Å Ò Ò Ô Ø Ð Ö Ò Ð Þ v Ð Ý v be Ý v ki ÓØ Ô Þ Ò v¹ ÙØ Ð Ø v be Ú Þ Ø v¹ Ð Ò ÙÐ Ð Ô v ki Ð Ò ÙÐÒ ØÓÚ Ú ¹ Þ Ø Ò Ý v be v ki ÐØ v Ô Ø Ú Ðº ÞØ Þ ÓÔ Ö Ø v ÔÓÒØ Þ Ø Þ Ò Ò Ú ÞÞ ºµ ÔÓÒØ Þ Ø Þ Ó Ð Ð ØÖ Ú Ð Þ Ø ÓÐÝ Ñ ÔÓÒØ Ô Ø Ó Ð Þ Ø ÓÐÝ Ñ Ò Ð ÐÒ Ñ Ú ÞÓÒغ c(e 3 ) c(e ) v c(e 4 ) c(e 2 )c(v) c(e 5 ) c(e ) c(e 2 ) v be c(e 3 ) v ki c(e 4 ) c(v) c(e 5 ) Ä Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Ñ Ó Ý Ð Þ Ø Ò Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ð Ú ÒÒ Ñ ÐÝ Ò ÖÑ ÐÝ Ö ÒÝ Ò ÓÐÝ Ø ÓÐÝ Ñº Å ÒØ ÞØ Ñ Ö Þ Þ Ð Ò Ð ÞØ ÓÖ Ú Þ ØÚ Ø ÐÐ ÒØ Ø Ò Ö ÒÝ ØÓØØ ÐØ Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ð Ø Ú ÔÓÒØ Þ ØØ Ñ ÐÝ Ô Ø Ñ Ý Ý Þ Þ Ð ÝÓØØ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ð Ô Ø Ú Ð ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø ÐØ Ò Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÓ Ö Ñ Ò Ò Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÒ Ñ Ð Ð Ý ÓÐÝ Ñ Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Ò Ñ Ò Ò Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ð Ø ÞÒ Ð ÓÐÝ ÑÒ Ñ Ð ÐÒ ÓÐÝ ÑÓ Ð Þ Ø Òº À ÞØ Þ Ö ØÒ Ò Ó Ý Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ð Ý Ò Ñ Ð ÐØ Ø ÓÖ ÞÞ Ð Ñ ÞÓÖ Ø Ð Ð Ø Ò Ó Ý ÓÒ ØÖÙ ÐØ Ð Þ Ø Ò ÓÐÝ Ò ÓÐÝ ÑÓ Ø Ò Þ Ò Ñ ÐÝ Ö Ò Ð ÞÒ ÞÞ Ð ØÙÐ ÓÒ Ð Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÐÒ Ñ Ð Ð Ø Ó ¹Ú Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ð Þ Ð Ð Ð Þ Ý Ò 0 ÓÐÝ Ñ ÓÐÝ º ØÓÚ Ò ÐÒ Ó ÙÒ ÞÞ Ð ÐØ Ú Ðº Ì ÖØ Ò Ð Ñº ÓÖ ÙÐ Ö ÓÒ ÑÙÒ Ò Ð Ô Þ Ñ Ö Ð Ö Þ Ñ Ö ½ ¹ Ò Þ Ø ØØ Ø Ø Ó À ÖÖ ¹ÊÓ Ð ÒØ ÚÓÐغ Ò Ð ÒØ Ò Þ ÙÖ Ô Ú Ø Ð Þ ØÓØ Ý ½¼ ¹ Ðò Ö Ð ÑÓ ÐÐ ÞØ º Þ Ý Ó Ú Ø Þ Ø Ó Ò Þ Ð Ô Þ Þ Þ ØØ ÙØ Ú ØÚÓÒ Ð Ò Ð ÐØ Ñ º Á ÐØ Ð ÞÓÐ ÐØ ØÓØØ ØÓ Ð Ô Ò Ñ Ò Ò Ð Þ Ý ØÓÒÒ Ò Ñ ÖØ Ô Ø Ø ØÙ Ø Ö Ò ÐÒ Þ Ý Ð ØÖ ØØ Ð Þ Ø Ò Ö Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ ÑÓØ Ðк Ñ Ò Ñ Ð Ú Øº Ð Ö Ö Ð Ò ÓÑÐÓ Ø Ö Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ò Ñ Ð Ú Ñ Ø Ð Ð ÐÐØ ÓÖ Ò Ñ Ö Ö ÞÖ Ð Ö Ð Ð Ð ÑÒ ØòÒØ Î Ö À Ö ÒÝ٠ع ÙÖ Ô ÒÚ Þ ÒÒ Ñ Ð¹ Ð Ø Ö ÐÓ ÞØ Ø ÓÒÝ ÖÓÑ ÓÐ ØòÒØ Þ Ý ØÐ Ò Ð Ø Ò º ÞÓÒ Ø Ð Ó Ý Ø Ø Ó Ð ÒØ Ò Ñ Ø Ð Ð Ñ Ò Ñ Ð Ú Ø Ö Ó Ý Þ Ä Ò Ý ÐÓÖ Þ ÓØ ØØ Ú Ñ ÞÐÓÚ ¹ËÞÓÚ Ø Ðк Å Ý Ö¹ÊÓÑ Ò Ø Ö Ñ ÒØ Ò Ð µ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý ÒÒ Ð Ó Ò Ò Ù Ý Ò ÑÙØ ØÒ Ý ÞÓÒÓ ÖØ ò ÓÐÝ ÑÓØ ÞÓÚ Ø Ø ¹ Ñ ÞÔÓÒØÓ Ð ÆÝ٠ع ÙÖ Ô º Ð Ô Ó Ø ÖÚ Þ Þ Ð ÒØ Ý ØØ Ð Ñ Þ ÖØ Ý Ð Þ Ø Ñ Ò Ñ Ð Ú Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ö º ÊÓ Ø ÓÖÒÓ Ð ÖØ ØØ Ö Ñò غ Ð ÒØ Ò Ò ÐÝÓÞØ Ú ÓÐØ Ñ Þ Ö Ò Ñ ÓÖ Ø Ð Ò Ø Ð Þ Ö Ò Þ ÖØ Ñ ÖØ Þ Ñ Ø Ô Ø Ñò Ø Ø Ô Ð Ø ÓÒ Ú Ð ØÓÚ Ö Ð Ò Ø ØÐ Ò Ð ÔÞ ØØ ØÓÒ Þ ÖØ ÑÙÒ º ÓÖ ÙÐ Ö ÓÒ Þ ÞØÖ Ø Ð Þ Ø ÑÓ ÐÐ Ò ÑÓÒ Ø ÞÓÒÝ ØÓØØ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ Ñ Ò Ñ Ð Ú Ø Ø ÐØ Ñ Þ ÞÙØ Ò Ð ÙÐ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù ÓÔØ Ñ Ð Þ Ð ØÙ ÓÑ ÒÝ Ò Ý Ð ÔÔ ÐÐ Ö Ð ØØ Þ ÐØ Ð Ð ÒØ Ø Ø Ý ÓÖÓÐØ Þ ÑÓ Ñ ØÙ ÓÑ ÒÝØ Ö Ð ØÖ Ôк Ö ÐÑ Ð ØÖ º Ð Ò ÝÞ Ø Ò Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÓ Ö Ø Ñ Þ Ó Ú Ó Ù Ø Ö Ý ÐÒ Ú Ø Þ Ø Þ Ø Ø Å Ò Ö Ø Ø Ð Ðк Ô ÖÓ Ö Ó Ô ÖÓ Ø Ò ØØ ÒØ Øµ Ñ ÐÝ Ø ÖØ Ò ÐÑ Ð Ú Ð ÓÖ Ö Ñ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý Ð Ù Ð Þ ØÓ Ñ Ö Ø Ò Ó Ð Ý º º Å Ò Ö Ø Ø Ð G Ö ÒÝ ØÓØØ Ú Ý Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö u ÔÓÒ Ð v ÔÓÒØ ÙØ P Q Ø Ø Ð Þ ÙÒ Ø Ò Ú Ý Ð ÒÒ ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ò Ú Ý ÔÓÒØ ÒÒ µ Ò Ú ÞÞ E(P) E(Q) = Ðк V (P) V (Q) = {u, v}µº Þ Ð Þ ÙÒ Ø ÔÓÒØ Þ ÙÒ Øµ uv ÙØ Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ Ø λ(u, v)¹ú Ð Ðк κ(u, v)¹ú е Ð Ð º Å Ò Ö Ø Ø Ð ½º À u v G Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ð Ò Þ ÓÖ Þ Ð Ò uv ÙØ λ G (u, v)¹ú Ð Ð Ðص Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ ÞÓÒÓ Þ uv ÙØ Ø Ð Ó Ð Ñ Ò Ñ Ð Þ Ñ Ú Ðº ¾º À u v G Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ ÔÓÒØ Ò uv ÙØ κ G (u, v)¹ú Ð Ð Ðص Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ ÞÓÒÓ Þ uv ÙØ Ø Ð Ó u¹ø Ð v¹ø Ð Ð Ò Þ Ó Ñ Ò Ñ Ð Þ Ñ Ú Ðº º À u v G Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ð Ò Þ ÓÖ Þ Ð Ò uv ÙØ λ G (u, v)¹ú Ð Ð Ðص Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ ÞÓÒÓ Þ uv ÙØ Ø Ð Ó Ð Ñ Ò Ñ Ð Þ Ñ Ú Ðº º À u v G Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö Ð Ò Þ ÓÖ ÔÓÒØ Ò uv ÙØ κ G (u, v)¹ú Ð Ð Ðص Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ ÞÓÒÓ Þ uv ÙØ Ø Ð Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ñ Ú Ðº Þ Î Ð Ó Ó Ý Ð Ó Ð Ðк ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ñ Ò Ò Ý Ø Ò Ð Ð ÒÒÝ Ñ ÒØ Þ ¹ Ò ÓÖ ÙØ Þ Ñ Þ Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ Ø Ñ Ò Ý Ý¹ Ý Ð Ò Þ ÐØ Ðк ÔÓÒØÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ó Ðº ØÓÚ Ò Ø Ø Ñ Ò Ò Ý Ø Ò ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ð Ó Ð Ñ Þ Ñ Ð Ð ÒÒÝ Ñ ÒØ ÔÓÒع Ðк Ð Þ ÙÒ Ø ÙØ Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ º ½º Ò Ð Ù (G, u, v,) Ð Þ ØÓغ Ò Ð Þ Ø Ò Ñ Ò Ò uv Þ ÓÐÝ Ñ 0¹Ø Ú Ý ¹Ø Ö Ò Ð Ñ Ò Ò Ð Þº ÞÓÒ Ð Ñ ÐÝ Þ ÓÐÝ Ñ ¹Ø Ö Ò Ð Ð Þ ÙÒ Ø uv ÙØ Ò Ð ÐÒ Ñ º ÓÐÝ Ñ ÖØ Ô ÔÔ Ò Þ Ñ ÒØ uv ÙØ Þ Ñ º ÞØ ÔØÙ Ó Ý k ÖØ ò Þ ÓÐÝ ÑÓ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ð ÐÒ Ð Þ ÙÒ Ø uv ÙØ k¹ Ð Ñò ÐÑ Þ Ò º Þ Ö ÒØ Ý Ñ Ü Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ Ñ Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ Ð Þ ÙÒ Ø uv ÙØ Øº Þ Þ ÖØ ò Ð ÑÑ Þ Ö ÒØ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ Ú Ð ÞØ Ø Þ ÓÐÝ ÑÒ Þ Þ Ñ Ü Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ ÖØ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ ÖØ ÞÓÒÓ ÓÒ Ö Ø Ò λ G (u, v)º ÓÖ ¹ ÙÐ Ö ÓÒ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ø Ø Ð Ø Þ Ð Þ Ø Ò Ý λ G (u, v) Ô Ø Ú º Þ Ú ÔÔ Ò λ G (u, v) ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ ØØ Ð Ó Þ Þ uv ÙØ Øº ¾º À ÞÞÙÒ Þ Ø Ñ Ò Ò u¹ø Ð v¹ø Ð Ð Ò Þ x ÔÓÒØÓØ G¹ Ò Þ Þ ÐÝ ØØ Ø x¹ø Ý x be Ý x ki ÔÓÒØØ Ð Ú Þ Ò Ñ Ò Ò x¹ ÙØ ÐØ Ý Þ x be Ö Þ ÐÐ Ð Ñ Ò Ò x¹ x x be x Ð Ò ÙÐ ÐØ Ý Þ x ki Ð Ò ÙÐ ÐÐ Ð ÞÞÙÒ ki Ý x be x ki ÐØ º

10 À ÞØ G Ñ Ò Ò x u, v Ö ÐÚ ÞÞ ÓÖ Þ Ý ÔÓØØ G Ö Ò k Ð Þ ÙÒ uv Ø ÔÓÒØÓ Ò k ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø ØÒ Ð Ð Ñ G¹ Ò Ú ÞÓÒغ Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØ Ð µ Å Ò Ö Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ø Ø Ð Ø Þ G ¹Ò κ G (u, v) Ð Ñ G Ñ Ò Ò uv ÙØ Ø Ð Ó º Å Ò Ò ÐÝ Ò ÐÒ Ú Ð ÞØ Ø Ý¹ Ý Ú ÔÓÒØ Ñ Ò G¹ Ð Ñ Ð Ð Ñ Ò Ñ u Ñ Ô vº ÁØØ ÞÒ Ð Ù Ó Ý u v Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó ºµ Î Ð Ó Ó Ý Þ ÐØ Ð Ð Ð κ G (u, v) ÔÓÒØ Ø Ð Ð G¹Ò Ö ÙÐ Þ ÔÓÒØÓ ÓÒ ØÖÙ ÓÐÝØ Ò Ñ Ò Ò G¹ Ð uv¹ùø Ø Ð Ó Ò º º Ã Þ Ø Ð G Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ Ý Ó Ý G Ñ Ò Ò Ð Ø Ó Ú Þ Ñ Ö ÒÝ Ø Ù G ¹Ò Ø Ø Ø Þ Ö ÒÒÝ ÙÖÓ ÐØ Ð Ð Ò Þ µ Ð Ð Þ Ñ ÒØ G¹Ò ºµ Î Ð Ó Ó Ý G ¹ Ò Ð Ø Þ λ G (u, v) Ö Ð Þ ÙÒ Ø Ö ÒÝ ØÓØØ uv¹ Ø Þ Ò G¹ Ò Ú Ò ÒÒÝ ÞÓ Ö ÒÝ ØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø Ñ Ø Þ º Å Ð Ð G ¹ Ò Ú Ò k Ö Ð Þ ÙÒ Ø Ö ÒÝ ØÓØØ uv¹ Ø ÓÖ Ð Ø Þ k Ö ÐÝ Ò ÞÞ Ð ØÙÐ ¹ ÓÒ Ð Ó Ý Þ Ò ÙØ Ò Ñ ÞÒ ÐÒ ÐÐ ÒØ Ø Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ð Øº À Ù Ý Ò Ý P = (u... xy...v) Ø ÞÒ Ð Þ x x xy ÐØ Ý Ñ P 2 = (u...yx...v) Ø Ô Þ yx P P ÐØ ÓÖ P = (u...x...v) ÐÐ ØÚ P 2 = (u...y... v) u u ÙØ Ù Ý Ò ÞÓ Ø Þ Ð Ø ÞÒ Ð Ñ ÒØ P P v 2 P v 2 Ú Ú xy¹ø yx¹øº P 2 y y À Ø Ø Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÐÖ ÐÚ ÞÞ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ñ ÐÝ Ø Ø Ø Ó ¹Ú Þ ÞÒ Ð ÓÖ G ¹ Ò ÔÙÒ k Ö Ö ÒÝ ØÓØØ uv¹ùø Ø Ñ ÐÝ Ò G¹ Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ ÑÑ Öµ Ð Þ ÙÒ Ø Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò uv¹ Ø Ð Ð Ñ º ÞØ ÔØÙ Ø Ø Ó Ý G ¹ Ò Þ Ð Þ ÙÒ Ø Ö ÒÝ ØÓØØ uv¹ùø Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ Þ ÒØ Ò λ G (u, v)º Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØ Ð Å Ò Ö Ø Ø Ð Ñ ØØ Ð Ø Þ Ø Ø G ¹ Ò λ G (u, v) Ð Ñ Ñ Ò Ò G ¹ Ð uv¹ ÙØ Ø Ð Ó º ÓÒ ØÖÙ ÓÐÝØ Ò Þ Ò Ð G¹ Ð Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ñ Ð Ð Ð Ó Ò Ñ Ò Ò Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò uv ÙØ Ø Ö ÙÐ Þ G¹ Ð Ð ÐÑ Þ Ð Ð λ G (u, v) Ñ Ö Øòº º Ð ÐÑ ÞÞÙ ØØ º Ö Þ ÞÓÒÝ Ø Ò ÞÒ ÐØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ô ÞÞ G Ö ÓØ G Ð Ò Ó ¹Ú Þ Ö ÒÝ Ø Ú Ðº Î Ð Ó Ó Ý Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø G¹ Ð uv¹ùø Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ð ÐÒ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø G ¹ Ð uv¹ùø Ò º Ì Ø G ¹ Ò Þ Ö ÒÝ ØÓØØ ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø ÙØ Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ κ G (uv)º Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØ Ñ Ó Å Ò Ö Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ð Ø Þ G ¹Ò κ G (u, v) ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò Ö ÒÝ ØÓØØ uv¹ùø Ø Ð Ó Ò º ÓÒ ØÖÙ ÓÐÝØ Ò Ù Ý Ò Þ ÔÓÒØÓ Ð Ó Ò G¹ Ò Ñ Ò Ò Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò uv¹ùø Ø Ò Ò ÔÔ Ò ÞØ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø ÒÙÒ º Å Ò Ö Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Ð ÒÝ Ó Ý ¹Ò ÝÓ Ø Ð Ø Ó ÙØ Ò Þ ÐÐ Ø Þ¹ Ú ØÐ Ò Ð Ð Þ Ø ÓÐÝ ÑÓ Å Å Ø Ø Ð Ð Þ Ò Ý Ñ Ü Ñ Ð Þ ÙÒ Ø ØÖ Ò Þ Ö Ý Ñ Ü Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ Ð Ñ Ò Ñ Ð Ð Ó ÐÑ Þ Ô Ý Ñ Ò Ñ Ð Ú Ð ÓØغ Þ Ñ ¹ Ý Ð Ý Ð ÒÝ Ø ÑÙØ Ø ÒØ ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ ÒÒÝ Ò Ñ Ý Ñ Ü Ñ Ð ÔÓÒع Ú Ý Ð Þ ÙÒ Ø ØÖ Ò Þ ÖÖ ÐÐ ØÚ Ý Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ò Ò ÙØ Ø Ð Ó ÔÓÒع Ú Ý Ð ÐÑ ÞÖ Ú ÝÙÒ ¹ Ú Ò ÓÖ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ø Ø ÒÒ Ñ ÒØ Ñ Ø ÖÓÞÒ Þ Ñ ÖØ Ñ ÓÒ Ý Ñ Ü Ñ Ð Þ ÓÐÝ ÑÓØ ÐÐ ØÚ Ý Ñ Ò Ñ Ð Ú Ø Ö Ð ÔÞ ØØ Ð Þ Ø Òº Ì ÖØ Ò Ð Ñ Å Ò Ö ½ ¾ ¹ Ò ÔÙ Ð ÐØ Ø Ø Ð Ø Ñ ÐÝ Ö Ø ÓÖÑ Ò Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø Ú ÐØÓÞ ØØ Ð ÚÓÐØ Ú Ú Ð Ò º Ã Ò Ò ÞÖ Ú ØØ Ó Ý Ø Ø Ð Å Ò Ö ÐØ Ð ÓØØ ÞÓÒÝ Ø Ý ØØ Ð Ú ØÓØØ Þ Ö Ø ÞÓÒÝ Ø Ø ÒÝÞ Ð Ò Þ Ñ Ô ÖÓ Ö Ó Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ν = τ Ý ÒÐ ÚÓÐغ Å ÙØ Ò Ã Ò Ð Ú Ð Ò ÐØ ÖØ Å Ò ÖÒ Ø Ð Ð Ø Ò Ó Ý Ò Ð Ø Ú Ø Ò ÞØ Å Ò Ö Ú Ð Þ Ò Þ ÐØ Ó Ý ØÙ ÓØØ ÓÐÓ Ö Ð ÞØ Þ Ð ÒÝÚ Ò Ñ Ö Ú ØÓØØ º ÞØ Ó Ý Ó Ý Ò Ò Ñ ÖÙÐØ Ðº Þ ÑÐ Ø ØØ ÒÝÚ Ò Ú Ð Ò Ý ÐÝ ÞÓÒÝ Ø Þ Ö Ô Ð Å Ò Ö Ý Þ Ú Ð Ñ Þ ÐØ Ó Ý Þ Ö Ø ÞÓÒÝ Ø ÒÝÓ ÚÓÐØ Ã Ò Ò Ú Ø Ö Ò Ò ÒÒ Ð Ö ÞÒ Ðº Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò G Ö ÓØ k¹ ÞÓÖÓ Ò ÔÓÒص Þ Ò Ö Ú Ò k¹ Þ Ò µ Ò Ú ÞÞ G¹Ò Ð Ð (k + ) ÔÓÒØ Ú Ò G Þ Ñ Ö Ö Ó Ý Ò ÝÙÒ Ð Ð Ð Ð Ð k ÔÓÒØÓغ Ñ Ü Ñ Ð k¹ø Ñ Ö G k¹ Þ κ(g) Ð Ð º G Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ö ÓØ k¹ ÞÓÖÓ Ò Ð Þ Ò Ö Ú Ò k¹ Ð Þ Ò µ Ò Ú ÞÞ G Þ Ñ Ö Ö Ó Ý Ò ÝÙÒ Ð Ð Ð Ð Ð k Ðغ Ñ Ü Ñ Ð k¹ø Ñ Ö G k¹ Ð Þ λ(g) Ð Ð º Ì Ø Ð Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò G Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ k¹ Þ G¹Ò Ð Ð (k + ) ÔÓÒØ Ú Ò G ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ò Þ ÔÓÒØ Þ ØØ Ð Ø Þ k ÔÓÒØ Ò Øº G ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ k¹ Ð Þ G ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ò Þ ÔÓÒØ ÞØ Ú Þ Ø k Ð Ò Øº Þ Þ Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Å Ò Ö Ø Ø Ð Ð ÒÒÝ Ò ÖÑ ÐÝ Ø ÔÓÒØ Þ ØØ Ú Ò k Ø ÓÖ G Ò Ñ Ø Þ Ø k¹ò Ð Ú ÔÓÒØ Ðк Ð Ð Ý Ú Ðº À G k¹ Ð ÓÖ Ñ ÐÝ Ø ÔÓÒØ ÞØ ÙØ Ø Ñ Ó Ð k¹ò Ð Ú Ð ÞÓ Ð Ý Ú Ð Ù Ý Ò G Þ Ø Ò µ Þ ÖØ Å Ò Ö º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ø Ø Þ Ð Ø ÔÓÒØ Þ ØØ Ð Ø Þ k Ð Ò Øº ÞÞ Ð Ø Ø Ð Ð Þ ÙÒ Ø Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÞÓÐØÙ º ÔÓÒØ Þ ÙÒØ Ø Þ Ø Ý Ð Ò Ö Ø Ó Ý G k¹ u¹ Ð v¹ Ð Ð k ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø

11 Ø Ð Ð Ø º À u v Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ Å Ò Ö º Ø Ø Ð Ñ ØØ Þ uv¹ùø Ð Ó Ø Ð Ð k ÔÓÒØØ Ðº Þ Ð Ý Ú Ð G Þ Ø Ò Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ G k¹ ÞÓÖÓ Þ Ò º À uv E(G) ÓÖ Þ uv Ð Ø ÖÐ ÙØ Ò Ð Ø Þ G Ö Ð Ð k 2 ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø uv ÙØ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ø Å Ò Ö º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ k 2 ÔÓÒØ Ñ Ò Ð Ý ÓÖ G Þ Ø º Þ Ø ØØ Ö Ò Ñ Ø Þ ØÚ Þ u v ÔÓÒØÓ Ø Ý Ð Ð 3¹ÔÓÒØ Ö ÓØ ÔÙÒ Þ G¹Ò Ð Ð k + ÔÓÒØ ÚÓÐص Ñ ÐÝ Þ uv ÐØ Ø ÖÐ Ø Ð Þ Ø º ÓÖ Þ uv Ð ÐÝ ØØ u Ú Ý v Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ö Ð Ø Ó Ý Ö Þ Ø Òº Á Ñ Ø ÞØ ÔØÙ Ó Ý G Ð Ð k Ð ÐÑ ÔÓÒØ Ø ÖÐ Ú Ð Þ Ø Ñ k¹ ÞÓÖÓ Þ Ò ÑÓÒ ÐÐ Òغ Ì Ø Ð Å Ò Öµ À G Ð Ð 3¹ÔÓÒØ Ö ÓÖ Þ Ð ÐÐ Ø Ó Ú Ú Ð Ò º ½µ G 2¹ ¾µ G ÖÑ ÐÝ 2 ÔÓÒØ Ò Ø Ú Þ Ø Öº À G¹Ò Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ÓÖ ÒØ Ð Ú Ú Ð Ò Þ Ó Ý µ G ÖÑ ÐÝ 2 Ð Ò Ø Ú Þ Ø Öº Þ ½µ ¾µº À G 2¹ ÓÖ ÖÑ ÐÝ u, v ÔÓÒØ Þ ØØ Ú Ò Ø ÔÓÒØ Ò Ø Ñ ÐÝ Ý ØØ Ý u¹ø v¹ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÖØ Ð ÓØÒ º ¾µ ½µº Ö Ø ÒØ Ø Ø ÔÓÒØ Ò Ø ÙÒ Ò Þ Þ ÖÑ ÐÝ Ø ÔÓÒØ Þ ØØ Ð Ø Þ Ð Ð 2 ÔÓÒØ Ò Ø Þ Ð Þ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ý Ð Ñ Ú Ú Ó Ý G Ð Ð 3¹ÔÓÒØ µ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý G 2¹ º µ ¾µº À u¹ò v¹ò Ö ÞØ Ð ÖÙÒ ÖØ Ø Ð ÐÒ ÓÖ Ð Ò Ý¹ Ý u¹ö v¹ö ÐÐ Þ Ð Ò Ö ÞØ Ð ÖØ Ø Ð ÐÒ Ñ µ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ º ½µ µ G Ý 2¹ Ñ Ö Ø Ð Ø ÐÓ ÞØ Ù Ý¹ Ý ÔÓÒØØ Ðº ¾µ Ñ ØØ Ð Ø Þ ÐÓ ÞØ ÔÓÒØÓ ÓÒ Ö ÞØ Ð Ö Ñ ÔÔ Ý ÐÓ ÞØÓØØ Ð Ò Ö ÞØ Ð ÖÒ Ð Ð Ñ º Ö Ø Ø Ð À G k¹ k 2 ÓÖ G ÖÑ ÐÝ k ÔÓÒØ Ò Ö ÞØ Ð Ø Ð Ð Ø Ö G¹ Òº º È ÖÓ Ö Ó Ô ÖÓ Ø Ó G Ö Ô ÖÓ Ö Ø Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ Ø Ý Ó Ý G ÖÑ ÐÝ Ð Ò Ú ÔÓÒØ Ð Ò Þ Þ Òò Ð Ý Ò º Å ÝÞ ÒØ Ò Ò Ø Þ ÒÒ Ð Ú Ð Þ Ò Þ Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ý ÖØ ÐÑò ÔÐ Þ n ÔÓÒØ Ð ÐÐ Ö Ö Ø Ø Þ Ð 2¹ Þ Ò Þ Ø Ð Ø ÐØ Ø Ðغ à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ý ÖØ ÐÑò Ø Þ ÒÒ Ð Ú Ð Þ Ò Þ Ô ÖÓ Ö ºµ Ý Ö Þ Ø ØØ 2¹ Þ Ò Þ Ø Ò Þ ÞÓÒÓ Þ ÒòÖ Þ Ò Þ ØØ ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ø Þ ÒÓ ÞØ ÐÝÒ Ò Ú ÞÞ º ÒØ Ò ÑÓÒ Ø Ý Ó Ý Ô ÖÓ Ö Þ Ñ Ò ÔÓÒØ Ø Ó ÞØ ÐÝ ÓÖÓÐ Ø Ý Ó Ý Ð Þ Ö Ð Ø Ó ÞØ ÐÝ Þ ØØ ÙØ ØÒ º À Ò ÐÝÓÞÒ Ö Ù Ó Ý Þ Ò ÓÖ G Ý Ô ÖÓ Ö Ý ØØ Ð Þ A B Þ ÒÓ ÞØ ÐÝÓ Ø Ñ Þ Ö Ò Ò Ò ÓÖ ÞÒ Ð Ø Ù G = (A, B; E) РРغ Å Ý Ð Å Ò Ò Ô ÖÓ Ó Þ Ö Ô ÖÓ Ö Øº º ÐÚ ÐØÚ Ð Ø Þ Ò ÞÒ Øº È Ö ØÐ Ò ÖÖ ÞØ Ò Ñ Ø Ø Ñ Ô Ö ØÐ Ò Ö Ø Ø Ò Ñ Ô ÖÓ Ö º À Ý Ö Ô ÖÓ ÓÖ Ñ Ò Ò Ö Þ Ö Ô ÖÓ º È ÖÓ Ö Þ ÖØ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÔØÒ Öغ Å Ù Ô ÖÓ Ö Ó Ý Ú Ú Ð Ò ÐÐ ÑÞ Øº Ì Ø Ð G Ú Ö ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ô ÖÓ G Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ô Ö ØÐ Ò ÖØ Þ Þ G Ñ Ò Ò Ö Ô ÖÓ µº à ں Å Ú Ð Ò Ò Ò Ö Ø Ñ ÔØÒ Öµ Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ô ÖÓ Ö º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ËÞ Þ Ð Þ Ñ Ý Ð Ò Ð ØØÙ º Ð Ø Ý Ð Ó Ý G Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ô Ö ØÐ Ò Öغ ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ð Ø Þ Ð ÐÑ 2¹ Þ Ò Þ º Å Ú Ð Ð Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð Ð ÙØÒ Þ ÖØ Ð Ò Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð Ð Ø Ð ÐÒ Ý 2¹ Þ Ò Þ Ø Þ Þ ÐØ Ø Ó Ý G º Ä Ý Ò F G Ý Þ Ø v Ô G Ý Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØ F Ý Ö µº Ä Ý Ò A v¹ø Ð Þ F Ò Ô ÖÓ Ø ÚÓÐ Ö Ð Ú Ó B Ô v¹ø Ð F ¹ Ò Ô Ö ØÐ Ò Ó Þ ØÓÒ Ð Ö Ø Ó ÐÑ Þ º Î Ð Ó Ó Ý F Ñ Ò Ò Ð A B Þ ØØ ÙØ Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ù Ý Ò Þ G¹Ö Þº ÁÒÒ Ò Þ ÐÐ Ø Ú Ø Þ Þ Þ ÐØ Ð G ÔÓÒØ Ø Ø Þ ÒÓ ÞØ ÐÝÖ ØÙ ØÙ ÓÒØ Ò º À Ø Ø ÙØÒ G¹Ò Ý xy Ð ÑÓÒ Ù µ Þ A ÐÑ ÞÓÒ Ð Ð B¹Ö ÞÓÒÝ Ø Þ Þ Ö ÒØ Ñ Ý Þ µ ÓÖ Ð Ø ÞÒ G¹ Ò Ý xy... v... x Ô Ö ØÐ Ò Ó Þ Ö Ø Ñ ÐÝ Ø Þ Ñ ÒØ Ð v¹ø Þ x¹ Þ Ð Ðк v¹ø Þ y¹ò Ð Þ Ø F ¹ Ð ÙØ Ø ÖÓÞÒ Ñ º À Ð Ö Ø Ð Ð Ú Ù Þ F ¹ Ð vx vy ÙØ Þ Ö Þ Ø ÓÖ Ø Ð Ô ÖÓ Ó Ð Ñ Ö Ý G¹ Ð Ô Ö ØÐ Ò ÖØ ÔÙÒ º ÐÐ ÒØÑÓÒ º y x v A B A B A ½¼

12 G = (V, E) Ö Ð Ò M Ö Þ ÐÑ Þ ØÐ Ò Ñ Þ Ú Ð M Ö ÞÐ µ Ô ÖÓ Ø Þ M¹ Ð Ð Ú ÔÓÒØ Ð Ò Þ Þ Þ G Ñ Ò Ò Ð Ð Ð Ý M¹ Ð Ð Ò Ùк Þ M Ô ÖÓ Ø Ø Ð Ô ÖÓ Ø M G Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ø Þ Þ G Ñ Ò Ò Ö ÐÐ Þ Ý M¹ Рк È Ð Ý Ø Ò ÓÐ Ò Ø ÒÙÐ Ðк Ð ÒÝÓ ÐÑ Þ Ð ÓØ G Ô ÖÓ Ö Þ ÒÓ ÞØ ÐÝ Øº Ù ÓÒ G¹ Ò Ð Ø Þ ØØ Þ ÓØØ Ð ÒÝ Ð Ò ÝÑ Ð Ø ÒÓÐÒ º ÓÖ G Ñ Ò Ò Ô ÖÓ Ø Ý Ð Ø Ø ÒÔ ÖØÒ Ö¹Ú Ð ÞØ Þ ØÙ Ø Ö Ð º Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÓÒÝ Ó Ø Ø Ö Ò Ø ÒØ Ò Ö Ñ Ò Ð Ø Ð Ð ÐÐ Ô ÖÓ Ø Ø Þ Ö ØÒ Ø Ð ÐÒ Ñ ÐÝ ÓÔØ Ñ Ð Ø Ò Ý Ø Ð Ô ÖÓ Ø º Ý Ñ Ð Ø Ô Ð Ö Þ Ý Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ðк Þ ÓØØ ÓÐÝ Ð Ó Ò Ð ÐÒ Ñ º ÓÖ Ú Ò Ð Ý Ø Ö ÑÒ Ý Ð Ò Ñ Ð Ð Þ ØØ Ø Ö Ñ Ð ÐÑ Þ ÓØØ Ð Ñ Ø ÖØ Ö º Ý ÓØØ Ô ÐÐ Ò Ø Ò Þ Ý Ø Ñ Ò ÓÐÝ Ø Ú ÒÝ Ý Ô ÖÓ Ø Ø Ò Ù Ð Þ Ð Ò ÐØ Ö Òº G = (V, E) Ö X V ÔÓÒØ ÐÑ Þ ÞÓÑ Þ Ò ÐÑ Þ Ø N(X) Ð Ð N(X) := {v V : x X Ñ ÐÝÖ xv E} º X A ÖÓ Ò Ù Ø Ø Ð G = (A, B; E) Ú Ô ÖÓ Ö Ò ÔÓÒ¹ ØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Þ Ø Ð Ô ÖÓ Ø A = B X N(X) Ñ Ò Ò X A ÔÓÒØ ÐÑ ÞÖ º N(X) B À ÐÐ Ø Ø Ð G = (A, B; E) Ú Ô ÖÓ Ö Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Þ A¹Ø Ô ÖÓ Ø X N(X) Ñ Ò Ò X A ÔÓÒØ ÐÑ ÞÖ º ÖÓ Ò Ù Ø Ø Ð ØÖ Ú Ð Ò Ú Ø Þ À ÐÐ Ø Ø Ð Ð Ý Ð Þ ÙØ Ø ÞÓÐÒ º À ÐÐ Ø Ø ÐØ Ô Ã Ò Ø Ø Ð Ô Ð Ø ÒØ Ó Ù Ð ØÒ º ÓØØ G Ö Ø Ò ν(g) Ð Ð G ØÐ Ò Ð ÐÑ Þ Þ Ð Ñ Ü Ñ Ð Ñ Ö Ø Ø Þ Þ G Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ò Ð Ñ Þ Ñ Øº G Ö ÔÓÒØ Ò U ÐÑ Þ Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ G Ñ Ò Ò Ð Ò Ú Ò U¹ Ð Ú ÔÓÒØ º Ð Ú ÔÓÒØ Ð ÐÐ Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ Ö Ø Ø τ(g) Ð Ð º ýðð Ø À G Ú Ö ÓÖ ν(g) τ(g) º G Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ô ÖÓ Ö ºµ Þ Ä Ý Ò M G¹Ò Ý Ñ Ü Ñ Ð ν(g) Ð Ð ÐÐ µ Ô ÖÓ Ø º À U Ý Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ö Øò Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ ÓÖ Ð Ó M Ñ Ò Ò Ð Ø Ñ U Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð Ð Ý Ô ÖÓ Ø ÐØ Ó Ð º Ì Ø τ(g) = U M = ν(g) º Ã Ò Ø Ø Ð À G = (A, B; E) Ú Ô ÖÓ Ö ÓÖ ν(g) = τ(g)º À ÐÐ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ð Ø Þ A¹Ø Ô ÖÓ Ø ÓÖ Ñ Ò Ò A¹ Ð ÔÓÒØÒ Ð Ò Þ Ô Ö Ú Ò Ø Ø Ø Ø Þ Ð X A Ø Ò Þ X¹ Ð Ð Ñ B¹ Ð Ô Ö Þ N(X) Ý X Ñ Ö Øò Ö Þ ÐÑ Þ Ø Ð ÓØ º Þ Ð Þ Ø Ý Ð Ó Ý X N(X) Ñ Ò Ò X A¹Ö º X ÞØ ÐÐ ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý ν(g) A º Ä Ý Ò U Ñ Ò Ñ Ð Þ Þ τ(g) U A Ñ Ö Øòµ Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ð Ý Ò U A := U A U B := U Bº Å Ú Ð A U Ð Ó Þ X := A \ U A ¹ Ð Ò ÙÐ Ð Ø Þ ÖØ N(X) U B Ø Ø U N(X) U B º Ã Ò Ø Ø Ð Ðк À ÐÐ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ ν(g) = τ(g) = U = U A + U B U A + N(X) U A + X = A. Ã Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ã Þ Ø Ò Ð G Ö ÓØ Þ Ð ¹ Þ Ö Òغ ÁÖ ÒÝ Ø Ù G Ñ Ò Ò Ð Ø A¹ Ð B¹ Ú Ý Ò Ð Ý s t ÔÓÒØÓØ Ú Þ Ò s¹ Ð ÐØ A Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ú Ý Ò Ð Ý¹ Ý ÐØ B Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð t¹ º ÙÒ Ñ Ò Ò ÐÒ Ô ¹ s Ø Ó Ø Þ s¹ Ð Ò ÙÐ Ðк t¹ Ö Þ Ð Ð Ý Ò Þ A¹ Ð B¹ ÙØ Ô Ð Ý Ò ÔÓÒØÓ Ò A + µº Ì ÒØ (G, s, t, c) Ð Þ ØÓØ ÓÐ c Þ Ñ ÒØ Ò ÐØ Ô Ø Ø Ð ÒØ º U B B Î Ý ÞÖ Ó Ý G¹ Ò Ú Ò Ý k Ñ Ö Øò Ô ÖÓ Ø ÓÖ Ð Ø Þ Ò Ð Þ Ø Ò k ÖØ ò Þ ÓÐÝ Ñ Ô ÖÓ Ø Ð Ò Ñ Ð Ð Ð Ò Þ Þ Ò Ð A¹ Ð Ú ÔÓÒØ ÓÞ Ú Þ Ø s¹ Ð Ò ÙÐ Ð Ò Ú Ð Ñ ÒØ Ô ÖÓ Ø Ð B¹ Ð Ú ÔÓÒØ Ð t¹ Ú Þ Ø Ð Ò Ð Ý Ò ÓÐÝ Ñ ÐØ Ð ÐÚ ØØ ÖØ Ñ Ò Ò Ý Ð Ò 0º Þ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ð Þ Ø Ò Ñ Ò Ò Þ ÓÐÝ Ñ Ý ÐÐ Ð Ó Ý Ò ÒÝ A¹ Ð B¹ Ú Þ Ø ØÐ Ò Ð Ò ÓÐÝ Ñ ÖØ Ø Ú Þ Ð Þ Ø Þ Ð Ø s¹ Ð Ø ÔÐ Ð Ù ÓÐÝ ÓÐÝ ÑÓØ Ô t¹ Ò º Ð Þ Ø Ò Ø Ø Ñ Ü Ñ Ð Þ ÓÐÝ Ñ ÖØ ν(g) Þ Þ ÖØ ò Ð ÑÑ Ñ ØØ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ ÖØ Ù Ý Ò ÒÒÝ º A B t ½½

13 ÓÖ ¹ ÙÐ Ö ÓÒ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ Ø Ø Ý ν(g) ÖØ ò Ú º À ÞØ Ú Ø Þ s¹ø Ø ÖØ ÐÑ Þ X ÐÑ Þ Ò Ð ÓÖ X A¹ Ð Ò Ñ ÙØ Ø G ¹Ò Ð B \ X¹ Þ ÓÖ Ú Ô Ø ÚÓÐÒ º ÈÓÒØÓ Ò Ð Ð A + Ñ Ö Þ Ø Ñ ÒØ ν(g) Þ A Ý Ð Ó ÐÑ Þ ÓÒÒ Ò ν(g) A ºµ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý (A \X) (B X) Ý Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ø Ø A \ X + B X τ(g)º Ð Þ Ø ÓÒ ØÖÙ Ð Ò Þ X ÐØ Ð Ò ÐØ Ú Ô Ø ν(g) = A\X + B X τ(g)º Ã Ò Ø Ø Ð Ð ØØ ÞÓÒÝ ØÓØØÙ Ó Ý ν(g) τ(g) ÐÐ ÓÒÒ Ò ν(g) = τ(g) º ÒØ ÞÓÒÝ Ø Ð Ø ÓÒÝ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ô Ø Ý Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ðк Ý Ñ Ò Ñ Ð Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ Ø Ð Ð Ö Ô ÖÓ Ö Òº À Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ ÑÓ Ñ Ø ÖÓÞ Ö ÞÓÐ Ð Ú Ø ÙØ Ñ Þ ÖØ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ð ÐÑ ÞÞÙ ÐØ ÒØ Ò Þ s¹ö Ðк t¹ö ÐÐ Þ Ð Ø Ð ÓÖ Ú Ø Þ Ð Ö Ø Ô Ù º Ã Ò ÙÐÙÒ Þ Ö Ô ÖÓ Ø Ð ÞØ Ú Ø Ø Ù º À Ñ Ö Ø Ð ÐØÙÒ Ý M Ô ÖÓ Ø Ø ÓÖ Ø ÒØ Þ M¹ Þ Ø ÖØÓÞ Ö ÓØ Þ Þ M Ð Ø B¹ Ð A¹ Ö ÒÝ Ø Ù G Ý Ð Ø Ô A¹ Ð B¹ º À Ò Ö Ò Ð Ø Þ Ý P Ö ÒÝ ØÓØØ Ø Ý A¹ Ð Þ ØÙ Ð M Ô ÖÓ Ø ÐØ Ð ØÐ Ò ÔÓÒØ Ð ÓÐÝ Ò B¹ Ð ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ø Þ ÒØ Ò Ò Ñ Ô ÖÓ Ø ÓÖ Þ Ò Þ ºÒº ÐØ ÖÒ Ð ØÓÒ Þ Ô ÖÓ Ø Ð Ø Ð ÝÚ P Ô ÖÓ Ø ÓÒ Ú Ð Ð Ø Ú Ú Ñ Þ Ú Ð M ÐÝ ØØ M P Ø ÒØÚ µ Ý Ý Ð Ò ÝÓ Ñ Ö Øò Ô ÖÓ Ø Ø ÔÙÒ º À Ô Ò Ò Ú Ø ÐØ ÖÒ Ð Ø ÓÖ M Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø ÒÒÝ Ò Ø Ð Ð Ø Ý M ÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ º Ã Ò Ø Ø Ð Ð Ú Þ Ø Ø Å Ò Ö Ø Ø Ð Ð º ÒÒ Ó Ó Ý Ò Ñ Ý ÖØÙÒ Ð Þ ÚÓÐØ Ó Ý Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ø Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÒØ Ñ Ü Ñ Ð ÓÐÝ Ñ Ö Ô Ð Ø Ó Ò Ð Ø Þ ÞÚ ØÐ Ò Ú Þ Ú Þ Ø Ðº Ö Ñ ÞÓÒ Ò Ð ØÒ Ø Ø Ø Ð Ô ÓÐ Ø Ø Þ ÖØ Þ Ð Ò Þ Ð ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ø º Ò Ú Þ Ò ÞØ Ð Ó Ù Þ Ð Ò Þ ÐØ ÞÓÒÝ Ø ÐÝ Øغµ Ã Ò Ø Ø Ð Ñ Ó ÞÓÒÝ Ø ÅÓ Ø Ý Ù Ñ G Ö ÓØ Ö ÒÝ Ø ØÐ ÒÒ Ú Ý Ð Þ s t ÔÓÒØÓ Ø Ú Þ Ò s A Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ðк t B Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Þ ØØ Ý¹ Ý Ðغ Î Ð Ó Ó Ý Ð Ø Þ G¹ Ò k ØÐ Ò Ð ÓÖ Þ Ø Ú Ð Ø Ð ÐÙÒ k ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø st¹ùø Ø ÒØ ÓÒ ØÖÙ ÐØ G Ö Òº Å Ð Ð Ñ Ö Ò k ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø st¹ùø Ø G ¹ Ò ÓÖ Þ Þ ÐØ Ð ÞÒ ÐØ G¹ Ð Ð ØÐ Ò º Ì Ø G¹ Ò ØÐ Ò Ð Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ Ñ Ý Þ G ¹ Ò ÔÓÒØ Þ ÙÒ Ø st¹ùø Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ Ú Ð ν(g) = κ G (s, t)º Å ÒØ Ó Ý G ¹ Ò s t Ò Ñ ÞÓÑ Þ Ó Ð ÐÑ Þ Ø Ù Å Ò Ö º Ø Ø Ð Ø Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ ÔÓÒØ Þ ÙÒØ st¹ùø Ñ Ü Ñ Ð Þ Ñ κ G (s, t)µ Ñ Ý Þ Ñ Ò Ò st¹ùø Ø Ð Ó s¹ø Ð t¹ø Ð Ð Ò Þ ÔÓÒØÓ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ñ Ú Ðº ÙÔ Ò ÞØ ÐÐ ÞÖ Ú ÒÒ Ó Ý G Ò Ý U Ö Þ ÐÑ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ó Ð G Ñ Ò Ò Ð Ø Ù Ý Ò Þ Þ U ÔÓÒØ ÐÑ Þ G ¹ Ò Ð Ó Ñ Ò Ò st¹ùø غ Ì Ø G¹ Ò Ð Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ñ Ñ Ý Þ G ¹ Ò Ñ Ò Ò st¹ùø Ø Ð Ó s¹ø Ð t¹ø Ð Ð Ò Þ ÔÓÒØÓ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ñ Ú Ð τ(g) = κ G (s, t) = ν(g) ÓÐ Þ ÙØ Ý ÒÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ð Ö Þ Ò Ð ØØÙ º Ì ÖØ Ò Ð Ñ ÖÓ Ò Ù ½ ½¾¹ Ò ÔÙ Ð ÐØ Ý Ø ÖÑ Ò Ò Ó Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ñ ÒÝØ Ñ Ö Ó ÒÝ ÐÚ Ò Ó Ð¹ Ñ ÞÚ Ô ÖÓ Ö Ó Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ò ÐÐ ÑÞ Ú Ð Ý Ò ÖØ òº Ã Ò ØØ Ð Þ Ö Ñ ÒÝØ Ð ØÐ Ò Ð Ø Ð ÐØ Ñ ÒØ Ñ ÖØ Ø ØØ Ã Ò Ø Ø ÐØ ½ ½ ¹ Ò Ñ Ø ÞØ Ò Ð Ð ØØ ÖÓ Ò Ù Ò º ÖÓ Ò Ù Ñ Ð ÒØ Ø ØØ Ý Ð Ñ ÞÓ¹ ÒÝ Ø Ø Ø Ø Ð Ö Ñ ÑÐ Ø ØØ Ã Ò Ø Ñ ÒØ Ò Ø Ø Ð ÒÒÝ Ò Ú Ø Þ Þ Ú Ðº Å Ò Þ Ò Ø Ð Ñ Ý ÞØ ÞØ Ó Ý Þ Ö ÐÑ Ð Ø Ñ Ò Ö Ñ Ò Ã Ò ÞÓÒÝ Ø Ð Ô Þ Ò Ñ Ó Ø Ø Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÐÑ Ð Ø Ò Þ Ò Ã Ò Ø Ø Ð Ý Ñ Ð Ø Ò Ô Ð Ò Ñ Ó Ø Ö ÐÐ Ø º Å Ò Ò Ñ Ã Ò Ö Ñ ÒÝ Ð ÞÒ Ð Ø ÒÒ Ú Ò ÖÓ Ò Ù Ø ÖÑ Ò Ò Ó Ö Ð Þ Ð Ø Ø Ð Òº ÆÓ Þ Ò Ñ ÖÓ Ò Ù Ø ÞÓÐØ º G Ö ÔÓÒØ Ò U Ö Þ ÐÑ Þ ØÐ Ò Ú Ý Ø Ðµ U Ò Ñ Þ Ø ÐØ Þ Þ G Ñ Ò Ò Ð Ò Ú Ò Ò Ñ U¹ Ð Ú ÔÓÒØ º G Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ð ÐÐ ØÐ Ò ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ö Ø Ø α(g) Ð Ð º G Ö Ð Ò F ÐÑ Þ Ð Ó Ð ÐÑ Þ G Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐ F ¹ Рк G Ö Ð Ú Ð Ð ÐÐ Ð Ó Ð ÐÑ Þ Ò Ñ Ö Ø Ø ρ(g) Ð Ð º Å Ý Ð Ì Ø Þ Ð Ú G Ö Ö α(g) ρ(g) º Þ Ý α(g) Ñ Ö Øò ØÐ Ò ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ð Ó ÓÞ Ð Ð α(g) Ð Þ º ÐÐ Ø Ø Ð Ä Ý Ò G n¹ôóòø Ö º ½º À G¹ Ò Ò Ò ÙÖÓ Ð ÓÖ τ(g) + α(g) = n º U ¾º À G¹Ò Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ÓÖ ν(g) + ρ(g) = n º G Þ ½º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý U V (G) ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ V (G) \ U ØÐ Ò ÔÓÒØ ÐÑ Þº Þ ÐÐ Ø ÒÒ Ò ÞÚ ØÐ Ò Ð º Æ ÐÝØ Ð Ò Ð Þ Ñ ÖØ Ø ØØ Ð Ö Ø Ñ Ý Ö Ñ Þ ÖÒ Ò Ú Þ º Ñ Ý Ö Ñ Þ Ö Þ Ñ Ö À ÖÓÐ ÃÙ Ò Ø Ð ÐÑ ÒÝ º Ì ÖØ ÒØ Ù Ý Ò ½ ¹ Ò Ó Ý ÃÙ Ò ÔÔ Ò Ã Ò Ò ÒÝÚ Ø Ð ÔÓÞ ØØ Ñ ÓÖ Ñ Ø Þ Ñ Ý Ð ÝÞ Ø Ò Ñ ÐÝ ÖÚ ÖÝ Â Ò Ý ½ ½¹ Ð Þ ÖÑ Þ Ñ Ý Ö ÒÝ ÐÚò Ö Ú Ø ÓÞ Ñ ÒØ Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ó Ö Ð Þ Ð ν = τ Ø Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ö º ÃÙ ÒØ Ô ÔÔ Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÐØ Ó Ý Ó Ý Ò Ð Ø Ý Ô ÖÓ Ö Ò Ò Ñ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ñ Ñ Ü Ñ Ð ÐÝ Ô ÖÓ Ø Ø Ø Ð ÐÒ º Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÐÝ Ò Ô Ð Ø Ñ ÒÒÝ Ò Ñ Ò Ò Ð ÐÝ ÔÓÒØÓ Ò ºµ ÆÓ ÒÝÓÑ ÐÝ Ò ÞÓÒÝÙÐØ ÖÚ ÖÝ Ò Ú Ð Ò ÖÖ Ð ÚÓÐØ Þ º ýñ ÓÞ Ó Ý Þ Ö Ð Ò Ý Ð Þ ÒØ Ö ÚÓÐØ Þ ÃÙ Ò Ý Ñ Ý Ö Þ Ø Ö Ý ÒÝ ÐÚØ Ò ÒÝÚ Ø Ú Ð Ø Ø Ð ØØ Ð ÓÖ ØÓØØ Ñ Ò Øº Ñ Þ Ö Ø Ú Ð Ò Ð ÖØ Þ Ö ÒØ Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ý Ñ Ü Ñ Ð ÐÝ Ô ÖÓ Ø Ø Ý ÖÓÑ Ýò Ð ÐÝÓ Ð Ö Ò Ð Þ ¾ Ô ÖÓ Ö Òº Þ Ñ Ò Þ Ö Ö ÚÓÐØ Þ Ñ Ñ Ý ÞØ Ø Ñ Þ Ö ÐÝ Ö Ðº Å Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ø Ø ÃÙ Ò ÖØ Ð ÖÚ ÖÝ Ø ÞØ Ð Ø Ö Ñ Ý Ö Ñ Þ ÖÒ Ò Ú ÞØ Ð Þ Ø Þ Þ Ú Ð Ý Ñ Ö º s A X B t ½¾

14 ¾º Å Ú Ð G¹Ò Ð Ø Þ ν(g) Þ ÙÒ Ø Ð Þ 2ν(G) ÔÓÒØÓØ Ó Ò Ð º Ñ Ö n 2ν(G) ÔÓÒØ Ñ Ò Ý Ð Ó Ø Ý¹ Ý ÐÐ Ð Þ Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒص Þ Þ ν(g) + n 2ν(G) = n ν(g) ÐÐ Ð Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð Ó Ø º ÁÒÒ Ò ρ(g) n ν(g) ÓÒÒ Ò ν(g) + ρ(g) n º Å Ö ÞÖ Ð ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý F Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ö Øò Ð Ó Ð ÐÑ Þ ÓÖ F ÖÑ ÒØ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ 3 Ó Þ ÙØ Ø Ñº Ì Ø F Þ ÙÒ Ø ÐÐ Ó ÙÒ º ÐÐ ÓÐÝ Ò Ö Ñ ÐÝÒ Ð Ð µ Ý Ò Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ó ºµ À Ñ Ò Ñ Ð Ð Ó Ð ÐÑ Þ Ò k ÐÐ Ú Ò ÓÖ ÐÑ Þ n k ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ö ÞØ ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ k Þ ÙÒ Ø ÐØ Ø Ø ν(g) kº ÞØ ÔØÙ Ó Ý ρ(g)+ν(g) n k+k = n ÒÒ Ò Ñ Ö ÒÝ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ðº ÐÐ Ø Ø Ð Ý Ð Ø Ð ÐÑ Þ Ã Ò Ø Ø Ðº À G Ú Ô ÖÓ Ö Ò Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ÓÖ α(g) = ρ(g) Þ È ÖÓ Ö Ò ÙÖÓ Ð Ò Ñ Ð Ø Ý Þ ÐÐ Ø Ú Ø Þ Ã Ò Ð Þ Ø Ø Ð Ð ÐÐ Ø Ø Ø Ð Ð α(g) = V (G) τ(g) = V (G) ν(g) = ρ(g) º Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ñ Ö Ø Ò Þ Þ ν(g) Ö Ô Ö Ñ Ø ÖÒ µ Ñ Ø ÖÓÞ Ò Ñ Ô ÖÓ Ö Ó Ø Ò Ö º Þ ÖØ ÞÒÓ Ñ Ý Ð Ó Ý Ú Ø ÐØ ÖÒ Ð ÙØ Ð Ú Ð Ò Ú Ð ÐÑ Ð Ø Ð µ ØØ Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ø º Ô ÖÓ Ö Ó ÓÒ ÞÒ ÐØ ÐØ ÖÒ Ð Ðк Ú Ø Ø Ó ÐÑ ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ø Ö Ò Ñ Ô ÖÓ Ö Ó Ö ºµ Ö Ø Ø Ð G Ö M Ô ÖÓ Ø ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ Ü Ñ Ð Ò Ò M¹ Þ Ú Ø Øº Þ À M Ò Ñ Ñ Ü Ñ Ð ÓÖ Ð Ø Þ Ý M ¹Ò Ð Ø ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ N Ô ÖÓ Ø º Þ M N Ð ÐÑ Þ Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ú Ý Ø Ô ÖÓ Ø Þ Ð Ú Ý Ý ÓÐÝ Ò M¹ ÐØ ÖÒ Ð Ø Ñ ÐÝ Ý Ò N¹ ÐØ ÖÒ Ð Ý ØØ Ð Òº MN¹ ÐØ ÖÒ Ð Øµ Ú Ý Ý ÓÐÝ Ò Ö Ñ ÐÝÒ Ð ÐÚ ÐØÚ M Ðк N¹ Ð MN¹ ÐØ ÖÒ Ð Öµº Å Ú Ð N > M Þ ÖØ ÐÐ ÓÐÝ Ò MN¹ ÐØ ÖÒ Ð ØÒ Ð ÒÒ Ñ Ø N¹ Ð ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÒØ M¹ Рغ Þ ÐÝ Ò Ø Þ M Ô ÖÓ Ø Ú Ø Ø º ÀÓ Ý Ò Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ý ÓØØ Ö Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ø È ÖÓ Ö Ø Ò Ð ØØÙ Ó Ý Ý Þ ÒÓ ÞØ ÐÝÑ Ö ØÒ Ð Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ Ð Ð ÞÓÒÝ Ø º Â Þ ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ô ÖÓ Ö Ó Ö Ôк Ñ Ö K 3 Ø Ò Ñ Ð ν(k 3 ) = < 2 = τ(k 3 )º Æ Ñ Ô ÖÓ ØÖ Ú Ø Þ ÐÐ Ø ÑÙØ Ø Ý Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Óغ Ý G Ö Ô Ö ØÐ Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ò Þ Ñ Ø c p (G) Ð Ð º ýðð Ø À G Ú Ö Ò Ð Ø Þ k ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ð Ý ÙØ Ò Ø Ñ ÒØ k Ô Ö ØÐ Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ø Þ Þ Þ X c p (G X) > X Ú Ð Ñ ÐÝ X V (G)¹Ö µ ÓÖ G¹Ò Ò Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ø º Þ À G¹Ò Ú Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ø X V (G) ÓÖ G X Ñ Ò Ò Ô Ö ØÐ Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò v ÔÓÒØ Ó Ý v¹ø Ô ÖÓ Ø Ð Ò Ñ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð Ð ÙØ Þ Þ Ð Ô Ð Ð º Þ Ò Ô ÖÓ Ø Ð Ñ Ú ÔÓÒØ Þ ÔÔ X¹ Ò Ú Òº Ì Ø Ñ Ò Ò Ô Ö ØÐ Ò ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ø ÖØÓÞ Ý¹ Ý ¹ Ô ÓÑÔÓÒ Ò ÔØÒ ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ò Þ X¹ Ð ÔÓÒغ ÒØ ÐÐ Ø Ð ÐÑ Ñ ÓÖ Ø Þº ÌÙØØ Ø Ø Ð Ú G Ö Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ø Ø Þ Ð X V (G) Ø Ò c p (G X) X Ø Ð Ðº º Ö Ó Þ Ò Þ G Ö k Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ Ø G Ñ Ò Ò Þ Ò Þ Ø k ÓØØ Þ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ö Ý Ó Ý G Ñ Ò Ò Ð Ò Ñ Ò Ø Ú ÔÓÒØ Ð Ò Þ Þ Òò Ð Ý Òº G Ö ÖÓÑ Ø Ù Þ Ñ χ(g) = k G Þ Ò Þ Ø k Þ ÒÒ Ð k Þ ÒÒ Ð Ñ Ò Ñº Å Þ Ú Ð χ(g) Ð ÓÐÝ Ò k Þ Ñ ÐÝÖ G Ð Ø k ØÐ Ò ÔÓÒØ ÐÑ ÞÞ Ðº Å ÝÞ ½º À G k¹ Þ Ò Þ Ø ÓÖ G¹ Ò Ò Ò ÙÖÓ Ðº ¾º G Ö k¹ Þ Ò Þ Ø Ôº Ý c : V (G) {, 2,..., k} Ú Ñ ÐÝÖ c(u) = c(v) uv E(G) Ðк È Ð ½º G ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ô ÖÓ Ö χ(g) 2º ̺ º G 2¹ Þ Ò Þ Ý ÓÒØ Ø Ö ÞÖ ÐÑ ÞØ Ó Ý Ð Þ ÒÓ ÞØ ÐÝÓ ÞØ ÙØ Ø Ú ÞÓÒغµ ¾º È Ö ØÐ Ò n¹ö C n Ò Ñ Ô ÖÓ Ö Ý χ(c n ) 3º Å Ú Ð C n 3¹ Þ Ò Þ Ø Þ ÖØ χ(c n ) = 3º G Ö Ð G Ø Ð Ö Þ Ö º G Ö ω(g)¹ú Ð Ð ÐØ Ð Þ Ñ G Ð Ò ÝÓ Ð Ò ÔÓÒØ Þ Ñ Þ Þ Ð Ò ÝÓ ÓÐÝ Ò k Þ Ñ Ñ ÐÝÖ Ð Ø Þ G¹ Ò k Ô ÖÓÒ ÒØ Þ Ø ØØ k + Ñ Ö Ò Ñ Ð Ø Þ º ýðð Ø Å Ò Ò Ö ÒÝ Ø ØÐ Ò Ú G Ö Ö ω(g) χ(g) (G) + º Þ G ÔÓÒØ Ò Þ Ò Þ Ú Ð Ñ Ü Ñ Ð Ð ÔÓÒØ Ø Þ Ò ÞÞ Ñ Ô Ð Ò Þ Þ Ò Ðº Ð Ú Ð Ó Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò º ½

15 Å Ö ÞØ Þ Ð ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ú Ð ÖÑ ÐÝ G Ö ( (G) + )¹ Þ Ò Þ Ø º ËÞ Ò Þ¹ Þ G ÔÓÒØ Ø v, v 2,... v n ÓÖÖ Ò Ò Ý Ó Ý Þ i¹ Ð Ô Ò v i ¹Ø ÓÐÝ Ò Þ ÒÖ Þ Ò ÞÞ Ñ Ò Ñ Þ Ö Ô Ð v i Þ Ò Þ ØØ ÞÓÑ Þ Òº Å Ú Ð v i ¹Ò Ð Ð (G) Þ Ò Þ ØØ ÞÓÑ Þ Ð Ø Ñ Ò Ý ÞÓÑ Þ Ð Ð Ý¹ Ý Þ ÒØ Þ Ö v i Þ Ò Þ ÐÚ Þ Ø Ö Ò Ð Þ Ö ÐÐ Þ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ú Ðº v n Þ Ò Þ ÙØ Ò G Ý ( (G)+)¹ Þ Ò Þ Ø Ô Ù Ñ Ñ Ó Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞÓÐ º Å ÝÞ ÒØ ÐÐ Ø Ò Ý Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ñ Ð Ø ÐØ Ð Ò Ñ Ú Ø Ò Þ Ð Ð Ôк Ú Þ ÐØ Ô Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ñ Ð Ð Ø Ð Ö Ó Ö ÔØÒ Ö Ö ÔÓÒØÓ χ(k n ) = n = (K n ) + Ðк χ(c 2n+ ) = 3 = (C 2n+ ) + º Ð Ð ÞÓÒ Ò Ð ÒÝ Ò Þ ÙØ Ö Ó Ö Ð º ÖÓÓ Ø Ø Ð Ä Ý Ò G Ú Ý Þ Öò Ö º À G Ò Ñ Ø Ð Ö Ò Ñ Ô Ö ØÐ Ò Ö ÓÖ χ(g) (G)º Þ Ð Ø Ø Ð ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ ω(g) χ(g) Ð Ð Ó ÞÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ Öº Ì Ø Ð Ì Ø Þ Ð k 2 ÔÓÞ Ø Ú Þ Þ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò G Ö Ñ ÐÝÖ χ(g) = k ω(g) = 2º Þ Å ÙÒ Ý G k Ö ÓØ Ú ÒØ ØÙÐ ÓÒ Ðº ÓÒ Ø¹ w ÖÙ Ý ÒØ ÅÝ Ð Ò Ú Þ òþ º k Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ö ÒØ Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ º G 2 = K 2 Ñ Ð Ð Ö Ø Ø k = 2¹ Ö Þ Ò Ù ÐÐ Ø Þº Ì Ý Ð Ó Ý G k Ö ÓØ Ñ Ö ¹ Ö ÐØ Ð Þ Ø Ò º Ä Ý Ò V (G k ) = {v, v 2,...,v n } V (G k+ ) = {v, v 2,..., v n } {u, u 2,..., u n } {w} ÓÐ Þ u i w Þ ¹ Ø Ð ÝÑ Ø Ð Ð Ò Þ Ó º Ä Ý Ò E(G k+ ) := {wu i : u u 2 u i u j u n i n} {v i u j, v j u i : v i v j E(G k )} E(G k ) Þ Þ Þ w¹ø Ñ Ò Ò u i ¹Ú Ð ØÓÚ Ñ Ò Ò G k ¹ Ð Ð ÒÑ Ò Ú Ðµ Ø v v2 Ð ÖØ Ð Ð G k+ ¹ Òº v i v j v n G k G k+ Å Ú Ð Þ u i ÔÓÒØÓ ØÐ Ò ØÓÚ w¹ Ð Ò Ñ ÙØ Ð v i ¹ Þ ÖØ G k+ ¹ Ò Ñ Ò Ò ÖÓÑ Þ Ð Ð Ø G k ¹ Ð ÔÓÒØÓØ ÑÓÒ Ù v i ¹Ø v j ¹Øµ Ø ÖØ ÐÑ Þº À ÖÑ ÔÓÒØ Ý u l ÓÖ v i, v j, v l G k ¹ Ò ÖÓÑ Þ Ø Ð ÓØÒ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ Ò Ù ÐØ Ú Ò º Þ Þ ω(g k+ ) = 2º ÞØ ÐÐ Ñ Ö ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý G k+ (k + )¹ ÖÓÑ Ø Ù º k Þ Ö ÒØ Ò Ù Ø ÞÒ ÐÙÒ k = 2¹ Ö χ(k 2 ) = 2 Ñ ØØ Þ ÐÐ Ø Þº Î Ð Ó Ó Ý χ(g k+ ) k + Þ v i ¹ Ø G k Ý k¹ Þ Ò Þ Þ Ö ÒØ Þ Ò ÞÚ Ñ Ò Ò u i ¹Ò v i ¹Ú Ð ÞÓÒÓ Þ ÒØ Ú w¹ö Ý (k + )¹ Þ ÒØ ÞÒ ÐÚ G k+ Ý (k + )¹ Þ Ò Þ Ø Ô Ù º ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý G k+ Ò Ñ Þ Ò Þ Ø k Þ ÒÒ Ðº ÁÒ Ö Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ Ø Ý Ð Ó Ý G k+ Ñ Þ Ò Þ Ø k Þ ÒÒ Ðº Ì ÒØ Ò Ý ÐÝ Ò Þ Ò Þ Ø Þ Ò ÞÞ Ø w¹ú Ð ÞÓÒÓ Þ ÒØ Ô v i ÔÓÒØÓ Ø u i Þ Ò Ö º Þ ÐØ Ð {v, v 2,..., v n } ÔÓÒØÓ Ñ Ò Ý w¹ Ø Ð Ð Ò Þ Þ ÒØ Ôº Ì Ø G k ÔÓÒØ Ø (k )¹ Þ Ò ÞØ º Å Ú Ð χ(g k ) Ò Ñ Þ Ò Þ Ø Ð k Þ ÒÒ Ð Þ ÖØ Þ Ñ ÒØ Þ Ò Þ Ò Ð Þ Ø ÞÓÒÓ Þ ÒØ Ô ÞÓÑ Þ Ó ÑÓÒ Ù v i v j º Þ Þ Ö Ø Þ Ò Þ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ð Ò Þ Þ ÒØ ÔØ Ø Ø Þ Ý ÑÓÒ Ù v i µ w¹ú Ð ÞÓÒÓ Þ ÒØ ÔÓØØ Þ ÖØ Ø Þ Ò ÞØ u i Þ Ò Ö º ÞÓÒ Ò v j u i ÞÓÑ Þ Ó G k+ ¹ Ò Ø Ø Ö Ø Þ Ò Ð Ò Þ ÚÓÐغ Þ ÖØ Þ Ø Þ Ò Þ ÙØ Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð Ó Ý v i v j ÞÓÒÓ Þ ÒØ ÔÓØغ Þ Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÞÓÐ Þ Ò Ù ÐÐ Ø Ø Þ Þ χ(g k+ ) = k + º Ä ØØÙ Ó Ý 2¹ Þ Ò Þ Ø Ö Ó ÔÓÒØÓ Ò Ô ÖÓ Ö Ó º 3¹ Þ Ò Þ Ø Ö Ó Ñ Ö Ó Ð Ó¹ ÒÝÓÐÙÐØ ØÖÙ Ø Ö Ø Ð ÓØÒ ÒÒ Ð Ñ Ö Ó Ý Ý ÓØØ G Ö 3¹ Þ Ò Þ Ø ¹ Þ Þ G Ð ÐÐÒ ¹ 3 ØÐ Ò ÔÓÒØ ÐÑ Þ ÙÒ Òص ÞÓÒÝ Ø Ø Ò Ò Þº Ý Ð ÑÖ Ñ ÐØ Ó Ý 4¹ Þ Ò Þ Ø Ö Ó Ó ÞØ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ö ÞÓÐ Ø Ö Ó Øº 4¹ Þ Ò Ø Ø Ð Å Ò Ò Ý Þ Öò Ö ÞÓÐ Ø Ö 4¹ Þ Ò Þ Ø º Ì ÖØ Ò Ð Ñ Ë Ö ÞÓÐØ Ö Ó Þ Ò Þ Ð Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ø Ö Ô Þ Ò Þ Ô Ò Ñ Ö Ð Ð Ý ÔÓÐ Ø Ø Ö¹ Ô Ò Þ Ö ØÒ Ò Þ ÓÖ Þ Ó Ø Ý Þ Ò ÞÒ Ó Ý ÞÓÑ Þ Ó ÓÖ Þ Ó Þ Ò Ð Ò ÞÞ º Å Þ Ú Ð Ý Ö ÞÓÐØ Ö Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ø ÐÐ Þ Ò ÞÒ Ò Ñ Ú Ú Ð Ò Þ ÓØØ Ö Ù Ð Ò Þ Ò Þ Ú Ðº 4¹ Þ Ò Ø Ø ÐØ Ö Ò ÙØ Ö Ø ØØ Ð Þ Ö ½ ¾¹ Ò Ñ Ò Ñ Ý ÐØ Ó Ý Ò Ð Ñ Ý 4¹ Þ Ò Þ Ø º Ì Þ Ö ØØ Ø ÐÐ Ð ÖØ ÐØ ÖÖ Ð ÝÐ Ý ½ ¹ Ò ÔÙ Ð ÐØ Ø Øº ½ ¹ Ò Ã ÑÔ Þ ÐØ Ý ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ ÐÝ Ø Ì Ø ÞÓÒÝ Ø Ú Ø ØØ ½ ¼¹ Òº ½ ¼¹ Ò À ÛÓÓ Ø Ø Ð ÐØ Ã ÑÔ ÞÓÒÝ Ø Ò ½ ½¹ Ò Ô È Ø Ö Ò Ì Ø¹ Ð Òº Ø Þ Ø Ñ Ö ÐØ Ú Ø Ò º ËÓ Ó Þ Ö Ñ ÒÝØ Ð Ò ÔÖ Ð ÓÞ ÙØ Ò ÔÔ Ð À Ò ½ ¹ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ Ø Ø Ðغ Å Þ Ö Ð Þ ÐÐ Ø Ý Ø ØÐ Ò Ð ÓÒÝÓÐÙÐØ Þ ÖØ Þ ØÚ Þ Ð ØÖ Ú Þ Ø ØØ Ñ Ø Þ Ñ Ø ÔÔ Ð Ú ÞØ Ðº Å Ú Ð ÞÓÒÝ Ø ÐÝ Ò ÐÐ Ò ÖÞ Ð ÔÞ Ð Ø ØÐ Ò Þ Ñ Ø Ô Ò Ð Ð ÐÑ Ö ÐØ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ý Ñ Ø ÒØ Ø Ø Ð ÖØ ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ ÒÒÝ Ö Ð Ø Ò ÞØÓ Ò Ó Ý Þ Ñ Ø ÔÔÖÓ Ö Ñ Ú Ð Ò ÞØ Ú Þ Ð Ñ Ø ÖÖ Ð ÐØ Ø Ð Þ Ò º Ø ÖØ Ò Ø Ð ÒÐ ÙØÓÐ ÐÐÓÑ ÓÞ ½ ¹ Ò Ö Þ ØØ Ñ ÓÖ ÊÓ ÖØ ÓÒ Ë Ò Ö Ë ÝÑÓÙÖ Ì ÓÑ Ø Ð ÐØ Ý Þ ÔÔ Ð¹À Ò¹ Ð Ò Ð Ú Ð Ý Þ Öò ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ ÐÝ Þ Ñ Þ Ò Þ Ù Ý Ò ÔÓÐ Ø Ø Ö Ô Ò Ñ Þ ÔÔ Ò 4¹ Þ Ò Þ Ø Þ Ôк à РÒÝ Ò Ö ÓØ Þ ÇÖÓ ÞÓÖ Þ ÓÞ ÞÒ ÐØ Þ ÒÒ Ð ÐÐ Ø Ò º À ÞØ Ð Ñ ÖØ ØØ ÓÖ Ò Ñ Ñ Ð Ô Þ Þ ÐÐ Ø Ñ Ó Ý Ø Ø Þ Ð k¹ ÓÞ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò ÔÓÐ Ø Ø Ö Ô Ñ Ò Ñ Þ Ò Þ Ø k Þ ÒÒ Ðº ½

16 ÖÖ Ú Þ Ø Ó Ý Ö 4¹ Þ Ò Þ Ø Ø ÐÐ ÐÐ Ò Ö ÞÒ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò ÞØ Þ Ñ Ø ÔÔ Ð Ú ÞØ ÞÓÒÝ Ø ÐÝ ÑÑ Ö ÞÞ Ð ÐÐ Ò Ö Þ Ø º È Ö Þ Ò ÞÐ Ñ Ð ÝÞ Ø Ö Ø Øº à ÑÔ Ñ Þ Ö Ú ÞÓÒØ Ð ÐÑ Ý Ý Ò Ñ Ò ÑØÖ Ú Ð Ö Ñ ÒÝ ÞÓÐ Ö º 5¹ Þ Ò Ø Ø Ð Å Ò Ò Ý Þ Öò Ö ÞÓÐ Ø G Ö 5¹ Þ Ò Þ Ø Þ Þ χ(g) 5º Þ Ä Ð 3¹ÔÓÒØ Ö Ó Ö Ø Ø Ð ØÖ Ú Ð Ò Þº ÈÓÒØ Þ Ñ Þ Ö ÒØ Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ Ø Ý Ð Ó Ý Ð Ð (n )¹ÔÓÒØ Ö Ó Ö Ø Ø Ð Þº Ä Ý Ò G Ý n¹ôóòø n > 3µ Ý Þ Öò Ö ÞÓÐ Ø Ö º ÌÙ Ù Ó Ý G Ð Þ Ñ Ð Ð 3n 6 Þ Þ G ÔÓÒØ Ò Ó Þ Ñ Þ Ð Ð 6n 2º Î Ò Ø Ø G¹Ò Ý Ð Ð 5¹ Ó v º Å Ú Ð G v Ý Þ Öò Ö ÞÓÐ Ø Þ ÖØ Þ Ò Ù ÐØ Ú Ñ ØØ 5¹ Þ Ò Þ Ø º À Ø Ø v ÞÓÑ Þ Ð Ð 4 Þ ÒØ ÔÒ Þ ¹ Ò Þ Ò ÓÖ v Ñ Ô Ø Þ Ø Þ Òغ Þ ÓÖ Ò Ñ Ñò d(v) = 5 Ñ Ò Þ Ø ÞÓÑ Þ Ð Ò Þ Þ Òò º Ä º Þ Ö Øºµ Ì ÒØ 5 2 Þ ¹ 3¹ Þ Ò ÐØ Ð Þ Ø ØØ G 3 Ö Þ Ö ÓØ (G v)¹ Òº À v ¹ Ðк 3¹ Þ Òò ÞÓÑ Þ G 3 Ð Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ò ÓÖ Ôк Þ ¹ ÞÓÑ Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð Ö ÐÚ Þ ¹ 3¹ Þ Ò Ø v G v ÓÐÝ Ò 5¹ Þ Ò Þ Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Ò v¹ò Ò Ò ¹ Þ Òò ÞÓÑ Þ º 3 ÓÖ v ¹ Þ ÒÖ Þ Ò Þ Ø º 4 ÐÐ Ò Þ Ø Ò Ú Ò v ¹ 3¹ Þ Òò ÞÓÑ Þ Þ ØØ Ý ÓÐÝ Ò Ø Ñ ÐÝ ¹ 3¹ Þ Òò Ó Ø ÞÒ Ðº Ö Ö ÞÓÐØ Ñ ØØ ÞØÓ Ò Ò v 2¹ 4¹ Þ Òò ÞÓÑ Þ Þ ØØ ÓÐÝ Ò Ø (G v)¹ Ò Ñ 2¹ 4¹ Þ Òò Ó Ø ÞÒ Ð Ú Ý G 3 ¹ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ò ÐØ G 24 Ö Ò Þ ÑÐ Ø ØØ Ø ÞÓÑ Þ Ð Ò Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú Òº 2¹ Þ Òò ÞÓÑ Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ð Ö ÐÚ 2¹ 4¹ Þ ÒØ G v ÓÐÝ Ò 5¹ Þ Ò Þ Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Ò v ÞÓÑ Þ Þ ØØ Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ð 2¹ Þ Òº v Ø Ø Ñ Ô Ø 2¹ Þ Òغ Å ÝÞ Ö Ñ Ñ ÓÒ ÓÐÒ Ó Ý ÒØ ÞÓÒÝ Ø Ñ ÖØ Ò Ñ Ñò 4 Þ ÒÖ º G Ö Ð Ö Þ Þ L(G) Ö Ñ Ò G Ð Ò Ð ÐÒ Ñ L(G) Ø ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ò ÐÐ Ð Þ ØÚ G Ñ Ð Ð Ð ÞÓÑ Þ Ó º G Ö k¹ Ð Þ Ò Þ Ø G Ð k Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ Ø Ý Ó Ý ÞÓѹ Þ Ó Ð Ð Ò Þ Þ ÒØ ÔÒ º G Ö χ (G) Ð ÖÓÑ Ø Ù Þ Ñ k G k¹ Ð Þ Ò Þ Ø G Ò Ñ (k )¹ Ð Þ Ò Þ Ø º Å ÝÞ G ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ k¹ Ð Þ Ò Þ Ø L(G) k¹ Þ Ò Þ Ø ØÓÚ χ (G) = χ(l(g))º ýðð Ø Ì Ø Þ Ð G Ö Ö ω(l(g)) (G) ØÓÚ (G) 3 ÓÖ ω(l(g)) = (G)º a a b c e L(G) Þ Þ Ý Ð Ò ÙÐ Ð Ò Ñ Ð Ð ÔÓÒØÓ Ð Ø Ð ÓØÒ L(G)¹ Òº Å Ð Ð L(G) Ñ Ò Ò Ð Ú Ý G Ý Ð Ò ÙÐ Ò ÒÝ Ð Ò Ú Ý G Ý ÖÓÑ Þ Ò Ð Ð Ñ º ýðð Ø Ì Ø Þ Ð G Ö Ö χ (G) (G) Ðк Þ Þ Ý Ð Ò ÙÐ Ð ÝÑ Ø Ð Ð Ò Þ Þ ÒØ ÔÒ Þ Ô Ð Ò Ñ Ü Ñ Ð Ó Þ Ñ Ð Ò ÙÐ Ð Ö Þº Í Ý Ò Þ ÓÖÑ Ð Ò χ (G) = χ(l(g)) ω(l(g)) (G)º Ã Ò Ø Ø Ð À G = (A, B; E) Ô ÖÓ Ö ÓÖ χ (G) = (G)º Þ Þ Ð Þ ÐÐ Ø Ñ ØØ Ð Ò ÞØ ÞÓÐÒ Ó Ý χ (G) (G) Þ Þ ÙÔ Ò Ý (G)¹ Ð Þ Ò Þ Ø ÐÐ ÑÙØ ØÒ º Ä Ø Þ ÓÐÝ Ò H Ô ÖÓ Ö Ñ ÐÝÒ G Ö Þ Ö G Ñ Ò Ò Ò Ó Þ Ñ (G)º ÁÐÝ Ò H¹Ø Ô Ð ÙÐ Ý Ô ØÙÒ Ó Ý G Ñ ÐÐ ÐÚ Þ Ñ G¹Ò Ý G = (A, B ; E ) Ñ ÓÐ Ø Ø H Þ ÒÓ ÞØ ÐÝ A B B A Ð ÞÒ Ñ Ò Ò v ÓØ Þ Ø Ò (G) d(v) Ô Ö ÙÞ ÑÓ ÐÐ Ð v Ñ ÓÐ Ø Ú Ðºµ À Ö Ð (G)¹Ö ÙÐ Ö H Ö Ð Ø (G) Þ ÒÒ Ð Þ Ò ÞÒ ÓÖ Ý ØØ Ð G Ö Þ Ö Ð Ò Ñ Ô Ù Ý Ù Ý Ò ÒÒÝ Þ ÒÒ Ð Ú Ð Þ Ò Þ Øº H Ö Ð Þ Ò Þ Þ Ô Ð Ò ÞØ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ø Ø Þ Ð Ö ÙÐ Ö Ô ÖÓ Ö Ò Ú Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ø º Í Ý Ò ÓÖ H Ý Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ø Þ Ò ÞÚ Þ Ð Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ ØÐ Ò Ð Ý ( (G) )¹Ö ÙÐ Ö Ô ÖÓ Ö ÓØ Ð ÓØÒ Ò Ø Ð ÐÙÒ Ø Ð Ô ÖÓ Ø Ø Þ Ñ Ó Þ ÒØ Ô Øº Å ÖØ Ð Ø Þ Ø Ø Ý r¹ö ÙÐ Ö Ô ÖÓ Ö Ò Ø Ð Ô ÖÓ Ø À ÐÐ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ø ÐÐ ÙÔ Ò ÐÐ Ò Ö ÞÒ º À Þ Ý Þ ÒÓ ÞØ ÐÝ Ð Ú Ð ÞØÙÒ Ý k ÔÓÒØ X ÐÑ ÞØ ÓÖ Þ X¹ Ð Ó Ð Þ Ò kr Ð Ò ÙÐ º Å Ò Þ Ò Ð Ð Ñ Þ ÒÓ ÞØ ÐÝ ÖÑ ÐÝ Ð Ð r¹ø Ó Ø Ø Ø kr Ö Ð Ñ Ö Þ Þ Ð Ð k ÔÓÒØÖ Ú Ò Þ N(X) X º À ÐÐ ÐØ Ø Ð Þ r¹ö ÙÐ Ö Ö ÖÑ ÐÝ Þ ÒÓ ÞØ ÐÝ Ö Ø Ð Ð Ø Ø Ù Ý Ò Ð Ø Þ Ø Ð Ô ÖÓ Ø ÔÓÒØÓ Ò ÞØ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø ÒÙÒ º Å χ ω Ð ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ø Ð ÑÙØ Ø ÞØ ÅÝ Ð Ö Ó µ ÒØ Ð Þ Ð Ö Þ Þ ÓÞº Î Þ Ò Ø Ø Ð À G Ú Ý Þ Öò Ö ÓÖ χ (G) (G) + º À 6¹ Þ ÒØ Ø ÐØ Þ Ö ØÒ Ò ÞÓÐÒ ÓÖ Þ Ñ Ó ÓÞÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ø ØØ Þ ØÒ Ò º c b e d f G d f ½

17 º È Ö Ø Ö Ó Þ Ð ÓÒ Ú Ð Ú Ø ÑÓÒ ØÙÒ Ð Ô Ö Ø Ö Ó Ö Ð Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ Ø Ý ÒØ ÞÓ ØÙÒ º Þ Ð ÝÓØØ ÒÝ ÓØ Þ ÔÖ Øò Ö Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ø Òµ Ò Ñ ÐÐ ØÙ Ò Ú Þ Òº G Ú Ö Ô Ö Ø G Ñ Ò Ò Þ Ø ØØ G Ö Þ Ö Ö χ(g ) = ω(g ) Ø Ð Ðº Å ÝÞ ÒØ Ò Ø Þ ÑÓØ Ú Ð Ó Ý ÞÓ Ò Ö Ó Ò Þ Ö Þ Ø Ö Ú ÝÙÒ Ú Ò Ñ ÐÝ Ö ÖÓÑ Ø Ù Þ ÑÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ χ(g) ω(g) Ð Ð Ý ÒÐ Ð Ø Ð Ðº Ò ÓÖÑ Ò Ö Ò Ñ Þ Ö Ò Ñ ÖØ Ø Ø Þ Ð Ú µ G Ö ÓÞ Ý χ(g) Ñ Ö Øò Ð ¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ø ÓÞÞ Ú Ú χ(g) = ω(g) Ó Ø Ð ÐÒ º Þ ÖØ Ú Ò Ù Ñ Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò Ò Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ö º È Ð À G Ò Ñ Ö Ô ÖÓ Ö ÓÖ χ(g) = 2 = ω(g) Ö Ô ÖÓ Ö Ö χ(g) = ω(g) = µº Å Ú Ð Ô ÖÓ Ö Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ô ÖÓ Ö Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ô ÖÓ Ö Ô Ö Øº Å Ò Ò Ø Ô ÖÓ Ö Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ø Ô Ö Øº χ(k n ) = n = ω(k n ) ØÓÚ Ñ Ò Ò Ð Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ð Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ð Ô Ö Øº À n 2 ÓÖ χ(c 2n+ ) = 3 2 = ω(c 2n+ ) Ø Ø Ô Ö ØÐ Ò Ö C 3 = K 3 Ú Ø Ð Ú Ðµ Ò Ñ Ô Ö Ø Ö º Î ÞÓÒØ Ñ Ò Ò Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ô Ö Ø Ø Ø Ð Ð 5 Ó Þ ÔØÒ Ö Ý Ñ Ò Ñ Ð ÑÔ Ö Ø Ö ºµ Þ Ð Ø Ø Ð ØÓÚ Ö Ó ÞØ ÐÝÓ Ô Ö Ø Ø ÞÓÐ Ì Ø Ð À G ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô ÖÓ Ö ÓÖ G Ô Ö Øº Þ À G Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÖ G Ñ Ò Ò Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ö Þ ÖØ Ð Ò ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý χ(g) = ω(g) G ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô ÖÓ º Ã Ò ÐÐ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ô ÖÓ Ö Ò Ò Ò ÙÖÓ Ðµ ω(g) = α(g) = n τ(g) = n ν(g)º Þ Ý ÒÐ ÞÓÐ ÓÞ Ð Ò χ(g) ω(g) ÞÓÒÝ Ø Þ Þ G Ý n ν(g) Þ ÒÒ Ð Ø ÖØ Ò Þ Ò Þ Ò Ñ º ÁÐÝ Ø Ô Ý ÔÙÒ Ó Ý Ö Þ Ø G¹Ò Ý ν(g) Ð Ð ÐÐ M Ñ Ü Ñ Ð Ô ÖÓ Ø Ø Ñ Ò Ò ÓØ Ð Ò Þ Þ ÒÒ Ð Þ Ò Þ Ò Ú Ú Ó Ý M Ñ Ò Ò Ð Ò Ú ÔÓÒØ ÞÓÒÓ Þ ÒØ ÔÒ º Þ ÐØ Ð Ð ÞÒ ÐØ Þ Ò Ò Þ n¹ Þ Ô Ø ν(g) Ñ Ø Ö Ø Ø Ö Ò Ðº Ì Ø Ð È ÖÓ Ö Ð Ö Ô Ö Øº Þ À G Ô ÖÓ Ö ÓÖ L(G) Ð Ö Ò Ø Ø Þ Ð Þ Ø ØØ Ö Þ Ö ÞÓÒÓ G Ý Ð ÐÑ Ö Þ Ö Ò Ð Ö Ú Ð Þ Þ Þ ÒØ Ò Ý Ô ÖÓ Ö Ð Ö º Ð Ò Ø Ø ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý χ(l(g)) = ω(l(g)) Ø Ø Þ Ð G Ô ÖÓ Ö Ö º Å Ú Ð G ÖÓÑ Þ ¹Ñ ÒØ Þ ÖØ L(G) Ñ Ò Ò Ð G Ý Ð Ò ÙÐ Ð Ò Ð Ð Ñ Ý ω(l(g)) = (G)º Ã Ò Ô ÖÓ Ö Ó Ð Þ Ò Þ Ö Ð Þ Ð Ø Ø Ð Ò Ð ÞÒ Ð Ú Ð ω(l(g)) = (G) = χ (G) = χ(l(g)) Ú Ø Þ º Ì Ø Ð È ÖÓ Ö Ð Ö Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô Ö Øº Þ À G Ô ÖÓ Ö ÓÖ L(G) Þ Ø ØØ Ö Þ Ö Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ L(G ) ÓÐ G G Ð ÐÑ Ö Þ Ö º Å Ú Ð G Ô ÖÓ Þ ÖØ Ð Ò ÞØ ÞÓÐÒ Ó Ý χ((l(g))) ω(l(g)) Ø Ø Þ Ð G Ô ÖÓ Ö Ö Ñ Ö ÒÝ Ý ÒÐ ØÐ Ò ØÖ Ú Ð µº Ã Ò Ø Ø Ð Ð Ô Ò ω(l(g)) = α(l(g)) = ν(g) = τ(g) Þ ÖØ Ð Ò τ(g) Þ ÒÒ Ð Þ Ò ÞÒ L(G)¹Øº Ä Ý Ò U V (G) Ý τ(g) ÔÓÒØ Ð ÐÐ Ð Ó ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ú Ð ÞÙÒ G Ñ Ò Ò Ý e Ð Þ e¹ò Ý U¹ Ð Ú ÔÓÒØ Øº À Ñ Ò Ò ÐØ Ú Ð ÞØÓØØ Ú ÔÓÒØÒ Ñ Ð Ð Ò Þ Ò Þ Ò ÓÖ τ(g) Þ ÒØ ÞÒ ÐÙÒ Þ ÞÓÒÓ Þ Òò Ð Ô ÖÓÒ ÒØ ÞÓÑ Þ Ó Þ Þ Ò Ñ Ð Ð ÔÓÒØÓ L(G)¹ Ò ØÐ Ò º Ì Ø Þ Ù Ý Ò Ý τ(g) Þ ÒÒ Ð Ø ÖØ Ò Þ Ò Þ L(G)¹Ò º ÌÓÚ Ô Ð Ø ÙÒ Ô Ö Ø Ö Ö Þ ÖØ ÐÑ ÞÞ Ö Ò Þ Øº À D Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓÖ u D v Ð Ð ÞØ Ó Ý u¹ Ð Ú Þ Ø v¹ D¹ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Øº D Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ð Ù Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Öغ D Ö ÒÝ ØÓØØ Ö v ÓÖÖ ÒÝ Ð µ v¹ Ò Ñ ÙØ v¹ Ð Ò Ñ Ò ÙÐ µ G¹Ò Ð º ýðð Ø À D Ú Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ð Ù ÓÖ Ð Ø Þ ÓÖÖ ÒÝ Ð º Þ Ì Ø Þ Ð ÔÓÒØ Ð Ò ÙÐ Ø Ø Þ Ð Ù ØÙÐ ÓÒ Ñ ØØ Ó Ñ Ö ÒØ Ø ÓÖ Ò Ö ÒØ ØØ ÔÓÒØÓØ Þ ÖØ Ø Ð ¹ÙØ Ð Ý ÒÝ Ð Òº Ñ ÓÖ ØÓØØ Ð Ò Ð Ø ÓÒÐ Ó Ó Ñ ØØ ÓÖÖ Ùغ Ö Ð Ø Þ X ÐÑ ÞÓÒ Ö Þ ÒÖ Ò Þ Ò Ò Ú ÞÞ Ð Ø Þ Þ X ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓÒ Ý Ð Ù D Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ñ ÐÝÖ (x y) (x D y) º Þ x¹ø ÓÖ Ø ÒØ Ò y¹ò Ð x¹ Ð Ö ÒÝ ØÓØØ ØÓÒ y¹ ÙØ ØÙÒ ºµÐ Ø Ö Þ ÒÖ Ò Þ Þ Ö ÒØ x y Þ ÓÒÐ Ø Ø x y Ú Ý y xº Å ÝÞ Ö Þ ÒÖ Ò Þ ÞÓ Ó Ò ÖÓÑ ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ú Ò Ñ ½µ Ö Ü Ú Ø x x x X ¾µ ÒØ Þ ÑÑ ØÖ x y y x ÓÖ x = y Ú Ð Ñ ÒØ µ ØÖ ÒÞ Ø Ú Ø x y y z ÓÖ x zº à ÒÒÝò ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý Ð Ù D Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ø Ò := D Ö Ð Ð Ø ÒØ ÐØ Ø Ðغ Å Ö ÞØ Þ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ó Ý ÒØ ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ø Ð Ø Ö Ð ÓÖ Þ X ÐÑ ÞÓÒ Ú Þ ØÚ Ñ Ò Ò xy ÐØ Ñ ÐÝÖ y x y Ý ÓÐÝ Ò Ð Ù D Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ ÔÙÒ Ñ ÐÝÖ = D º Ì Ø Ö Þ ÒÖ Ò Þ ÝÓÑ ÒÝÓ Ò Ý Ò ÖØ ò ÒØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Ðº È Ð ½º Ú Ð Þ ÑÓ Ö Ò Þ Ðº ÖÑ ÐÝ ¾ Þ Ñ Þ ÓÒÐ Ø Ø Ø Ø Þ Ý Ø Ð Ö Ò Þ ºµ ¾º Þ X ÐÑ Þ Ö Þ ÐÑ Þ Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ö Ð º Î ÒÒ Ò Ñ Þ ÓÒÐ Ø Ø Ð Ñ ºµ º Þ N ÐÑ ÞÓÒ Þ Ó ÞØ Ø º Î ÒÒ Ò Ñ Þ ÓÒÐ Ø Ø Ð Ñ ºµ ½