F V (n) = 2 2n (n N 0 )º

Átírás

1 ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Þ Ô ØÖÙÑ È º º ÖØ Þ Ã Ø ¹ÍÖ Ò Ã Ñ ÐÐ Ì Ñ Ú Þ Ø Öº Å Ý Ä ÞÐ Öº ËÞ Å Ø Ñ Ø ¹ ËÞ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ó ØÓÖ Á ÓÐ ÓÐÝ ÁÒØ Þ Ø Ë Ì ÌÌÁà ¾¼¼ ËÞ

2 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ½ ¾º Ð ÞÑ ÒÝ ¾º½º Ð ÓÔÓÖØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º ËÞ Ô ØÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º È ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Ã Þ Ú Ú Ð Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ ½½ º½º Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü 1¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ü º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü Ò Ñ 1¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ü º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Þ Ô ØÖÙÑ ½ º½º Þ SL, RN B, LN B, N B Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ º º º º ½ º¾º B Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Þ LN B 2 RN B 2 N B 2 Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ º º º º º ¾ º º Þ A Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÌÓÚ Ð B 2 ¹Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ö Ø Ó Þ Ô Ø¹ ÖÙÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Þ Ó Ð Ð º ËÙÑÑ ÖÝ

3 ½º Ú Þ Ø Þ Ô Ð Ò Þ Ú Ñ Ò ÞÔÓÒØ Þ Ö Ô Ø Ø ÞÓØØ Þ Ð Ö Ú Þ Ð ØÓ Òº ËÞ ÑÐ Ð Ø Ò Þ ÐÚ Þ Ú ÐØÓÞ Ð ÑòÚ Ð Ø Ð Ð Ð Ô Ø ØØ ÓÐÝ Ò Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÐÝ ÓØØ Ø ÔÙ Ð Ö Ø Ò ÖØ Ð Ø Þ Þ Ú Ö Ø Ø ÑòÚ Ð Ø ÓÖÓÞ ØÓØ ÖÒ Ð Ö¹ Ñ ÐÝ Ò Ð Ñ Ø ÐÝ ØØ Ø Ò Ú ÐØÓÞ ÐÝ Ö º Ã Þ Ô Ð ÙÐ Ý ÓÓÐ ¹ Þ ÓÓÐ ¹ Ð Ö Ö Ò Ý Þ Ý ØØ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÝòÖò Ö Ò ÐÐ ØÚ Ú ÐØÓÞ ÞÓ ÒÚ ÖÞ Ò Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÔÓÖØÓ Ö Òº À Ý Þ Ø Ý Ñ Ð Ð Ø ÔÙ Ð Ö Ò Þ Þ Ð Ø ¹ Ñ ÓÒ ÖØ Ð Ò ÓÖ Ý Ú ÒÝØ n¹ú ÐØÓÞ Þ Ø Ò n¹ú ÐØÓÞ Ú ÒÝØ ÔÙÒ Þ Ð Ö Ð Øغ Þ Ý Ô Ø Ú ÒÝ ¹ Ø Þ Ð Ö Þ Ú ÒÝ Ò Ú Ù º È Ð ÙÐ ÓÓÐ ¹ Ú ÒÝ ÓÓÐ ¹ Þ Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ú ÒÝ Ø Ð Ñò ÓÓÐ ¹ Ð Ö Ð Øغ Ã Ø Þ Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ø ÒØ Ò Ý ÓØØ Ð Ö Ð ØØ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ ÐÝ Ñ ÐÐ ØØ Ø Þ Ð Ò Þ ÖØ Ø Ú Þ Ð Þ Þ Ø Þ Ù Ý Ò ÞØ Þ Ú ÒÝØ Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð Ö Òº Ý Ð Ö Þ Ú ÒÝ Ò Þ Ñ Þ Ð Ö ÓÒØÓ Ð¹ Ð ÑÞ º È Ð ÙÐ Þ Ñ ÖØ Ó Ý Ø Ð Ñò ÓÓÐ ¹ Ð Ö Ð ØØ Þ Þ Ú ÒÝ Þ Þ Þ ÓÓÐ ¹ Ú ÒÝ Þ Ú Òݺ À ÓÒÐ Ò Ð Ñ ÖØ Ø ÒÝ Ó Ý Ý Ú Ø Ø Ø Ò Þ Þ Ð Ñ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ò Ø Þ Þ Ñ ÒØ 0¹Ú ÐØÓÞ ÑòÚ Ð Ø Ø ÐÚ Þ Ð ÔÑòÚ Ð ØÒ ÞÓ Ó Ð ÔÑòÚ Ð ¹ Ø Ñ ÐÐ ÓÖ Þ Ý ÔÓØØ Ð Ö Ð ØØ Ñ Ò Ò Ú ÒÝ Þ ¹ Ú Òݺ ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ý k¹ Ð Ñò Ð Ö Ð ØØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÐÐ Ð Ñ Ò Ò Ú ÒÝ Þ Ú ÒÝ ÒØ Þ n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ k kn º Ð Ö Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ ÞÓÒÓ Ø Ð Ð Ò Ø ÖÑ ÒÓ¹ Ð Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ ÞÓÒÓ ÓØ Ð ÓØ Ø Þ Ú Ú Ð Ò Þ Ó ÞØ ÐÝ Þ Ð Ö Ð ØØ Ö Ú Ò Ø Þ Ú Ú Ð Ò Þ Ó ÞØ ÐÝ Ð Øغ Þ ÞÓÒÓ Ó Ð Ò Ð Ø Ó ÞØ ÐÝØ Ú Ö Ø Ò Ò Ú Þ º È ÙÐ Ú ÖØ Ø Þ Þ ÓÔÓÖØÓ Ó ÞØ ÐÝ Þ Ð¹ ÓÔÓÖØÓ Ó ÞØ ÐÝ ÓÓÐ ¹ Ð Ö Ó ÞØ ÐÝ ÝòÖò Ó ÞØ ÐÝ Ø º Á Ñ ÖØ Ó Ý Ø Ø Þ Ð V Ú Ö ¹ Ø Ò Ñ Ò Ò X ÐÑ Þ Ø Ò Ð Ø Þ ÝÒ Ú Þ ØØ X ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Þ Ð Ö ÞÓÑÓÖ Ø Ð ÐØ ÒØÚ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ Þ ÐÞ ÖÖ ÙØ Ð Ó Ý Þ Ð ÐØ Ð ÒÓ X ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ð Ö V¹ Ò Ò Þ ÖØ Ð Ñ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò X ÐØ Ð Ò Ö ÐØ V¹ Ð Ð Ö ÒÒ Ó¹ ÑÓÑÓÖ Ô º Þ X ÐØ Ð Ò Ö ÐØ V¹ Ð Þ Ð Ö Ý ÑÓ ÐÐ Þ Þ F V (X) Ð Ö Ñ ÐÝÒ Ð Ñ Þ V Ð ØØ Ú Ú Ð Ò Ó ÞØ ÐÝ Ñ ÐÝÒ Ð ÔÑòÚ Ð Ø Ø Þ Ö Ø ÖÑ Þ Ø Ñ ÓÒ Ð Ô¹ ÑòÚ Ð Ø Ò Ù Ð º À X = n (n N 0 ) ÓÖ F V (X) ÐÝ ØØ F V (n)¹ Ø ÖÙÒ º Ý F V (n) ÔÔ Ò V Ð ØØ Ð ÒÝ Ò Ð Ò Þ Þ Þ Ô ÖÓÒ ÒØ ½

4 Ò Ñ Ú Ú Ð Ò n¹ú ÐØÓÞ Þ Þ Ñ º ÒÒ Ò Ø ÓÐÝ Ò V Ú Ö Ø Ó Ö ÐÒ ÓÐ F V (n) Ñ Ò Ò n¹ö Ú Þ Þ V¹ Ò Ñ Ò Ò Ú Ò Ò ¹ Ö ÐØ Ð Ö Ú º ÓÖ V Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ò Þ F V (n) (n N 0 ) ÓÖÓÞ ØÓØ ÖØ º È Ð ÙÐ ÓÓÐ ¹ Ð Ö Ú Ö Ø Ò Þ Ô ØÖÙÑ F V (n) = 2 2n (n N 0 )º À V Ú Ö Ø Ú Ò Ò Ö ÐØ Þ Þ V¹Ø Ý A Ú Ð Ö Ò Ö Ð ÓÖ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý F V (n) ÔÔ Ò Þ A Ð ØØ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ º ËÔ Ð Ò A Ð Ñ Þ Ñ k ÓÖ F V (n) k kn º Å Ö ÞØ k 2 ÓÖ F V (n) nº Þ Ô ØÖÙÑ Þ ÓØØ ÓÖÐ ØÓ Þ ØØ Ñ Ð Ø Ø Ø Þ Ð ÖÖ Ð Þ ÐÒ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Þ Ø Ø Ð Ñ ÐÝ Þ Ð Ò ÒÝ Ö Ñ ÒÝØ ¾º¾º Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø Ò º Î Ò Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ý Ö Ò ÞÓÖÓ Ô ÓÐ Ø Ú Ò Ò Ö Ð Ð Ö ØÖÙ Ø Ö Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Þ Øغ º À Ñ Ò À Ⱥ Æ ÙÑ ÒÒ Æ ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý G Ú ÓÔÓÖØ ÓÖ G ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ò Þ n¹ Ð Ñ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ö Ð Ø Ú Ò Þ ÓÔÓÖØ Ñ Ö Ø ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÜÔÓÒ Ò Ð n¹ Ò G Ò ÐÔÓØ Ò Ý ÒØ Ô ÙÔÐ ¹ ÜÔÓÒ Ò Ð º º ÖÑ Ò ¾ Ø Ñ Ý Ñ Ñ Þ Ð Ø Ø Ø Þ Ý Þ Öò й Ö ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ø Þ Ð ÓÒ ÖÙ Ò ÒÝ ÐÚ Ò ÐÐ Ñ ÞØ º Þ Ð ÓÒ ÖÙ Ò ÐÑ Ð Ø Ò Ú Þ Ø ØØ Ø ÔÙ Ó ½ ¾ Ö Ò Ö Ñ Ð ÐÒ Þ ÙÒ Ö Ò ÓÓÐ ¹ Ð ¹ Ð Ð Ø ÔÙ¹ Ó Ò º ½º½º Ì Ø Ðº ¾ Å Ò Ò k 2¹Ö Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò d 1,...,d 5 c 1, c 2, c 4 ÓÒ Ø Ò Ó Ó Ý Ø Ø Þ Ð k¹ Ð Ñò Ý Þ Öò A Ð Ö Ø Ò Ñ Ò Ò Ð Ò Ý n¹ö Þ A ÐØ Ð Ò Ö ÐØ V Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ö Þ Ð Ø Ð¹ ÐÒ µ À ØÝÔ(A) =½ ÓÖ d 1 n F V (n) c 1 n log 2 k µ À ØÝÔ(A) =¾ ÓÖ d 2 k n F V (n) c 2 k (k 1)n µ À ØÝÔ(A) = ÓÖ k d 3k n F V (n) k kn Úµ À ØÝÔ(A) = ÓÖ k d 4k n / n F V (n) k c 4k n / n Úµ À ØÝÔ(A) = ÓÖ d 5 k n F V (n) k σ(n) ÓÐ ( n σ(n) = (k 1) 3 nk n k(k 1) 3 ) (k 1) n (k 1)3. Ä Ø Ø Ó Ý Þ ¹ Ø ÔÙ Ö ÓØØ Ð Ð ÔÓÒØ ØÐ Ò º ÁØØ Þ Ö Ø¹ Ò Ò Ö ÞÐ Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ð ÖÒ º Ý Ò ÝÓÒ Ö ¹ Ø Ô٠й Ö Ó ÞØ ÐÝ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ó ÞØ ÐÝ º Ý ¾

5 Ø ÖÑ Þ Ø Ò ÙÐ ÔÓÒØÒ ØòÒ Þ Þ Ò Ð Ö ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ò Ú Þ Ð Ø º Ð ÓÔÓÖØ¹Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ö Ð Ú Ø Ð Ø ØØ ØÙ Ò Ñ Ð ØØ ËÞ Þ ÖÞ Ð Þ Ø Ð ÓÔÓÖØÓ Þ Ô ØÖÙÑ Ò Þ ÞØ ¹ Ñ Ø Ù Ú Þ Ð Ø Ø Þ ÖØ Þ Þ Ø Þ Ö Ñ ÒÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Ó Ý Ú Ý Þ Öò ÓÔÓÖØÓ Ø ÒØ Ø Ú ÓÔÓÖØÓ Ô Ø Ú Ò Ý Ú Ð ÓÔÓÖØÓ Ð Ô Ú Ú Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ º ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ú Ö Ø Ø Ò Ö ÐÒ Þ Ò Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ö ÙÒ Ð Øº Ú Ø Þ Ø Ø ÐØ ÞÓÒÝ Ø¹ Ù Þ Ý Ò Ú Þ ØØ Ø Ð Ñò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ö Ò Ø¹ Ð ÓÔÓÖØ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ö º Ì Ø Ðº ÃËÞ½ log F B (n) 2n log n. Þ Ð Ø Ø Ð Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ö ÙÒ Þ ÑÔØÓØ Ù Ð Øº Ì Ø Ðº ÃËÞ¾ F A (n) n 2 2 n2. ÃÙØ Ø Ò ÒÝÓÑ Ò Ú Ø Þ Ú Þ Ð ØÓ Þ Ð ØØ º ˺ Ë Ë ÞÓ¹ ÒÝ ØÓØØ Ó Ý Ý Ò Ñ ÓÖØÓ ÓÜ ÑÓÒÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ V Ú Ö Ø Ö log F V (n) Ñ ÒØ n Ú ÒÝ µ Ñ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð º Áº ÓÐ Ò Ó À Ñ Ò¹Æ ÙÑ Ò Ø ÔÙ ÐØ Ø ÐØ ÓØØ ÖÖ Ó Ý Ð ÓÔÓÖØÓ Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ô Ø¹ ÖÙÑ Ñ ÓÖ Ò Ñ ÐÓ ¹ ÜÔÓÒ Ò Ð º Ã Ø Ú Ö Ø Ó p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ø Ú Þ ÐØ ÈÏ ¹ Ò ÈËÞ ¹ Ò ÈÐ ¹ Òº Þ ÖØ Þ ¾º Þ Ø Ò Ð Ô Ó ÐÑ Ø Ð Ð Ø Ñ ÖØ Ø Ò º Ð ¹ Þ Ö ØØ ÒØ Ò Ò ÒÝ Ð ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ó ÐÑ Øº Ò Ð Ù Ø Ð ¹ Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ø Ñ Ù Þ Ò Ð ÓÔÓÖØÓ Ê ¹ Ð Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ Ø Ú Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Øº ÞÓÒ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ¹ Ø Ñ ÐÝ Ò ÓÒØÓ Þ Ö Ô Ð Þ ØÓÚ Ú Þ Ð Ø Ò ÓÖ Ò Ò Ð Ö Ð Ð Ñ Ù º ÌÓÚ Þ Ø Ò ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð Ö Ó ÐÑ ¹ Ø Ò ÐÙÒ ÓÐ Ð Ø Ð ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Þ Ñ Þ Ð Ñ ÖØ ¹ Ø Ò Ò ÒÝ Þ Ô ØÖÙÑÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐØ Ð ÒÓ Ö Ñ ÒÝغ Þ Ø Ú Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ø Ñ ÐÝ Ý ÐÑ Þ Ô ÖØ Ò Þ Ñ Ö Þ ÑÔ¹ ØÓØ Ù ÓÖÑÙÐ Ø Ò º¾º Þ Ø Ò ÞÒ Ð Ù Ð Þ ÝÒ Ú ¹ Þ ØØ Ø Ð Ñò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ö Ò Ø Ð ÓÔÓÖØ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ò Ñ Ø ÖÓÞ ÓÖº Å Ý ÞÞ Ó Ý Þ Þ ÑÔØÓØ ¹ Ù Ð Ñ Ø Ò Ò Þ Ñ Ð Ð Þ Ò Ý Ð Ö Þ

6 Ô ØÖÙÑÑ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ú Þ Ð ØÓ ÓÖ Ò ÒÒ Ð ÔÓÒØÓ Ð Ö Ò Ñ ÚÓÐØ Þ º º Þ Ø Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Þ Ú Ú Ð Ò Ø Ú Þ Ð Ù Ëº Ë ËÞ º ËËÞ½ ¹ Ò ËËÞ¾ ¹ Ò Ø Ð Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ð ÞÒ ÐÚ º Þ Ø Ô ÖÓ ÐÐ ØÚ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Ø Ú Ð Ø Þ Þ ÑÐ Ð Ø º ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð¹ Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ê ¹Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ð Ð ÓÔÓÖØÓ Ð Ñ Ø Ð ÑÔ ÖÓ ÒØ Ö ÞÓÐ Þ Ò Ó ÓÐ Ó Ý Þ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ð Ö Ð ØØ Þ Ø Ò Ô ÖÓ Ö Ó Ø Ð ÐÑ ÞÞÙÒ º º Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Þ Þ ÓÑ Ò ØÓ¹ Ö Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Þ Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ö ÓØØ Ð Øº Þ Þ Ô ÖÓ ÐÐ ØÚ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ¹ Ó Ø Ö Ò Ð Ò º Ô ÖÓ Ö Ó Þ ÓÑÔÓÒ Ò ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ ÓÒ Ô ÖØ Ø Ò Ù ÐÒ Ñ ÐÝ Þ Ñ Ø Ú Þ Ð Ù º¾º Þ Ø Ò Ý ÙÒ Ð Ø Þ Ô ØÖÙÑÖ º ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Þ Ð Ý Ø Ò Ð Þ Öò Þ ¹ Þ Ô ÖÓ Ö ÐÝ ØØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ Ö Ò ÐÒ Ð º º º Þ Øµ ÓÖ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó ÓÒ Ú ØØ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Þ Ñ Ø Ð º Ô ÖÓ Ö ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝ Ò Ò Ù ÐØ Ô ÖØ Ð Ñ Þ Ñ Ø Ú Þ ÐÚ Þ Ø Ú Ò ÔÓÒ¹ ØÓ Ø Ù p n ¹ ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ñ Ö ÓØØ ÓÖ ÓÖÐ ØÓ Øº Ö Ñ ÒÝ Ò Þ Ó Ð Ð Ø ¾º Ø Ð Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ò Ö Ñ ÒÝ ÃËÞ½ ÃËÞ¾ ÐÐ ØÚ ÃËÞ ÓÐ ÓÞ ØÓ Ò Ø Ð Ð Ø º ¾º Ð ÞÑ ÒÝ ¾º½º Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø Ò Ò ÒÝ Ð ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ó ÐÑ Ø Ô Ð¹ ÙÐ Ó Ý Þ Ý Þ Öò Þ Ð ÒØ Ð Ò Þ Þ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð ¹ Ö Ò ÞÒ ÐØØ Ðº Î Ð Ñ ÒØ Ñ ÖØ Ø Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ý Þ Ô Ö ÔÖ Þ ÒØ Øº ¾º¾º Þ Ø Ò ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð Ö Ó ÐÑ ¹ Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ØÚ Ð Ð Ø Ú Þ Ø Ò º Î Ð ¾º º Þ Ø Ò ÒÝ Ó ÐÑ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ô ÖØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Òº ¾º½º Ð ÓÔÓÖØÓ ØÓÚ Ò Ý Ð ÓÔÓÖØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÖÙ Ð Ñ Ø ÓÖ ÞØ 0¹Ú Ð ¹ Ð Ð Ô Ý Ð ÓÔÓÖØ Ý Ð Ñ ÓÖ 1 Ð Ð Þ Ý Ð Ñ Øº Ä Ý Ò S ÓÐÝ Ò Ð ÓÔÓÖØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÖÙ Ð Ñ Øº À S¹ Þ ÓÞ¹ Þ Ú Þ Þ 0 Ð Ñ Ø Ø Ö ÞØ ÞÓÖÞ Ø Þ S {0} ÐÑ ÞÖ ÓÐÝÑ ÓÒ Ó Ý 0s = s0 = 0 00 = 0 Ø Ð Ð ÖÑ ÐÝ S¹ Ð s Ð ÑÖ ÓÖ Þ S Ð ÓÔÓÖØ 0¹ Ð ÑÑ Ð Ú Ð Ú Ø Ø Ô Ù Ñ Ø S 0 ¹Ú Ð Ð Ð Ò º

7 ¼¹ Ð ÑÑ Ð Ú Ø ØØ G 0 ÓÔÓÖØÓØ 0¹ ÓÔÓÖØÒ Ò Ú ÞÞ º Þ S Ð ÓÔÓÖØ A Ò Ñ Ö Ö Þ ÐÑ Þ Ø ÐÒ Ò Ú ÞÞ SA A AS A Ø Ð Ðº Ý Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØ ÒÙÐÐ Ð ÓÔÓÖØ ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ñ Ò ÞÓÖÞ Ø 0¹Ú Ð Ý ÒÐ º Ý Ë Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØÓØ 0¹ Ý Þ ÖòÒ Ò Ú Þ Ò Ò Ñ ÒÙÐÐ Ð ÓÔÓÖØ {0}¹Ò Ú Ð Ñ ÒØ Ë¹ Ò Ú Ð Ò Ò Ñ Ð º Î Ð ¹ Ò ÞØ Ñ Ó ÐØ Ø ÐØ Ø Ð Ñò ÒÙÐÐ Ð ÓÔÓÖØ Ð Ø Ñ ÖØ Ý ÒÙÐÐ Ð ÓÔÓÖØ Ò Ñ Ò Ò Ö Þ ÐÑ Þ Ðº Ð Ú Ù Ý ÐÑ Ø ÖÖ Ó Ý Þ Ý Þ Öò Þ Ò Ð Ò Þ Ð ÒØ Þ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð Ö Ò Ð ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Òº Þ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð Ö Ò Ý Ð Ö Ø Ý Þ ÖòÒ Ò Ú ÞÒ Ò Ò Ú Ð Ò ÑØÖ Ú Ð ÓÒ ÖÙ Ò º Ð ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Ò Þ ÐÝ Ò Ð ÓÔÓÖØÓ Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÒØ Ò Ò Ú Þ Þ ÓÐÝ Ò Ð ÓÔÓÖ¹ ØÓØ Ú Ý Þ ÖòÒ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ð Ðغ 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØ Ó ÐÑ Þ ÙØ Ñ Ð Ð Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØÓ Ö Òº Ë Ø Þ ÖÙ Ð Ñ Ò Ð Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÒØ Ø Þ ÖÙ Ð Ñ Ú ÐØÓÞ Ø Ô Ð Ø Ò Þ Ò Ý Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØ Þ ÖÙ Ð ÑÑ Ð Ú Ð Ú Ø Ñ Ò 0¹ Ý Þ Öòº Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ò Ñ Ñ Ò Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØ ÐÐ Ð Þ Ò Ñ ÓÒº Å Ý ÞÞ Ó Ý Ý Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØ ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ò¹ Ø Ò Ñ Ø Ð Ñò ÒÙÐÐ Ð ÓÔÓÖØ ÓÖ Þ ÔÔ Ò 0¹ Ý Þ Öò º Ý Ð ÓÔÓÖØ e Ð Ñ Ø ÑÔÓØ Ò Ò Ò Ú ÞÞ e 2 = e Ø Ð Ðº à ¹ Ø Ò Ò Ú ÞÞ Þ ÓÐÝ Ò Ð ÓÔÓÖØÓØ Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ò Ð Ñ ÑÔÓØ Ò º Ý Ð ÓÔÓÖØ ÑÔÓØ Ò Ð Ñ Ò ÐÑ Þ Ò Ñ Ø Ý Ö Þ ÒÖ Ò¹ Þ Ú Ø Þ ÔÔ Ò e f ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ef = fe = e. Þ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ø ÖÑ Þ Ø Ö Þ ÒÖ Ò Þ º À Ý S Ð ÓÔÓÖØ Ø ÖØ Ð¹ Ñ Þ Þ ÖÙ Ð Ñ Ø ÓÖ Þ Þ Ý ØÐ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ Þ ÑÔÓØ Ò Ð Ñ Ø ÖÑ Þ Ø Ö Þ ÒÖ Ò Þ Ö Ò ÞÚ º Ý ÑÔÓØ Ò Ð Ñ Ø ÔÖ Ñ Ø ÚÒ Ò Ú ÞÒ Ò Ñ 0 ÑÔÓØ Ò Ð Ñ Þ ØØ Ñ Ò Ñ Ð Þ Þ Ý e ÔÖ ¹ Ñ Ø Ú ÑÔÓØ Ò Ð Ñ Ø Ú Ø Þ ØÙÐ ÓÒ Ò Ð Ñ ÐÝ f ÑÔÓ¹ Ø Ò Ð Ñ Ø Ò ef = fe = f 0 Ø Ð Ð ÓÖ e = fº Ý Ð ÓÔÓÖØÓØ Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ ÖòÒ Ò Ú Þ Ò 0¹ Ý Þ Öò Ø ÖØ ÐÑ Þ ÔÖ Ñ Ø Ú Ñ¹ ÔÓØ Ò Ð Ñ Øº ÓÒØÓ Ñ Ý ÞÒ Ó Ý Ñ Ò Ò Ú 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØ Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º½ ÀÓÛ µ Ð Ø ÞÒ Ú Ø Ð Ò Ø Ð¹ Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ º Ý Ú Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØÓ Ö Ò Ø Ð Ñò ÒÙÐÐ Ð ÓÔÓÖØÓØ Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Ò Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÒØ Ð ÓÔÓÖØ Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò º Ú Ø Þ ÓÒ ØÖÙ Ø Ø Ð Ê Ê Ò Ú Þ òþ Ñ ÐÝÒ Ø Ú Ð Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ý Þ Ô ÒÒÝ Ò Þ Ð Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ô Ù º Ä Ý Ò Λ I Ò Ñ Ö ÐÑ Þ G Ô ÓÔÓÖغ Ä Ý Ò M = (m λ,i ) ÓÐÝ Ò Λ I Ø ÔÙ Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝÒ Ð Ñ G {0}

8 ÐÑ Þ Ð Ú Ð Ñ Ò Ò ÓÖ Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ð Ý 0¹ Ø Ð Ð Ò Þ Þ Þ G¹ Ð Ð Ñ Øº Þ (I G Λ) {0} ÐÑ ÞÓÒ Ú Þ Ø Ú Ø Þ ÑòÚ Ð Ø Ø { (i, gm λ,j h, µ), m λ,j 0, (i, g, λ)(j, h, µ) = 0, m λ,j = 0, (i, g, λ)0 = 0(i, g, λ) = 00 = 0. ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý Ý Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØÓØ ÔÙÒ º ÞØ Ð ÓÔÓÖØÓØ G 0 Ð ØØ Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØÒ Ò Ú ÞÞ M 0 (I,G, Λ; M)¹Ñ РРй º Ý Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØÓØ ÒÒ Ò Ò Þ ÐÒ Ú Þ µ Ñ ØÖ ÜÓ Ð ÐÐ Ð ÓÔÓÖØ ÒØ Ð ÔÞ Ð Ø Ò º Ð ÐØ Ñ 0 Ð ÑÒ Þ I Λ Ø ¹ ÔÙ Þ ÖÙ Ñ ØÖ ÜÓØ Þ (i, g, λ) Ð Ð ÑÒ Ô ÞØ Ñ ØÖ ÜÓØ Ñ I Λ Ø ÔÙ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ò Ñ 0 Ð Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ô g¹ø Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ò λ¹ Ó ÞÐÓÔ Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Òº à ÒÒÝ Ò Ð¹ Ð Ò Ö Þ Ø Ó Ý Þ Ö Ø Ð ÓÔÓÖØØ Ð ÞÓÑÓÖ Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØÓØ ÔÙÒ ÑòÚ ÐØ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ò Ñ ØÖ ÜÓ ÐÑ ¹ Þ Ò A B = AMB ÓÐ Þ ÙØ ÞÓ Ó Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ º Þ M Ñ ØÖ ÜÓØ Þ ÖØ Þ Ò Ú Ñ ØÖ ÜÒ Ò Ú Þ º Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ÒØ Ø Þ Ð Ø Ø Ð º ¾º½º Ì Ø Ðº Å Ò Ò 0¹ ÓÔÓÖØ Ð ØØ Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØ Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò ÓÖ ØÚ Ñ Ò Ò Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØ ÞÓÑÓÖ Ý 0¹ ÓÔÓÖØ Ð ØØ Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØØ Ðº ØÓÚ Ò ¼¹ ÓÔÓÖØ Ð ØØ Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØÓ Ð Ó Ð Ð Ó¹ ÞÙÒ Þ ÖØ Ö Ú Ò Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØÓ Ò Ó Ù ÚÒ Þ Ø Ð ÓÔÓÖØÓ Øº Ý Ð ÓÔÓÖØÓØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ò Ò Ú Þ Ò ØÖ Ú Ð ÓÔÓÖØÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Þ Ð ÓÔÓÖØ Òغ Å Ú Ð M 0 (I,G, Λ; M)¹ Ò G i,λ = {(i, g, λ): g G} ÓÐÝ Ò Ö Þ Ð ÓÔÓÖØ Ñ G¹Ú Ð ÞÓÑÓÖ Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò i, λ Ô ÖÖ ÓÐ m λ,i 0 Ý Þ M 0 (I,G, Λ; M) Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Óѹ Ò ØÓÖ Ù G ØÖ Ú Ð G = {1}µº Ò Þ Ø Ò Ò Ñ ¼ Ð Ñ (i, 1, λ) Ð Ý Ø Ö Ð Ø Þ Ô ÓÑÔÓÒ Ò Ø Þ Ð Ñ ÖÑ Ð ÐÝ ØØ (i, λ)¹ø ÖÙÒ º Þ M Ñ ØÖ Ü 0¹Ø 1¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÑòÚ Ð Ø Ý Þ Öò { (i, µ), m λ,j = 1, (i, λ)(j, µ) = 0, m λ,j = 0, (i, λ)0 = 0(i, λ) = 00 = 0.

9 ƺ Ê ÐÐÝ Ê Ð ÖØ Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö ¹ Ø Ó Ð Øº ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý ÔÓÒØÓ Ò ÓÐÝ Ò Ú Ö Ø Ú Ò Ñ Ø ÓÑ ¹ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ò Ö ÐÒ º Þ Ò Ú Ö Ø Ó Ñ Ò ¹ Ý Ò Ö Ð Ø Ý ØÐ Ò Ú ÓÑ Ò ØÓÖ Ù 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØØ Ð Þ Ð ÓÔÓÖØ ÞÓÑÓÖ Ö ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØصº Þ ½º Ø Ð Þ Ø ÓÖ Ò Ñ Ù Þ Ø Ú Ö Ø Ó Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ý¹ Ý Ò Ö Ð Ð Ñ Ø Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØ Ð Òº ÈÓÒØÓ Ò ÖÑ ¹ Ó ÞÐÓÔ Ò Ø Ð Ð Ø Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü ÐØ Ð Ò ÐØ Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØ Ð ÐÐ Ñ Ó Ó ÞÐÓÔ Ò Þ Ð Ò Ô Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ð Ð Ø Ð Ð Ø º Ú Ö Ø Ò Ö Ð Þ Ò Ú ¹ Ð ÓÔÓÖØ Ñ ØÖ Ü Mµ SL Y ½ [ ] 1 LN B L 1 [ ] RN B R 1 1 [ ] 1 1 N B N 1 1 [ ] 1 0 B B LN B 2 L [ ] RN B 2 R N B 2 N [ ] 1 1 A A ½º Ø Ð Þ Øº Î Þ Ð Ø Ò ÓÖ Ò B 2 A 2 Ð ÓÔÓÖØÓ Ò Ø ÒØ Ø ØØ Þ Ö Ô Ð Þ Þ Ò Ð ÓÔÓÖØÓ Ø Ò Ð Ö Ð Ð Ñ Ù Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖ¹

10 ØÓ Ö Ò B 2 = a, b aba = a, bab = b, a 2 = b 2 = 0 ; A 2 = a, b aba = a, bab = b, a 2 = a, b 2 = 0. Î Ý ÞÖ Ó Ý Ø Ð Ñò Ð Ð Ä Ê Ô Ø Ð Ñò ÐÞ Ö Ó Þ Ö Ð ÓÔÓÖØ 0¹ Ð ÑÑ Ð Ú Ð Ú Ø º ÌÓÚ Æ Ø Ð Ñò ÐÞ Ö Ø Ð Ñò Ó Þ Ö Ð ÓÔÓÖØ Ö Ø ÞÓÖÞ Ø Ò 0¹ Ð ÑÑ Ð Ú Ð Ú Ø º B 2 Ð ÓÔÓÖØÖ Ð ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Ò Þ Ø Ð Ñò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ö Ò Ø¹ Ð ÓÔÓÖØ ÐÒ Ú Þ Ø ÞÒ Ð º Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ð Ò Ý ÓÖ Ò Þ Ö ÔÐ Ú Ö Ø Ó Ø Ú Ö Ø Ó Ñ ¹ Ô Ö Ò Ö Ð Ð ÐÒÓÖÑ Ð Ø Ó ÒÓÖÑ Ð Ø ÐÐ ØÚ ÒÓÖÑ Ð Ø Ú Ö Ø º Þ Ò Ð ÓÔÓÖØ¹Ú Ö Ø Ó Ø Þ x 2 = x ÞÓÒÓ ¹ Ð Ý ØØ Ö Ò Ö Ú Ø Þ ÞÓÒÓ Ó Ø ÖÓÞÞ Ñ xy = yx xyz = xzy xyz = yxz ÐÐ ØÚ xyzx = xzyxº ÌÓÚ Ñ ÖØ Ó Ý N B = LN B RN B X 2 = B X Ø Ð Ð X = LN B, RN B, N B¹Ö º ¾º¾º ËÞ Ô ØÖÙÑ Þ ½º Þ Ø Ò Ò ÒÝ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð Ö Ó ÐÑ Ø Þ ÑÐ Ð Ø Ñ ÓÒ Ñ Ö Ñ ÖØ ØØ Ò ÑÓ Ø ÓÖÑ Ð Ò Ñ Ù Ò Ø ÓÐ Ð Ø Þ ØØ ÒØ Ø Ú ÖØ Ð ÓÔÓÖØÓ Ö º Ð ÓÔÓÖØ ÐÑ Ð Ø Þ Ñ¹ Þ Ð Þ Ò Ò Ñ Ö Þ Ú Ø ÖØ Ò Þ Þ Þ Ð ÓÔÓÖØ Ð ¹ Ñ Øº ÈÓÒØÓ Ò Ó ÐÑ ÞÚ n¹ú ÐØÓÞ Ð ÓÔÓÖع Þ Ò Ú Ý Ö ¹ Ú Ò n¹ú ÐØÓÞ Þ Ò Ò Ú ÞÞ Þ n¹ Ð Ñò Ð Ú ÐØÓÞ ÐÑ Þ Ðµ Ð ÓØÓØØ Þ Ú Øº Ä Ý Ò t = t(x 1,...,x n ) = x i1 x i2...x ik Ý n¹ú ÐØÓÞ Þ Þ x ij x ij+1... x im 1 j k, m kµ Þ Ø t Ö Þ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º Ê Þ Ø Ò Ò ÒÝ Ð Ð Ø Ñ ÐÝÖ Þ Ò Ð Þº Ä Ý Ò t 1 = t 1 (x 1,...,x n ) = x i1 x i2...x ik t 2 = t 2 (x 1,...,x n ) = x j1 x j2...x jm Ø Þ ÓÐ x ik = x j1 º  РРt 1 t 2 Þ Ò Ø Þ Þ òþ Ø Ý Ó Ý Þ x ik Ý Þ Ö Þ Ö Ô Ð Ò t 1 t 2 = x i1...x ik x j2... x jm º t k Ð Ð Ø t ÞÓÒ Þ Þ Ð Ø Ö Ó Ù ÞÒ ÐÒ Ñ ÐÝ Þ x k Ú ÐØÓÞ Ð Ð ÓÖ ÙÐ Ó Ø ÖØ Ò Þ x k ¹Ú Ð Ú Þ º t k Ô Ð Ð t ÞÓÒ Þ ¹ Ö Þ Ð Ø Ø Ñ Þ x k ÙØÓÐ Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ð Þ x k ¹Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º È Ð ÙÐ t 1 = x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 2 t 2 = x 2 x 3 ÓÖ t 1 t 2 = x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 2 x 3 t 2 1 = x 1 x 3 x 2 Ú Ð Ñ ÒØ t 3 1 = x 3x 2 º À t = t(x 1,...,x n ) Ý n¹ú ÐØÓÞ Þ ÓÖ A Ð Ñ Ò ÐÝ Ø¹ Ø Ø Ú ÐØÓÞ Ñ Ø ÖÓÞ Ý t A n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝØ A n A, a t A (a) (a A n ).

11 t 1 t 2 Þ Ú Ú Ð Ò Ý A Ð Ö Ð ØØ t 1 (x 1,...,x n ) t 2 (x 1,...,x n ) Ú Ý Ö Ú Ò t 1 t 2 Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù µ t A 1 t A 2 Ý ÒÐ º Þ n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ø ÐÓ n A¹Ú Ð Ð Ð º Ä Ý Ò t = t(x 1,...,x n ) Ý n¹ú ÐØÓÞ Þ º Ý t A Þ ¹ Ú ÒÝØ Ú Ð Ò¹Ú ÐØÓÞ Ò ÚÙÒ Ñ Ò Ò Ú ÐØÓÞ Ø Ð Þ Þ Ñ Ò¹ Ò 1 i n Ø Ò Ð Ø ÞÒ ÓÐÝ Ò a 1,...,a i 1, a, b, a i+1,...,a n A Ð Ñ Ó Ý t A (a 1,...,a i 1, a, a i+1,...,a n ) t A (a 1,...,a i 1, b, a i+1,...,a n ). Â Ð Ð Þ A Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Ø E n (A)¹Ú к ÁØØ E 0 (A) Ð Ð A ÓÒ Ø Ò Øº Ä Ý Ò p n (A) = E n (A) º p n (A) ÓÖÓÞ ØÓØ Þ A Ð Ö ) p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ò Ò Ú Þ º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ø Ð Ð ÐÓ n A = pk (A) Ý ÒÐ º n ( n k=0 k Ä Ý Ò V Ú Ò Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Þ ½º Þ Ø Ò Ñ ÖØ ØØ Ð Ð Ø ÞÒ ÐÚ F V (n) V Ú Ö Ø Ð n¹ Ð Ñ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Þ Ð Ö Ø Ð Ð X Ý n¹ Ð Ñò Ò Ö ØÓÖÖ Ò Þ Ö F V (n)¹ò ½º Ö µº ½º Ö º À Þ A Ð Ö Ò Ö Ð V Ú Ö Ø Ø ÓÖ t = t(x 1,...,x n ) t A Ð Ô Þ ÞÓÑÓÖ ÞÑÙ F V (n) Þ A An Ö Þ Ð Ö Þ Þ Þ A Ð ØØ n Ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ ÐÓ n Aµµ Þ Øغ Ì Ø Ø Ð Ð Þ F V (n) = ÐÓ n A Þ Ý F V (n) = ÐÓ n A = n k=0 ( ) n p k (A). k ½µ

12 À A = k ÓÖ Þ ½º Ö Ö Ð Ð ÓÐÚ Ø Þ F V (n) k kn Ý ÒРع Ð Ò ØÓÚ Ñ ÖØ Ó Ý F V (n) = k kn ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ A ÔÖ Ñ Ð Ð Ö Þ Þ Ñ Ò Ò Ú ÒÝ Þ Ú ÒÝ Þ A Ð Ö Òº V Ú Ö ¹ Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ò Þ n¹ Ð Ñ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Þ Ð Ö Ð Ñ Þ Ñ Ò ÓÖÓÞ Ø Ø ÖØ F V (n) n = 0, 1, 2,...µº Ú Ø Þ Ö Ñ ÒÝ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ð Ö ÐÐ ò Þ Ð ØØ Êº Åà ÒÞ ¹Ø Ð Þ ÖÑ Þ º ÃÓÒ ÖÙ Ò ÞØÖ ÙØ Ú Ú Ö Ø Ó Ö Ð Þ Ð Ì ¹ ÓÖ Ñ ½¾º ÀÅ Þ Þ ÓÐÝ Ò Ú Ö Ø Ó Ö Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò Ð Ö Ú Ö ¹ Ø Ð ÞÖ ÙØ Ú V Ò Ñ ØÖ Ú Ð ÐÓ Ð Ò Ú ÓÒ ÖÙ Ò ÞØÖ ¹ ÙØ Ú Ú Ö Ø ÓÖ Ñ Ò Ò 0 < c < 1¹Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò Ð Ò Ý m Ó Ý m > n Ø Ò F V (n) 2 2cn Ø Ð Ðº Þ Þ Þ Ò Þ Ø Ò Þ Ô Ø¹ ÖÙÑ Ò Ýº ÞÓÒ Ò Þ ÓØØ ÓÖÐ ØÓ Þ ØØ Ñ Ð Ø Ø Ø Þ Ð Þ Ô ØÖÙÑ ÖÖ Ð Þ ÐÒ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Þ Ø Ø Ð º È Ð ÙÐ V Ú Ö ¹ Ø Ú Ò Ò Ö ÐØ ÓÖ Ú Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ú c k Ó Ý F V (n) cn k Ú Ý Ô F V (n) 2 n k Ø Ð Ð Ú Ð Ñ ÐÝ k ÔÓÞ Ø Ú ÞÖ ÖÑ ÐÝ n¹ö Ì ÓÖ Ñ ½¾º¾ ÀÅ µº Ú Ø Þ Ø Ø Ð Þ Ô ØÖÙÑ Ð Ø Ö Ø Ð Ú Ð ÐØ Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞÒ º Ä Ý Ò V Ý k¹ Ð Ñò Ð Ö ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ð Ð δ V (n) ÞØ Ò Ñ Ò Ø Ú Ú Ð ÖØ ò Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÖ F V (n) = k kn δ V (n) º κ ĺ ÅÙÖ ÅÙ Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý Ú Ý lim n δ V (n) = Ø Ð Ð Ú Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò d k Þ Ñ ÐÝÖ δ V (n) = dº º ÖÑ Ò ½ ÞÓÐØ Ó Ý k 3 ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò k¹ø Ð c ÔÓÞ Ø Ú ÓÒ Ø Ò Ñ ÐÝÖ Ú Ý δ V (n) c2 n Ú Ý δ V (n) = d Ø Ð Ð Ý d k ÓÒ Ø Ò Ö º Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò Þ ÑÓ Ó Ð Ð ÓÞ p n ¹ ÓÖÓÞ ØÓ ÐØ Ð ÒÓ ØÙÐ ¹ ÓÒ Ú Ð ÐÐ ØÚ ÞÞ Ð Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Þ Ú ÒÒ Þ Ð Ö p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ò ØÙÐ ÓÒ Þ Øغ Ð ÓÔÓÖØÓ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ò ØÙÐ ¹ ÓÒ Ø Ú Þ ÐØ Ú Ø Þ ÓÐ ÓÞ ØÓ Òº ʽ Ê Ò Ð ÖØ Þ Þ ÓÐÝ Ò Ú Ð ÓÔÓÖØÓØ Ñ ÐÝ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö Ú Ò ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÖÐ Ø Þ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò k ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ ÐÝÖ p n n k º ʾ ÓÐ Ó¹ Þ Ø Ò Ñ Ø ÓÖÐ ØÓ p n ¹ ÓÖÓÞ ØØ Ð Ö Ò Ð Þ Ð ÓÔÓÖØÓ Ø Ð Ð ÓÓÐ ¹ ÓÔÓÖØÓ Ö Þ ò Ø Ò ÐÔÓØ Ò Ú Ø Òغ ¾º º È ÖØ Þ {1,..., n} ÐÑ Þ π Ô ÖØ Ò ÐÑ Þ ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ö Ö Þ ÐÑ Þ Ò ÐÑ Þ Ø ÖØ Ñ ÐÝ Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Þ Ô ÖØ Ó ÞØ ÐÝ µ Ý Ø Þ {1,..., n}º Â Ð Ð Π n Þ {1,...,n} ÐÑ Þ Þ Ô ÖØ Ò ÐÑ Þ Ø π π Ô ÖØ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ Øº Ä Ý Ò S(n, k) = {π Π n : π = k} Þ n¹ Ð Ñò ÐÑ Þ k Ó ÞØ ÐÝ Ô ÖØ Ò Þ Ñ º Þ S(n, k) Þ ÑÓ Ø Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò ¹ Þ ÑÓ Ò Ò ¹ Ú ÞÞ º Þ {1,..., n} ÐÑ Þ Ô ÖØ Ò Þ Ñ Ø B(n)¹Ò Ð Ð Ð Þ ½¼

13 Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ðй Þ ÑÓ º Ð Ð Ò Ø ÞÒ ÐÚ B(n) = Π n = n k=0 S(n, k)º ¾µ ÓÖÑÙÐ ÅÏ Ðй Þ ÑÓ Ö Þ ÑÔØÓØ Ù ¹ Ð Ø B(n) 1 r n+1 2 e r n 1, ¾µ n ÓÐ r log r = nº ÖÑ ÐÝ ε(> 0)¹ ÓÞ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò l Ñ ÐÝÖ n > l ÓÖ n/ log n < r < n(1 + ε)/ log nº Å Ý ÞÞ Ó Ý f(n) g(n) Ø Ð Ð lim n f(n)/g(n) = 1 Ú Ð Ñ ÒØ Ò ÞÒ ÐÒ Ó Ù Þ f(n) log g(n) Ð Ð Ø Ñ ÐÝ Ò log f(n) log g(n)¹ø ÖØ º º Ã Þ Ú Ú Ð Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð¹ Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Þ ËËÞ½ ¹Ö Þ ËËÞ¾ ¹Ö Ø Ñ Þ Ó Ú ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Ú Þ Ð Ù Þ Ú Ú Ð Ò Øº Þ ¹ Ú ÒÝ ÖØ Ð ÓÖ ÓÒØÓ Þ Ö Ô Ú Ò ÒÒ Ó Ý Ñ ÐÝ Ú ÐØÓÞ Ú Ø ÝÑ Ø Þ Ø Þ Þ Ø Ö Ó Ø Ú Ð Ø Ø Þ ÑÐ Ð Ø ¹ º Â Ð Ð Ø Þ Ó Ý Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ò Þ Ö ÔÐ M Þ Ò Ú Ñ ØÖ ÜÓ Ö Þ ÙØÓÐ Ú Ø Ð Ú Ð Ø Ð Ð Ú Ø Þ m λ,i = m λ,j = m µ,i = 1 ÓÖ m µ,j = 1º Þ Þ Þ A 2 Ð ÓÔÓÖØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü Ú Ø Ð Ú Ð Þ M Ñ ØÖ ÜÓ Ø Ð ØÙ Ù Ý ÓÒØ Ò 0¹Ø Ú Ý 1¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÐÓ Ó Ö Ó Ý ÐÓ Ó Ø Ø ÒØÚ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÜÓØ Ô ÙÒ º Æ Ú ÞÞ Þ ÐÝ Ò Ø ÔÙ Ñ ØÖ ÜÓ Ø 1¹ ÐÓ Ñ ØÖ ÜÒ º Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Þ Ú Ú Ð Ò Ø ØÖ ÓÒØ Ø Þ Ö ÒØ Ó Ý Þ M Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü 1¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ü¹ Ú Ý Ñ º½º º¾º Þ Ø Ò ÞØ Ø Ø Ø Ø Ö Ý Ð Ù º º½º Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü 1¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ü Ò Þ Ø Ò Ð Ð S Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ A 2 ¹Ø Ð Ð Ò Þ Ð Ó¹ ÔÓÖØ Ø M S Ô Þ S¹ Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ò Ú Ñ ØÖ ÜÓغ Ó Ý ¾º½º Þ Ø Ò Ñ Ö Ð ØØÙ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ð Ñ Ö ÓÒ ÓÐ ØÙÒ Ý Ñ ÒØ Ð ÑÔ ÖÓ Ö º Ý Ý Þ Ý x i Ú ÐØÓÞ Ø ÔÞ Ð Ð Ý Ñ ÒØ Ý (u i, v i ) Ð ÑÔ Öغ Ä Ý Ò t = t(x 1, x 2,...,x n ) Ý n¹ú ÐØÓÞ Þ Ö Ò Ð t¹ Þ G(t) Ô ÖÓ Ö ÓØ Þ Ð Ñ ÓÒº Ä Ý Ò {u 1,..., u n } G(t) Ô ÖÓ Ö Ð ÔÓÒØ ÐÑ Þ {v 1,...,v n } Þ Ð ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ º v i ÔÓÒØ Ð Ú Þ Ø Ð Þ u j ¹ Þ x i Ú ÐØÓÞ Ø x j Ú Ø Ú Ð ÓÐ t Þ Ò Ú Ý Þ x i x j Ö Þ Þ ½½

14 t¹ Òº ¾º Ö t = x 1 x 3 x 2 x 4 x 4 x 3 x 1 x 3 x 2 Þ Þ Ø ÖØÓÞ Øµ Ô ÖÓ Ö ÓØ Ö ÞÓÐ º ¾º Ö º t = x 1 x 3 x 2 x 4 x 4 x 3 x 1 x 3 x 2 À ÓÒÐ Ð ÓÔÓÖع Þ Þ Ö Ò ÐØ Ö ÓÒ ØÖÙ Ñ ÓÐ Ø Ð Ð ¹ Ø Ö ÀÓÙ Å ÌÖ µº G(t) Ô ÖÓ Ö z ÔÓÒØ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÑÔÓÒ Ò Ò ÞÓÒ ÔÓÒØÓ ÐÑ ¹ Þ Ø ÖØ Ñ ÐÝ z¹ Ð Ð Ö Ø Ý Ø Ú Ð Ð Ð ÓÑÔ G(t) (z)¹ú к ¾º Ö Ò Ð Ø Ø Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÓÒ Ò Þ {u 1, u 2, v 3 } {u 3, u 4, v 1, v 2, v 4 } ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ º Å Ý ÞÞ Ó Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ó ÐÑ Ø Ò Ñ ÝÓÑ ¹ ÒÝÓ ÖØ Ð Ñ Ò ÞÒ Ð Ù Ù Ý Ò ÑÓ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ø Ò Ñº º½º ýðð Ø º ËËÞ¾ Ì Ý Ð Ó Ý M S Ý r l Ø ÔÙ Ñ ØÖ Ü J Ð Ð Þ ÞÓÒÓ Ø ÔÙ 1¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ØÖ ÜÓغ Ä Ý Ò p = p(x 1,..., x n ) = x i1...x ik q = q(x 1,...,x n ) = x j1...x jm (i 1,...,i k, j 1,...,j m {1,..., n}) Ø Þ º µ À M S = J ÓÖ S Ð ØØ p q ÓÖ ÓÖ Ú Ø Þ Ø Ð ÐÒ µ p¹ Ò q¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ú ÐØÓÞ Ñ Ý ÞÒ µ r = 2 ÓÖ i 1 = j 1 µ l = 2 ÓÖ i k = j m º µ À M S J ÓÖ S Ð ØØ p q ÓÖ ÓÖ Ú Ø Þ Ø Ð ÐÒ µ G(p) G(q) ÓÑÔÓÒ Ò Ñ Ý ÞÒ ½¾

15 µ ÓÑÔ G(p) (u i1 ) = ÓÑÔ G(q) (u j1 ) µ ÓÑÔ G(p) (v ik ) = ÓÑÔ G(q) (v jm ) µ M S ¹Ò Ú Ò Ø ÞÓÒÓ ÓÖ ÓÖ i 1 = j 1 µ M S ¹Ò Ú Ò Ø ÞÓÒÓ Ó ÞÐÓÔ ÓÖ i k = j m º Ý Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ô ÖØ Ø Ò Ù ÐÒ Ô ÖÓ Ö ÔÓÒ¹ ØÓ ÞØ ÐÝ Òº È Ð ÙÐ ¾º Ö Ò Ð Ø Ø Ô ÖÓ Ö Ð ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝ Ò Þ {{u 1, u 2 }, {u 3, u 4 }} Ô ÖØ Ø Þ Ð ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓÒ Ô {{v 1, v 2, v 4 }, {v 3 }} Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð º Ò Þ Ø Ò Ñ Ò Ø Ô ÖØ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ ØØ º Ú Ø Þ Ð ÑÑ ÖÖ Ð Þ Ð Ó Ý Ñ ÒÒÝ Ú Ð Ø Ö Ø Ð Ô ÖØ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ º º¾º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò t = t(x 1, x 2,..., x n ) = x i1 x i2...x ik (i 1, i 2,...,i k {1, 2,..., n}) t Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ð Ð Ý Þ Ö Ñ Ò Þ n Ú ÐØÓÞ Øº Î Ð ¹ Ñ ÒØ Ð Ý Ò G(t) t Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ô ÖÓ Ö Þ {u 1, u 2,...,u n } {v 1, v 2,...,v n } ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ Ðº ÓÖ G(t) Ô ÖÓ Ö Ø ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝ Ò ÓÑÔÓÒ Ò ÓÐÝ Ò Ô ÖØ Ø Ò Ù ÐÒ Ñ ÐÝ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ Ð Ð¹ Ý Ð Ø Ö Ø Ðº ÌÓÚ G(t) Ô ÖÓ Ö Ò Ð Ð Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ð Ø Þ u i1 Ú Ý v ik º ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð G(t) Ô ÖÓ Ö ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝ Ò Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ù Ð Ô ÖØ Ø ÒÒÝò Ð ØÒ Ó Ý Þ Ó ÞØ ÐÝÓ Þ Ñ Ò Ý Ð Ø ÐØ Ö Ö Ø ÖØ ÐÑ Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØÓغ Å Ú Ð x ij x ij+1 t Ö Þ ¹ Þ ÖÑ ÐÝ j {1, 2,..., k 1}¹Ö Ý t¹ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö Ò v ij u ij+1 Ó Þ ØØ Ú Þ Ø Ð ÖÑ ÐÝ j {1, 2,..., k 1}¹Ö t¹ Ò Ñ Ò Ò Ú ÐØÓÞ Ð Ð Ý Þ Ö Ð ÓÖ Ùк Ì Ø G(t) Ö Ò Ð Ð Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ð Ø Þ u i1 Ú Ý v ik º Å Ý ÞÞ Þ Ð Þ Ð ÑÑ ÐØ Ø Ð Ò Ñ Ð Ð G(t) Ô ÖÓ Ö ¹ Ò Þ u i1 ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ÓÖ Þ x i1 Ú ÐØÓÞ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö ÓÖ ÙÐ Ð t Þ Òº À ÓÒÐ Ò v ik ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ÓÖ t Þ ÙØÓÐ Ú ÐØÓ¹ Þ Þ x ik ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö ÓÖ ÙÐ Ð t¹ Òº º¾º Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü Ò Ñ 1¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ü Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ò Þ A 2 Þ Ý ØÐ Ò ÓÐÝ Ò Ð ÓÔÓÖØ Ñ ÐÝ Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ò ¹ Ú Ñ ØÖ Ü Ò Ñ 1¹ ÐÓ Ñ ØÖ Üº Þ A 2 Ð ØØ Þ Ú Ú Ð Ò Ò Ú Þ Ð Ø Ý Þ Öò Ý t Þ Þ ÑÓ Ø Ò Ñ Ý Ô ÖÓ Ö ÓØ ¹ Ò Ñ Ý G(t) Ø Þ Ö Ð Ò Ð Ð Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ Ö Ò Ð Ò Ú Ø Þ Ø ÖÑ Þ Ø Ñ ÓÒº Ä Ý Ò t(x 1, x 2,...,x k ) = t Ý Þ A 2 Ð ØØ ½

16 G(t) Ð Ð Ò Ý k ÔÓÒØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ {v1, v 2,..., v k } ÔÓÒØ ÐÑ ÞÞ Ðº v i ¹ Ð Ú Þ Ø Ð v j ¹ x i ¹Ø Ú Ø x j Ú Ð ÓÐ t¹ Ò Þ Þ x i x j Ö Þ ¹ Þ t¹ Òº È Ð ÙÐ t = x 1 x 3 x 2 x 4 x 4 x 3 x 1 x 3 x 2 Þ Ø Ò Þ º Ö Ò Ð Ø Ø Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ Ô Ù º º Ö º t = x 1 x 3 x 2 x 4 x 4 x 3 x 1 x 3 x 2 º º ýðð Ø º ËËÞ¾ Ä Ý Ò p(x 1,...,x n ) = x i1...x ik q(x 1,...,x n ) = x j1...x jm (i 1,..., i k, j 1,..., j m {1,...,n}) Ø Þ º ÓÖ A 2 Ð ØØ p q ÓÖ ÓÖ Ú Ø Þ Ø Ð ÐÒ µ G(p) = G(q) µ x i1 = x j1 µ x ik = x jm º º ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖ¹ ØÓ Þ Ô ØÖÙÑ Ð Ø ÙÒ Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ö º Î Þ Ð Ù Ò Ö Ð Ð ÓÔÓÖØ Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Ø Þ ½µ Þ Ø Ú Ð Ð Þ Ô ØÖÙÑÓغ º½º Þ SL, RN B, LN B, N B Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙ¹ Ñ Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Þ Ñ ÖØ Ð Ú Þ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ ¹ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ò Ð Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Þ Ö Ð º ½

17 º½º ýðð Ø º Þ SL Þ Ô ØÖÙÑ 2 n 1 n = 1, 2,... º ÞÓÒÝ Ø º Þ SL Ú Ö Ø Ø Ò Ö Ð Þ Y Ð ÓÔÓÖØ Ø Ð Ñò Ð Ð º Å Ú Ð Ð Ð ÓÑÑÙØ Ø Ú ÑÔÓØ Ò Ð ÓÔÓÖØÓ Ý Ý Ð Ð ¹ Ð ØØ Þ Ú ÒÝ Ú ÐØÓÞ ÐÑ Þ Ø Ð Þ Þ Þ n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Ñ Ý Þ Þ n¹ Ð Ñò ÐÑ Þ Þ Ö Þ ÐÑ ¹ Þ Ò Þ Ñ Ú Ð Ú Ú Þ Ö ÐÑ Þغ º¾º ýðð Ø º Þ RN B LN B Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ n2 n 1 n = 1, 2,... º ÞÓÒÝ Ø º Þ RN B LN B Ú Ö Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ð ÓÔÓÖØÓ Ù Ð Ò ÞÓÑÓÖ Ý Þ Ô ØÖÙÑÙ Ñ Ý Þ º Ì Ø Ð Þ Ý Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ø Ñ Ø ÖÓÞÒ Ð Ý Ò Þ Þ RN Bº ËÞ ÑÓÐ Ù p k (R)¹Ø Ð Þ Öº Þ R Ð ÓÔÓÖØÓØ Ê ¹Ñ ÖØ Ü Ð ÓÔÓÖØ Ð º ¾º½º ¹ Þ Øµ Ð Ò Þ M = [ 1 1 ] Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü Ò Ð º Å Ú Ð M¹ Ò 1 Þ Ö Ô Ð ¾ Ó ÞÐÓÔ Ú Ò º½º ýðð Ø µ ÔÓÒØ Ð Ô Ò Ø k Ú ÐØÓÞ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ú Ú Ð Ò ÞÓÒÓ Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Þ ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ Ù Ñ Ý Þ º Å Ú Ð k¹ Ð Ð Ø Ò Ú Ò Þ ÙØÓÐ Ú Ð¹ ØÓÞ Ú Ð ÞØ Ö Ý k Ð Ú Ð k¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Ú Ò Þ Þ p k (R) = kº Ì Ø ½µ ÓÖÑÙÐ Ø Ð ÞÒ ÐÚ F RN B = k ( n k) = n2 n 1 º º º ýðð Ø º Þ N B Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ n(n + 1)2 n 2 n = 1, 2,... º ÞÓÒÝ Ø º Þ N Ð ÓÔÓÖØ [ ] Ò Ö Ð Þ N B Ú Ö Ø Øº N¹ Ø Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð¹ 1 1 ÓÔÓÖØ ÒØ Þ M = Ò Ð Ð º ½º Ø Ð Þ Øµº Å Ò ÓÖÓ Ñ Ò Þ 1 1 Ó ÞÐÓÔÓ Þ Ñ ØØ M¹ Ò Ý º½º ýðð Ø µ ÔÓÒØ Ð Ô Ò Þ Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ Ò Ñ ÐÐ Ý ÞÒ Ø Þ Ú Ú Ð Ò Ò Ðº Ì Ø k 2 Ð Ú Ð k¹ú ÐÓÞ Þ Ú ÒÝ Ð Ø N Ð Øغ Ý Þ ½µ ÓÑÙÐ Ð Ô Ò F N B (n) = k 2( n k) = n(n + 1)2 n 2 Ø Ð Ðº º¾º B Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ B Ú Ö Ø Ø B 2 Ð ÓÔÓÖØ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ø Ð Ñò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ö Ò Ø¹ Ð ÓÔÓÖØ Ò Ö Ð º Þ Ò Ð ÓÔÓÖØÓØ ¾º½º Þ Ø Ò Ò Ð Ö Ð Ð Ñ ØÙ Þ ÖÙ Ð Ñ Ð ÓÔÓÖØÓ Ö Òº Ú Þ Ø Ò Þ Ö ÔÐ ÖÑ Ò¹Ø Ø Ð B Ú Ö Ø Ö Ú Ø Þ Ø ÐÐ Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò d Þ Ñ Ó Ý ½

18 Ð Ò Ý n¹ö d5 n F B (n) 5 σ(n) Ø Ð Ð ÓÐ σ(n) = n 320( 5n n 64) 4 n 64 º Å Ð ÞÒ ÐÚ º½º Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ô ÖÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ø ÒÒ Ð Ð ÒÝ Ò Ó Þ ÑÔØÓØ Ù Ð Ø ÙÒ Þ Ô ØÖÙÑÖ º B 2 Ð ÓÔÓÖØ ÓÞ Ñ ÒØ Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØ ÓÞ 2 2¹ Ý Ñ Ø¹ Ö Ü Ø ÖØÓÞ Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü ÒØ Ý º½º ýðð Ø Ú Ø Þ Ô Ð Ø Ø Ô Ù º º º ýðð Ø º Ä Ý Ò p = p(x 1,...,x n ) = x i1...x ik q = q(x 1,...,x n ) = x j1...x jm (i 1,...,i k, j 1,...,j m {1,...,n}) Ø Þ º ÓÖ B 2 Ð ØØ p q ÓÖ ÓÖ µ G(p) G(q) Ô ÖÓ Ö Ó ÓÑÔÓÒ Ò Ñ Ý ÞÒ µ ÓÑÔ G(p) (u i1 ) = ÓÑÔ G(q) (u j1 ) µ ÓÑÔ G(p) (v ik ) = ÓÑÔ G(q) (v jm )º ¾º¾º Þ Ø Ò Ò ÐØÙ Þ Þ òþ Ø Ú Ø Þ Ð ÑÑ ÐÝ Þ Þ òþ Ò Ð º º º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò t 1 = t 1 (x 1,..., x n ) = x i1 x i2...x ik t 2 = t 2 (x 1,...,x n ) = x j1 x j2...x jm Ø Þ Ñ ÐÝÖ x ik = x j1 º À t = t 1 t 2 ÓÖ t¹ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö ÔÓØ Ð µ G(t 1 ) G(t 2 ) Ö Ó ÔÓÒØ Ò Ð Ò µ ÙÒ º Þ Ð Ð ÑÑ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Ø ÐÐ ÑÞ B 2 Ð Øغ º º Ä ÑÑ º À t = t(x 1,...,x n ) Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ò Þ n Ö Ú ÐØÓÞ Ø ÓÖ t B 2 Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò i {1,...,n} Ú Ý Ú Ø Þ Ø ÖØ Ð Ø t¹ò B 2 Ð ØØ b = t B 2 ([1, 1],..., [1, 1]) c = t B 2 ([1, 1],...,[1, 1], 0, [1, 1],..., [1, 1]), ÓÐ Ñ Ó Ø Ò ¼¹Ø Þ x i Ú ÐØÓÞ ÐÝ ØØ Ø ØØ º Å Ú Ð Þ [1, 1] ÑÔÓØ Ò ¼ Þ ÖÙ Ð Ñ B 2 ¹ Ò Ý b = [1, 1] 0 = cº Ì Ø t B 2 Þ Ú ÒÝ Þ Þ Ú ÐØÓÞ Ø Ðº º¾º Ä ÑÑ Ò Ð ØØÙ Ó Ý t Þ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ò Ð Ñ Þ Ñ Ô ÖØ ¹Ô ÖÓ Ø Ò Ù Ð ØÒ ÔÓÒØÓ ÞØ ¹ ÐÝÓ ÓÒº Ú Ø Þ Ò Ñ ÙÒ Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ô ÖØ ¹Ô Ö ÓÞ Ñ ÐÝ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ Ñ Ý Þ Ý¹ Ý ÓÐÝ Ò t Þ Ø Ñ ÐÝ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö ÔÔ Ò Þ Ò Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð Ö ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝ Òº ½

19 º º ýðð Ø º ÃËÞ½ Ä Ý Ò π 1 Þ {u 1,..., u n } π 2 Ô {v 1,...,v n } й Ñ Þ Ý¹ Ý ÓÐÝ Ò Ô ÖØ Ñ ÐÝÖ π 1 = π 2 = k (1 k n) Ø Ð Ðº Å Ò Ò ÐÝ Ò π 1 π 2 Ô ÖØ ¹Ô ÖÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò t = x 1...x 1 n¹ú ÐØÓÞ ¹ Þ Ñ ÐÝÖ t B 2 Ý Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÓÒ Ò π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð Þ {u 1,..., u n } ÐÐ ØÚ {v 1,...,v n } ÐÑ ÞÓ ÓÒº ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐÐ Ø Ø n Þ Ö ÒØ Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ù º Þ ÐÐ Ø ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ø Ð Ð n = 1¹Ö t = x 1 x 1 Þ Ðº n = 2 k = 1 Ø Ò t = x 1 x 2 x 2 x 1 Þ n = 2, k = 2¹Ö Ô t = x 1 x 2 x 1 Þ Ñ Ú ÒØ Ô ÖÓ Ö Óغ º º Ä ÑÑ Ð Ô Ò Þ Ò Þ Ú Ð ØÚ ÐØÓÞ Þ º Ä Ý Ò n 3º Ì Ý Ð Ó Ý Þ ÐÐ Ø Ø Ð Ð Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò n ¹Ö ÓÐ n < nº Þ n¹ Ð Ñò ÐÑ ÞÓÒ Ñ Ò Ò k 1 k nµ Ó ÞØ ÐÝ Ô ÖØ ¹Ô ÖÖ ÑÙØ ØÙÒ Ý Þ Øº ½º Ø k = nº Å Ò Ò Ó ÞØ ÐÝ Ý Ð Ñò π 1 ¹ Ò π 2 ¹ Ò º à ÒÒÝò ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý t = x 1 x 2 x 3...x n x 1 Þ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ö Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð Ø º º Ä ÑÑ Ð Ô Ò t B 2 Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ º ¾º Ø k < n Ú Ò ÓÐÝ Ò i Ñ ÐÝÖ Ñ Þ u i Ñ v i Ò Ñ Ð ÓØ Ý Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝغ Ä Ý Ò u i, u l A π 1 v i, v j B π 2 º Ì Ö Ð u i ¹Ø π 1 ¹ Ð v i ¹Ø π 2 ¹ к Ã Ø ÓÐÝ Ò Ô ÖØ Ø ÔÙÒ π 1¹Ø ÐÐ ØÚ π 2¹Ø Ñ ÐÝ Ò k Ó ÞØ ÐÝ Ú Ò Þ {1, 2,..., i 1, i + 1,...,n} Ò Üò n 1¹ Ð Ñò ÐÑ ÞÓ ÓÒº Ð Þ Ö Ø Ý Ð Ó Ý i 1º Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Ú Ò ÓÐÝ Ò t n 1 = x 1... x 1 Þ Ñ ÐÝ (n 1)¹Ú ÐØÓÞ Ñ ÐÝÖ t B 2 n 1 Ú Ð n 1¹ Ú ÐØÓÞ ØÓÚ G(t n 1 ) ÓÑÔÓÒ Ò π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð º Å Ú Ð t B 2 n 1 Ú Ð n 1¹Ú ÐØÓÞ Þ x 1,...,x i 1, x i+1,..., x n Ú ÐØÓÞ Ñ Ò Þ Ö Ô Ð Ò t n 1 ¹ Ò Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ö Þ Þ t n 1 ¹Ò Ñ ÐÝ x r x l x j x s Ð Ú Ð Ñ ÐÝ r, s {1,..., i 1, i + 1,..., n}¹ö º Ì ÒØ t = t n 1 t r n 1 x rx i x s t s n 1 Þ Øº º º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ G(t) Ö G(t n 1 )¹ Þ Ô Ø Ø ÔÓÒØÓØ Þ u i ¹Ø v i ¹Ø ÐÐ ØÚ Ø ÐØ Þ u i v r ¹ Ø Þ u s v i ¹Ø Ø ÖØ ÐÑ Þº Å Ú Ð u l v r, u s v j E(G(t n 1 )) Ý u i u l ÓÒÐ Ò v i v j G(t) ÞÓÒÓ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ø ÖØÓÞÒ Ò Ò Ø ÓÐÝ Ò Ð Ò Þ G(t n 1 )¹ Ð ÓÑÔÓÒ Ò Ñ G(t)¹ Ò Þ Ô ÓÐ Ò º Ý t Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð Øº ½º È Ð º Ì ÒØ Þ {{u 1, u 2, u 4 }, {u 3 }} Ú Ð Ñ ÒØ {{v 1, v 4 }, {v 2, v 3 }} Ô ÖØ Ø Ñ ÐÝ Ø Ð Ø ¾º Ø ÐØ Ø Ð Ø n = 4, k = 2µ i¹ø Ú Ð ÞØ Ø Ù 4¹Ò º º Ö Ò Ð Ò Þ Þ Ò Ð Ð ÐØ Ô ÖØ ½

20 º Ö º Ó ÞØ ÐÝ Øº Ä Ø Ø Ó Ý Þ u 4 ¹ Ý Ð v 4 ¹ Ý Ð Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò Ú Ò Ô Ð ÙÐ Þ u 1 ÐÐ ØÚ v 1 Ý ÞÓÒÝ Ø Ð Ð Ø ÞÒ ÐÚ l = j = 1º À Ø Ö Ð Þ u 4 ¹ Ø v 4 ¹ Ø Ô ÖØ Ð ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý Þ Ò Ù ÓÖ Ò t n 1 = t 3 = x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 Þ Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Þ Þ º Ö Ò Ð Ø Ø Ô ÖÓ Ö Ø ÖØÓÞ º t 3 Ú Ð ¹Ú ÐØÓÞ Ý Ø ÖØ ÐÑ Þ x r x 1 x 1 x s Ð º Ö º G(t 3 ) Ö Þ Þ Ø Ú Ð ÞØ Ø Ù Þ r¹ Ø 2¹Ò s¹ Ø 3¹Ò º Ô ÖØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ t Þ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ô Ù Ý Þ Ö Ø t = t 3 t 2 3 x 2 x 4 x 3 t 3 3 = x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 2 x 4 x 3 x 3 x 2 x 1 = = x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 2 x 1. º Ö Ò t Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ô ÖÓ Ö ÓØ ØÙ Ñ º Þ º ÐÐ ØÚ º Ö Ø Þ ÓÒÐ ØÚ Ð Ð Ø Þ Ó Ý G(t) G(t 3 )¹ ÓÞ Ô Ø Ø ÔÓÒØÓØ Ø ÐØ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ G(t) Ö Ú ÒØ Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ ÓÒº ÅÓ Ø Ð Ý Ò i = 1º Ì Ö Ð u 1 ¹Ø π 1 ¹ Ð v 1 ¹ Ø π 2 ¹ к ½

21 º Ö º G(t) π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Ò k Ó ÞØ ÐÝ Ú Ò Þ n 1¹ Ð Ñò {2, 3,..., n} Ò Üò ÐÑ ÞÓ ÓÒº À Þ Ò Ù ÐØ Ú Ø Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ x 1 ÐÝ ØØ Þ x 2 Ú ÐØÓÞ Ö t n 1 = x 2...x 2 Þ Ø Ô Ù Ñ ÐÝÖ G(t n 1 ) ÓÑÔÓÒ Ò π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð º ÌÓÚ t n 1 Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ x r x l x j x s Ö Þ Þ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ r, s {2,...,n}¹Ö º Ä Ý Ò t = x 1 x s t s n 1 t n 1 t r n 1 x rx 1. G(t n 1 )¹ Þ Ø ÔÓÒØÓØ Ø ÐØ ØÙÒ Ó Ý Ñ Ô Ù G(t)¹Øº v 1 ÔÓÒØÓØ u s ¹ Ð v r ¹Ø u 1 ¹ Ý Ð Ø ØØ Þ Ý t Þ π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð º ¾º È Ð º ÁØØ Ú Ø Þ ½º Ô Ð Ò Þ Ö ÔÐ {{u 1, u 2, u 4 }, {u 3 }} ÐÐ ØÚ {{v 1, v 4 }, {v 2, v 3 }} Ô ÖØ Ø ÑÓ Ø i¹ø 1¹Ò Ú Ð ÞØ Ù º Þ u 1 ¹ Ý Ð v 1 ¹ Ý Ð Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò Ú Ò Ô Ð ÙÐ Þ u 2 ÐÐ ØÚ v 4 Ý ÞÓÒÝ Ø Ð Ð Ø ÞÒ ÐÚ l = 2, j = 4º Ì Ö Ð Þ u 1 ¹ Ø v 1 ¹ Ø Ô ÖØ Ðº Þ Ò Ù ÐØ Ú Ø x 2 ¹Ö Ð ÐÑ ÞÚ t n 1 = t 3 = x 2 x 4 x 3 x 4 x 3 x 2 Þ Ø Ô Ù º t 3 Ú Ð ¹Ú ÐØÓÞ Ý Ø ÖØ ÐÑ Þ x r x 2 x 4 x s Ð Ö Þ Þ Ø Ò Þ Ø r = s = 3º Ý Þ Ö Ø Ô ÖØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ t Þ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ô Ù t = x 1 x 3 t 3 3 t 3 t 3 3 x 3x 1 = x 1 x 3 x 3 x 2 x 2 x 4 x 3 x 4 x 3 x 2 x 2 x 4 x 3 x 3 x 1 = x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 3 x 2 x 4 x 3 x 1. à ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý t Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ñ ÓØØ Ô Ö¹ Ø Ø Ò Ù Ð ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ ÓÒº º Ø k < n ÖÑ ÐÝ 1 i n¹ö Ú Ý u i Ð ÓØ Ý Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝØ π 1 ¹ Ò Ú Ý v i Ð ÓØ Ý Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝØ π 2 ¹ Òº Å Ò π 1 Ñ Ò π 2 Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ð Ý Ò Ñ Ý Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝØ Ñ ÖØ k < n π 1 = π 2 º Ä Ý Ò u i v j ݹ Ý ÓÐÝ Ò Ð Ñ Ñ ÐÝ Ð Ð ½

22 Ø Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝ Ð Ú Ð º Å Ý ÞÞ Ó Ý Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÞÓÖ Ø Ò Ð Ð ÐØ Ø Ó Ý i 1 j 1º ÐØ Ú Þ Ö ÒØ v i u j Ý Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝØ Ð Óغ Ä Ý Ò u i, u s A π 1 v j, v l B π 2 º À Ø Ö Ð u i ¹Ø v i ¹Ø u j ¹Ø v j ¹Ø ÓÖ Þ n 2¹ Ð Ñò ÐÑ ÞÓÒ Ú ØØ π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Ò k 1 Ó ÞØ ÐÝ Ú Òº Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Ú Ò ÓÐÝ Ò t n 2 = x 1...x 1 Þ Ñ ÐÝÖ G(t n 2 ) π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð º Å ÒØ Þ Ð Þ Ò ÑÓ Ø Ø Ð ÐÙÒ t n 2 ¹ Ò x r x s x l x p Ð Ö Þ Þ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ p, r {1,...,n} \ {i, j}¹ö º Ä Ý Ò t = t n 2 t r n 2 x r x i x j x p t p n 2. G(t) Ö Ò Ý ÔÓÒØÓØ u i, u j, v i, v j µ ÖÓÑ ÐØ u p v j u j v i u i v r µ Ø ÖØ ÐÑ Þ G(t n 2 )¹ Þ Ô Øº Þ Þ v i u j Ý Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝÓ Ø Ð ÓØÒ u i u s Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò ÓÒÐ Ò v j v l º Ý G(t) π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð º º È Ð º Î Ý Þ {{u 1, u 2 }, {u 3 }, {u 4 }} {{v 1 }, {v 2 }, {v 3, v 4 }} Ô Ö¹ Ø Ø Ñ ÐÝ Ø Ð Ø º Ø ÐØ Ø Ð Ø n = 4, k = 3µº Þ u 2 v 3 ݹ Ý ÓÐÝ Ò Ð Ñ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ý Ð Ñò Ó ÞØ ÐÝ Ð Ú Ð ØÓÚ u 1 Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò Ú Ò u 2 ¹Ú Ð v 4 Ô v 3 ¹Ñ к ÞÓÒÝ Ø Ð Ð Ø ÞÒ ÐÚ i = 2 j = 3 s = 1 l = 4º v 2 ¹Ø Þ u 3 ¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ó ÞØ ÐÝÓ Ý¹ Ð Ñò º À Ø Ö Ð u 2 ¹Ø v 2 ¹Ø u 3 ¹ Ø v 3 ¹ Ø Þ Ö Ø Ô ÖØ Ð ÓÖ Þ {{u 1 }, {u 4 }} {{v 1 }, {v 4 }} Ô ÖØ Ø Ô Ù º Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Þ Ô ÖØ ¹Ô Ö ÓÞ t n 2 = t 2 = x 1 x 4 x 1 Þ Ø ÖØÓÞ º t 2 Ø ÖØ ÐÑ Þ x r x 1 x 4 x p Ð Ö Þ Þ Ø ÓÐ r = 4 p = 1º Ý Þ Ö Ø Ô ÖØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ t Þ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ô Ù t = t 2 t 4 2 x 4 x 2 x 3 x 1 t 1 2 = x 1 x 4 x 1 x 1 x 4 x 4 x 2 x 3 x 1 x 1 = = x 1 x 4 x 1 x 4 x 2 x 3 x 1. t Þ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö Ñ Ð Ð Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ ÓÒº ÅÓ Ø Ð Ø ØÙÒ B 2 Ð ÓÔÓÖØ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö º º º Ì Ø Ðº ÃËÞ½  РРp n = p n (B 2 ) B 2 Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ ¹ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Øº ÓÖ log p n 2n log n. ÞÓÒÝ Ø º º º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ p n Ñ Ý Þ ÞÓÒ t = t(x 1,...,x n ) Þ Þ Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ö Ô Ð Þ Þ x 1,...,x n µ Ú ÐØÓÞ º Ö Ú Ú ÖØ Þ ÐÝ Ò Þ Ø Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Ò Ò Ú ÞÞ º ¾¼

23 º º ýðð Ø Ð Ô Ò Ý Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ t Þ B 2 Ð ØØ G(t) Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ð t Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ Ø Ð º Ý Ð Ð n 2 B(2n) Ö Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú Ò B 2 Ð ØØ ÓÐ B(n) Ðй Þ ÑÓ Ø Ð Ð Ð º ¾º º Þ Øµº Å Ö ÞØ º º ýðð Ø Ò Ñ Ò Ò ÞÓÒÓ Ð Ñ¹ Þ Ñ Ô ÖØ ¹Ô ÖÖ Ñ ØÙÒ Ý¹ Ý Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Øº Ì Ø Ú Ø Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ô Ù n (S(n, k)) 2 p n n 2 B(2n), µ k=0 ÓÐ S(n, k) Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò ¹ Þ ÑÓ Ø Ð Ð Ð º ¾º º Þ Øµº Ò Ý¹ Þ Ø Þ ÑØ Ò Þ Ô Þ ØØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ð Ø p n ¹Ø B(n)¹Ò Ð Ú Ø Þ ÔÔ Ò p n n n (S(n, k)) 2 ( S(n, k)) 2 /(n + 1) = B(n) 2 /(n + 1). k=0 k=0 Å Ú Ð f(n) g(n) lim n a n /b n = 1¹Ø Ð Ð Ý lim n log(a n b n ) = 0º À n/ log n¹ø ÖÙÒ r ÐÝ ¾µ¹ Ò Ð Ð Ø ÔÙÒ B(n) Ðй Þ ÑÖ ÖÑ ÐÝ n¹ö lim n = lim n ( ( ( 1 n log B(n) log n ( log B(n) ( n log n + ) n+ 1 2 e n log n n 1 )) = log n n log n n 1 Ý Ú Ø Þ Ø Ô Ù ( lim log(b(n) 2 /(n + 1)) n ( 2n 2 2 n ( 2n log n + 2 n ) log log n log (n + 1) ( n + 1 ) )) log log n 0, 2 log n )) 0. ÒÒ Ø Ú Ð Ð Ð Ø ØÙÒ log p n ¹Ö ( ( lim log p n 2n log n + 2 n n log n 2n 2 ( 2 n + 1 ) )) log log n log (n + 1) 0. 2 µ ÓÞ Ó Ý Ð Ð Ø Ô ÙÒ log p n ¹Ö Ð ÐÖ Ð ÐÐ ÐÒ Ò B(2n) Ðй Þ Ñ ÐÓ Ö ØÑ٠غ Ä Ý Ò r Ý ÓÐÝ Ò Ú Ð Þ Ñ Ñ ÐÝÖ ¾½

24 r log r = 2nº ÓÖ ÖÑ ÐÝ ε > 0¹Ö Ð Ø Þ l Ý Ó Ý n > l ¹ ÓÖ r < 2n(1 + ε)/ log 2nº Ð ÞÒ ÐÚ ÞØ ¾µ¹ Ò Ú Ø Þ Ø Ô Ù ( ( ( ) 2n+ 1 )) 1 2n(1 + ε) 2 2n(1+ε) lim log B(2n) log e log 2n 2n 1 0, n 2n log 2n Ý ( ( lim log B(2n) n 2n(1 + ε) log 2n ( 2n log 2n + log (1 + ε) 2n + 1 ) + 2 ( 2n 1 2n + 1 ) )) log log 2n 0. 2 ÐÝ ØØ ØÚ log(n 2 B(2n)) = log B(2n)+2 log n log 2n = log n+log 2 Ô Ù Ó Ý ( ( ( lim log p n 2n log n + log (1 + ε) 2n + 1 ) + µ n 2 2n(1 + ε) ( 2n log 2n 2n(1 log 2) 1 )) 0. ) log log 2n + 2 log n µ Ð Ð Ò Þ µ Ð Ð Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ñ Ò Ø Ø Ò 2n log nº Ý log p n 2n log n, Þ Þ Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÖØÙÒ º Þ Ð Þ Ö Ñ ÒÝØ Ð ÞÒ ÐÚ B Þ Ô ØÖÙÑ Ö Ú Ø Þ Ð º º º Ì Ø Ðº ÃËÞ½ log F B (n) 2n log n. ÞÓÒÝ Ø º B Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ö Þ ½µ Þ Ø ÞÒ Ð Ù n ( ) n F B (n) = p k. k k=0 Å Ú Ð ( n k) < 2n Ý ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ø Ð Ð n p k < F B (n) < 2 n k=0 ¾¾ n k=0 p k

25 Ý ÒÐ ØÐ Ò º º º ýðð Ø º º Ä ÑÑ Ð Ô Ò (p k ) k=0 Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ý p n < F B (n) < 2 n np n. µ µ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ù º º log F B (n) 2n log n. Þ LN B 2 RN B 2 N B 2 Ú Ö Ø Ó Þ Ô Ø¹ ÖÙÑ Þ LN B 2 RN B 2 N B 2 Ú Ö Ø Ó Ú Þ Ð Ø º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ò Þ ¹ Ö ÔÐ Ö Ñ ÒÝ Ò Ð ÔÙк Ð Þ Ö Ò ÞÞ Ñ Ñ Ø ÑÓÒ ØÙÒ Þ Ò Ú Ö ¹ Ø Ó p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ò p n (B 2 ) Ú ÞÓÒÝ Ö Ðº º½¼º ýðð Ø º ÃËÞ Þ N 2 L 2 R 2 Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Ð Ø Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø p n (B 2 ) p n (L 2 ) = p n (R 2 ) p n (N 2 ) n 2 p n (B 2 ). ÞÓÒÝ Ø º Å Ò ÖÓÑ Ð ÓÔÓÖØ Ø Ò Ý t Þ ÐØ Ð Ò Ù ÐØ ¹ Þ Ú ÒÝ G(t) Ö ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ð Þ Ð ÐÐ ØÚ Þ ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ Ø Ð º ËÞ ÑÑ ØÖ Ó Ó Ð p n (L 2 ) = p n (R 2 )º Î Ð Ñ ÒØ B 2 < L 2 < N 2 Ý p n (B 2 ) p n (L 2 ) = p n (R 2 ) p n (N 2 )º º½º ýðð Ø ¾µ ÔÓÒØ Ð Ò Þ Ú Ú Ð Ò Ò Ð Ò Þ Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ Þ Ö ¹ Ô Ò Ú Òº B 2 Ð ÓÔÓÖØ Ø Ò G(t) Ö ÓÞ Ð Ð Comp G (t) 2 Ð Ð Ò Þ Þ Ú ÒÝ Ø ÖØÓÞ Ñ Þ N 2 Ø Ò Ð Ð n 2 Ð º Ý p n (N 2 ) n 2 p n (B 2 )º º½½º Ì Ø Ðº ÃËÞ Â Ð Ð V Þ LN B 2 RN B 2 N B 2 Ú Ö Ø Ó Ú Ð Ñ ÐÝ ¹ غ ÓÖ log F V (n) 2n log n. ÞÓÒÝ Ø º º½¼º ýðð Ø Þ Ö ÒØ ÒØ V Ú Ö Ø Ó ÖÑ ÐÝ S Ò Ö Ð Ð ÓÔÓÖØ Ö Ø Ð Ð Ó Ý p n (B 2 ) p n (S) n 2 p n (B 2 ) Ý F B (n) F V (n) n 2 F B (n). Þ Þ ÐÓ Ö ØÑÙ Ø Ú Ú Ð ÐÑ ÞÚ log F B (n) 2n log n Þ ¹ Ø º º Ì Ø Ð Ð Ô Ù Ó Ý logf V (n) 2n log n logf B(n) 2n log n 1 logf V(n) 2n log n logf B(n) 2n log n + 1 n 1. ¾

26 Ý Ø Ð Ð F V (n) 2n log n Þ º º º Þ A Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ º¾º Þ Ø Ò Ñ ØÙ Ó Ý Ò Ð Ø Ý t Þ Þ Ý G(t) Ö ¹ ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ Ö Ò ÐÒ º À Ú Ò ÓÐÝ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ø G Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓÒ Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Þ ÐØ Ò Ñ Ú Ø Ð Ñ Ó Ý ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Öµ ÓÖ ÞØ Ø Ø ÙÐ Ö¹ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º Ú Ø Þ Ð ÑÑ º º ýðð Ø Ú Ø ÞÑ ÒÝ º½¾º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò G Ý n ÔÓÒØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö º À G Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Ø ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò n 2 Ó Ò Ñ Ú Ú Ð Ò Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ò Ù Ð ÞÓÒÓ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Óغ ÞÓÒÝ Ø º  РРv 1,...,v n G ÔÓÒØ Øº Å Ú Ð G¹ Ò Ú Ò Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Þ ÖØ Ú Ò ÓÐÝ Ò Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Ñ v j ¹Ú Ð Þ p 1 = v j...v j ÐÐ ØÚ Ú Ò v j ¹ Ð v i ¹ Ñ Ò Ø p 2 = v j...v i º Ý p 1 p 2 Þ òþ Ö p = x j...x i ¹Ö Ø Ð ÐÒ Ú Ø Þ µ Ð G Þ Ð Ø Ñ Ú Ð Þ Ñ Ö p 1 ¹Ö Ø Ð Ð µ v j ¹Ú Ð Þ µ v i ¹Ú Ð Ú Þ º Ý Ñ Ð Ð t = x j...x i Þ Ö Ø Ð ÐÒ µ G(t) = G µ x j ¹Ú Ð Þ µ x i ¹Ú Ð Ú Þ º ÞØ ÓÒ ØÖÙ Ø Ñ Ñ Ø Ð Ø ÖÑ ÐÝ 1 i, j n¹ö Ý n 2 Ó Ð Ò Þ Þ Ò Ù Ð G¹Øº Å Ö ÞØ º º ýðð Ø Þ Ö ÒØ Þ Þ ÓÐÝ Ò Þ Ø Ð ÓÖÓÐØÙ ÞÞ Ð Ñ G¹Ø Ò Ù Ð º º½ º ýðð Ø º ÃËÞ¾  РРD(n) ÞÓÒ n ÔÓÒØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Þ Ñ Ø Ñ ÐÝ Ö Ò Ð ÞÒ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Ú Ðº ÓÖ D(n) = o(2 n2 )º ¾

27 ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò G Ý n ÔÓÒØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö º À G Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Ø ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò S V (G) ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ Ò Ñ Ú Þ Ø Ð S¹ Ð V (G)\S¹ º Ä Ý Ò S ÔÓÒØ Ò Þ Ñ kº ÓÖ 2 k2 Ó Ø Þ ¹ Ö Ð Ò Ð Ð µ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ð Ø S¹ Ò 2 (n k)2 Ó Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ú Ò V (G) \ S¹ Ò 2 (n k)k Ð Ø Ú Ò V (G) \ S¹ Ð S¹ Ñ Ò Ð Ö º Ý 2 k2 2 (n k)2 2 (n k)k Ö ÓÐÝ Ò Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ú Ò Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ S¹ Ð Ò ÙРРغ Þ S ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ð Ñ Ø ( n k) Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ù Ñ º k = 1¹Ö k = n 1¹Ö Ô Ù Ó Ý ( n 1 ÌÓÚ ) (n 1)2 2 (n 1)1 + ( n n 1) 2 (n 1) 2 2 (1)2 2 (n 1)1 = = 2 n2 n2 n+1 n2 n2 n+4. ( ) n 2 n ¹ Ð Ú Ø Þ Ó Ý k ( ) n 2 k2 2 (n k)2 2 (n k)k 2 n 2 k2 2 (n k)2 2 (n k)k = 2 n2 +n nk+k 2. k 1 < k < n 1 Ø Ò Ô 2 n2 +n nk+k 2 2 n2 n+4.  РРN(n) ÞÓÒ n ÔÓÒØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Þ Ñ Ø Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ¹ Ò Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Øº ÓÖ n 1 ( ) n N(n) 2 k2 2 (n k)2 2 (n k)k. k 1 Þ Ð Þ Ð Ø Ð ÐÑ ÞÚ Ú Ø Þ Ð ÓÖÐ ØÓØ Ô Ù N(n)¹Ö N(n) n2 n2 n+4 + (n 2)2 n2 n+4 (2n 2)2 n2 n+4. Å Ú Ð N(n) + D(n) = 2 n2 Ý D(n) = o(2 n2 )º º½ º Ì Ø Ðº ÃËÞ¾ F A (n) n 2 2 n2. ÞÓÒÝ Ø º º º ýðð Ø Þ Ö ÒØ Þ A 2 Ð ØØ Þ Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó ÔÓÒØÔ ÖÓ Ñ Ð ÐÒ ÝÑ Ò Ý F A (n) n 2 2 n2 Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð Ðº º½¾º Ä ÑÑ Ð º½ º ýðð Ø Ð Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Ö Ô Ù Ó Ý p n (A 2 ) = n 2 o(2 n2 )º Å Ú Ð p n (A 2 ) F A (n) Ý F A (n) = o(2 n2 +2log n ). ¾

28 º º ÌÓÚ Ð B 2 ¹Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ö Ø Ó Þ ¹ Ô ØÖÙÑ Ö B LN B 2 RN B 2 N B 2 Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ö ÓØØ Ð Þ Ð Ñ ÓÐÝ Ò ÔÓÒØÓ Ñ ÒØ Ñ Ø Þ F A (n) Ð Ñ Þ ÑÖ ØÙÒ º Å Þ ÙØ Ø Ò Ð Ò Þ ÑÔØÓØ Ù Þ Ð ÖÓÑ Ú Ö Ø Ø Ò Þ Ô ØÖÙÑ ÐÓ Ö ØÑÙ Ö ØÙÒ Þ ÑÔØÓØ Øº Ê ÙÐ Ñ Ò ¹ ÖÓÑ Ú Ö Ø Ö Ù Ý Ò ÞØ Þ Ð Ø ÖØ Ø ÔØÙ º ÞÓÒ Ò Ø Ð ÐÒ Ú Ø Þ B 2 < R 2 < N 2 B 2 < L 2 < N 2, ØÓÚ B < RN B 2 < N B 2 B < LN B 2 < N B 2, ÓÐ Þ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ð º Þ ÖØ p n ¹ ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ô ØÖÙÑÓ Þ ØØ Ú Ð Ý ÒРع Ð Ò ÐÐ ÒÒ Ø ÖÑ Þ Ø Ò p n (B 2 ) < p n (L 2 ) = p n (R 2 ) < p n (N 2 ), F B (n) < F LN B2 (n) = F RN B2 (n) < F N B2 (n). º½¼º ýðð Ø Ð Ô Ò Ô p n (N 2 ) < n 2 p n (B 2 ) F N B2 (n) < n 2 F B (n) Ø Ð Ðº Ú Ø Þ Ð ÑÑ º º ýðð Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò Ø ÒØ Ø º º½ º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò π 1 Þ {u 1,...,u n } π 2 Ô {v 1,...,v n } ÐÑ Þ Ý¹ Ý ÓÐÝ Ò Ô ÖØ Ñ ÐÝÖ π 1 = π 2 = k (1 k n) Ø Ð Ð Ð Ý Ò 1 i, j nº Å Ò Ò ÐÝ Ò π 1 π 2 Ô ÖØ ¹Ô ÖÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò t = x i...x j n¹ú ÐØÓÞ Þ Ñ ÐÝÖ t B 2 Ý Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ ¹ Ú ÒÝ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÓÒ Ò π 1 π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð Þ {u 1,...,u n } ÐÐ ØÚ {v 1,..., v n } ÐÑ ÞÓ ÓÒº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò t = x 1...x 1 ÓÐÝ Ò n¹ú ÐØÓÞ Þ Ñ ÐÝ π 1 ¹ Ø π 2 ¹Ø Ò Ù Ð t¹ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö Ñ Ð Ð ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝ Òº ÁÐÝ Ò Þ º º ýðð Ø Ð Ô Ò Ð Ø Þ º ¾º¾º Þ Ø Ð Ò Ú Þ Ø ØØ Ð Ð Ø ÞÒ ÐÚ Ð Ý Ò t 1 = t i t t j º Ý t 1 Þ Ð Ú ÐØÓÞ x i Þ ÙØÓÐ Ô x j º Î Ð Ñ ÒØ t 1 ¹ Þ Ø ÖØÓÞ G(t 1 ) Ô ÖÓ Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ G(t) Þ Ð Ø Ñ Ú Ð t Ö Þ Þ t 1 ¹ Òº ÌÓÚ t 1 t Ö Þ Þ Ð ¾

29 Ô Ð Ð Ý Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÜØÖ Ð Ø Ñ ÜØÖ ÔÓÒØÓ Øº Ì Ø Ø Ð Ð G(t 1 ) = G(t) Ý ÒÐ Ý º º ýðð Ø Ð Ô Ò Ð ÑÑ Ø Ð Ðº Ð Þ Ö B 2 Ð ÓÔÓÖØ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö ÙÒ Þ Ò Ð Ó Ð Ð ÓÖÐ ØÓغ º½ º ýðð Ø º ÃËÞ B 2 Ð ÓÔÓÖØ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò ¹ Ø Ð ÐÒ n n 1 n 1 k 2 S(n, k) n(k 1)S(n 1, k) 2 + n(n 1)S(n 2, k) 2 p n (B 2 ) n n 1 k 2 k!s(n, k) n(k 1)(k 1)!S(n 1, k)s(n, k)+ n 1 + n(n 1)k!S(n 1, k) 2. ÞÓÒÝ Ø º º º ýðð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ô ÖØ ¹Ô Ö ÓÞ Ñ ÐÝ Ñ Ö Ø Ñ Ý Þ ÑÙØ ØØÙÒ ÓÐÝ Ò Þ Ø Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Ñ ¹ Ð Ð Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð G(t)¹Òº ÞØ ÞÒ ÐØÙ Ð º º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ ¹ Ø Ò Ð Ý ÔØÙ µ ÓÖÑÙÐ Ò Þ Ð Ð Øº Þ ÞÓÒ Ò Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ð ÔÓÒØÓ Ð Ð Ø Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Ö º Ó Ý º¾º Ä ÑÑ Ò Ñ Ö Ð ØØÙ Ø Ô ÖØ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ ÐØ Ö¹ Ø Þ Ó Ý Ð Ð ½¹ Ý Ð Ñ Ö ÐÝ Ñ ÓÒ Ø Ø ¹ Þ Þ ÙØ ØÙÒ º ÌÓÚ Ñ Ò Ò Ô ÖØ ¹Ô Ö ÓÞ ØÐ Ø Þ Ö Ò Ð Ø º À t = t(x 1, x 2,...,x n ) = x i1 x i2... x ik (i 1, i 2,...,i k {1, 2,..., n}) ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ð Ð Ý Þ Ö Ñ Ò Þ n Ú ÐØÓÞ Ø Ú Ð Ñ ÒØ G(t) t Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ô ÖÓ Ö Þ {u 1, u 2,...,u n } {v 1, v 2,...,v n } ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ Ð ÓÖ Ó Ý º¾º Ä ÑÑ Ò Ð ØØÙ Ð Ð Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ð Ø G(t)¹ Ò Þ u i1 Ú Ý v ik º Ã Ð Ò ÞØ Ò Ñ ÖÓÑ Ø Ø Þ Ö ÒØ Ó Ý ¼ ½ Ú Ý ¾ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Ò G(t)¹ Ò Þ Ó Ö Ò Ö Ò Þ ÐÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ð ÖÓÑ Þ Þ Øº ½º Ø G(t)¹Ò Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ º Þ Þ Þ Ø Ñ ÐÝ Ø º º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Ð ÞÒ ÐØÙÒ Þ Ð Ð Þ º º ýðð Ø Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ú Ý ØØ Ø Ô ÖØ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ Ñ Ý Þ º Þ ÓØØ Þ Ö ÔÐ ÓÒ ØÖÙ Ò Ò Ñ Ñ Ö Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒغ Ò ÙÐ Þ Ò Ò x 2 1¹ Ò Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Þ Ò Ù Ð Ô ¹ Ò Ð Ñ Ð Ø Þ ØØ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Þ Þ Ú ÐØÓÞ Ø Ñ Ò Ø Ñ ¾

30 Ú ÐØÓÞ Þ Ø ØØ º Ì Ø Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ G(t)¹ Ò Þ {u 1,...,u n } {v 1,...,v n } ÐÑ ÞÓ ÓÒ Ø Ý ÓÖÑ Ñ Ö Øò Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð Ö º Þ Ð Ð Ð Ø Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ô Ù º º½ º Ä ÑÑ Ð Ô¹ Ò Þ {u 1,...,u n } {v 1,...,v n } ÐÑ ÞÓ Ø Ø Ø Þ Ð k¹ Ð Ñò π 1, π 2 Ô ÖØ ÓÞ ÐÐ ØÚ Þ {1, 2,..., n} ÐÑ Þ ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ñ Þ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Þ Ñ ÐÝ π 1, π 2 Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð Ñ Ð Ð Ú ÐØÓÞ Ú Ð Þ Ú Þ º Þ n¹ Ð Ñò ÐÑ Þ k¹ Ð Ñò Ô ÖØ Ò Þ Ñ S(n, k) Ð ¾º º Þ Øµ Ý Ñ Ð Ð Ô ÖØ ¹Ô ÖÓ Þ Ñ S(n, k) 2 Þ Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ Ô ÖØ ÖÑ ÐÝ Ó ÞØ ÐÝ Ð Ú Ð ÞØ Ø º º½ º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ò ÐÝ Ò ØÙÐ ÓÒ π 1, π 2 Ô ÖØ ¹ Ú ÐØÓÞ Ô Ö ÓÞ Ú Ò Ð ¹ Ð Ý t Þ Ý Þ ½º Ø Þ Ø ÖØÓÞ Þ Þ Ñ Ð Ð k 2 S(n, k) 2 º º º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Ð Þ 2n¹ Ð Ñò ÐÑ Þ Ô ÖØ ¹ Ò Þ Ñ Ø B(2n)µ ÞÒ ÐØÙ ÒÒ Ð Ó Ð Ø º Î Þ Ð Ù Ñ Ó Ý Ð Ð ÒÝ ÓÐÝ Ò Þ Ú Ò Ñ ÐÝ π 1, π 2 Ô ÖØ Ø Ò¹ Ù Ð º Ä Ý Ò π 1 = π 2 = kº Ö Ð Ý Ô ÖÓ Ø Ø Ø ÖÓÞÒ Ñ π 1 π 2 Ó ÞØ ÐÝ Þغ Þ Ð ÙØÓÐ ÐÝÖ k Ó ÞØ ÐÝ Ö Ð Øº Ô ÖÓ Ø π 1 π 2 Ó ÞØ ÐÝ ÞØ Ô k! Ð ÔÔ Ò Ú Ð Ø Ø Ñ º Þ Ð Ø Þ Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ k 2 k!s(n, k) 2 Þ Ø ÖØÓÞ º ¾º Ø G(t)¹Ò Ý ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Òº t = t(x 1, x 2,...,x n ) = x i1 x i2...x ik (i 1, i 2,...,i k {1, 2,..., n}) ¹ Þ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ö Ò Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Ý u i1 Ú Ý v ik º Þ ÑÑ ØÖ Ñ ØØ Ð Þ Ý Ø Ø Ú Þ ÐÒ Þ Ò t Þ Þ Ø ÖØÓÞ G(t) Ö Ò u i1 Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ÓÖ Ú ÐØÓÞ ÓÖ ØÓØØ ÓÖÖ Ò Ú Ð ÔÓØØ x ik...x i1 Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ò v ik Ð Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ ÓÖ ØÚ º Ì Ý Ð Ó Ý u i1 Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ý Þ x i1 Ð Ú ÐØÓÞ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö ÓÖ ÙÐ Ð Þ Òº À Þ Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ð Ú Ù Þ Ð ÓÖ Þ Ð Ð Ø Þ Ð Þ Ø Þ ÓÒÐ Ò Ô Ù ÑÓ Ø n 1¹ Ú ÐØÓÞ Ò ÐÐ Þ Ø Ø ÒØ Ò ÐÐ ØÚ Þ Ð Ú ÐØÓÞ Ø n Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ù Ñ º Ð Ð Ò Ð Þ n 1 ÐÐ ØÚ Þ n¹ Ð Ñò ÐÑ ÞÓÒ ÐÐ Ø ÒØ Ò k Ó ÞØ ÐÝ Ô ÖØ Øº Þ Ó ÞØ ÐÝÓ Þ ØØ Ô ÖÓ Ø (k 1)! Ð ÔÔ Ò Ú Ð Ø Ø Ñ Ò Þ Ø Òº º Ø G(t)¹Ò Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Òº Ò Þ Ø Ò Ñ Ò Þ u i1 Ñ Ò v ik ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ G(t) Ô ÖÓ Ö ¹ Òº Ì Ø Ñ Ò Þ Ð Ñ Ò Þ ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Þ Ö Ô Ð Þ Ò Ý Þ Ø n(n 1) Ð ÔÔ Ò Ð Ø Ñ Ú Ð ÞØ Ò º Þ Ð Ð Ò Ð Ñ Ñ Ö Ø n 2 Ú ÐØÓÞ Ð ÐÐ Þ Þ Ñ Ø Ð º Ð ÓÖÐ ØÒ Ð Ô Þ n 1 ÔÓÒØ k Ó ÞØ ÐÝ Ô ÖØ Ò Þ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒ º Ý Ñ Ô Ù ÖÑ Þ Þ Ø Þ Ð ÐÐ ØÚ Ð Ð Ö º ¾

31 º½ º ýðð Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ð ÞÒ ÐÚ L 2 R 2 Þ N 2 Ð ÓÔÓÖØÓ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö Ú Ø Þ Ð Ð Ð Ø Ô Ù º º½ º ýðð Ø º ÃËÞ Þ L 2 R 2 Þ N 2 Ð ÓÔÓÖØÓ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð ÐÒ n n 1 n 1 kns(n, k) 2 + n(k 1)S(n 1, k) 2 + n(n 1)S(n 1, k) 2 + n 1 + n 1 + n(n 1)S(n 2, k) 2 p n (L 2 ) = p n (R 2 ) n 1 n(k 1)(k 1)!S(n 1, k)s(n, k)+ n knk!s(n, k) 2 + n(n 1)(k 1)!S(n 1, k)s(n, k)+ n 1 + n(n 1)k!S(n 1, k) 2 ; n n 1 n 1 n 2 S(n, k) n(n 1)S(n 1, k) 2 + n(n 1)S(n 2, k) 2 p n (N 2 ) n n 1 n 2 k!s(n, k) n(n 1)(k 1)!S(n 1, k)s(n, k)+ n 1 + n(n 1)k!S(n 1, k) 2. ÞÓÒÝ Ø º º½ º ýðð Ø Ò B 2 p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö ÓØØ Ð Ø Ð ÒÒÝ Ò Ð Ò ÞÒ Þ ÐÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ó Ý Þ L 2 R 2 Þ N 2 Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Þ Ú Ú Ð Ò Ò Ð Þ Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓ¹ Þ Ñ Ú Ð ÞØ Ò Þ Ö Ô Ú Òº Ð Ó Ý Þ Þ Þ Ò Ð Ñ Ý ØØ Ø Ø ÔÙÒ º Å Ú Ð Þ L 2 Þ R 2 Ð ÓÔÓÖØÓ Ù Ð Ò ÞÓÑÓÖ p n (L 2 ) = p n (R 2 ) Ý ÒÐ Ø Ð Ð Ý Ð Þ L 2 Ð Ó¹ ÔÓÖØÓØ Ú Þ ÐÒ º Ä Ý Ò t = t(x 1, x 2,..., x n ) = x i1 x i2...x ik (i 1, i 2,..., i k {1, 2,..., n}) t Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ð Ð Ý Þ Ö Ñ Ò Þ n Ú ÐØÓÞ Øº Î Ð ¹ Ñ ÒØ Ð Ý Ò G(t) t Þ Þ Ø ÖØÓÞ Ô ÖÓ Ö Þ {u 1, u 2,...,u n } {v 1, v 2,...,v n } ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ Ðº º¾º Ä ÑÑ Ð Ô Ò Þ u i1 v ik ÔÓÒ¹ ØÓ Ð ØÒ ÞÓÐ ÐØ G(t) Ö Òº À ÓÒÐ Ò Þ Ð Þ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ ØØ Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ð Ô Ò Ú Þ Ð Ù Þ Ø Øº ½º Ø G(t)¹Ò Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ º ¾

32 º½ º ýðð Ø ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ô Ø ÒÒÝ Ð Ò Ó Ý Þ L 2 Ð ÓÔÓÖØÒ Ð Þ Ð Ú ÐØÓÞ Ø n Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ù Ñ Þ ÙØÓÐ Ø Ô k Ð ÔÔ Òº Þ N 2 Ð ÓÔÓÖØ Ø Ò Ô Ñ Ò Þ Ð Ñ Ò Þ ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ n Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø º Ý Ô Ù Þ Ð Ð Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ð Þ Þ Øº ¾º Ø G(t)¹Ò Ý ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Òº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ý ÔÓÒØ ÞÓÐ ÐØ Ö Ò ÓÖ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Ú ÐØÓÞ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Þ Ö Ô Ð Þ Òº Å Ú Ð Þ L 2 Ð ÓÔÓÖØ Ø Ò Þ Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ Þ Ö Ô Ò Ñ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Ø Ø ÐÐ Ñ Ð Ò ÞØ ØÒ Ò º µ Ø Þ u i1 Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒغ ÓÖ Þ Ð Ú ÐØÓÞ n Ð ÔÔ Ò Ú Ð Þع Ø Ñ Ñ Þ ÙØÓÐ k 1 Ð ÔÔ Ò Ý Ô Ù Ñ Ó Þ Þ Ø Þ L 2 Ð ÓÔÓÖØ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ò Ð Ð Ð Ò Ðº µ Ø v ik Þ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒغ Þ Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ n(n 1) Ð Ô¹ Ô Ò Ú Ð ÞØ Ø Ñ º Þ ÖÑ Þ Þ Ø p n (L 2 ) Ð Ð Ð Òº Þ N 2 Ð ÓÔÓÖØÒ Ð ØÐ Ò Ð ØØ Ð Ó Ý Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Þ ÞÓÐ ÐØ n(n 1) Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ñ Þ Ð ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ º º Ø G(t)¹Ò Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Òº Å Ò Þ Ð Ñ Ò Þ ÙØÓÐ Ú ÐØÓÞ ÔÓÒØÓ Ò Ý Þ Ö Þ Ö Ô Ð Þ Ò Ø Ø n(n 1) Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ñ º Ý B 2 Ð ÓÔÓÖØ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ú Ð Ñ Ý Þ Ð Ø ÔÙÒ ÖÖ Þ ØÖ Þ Þ ÙØÓÐ Þ Þ ¹ غ Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø Å Þ Ò Ñ Å Ý Ä ÞÐ Ò Ó Ý Þ Ð Ö Ð Ö ÒÝ ØÓØØ ¹ Ý ÐÑ Ñ Ø Ú Ð Ñ ÒØ ËÞ Ò Ø Ñ Ú Ð ÞØ Ò ÙØ Ø Ò ÒÝ ØÓØØ Ø Øº ÌÓÚ Þ Ò Ñ ËÞ Ò Ö Å Ö Ò Ó Ý ÓÐÝ Ò Ó Ø Ø ÒÙÐ ØØ Ñ Ø Ð Ð ÓÔÓÖØÓ Ö Ðº À Ú Ø ÓÞ Ó ½ º ÖÑ Ò Ò Ø Ð Ö Û Ø Ð Ö Ö Ô ØÖ Ð Ö ÍÒ Ú Ö Ð ¾ ½ µ ½ ½ º ¾ º ÖÑ Ò Ö Ô ØÖ Ô Ò Ø Ñ ÓÒ ÖÙ Ò ØÝÔ ÁÒغ º й Ö ÓÑÔÙغ ½ µ ½ ¾º ¼

33 ʽ ˺ ÖÚ Ò ÓÚ Áº ÓÐ Ò Æº ÊÙ Ù Ì ÖÑ Ò ÓÒ ØÙÖ ØÖÙ ÓÖ Ò Ø ÙÖ Ø Ú Ñ ÖÓÙÔ Ò Ø Ö Ò Ø ÓÒ Ë Ñ ÖÓÙÔ ÓÖÙÑ ¾ ¾¼¼½µ ½¼ ½½ º ʾ ˺ ÖÚ Ò ÓÚ Áº ÓÐ Ò Æº ÊÙ Ù Ò Ø Ñ ÖÓÙÔ Û Ø Û Ø ÖÑ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Âº ÈÙÖ ÔÔк Ð Ö ½ ¾¼¼½µ ¾¼ ¾½ º Ê Ëº ÖÚ Ò ÓÚ Æº ÊÙ Ù ÄÓ ¹Ð Ò Ö Ú Ö Ø Ó Ñ ÖÓÙÔ Ð Ö ÍÒ Ú Ö Ð ½ µ ¼ º Ó Áº ÓÐ Ò ÇÒ Ö Ô ØÖ Ó Ò Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ö ÙÐ Ö Ñ ÖÓÙÔ Ò ÑÓÒÓ Âº ÈÙÖ ÔÔк Ð Ö Ù Ñ ØØ º Ö ÄºÊº Ö Ñ ÇÒ Ò Ø 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ Ò Ö Ô Ø ÓÖÝ Å Ø º ËÝ Øº Ì ÓÖÝ ¾ ½ µ ¾ º À º À Ñ Ò Ì ÓÖ Ö Ó Ö Ð Ø Ú ÐÝ Ö ÖÓÙÔ ÈÖÓº ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ º Ì ÓÖÝ Ó ÖÓÙÔ Ò ÖÖ ½ ÓÖ ÓÒ Ò Ö ÈÙ º ½ ÔÔº ½ ½ º ÀÅ º ÀÓ Ý Êº Åà ÒÞ Ì ØÖÙØÙÖ Ó Ò Ø Ð Ö ÓÒØ ÑÔÓ¹ Ö ÖÝ Å Ø Ñ Ø ÒÓº Ñ Öº Å Ø º ËÓº ÈÖÓÚ Ò ½ º ÀÓÙ ºÀº ÀÓÙ ØÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ Ò Ø Ö Ó Ø Ö Ô Ò ÖÓÙÔ Ë Ñ ÖÓÙÔ ÓÖÙÑ ½ µ ½ º ÀÓÛ Âº ź ÀÓÛ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ñ ÖÓÙÔ Ø ÓÖÝ ÄÓÒ ÓÒ Å Ø º ËÓº ÅÓÒÓ Ö Ô Æ Û Ë Ö ½¾ Ì Ð Ö Ò ÓÒ ÈÖ ÇÜ ÓÖ ½ º ÃËÞ½ ú Ã Ø ¹ÍÖ Ò º ËÞ Ö Ô ØÖÙÑ Ó Ø Ú Ö ØÝ Ò Ö Ø Ý Ø Ú Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ö Ò Ø Ñ ÖÓÙÔ Ë Ñ ÖÓÙÔ ÓÖÙÑ ¾¼¼ µ ¾ ¾ ¼º ÃËÞ¾ ú Ã Ø ¹ÍÖ Ò º ËÞ Ö Ô ØÖÙÑ Ó Ø Ú Ö ØÝ Ò Ö Ø Ý Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÑÔÐ Ø ÐÝ 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ Ð ÓÛ Å Ø º º ¾¼¼ µ º ÃËÞ Ãº Ã Ø ¹ÍÖ Ò º ËÞ Ì p n ÕÙ Ò Ó Ñ ÖÓÙÔ Ú Ö Ø Ò Ö Ø Ý ÓÑ Ò ØÓÖ Ð 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ Ð Ö ÍÒ Ú Ö Ð ¾¼¼ µ º Å º Å Ú ØÞ Ý ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÑÔÐ Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÝ 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ ÒØ Ø Ë Ñ ÖÓÙÔ ÓÖÙÑ ½ µ ¾ ¾ º ½

34 ÅÏ Äº ÅÓ Ö Åº ÏÝÑ Ò Ò ÝÑÔØÓØ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÐйÒÙÑ Ö ÌÖ Ò º ÊÓÝ Ð ËÓº Òº ½ µ º Å٠κ ĺ ÅÙÖ Ì Ü Ø Ò Ó Ò Ø Ó ÒØ Ø Ò ÓØ Ö ÔÖÓ¹ Ô Ö Ø Ó ÐÑÓ Ø ÐÐ Ò Ø Ð Ö Ò ÊÙ Òµ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ã ÖÒ Ø ÆÓº ¼ ½ µ º Æ Èº Æ ÙÑ ÒÒ ËÓÑ Ò ÓÑÔÓ Ð Ú Ö Ø Ó ÖÓÙÔ ÉÙ Öغ º Å Ø º ÇÜ ÓÖ ½ ½ µ ¼º ÈÏ º ÈÐÙ Ö Âº ÏÓÓ Ì Ö Ô ØÖ Ó Ú Ö Ø Ò Ö Ø Ý Ñ¹ ÔÓØ ÒØ Ñ ÖÓÙÔ Ð Ö Öº Å Ø º ÆÓº ¾ ¾¼¼ µ ½¼¼ ÈËÞ º ÈÐÙ Ö º ËÞ Ì Ö Ô ØÖÙÑ Ó Ø Ú Ö ØÝ Ó Ò Ë ¹ Ñ ÖÓÙÔ ÓÖÙÑ ¾¼¼ µ º ÈÐ º ÈÐÙ Ö ËÞ Ú Þ Ñ ÑÔÓØ Ò Ð ÓÔÓÖØÓ Ò Ã Ø Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Å Øº Ä ÔÓ ÆºËºµ ½ ¾¼¼ µ º Ê º Ê ÇÒ Ñ ¹ ÖÓÙÔ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ñ Ö È ÐÓ ÓÔ Ð ËÓ ØÝ ½ ¼µ ¼¼º Ê Æº Ê ÐÐÝ Î Ö Ø Ò Ö Ø Ý ÓÑÔÐ Ø ÐÝ 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ Ñ ¹ ÒÙ Ö Ôغ Ë Ëº Ë ÅÓÒÓ Û Ø Ù ¹ÐÓ ¹ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ô ØÖ Âº ÈÙÖ ÔÔк й Ö ¾½¾ ¾¼¼ µ ½½ ¾ ½½ º ËËÞ½ ˺ Ë º ËÞ Ð Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚÓÐÚ Ò Ö Ô Ó¹ ÑÓÑÓÖÔ Ñ Ñ ÖÓÙÔ Ò Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Âº ÓÑÔÐ Ü ØÝ ½ ¾¼¼ µ ½ ½ ¼º ËËÞ¾ ˺ Ë º ËÞ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ò ÒØ Ø Ò 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ Ò Ñ ØÖ Ü Ñ ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Ò Ø Ð Ë Ñ ÖÓÙÔ ÓÖÙÑ ¾ ¾¼¼ µ ¾¼ ¾¾¾º ÌÖ º ƺ ÌÖ ØÑ Ò Á ÒØ Ø Ó Ú ¹ Ð Ñ ÒØ 0¹ ÑÔÐ Ñ ÖÓÙÔ Ë Ñ ¹ ÖÓÙÔ ÓÖÙÑ ½ µ º ¾

35 º Þ Ó Ð Ð Ä Ý Ò A Ý k¹ Ð Ñ Þ Ñ Ú Ð Ö V Ð Ð Þ A ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú ¹ Ö Ø Øº Á Ñ ÖØ Ó Ý Þ n¹ Ð Ñ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ V¹ Ð Þ Ð Ö Ñ Ö Ø F V (n) Ð Ð k kn º À k 2 ÓÖ F V (n) Ð Ð nº V Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ò F V (n) n = 0, 1, 2,... ÓÖÓÞ ØÓØ ÖØ º È Ð ÙÐ ÓÓÐ ¹ Ð Ö Ú Ö Ø Ò Þ Ô ØÖÙÑ Ò Ý F V (n) = 2 2n º ʺ Ź à ÒÞ ÓÒ ÖÙ Ò ÞØÖ ÙØ Ú Ú Ö Ø Ó Ö ÞÓÐØ Ó Ý Þ Ô Ø¹ ÖÙÑ Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ½¾º ÀÅ µº ÞÓÒ Ò Þ ÓØØ ÓÖÐ ØÓ Þ ØØ Ñ Ð Ø Ø Ø Þ Ð Þ Ô ØÖÙÑ ÖÖ Ð Þ ÐÒ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Þ Ø Ø Ð º Î Ò Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ó Ò Ð Ý Ö Ò ÞÓÖÓ Ô ÓÐ Ø Ú Ò Ò Ö Ð Ð Ö ØÖÙ Ø Ö Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Þ Øغ º À Ñ Ò À Ⱥ Æ ÙÑ ÒÒ Æ ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý G Ú ÓÔÓÖØ ÓÖ G ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Ò Þ n Ð Ñ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ö Ð Ø Ú Ò Þ ÓÔÓÖØ Ñ Ö Ø ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÜÔÓÒ Ò Ð n¹ Ò G Ò ÐÔÓØ Ò Ý ÒØ Ô ÙÔÐ ¹ ÜÔÓÒ Ò Ð º Ý Ð Ö p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ò Þ Ð Ö Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ ¹ Ú ÒÝ Þ Ñ Ò ÓÖÓÞ Ø Ø ÖØ º ʽ Ê Ò Ð ÖØ Þ Þ ÓÐÝ Ò Ú Ð ÓÔÓÖØÓØ Ñ ÐÝ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö Ú Ò ÔÓÐ ÒÓÑ ÓÖÐ Ø Þ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò k ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ ÐÝÖ p n n k º ʾ ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ñ Ø ÓÖÐ ØÓ p n ¹ ÓÖÓÞ ØØ Ð Ö Ò Ð Þ Ð ÓÔÓÖØÓ Ø Ð Ð ÓÓÐ ¹ ÓÔÓÖØÓ Ö Þ ò Ø Ò ÐÔÓØ Ò Ú Ø Òغ Ð ÓÔÓÖØ Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ö Ð Ò ÝÓÒ Ú Ø Ð Ø ØÙ Ò º ËÞ Þ ÖÞ Þ Ø Ð Ð ÓÔÓÖØÓ Þ Ô ØÖÙ¹ Ñ Ò Þ ÞØ Ñ Ø Ù Ú Þ Ð Ø Ø Þ ÖØ Þ Þ Ø Þ Ö Ñ ÒÝ Ø Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÞ º Ó Ý Ú Ý Þ Öò ÓÔÓÖØÓ Ø ÒØ Ø Ú ÓÔÓÖØÓ Ô Ø Ú Ò Ý Ú Ð ÓÔÓÖØÓ Ð Ô Ú Ú Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ º ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ú Ö Ø Ø Ò Ö ÐÒ Þ Ò Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Ö ÙÒ Ð Øº Î Þ Ð Ø Ò ÓÖ Ò Ú Ø Þ Ñ Þ Ö Ø Ð ÐÑ ÞÞÙ º ÓÑ Ò ØÓ¹ Ö Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ê ¹Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ð Ð ÓÔÓÖØÓ Ð Ñ Ø Ð ÑÔ ÖÓ ÒØ Ö ÞÓÐ º Þ Ò Ó ÓÐ Ó Ý Þ ÐÝ Ò Ð Ö ¹ Ð ØØ Þ Ø Ò Ð ØÙ Ù Ð ÐÑ ÞÒ Ô ÖÓ Ö Ó Øº Ô ÖÓ Ö Ó Þ ÓÑÔÓÒ Ò ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝÓ ÓÒ Ô ÖØ Ø Ò Ù ÐÒ º Ô ÖØ ¹ Þ Ñ Ø ÐÚ ÒÙ Ð Ø Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ø Ð Ñò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ö Ò Ø¹ Ð ÓÔÓÖØ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ö º ÓÑ Ò ¹ ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú Ö Ø Þ Ð Ý Ø Ò Ð Þ Öò Þ Þ Ô ÖÓ Ö Ó ÐÝ ØØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Ø Ö Ò ÐÒ º ÓÖ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó ÓÒ Ú ØØ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Þ Ñ Ø Ð¹ ÞØ Ð ÐÑ ÞÞÙ Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ò Ð Þº

36 Þ ÖØ Þ Ò Þ Ö ÔÐ Ö Ñ ÒÝ ÃËÞ½ ÃËÞ¾ ÐÐ ØÚ ÃËÞ Óй ÓÞ ØÓ Ò Ø Ð Ð Ø º ÃÙØ Ø Ò ÒÝÓÑ Ò Ú Ø Þ Ú Þ Ð ØÓ Þ Ð Ø¹ Ø º ˺ Ë Ë ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý Ý Ò Ñ ÓÖØÓ ÓÜ ÑÓÒÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ V Ú Ö Ø Ö log F V (n) Ñ ÒØ n Ú ÒÝ µ Ñ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð º Áº ÓÐ Ò Ó À Ñ Ò Æ ÙÑ Ò¹Ø ÔÙ ÐØ Ø ÐØ ÓØØ ÖÖ Ó Ý Ð ÓÔÓÖØÓ Ý Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ô ØÖÙÑ Ñ ÓÖ Ò Ñ ÐÓ ¹ ÜÔÓÒ Ò Ð º Ã Ø Ú Ö Ø ¹ Ó p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ø Ú Þ ÐØ ÈÏ ¹ Ò ÈËÞ ¹ Ò ÈÐ ¹ Òº Ð ÞÑ ÒÝ Ú Ø Þ ÓÒ ØÖÙ Ê Ê Ò Ú Þ òþ Ñ ÐÝÒ Ø Ú Ð ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ý ÒÒÝ Ò Þ Ð Ø Ö Ô¹ Ö Þ ÒØ Ø Ô Ù º Ä Ý Ò Λ I Ò Ñ Ö ÐÑ Þ ØÓÚ M = (m λ,i ) ÓÐÝ Ò Λ I Ø ÔÙ Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝ 0¹Ø 1¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÓÖ Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ð Ð Ý Þ Ö Þ 1¹ غ Þ (I Λ) {0} ÐÑ ÞÓÒ Ú Þ Ø Ú Ø Þ ÑòÚ Ð Ø Ø { (i, µ), m λ,j = 1, (i, λ)(j, µ) = 0, m λ,j = 0, (i, λ)0 = 0(i, λ) = 00 = 0. Þ Ý ÔÓØØ Ð ÓÔÓÖØÓØ Ò Ú ÞÞ ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØÒ º Þ M Ñ ØÖ ÜÓØ Þ Ò Ú Ñ ØÖ ÜÒ Ò Ú Þ º ÒÒ ÓÒ ØÖÙ Ò ¹ Ð ÒØ Ø Þ Ó Ý ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÞÓÑÓÖ Ø Ð ÐØ ÒØÚ ÔÔ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ê ¹Ñ ØÖ Ü Ð ÓÔÓÖØÓ º ƺ Ê ÐÐÝ Ê ÞÓÒÝ ØÓØØ Ó Ý ÔÓÒØÓ Ò ÓÐÝ Ò Ú Ö Ø Ú Ò Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ò Ö ÐÒ Ð º ¾º Ø Ð Þ Ø ½º Ó ÞÐÓÔ µº Þ Ò Ú Ö Ø Ó Ñ Ò Ý Ò Ö Ð Ø Ý ØÐ Ò Ú ÓÑ Ò ¹ ØÓÖ Ù 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØØ Ð Ð º ¾º Ø Ð Þ Ø ¾º Ó ÞÐÓÔ µ Þ Ð ÓÔÓÖØ ÞÓÑÓÖ Ö ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ ËÞ º ˺ Ë ËËÞ½ ¹ Ò ËËÞ¾ ¹ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Ú Þ ÐØ Þ Ú Ú Ð Ò Øº ÞØ Ø ØÖ Ð Ø Þ Ø ÓÒØ Ò Þ Ö ÒØ Ó Ý Ð ÓÔÓÖØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ M Þ Ò Ú ¹ Ñ ØÖ Ü Ð º ¾º Ø Ð Þ Ø º Ó ÞÐÓÔ µ ÝÒ Ú Þ ØØ ½¹ ÐÓ Ñ ØÖ Ü¹ Ú Ý Ñº Þ Ú ÒÝ ÖØ Ð ÓÖ ÓÒØÓ Þ Ö Ô Ú Ò ÒÒ Ó Ý Ñ ÐÝ Ú ÐØÓÞ Ú Ø ÝÑ Ø Þ Ø Þ Þ Ø Ö Ó Ø Ú Ð Ø ¹ Ø Þ ÑÐ Ð Ø º Ê ¹Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ð Ð ØØÙ Ó Ý Ý ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò ¼¹ ݹ Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ð Ñ Ö ÓÒ ÓÐ ØÙÒ Ý Ñ ÒØ Ð ÑÔ ÖÓ Ö Þ ÖØ Ð¹ Þ Öò Þ Ø Ô ÖÓ Ö Ó ÒØ Ö ÞÓÐÒ º ¾º Ø Ð Þ Ø Ò Þ A 2 Þ

37 Ý ØÐ Ò ÓÐÝ Ò Ð ÓÔÓÖØ Ñ Þ Ø ÖØÓÞ Þ Ò Ú Ñ ØÖ Ü Ò Ñ 1¹ ÐÓ Ñ Ø¹ Ö Üº Ò Þ Ø Ò Ý Þ Þ Ø ÖÑ Þ Ø Ñ ÓÒ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö ÓØ Ö Ò Ð º Ú Ö Ø Ò Ö Ð Þ Ò Ú ¹ Ú Ö Ø Ð ÓÔÓÖØ Ñ ØÖ Ü Mµ Þ Ô ØÖÙÑ SL Y ½ 2 n 1 [ ] 1 LN B L n2 1 [ ] RN B R 1 1 n2 n 1 [ ] 1 1 N B N n(n + 1)2 1 1 [ ] 1 0 B B log n 2n 1 0 LN B 2 L log n 2n 0 1 [ ] RN B 2 R log n 2n N B 2 N log n 2n A A 2 [ ] ¾º Ø Ð Þ Øº n 2 2 n2 ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ Ú ¹ Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ ¾º Ø Ð Þ Ø Ð Ò Ý ÓÖ Ò Þ Ö ÔÐ Ú Ö Ø Ó Ø Ú Ö Ø Ó Ñ ¹ Ô Ö Ò Ö Ð Ð ÐÒÓÖÑ Ð Ø Ó ÒÓÖÑ Ð Ø Ð¹ Ð ØÚ ÒÓÖÑ Ð Ø Ú Ö Ø º Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ó Þ Ô ØÖÙÑ Þ Ñ ÖØ Ð Ú Þ Ø Ø Ð Ò 0¹ Ý Þ Öò Ð ÓÔÓÖØÓ Ò Ð Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ ¹ Þ Ö Ð º B Ú Ö Ø Ø B 2 Ð ÓÔÓÖØ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ø Ð Ñò ÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ö Ò Ø¹ Ð ÓÔÓÖØ Ò Ö Ð º Á ÞÓÐØÙ ÃËÞ½ ¹ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ô ÖØ ¹

38 Ô Ö ÓÞ Ñ ÐÝ Ó ÞØ ÐÝ Ò Þ Ñ Ñ Ý Þ Ñ Ø Ý¹ Ý ÓÐÝ Ò t Þ Ñ ÐÝ B 2 ¹Ò Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝØ Ò Ð ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ G(t) Ô ÖÓ Ö ÓÑÔÓÒ Ò ÔÔ Ò Þ Ò Ô ÖØ Ø Ò Ù Ð Ö ÔÓÒØÓ ÞØ ÐÝ Òº Þ Ò Ù ÐØ Ô ÖØ Þ Ñ Ø ÐÚ Þ ÑÔØÓØ Ù ÓÖÑÙÐ Ø ÔÙÒ B 2 Ð ÓÔÓÖØ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ö º º º Ì Ø Ðº ÃËÞ½  РРp n = p n (B 2 ) B 2 Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ ¹ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Øº ÓÖ log p n 2n log n. Þ Ð Þ Ö Ñ ÒÝØ Ð ÞÒ ÐÚ B Þ Ô ØÖÙÑ Ö Ú Ø Þ Ð º º º Ì Ø Ðº ÃËÞ½ log F B (n) 2n log n. Þ Ð ÐÐ Ø Þ N 2 L 2 R 2 Ð ÓÔÓÖØÓ p n ¹ ÓÖÓÞ Ø Ò ÐÐ ØÚ p n (B 2 )¹ ÓÖÓÞ ØÒ Ú ÞÓÒÝ Ø Ö Ð º º½¼º ýðð Ø º ÃËÞ Þ N 2 L 2 R 2 Ð ÓÔÓÖØÓ Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Ð Ø Þ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø p n (B 2 ) p n (L 2 ) = p n (R 2 ) p n (N 2 ) n 2 p n (B 2 ). Þ Ð Þ Ø Ö Ñ ÒÝ Ð Ô Ò Ú Ø Þ Þ Ø Ô Ù º º½½º Ì Ø Ðº ÃËÞ Â Ð Ð V Þ LN B 2 RN B 2 N B 2 Ú Ö Ø Ó Ú Ð Ñ ÐÝ ¹ غ ÓÖ log F V (n) 2n log n. ÓÖ Ò ÑÐ Ø ØØ Ó Ý Þ A 2 Ð ÓÔÓÖØ Ø Ò Þ Þ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ö Ò Ð Ø º Þ A 2 Ð ØØ Ú Ð n¹ú ÐØÓÞ Þ Ú ÒÝ Þ Ñ Ø Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Ú Ð Ö Ò Ð Þ Ö ÒÝ ØÓØØ n ÔÓÒØ Ö Ó Þ Ñ Ú Ð Ð º Þ Þ Ò Ú Ò Ú Ø Þ ÐÐ Ø Ö º º½ º ýðð Ø º ÃËÞ¾  РРD(n) ÞÓÒ n ÔÓÒØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Þ Ñ Ø Ñ ÐÝ Ö Ò Ð ÞÒ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹ Ø Ú Ðº ÓÖ D(n) = o(2 n2 )º º½ º ýðð Ø Ø Ú Ð Þ ÑÔØÓØ Ù Ð Ø ØÙÒ A Ú Ö Ø Þ Ô ØÖÙÑ Ö º º½ º Ì Ø Ðº ÃËÞ¾ F A (n) n 2 2 n2.