À Ö¹ÒÙÐÐ ÐÑ ÞÓ Ñ Ó Ø Ö ÓÒÞ ÞØ Ò Ø Ö Þ ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓ ÓÒ ÔÐÓÑ ÑÙÒ Ã Þ Ø ØØ ËÞÐ ÓÐØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ù Þ Ì Ñ Ú Þ Ø Ð Å ÖØÓÒ Ý Ø Ñ ÙÒ ØÙ Ò Ð Þ Ì Ò Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ

Átírás

1 À Ö¹ÒÙÐÐ ÐÑ ÞÓ Ñ Ó Ø Ö ÓÒÞ ÞØ Ò Ø Ö Þ ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓ ÓÒ ÔÐÓÑ ÑÙÒ Ã Þ Ø ØØ ËÞÐ ÓÐØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ù Þ Ì Ñ Ú Þ Ø Ð Å ÖØÓÒ Ý Ø Ñ ÙÒ ØÙ Ò Ð Þ Ì Ò Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö Ù Ô Ø ¾¼½½

2 Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø ËÞ Ö ØÒ Ñ Ñ Þ ÒÒ Ø Ñ Ú Þ Ø ÑÒ Ð Å ÖØÓÒÒ ÓÐ ÓÞ Ø ÓÞ ÒÝ ØÓØØ Ó Ø Ø Ø ÞØ Ð ÔÞ Ð Þ Ú Þ Ø ØÑÙØ Ø Øº

3 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø ¾ ½º Ì Ò Ú Þ Ø ½º½º Ú Ð Þ ÑÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º ZFC ÑÓ ÐÐ ÓÖ ÞÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾¼ ¾º½º Å Ø Þ Ö ØÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º¾º Ì Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º º Ã Ø Ö ÖÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º Þ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ø Ò Ø Ø Ð ½ º½º Ø Ò Ø Ø Ð ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ø Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ó Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ð Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ ¼ ½

4 Ú Þ Ø ÓÐ ÓÞ Ø Ø Ñ Ò ÑÓØ Ú Ø À Ö¹ÒÙÐÐ Ñ ÖØ ò ÐÑ ÞÓ σ¹ Ð Ò Ú Þ Ð Ø ÐÐ ØÚ ÒÒ Ø Ö Ñ Ð Ð º Ä Ý Ò G Ð Ð Ò Ý Ð ÓÔÓÖغ Ý X G ÐÑ Þ À Ö¹ÒÙÐÐ Ð Ø Þ B X ÓÖ Ð ÐÑ Þ µ Ú Ð Þ Òò ÓÖ Ð Ñ ÖØ Ó Ý Ñ Ò Ò g G¹Ö µ(b + g) = 0º  РРÀ Ö¹ÒÙÐÐ ÐÑ ÞÓ ÐÑ Þ Ø N º Þ Ö Ø Ò Ò Ò ½ Ñ ÐÝ Þ ÖØ Ö Ñ ÖØ ÐÓ Ð Ò Óѹ Ô Ø ÓÔÓÖØÓ ÓÒ Ý À Ö Ñ ÖØ ÒÙÐÐÑ ÖØ ò ÐÑ Þ Ú Ð Þ Þ X N µ Haar (X) = 0º ÞÞ Ð À Ö¹ÒÙÐÐ ÐÑ ÞÓ Ý ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ô Ù Ð Ò Ý Ð Ð ÓÔÓÖØÓ ÓÒº Ú Ö ÑÐ Ò Ó ÐÑ ÞØ Ñ Ö Ø ¾ Ó Ý À Ö¹ÒÙÐÐ ÐÑ ÞÓ σ¹ Ð Þ R Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ñ Ý Þ ¹ ÓÒÐ Ò Ò ÐØ H def = {X R µ Ú Ð Þ Òò ÓÖ Ð Ñ ÖØ r R µ(x + r) = 0} σ¹ ÐРк Î Ð Ó Ó Ý Þ R¹ Ò À Ö Ñ ÖØ Ñ Ý Þ Ä Ù Ñ ÖØ Ð Ø Ø Ä Ù Ñ ÖØ ÒÙÐй ÐÑ Þ Ö Þ N Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù ØÓÚ Ö º Ã Ö Ð Ó Ý ÐØ Ø Ð ÞÚ CH¹Ø Þ Þ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÔÓØ Þ Ø Ð Ð Ø H Ú ÐÑ Þ Ñ ÒØ N º ÐÑ Ö Ð ØÒ Ú Ø Þ Ö µ = µ Cantor,?X R, X / N, µ(x + r) = 0 r R ½µ µ Þ Ò ÙÐ Ö,?X R, X / N, µ(x + r) = 0 r R ¾µ Ö ÑÐ Ò Ú Ð ÞØ ÓØØ Ó Ý Ñ ÒÒÝ Ò ÐØ Þ CH¹Ø ÓÖ ½µ ¾µ Þº ÆÝ ØÓØØ Ö Ñ Ö Ø Ú ÞÓÒØ Ñ Ó Ý ØÐ Ò ¹ ZFC¹Ø к Þ Ù Ð Ö Ú Ð Ø Ó ÐÑ Þ ÓÞ Ñ Ù Þ Ð Ñ Ó Ø ¹ Ö ÐÐ ØÚ Ö Þ Ù Ð ÐÑ ÞÓ Ó ÐÑ Øº Ä Ý Ò T Ý ØÓÔÓÐÓ Ù Ø Öº ÓÖ Ú Ø Þ Ò Ø Ù Ñ º Ý D T ÐÑ Þ òöò Ñ Ò Ò I Ò Ñ Ö Þ ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÖ I D Ò Ñ Ö º ¾

5 Ú Þ Ø Ý S T ÐÑ Þ ÓÐ Ñ òöò Ð Þ ÖØ S Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ Øº Ý F T ÐÑ Þ Ð Ø Ö Ð ÐÐ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Óй Ñ òöò ÐÑ Þ ÙÒ Òغ Ý X T ÐÑ Þ Ñ Ó Ø Ö Ò Ñ Ð Ø Ö º Ý R T ÐÑ Þ Ö Þ Ù Ð R Ý Ð Ø Ö ÐÑ Þ ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Ó Ý Ý F R ÐÑ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Ö Ð Ø Þ Ý F Ð Ø Ö F σ ÐÑ Þ Ó Ý F F Ø Ð Ðº Þ Ð Ó Ý Ý ÐÑ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÓÐ Ñ òöò Ð Þ Ö ÓÐ Ñ òöò Ý F = n S n ÓÐ S n ÓÐ Ñ òöò Ñ Ò Ò n ω¹ö ÓÖ F = n S n Ð Þ Þ Ò S n S n Ñ Ò Ò n ω¹ö Ø Ø F F F Ý F σ ÐÑ Þº Ý Þ Öò Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý Ý ÐÑ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Þ Ù Ð Ø ÖØ ÐÑ Þ òöò G δ ¹Ø Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÖ Ú Ð ØØ Ö Ð ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ º Á Ñ ÖØ Ó Ý Þ Ð Ø Ö ÐÑ ÞÓ σ¹ ÐØ Ð ÓØÒ º ýðø Ð Ò Þ Ö Ý ÓÒ ÓÐÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÞÓ Ö ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ ÒÙÐй Ñ ÖØ ò ÐÑ ÞÓ Ø Òº Þ Ö ÒØ Þ Ò Ð Þ Ö ÒØ Ñ Ó Ø Ö ¹ ÐÑ ÞÓ Ð ÐÒ Ñ ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò ÐÑ ÞÓ Ò Ñ Ö Þ Ù Ð ÐÑ ÞÓ Ø Ð Ñ ÖØ ò Ò º Þ Ò ÙÐ Ö Ú Ð Þ Òò Ñ ÖØ Ò Ñ Ð ÐØ Ø Ø R¹ Ò ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓ Øº Ù Ñ Þ Ð Ô Ò ¾µ¹ Ò Ñ Ð Ð Ù Ð ÐÐ Ø Ø Ñ ÐÝ Ú Ø Þ º Å Ò Ò C R ÒØÓÖ ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ X R Ñ Ó Ø Ö Ó Ý Ñ Ò Ò r R Ø Ò C (X + r) Ð Ø Ö C¹ Òº Ä Ý Ò ψ Þ ÓÖÑÙÐ Ñ ÞØ Þ º Ú Ø Þ Ý Þ Öò ØÖ Ò Þ Ò Ø Ö ÙÖÞ ÞÓÒÝ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý CH¹Ø ÐØ Ú ψ Ø Ð Ðº Ä Ý Ò C ÒØÓÖ ÐÑ Þ ÓØغ ËÓÖÓÐ Ù Ð Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ø Þ Þ {r α } α ω1 = Rº ËÓÖÓÐ Ù Ð Þ Ð Ø Ö F σ ÐÑ ÞÓ Ø Ñ Ú Ð Þ ÓÖ Ð Ð Ð ÓÒØ ÒÙÙÑ Ó Ú Ò Ð Ð Ø Ø Ð Ý Ò Þ {F α } α ω1 º Å ÙÒ Ý X¹ Ø Ñ ÐÝ Ð Ö Ð Ñ Ò Ò F σ Ð Ø Ö ÐÑ ÞØ Þ Þ Ñ Ò Ò α¹ö F α ¹ ÓÞ Ð Ø Þ x α X Ó Ý x α / F α º ÓÖ X Ñ Ó Ø ¹ Ö Ñ Ú Ð Ý ØÐ Ò F σ Ð Ø Ö ÐÑ Þ Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Ñ ÐÐ ØØ X¹ Ø Ý Ù Ñ Ó Ý Ñ Ò Ò r R¹Ö C (X + r) Ð Ø Ö Ð Ý Ò C¹ Ò Ñ ÒÝ ÐÚ Ò ÞÓÒÓ Ú Ø ÐÑ ÒÝ ÞÞ Ð Ó Ý Ñ Ò Ò r R¹Ö (C r) X Ð Ø Ö C r¹ Òº ÁÐÝ Ò X ÐÑ ÞØ ØÖ Ò Þ Ò Ø Ö ÙÖÞ Ñ Þ Ö Ú Ð ÙÒ Ñ º Ä Ý Ò

6 Ú Þ Ø x α Ø Ø Þ Ð Ð Ñ Þ U α def = R \ ( F α β<α X β β α (C r β ) ) ÐÑ ÞÒ º Ä Ý Ò X α = {x β β < α}. ÞØ Ó Ù Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý X ω1 Ð Þº Ð Þ Ö ÞØ ÐÐ Ò Ð ØÒÙÒ Ó Ý U α Ñ Ò Ò α ω 1 ¹Ö Ò Ñ Ö º ÒÒ Ð Ø ÓÞ ÞÒ Ð Ù Ö Ø Ö Ø Ø Ð Ø Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ö Ø Ö Ò Ý ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ Ó Ø ¹ Ö º º Ì ÓÖ Ñ ÒÒ Þ Ò Ø Ò Ò Ñ ÐÐ Ð Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Ð Ø Ö ÐÑ Þ ÙÒ Òغ R Ø Ø Þ Ð ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ö Ø Ö Ñ Ú Ð Ð Ò Ý Ð Ø Ö º Þ Ò ÔÓÒØÓ Þ ÖØ ÓÐ Ñ òöò Ð Ò Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ð Ø Ö ÒÒ º U α Ò Ñ Ö ÐÑ Þ Ñ ÖØ Ý Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Ð Ø Ö Ð Ò ÒØ Ö Ø Ðº Å Ú Ð R ÒÝ ÐØ Þ ÖØ Ð Ò Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý Ø Ø Þ Ð α ω 1 ¹Ö F α, X α C r α Ð Ø Ö ¹ R¹ Òº F α ¹Ø Ý Ò ÐØÙ X α Ô Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÐÑ Þ Ø Ø Ð Ø Ö º Ì Ø Þ Ð ÒØÓÖ ÐÑ Þ ÓÐ Ñ òöò Ñ Ú Ð Ò¹ ØÓÖ ÐÑ Þ Þ ÖØ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ Øº ÞÞ Ð ÞØ ÔØÙ Ó Ý Ñ Ò Ò U α Ò Ñ Ö º Î Ð Ó Ó Ý X¹Ò Ú Ò Ð Ñ Ñ Ò Ò F α ¹Ò Ú Ð Ø Ø Ñ Ó Ø ¹ Ö º à ÐÐ Ñ Ó Ý Ø Ø Þ Ð r R Ø Ò (C r) X Ð Ø Ö C r¹ Òº Ä Ø Þ α ω 1 Ó Ý r = r α º ÓÖ (C r α ) X Ñ Ý Þ (C r α ) X α ÐÑ ÞÞ Ðº Þ Ñ ØØ Þ Ñ ÖØ β > α Ø Ò x β Ò Ñ Ð Ñ C r α ¹Ò Ù Ý Ò U β (C r α ) = x β U β º X α Ú ÞÓÒØ Ý Ñ ¹ Þ ÑÐ Ð Ø ÐÑ Þ Ø Ø (C r α ) X Ð Ø Ö C r α ¹ Ò Ñ Ø Þ Ö ØØ Ò ÚÓÐÒ Ø Ø CH Ñ ÐÐ ØØ Ú Ð Ò Ø Ð Ð ψº Ð Å ÖØÓÒ ËØ ÔÖ Ò Ð ØØ Ó Ý ÓÒÞ ÞØ Ò ψ ÓÖÑÙÐ Ø ¹ Ò ÓÞÞ Ú Ø Ð ZFC¹ Þ Ø Ø ψ ØÐ Ò ZFC¹Ø к ÞØ Ø Ø ÐØ Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù Ñ Þ ÐÐ Ø Ò Ý Ý Ò Ø ØØ ÓÖÑ Ú Ð Ó Ð Ð Ó¹ ÞÙÒ º ψ ÓÖÑÙÐ Ø Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ C R ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý Ñ Ò Ò X R Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ r R Ñ ÐÝ Ö C (X + r) Ñ Ó Ø Ö C¹ Òº Ý Ò Ø ØØ ÐÐ Ø Ñ Ú Ð Ñ Ó ÙÒ Ó Ð Ð ÓÞÒ Ú Ø Þ Ø ÑÓÒ º Å Ò Ò X R Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ C ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý X C Ñ Ó Ø Ö C¹ Òº ÒÒ ÓÒÞ ÞØ Ò Ø ÓÖ Ò ÖØÓ ÞÝ Þ Ý Þ Ò Ñ Ñ ¹ Þ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØ Ñ ÒØ Ñ Ö ÒÝ Ð Ù Ý Ò ÖÖ Þ Ö Ñ ÒÝÖ ÙØÓØØ ÙÖ Å ÐÐ Ö º

7 ½º Þ Ø Ì Ò Ú Þ Ø ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Þ Ò Ð Þ Ò ÒÝ Ó ÐÓÑÖ Ñ ÖØ Ø Ø ÐÖ Ñ ¹ ÐÝ Ø Ñ ÔÖ ÐÙÒ Ö Ú Ò Þ Ó Ð ÐÒ º ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ñ ÖØÒ Ø Òع ÓÖ ÞÓÐ Ó ÐÑ Ø Ñ Þ Ö Ø Þ ÖØ ÖÖ Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ò ÞÓ¹ ÒÝ Ø Ó ÓÖÑ Ò ÙÔ Ò Ò ÒÝ ÓÒØÓ ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Ý ¹ Ö Ò Ú Ø ÓÞÓØØ ÐÐ Ø Ø Ó ÙÒ Þ Ýò Ø Ò º ½º½º Ú Ð Þ ÑÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ö Ñ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Ö Ð Ó ÐÑ Þ Ñ ÐÐ Ø Ó Ø Ñ Ñ Ý Ñ ÐÑ ÞÓÒ Ó ÙÒ ÓÐ ÓÞÒ º Å Ú Ð Ð Ñ Ó Ø Ö ÐÑ ÞÓ Ö Ð Þ ÐÒ Þ ÐÐ Ø Ò Þ ÖØ Ø Ò Ò ÞÒ Ð Ø Ù ÞØ Þ Ý ÒØ ÞÓ Ó Ø Ò Ø Ó Ý Ú Ð Þ ÑÓ ÐÝ ØØ Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý ÞÞ Ð ÓÑ ÓÑÓÖ Ø Ö Ò ÞÓÒÝ Ø Ù Þ ÐÐ Ø Ó Øº ËÞ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ð Ó Ò ØòÒ Ó Ý Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ø Ö ÐÑ Þ Ð Ý Ò Ñ ÓÐÝ ÓÐ Ò Ý Ñ ÖØ Ò Þ Ð Ú Ý Ñ Ó Ø Ö ÐÑ ÞÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÐ Ø Ó¹ غ ½º½º½º ýðð Ø º Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ ÓÑ ÓÑÓÖ Þ ω ω ÐÑ Þ¹ Þ Ð ÓÐ ω ω Ø ÖÑ Þ Ø ØÓÔÓÐ Ø Ú Þ Þ Þ ω¹ Ò Ú Þ Þ Ö Ø ØÓÔÓÐ Ø Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Ô Ð ÒÝ Ò ÞÓÖÞ Ø Ø ÖÑ Þ Ø ØÓÔÓРغ Þ ÐÐ Ø Ø Ò Ñ ÞÓÐ Ù º µ Þ Ö ÒØ Ð Ó ÓØØÒ Ø ÒØ º Î Þ Ð Ù Ñ Þ ω ω ÐÑ Þ Ò ÒÝ ØÙÐ ÓÒ Øº ÐÑ Þ Ð Ñ Ö ÓÒ ÓÐ ØÙÒ Ý Ñ ÒØ ω ÖØ ò Ú Ø Ð Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ú Ý ω ω Ú ¹ ÒÝ Ö º

8 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø Þ ω ω ÐÑ ÞÓÒ Ý Ø ÖÑ Þ Ø Ñ ØÖ Ñ ÐÝ ÞÓÖÞ ØØÓ¹ ÔÓÐ Ú Ð Ú Ú Ð Ò ØÓÔÓÐ Ø Ò Ðº Þ Ú Ø Þ Ð Ý Ò d i Þ i¹ ω ÐÑ ÞÓÒ Þ Ö Ø Ñ ØÖ ÓÖ Ø Ø Þ Ð x, y ω ω Ð Ñ Ö d(x, y) def = i ω d i (x i, y i ) 2 i Ø ÖÑ Þ Ø Ñ ØÖ Øº ÞÓÖÞ ØØ Ö ØÓÔÓÐ Ò Ý Þ Ø ¹ Ú Ø Þ Ø Ú Ð Ù Ñ Ñ º Ì ÒØ Þ ω <ω ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ Þ ω ÖØ ò Ú ÓÖÓÞ ØÓ ÐÑ Þ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Þ Ö ÓÒ ÓÐ ØÙÒ Ý Ñ ÒØ Ú Ð Ñ ÐÝ n ω¹ö Ý n ω Ú ÒÝÖ º Ä Ý Ò Ô Ð ÙÐ σ ω <ω Ý n Ó Þ ÓÖÓÞ Ø σ Ó Þ Ø Ð Ð σ º Ò Þ Ø Ò σ(n) Ñ Ö Ò Ò ÖØ ÐÑ ÞÚ Ù Ý Ò ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ò ÞÒ Ð ØÓ Ð Ö Ø Ú Ø Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ n Þ Þ n¹ Ð Ñò ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ò Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Ù Ñ Ø Ö ÞØ Ö Ð Ø Þ Þ σ, τ ω <ω Ð Ñ Ö σ τ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ τ σ = σº Ö Ð Ø Ø Ö ÞØ Ø ω <ω ¹ Ð ω ω ¹ Ð Ð Ñ Þ ØØ Ö Ð Ö º Ä Ý Ò σ ω <ω r ω ω Ð Ý Ò σ r ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ r σ = σ Þ Þ r Ú Ø Ð Ò ÓÖÓÞ Ø σ Ú ÓÖÓÞ ØØ Ð Þ º Å Ò Ò σ ω <ω ¹Ö [σ] def = {r ω ω σ r} ÐÑ ÞÓ Ò Ñ Ö Ý Þ Ø ω ω ØÓÔÓÐ Ò º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Þ Ó Ý Þ Ú Ð Ò ÒÝ ÐØ¹Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ ÒÒ ÐÐ Ò ÖÞ Ø Þ ÓÐÚ Ö ÞÞÙ º ËÞ Ò Ð Þ ÖÖ Ó Ý ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ ÞÓ Ø ω ω ¹ Ò ÓÐ Ù Ú ¹ Ð Ñ ÐÝ Ò ÓÖÑ Òº Ì Ý ÞØ Þ f : ω <ω ω <ω Ð Ú ÒÝ Ð ÓÐ Ý U ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ý Ò f(σ) σ (σ ω <ω ) ÓÐÝ Ò Ó Ý [σ]¹ Ò Ú Ð ÞØ Ý [f(σ)] Ñ Ü Ñ Ð Þ ÒÝ ÐØ Ø Ñ ÐÝ Ö Þ U¹Ò º ÁÐÝ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ò Ú Ò Þ Ò U ÒÝ ÐØ òöò Ø Ø [σ] U Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ Þ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ò ØÖÙ Ø Ö Ø ÖØ ÐÑ Þ Ö Ò ÞÚ ÓÐÝ Ò Ñ ÒØ ω <ω Ø Ø Ð ÙÒ Ðغ ÓÖ f¹ Ø U Ò Ò Ú ÞÞ Ú Ð Ò U = [f(σ)] σ ω <ω Ø Ð Ðº À f Ý ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ Þ ÓÖ Þ U f ÐÑ Þ Ð ÒØ Þ f ÐØ Ð ÓÐØ ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ ÞØ Þ Þ U f = σ ω <ω [f(σ)]

9 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø Î Ð Ó Ó Ý ÓÖ U f Ò Ú Ð ÞØ Ø fº Ù Ñ Ñ ÓÒ Ø Ò Ð Ó ÐÑ Ø Ñ ÐÝ Ý ω <ω ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø Ú Ø ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ú Ð ÓÞÞ òþ Ø Ð Òغ ýðø Ð Ò Ý Ð ÑÑ Ð Ú Ø Ò Þ Þ Ý n Ó Þ σ ω <ω k ω Ø Ò Ð Ý Ò σ k Þ Þ ω <ω ¹ Ð Ð Ñ Ñ ÐÝÖ σ σ k σ k = n + 1 σ k(n) = kº Å Ú Ð Þ ω ω ÐÑ Þ ÓÑ ÓÑÓÖ Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ú Ð ¹ ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò ω ω Ð Ñ Ö Ý Ó ÙÒ ÓÒ ÓÐÒ Ñ ÒØ Ú Ð Þ ÑÓ Ö Ý Ö Ò Ý Ú Ø ÓÞÙÒ Ö Ù º ½º¾º Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞÓ Þ Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞÓ Ò Ò ÝÓÒ Ó Ú Ú Ð Ò Ð Ö Ñ Öغ Æ Ò ÖÖ Ò Ñ Ð Þ Þ Ò Ú ÞÓÒØ Ø Ð Ú ÖØ Ñ Ù Ò Ø Ø ÐÐ Ø Ø Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø ÙÒ ÓÖ Ò ÞÒ ÐÒ Ó ÙÒ º ½º¾º½º Ò º Ä Ò Ý Ð Ø ÖÒ Ò Ú ÞÞ Ø Ð Þ Ô Ö Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö Øº Þ Ð Ô Ò R ω ω Ð Ò Ý Ð Ø Ö º ½º¾º¾º Ò º Ä Ý Ò X Ý Ð Ò Ý Ð Ø Ö A Xº Þ A ÐÑ Þ Ò ¹ Ð Ø Ù Ð Ø Þ Y Ð Ò Ý Ð Ø Ö f : Y X ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ó Ý f(y ) = Aº ½º¾º º ýðð Ø º Ä Ý Ò X Y Ð Ò Ý Ð Ø Ö B X Y ÓÖ Ð ÞÓÖÞ ØØ Ö Òº ÓÖ proj X (B) B ÐÑ Þ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ú ØØ Ú Ø Ð Ø Ò Ð Ø Ù X¹ Òº Þ ÐÐ Ø Ø Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù ½ º Þ Ö ÒØ Ð Ó ÓØØÒ Ø ÒØ º Å Ú Ð Ú Ø Þ ÐÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ö ØÙÐ ÓÒ Ö º¾½º Ò ¹ Ø ÓÒ ÔÔ Ò Ö ÒØ Ð Ò Ú Ò Þ Ò Þ ÖØ Ò Ø ÑÓ Ø Ò Ñ Þ Ð º ½º¾º º ýðð Ø º Ä Ý Ò X Ð Ò Ý Ð Ø Ö A Xº À A Ò Ð Ø Ù Ñ Ó Ø Ö ÓÖ Ö Þ Ù Ð Ý Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ò Þ Þ Ð Ø Þ I X Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ó Ý A I Ö Þ Ù Ð I¹ Òº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò X Ð Ò Ý Ð Ø Ö A Xº À A Ò Ð Ø Ù ÓÖ Ö ØÙÐ ÓÒ ¾ º º Ì ÓÖ Ñ º Ñ ÐÐ ØØ A Ö ØÙÐ ÓÒ Ñ Ó¹ Ø Ö ÓÖ Ö Þ Ù Ð Ý Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ò º¾ º ÈÖÓ¹ ÔÓ Ø ÓÒ º Þ Ø Þ ÐÐ Ø Ó Ø Ú Ø ÓÞ Ó Ð Ô Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Ð Ó ÓØØÒ Ø ÒØ Ý Þ Ò Ú ÝÙÒ º

10 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½º º ZFC ÑÓ ÐÐ ÓÖ ÞÓÐ ÖÑ ÐÓ¹ Ö Ò Ð Ð ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ü Ñ Ö Ò Þ Ö Ò (ZF) ÓÐ ÓÞÙÒ Þ ØÚ Ú Ð ÞØ Ü Ñ Ú Ð (AC) Þ Þ ÐØ Þ Þ Ò Ø Ø ZFC ÓÒÞ ÞØ Ò Ø Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ö Ò Þ Ö ÐÐ ÒØÑÓÒ Ñ Ò¹ Ø Þ Þ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ÐÝ Ø Ð Ø Þ Ü Ñ Ö Ò Þ Öغ Ð Þ ÐÐ Ä Û Ò Ñ¹Ë ÓÐ Ñ Ø Ø Ð ÖØ ÐÑ Ò Ð Ø Þ ÑÓ ÐÐ ÐÑ Þ ÐÑ Ð ØÒ ÓÖ Ð Ø Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ º ÁÐÝ Ò Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ð Ò ÙÐÚ ÞÓÒÝ Ø Ù ÐÐ Ø Ò Ø ÓÖ ÞÓÐ Ø Ú Ðº Å Ò¹ ÐØ Þ Ó Ý Ò ÙÐ ÑÓ ÐÐ Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ØÖ ÒÞ Ø Ú ZFC ÑÓ ÐÐ Ñ Ð ÓÖ ÞÓÐ Ð Ý ÑÓ ÐÐØ ÓÞÙÒ Ð ØÖ Ñ ÐÝ Þ ÒØ Ò Ý ØÖ ÒÞ Ø Ú ZFC ÑÓ Ðк ÓÖ ÞÓÐ ÓÖ Ò Ñ Ò Ý ÝÒ Ú Þ ØØ ÒÝ Þ Ö ÔÞ ØØ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ Ñ ÐÝ Ý ÓÐÝ Ò (P, ) Ö Þ ÒÖ Ò Þ ØØ ÐÑ Þ Ñ ÐÝÒ Ú Ò Ð Ò ÝÓ Ð Ñ Ò Ò Ò Ñ Ò Ñ Ð Ð Ñ º Þ Ý ÖØ ÐÑò Ð Ò ÝÓ Ð Ñ Ø ½¹ Ð Ð Ð º P Ð Ñ Ø ÐØ Ø Ð Ò Ò Ú ÞÞ p, q P p q Ø Ò ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý p Ø Ö ÞØ q¹øº ÃÓÑÔ Ø Ð Ò Ò Ú Þ Ò Ø Ð Ñ Ø Ú Ò Þ Ø Ö ÞØ Ò ÓÑÔ Ø Ð Ò Ò Ò º Ý D P ÐÑ Þ òöò Ñ Ò Ò p P¹Ö Ð Ø Þ q p Ó Ý q Dº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ý E P ÐÑ Þ òöò p P Ð ØØ Ñ Ò Ò p p Ø Ò Ð Ø Þ q p Ó Ý q Eº Ý D P ÐÑ Þ ÒÝ ÐØ p D Ø Ò Ñ Ò Ò q p¹ö q Dº Ý A P ÐÑ Þ ÒØ Ð Ò A Ð Ñ Ô ÖÓÒ ÒØ Ò ÓÑÔ Ø Ð Ð Ñ º Ì Ý Ð Ó Ý V Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÑÓ ÐÐ (P, ) V ÞØ Ö Ú Ò P V ¹Ú Ð ÞÓ ØÙ Ð ÐÒ º ÓÖ G P ÐÑ Þ V ¹P¹ Ò Ö Ù ÐØ Ö Ú Ý Ö Ú Ò Ò Ö Ù ÐØ Ö ½ G, p G, q p q G, ½º½µ ½º¾µ p, q G r G, r p, q, ½º µ Ú Ð ÒÝ ÞÓÖ D P òöò D V, ÓÖ D G. ½º µ À V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÑÓ ÐÐ P V ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÓÖ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ð Ø Þ G Ò Ö Ù ÐØ Öº À ÓØØ Ý V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÑÓ ÐÐ P V ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÓÖ τ V Ò Ú Ñ Ò Ò Ð Ñ p, σ Ö Ò Þ ØØ Ô Ö ÓÐ p P σ Ò Úº À p, σ τ ÓÖ σ Ö Ò ÙÑÙÐ Ø Ú Ö Ö Þ Ö ÒØ Ñ ÒØ τ¹ò Ý Ò Ú ÒØ Ö ÙÖÞ Ú Ò ÖØ ÐÑ º ÓÖ V ¹ Ð Ò Ú V P

11 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø Ó ÞØ ÐÝØ Ð ÓØÒ Þ Þ Ð Ø Þ Ý ÓÐÝ Ò V ¹ Ð ÓÖÑÙÐ Ñ ÐÝ Ð ÒØ Ó Ý Ú Ð Ñ Ò Ú Ú Ý Ñº Ä Ý Ò V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÑÓ ÐÐ P V ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø G Ò Ö Ù ÐØ Öº À τ V P Ò Ú ÓÖ τ G = { G p, τ, p G } τ Ò Ú ÖØ Ð G Ò Ö Ù ÐØ Ö Þ Ö Òغ ÓÖ V [G] = { τ G τ V P} V ÑÓ ÐÐ G¹Ú Ð Ú Ð Ú Ø Ñ ÐÝ Þ Ð Ñ Ö Ð Ú Ð Þ ÒØ Ò ZFC ÑÓ¹ ÐÐØ Ð ÓØ Þ Ð Þ Þ ÓÖ ÞÓÐØ ÑÓ ÐÐ Ò º Î Ð Ò Ø ÒØ Ø V ¹ Ú Ø Ò Ù Ý Ò Ñ Ò Ò x V Ð Ñ Þ Ð Ø Þ ˇx V P Ò Ú Ó Ý ˇx G = xº ÁÐÝ Ò Þ ˇx = { ½, ˇy y x} Ò Ú Ð Ð ÐÐ ØÓØØ Ò Ú Ñ Ú Ð Ò V ¹ Ò Ú Òº Ý Ö Ò Ñ ØØ ÒÒÝò ÞÓÒÓ Ø Ø Ñ ØØ Ð Ý Ù Þ Ø Ö Ø x V Ð Ñ Þ Ø ÖØÓÞ ˇx V P Ò Ú ÐÝ ØØ Ý Þ Öò Ò x¹ Ø ÖÙÒ º Ñ ÐÐ ØØ Ð ¹ Ø Þ Ġ = { p, ˇp p P} Ò Ú G Ò Ö Ù ÐØ Ö ÒÓÒ Ù Ò Ú Ñ ÐÝÖ Ġ ÖØ Ð Ñ G ÐÑ Þº Ì Ø Ú Ð Ò ÓÒ ÓÐ ØÙÒ V [G]¹Ö Ý Ñ ÒØ V ¹Ò G¹Ú Ð Ú Ð Ú Ø º ½º º½º Ò º Ä Ý Ò p P ϕ (x 1,..., x n ) ÓÖÑÙÐ ÓÐ ϕ Þ Ú Ð¹ ØÓÞ Þ {x 1,..., x n } ÐÑ Þ Ò Ú ÒÒ τ 1,..., τ n V P Ò Ú ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý p ÓÖ ÞÓÐ ϕ (τ 1,..., τ n )¹Ø Ð Ð Ò p ϕ (τ 1,..., τ n ), µ p τ 1 = τ 2 Ñ Ò Ò s 1, π 1 τ 1 ¹Ö {q p q s 1 s 2, π 2 τ 2, Ñ Ö q s 2, q π 1 = π 2 } ÐÑ Þ òöò p Ð ØØ Ñ Ò Ò s 2, π 2 τ 2 ¹Ö {q p q s 2 s 1, π 1 τ 1, Ñ Ö q s 1, q π 2 = π 1 } ÐÑ Þ òöò p Ð Øغ µ p τ 1 τ 2 ÐÑ Þ òöò p Ð Øغ {q p s, π τ 2, q s, q π = τ 1 }

12 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½¼ µ p ϕ ψ p ϕ p ψ µ p ϕ Ò Ñ Ð Ø Þ q p Ó Ý q ϕ µ p xϕ (x, τ 1,..., τ n ) { q p σ V P, q ϕ (σ, τ 1,..., τ n ) } ÐÑ Þ òöò p Ð Øغ Ö ÓÖ ÞÓÐ Ø Ñ ÖØÒ Ø ÒØ Þ ÖØ ØÙ ÑÓ Ø Ñ Ò Ø Ñ ÖØ ÞÓÒÝ Ø Ò ÓÖ Ò Ý Ö Ò ÞÒ Ð Ù Ð Ò Ø ÒØ ØØ Ð (c), (d) (e) ÔÓÒØÓ Ö Ð ÖØ Øº ØÓÚ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð ÞÐ Ò Ò ¹ ÒÝ ÐÐ Ø Ø Ñ ÐÝ Ø Þ ÒØ Ò Ý Ö Ò Ó ÙÒ ÞÒ ÐÒ Ö Ú Ø ÓÞ Ò Ð Ð º ½º º¾º ýðð Ø º ÈÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ð Ð p ϕ Ñ Ò Ò q p¹ö q ϕ º ½º º º Ä ÑÑ º Á Þ Ð ÑÑ µ À V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ P V ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø G Ò Ö Ù ÐØ Ö ϕ (x 1,..., x n ) ÓÖÑÙÐ τ 1,..., τ n V P Ò Ú ÓÖ Ú Ø Þ Ø Ð Ð p G, p ϕ (τ 1,..., τ n ) V [G] = ϕ ( ) τ1 G,..., τn G. Þ Þ Ð ÑÑ Ð Ô Ò Ñ Ø Ý ÓÖ ÞÓÐ ÓÖ Ò ¹ Ú Ð Ú Ú Ð Ò Ò º ½º º º Ò º p ϕ (τ 1,..., τ n ) Ñ Ò Ò G Ò Ö Ù ÐØ ÖÖ p G ÓÖ V [G] = ϕ ( ) τ1 G,..., τn G º ½º º º ýðð Ø º V [G] = ZFC ½º º º ýðð Ø º À α V V = α Ö Ò Þ Ñ ÓÖ V [G] = α Ö Ò Þ Ñº ½º º º ýðð Ø º V [G]¹ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ö Ò Þ Ñº Ñ ÐÐ ØØ Ú ÞÓÒØ ÓÒØÓ Ñ Ý ÞÒ Ò Ó Ý ÓÖ ÞÓÐ ÓÖ Ò Þ ÑÓ ¹ Ó Ú ÐØÓÞ ØÒ Þ Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ó Ý Ñ Ñ Ð ØÒ Ó Ù Ó Ý V Ñ Ö Ò Þ ÑÓ Ø ÓÒ ÓÐ Þ ÑÓ Ò Ñ ÒØ V [G]º Þ ω¹ö Ò Ñ ÚÓÒ Ø¹ ÓÞ Ñ ÖØ ÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Ò ω ÙÒ Ú ÖÞ Ð ω Ñ Ò Ò Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐÒ Ð Ñ Ø Þ ÑÓ Ö Ø Ð Ò Ö Ñ Ý ÓÒ ÓÐÒ Ñ ÒØ Ý Þ ÑÓ ÐÐ Ò ÖÞ ÓÖÑÙÐ Ø Ð Ø Ð Ñ Ö ÑÓ ÐÐÒ º Þ ÓØØ

13 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½½ ÓÖÑÙÐ Ñ Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ð Ø Ø Ð Ò Þ ÑÓ ÐÐ Ò Ð Ò ¹ Þ Ö Ò Þ ÑÓ Ø ÖØÓÞ ØÒ ÓÞÞ º Ð Ò Ú Þ Ø Ò Ý Ð Ð Ø Ó Ý ÓØØ Ø Ò Ñ ØÙ Ù Ð Ò ÞØ ØÒ Þ ÞÓÒÓ Ò Ò ÐØ ¹ Ð Ò Þ ÑÓ ÐÐ Þ Ø ÖØÓÞ ÐÑ ÞÓ Øº Ä Ý Ò V Ý ZFC ÑÓ ÐÐ X Ý ϕ ÓÖÑÙÐ ÐØ Ð Ò Ð Ø ÐÑ Þ Þ Þ ZFC!Y ϕ (Y )º ÓÖ ÞØ V ¹ Ð ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝÖ V = ϕ (X) Ð Ð X V º ÁÐÝ Ò X Ð Ø Ô Ð ÙÐ Þ ω 1 Ö Ò Þ Ñº À Ø ÒØ V Ú Ð ÓØ Ñ ÒØ ZFC ÑÓ ÐÐØ Ò ÞÞ ÒÒ Ý ØÖ ÒÞ Ø Ú V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö Þ¹ ÑÓ ÐÐ Ø ÓÖ ØÙ Ù Ó Ý V ¹ Ò ÖØ ÐÑ ω 1 Ö Ò Þ ÑÖ Ð Þ ÐÒ Þ ÒÝ ÐÚ Ò Ò Ñ Ý Þ Ø Ñ V ¹ Ð ω 1 ¹ Ð Ý Ñ Ð Ò ÞØ Ø Þ ω V Þ ω V 1 Ö Ò Þ ÑÓ Øº ÓÖ ω V 1 V ¹ Ò Þ ÑÓ V ¹ Ò Ý Ö Ò Þ Ñº Ñ ÒÒÝ Ò Ý ÖØ ÐÑò Ó Ý Ñ ÐÝ ÑÓ ÐÐ Ò Ú ØØ ÖØ ÐÑ Þ Ø Ø Òع Ý ÐÑ ÞÒ ÐØ ÒØ Ò ØØ Ð Ð Ð Ø Ðº Ú Ø Þ ÐÐ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý Ø Ø Þ Ð ÓÖ ÞÓÐ Ø Ò Þ Ð ¹ Ø Ö ÐÑ ÞÓ Ð Ø Ö Ñ Ö Ò º ½º º º ýðð Ø º À X ω ω ÓØØ ÐÑ Þ V = X Ð Ø Ö ÓÖ V [G] = X Ð Ø Ö º ÞÓÒÝ Ø º Ý Ð Ø Ö ÐÑ Þ Ñ Ò Ó Ð Ð Ø Ý F σ Ð Ø Ö ÐÑ Þ Ñ Ñ ÔÔ Ñ Ó ÐÑ ÞÚ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ¹ ÙÒ Ø Ý òöò G δ ÐÑ ÞØ Ðº Ì Ø Þ Ð òöò G δ ÐÑ Þ Ô Ð Ö Ø Ñ ÒØ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó òöò ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø º Ð Ó Ý V = X Ð Ø Ö ØÙ Ù Ó Ý Ð Ø Þ {f n } ÓÖÓÞ Ø ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ ÞÓ Ú Ð Ó Ý X (ω ω ) V \ U V f n. 1 ÞØ Ó Ù Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý òöò ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ñ Ø Þ Ø Ò ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö ÒØ ÓÐØ F σ ÐÑ Þ G¹Ú Ð Ú Ð Ú Ø ÓÖ Ò Ò Ú Þ Ú Ø ¹ Þ ÔÔ Ò V [G]¹ Ò ØÓÚ Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ X¹ Ø ÓÐ Ò Þ Ò¹ Ø Ò Ð Ø Ö F σ Ø Ø X Ð Ø Ö º Ð Ò Ð ØÒ Ó Ý [ (ω ω ) V [G] \ U V [G] f n ] (ω ω ) V = (ω ω ) V \ U V f n,

14 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½¾ Þ Ò ÓÖ Þ ÑÐ Ø ØØ ÐÑ Þ V [G]¹ Ò Ú Ñ ÒØ V ¹ Òº Ð Ô Ö ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Þ Ø Ð Ðº Ä Ô Ö Ð Ù Ý Ò [σ] V = ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò ( [σ] V [G] (ω ω ) V = [σ] V { } r (ω ω ) V σ r º Ð Ò ( ) U V [G] f (ω ω ) V = [f(σ)] V [G] (ω ω ) V = σ ω <ω = ([f(σ)] ) V [G] (ω ω ) V = [f(σ)] V = Uf V. σ ω <ω σ ω <ω ) U V [G] f n (ω ω ) V = ( ) U V [G] f n (ω ω ) V = Uf V n Ø Ð Ðº Ñ ÐÐ ØØ (A \ B) C = (A C) \ (B C) Ø Ø Þ Ð A, B, C ÐÑ ÞÓ Ö Ø Ð Ð Þ ÖØ Ú Ð Ò [ X (ω ω ) V \ ] [ Uf V n (ω ω ) V [G] \ ] U V [G] f n, Ý Ð Ø Ø Ó Ý X Ý V [G]¹ Ð Ð Ø Ö F σ ÐÑ Þ Ö Þ Ø Ø V [G] = X Ð Ø Ö º ½º º º Ò º Ä Ý Ò P V ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ½ P Q ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø º Ò Ð Ù P Q¹Óغ Ä Ý Ò (p, q) P Q p P ½ P q Q º Î Þ Ò P Q¹ÓÒ Ý Ö Þ ÒÖ Ò Þ Ø Þ Þ (p, q) (p, q ) ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ p p p q q º ÞÓÒÓ Ø Ù (p, q) (p, q ) Ð Ñ Ø ÝÑ Ð (p, q) (p, q ) (p, q) Ðк ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Þ Ð Ú Ø Þ Øº P Q ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø V ¹ Ò. À G P Q Ò Ö Ù ÐØ Ö ÓÖ Ð Ý Ò G P = {p q, (p, q) G} G Q = { q G P p, (p, q) G } º ÓÖ G P V ¹P¹ Ò Ö Ù ÐØ Ö, G Q V [G P ]¹ Q G P ¹ Ò Ö Ù ÐØ Ö, V [G] = V [G P ][G Q].

15 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½ ½º º½¼º Ò º α Ó Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ø Ö ÐØ ÓÖ ÞÓÐ µ Ä Ý Ò α Ö Ò Þ Ñº Ê ÙÖÞ Ú Ð Ò Ð Ù P β β¹ Ø Ö ÐØ Ø Ñ Ò Ò β α¹ö º Å Ò Ò β < α¹ö Q β Ý V ¹P β ¹Ò Ú Ý ÒÝ Þ Ö ÔÞ ØÖ Ñ ÐÝÒ Ð Ò ÝÓ Ð Ñ ½ β º P 0 Ð Ý Ò ØÖ Ú Ð ÒÝ Þ Ö ÔÞ Øº Ê Ú Ø Þ Ö Ò Þ ÑÖ P β+1 = Pβ Q β º P β Ð Ñ β Ð Ñ Þ Ø Ò ÓÐÝ Ò f Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö D(f) = β, γ β f γ P γ, f γ f(γ) Q γ, supp(f) = {γ < β f γ f(γ) = ½ γ } Ñ Þ ÑÐ Ð Ø, f f f γ f (γ) f(γ) γ < β. ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ ½º º½½º Ò º Ý P ÒÝ Þ Ö ÔÞ ØÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý ÔÖÓÔ Ö Ú Ð ÒÝ ÞÓÖ M Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ V ¹ Ò Ý Ó Ý p P p, P M ÓÖ Ð Ø Þ q p Ó Ý Ñ Ò Ò D P òöò ÒÝ ÐØ D M Ø Ò q Ġ D M ÓÐ Ġ Ò Ö Ù ÐØ Ö Ò Ú º ÓÖ q¹ø M¹ Ò Ö Ù ÐØ Ø ÐÒ Ò Ú ÞÞ º ½º º½¾º Å ÝÞ º ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Ñ Ý ÞÞ Ó Ý ÔÖÓÔ Ö ¹ Ò Ò Ú Ð Ò Ð Ò Ð ÒÒ D ÐÑ ÞÓ Ö Ð ÐØ ÒÒ Ó Ý òöò Þ Ú Ú Ð Ò Ò Ø Ö Ñ ÒÝ ÞÒ º Í Ý Ò Ý D ÐÝ ØØ A Ñ Ü Ñ Ð ÒØ Ð ÒÓØ Ú Ú Ú Ú Ð Ò Ò Ø ÔÙÒ º ½º º½ º ýðð Ø º Å Þ ÑÐ Ð Ø ÒØ Ð Ò ÐØ Ø Ð ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÔÖÓÔ Öº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò A Ý Ñ Ü Ñ Ð ÒØ Ð Ò P¹ Ò ÓÖ Ñ Þ ÑÐ Ð ¹ Ø ÒØ Ð Ò ÐØ Ø Ð Ñ ØØ A Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ý A M ÓÖ A M Ø Ð Ð Ù Ý Ò V = A = ω Ð Ò M = A = ω Ø Ø Ð Ø ¹ Þ Ý f : ω A Þ Ö Ø Ú M¹ Ð Ú ÒÝ ÓÖ Ñ Ò Ò n ω¹ö f(n) M Ø Ð Ð Ñ Þ Ò M Ð Ñ ÚÓÐØ Ñ ØØ f Ú ÒÝ V ¹ Ò Þ Ö¹ Ø Úº Ñ ÐÐ ØØ Ý G Ò Ö Ù ÐØ ÖÒ Ø Ø Þ Ð Ñ Ü Ñ Ð ÒØ Ð Ò Ð Ú ØØ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö º Þ Ú Ð Ó Þ Ò D = {q P q p, p A} ÐÑ Þ òöò P¹ Òº ÞØ Þ ÞÚ ÞØ Ô Ù Ó Ý ½ Ý M¹ Ò Ö Ù ÐØ Ø Ðº Ú Ø Þ Ø ÐÐ Ø Ø Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù Þ Ø ¼ ÓÐ º Ð Ó Ù º Ð Ô Ò ½º º½ º ýðð Ø º ÈÖÓÔ Ö ÓÖ ÞÓÐ Ñ ÖÞ Þ ω 1 Þ ÑÓ ÓØ Þ Þ ω V 1 = ω V [G] 1 º ½º º½ º ýðð Ø º ÈÖÓÔ Ö ÓÖ ÞÓÐ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ø Ö ÐØ ÔÖÓÔ Öº

16 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½ ½º º Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Å ÐÐ Ö ÓÖ ÞÓÐ Ý V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ ÓÞ ÓÞÞ Ý Ð Ñ Ø Å ÐÐ Ö Ú Ð Øº Þ Þ Ø ÖØÓÞ Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ú Ø Þ Ø Ú Ð ÐÐ Ø Ø Ð º ½º º½º Ò º (T, ) Ö Þ ÒÖ Ò Þ ØØ ÐÑ Þ ω <ω ¹ Ò T ω <ω Ð Ð Þ ÖØ ÐÑ Þ Þ Þ Ñ Ò Ò t T ¹Ö t t ÓÖ t T º ýðø Ð Ò Ð Ð Ò Ð Ý Ù Ö Ð Ð Ø ÐÝ Ò ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý T Ý º ½º º¾º Ò º Ä Ý Ò T ω <ω t T ÓÖ Ð Ý Ò succ T (t) t Ö Ú Ø Þ Ò ÐÑ Þ T ¹ Ò Þ Þ succ T (t) def = { s T k ω, s = t k }. À succ T (t) 2 ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý t T Ð Þ ÔÓÒØ º ½º º º Ò º Ý T ω <ω ÐÑ Þ Å ÐÐ Ö Ú Ø Þ Ø Ð Ð¹ Ò T, ½º µ t T succ T (t) = 1 Ú Ý ω, ½º½¼µ t T, t t succ T (t ) = ω. ½º½½µ ½º º º Ò º Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Þ Þ (M, ) Ô Ö ÓÐ T, T M¹Ö Ò Þ Ö ÒØ M def = {T ω <ω T Å ÐÐ Ö } T T T T. ½º º º Å ÝÞ º Þ Ú Ð Ò ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ù Ý Ò Þ ½ = ω <ω Ð Ò ¹ ÝÓ Å ÐÐ Ö Ñ Ú Ð ÖÑ ÐÝ Å ÐÐ Ö ÒÒ Ö Þ Ø Ø Ò Þ Ö ÒØ Ø Ö ÞØ Ò Ð º Ñ ÐÐ ØØ Ú Ð Ó Ó Ý Ø Ø Þ Ð Å ÐÐ Ö Ò Ð¹ ÝÚ Ý Ú Ø Ð Ò Ð Þ ÔÓÒØ Ý ØÐ Ò Ö Ú Ø Þ Ø ÒÒ Ø Ö¹ ÞØ Ø Ù Ý Ò Ý Å ÐÐ Ö Ø ÔÙÒ Ñ Ö Þ Ò ÙÐ Ò Ò º ½º º º Ò º Ä Ý Ò T M ÓÖ T Ý Ö Ò Ò Ú ÞÞ T Рй Þ ÔÓÒØ Ø Þ Þ rt(t) = min {t T succ T (t) = ω} Î Ð Ó Ó Ý Þ Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ò Ð Ø Þ Ý ÖØ ÐÑòº

17 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½ ½º º º Ò º Ä Ý Ò T M σ T Ø Ø Þ Ð ÓÖ T Ñ ÞÓÖ Ø σ¹ö T[σ] = {t T t σ Ú Ý t σ} à ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý Ñ ÞÓÖ Ø Å ÐÐ Ö Ø Ö Ñ ÒÝ Þ ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ø Þ ÓÐÚ Ö ÞÞÙ º ½º º º Ò º b ω <ω ÐÑ Þ Ý Ú Ø Ð Ò (b, ) Ö Ò Þ ØØ ÐÑ Þ Ø Ø Þ Ð h ω Ñ Ö Ð Ø Þ σ b Ó Ý σ = hº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Ó Ý Ñ Ò Ò Å ÐÐ Ö Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ø Ð Ò Øº ØÓÚ Ò M Ð Ñ Ö Ò Ñ ÒØ ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÐØ Ø Ð Ö Þ Ö ØÒ Ò ÓÒ ÓÐÒ Þ ÖØ ØØ Ö Ò p, q M ÐØ Ð ÒÓ Ò ÞÒ ÐØ Ð ¹ Ð Ö º Ä Ý Ò V Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ M V º Î Þ Ð Ù Ñ Ó Ý Ó Ý Ò Ò Þ Ý V ¹M¹ Ò Ö Ù ÐØ Ö Gº ÌÙ Ù Ó Ý ÖÑ ÐÝ p, q G Ø Ò Ð Ø Þ r G Ñ ÐÝÖ r p, q Þ Þ r p, q Å ÐÐ Ö ÐØ Ø Ð Ø Ø p q Þ Þ Öò Ò Ø ÖØ ÐÑ Þ Å ÐÐ Ö Øº Ì Ø ÞØ Ô Ù Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ø G¹ Ð ÐØ Ø ÐÒ Ú Ò Þ Ú Ø Ð Ò º Ñ ÐÐ ØØ p, q G ÓÖ rt(p) rt(q) Ú Ý rt(q) rt(p) Ð Ò Ò p q Ý Ú ÓÖÓÞ Ø Ð ÒÒ Ñ Þ Ð Þ Ð Ô Ò Ð Ø ØÐ Òº Ì ÒØ D h = {p M rt(p) h} Ö Þ ÐÑ ÞÓ Ø Ñ Ò Ò h ω¹ö º Þ ÐÑ Þ òöò Ñ Ú Ð Ø Ø Þ Ð p Šй Ð Ö ÐØ Ø ÐÖ h ω Ñ Ö p¹ò Ú Ò h Ð ØØ Þ Þ h¹ò Ð Ó Þ Ð Þ ÔÓÒØ ÑÓÒ Ù σº ÓÖ p[σ] p Ð Ø Ø Þ D h Ò Ò Þ Ö ÔÐ ÐØ Ø ÐÒ Ø Ø D h Ú Ð Ò òöò V ¹ Ð Ñ ÖØ V ¹ Ò ¹ Ò Ð Ø º Å Ú Ð G Ò Ö Ù ÐØ Ö Þ ÖØ Ñ Ò Ò D h ¹Ú Ð Ú ØØ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö º Þ Ð Ô Ò Ú Ð Ó Ó Ý G = p = {, (m 0 ), (m 0, m 1 ),(m 0, m 1, m 2 ),...} p G ÐÑ Þ Þ Þ Öò Ò Ý ØÐ Ò Ú Ø Ð Ò º Þ Ú Ø Ð Ò ÞÓÒÓ Ø Ø ω ω Ý Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ð Ñ Ú Ð ÒØ Ð Ö Þ Ö ÒØ Ú Ø Ð Ò ÓÞ Ø ÖØÓÞÞÓÒ Þ (m 0, m 1, m 2,...) ω ω Ú Ð º V ÑÓ ÐÐ G¹Ú Ð Ú Ð ¹ Ú Ø Ú Ð Ø Ø Ú Ð Ò ω ω Ý Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ð Ñ Ú Ð Ú Ø V ¹Ø ÞØ Ò Ú ÞÞ Å ÐÐ Ö Ú Ð Ò Þ Ð Ñ Ð Þ V [G] ÑÓ ÐÐÒ º Å Ù Å ÐÐ Ö Ú Ð ÒÓÒ Ù Ò Ú Ø Ñ ÐÝ Ø ṁ¹ Ð Ð Ð Ò º Ä Ý Ò ṁ = { p, ˇσ p M, σ rt(p)},

18 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½ Ñ Ú Ð Ò Ò Ú Ù Ý Ò p V ÓÖ σ rt(p) V ¹ Ò Ú Òº Æ ÞÞ ṁ ÖØ Ð Ø G Ò Ö Ù ÐØ Ö Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ {ˇσ G p G, σ rt(p) } = {σ p G, σ rt(p)} = p G rt(p). Þ Ú Ð Ò ÐÝ Ð Ö Ñ ÖØ ÒÒ Ú Þ Ý h Ó Þ σ Þ Þ Ð Ø Ø Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ð Ø Þ p G Ó Ý σ rt(p) ÓÖ Ñ ÐÐ Ô Ø ÙÒ Ñ Þ Ö ÒØ G¹ Ð ÐØ Ø Ð Ý Ö Ø Ö ÞØ ÝÑ Ø Ñ Ò Ò ÔÔ Ò Þ Þ Öò Ó Ý σ Ñ Ò Ò G¹ Ð Ò ÒÒ Ð Ý Òº Å Ö ÒÝ Ò G Ú Ø Ð Ò h Ó Þ σ Ð Ñ Ø Ú Þ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ÞØ Ñ Ò Ò p G Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ú Ð G D h Ò Ñ Ö Þ ÖØ Ð Ø Þ p G Ó Ý σ rt(p) Ø Ð Ðº Ú Ø Þ Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó Ð ÒÝ Ò ÓÐÝ Ñ Ø ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ý Å ÐÐ Ö ÐØ Ø Ð Ú Ø Ð Ò Ø ØÙ Å ÐÐ Ö Ú Ð Ò ÓÒ ÓÐÒ º ½º º º ýðð Ø º Ä Ý Ò p M Ø Ø Þ Ð σ p ÓÖ p[σ] ṁ σ = σ º ÞÓÒÝ Ø º Î Ð Ò Ð Ò Ú Ø Þ Ø ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ò º À p[σ] G ÓÖ ṁ σ ÖØ Ð G Þ Ö ÒØ Ñ Ý Þ σ¹ú к Þ Ú ÞÓÒØ ṁ Ò ¹ Ð Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Þ Ò Ñ Ò Ò p M Ø Ò σ rt(p[σ]) Ø Ð Ð Ø Ø σ rt(p[σ]) ṁ G Ø Ð Ðº ½º º½¼º ýðð Ø º Ä Ý Ò p M n ωº À p ṁ n P ØÙÐ ÓÒ ÓÖ Ñ Ò Ò σ p σ = n Ø Ò σ P ØÙÐ ÓÒ º ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ò p M n ω Ø Ò Ò Ñ Ø Ð Ð Ø Ø Ð Ø Þ Ý σ p σ = n Ó Ý σ Ò Ñ P ØÙÐ ÓÒ º Þ Ð Þ ÐÐ Ø Þ Ö ÒØ ÖÖ σ¹ö p¹ö p[σ] ṁ σ = σ Ñ Ð Þ Ú Ø Þ Ó Ý p[σ] ṁ n Ò Ñ P ØÙÐ ÓÒ º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ø ØÐ Ò Ñ ÖØ Þ p Ø Ö ÞØ ÝÑ Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ ÐÐ Ø Ó Ø ÓÖ ÞÓÐÒ º ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Þ Ò Ð Þ Ö Ó Ý Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ý Ñ Ó ØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÞÒ Ð Ù Þ ÖØ Ú Þ Ø Ò Ú Å ÐÐ Ö Ó¹ ÐÑ Øº ½º º½½º Ò º Ý p M ÐØ Ø Ð Ò Ú Å ÐÐ Ö Ø Ø Þ Ð σ p Ø Ò Ñ Ò Ò τ succ p (σ) Ð ÑÖ τ ÙØÓÐ Ø Ò ÝÓ Ñ ÒØ σ ÙØÓÐ Ø Þ Þ σ( σ 1) < τ( τ 1).

19 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½ ÁÐÝ Ò ÓÖ Ú Ø Þ Ó Ý succ p (σ) { τ τ = σ k, k > σ( σ 1) } º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Ó Ý Å ÐÐ Ö Ò Ú Å ÐÐ Ö Þ ØØ Ñ ¹ Ø Ý Ö Ð Ø ÖØ Ý Ú Ð Ó Ó Ý Ù Ý Ò ÞÓ Ø Þ ÐÐ Ø Ó Ø Ð Ø ÓÖ ÞÓÐÒ Ú Ð º ØÓÚ Ò Å ÐÐ Ö Ò ÐÐ ØÚ ÐØ Ø Ð Ò Ñ Ò Ò Ú Å ÐÐ Ö Ø ÖØ Ò º ½º º½¾º Ä ÑÑ º Þ M Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÔÖÓÔ Öº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò M Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ Ó Ý p M p, M Mº ËÓÖÓÐ Ù Ð Þ M¹ Ð ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ ÞÓ Ø Þ Þ Ð Ý Ò {D n } = {D D M òöò ÒÝ ÐØ} M. ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý Ð Ø Þ Ý q p ÐØ Ø Ð Ó Ý Ñ Ò Ò n ω¹ Ö q Ġ D n M º ÞØ q p ÐØ Ø ÐØ Þ Ú Ð Ó Ù Ð ÐÐ Ø Ò Þ Þ Ò ÙÐÙÒ Þ ÓØØ p Ð Ð Ô Ö Ð Ð Ô Ö Ñ Ù Þò Ø Ø Ö Þ Ø Ý Ó Ý Þ Ò ÞÓÒÝÓ Ó Ö Ð ÞØÓ Ø Ù Ó Ý Þ Ú Ò ÒÒ Ð Þº ÁÐÝ Ò ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý ÓØ Ý ÞØ Ù º Å Ò Ò s ω <ω ¹Ö Ð Þ Ø Ò Ý q s M M ÐØ Ø ÐØ Ý Ó Ý t s Ø Ò q t q s s Ó Þ n ÓÖ q s D n Ø Ð Ðº Þ Ö ÐØ Ø Ð Ö Ó Ù Ñ ÖÒ Ó Ý rt(q s ) ÒÒ Ð Þ q Ò Ø Ñ Ò Ò ÞÚ ØÐ Ò Ö Ú Ø Þ Ø Ñ Ö Ò º Ä Ý Ò q Ú Ø Þ º Ì ÒØ q (q p q D 0 ) ÓÖÑÙРغ Þ Ý V ¹ Ò Þ ÓÖÑÙÐ p, D 0, M M Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ Þ ÖØ M¹ Ò Þ Ø Ø Ð Ø Þ q M D 0 º ÓÖ Ñ Ö t = rt(q ) ÓØ Ñ Ò Ò Ö Ú Ø Þ Ø q ¹ Òº ÅÓ Ø Ø Ý Ð Ó Ý s ω <ω ¹Ö Ñ Ö q s ¹ Ø n = s q s Ý Ö t s Ý ÞØÓØØ ÔÓÒØ Þ ÓÖ Ò Ñ Ò Ò Ö Ú Ø Þ Ø Ñ Ø ÖØ Ù º Î ¹ Ý succ qs (t s ) Ö Ú Ø Þ Ý {σ k } k ω Ð ÓÖÓРغ ÓÖ ÓÒÐ Ò Þ Ð Ð Ô Þ q s k (q s k q s [σ k ] q s k D n+1 ) ÓÖÑÙÐ M¹ Ò Þ Ø Ø Ð Ø Þ q s k M D n+1 ÐØ Ø Ð Ñ ÐÝÖ q s k q s [σ k ] ÒÒ Ðк ÓÖ Ý ÞØ Ù t s k = rt(q s k) Óغ Þ Ð Ô Ò Ñ Ö Ñ Ø Ù q ÐØ Ø Ðغ Ä Ý Ò q Þ s t s ÐÑ Þ Ð Þ Ö Þ Þ σ q ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Þ s ω <ω Ó Ý σ t s º Þ q Ý Å ÐÐ Ö ÐØ Ø Ð Ñ t s ¹ ÝÑ ÓÞ Ú Ð Ú ÞÓÒÝ Ð Ú Ð Ó Ò Ð Ø Þ º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ú Ð Ò º Þ Þ Ò Ð Þ Ý Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ö º

20 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½ ½º º½ º ýðð Ø º Ä Ý Ò P V Ý ÒÝ Þ Ö ÔÞ Øº À r D M ÓÖ r Ġ D M ÓÐ M Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ V ¹ Ò D M ÒÝ ÐØ òöò P¹ Ò Ġ Ò Ö Ù ÐØ Ö Ò Ú º ÞÓÒÝ Ø º Þ r D M ÐØ Ø ÐÒ Þ Ò Ø Ò ½ r D M º Þ r r Ġ Ô Ú Ð Ó Þ Ò Þ ÔÓÒØÓ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý r G ÓÖ V [G] = r ĠG Þ Ô ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð Ðº ÞØ Ô Ù Ó Ý r r Ġ D M Ø Ø r Ġ D M º ÅÙØ Ù Ñ ÒÒ Ø Ú Ð Ó Ý q º Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ò Ý n ω Ñ ÐÝÖ q Ġ D n M º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ú Ò q q Ó Ý q Ġ D n M = º Î Ð Ó Ó Ý Ð Ø Þ q ¹Ò ÓÐÝ Ò q Ø Ö ÞØ Ñ ÐÝÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò n Ó Þ s ω <ω ¹Ö q q s Ø Ð Ðº Å Ú Ð q s D n M Þ ÖØ ÐÐ Ø ÙÒ Þ Ö ÒØ q s Ġ D n M º ÓÖ q Ø ÝÑ Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ ÐÐ Ø Ø ÓÖ ÞÓÐ ÐØ Ø Ð Þ Ø Ö ÞØ Ñ Ð Ø ØÐ Òº ÞÞ Ð Ð ØØÙ Ó Ý M ÔÖÓÔ Öº Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÔÖÓÔ Ö ØÙÐ ÓÒ Ò Þ Ò Ø Ò Ó Ñ ÞÒÓ ØÙÐ ÓÒ Ð Ö Ò Ð Þ º ÁÐÝ Ò Ô Ð ÙÐ Þ Ó Ý ÔÖÓÔ Ö ÓÖ ÞÓÐ Ñ Ò Ñ ÖÞ Þ ω 1 Þ ÑÓ ÓØ Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ø Ö ÐØ Ö Þº ½º º½ º Ò º Ä Ý Ò P V Ý ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø κ Ý Þ ÑÓ V ¹ Òº ÞØ ÑÓÒ Ù P¹Ö Ó Ý κ ÒØ Ð Ò ÐØ Ø Ð Ö Ú Ò κ¹cc κ¹ Ò ÓÒ Ø ÓÒµ Ñ Ò Ò P¹ Ð ÒØ Ð Ò Þ ÑÓ κ¹ò к ½º º½ º ýðð Ø º Ì Ý Ð Ó Ý P V Ý κ¹cc ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÓÐ κ Ý Ö ÙÐ Ö Þ ÑÓ V ¹ Òº ÓÖ P Ñ Ö Þ Ñ Ò Ò θ κ Þ ÑÓ ÓØ Þ Þ θ V = θ V [G] º Þ ÐÐ Ø Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð º º Ä ÑÑ Ð Ô Ò Ð Ó Ù º ½º º½ º ýðð Ø º Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ñ ÖÞ Þ Þ κ (2 ω ) + Þ ¹ ÑÓ Óغ ÞÓÒÝ Ø º Þ ÒÒ Ø ÒÝÒ Þ Ý Þ Öò Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý M¹ Ò Ý Ñ Ü Ñ Ð ÒØ Ð Ò Ñ Ö Ø Ð Ð ÓÖ Ñ ÒØ M 2 ω <ω = 2 ω º Ì Ø M Ý (2 ω ) + ¹CC ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ø Ø Þ ½º º½ º ÔÓÒØ Þ Ö ÒØ Ø Ð Ð Þ ÐÐ Ø ÙÒ º ½º º½ º ýðð Ø º M Ð Ð ω 2 Ó Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ø Ö Ðع Ö Ñ Ò Ò κ (2 ω ) + Þ ÑÓ Ñ Ñ Ö º

21 ½º Â Ì Ì Ò Ú Þ Ø ½ ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø ¼ ÓÐ º Ð Ô Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Ð Ó Ù º ½º º½ º Å ÝÞ º Ñ ÒÒÝ Ò ÐØ Þ CH¹Ø ÓÖ V = 2 ω = ω 1 V = (2 ω ) + = ω 2 Ø Ø ÞØ ÔØÙ Ó Ý Ñ Ò Ò κ ω 2 Þ ÑÓ Ñ Ñ Ö º ÔÖÓÔ Ö Ñ ØØ ω 1 Ñ Ñ Ö Ø Ø P ω2 Ñ ÖÞ Þ Þ Þ ÑÓ Óغ Ñ ÐÐ ØØ α < ω 2 ¹Ö P α Ð Ð ω 1 Ú Ð Ø ÓÞÞ ÑÓ ÐÐ Þ Ø Ø ÓÖ ÞÓÐØ V α ÑÓ ÐÐÖ V α = CH Ø Ð Ðº Å Ý ÞÒ Ò Ó Ý ω 2 Ó Þ Ø Ö Ð Ø Ò Ú ÞÓÒØ Ñ Ö Ò Ñ Ó Ø Ð ÐÒ CH Þ Ò ÓÖ Ñ Ö Ð Ð ω 2 Ú Ð Ø ØÙÒ ÑÓ ÐÐ Þ Þ Þ ÑÓ Ò Ñ ÓÑÐÓØØ Þ º

22 ¾º Þ Ø ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾º½º Å Ø Þ Ö ØÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÙÒ Ñ ÑÙØ ØÒ ZFC Ñ ÐÐ ØØ Ý ÞÓÒÝÓ ÐÐ Ø ÐØ Ø Ð ÓÒÞ ÞØ Ò¹ غ ¾º½º½º Ì Ø Ðº ZFC ÓÒÞ ÞØ Ò Ø ÐØ Ú ÓÒÞ ÞØ Ò ZFC Ñ ÐÐ ÓÞ¹ Þ Ú Þ ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò X R Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ C R ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý X C Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ C¹ Òº ¾º½º¾º Å ÝÞ º Î Ð Ò Ú Ð Þ ÑÓ ÐÝ ØØ Þ ω ω ÐÑ Þ Ò Ó ÙÒ ÓÐ ÓÞÒ º Ú Ø Þ ÐÐ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý Ñ ÖØ Ø Ø ÞØ Ñ º ¾º½º º ýðð Ø º Ñ ÒÒÝ Ò ZFC ÓÒÞ ÞØ Ò Ø ÐØ Ú ÓÒÞ ÞØ Ò ZFC Ñ ÐÐ ÓÞÞ Ú Þ ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò X ω ω Ñ Ó ¹ Ø Ö ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ C ω ω ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý X C Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ C¹ Ò ÓÖ ¾º½º½º Ì Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º½º½º ýðð Ø Ö Ø Ñ Þ Ó Ú ω ω ÐÑ ÞØ ÞÓÒÓ Ò Ø ÒØ Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ú Ðº Ð Þ Ö Ð Ù ÞØ Ó Ý X R ÔÓÒ¹ ØÓ Ò ÓÖ Ñ Ó Ø Ö X ω ω Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº Þ Ð Ó Ý R \ ω ω Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Q Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ñ Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ø Ö F σ ÐÑ Þ R¹ Ò Ý ω ω Ý òöò G δ ÐÑ Þ R¹ Òº ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Y ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Ö ¹ R¹ Ò Y ω ω Ð Ø Ö ω ω ¹ Ò Þ ÒÝ ÐÚ Ò Ð º Þ Ý Ö ÒÝ ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Ñ Ú Ð Þ Ð ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Y Ð Ö Ð Ý R¹ Ð U òöò G δ ÐÑ ÞØ ÓÖ U ω ω òöò G δ ÐÑ Þ ω ω ¹ Ò Y ω ω Ð Ö Ð U ω ω ¹Ø Ý Ð Ø Ö º Ñ Ö ÒÝ ÓÞ Ð Ý Ò Y ω ω Ð Ø Ö ω ω ¹ Òº ÓÖ Ú Ò Ý U òöò G δ ÐÑ Þ ω ω ¹ Ò Ñ Ð Ö Ð º ¾¼

23 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾½ Ä Ø Þ Ý U R¹ Ð G δ ÐÑ Þ Ó Ý U = U ω ω Ñ Ú Ð ω ω R ÐØ Ö U òöò R¹ Ò Ñ ÖØ òöò ÐØ Ö òöò Ö Þ òöò Ò Ý Ø Ö Ò º ÓÖ Y ω ω Ð Ö Ð U ω ω ÐÑ ÞØ Ñ òöò G δ R¹ Òº Y = (Y ω ω ) (Y Q), Ñ Ø Ð Ø Ö ÙÒ Þ Þ Ð Ø Ö º ÁÒÒ Ò Ñ Ö Ý Þ Öò Þ Ò ¾º½º º Ì Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ú Þ Ò Ý X R Ñ Ó Ø Ö ÐÑ ÞØ ÓÖ Ò ÞÞ Þ X = X ω ω ÐÑ ÞØ Ñ Þ Ð Ø Þ C ω ω ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý X C Ñ Ó ¹ Ø Ö C¹ Òº ÓÖ C Ð Þ X¹ Þ Þ Ò X C Ú Ñ ÒØ X C Ø Ø X C Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò C ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ñ ÖØ ÒØÓÖ ÐÑ ÞÒ Ð ÒÒ ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ ØØ Ð Ó Ý Ñ ÐÝ Ò ÐØ Ö¹ Ò Ò ÞÞ º ¾º½º º ÔÓÒØ Ò Þ Ö ÔÐ ÐÐ Ø ÓÞ Ó Ý Ñ Ò Ò X ω ω Ñ Ó ¹ Ø Ö ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ C ω ω ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý X C Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ C¹ Ò Ð Ø Þ Ý ϕ ÓÖÑÙÐ Ñ ÞØ Þ º Ì Ø ÞÓÐ Ò ÐÙÒ Ö Ú Ò Ð ÖÚ Ú Ø Þ Con (ZFC) Con (ZFC + ϕ). Þ Ð Ò Ñ ÒÙÒ Ý ÓÐÝ Ò ZFC ÑÓ ÐÐØ Ñ ÐÝ Ò ϕ Þº ÁÐÝ Ò ÑÓ ÐÐØ ÓÖ ÞÓÐ Ñ Þ Ö Ò Ø Ú Ð Ó ÙÒ Ð ÐÐ Ø Ò º Ã Ò ÙÐÙÒ Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ Ð ÓÖ ÞÓÐ Ø Ú Ð Ñ ÙÒ Ý Ñ ÓÖ ÞÓÐØ ZFC ÑÓ ÐÐØ Ñ Ò Þ ϕ Ñ Ö Ø Ð Ðº Ø Ò Ø Ø Ð Ò ÐÐ Ø Ò ÝÓÒ ÓÒÐ Ø ϕ ÐÐ Ø ÓÞ Ò Ý Ð Ò Ð Þ Ó Ý Ø Ö Ý ÐØ X ÐÑ ÞØ Ò ÙÐ ÑÓ ÐÐ Ð Ú Þ Ñ ÐÝÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ðع ÓÞ Ð Ø Þ Þ ÑÓ ÐÐ Ò Ý C ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ñ ÒØ Ø ØÙ º Ó ÐÑ ÞÞÙ Ñ ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø ÓÖÑ Ð Ò º ¾º½º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò V Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ M V Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Øº Ä Ý Ò X V Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ V M ¹ Ð Ċ Ò Ú Ý ÒØÓÖ ÐÑ ÞÖ ω ω ¹ Ò Ñ Ö Ð Ø Þ ÑÓ ÐÐ Ò Þ Ó Ý X Ċ Ñ Ó Ø Ö Ċ¹ Òº ¾º½º º Å ÝÞ º Ú Ø Þ Þ Ø Ò Ø Þ Ò Ù ¾º½º º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ¹ Ö Ý Þ Ø ØÓÚ Ö Þ Ò Ý Ð Ö Ó Ù Ð Ø Ø Ð ÐÐ Ø Øº ¾º½º º Ì Ø Ð ϕ ÓÖÑÙÐ ÐÐ Ø Þ ØØ Þ Ð ÒÝ Ð Ò Ó Ý Ø Ò Ø Ø Ð Þ ÑÓ ÐÐ Ò Ð Ú Ñ Ó Ø Ö ÐÑ ÞÓ Ö Ð ÐØ Ð Ò Ú Ú Ò Ñ ÑÓÒ ÑÑ Øº Î Þ Ð Ù Ñ Ó Ý Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ó Ý Ò ØÙ Ù Ñ Ñ ÑÙØ ØÒ ÐÙÒ Øº

24 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾¾ ¾º¾º Ì Ö Þ ÓÞ Ó Ý Ð ØÙ Ù ÞÒ ÐÒ ¾º½º º Ì Ø ÐØ Ø Ö ÐØ ÓÖ ÞÓÐ Ø Ó ÙÒ Ð ÐÑ ÞÒ Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ý ÐÑ Þ Ú ÑÓ ÐÐ Ò Ñ Ó Ø Ö ÓÖ Þ Þ Öò Ò Ú Ò Ý ÓÖ Ø Ö ÐØ Ñ ÐÝ Ò Þ ÒØ Ò Ñ Ó Ø Ö Ø Ø Ý ÓÖ ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ö Þ Ñ Ó Ø Ö º Ä Ý Ò P α α ω 2 ¹Ö Þ α¹ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ø Ö ÐØ Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ ØÒ º  РРV α ¹Ú Ð Ý V Ò ÙÐ ÑÓ ÐÐ Ð P α ÒÝ Þ Ö¹ ÔÞ ØØ Ð ÓÖ ÞÓÐØ ÑÓ ÐÐغ ÓÞ Ó Ý Ð Ù Ø Ö Þ Ø Ý ÓÐÝ Ò Ñ Þ ÑÐ Ð Ø V ÑÓ¹ ÐÐ Ð Ó ÙÒ Ò ÙÐÒ Ñ ÐÝ Ò Ø Ð Ð CH Þ Þ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÔÓØ Þ º ÓÖ Ó Ý ÞØ Ñ Ö Þ ½º º½ º ÔÓÒØ Ò Ð ØØÙ P ω2 ¹Ú Ð Ú Ð ÓÖ ÞÓÐ ÓÖ Ò Ñ ÐÝ κ ω 2 Þ ÑÓ Ò Ñ ÓÑÐ Þ ÔÖÓÔ Ö Ñ ØØ ω 1 Ñ ÓÑÐ Þ º Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ò Ò α ω 2 Ø Ò V α ¹ Ò Ø Ð Ð CHº ¾º¾º½º Ä ÑÑ º Ì Ö Þ µ Ä Ý Ò P ω2 Þ ω 2 ¹ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ø Ö ÐØ Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö¹ ÔÞ ØÒ V Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ Ý Ó Ý P ω2 V º Ä Ý Ò X V ω2 Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ α ω 2 Ó Ý V α = X V α Ñ Ó Ø Ö º ÞÓÒÝ Ø º ÓÞ Ó Ý Ø Ö Þ Ø Ð Ù ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð ÞÒ Ð¹ Ù ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø Ó Ý Å ÐÐ Ö ÓÖ ÞÓÐ ω 1 Ó Ò Ð Ø ω 2 Ó Ò Ð Ø Ø Ö ÐØ Ò Ñ Ð Ø Þ Ú Ð Ä ÑÑ ½º¾¼ º À ÞØ Ð Ó Ù ¹ ÓÖ Ð Ò Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò α Ñ ÐÝÖ X V α Ð Ö Ð Ñ Ò Ò V α ¹ Ð Ð Ø Ö F σ ÐÑ Þغ Å ÙÒ Ñ Ò Ò α ω 2 ¹Ö Ý Y α X Ø Ò Ø ÖÖ Ó Ý X Ð Ö Ð Ñ Ò Ò V α ¹ Ð Ð Ø Ö F σ ÐÑ Þغ Å Ú Ð V α ¹ Ò CH Þ Þ ÖØ ω 1 Ó F σ ÐÑ Þ Ú Ò ÒÒ Ø Ø Ð Ð Ù Ý Ò ÒÒÝ Ð Ø Ö F σ º Þ Ø ÓÖÓÐ Ù Ð Þ {F γ } γ ω1 ÐÑ Þ Òº Å Ò Ý F γ ¹ ÓÞ Ú Ð ÞØ ØÙÒ Ý X¹ Ð x γ Ð Ñ Ø Ó Ý x γ / F γ Þ Ò X Ñ Ó Ø Ö V ω2 ¹ Ò Þ ½º º º ýðð Ø ÙÒ ÖØ ÐÑ Ò F γ V ω2 ¹ Ò Ð Ø Ö º Å Ò Ò x γ Ð Ö Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ò β γ ω 2 ¹Ö V βγ ¹ Ò Ù Ý Ò ω 2 Ó Ò Ð Ø Ø Ö ÐØ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ú Ð º Ì ÒØ Ð ÐÝ Ò β γ ¹ غ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Y α ÐÑ ÞØ Ý Ù Ñ Ñ ÒØ Þ x γ ÔÓÒØÓ Ý Ø Ø ÓÖ ÖÖ Y α V β Ø Ð Ð ÓÐ β = sup γ ω 1 {β γ }.

25 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾ Þ β ÞØÓ Ò Ð Ñ ω 2 ¹Ò Ù Ý Ò Ð Ð ω 1 Ó Ò Ð Ø ÐÑ Þ ÞÙÔ¹ Ö ÑÙÑ ÒØ ÐÐ Ð º Å ÙÒ Ý f : ω 2 ω 2 Ú ÒÝغ Ý α Ð Ñ Þ Ö Ò Ð ÓÞÞ β Ð Ñ Ø Y α ¹ ÓÞ β Ð Ó Ý Y α V β Ø Ð Ðº Þ Ð Ô Ò Ð Ò Ð ÒÒ Ñ ÒÙÒ Ý α ω 2 Ð Ñ Ø Ó Ý f(α) α Ù Ý Ò ÓÖ α Ñ Ð Ð Þ Ò Ò Þ Ø Ò Y α Ö Þ ÐÑ Þ V f(α) V α ¹Ò Ð Ö Ð Ñ Ò Ò Ð Ø Ö Ø V α ¹ Ò Þ Þ Y α Ý X V α Ñ Ó Ø Ö V α ¹ Òº ¾º¾º¾º ýðð Ø º Ì Ø Þ Ð g : ω 2 ω 2 Ú ÒÝÖ Ø Ø Þ Ð α 0 ω 2 Ð Ñ Þ Ð Ø Þ Ò Ð Ò ÝÓ ω 1 Ó Ò Ð Ø α ω 2 Ý Ó Ý Ñ Ò Ò β < α Ø Ò g(β) < αº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò α 0 ω 2 ÓØغ Ê ÙÖÞ Ú Ò Ñ ÙÒ Ý Þ ÓÖ Ò Ò Ú {α ξ } ξ ω1 ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ ÐÝÒ ÞÙÔÖ ÑÙÑ Ð Þº Ä Ý Ò ( ) α ξ = sup {α η + 1 η < ξ} {g(β) η < ξ, β < α η }. Ä Ý Ò α = sup ξ<ω1 α ξ β < αº g(β) α ξ+1 < α ξ+2 αº ÓÖ Ð Ø Þ ξ Ý Ó Ý β < α ξ Ý Ì Ö Ò Ú Þ Ä ÑÑ ÞÓÒÝ Ø Ö º Î Ý Ò Ý ω 1 Ó Ò Ð Ø α Ö Ò Þ ÑÓØ Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò β < α Ø Ò f(β) < αº Å Ú Ð ω 1 Ó Ò Ð Ø ÓÖ ÞÓÐ Ø Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ú Ð Þ ÖØ ω ω V α = ω ω β<α V β, ÐÐ ØÚ Ø Ø Þ Ð Y ω ω Ø Ò Y V α = Y β<α V β Ø Ð Ðº Ð Ò V α ¹ Ò Ð Ú Þ F σ Ð Ø Ö Ð ÓÖ ÙÐ ÓÖ Ò Ø Ø Ø ÒØ Ñ Ò Ò β < α¹ö Þ Y β ¹ Ý Ø Ø ÓÖ Þ Ø Ò V α ¹ Òº Ñ ÐÐ ØØ V β V α β<α Y β β<αv f(β) β<α Ø Ð Ð Ø Ø ÖÖ Þ α¹ö f(α) αº ÞÞ Ð ÞÓÒÝ ØÓØØÙ Ø Ö Þ Øº

26 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾ ¾º º Ã Ø Ö ÖÞ ÞØ Ñ Ö ØÙ Ù Ó Ý Ú Þ Ò Ý Ø Ø Þ Ð X ω ω Ñ Ó Ø Ö ¹ ÐÑ ÞØ V ω2 ÑÓ ÐÐ Ò ÓÖ Ð Ø Þ Ý ÓÐÝ Ò ÞØ Ø Ö ÐØ Ñ ÐÝ Ò Ø Ö Þ Ñ Ó Ø Ö º Ì Ø Ð Ø Þ α ω 2 Ó Ý V α ¹ Ò Þ Ó Ý X V α Ñ Ó Ø Ö º ÓÐÝØ Ø ÓÞ Ý Ð Ö Ð Ó¹ Ú ¾º½º º Ì Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ñ ÐÝÒ ÞÓÒÝ Ø ØÓÚ Ø Ð ØÐ Ò Ð Ö Ø Ù Ó Ý V α ÑÓ ÐÐØ Ú Þ Ò ÙÐ ÑÓ ÐÐÒ ÓÖ Ú Ø¹ Þ Þ Þ Þ α + 1¹ Ø Ö ÐØ Ò Ú Ò Ý ω ω ¹ Ð C ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ñ Ö V α+1 = (X V α ) C Ñ Ó Ø Ö C¹ Òº ÅÓÒ ØÒ Ò Ó Ý Þ C ÐÑ Þ Ð Þ Ú ÑÓ ÐÐ Ò Ñ ÖØ Ò Ò Þ ÐÐ Ó Ý X C Ð Ý Ò Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò Þ X C Ú ÐÑ Þ Ñ ÒØ Þ (X V α ) C Ø Ø Þ Ñ Ó Ø Ö º ÞÞ Ð Ú ÞÓÒØ Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ý Ý Ð Ö ÑÑ Ò Ñ Ö ÒØ Ð Ò Ò Ó Ý Ý Å ÐÐ Ö ÓÖ ÞÓÐ ÙØ Ò Ý Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ Ñ Ó Ø Ö Ñ Ö º ÒÒ Ð Ò Ö Ó Ý ω 2 Ó Þ Ø Ö Ð Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ö ¹ Ñ Ó Ø Ö º ¾º º½º Ò º Ý P ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ø Ö ÖÞ Ñ Ò Ò V P Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ø Þ Ð X ω ω Ñ Ó Ø Ö ÐÑ ÞÖ ÓÖ ÞÓÐØ ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ð Ð Ó Ý X Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº ¾º º¾º Ì Ø Ðº Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ø Ö ÖÞ Ø Å ÐÐ Ö ÓÖ ÞÓÐ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ð Ð ω 2 Ó Þ Ø Ö ÐØ Ø Ö ÖÞ º ÒÒ Ð Ý Ö ÐÐ Ø Ø Ó ÙÒ Ð ØÒ Ñ Ô ÞØ Ó Ý M ÖÞ Ò Ø ÓÒ º½ Þ Ö ÒØ Ó Ò Ö Ð Ø ¾º º º Ò µº Þ ÖØ ÞØ Þ Ö ÐÐ Ø Ø Ð Ø Ù Ñ ÖØ Þ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Þ Ö ÒØ ÖÞ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ Ø Ö Ö Ñ Ö Þ Ò Ú Òº ÞÓÒÝ Ø ÙÒ Ñ ÖØ Þ Ò Ò Þ Þ Ø Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ö ÞÐ Ø Þ Ö ÞØ Ð Ó ÓØØÒ Ø ÒØ º ¾º º º Ò º Ä Ý Ò M Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ Ðк ÓÖ Ý c V ω ω ¹ Ð Ð ÑÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ó Ò M Ð ØØ c Ð Ö Ð Ñ Ò Ò M¹ Ð Ð Ø Ö Øº ¾º º º Å ÝÞ º Î Ð Ó Ó Ý Ú Ú Ð Ò Ð ÒÒ ÞØ Ú Ø ÐÒ Ò Ñ Ó Ý Ñ Ò Ò F σ Ð Ø Ö Ø Ö Ð Ò Ð Ñ Ú Ð Þ ÒØ Ò Ú Ú Ð Ò Þ ÐÐ Ò Þ Ö ÒÝ Ð Ó ÐÑ ÞÞÙ Ñ Þ Þ ÞØ Ú ØÐ Ñ Ó Ý c Ð ¹ Ý Ò ÒÒ Ñ Ò Ò M¹ Ð òöò G δ ÐÑ Þ Òº Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ò Ñ Ò Ò òöò ÒÝ ÐØ Ò ÒÒ Ú Ò Þ Þ c Ó Ò M Ð ØØ Ñ Ò Ò f M ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ Þ Ö c U f º

27 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾ ¾º º º Ò º Ý P ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÖÞ Ó Ò Ö Ð Ø Ñ Ò Ò M Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐÖ Ñ Ö P M p P M c Ó Ò M Ð ØØ ÓÖ Ð Ø Þ q p M¹ Ò Ö Ù Ó Ý Ø Ø Þ Ð f M ÒÝ ÐØ òöò Ò Ò Ú Ö q c Uf º ¾º º º ýðð Ø º À Ý P ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø ÖÞ Ó Ò Ø Ö ÖÞ º Ö Ð Ø ÓÖ P ¹ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò X V Ñ Ó Ø Ö º Î Ð ÒÝ ÞÓÖ M Ñ Þ Ñ¹ Ð Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ ÓÖ Ð Ø Þ c X Ó Ò M Ð ØØ Þ Þ Ø Ø Þ Ð F M Ð Ø Ö Ö c / F Ù Ý Ò {F M F Ð Ø Ö } Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÙÒ V ¹ Ò Ø Ø Þ Þ ÙÒ Ð Ø Ö Ñ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ý Ñ Ó Ø Ö ÐÑ ÞØ Ý X¹Ò Ú Ò Ð Ñ Þ ÙÒ Ò Ú Ð º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ F V Ò Ú Ý Ð Ø Ö Ö Ñ ÞÓÐ ÓÖ ÞÓÐØ ÑÓ ÐÐ Ò Ó Ý X Ð Ø Ö Þ Þ V [G] = X F G º ÓÖ Ð Ø Þ p P Ó Ý p X F º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ø Þ { f n } ÓÖÓÞ Ø ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ ÞÓ Ò Ò Ú Ú Ð Ó Ý Ý p p¹ö p F n U f n = º Ä Ý Ò M Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ ÓÐÝ Ò Ó Ý p, P, X M { f n } Mº ÓÖ ÒØ Ð Ô Ò Ð Ø Þ c X Ó Ò M Ð Øغ Ó Ò Ö Ð ÖÞ Ð ØÙ Ù Ó Ý Ð Ø Þ q p Ó Ý Ñ Ò Ò f M ÒÝ ÐØ òöò Ò Ò Ú Ö q c Uf º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ø ØÐ Ò Ñ ÖØ ÓÖ q p p Ý Þ ÖÖ ÓÖ ÞÓÐ Ú Ø Þ Ø c F, c U f n, F U f n =, Ñ ÐÝ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò ÝÑ Ò º ÞÞ Ð Ð ØØÙ Ó Ý Ó Ò ÖÞ Ö Ñ ÒØ Ø Ö ÖÞ º Ö Ð ¾º º º Ä ÑÑ º M ÖÞ Ó Ò Ö Ð Øº ÞÓÒÝ Ø º Ú Ø Þ Ø ÐÐ Ð ØÒÙÒ Î Ð ÒÝ ÞÓÖ M Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ð Ñ Ö ÞÑÓ ÐÐ Ñ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ Þ¹ Þ Þ M ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ø p M¹ Ø c Ó Ò M Ð ØØ ÓÖ Ð Ø Þ

28 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾ q p M¹ Ò Ö Ù Ó Ý Ø Ø Þ Ð f M ÒÝ ÐØ òöò Ò Ò Ú Ö q c Uf º Ö Ù Ð U f Ò Þ Ö ÒØ Ù Ý Ò ÞØ Þ Þ q c [ ] f(σ). σ ω <ω Î Ð Ó Ó Ý Þ Ú Ð Ò Ð Ð Ø Þ τ σ τ Ó Ý q f(σ) = τ ÓÐ c [τ]. Þ Ú Ð Ó Ù Ñ ÑÙØ ØÒ ÐÝ Ò q Ð Ø Þ Øº Å Ú Ð M Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Þ ÖØ Ø ÒØ Ø {D n } = {D D ÒÝ ÐØ òöò M¹ Ò} M, ÐÐ ØÚ { } { } f n = f f Ý ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ Þ Ò Ò Ú M ÐÑ ÞÓ Øº Þ Ð Ô Ò Ú Ø Þ ÐÐ Ø Ø Ó Ù ÞÒ ÐÒ º ¾º º º ýðð Ø º Å Ò Ò f M¹Ö p M M¹Ö Ð Ø Þ p p, σ ω <ω τ σ Ó Ý c [τ] p f(σ) = τ Ý Ó Ý p M Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º Ì ÒØ Vf = { [τ] p p, σ τ p f(σ) } = τ ÐÑ Þغ Þ ÐÑ Þ ÒÝ ÐØ òöòº ÆÝ ÐØ Ñ Ú Ð ÒÝ ÐØ¹Þ ÖØ ÙÒ òöò Ñ Ú Ð Ø ÒØ Ò Ý Ø Ø Þ Ð [σ] Þ ÒÝ ÐØ Ø ÓÖ Uf [σ] ÒÝ ÐØ Ð Ø Þ [τ] Þ ÒÝ ÐØ Ñ Ö Þ ÒÒ Ø Ø Þ Þ Ð ÑÑ ÖØ ÐÑ Ò Ú Ò p p Ñ ÐÝ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò τ σ¹ö ÓÖ ÞÓÐ ÞØ Þ Þ p f(σ) = τ º Vf ÐÑ Þ M¹ Ò Ò ÐØ ÒÝ ÐØ òöò Ø Ø c ÒÒ Ú Òº Ð Ò c ÒÒ Ú Ò Þ ÙÒ Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ò Ñ Ð ÙØÓÑ Ø Ù Ò Þ ÐÐ Ø º Þ ÓÖ Ò Ñ Ð ÓØ Ù ÐØ Ø Ð Ý p q (0) q (1)... ÓÖÓÞ Ø Ø Ý Ó Ý q (n) Ñ Ò Ò n ω¹ö Ú Ø Þ Ø Ø Ð Ø q (n) Ġ D n M, ÓÐ Ġ Ò Ö Ù ÐØ Ö Ò Ú, ¾º½µ q (n) c U f n. ¾º¾µ

29 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾ Å Ò Ò s ω <ω ¹Ö Ð Þ Ø Ò Ý q s M M ÐØ Ø ÐØ Ý Ó Ý t s Ø Ò q t q s q (n) ¹ Ø Þ n Ó Þ s ω <ω Ð Ñ Ö q s ¹ ÙÒ Ó Ò º Æ ÞÞ Þ Ð Ð Ô Øº Ä Ý Ò p ¾º º º ýðð Ø Þ Ö ÒØ ÐØ Ø Ð Þ f 0 ÒÝ ÐØ òöò Ò Ú Ö p M ÐØ Ø ÐÖ º ÓÖ p p p Mº Ì ÒØ q (q p q D 0 ) ÓÖÑÙÐ Ø Ñ ÐÝ Ý V ¹ Ò Þ ÓÖÑÙÐ º Å Ú Ð p, D 0 M Þ ÖØ ÓÖÑÙÐ M¹ Ò Þ Ø Ø Ð Ý Ò q M ÐÝ Òº ÓÖ Ý ÞØ Ù q Ý Ö Ø Ñ Ò Ò ÞÚ ØÐ Ò Ö Ú Ø Þ Ø Ñ Ø ÖØÙÒ q (0) ¹Ø Ô Ò Ð Ù Ý Þ Öò¹ Ò q ¹Ò º ÅÓ Ø Ø Ý Ð Ó Ý s ω <ω ¹Ö Ñ Ö q s ¹ Ø n = s q s Ý Ö t s Ý ÞØÓØØ ÔÓÒØ Þ ÓÖ Ò Ñ Ò Ò ÞÚ ØÐ Ò Ö Ú Ø Þ Ø Ñ ¹ Ø ÖØ Ù º Î Ý succ qs (t s ) Ö Ú Ø Þ Ó Ý {σ k } k ω Ð ÓÖÓРغ ÓÖ Ð Ý Ò p s k ÓÒÐ Ò Þ Ð Ð Ô Þ ¾º º º ýðð Ø Þ Ö ÒØ ÐØ Ø Ð Þ f n+1 ÒÝ ÐØ òöò Ò Ú Ö q s [σ k ] M ÐØ Ø ÐÖ º ÓÖ p s k q s [σ k ] Ý M M¹ Ð ÐØ Ø Ðº ÒØ Þ ÓÒÐ Ò Ø ÒØ ÓÖÑÙÐ Ø Ý Ô Ù q s k M¹ غ q s k (q s k p s k q s k D n+1 ) Þ Ñ Ö Ø Ò Ð Ý Ò q (n) ÞÓÒ q s ¹ Ý Ø Ñ ÐÝ Ö s = n Þ Þ q (n) = q s, s ω <ω s =n Ñ ÐÝ Ö Ð Þ Ð ÐÐ Ø Ñ ØØ ØÙ Ù Ó Ý q (n+1) q (n) t s q (n) Ñ Ò Ò s¹ö s nº Ä Ù ¾º½µ ¾º¾µ ÔÓÒØÓ Øº Ì Ý Ð Ð ÒØ Ó Ý ¾º½µ Ò Ñ Ø Ð Ð Ý ÓØØ n Ø Òº Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ð Ø Þ Ý q q (n) Ñ ÐÝÖ q Ġ D n M = º Î Ð Ó Ó Ý Ð Ø Þ q ÓÐÝ Ò Ø Ö ÞØ q ¹Ò Ñ ÐÝÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò n Ó Þ s ω <ω ¹Ö q q s Ø Ð Ðº Å Ú Ð q s D n M Þ ÖØ Þ ½º º½ º ýðð Ø ÙÒ Þ Ö ÒØ q s Ġ D n M º ÓÖ q Ø Ò ÓÑÔ Ø Ð ÐØ Ø Ð Þ Ø Ö ÞØ Ñ Ð Ø ØÐ Òº Ì Ý Ð Ó Ý ¾º¾µ Ò Ñ Ø Ð Ðº ÒØ Þ ÓÒÐ Ò Ð Ò Ò Ð ¹ Ø Þ Ý q q (n) ÐØ Ø Ð Ñ ÐÝÖ q c / Uf n Ð Ø Þ q Ø Ö Þ¹ Ø q ¹Ò Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ n Ó Þ s ω <ω ¹Ö q q s Ø Ð Ðº ÓÖ q q s p s Ñ ÐÝ Þ ¾º º º ýðð Ø ÖØ ÐÑ Ò Ð Ø Þ τ σ τ Ó Ý p s f n (σ) = τ ÓÐ c [τ]º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ø ØÐ Ò Þ Ò ÓÖ q ¹ Þ Ø Ö ÞØ p s ¹Ò q ¹Ò Þ ÝÑ Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ ÐÐ Ø Ø ÓÖ ÞÓÐÒ Ø Ø Ò ÓÑÔ Ø Ð º

30 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾ ÓÖ q = n q(n) Ý M¹ Ð ÐØ Ø Ð Ð Þ Ñ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ s ω <ω t s Ð Þ Ö. Þ ÒÒÝ Ò Ð Ø Þ Þ Ð ÐÐ Ø Ð Ù Ý Ò Ú Ð Ó Ó Ý q Ð Þ ÔÓÒØ t s ÔÓÒØÓ Ò Ð ØÒ Ñ Ú Ð t s q (n) Ñ Ò Ò s n Ø Ò Þ ÖØ q Ñ Ý Þ Þ ÙÒ Ð Þ Ö Ú Ðº Þ Ð Ö ÞØÓ Ø Ó Ý ÐØ Ø Ð M¹ Ð Þ Ò Ø Ò ÒÒ Ó Ý Ñ Ò Ò s s ω <ω ¹Ö t s t s Ø Ð Ðº Ñ Ø Þ Ø ÒØ Ú Ð Ð Ö ÞØÓ Ø Ó Ý q Ø Ö ÞØ q (n) ¹ Ø Ñ Ò Ò n ω¹ö Ñ Ú Ð Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý q Ý M¹ Ò Ö Ù ÐØ Ø Ð q c U f Ø Ð Ð Ø Ø Þ Ð f M¹Ö º ÞÞ Ð Ð ØØÙ Ó Ý M ÖÞ Ó Ò Ö Ð Øº ¾º º º Å ÝÞ º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÒØ Ô Ù Ó Ý M Ø Ö ÖÞ Ú Ð ¹ Ò Þ Ñ Ð Ò Ò Ò Ñ ÖØ Ð ÒÐ Ý Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Ð ÐÑ Þ Ñ Ö Ñ Ó Ø Ö Ò Ò ÖÖ Ú Ò Þ Ò Ó Ý Þ Ý ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓÒ Ð Ð Ø Ð Ðº ¾º º½¼º ýðð Ø º Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ø Ö ÖÞ ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓÒ ¹ Ð Ð Þ Þ C Ý ÒØÓÖ ÐÑ Þ X C Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò ÓÖ X ÓÖ ÞÓÐØ ÑÓ ÐÐ Ò Ñ Ó Ø Ö C¹ Òº ÞÓÒÝ Ø º ÒÒ Ý Ú ÞÐ ØÓ ÞÓÒÝ Ø Ø Ù Ñ º ÞÓÒÝ Ø Ø Ú Þ Ú Þ Ø M Ø Ö ÖÞ Ö º Þ ω ω ÐÑ ÞÒ Ð Ø Þ Ý Ω Ø ÖÑ Þ Ø Ò ÓÑÔ Ø Ó Ý Ω ÓÑ ÓÑÓÖ ÒØÓÖ ÐÑ ÞÞ Ð Ω \ ω ω Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÐÑ Þº à ÓÐ Ù ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓ Þ ØØ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ó Ø Ú Ø Þ ¹ ÔÔ Òº Ý h : C C ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓ Þ ØØ ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ ÓÞ Ð Ý Ò f Ú ÒÝ h f Ñ Ó Ý C Ñ ÐÝ ÒÝ ÐØ¹Þ ÖØ ÐÑ ¹ Þ Ø C ¹Ò Ñ ÐÝ ÒÝ ÐØ¹Þ ÖØ ÐÑ Þ Ô Þ Ð º Ý f Ý 2 <ω 2 <ω Ø ÔÙ Ú Òݺ Å Ú Ð C ÒØÓÖ Ý ÓÑÔ Ø Þ ÖØ Ú Ð ÒÝ ÞÓÖ Ø Ò¹ Ø Ò C¹ Ò Ý ÒÝ ÐØ¹Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ Ð ÐÐ ÔÓÒØÖ Þ ÓÖÓÞ ØÓØ Þ Þ Ý {F n } ÓÖÓÞ ØÓØ Ý Ó Ý F n+1 F n Ñ Ò Ò n ω¹ö diam(f n ) 0 ÓÖ n F n Ý Ð Ñòº Å Ú Ø Ð ØÓÚ Ó Ý f h : C C ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ ÓÐ ÓÖ Ú Ð ÒÝ ÞÓÖ {F n } Ý Þ ÒÝ ÐØ¹Þ ÖØ Ð ÐÐ ÔÓÒØÖ Þ ÓÖÓÞ Ø ÓÖ {f(f n )} ÓÖÓÞ Ø Þ ÒØ Ò ÔÓÒØÖ Þ ÓÖÓÞ Ø Ð Ý Òº Þ ÒÚ ÖÞÖ ÓÒÐ Òº ÓÖ f ÓÐ

31 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¾ h f Ý Þ Öò Ò º Ý x C Ð ÑÖ Ú Ý Ò C¹ Ò Ý Þ ÒÝ Ðع Þ ÖØ Ð ÐÐ Þ x ÔÓÒØÖ Þ {F n } ÓÖÓÞ ØÓØ Þ Þ {x} = n F nº Ä Ý Ò {h f (x)} = f(f n ). À f h ÓÖ Ú Ð Ó Ó Ý h f = hº Ì Ö Ò Ö ÞÓÒÝ Ø Ö º Ä Ý Ò C ÒØÓÖ ÐÑ Þ ÓØØ Ö Þ Ø Ò Ð Ý h : C Ω ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ ÓÞ Ø ÖØÓÞ f Óغ ¾º½º º ýðð Ø ¹ ÙÒ ÞÓÒÝ Ø Ú Ð Ø Ð Ò Ò Ð Ñ ÓÒ Ñ ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Ý X Ω ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ Ó Ø Ö X ω ω Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº Ð Ò X C ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò h f (X) ω ω Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº ¾º º º Ä ÑÑ ¾º º º ýðð Ø Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÒØ ØÙ Ù Ó Ý Þ ÙØ Ñ Ó Ø Ö Ø Ñ Ö¹ Þ Å ÐÐ Ö ÓÖ ÞÓÐ º ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ ÓÐ Ò Þ Ò Ø Ò Ø Ö Þ ÖØ Ð Ö ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ñ Ö Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ X Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò V ÑÓ ÐÐ Þ Ö ÒØ ÓÖ h f (X) ω ω Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Ò Ø Ø ÓÖ ÞÓÐØ ÑÓ ÐÐ Þ Ö ÒØ Þ ÙØ ØÓÚ Ö ÒÒ ÐÐ Ñ Ð Ú Ø Þ Ó Ý h 1 f (h f (X) ω ω ) X Ñ Ó Ø Ö C¹ Òº ¾º º½½º Å ÝÞ º ÓÒØÓ Ñ Ý ÞÒ Ò Ó Ý ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓÒ Ð Ð Ø Ö ÖÞ Ú Ð Ò Ý ÖØ Ò Ó Ý C ÒØÓÖ ÐÑ Þ ÓÖ ÞÓÐ ¹ Ð Ú Ð Ø ÐÐ ØÚ Ú Ð Ø Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÓÖÑ Ò Ð Ú ÒÒ ÓÐÚ ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ò º Ì ÒØ Ò Ô Ð ÙÐ Ý C ÒØÓÖ ÐÑ Þ ÓÞ Ý h C ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ø 2 ω C Þ ØØ Ñ ÐÝ Þ ÒØ Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ Ý f C Ý Ó Ý h fc = h C º ÓÖ Ý V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÑÓ ÐÐÖ C V Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ (2 ω ) V Ô h V f C ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ö º Å Ú Ð 2 ω Ø ÖÑ Þ Ø Ñ ÓÒ Ú Ð ÓÖ ÞÓÐ ÓÖ Ò ÙØÓÑ Ø Ù Ò C Ú Ø C V [G] = h V [G] f C ((2 ω ) V [G]). ¾º º Þ Þ Ö Ø ÐÙÒ Ó Ý ÞÓÒÝ Ø Ù ¾º½º½º Ì Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ ZFC ÓÒÞ ÞØ Ò Ø ÐØ Ø Ð ÞÚ ÓÒÞ ÞØ Ò ZFC ÔÐÙ Þ Ý ÞÓÒÝÓ ϕ ÓÖÑÙÐ Ý ØØ ÓÐ ϕ Þ ÓÖÑÙÐ Ñ ÐÝ Þ Ó Ý Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ñ Ò Ò X Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ Ý C ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý Þ Ö X C Ñ Ó Ø Ö C¹ Òº ÓÖ Å ÐÐ Ö Òݹ Þ Ö ÔÞ Ø Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ ω 2 Ó Þ Ø Ö ÐØ Ò Ø Ú Ð Ý V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ Ð Ò ÙÐÚ Ñ ØÙÒ Ý V ω2 Þ ÒØ Ò

32 ¾º Â Ì ÞÓÒÝ Ø ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ¼ ZFC ÑÓ ÐÐغ Î Ö Ñ ÒÝ Ò ÖÖ ÙØÙÒ Ó Ý Ò V ω2 ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ð Ð ϕ ÓÖÑÙÐ Ù Ý Ò Ø ÒØÚ Ò Ý Ø Ø Þ Ð X Ñ Ó ¹ Ø Ö ÐÑ ÞØ Ø Ö Þ Ò Þ Ò Ø Ò Ð Ó Ú ¾º½º º Ì Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ñ ÑÙØ ØØÙ Ó Ý Ð Ø Þ α ω 2 Ñ ÐÝÖ V α+1 = (X V α ) C Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò. Å ÑÙØ ØØÙ ÞØ Ó Ý Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Ø Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ ω 2 Ó Þ Ø Ö ÐØ Ø Ö ÖÞ Þ Þ V α+1 ¹ Ð ØÓÚ ÓÖ ÞÓÐÚ Þ ω 2 ¹ Ø Ö ÐØ Ô Ù Ó Ý V ω2 = (X V α ) C Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò, ÓÐ Ñ Ö C Ú Ð Ò Ñ ÒØ Ú C Vω 2 ÖØ Ò º Þ X C Ú ÐÑ Þ Ñ ÒØ Þ (X V α ) C Ø Ø V ω2 = X C Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò Ø Ð Ðº Þ Ú ÞÓÒØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý V ω2 ZFC ÑÓ ÐÐ Ò Þ ϕ ÓÖÑÙÐ Ñ Ø Þ Ö ØØ Ò ÚÓÐÒ º

33 º Þ Ø Ø Ò Ø Ø Ð Ò Þ Ø Ò ÞÓÒÝ Ø Ù ¾º½º º Ì Ø ÐØ Ñ Ý ÞÒ Ò Ó Ý ÞÞ Ð Ý ØØ ÞÓÒÝ Ø ÙÒ Ñ Ö Ø Ð Ý Ñ Ö ÒÒ Ø Ø ÐÒ ÞÓ¹ ÒÝ Ø Ö ÞÓÖ Ø ÓÞÙÒ º ÑÐ ÞØ Ø Ð Ñ Ñ Ø Ð Ø Ø Ð ÑÓÒ Øº º½º Ø Ò Ø Ø Ð ÐÐ Ø ¾º½º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò V Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ M V Å ÐÐ Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Øº Ä Ý Ò X V Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ V M ¹ Ð Ċ Ò Ú Ý ÒØÓÖ ÐÑ ÞÖ ω ω ¹ Ò Ñ Ö Ð Ø Þ ÑÓ ÐÐ Ò Þ Ó Ý X Ċ Ñ Ó Ø Ö Ċ¹ Òº º½º½º Ò º Ý ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ó Ø Ö Ñ Ò Ò Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ Ò Ñ Ó Ø Ö º º½º¾º ýðð Ø º ÐØ Ø Ó Ý Þ X Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ó Ø Ö º ÞÓÒÝ Ø º Å Ó ÙÒ Ò Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ø ω ω ¹Ö Ð ÒÑ Ö º Þ ÒÝ Ø Ø Ø Ú Ø Þ Id = {f f : ω ω, f = id ω }, ÓÐ = ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ú Ó Ú Ø ÐÐ Ð Ñ Ý ÞÒ ÐÐ ØÚ id ω Þ ÒØ Ù Ð ÔÞ Þ ω¹òº Ä Ý Ò { } ω Π = π π : ω ω ω ω, f 0,..., f n 1 Id, π = f 0... f n 1 id ω. ½ i=n

34 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð ¾ ÓÖ ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Þ Ó Ý Ø Ø Þ Ð π Π ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ ω ω ¹Ö Ð ÒÑ Ö º Å Ú Ð Þ Id ÐÑ Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Þ ÖØ Π Ñ ¹ Þ ÑÐ Ð Ø ÐÐ ØÚ Π Ñ Ò Ò Ð Ñ Þ ÒÝ ÐØ Ø Þ ÒÝ ÐØ Ú Þ Ø σ, τ ω <ω Ð Ñ Ö σ = τ ÓÖ Ð Ø Þ π Π Ó Ý π([σ]) = [τ]º Þ ÐÐ Ò ÖÞ Ø Þ ÓÐÚ Ö ÞÞÙ º Ì ÒØ Þ X = π Π π(x) ÐÑ Þغ Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ó Ø Ö º Î Ð Ó Ó Ý Ð Ò Þ ÒÝ ÐØ Ö ÐÐ Ò Ö ÞÒ º Ä Ý Ò [τ] Þ ÒÝ ÐØ ÓÖ Ð Ø Þ σ ω <ω Ó Ý σ = τ X Ñ Ó Ø Ö [σ]¹ Òº ÁÐÝ Ò Ø ÒÝÐ Ú Ò Ñ Ú Ð Ò Ñ Ð ÒÒ ÓÖ Ñ Ò Ò ÐÝ Ò [σ] Þ ÒÝ ÐØ Ò Ð Ø Ö Ð ÒÒ Ñ Ð Ø ØÐ Ò Ñ Ú Ð Ø Ø Þ Ð n ω¹ö ω ω = [σ], σ ω <ω σ =n Þ Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÙÒ Ñ Ð Ú Ø ÞÒ Ó Ý X Ð Ø Ö º ÓÖ Ð Ø Þ Ý π Π Ó Ý π([σ]) = [τ] Ð Ø Ø Ú Ø Þ Þ Ó Ý X [τ] Ñ Ó Ø Ö [τ]¹ Òº ÅÓ Ø Ò ÞÞ ÞØ Ó Ý Þ Ñ ÖØ Ð Ò Ø Ø Ð Þº Ì Ý Ð Ó Ý Þ X ÐÑ Þ ÓÞ Ð Ø Þ C ÒØÓÖ ÐÑ Þ Ó Ý X C Ñ Ó Ø Ö C¹ Òº Å Ú Ð Ý Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ Ò Ñ ÐÐ Ð Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Ð Ø Ö ÐÑ Þ ÙÒ ÒØ Þ ÖØ Þ X C = π Π π(x) C Ð Ö Ð Ð Ø Þ Ó Ý Ð Ø Þ π Ñ ÐÝÖ π(x) C Ñ Ó Ø Ö C¹ Ò Ý Ô Ù ÞØ Ó Ý X π 1 (C) Ñ Ó Ø Ö π 1 (C)¹ Ò ÓÐ π 1 (C) ÒØÓÖ Þ Ò π ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ º Å ÒØ Ð ØØÙ ÐØ Ø Ó Ý Þ X Ñ Ó Ø Ö ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ó Ø Ö º ÞØ Ó Ù Ð ØÒ Ó Ý Ò Þ Ø Ò Ñ Ø Ý Ò Ú Ý ÒØÓÖ ÐÑ ÞÖ Ý Ó Ý Ø Ð Ø Ø Ø Ðغ º½º º Ò º Ä Ý Ò ṁ Å ÐÐ Ö Ú Ð Ý Ò Ú º ÓÖ Cṁ Ð Ý Ò Ò Ú Ú Ø Þ ÐÑ ÞÖ [ṁ(i) + 1]. i ω

35 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð ÁÐÝ Ò Ò Ú Ú Ò Ø Ð Ú ÖØ ÑÓ Ø Ñ ÙÒ Ý ÓÒ Ö Ø Ò Ú Ø ØÓÚ Ò Þ ÓÐÚ Ö ÞÞÙ Þ ÐÝ Ò Ð ÐÐ Ø Ó Øº Ä Ý Ò Cṁ def = {(p, τ) τ Ò Ú ω ω Ý Ð Ñ Ö p τ(i) ṁ(i) i ω }. º½º º Å ÝÞ º Þ Ý Ò ÐØ Cṁ ÐÑ Þ ÖØ Ð Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þ ÞÓÖÞ Ø Ø Ñ Ú Ð Ò Ú Å ÐÐ ÖØ ÞÒ ÐÙÒ Þ ÖØ Ñ Ó Ø Ø Ð Ð Ð Ø Ð Ñò ÐÑ ÞÓ º ÒÒ Þ Ò Ø ¹ Ò ÒØÓÖ ÐÑ ÞÓ Ö Ø Ö Þ º º Ì ÓÖ Ñ Ð Ô Ò Cṁ ω ω Ú Ð Ò ÒØÓÖ ÐÑ Þ ÓÖ ÞÓÐØ ÑÓ ÐÐ Òº Ð Ø Ø Ú Ø Þ Ø Ø ÐØ ÞÓÐÒÙÒ º º½º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò V Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ZFC ÑÓ ÐÐ M V Šй Ð Ö ÒÝ Þ Ö ÔÞ Øº Ä Ý Ò X V Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ó Ø Ö ω ω ¹ Òº ÓÖ Ð Ø Þ ÑÓ ÐÐ Ò X Cṁ Ñ Ó Ø Ö Cṁ¹ Òº º¾º Ø Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º½º º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ò Ö Ø Ñ ÓÒ Þ Ò ÓÞÞ º Ì Ý Ð Ó Ý X Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ó Ø Ö X Cṁ Ð Ø Ö Cṁ¹ Ò Þ Þ Ð Ø Þ p M Ñ Ö p X Cṁ Ð Ø Ö Cṁ¹ Ò º Å ÔÔ Ò Ó ÐÑ ÞÚ Ð Ø Þ p M U Ò Ú òöò G δ ÐÑ ÞÖ Cṁ¹ Ò Ó Ý p X U = º Î Ð Ó Ó Ý Ø Ø Þ Ð C ω ω ÒØÓÖ ÐÑ ÞÖ Ñ Ò Ò C¹ Ð ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ð ÐÐ Ý ω ω ¹ Ð ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ C¹Ú Ð Ú ØØ Ñ Ø Þ Ø Òغ À ÓÒÐ Ò Ø Ø Þ Ð C¹ Ð òöò G δ ÐÑ Þ Ð ÐÐ Ý ω ω ¹ Ð G δ ÐÑ Þ C¹Ú Ð Ú ØØ Ñ Ø Þ Ø Òغ ÌÓÚ Ø Ø Þ Ð ω ω ¹ Ð G δ ÐÑ Þ Ð ÐÐ ω ω ¹ Ð ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ Ø Þ Ø Òغ Ì ÒØ ω ω ¹ Ð ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ó Ý {U n } ÓÖÓÞ Ø Ø Ñ ÐÝ Ö n U n Ñ Ø Þ Ø C¹Ú Ð òöò G δ ÐÑ ÞØ Ð ÓØ C¹ Òº Í Ý Ò ÓÖ ÐØ Ø Ó Ý U n C¹Ò Ð ÖÒÝ Þ Ø Ò Ú Ò Ô Ð¹ ÙÐ ÐÑ Ø Þ Þ U n ÐÑ ÞÓ Ø B(C, 1 )¹ Ð ÓÐ B(H, ) H ÐÑ Þ n Ù Ö ÖÒÝ Þ Ø Ø Ð Ð º Ð ØÖ Ú Ð Ò Ú Ø Þ Ó Ý n U n Cº Þ ÓØØ òöò G δ ÐÑ Þ Ð ÐÐ Ø Ø Þ ÖØ Þ Ö ØÒ Ò ÐÝ Ò ÓÖÑ Ò Ñ ¹ Ò Ñ ÖØ ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Þ Ò Ð Þ ÖÖ Ó Ý Þ Ò ÓÖ U n ÐÑ ÞÓ ÒÝ ÐØ Ð Ý Ò ω ω ¹ Òº Ì Ø Þ Ò Ö Ø ÐØ Ú Ò Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ p M {U n } Ò Ú ω ω ¹ Ð

36 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ö Ó Ý Ú Ø Þ Ø Ð ÐÒ p X U n =, º½µ Cṁ U n òöò ÒÝ ÐØ Cṁ¹ Ò, º¾µ U n B ( Cṁ, n) 1. º µ ÞØ Þ Ö ØÒ Ò Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ð Ø Þ r ω ω Ñ ÐÝÖ r X, q p q r U n. ÁÐÝ Ò r Ð Ø Þ Ø Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ Ö ÙØÒ Ò Ù Ý Ò q p¹ Ð Ú Ø ¹ Þ Ó Ý q X U n =. Þ Ñ ÐÐ ØØ ½ r X. Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ò Ñ Ð Ø Ù Ý Ò ÓÖ q ÓÖ ÞÓÐ Ó Ý r ÒÒ Ú Ò X¹ Ò n U n ¹ Ò Ñ ÐÝ Ö Ð Ý Ò ÞØ ÓÖ ÞÓÐ Ó Ý Þ ÙÒ Ø º ÁÐÝ Ò Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ö Ú Þ Ø r Ð Ø Þ Ø Þ { def R p, {U n} = r ω ω q p, q r U n } ÐÑ Þ Ø Ú Ð Ó Ù ÞÓÐÒ º Ð Ò Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý X¹Ò ÒÒ ÐÑ ÞÒ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö Þ Ò Þ ÔÓÒØ Ý ÐÝ Ò r Ú Ð Ð Ø Þ Ø ÑÙØ ØÒ º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ò Ð ØÒ Ó Ý R p, {U n} Ö Þ Ù Ð Ý Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ò Ù Ý Ò X Ñ Ò Ò ÓÐ Ñ Ó Ø Ö º Þ ½º¾º º ýðð Ø Þ Ö ÒØ Ý ÐÑ Þ Ñ Ó Ø Ö Ò Ð Ø Ù ÓÖ Ö Þ Ù Ð Ý Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Òº Þ Ð Ô Ò Ð Ò Ð ÒÒ Ð ØÒ Ó Ý R p, {U n} Ñ Ó Ø Ö Ò Ð Ø Ù º Þ Ò Ð Ø Ù ÓØ òöòò Ó M¹ Ð Ð ÑÖ ØÙ Ù Ñ ÑÙØ ØÒ Þ Þ Ð Ø Þ Ý D M òöò ÐÑ Þ Ó Ý p D Ø Ò R p, {U n} Ò Ð Ø Ù Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ Ð Ò º Ä Ý Ò p M Ø Ø Þ Ð Þ Ð Ø Þ p p Ý Ó Ý p D ÓÖ R p,{u n} R p, {U n} ÒÒ ÐÐ Ñ ÖØ Ý Þò ÐÑ ÞÓÒ Ú ÐÓ ØÙÒ r¹ غ

37 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð Ì Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÐÝ Ò Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞØ Ñ Ö Ð Þ ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Þ¹ Ò Ð Ø Ù Ñ Ó Ø Ö ÓØ Ý Þ Ý Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ Ò Ö ¹ Þ Ù Ð º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ð Ò Ú R p, {U n} ÐÑ Þ ÐÝ Ò Ñ Ø Þ Ö ØØ Ò ÚÓÐÒ Ð ØÒ º ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ú Ø Þ Ø ÐÐ Ø Ø Þ ¹ Ö ØÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò R p, {U n} Ñ Ó Ø Ö, º µ R p, {U n} Ò Ð Ø Ù òöòò Ó p M¹Ö º º µ º º Å Ó Ø Ö º º½º Ä ÑÑ º R p, {U n} Ñ Ó Ø Ö º ÞÓÒÝ Ø º Ú Ø Þ Ø Ó Ù Ð ØÒ Å Ò Ò p M¹Ö {U n } Ò ÚÖ Ñ ÐÝ ÓÐÝ Ò Ñ ÒØ ÒØ Ñ Ò Ò {V n } ω ω ¹ Ð ÒÝ ÐØ òöò Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ö r V n q p Ó Ý q r U n. º µ Þ Ð Þ Ò Ý ÐÝ Ò r Ñ Ð Ð Þ R p, {U n} ÐÑ Þ Ò Ò ÐØ ¹ Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ú Ø ÐÑ ÒÝÒ º ÓÖ Ð ÑÑ ÐÐ Ø Ø Ð Ð ÐÐ Ò Þ Ø Ò R p, {U n} Ð Ø Ö Ð ÒÒ Ñ Þ Ð Ø ÞÒ {V n } ÒÝ ÐØ òöò Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ý Ó Ý V n R p, {U n} =, º µ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ r n V n r R p, {U n} º Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ì Ø Þ Ö ØÒ Ò Ð ØÒ º µ¹øº ÞØ Þ Ø Ú Ð Ó Ù Ñ Ø ÒÒ Ý Ö ÙÖÞ Ú Ð Ý ØÚ º Ö ÙÖÞ Ú Ð Ð ÓØ Ù Ñ Þ r ω ω Ú Ð Þ ÑÓØ Ý Ó Ý ω <ω ¹ Ð Ð Ñ Ð Þ Ð Ø Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ú Ý ÞÚ Ó Ý M¹ Ð ÐØ Ø Ð ÞØÓ Ø Ó Ý r Ñ Ð Ð ÔÔ Ò Cṁ¹ ÐÐ ØÚ Cṁ U n ¹ Ö Ð Ò Þ Ò ÐØ Ø Ð Þ Ø Ö ÞØ Ó Ò q¹øº Å Ð ØØ ÓÐÝØ ØÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø Ð ØÙÒ Ò ÒÝ ÐÐ Ø Ø Ú ¹ Þ Ø Ò ÐÐÝ Þ Ò Ú Ò Ý ÓÔ Ö Ø Å ÐÐ Ö ÓÒ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ö ÙÖÞ Ô Ø Þ Ø Ó Ø Ò º º º¾º ýðð Ø º Å Ò Ò V ω ω ÒÝ ÐØ òöò ÐÑ ÞÖ Ñ Ò Ò r 0 ω <ω ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ð Ø Þ r 0 ω <ω Ó Ý r 0 r 0 [r 0] V º

38 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º V ÒÝ ÐØ òöò [r 0 ] Ò Ñ Ö Þ ÒÝ ÐØ Ý V [r 0 ] ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Þ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ö Þ ÒÝ ÐØ Ø Ø Ø Ð Ø Þ r 0 Ñ Ö [r 0] V [r 0 ] Ø Ð Ð [r 0 ] [r 0] ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ø Ð Ð r 0 r 0º Ñ ÐÐ ØØ r 0 ÒÝ ÐÚ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ý Ó Ý Þ ÓÖ Ø Ö ÞØ Ð Ý Òº º º º ýðð Ø º Ä Ý Ò U Ò Ú Ý ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÖ ω ω ¹ Ò Ý Ó Ý U Cṁ òöò ÒÝ ÐØ Cṁ¹ Òº Å Ò Ò p M r 0 ω <ω Ø Ò p [r 0 ] Cṁ ÓÖ Ð Ø Þ p p r 0 r 0 Ó Ý p [r 0] Cṁ U [r 0] U º ÞÓÒÝ Ø º º º¾º ýðð Ø ÙÒ Ð Ò Ð Ñ ÓÒ Þ ω ω ¹ Ð ÒØÓÖ ÐÑ Þ¹ Ò Þ ÐÐ Ø º Å Ú Ð [r 0 ] Cṁ Ò Ñ Ö Þ ÒÝ ÐØ Cṁ¹ Ò Ð Ò Þ Þ Ð ÑÑ ÖØ ÐÑ Ò Ø Ð Ð p r 0 r 0, [r 0 ] C ṁ U Ý Ð Ø Þ r 0 ω<ω p p Ñ ÐÝ Ö r 0 r 0 p [r 0 ] C ṁ U º Å Ú Ð p [r 0] U U Ý ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ò Ú Þ ÖØ Ð Ø Þ p p r 0 r 0 Ñ ÐÝ Ö p [r 0 ] U Ý p p Ñ ØØ Ø Ð Ð Ñ Ø Þ Ö ØØ Ò ÚÓÐÒ º p [r 0] Cṁ U [r 0] U º º º ýðð Ø º ÓØØ r 0 ω <ω p M Ø Ò Ú Ø Þ Ú Ú Ð Ò p [r 0 ] Cṁ, º µ p r 0 (i) ṁ(i) i < r 0, º µ σ p r 0 (i) σ(i) i < min { r 0, σ }. º µ ÞÓÒÝ Ø º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý º µ º µ º µ º µ Ø Ð Ðº º µ º µ Þ Ø Ý Ð Ó Ý p r 0 (i) ṁ(i) i < r 0 Þ Þ Ð Ø Þ p p Ó Ý p i < r 0 (r 0 (i) > ṁ(i)) º ÓÖ Ð Ø Þ p p i < r 0 Ó Ý p r 0 (i) > ṁ(i) º Ð Cṁ Ò Ú ÒØ Ú Ð Ð Ö Ð Ð Ø Þ Ó Ý p r / Cṁ r [r 0 ] ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò p [r 0 ] Cṁ = Ø Ø p Ò Ñ ÓÖ ÞÓÐ Ø Þ ÐÐ Ò Þ Ø Ñ ÖØ p pº º µ º µ Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ σ p i < min { r 0, σ } Ó Ý r 0 (i) > σ(i)º ÓÖ Þ ½º º º ýðð Ø Ð Ô Ò p[σ] ṁ σ = σ Þ Þ Ð ÑÑ Ð Ô Ò p[σ] r 0 (i) > σ(i) Ø Ø p[σ] r 0 (i) > ṁ(i) º Å Ú Ð p[σ] p Þ ÖØ Ð Ø ØÐ Ò Ó Ý º µ Ø Ð Ð Òº º µ º µ Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ p p Ó Ý p [r 0 ] Cṁ = º Þ Cṁ Ò Þ Ö ÒØ ÓÖ Ð Ø Ð Ø Þ i < r 0 p p Ý Ó Ý p r 0 (i) > ṁ(i) º Ä Ý Ò σ p Ø Ø Þ Ð i + 1 Ó Þ ÓÖÓÞ Øº Þ ½º º½¼º ýðð Ø Ò Þ Ò Ø Ò p [σ] r 0 (i) > σ(i) Þ V ¹ Ð Ø Ø r 0 (i) > σ(i) ÐÐ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º µ¹ò º

39 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð Î Þ ÐÐÝ Þ Ó ÐÑ Øº ÐÐÝ Þ Ø Ñ Ò Ý ÓØØ h ω Ñ Ò j ω ÖØ Ö Ð ÐÑ ÞÙÒ Ý p M ÐØ Ø Ð Òº Ú Þ Ø¹ ØÒ Ò T ω <ω Ö Ñ Å ÐÐ Ö Ö Ó ÙÒ ÞÓÖ Ø ÓÞÒ Ù Ý Ò Þ Ö Þ Ö ØÒ Ò Ð ÐÑ ÞÒ º ÐÐÝ Þ Ð ÒÝ Ó Ý p ÐØ ¹ Ø Ð Ð Ð Ý Ù ÞÓ Ø Þ Ø Ñ ÐÝ Þ ÓØØ Ñ Ò j ÖØ Ø Ú ÞÒ Ð j Ö ÒÝ Ñ ÒÒ ØÓÚ º ÐÐÝ Þ Ö Ñ ÒÝ Ý p M Ö Ñ Ò Ý p p Ñ ÐÝ ω <ω Ý Ö Þ ÐÑ Þ Ñ Ð Ð ÐØ Ø Ð Ð Ö ÒØ Ð Ø Ó Ý Å ÐÐ Ö Ð Ý Òº ÖÖ Þ Ö ØÒ Ò ÞÒ ÐÒ ÐÐÝ Þ Ø Ó Ý Þ ÐØ Ø ÐÖ ÒØ º µ Ø Ð Ð Ò Ó Ý º º º ýðð Ø Ø Ø٠٠й ÐÑ ÞÒ º Þ ÐÐÝ ÞÙÒ Ñ º µ Þ Ö ÒØ ÐØ Ø ÐØ Ò Ñ ÔÙÒ Ñ Þ ÐÐ Ø Þ Ö ÒØ ÞÞ Ð Ú Ú Ð Ò º Ó Ý ÞØ Ø Ò Ú Þ Ø Ò Ò Ñ Ö Ñ Ý ÞØ Ò Ú Å ÐÐ Ö Ø ÖØ Ò Å ÐÐ Ö ÐØ Ø Ð Ò ÐÐ ØÚ Å ÐÐ Ö Òº ÒÒ Ò Ö Þ Ò ÓÒØÓ Þ Ö Ô Ð Þº º º º Ò º ÐÐÝ Þ µ ÓØØ h ω j ω ÖØ Ö Ð Ý Ò G j h ÓÞÞ Ö Ò Ð Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ù Ñ : M T Ñ ÐÝÒ G j def h (p) = {σ p τ p, τ σ, τ > h, τ(h) j}, ÓÐ T Ð Ð ÐÑ Þ Ø ω <ω ¹ Òº º º º Å ÝÞ º Æ Ñ Ú Ð Ó Ó Ý ÓÞÞ Ö Ò Ð Ñ ÖØ Ø ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ø Ú Ø Þ Ð ÑÑ Ò Ò ÞØ Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý h rt(p) ÓÖ Å ÐÐ Ö ÐØ Ø ÐØ ÔÙÒ º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ Ö Ñ ÒÝ Ú Ð Ò º ÞÓÒÝ Ø º Ð Ò Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ð Ð Þ ÖØ ÐÑ ÞØ ÔÙÒ ω <ω ¹ Òº Þ Ú ÞÓÒØ Ý Þ Öò Þ Ò Ý σ¹ø Ú Ð ÞØÓØØÙÒ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ð Ø Þ ÓÞÞ Ñ Ð Ð τ σº ÓÖ Ñ Ò Ò σ τ Þ ÒØ Ò p¹ Ò Ú Ò Þ Þ τ Ñ Ð Ð Ø Ø Ñ Ò ÒÒ Ú ÒÒ G j h (p)¹ Ò Ý Ð Ð Þ Öغ À ÑÑ ÐÝ Ò σ¹ ÓÞ Ò Ñ Ð Ø Þ Ñ Ð Ð τ ÓÖ Þ Ö Ø Ô Ù º º º º Ä ÑÑ º ÐÐÝ Þ Ð ÑÑ µ Î Ð ÒÝ ÞÓÖ h ω Ñ Ò j ω ÖØ Ò Ð ÐÐÝ ÞÙÒ Ý p M ÐØ Ø ÐØ h rt(p) ÓÖ p = G j h (p) Å ÐÐ Ö ÐØ Ø Ð Ñ Ø Ö ÞØ p¹ø Ñ Ò Ò t p Ð Þ ÔÓÒØÖ Ñ ÐÝÖ t h t Ð Þ ÔÓÒØ Ð Þ p ¹Ò º

40 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º Ñ ÒÒÝ Ò Ú Ð Ò Ý M¹ Ð Ð Ñ Ø ÔÙÒ ÓÖ Ú Ð Ó Ó Ý Ø Ö ÞØ p¹ø Ñ Ú Ð Ö Þ ÐÑ Þ ÒØ Ú Ò Ò ÐÚ º ÓÞ Ó Ý ¹ Ð Ù Ó Ý Å ÐÐ Ö Ú Ø Þ Ø Ð Ñ ÑÙØ ØÒ p, º½¼µ σ p succ p (σ) = 1 Ú Ý ω, º½½µ Å Ò Ò σ p Ð ØØ Ú Ò Ð Þ ÔÓÒØ. º½¾µ Ó Ý ÞØ º º º Å ÝÞ Ò Ñ Ö Ø Ö Ý ÐØÙ ÞØ ØÙ Ù Ó Ý Þ Ö ¹ Ñ ÒÝ º Ð Þ Ö ÑÙØ Ù Ñ Ó Ý Ñ Ò Ò σ p ¹Ö Ð Ø Þ τ σ Ý Ó Ý τ p º Þ Ú Ð Ó Ó Ý Ú Ò σ p Ñ ÐÝÖ σ(h) ÖØ ÐÑ ÞÚ Ú Ò j¹ø Ð Ð Ò Þ ÓÖ Þ Ð Ñ p ¹Ò Ù Ý Ò τ = σ Ñ Ð Ð ÓÞÞ º Ë Ø Þ Þ Ó Ý Ñ Ò Ò p¹ Ð Ø Ö ÞØ ÒÒ Ú Ò Ù Ý Ò Ø Ø Þ Ð τ σ Ø Ò τ σ = σ Þ Þ τ(h) jº Þ Ð Ò h Ð ØØ Ú Ð Ó Ó Ý Ø Ð Ð h Ð ØØ Ô Ý Þ Öò Ò ÐÐÝ Þ Ò Ð Ù Ý Ò Þº Å Ú Ð p Ö Þ ÐÑ Þ p¹ò Þ ÖØ º½½µ Ð Þ ÔÓÒØ Ò ÖÓÑÓРع Ò Ð ÒØ Þ Ö ÒØ Ô h Ð Øغ Ì Ø Ð Ý Ò t p Ð Þ ÔÓÒØ t hº Ð ÓÖ ÙÐ ØÒ Ó Ý t Þ p¹ Ð Ø Ö ÞØ h Ñ Ò Ù Ý Ò ÞØ j ÖØ Ø Ú Ý Ð Ñ Ú Ð Ñ ÐØ ØØ Ó Ý Ò Ú Å ÐÐ Ö Ð ÓÐ ÓÞÙÒ Þ ÖØ Þ Ò Ñ Ð Ø º ÅÙØ Ù ÞØ Ñ º Ä Ý Ò K = { k ω k > j, t k succ p (t) } ÞÓÒ j¹ò Ð Ò ÝÓ Ö ÒÝÓ ÐÑ Þ Ñ ÖÖ p¹ Ò ØÓÚ Ð Ø Ð Ò t¹ к Þ Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þ Ñ ÖØ t Ð Þ ÔÓÒØ p¹ò º Å Ò Ò k K¹Ö t k¹ò ÖÑ ÐÝ Ò Ó Þ Ø Ö ÞØ Ð Ø Þ p¹ Òº Ä Ý Ò τ k Ý h¹ò Ð Ó Þ ÐÝ Òº ÓÖ Ð Ó Ý p Ò Ú τ k p τ k ( t ) = k Ú Ð Ñ ÒØ t h Ó Ý τ k (h) k Ñ Ñ ØØ ÞØÓ Ò Ð Ò Þ j¹ø к Ñ ØØ τ k p Ø Ð Ðº Å Ú Ð p Ð Ð Þ ÖØ ÞØ Ô Ù Ó Ý { t k k K } succ p (t) Þ Þ t Ú Ø Ð Ò Ð Þ ÔÓÒØ p ¹ Ò º ÞÞ Ð Ð ØØÙ º½½µ¹Ø ÐÐ ØÚ ÞØ Ó Ý Ñ Ò Ò t p Ð Þ ÔÓÒØÖ Ñ ÐÝÖ t h t Ð Þ ÔÓÒØ Ð Þ p ¹Ò º Å Ö º½¾µ¹Ø ÐÐ Ò Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Þ Þ Ð Þ Ð Ú Ð Ó Ù Ý Ò Ñ Ò Ò σ p Ð ØØ Ú Ò h¹ò Ð Ó Þ p ¹ Ð Þ Ð ØØ Ù Ý Ò¹ Ý Ò Þ Ñ ÒØ p ÖÖ Ô Ø Ð Ðº Þ Ñ Ö Ø Ò ÖØ ÐÑ Ú Ø Þ Ò Ñ ÓÐÝ Ñ Ø Þ Ó Ý Ý p ÐØ Ø ÐØ h Ñ Ò ÐÐÝ ÞÙÒ Ñ Ò Ò i < j¹ö º º º º Ò º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý p ÐØ Ø ÐØ h Ñ Ò j ω \ {0} ÖØ Ö j¹ ÐÐÝ ÞÙÒ h rt(p) ÞØ G <j h (p)¹ú Ð Ð Ð º ÖÖ

41 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð Ú Ø Þ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ø Ù Ñ G <1 h (p) = G 0 h (p), G <j h (p) = G j 1 h (G <j 1 h (p)). º º º Å ÝÞ º Ñ ÒÒÝ Ò ÒØ ÐØ Ø Ð ÐÐÒ ÐÐÝ Þ Ð ÑÑ ÖØ ÐÑ Ò Ú Ð Ó Ó Ý G <j h (p) Ý Å ÐÐ Ö Ñ Ø Ö ÞØ p¹ø ÐÐ ØÚ Ú Ó Ñ Ò ØØ h Ñ Ò ÐÐÝ ÞÙÒ j h ¹ ÓÖ ÓÒÐ Ô¹ Ô Ò Ý p p ÐØ Ø ÐØ ÔÙÒ º Ì Ö Ò Ú Þ º º½º Ä ÑÑ ÞÓÒÝ Ø ÓÞº Å Ö Ð ØØÙ Ó Ý Ð Ò Ñ ÒÙÒ º µ ÐØ Ø ÐÒ Ð Ø Ø Ú r¹ غ ÓØØÒ Ø ÒØ Þ {U n } {V n } ÓÖÓÞ ØÓ Ø ÐÐ ØÚ p M ÐØ Ø Ðغ Þ Þ Ö ÙÖÞ Ú Ð Ñ Ù Þ r 0 r 1... ω <ω p = p 0 p 1... M t 0, t 1,... ω <ω ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ñ ÐÝ Ö i r i Ñ Ö ØØ r¹ Ø p n Ö ÒØ Ð Ó Ý r n Ñ Ð Ð ÔÔ Ò Cṁ¹ Ò Ñ Ö ÓÒ t n+1 ¹ Ð Ð Ð Þ ÓÖ Ò Þ n¹ Ð Ô Ò Ð Ö Þ Ø ØØ ÓØ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò Ø Ò Ð Þ ÔÓÒØ Ð Þ Ú Ð Ò q Ð Þ ÔÓÒØ Ø Ó Ò º Þ Ð Ö ÓÖ Ò Ú Ø Þ Ö ÙÖÞ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ø ÞØÓ Ø Ù r n t l l n, º½ µ p n r n (i) ṁ(i) i < r n, º½ µ t m p n Ð Þ ÔÓÒØ m n, º½ µ r n+1 > r n. º½ µ Þ ÓÖ Ò Ñ Ò Ñ Ö Ö Þ Ø ØØ t k (k n) Ó Ø Ó Ù Ð ØÓ¹ ØÒ ÓÞÞ Ù Ñ Ò Ý t n+1 t k Ð Þ ÔÓÒØÓØ Ý Ó Ý Þ ØØ Ñ Ö Ò Ñ Ð Þ Ð Þ º Å Ú Ð Ñ Ò Ò t n ¹Ò Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓѹ Þ ÐÐ Ð Ý Ò Ö ÒØ ÐÒÙÒ ÐÐ Ó Ý Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓÖ Ñ Ð ØÓ Ù º Þ Ø ÒØ Ö Þ Ø ØØÒ k : ω ω Ð ÓÖÓÐ Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÖ Ñ Ò¹ Ò n ω Ø Ò k(n) n Ø Ð Ð ÐÐ ØÚ Ñ Ò Ò l ω ÖØ Ø Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓÖ ÐÚ Þº Î Ð Ó Ó Ý ÐÝ Ò k Ú ÒÝ Ð Ø Þ ØÓÚ Ò k = k(n) Ý Þ Öò Ø Ð Ð Ð Ó ÙÒ ÐÒ Ý t k Þ n¹ Ð Ô Ò Ñ Ð ØÓ¹ ØÓØØ ÓØ Ð ÒØ Ñ Ò Ò º Ö ÙÖÞ Ò ÙÐ Ð Ñ Ø Ù Ñ Ú Ø Þ Þ Ö ÒØ p 0 = p, t 0 = rt(p 0 ), r 0 (i) = 0 i t 0.

42 º Â Ì Ø Ò Ø Ø Ð ¼ Ý r 0 = t 0 Ö ÙÖÞ ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÒ º Ì ÒØ Ö ÙÖÞ ÐØ Ð ÒÓ n¹ Ð Ô Øº º º¾º ýðð Ø Þ Ö ÒØ r n ¹Ò Ð Ø Þ Ý r n Þ Ó¹ Ö Ø Ö ÞØ Ó Ý [r n ] V n º Ì ÒØ p n ¹Ò Ú Ó Ñ Ò ÝÑ ÙØ Ò ÐÚ Þ ØØ ÐÐÝ Þ Øº Å Ò Ò h { r n, r n + 1,..., r n 1} Ñ Ò ÐÐÝ ÞÞÙÒ j h = r n (h) ÖØ º º º º Å ÝÞ Ò ÖØ Ð¹ Ñ Ò ÓÖ ÔÙÒ Ý p n p n ÐØ Ø Ðغ ÖÖ p n ¹Ö r n ¹Ö Ø Ð Ð º µ Þ Ò ÔÓÒØ Ý ÐÐÝ ÞØÙ Ø Ø Ø Ð Ð p n [r n ] Cṁ º Ê ¹ ÙÐ º½ µ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ñ ØØ º º º ÐÐÝ Þ Ð ÑÑ ÖØ ÐÑ Ò Ñ Ò Ò Ö Þ Ø ØØ t l ÓÐ l n Ð Þ ÔÓÒØ Ñ Ö p n ¹Ò º Þ Ñ ÒØ Ð Ô Ò t k Ð Þ ÔÓÒØ p n ¹Ò º Î Þ Ò Ý Ø Ø Þ Ð σ succ pn (t k ) Ð Ñ Ø Ñ ÐÝÖ Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò j n Ó Ý t j σ Þ¹ Þ Ý ÓÐÝ Ò Ö ÒÝØ Ñ ÖÖ Ñ Ò Ñ Ð ØÙÒ ØÓÚ º ÁÐÝ Ò ÞÓÑ Þ Ó Ö ÒÝ Ú Ò Þ Ò Ú Ó Ð Ô Ò ÚÓÐØ Ú Ó Ú Ð ÞØÓØØ t j ¹Ú Ð Ñ Ò Ò Ð Þ Ò Ú Ø Ð Ò ÞÓÑ Þ Ú Ò Ý M¹ Ð ÐØ Ø Ð¹ Ò º º º º ýðð Ø Ð Ô Ò ØÙ Ù Ó Ý p n [r n ] Cṁ Ø Ø p n [σ] Ø Ö ÞØ ÓÖ ÞÓÐ Ù Ý Ò ÞØ Ý Ð ÐÑ Þ Ø Ù º º º ýðð Ø Øº Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ r n r n q n p n [σ] Ý Ó Ý q n [r n ] Cṁ U n [r n ] U n º½ µ Ø Ð Ðº À ÓÒÐ Ò Ý ÓÖ Ð Ô Ò Þ ÖÖ Þ r n ¹Ö ÐÐÝ ÞÞÙ p n Ø Ø Ð Ò Ø Ó Ý Ø Ð Ø º½ µ¹ø Ø Ø Ñ Ò Ò Ð¹ h { r n, r n + 1,..., r n 1} Ñ Ò ÐÐÝ ÞÞÙÒ j h = r n (h) ÖØ º ÐÐÝ Þ Ö Ñ ÒÝ Ð Ý Ò p n p n ÐØ Ø Ðº ÞÞ Ð Ð ÙØÓØØÙÒ ÖÖ ÔÓÒØÖ Ó Ý Ñ Ø Ù Ö ÙÖÞ Ú Ø Þ Ð Ñ Øº Ä Ý Ò t n+1 = rt(q n ), p n+1 = (p n \ p n [σ]) q n. Å Ý ÞÞ Ó Ý ÓÖ p n+1 [t n+1 ] = q n p n+1 p n º ÓÞ Ó Ý ÒÒØ ÖØ Ù Þ Þ Ö ÙÖÞ ÐØ Ø ÐØ Ð Ø Ó Ý r n ¹Ø Ñ ØÓÚ ÒÙÐÐ Ð ÐÐ Ø Ö ÞØ Ò Ò Ó Ý r n < t n+1 ÐÐÒ º Þ Ø Ö ÞØ Ú ÞÓÒØ Ñ Ö Ð Þ r n+1 Ò Ò Ø Ö ÞØ Ø ÓÐÝØ ØØÙ Ñ r n+1 t n+1 Ò Ñ Ø Ð Ðº Î Ð Ó Ó Ý ÒÙÐÐ Ð Ú Ð Ø Ö ÞØ Ö ÙÖÞ ÐØ Ø Ð Ø Ò Ñ Þ Ú Ö Ñ º