h h 2π = J s = Mev s. E n = hω n n = 0, 1, 2,... ½µ π 2 c 3 e hω/kt 1 w ω =

Átírás

1 ÐÑ Ð Ø Þ ÁÁÁº ÃÚ ÒØÙÑÑ Ò ÀÖ È Ø Ö È ½ º

2 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ º½º Ñ Ö Ð Ø Ô ØÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÓØÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ó Ø Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÚÓÒ Ð Ô ØÖÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÊÙØ Ö ÓÖ ÔÐ Ò Ø Ö ØÓÑÑÓ ÐÐ ½ ½½µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ó Ö¹ÑÓ ÐÐ ½ ½ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ú ÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º Ó ÓÞ Þ ÖØ Ø Ñ ÔÓÒØ Ú ÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½¼º ÖÓ Ò Ô ØÖÙÑ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ò º º º º º º º º º º º ½¾ º½½º Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ò º º º º º º º º º ½ º½¾º Ñ ÒÒ¹ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ º Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ º ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¹ ÐÚ Ó Ö ½ ½ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ º Ú ØÓÖØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ º ÃÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º½ º À Ð ÖØ¹Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º½ º Ä Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½ º ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾¼º ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø Ú ØÓÖÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾½º Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØ ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖ º º º º º º º º º º¾¾º Þ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ º Þ ˆx ˆp ÓÔ Ö ØÓÖ H x ¹ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ º Þ Ø Ñ ÔÓÒØ À Ñ ÐØÓÒ¹ÓÔ Ö ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ º ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ À Ñ ÐØÓÒ¹ÓÔ Ö ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º¾ º ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ À Ñ ÐØÓÒ¹ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ú ÒÝ º º º º¾ º Ñ Ö ÔÓ ÞØÙÐ ØÙÑÓ Þ Ö Ø Ô ØÖÙѵ º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ º Ñ Ö ÔÓ ÞØÙÐ ØÙÑÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ô ØÖÙѵ º º º º º º º º º º º º º º º¾ º ÞÓÒÝØ Ð Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼º Ò Ñ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ò Ñ Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÖÓ Ð ÙÐÐ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ö Ò Ö¹ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ö Ö ØØ ÐØ Ø Ð º º º º º º º º º º ¾ º º ÔÓØ Ò ÐÐ Ô E > Uµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÓØ Ò ÐÐ Ô 0 < E < Uµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ýø Ð ÔÓØ Ò Ð ØÓÒ (E > U) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ýø Ð ÔÓØ Ò Ð ØÓÒ (0 < E < U) º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ö Þ ò ÔÓØ Ò ÐÚ Ð Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ø Ð Ò ÔÓØ Ò Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼º ýðø Ð ÒÓ Ø ÖÓÑ Ñ ÒÞ ÑÓÞ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Þ Ø Ö Þ ØØ ÑÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

3 º ¾º Þ ÓÔØ ÒØ Ö Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ º º ÖÓ Ð ÙÐÐ ÑÓ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ø ÐÝÖ ÓÒ º º º º º º º º º º ½¼ º º Ò ÙØÖÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º Ö Ø ÐÝÖ Ø Ò ÙØÖÓÒÓ Ø Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º º ÖÓÑ Ðò ÒØ Ö ÖÓÑ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º º ÓÖÒ ÔÓØ Þ ÔÓÒØÓ ÖØ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ ÓÔ Ö ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º º Þ ˆL ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÖØ Ø Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ¼º Þ ˆL Þ ˆL z Þ Ø Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ º ½º Ñ Ú ÒÝ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ¾º Ô Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º ÓÖ Ø Ó Ö ÞÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º Ð Ô Ò s = 1/µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ËØ ÖÒ¹ ÖÐ ÖÐ Ø ½ ¾½µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÖÓ Ò ØÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÔÓÒØÖ Ò Þ Ö Ú ÒØÙÑÑ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º º ØÐ Ò Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º ÃÓÖÖ Ð ÐØ Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ¼º ËÔ Ò ÓÖÖ Ð ÖÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ½º ÖÑ ÓÒÓ ÓÞÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ¾º Ö Ñ ÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

4 Þ Ð Ø Þ Ø Ò ÞÓ Ø Þ Ð Ô Ð Ò Ø Ó Ð Ð Ù Þ Ñ ÐÝ ÐÐ Òع ÑÓÒ Ø Ð Þ Ù Ñ Ò Ò Ð ØÖÓ Ò Ñ Ò Þ ÖØ Ñ Ñ Ý Ö Þ Ù ÐÑ Ð Ø Ö Ø Ø ÒÝ Ðغ º½º Ñ Ö Ð Ø Ô ØÖÙÑ Ø Ø Ö Ù Ù ÖÞ Ø Ö Þ Òµ ÐÒÝ Ð Ñ Ö Ð Ø Ø Ð Ñ ¹ ÓÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ù ÖÞ Ø Ó Ø Ò º À Ö Þ ÖØ ÒÝØ T Ñ Ö Ð Ø Ò Ø ÖØÙÒ Þ ÒÝ Ð Ò Ý ÐØ ÐØ Ú Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ø Ý Ò ÐÝ Ö Ð Þ ÒÝ Ò Ø ÓÒ Ö Ð ØÖÓÑ Ò Ù ÖÞ Ñ Þ Ð ÙÐ Þ Ñ Ö Ð Ø Ù ÖÞ º Ñ Ö Ð Ø Ù ÖÞ ÞÓ ÓØØ Ñ Ö Ð Øò Ý Ò ÐÝ ÐÐ ÔÓØ Ú Ð Ò ¹ Ð Þ ÙØ Ò ÑÓÐ ÙÐ Ñ Ò Ò Ö Þ Ð Ò Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ñ Þ Ø Ö Ò Ö Ø ÖÑÓ Ò Ñ Ò Ö º ÑÓÐ ÙÐ Þ Ö ÒØ ÐÓ ÞÐ ¹ Ò Ñ Ö Ð Ø Ù ÖÞ Ø Ò Ø Ö Ò Ö ¹ òöò Ö Ú Ò Þ Ö ÒØ w ω dω ÐÓ ÞÐ Ð Ð Ñ º Þ Ö Ú Ò ÐÓ ÞÐ Ñ Ö Ð Ø Ô ØÖÙѺ ÑÓÐ ÙÐ ¹ ÐÓ ÞÐ ÓÞ ÓÒÐ Ò Ñ Ö Ð Ø Ô ØÖÙÑ Ñ Ø Þ ÒÝ Ð Ò ÒÝ Ñ Ò Ø Ð Ã Ö Ó ¹Ø Ø Ð Ø Ø ÞØ Ù Þ Ò Ó Ù ÞÓÒÝ Ø Ò µº Ô ØÖÙÑÒ Þ Þ ÙÒ Ú ÖÞ Ð Ø ÞØ Ù ÐÐØ Ó Ý Þ Ð ØÖÓ Ò Ñ Ø ÖÚ ÒÝ Ò Þ Ñ Ö Ø Ð Ò ÐÐ Ó Ý Ð Ý Ò w ω Ú ÒÝ Ñ Ø ÖÓÞ ÓÞ Þ ÐÝ Ò Ö ÒÝ ÔÖ Ð ÓÞ Ó ÓÖÖ Ù ÖÓØ Ú ÐÐÓØØ º Ñ Ö Ð Ø Ô ØÖÙÑ ÖÐ Ø Ú Þ Ð Ø Ø Ý Ú Þ Ó Ý Þ ÒÝ Ò ÔÖ ÐÝÙ Ø ÖÒ Þ Þ Ò Ö ÑÐ Ù ÖÞ Ø ÔÖ ÞÑ Ø Ú Ð Ö Ú Ò Þ Ö ÒØ Þ Ø ÞÞ Þ Ý Ö Ú Ò ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ò Ö Ø Ù ÖÞ Ø Ð Ô Ò Ñ Ñ Ö º Å Ú Ð ÐÝÙ ÞÓÐ Ø Ø Ñ Ò Ò Ö Ù ÖÞ Ø ÐÒÝ Ðµ ÐÝÙ ÓÒ ¹ Ö ÞØ Ð Ö ÑÐ Ù ÖÞ Ø Ø Ù ÖÞ Ò Ò Ú Þ º Ñ Ö Ð Ø Ô ØÖÙÑ Ø Ø Ø Ù ÖÞ Ò Ú Ý Ñ ÔÔ Ò Þ ÞÓÐ Ø Ø Ø Ø Ù ÖÞ Ò Ö Ú Ò Þ Ö ÒØ ÐÓ ÞÐ º Ô ØÖÙÑ Ø Ô ÞØ Ð Ø Ð Þ Ö Ò Ð Ø Ø ω ½º Ö º Ô ØÖÙÑ ÓÖÖ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø ÈÐ Ò Ð Þ Ö ÔÖ Ð Ø Ø Ò Ø Ð ÐØ Ñ ½ ¼¼¹ Ò Ò ÒÝ ØØ Ð Ö ÐØ ÐÑ Ð Ø ØÓÒ Ð Ú Þ ØÒ º Ò Ø Ò ÞÓÒ Ò Ò ÒÝ ÚÚ Ð Ö ÑÙØ ØÓØØ Ó Ý ÈÐ Ò ÐÑ Ð Ø Ð Ú Þ Ø Ò Ñ ÚÓÐØ Ø Ð Ò ÓÖÖ Øº ω

5 Å Ú Ð Ô ØÖÙÑ Ð ÒÝ Ñ Ò Ø Ð ØÐ Ò ÈÐ Ò ÐØ ØØ Ó Ý Ð ÖÑÓÒ Ù Ö Þ Ö Ô Ð ØÖÓÑÓ Ô ÐÓ Ð ÐÐ Ñ ÐÝ Þ ØØ Ñ Ò Ò Ø Ö Ö Ú Ò Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ð ÓÖ Ùк Þ Ý Ò ÐÝ ÐØ Ø Ð Þ Ó Ý Ô ÐÓ Ñ Ò¹ Ò ω¹ò ØÐ Ò Ù Ý Ò ÒÒÝ Ò Ö Ø ÞÓÖ Ð Ò Ñ ÒØ Ñ ÒÒÝ Ø Ó Ø Ò Ñ Þ Ò T Ñ Ö Ð ØÒ Ñ Ð Ð Ò Ö ÐÓ ÞÐ Ð Ö Ò Ð ÞÒ º Þ Ñ Ø Ó Þ ÑÔÓÒØ Ð ÒÝ ÐÑ ÚÓÐØ ÐØ ÒÒ Ó Ý Þ Ó Þ ÐÐ ØÓÖÓ Ö Þ ¹ Ò Ö Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ñ Ú Ð Ô Ò Ú ÐØÓÞ Øº ÃÓÒ Ö Ø Ò Þ ω Ö Ú Ò Ó Þ ÐÐ ØÓÖÓ Ö Ð ÐØ ØØ Ó Ý Ò Ö Ù Ø konst ω Ó Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø º ÈÐ Ò Ý ÔÞ ÐØ Ó Ý Ú ÔÐ Ø Ò ÞÞ Ð ÓÒ Ø Ò Ð Ñ ÒÙÐÐ ÓÞ Ø ÖØ ÞÞ Ð Ð Ô Ð ÞØÓ Ø Ó Ý Þ Ó Þ ÐÐ ØÓÖÓ Ò Ö Ú Ð ¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ú ÐØÓÞ ÓÒº ÞÖ Ú ØØ ÞÓÒ Ò Ó Ý ÖÐ Ø ÐÓ ÞÐ Ø ÓÖ Ô Ñ ÒÙÐÐ ÐÝ ØØ Ý ÞÓÒÝÓ Ú ÖØ Ø Ú Ð Þغ Þ ÓÒ Ø Ò ÈÐ Ò ÐÐ Ò Ñ Ø Ñ h¹ Ð Ð Ð Ò ÖØ h h π = J s = Mev s. ÈÐ Ò Ñ Ò Ð ÖÖ Ú Ø ÞØ Ø ØØ Ó Ý Þ ÐÐ ÒØ Ø Ò Ñ Ò Ò Ñ Ö ØØ Ð ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ò Ö Ú ÒØ ÐØ E n = hω n n = 0, 1,,... ½µ Ñ Ö Ð Ø Ù ÖÞ ÈÐ Ò ¹ ÐØ Ð Ð Þ ØØ ÓÖÑÙÐ ÈÐ Ò ¹ Ô ØÖÙÑ w ω = h ω 3 π c 3 e hω/kt 1 ÓÐ k ÓÐØÞÑ ÒÒ¹ ÐÐ Ò º À Ò ÔÐ Ø Ò ÈÐ Ò Ö Ø Ð ÓÒ ÓÐ Þ Ö ÒØ h ÓÒ Ø Ò Ð ÒÙÐÐ ÓÞ Ø ÖØÙÒ ÓÖ w ω = kt π c 3 ω Ö Ñ ÒÝØ Ô Ù Ê ÝÐ ¹ Â Ò ÓÖÑÙÐ µº Þ ÔÐ Ø ÞÓÒ Ò Ø Ô ÞØ Ð Ø ÐÑ Ð Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð Ý Ö ÒØ Ð Ó Ø ØÐ Ò Ñ ÖØ ω ¹Ò Ð Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ Ð ÓÒÝ Ö Ú Ò ÓÒ Ý Þ Ø Ô ÞØ Ð ØØ Ðº ¾µ º¾º ÓØÓ ØÙ Ð Ò Ñ Ð Ð ØÖ ÒÝ ÙÐØÖ ÓÐÝ Ù ÖÞ µ Ð ØÖÓÒÓ Ø Ú ÐØ ÓØÓ ¹ Ð ØÖÓÒÓ µº Þ Ð ØÖÓÒÓ Ø ÒÝ ÙÐÐ Ñ E¹ ÝÓÖ Ø Ð ÒÒÝ Ö Ó Ý Ô Ñ Ð Ð ÔÒ º Þ ÖØ ÞØ Ú Ö Ù Ó Ý Ñ ÓÖ ÒÝÒÝ Ð Ò Ö Ö Ñ òöò Ø ÒØ ÒÞ Ø ¹ ص Ò Ú Ð Þ Þ Ò Ú Ð Þ Ð ØÖÓÑÓ Ñ Þ ØÐ ÖØ Ø ÒÝ ÙÐÐ Ñ Ò Ð Ô Ð ØÖÓÒÓ Ò Ö Ò Ú Òº Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö ÒØ ÞÓÒ Ò ÒÝ ÒØ ÒÞ ¹ Ø Ò Ú ÓÖ Ò Ñ ÓØÓ Ð ØÖÓÒÓ Ò Ö Ò Ñ Þ Ñ Þ Ñ Ò Ú Þ º Þ Ò Ö Ò Ú Ø ÒÝ Ö Ú Ò Ò Ñ Ò Ú Ð Ú Ð Ö Ø Ðº

6 Ò Ø Ò ÒÝ Ú ÒØÙÑ ÔÓØ Þ ½ ¼ µ Þ ω Ö Ö Ú Ò ÒÝÒÝ Ð ÒÙÐÐ Ø Ñ ò Ö Þ Ð ÒÝ Ú ÒØÙÑÓ Ð Ò Ú Ò ÓØÓÒÓ Ðµ ÐÐ Ñ ÐÝ Ò hω Þ Ò Ö h k Þ ÑÔÙÐÞÙ º Ý ÐÝ Ò ÐØ Ú Ø Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø Ø Þ Ð ¹ Ø Ú Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø ïµº ÓØÓ ØÙ Ð ÒÝ Þ Ó Ý ÒÝÒÝ Ð Ý ÓØÓÒ Ø Þ Ñ Ð ØÖÓÒ Ú Ð Ñ Ñ ÑÑ Ð Ò Ö Ø ÑÔÙÐÞÙ¹ Ø Ø Þ Ð ØÖÓÒÒ º ÓÐÝ Ñ Ø Ò Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð Ú Ø Þ Ý ÒÐ ØØ Ð Þ Ø hω = P 1 + P + 1 mv, ÓÐ P 1 Þ ÓÒ Þ Ò Ö P Ð Ô ÑÙÒ K e = 1 mv Ô Þ Ð ØÖÓÒ ÑÓÞ¹ Ò Ö Ñ Ð Ú Ð Ð Ô ÙØ Òº ÔÐ Ø Ð Ú Ø Þ Ó Ý ω K e º À ÐØ Þ Ñ Ó Ý ÒÝ Ò Ö Ö Ñ òöò N hω c¹ú Ð Ý ÒÐ ÓÐ N ÓØÓÒÓ òöò ÓÖ ÓØÓÒ¹ Ð ØÖÓÒ Ø Þ Ð Ô ÓØÓ Ð ØÖÓÒÓ Þ Ñ Ø Ô ÞØ Ð ØÒ Ñ Ð Ð Ò Ò Þ ÒØ ÒÞ Ø Ðº ÔÓØ Þ Ø ØÐ Ò Ñ Ö Þ Ò Þ ÖÞ Ð Ö ÓÒ ÓÐ ÙÒ Ú Þ Þ Ð ØÖÓÑ Ò ÙÐÐ Ñ S = cw n Ò Ö ¹ Ö Ñ òöò Þ Ö Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø º Рص Ñ ÐÝ Ò w = 1 ǫ 0E Ý ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ö Ö Ú Ò Ø Ðº ÈÐ Ò Þ Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ñ ÒØ Ñ Ò Ö Ò Þ Ö ÑÓÞ Ò Ú ÒØÙÑÓ Ø ¹ Ñ ÖØ Ð Ò Ø Ò ÞØ Ð Ñ Ö Ø Ø Ö ÞØ ØØ Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ñ Þ Ö º ¾º Ö º ÓØÓÒ ÔÓØ Þ Ø Ñ ÒØ Ý ¾¼ Ú Ò Ö ÞØ Ð Ý ÓÖÐ Ø Ð Ò Ñ ØØ Ðº ÒÝ ÓÖÔÙ Þ ÙÐ Ö ÙÐÐ Ñ Ð Ó Þ ØØ Ù Ý Ò Á º Þº Ð ÚØ Þ Ò Ð ¹ Þ ØØ ÒØ Ö Ö Ò ÒØ ØØ ÙÐÐ Ñ Ô Ú Ö ÓØÓÒ ÔÓØ Þ Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ö ÞÐ Ø ÓÐ ÓÞ Ð ØØ Ò ÛØÓÒ ÓÖÔÙ Þ ÙÐ Ö Ð Ó Ð Ð Ú Ò Ø Ò ØòÒغ Þ ÒØ Ö Ö Ò Ð ÒÝ Þ Ó Ý º ÖÒÝ Ò Ð º Þ Ö Øµ Ñ Ú Ð ØÓØØ Ø Ø Þ ¹ ÞÓ Ú ÐØ ÓÞÒ º Ä Ý Ò P Ú Ð Ñ ÐÝ Ñ Ú Ð Ø ØÐ Ò Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ý ÔÓÒØ ½ º À ÖÑ ÐÝ Ö Ø Ð Ø Ö Ù P Ñ Ú Ð ØÓØØ Ú Ð º ÞØ Ð Ò Ø ÑÑ ÔÔ Ò ½ Þ ÒØ Ö Ö Ò Ð Ò Ø Ð Ò Þ Ø Ò Ö ÞÐ Ø Ò Ø Ö Ý Ð Ù º

7 Ñ Ð Ø ØØ Ñ Ñ Ý Ö ÞÒ ÒÝ Ö Þ ¹ Ð Ó Ò Þ Ð Ô Ò Þ Ð Ð Ó¹ ØÓÒ ÔÓØ Þ Ñ Ð Ø ÞÓØØ Ú Ø ÐÒ º º º Ö Ó Ø Ú Ø Ð Ñ ØÓÑÓ µ Ö Þ Ó Ø Ð Ð ÑÑ Ð ÙÐÒ Øº ÖÑ ÐÝ ÒÝ Ñ ÒÒÝ Ð Þ ÒÝ Ñ Ò Ö ÐÐ ÑÞ T 1/ Ð Þ Ð ØØ Ð ÙÐ Ø ÊÙØ Ö ÓÖ ½ ¼¼µº ÒÒ Ú Ð Þ Òò Ó Ý Ý ØÓÑ Ñ ÐÝ t¹ Ñ Ò Ñ ÓÑÐÓØØ Ð (t, t+dt)¹ Ò Ð ÓÑÓÐ ÓÒ λ dt¹ú Ð Ý ÒÐ º λ ÓÒ Ø Ò Þ ÒÝ Ö ÐÐ ÑÞ ÓÑÐ ÐÐ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò ÑÑ Þ ÙÐÐ Ñ Ó Þ ÓÞ Ñ Ø Ù Ý Ò ÞÞ Ð ØòÚ Ð Ð Ð Ò µº Ä Ý Ò N(t) ÞÓÒ ØÓÑÓ Þ Ñ Ñ ÐÝ t¹ Ò Ñ ÓÑÐÓØØ Ðº ÓÖ N(t + dt) = N(t) λ N(t) dt dn(t) dt = λn(t) N(t) = N(0) e λt. Þ ÔÐ Ø Ö Ó Ø Ú ÓÑÐ Ø ÖÚ ÒÝ º τ = 1/λ Þ ÐÐ Ò Ñ ÐÝ ÞÞ Ð Þ Ú Ð Ý ÒÐ Ñ Ð ØØ Ñ ÒØ e¹ Ö Þ Ö ÓÑÐ º T 1/ = τ ln. ÈÖÓ Ð Ñ À Ý ÓØØ Ð Ñ ØÓÑ Ø Ð Ø Ò Ý ÓÖÑ Ñ ÖØ Ð Ò Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÑÐ Ò Ð Þ Þ ÔÓÒØ Ó Ý Ò Ð Ø Ú Ð ØÐ Ò Þ Öò Ö Ó Ø Ú¹ ÓÑÐ ÖÓÑ Ð ÔØ ÔÙ ½µ α¹ ÓÑÐ Ù ÖÞ Þ Ð ØÖÓÒ ÓÞ Ô Øµ Ò Þ Ø Þ Ö Ò ÔÓÞ Ø Ú Ò Ø Ð¹ Ø ØØ ÙºÒº α¹ö Þ Ð ÐÐ Ñ ÒØ ÙØ Ö ÐØ Þ ÞÓÒÓ Ð ÙÑ ØÓÑ Ñ Ú Ðµº ¾ µβ¹ ÓÑÐ Ù ÖÞ Ð ØÖÓÒÓ Ð Ðк µ γ¹ Ù ÖÞ Þ Ð Ø ÓÑÐ Ø ÔÙ Ø Ö Ù ÖÞ Ñ ÐÝ Ò Ò Ý Ö ¹ Ú Ò ÓØÓÒÓ Ð Ðк º º ÚÓÒ Ð Ô ØÖÙÑ Ö Ø ÞÓ ÞÓÒÝÓ ÙÐÐ Ñ Ó Þ Ù ÖÞ Ø Ó Ø Ò ÒÝ ÐÒ Ð ÚÓ¹ Ò Ð Ô ØÖÙѵº Ð Ø Ø Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò ÖÓ Ò Þ Ô ØÖÙÑÚÓÒ Ð Ò Ùй Ð Ñ Ó Þ Ø Þ ( 1 1 λ = R 1 ) n (n = 3, 4, 5,...)

8 ÑÔ Ö Ù Ò Ñ ÐÐ Ô ØÓØØ ÐÑ Ö¹ ÓÖÑÙÐ ½ µ Ö Ð Ñ ÐÝ Ò Þ R = m 1 ÑÔ Ö Ù ÓÒ Ø Ò ÊÝ Ö ¹ ÐÐ Ò º ÐÑ Ö¹ ÓÖÑÙÐ ÐØ Ð Ð ÖØ ÙÐÐ Ñ Ó Þ Ð ÓØ ÐÑ Ö¹ Þ Ö Øº ÌÓÚ Þ Ö ( 1 1 ÄÝÑ Ò¹ Þ Ö λ = R 1 1 ) n (n =, 3,...) ÙÐØÖ ÓÐÝ Ò º º È Ò¹ Þ Ö Ö Øع Þ Ö È ÙÒ ¹ Þ Ö ( 1 1 λ = R 3 1 ) n ( 1 1 λ = R 4 1 ) n ( 1 1 λ = R 5 1 ) n (n = 4, 5,...) Ò Ö Ú Ö Ò (n = 5, 6,...) ÙÓº (n = 6, 7,...) ÙÓº ÚÓÒ Ð Ô ØÖÙÑÓ ÖØ ÐÑ Þ Þ ØÓÑÑÓ ÐÐÖ ÚÓÐØ Þ º ÊÙØ Ö ÓÖ ÔÐ Ò Ø Ö ØÓÑÑÓ ÐÐ ½ ½½µ Þ Ð ØÖÓÒ Ð Þ ÙØ Ò Ú Ð Ó Ú ÐØ Ó Ý Þ Ð ØÖÓÒ Ñ Ò Ò Ð Ñ ØÓÑ Ò ÓÒØÓ Ð ÓØ Ö Þ º Ð Þ ÂºÂºÌ ÓÑ ÓÒ ÓÐ ÓÞØ Þ ØÓÑ Ñ Þ ÓÐ ÔÙ Ò ÑÓ ÐÐ Ø ÔÓÞ Ø Ú Ó ÓÒÝ Þ Ò Ð ØÖÓÒÓ ÖÓ Ò ØÓÑ Ò Ó ÓÒÝ Þ Ô Ò Ý ØÐ Ò Ð ØÖÓÒµº ÊÙØ Ö ÓÖ ½ ¼ ¹ Ò α¹ö Þ Þ Ö Ø Ý ÐØ Ñ Ú ÓÒÝ Ð Ñ Þ Ò Ú ¹ ÞÓÒÝÐ Ó Ú Þ Þ ÖØ α¹ö Þ Ø Ø Ð ÐØ Ñ Ì ÓÑ ÓÒ¹ÑÓ ÐÐ Ð Ô Ò ÖØ ÐÑ Þ¹ Ø ØÐ Ò Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ú Ð Ö Ò ØØ Ð ÐÝ ÑÔ Ô ÖÖ Ð Ú Þ Ô ØØ Ò Ö Ò ØØ Ð ÒÑ Ø Ø Ð Ð Ð µº Å Ð Ú ÓÒ ÓÐ Ó ÙØ Ò ÖÖ Ñ Ý Þ Ö ÙØÓØØ Ó Ý Þ ØÓÑ Ò ÔÓ¹ Þ Ø Ú Ø ÐØ Ò Ñ Ò ÝÑ Ö Øò Ó ÓÒÝ ÓÖÑ Ò Ò Ñ Þ ØÓÑ Ñ Ö Ø Ò Ð Ú Ð Þ Ð ØÖÓÒÒ Ð Ó ÞÓÖÓ Ò Ò ÝÓ Ø Ñ ò ØÓÑÑ ÓÖÑ Ò Ú Ò Ð Òº Þ Ð ØÖÓÒÓ Ý Ö Ò Ò Þ ØÓÑÑ Ö Ð Ñ ÒØ ÓÐÝ Æ Ô Ö Ðº Þ α Ö Þ ÓÖ Ô ØØ ÒÒ Ú Þ Ñ ÓÖ Ø Ð Ø Ð ÐÒ Ý ØÓÑÑ Óغ ËÔ ¹ Ð Ò ÖÓ Ò ØÓÑ Ò Ý ØÐ Ò Ð ØÖÓÒ Ö Ò Þ ÞÓÒÓ Ò Ý ÐÐ ÒØ Ø Ð Ðò Ø ÐØ Ð Ö Ò Ð Þ Ñ Ö Ð Ñ ÞØ ÔÖÓØÓÒÒ Ò Ú ÞÞ µº ÊÙØ Ö ÓÖ ÒÒÝ Ö ÓÑÓÐÝ Ò Ú ØØ ÞØ ÑÓ ÐÐØ Ó Ý ÑÓ ÐÐ Ú ÖØ Ñ Þ Ð ØÖÓ Ò Ñ Ú Ð Ð Ò ÚÓÐØ Þ Ñ Ö ÐÒ Å ÜÛ ÐÐ Ð ØÖÓ Ò Ñ Þ ¹ Ö ÒØ Ù Ý Ò ÔÐ Ò Ø Ö ØÓÑÑÓ ÐÐ Ò Ñ Ð Ø Ø Ð Ñ ÖØ Þ Ð ØÖÓÒÓ ÑÓÞ ÝÓÖ ÙÐ Þ ÖØ Ù ÖÓÞÒ º Ä ØØÙ Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø º Рص Ó Ý ÖÓ Ò ØÓÑ Ð ØÖÓÒ Ñ ÒØ Ý 1 ns Ð ØØ Ô Ö ÐÓÞ Þ ØÓÑÑ º

9 ýøø Ö Ò Þ ÙºÒº Ö Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ñ ÖØ Ø Ö Ñ ÐÝ Ø ÖØ Ò Ø Ð Þ Ð Ð Ô Ó ÚÓÐØ Ú ÒØÙÑÑ Ò Ð º º º Ó Ö¹ÑÓ ÐÐ ½ ½ µ Ó Ö Ø Ð Ô ÐØ Ú Ð Ò ÙÐØ µ ÖÓ Ò ØÓÑ Ò Ð Þ Ù ÖÔ ÐÝ Þ Ð ÞÓÒÝÓ Ñ Ò Ø¹ Ø º Þ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØÓ Ú Ý Ø ÓÒ Öµ Ô ÐÝ º µ Ù ÖÞ Ú Þ Ø Ò Ð ÒØ Þ Ó Ý Ý E Ò Ö Ø ÓÒ Ö Ô ¹ ÐÝ Ö Ð Þ Ð ØÖÓÒ ÔÓÒØ Ò ØÙ Ö Ý Ð ÓÒÝ E Ò Ö Ô ÐÝ Ö Þ Ò Ù ÖÓÞº Ù ÖÞ Ö Ú Ò Ø Þ E E = hω µ ÔÐ Ø Ø ÖÓÞÞ Ñ º Ð Ð ÓÒÝ Ò Ö Ô ÐÝ Ö Ð Þ Ð ØÖÓÒÒ Ñ Ö Ò Ò ÓÚ Ù Ö Ò Þ ÖØ Þ Ô ÐÝ Ø Ð Þ Ð ØÖÓÒ Ø Ø Ò Ñ Ô Ö ÐÓÞ ÒØÖÙÑ º Ã Ö Ó Ý Ò ÐÐ Ú Ð ÞØ Ò Ñ Ò ØØ ÖÔ ÐÝ Ø Ó Ö Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð Ñ Ò ØØ ÖÔ ÐÝ ÞÓ Ñ ÐÝ Ò Þ ÑÔÙÐÞÙ ¹ ÒÝÓÑ Ø ÖØ h Þ Þ Ñ Ø Þ Ö L = L n = h n. Þ n Ò Ú Ú ÒØÙÑ Þ Ñº Ú ÒØÙÑ Þ ÑÓ ÙÒ Þ Ó Ý Ú Ð Þ Ò ¹ Ü Ð Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØÓ Øº Þ n Ú ÒØÙÑ Þ Ñ ÖÔ ÐÝ E n Ò Ö Ø Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð Ð ÒØÖ Ù Ð Ö ÓÙÐÓÑ ¹ Ö Ý ÒÐ Ð Ø ÖÓÞ Ø Ù Ñ º À r n v n ÖÔ ÐÝ Ù Ö Ö Ò Þ n¹ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Ò ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Þ mv n r n = e 4πǫ 0 r n ÔÐ Ø Þ º Å Ö ÞØ L n = r n mv n Þ ÖØ Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð Ð º Ø Ý ÒÐ Ø Ð v n ¹Ø Þ ÖÚ Þ r n mv n = hn 1 = me r n 4πǫ 0 h 1 n

10 Þ Ö ÙØÙÒ º Ú Ö ÐØ Ø Ð Ð ØÙ Ù Å Ò ÝÞ Ø º Рص Ó Ý E n ÔÓØ Ò Ð Ò Ö¹ Ð Ú Ð Ý ÒÐ E n = 1 ) ( e. 4πǫ 0 r n À Ö Ù r n ÒÚ ÖÞ Ò Ð ÔÓØØ ÔÐ Ø Ø Ñ Ô Ù Ñ Ò ØØ Ô ÐÝ Ò Ö Ø Ò Ö Þ ÒØ Ú Ý Ò Ú µ Ò Ú Ñ Ø Ý ÞÓ Ö ÞÓÐÒ E n = me4 3π ǫ 1 0 h n (n = 1,, 3,...). µ º Ö º Ä Ø Þ Ó Ý Ò ÝÓ n¹ Þ Ò ÝÓ Ò Ö Ø ÖØÓÞ º Ò Ú Ñ Ò Ò Ø Ú Ò Ö¹ Ñ Ú Ð Ú Ø Ð Ò Ó Ú Ò Ð Ð ÒÙÐÐ ÖØ Þ Þ Ð Ú Ò Ú Ø ÚÓÐ ÒÙÐÐ ÓÞ Ø Öغ Ä Ý Ò n > n º Þ n n ØÑ Ò Ø Ò Ù ÖÞÓØØ ÒÝ Ö Ú Ò Ú Ø Þ ω = E n E n h = me4 3π ǫ 0 h3 ( 1 n 1 n Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý ω = πc Ù ÖÞÓØØ ÒÝ ÙÐÐ Ñ Ó Þ Ö Þ λ 1 λ = me 4 64π 3 ǫ 0 h3 c ( 1 n 1 ) n Þ Ø ÒÝ Ö º Þ ÔÐ Ø Ñ Ý Þ Ô ØÖ Ð Þ Ö Ø Ð Ö Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ð ÑÙØ Ø Ó Ý Þ Ý Þ Ö n ÖØ Ò Ð Ò ÞÒ Ý¹ Ñ Ø Ð Ú Ý Ò Ó Ý ÒÝ Ñ ÐÝ Ò Ú Ö Ø ÖØ Ò ØÙ Ö Ò Ð Ñ ØØ Ð º ).

11 ÔÐ Ø Ð Ð ÓÐÚ Ø ØÓÚ Ó Ý ÊÝ Ö ¹ ÐÐ Ò Ø Ñ ÖØ ÓÒ Ø Ò Ó ÓÒ Ö Þ¹ Ø Ð Þ me 4 R = 64π 3 ǫ 0 h3 c ÔÐ Ø Ø Ú Ð Ð Ø ÞÒ º À Ó ÓÐ ÐÖ ÓÒ Ø Ò Ó Ñ ÖØ ÖØ Ø ¹ Ö Ù Ú Ð Ò Þ R Ø Ô ÞØ Ð Ø ÖØ Ø Ô Ù Ñ º ÊÝ Ö ¹ ÐÐ Ò Ò Ö ÞØ Ð Þ Ò Ö Ô ØÖÙÑ Þ Ú Ø Þ º º Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ E n = Rhc n (n = 1,, 3,...). µ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ð ÒÝ Ó Ö¹ Ð Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø º Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ I Ø Ù ÒÚ Ö Ò Ó Å Ò ÝÞ Ø ¾º Þ Øµ ÞÓ Ñ Ø Ú ÒØ ÐÒ ÐÐ Þ I = 1 pdq = hn µ π Þ ÐÝ Ð Ô Òº À Þ I ÔÓÞ Ø Ú Ð Ø Þ n Þ Ñ Ð Ø Ò Ø Ú Þ Ò Ð Þ Ù Ô ÐÝ Þ Ð ÐÐ Ú Ð ÞØ Ò Ñ Ò ØØ Øµ I Ð Ð Ö Ò Ò Ø n Ð Ø ÖÑ ÐÝ Ò Ð Ðòº º º ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ú ÒØ Ð Ñ Ò Ò Ð ØØÙ Ó Ý ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖÖ I = E Ñ ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñº ω Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÐØ Ø Ð Ð Ô Ò I = hn Þ ÖØ Þ Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ð Ø Ò Ö Ø Þ E n = hω n (n = 0, 1,,...) ÔÐ Ø Þ ÈÐ Ò Ö Ñ ÒÝ Ú Ð Ø Ð Þ Ò Òº ÑÐ ÞØ Ø Ò Þ E = ωi ÔÐ Ø Ð Ú Þ Ø Ö Å Ò ¹ ÝÞ Ø ¾º Þ Ø Ð E = (Ú Ö Ð Ø Ø Ð) = K = 1 T = 1 t+t p vdt = 1 T T t t+t t m v dt = pdx = π T I = ωi.) ½¼

12 º º Ó ÓÞ Þ ÖØ Ø Ñ ÔÓÒØ Ú ÒØ Ð Ó ÓÞ a Ó Þ Þ Þ Þ x¹ø Ò ÐÝ Ò Ñ ÐÝÒ Ú ÔÓÒØ Ö Ð Ð µ Ø Ñ ÔÓÒØ ÖÙ ÐÑ Ò Ú Þ Ô ØØ Òº Ý Ø Ô Ù Þ Ö Ø Þ Ö Ò Ð ØÙÒ º Ö º Þ ÖØ Þ Ö ÐØ Ð Ø ÖÓÐØ Ø Ö Ð Ø Ò Ý pa Þ ÖØ I = 1 pa = hn, π p = π h a n, E n = p m = π h ma n (n = 0, 1,,...). µ ½º Ð Ø ý Ö ÞÓÐ Ù Ò Ú Þ Ö Þ Ø Øº ¾º Ð Ø Ì Ñ ÔÓÒØ a, b, c Ð Ó Þ Ó ÓÞ Ú Ò Þ ÖÚ º À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ Ò Ö Ô ØÖÙÑ Ø Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ð Ô Òº Å ÓÐ Å Ð ØØ Ø Ñ ÔÓÒØ ÖÙ ÐÑ Ò Ô ØØÓ Ð Þ ØØ Ñ Ò Ý Ð Ö Ñ Ö Ð Ö ÒÝ ÑÔÙÐÞÙ ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ñ º Èк z¹ø Ò ÐÝÖ Ñ Ö Ð Ð ÔÖ Ð Ø ÖØ Ò Ú Þ Ô ØØ Ò Ò Ð ÔÓÞ Ø Úµ p z ÖØ p z ¹Ö Ú ÐØÓÞ Þ Ò p x p y Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò Ñ Ö º ÒÒ Ø ÒÝÒ Ý Ò Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý Þ ØÖ Ø Ö Ú Ø Ð Ø Þ x, p x µ y, p y µ z, p z µ Ó Ñ Ò Ý Ö Ù Ý ÒÓ¹ ÐÝ Ò ÐÐ ò Ñ ÒØ º Ö Þ ØÖ Ø Ö Þ Ð Þ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ñ Ò Ý Ö Ð Ò¹ Ð Ò Ð ÐÑ Þ Ø p x = π h a n x p y = π h b n y p z = π h c n z E nxn yn z = 1 m (p x + p y + p z ) = π h m [ (nx a ) + ( ny b ) + ( nz c ) ] µ ½½

13 º½¼º ÖÓ Ò Ô ØÖÙÑ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ò Å Ò ¹ ÝÞ Ø ½½ µ ÔÐ Ø Þ Ö ÒØ Ã ÔÐ Ö¹ÑÓÞ Ò Ö Ø Þ Ø Ù ÒÚ Ö Ò Ó Ú ÒÝ Ò Þ γ m 1 E = m3 (I r + I ϑ + I ϕ ) ÔÐ Ø Ñ º Ö Ú Ø ÔÓØ Ò Ð Ð e γm 1 m 4πǫ 0 ÐÝ ØØ Ø Ð Ô Ù Ñ ÓÙÐÓÑ ¹ÔÓØ Ò ÐØ ÖÓ Ò ØÓÑ ÔÐ Ò Ø Ö ÑÓ Ðй Ò Þ ÖØ Ñ Ð Ð Ú ÐØÓÞØ Ø Ð ÔÐ Ø Ò ÑÓ ÐÐ Ò ÖÚ ÒÝ me 4 E = 3π ǫ 0 (I r + I ϑ + I ϕ ) ÓÐÝ m Ø Ñ Ø Ø Ð ÐØ Þ Ð ØÖÓÒ m Ø Ñ Ö µº Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð Ú ÒØ Ð ÐØ Ø Ð Ð Ô Ò I r = hn r, I ϑ = hn ϑ, I ϕ = hm, ÓÐ n r n ϑ Ò ÑÒ Ø Ú Þ Þ ÑÓ m Ô Ø Ø Þ Ð Ð Ðò Þ ¾ º Ý I r + I ϑ + I ϕ = h(n r + n ϑ + m ) = π h(n r + l), ÓÐ Ú Ø Þ Þ ØÖ ÓÒ ÓÐÚ Ú Þ ØØ Þ l = n ϑ + m РРغ À ÞØ Þ Ø Þ Ò Ö ÔÐ Ø Ö Ù Þ E = me4 3π ǫ 1 0 h (n r + l) ÓÖÑÙÐ Ö ÙØÙÒ º Ñ ÓÖ n r = l = 0 Þ Ò Ö Ñ ÒÙ Þ Ú Ø Ð Ò Ñ ÖØ Þ Ð ØÖÓÒ Þ ÓÖ Ò ÒÝÙ Þ º ÞØ Ð Ø Ø ÒÝ ÐÚ Ò ÐÐ Þ ÖÒÙÒ º Ð Ý Þ Öò Ò ÞØ Ý Ö Ø Ð Ó Ý Þ Ö Ð Ò Ð Ð Þ Þ ÓÞÞ ÙÒ ½¹Øº Ð Þ Öò ÞÙØ Ò Ú Þ ØÒ Þ n = n r + l + 1 к ¾ Þ n ϕ Ú ÒØÙÑ Þ ÑÓØ m¹ Ð ÞÓ Ð ÐÒ ÒÓ Ñ Ú Ò Ú Þ ÐÝ Ó Ý Þ Ú Ö Ø Ñ ¹ µ ½¾

14 Ú ÒØÙÑ Þ ÑÓØ Ñ ÐÝÒ Ø Ú Ð Þ Ò Ö Þ E n = me4 3π ǫ 1 0 h n (n = 1,, 3,...) Ð Ö ÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØÓ Ò ÞÓÒÓ µ¹ к Ì ÖÑ ÒÓÐ n ¹ Ú ÒØÙÑ Þ Ñ n r ¹ Ö Ð Ú ÒØÙÑ Þ Ñ l ¹ Ñ ÐÐ Ú ÒØÙѹ Þ Ñ m ¹ Ñ Ò Ú ÒØÙÑ Þ Ñº Å ÝÞ Ú ÒØÙÑÑ Ò Ò Ñ ØÙ Þ ÑÓØ Ò Þ Ð ØÖÓÒÓ ØÙ Ö ¹ Ö Ð Þ Ð ÓÒÝ Ò Ö Ô ÐÝ Ö º Þ Ð Ò Ù Ý Ò Ù ÖÞ Ú Þ Ø Ú ÒØÙÑÑ Ò Ñ Ð Ð Þ ÖØ Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ñ Þ Ý Ð Ñ Ú Ø ¹ Ð Ú Ð Ø Ö Ý Ð Ø º Þ ÞÓÒ Ò Ñ Ö Ú ÒØÙÑ Ð ØÖÓ Ò Ñ Ø Ö Ø ÖØÓÞ Ñ ÐÝ Ò Ñ Þ Ö Ô Ð Ø ÒØ ÖÚ Òº º½½º Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ò Ó Ö Ö Ø Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð Þ ÚÓÐØ Ó Ý Ñ Ò ØØ ÖÔ ÐÝ ÞÓ Ñ ÐÝ ¹ Ò Þ ÑÔÙÐÞÙ ÒÝÓÑ Ø ÖØ h Þ Þ Ñ Ø Þ Ö º Ò Þ Ø Ò ÞØ ÐØ Ú Ø ÔÓÒØÓ Ø Ù Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Þ Ö Òغ Å Ò ÝÞ Ø ½º½ Þ Ø Ò Ð ØØÙ Ó Ý p ϕ Þ Ð ÒØ Þ ÑÔÙÐÞÙ ¹ ÑÓÑ ÒØÙÑ z¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ø L z ¹Ú Ð ÞÓ ØÙÒ Ð ÐÒ µº Å Ú Ð p ϕ = I ϕ Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ z¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ú ÒØ ÐØ ÖØ hm ÓÐ m Ø Ø Þ Ð Ð Ðò Þ Ú Ý ÒÙÐÐ º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ L ÞÓÐ Ø ÖØ Ó Þ µ Ú ÒØ ÐØ ÖØ Ø Ú Ø Ðº Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ r Ù Ö Ñ Ò Ú Þ ØØ Þ ÑÓÞ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ø Ú Þ Ð Ù º ÁÒ ÙÐ ÙÒ Þ L = m r v = m r 4 ( ϑ + sin ϑ ϕ ) ÔÐ Ø Ðº Å Ò ÝÞ Ø º Ð Ø Ñ ÒØ Ö Þ ÖØ ϑ = 1 mr p 1 ϑ ϕ = mr sin ϑ p ϕ, L = mr (p ϑ ϑ + p ϕ ϕ). Ñ Ð Ð Ø Ò Þ ÑÓÞ Ö Ò Ø ÖØ Ò Å Ò ÝÞ Ø º Рص ÓÒ ¹ Ø Ò ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ ÐÐ ØØ Þ ÖØ L = 1 t+t t+t [ ] L dt = mr (p ϑ ϑ + pϕ ϕ) = mr p ϑ dϑ + T t T t T p ϕ dϕ = = m πr T r[i ϑ + I ϕ ]. ½

15 Ó ÓÐ Ð Þ Ö Ð Ø ÞÓÖÞ m πr r ØÓÖ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ L Þ ÖØ Þ ÑÔÙй T ÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò Ý Ø Þ L = I ϑ + I ϕ Ý Þ Öò Þ Ø ÖÓÞÞ Ñ Ñ ÐÝÒ Ú Ø ÞØ Ò Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ¹ ÐÐ Ò L = h(n ϑ + m ) = hl. Å ÒØ Ð Ø Ù Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ ÑÔÙÐÞÙ ÒÝÓÑ Ø Ò Ý¹ h Þ Þ Ñ Ø Þ Ö Ð Øº α º Ö º Þ n ϑ Ò ÑÒ Ø Ú Þ Þ ÖØ l ÓØØ Þ m¹ò Þ l m l ½¼µ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÐÐ Ò L z Ò Ñ Ð Ø Ò ÝÓ L¹Ò к ÓØØ l¹ ò m¹ ò Ô ÐÝ ¹ Ö ÐÐ ØÓØØ Ñ Ö Ð cosα = m/l ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ α Þ Ø Þ Ö z¹ø Ò ÐÐÝ Ð Ùº º Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ò Ý hl z¹ö Ú Ø ØØ Ú Ø Ð Ø Ô hm Ð º Þ º ¹ Ö Øµº Þ α Þ Ø Ø Ú ÒØ ÐØ ÞØ Ø ÒÝØ Ò Ú ÞØ Ö Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ò Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð Ò º Å Ý ÞÞ Ó Ý Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò Ú Ò ÞÞ Ð Ø ÒÒÝ Ð Ó Ý z¹ø Ò ÐÝ ÙÔ Ò Ð ÔÞ ÐØ Ö ÒÝ Ø Ö Ò Ö Ó Ý ÐÚ ¹ Ø Ò Þ Ñ ÖØ Ò Ó Ý ÓØØ Ô ÐÝ Ñ ÐÐ ØØ Ñ ÖØ Ò Ñ Þ Ø Ø Þ Ð Ò ÓÖ ÒØ ÐÒ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Öغ ÓØØ l Ñ ÐÐ ØØ Þ ½¼µ¹Ø Ð Ø Ð Ò Þ m¹ Þ Ñ l + 1º ÓØØ hl Ò Ý¹ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú ØÓÖ ÒÒÝ ÝÑ Ø Ð Ð Ò Þ z¹ú Ø Ð Øò ÓÖ ÒØ Ú Ð Ö Ò Ð Þ Øº À Ý ÞÓÒÝÓ Ú ÒØÙÑ Þ Ñ ÓÞ ν Ð Ò Þ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Ø ÖØÓÞ ÓÖ Þ ÐÐ Ø Ú ÒØÙÑ Þ ÑÓØ ν¹ Þ Ö Ð ÙÐØÒ Ò Ú ÞÞ Þ l Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ð ÙÐ ν l = l + 1º º Ð Ø À ÒÝ ÞÓÖ Ð ÙÐØ ÖÓ Ò ØÓÑ n Ú ÒØÙÑ Þ Ñ ½

16 Å ÓÐ Þ n n 1 ν n = (l + 1) = n l=0 ¹ Þ Ö Ò Ð ÙÐØ Ñ Ú Ð ÓØØ n¹ò Ð n r Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ l¹ø Ñ ÐÝ 0 l n 1 Ø ÖØÓÑ ÒÝ Þ Ñ Ò Ò l¹ò Ð (l + 1) Ð ÔÔ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ù Ñ m¹øº Ó Ö¹ÑÓ ÐÐ Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ý Ð Ñ Ú Þ Ó Ý ÖÓ Ò ØÓÑ Ò Þ Ð ØÖÓÒÔ ÐÝ ÐÐ Ô Þ Ð ØÒ º Å Ò ÝÞ Ø º Ð Ø Ò Ð ØØÙ Ó Ý ÓØØ E Ñ ÐÐ ØØ Ò ÝØ Ò ÐÝ Ó Þ ÐÐ Ò Þ L Ö¹ Ø Ô ÒÙÐÐ Ý Ñ Ü Ñ Ð ÖØ Þ ØØ Ð Ø Ñ ÐÝ ÓÖ ØÚ Ö ÒÝÓ E Ò ÝÞ Ø Ý Ú Ð Ñ Ú Ð E < 0 Þ E Ò Ú Ú Ð E Ò Þ ÖØ Þ L Ñ Ü Ñ Ð Ð Ø ÖØ E Ò Ú Ú Ð Ò µº Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ò Ð ÒÝ Ò Ù Ý Ò Þ ÐÝÞ Øº Þ L¹Ø Ñ Ø ÖÓÞ l Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ñ Ò Ñ Ð ÖØ ÒÙÐÐ Ñ Ü ¹ Ñ Ð ÖØ Ô (n 1) Ñ ÒÒ Ð Ò ÝÓ Ñ Ò Ð Ò ÝÓ E n Ò ÝÞ Ø Ý Ò ÒÚ ÖÞ Þ n Ú ÒØÙÑ Þ Ñµº Þ ÓØØ n¹ Þ Ø ÖØÓÞ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØÓ Ø Ø ÓÐÝ Ò ÐÐ Ô Þ Ô ÐÝ Ñ ÐÝ Ò Ù Ý ÒÓÐÝ Ò Ó Þ Ò ÝØ Ò ÐÝ ÒÒ Ð ÐÒÝ ØÓØØ Ñ Ò Ð Þ lº Ö Ð Ô ÐÝ Ò Ð l = n 1º º Ð Ø ÃÚ ÒØ Ð Ù Þ ÞÓØÖ Ô ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ ÑÓÞ Øº Å ÓÐ Ú Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ E = Kº Ð Ø ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ ÓÐ Ø º µ ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø E = T = 1 T ( ) t+t p x t m + p y m + p z dt = 1 t+t (p x v x + p y v y + p z v z )dt = m T t ( ) p x dx + p y dy + p z dz = π T (I x + I y + I z ) = ω(i x + I y + I z ) = hω n, ÓÐ n = n x +n y +n z ÖÓÑ Ò ÑÒ Ø Ú Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Þ º Þ n Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ò Ú Ð ÙÐ ( ) n + (n + )(n + 1) ν n = =. µ Ñ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ý Ð Ñ ÐÐ Ú ÒÒ Ó Ý Þ r¹ñóþ Ô Ö Ù T/ Å Ò º Рص Þ ÖØ E = T t+t t ( m ṙ + m r ϑ + m r sin ϑ ϕ ) = π T (I r + I ϑ + I ϕ ) = hω n, ½

17 ÓÐ n = n r + lº Þ Ð ÓÒÝ n¹ Ô Ð Ò Ñ Ý Þ Ø Ò Ö Ð Ó Ý Þ Ð ÙÐ Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ Þ Ð Þ Ñ ÓÐ Òº º½¾º Ñ ÒÒ¹ ØÙ Þ ØÙ Ð ÒÝ Ñ Ò Ñ Þ Þ m Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ Ò Ö¹ Ò Ú Ø Þ ÖØ Ò Ú Þ m¹ø Ñ Ò Ú ÒØÙÑ Þ ÑÒ µº º Ö º Þ ØÓÑÓ ÑÓÞ Ø ÐØ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Þ ÖØ ÐØ Ð Ò Ú Ò Ñ Ò Ô Ð¹ ÒÝÓÑ Ø Ù º Þ Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø ¾º½ Þ Ø Þ Ö ÒØ Ö Ö Ñ µ Ñ Ò Ô ÐÒÝÓÑ Ø Ñ Ö Ð Þ Ö Ñ Ö Ò Ý Þ Ö Ñ Ö ÓÒØ Ö ÐØ Ð Ø ÖÓÐØ Ø Ö Ð Ø ÞÓÖÞ Ø º ÖÓ Ò ØÓÑ Ò Ö Ò Ð ØÖÓÒ Ö Ñ Þ e Ø ÐØ ν = 1/T Ö Ò Ö Ú Ò ÞÓÖÞ Ø Þ ÖØ µ = πab e T. πab/t Ö ÒÝ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ø º Å Ò ÝÞ Ø º Ð Ø ¹ Ò Ð ØØÙ Ó Ý Þ ¾ºÃ ÔÐ Ö¹Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ L/m¹ Ð Ý ÒÐ º Å Ú Ð ØÓÚ Þ L ÑÔÙÐÞÙ ÒÝÓÑ Ø Ñ Ö Ð Ô ÐÝ Ö Þ ÖØ µ = e m L. Ñ Ò Ô Ð ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ø Þ Ð ØÖÓÑÓ Ô Ð Ð Ô Ù Ð ØÖÓ¹ Ò Ñ ÝÞ Ø µ ÔРص p µ E B ÐÝ ØØ Ø Ð U = µ B. Î Ð ÞÙ z¹ø Ò ÐÝØ B¹Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Òº ÓÖ U = µ z B = e m L zb = µ B mb, ÓÐ µ B = e h Ó Ö¹Ñ Ò ØÓÒ m Þ Ð ØÖÓÒ Ø Ñ µ B¹Ø ÞÓÖÞ m Ô m Ñ Ò Ú ÒØÙÑ Þ Ñº ½

18 À Ñ Ò Ñ Þ Ý Ò ÓÖ Þ Ð ØÖÓÒ ÑÓÞ Ö Ý ÓÖÓÐØ Ø Ø Ð ÐØ ¹ ÒØ Ø Ò Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò Ó Ö¹Ô ÐÝ Ò Ö Ø Ý Ô Ø Ù Ñ Ó Ý µ¹ Þ ÓÞÞ Ù Þ U ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ø Ô ÖØÙÖ Ø Ú Ø Ö Ý Ð µ E nm = me4 3π ǫ 1 0 h n µ B mb. ÓØØ n¹ò Ð l Ñ Ü Ñ Ð ÖØ (n 1) Þ ÖØ Þ E n Þ ÒØ ( (n 1)+1 ) = (n 1) ÐÒ Ú Ö Ð Þ m Ñ Ò Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Þ Ö ÒØ Ð º º Ö Øµº º½ º Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ø Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ý Ò ÔÓÒØ Ú Ø Þ ½µ Þ Ð Ö Ò Ñ Ð ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÖØ Þ Ø Ù ÒÚ Ö Ò Ó Ø ÒØ Ö Ð ¹ Ø Ð ØÓ Ö ÖØ ÐÑ ÞØ Å Ò ÝÞ Ø ½ ﵺ Ñ Þ ÖØ ÝÒ Ð Ø Ð ØÖÓÒØ Ø ÖØ ÐÑ Þ ØÓÑÓ Ö Ò Ñ Ð Ø Ð ÐÑ ÞÒ Ñ ÖØ Þ Ð ØÓ Ò Ñ ÒØ Ö Ð Ø º ¾µ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð ÖØ ÐÑ ÓÑ ÐÝÓ º µ ÖÓ Ò Ô ØÖÙÑ Þ Ñ Ø Ò Ð Ñ Ø Ö Ò ÐÐ Þ ÖÒ ÞØ Ð Ø Ø Ñ ÓÖ n r n ϑ m Ý òð Þ ÖÙ ÒÓ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð Ð Ö Ð Þ Þ Ö¹ Ò º µ ÑÓ ÐÐ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ô ØÖ Ð ÓÒÐ ÐÚ Ò Ð ØÖÓ Ò Ñ ¾º ¹ Þ Øµ Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ý Ô Ö Ù ÑÓÞ Ø Ú Þ Ø ÐØ ÐØ Ð Ó ØÓØØ Ù ÖÞ Ô ØÖÙÑ Ø ÐØ ÑÓÞ Ö Ú Ò Ø Ð ÖÑ Ò Ù Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø º Þ ÙØÓÐ ÔÓÒØÓØ Ú Þ Ð Ù Ö ÞÐ Ø Òº Ä Ý Ò E n < E n n < nµº Þ n n ØÑ Ò Ø ÓÖ Ò Ñ ØØ ÐØ ÒÝ Ö Ú Ò µ Ð ÞÒ Ð Ú Ð ω nn = E n E n h = 1 h [ Rhc n + Rhc ] n = πrc [ 1 n 1 ] n. ½½µ Ù ÖÞ Þ n Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ô ÐÝ Ö Ð Ø ÖØ Ò º Þ Ð ØÖÓÒ ÑÓÞ Ò T = ÐÐ Ô Þ Ø Ö Ð Ø»Ø Ö Ð Ø = πab m L z Ô Ö Ù Ø Å Ò ÝÞ Ø ½ º Þ Ø ÔÐ Ø Ø Ú Ð ÒÒÝ Ò Þ Ø¹ Þ E Ò Ö Ò Ö ÞØ Ð T = πµab = πµ L z L z γm 1m L z µ = E µ E γm 1m E. 3/ µ ÐÝ ØØ Ø ÐÚ Þ ÙØ Ò ÞØ Ô Ù m T = e 4πǫ 0 E, 3/ µ Ö Ù ÐØ Ø Ñ m 1 m ¹Ò Ð m 1 m¹ Ð Ý ÒÐ º ½

19 Þ ÖØ Þ Ð ØÖÓÒ ÑÓÞ Ò Ö Ö Ú Ò Þ n Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ô ÐÝ Ò ω n = π T n = π m 4πǫ 0 E n 3/ e = 4πcR ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý ω nn Þ Þ Ñµ ω n Þ ÖØ Ô ØÖ Ð ÓÒÐ ÐÚ Ú Ð Ò Ö Ðº º½ º ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¹ ÐÚ Ó Ö ½ ½ µ ÒØ Ö Ð Ø Ò Ñ Ð Ø Ø Ø Ð Ó Ý Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ð Ö Ñ ¹ ÒÝ ÖÓ Ò Ô ØÖÙÑ Ñ ÒÒ¹ ØÙ ÖØ ÐÑ Þ Òº À Ò Ñ Ø ÒØ Ø Ñ ÖÓ Ð Ò Ú Ð ÐÑ Ð Ø Ò ÒÒÝ Ø Ñ Ò Ò ØÖ Ñ Ý Þ Ò Ð Þ Ó Ý Ò ÛØÓÒ Ñ Ò Å ÜÛ Ðй Ð Ð ØÖÓ Ò Ñ Þ ØÓÑ Ð Ò Þ ÒØ Ò ÞÓÒÝÓ Ò Ò Ñ ÖÚ ÒÝ º Ñ ÖÓ Þ ÓÔ Ù Ð Ò ÖØ ÐÑ Þ Ò ÞÓÒ Ò Þ Ø Ò Ý ÐÑ Ð Ø Ö Ò Ò Ð Ð Þ Ø ØÐ ÒÒ ÞÓÒÝÙÐغ Þ ÖØ Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÐÑ Ð ØØ Ð Ñ ÐÝ Ñ ÖÓ Ð Ò ÖØ ÐÑ Þ Ò Þ ÒÝ Ú Ð Ð Ô Ð Ñ ÐÐ Ú ¹ Ø ÐÒ Ó Ý Ñ ÓÖ ÓÐÝ Ò Ú ÞÓÒÝÓ Ö Ð ÐÑ ÞÞÙ Ñ ÐÝ Ò Ò ÛØÓÒ Ñ Ò Ðк Ð Þ Ù Ð ØÖÓ Ò Ñ Ö Ñ ÒÝ ÚÓÐØ ÔÖ Ø Ù Ò Ð Ý Ò Ö Ù Ð Ø Þ Ö Þ ÐÑ Ð Ø Ö º ÞØ Þ ÐÚ Ö Ø Ò Ú ÞÞ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÚÒ º Î Ý Ô Ð ÙÐ ÖÓ Ò Ô ØÖÙÑÒ ÞØ Ö Þ Ø Ñ ÐÝ Ò Ý n ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ ÒÙÐÐ ÓÞ Þ Ð Ò Ø Úµ Ò Ö Ò Ú Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ø ÖÓÞÓØØ Ø Ö¹ ØÓÑ ÒÝ º Ö Òµº Þ Ò Ö Þ ÒØ ØØ Ò ÝÓÒ òöòò ÐÝ Þ Ò Ð Þ Ò Ö Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ú Ø Ð ÖÑ ÐÝ ÖØ Ø Þ ÖØ Ò Þ ÙºÒº ÓÖÖ ÔÓÒ¹ Ò ¹Ð Ñ Þ Ò Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ú Ø ÞØ Ø Ò ÔÖ Ø Ù Ò Ý ÐÐ Ò Ð Þ Ù Ñ Ò Ð ØÖÓ Ò Ñ Ú Ø ÐÑ ÒÝ Ú Ðº Å Ò Ò Ð ØØ Ø Ð Ð¹ Ò ÐÐ Ô ØÖ Ð ÓÒÐ ÐÚ Ò ÞÓ Ò Þ ØÑ Ò Ø Ò Ñ ÐÝ Ò Ý n Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ò Ú Þ ØØ Ø ÖØ ÒÒ º Ä Ý Ò n, n n n m m ÔÓÞ Ø Ú Þµº Þ m/n 1 Ö ÒÝ Ð Ö Ò Ò 1 n = 1 (n m) = 1 n 1 ( 1 m n ) 1 n 1 1 m n 1 n 3. 1 ( n 1 + m ). n Ö Ù ÞØ ½½µ¹ [ 1 ( ω nn πrc n 1 + m ) 1 ] n n = m 4πRc n 3 = (1) = m ω n, Ú Ý Þ n Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ò Ú Ö Ð Ù ÖÞÓØØ ÒÝ Ö Ú Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¹Ð ¹ Ñ Þ Ò Ú Ð Ò Þ Þ Ñ Ø Þ Ö Þ Ò ÓÖ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Ò Ö Ò ½¾µ ÞÓÐ Ò Ð Ð Þ Ö E n¹ø ÐÐ ÞÒ µ Ø Ú Ð Ñ ÓÒ Ø Ò Ó Ø Þ ÐÐ ÓÔÓÖØÓ Ø Ò R¹ º ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Þ ØØ Ñ Ð ÐØ Ø Ø Ð ÒØ Þ ÐÑ Ð ØÒ Ú ÐØ Ö Þ Ú Ð ÐÐ Þ ¹ Ø Þ º ½¾µ ½

20 Ð ØÖÓÒ Ö Ö Ú Ò Ò º Þ n n m ØÙ Ö Ò Ð Ù ÖÞÓØØ ÒÝ Ö Ö ¹ Ú Ò Þ ω n Ð Ô Ö Ú Ò m¹ Ð ÖÑ Ò Ù º Ö Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ñ ÖØ Ø Ø ÞØ ÑÓ ÖÒµ Ú ÒØÙÑÑ Ò ¹ ÓÞ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ð Þ Ø Ö Ø Ö Ò Øº º½ º Ú ØÓÖØ Ö Ú ØÓÖØ Ö Ø Þ ÓÖ Ð ÐÑ ÖØ Ú ØÓÖÓ Þ Ð ÓØ º Ã Ø ÖÓÑ Ñ ÒÞ ¹ Ò D =, 3µ Ú ØÓÖØ Ö Ð ÔØÙÐ ÓÒ Ð Ñ ÖØ Ø Ø Þ Ð D¹Ò Ð ÖÚ ÒÝ ¹ º ØÓÚ Ñ ÖØ Þ Ð Ò Þ Ñ Ø Ú ØÓÖÓ Ö Ð ÒØÙ Ø Ú Ð ÔÞ Ð Ò Ø ÖÓÞÓØØ Ú ÖØ ÔÓÒØÓ Þ Ú ØÓÖØ Ö Ð ÔØÙÐ ÓÒ Øº Þ Ú Ø Þ Áº Ú ØÓÖÓ Þ Ø Þ Þ Ú Ø Þ ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð¹ Þ ½µ a + b = b + a ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø µº ¾µ ( a + b) + c = a + ( b + c) ÞÓ Ø Ú Ø µ µ Ú ØÓÖØ Ö Ð Ñ Þ ØØ ÓØØ Ú Ò 0 ÒÙÐÐÚ ØÓÖ Ñ ÐÝÖ a + 0 = aº µå Ò Ò a¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÓÐÝ Ò b Ó Ý a + b = 0 ( b = a)º ÁÁºËÞÓÖÞ Ú Ð Þ ÑÑ Ð À α β Ú Ð Þ ÑÓ ÓÖ ½µ a Ñ ÐÐ ØØ α a Ú ØÓÖº ËÔ Ð Ò 1 a = aº ¾µα(β a) = (αβ) aº ÁÁÁº Þ Þ ÞÓÖÞ ÞØÖ ÙØ Ú ½µ (α + β) a = α a + β aº Ð Ò Ö ØÐ Ò Ó ÐÑ a, b, c,... ÓÖ Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò α a + β b + γ c +... = 0 = α = β = γ... = 0, Ú Ý Ý Ú ØÓÖ Ñ Þ Ø ÓÖÓÞ Ø Ø Ú ØÓÖ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ¹ Òغ D Ñ ÒÞ Ò Ñ Ü Ñ Ð Ñ ÒÒÝ ò Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ú ØÓÖÓ Þ Ñ D¹Ú Ð Ý ÒÐ Þ ØÙÐ ÓÒ ÞÓÐ Ð Ø Ñ ÒÞ Ó ÐÑ Ò Ò Òغ Þ Ó ÐÑ D Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò e i i = 1,,...D) D¹ Ñ ÒÞ Ú ¹ ØÓÖØ Ö Þ Ø Ð ÓØ º Þ a = a 1 e 1 + a e a D e D Ø Ý ÖØ ÐÑòº Þ a i ¹ Þ a Ú Ø Ð Ø Þ e i Þ Ò a = (a 1, a,...a D )º Þ a Ú ØÓÖ e i Ö ÒÝ ÓÑÔÓÒ Ò Þ a i e i Ú ØÓÖº ÓÒØÓ Ñ ÝÞ Ý Ð Ñ Ó Ý e i ¹ Ò a i ¹ Ò Þ i Ò Ü Ð Ò Þ ÙÒ Ø Ø ÐØ Þ Ð Ø Ò D Ð Ò Þ Ú ØÓÖ Þ Ð Ð Ð Þ i¹ Ø Þ e i ½

21 Þ Ø ØØ Þ Ñ ÐÙÑ Þ Ò Ø ÐØ ÞØ Þ Ö Ô Ø Ñ Ø a¹ò Ð Þ a Øòµ Þ ÙØ ¹ Ò Ý ÓØØ Ú ØÓÖ Ú Ø Ð Ø Þ Ð Ð Ð Þ i¹ غ Þ ÖØ Þ e i j¹ Ú Ø Ð Ø Ø e ij ¹Ú Ð ÐÓ Ù Ð ÐÒ º Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ð Ð a b ÐÝ ØØ Ò ( a, b)º Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ú Ð Þ Ñ Ñ ÐÝ Ø Ú Ø Þ ØÙÐ ÓÒ Ú Ð Ò ÐÙÒ ½µËÞ ÑÑ ØÖ ( a, b) = ( b, a)º ¾µÈÓÞ Ø Ú Ø ( a, a) 0 ( a, a) = 0 a = 0º ( a, a) a Þ a ÒÓÖÑ Ó Þ µº µ Ð Ò Ö Ø ( a, β b + γ c) = β( a, b) + γ( a, c) Þ ÑÑ ØÖ Ú Ø ÞØ Ò (β b + γ c, a) = β( b, a) + γ( c, a)º Ð Ö ÞÓÖÞ Ø ÞÓÐ Ð Ú ØÓÖÓ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ò ÖØ ÐÑ Þ Ö a b ( a, b) = 0. Þ e 1, e, e D Þ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØÒ Ò Ú ÞÞ ½¹Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÝÑ Ö ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ Ð Ó ( e i, e j ) = δ ij. ½ µ δ ij ÃÖÓÒ Ö¹ Þ Ñ ÐÙÑ Ñ ÐÝ i = j¹ò Ð ½ Þ Ð Ñ ÒÓÖÑ ÐØ µ Ý ÒØ ¼ Ð Ò Þ Þ Ð Ñ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÝÑ Ö µº º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ò ( a, b) = a 1 b 1 + a b a D b D. Ú ØÓÖØ Ö Ò Ú Ø Ð Ò Ó Ð Ò Þ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ð Ø Þ Ñ ÐÝ ÝÑ Ð ÓÖ ØÓØØ º Å Ú Ð ½ µ Ñ Ò Ö Ý Ö ÒØ ÖÚ ÒÝ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Þ Ð ÓÖ Ø Ó ¹ Ö Ò ÞÚ ÒÚ Ö Ò ÖÑ ÐÝ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Þ Ò Ý ÒÐ ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ð ÓØÓØØ ÞÓÖÞ ØÓ Þ Ú Ðº Å ÝÞ Î ØÓÖ ÞÓÖÞ ØÓØ Ò Ñ Ò ÐÙÒ Ñ ÖØ Ò Ñ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø D > 3¹Ö Ø ÖÑ Þ Ø Ñ ÓÒº º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ò a i = ( e i, a). ½ µ Å ÝÞ ËÔ Ð Ò Ñ Ù Ò Þ Ø Ð ÓØ Ú ØÓÖÓ Ò Ú Ø Ð Ø Þ e i Ð Ñ Ö Ú Ø Þ e ji ( e j ) i (14) = ( e i, e j ) = δ ij (j = 1,, D), ½ µ Þ Þ Ý ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ú ØÓÖ Ò ÒÑ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ ÓÑÔÓÒ Ò ¹ Ú Ø Þ e 1 = (1, 0, 0,, 0) e = (0, 1, 0,, 0)... e D = (0, 0, 0,, 1). ½ µ ¾¼

22 º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ò D ( a, e i ) ( e i, b) = ( a, b). i=1 ½ µ º Ð Ø Ä Ý Ò e i ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ D = 3¹Ò Ð Ñ ÐÝ Ò a = (5, 3 3, 3) b = (3 3, 1, 6) c = ( 3, 3, ). Á ÞÓÐ Ù Ó Ý Þ Ú ØÓÖÓ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÝÑ Ö º ÆÓÖÑ Ð Ù Ø Ø Ý Ó Ý Ý η i ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ø Ð Ó Ò º Å ÓÐ η 1 = 1 8 a, η = 1 8 b, η 3 = 1 c º 4 º Ð Ø Ù Ñ Þ e i ¹ Ú Ø Ð Ø Ø Þ η i Þ Òº Å ÓÐ Ð Ø Þ e i = ( η 1, e i ) η 1 + ( η, e i ) η + ( η 3, e i ) η 3 ÔÐ Ø Ø Ú Ð ÓÐ Ø Ñ Ñ ÐÝ ½ µ Ú Ø ÞÑ ÒÝ º º½ º ÃÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö Ò Ð Ò Þ Þ Ð Þ Þ Ø Ú Ð µ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð Ó Ý ÁÁ ÁÁÁ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ö Øò µ ÓÒ Ø Ò Ó ÓÑÔÐ Ü º ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò Ú ØÓÖÓ Ú Ø Ð Ø ÓÑÔÐ Ü Þ ÑÓ º Å Ð Ò Þ Ó Ý Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ò Ñ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ò Ñ ÖÑ Ø Ù ( a, b) = ( b, a) º Þ Ò ÞØÓ Ø Ó Ý ( a, a) Ñ Ñ Ö Ú Ð Ò Þ ÖØ ÖØ ÐÑ Ö ÔÓÞ ¹ Ø Ú Ø Ñ Ú Ø Ð µ Ð Ò Ö Ø ÓÖÑ Ø Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Þ ( a, β b+γ c) = β( a b) + γ( a, c) ØÙÐ ÓÒ ÓØ ØÓÚ Ö ÖÚ ÒÝ Ò Ó Ù Ð ÓÖ ÖÑ Ø Ú Ø ÞØ Ò (β b+γ c, a) = β ( b, a)+γ ( c, a) Ñ ÓÖ Ý ÓÒ Ø Ò ÓØ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ð Ø ÒÝ Þ Ð Ñ Ð Ò ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù ÐÒ Ðк Þ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Ø Ú ÐØÓÞ ØÐ ÒÙÐ ½ µ Þ º ½¼º Ð Ø ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ò ( a, b) = a 1 b 1 + a b a D b D). ½ µ Ð Ö ÞÓÖÞ ØÒ Þ Þ Ð ÑÙØ Ø Ó Ý ½ µ ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö Ò ÖÚ ÒÝ º ¾½

23 ½½º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ½ µ ½ µ ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö Ò ÖÚ ÒÝ º Å ÝÞ ÃÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö Ø Ò ½ µ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ò Ø ÒÝ Þ ÓÖÖ Ò Ð ÒÝ º Î Ð Ú ØÓÖØ ÖÒ Ð Þ ÓÖÖ Ò Ò Ñ Ø Þ Þ Ö Ô Øº ½¾º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ½ µ ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö Ò ÖÚ ÒÝ º ½ º Ð Ø Î Ð ÞÙ Þ ÝÑ Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ô ÖÓ Ø ¾ ÓÑÔÐ Ü Ú ¹ ØÓÖØ Ö Ú Ø Þ Ú ØÓÖ Þ Ð a = (1, 1) b = (1, i) c = (1, 1) d = (1, i)º Å ÓÐ ( a, c) = ( b, d) = 0 º º½ º À Ð ÖØ¹Ø Ö Ú Ø Ð Ò Ñ ÒÞ D = µ ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö Ø À Ð ÖØ¹Ø ÖÒ Ò Ú ÞÞ º À й ÖØ¹Ø Ö Ø H¹Ú Ð Ð Ð º Ú Ø Ð Ò Þ Ñ ÓÑÔÓÒ Ò Ú Ø ÞØ Ò Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò Ú ØÓÖÓ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ú ÒÓÖÑ Ù Ñ Ú Ø Ð Òº Þ ÐÝ Ò Ú ØÓÖÓ Ø Ò Ñ ÒÓÖ¹ Ñ Ð Ø Ú ØÓÖÓ Ò Ò Ú ÞÞ º Þ ÐÒ Ú Þ Ó Þ Ó Ý Ú ÒÓÖÑ Ú ØÓÖÓ Ø a 1/ ¹ Ð Ø ÖØ Ò ÞÓÖÞ Ð Ñ Ò ½¹Ö Ð Ø ÒÓÖÑ ÐÒ º Ú ØÓÖØ Ý Þ Öò Ò ÒÓÖÑ ÐØÒ Ò Ú ÞÞ ÒÓÖÑ ½¹ Ð Ý ÒÐ ½¹Ö ÒÓÖÑ Ðصº ½ º Ð Ø Î Þ Ð Ù Þ a n = 1/n b n = 1/ n ÓÑÔÓÒ Ò Ð (n = 1,,...) Ñ ÓØØ a, b Ú ØÓÖÓ ÒÓÖÑ Ð Ø Øº Å ÓÐ a = π 6 < b = º À Ð ÖØ¹Ø Ö Þ Ø Ò Ý Ó ÞØ ÐÝÖ ÓÒØ Ø Þ Ö Ø ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ó Ó ÞØ ÐÝ Ö º Þ Ö Ø Þ e i Ð Ñ Ø Ú Ñ ÒÞ Ú ØÓÖØ Ö Þ Ð Ñ Þ ÓÒ¹ Ð Ò Ý i Þ Þ ÑÑ Ð Ò Ü Ð Ø Ñ ÐÝ Þ ½ D Þ ØØ À Ð ÖØ¹Ø ÖÒ Ð D = ) Ú Ø Ð Þ ÖØ Øº Þ Ö Ø Þ ÞÒ Ð Ø ÓÖ Þ Ð Þ Þ Ø Þ ÔÐ Ø ÖÚ ÒÝ D = ¹ еº ÓÐÝØÓÒÓ Þ e u Ð Ñ Ø Þ u ÓÐÝØÓÒÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ü Ð º Þ u Ñ ÓØØ Ò¹ Ø ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ú ÐØÓÞ Øº ØÓÚ Ò ÐØ Þ Ó Ý Ò Ñ ÖÙÒ Ð Ú Ð Ñ Ñ Ø Þ Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ < u < + º ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÞÒ Ð Ø ÓÖ Þ Ð Þ Þ Ø ÔÐ Ø ÖÚ ÒÝ Ñ Ö Ò Þ Þ Þ Ø ÒØ Ö Ð Ð ÐÝ ØØ Ø D = i=1 du du. Ý Ô Ð ÙÐ D a = a i e i = a = i=1 du a u e u ¾¾

24 ( a, D b) = a i b i = ( a, b) = du a u b u. i=1 Þ u ÐÝ ØØ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Øò ÞÒ Ð Ø º Ð u Ñ ÐÐ ØØ Ø ÒÝ Ö v¹ø ÞÒ Ð Ù Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ú Ø Ð Ø Ò Ò Ü Ð Ö º Þ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ ÓØ ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ó Ò Ð ÐØ Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÐÝ ØØ Ø ( e u, e u ) = δ(u u ). Å Ú Ð δ(0) = ÓÐÝØÓÒÓ Þ e u Þ Ð Ñ Ò Ñ ÒÓÖÑ Ð Ø u u ¹Ò Ð ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÝÑ Ö º Ú ØÓÖÓ ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ú Ø Ð Ø Þ Ø Ò Ü Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ô Ö ¹ Ñ Ø Ö Ú ÒÝ Þ ÖØ Ó ÞÓÖ Ð Þ Öò Þ a u Ð Ð Ø a(u)¹ú Ð ÐÝ ØØ Ø Ò Ñ ÓÑ ÓÖ Ø Ú Òݹ ÐРغ Ý Ôк Ö Ø Ù Ó Ý a = du a(u) e u. ½ º Ð Ø Þ a H Ú ØÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò Ñ ÓØØ ÓÑÔÓÒ Ò Ð Ý Ò Þ a(u) = e u Ú Òݺ ËÞ Ñ Ø Ù ÒÓÖÑ Øº Å ÓÐ a Ø Ø ÒÓÖÑ ÐØ º a = du a(u) = 0 du e u = 1, ½ º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ Ð Þ Ð Ø a¹ Þ ue u ÓÑÔÓÒ Ò ò b ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÝÑ Ö º ÀÓ Ý Ò Ð Ø Ñ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Þ e u Þ Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ù Ý ¹ Ò Ò Þ Ò Å Þ Ú Ð Ñ ½ µ ÔÐ Ø Ñ Ð Ð ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò ½ µ Þ Ö ÒØ Þ e i Ñ Ò Ò e i1, e i, Ú Ø Ð Ø Þ ÖÙ Ý Ú Ø Ð Ú Ð Þ Ú Ø ¹ Ð Ø Ñ ÐÝÒ ÓÖ Þ Ñ ÞÓÒÓ Þ Ú ØÓÖ Ò Ú Ò Þ Ö ÔÐ i¹ú Ð ½¹ Ð Ý ÒÐ º Þ ÞØÓ Ø ½ µ Ø Ð Ð Øº ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò Þ Ó ÓÞÞ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ý Ú Ø Ð Ø ÓÖ Þ Ñ Ò Ñ ÓÖ¹ Ð ØÓÞ ÔÓÞ Ø Ú Þ Ö Ò Ñ Ø Ø Þ Ð Ú Ð Þ Ñ Ð Øº ÀÓ Ý Ò Ð Ø Ò Þ Ø Ò ÖØ ÐÑ Ò Ñ Ó ÐÑ ÞÒ ÞØ Ú Ø ÐÑ ÒÝØ Ó Ý e u Ñ Ò Ò e u (v) Ú ¹ Ø Ð Ø v Ø Ø Þ Ð Ú Ð µ Þ ÖÙ Ú Ú Ñ ÓÖ v = u Ê ÙÐ ÒÒ Ý ÐÐ Ø ÖØ ÒÒ Ó Ý ÞØÓ Ø ÐØ Ö ÒÓÖÑ ÐØ ¾¼µ ÐØ Ø Ð Øº Ñ ÓÐ Ú Ø Þ e u (v) = δ(u v). ¾½µ Ð Ù Ý Ò Ú Ø Þ Ó Ý Þ e u Þ e u Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ð Ö ÞÓÖÞ Ø ½ µ Ò Ð Ô Ò ( e u, e u ) = dv e u (v)e u (v) = dv δ(u v)δ(u v) = δ(u u ), ÐØ ¹ Ú ÒÝØ Þ Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø º Þ Ø Ò Ú Þ ØØ º ½ µ ¾¼µ ¾

25 Þ ÔÐ Ø Ú Ð Ò ÞÓÒÓ ¾¼µ¹ к ½ º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ½ µ ÔÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ð Ð Þ ÓÖÑÙÐ º a(u) = ( e u, a) Å ÝÞ Ð Ð Ö Ð H Ú ØÓÖ Ø Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ò Ø ÒÝ Ö Ö Ú Ö Ð Ú ØØ Øò Ð Ð Ð φ χ ψº ÒÝ Ð Ø ÞÓÒ Ò Ó Ñ ÞÓ Ø Ø Ò¹ Ò Ñ ÖØ ÒÒØ ÖØ ÓÑ ØÖ Ú ØÓÖÓ Ð Ð Ö º À ÐÝ ØØ Ð Ý Ö Ò Ö ÐØ Ð Ú Þ Ø ØØ Ø¹Ú ØÓÖ Ð Ð Ø ÞÒ Ð φ φ º φ ψ Ø¹Ú ØÓÖÓ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ø Ð Ð Ñ Ò Ú Ø Þ ( φ, ψ) φ ψ º φ Ò Ú Ö ¹Ú ØÓÖº ÙÖ Ò ÝÓÒ Þ Ö Ò ÐÒ Ú Þ Ñ Ý Ö Þ Ø Þ Ó Ý Φ Ψ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ý Ø Ð Þ Ö Ð Ö ¹¹ صº Ò Ú Þ Ø ÙÖÞÙ Ò À Ð ÖØ¹Ø Ö Ú ØÓÖ Ø ØÓÚ Ö ÒÝ ÐÐ Ð Ó Ù Ñ Ð ÐÒ Ñ ÖØ ÓÒØÓ Ò Ø ÖØ Ù Ò ÐÝÓÞÒ ÓÑ ØÖ Ú ØÓÖÓ Ð Ú Ð ÓÒÐ Ù Ø Ñ ÒØ Þ ØØ Ð Ú Ð Ò Øº º½ º Ä Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ú ÒÝ Ó ÐÓÑ Ø Ö ÞØ Ú ØÓÖØ Ö Ö Ø Ø Þ Ð D¹Ò еº Å Ò¹ Ò ÓÐÝ Ò Þ ÐÝØ ÓÔ Ö ØÓÖÒ Ò Ú Þ Ò Ñ ÐÝ Ú ØÓÖ ÓÞ Ú ØÓÖØ Ö Ò Ð b = f( a)º ØÓÚ Ò Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð Ó ÙÒ Ø Ð Ð ÓÞÒ Ñ ÐÝ Ð Ò Ö Ú ÒÝ Ò ÐÓ ÓÒ º Þ f(x)¹ø ÓÖ Ò Ú ÞÞ Ð Ò Ö Ò Þ Ö Þ f(x) + f(y) = f(x + y) Ú ÒÝ Ý ÒРغ ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø konstans x Ú ÒÝ Ð Ø º Þ f( a) ÓÔ Ö ØÓÖØ ÓÒÐ Ò ÓÖ Ò Ú ÞÞ Ð Ò Ö Ò f( a) + f( b) = f( a + b). À f Ð Ò Ö Þ a¹ö Ú Ð Ø Ø f( a) ÐÝ ØØ ˆf a¹ú Ð Ð Ð º Þ ÑÙØ Ø ÓÒÐ ¹ ÓØ ÓÒ Ø Ò Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ð ÐÞ ÞØ Ó Ý Þ a¹ø Ð ØÐ Òµ ˆf ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ý Þ Öò Ò Ý ÓÒ Ø Ò ÞÓÖÞ º Ð Ò Ö Ø ÐØ Ø Ð Ò Ð Ð Ò ˆf a + ˆf b = ˆf( a + b). ¾¾µ Þ ˆf ÐØ Ð ÒÓ ÓÖÑ Þ Ö Ø Þ Ò D b = ˆf a bi = f ij a j, j=1 ¾ µ ÓÐ D Ð Ø Ú Ø Ð Ò º Ä Ø Ù Ó Ý Ý ˆf Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖØ D f ij ( ˆf) ij Þ ÑÑ Ð Ñ ØÖ Ü Ð ÑÑ Ðµ Ð Ø Ñ Ò º ÈÓÒØÓ Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ò º ¾

26 ¾ µ¹ Ð Ú Ú Ð Ò Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ø ÖØ Ò Ð Ö º D = 3¹Ò Ð Ô Ð ÙÐ ˆf = f 11 f 1 f 13 f 1 f f 3, f 31 f 3 f 33 b = ˆf a b 1 b = f 11 f 1 f 13 f 1 f f 3 a 1 a. b 3 f 31 f 3 f 33 a 3 ÓÖ Ó ÞÐÓÔ Þ ÐÝ Ð Ô Ò b i = f i1 a 1 + f i a + f i3 a 3 Þ Ú Ð Ò ÞÓÒÓ ¾ µ¹ Ð Þ ÐÐÝ Ðº ½ º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý f ij = ( e i, ˆf e j )º Á ÞÓÐ ( e i, ˆf e j ) (14) = ( ˆf e (3) j ) i = D k=1 (15) f ik ( e j ) k = D f ik δ jk = f ij. Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ ¾ µ Ð ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò ÖÚ ÒÝ Þ Þ Þ Ø ÒØ Ö Ð Ð ÐÝ ØØ Ø b = ˆf a b(u) = dv f(u, v)a(v). ¾ µ Þ Ö Ø Þ i, j Ò ÜÔ Ö Ø Þ u, v ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÜÔ ÖÖ Ð ÐÐ ØØ ÐÝ ØØ Ø Ò Ò º Ú Ø Ð Ø Ú ÒÝ ÓÖÑ Ò ÖØ٠к Ä Ø Ù Ó Ý ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò Ý ˆf Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖØ Þ f(u, v) ØÚ ÐØÓÞ Ú ÒÒÝ Ð Ø Ù Ñ º ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò ÞÓÒ Ò Þ Ö Ø Þ ÓÞ Ô Ø ÓÐÝ Ò Ô Ð Ð Ø Ö Ò Ð Þ Ö ÐÐÒ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÔÞ Ö Ñ ÒØ Ôк Ú Ø Ð Ø¹ Ú ÒÝ Ö Ú Ð Ú Ý ÞÓÖÞ Ú Ø Ð Ø¹ Ú ÒÝ Ö ÙÑ ÒØÙ¹ Ñ Ú Ðº Ú Ø Þ Ø Ð Ø ÞÓÒ Ò ÑÙØ Ø Ó Ý Ñ Þ Ð Ö Ø ¾ µ Ð Òº ½ º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ u¹ú Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÞ f(u, v) = uδ(u v) Ø ÖØÓÞ º Á ÞÓÐ À ÐÝ ØØ Ø f(u, v) = uδ(u v)¹ø ¾ µ¹ Ú ÞÞ Ð Þ ÒØ Ö ¹ Рغ ¾¼º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ u Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÞ f(u, v) = δ(u v) Ø ÖØÓÞ º u Á ÞÓÐ À ÐÝ ØØ Ø f(u, v) = δ(u v)¹ø ¾ µ¹ Ñ Ð Þ u¹ Þ Ö ÒØ u Ö Ú Ð Ø ÞØ Þ ÖØ Ø Ø Ñ Ñ ÖØ Þ ÒØ Ö Ð v¹ö Ø ÖØ Ò µ Ú ÞÞ Ð Þ ÒØ Ö Ð Øº k=1 ¾

27 ¾½º Ð Ø Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ¾¼º Ð Ø ÔÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò Þ f(u, v) = ( e u, ˆf e v )º Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÞÓÖÞ Ä Ý Ò ˆf ĝ Ø Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖº Þ Ò ÞØ Þ ˆf + ĝ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖØ ÖØ Ñ ÐÝ a¹ö ØÚ Þ ˆf a + ĝ a Ú ØÓÖØ Ö Ñ ÒÝ Ð ( ˆf + ĝ) a = ˆf a + ĝ aº Þ ˆfĝ ÞÓÖÞ Ø Ô Þ Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÐÝÒ Ø Ø a¹ö Ý Ô Ù Ó Ý Ð Þ Ö Þ Ñ Ø Ù ĝ a Ú ØÓÖØ Ñ ÖÖ ØÙÒ ˆf¹ Ð ˆfĝ a = ˆf(ĝ a)º Þ ÓÔ Ö ØÓÖ Þ Þ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÑòÚ Ð Ø ˆf + ĝ = ĝ + ˆf) Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÞÓÖÞ ÞÓÒ Ò ÐØ Ð Ò Ò Ñ Þ ˆfĝ ĝ ˆf Ø ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ù Ý Ò Þº Þ Ø ÒÝ Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ò Ð ÔÚ Ø ÓÒØÓ º ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ó ÐÑ Þ [ ˆf, ĝ] ˆfĝ ĝ ˆf ¾ µ ÓÔ Ö ØÓÖØ Þ ˆf ĝ ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ò Ò Ú ÞÞ º À ÓÑÑÙØ ØÓÖ Þ ÖÙ ÒÙÐÐ Ú Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ µ ÓÖ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ö Ð Ø ÝÑ Ð Ø Ù Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ñ ÓÖÖ Ò Ø Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ù º ¾¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ÞÓÖÞ ÞÓÒÓ Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ sor oszlop Ð Ú Ð Þ Þ ( ˆfĝ) D ij = f ik g kj. Á ÞÓÐ k=1 ( ˆfĝ a) i = = D D D f ik (ĝ a) k = f ik g kj a j = k=1 k=1 j=1 ( D D ) f ik g kj a j j=1 k=1 j=1 D ( ˆfĝ) ij a j. ¾ º Ð Ø D = ¹ Ò ( ) 0 1 σ x = 1 0 σ y = ( ) 0 i i 0 σ z = ( ) ¾ µ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø È ÙÐ ¹Ñ ØÖ ÜÓ Ò Ò Ú ÞÞ º ËÞ Ñ Ø Ù Ò ÝÞ Ø Ø ÞÓÖÞ ¹ Ø Øº Å ÓÐ σ x = σ y = σ z = 1 È ÙÐ ¹Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ð Ø Ò Ö Ö Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ò Ñ ÞÓ Ð ÔÓØ Ø ÒÒ Ö Ù º ¾

28 σ x σ y = iσ z σ y σ x = iσ z σ y σ z = iσ x σ z σ y = iσ x σ z σ x = iσ y σ x σ z = iσ y. ¾ º Ð Ø À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ È ÙÐ ¹Ñ ØÖ ÜÓ ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ø Å ÓÐ [σ x, σ y ] = iσ z [σ y, σ z ] = iσ x [σ z, σ x ] = iσ y. ¾ º Ð Ø À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ u¹ú Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Þ u¹ Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ò µ ÓÑÑÙØ ØÓÖ Øº Å ÓÐ Þ Ð Ø ÓÞ Ò Ñ Ð Þ Öò ¾½º ¾¾º Ð Ø Ò ÔÓØØ Ñ ØÖ Ü Ð ÓØ ÞÒ ÐÒ º ÂÓ ÞÚ ØÐ Ò Ð ÓÑÑÙØ ØÓÖ Ó ÐÑ Ð Ò ÙÐÒ [ u, d du ] a(u) = u da(u) du d ( ) ua(u) = a(u). du Å Ú Ð a Ø Ø Þ Ð Ð Ø Þ ÖØ [ ] d u, = 1. ¾ µ du º½ º ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ ˆf + ÓÔ Ö ØÓÖØ Þ ˆf ÙÒ ÐØ Ò Ò Ú ÞÞ Ñ Ò Ò a, b¹ö Ø Ð Ð Þ ( a, ˆf b) = ( ˆf + a, b) ¾ µ Ö Ð º À Ø Ø Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ø Ð Ö ÞÓÖÞ ØÓÒ Ð Ð Ø Ö Ù Ö Ø Ò Þ Ý Ø ÒÝ Þ Ö Ð Ñ Ö Þ ÓÔ Ö ØÓÖØ ÙÒ ÐÒ Ðк ÆÝ ÐÚ Ò ( ˆf+ ) + = ˆfº ¾ º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ( ˆfĝ) + = ĝ + ˆf + º Á ÞÓÐ Ä Ý Ò c = ĝ bº ÓÖ ÝÖ ÞØ Ñ Ö ÞØ ( a, ˆfĝ b) = ( a, ˆf c) = ( ˆf + a, c) = ( ˆf + a, ĝ b) = (ĝ + ˆf+ a, b), ( a, ˆfĝ b) = ( ( ˆfĝ) + a, b ). Ø Ý ÒÐ Þ ÓÒÐ Ø Ð Ú Ø Þ Þ ÐÐ Ø º ¾ º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ i¹ú Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÙÒ ÐØ ( i)¹ú Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ º ¾

29 Ø Ð Ø Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý (i ˆf) + = i ˆf +. ¾ µ ÀÓ Ý Ò Ð Ø Ñ Ø ÖÓÞÒ Ý ÓØØ ÓÔ Ö ØÓÖ ÙÒ ÐØ Ø ¾ º Ð Ø Ä Ý Ò Ú ˆf Þ f ij Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ú Ðº ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý ˆf + Ñ ØÖ Ü Ð Ñ Ø Þ Ò Ü Ð Ö Ð Ú Ð ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù Ð Ý ò ÐÚ Þ Ú Ð Ô Ù Ñ ( ) ˆf+ = fji. ¼µ ij Á ÞÓÐ ¾¼º Ð Ø ÔÐ Ø Ð Ô Ò ( ˆf + ) ij = ( e i, ˆf + e j ) = ( ˆf e i, e j ) = ( e j, ˆf e i ) = f jl Ø Ø Ý ÓÔ Ö ØÓÖ ÙÒ ÐØ Ò Ñ ØÖ Ü Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÖ Ò ÞÔÓÒ ÐØ Ñ ØÖ Ü Ò ÓÑÔÐ Ü ÓÒ Ù ÐØ Ú Ð Ý ÒÐ º ¾ º Ð Ø À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ È ÙÐ ¹Ñ ØÖ ÜÓ ÙÒ ÐØ Øº Å ÓÐ σ + i = σ i (i = x, y, z) Þ Ò ÙÒ ÐØ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÐÑ Ý Ð Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖØ ÓÖ Ò Ú Þ Ò Ò ¹ ÙÒ ÐØÒ Ú Ý ÖÑ Ø Ù Ò µ Þ ÙÒ ÐØ Ú Ð ÞÓÒÓ º Þ Ò ÙÒ ÐØ ÐØ Ø Ð Ø Ø Þ Ö Ø Þ Ò fji = f ijº ËÔ Ð Ò fii = f ii Ý Ò ÙÒ ÐØ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ØÖ Ü Ò f ii ÓÒ Ð Ð Ñ Ú Ð º Þ Ð Þ Ð Ø ÑÙØ Ø Ó Ý È ÙÐ ¹Ñ ØÖ ÜÓ Ò ÙÒ ÐØ ÓÔ Ö ØÓÖÓ D = ÓÑÔÐ Ü Ú ØÓÖØ Ö Òº ¼º Ð Ø ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò Þ ˆf¹Ø Þ f(u, v) ØÚ ÐØÓÞ Ú ÒÒÝ Ð ¹ Ù Ñ º ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý f + (u, v) = f (v.u) Ø Ø Þ Ò ÙÒ ÐØ ÐØ Ø Ð f (v, u) = f(u, v) º ½º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ u¹ú Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÙÒ Ðغ Á ÞÓÐ ÖÖ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÖ f(u, v) = uδ(u v) ÓÒÒ Ò f (v, u) = vδ(v u) = uδ(u v) = f(u, v) º ¾º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ u¹ Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÙÒ Ðع ÒÑ 1¹ Þ Ö º Á ÞÓÐ ÖÖ Þ ÓÔ Ö ØÓÖÖ f(u, v) = u δ(u v) ÓÒÒ Ò f (v, u) = δ(v u) = v δ(u v) = f(u, v) º u º Ð Ø ÅÙØ Ù Ñ Ó Ý Þ u¹ Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð ( i)¹ Þ Ö ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖº ¾

30 Á ÞÓÐ Â Ð Ð Þ u¹ Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð ÓÔ Ö Ø ˆd u ¹Ú к Þ Ð Þ Ð Ø Þ Ö ÒØ ˆd + u = ˆd u Þ ÖØ ¾ µ Ú Ø ÞØ Ò ( i ˆd u ) + = i ˆd + u = i ˆd u Ø Ø i ˆd u Ú Ð Ò ÖÑ Ø Ù º Å ÝÞ i ˆd u Ù Ý Ò Ý ÖÑ Ø Ù Ú ÒØÙÑÑ Ò Ò ÞÓÒ Ò i ˆd u = 1 i ˆd u ¹Ø ÞÒ Ð º º¾¼º ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø Ú ØÓÖÓ Ö ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð ÓÒØÓ ØÙÐ ÓÒ Ú D Ñ ÒÞ ÓÑÔÐ Ü Ú ¹ ØÓÖØ Ö Ò Þ Ð ÐÐ Ø Ó Ò Ó Ð Ð Ø Þ ½µÅ Ò Ò ˆf ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ø ÒØ Ø ØØ Ö Òݺ Ø ÒØ Ø ØØ Ö ÒÝÓ ÑÙØ Ø Ú ØÓÖÓ Ø Þ ˆf ØÚ ØÓÖ Ò Ò Ú ÞÞ º ¾µ Ñ ÓÖ ˆf Ú Ð Ñ ÐÝ ØÚ ØÓÖÖ Ø Þ Ö ÒÝ Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ý Ø Ý Ö ÐÐ ÑÞ Ú Ð Þ ÑÑ Ð Þ ÓØØ ØÚ ØÓÖ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ¹ Ø ÖØ Ð ÞÓÖÓÞÞ Ñ a ØÚ ØÓÖ ÓÖ ˆf a = α aº Ø ÖØ Þ Ð ÓØ Þ ˆf ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ØÖÙÑ Øº µ Ð Ò Þ Ø ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ ØÚ ØÓÖÓ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÝÑ Ö º µà ν α Ö Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò ØÚ ØÓÖ ÓÞ Ù Ý Ò Þ Þ α Ø ÖØ Ø ÖØÓ¹ Þ Ú Ý Þ α Ø ÖØ ν α ¹ ÞÓÖ Ð ÙÐص ÓÖ Þ ØÚ ØÓÖÓ ¹ Ñ ÒÞ Ú ØÓÖØ Ö Ý ν α Ñ ÒÞ S α ÐØ Ö Ø Þ Ø º Þ S α ¹ Ò Ú Þ Ú ØÓÖ Þ ˆf ÓÔ Ö ØÓÖ α Ø ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ ØÚ ØÓÖ Ñ ÐÝ Þ Ð Ú Ø Ð Ò Ó Ð Ò ¹ Þ Ñ ÓÒ Ð Ø Ú Ð ÞØ Ò ν α ÓÖØÓ ÓÒ Ð Øº Þ S α Ñ Ò Ò Ú ØÓÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Þ Þ α¹ø Ð Ð Ò Þ Ø ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ ØÚ ØÓÖÖ º µýðð ÓÒ Þ η i ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ i = 1,,..., Dµ Þ ˆf ØÚ ØÓÖ Ðº Þ η i ¹ Þ Ø ÖØÓÞ Ø ÖØ Ð Ý Ò β i º Þ ˆf Ø Ø Ý Ø Ø Þ Ð a Ú ØÓÖÖ Ð Ý Þ Öò ¹ Ò Ý Ø ÒØ Ø Ø Þ a¹ø Ø Þ η i ¹ Þ Ö ÒØ ˆf a = ˆf(a 1 η 1 + a η a D η D ) = a 1 ˆf η1 + a ˆf η a D ˆf ηd = = a 1 β 1 η 1 + a β η a D β D η D. µ Þ ÔÐ Ø ÑÙØ Ø Ó Ý Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÖ ÓÖµ Ð Ö Ð Ø Ú Ò Þ ØÚ ØÓÖ Ö Ò Þ Ö º À Ùº º Þ η i ¹ ĝ¹ò ØÚ ØÓÖ γ i Ø ÖØ Ðµ ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò ĝ ˆf a = ˆfĝ a = a 1 β 1 γ 1 η 1 + a β γ η a D β D γ D η D. Þ ØÙÐ ÓÒ Ó ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð ÓÒØÓ Ø ÒÝ º Ã Þ Ð Ò ÒÝ Ø Ò ÝÓÒ Ý Þ Öò ÞÓÒÝ Ø Ò º Ø ÖØ Ú Ð ¹ Ò ÞÓÒÝ Ø Ôк Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ø ÖØ Ò È Ð ÙÐ ν α = Ø Ò Ý Óغ ¾

31 Ä Ý Ò a ØÚ ØÓÖ α Ø ÖØ Ð ˆf a = α aº ÓÖ ÝÖ ÞØ Ñ Ö ÞØ ˆf ÖÑ Ø Ú Ø ÞØ Ò ( a, ˆf a) = ( a, α a) = α( a, a), ( a, ˆf a) = ( ˆf a, a) = (α a, a) = α ( a, a). Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ð ÚÓÒ Ù Ñ Ó Ø 0 = (α α )( a, a), ÓÒÒ Ò α = α Õº º º À ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý Ð Ò Þ Ø ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ ØÚ ØÓÖÓ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÝÑ Ö º Ä Ý Ò a b Þ ˆf ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ØÚ ØÓÖ α β Ø ÖØ Ð Ñ ÐÝ Ð Ò Þ º ÓÖ ÝÖ ÞØ ( a, ˆf b) = ( a, β b) = β( a, b), Ñ Ö ÞØ ˆf ÖÑ Ø α Ú Ð Ú Ø ÞØ Ò ( a, ˆf b) = ( ˆf a, b) = (α a, b) = α( a, b). Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ð ÚÓÒ Ù Ñ Ó Ø 0 = (β α)( a, b), ÓÒÒ Ò α β Ú Ø ÞØ Ò ( a, b) = 0 Õº º º ÞÞ Ð ¾µ ¹ µ ÐÐ Ø Ó Ø Ð ØØÙ º Þ ½µ¹Ø Ô Ð Ò ÐÐÙ ÞØÖ Ð Ù º ¾¹ Ò ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ø Ý ( ) f11 f ˆf = 1 f 1 f Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ø Ù Ñ Ñ ÐÝ Ò ÖÑ Ø Ú Ø ÞØ Ò Þ f 11, f Ó¹ Ò Ð Ð Ñ Ú Ð f 1 = f 1º Ä Ý Ò a Ý ÒÐ Ö Ñ Ö ØÐ Òµ ØÚ ØÓÖ α ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ Ø ÖØ ˆf a = α a. ÒÒ Þ ÙºÒº Ø ÖØ Ý ÒÐ ØÒ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ö ÞØ Ð Þ ØØ Ð Ú Ø Þ } f 11 a 1 + f 1 a = αa 1 ½µ f 1 a 1 + f a = αa. Þ Ø Ý ÒÐ Ø ÖÓÑ a 1, a, α Ñ Ö ØÐ ÒÖ º Î Ð Ò ÞÓÒ Ò Ò Ñ ¹ ØÚ ØÓÖØ Ò Ñ ØÚ ØÓÖÓ Ö ÒÝ Ø Ö º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ a ¼

32 Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ñ ÞØÓ Ò Ò Ñ ÒÙÐÐ Ò ÒÝ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ù º Þ ÖØ Ð Ø Ý ÒРغ Ê Ò ÞÞ Ø ½µ¹Ø Þ (f 11 α)a 1 + f 1 a = 0 f 1 a 1 + (f α)a = 0 Ð Ñ ÓÑÓ Ò Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Þ a 1, a Ñ Ö ØÐ Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ö º À Þ Ø Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò Ý ÒÐ Ø Ú Ý Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ ÒÙÐÐ µ ¹ ÓÖ ÒÙÐÐ Ñ ÓÐ Ú Ò a 1 = a = 0µ ½¼ º Þ ÖØ ÒÒ ÐØ Ø Ð Ó Ý Ð Ý Ò ØÚ ØÓÖ Þ Ó Ý ¾µ Ý ÒÐ Ø Ø ÖÑ Ò Ò ØòÒ Ò Ð f 11 α f 1 f α = α (f 11 + f )α + (f 11 f f 1 f 1 ) = 0. µ f 1 Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ó Ó Ð Ö Ý ÒÐ Ø Þ α Ø ÖØ Ö º Ã Ø Ñ ÓÐ Ú Ò Ñ ÐÝ Ô Ð Ø ÒØ Ð ØÒ Ý ÒÐ ÝÑ Ðº Þ ˆf ÖÑ Ø Ú Ø ÞØ Ò Ñ ÓÐ Ó Ú Ð Þ Ö Ñ Ò Ò = (f 11 f ) +4 f 1 0 Ú Ð µº À Ø Ñ ÓÐ ÒØ ÔÓØØ Ø ÖØ ÖÑ ÐÝ Ø Ú Þ ÐÝ ØØ Ø ¾µ¹ Ø ÓÐÝ Ò Ý ÒÐ Ø Ø ÔÙÒ Þ a 1, a Ñ Ö ØÐ Ò Ö Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ò Ö Ò ¹ ØÐ Ò ÝÑ Ø Ð Þ Ý Ý ÒÐ Ø Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ Ò º Þ ÖØ a 1 a Ö ÒÝ Ø ØÙ Ù Þ Ñ Ø Ò ÞØ Ø Ý ÒÐ Ø ÖÑ ÐÝ Ð Ô Ò Ñ Ø Ø º Ì Ö Ò Ò Þ Þ Ò Ø ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ Ö ÒÝÓ Ø Ö º ØÚ ØÓÖÓ Ø Ñ Ù Ø ÓÐÝ Ò Ó Þ Ò Ú Ð ÞØ Ø Ù Ñ ÐÝ ÒÒ Ö Ù ÐØ Ð ¹ Ò ½¹Ö ÒÓÖÑ Ð Ù Øµº Å Ð ØØ Ð ØÓ Ø Ò Þ Ò Ý Ø Ñ Ñ ÓÒ Þ Ó Ð Ð Ù Þ Ø ÐÐ Ø Øº Þ Ð ÒÝ Þ Ó Ý Ò ÝÓÒ ÞÓÖÓ Ô ÓÐ Ø Ú Ò ÝÖ ÞØ ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ñ Ö ÞØ Þ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ ÐØ Ö ÒÓÖÑ Ðص Þ Ó Þ Øغ ËÞ Ñ Ð Ù¹ Ò ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖ = Þ Þ = ÝÑ Ð ÓÑÑÙØ Ð ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÝÖ ÞØ Ý ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ø ÖÓÞÞ ½½ ÞØ Þ Ø Ñ ÐÝÒ Þ Ú ØÓÖ Þ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÚ ØÓÖ º Å Ö ÞØ Ú Ú Ò Ý ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Þ Ú Ð ÞØ ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ Ð ÞÓ Ø Ú Ø Ð Ò Ó Øµ Ñ ÐÝ Ò ØÚ ØÓÖ Ñ ¹ Ý ÞÒ Þ ÓØØ Þ Þ Ú ØÓÖ Ú Ð Þ Ý Þ Ú ØÓÖÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ø ÖØ Ò Ð Ò ÞÒ ÝÑ Ø Ðº À Ú Ð ÞØÙÒ Ø ÓÔ Ö ØÓÖØ ÞÞ Ð Ø Ð Ò Ñ Ø ÖÓÞÞÙ ÓÞÞ Ù Ø ÖØÓÞ ¹ Þ Ó Ð Ò Ú ÞÓÒÝ Øº Ú ÒØÙÑÑ Ò Ð ØÓ Ð Ý ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ð ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Þ Ó Ö Ð Ø Ú ÐÝÞ Ø Ò Ñ ÐÐ Ô Ø º ½¼ ÖÖ Ð ÒÒÝ Ò Ñ Ý Þ Ø Ò ÞÓ Ó Ñ Þ ÖÖ Ð Ñ ÔÖ Ð Ù Þ a 1 Ú Ý Þ a Óѹ ÔÓÒ Ò Ø Ø Ò º ½½ Þ Ð ÙÐ Ø Ð Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ ÐØ ÒØ Ò º } ¾µ ½

33 º Ð Ø D = ¹ Ò Ð Ý Ò Ú Þ ( ) 1/ 3/ ˆf = 3/ 1/ ĝ = ( ) 7/5 /5 /5 9/5 ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ º Î Þ Ð Ù ÓÞÞ Ù Ø ÖØÓÞ Þ Ó Ö Ð Ø Ú ÐÝÞ Ø Øº Å ÓÐ Ä Ý Ò a Þ ˆf α¹ Ø ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ ØÚ ØÓÖ ˆf a = α a, ( ) ( ) 1/ 3/ a1 = α 3/ 1/ a ( a1 a ( 1/ α)a 1 + 3/ a = 0 3/ a 1 + ( 1/ α)a = 0. ÓÑÓ Ò Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖÒ ÓÖ Ú Ò Ñ ÓÐ Ø Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ö ¹ Ò Þ ÝÑ Ð Ú Ý Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ø ÖÑ Ò Ò Þ ÖÙ ( 1/ α) 3/ 3/ ( 1/ α) = 0, Ã Ø Ñ ÓÐ Ú Ò ( 1/ α) 9/4 = 0. α 1 = 1, α =. Þ α 1 ¹ Þ Ø ÖØÓÞ ÒÓÖÑ ÐØ a Ð Ý Ò Þ e 1 Þ Ú ØÓÖ Þ α ¹ Þ Ø ÖØÓÞ ÒÓÖÑ ÐØ a Ô Þ e Þ Ú ØÓÖº Þ Ú Ø Ð Ø Ø Ý Ø Ð Ð Ù Ñ Ó Ý µ¹ Ò α¹ø Ð Þ Ö α 1 ¹ Ð Ñ α ¹Ú Ð ÐÝ ØØ Ø Ø Ø Ò ÔÓØØ a = (a 1, a )¹Ø ½¹Ö ÒÓÖÑ Ð Ù º Ø ÖØ Ø Ð ÐØ Ø Ð Ð Ø ÖÓÞØÙ Ñ Ó Ý µ Ø Ý ÒÐ Ø Ð ¹ Ý Ò Ý Ò ÖØ ò ÐÓÐ Ð Ð Ý Ò Ö ÒÝÓ ÝÑ Ðµ Þ ÖØ µ Ú Ð Ò Ý Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝ Ð Ø Ö Ð Ö Þ Ð µº À ÐÝ ØØ Ø α = α 1 = 1¹Ø ÑÓÒ Ù Ð ( 1/ 1)a 1 + 3/ a = 0, a 1 = a. Þ e 1 Ø ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ø Ý ÒÐ ÝÑ Ð Ú ØÓÖ ÓÖ Ð Þ ½¹Ö ÒÓÖÑ ÐØ Þ ÓÑÔÓÒ Ò 1/ ¹Ú Ð Ý ÒÐ e 1 = (1/, 1/ ). Å Ý ÞÞ Ó Ý Ú Ð ÞØ Ò Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ø ÓÑÔÓÒ Ò Ð ØÒ 1/ º Ú Ð ÞØ Ý ØÐ Ò Þ ÑÔÓÒØ Þ Ý Þ Öò ºµ À α = α = ¹Ø ÐÝ ØØ Ø µ¹ Ð Ý ÒÐ Ø ( 1/ + )a 1 + 3/ a = 0 ), } µ ¾

34 Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Ð a 1 = a Þ ÖØ e = (1/, 1/ ). Å ÐÐ Ô Ø Ø Ù Ø Ø Ó Ý Þ ˆf¹ Þ Ö Ò ÐØ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ Ø Þ e 1 e Ú ØÓÖÓ Þ Ø Ñ ÐÝ Þ Þ α 1 = 1 α = Ø ÖØ Ø ÖØÓÞÒ º À ÓÒÐ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð ÞØ Ø Ð Ð Ù Ó Ý ĝ ÒÓÖÑ ÐØ ØÚ ØÓÖ ÓÞ¹ Þ Ù Ø ÖØÓÞ Ø ÖØ Ú Ø Þ Þ η 1 Þ e 1 Þ ØØ Þ Ð Ý Ò ϕ Þ ÖØ ϕ 0 º η 1 = (1/ 5, / 5) η = (/ 5, 1/ 5) cosϕ = ( η 1, e 1 ) = 1 5 β 1 = β = = 3 = 0.95, 10 º Ð Ø À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ¾ µ È ÙÐ ¹Ñ ØÖ ÜÓ Ø ÖØ Ø ÒÓÖÑ ÐØ ¹ ØÚ ØÓÖ Øº Å ÓÐ Å Ò ÖÓÑ È ÙÐ ¹Ñ ØÖ Ü Ø Ø ÖØ +1 1 σ x u ± = ± u ± σ y v ± = ± v ± σ z w ± = ± w ± u + = v + = ( ) 1, 1 ( ) 1, i u = v = ( 1, 1 ) ( 1, i ) w + = (1, 0) w = (0, 1). ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Þ Ó Ð Ò Ô ÓÐ Ø Ð Ø Ú Ø Þ Ó Ý ¹ Þ Ú ØÓÖÓ Ø Þ Ð ÒØ Ò Ð Ð ÓÖ Þ Ñ ÐÝ ØØ Ø ÖØ Ð Ò Ü Ð Þ Ð Ñ Þ ˆf ÓÔ Ö ØÓÖ ÒÓÖÑ Ðص ØÚ ØÓÖ ÓÖ Þ ˆf Ø ÖØ Ø ÐØ Ø Þ Ò Ü Þ Ö Ô Øº Ò Ð Ø Ò Ñ Ö ÞØ Þ Ò Ü Ð Ñ ÓØ Ð ÐÑ ÞØÙ º º Ð Ø Ä Ý Ò Ú ¹Ò Ð Þ ˆf = ÓÔ Ö ØÓÖº À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ø ÖØ Ø ØÚ ØÓÖ Øº

35 Å ÓÐ η 1 = α 1 =, α = α 3 = 6. η = η 3 = ¹Ó Ø ÖØ Ð ÙÐØ ν 6 = º Þ η Þ η 3 Ý S 6 ÓØ Þ Ø Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ú ØÓÖÔ Ö Ñ ÐÝ η η 3 Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ϑ Þ Ð Ø ÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ú Ð Ô Ø Þ ÒØ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ ØÚ ØÓÖ¹Ô ÖØ Ð ÓØ η η 3 = cosϑ η + sin ϑ η 3 = sinϑ η + cosϑ η 3. ÆÝ ÐÚ Ò ( η, η ) = ( η 3, η 3 ) = 1 ( η, η 3 ) = 0 Ø Ø Þ Ð ϑ¹ò Ð º ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ú ¹ Ð ØÙÐ ÓÒ À Ð ÖØ¹Ø Ö Ò ÖÚ ÒÝ ÞÞ Ð Þ Ø Ð Ó Ý ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò Ý ÓØØ ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ØÚ ¹ ØÓÖ Ö Þ Ò Ð ØÒ Þ Ö Ø Ö Þ Ò ÓÐÝØÓÒÓ º Ø ÖØ ¹ Ô ØÖÙÑ ÒÒ Ñ Ð Ð Ò Ý Þ Ö Ø Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ö ÞÖ ÓÑÐ º ÓÐÝØÓÒÓ Ô ØÖÙÑ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ØÚ ØÓÖÓ δ¹ Ú ÒÝÖ ÒÓÖÑ Ð Ø º Ø Ð Ð ÔÚ Ø H¹ Ð ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÐØÓÞ Ú Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÐØÓÞ Þ Ö ÒØ Ö Ú Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Þ ÙØ ( i)¹ú Ð ÞÓÖÓÞÚ µº Ì Ö¹ Ý Ð Ù Ø ÞÓÒ Ò Ö Ð ÞØ Ù Ñ ÓÖ Ñ Ö Ñ ØÙ Ù Ð ÐÒ ÐÝ Ø Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø ÔÔ Ö ØÙ Ò Ð Ðº Þ ÖØ Ñ Ø Ñ Ø Ð Þ Ø Ø ÑÓ Ø Ñ Þ Ø Ù ØØ Ö Ò Ú ÒØÙÑÑ Ò Ð Ô ÐÚ Ò Ø Ö Ý Ð Ö º º¾½º Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØ ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖ ÃÐ Þ Ù Ñ Ò ÐÐ ÔÓØÓÒ Å Ò ¹ ÝÞ Ø ½º ¼ Þ Ø Þ Ö ÒØ ÓÓÖ Ò ¹ Ø Þ ÑÔÙÐÞÙ Ó Þ Ø ÖØ Ý ÓØØ Ô ÐÐ Ò Ø Òµº ËÔ Ð Ò ½ Þ ¹ Ó Ò Ð f = 1µ Ñ ÓÖ ÑÓÞ Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò Ø ÖØ Ò Þ ÐÐ ÔÓØÓØ Þ x p ÖØ Ø ÖÓÞÞ Ñ º Ú ÒØÙÑÑ Ò ÐÐ ÔÓØ Ó ÐÑ ÒÒ Ð Þ ÓÒÐ Ø Ø ØÐ ÒÙÐ ÞØÖ Ø Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØ ÐÐ ÔÓØ Ø À Ð ÖØ¹Ø Ö ÒÓÖÑ ÐØ Ú ØÓÖ Ø ¹ ÖÓÞÞ Ñ º Ò Þ Þ Ò À Ð ÖØ¹Ø Ö Ø Ð Þ Öò H x ¹ Ð Ð ÐÒ ÙØ ÐÚ Ö Ó Ý Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØ À Ð ÖØ¹Ø Ö Ö Ð Ú Ò Þ º

36 Ý ψ H x Ú ØÓÖ ÓÖ Ð Ø ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖ ÓÖ Ø ÖØÓÞ ÓÞÞ ¹ Þ ÐÐ ÔÓص ÒÓÖÑ Ð Ø º Ð Ò Þ ÒÓÖÑ Ð Ø Ú ØÓÖÓ Ð Ò Þ Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ø Ø ÖÓÞÒ Ñ º Ã Ú Ø Ð Þ Þ Ø Ñ ÓÖ ÙÔ Ò Þ ØÓÖ Ò e iκ Ð ¹ Ý ÒÝ ÞÓÐ Ø ÖØ ò ÓÑÔÐ Ü ÞÓÖÞ Òµ Ð Ò ÞÒ ÓÖ Ñ Ò ØØ Ò Ù Ý Ò ÞØ Þ ÐÐ ÔÓØÓØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ½¾ º Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ò Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð ÐØ Ð Ú Ð Þ¹ ØÓØØ Ð Þ Ù ÑÓÞ Ó ÚÓÐØ º Ú ÒØÙÑÑ Ò Ò ÖÖ Ð Þ Ñ Ð Ø À Ð ÖØ¹Ø Ö ÒÓÖÑ Ð Ø Ú ØÓÖ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÐÐ ÔÓØÓ ÓÞ ÑÑ Ð Ñ ¹ ÞÓ ÓØØ ÖØ Ð Ñ Ò Ú ØØ ÑÓÞ Ñ Ö Ò Ð Ø º Ý Þ ÑÔÓÒØ Ð ÞÓÒ Ò Ó Ö¹ ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ú Ð Ñ ÒØ Ú ÒØÙÑÑ Ò ÐÐ ÔÓع Ó ÐÑ Þ ØØ Ú Ò Ý Ñ ÐÝ Ô ÓÐ Ø Ñ ÒØ Ð ØÒ Ó Ù Ú ÒØÙÑÑ Ò ÐÐ ÔÓØ Þ ØØ Ú ÒÒ ÓÐÝ ¹ ÒÓ Ñ ÐÝ Ø Ù Ý Ò ÞÓ Ú ÒØÙÑ Þ ÑÓ ÐÐ Ñ ÞÒ Ñ ÒØ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ú Ð ÞØÓØØ Ô ÐÝ Øº Ý Ôк Ð Ò Ö ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Ø ψ n (n = 0, 1,, ) ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖÓ ÖÓ Ò ØÓÑ Ð ØÖÓÒ Ò Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Ø Ô ψ nlm (n = 1,, 3, l = 0, 1,,, l m l) ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖÓ ÐÐ ÑÞ Þ ÙØ Ò Ñ H x Ò Ñ ÖÓÑ Ñ ÒÞ ÑÓÞ Ó ÓÞ Ø ÖØÓÞ H xyz À Ð ÖØ¹Ø Ö Ú ØÓÖ µº Ú ÒØÙÑÑ Ò Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ ÐÐ ÔÓع Ó ÐÑ Þ ØØ Ú Ò Ñ Ý Þ Ò Ð ÔÚ Ø Ð Ò Ñ Ð Ú Ø Þ Ó Ý Ý Ú ØÓÖØ Ö Ø Ú ØÓÖ Ò ÖÑ ÐÝ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ú ØÓÖº Å Ú Ð À Ð ÖØ¹Ø Ö Ú ØÓÖØ Ö Ñ ÐÝÒ ÒÓÖÑ Ð Ø µ Ú ØÓÖ Ø Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ð ÓÞØÙ Ô ÓÐ Ø Þ ÖØ Ú ÒØÙÑÑ Ò Ò ÖÚ ÒÝ Þ ÐÐ ÔÓØÓ ÞÙÔ ÖÔÓÞ Ò ÐÚ Ø Ú ÒØÙÑ Ð¹ Ð ÔÓØ ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖ Ò µ Ø Ø Þ Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ý Ð Ø Þ ÐÐ ¹ ÔÓØ ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖ µº Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ò ÐÝ Ñ Ö Ð Ø ÖÑ Þ Ø Ò Þ Ñ Ð Ø Þ Ò Ø Ð Þ Ù ÑÓÞ ØÖ Ø Ö µ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ò Ñ Ý Ð Ø ¹ ÑÓÞ ØÖ Ø Ö µ Ò ÛØÓÒ Ñ Ò ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò ÑÐ Ò Ö ÞÙÔ ÖÔÓÞ ÐÚ Ò Ñ ÖÚ ÒÝ Ö Ù º Ú ÒØÙÑÑ Ò ÞÙÔ ÖÔÓÞ ÐÚ Ú Ø ÞØ Ò Ð Ò Ö ÖÑÓÒ Ù Ó Þ¹ ÐÐ ØÓÖ ÑÓÒ Ù ψ 1 ψ ÐÐ ÔÓØ Ñ ÐÐ ØØ Ð Ø Þ Þ αψ 1 + βψ ÐÐ ÔÓØ Ñ ÐÝ Þ Ð Ñ Ò ψ 1 ¹Ø Ð Ñ Ò ψ ¹Ø Ð Ð Ò Þ º ÖÓ Ò ØÓÑÒ Ð Ô Ð Ø¹ Ô Ð ÙÐ Þ ÓÐÝ Ò ψ nlm ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖÓ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ñ ÐÝ Þ m Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ò Ð Ò ÞÒ ÝÑ Ø Ðº Þ Ð Ø ÓÐ Ñ Ø Ö Ð Ú ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ½½º Þ Øµ Ñ ÐÝ Ú ÒØÙÑÑ Ò Ò Ò Ñ Ð Ô Ðº Ò Þ ÐÑ Ð Ø Ò Ù Ý Ò Ò Ñ Þ Þ Ó Ý Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ z¹ø Ò ÐÝÖ Ú Ø ØØ Ú Ø Ð Ø Ñ Ò Ò Ð Ø ÐÐ ÔÓØ Ò hm ÓÐ Þ m Þ Þ Ñº Å ÒØ Ð ØÒ Ó Ù Ð Ò Þ m¹ ò ψ nlm ¹ Ð ÔÞ ØØ Ð ¹ Ò Ö ÓÑ Ò ÓÐÝ Ò ÐÐ ÔÓØÓØ Ø ÖÓÞÒ Ñ Ñ ÐÝ Ò Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ z¹ ÓÑÔÓÒ Ò h¹ò Ò Ñ Þ Þ Ñ Ø Þ Ö º ½¾ Þ Ò Ó Ð Ø Å Ö ÔÓ ÞØÙÐ ØÙÑÓ º Þ Ø Ò Ù Ñ º

37 º¾¾º Þ Ñ ÒÒÝ Ñ ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ó Ý Ò Ð Ø Ú Ð ÞØ Ò H x Ú ØÓÖ Þ Ð ÞÓ Ø Ñ ÐÝ Ð Ò Þ Ð Ö Ñ ¹ Ø ÖÓÞÓØØ Þ ØÙÐ ÓÒ Ó Ð Ö Ò Ð Þ Ó ØÙÑ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Þ ÐÐ ÔÓØÓ Þ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖÓ Ô ÓÐ Ø Ò Ñ ¹ ÐÐ Ô Ø Ø ÞÞ Ð Þ Ó Ý Þ Ø Ø Ö ÑØ Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÔÓÒØ Þ ØÙÐ ÓÒ H x Ú ØÓÖ Þ Øغ ½ºýÐÐ Ø Ø Ñ ÔÓÒØÓØ ÐÐ ÑÞ Þ Ñ ÒÒÝ Ò ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð ÐØ Ø Ø Ñ Ñ ÐÝ H x Ú ØÓÖ Ö ØÒ º ÈÓÒØÓ Ø Ù Þ ÐÐ Ø Øº Þ Ñ ÒÒÝ Ò Þ ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ñ ÒÒÝ Ø ÖØ Ñ ÒØ Ôк Þ Ò Ö ÑÔÙÐÞÙ ÒÝÓÑ Ø Ñ ÐÝ ÓÓÖ Ò Ø Þ ÑÔÙй ÞÙ Ó µ Ú ÒÝ ÑÓÞ ÓÖ Ò Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Þ ÖØ Øº ÓÒ Ø Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ø Ñ Ø ÐØ µ Ò Ñ ÓÖÓÐ Ù Þ Ñ ÒÒÝ Þ º ¾ºýÐÐ Ø Ý Þ Ñ ÒÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ý Ô Ù Ñ Ó Ý Þ Ò ÓÖ¹ Ñ ÒÒÝ Ð Þ Ù Ñ Ò ÔÐ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø Þ ÑÔÙÐÞÙ Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖÓ Ð ÐÝ ØØ Ø º Ð Ò Ø Ø Ñ ÖÒ Ò ÓÓÖ Ò Ø Þ ÑÔÙÐÞÙ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Þ x¹ø Ò¹ ÐÝ Ñ ÒØ ÑÓÞ Ó Ò Ð Þ ˆx ˆp ÓÔ Ö ØÓÖغ À Þ Ø Ñ Ö ÓÖ Ôк Ð Ò ¹ ( Ö ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ò Ö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Þ ÙºÒº Ĥ À Ñ ÐØÓÒ¹ÓÔ Ö ØÓÖص Þ 1 m ˆp + D ) ˆx ÓÖÑÙÐ Ñ º Þ ˆx ˆp ÓÔ Ö ØÓÖÓ ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ¹ Ø À Ò Ö ¹ Ð Ú Ý ÒÓÒ Ù Ð Ö Ð Ö Ð Ð ÓÐÚ Ø Ù Ñ ÐÝ Ú ÒØÙÑÑ Ò ÐÔÚ Ø ÔÓ ÞØÙÐ ØÙÑ º ËÔ Ð Ò f = 1¹Ò Ð Ý ØÐ Ò Ð Ö Ð Ö Ð Ö Ð Ú Ò Þ Ñ ÐÝ Ú Ø Þ [ˆx, ˆp] = i h. µ ¾ µ¹ Ð Ú Ð Ó Ó Ý ˆx¹Ø Þ x¹ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ˆp¹Ø Ô h d i dx ¹ Ò Ú Ð ÞØ Ù Þ Ñ ÒØ Ð ØØÙ ÖÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖÓ µ ÓÖ µ Ø Ð Ðº Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ð Æ ÙÑ ÒÒ¹ËØÓÒ Ø Ø Ðµ Ö ÒØ Ð Ó Ý Þ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ ÑÔÓÒØ Ð Ñ Ò Ò Ñ Ú Ð ÞØ ÞÞ Ð Ú Ú Ð Ò º Ú Ø Þ Þ Ø Ò Ñ Ú Þ Ð Ù Þ ˆx ˆp ÓÔ Ö ØÓÖÓ ØÙÐ ÓÒ Ø ÑÓ Ø ÞÓÒ Ò ÓÐÝØ Ù Þ ØÙÐ ÓÒ Ó Þ ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖÓ Ô ÓÐ Ø Ò Þ Ð ÑÞ Øº Î Ý Ò Ý Ø Ø Þ Ð Þ Ñ ÒÒÝ Ø Ð Ð A¹Ú е Ñ ÐÝ Þ Þ Â ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÖØÓÞ ÐÝ Ò ÚÓÐØ Ôк Ð Ò Ö ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ Ò Ö µº ÖÚ ÒÝ ØÓÚ Ø ÐÐ Ø ºýÐÐ Ø Þ A Þ Ñ ÒÒÝ Ð Ø ÖØ Þ Â ÓÔ Ö ØÓÖ Ø ÖØ Ú Ð Þ Â Ô ØÖÙÑ Ú Ðµ Ý ÞÒ Ñ º ºýÐÐ Ø Ñ ÓÖ Þ A ÖØ α¹ú Ð Ý ÒÐ Ñ ÐÝ Â Ú Ð Ñ ÐÝ Ø ÖØ µ Ø Ñ ÔÓÒØ ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖ Þ Â ÓÔ Ö ØÓÖ α Ø ÖØ Þ Ø ÖØÓÞ ÒÓÖÑ Ðص ØÚ ¹ ØÓÖ Ú Ð Ý Þ Ñ º Ä Ý Ò ψ Ø Ø Þ Ð ÒÓÖÑ Ðص ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖº Å Ð Þ Ñ Ö Ö Ñ ÒÝ Ñ ¹ Ò Ø Ð µ ψ ÐÐÔÓØÚ ØÓÖ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ñ Ö Þ A Þ Ñ ÒÒÝ Ø

38 º ÐÐ Ø Þ Ö ÒØ Þ Â ÓÔ Ö ØÓÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ø ÖØ Ø Ô Ù Ö Ñ ÒÝ Ðº Ú ÒØÙÑÑ Ò ÞØ ÑÓÒ Ñ Ó Ý Þ Ý Ø ÖØ Ø Ñ ÐÝ Ò Ú Ð ¹ Þ Òò Ð Ô Ù Ñ Ö Ö Ñ ÒÝ Òغ Ú Ð Þ Òò Þ Ñ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Þ ÙØÓÐ ÐÐ Ø ºýÐÐ Ø Å ÒØ Ö ÞÐ Ø Ò Ø Þ A Ñ ÒÒÝ Ø Ý ψ ÐÐ ¹ ÔÓØÚ ØÓÖ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ñ Ö Þ α Ø ÖØ Ø W α = ( ϕ α, ψ) Ú Ð Þ Òò Ð Ô Ù Ñ Ñ Ö ÓÖ Òº ÔÐ Ø Ò ϕ α Þ Â ÓÔ Ö ØÓÖ α Ø Ö¹ Ø Þ Ø ÖØÓÞ ÒÓÖÑ Ðص ØÚ ØÓÖ º Ð ÓÖÓÐØ Ø ÐÐ Ø Þ ˆx ˆp Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò Þ Ñ Ö Ø Ò f = 1¹ Ò Ð Ð Ø Ú Ø Þ Þ ÐÐ ÔÓØÚ ØÓÖ Ñ Ø Ð Ð Ø Ý Þ Ñ ÒÒÝ ÖØ Ò Þ Ð Ô Ò Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ñ ÖØ ÐÐ ÔÓØ Ö Ò Þ Ö Ò Ú Þ Ø Ñ Ö Ö Ñ ÒÝ Ò Þ Ñ Ø Øº ÀÓ Ý Ò Ð Ø ØØ ÖÖ Ö ÒÒ Ê Ò Ú Ð ÒØÙ ÐÐ ØØ ÓÞÞ Ñ Þ Ø Ñ Ö Ñ ÐØ Ó Ð Ø Ø Ö Ý º Þ Ñ Ò Ø ÝÑ Ø Ð ÐØ Ö ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ð Ô Ò Ø Ð ÐØ Ñ ¾ Ú ÓÖ Òµ ϺÀ Ò Ö ½ ¾ µ ĺ ÖÓ Ð Ð ÔÞ Ð Ø ½ ¾ µ Ú ØÚ ºË Ö Ò Ö ½ ¾ µº Ø Ñ ÓÒ ÔÓØØ ÐÑ Ð Ø Ð Ð Ø Ö Ý Ö Ò Ð Ò ¹ Þ ØØ ÝÑ Ø Ð Ë Ö Ò Ö Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý Ù Ý Ò ÒÒ Þ ÐÑ Ð ØÒ Ø Ð Ò Þ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ó ÐÑ Þ Ö Ð Ú Ò Þ º ÖÓ Ð Ë Ö Ò Ö Ð Ô ÓÒ ÓÐ Ø Ø Ø Ö Ý Ð ÙÒ Ý ÔÓÒØ Ò Ñ ÖØ Ø º ÅÓ Ø À Ò Ö ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ø ÔÖ Ð Ù Ñ Ú ÞÓÐÒ º À Ò Ö Ó Ð ÐÝÓ Ò Ö ÞØ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ô ØÖ ¹ Ð ÓÒÐ ÐÚ Þ ØØ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ø Ñ ÒØ Ú ÒØÙÑ ÐÑ Ð ØØ Ð Ó Ð Ð ÓÞ ÓÐÐ º Ý ÓÒ ÓÐØ Ó Ý Þ Ð ØÖÓÒ Ú Ð Ò Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð Ð¹ Ø Ð Ð ÐØ Ô ÐÝ Ò ÑÓÞÓ Ò ÑÑ ÔÔ Ò Ñ Ù ÖÓÞ ØÒ ÓÐÝ Ò Ö Ú Ò Ò Ñ ÑÓÞ Ö Ú Ò Ò ω n ¹Ò µ Ò Ñ Ð ÖÑ Ò Ù º Å ÖÔ Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐ Þ Ö ÒØ ÖÓ Ò ØÓÑ Ð ØÖÓÒ Ú Ð ÔÓÒØÓ Ò Þ Ø ÖØ Ò º Ð À Ò Ö ÞØ Ö Ð Ú Ø ÞØ Ø Ø ÚÓÒØ Ð Ó Ý Ø Ú Ó Ö¹ËÓÑÑ Ö Ð ÑÓ ÐÐÒ Þ Þ Ð ÔÞ Ð Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØÓ Ô Ð Ú ÒØÙÑ ÐØ Ø Ð ÐØ Ð ¹ Ú Ð ÞØÓØØ Ð Þ Ù Ô ÐÝ Ð ½ ÞÓÒÓ Ø Ø º Ý Ð ØØ Ó Ý Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ô ØÖ Ð ÓÒÐ ÐÚ Ú Ð ÞÓÒ Þ ÖÓÒ Þ ÒØ Ø Ø Ñ Þ Ð ØÖÓÒ Ú Ð ¹ Ó ØÓÑ Ð Ú Ð Ñ Ò ÑÓÞ Ñ Ò Ò ÓÖ Ð ÔÞ Ð Ø Ð Ý ¹ Ö Ò Ð Ò Þ ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò ÑÑ ÐÝ Ò ÓÖ ÐÐ Ø Ý Ô ØÖ Ð ÓÒÐ ÐÚ Ñ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ø Ö º ½ ÈÓÒØÓ ÚÓÐÒ ØÖ Ø Ö Ø ÑÓÒ ÒÙÒ Ñ Ñ Ö ÙÒ Ö Ú Ô ÐÝ Þ Ò Ðº

39 À Ò Ö Ð ØØ ÐÐ Ö Ø Ø Ú Ø Þ ÚÓÐØ Ó Ý Ò Ð ØÒ Þ Ð ØÖÓÒ ØÓÑ Ð Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Ò Ó ÐÑ Ø Ø ÖØ ÐÑ Ñ ÓÒ ÒÒØ ÖØ Ò Ò Ð Ð Ó Ý ÞØ Ñ Ò ÑÓÞ ÖÑ Ð Ñ ÖØ ÓÖÑ ÓÞ Ô ÓÐÒ Ò Þ Ý Ð ÞØÓ ÓÐÓ Ñ Ø Þ ØÓÑÖ Ð ØÙ ÙÒ Ú ÐØ À Ò Ö Ù¹ ÖÞÓØØ ÒÝ Ô ØÖÙÑ º Å ÜÛ Ðй Ð ØÖÓ Ò Ñ Þ Ö ÒØ Ô Ð Ù ÖÞ Ô ØÖÙ¹ Ñ Ø Ù ÖÞ Ö Ò Þ Ö p(t) Ô ÐÒÝÓÑ Ø Ú ØÓÖ Ò Ñ Ó Ð Ö Ú ÐØ Ø ÖÓÞÞ Ñ º È Ö Ù ÑÓÞ Ò Ð Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø º Þ Øµ p(t) ÓÙÖ Ö¹ ÓÖ Ø Ø Þ ω Ð Ô Ö Ú Ò Ð ÖÑ Ò Ù Þ Ö ÒØ p(t) = p 0 + p 1 cosωt + p cosωt +... Úº º Ý Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø ½ µ ÔÐ Ø Ú Ðµº Î Ý ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ Þ x¹ú Ø Ð Ø Øº Å Ú Ð p = e r ÞØ Ô Ù x(t) = x 0 + x 1 cosωt + x cosωt +... Þ x m m = 0, 1,,...µ Þ m¹ Ð ÖÑ Ò Ù ÑÔÐ Ø Þ Ð ØÖÓÒ Ô Ö Ù Ò Ú ÐØÓÞ ÐÝ ÓÓÖ Ò Ø Ò x¹ ÓÑÔÓÒ Ò Òº À ÑÓÞ Þ n¹ Ó Ö¹Ô ÐÝ Ò Ø ÖØ Ò ÓÖ ÞØ Ð Þ Öò ÔÐ Ø Ò ÜÔÐ Ø ÐØ ÒØ ØÒ x(t; n) = x 0 (n) + x 1 (n) cosω n t + x (n) cosω n t +... Þ x m (n) ÑÔÐ Ø Ò Þ n Ò Ü Þ n¹ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØÖ Þ m Ô Þ Ð Ø¹ ÖÓÒ n¹ Üò Ô ÐÝ Ò Ø ÖØ Ò ÑÓÞ Ò Þ m¹ Ð ÖÑ Ò Ù Ö ÙØ Ðº Þ Ð Ø¹ ÖÓÒÔ ÐÝ Ø Ð Ñ ÖÙÒ Þ ÙÐÒ Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØ Ó ÐÑ Ø Ó Ö¹Ô ÐÝ Ò Ð Ð Ö Ù ÒÒØ ÖØ Ò Î Ò¹ Ñ ÖÖ Ó Ý ÞØ Þ m Ò Ü Ø Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØÓØ Ð Ð Ú ÒØÙÑ Þ ÑÑ Ð ÐÝ ØØ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ñ Þ Ò Ñ ÒØ Ð ØØÙ Þ Ð Ø Ù Ý Ò Þ m¹ Ð ÖÑ Ò Ù Þ n n m = n ØÑ Ò Ø Ò Ù ÖÞ º Þ ÖØ Ò Ð ¹ Ñ Þ Ò x m (n)¹ø Ø Ð Ð Ø x nn ¹Ö Ñ ÐÝ Ò Ñ Ö Ú ÒØÙÑ ÐÐ ÔÓØÓ Ö ÙØ Ð Ú ÒØÙÑ Þ ÑÓ ÓÖ ÙÐÒ Ð º Å Ö Ó Ö ÞÖ Ú ØØ Ó Ý Å ÜÛ Ðй ÐÑ Ð Ø Ô Ð Ù ÖÞ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ P = 1 1πǫ 0 c 3 (mω) 4 p m ÓÖÑÙÐ Ð ØÖÓ Ò Ñ ÝÞ Ø ½ ¼µ ÔРص Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ¹ Ò ¹Ð Ñ Þ Ò Þ ØÓÑ n n ØÑ Ò Ø Ò Ø ÖØ Ò Ù ÖÞ Ö ÖÚ ÒÝ ÒÒ mω ÐÝ Þ ω nn = E n E n Ö Ö Ú Ò Ø ÐÝ ØØ Ø p m ¹Ø Ô Þ h n¹ Ú ÒØÙÑ Þ Ñ Ô ÐÝ Ò Ø ÖØ Ò ÑÓÞ Ð Þ Ñ Ø Ù º ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¹ ÐÚ Ð Ô¹ Ò Þ Ú Ö Ø ÚÓÐغ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ¹Ð Ñ Þ Ò Ú Ð ÞÓÒ Ò Þ Þ Ð Ö Ò Ñ ÓØØ Ø Ô ÞØ Ð ØØ Ð Ý Þ Ù ÖÞ ÒØ ÒÞ Ø Ó Øº m=1