Aszimptotikus Analízis

Átírás

1 Nemes Gergő Aszimptotikus Analízis B. Sc. szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem. május 3.

2

3 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar B. Sc. szakdolgozat Aszimptotikus Analízis Szerző: Nemes Gergő Matematika B. Sc. Témavezető: Dr. Tóth Árpád egyetemi docens Záróvizsga Bizottság: A bizottság elnöke: Prof. Dr. Komjáth Péter... A bizottság tagjai: Dr. Csikós Balázs... Prof. Dr. Halász Gábor... Prof. Dr. Pálfy Péter Pál... Dr. Prokaj Vilmos... Prof. Dr. Simonovits Miklós.... május 3.

4 ii

5 Előszó Az aszimptotikus analízis a matematikai analízis egyik fejezete. Feladata olyan módszerek kidolgozása, amelyek segítségével függvényekre, differenciálegyenletek megoldásaira, integrálokra közelítő analitikus előállítás adható olyan esetekben, amikor valamely paraméter vagy változó nagy vagy kicsi, esetleg olyan pontok környezetében, ahol a megoldás nem is analitikus. Aszimptotikus módszerek már a XVIII. és XIX. században ismertek voltak, az aszimptotikus sor precíz fogalmát azonban Poincaré alkotta meg 886-ban. A matematika ezen fejezete azóta sokat fejlődött, módszereit a fizikában, műszaki tudományokban, biológiában, oceanográfiában és még számos más tudományágban alkalmazzák. A szakdolgozat célja a mára már klasszikusnak számító aszimptotikus módszerek és eljárások bemutatása és konkrét példákon való szemléltetése. A példákat nagyrészt nevezetes speciális függvények szolgáltatják, amelyeket a dolgozat egy külön fejezete tárgyal. Az első fejezetben az aszimptotikus analízis alapvető fogalmait és azok legfontosabb tulajdonságait mutatjuk be. A második fejezet a speciális függvényekkel foglalkozik. A harmadik fejezetben paraméteres integrálokkal adott valós illetve komplex változós függvények aszimptotikus előállításait vizsgáljuk. A negyedik fejezet függvénysorozatok és sorok aszimptotikus vizsgálatáról szól. Végül az ötödik fejezetben rövid betekintést teszünk a közönséges differenciálegyenletek aszimptotikus elméletébe. Budapest,. május 3. Nemes Gergő iii

6 iv Előszó

7 Tartalomjegyzék Előszó Tartalomjegyzék Ábrák jegyzéke Köszönetnyilvánítás iii vi vii ix. Bevezetés.. Aszimptotikus szimbólumok Aszimptotikus sorozatok és sorok Aszimptotikus hatványsorok Speciális függvények.. A gamma-függvény A digamma-függvény A nem teljes gamma-függvény Riemann-féle zeta-függvény Bessel-függvények Airy-függvények Ortogonális polinomok Hipergeometrikus-függvények Integrálok aszimptotikus előállítása Parciális integrálás Laplace módszere és a Watson-lemma Aszimptotikus sorfejtés Laplace-módszerrel A stacionárius fázis módszere A legmeredekebb lejtő módszere A nyeregpont-módszer Sorok és sorozatok aszimptotikus közelítése Az Euler-Maclaurin-formula Abel-Plana-formulák Parciális összegzés Darboux módszere A Hayman-formula v

8 vi Tartalomjegyzék 5. Differenciálegyenletek Szingularitások és aszimptotikus módszerek A WKB-módszer Irodalomjegyzék 99 Tárgymutató

9 Ábrák jegyzéke.. A valós gamma-függvény és reciproka A Hankel-féle C integrálási út A valós digamma-függvény A valós Riemann-féle zeta-függvény A valós J és J Bessel-függvények A valós I és I módosított Bessel-függvények A valós Airy-függvények Az F felület és szintvonalai Szintvonalak és legmeredekebb utak a Hankel-függvény esetén Szintvonalak és legmeredekebb utak az Airy-függvény esetén Az Abel-Plana-formulához használt Γ görbe vii

10 viii Ábrák jegyzéke

11 Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Tóth Árpádnak, aki értékes megjegyzéseivel és tanácsaival segítette munkámat. Köszönetet mondok továbbá Prof. Dr. Halász Gábor, Dr. Kristóf János, Dr. Simon L. Péter és Dr. Szilágyi Tivadar oktatóimnak, akik az elmúlt három év során a valós és komplex analízis elsajátításában nyújtottak elengedhetetlen segítséget. ix

12 x Köszönetnyilvánítás

13 . fejezet Bevezetés A bevezető fejezetben az aszimptotikus analízis legalapvetőbb fogalmait tekintjük át. Definiáljuk a legfontosabb szimbólumokat, majd az aszimptotikus sorozatokat, sorokat. Az aszimptotikus sorok közül a legérdekesebbek és talán a legfontosabbak az aszimptotikus hatványsorok... Aszimptotikus szimbólumok Az alábbi definíciókban f és g a komplex sík egy H részhalmazán értelmezett függvények.... Definíció. Azt mondjuk, hogy f nagy ordó g jelben: f = Og, ha létezik olyan C konstans, hogy fz C gz minden z-re a H-ban. Szokás ezt a relációt valamely pont környezetében definiálni. Legyen z a H torlódási pontja.... Definíció. Azt írjuk, hogy f = Og, amint z z, ha létezik olyan C konstans és z -nak olyan U H környezete, hogy minden U-beli z esetén fz C gz.... Példa. Ha z -nak a végtelen távoli pontot vesszük, illetve f z = z +z+6 és g z = z, akkor a z 3 halmazon f = Og. Valóban, ha z 3, akkor f z = z + z + 6 z + z + 6 z = g z...3. Definíció. Azt mondjuk, hogy z z esetén f kis ordó g jelben: f = og, ha minden ε pozitív számhoz létezik z -nak olyan U ε H környezete, hogy fz ε gz minden z-re az U ε -ban.... Példa. Legyen z =, illetve f z = sin z és g z = z, { ekkor } f = og. Valóban, rögzítsünk egy ε > számot. Ha z z = z < min, akkor fz = sin z = sin z = k z z z k = k k z k+ k +! k, ε 4 z k+ k +! z z z ε z = ε gz.

14 . fejezet. Bevezetés Az alábbi állítások a most bevezetett két relációval kapcsolatosak.... Állítás. Ha f = og, amint z z, akkor f = Og, amint z z.... Állítás. Ha z z esetén f = Og és g = Oh, akkor f = Oh, amint z z. Hasonlóképpen, ha z z esetén f = og és g = oh, akkor f = oh, amint z z...3. Állítás. Legyenek {f n } N n= és {g n} N n= a komplex sík egy H részhalmazán értelmezett függvények véges rendszerei. Legyen z a H egy torlódási pontja úgy, hogy f n = Og n, amint z z. Ekkor tetszőleges komplex számokból álló {a n } N n= rendszerre N N a n f n z = O a n g n z, ha z z. n= Bizonyítás. A definíció szerint minden n N esetén létezik olyan C n konstans, és a z -nak olyan U n H környezete, hogy minden U n -beli z esetén n= f n z C n g n z. Legyen U =. N n= U n és C =. max {C n}, ekkor n N N a n f n z N N a n f n z C n a n g n z n= n= n= N N C a n g n z = C a n g n z, n= minden U-beli z esetén, amint z z... Aszimptotikus sorozatok és sorok... Definíció. Azt mondjuk, hogy a komplex sík egy H részhalmazán értelmezett {ϕ n } n függvénysorozat aszimptotikus sorozat z z esetén, ha létezik z -nak olyan U H környezete, hogy minden U-beli z z komplex számra ϕ n z, és minden n-re ϕ n+ = o ϕ n, ha z z.... Példa. Rögzített, véges z esetén az {id z n } n sorozat aszimptotikus sorozat. A feltételek egyszerűen ellenőrizhetőek.... Definíció Poincaré. Azt mondjuk, hogy a a n ϕ n z n alakú nem feltétlenül konvergens formális sor az f függvény {ϕ n } n, z z esetén aszimptotikus sorozathoz tartozó Poincaré értelemben vett aszimptotikus sora, ha minden N természetes számra f z n= N a n ϕ n z = o ϕ N z, n=

15 .. Aszimptotikus sorozatok és sorok 3 amikor z z. Ezt a kapcsolatot az f z n a n ϕ n z formában szokás felírni.... Állítás. Az aszimptotikus sor részletösszegei közelítik a függvényt a z egy környezetében, és az elkövetett abszolút hiba az első elhagyott tag nagyságrendjével azonos nagyságrendű. Bizonyítás. Mivel így a f z N n= a n ϕ n z = a N ϕ N z + o ϕ N z, N n= a n ϕ n z részletösszeg a N ϕ N z + o ϕ N z = O a N ϕ N z abszolút hibával közelíti az fz értéket, ha z z.... Állítás. Ha egy függvénynek létezik egy {ϕ n } n aszimptotikus sorozathoz tartozó aszimptotikus sora, akkor az egyértelmű, de nem határozza meg egyértelműen a függvényt. Bizonyítás. Az együtthatókat egyértelműen kapjuk a f z N n= a N = lim a nϕ n z z z ϕ N z formula segítségével. Legyen ϕ = és ϕ n = n+ id n, ha n >. Ha z -t a végtelen távoli pontnak választjuk és arg z π ρ, < ρ < π, akkor a n ϕ n z = n n+ formális sor aszimptotikus sora lesz az id + és az id + + exp id függvénynek is. Megjegyezzük, hogy az aszimptotikus sor első nemnulla tagját szokás főtagnak nevezni, és az f z a ϕ z jelölést használni. Ez azt jelenti, hogy lim z z f z /ϕ z = a...3. Definíció. Legyen H a komplex számsík egy részhalmaza, melynek z egy torlódási pontja. Az {a n } n komplex számsorozathoz és a {ϕ n } n, z z esetén aszimptotikus sorozathoz tartozó aszimptotikus összegnek nevezzük azon f függvények ekvivalencia-osztályát, melyekre z n f z n a n ϕ n z, amikor z z.

16 4. fejezet. Bevezetés..3. Tétel. Legyen H a komplex számsík egy részhalmaza, melynek z egy torlódási pontja. Legyen {ϕ n } n z z esetre vonatkozó aszimptotikus sorozat, és legyen {a n } n egy tetszőleges komplex számsorozat. Ekkor a a n ϕ n z n asziptotikus sornak van aszimptotikus összege. Azaz van legalább egy olyan, a H-n értelmezett f függvény, hogy ha z z, akkor f z n a n ϕ n z, amikor z z. Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy / {a n } n. Így a definícióból minden pozitív egész n-re a n ϕ n z = o a n ϕ n z, ha z z. Ebből következik, hogy minden n természetes számhoz található a z pontnak olyan U n környezete, melyre H U U U n, és a < d n. = sup { u v : u, v U n } átmérősorozat szigorúan monoton csökkenő úgy, hogy a n ϕ n z a n ϕ n z, ha z U n. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető az is, hogy lim n + d n =. Definiáljuk a {µ n } n függvénysorozatot az alábbiak szerint µ n z =., z / U n, d n z z d n d n+, z U n \ U n+,, z U n+. Könnyedén ellenőrizhető, hogy minden n természetes számra Továbbá, ha µ n z, Definiáljuk az f függvényt az µ n+ z µ n z.. a n ϕ n z a n ϕ n z.. f z = n a n µ n z ϕ n z képlettel minden z H \ z komplex számra. Ez a definíció értelmes, hiszen a {d n } n sorozat szigorúan monoton tart -hoz, így a jobb oldali összeg minden z z esetén véges. A tétel igazolásához megmutatjuk, hogy ez az f olyan, amelyre f z n a n ϕ n z,.3

17 .3. Aszimptotikus hatványsorok 5 amikor z z. Legyen N rögzített természetes szám, ekkor ha z U N+, f z = N a n ϕ n z + n= n N+ a n µ n z ϕ n z. Ha z U N+, akkor az.,. egyenlőtlenségek és a háromszög egyenlőtlenség alapján N f z a n ϕ n z µ n z a n ϕ n z n= n N+ = µ N+ z a N+ ϕ N+ z + µ N+ z a N+ ϕ N+ z + µ N+ z a N+ ϕ N+ z + = µ N+ z a N+ ϕ N+ z + n N+ n N+ n N+ n N+ µ n z a n ϕ n z µ n z a n ϕ n z µ n z a n ϕ n z µ n z a n ϕ n z. Innen indukcióval kapjuk, hogy µ n z a n ϕ n z µ N+ z a N+ ϕ N+ z a N+ ϕ N+ z, n N+ felhasználva, hogy µ N+ z. Ez minden z U N+ komplex számra igaz, azaz f z N a n ϕ n z = o ϕ N z, n= ha z z. Ez éppen az.3 összefüggés..3. Aszimptotikus hatványsorok A továbbiakban feltesszük, hogy z a végtelen távoli pont, és hogy α < arg z < β..3.. Definíció. Ha az f függvénynek létezik az { id n} aszimptotikus sorozathoz tartozó aszimptotikus sora, akkor azt az f aszimptotikus hatványsorának n nevezzük. Tegyük fel, hogy az f és g függvényeknek létezik egy közös D tartományon aszimptotikus hatványsora, például f z n Ha c és c tetszőleges komplex számok, akkor c f z + c g z n a n z n, g z b n z n. n c a n + c b n z n

18 6. fejezet. Bevezetés a D tartományon. A definíció alapján könnyedén bizonyítható az is, hogy f z g z n a n k b k z n, n ha z D. Következésképpen egy aszimptotikus hatványsorral rendelkező f függvény akármilyen komplex együtthatós polinomjának is van aszimptotikus hatványsora. Ha a nem nulla, akkor az f reciprokának is létezik aszimptotikus hatványsora: f z + d n a z n, n ahol a d n együtthatókat szukcesszíve határozhatjuk meg az f aszimptotikus hatványsorának együtthatóiból. Ebből azt is megkaptuk, hogy ha lim z f z, akkor az g/f függvénynek is van aszimptotikus hatványsora, sőt f akármilyen racionális törtfüggvényének is, ha a nevező nem tart nullához. Az utolsó művelet, amit tárgyalunk az invertálás. Tegyük fel, hogy az f függvény holomorf egy origó középpontú A szektorszerű tartományon. Tegyük fel azt is, hogy A szöge kisebb, mint π és k= f z z + n ha z + A-ban. Bebizonyítható, hogy alkalmas A A A szektorszerű tartományok esetén, ha f A, akkor egyértelműen létezik olyan z A, melyre a n z n, z = f + o, ha f + A -ben. Szukcesszív approximációt alkalmazva egy z f + n b n f n aszimptotikus hatványsor létezése is igazolható, ha f + A -ben. A b n együtthatók egyértelműen meghatározhatóak az a n együtthatókból []. A továbbiakban néhány alapvető tételt bizonyítunk..3.. Tétel. Tegyük fel, hogy a D tartományon ha z +. Ekkor z f z n f t a a t a n z n, dt n a n n z n, amint z +, ahol az integrálási út a z komplex számot a végtelennel összekötő D-beli félegyenes.

19 .3. Aszimptotikus hatványsorok 7 Bizonyítás. Írhatjuk, hogy f z a a N z = a n z + ϕ n N z, n= ahol ϕ N z = O z N+, ha z +. Ekkor z f t a a t dt = N n= a n n z + ϕ n N t dt. z Legyen K olyan konstans, hogy ϕ N z K z N+, ekkor ϕ N t dt K t N+ K dt = N z N, amiből z z f t a a t z dt = Ez pedig éppen a bizonyítandó állítás. N n= a n n z n + O z N..3.. Tétel. Legyen a D tartomány a z > A, α < arg z < β egyenlőtlenségekkel definiálva. Tegyük fel, hogy D-n f z a n z n, n amint z +. Tegyük fel, hogy f folytonosan differenciálható és f -nek létezik aszimptotikus sora D-n, ha z +. Ekkor f z na n z n+, n a D tartományon, amint z +. Bizonyítás. A tételbeli feltétel szerint z + esetén f z n b n z n valamilyen {b n } n sorozatra. f folytonossága miatt f w f z = z w z f t dt = b w z + b log w z + w z f t b b dt, t ahol az integrálási út a z-t a w-vel összekötő félegyenes. lim w f w f z = a f z és w lim f t b b dt = f t b b dt <, w t t következésképpen b = b = és a f z = z z f t b b dt b n+ t nz n n az előző tétel miatt a D tartományon, amint z +. Az unicitásból következik, hogy minden pozitív egész n-re b n+ = na n, amivel a tételt bebizonyítottuk.

20 8. fejezet. Bevezetés.3.3. Tétel. Tegyük fel, hogy az f függvény holomorf a z > A, α < arg z < β egyenlőtlenségekkel definiált D tartományon. Ha D bármely zárt szektorszerű részhalmazán arg z-ben egyenletesen f z n amint z +, akkor arg z-ben egyenletesen f z n a n z n, na n z n+, a D bármely zárt szektorszerű részhalmazán, amint z +. Bizonyítás. A feltételek szerint egy z A, α arg z β egyenlőtlenségekkel definiált zárt részhalmazon minden pozitív egész N-re f z = N n= a n z n + ϕ N z z N, ahol ϕ N korlátos a zárt részhalmazon, azaz ϕ N z < K N valamilyen K N konstans mellett. Mivel f holomorf D-n így ϕ N is és N f z = n= n a n z n + ψ N z z N, ahol ψ N z =. ϕ N z N a N Nϕ N z z. Azt kell megmutatni, hogy egy adott α arg z β D-beli zárt részhalmaz esetén ψ N korlátos. Legyenek α és β olyanok, hogy α < α < α < β < β < β. Ekkor ϕ N z < K N az α arg z β halmazon. ψ N korlátossága csak ϕ N korlátosságán múlik. Legyen ξ olyan, hogy α arg ξ β, és legyen ρ olyan, hogy a z ξ = ρ ξ egyenletű kör az α arg z β halmazba essen. Ekkor ϕ N z = ϕ N z πi z ξ =ρ ξ z ξ dz π amivel a tételt igazoltuk. π K N ρ ξ K N ρa, ϕ N ξ + ρξe iϑ ρ ξ.3.4. Tétel. Ha az f függvény holomorf minden z A pontban és f z n minden arg z érték esetén, amint z +, akkor az aszimptotikus hatványsor előállítja f-et minden elegendően nagy abszolút értékű z esetén. Bizonyítás. Legyen R > A tetszőleges, ekkor f Laurent-sorba fejthető a z R halmazon: f z = b n z n, n Z a n z n dϑ

21 .3. Aszimptotikus hatványsorok 9 ahol b n = f t dt, πi z =R tn+ minden R > R számra. Mivel lim z f z = a, így z A esetén f z K valamilyen K konstansra. Az együtthatóbecslés alapján minden pozitív egész n-re b n KR n. Mivel R tetszőleges nagy lehet, ezért b n =, ha n >. Következésképpen f z = b n z, n n ha z R. A feltevés szerint másrészről viszont amint z +. De így a = lim f z = lim z z n b n z n = b, f z n a n z n, b n a = lim f z a z = lim f z b z = lim z z z z = b, n. a k = lim z f z k n= a n z n z k = lim z f z k n= n b n z n z k b n = lim z z = b k, n k n k minden nemnegatív k egészre, azaz az aszimptotikus hatványsor tényleg konvergens.

22 . fejezet. Bevezetés

23 . fejezet Speciális függvények A második fejezetben a legfontosabb speciális függvényeket tekintjük át. A későbbiekben bemutatandó aszimptotikus módszerek könnyedén szemléltethetőek az itt tárgyalt függvények segítségével... A gamma-függvény A gamma-függvény abból a problémából fejlődött ki, hogy kiterjeszthető-e a faktoriális minden nemnegatív egésztől különböző valós számra úgy, hogy a jól ismert n! = n n! összefüggés érvényben maradjon. Ezzel a problémával foglalkozott többek között Goldbach is, megoldást azonban nem talált. Eulertől érkezett a válasz: 79. október 3.-án levelet írt Goldbach-nak, melyben kifejti, hogy a faktoriálisok sorozatának általános tagja n + n n 3 n + n 3 n 4 n 3 + n 4 n 5 n 4 + n. alakban írható, ha n valós, de nem negatív egész. Három hónappal később Euler ismét levelet írt Goldbach-nak, melyben egy integrál segítségével adta meg a fentebbi szorzatot: n! = log t n dt.. Ez az integrál azonban csak n > esetén konvergens. Az s = log t helyettesítéssel kapjuk a ma megszokott alakot: n! = e s s n ds..3 A gamma-függvény elnevezést Legendre vezette be 88-ban, definíciója az alábbi:... Definíció. Legyen R z >. A Γ z. = e t t z dt,.4 improprius integrállal értelmezett függvényt gamma-függvénynek nevezzük. Az integrálás a valós számegyenesen történik, és t z -nek főértékét vesszük.

24 . fejezet. Speciális függvények A majoráns kritérium segítségével könnyedén igazolható, hogy a.4 integrál minden z-re abszolút konvergens, ha R z >. Bebizonyítható az is, hogy holomorf függvényt kapunk a jobb félsíkon. Ha most z = n pozitív egész, akkor parciális integrálással Γ n = n!. Fennáll továbbá az Γ z + = zγ z összefüggés is, ennek ismételt alkalmazásával a gamma-függvény egy analitikus folytatását kapjuk a bal félsíkra, amely a nempozitív egészeket kivéve mindenütt jól definiált. Ezek a gamma-függvény izolált szingularitásai. A Taylor-formula szerint Γ z + = Γ + zγ z = + zγ z, ahol Γ a egy környezetében analitikus függvény. Ha n nemnegatív egész, akkor függvényegyenletünkből Γ z + = zγ z = z z Γ z = = z z z n Γ z n, és így Γ z n = + zγ z z z z n = n n!z + zγ z + zγ z, ahol Γ a egy környezetében analitikus függvény. Ebből azt kaptuk, hogy a gamma-függvény összes izolált szingularitása a,,,... pontokban van. Ezek elsőrendű pólusok és a z = n pontban vett reziduum n /n!. 5 y 5 y = Γ x y = /Γ x x.. ábra. A valós gamma-függvény és reciproka... Tétel Bohr-Mollerup. Legyen f a, intervallumon értelmezett pozitív értékű valós függvény. Tegyük fel, hogy f rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: i log f konvex; ii f x + = xf x minden x > valós számra; iii f =.

25 .. A gamma-függvény 3 Ekkor f x = Γ x minden x > valós számra. Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a gamma-függvény rendelkezik a felsorolt tulajdonságok mindegyikével. A definíció miatt Γ x >, ha x >. Megmutatjuk, hogy log Γ konvex függvény. Legyen x, y > és α, ekkor a Hölder-egyenlőtlenség szerint log Γ αx + αy = log e t t αx+ αy dt = log e t t x α e t t y α dt log α α e t t x dt e t t y dt = α log Γ x + αlog Γ y. A ii és iii tulajdonságok teljesülését már fentebb beláttuk. A tétel bizonyításához elég, ha megmutatjuk, hogy a feltételek egyértelműen meghatároznak egy függvényt. A ii tulajdonság miatt elég a, ]-en bizonyítanunk ezt. Legyen tehát f olyan, mint a tételben, < x és n pozitív egész. Az n + x = x n + x n + egyenlőség és log f konvexitásából f n + x f n x f n + x = f n x f n x n x = f n n x = n!n x. Hasonlóan az n + = x n + x + x n + + x egyenlőségből és a konvexitásból n! f n + xn + x x. Ezekből n! n + x x f n + x n!n x, amit a ii tulajdonság segítségével továbbírhatunk: n! n + x x x x + x + n f x n!n x x x + x + n. Végezzünk el a bal oldali kifejezésen egy kisebb átalakítást: Mivel n! n + x x x x + x + n = így a közrefogási elv szerint f x = lim n + n!n x x x + x + n [ n lim + x ] x =, n + n + x n n!n x x x + x + n = lim n + A határérték egyértelműsége miatt a tétel állítása következik. Az utolsó zárójeles formula és a tétel alapján n!n x Γ x = lim n + x x + x + n, [ n + x ] x. n + x n n!n x. x x + x + n

26 4. fejezet. Speciális függvények ha < x. Ez a gamma-függvény Gauss-féle előállításának speciális esete, ami kiterjeszthető a függvény teljes értelmezési tartományára is []. Így n!n z Γ z = lim n + z z + z + n.5 igaz minden z C \ { n : n N} komplex számra. Egyszerű átalakítás után Γ z = lim n + = lim n + z exp n!n z z z + z + n z n n log n k= + z k e z/k. Tudjuk, hogy a lim n n log n létezik, melynek értékét γ- val jelöljük Euler-Mascheroni állandó. Ebből Weierstrass képletét kapjuk: Γ z = e zγ z k... Tétel. Igazak az alábbi összefüggések: i Γ z Γ z = π, z / Z; sinπz + z k e z/k..6 ii Γ z = z π Γ z Γ z +, z / N. Legendre-formula Bizonyítás. A Gauss-féle előállítás és a szinusz-függvény szorzat alakját használva z z + z + n Γ z Γ z = lim z z n + z n + n!n z n!n z = z z sin πz =. k π k Figyeljük meg, hogy ez alapján Γ = π. Rátérve a második formulára, z Γ z Γ z + = lim z n!n z Γ z n + z z + z + n n!n z+/ z z + z + n + z + z + n z n! n z n! n+ = lim n + n!n. / Most használjuk ki azt, hogy az utolsó kifejezés nem függ z-től, azaz minden z-re ugyanannyi, speciálisan z = /-del n! n+ lim n + n!n / Ebből a bizonyítandó formula következik. = Γ = π.

27 .. A gamma-függvény 5 Megemlítjük még, hogy minden z / N komplex számra Γ z = e t t z dt,.7 πi ahol a C görbe a -ből indul, pozitív irányban megkerüli az origót, majd visszatér -be. t z legyen folytonos és a főértékét vegye fel ahol a görbe átmetszi a pozitív valós félegyenest. Ezt az integrált Hankel-féle vonalintegrálnak nevezik. A nempozitív egész helyeken nullának definiálva egészfüggvényt kapunk. C C.. ábra. A Hankel-féle C integrálási út... Definíció. Tegyük fel, hogy R x >, R y >. A B x, y. = t x t y dt.8 integrállal értelmezett kétváltozós függvényt béta-függvénynek nevezzük. Az integrálás a számegyenesen történik, t x -nek és t y -nek főértékét vesszük. A t = s/ + s helyettesítéssel a Bx, y = alakot nyerjük. Egyszerű átalakítással Γ x + y = s x + s x y ds.9 e z z x+y dz = + s x+y e +st t x+y dt. Átrendezve, mindkét oldalt s x -gyel szorozva, majd integrálva Γ x + y s x + s x y ds = = s x e +st t x+y dtds e v v x dv = Γ x Γ y, e t t y dt azaz Γ x Γ y B x, y = Γ x + y.. A béta-függvény tehát kifejezhető a gamma-függvény segítségével.

28 6. fejezet. Speciális függvények.. A digamma-függvény... Definíció. Legyen z nempozitív egésztől különböző komplex szám. Digamma-függvénynek vagy pszí-függvénynek nevezzük a gamma-függvény logaritmikus deriváltját: ψ z. = Γ z Γ z.. A ψ függvény meromorf, melynek elsőrendű pólusai vannak minden nempozitív egész helyen, reziduummal. A ψ n deriváltakat poligamma-függvényeknek nevezzük. 5 y = ψ x y x.3. ábra. A valós digamma-függvény A Gauss- és Weierstrass-féle előállítások alapján n ψ z = lim log n n + z + k ψ z = γ z + k = γ + z k k= z k z + k k + z + k. Speciálisan ψ = γ. A gamma-függvényre vonatkozó függvényegyenletek következményei az alábbiak:, ψ z = ψ z + z = ψ z π cot πz. Indukcióval ψ z + n = ψ z + n k= z + k,

29 .3. A nem teljes gamma-függvény 7 minden pozitív egész n-re. Speciálisan, ha z =, ψ n + = ψ + n k= k + = n γ..3. A nem teljes gamma-függvény A nem teljes gamma-függvény elnevezés abból ered, hogy a gamma-függvényt definiáló improprius integrált elvágjuk olyan módon, hogy csak egy véges értékig integrálunk. A függvény fontos szerepet játszik például a valószínűségszámításban. Pontos definíciója a következő:.3.. Definíció. Legyen z olyan komplex szám, hogy arg z < π. Nem teljes gamma-függvénynek nevezzük a γ a, z. = z e t t a dt. módon definiált függvényt, ahol R a >. t a -nek főértékét vesszük a negatív valós tengelyen felmetszett síkon. Ezzel z-nek analitikus függvényét kapjuk. R a > esetén. felírható γ a, z = z a n n n! a + n zn sor alakjában is, amit a definícióbeli exponenciális tényező sorbafejtését követő tagonkénti integrálással kapunk. Ha.-t a függvényének tekintjük, a sor segítségével kiterjeszthető analitikusan az egész komplex síkra, elsőrendű pólussal a nempozitív egész pontokban. A nem teljes gamma függvény komplementerét szokás a Γ a, z. = z e t t a dt.3 módon definiálni, tetszőleges komplex z és a számra. t a -nek ismét a főértékét vesszük a negatív valós tengelyen felmetszett síkon. Ha R a >, akkor Γ a = γ a, z + Γ a, z. A definíciókból parciális integrálással adódnak a rekurziók. Ha R a < < R z, akkor érvényes a integrál előállítás is. Legyen γ a +, z = aγ a, z z a e z,.4 Γ a +, z = aγ a, z + z a e z.5 Γ a, z = Λ ν, ρ. = e z Γ a e zt t a dt.6 + t e zt t ν + t ρ dt,.7

30 8. fejezet. Speciális függvények ahol R ν >, R z >. Figyelembe véve a.6 formulát, Λ a, = Γ a e z Γ a, z..8 A definícióból parciális integrálással adódik, hogy zλ ν +, ρ = ν + Λ ν, ρ + ρλ ν +, ρ, azaz Λ ν +, ρ Λ ν, ρ = z ρ ν +..9 Λ ν +, ρ Λ ν +, ρ Felhasználva, hogy a definíció alapján.9 a t ν+ + t ρ = t ν+ + t ρ + t ν+ + t ρ, Λ ν +, ρ Λ ν, ρ = z + ν + ρ Λ ν +, ρ Λ ν +, ρ. alakban is írható..8 miatt Λ a, Λ a, = Γ a Γ a, z Γ aγa, z = a Γ a, z. Γ a, z Felhasználva a.5 rekurziós összefüggést, azt kapjuk, hogy Λ a, Λ a, = + e z z a Γ a, z. Így, ha a. képletet ν = a, ρ = választás mellet iteráljuk, akkor a Γ a, z = z + + z + e z z a a + a z + 3 a +. lánctört előállítást kapjuk. Ez a formula tetszőleges a és z, arg z < π komplex számra konvergens. Gyakran alkalmazzák az alábbi, úgynevezett regularizált gamma-függvények et: P a, z. = γ a, z Γ a, Q a, z. = Γ a, z Γ a..

31 .4. Riemann-féle zeta-függvény 9 Ezesetben P a, z + Q a, z =. A most tárgyalt függvények három nevezetes, speciális esetei a következők: e t E z =. dt = Γ, z, z t erf z =. z e t dt = γ π π, z, erfc z =. e t dt = Γ π π, z. z Nevük rendre exponenciális integrál, hiba-függvény, komplementer hiba-függvény. Ez utóbbi kettő fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában..4. Riemann-féle zeta-függvény A zeta-függvényt már Euler is ismerte, beható tanulmányozását azonban Riemann végezte 859-ben..4.. Definíció. Legyen R z >, a ζ z. = n n z.3 sorral értelmezett függvényt Riemann-féle zeta-függvénynek nevezzük. A definíció értelmes, hiszen N N N = n z n= n= n z n= n Rz, ez utóbbi pedig konvergens, ha R z >. A zeta-függvény fontos szerepet játszik a számelméletben. A prímszámokkal való kapcsolatát fejezi ki Euler alábbi tétele:.4.. Tétel. Legyen R z >. Ha p n jelöli az n-edik prímszámot p =, akkor Bizonyítás. A definíció alapján ζ z =..4 p z n n z ζ z = z + 4 z + 6 z + 8 z +, ebből z ζ z = z + 3 z + 5 z + 7 z +. A jobb oldali összeg hasonló, mint ami a zeta-függvény definíciójában szerepel, a különbség, hogy a többszöröseinek hatványai hiányoznak. Hasonlóan z 3 z ζ z = z + 5 z + 7 z + z +,

32 . fejezet. Speciális függvények ahol a jobb oldali összegben és 3 többszöröseinek hatványai nem szerepelnek. m-szer ismételve az eljárást m n= p z n ζ z = + + z p z m+ adódik, ahol a jobb oldali összegben az első m prímszám többszöröseinek hatványai nem szerepelnek. Mivel lim m + p m = +, határátmenettel éppen a tétel állítását kapjuk..4.. Tétel. Ha R z >, akkor ζ z Γ z = Bizonyítás. Változócsere segítségével Γ z = adódik. Ha R z >, akkor ζ z Γ z = n t z dt..5 e t e t t z dt = n z e nt t z dt n z Γ z = n e nt t z dt..6 Megmutatjuk, hogy az összegzés és az integrálás sorrendje felcserélhető. Ehhez szükségünk lesz a következő lemmára:.4.3. Lemma. i Legyen H = {z : R z a}, ahol a >. Minden ε > számhoz létezik olyan < δ < szám, hogy minden z H esetén β t z e t dt < ε, ha δ > β > α. α ii Legyen H = {z : R z A}, ahol A valós szám. Minden ε > számhoz létezik olyan ρ > szám, hogy minden z H esetén β t z e t dt < ε, ha β > α > ρ Következmény. α i Legyen H = {z : a R z A}, ahol < a < A < +. Ekkor az integrál egyenletesen konvergens H-n. t z e t dt

33 .4. Riemann-féle zeta-függvény ii Legyen H = {z : R z A}, ahol A valós szám. Ekkor az integrál egyenletesen konvergens H-n. A következmény szerint a z t z e t dt t z e t dt függvény analitikus, ha R z >. Ebből kifolyólag elegendő megmutatnunk, hogy x > valós számokra megegyezik ζ x Γ x-el. A lemma szerint léteznek olyan α és β számok, < α < β < +, hogy α t x e t dt < ε 4, Minden pozitív egész N-re β t x e t dt < ε 4. N n= e nt n e nt = e t, így α e nt t x dt < ε n 4, e nt t x dt < ε n β 4. A.6 egyenlőség alapján ζ x Γ x t x e t dt ε + β e nt t x dt n α β α t x e t dt = ε, hiszen n e nt e t egyenletesen [α, β]-n. A tétel szerint tehát, ha R z >, akkor ζ z = t z Γ z e t dt. Ebből az egyenlőségből kiindulva szeretnénk kiterjeszteni a zeta-függvényt az egész komplex síkra. Az e t = t + B n n! tn n

34 . fejezet. Speciális függvények Laurent-sorból következik a B n együtthatókat lásd a 4.-es részben, hogy a t e t t függvény korlátos a nulla közelében, következésképpen az e t t z dt t integrál egyenletesen konvergens a jobb félsík kompakt részhalmazain. Ezzel egy holomorf függvényt határoz meg. Így ζ z = Γ z e t t z dt + t z + t z e t dt..7 Korábbi eredményeink szerint itt z -et leszámítva minden tag holomorf a jobb félsíkon. Ezzel ζ definiálható a jobb félsíkon, mint egy meromorf függvény, aminek elsőrendű pólusa van z = -ben. Tegyük fel, hogy a {z : < R z < } sávban vagyunk. Itt z = t tz dt, amiből.7 alapján ζ z = Γ z ha < R z <. A Laurent-sorfejtésből e t t + = O t, minden t valós számra. Emiatt az e t t + t z dt e t t z dt,.8 t integrál egyenletesen konvergens a {z : < R z} félsík kompakt részhalmazain. lim t t t =, e t így, ha t, t e t = O. t Ezért az e t t z dt t integrál egyenletesen konvergens a {z : R z < } félsík kompakt részhalmazain. Ezeket és a.8 egyenlőséget felhasználva ζ z = Γ z + Γ z = Γ z + Γ z e t t + t z dt Γ z z e t t z dt t e t t + t z dt Γ z + e t t t z dt,

35 .4. Riemann-féle zeta-függvény 3 ha < R z <. Az előbbiek alapján ezzel a {z : < R z < } sávon is holomorf függvényt definiáltunk, hiszen a két integrál ott konvergens, /Γ z + pedig analitikus. Tehát ζ-t meromorf függvényként definiáltuk a {z : < R z} félsíkon, melynek elsőrendű pólusa van a z = pontban, reziduummal. Most koncentráljunk a {z : < R z < } sávra. Ott ami alapján előző előállításunk a ζ z = Γ z t z = z, e t t + t z dt.9 alakot ölti, amikor is < R z <. Ha t, e t + = e t + = t e t coth. Felhasználva a coth z = z + z n z + π n, iz π / Z előállítást, azt kapjuk, hogy e t t + t = t + 4π n. n Alkalmazzuk ezt.9-re, ekkor ζ z = Γ z = Γ z n t z dt t + 4π n n πn z = Γ z πz ζ z t z t + dt t z t + dt, ha < R z <. Legyen most < x < valós, ekkor t x t + dt = u x / u + du = π csc π x = π sec πx. Így ζ x = Γ x πx ζ x π sec πx Γ x = sin πx π x ζ x π π sec πx Γ x = sin π πx cos πx π x ζ x π sec πx = π x Γ x ζ xsin πx,

36 4. fejezet. Speciális függvények ha < x < valós. Mivel mindkét oldal holomorf a {z : < R z < } sávban, ezért ott is fennáll, hogy ζ z = π z Γ zζ z sin πz..3 Sőt < R z < esetén is. A jobb oldal holomorf a bal félsíkban, így ezzel a formulával ζ z kiterjeszthető a {z : R z < } bal félsíkra. A.3 egyenletet Riemann-féle függvényegyenletnek nevezzük. Kaptuk tehát az alábbit Tétel. A zeta-függvény definiálható az egész síkon meromorf függvényként, melynek elsőrendű pólusa van a z = pontban, reziduummal. 4 y = ζ x y x.4. ábra. A valós Riemann-féle zeta-függvény Γ z-nek elsőrendű pólusai vannak a pozitív egész helyeken. A függvényegyenletből kapjuk, hogy ζ zsin πz =, ha z =, 3,..., hiszen ezekben a pontokban analitikus a zeta-függvény. Ezek a gyökök egyszeresek hiszen Γ z-nek elsőrendű pólusai. Ebből kapjuk, hogy ζ z =, ha z = 3, 5..., azaz ζ z =, ha z =, Ezeket a zetafüggvény triviális gyökeinek nevezzük. A {z : < R z < } sávon kivül nincs is neki több. Ezt a sávot kritikus sávnak nevezzük. Kimutatták, hogy a R z = egyenesen végtelen sok gyöke van. Riemann sejtése, miszerint az összes nemtriviális gyök ezen az egyenesen van, máig megoldatlan probléma [7, ]..5. Bessel-függvények A Bessel-függvények kel számos természettudományi és műszaki probléma során találkozhatunk, általában differenciálegyenletek megoldásaiban szerepelnek. A valószínűségszámításban eloszlások definiálhatók a segítségükkel. A függvényeket először Bessel vizsgálta bolygómozgásokkal kapcsolatos problémák során 84-ben.

37 .5. Bessel-függvények Definíció. Minden n egész esetén az n-edrendű Bessel-függvényeket az e z t t = J n z t n.3 generátorfüggvénnyel értelmezzük tetszőleges komplex z számra t. n Z Felhasználva az e zt z n = t n, n! n e z n z n t = n! t n n sorfejtéseket, nemnegatív egész n-re a z n J n z = k z k, k! k + n! k J n z = n z n k k z k k! k + n! előállítások adódnak, azaz speciálisan J n z = n J n z. A hányados kritérium segítségével könnyedén kimutatható, hogy ezek a sorok minden z komplex számra egyenletesen konvergensek, így az n-edrendű Bessel-függvények egészfüggvények..5 y = J x y = J x y x.5. ábra. A valós J és J Bessel-függvények Tetszőleges ν komplex szám esetén J ν z =. z ν k z k..3 k!γ k + ν + k

38 6. fejezet. Speciális függvények A hányados kritériumból kapjuk, hogy z/ ν J ν z egészfüggvénye ν-nek és z- nek is. Ha ν nem egész szám, akkor J ν z többértékű függvénye z-nek. Ennélfogva.3-ben z/ ν -nek a főértékét vesszük. Megemlítjük, hogy speciálisan J / z = πz sin z, J / z = πz cosz. A generátorfüggvény és a J n z = n J n z összefüggés alapján e z t t = J n z t n + n, amelyből t = e iϑ helyettesítéssel n e iz sinϑ = J z + ij z sin ϑ + J z cos ϑ + ij 3 z sin 3ϑ +. A valós és képzetes részeket szétválasztva cos z sin ϑ = J z + n J n z cos nϑ, t n sin z sin ϑ = n J n+ z sin n + ϑ. A Fourier-együtthatók képleteit felírva kapjuk Bessel integrál előállítását: J n z = π π cos nϑ z sin ϑdϑ..33 Legyen most Θ. = nϑ z sin ϑ, ekkor.33 z szerinti deriválásával J n z = π zj n z = z π π π sin ϑ sin Θdϑ, sin ϑ cos Θdϑ + π A másodikra parciális integrálást alkalmazva amiből zj n z = z π π z zj n z + z n J n z = n π cos Θdϑ + n π π π π sin ϑ sin Θdϑ. cos ϑ cos Θdϑ, z cosϑ n cos Θdϑ = n π [ sin Θ]π =. Azt kaptuk, hogy az n-edrendű Bessel-függvények kielégítik a z w + zw + z n w =.34 differenciálegyenletet. A.34 egyenletet Bessel-féle differenciálegyenletnek nevezzük. A hatványsorok összehasonlításával kapjuk az alábbi rekurziós formulákat: n z J n z = J n z + J n+ z, J n z = J n z J n+ z, J n z = n z J n z + J n z, J n+ z = n z J n z J n z.

39 .6. Airy-függvények 7 A ν-edrendű módosított Bessel-függvényeket az I ν z =. z ν z k.35 k!γ k + ν + k sorral értelmezzük. A hányados kritériumból kapjuk, hogy z/ ν I ν z egészfüggvénye ν-nek és z-nek is. Ha ν nem egész szám, akkor I ν z többértékű függvénye z-nek, ennélfogva.35-ben z/ ν -nek a főértékét vesszük y = I x y = I x y 3 x ábra. A valós I és I módosított Bessel-függvények Bebizonyítható [], hogy Igazolható az e z t+ t = I n z t n. n Z I n z = I n z = e z cos ϑ cos nϑdϑ.36 π integrálformula is, amiből következik, hogy a módosított Bessel-függvények kielégítik az úgynevezett módosított Bessel-féle differenciálegyenletet:.6. Airy-függvények π z w + zw z + n w =..37 Ezeket a függvényeket Airy, brit csillagász vezette be optikai vizsgálatai során 838-ban..6.. Definíció. Tetszőleges z komplex számra az Ai z =. cos π 3 t3 + zt dt,.38 Bi z =. exp π 3 t3 + zt + sin 3 t3 + zt dt.39 függvényeket első- illetve másodfajú Airy-függvényeknek nevezzük.

40 8. fejezet. Speciális függvények Differenciálással igazolható, hogy ezek a függvények kielégítik a w zw =.4 Airy-féle differenciálegyenletet. Mindkettő egészfüggvény. Érvényesek a sorfejtések. Aiz = 3 n/3 Γ n + 3 sin 3 /3 π n! n Biz = 3 /6 π n 3 n/3 Γ n + 3 n! n + π z n, 3.4 n + π sin z n y = Ai x y = Bi x y x.7. ábra. A valós Airy-függvények Ha x pozitív egész, akkor az Airy-függvények kifejezhetőek a módosított Besselfüggvényekkel: x Ai x = 3 x Bi x = 3 I /3 3 x3/ I /3 3 x3/,.43 I /3 3 x3/ + I /3 3 x3/..44 Negatív valós argumentum esetén a Bessel-függvények segítségével kapunk előállításokat x > : x Ai x = 3 x Bi x = 3 J /3 3 x3/ + J /3 3 x3/,.45 J /3 3 x3/ J /3 3 x3/..46

41 .7. Ortogonális polinomok 9.7. Ortogonális polinomok Legyen ω egy monoton növő függvény az a, b véges vagy végtelen intervallumon. Ha a = és/vagy b = +, akkor lim x ± ω x legyen véges. Ha k N, akkor a µ k = b mennyiségeket az ω-hoz tartozó momentumoknak nevezzük. a x k dω x Definíció. Legyen P a valós polinomok vektortere. A p, q P polinomok ω-hoz tartozó belső szorzatán a p, q. = b mennyiséget értjük. A p P normája b a p x q x dω x.48 p. = a p x dω x..49 Szokás a p, q = m p x k q x k wk.5 k= diszkrét belső szorzatot is tekinteni, ahol x k -k az illesztés alappontjai, w k -k a hozzátartozó súlyok. Egy n-edfokú p polinomot monik-nak nevezünk, ha főegyütthatója..7.. Definíció. i A p, q P polinomokat merőlegesnek vagy ortogonálisnak hívjuk, ha p, q = ii Valós polinomok egy Q rendszerét ortonormáltnak nevezzük, ha p, q Q, p q esetén p és q ortogonálisak és p, p = p =, ha p Q. iii Valós polinomok egy R rendszerét monik ortogonálisnak nevezzük, ha monik polinomok, ortogonálisak és pozitív normájúak. Pozitív definitnek nevezzük az olyan belső szorzatot, melyre nézve minden nemnulla polinom normája pozitív. A.48 módon definiált belső szorzat pontosan akkor pozitív definit, ha µ µ µ k µ µ µ k det >, µ k µ k µ k minden k pozitív egészre..7.. Tétel Létezés. Legyen a, egy pozitív definit belső szorzat a P valós polinomok vektorterén. Ekkor egyértelműen létezik monik polinomoknak egy ω-hoz tartozó, végtelen ortogonális rendszere.

42 3. fejezet. Speciális függvények.7.. Tétel. Legyen R monik ortogonális polinomok végtelen rendszere. Ekkor léteznek olyan α k és β k együtthatók k =,,..., hogy p k+ x = x α k+ p k x β k p k x, k =,,..., továbbá p x. =, p x. =, α k = xp k, p k p k, p k, β k = p k, p k p k, p k. Bizonyítás. Monik ortogonális polinomok {p i } k i= deg p i = i rendszere nyilván lineárisan független. Minden legfeljebb k-adfokú p polinom felírható ezek lineáris kombinációjaként, speciálisan k p k+ xp k = α k+ p k β k p k + γ i p i..5 Ha ennek az egyenletnek a p k -val belső szorzatát vesszük, akkor i= xp k, p k = α k+ p k, p k = α k+ p k, p k adódik. A p k -gyel vett belső szorzat esetén pedig xp k, p k = β k p k, p k = β k p k, p k. A.5 egyenletet k -re felírva, majd átrendezve kapjuk, hogy ahonnan Ebből k 3 xp k = p k + α k p k + β k p k + γ i p i, p k, xp k = p k, p k. i= xp k, p k = p k, xp k = p k, p k. Vegyük a.5 egyenlet mindkét oldalának belső szorzatát p i -vel i < k : xp k, p i = γ i p i, p i = γ i p i, p i. Itt a bal oldal eltűnik xp k, p i = p k, xp i =, így γ i =, ha i k Tétel. Legyen Q ortonormált polinomok végtelen rendszere. Ekkor léteznek olyan α k és δ k együtthatók k =,,..., hogy δk+ p k+ x = x α k+ p k x δ k p k x, k =,,..., p x =., p x =. / b. δ, δ = dω x, továbbá α k+ = xp k, p k, és a δ k együtthatók a p k = feltétel mellett számítandók. a

43 .7. Ortogonális polinomok 3 Bizonyítás. Az előző tételben felírt rekurziót kielégítő p k monik polinomokból indulunk ki. Az ortonormált polinomokat a p k x = p k x p k lenormálással kapjuk. Az előző tételbeli rekurzió ekkor a p k+ p k+ = x p k x p k, p k p k p k p k p k p k alakot ölti. Ebből p k+ p k p k+ = x xp k, p k p k p k p k p k. Így α k+ = xp k, p k, δ k+ = p k+, k =,,..., p k amivel a bizonyítást befejeztük Tétel Christoffel-Darboux formulák. Legyen {p j } j ortonormált polinomoknak egy rendszere, ekkor ha x y, k δk+ p i x p i y = x y p k+ x p k y p k x p k+ y, és i= k p i x = δ k+ p k+ x p k x p k x p k+ x. i= Legyen dω x = w x dx és a =, b =, w x = x α + x β, α, β >. Az így kapott P n α,β. polinomokat Jacobi-polinomoknak nevezzük. A P n = polinomokat Legendre-polinomok nak hívjuk. P, n. /, / A T n = P n polinomokat elsőfajú Chebyshev-polinomok nak hívjuk. A. /,/ másodfajú Chebyshev-féle polinomok az U n = P n módon vannak definiálva. Fennállnak a T n x = cos ny és a sin yu n x = sin n + y összefüggések, ahol cosy = x. Legyen most dω x = w x dx és a =, b = +, w x = e x. Az így kapott L n polinomokat Laguerre-polinomoknak nevezzük. A w x = e x x α, α > esetben szokás általánosított Laguerre-polinomokról beszélni, jelük L α n. Ha dω x = w x dx és a =, b = +, w x = e x, akkor a H n Hermitepolinomokat kapjuk. Explicit előállítást adnak a Rodrigues-féle formulák: P n α,β x = n x α + x β n n! L α n x = ex x α n! d n [ x n+α + x n+β],.5 dx n d n dx n e x x n+α,.53 H n x = n dn x e e x..54 dx n

44 3. fejezet. Speciális függvények.8. Hipergeometrikus-függvények Sok, a fizikában, műszaki tudományokban, matematikai statisztikában fellépő speciális függvény a hipergeometrikus-függvények speciális esetének tekinthető. Fontos szerepet kap az elméletben a hipergeometrikus egyenlet. Megmutatható, hogy minden legfeljebb három reguláris szinguláris ponttal bíró másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet ilyen egyenletbe transzformálható..8.. Definíció. Az a, b, c komplex paraméterek mellett a z z d w dw + c a + b + z abw =.55 dz dz másodrendű lineáris differenciálegyenletet hipergeometrikus egyenletnek nevezzük. Legyen ekkor, ha c,,,...,. Γ a + n a n =, Γ a w = n a n b n c n egy megoldása.55-nek. Ha c = m, m egész, akkor z n n!. = F a, b; c; z.56 w = z m+ n a + m + n b + m + n z n m + n n! = z m+ F a + m +, b + m + ; m + ; z.57 is egy megoldás. A F a, b; c; z függvényt z változós a, b, c paraméterű hipergeometrikus sornak nevezzük. Ha a = m vagy b = m, m egész, és c = k, k m egész, akkor definíció szerint F m, b; k; z. = m n= F a, m; k; z. = m n= m n b n k n a n m n k n z n n!,.58 z n. n! Ha nem ez utóbbi esetek valamelyike áll fenn, akkor a.56 vagy.57 sorok z < esetén abszolút konvergensek. A z = esetről az alábbiak állíthatók: i R a + b c < esetén abszolút konvergencia van; ii R a + b c <, z esetén feltételes a konvergencia; iii R a + b c esetén divergens a sor. Ha R c > R b >, akkor F a, b; c; z = Γ c Γ b Γ c b t b t c b tz a dt..59

45 .8. Hipergeometrikus-függvények 33 A jobb oldal a {z : arg z < π} halmazon analitikus, így.59 megadja a hipergeometrikus sor egy analitikus folytatását. Helyettesítsünk a.59 összefüggésbe t = s-et, ekkor s c b s b z + sz a ds a = z a s c b s b z s ds, z azaz F a, b; c; z = z a F a, c b; c; z/ z. Az a és b szimmetrikus helyzetéből adódik a F a, b; c; z = z b F c a, b; c; z/ z formula. Tegyük fel, hogy a, c egyike sem nulla vagy negatív egész. A F a, b; c; z függvény sorába z = x/b-t helyettesítve egy b konvergenciasugarú sort kapunk, amely egy analitikus függvényt definiál. Szinguláris pontjai a, b és a. Most b-vel végtelenhez tartva egy olyan egészfüggvényt kapunk, melynek a szinguláris pontja: a F a, b; c; x/b szingularitásainak összefolyása konfluenciája a határátmenetkor. A kapott függvényt konfluens hipergeometrikus-függvénynek nevezzük: F a; c; x =. a n x n c n n n!..6 A függvény kielégíti a z d w dw + b z aw =.6 dz dz másodrendű lineáris differenciálegyenletet, amit konfluens hipergeometrikus egyenletnek hívunk. Ha R c > R a >, akkor F a; c; x = Γ c Γ c aγa t c a t a e xt dt..6 Ennek bizonyítása az e xt tényező hatványsorba fejtésével történhet. Speciális esetként kapjuk a nem teljes gamma-függvényt, a Bessel-függvényeket, illetve az általánosított Laguerre-polinomokat: F a; a + ; x = ax a γ a, x,.63 F ν + x ν ; ν + ; ix = Γ + ν e ix Jν x,.64 F ν + x ν ; ν + ; x = Γ + ν e x Iν x,.65 F n; a + ; x = n! a + n L a n x..66

46 34. fejezet. Speciális függvények

47 3. fejezet Integrálok aszimptotikus előállítása Ebben a fejezetben az aszimptotikus módszerek egyik legfontosabb alkalmazását tekintjük át, integrál segítségével definiált függvények aszimptotikus hatványsor alakját keressük. 3.. Parciális integrálás A módszer abból áll, hogy ismételt parciális integrálás segítségével állítjuk elő egy integrállal értelmezett függvény aszimptotikus sorát, ha ez lehetséges. Az eljárást néhány példán keresztül szemléltetjük Példa. Tekintsük az exponenciális integrált: E z. = e t z t dt. Az integrálási út legyen egy a valós tengellyel párhuzamos félegyenes a z R z komplex számtól a végtelenig. Ismételt parciális integrálással adódik, hogy E z = ] [ e t t = e z z + z [ e t t e t z ] = e z z e z z + = = e z N n= + t dt e t z z ] [ e t t 3 z t 3 dt 6 z e t t 4 dt n+ n! + N e t N! z n z t N+dt. Vezessük be az R N z =. N e t N! z t N+dt 35

48 36 3. fejezet. Integrálok aszimptotikus előállítása jelölést. Legyen R z = x, ekkor R N z N! e r is x r + is N+ dr = N! e r x r + is N+dr < N! e r dr = N! e z z N+ z N+. Ez azt jelenti, hogy R N z = O e z z N+, s így x E z e z n n+ n! z n = e z z n n n! z n, ha z Példa. Legyen li : R + \ {} R az alábbi formulával adott: Ha x >, akkor li x. = li x =. ε lim ε + x dt log t. dt x log t + +ε dt. log t A li függvényt logaritmikus integrál nak nevezzük. Numerikus számításra alkalmas a li e x = γ + log x + x n n n! n sorfejtés, ha x > és γ az Euler-Mascheroni-féle állandó. Könnyen látszik, hogy x nagy értékeire ez a sor meglehetősen lassan konvergál. Gyakorlatban azonban fontos a függvény nagy értékeinek a kiszámítása is például az analitikus számelméletben. A parciális integrálás módszere ad egy lehetőséget olyan sor felírására, amely x + esetén közelíti a li x értéket. [ ] x t x dt li x = + log t log t = x log x + = x log x + = N = x n= ] x [ t log t x log x + + x [ t log 3 t n! x log n x + N! ] x dt log 3 t + 6 x dt log N+ t. dt log 4 t Itt a helyettesítése alatt t + határátmenetet értünk. A L Hospital-szabály alapján lim x + log N x x N! x dt log N+ t = lim x + log N+ x log x N N! log N+ x = lim x + N! log x N =,

49 3.. Parciális integrálás 37 azaz x dt x N! log N+ t = o. log N x Így kapjuk az alábbi x + esetre vonatkozó aszimptotikus sorfejtést: li x x n n! log n x = x log x n n! log n x. Egy érdekes alkalmazása ennek a függvénynek az úgynevezett Prímszám-tétel: π x li x, 3. ha x +, ahol π x az x-ig terjedő prímek számát jelöli. A főtagra vonatkozó korábbi megjegyzésünkből következik a π x x log x alak. A matematika egyik legfontosabb megoldatlan problémája, hogy mit lehet mondani 3.-ben a két oldal különbségének abszolút értékéről. Az egyik legerősebb ismert eredmény a következő: π x = li x + O x exp log x3/5 c log log x /5 ahol c alkalmas pozitív szám [4]. A Riemann-sejtés egyik ekvivalens átfogalmazása a π x = li x + O x log x formula, amit máig nem sikerült belátni [3] Példa. Utolsó példánkban Fourier-integrálokra alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét. Legyen a, b egy véges intervallum a számegyenesen, és legyen n= F x = b a f te ixt dt. Tegyük fel, hogy az f függvény N + -szer folytonosan differenciálható az [a, b]-n. Többszöri parciális integrálással kapjuk, hogy N F x = e iax f n a e ibx f n b n+ N i i b + f N t e ixt dt. x x a A maradéktag becsléséhez mégegyszer alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát: legyen R N x =. N i b f N t e ixt dt, x a ekkor R N x = e iax f N a e ibx f N b N+ N+ i i b + f N+ t e ixt dt x x a f N a + f N b b + f N+ t dt x N+. a,

50 38 3. fejezet. Integrálok aszimptotikus előállítása Ez pontosan azt jelenti, hogy R N x = O x N+, amint x +. Ha f akárhányszor differenciálható, akkor eredményünk az alábbi x + esetre vonatkozó aszimptotikus sor: F x n e iax f n a e ibx f n b n+ i. x Tegyük fel most, hogy az f akárhányszor differenciálható az [a, intervallumon, és minden n természetes számra t + esetén f n t = O t r, ahol r > valós szám. Ekkor az előzőleg kapott formulában végrehajtva a b + határátmenetet kapjuk, hogy a f t e ixt dt n n+ i e iax f n a, x amint x Laplace módszere és a Watson-lemma Tekintsük az I x = b a f t e xϕt dt 3. alakú paraméteres integrálokat, ahol x nagy pozitív valós szám, f és ϕ az [a, b] intervallumon folytonos függvények. Célunk, hogy x + esetére aszimptotikus formulát határozzunk meg a 3. kifejezésre. Az integrál értéke nagyrészt olyan pontok környezeteitől függ, ahol a ϕ függvény értéke a legnagyobb. Tegyük fel, hogy ϕ-nek egyetlen maximumhelye van az [a, b] t = c pontban. Bontsuk ketté az integrálási tartományt: I x = c a f t e xϕt dt + b c f t e xϕt dt. Így elegendő azzal az esettel foglalkoznunk, amikor c az intervallum valamelyik végpontja. Feltehető például, hogy c = a a c = b eset hasonlóan kezelhető. A most megfogalmazandó tételt szokás Laplace-módszernek nevezni Tétel. Legyenek f és ϕ az [a, b] intervallumon értelmezett folytonos valós függvények ahol b véges, esetleg +. Tegyük fel, hogy f t e xϕt minden pozitív x számra abszolút integrálható. Legyen a ϕ továbbá olyan, hogy egyetlenegy maximumhelye az intervallumon az a pontban van. Tegyük fel, hogy minden a / T [a, b] zárt részintervallumra sup r T ϕ r < ϕ a. Ha ϕ folytonos, ϕ a = és ϕ a <, akkor x + esetén b a π f te xϕt dt f a e xϕa xϕ a.

51 3.. Laplace módszere és a Watson-lemma 39 Bizonyítás. Legyen ε tetszőleges pozitív szám, és legyen δ < b a olyan pozitív szám, hogy f a ε f t f a + ε, ϕ a ε ϕ t ϕ a + ε <, ha a t a + δ. Mivel ϕ a =, így a Taylor-formula szerint ϕ t = ϕ a + ϕ η ahol a η a + δ. Következésképpen ϕ a ε t a, t a ϕ t ϕ a ϕ a + ε Legyenek α. = ϕ a ε, β. = ϕ a + ε, ekkor a+δ f a ε e xϕa e xβt a dt a+δ a Ha x elég nagy, a+δ a amiből e xαt a dt = a+δ Teljesen hasonlóan a a+δ a a a+δ a t a. f t e xϕt dt, a+δ f t e xϕt dt f a + εe xϕa e xαt a dt. a π e xαz dz e xαz dz = + O e xαδ, δ xα π f t e xϕt dt f a + ε e xϕa + O e xαδ. xα π f te xϕt dt f a ε e xϕa + O e xβδ. xβ M =. sup a+δ r b ϕ r < ϕ a a feltevés szerint. Ebből az intervallum fennmaradó részére a b b b f t e xϕt dt f t e ϕt+x M dt e x M f t e ϕt dt = Ne x M a+δ a+δ felső becslés adódik. Így π f a ε + O e xβδ N x b β e M exm ϕa f te xϕt dt xe xϕa, a b f t e xϕt dt π xe xϕa < f a + ε + O e xαδ + N x α e M exm ϕa. a Alkalmazzuk α és β definícióját, és vegyük a két egyenlőtlenség mindkét oldalának az x + esetre vonatkozó határértékét: π b f a ε lim inf f t e xϕt dt xe xϕa, ϕ a ε x + a a

52 4 3. fejezet. Integrálok aszimptotikus előállítása lim sup x + b a f t e xϕt dt π xe xϕa f a + ε ϕ a + ε. Mivel ε tetszőleges volt, ez azt jelenti, hogy azaz b lim x + a b Ezzel a tételt igazoltuk. a f t e xϕt dt xe xϕa = f a π ϕ a, π f te xϕt dt f a e xϕa xϕ a. Most pedig néhány konkrét példán mutatjuk be a tétel igen széleskörű alkalmazhatóságát Példa. Minden x > valós számra tekintsük az P n x = π x + cosϑ n x π dϑ integrállal adott Legendre-féle polinomokat. A bevett jelölést alkalmazva ebben az esetben f ϑ =, ϕ ϑ = log x + cosϑ x. Könnyen látható, hogy ϕ az intervallum bal végpontjában, a -ban veszi fel egyetlen maximumát. ϕ =, ϕ = x x x x + x <, így a 3.. tétel alapján P n x x + x n+ πn x x + x, ha n Példa. A pozitív valós számokon a gamma-függvény a Γ x + = e t t x dt integrállal értelmezhető. Ahhoz, hogy a Laplace-módszert alkalmazhassuk végezzük el a t = xz változócserét: Γ x + = x x+ e x z+log z dz. Hogy a szélsőértéket a bal végpontba toljuk, először is bontsuk ketté az intervallumot: Γ x + = x x+ e x z+log z dz + x x+ e x z+log z dz. Az első integrálban végezzük el a w = z helyettesítést: x x+ e x z+log z dz = x x+ e x w+log w dw.