Mechanikai hasonlóságok a kontinuumok turbulens mozgásában

Átírás

1 Mehanikai hasonlóságok a folyékony kontinuumok turbulens mozgásában Alkalmazási példp ldák k aszimptotikus megoldásokra Prof. Dr. Czibere Tibor Miskoli Egyetem Áramlás és Hőtehnikai Gépek Tanszék 5. márius m. Miskol-Egyetem Egyetemáros

2 T a r t a l o m A turbulens mozgások és a Kármán-féle hasonlósági hipotézis A turbulens áramlás alapegyenletei és örénytételei Turbulens ingadozás az együttmozgó relatí koordináta rendszerben A természetes koordinátarendszer Az ingadozás mozgásegyenletének egy partikuláris megoldása A sztohasztikus turbuleniamodell Az alapegyenletek a sztohasztikus turbuleniamodellel Néhány példa nyíróáramlások aszimptotikus megoldására Miskol, 5.márius.

3 A turbulens mozgások leírása alapel: pillanatérték középérték ingadozás időbeni középérték: Φ ( r, t t t t t Φ T ( r, τ dτ a turbulens sebességtér: ( r, t ( r, t ( r, t T a turbulens örénytér: Ω T ( r, t ( r, t T a turbulens ingadozás sebességtere: ( r, t Miskol, 5.márius. 3

4 A turbulens mozgások leírása folyékony kontinuum: (folytatás onst. ρ a feszültségtenzor: F T ( r, t p I σ ( r, t T T a Stokes formula: σ T ρυ ( o o T T tömegmegmaradás: a mozgásegyenlet: υ d ρ dt T ( r, t Miskol, 5.márius. 4 T ρ U p T Di σ az örénytétel esetén: ( d dt T T

5 A turbulens mozgások KármK rmán-féle hasonlósági hipotézise: I. A lamináris áramlás Naier-Stokes mozgásegyenletéhez azt feltételeze jutunk, hogy az áramlás terének minden pontjában a molekuláris mozgásképek mehanikailag hasonlók, sak hosszúság- és időléptékben különböznek egymástól. Kérdés: mi köetkezik abból a felteésből, hogy turbulens áramlás esetén a turbulens ingadozások mozgásképei is mehanikailag hasonlók egymáshoz? II. Kísérleti tapasztalatok alapján élhetünk azzal a felteéssel, hogy a falközeli rétegektől eltekinte a turbulens középsebesség eloszlása nem függ az áramló közeg iszkozitásától. Miskol, 5.márius. 5

6 y u u( y u ( y η w y x ξ Kétdimenziós áramlásban az ingadozás sebesség komponensei egy skalárψ ( x, y, t áramfüggényből hely szerinti deriálással származtathatók: Ψ Ψ a sebességtér: T ( x, y, t u( y i j y x az örénytér: Ω ( x, y, t T du T Ψ dy Miskol, 5.márius. 6 k

7 Örénytétel Örénytétel az u o onst. sebességgel mozgó (együttmozgó relatí koordinátarendszerben: Ψ Ψ du Ψ du uu Ψ Ψ t y x dy x y dy u( y u du dy y ( y y d u dy ( y Miskol, 5.márius. 7

8 Az u ( y sorát (a harmad- és ennél magasabb-fokú tagok elhanyagolása után az örénytételbe behelyettesíte adódik a turbulens ingadozás mozgásegyenlete: Ψ d u t dy Ψ du x dy d u dy ( y y Ψ x ( y y Ψ y Ψ x Ψ x Ψ y Két mozgásfolyamat mehanikai hasonlóságáról akkor beszélhetünk, ha azok mozgásegyenletei alkalmas (geometriai és fizikai transzformáióal egyikből a másikba ill. egy közös harmadikba átihetők. Miskol, 5.márius. 8

9 Transzformáió: x, y rendszer ξ, η ingadozás-tér geometriai: fizikai: x x l y y l ξ η dx dξ Miskol, 5.márius. 9 ; dy l l dη Ψ ( x, y, t K f ( ξ, η, τ t l: geometriai lépték; K, T: fizikai léptékek T τ ;

10 Miskol, 5.márius. ξ η η ξ τ f dy u d l dy du f dy u d f lt 3 η ξ ξ η f f f f l K 3 l K l dy du dy u d lt Kritérium:

11 Az ingadozás transzformált mozgásegyenlete: f τ f η f f f f f η ξ ξ η ξ ξ η A turbulens ingadozás ( ξ, η, τ dimenziótlan áramfüggénye a fizikai térben uralkodó mozgásjellemzőktől független; a teljesen kifejlődött turbulenia belső mehanizmusa nem függ az áramló közeg iszkozitásától. f Miskol, 5.márius.

12 Miskol, 5.márius. A Kármán-féle hasonlósági kritérium köetkezményei: 3 l K l dy du dy u d lt dy u d dy du l dy du l K K l T dy du K f f f f l K u xy η ξ ρ η ξ ρ ρ τ η ξ κ f f Kármán-konstans: dy du dy du l xy τ ρ κ

13 Két megjegyzés:. A turbulenia jelensége mindig háromdimenziós, akkor is, ha a turbulens középsebesség sak két helykoordináta függénye; más szóal a ingadozási sebesség harmadik komponense akkor sem hanyagolható el [ w ], ha a főáramlás kétdimenziós. Laboratóriumi mérések igazolják például azt, hogy a kör keresztmetszetű sőáramlásban minden esetben áll az alábbi reláió: < < ww < uu A hasonlósági hipotézisen alapuló kétdimenziós turbuleniamodell a turbulens feszültségtenzor toábbi elemeinek a meghatározására az u( y sorának bőítéséel sem tehető alkalmassá. Ehhez a turbulens ingadozás térbeli jelenségét figyelembe eő modell szükséges. Miskol, 5.márius. 3

14 A turbulens áramlás s alapegyenletei (három mérleg: tömeg-, impulzus- és energia-mérleg az időbeni középértékekkel értelmezett sebességtérben: a tömegmegmaradást kifejező kontinuitási egyenlet: ρ ( ρ t összenyomhatatlan közeg esetén: a Reynolds-féle mozgásegyenlet: ρ t ρ R Miskol, 5.márius. 4 onst p ( ρ U η ρ a turbulens feszültségtenzor: DiF R ( F ρ o

15 3 a belső energia egyenlete: T ρ ( T ( λ T ρ T ε t iszkózus disszipáió: ( ρ ( ϕ η ϕ ( o : ( o o ρ turbulens disszipáió: η ε ( o : ( o o ρ Megjegyzés: Lamináris esetben e három egyenlet az ismeretlen függények meghatározásához elegendő, turbulens esetben az ismeretlen függények száma azonban több a rendelkezésre álló (skalár differeniálegyenletek számánál, tehát az egyenletrendszer alulhatározottá álik, s ezért a turbulens probléma megoldásához toábbi egyenletekkel kell kiegészíteni. Miskol, 5.márius. 5

16 Miskol, 5.márius. 6 Toábbi két mérleg- (transzport- egyenlet a turbulens feszültségtenzor mérlege: ( [ ] ( ( ( ( o o o o o ρ ρ dt d ( ( ( o o o o p η [ ] ( ( ( ( Di p p o o o o o o η ρ az egyenlet egyes tagjainak fizikai jelentése: * első a turbulens feszültségtenzor időbeni teljes megáltozása; * második a feszültségtenzor produkiója, * a harmadik tag a turbulens feszültségtenzor disszipáiója; * a negyedik a nyomás- és deformáiósebesség korreláiója * az utolsó három tag a turbulens feszültségtenzor diffúziója.

17 a turbulens kinetikus energia mérlege: dk dt ( o : ( o ε p di υ k υ o ρ az egyenlet egyes tagjainak fizikai jelentése: Di ( * az első tag a turbulens kinetikus energia szubsztaniális (időbeni teljes megáltozása; * a második tag a turbulens kinetikus energia produkiója, * a harmadik tag a turbulens kinetikus energia disszipáója és * a negyedik tag a turbulens kinetikus energia diffúziója. Miskol, 5.márius. 7

18 A ektoronalak megmaradási tétele (H. Ertel és A. A. Friedmann * Ha egy adott ( r, t sebességtérben mozgó kontinuumban egy másik tetszőleges a( r, t ektortér is an, akkor az a dr egyenlettel értelmezett ektoronalak megmaradásának [más szóal annak, hogy a mozgás teljes időtartama alatt azokat mindig ugyanazok az elemek alkossák, és az elemi ektorsöek a d A a da n intenzitása is megmaradjon], a szükséges és elegendő feltétele: a t ( a ( a a ( * lásd pl.: N.J. Kotshin L.A. Kibel N.W. Rose: Theoretishe Hydromehanik Akademie Verlag Berlin (954 pp Miskol, 5.márius. 8

19 A turbulens áramlás örénytételei a pillanatértékekkel értelmezett sebességtérben: ΩT t ( ( T ΩT ΩT T T a középértékekkel értelmezett sebességtérben: Ω t 3 a turbulens ingadozás sebességterében: υ Ω ( ( ( ' Ω Ω Ω υ Ω t ' Ω ( ' ( ' ( ' Ω Ω Ω υ Ω Miskol, 5.márius. 9

20 A turbulens ingadozás mozgásegyenlete A teljesen kifejlődött turbulens áramlás egy tetszőleges rögzitett P pontjának a környezetében kialakuló ( r, t ingadozási sebességteret a P pontban uralkodó középsebességgel egyenletesen mozgó un. együttmozgó relatí koordinátarendszerben a harmadik örénytételbőlυ mellett adódó differeniálegyenlet írja le: Ω ' t ( ' ( ' ( Ω Ω Ω ' Megjegyzés: Miel Ω, ez utóbbi örénytétel szerint a sebességingadozás a középsebességtér Ω ( r, t örényteréel an egyértelműen meghatároza; köetkezésképpen a turbulens feszültségtenzor is a középsebességtér örényerősségéel és nem a deformáiósebességgel áll összefüggésben. Miskol, 5.márius.

21 A Kármán-féle hasonlósági hipotézis nyomonalát köete a ( r, t ingadozási sebességtérhez hozzárendelünk egy Ψ ( r, t ektorpoteniált: Ψ ( r, t Ψ( r, t [ ] ( ( ( Ψ Ψ Ψ ( Ψ Ω ( Ψ t és ezt a mozgásegyenletet transzformáljuk q, q, q3 az együttmozgó relatí rendszer ξ, η, ζ a turbulens ingadozás tere geometriai: fizikai: H dq l dξ η H dq ld H 3 dq3 l dζ Ψ( q, q, q3, t K f( ξ, η, ζ, τ Miskol, 5.márius.

22 A turbulens ingadozás transzformált mozgásegyenlete: K Tl f τ K l K l Ω K l ( f 4 4 Ω [ f ] f ( f ( f ( e ( a hasonlóság kritériuma: lt K l 3 Ω l f τ [( f ] f ( f ( f ( e ( f Ω A turbulens ingadozási sebességtér f( ξ, η, ζ, τ dimenziótlan ektorpoteniálja a fizikai térben uralkodó mozgásjellemzőktől független; a teljesen kifejlődött turbulenia belső mehanizmusa nem függ az áramló közeg iszkozitásától. Miskol, 5.márius.

23 A természetes koordinátarendszer bázisektorait a helyi sebesség- és örényektorok határozzák meg: e 3 e Ω S Ω e e e 3 S Ω q q βθ Ω Θ q q 3 q ϑθ µθ αθ γθ q 3 Miskol, 5.márius. 3

24 Miskol, 5.márius. 4 A két koordinátarendszer közötti transzformáió tenzora és annak transzponáltja: A ektor- és tenzorterek transzformáiója: e i e j E o i j T e e E o Ω Ω i i i S W E Ω Ω Ω W E i i i i i Ω Ω i i E 3 (,,3 i S W Ω Ω Ω Ω Ω Ω S,,, (,,, ( 3 3 t q q q t q q q E T R R t q q q t q q q E F E F,,, (,,, ( 3 3

25 A izsgálat három helyszíne (koordinátarendszere: q, q, q3, q, q3 számítási együttmozgó q ξ, η, ζ ingadozástér a q,q, q 3 alamint a ξ, η, ζ koordinátarendszerek egymásnak megfelelő tengelyei párhuzamosak A turbulens ingadozás mozgásegyenletének a sebességingadozás dimenziótlan ektorpoteniáljáal felírt alakja az együttmozgó természetes koordinátarendszerből származó ξ, η, ζ koordinátarendszerben: f [( f ] f ( f ( f ( f τ ζ mehanikai hasonlósága miatt az f( ξ, η, ζ, τ ektorpoteniálból adódó w f sebességtér a turbulens ingadozás képterének tekinthető. Miskol, 5.márius. 5

26 A hasonlósági kritérium köetkezményei: K Ω K lt l 3 l T K l l Ω Miután az Ω örényerősség a turbulens ingadozás Ψ ( r, t ektorpoteniáljának a transzformáiója során adottnak tekintendő, az előbbi egyenletekben három az ismeretlenek száma, tehát közülük egy szabadon álasztható, és a másik kettő annak függényeként adódik: K l Ω ; T l K Ω A turbulenia l (r léptékfüggénye az adott geometriai iszonyoknak megfelelően álasztandó, és figyelemmel arra is, hogy az áramlást határoló falakon el kell tűnnie. Miskol, 5.márius. 6

27 A turbulens ingadozás mozgásegyenletének egy partikuláris megoldása: a turbulens ingadozás sebességtere: w ( ξ, η, ζ, τ f( ξ, η, ζ, τ a triiális ( f egyenlet felhasználásáal a turbulens ingadozás előbbi az f ( ξ, η, ζ, τ dimenziótlan ektorpoteniállal felírt mozgásegyenlete átalakítható: ( w w [( w w ] τ ζ Miskol, 5.márius. 7

28 Ennek egy partikuláris megoldása a köetkező trigonometrikus sor alakjában előállítható*: w ε N n os n n nη C3 ne C C e nξ [ n( ζ ωτ α n] C n sin[ n( ζ ωτ α n] nη [ n( ζ ωτ α n] C3 ne sin[ n( ζ ωτ α3 n] nξ [ n( ζ ωτ α ] C e sin[ n( ζ ωτ α ] os os Ha a C n, C n, C 3 n és az α n, α n, α 3n egy-egy adott interallumban egyenletes eloszlású alószínűségi áltozók, akkor az így képezett életlen amplitúdójú és életlen fázisú szinusz ill. koszinusz hullámokkal a turbulens ingadozás sebességtere jól modellezhető. 3n n n * Czibere, T.: Three dimensional stohasti model of turbulene Journal of Computational and Applied Mehanis, Vol.., No.., ( Publ. of the Uniersity of Miskol, pp. 7- Miskol, 5.márius. 8

29 A dimenziótlan ektorpoteniál rotáiója három komponensének egy periodushosszon belüli áltozása ,7854,578,356 3,46 3,97 4,74 5,4978 6,83 Miskol, 5.márius. 9 ωτ

30 Sztohasztikus turbuleniamodell a természetes koordinátarendszerben A q, q, q 3 együttmozgó természetes koordinátarendszer bármely pontjának a ξ, η, ζ rendszer kezdőpontja felel meg, s így a sebességingadozás a q, q, q 3 rendszerben: ( q, q, q 3, t l( q, q, q 3 Ω ( q, q, q 3, t w (,,, τ w (,,, τ ε u ( τ u u u,,,3 ( nωτ α C sin( nωτ α Cn os n n n C os( sin( n nωτ αn C3 n nωτ α3 n os( sin( C3 n nωτ α3 n C n nωτ α n N n Miskol, 5.márius. 3

31 a természetes koordinátarendszerben beezethetjük az un. hasonlósági tenzort a köetkező skalár elemekkel: H ij u u, i, u u, j ( i, j,,3, a Kármán-konstans: κ ε u u,, a domináns turb. nyírófeszültség: Θ ( r, t ρ ( κ lω és ezekkel a látszólagos turbulens feszültségtenzor így felírható a természetes koordinátarendszerben q, q q, 3 F R Θ ( r, t H Miskol, 5.márius. 3

32 A turbulens áramlás alapegyenletei összenyomhatatlan közegre a sztohasztikus turbuleniamodellel a kontinuitási egyenlet: a mozgásegyenlet: d ρ dt ( ρ Π η Di Θ G a teljes poteniál: Π ( r, p t U ρ k 3 a turb. kinetikus energia fajlagos értéke: ( κ lω k ( H H H 33 a domináns turb. nyírófesz.: Θ ( r, t ρ ( κ lω az örényiszkozitási tenzor: G E H T E Miskol, 5.márius. 3

33 3 a teljes poteniál egyenlete ρ Π ρ ( o : ( o Di ( Θ G 4 az örénytétel (örénytranszport egyenlete Ω ρ G t ( ( ( Ω Ω η Ω Di Θ Miskol, 5.márius. 33

34 Áramlás hosszú egyenes sőben A természetes és a számítási koordinátarendszer közötti transzformáió E tenzorának elemei: E ; ; 3 E d d ; E dr dr ; 3 E 3 ; 3 ; E 33 d dr d dr a G örényiszkozitási tenzor skalár elemei figyelemmel arra, hogy kétdimenziós esetben H H : 3 d d G H ; G ; G3 dr dr d d G ; G H ; G3 dr dr G 3 ; G 3 ; G 33 H 33. Miskol, 5.márius. 34

35 Miskol, 5.márius. 35 a skalár mozgásegyenletek: a teljes poteniál egyenlete: x Π (, ( r b x L r x Π Π ( ( ( ( dr d r l r r l r ρκ Ω ρκ Θ ϕ ( r H H H dr d r Θ Θ Π ρ ( 33 r dr d dr d dr d dr d r dr d x Θ Θ η Π ρ

36 Kör keresztmetszetű sőáramlások számított sebességeloszlásai összehasonlíta Nikuradse* mérési eredményeiel m,8,6,4, Re 4 Re 4 Re 9 Re 9 Re 33 Re 33 Re 434 Re 434,,4,6,8 r R * Nikuradse, J.: Gesetzmäßigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Rohren VDI Forsh.heft 356 (93 Miskol, 5.márius. 36

37 m Kör keresztmetszetű sőáramlások számított sebességeloszlásai összehasonlíta Nikuradse* mérési eredményeiel,8,6,4, Re 5 Re 5 Re Re Re 35 Re 35 Re 34 Re 34,,4,6,8 r R * Nikuradse, J.: Gesetzmäßigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Rohren VDI Forsh.heft 356 (93 Miskol, 5.márius. 37

38 Kör keresztmetszetű sőáramlások számított sebességeloszlásai összehasonlíta Laufer * mérési eredményeiel Re 5 m V/V (V/Vm uni.seb. iszk.alr. 5, Miskol, 5.márius. 38 ( R y Re r * Laufer, J. : The struture of turbulene in fully deeloped pipe flow NACA Report 74 (954.

39 Miskol, 5.márius. 39 a léptékfüggény: ( 3 33 H H H b κ ( R k S m Re 3 ln 8,75 ln Re κ κ ~ 8 λ η ρ R Re L R Π ( R r R r R l R l r l

40 Érdes és hidraulikailag sima falú söek ellenállástényezőinek áltozása a Re-szám függényében λ, ks/r,,5,5,, λ,5,5,,5, síma, Re Miskol, 5.márius. 4

41 A turbulens feszültségtenzor első skalárinariánsának különböző Re -számok mellett számított eloszlása b Re 45 45, Miskol, 5.márius. 4 ( R y Re r

42 A domináns turbulens nyírófeszültség-eloszlások sugár-irányú áltozása kör keresztmetszetű sőben Θ ρ,8,6,4, Re 45 8,,4,6,8 r R Miskol, 5.márius. 4

43 Θ ρ Különböző Re-számok mellett számított domináns turbulens nyírófeszültség-eloszlások kör keresztmetszetű sőben,8,6,4 Re 45 45,, Miskol, 5.márius. 43 ( R y Re r

44 * A kör keresztmetszetű sőben kialakuló turbulens áramlás számított feszültségeloszlásainak összehasonlítása Laufer* mérési eredményeiel W xx W rr W ff W xr W xxm W rrm W ffm W xrm (Re 5; 5 -, Miskol, 5.márius. 44 ( R y Re r Laufer, J. : The struture of turbulene in fully deeloped pipe flow NACA Report 74 (954.

45 * A kör keresztmetszetű sőben kialakuló turbulens áramlás számított feszültségeloszlásainak összehasonlítása Laufer * mérési eredményeiel W xx W rr W ff W xr W xxm W rrm W ffm W xrm (Re 5; 5 -, Laufer, J. : The struture of turbulene in fully deeloped pipe flow NACA Report 74 (954. Miskol, 5.márius. 45 ( R y Re r

46 A kör keresztmetszetű sőben kialakuló turbulens áramlás számított feszültségeloszlásainak összehasonlítása Laufer* mérési eredményeiel 8 (Re 5; W xx W rr W ff W xr W xxm W rrm W ffm W xrm * Laufer, J. : The struture of turbulene in fully deeloped pipe flow NACA Report 74 (954. Miskol, 5.márius. 46 y

47 A kör keresztmetszetű sőben kialakuló turbulens áramlás számított feszültségeloszlásainak összehasonlítása Laufer* mérési eredményeiel (Re 5; W xx W rr W ff W xr W xxm W rrm W ffm W xrm * Laufer, J. : The struture of turbulene in fully deeloped pipe flow NACA Report 74 (954. Miskol, 5.márius. 47 y

48 Körgyűrű keresztmetszetű sőben különböző Reynoldsszámokhoz tartozó turbulens sebességprofilok összehasonlítása a lamináris sebességprofillal r r 4, sugáriszony mellett m,8,6,4, Re lam ináris,,4,6,8 r r r r Miskol, 5.márius. 48

49 Körgyűrű keresztmetszetű sőben különböző Reynolds számokhoz tartozó turbulens nyírófeszültség-eloszlások összehasonlítása a lamináris áramlásban kialakuló iszkózus nyírófeszültség-eloszlással r x,5,5 Re laminaris -,5 -,,4,6,8 Miskol, 5.márius. 49 r r r r

50 Couette-áramlás síklapok között (az alsó áll, a felső egyenletesen mozog A ternészetes és a számítási koordinátarendszer közötti transzformáió E tenzorának elemei: E ; E ; E 3 E ; E ± ; E 3 E 3 ; E 3 ; E33 ± és ezekből a G örényiszkozitási tenzor skalár elemei figyelemmel arra, hogy H H : 3 H ± ± H G ; G ; G G ; G 3 ; G ; G G ; G 33 H Miskol, 5.márius. 5

51 Miskol, 5.márius. 5 a skalár mozgásegyenletek: a teljes poteniál egyenlete: (, ( y b x L y x Π Π x Π ( ( ( ( dy d y l y y l y z ρκ Ω ρκ Θ dy d H y Θ Π ρ dy d dy d x Θ η Π ρ ±

52 Miskol, 5.márius. 5 A Couette-áramlás ún. ellenállásformulái Re 4( ln artan ( B B A κ Re 4( ln artan ( B B A U κ ln artan A κ < B B A ln Re 4( ln ( κ Re 4( ln ln ( B B A U κ A ln ln κ

53 < B A B ln κ Re U B A B ln κ Re ; ; A B A ( B ln ln κ 4 ( Re U B A B ( ln ln κ 4 ( Re A ln ln κ B A ( B artan ln κ 4 ( Re U B A B ( artan ln κ 4 ( Re A artan ln κ υu h ; K h Π υlu ; Π h L Miskol, 5.márius. 53

54 U Turbulens sebességprofilok sík lapok közötti Couetteáramlásban különböző mértékű nyomásáltozások esetén ( Re 733,5,5 -,5 - K ,8 -,5 -,3,5,5,75 Miskol, 5.márius. 54 y h

55 Couette-áramlásban számított turbulens sebességeloszlás összehasonlítása Reihardt * mérési eredményeiel,75,5,5,75,5,5 (Re 733 ; K számítás mérés - -,75 -,5 -,5,5,5,75 * Reihardt, H. : Gesetzmäßigkeiten der geradlinigen turbulenten Couette-Strömung Mitt. aus dem Max-Plank-Institut für Strömungsforshung Nr., Göttingen (959 Miskol, 5.márius. 55 y h

56 Sík lapok közötti turbulens Couette-áramlás ( Re 733 ; K K h Π υlu,5 V/U The,5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75 Miskol, 5.márius. 56 y h

57 b Sík lapok közötti turbulens Couette-áramlás ( Re 733 ; b(y b(y K K h Π υlu, ( y h y Re Miskol, 5.márius. 57

58 Sík lapok közötti turbulens Couette-áramlás,5 ( Re 733 ; K K h Π υ LU V/U The,5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75 y h Miskol, 5.márius. 58

59 b Sík lapok közötti turbulens Couette-áramlás 5 4 ( Re 733; K K h Π υ LU 3, y Re ( y h Miskol, 5.márius. 59

60 Sík lapok közötti turbulens Couette-áramlás ( Re 733 ; K 35 K h Π υ LU,5 V/U The,5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75 Miskol, 5.márius. 6 y h

61 Sík lapok közötti turbulens Couette-áramlás b ( Re 733; K 35 K h Π υ LU b(y b(y, ( y h y Re Miskol, 5.márius. 6

62 Köszönöm a figyelmet! Miskol, 5.márius. 6