MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR. KÉTDIMENZIÓS NYlRÓÁRAMLÁSOK SZÁMlTÁSA A TURBULENS ÖRVÉNYDIFFÚZIÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETÉNEK MEGOLDÁSÁVAL

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR KÉTDIMENZIÓS NYlRÓÁRAMLÁSOK SZÁMlTÁSA A TURBULENS ÖRVÉNYDIFFÚZIÓ DIFFERENCIÁLEGYENLETÉNEK MEGOLDÁSÁVAL Ph.D. ÉRTEKEZÉS TÉZISEI Készítette: KÖNÖZSY LÁSZLÓ okl. gépészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA, GÉPÉSZETI ALAPTUDOMÁNYOK SZAKTERÜLET, TRANSZPORTFOLYAMATOK ÉS GÉPEIK TÉMACSOPORT A doktori iskola vezetője: DR. PÁCZELT ISTVÁN Az MTA rendes tagja Témavezető: DR. CZIBERE TIBOR Az MTA rendes tagja MISKOLC-EGYETEMVÁROS, 2004.

2 Bíráló bizottság tagjai Elnök: Dr. Páczelt István az MTA rendes tagja a műszaki tudomány doktora Titkár: Vadászné Dr. Bognár Gabriella a műszaki tudomány kandidátusa Tagok: Dr. habil. Lajos Tamás Dr. habil. Halász Gábor Dr. Kullmann László a műszaki tudomány doktora a műszaki tudomány kandidátusa a műszaki tudomány kandidátusa Hivatalos bírálók: Dr. habil. Galántai Aurél Dr. Kristóf Gergely a matematikai tudomány kandidátusa Ph.D.

3 TÉZISFÜZET 1 1. Előzmények Czibere Tibor [1] a múlt század első felében megalkotott klasszikus elméletekből kiindulva a Kármán-féle kétdimenziós hasonlósági hipotézist háromdimenziós esetre terjesztette ki, mert a turbulencia jelensége mindig háromdimenziós. Korábban a turbulens feszültségeket a viszkózus feszültségekhez hasonlóan a deformációsebességgel hozták kapcsolatba, azonban az új háromdimenziós sztochasztikus turbulencia-modell szerint a Reynolds-féle látszólagos turbulens feszültségtenzor nem a deformációsebesség tenzorával, hanem a középsebességtér örvényességével áll összefüggésben. Az állandó sűrűségű folyadék turbulens áramlása esetén a Friedmann-féle vektorvonal megmaradási tétel alapján új örvénytételek adódnak, miszerint a) az örvényvonalak megmaradási sajátosságot sem a középsebességtérben, sem a turbulens ingadozás sebességterében nem mutatnak, eltűnő viszkozitás mellett sem, mindkét sebességtérben az örvények szétszóródnak, a környezetbe diffundálnak; b) az örvénydiffúziót egyrészt a folyadék-viszkozitás, másrészt a turbulencia okozza, következésképpen az örvénydiffúzió eltűnő viszkozitás mellett is fellép [1], [2]. A lamináris áramlások sebességterének meghatározására számtalan olyan eljárás ismeretes, amely az örvénydiffúzió differenciálegyenletének megoldásán alapszik. Az értekezés ezek kiegészítéseként a turbulens örvénydiffúzió Czibere-féle differenciálegyenletének megoldásán alapuló numerikus eljárást ismertet. 2. A dolgozat célkitűzése Az értekezés célja numerikus módszer kidolgozása két egymást nem metsző koaxiális forgásfelület által határolt forgásszimmetrikus térben kialakuló perdületmentes stacionárius turbulens áramlás sebességterének számítására. A feladatot a sztochasztikus turbulencia-modell alapján a középsebességtérben érvényes turbulens örvénydiffúzió új parciális differenciálegyenletének segítségével oldjuk meg. A feladat ezúton történő megoldását az indokolja, hogy a) a turbulens örvénydiffúzió differenciálegyenletében a nyomás mint ismeretlen mennyiség nem szerepel; b) lamináris áramlási feladatok esetén már jól bevált módszerek ismertek. A vizsgált turbulens áramlási feladat alapegyenleteit ortogonális görbevonalú koordinátarendszerben írjuk fel és a számítások során ívhosszkoordinátákat használunk. A numerikus megoldás során a cellákra bontott meridiáncsatorna ívelemeit és görbületeit számszerűen ismernünk kell. Ezért kézenfekvő volt egy kétdimenziós másodrendben folytonos ortogonális görbevonalú koordinátahálózat generáló eljárás kidolgozása is. 3. A feladat megoldása A számításaink során a Czibere-féle sztochasztikus turbulencia-modellt alkalmazzuk. A turbulencia-modell az áramlás középsebességteréhez egy q, q, q ún. természetes koordinátarendszert rendel (1. ábra), amelyben az örvényerősség és a domináns turbulens nyírófeszültség között egyértelmű kapcsolat adható meg. A bázisvektorokat a v és rot v vektorok definiálják. A második koordináta-irányt a v rot v, a harmadik koordináta-irányt a

4 2 TÉZISFÜZET rot v vektor negatívja határozza meg. Az első koordináta-irány az előző kettő vektoriális szorzataként adódik, vagyis e 1 = e 2 e ábra Az ortogonális görbevonalú természetes koordinátarendszer a háromdimenziós határrétegben Az alkalmazott sztochasztikus turbulencia-modell szerint a Reynolds-féle látszólagos turbulens feszültségtenzorra az F ρκ Ω = R l H (1) összefüggés érvényes, ahol ρ a folyadék sűrűsége, κ = 0,40704 a Kármán-konstans, l a turbulencia alkalmasan választott hosszúság dimenziójú léptékfüggvénye, H a turbulencia ún. hasonlósági tenzora, és Ω az örvényerősség nagyságát jelöli. A Reynolds-féle mozgásegyenlet az alkalmazott sztochasztikus turbulencia-modell alapján a következő alakban írható: ( ) v ρ + ρ ( v ) v = ρ Π + η v + Div Θ G t, (2) ahol a Π = U + ( p+ p R ) ρ egyenlettel értelmezett ún. teljes potenciál, amely az erőtér potenciáljának és a nyomáspotenciálnak az összege, η a dinamikai viszkozitási tényező, Θ a domináns turbulens nyírófeszültség, és a G tenzor a természetes koordinátarendszerben értelmezett H hasonlósági tenzor H deviátorának a q1, q2, q3 számítási koordinátarendszerbe való transzformáltját jelenti. Az előző mozgásegyenletből rotációképzéssel az

5 TÉZISFÜZET 3 Ω + G t ρ 1 ( v ) Ω ( Ω ) v = υ Ω + Div( Θ ) (3) középsebességtérben érvényes turbulens örvénydiffúzió új, Czibere-féle differenciálegyenlete adódik, ahol υ = η ρ a folyadék kinematikai viszkozitási tényezője. A (2) és (3) differenciálegyenlet két különböző lehetőséget nyújt a turbulens áramlási feladatok megoldására. A numerikus megoldás során az utóbbi esetet választottuk, mert a (3) egyenletben a Π teljes potenciál mint ismeretlen mennyiség nem szerepel. A kontinuitási egyenlet alapján bevezetjük a Ψ áramfüggvényt, és az örvényvektor zérustól különböző kerületi irányú komponensének egyenletéből az áramfüggvényre egy elliptikus típusú inhomogén parciális differenciálegyenletet nyerünk. A sebességkomponensek az áramfüggvényből differenciálással származtathatók. A Ψ és Ω ismeretlen függvényekre vonatkozóan az áramlási feladat numerikus megoldására alkalmas zárt parciális differenciálegyenlet-rendszer adódik. A (3) egyenlet jobboldali turbulens tagjában szereplő domináns turbulens nyírófeszültséget a turbulencia-modell algebrai egyenletével számítjuk. A feladat parciális differenciálegyenlet-rendszerét véges differenciák módszerével diszkretizált lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására vezetjük vissza. 2. ábra A számítás során használt koordinátahálózat A hálógenerálás során a meridiánmetszetet határoló két peremgörbét az (r,z) síkon diszkrét pontjaikkal adjuk meg és a Nyíri-féle simító eljárást [7], [8] alkalmazzuk, mert a diszk-

6 4 TÉZISFÜZET rét pontokban megadott függvény értékeit véletlenszerű hibák terhelik. Az első és második deriváltakat a negyedfokú Newton-féle interpolációs polinom segítségével számítjuk, és a kapott pontokra a másodrendű csatlakozási feltételt kielégítő ötödfokú Hermite-polinomot illesztünk, előírva ezzel a másodrendű folytonosságot. A áramlás irányába eső koordinátavonalak diszkrét pontjait a beírható körök középpontjainak számításával határozzuk meg. A kapott pontokat simítjuk, a pontokbeli első és második deriváltakat a negyedfokú Newton-féle interpolációs polinom alkalmazásával számítjuk, és a pontokra ismét Hermite-polinomot illesztünk. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg kellő mennyiségű koordinátavonalat kapunk. Az iránymező alapján az ortogonális trajektóriák meghatározhatók. A számítások eredményeképpen a számítási hálózat diszkrét pontjainak koordinátái és az ívelemek hossza mellett a koordinátavonalak görbületei is numerikusan ismertek lesznek. A 2. ábrán a hálógeneráló eljárással számított koordinátahálózat látható. Az áramlási feladat numerikus megoldása során kapott eredményeket J. Nikuradse (1932) [3], J. Laufer (1954) [4] méréseivel, és a Miskolci Egyetem, Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke és a Magdeburgi Egyetem közreműködésével elvégzett mérésekkel [5], [6] hasonlítottuk össze.

7 TÉZISFÜZET 5 4. Új tudományos eredmények I. A turbulens örvénydiffúzió Czibere-féle parciális differenciálegyenletének [1] megoldásával numerikus eljárás kidolgozása két egymást nem metsző koaxiális forgásfelület által határolt forgásszimmetrikus térben kialakuló perdületmentes stacionárius turbulens nyíróáramlás sebességterének számítására. Az eljárás a lamináris áramlásra alkalmazott, az irodalomból ismert módszer kiterjesztése turbulens áramlás esetére. A módszer hatékonyságát más módszerekkel és a mérési eredményekkel való összehasonlítás mutatja. I.1. Az örvénydiffúzió differenciálegyenletét a kontinuitási egyenlettel kiegészítve nyert parciális differenciálegyenlet-rendszer megoldását - az új turbulens tag figyelembevételével - véges differenciák módszerével diszkretizált két lineáris algebrai egyenletrendszer numerikus megoldására vezettük vissza. A turbulens tagban szereplő domináns turbulens nyírófeszültséget a turbulencia-modell algebrai egyenletével számítottuk. A numerikus megoldás végrehajtására C nyelvű forráskód készült. I.2. A kidolgozott numerikus eljárás alkalmas: a) forgásszimmetrikus és perdületmentes lamináris áramlások sebességterének számítására; b) lamináris és turbulens kétdimenziós áramlások sebességterének meghatározására; c) forgásszimmetrikus illetve speciális esetben kétdimenziós potenciálos áramlások sebességterének számítására. II. Tekintettel arra, hogy ortogonális görbevonalú koordinátarendszert használunk és a diszkretizált lineáris algebrai egyenletrendszerekben fellépnek a koordinátavonalak görbületei, szükségessé vált egy alkalmas hálógeneráló eljárás kidolgozása, amely a hálózati pontok létrehozása mellett ezeket a görbületeket is szolgáltatja. II.1. Új numerikus eljárás kidolgozása kétdimenziós másodrendben folytonos ortogonális görbevonalú koordinátahálózat létrehozására iteráció alkalmazásával.

8 6 TÉZISFÜZET 5. Az eredmények hasznosítása, továbbfejlesztési lehetőségek Napjainkban a mérnöki feladatok elvégzésében nagy jelentőséggel bírnak a számítógépes szimulációk, mert a költséges és esetenként nem biztonságos mérési módszerekkel szemben a fizikai feladat peremfeltételeinek és jellemző paramétereinek változtatásával számtalan fontos probléma megvizsgálható. A kidolgozott numerikus eljárás alkalmazható forgásszimmetrikus térben kialakuló perdületmentes stacionárius áramlási feladatok megoldásának esetén. A kapott számítási eredmények más számítási módszerekkel és mérési eredményekkel jó egyezést mutatnak. A kidolgozott számítási eljárások áramlástechnikai gépek tervezésében és meridiánáramlások vizsgálatában hatékonyan alkalmazhatók. A jövőben ezért célszerűnek mutatkozik a kétdimenziós másodrendben folytonos ortogonális görbevonalú koordinátahálózat generáló eljárás háromdimenziós esetre történő kiterjesztése és a sztochasztikus turbulenciamodellt háromdimenziós áramlások számítására alkalmazni.

9 TÉZISFÜZET 7 6. Az értekezés témájában megjelent tudományos publikációk [P.1] Determination of the Trajectories on the Meridional Section of an Impeller, microcad'2000, International Computer Science Conference, Miskolc, pp Társszerző: Nyíri András. [P.2] Ortogonális trajektóriák meghatározása egy járókerék meridián-metszetében, Doktoranduszok Fóruma, Szekciókiadvány, Miskolc, pp [P.3] Determination of the Trajectories on the Meridional Section of a Mixed-Flow Hydraulic Machine, microcad'2001, International Computer Science Conference, Miskolc, pp [P.4] A Computational Method for Trajectories on a Meridional Section the Boundaries of Which are Given by Discrete Sets of Points, 3rd International Scientific Conference, Herl'any, Acta Mechanica Slovaca, 3/2001, pp Társszerző: Nyíri András. [P.5] Mesh Generation for the Meridional Section of a Mixed-Flow Hydraulic Machine with Given Discrete Points on its Boundary, 3rd International Scientific Conference of Ph.D. Students, Miskolc, pp [P.6] Ortogonális görbevonalú koordinátahálózat létrehozása tetszőleges perempontokkal adott meridiánsíkcsatornák esetén, Doktoranduszok Fóruma, Szekciókiadvány, Gépészmérnöki Kar, Miskolc, pp [P.7] Ortogonális görbevonalú koordináta-hálózat létrehozása, GÉP LIV. évfolyam, pp /1. [P.8] A New Mesh Generation Method for Meridional Section of Turbomachinery, International Conference of Water Service Science, Brno-Úbislav, pp [P.9] Fully-Developed Turbulent Pipe Flow Based on the Vorticity Transport, International Conference of Water Service Science, Brno-Úbislav, pp [P.10] Comparison of the Analytical and Numerical Solution of Fully-Developed Turbulent Pipe Flow, 4th International Scientific Conference of Ph.D. Students, Miskolc, pp

10 8 TÉZISFÜZET [P.11] Numerical Computation of Fully-Developed Turbulent Pipe Flow Based on the Streamfunction-Vorticity Formulation, The 12th International Conference on Fluid Flow Technologies, Conference on Modelling Fluid Flow (CMFF'03), Budapest, Hungary, pp [P.12] Numerical Computation of Fully-Developed Turbulent Channel Flow Based on the Streamfunction-Vorticity Formulation, 5th International Scientific Conference, Herl'any, Acta Mechanica Slovaca (ISSN ), pp / Hivatkozott irodalom [1] T. Czibere: Three Dimensional Stochastic Model of Turbulence, Journal of Computational and Applied Mechanics, Vol. 2., No. 1., pp [2] Czibere Tibor: Turbulencia Kutatások , Miskolci Egyetem, Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke, Miskolc-Egyetemváros, Kézirat, [3] J. Nikuradse: Gesetzmäßigkeiten der turbulenten Strömung in glatten Rohren, Forschungsheft 356, VDI-Verlag GMBH, Berlin NW7/1932, L [4] J. Laufer: The Structure of Turbulence in Fully Developed Pipe Flow, NACA Report 1147, [5] Szabó Szilárd: Modellalkotási példák az áramlás- és hőtechnikai tudományterületen, Habilitációs értekezés, Miskolci Egyetem, Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszéke, Miskolc-Egyetemváros, pp [6] Sz. Szabó, H. J. Kecke: Experimentelle Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung in einem strömungsmaschinen-typischen Kanal mittels Laser-Doppler-Velocimetrie (LDV), Technisches Messen, Vol. 68, pp [7] Nyíri András: Empírikus függvények simítása, Alkalmazott Matematikai Lapok, Bp. 6, [8] A. Nyíri: Surface Fitting and a New Direct Method for Solving Block Band Linear System, Computers and Mathematics with Applications, Vol. 38, pp