A MAXWELL-EGYENLETEK INTEGRÁLIS ALAKJA IDÔBEN VÁLTOZÓ FELÜLETEK ESETÉN II. RÉSZ

Átírás

1 kuttó tnár minôsítés elérésének segítése zzl, hogy jvsolj oktori iskoláknk tnári Ph eléréséhez szükséges témák kijelölését és gonozását Megolást keres olyn pulikációs lehetôségek megteremtéséhez, melyen megjelenô cikkek eszámíthtnk oktori feltételek közé Tnári továképzés szervezése (pélául ERN-e) álogtóverseny tnároknk Science on Stge nemzetközi konferencián vló részvételre következô Science on Stge konferenciát 25-en Lononn renezik fizikát népszerûsítô országos renezvények szervezése (pélául Fizik Npj) fizikát népszerûsítô intézmények, progrmok szkmi támogtás (pélául soák Plotáj, Fiziusz, Nnousz) tehetséggonozás segítése országos tnulmányi versenyek megrenezésével természettuományok tnításán fiziki ismeretek zonos értelmezésének elôsegítése Fiziki Szemléen megjelent cikkek figyelemevétele z ELFT áltl ott íjk és kitüntetések oítélésénél sökkenteni z ELFT tgíját és ezzel is lehetôvé tenni, hogy minél töen válllhssák tgságot Örömmel tájékozttjuk, hogy z ELFT elnöksége 24 jnuár 8-i ülésén úgy öntött, hogy tnárok számár csökkenti z éves tgíjt: z eigi 8 Ftról 5 Ft-r és így tová Ezeket és minen más ilyen feltot csk kkor tuj Társult htékonyn elvégezni és segíteni, h erôs hátország, tehát sok tgj vn, és nem monhtj senki, hogy csk fiziktnárok szûk rétegét képviseli Ezért kérjük keves kollégákt, hogy lépjenek e z Eötvös Lorán Fiziki Társult, és hívják fel mások figyelmét is ennek fontosságár, mert csk így lehet összefogássl közös munkánkt segíteni, fizik tnítását és ezen keresztül htékonyn szolgálni tnítványink érekét elépés mój és lehetôsége megtlálhtó z ELFT most megújuló honlpján ( upest, 24 jnuár 28 Üvözlettel: Kürti Jenô Zwowski lfré fôtitkár elnök MXWELL-EGYENLETEK INTEGRÁLIS LKJ IÔEN ÁLTOZÓ FELÜLETEK ESETÉN II RÉSZ Gnäig Péter ELTE Fiziki Intézet ikkünk I részéen megmutttuk, hogy Mxwellegyenletek integrális lkj iôen változó felületek, illetve zok mozgó htárgöréje esetén z lái móon néz ki: illetve μ E(r, t) v(r, t) (r, t) r t (r, t)f c v E r 2 j v F t E F (I 3) (I 3) fenti egyenleteken v felületi pontok, illetve htárgöre pontjink seessége, mi áltlán hely és z iô függvénye Néhány pél továikn néhány egyszerû (és kevésé egyszerû) pélán keresztül emuttjuk z inukciótörvény és gerjesztési törvény iôen változó felületekre történô lklmzását pél Homogén mágneses mezôen, z inukcióvektor síkjár merôlegesen egy kör lkú vezeték tlálhtó körvezetô sugr iôen változik, vlmilyen R(t ) függvény szerint (6 ár) Mekkor z inukált fe- E S ( t ) 6 ár ( t ) FIZIK TNÍTÁS 55

2 szültség z árán láthtó irányítottságú Γ(t )-nek megfelelô elôjelválsztássl? z inukciótörvény integrális lkj szerint U in t (E v )r t (r, t)f R 2 R(t) (t) π 2 R(t) π t Ugynezt z ereményt kpjuk, h körintegrált értékeljük ki: (E v )r v r R(t) 2 R(t) π t ( negtív elôjel göre irányításáól ere) 2 pél Mozogjon egy R sugrú, kör lkú vezetô (r) (kx, ky, 2kz) mgnetoszttikus kvrupólmezôen z tengely mentén (7 ár), rr merôlegesen (k egy konstns) ( t) v t x E z z ( t) ( t ) R y z inukált feszültség peig U in Φ(t) t 2kR 2 π ξ(t), t és ez megegyezik v körintegráljávl 3 pél Forgssunk egy és ollélû, tégllp lkú keretet homogén elektromos mezôen z E térerôsségre merôleges tengely körül ω szögseességgel, 8 árán láthtó móon vizsgált térrészen nincs mágneses mezô, ármok sem folynk és (kiegyenlítetlenül) töltések sincsenek jelen /2 ( t ) v 8 ár Hogyn lklmzhtó gerjesztési törvény mozgó tégllpr? mikor lp normálvektor ϕ ωt szöget zár e z elektromos térerôsséggel, z elektromos fluxus ennek iôeriváltj peig E v /2 Ψ(t) E cos(ω t), lesz z (I 3) egyenlet minkét ollán csk z E-t trtlmzó tgok nk járulékot, és zok egyenlôk, hiszen Ψ(t) t (v E)r E ω sin(ω t) 7 ár körvezetô síkjánk helyzetét jellemezze z ξ(t) függvény, ekkor vezetô minen rkájánk seessége z tengely irányú és v ξ(t) t ngyságú mágneses fluxus most Φ(t) (r)f z (z ξ(t)) R 2 π z ξ(t) 2 kr 2 πξ(t), 2 ω sin(ω t) 2 ω sin(ω t) E Ψ(t) t 4 pél Egy R sugrú göm elsejéen legyen homogén, e iôen változó sûrûségû töltéseloszlás: (r, t) f (t) töltéssûrûség csk úgy tu iôen változni, h elektromos ármok folynk Összhngn vn töltésmegmrássl pélául 56 FIZIKI SZEMLE 24 / 2

3 E ( r, t) 5 pél Írásunk I részéen említettük, hogy z (I 3) egyenlet l ollán szereplô integrnus értelmezhetô úgy is, mint Γ(t ) görével együtt mozgó megfigyelô áltl észlelt v E v R () t v t j(r, t) 9 ár f (t) r 3 t gömszimmetrikus ármsûrûség, mert teljesíti iv j kontinuitási egyenletet gömszimmetrikus, homogén töltéseloszlás elektromos tere is jól ismert, z is gömszimmetrikus: E(r, t) t 3 ε r f (t) (r < R ) izsgáljuk meg, hogyn teljesül gerjesztési törvény integrális lkj egy iôen változó R(t ) sugrú félgömre, melynek középpontj töltéseloszlás középpontjávl esik egye, és R(t )<R (9 ár) (I 3) l ollán vonlintegrálok eltûnnek, hiszen ése párhuzmos v-vel z elektromos fluxus szimmetrikus elrenezés mitt könnyen számolhtó: vgyis Ψ(t) Ψ(t) t Másrészt igz, hogy illetve j F 3 ε R(t) f (t) 2 π R 2 (t) ε f (t) ε f (t) t ε v F R(t) t 2 π 3 R 3 (t), f (t) R(t) 3 t f (t) 2 π 3 R 3 (t) 2 π R 2 (t) f (t) R(t) t 2 π R 2 (t), 2 π R 2 (t), tehát (I 3) jo ollán is null tgok összege mágneses mezô mennyien ez mezô (pontosn elôle számíthtó mágneses fluxus) iôen változik, kkor mozgó kontúrr fektetett (monjuk tégllp lkú) vezetô kereten elektromos körfeszültség jön létre, és ez egy voltmérôvel kimutthtó ( ár) v ( t ) ár E () r mágneses fluxus vezetô keret területével, keret seességével és z elektromos térerôsség átlgértékével rányos mágneses fluxus iôeli változását okozhtj z, h z elektromos mezô szttikus ugyn, e inhomogén, hiszen ilyenkor z egyenletes seességgel mozgó keret egyre erôse (átlgos) elektromos tére kerül, mint zt ár muttj kerettel együtt v seességgel mozgó voltmérô feszültséget mér, tehát zt muttj, hogy z elektromos mezô örvényes, nem konzervtív Ez még kkor is megeshet, h z ereeti koorinát-renszeren z elektromos térerôsség iôtôl független, konzervtív (tehát elektroszttikus) mezô volt, és mágneses tér egyáltlán nem volt jelen Tekintsünk egy konkrét, könnyen végigszámolhtó pélát! Legyen keret egy területû tégllp, mely z síkn árán láthtó helyzeten tlálhtó egy elektroszttikus kvrupólmezôen: λ y, λ x, E z (λ állnó) (5) Ez mezô forrásmentes (iv E ) és örvénymentes (rot E ), tehát jogosn monhtjuk, hogy vizsgált FIZIK TNÍTÁS 57

4 y + y y x ár térrészen sem mágneses mezô, sem ármok, sem peig elektromos töltések nincsenek jelen ( (5) képletekkel megott elektromos mezô Φ(x,y) λ xy potenciálfüggvény negtív grienseként állíthtó elô, és Φ(x,y) kielégíti homogén Lplceegyenletet) H erre most még nyuglomn levô keretre kiszámítjuk z elektromos térerôsség körintegrálját, természetesen nullát kell kpjunk z árán z elektromos térerôsségnek csk zt komponensét tüntettük fel, melyik z integrálás során járulékot : E r E r E r E r x Láthtó, hogy tégllp szemközti ollélei mentén vett integrálok mezô inhomogenitás mitt nem ejtik ki egymást, sem (6) és (7) összege, sem peig (8) és (9) összege nem null, teljes körintegrál zonn összhngn mezô konzervtív voltávl természetesen eltûnik Mozogjon most keret egyenletes v seességgel z y tengely irányán! kerettel együtt mozgó renszeren észlelhetô mágneses tér z tengely irányú (tehát z ár síkjár merôleges), és y y x λ y, (6) x x y y x λ y, (7) x y x x y λ x, (8) y y x x y λ x (9) y ngyságú, hol Δy vizsgált pontnk keret lsó szélétôl mért távolság Eszerint kereten inukálóó körfeszültség x + (t) v λ v y Δ y v t x U Δ (t) Δ t λ v 2 (2) (z utolsó lépésen kihsználtuk, hogy (t ) ngyság ugyn helyfüggô, e z iôegységre esô változási seessége keret minen pontján ugynkkor) zt tlán meglepô ereményt kptuk, hogy egy konzervtív elektroszttikus mezôen is inukálóht feszültség, h zárt göre mozog een z (inhomogén) mezôen Tehát z tuljonság, hogy egy elektromos erôtér konzervtív-e vgy sem nem szolút, hnem megfigyelô mozgásállpotától függ, még kkor is, h minkét megfigyelô inercirenszeren fogll helyet, tehát egymáshoz képest egyenletes seességgel mozognk Tnulságos lehet ezt kérést másik ollról, vezetôvel együtt mozgó vontkozttási renszerôl is megvizsgálni Ehhez tér- és iôkoorináták, vlmint z elektromos és mágneses térerôsségek korrekt reltivisztikus trnszformációs képleteit kell lklmznunk H vesszôs szimólumokkl jelöljük keret nyuglmi renszerének koorinátáit és térerôsségkomponenseit, kkor megfelelô képletek: vlmint x x, y y v t, t v 2 v 2, t v y v 2 (z utolsó sorn kihsználtuk, hogy vesszôtlen renszeren nincs mágneses tér, ) fenti képletek és (5) lpján kiértékelhetjük keret négy ollán z elektromos térerôsség integráljit veszszôs renszerôl is egy ott (monjuk t ) pillntn: x E r λ x E r x x y y x y, v 2 y y x λ y, v 2, (6) (7) 58 FIZIKI SZEMLE 24 / 2

5 y E r y y E r S ( t ) x x y λ x, y λ x x x y 2 ár E ( t ) 2r (8) (9) (6) és (7) összege tér inhomogenitás mitt most sem null, e z összeg még egy /( v 2/ ) -es tényezôt is trtlmz vesszôtlen renszereli járulékokhoz képest Ez tényezô két helyrôl szármzik: mozgásirányú térkoorinát Lorentz-kontrkciós fktoráól és mozgásirányr merôleges elektromos térerôsségkomponens trnszformációs szályáól ere Ugynilyen tényezôk (8) és(9) integrálokn nem jelennek meg, mert ott mozgásirányr merôleges térkoorinát és z elektromos térerôsség mozgásirányú komponense szerepel, ezek egyike sem trnszformálóik Láthtó, hogy körintegráln szereplô 4 tg kényes egyensúly mozgó renszeren már nem teljesül, és végül voltmérô áltl muttott feszültségre U λ E r v 2 E r E r óik, összhngn (2)-szl (z utolsó lépésen elhnygoltuk v 2/ -et z mellett, korán peig nem törôtünk keret méretének Lorentz-kontrkciós tényezôjével; ezek közelítések korái megfontolásink pontosságávl összhngn állnk) Reális tok mellett U igen kicsi érték, e elven mérhetô λ λ v 2 E r 6 pél efejezésként vizsgáljuk meg z pélán szereplô elrenezés elektromos megfelelôjét! Homogén elektromos mezôen, térerôsségre merôleges síkn egy kör lkú Γ göre tlálhtó Legyen ez göre korái péláinktól eltérôen nem csupán mtemtiki sztrkció, hnem vlmilyen móon megvlósított fiziki relitás Ez lehet pélául egy vékony, 2r átmérôjû csô, melyet kör lkr hjlítunk, tehát egy tóruszt hozunk létre elôle tórusz középkörének sugr iôen változzék vlmilyen R (t) függvény szerint (2 ár); változttás techniki megvlósításávl itt most nem fogllkozunk mágneses körfeszültséghez csk z elektromos fluxus iôeli változás járulékot: U mágn c v E 2 r t E(r, t)f t c R 2 2 (t) π E 2R(t) π E R(t) t U mágn -t (pontosn nnk iôeli változását) ki is lehet mérni kéréses mennyiség táguló körvonl egyes rkáivl együtt mozgó megfigyelô áltl észlelt mágneses inukció körintegrálj: U mágn (t)r (t) 2 π R(t), honnn mágneses térerôsség: (t) (t) R(t) E t (Feltételezzük, hogy r << R (t), emitt hely szerinti változásától tórusz elsejéen eltekinthetünk) E 3 ár H táguló, iôen változó középkör-sugrú tóruszr N menetes tekercset csévélünk (3 ár), és lehetôvé tesszük, hogy menetek távolság követni tuj R (t) változását, kkor tekercsen összesen Φ(t) N (t) r 2 π N lesz mágneses fluxus Úgy véljük, hogy mágneses fluxus változás Fry törvénye szerint glvnométerrel mérhetô feszültséget ereményez: U elektr Φ(t) t r 2 π R(t) E t N r 2 π E 2 R(t) t 2 Reális tok mellett U elektr itt is igen kicsi érték, e elven mérhetô FIZIK TNÍTÁS 59

6 Ugynez jelenség egy még jon leegyszerûsített elrenezésen is tárgylhtó Mozgssunk egy r sugrú körvezetôt ( tóruszr csévélt tekercs egyetlen menetét) sját síkján állnó gyorsulássl H gyorsulásr merôlegesen, e ugyncsk vezeték síkján E ngyságú homogén elektromos mezô is jelen vn, kkor fentiek logikáját követve körvezetôen feszültség megjelenését várjuk (S r 2 π körvezetô- re fektetett síklp területe) Megnyugttó lenne ezt z állítást (z 5 pélán leírtkhoz hsonlón) oly móon ellenôrizni, hogy eleülünk körvezetôvel együtt mozgó koorinát-renszere, és ott számoljuk (vélhetôen örvényessé váló) elektromos tér körintegrálját Itt zonn egy komoly nehézséggel kerülünk szeme: kéréses koorinát-renszer nem inercirenszer, melyen Mxwell-egyenletek nem megszokott lkn érvényesek prolém elemzése z áltlános reltivitáselmélet keretei között végezhetô csk el, ez zonn meghlj cikk ereeti célkitûzéseit és szerzô ez irányú felkészültségét Összefogllás U E z elektroinmik törvényei ifferenciális és integrális lkn is megfoglmzhtók, és z utói leírás még kkor is lehetséges, h mágneses és elektromos fluxust iôen változó felületekre számítjuk ki Ennek zonn ár vn: vonlintegrálokn nem csk z egyik térerôsség szerepel, hnem mozgás mitt megjelenik mágneses, illetve elektromos Lorentz-erô járulék is; gerjesztési törvényen peig z ármok számításánál töltéshorozók felülethez viszonyított (reltív) seességével kell számolnunk z integrális Mxwell-egyenletek (I 3) és (I 3) lkjánk levezetésénél sehol nem hsználtuk ki, hogy S felület seessége milyen ngyságú fényseességhez viszonyítv, tehát z egyenletek kár reltivisztikus seességeknél is lklmzhtók ( körintegrálok körfeszültségként, tehát munkvégzésként vló értelmezése zonn már csk kvázistcionárius közelítésen vihetô végig Ugyncsk prolemtikus z együtt mozgó koorinát-renszerek hsznált, h túl krunk lépni Glilei-trnszformáció keretein) Felmerül kérés: mi lehet z ok nnk, hogy míg Fry-féle inukciótörvényt minen tnkönyv és elektroinmik kézikönyv megfoglmzz iôen változó felületekre is, ig gerjesztési törvény megfelelô lkjáról nem tesznek említést Feltehetôen z elektromos töltés létezése és mágneses monopólus hiány okozz ezt z szimmetriát z iôen változó helyzetû zárt göre mentén mozgás hozhtó elektronok fizikilg megvlósíthtó helyzetet írnk le (pélául egy villnymotor forgórészét), és létezik olyn mûszer ( voltmérô), mely mérni tuj teljes elektromotoros erô körintegrálját, vgyis körfeszültséget H léteznének mágneses monopólusok, melyek vlmilyen mágneses vezetéken mozogni tunánk, és lenne olyn mûszerünk ( mágneses voltmérô ), melyik teljes mgnetomotoros erô körintegrálját, vgyis mágneses körfeszültséget muttná, kkor vélhetôen kézikönyvek ugynolyn részletességgel tárgylnák gerjesztési törvény áltlános megfoglmzását, mint mi könyvek z inukciótörvényét tpsztlt szerint zonn nem ez helyzet! mágneses monopólusok mi tuásunk szerint nem léteznek Természeten, emitt mágneses körfeszültség irekt móon nem, csk közvetett úton mérhetô Köszönetnyilvánítás cikken leírt prolémkör vizsgáltát Kopp Pálll (ME) folyttott eszmecsere inított el részleteket tö kollégámml megvitttm, és eközen lehetôségem nyílt megfoglmzás finomításár Különösen hálás vgyok Hrskó Péternek (PTE) hosszs, lpos iszkussziókért és értékes tnácsiért, vlmint Szos Lászlónk (Wigner FK) és Etesi Gáornk (ME) z áltlános reltivitáselmélet és z elektroinmik kpcsolóási pontjink elemzéséért Tníts meg iákjink! Töltse le! Nézze meg! Muts meg másoknk! Hogyn érkezett uriosity Mrsr? N ÚJ Keres fizikiszemlehu mellékletek menüpontján! F ÖL FELETT 6 FIZIKI SZEMLE 24 / 2