Időben változó elektromos erőtér, az eltolási áram

Átírás

1 őben változó elektromos erőtér, az olási áram Ha az ábrán látható, konenzátort tartalmazó áramkörbe iőben változó feszültségű áramforrást kapcsolunk, akkor az árammérő áramot mutat, annak ellenére, hogy az áramkör nem zárt (a konenzátor? lemezei között nincs ető). Ennek az az oka, hogy a konenzátorra kapcsolt feszültség változása a rajta lévő? töltés megváltozásával jár, vagyis a konenzátorba befolyó illetve onnan kifolyó töltések áramlását észleljük. Mivel a (t) (t) ető szakaszokon áram folyik, természetesnek tűnik, hogy a ető körül minenütt kialakul egy mágneses erőtér, amely iőben változik, e az inukcióvonalak a U(t) szokásos képet mutatják (ábra). Felmerül a kérés, hogy van-e ilyen mágneses erőtér a konenzátor lemezei között. tapasztalat azt mutatja, hogy a lemezek közötti térrészben ugyanolyan jellegű mágneses erőtér jön létre, mint a ető körül, annak ellenére, hogy itt nyilvánvalóan nem folyhat szokásos értelemben vett elektromos áram (nincsenek töltéshorozók). Ha viszont nincs elektromos áram, akkor vajon mi ki a mágneses erőteret? Ha a létrejött mágneses erőteret vizsgáljuk, akkor úgy látszik, mintha az áramkör mégis zárt lenne, hiszen a mágneses erőtér minenütt megjelenik. lemezek közötti térrészben tehát kell lenni valamilyen mechanizmusnak, amely ugyanolyan hatást k, mint a valói áram. Ezzel kapcsolatban két fontos megállapítást tehetünk: z egyetlen olog, ami a lemezek között történik, az az elektromos erőtér változása, vagyis a jelenségnek ezzel kell kapcsolatban állnia. z elektromos erőtér változásának oka az, hogy a konenzátor lemezein változik az elektromos töltés. Mivel a lemezeken lévő töltés változása szoros kapcsolatban áll a etőben létrejött árammal, lehetőség nyílik arra, hogy kitaláljuk a lemezek közötti térben létrejött áramot formálisan megaó összefüggést. Számítsuk ki az elektromos erőtér változása és a etőben folyó áram közötti összefüggést egy egyszerű moell-áramkör segítségével, amelybe egy síkkonenzátort kapcsoltunk be. etőben folyó áram és a konenzátor töltésének változása között fennáll az Q QC = = összefüggés, hiszen a ető egy keresztmetszetén iő alatt az a Q = QC töltés folyik át, ami a konenzátor lemezére áramlott (vagy onnan ávozott). etőben folyó áram a fenti összefüggés segítségével kifejezhető a konenzátor lemezein Q lévő σ = C töltéssűrűséggel ( a lemezek felülete): QC σ = = Másrészt tujuk, hogy homogén, izotróp, lineáris ielektrikummal kitöltött síkkonenzátorban az elektromos térerősség σ σ E = =. ε ε ε r Ezzel a etőben folyó áram az σ E = = ε

2 2 alakba írható. Ha a konenzátor mágneses erőterére vonatkozó tapasztalatunk alapján fételezzük, hogy a konenzátort tartalmazó áramkör is zárt, akkor a lemezek közötti térrészben ugyanekkora áramot kell fételeznünk. fenti kifejezés ennek az áramnak a megaására alkalmasnak látszik, mert azon kívül, hogy a kívánt nagyságú áramot aja a lemezek közötti térrészben bekövetkező térerősség-változással van kapcsolatban. z így beetetett nem töltésmozgással kapcsolatos áramot történeti okok miatt olási áramnak neik, amit az E = = ε összefüggéssel ahatunk meg. tapasztalat azt mutatja, hogy az itt tárgyalt jelenség és a kapott összefüggés nem csak síkkonenzátort tartalmazó áramkörben igaz, hanem általánosabban is: a változó elektromos erőtér olyan hatást fejt E ki, mint az elektromos áram, vagyis ha valahol változik az elektromos térerősség, akkor ott mágneses erőtér jön létre, amelynek inukcióvonalai a térerősség változását megaó vektort úgy veszik körül, mint a valói elektromos áramot az általa kett inukcióvonalak. z elektromos térerősség változása és az inukcióvonalak iránya közötti összefüggés sematikusan az ábrán látható. z olási áram létezése azt jelenti, hogy az elektromos- és mágneses erőtér egyfajta szimmetriát mutat: a mágneses erőtér változása elektromos erőteret-, az elektromos erőtér változása mágneses erőteret k. Ez a szimmetria teszi lehetővé, hogy egy elektromos vagy mágneses zavar (erőtér-változás) a térben tovaterjejen, és elektromágneses hullám jöjjön létre. z olási áramra kapott kifejezés általánosabb alakba is írható, ha figyelembe vesszük, hogy abban az elektromos térerősség fluxusának Φ E = E megváltozása szerepel: E Φ E = = = ε ε ε E. kifejezés tovább egyszerűsíthető, ha beetjük az elektromos olás vektorát a homogén, izotróp, lineáris ielektrikumokra érvényes = εe összefüggéssel. Ekkor az olási áramra azt kapjuk, hogy Φ = =. Vagyis az olási áram az olási vektor fluxusának változási sebességével aható meg. (z olási áram elneés egyébként éppen innen származik.) tapasztalat szerint ez az Φ összefüggés nem csak az itt fételezett = µ egyszerűsítő fevések esetén használható, hanem általában is érvényes. z olási áram beetésével a hagyományos értelmezés szerint r = µ megszakítottnak számító áramkörök is = µ zártaknak tekinthetők, és a gerjesztési törvény r egy áramkör tetszőleges helyén (a

3 3 megszakításnál is) ereeti alakjában érvényes, ha ott a törvényben áramként az olási áramot írjuk be (ábra). fenti kifejezés egyébként irány szerint is helyesen aja meg az áramot. Ha a gerjesztési törvényben a zárt görbék körüljárását az ábrán látható móon választjuk meg, akkor az áramok pozitívnak számítanak. Ha az olási vektor fluxusának számításakor a felületvektort most is a Faraay enz-törvénynél alkalmazott megállapoás szerint irányítjuk, akkor az elemi felületvektorok az felületen jobbra mutatnak. Mivel a konenzátor balolali lemezére pozitív töltések érkeznek, az olási vektor megváltozása is jobbra mutat, vagyis >. Ebből következik, hogy az olási vektor fluxusának változása: Φ >, ezért az olási áram is pozitív. Mivel a kétféle áram együtt is felléphet, a gerjesztési törvény általános alakja Φ = µ ( ) = µ µ. tt az zárt hurok által körülöl áramok előjeles összege, peig az elektromos erőtér változása miatt esetleg fellépő olási áramot jelenti. Ha beetjük a H mágneses térerősséget (homogén, izotróp, lineáris anyagokban = µ H), akkor a törvény a Φ H = alakot ölti. gerjesztési törvénynek ez az alakja nem csak az itt fételezett egyszerűsítések esetén, hanem általában is érvényes. Ha az áramerősséget az áramsűrűséggel fejezzük ki, akkor a gerjesztési törvény újabb alakját kapjuk: H = j. Ha az hurok iőben állanó alakú, akkor az integrálás és a ifferenciálás sorrenje felcserélhető, és az integrálok összevonhatók. Ekkor a törvényt a H = j alakba írhatjuk. átható, hogy az olási áram sűrűsége a j = összefüggéssel aható meg, amivel a gerjesztési törvény a H = ( j ) j alakba is írható. ***************** ******************* ********************** Ha figyelembe vesszük az elektromos olás = ε E P e efiníciós egyenletét, akkor az olási áramsűrűség a E P j = ε e

4 4 alakba írható. Ez azt jelenti, hogy az olási áram létrejöttében szerepet játszik a jelenlévő anyag is, hiszen a polarizáció változása is olási áramot okoz és mágneses erőteret k. Ezt az áramot polarizációs áramnak neik. ***************** ******************* ********************** z elektromágnességtan alapegyenletei integrális alakban (Maxwellegyenletek) z elektromos és mágneses erőtér vizsgálata során kierült, hogy a két erőtér egymással igen szoros kapcsolatban áll (minkettőt elektromos töltések hozzák létre, egyik erőtér változása létrehozza a másikat), ezért a két erőteret elektromágneses erőtérnek, a velük kapcsolatos jelenségeket elektromágneses jelenségeknek-, az ezeket vizsgáló tuományterületet peig elektromágnességtannak neik. z elektromágneses erőtér jellemzésére különböző térmennyiségeket (E, P e,,, P m, H) ettünk be, és az elektromágneses erőtér különböző megnyilvánulásait általános törvények alakjában foglaltuk össze. Ezek az általános törvények, amelyeket kiolgozójuk, J. C. Maxwell tiszteletére Maxwell-egyenleteknek nenek, az összes elektromágneses jelenséget leírják, az elektromágneses térre vonatkozó összes speciális törvény (pl. Coulomb-törvény, iot Savart-törvény) ezekből leethető. Most egyelőre integrális alakjukban összefoglaljuk a Maxwell-egyenleteket és a hozzájuk csatlakozó kiegészítő összefüggéseket. z egyenletek felírásánál először csak az E,, és a P e, P m mennyiségeket alkalmazzuk, és nem etjük be a elektromos olást és a mágneses térerősséget. Φ. E = vagy részletezve E = (tt az zárt hurok által bezárt felületet jelenti) Ez az egyenlet egyrészt azt fejezi ki, hogy a mágneses inukcióvektor fluxusának változása az elektromágneses inukció olyan inukált elektromos erőteret hoz létre, amely nem konzervatív. Megjegyzés: E mennyiséget az E erőtér örvényerősségének neik. Ha ez nulla, akkor az erőteret örvénymentesnek-, ha nem nulla, akkor örvényesnek neik. z elneés azzal függ össze, hogy amint kimutatható örvényes erőtérben az erővonalak lehetnek zárt hurkok, az örvénymentes erőtérben viszont ez nem lehetséges. z örvényerősség fogalmát felhasználva azt monhatjuk, hogy az inukált elektromos erőtér örvényes, erővonalai lehetnek zárt hurkok (és tapasztalatból tujuk, hogy valóban azok). Másrészt abban a speciális esetben, amikor a térmennyiségek iőben állanóak, az egyenlet jobbolalán nulla áll: E =, vagyis visszakapjuk az elektrosztatika. alaptörvényét. lyenkor az erőteret elektromos töltések hozzák létre, és ez a sztatikus elektromos erőtér konzervatív és örvénymentes, vagyis erővonalai a tapasztalattal összhangban nem lehetnek önmagukba záróó vonalak. z. törvény akkor is igaz, ha egyiejűleg minkét fajta elektromos erőtér jelen van.

5 5 ********************** ************************* ********************** Q E = Pe vagy részletezve ε ε E = ρv Pe ε ε (tt V az zárt felület által bezárt térfogatot jelenti) Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy a töltések által kett elektromos erőtér térerősségvonalai töltéseken kezőnek és töltéseken végzőnek. Ezek a töltések lehetnek szaba töltések (Q), vagy polarizációs töltések, amelyeknek járulékát az egyenlet jobbolalán álló a P e elektromos polarizáció vektor által meghatározott másoik tag aja meg. Megjegyzés: E mennyiséget az elektromos erőtér forráserősségének neik. Ha ez nulla, akkor az erőteret forrásmentesnek-, ha nem nulla, akkor forrásosnak neik. Kimutatható, hogy forrásos erőtérben az erőtér vonalai valahol kezőnek vagy végzőnek, forrásmentes erőtérben viszont nincs kező- és végpontjuk, lehetnek pl. önmagukba záróóak. forráserősség fogalmát használva a töltések által kett elektromos erőtér forrásos. Ebben az egyenletben nem jelenik meg az elektromágneses inukció által kett, inukált elektromos erőtér, hiszen töltések hiányában E =. Ez azt jelenti, hogy az inukált erőtér erővonalai nem kezőnek és nem végzőnek sehol. z. törvényt is figyelembe véve, levonható az a következtetés, hogy az inukált elektromos erőtér erővonalai önmagukba zárónak. szokásos elneést használva, az elektromágneses inukció által kett, inukált elektromos erőtér örvényes és forrásmentes. ********************** ************************* ********************** m e vagy részletezve = µ j µ Pm µ ( ε E Pe ). = µ µ P µ ( ε E P ) (tt az zárt görbe által határolt felületet jelenti) Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy a mágneses inukcióvektor a valói áramokkal, a mágneses ipólusokkal, az elektromos térerősség- és az elektromos polarizáció fluxusának változásával hozható összefüggésbe, az inukcióvonalak lehetnek zárt hurkok (tapasztalatból tujuk, hogy tényleg azok). Fontos része a törvénynek, hogy tükrözi azt a tapasztalatot is, hogy az elektromos erőtér változása mágneses erőteret hoz létre. z örvényerősség fogalmát használva azt monhatjuk, hogy a mágneses erőtér örvényes. ********************** ************************* ********************** V. = V

6 6 Ez a törvény azt mutatja, hogy az inukcióvonalak sehol nem kezőhetnek vagy végzőhetnek.. törvénnyel együtt ez azt jelenti, hogy csak önmagukba záróhatnak, ami egybevág a tapasztalatokkal. z örvényerősség és forráserősség fogalmát használva azt monhatjuk, hogy a mágneses erőtér örvényes és forrásmentes. Ha beetünk két újabb térmennyiséget, akkor a Maxwell-egyenletek egyszerűbb és sok esetben praktikusabb formába írhatók át. Fontos azonban tununk, hogy az egyenletek enélkül is teljes értékűek, az új mennyiségek beetése nem kötelező, csak sokszor előnyös. két új térmennyiség az elektromos olás- () és a mágneses térerősség (H) vektora, amelyeknek efiníciós egyenletei, az ún. anyagi egyenletek az alábbiak: = ε E Pe = µ ( H Pm ). Ezekkel a Maxwell-egyenletek a következő alakot öltik:. E =.. H = Q = V. = Ezekből az egyenletekből kierülnek a két új térmennyiség sajátságai: z olási vektor forrásai a Q valói töltések, az anyag jelenlétében megjelenő elektromos ipólusok viszont nem hoznak létre elektromos olást. mágneses térerősség az valói áramoktól vagy az elektromos olás fluxusának változásából származhat, e az anyag jelenlétében megjelenő mágneses ipólusok nem hoznak létre mágneses térerősséget. és H beetésének éppen az az előnye, hogy közvetlenül egyiket sem befolyásolja az anyag jelenléte 1. Homogén, izotróp, lineáris anyag esetén az anyagi egyenletek egyszerűsönek: = ε ε re = εe = µ µ H = µ H. r 1 vizsgált térrésznek anyaggal való kitöltése közvetlenül valóban nem változtatja meg a és H vektorokat, e azok mégis megváltozhatnak, ha az elrenezés olyan, hogy az anyag megjelenése a valói töltéseket illetve a valói áramokat megváltoztatja. illetve H vektorok csak bizonyos, speciális elrenezésekben maranak változatlanok az anyaggal való kitöltés során. Ez a helyzet pl. akkor, ha egy ieális síkkonenzátort illetve ieális tekercset homogén, izotróp anyaggal töltünk ki (mint tujuk, E és ezekben az esetekben is függ a teret kitöltő anyagtól).

7 7 Ezzel a Maxwell-egyenletek is egyszerűbbé válnak, mert az anyag jelenlétének hatását a P e és P m vektorok helyett az ε r és µ r anyagállanókkal vesszük figyelembe. Ha az egyenleteknek csak az E és vektorokat tartalmazó alakját használjuk, akkor ebben az esetben azt kapjuk, hogy. E =.. 1 E = ε V ρv = µ j µε E V. = z egyenletek tovább egyszerűsíthetők, ha csak etési áramok vannak. lyenkor az áramsűrűség is kifejezhető az elektromos térerősséggel, ha felhasználjuk a j = γe anyagi egyenletet.