Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej"

Lídia Horváthné
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej Denicja. Heinego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie) Niech 0 R oraz niech f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie S 0 ) punktu 0. Liczb g nazywamy granica wªa±ciw funkcji f w punkcie 0, co zapisujemy wtedy i tylko wtedy, gdy f) = g, 0 {n} S 0 ) [ n = 0 ) f n ) = g) )]. Denicja. Warunek Heinego na ci gªo± funkcji w punkcie) Funkcj f : D R, D R nazywamy ci gª w punkcie 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy n:n D n = 0 f n ) = f 0 ). Denicja. nieci gªo± I rodzaju:) Funkcja f posiada w punkcie 0 nieci gªo± pierwszego rodzaju typu: a) skok, gdy: b) luka, gdy: f) f), f) = f) f 0 ). Denicja. nieci gªo± II rodzaju) Funkcja f posiada w punkcie 0 nieci gªo± drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic f), f) nie istnieje lub jest niewªa±ciwa. Twierdzenie. Twierdzenie Darbou) Funkcja ci gªa okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych przyjmuje ka»d warto± po- ±redni pomi dzy dwoma swymi warto±ciami. Granice podstawowych wyra»e«nieoznaczonych: tg a a) =, b) =, α > 0 c) = ln a, a > 0 log d) a +) = log a e, 0 < a e) + a ± ) = e a, a R f) + ) = e +) g) a arc arctg = a, a R h) = i) = Inne przydatne wzory: a) sin α = sin α cos α, b) cos α = cos α sin α, c) sin α = cos α, d) cos α = +cos α, e) sin α + sin β = sin α+β cos α β α β, f) sin α sin β = sin cos α+β, g) cos α cos β = sin α+β sin α β, h) cos α = sin α) i) a b = a b)a + b), j) a b = a b)a + ab + b ).

2 Zadania. W oparciu o denicj Heine'go granic funkcji wykaza,»e: a) 9 = 6 b) +8 + = c) = d) = Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie 0 = lub uzasadnij,»e granica ta nie istnieje:. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punkcie 0 = lub uzasadnij,»e granice te nie istniej :. Wykaza na podstawie denicji Heine'go,»e nie istniej granice funkcji: a), b), c) cos, d) sin, e).

3 5. Korzystaj c z twierdze«o arytmetyce granic, obliczy podane granice funkcji o ile istniej ): 5 + a) b) c) 8 + d) + 5 e) + 6 f) g) 8 h) 5 i) j) k) + l) ) + + m) n) + o) sin 6 sin 5 sin p) q) r) sin cos s) v) y) b) e) h) sin t) cos cos cos u) cos ) sin ) ) ) sin sin 5 w) + ) z) + +5) a) ) ) c) d) 7 + tg f) ln+) e g) arcsin arcsin i) sin 5 log 7 arctg e 6. Korzystaj c z twierdzenia o trzech funkcjach wykaza : a) + = b) ) cos cos = 0 c) 7. Korzystaj c z twierdzenia o dwóch funkcjach wykaza : a) + + cos = b) = Zbada, obliczaj c granice jednostronne, czy istniej podane granice: + a) b) c) d) [] 9. Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s ci gªe: 5 [] 5 =.

4 0. Okre±l rodzaje nieci gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie 0 = :. W oparciu o denicj Heine'go ci gªo±ci funkcji wykaza ci gªo± poni»szych funkcji we wskazanych punktach: { a) f) = + ; 0 =, b) f) = ; dla ; dla > 0 =.. Zbadaj ci gªo± funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci gªa okre±l rodzaj nieci gªo±ci w punktach nieci gªo±ci. Sporz d¹ szkic funkcji: { a) f) = + dla > 0 dla 0 b) f) = dla 0 < dla 0 log dla < < c) f) = { dla dla = d) f) = { + dla 0 0 dla = 0 e) f) = { ; dla 0 0; dla = ); dla g) f) = 6 5; dla < < ; dla f) f) = h) f) = { ; dla R {, } ; dla {, } { sin ; dla 0 ; dla = 0

5 . Dobra parametry { a, b tak, aby podane funkcje byªy ci gªe na caªej swojej dziedzinie: { + dla a) f) = a + dla < b) f) = a dla = + + dla c) f) = e) f) = { a + dla + b dla > { + ; dla 0 a; dla = 0. Wykaza,»e dla dowolnych licz rzeczywistych a > b > c funkcja ma co najmniej dwa pierwiastki. dla [0; ) d) f) = a dla [; 0) 8) + + b dla [0; 0) f) = a + b + c 5. Uzasadni,»e funkcja f) = przyjmuje warto± w = 0 na przedziale D = [, ]. 6. Pokaza,»e równanie sin cos = 0 posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale D = [ 6 ; ]. 5

Hasonló dokumentumok

Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej

Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej Denicja. (Heinego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie) Niech 0 R oraz niech f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie S( 0 ) punktu 0. Liczb g nazywamy