Problémamegoldás a fizikában

Átírás

1 Dr. Wiedema Lászó Probémamegodás a fizikába (kiegészítő ayag)

2 Probémamegodás a fizikába Módszertai bevezető A következő taumáy céja kettős: egy kokrét fizikai probéma bemutatása és eemzése, másrészt ismert taítási-módszertai ejárások bemutatása a tárgyaásra kerüő probéma áta. Tekithető a fizikai probéma oy módo is, hogy modekét szogá a taítási-módszertai evekhez, jeeeg em középiskoás ívó. A tauás szűk, de fotos sávja a probémamegodás. Hogy középiskoások tauak-e órá vagy szakkörö, vagy átfogóbb tauásró, magasabb szitű eemzésekrő va-e szó, ebbe a kérdésbe a tauásak eze a sávjá, vagyis a probémamegodás terüeté em éyegi, haem fokozati küöbség érvéyesü csupá. A sorra kerüő módszertai evek érvéyesítése ehetővé teszi, hogy egy csokorba köthessük küöböző méységbe tárgyat kokrét fizikai jeeségeket. A módszertai tudás küö kísérője ehet a szakmai tudásak, meye eérhető a szakayag viágos prezetációja. E tekitetbe tauó, taár vagy művet érdekődő kedvve járhatja a módszertai tudás épcsőit. A következőkbe fotosak tartott módszertai mometumokat emeük ki, meyek a soro következő probéma kezeésébe, aak megodásába is akamazást yertek. Egy godoatsor eejé már epoái ke egy miimum szitet a tárgyaásba, mey meghatározza a fedogozás méységét. Pédáu az ismeretterjesztés ehet miimum szit. A kérdést az eseteges kezdeti umerikus megközeítése tú átaáosságba ke fetei. Akamazzuk kezdő épéskét kvaitatív bevezetést, ami potos fogaom-körüírásra késztet. A probémamegodás közpoti eeme a matematikai áttét, a matematikai megfogamazás és tárgyaás. Eőször egy megodást ke kidogozi, és ezt szigorú matematikai eszköztárra. Eze beü ajáatos ejárások ehetek: A megodás diszkussziója, ami eőször matematikai diszkusszió, majd eek aapjá a fizikai kép megakotása. Ez az egyes paraméterek fizikai értemezéséve törtéik szerepük feismeréséve. Ha csak ehet, tegyük szeméetessé az eredméyeket vizuáisa is, rajzba is. Fotos a korrespodeciák vizsgáata. Eze az értedő, hogy a paraméterek kritikus értékeive, vagy azok határértékei meett az adott probéma átmegy a megfeeő aaóg, egyszerűbb probémába és a imes-véte utá a megodás is aak megodásába. Pédáu súródás ejtő, ezutá μ.

3 A modebe vaó godokodás hagsúyozása fokozza a reaitás éméyét. Midig ehatárot körüméyek között vizsgáhatuk adott probémát a fő ágesek figyeembevéteéve és a kisebb zavaró hatások kiiktatásáva. Így jö étre a mode, amey a vaóság éyegkiemeő torzítása. A modee keresztü jut e a vaóság tudatukba, és így ismereteik diamikus eemet tartamazak. A modeszeméetbe hagsúyozi ke, hogy a tőük függete, objektív vaóságró szerzük em végeges ismeretet. A fizikába vaó eőrehaadás közbe taácsos, ha távo tartjuk magukat a pozitivista attitűdtő. Ezt Pack úgy fejezi ki, hogy egy hipotézist ke teük, mey szerit em maguk az éméyeik akotják a viágot, ezek csupá hírökei egy másik viágak az objektív küviágak. Érdemes megmutati, hogy a modeszeméetek iye fiozófiai vetüetei is vaak. Ajáatos megvizsgái a megodás érvéyességi körét. Két éyeges odat ke kiemei: a fizikai és a matematikai odat. Potosa meg ke aduk a fizikai fetéteeket, meyeket figyeembe veszük, és ezek aapjá áítjuk fe a probéma differeciáegyeetét. Ha ezt sikerü egzaktu megodai, a megodás már akkor is csak az adott fetéteek meett érvéyes. Ejárásuk másik odaa a matematikai aaízis. Lehetséges, hogy magát a jeeséget eíró egyeet matematikai szempotbó is csak vaamiye közeítő ejárássa odható meg, p. egy függvéy Tayor-sorábó csak az eső három tagot vesszük figyeembe. Kompe probémáká így átaába kettős közeítésrő va szó. A közeítés ehayagoást jeet. Küö meg ke godoi, hogy miye ehayagoások egedhetők meg, hogy koverges egye ejárásuk. Eze az úto sokszor az ituíció segít. Utosókét: Térjük vissza az adott (kompe) probémára más odaró, keressük új megodást és mutassuk ki, hogy ez azoos az esőve. Megerősítő hatása va eek az ejárásak, és egybe esztétikai éméyt yújt. Dr. Wiedema Lászó 3

4 Probémamegodás a fizikába. Hõtai probémák. péda Egy hosszúságú, vízszites heyzetű zárt csőbe kezdetbe p yomású és T hőmérséketű ideáis gáz foga heyet. A cső faa hőszigetet. A gázt meegítei kezdjük oy módo, hogy a cső egyik végét T hőmérsékete, a másik végét T hőmérsékete tartjuk. (T > T ). Ha eég sokáig váruk, stacioárius áapot jö étre, vagyis a gázt jeemző paraméterek időfüggése etűik. Ez esetbe a hővezetési egyeet megodásábó az adódik, hogy a hőmérséket a cső meté ieárisa oszik e. Eegedő hosszú ideig várva, miye yomás- és sűrűségeoszás aaku ki a cső meté? Megodás: Heyezzük e az tegeyt a cső meté. Így a peremfetéteek: ;. Ezekke a jeeegi hőmérséketeoszás T T T T T T T T. () m A pv M RT áapotegyeetbő a meegítés eőtti áapotba a gáz sűrűsége M R p T. () ρ A femeegített, stacioárius áapotba tetszőeges heye a cső egy vékoy szeetére az áapotegyeet: dm pdv M RT ( ); ebbő ρ dm dv aapjá M ρ( ) R p. (3) T( ) Itt p a stacioárius áapotba a gáz új yomása. Fotos, hogy ez az heytő függete áadó ke egye, mive stacioárius áapotba a gáztérbe em ehet áramás; hey szerit vátozó yomás részecskeáramot hoza étre. A megodás ezek utá úgy adódik, hogy feírjuk; a gáz tömege ugyaaz a kezdő és a végáapotba: m Aρ (A a cső keresztmetszete) és m Aρ( d ). Ezek utá az (), (), (3) egyeetek aapjá: p p d. * T T T T * Itt az áapotegyeetet haszátuk fe. 4

5 Az itegrá kiszámítása utá a keresett yomás p, tehát áadó, és a hőmérséketeoszást () adja. T T p p és im p p, T T ahogy eie is ke. (Itt a L'Hospita-szabáyt ke akamazi.) T T p > p. péda Adott a stacioáris áapot T() hőmérséketeoszássa. Ezutá a csővégeket is hőszigetejük, így az egész cső hőszigetet esz. Meyi esz a beáó egységes hőmérséket? Megodás: Feírjuk a hosszúságú szeetek U beső eergiáit és összegezzük. U f p V U f pv a tejes eergia, f a gáz szabadsági foka. Mithogy U vátozata, miközbe beá az új hőmérséket, ezért az új yomás is marad p. Ezutá a kezdő áapotra és a mostai, T 3 hőmérséketű végáapotra is feírjuk az áapotegyeetet: m pv M RT 3 3 Ebbő Mithogy p > p, ezért T > T. 3 m pv M RT p T3. p T p p 3 T T T3, T T T T T T. T T 3. Egy parado heyzet Az eőbbiekbe arra jutottuk, hogy a ρ sűrűség stacioárius áapotba heyfüggő. Ugyaez átható az áapotegyeet p kt aakjábó is, mive p áadó és T T( ), az térfogati kocetráció pedig ρ-va aráyos. Ha heyfüggő, a diffúzió törvéyei következtébe beső diffúzióak keee feépie, az viszot már em stacioárius áapot. Jeeeg stacioárius áapotba hőáram va, de részecskeáram em ehet. Magyarázat az ehet, hogy Fick II. törvéye szerit az t D -be most időfüggés em évé t, így az, differeciáegyeetbő () ieáris függvéy 5

6 Probémamegodás a fizikába ee, de ez mégsem biztosítja a (3) egyeetbei ρ() kokrét aakját. E paradoo végü is így em szütethető meg. Az irreverzibiis termodiamika Osager-fée reációi adak magyarázatot. A vezetési egyeetek írják e a jeeséget. Jeeeg eergia- (hő)áramró és részecskeáramró va szó. A bevezetett termodiamikai erők együttese szabják meg a hőáramot és a részecskeáramot. A jeeség hasoít a termodiffúzióhoz, mive az egyes áramokat T és gradiesei hozzák étre, meyek a termodiamikai erőket szogátatják. Most azoba éppe azt ke kiköti, hogy ics diffúzió, bár grad em zérus. E furcsa heyzetet megegedik a vezetési egyeetek. Osager szerit a vezetési egyeetek a részecske- és az eergiaáramra: j L L µ + T, T ju L L µ + T, T aho j és j u a megfeeő áramsűrűségek, T T( ) a hőmérséket, μ a kémiai poteciá (a Gibbs-fée szabad etapia) és az L ik együtthatók az Osager-fée vezetési együtthatók. Látható, hogy midkét termodiamikai erő egyszerre határozza meg az áramokat. Így ez a termodiffúzió esete. A mostai probémára eek speciáis esete voatkozik. Kikötjük, hogy a j részecskeáram zérus egye, és ez az egyeetek aapjá ehetséges. Tehát most j, így μ és T ke, hogy összefüggjeek. Eze fetétet j u egyeetébe téve, kiszámítható a stacioárius hőáramsűrűség, mey képetbe: D j u L, T aho D az L ik értékekbő adódó determiás. 3. Az átmeeti áapotok időfüggősége. A fefűtés utá beá a stacioárius hőmérséket-eoszás, ami jee esetbe a T( ) T b ieáris függvéy. A foyamat időbei meete a hővezetés parciáis differeciaegyeetéve írható e: u u a egy dimezióra, u u( t, ) -ve, a szokásos, irodaomba haszát jeöésse, u(,t) t jeeti a hőmérséketet. A megodás meete ige szép, de em részetezve, a megodáshoz a Fouriersorok aapjá juthatuk: π ut (, ) T ( t)si, aho T (t) most em hőmérséket, haem u(,t) időfüggő része, a hőmérséket Fourier-kompoesei, dimezióra hőmérséket. T (t) kokrét aakja: a π t A ( ) B T() t Ae +, π futóide, A értékek az u(,) megadadó kezdő fetétebő u (, ) f( ) -bő meghatározadó együtthatók, végü A és B a csővégeke a hőmérséket, ami rögzített ez esetbe. Tehát most A T és B T. 6

7 A stacioárius áapotot a im ut (,) és im T ( t) t határérték szogátatja. Vegyük ezt figyeembe T (t)-be, és utáa u(,t)-be. Rögtö adódik, hogy: u A B (, ) π ( ) si (*) π Ha beszorzuk, a végtee szummákat zárt aakba eő tudjuk áítai: π π π si + ; ( ) si. Ezeket u (, ) -be figyeembe véve, kapjuk a ieáris hőmérséket-eoszást: u A A B T T (, ), vagy T T. (*) Ezekek a szummákak az eőáítása az aábbi függvéyek Fourier-sorábó adódik: y y y y O O + A továbbiakba T(,t)-ve jeöjük a hőmérséketet.. Az eredeti probéma második kérdése az vot, hogya aaku a csőbe a gáz hőmérsékete, ha a beát stacioáris áapot utá a csővégeket is hőszigetejük. Ez a kérdés ige akamas továbbvitere, ha az új közös hőmérséket beáásáak időbei foyamatát vizsgájuk. A tárgyaás meete mutatja a Fourier-aaízis agy horderejét és a matematikai evotságak a praisba vaó hatékoyságát. Egy aaóg modee mutatható be a probéma kezeése, mey a feti kokrét probémához jó ieszkedik és a megodás mide eemét tartamazza. Az eső kérdés, hogy az iráyba újoa étrehozott hőszigeteés hogya fejezhető ki a matematika yevé, tekitette a hővezetés parciáis differeciáegyeetére. A váasz az, hogy a j dt hőáramsűrűség aakját vesszük szemügyre: j λgrad T, egy dimezióba, j λ. A hőszigeteés azt jeeti, hogy eergia- (hő)áram ics. Ezért ezeke a heyeke gradt, ietve T d. Így a hővezetési egyeet megodásakor a peremfetéte úgy szó, hogy T (,t) a (,t) és az (,t) heye zérus. Így a kezdeti fetéte áta eírt, t -ba adott hőmérséket hey függvéy oya vátozásoko megy át, hogy bármiye egye is a piaatyi T(,t) görbe, aak éritője a kezdő- és végpotba midig vízszites (párhuzamos az -tegeye). Ezek utá úgy ke megodai a hővezetési egyeetet, hogy ez a követeés tejesüjö. Ez sikerü, ha a kezdeti fetéte Fourier-sorát akamasa vesszük fe. A hővezetési egyeet átaáos megodása: 7

8 Probémamegodás a fizikába ω at T(, t) ( Acosω+ Bsi ωe ), π A, B Fourier együtthatók, ω, futóide, a cső hossza, a λ (λ hővezetési együttható,, cρ c fajhő, ρ sűrűség). Ha a kezdeti fetétet, egy adott f() függvéyt úgy veszük fe, hogy t -ra T egye a végeke, ez a tuajdoság megmarad, mive a (*) egyeetbe T(,t)-ek szeriti parciáis derivátjait ( T(,); t T(,) t )a t idő foyása em zavarja, mert a végeke ezek zérus értékűek f() aábbi fevétee meett. Közbe persze a t idő szerit T (,t) midig más és más. Ha még praktikus okokbó f()-et jobbra és bara aaitikusa úgy foytatjuk, hogy f() páros függvéy egye, akkor (*)-ba a B együtthatók mid zérusok eszek, így most a hővezetési egyeet megodása: π π at T(, t) A cos e, aho A f d ( )cos π és -va A, > -va A számoható. A szeméetesség kedvéért ezutá akamazzuk az aaóg modet, ami most azt jeeti, hogy az f() kezdeti fetétet em ieáris függvéykét vesszük fe, haem akamasa váasztott cosius függvéyek, miáta a peremfetéteek azoa tejesüek, és a közeítés is jó. Tehát T π f( ) cos +, aho T a kezdő maimáis hőmérséket. Most f( ) T és f(). f() kisebb átaakításáva eérhető, hogy f( ) T és f() T egye, amive még ikább közeedük az eredeti kérdésbe fetett kiegyeítődési foyamat eírásához. Az aábbi ábra mutatja az f() függvéyt aaitikus foytatásba. A f() eoszás időbe ( t > -ra) áadóa deformáódik és tart egy végső, kostas értékhez, miközbe az és heye az éritő midig párhuzamos marad az tegeye. f() fizikai jeetésse a (,) itervaumba bír. f() y t (*) O + Ezutá a Fourier-sorok eméete aapjá: A T π π T π + d A + cos cos ; -va si T T A : em részetezve, a számoás közbe va egy iye itegrá: 8

9 t π π cos cos d; ez -re és > -re. π π f() sora most két tagbó á, ami em megepő, mive f() a si,cos trigoometrikus (és ortogoáis) aapredszer eeme. Végü a keresett T(,t) függvéy: T a π t T(, t) + cos e. π T Látható, hogy T (,) t T (,) t és im T(,) t, tehát beá egy heytő függete, áa- dó hőmérséket. Ezt a modet még közeebb hozhatjuk az eredeti probémához f() kisebb átaakításáva. f() most em ehet seho sem zérus, haem újabb kikötéskét írhatjuk, hogy f( ) T, f( ) T e- gye, aho T 373 K és T 73 K. Az új f()-sze a továbbiakba mide számítás már vátozata. Nézzük az új f()-et. A cos π aapfüggvéy marad továbbra is, és most és heyekre godova, a bevezetedő kostasokra írhatuk fe két fetétei egyeetet: at ( b) T + f( ) at ( + b) T. Bevezetve az ε T T az új f() iye: A jeöést kapjuk, hogy a ε b + ε,. Fehaszáva ε kokrét értékét ε π f( ), 34T cos + 646,. Erre ézve f( ) 373; f( ) 73. Ezze az f()-sze hasoó módo kiszámova a Fourier-együtthatókat; A 73, T, 34, T. Figyeembe véve, hogy a sor eső tagja A, a mostai T(,t) függvéy iye esz: a π 73, π t T(, t) T +, cos e 34. Ez írja e az időbe deformáódó, eőször cosius-görbét. Grafikus számoógépe (p. Teas- Ti-8) ige jó megjeeíthető és jó áthatók, hogy és -be bármiye t időre az éritők vízszitesek. E második mode agyo jó közeítést ad, mert a beáó egyete hőmérséket csupá,7%-os etérésse megegyezik a közveteü kiszámított értékke: T(,t) T t 73, Tstac im T( t,) T 3, 65 K; t > t T stac míg a közvete képette T T T Tstac 3, 4 K. T T O 9

10 Probémamegodás a fizikába 4. A probéma vizsgáata az etrópiaevve Amikor a csőbe évő gázt tejese eszigetejük a köryezettő, a T() ieáris hőmérséket eoszás megvátozik, és a gáztérbe beá egy egyesúyi hőmérséket, mey -tő függete. Ezt jeötük T 3 -ma és az adódott, hogy T T T3 T. T T Ezt kívájuk meghatározi az etrópiaevve. A redszer S etrópiájáak maimuma adja az egyesúyi áapotot. Heyesek átszik az a módszertai aapozás, hogy eőször három testet hozuk termikus kapcsoatba, midő együttese midvégig hőszigetetek maradak köryezetüktő. T dq Ha T -at váasztjuk aappotak, az etrópia defiíciójábó S yerjük az egyes testekre, T c m és tovább b, c és, y, z a testek tetszőeges hő- hogy S a, aho a hőkapacitások a T mérséketei. Az etrópia most háromvátozós függvéy, S(, y, z) és va egy meékfetéte, a testek összes eergiája em vátozhat, egye ez K. Ezutá így szó a feadat: többvátozós függvéy szésőértékét (maimumát) ke meghatározi adott fetéte meett. Többvátozós függvéy fetétees szésőértékét keressük a Lagrage-fée mutipikátor módszerre. Tehát az T f(, yz, ) Syz (,, ) +λϕ( yz,, ) szésőértékét keressük, midő φ (, y, z) a fetétei egyeet. Ehhez a következőképpe jutuk: feírjuk az összes eergiát a kezdő áapotba és egy tetszőeges áapotba at ( T)+ b( T T)+ ct ( 3 T) K, aho a, b, c a testek c i m i hőkapacitásai, T, T, T 3 a kezdeti hőmérséketek. Ezutá a φ fetétei egyeet: ϕ ( yz,, ) a( T)+ b( y T)+ c( z T ) K. Képezvé a parciáis derivátakat: a b c f + λa; fy + λb; fz + λc, y z majd f, f, f -bó adódik, hogy egyesúyba y z. y z Láthatóa em keett küö fetei, hogy közös hőmérséket aaku ki, ez az etrópiatétebő, vagyis a II. főtétebő matematikaiag következik. Számítsuk ki a közös hőmérséketet, T k értékét. Vegyük figyeembe φ-be az y z T k eredméyét: T ( a + b + c ) T ( a + b + k c ) at + bt + ct T ( a + b + c ), 3 at bt ct végü T k, miszerit T a+ b+ c k értéke a kezdő hőmérséketekek az egyes hőkapacitásokka súyozott átaga. Áttérve most eredeti kérdésükre, osszuk fe a gázt tartamazó csövet egyeő vastagságú vékoy szeetekre. Ekkor esz szeet, beük m i tömegű gázza és c c, a fajhők azoosak, a i k

11 ci mi hőkapacitások küöbözőek. A számítás meete azoos az eőbbive, csak most vátozós az eőbbi f függvéy, az S etrópia kifejezés azoos a már feírt S függvéye, mive a térfogat vátozatasága meett ideáis gázra T S cv m T, tehát most ci cv. Így az eredméy: esz közös hőmérséket és ez az darab szeetre voatkozó súyozott közép és az egyes T, T T értékek a szeetek kezdő hőmérséketei, meyek az adott ieáris hőmérséketeoszásbó számohatók. A közös T k hőmérséketre, ha már a c V fajhőkke egyszerűsítettük, így adódik, hogy mt + mt mt Tk, m aho mi m a gáz tömege. Fejezzük most ki az egyes m tömegeket ρ() és az áapotegyeet segítségéve. m A m AM R p α ρ( ),, m és T( ) T, T( ) T... T ( ) T ( ) α i Midezt T k képetébe heyettesítve: T α m T T + α T T + + α T T k m ( α α... α ) α Tk. m m A kezdő áapotra feírt áapotegyeetbő a gáz m tömege kifejezhető pv M RT, α értékét heyettesítve, végü T k T p p aho p értékét már meghatároztuk. Ezt is heyettesítve T T Tk, Tk T3, T T ahogy eredetieg jeötük a közös hőmérséketet. Így tehát az etrópiaev aapjá határoztuk meg T k értékét. Megjegyzés: T k utosókét feírt szummációs képetébe matematikai odaró ézve súyozott átagró va szó, aho az egyes súyok α α. Ha, a foytoos súyozott átagró va szó a ϕ súyfügg- T i T( ) ϕt( ) d véye. Ekkor T k, ami ugyaúgy T k -ra vezet. ϕ d i,

12 Probémamegodás a fizikába Ha az y f( )-be bizoyos, y értékek erősebbe vaak képviseve, mikor f( ) átagot számojuk, ezt az ú. súy fejezi ki, foytoos esetbe a φ súyfüggvéy. A diszkrét esetbő vaó származtatás az aábbi: ϕf+ ϕ f ϕ f y ϕ+ ϕ ϕ Bővítsük -sze: ϕf ϕ f y ϕ ϕ im y y, y ha ϕ( ), kapjuk f() számtai közepét: f( ) b a b a ϕ( ) f( ) d b a f( ) d b a ϕ( ) d. 5. Az adiabatikus kiegyeítődési foyamat közvete vizsgáata Tekitjük a hővezetés másodredű parciáis differeciáegyeetét. A megodást most szorzat aakba keressük, szeparáva -et és a t időt. A hőszigeteést a peremfetéteekbe juttatjuk kifejezésre, ahogy a modeszámításba is. A kezdőfetéte fejezi ki a kezdeti ieáris hőmérséket-eoszást. A hőmérséketet a szakirodaomba szokásos módo u-va jeöjük: u(,t). Midezeket részetezve: u u a t, másképpe: u a u t. (*) A peremfetéteek: A kezdőfetéte: u (,) t u (,) t. u (, ) f( ), aho f() a kezdeti ieáris hőmérséket eoszás: u u f( ) u. A megodást iye aakba keressük: ut (, ) Φ ( ) Tt ( ). (T most em hőmérséket!) Ezt heyettesítve a (*) egyeetbe, két közöséges differeciáegyeetre jutuk, ha bevezetjük a λ eddig ismerete áadót:

13 Φ + λ Φ T + a λ T (λ em a hővezetési téyező!) Ezek megodása: Φ ( ) ccosλ+ csi λ; π a peremfetéteekke eek végső aakja Φ ( ) cos. futó ide, végtee sok Φ() va. Továbbá: T() t Ae (A kostas) π Az eőbbi számítás közbe λ-ra ez adódik: λ. a λ t Adott idere tehát az egyik u (, t) Φ ( ) T ( t). A tejes megodást u -ek végtee szummája adja: π t ut (, ) A cos e. a π A meghatározása f()-sze törtéik: (**)-bó t -ra π f( ) u (, ) A cos, így A éppe f() Fourier-sorába a Fourier-együtthatók. Mit átható, f() most páros függvéykét szerepe, ezért f()-et, mit páros függvéyt periodikusa foytatjuk, amit az ábra mutatja (4. oda). Ebbe a fevétebe számítjuk ki kokréta az A együtthatókat: π A f d ( )cos. (**) Két részre botva -ra kapjuk A értékét, majd > -ra A adódik. u u A ( u b) d A u+ u b A u b d ( ) cos π. Hosszabb számoássa: A b + + ( ). π A Fourier-sorok kifejtésébe az eső tag A -ve kezdődik. Végü is a megodás, mey a hey és idő függvéyébe adja meg a hőmérséketet, iye esz: a π t ut (, ) ( u u ) + + ( π ) cos e π + u+ u. Grafikus számoógépe jó eőáítható ez a kétvátozós függvéy, és vizuáisa, éméyszerűe átható a kiegyeítődési foyamat. Emejük most ki küö a stacioárius áapotot. Ehhez a im ut (,) határértékke jutuk. Így a t u+ u beáó végső hőmérséketet: u (, ) ; u (, ) 33 K. 3

14 Probémamegodás a fizikába Láthatóa ez em egyezik a közvete számítássa yert 3,4 K értékke. A hiba,%. Itt ke fehívi a figyemet az ehayagoások szerepére, azok hatására. A számítás jóak modható, mert kis hibáva magát a foyamatot regisztrája, ugyaakkor a (*) hővezetési egyeet csak jó közeítésse írja e a foyamatot, mive a bee szerepő a kostas vaójába a piaatyi hőmérsékettő is függ, és az időtő is, bár gyegé függ ezektő. a ; K a hővezetési téyező, c K c ρ a c V fajhő, ρ ρ( ) sűrűség. De most ρ M R p és ha ρ-t csak u függőek vesszük, a (*) ut (, ) egyeet máris más aakot vesz fe: u M u u, aho M kostas szorzó. t u(,) u f() u O Az f( ) u (, ) kezdőfetéte periodikus foytatásba, mit páros függvéy. 4