Komplex függvények színes ábrázolása

Átírás

1 Komplex függvények színes ábrázolása Lócsi Levente ELTE IK december

2 Tartalom Miről lesz szó? C C függvények Különféle ábrázolási módok Színes ábrázolás Programok Néhány konkrét függvény

3 C C függvényekről A komplex számokat egy síkon képzelhetjük el Valós rész, képzetes rész Komplex függvények ábrázolásának nehézsége Life is complex. It has real and imaginary components.

4 Különféle ábrázolási módok

5 Ábrázolási módok 1 Két síkos (z és w) ábrázolás Pl.: f(z) = z 2

6 Ábrázolási módok 2 Vektoros, erőterek szemléltetéséhez hasonló Pl.: f(z) = expz

7 Ábrázolási módok 3.1 3D, külön valós ill. képzetes rész. R 2 R Pl.: f(z) = expz f 1 (x,y) = e x cos y f 2 (x,y) = e x sin y

8 Ábrázolási módok 3.2 Még mindig 3D + szín Pl.: f(z) = expz

9 Ábrázolási módok 4 Fraktál színezések Pl.: Mandelbrot

10 Színes ábrázolás

11 Színes ábrázolás elve Komplex számsík pontjaihoz színek C B 3, ahol B = [0..255], RGB Egy síkon a pontokat a képpontnak ( C) megfelelő színre színezzük Többféle színezés

12 ImRe színezés Külön valós, képzetes részt. (R B)

13 ImRe színezés Külön valós, képzetes részt. (R B) f(z) = z

14 Arg + Abs Egy szivárványt rátekerünk az origóra... + sötétítünk

15 Arg + Abs Egy szivárványt rátekerünk az origóra... + sötétítünk + világosodás

16 Arg + Abs Egy szivárványt rátekerünk az origóra... + sötétítünk + világosodás más mód..., + variációk csak abszolút érték sötét világos irány, lépcsősítés

17 Programok

18 Standard C++ Váljon egyszerűvé ilyen képek készítése... Objektumorientált szemlélet class KomplAbra {...}; class IdSzamolo : public Szamolo {...}; class ArgKorSzinezo : public Szinezo {...};

19 Egyszerű példakód #include "abra.h" int main() { KomplAbra* a = new KomplAbra(0,0,4,480); ExpSzamolo* e = new ExpSzamolo(); AlapSzinezo* sz = new AlapSzinezo(); a->setfuggveny(e); a->setszinezes(sz); a->settengely(true); a->createabra(); a->kiirbmp("exp.bmp"); } return 0;

20 Színes Komplex Függvények Microsoft Visual Studio.NET 2003

21 Néhány függvény

22 f(z) = z Konjugált

23 Lineáris f(z) = (2 + i)z + 2

24 f(z) = z 2 Négyzet 1

25 f(z) = z 2 Négyzet 2

26 f(z) = z 2 Négyzet 3

27 Polinom f(z) = (z 2)(z + i)(z + 2 i)

28 Exponenciális 1 f(z) = expz

29 Exponenciális 2 f(z) = expz

30 Logaritmus f(z) = log z (főág)

31 f(z) = 1/z Inverzió 1

32 f(z) = 1/z Inverzió 2

33 Egy másodrendű pólus f(z) = 1/z 2

34 Egy lényeges szingularitás f(z) = cos 1 z

35 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n!

36 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 0

37 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 1

38 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 2

39 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 3

40 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 4

41 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 5

42 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 6

43 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 7

44 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 8

45 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 9

46 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 10

47 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 11

48 Hatványsorok exp T n (z) = n k=0 z n n! n = 11 Ennyi.

49 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)!

50 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 0

51 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 1

52 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 2

53 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 3

54 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 4

55 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 5

56 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 6

57 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 7

58 Hatványsorok sin T n (z) = n ( 1) n z(2n+1) k=0 (2n+1)! n = 7 Ennyi.

59 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z

60 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 0

61 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 1

62 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 2

63 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 3

64 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 4

65 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 5

66 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 6

67 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 7

68 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 8

69 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 9

70 Még egy függvénysorozat M 0 (z) = z M n+1 (z) = (M n (z)) 2 + z n = 9 Ennyi.

71 Összefoglalás Módszer Programozás Mi új?

72 Kedvenc képeim

73 Kedvenc képeim 1 f(z) = expsin z

74 Kedvenc képeim 2 f(z) = 1 z 2 iz

75 Kedvenc képeim 3 Egy ötödfokú polinom

76 Búcsú Köszönöm megtisztelő figyelmüket!

77 Már vége Készítette: Lócsi Levente Alkalom: TDK Konferencia ( ) Köszönet: Szili László Schipp Ferenc Sztupák Sz. Zsolt... Élőben: Weben: Eötvös József Collegium szoba locsi@inf.elte.hu