Térmértani feladatok 12. osztály

Átírás

1 Térmértani feladatok 12. osztály I. Kocka 1.И a.) Egy kocka éle 1,1 m. Mekkora a kocka felszíne, térfogata, éleinek összege? A = 6a 2 = 7,26 m 2 ; V = a 3 = 1,331 m 3 ; Ö = 12a = 13,2 m. b.) Egy kocka éle 6 cm. Határozzuk meg a kocka felszínét, térfogatát, éleinek összegét! A = 6a 2 = 216 cm 2 ; V = a 3 = 216 cm 3 ; Ö = 12a = 72 cm. c.) Egy kocka élének mértékszáma (méterekben) egyenlő egy olyan prímszámmal, amelyben a számjegyek összege 3-mal osztható. Határozzuk meg a kocka felszínét, térfogatát és éleinek összegét! A = 6a 2 = 54 m 2 ; V = a 3 = 27 m 3 ; Ö = 12a = 36 m. 2.И a.) Egy kocka éle 5 cm. Mekkora a kocka lapátlója és testátlója? A lapátló 7,071 cm, a testátló 8,660 cm-es. b.) Egy kocka köré írt gömbjének sugara 8 cm. Mekkora a kocka felszíne? 512 cm Egy kocka felszíne 150 cm 2. Határozzuk meg a térfogatát, a testátlójának hosszát, valamint a köré- és beleírható gömb sugarát! 3.H a.) Egy kocka térfogata 343 cm 3. Határozzuk meg a kocka felszínét, testátlójának hosszát, valamint a köré- és beleírható gömb sugarát! A beírt gömb sugara 3,5 cm. b.) Egy kocka testátlója 6 cm-es. Mekkora a térfogata? V = 24 3 cm 3 41,57 cm 3. c.) Egy kocka köré írható gömbjének sugara 8 cm-rel rövidebb az átmérőjénél. Mekkora a kocka térfogata? 4096/ 27 cm 3 788,3 cm 3. d.) Egy kocka beírható gömbjének a sugara 6 méter. Határozzuk meg a köré írható gömb sugarát! R = 6 3 cm 10,39 cm. 4. Egy kocka beírható gömbjének sugara 2 cm-rel rövidebb a köré írható gömbjének sugaránál. Mekkora a kocka oldala és felszíne? 4.H a.) Egy kocka lapátlója 6 cm-rel hosszabb az oldalnál. Mekkora a kocka testátlója? d = 6 3 ( 2+1) cm 25,09 cm. b.) Egy kocka köré írt gömbjének sugara ( 27 3) cm-rel nagyobb a beírt gömb sugaránál. Határozzuk meg a kocka térfogatát! V = 216 cm Mekkora szöget zár be egy kocka testátlója az egyik vele azonos csúcsból induló lapátlóval? 5.H Mekkora szöget zár be a kocka testátlója a kocka lapjaival? ϕ 35,26. b.) Mekkora szöget zár be a kocka testátlója a vele egy csúcsból induló élekkel? ε = 54,74º. c.) Mekkora szöget zár be egymással a kocka két testátlója? 109,47º (elfogadható a hegyesszögű 70,53º is). d.) Mekkora szöget zár be egymással a kocka két azonos csúcsból induló lapátlója? 60º. 6. Egy kocka éleit érintő gömb sugara 5 cm. Határozzuk meg a kocka éleinek összegét! 6.H a.) Egy kocka éleinek összege 96 cm. Határozzuk meg a kocka éleit érintő gömb sugarát! 4 2 cm 5,657 cm. b.) Egy kocka éleit érintő gömb sugara 3 cm-rel hosszabb a kocka beírt gömbjének sugaránál. Mekkora a kocka köré írt gömb sugara? R = 3 3 ( 2+1) cm 12,54 cm. 7. Egy kocka egyik csúcsa az egyik testátlótól 7 cm-re van. a.) Milyen messze van ugyanez a csúcs a többi testátlótól? b.) Milyen messze van a vizsgált testátló a többi csúcstól? c.) Határozzuk meg, mekkora lehet a kocka valamely két lapközéppontjának távolsága! d.) Vizsgáljuk meg, mekkora lehet a távolság a kocka valamely két élének felezőpontja között! 7.H Egy kocka két szomszédos lapjának középpontja 6 2 cm távolságra van egymástól. Határozzuk meg, milyen messze van a kocka egyik testátlója a csúcsoktól! 0 vagy 4 6 cm lehet. 8. Egy kocka éle 12 cm. Minden sarkából kiveszünk egy-egy 2 cm élű kis kockát. Határozzuk meg a megmaradt csonka test a.) térfogatát; b.) felszínét; c.) éleinek összegét d.) egymástól legmesszebbre lévő két csúcsának távolságát (csak emelt szinten)! 8.H Egy kocka éle 12 cm. Az egyik sarkából kiveszünk egy 4 cm élű kis kockát. Határozzuk meg a megmaradt csonka test a.) térfogatát; b.) felszínét; c.) éleinek összegét d.) egymástól legmesszebbre lévő két csúcsának távolságát! 9. Egy 10 cm élű kocka egyik csúcsából induló éleinek felezőpontjait kössük össze, majd az így kapott háromszög mentén a kockát vágjuk két részre! Határozzuk meg a nagyobbik idom felszínét (és térfogatát, ha tudjuk, hogy a gúlák térfogata harmadrésze a vele azonos alapterületű és azonos magasságú hasáb térfogatának, nyolcadikban tanultuk)! 9.H a.) Egy 15 cm élű kocka egyik csúcsából induló éleinek másik végpontjait kössük össze, majd az így kapott háromszög mentén a kockát vágjuk két részre! Határozzuk meg a nagyobbik rész felszínét és térfogatát! 1207,4 cm 2. b.) Egy kocka egyik csúcsából induló éleinek másik végpontjait összekötjük, majd az így kapott háromszög síkjával a kockát két részre vágjuk. A nagyobbik rész térfogata 607,5 cm 3. Mekkora a kisebbik rész térfogata és felszíne? V = 121,5 cm 3, A = 191,6 cm Egy 6 cm élű kockát a középpontján átmenő, valamelyik testátlóra merőleges síkkal kettévágunk. a.) Bizonyítsuk be, hogy a metszet szabályos hatszög! b.) Határozzuk meg az egyik rész térfogatát és felszínét! 10.H a.) Egy kockát úgy vágunk ketté egy síkkal, hogy a metszet egy 12 3 egységnégyzet területű szabályos hatszög. Határozzuk meg a kocka felszínét! 96 (egységnégyzet). b.) Egy kocka éle 36 dm. A kockából egy alkalmasan felvett síkkal szabályos hatszöget metszünk ki. Mekkora ennek a területe és a kerülete? 1684 dm Egy 9 cm élű kocka egyik csúcsából induló két él felezőpontján és az ugyanazon csúcsból induló testátló másik

2 végpontján át síkot fektetünk, és ezzel a síkkal a kockát kettévágjuk. a.) Bizonyítsuk be, hogy a metszet ötszög! b.) Határozzuk meg a metszet kerületét! c.) Határozzuk meg az ötszög szögeit! 11.H A.) Egy 8 cm élű kockát olyan síkkal vágunk ketté, amely illeszkedik az egyik testátlóra, valamint két él felezőpontjára. a.) Bizonyítsuk be, hogy a metszet rombusz! b.) Határozzuk meg a rombusz kerületét! c.) Határozzuk meg a rombusz hegyesszögét! B.) Egy kockát úgy vágunk ketté egy síkkal, hogy a metszet egy tengelyesen tükrös ötszög. Milyen határok között változhat ennek az ötszögnek a területe? 12. Ha egy kocka éle 4 cm-rel nagyobb lenne, akkor a felszíne336 cm 2 -tel lenne több. Ha a kocka éle az eredetinél 4 cmrel kisebb lenne, mennyivel lenne kevesebb a felszíne az eredetinél? 12.H a.) Ha egy kocka éle 3 cm-rel nagyobb lenne, akkor a felszíne 306 cm 2 -tel lenne több. Mekkora az eredeti kocka térfogata, lapátlója és testátlója? V = 343 cm 3 ; b = 7 2 cm; d = 7 3 cm. A lapátló kb. 9,899 cm, a testátló kb. 12,12 cm. b.) Ha a kocka éle 2 cm-rel rövidebb lenne, akkor a térfogata 488 cm 3 -rel lenne kevesebb. Mekkora a kocka éleit érintő gömb sugara? 7,071cm. II. Téglatest 21.И a.) Egy téglatest élei 4 cm, 7 cm, 8 cm. Határozzuk meg a téglatest felszínét és térfogatát! A=232 cm 2 V=224 cm 3. b.) Egy téglatest két éle 6 cm és 7 cm, térfogata 546 cm 3. Mekkora a felszíne? 22.И a.) Egy téglatest élei 5 cm, 8 cm, 12 cm-esek. Határozzuk meg a lapátlók és a testátló hosszát! b.) Egy téglatest két éle: 3 cm és 4 cm, a testátló 13 cm. Mekkora a harmadik oldal? 23. Egy téglatest két éle: 4 cm és 7 cm, felszíne 254 cm 2. Mekkora a térfogat? 23.H a.) Egy téglatest két éle: 5 cm és 9 cm, felszíne 398 cm 2. Mekkora a téglatest testátlója? b.) Egy téglatest alapjának egyik éle 3 cm-rel hosszabb a másiknál, az alap kerülete 46 cm. A téglatest felszíne 1088 cm 2. Mekkora a téglatest magassága? 24. Egy téglatest éleinek aránya 1:2:4. Felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő. Határozzuk meg a téglatest testátlóját! 24.H a.) Egy téglatest éleinek aránya 3:5:6, felszíne 3402 cm 2. Mekkora az élek összhosszúsága? kb. 291 cm. b.) Egy téglatest térfogata 297m 3, az egy csúcsból induló éleinek aránya: 2 : 4 : 11. Határozzuk meg a téglatest legkisebb lapjának területét! 18 m 2. c.) Egy téglatest éleinek aránya: 3 : 4 : 12; testátlója 221 cm hosszú. Mekkora a téglatest belsejében elhelyezhető legnagyobb gömbnek a sugara? 25. Egy négyzetes oszlop alakú edény oldallapjainak átlója 80 cm, a testátlója 82 cm. Határozzuk meg, hogy ha 2 liter vizet töltünk az edénybe, akkor az milyen magasságban áll benne! 25.H a.) Egy négyzetes oszlop oldallapjainak átlója 48 cm, a testátlója pedig 50 cm. Határozzuk meg az oszlop magasságát! cm, ami kb. 45,91 cm. b.) Egy négyzetes oszlop alaplapjának átlója 28,28 cm, oldallapjának átlója pedig 52 cm. Mekkora az oszlop felszíne és testátlója? c.) Egy négyzetes oszlop oldallapjának az átlója 65 cm, az oldallapok befestéséhez 0,2 kg festék szükséges, az oszlop két legtávolabbi pontjának távolsága 194 cm. Hány négyzetméter felület befestéséhez elegendő egy kiló festék? (BEADANDÓ!) 26. Egy téglatest egy csúcsból kiinduló élei 12; 16 és 19 cm hosszúak. Határozzuk meg valamelyik leghosszabb él és a testátlók távolságát! 26.H Egy téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek aránya 3:4:9. Az egyik testátló az egyik leghosszabb éltől 144 cm távolságra halad el. Határozzuk meg a téglatest felszínét! cm Egy téglatest testátlója 7 cm, felszíne 72 cm 2. Mekkora éleinek az összege? 27.H a.) Egy téglatest testátlója 7 cm, az alaplap területe 6 cm 2, kerülete 10 cm. Mekkorák az élei? A téglatest élei 2; 3; 6 cm-esek. b.) Egy téglatest testátlója 13 cm, az élek összege 76 cm. Mekkora a téglatest felszíne? c.) Egy téglatest testátlója 5 cm, az élek összege 150 cm. Mekkora a téglatest felszíne? 28. Egy téglatest lapátlói rendre 5, 34, 41 cm-esek. Mekkorák az élek? Mekkora a testátló? 28.H a.) Egy téglatest lapátlóinak a hossza 4 cm, 5 cm, 6 cm. Mekkorák a téglatest élei? a = ( 10)/2; b = (3 6)/2; c = (3 10)/2., közelítő értékekkel: a = 1,581, b = 3,674; c = 4,743 (cm). b.) Egy téglatest lapátlóinak a hossza: 7 cm, 8 cm, 9 cm. Mekkora szöget zár be a testátló a téglatest lapjaival? 29. Egy téglatest térfogata 36 cm 3, testátlójának hossza 7 cm, egyik élének a hossza 6 cm. Mekkora a téglatest többi éle? 29.H a.) Egy téglatest térfogata 280 cm 3, testátlójának hossza 138 cm, az egyik lapátlója 89 cm hosszú. Mekkora a test felszíne? 262 (cm 2 ). b.) Egy téglatest térfogata cm 3, testátlójának hossza 65 cm, az egyik éle 24 cm. Mekkora a téglatest legrövidebb lapátlója? c.) Egy téglatest felszíne 216 cm 2, körülírt gömbjének sugara 7,5 cm; egyik lapjának kerülete 32 cm. Mekkora a térfogata? 140 cm Egy terem 6 m széles, 8 m hosszú és 4 m magas. Az egyik alsó sarokból egy hangya az átellenes felső sarokba szeretne eljutni. Legalább mekkora utat kell megtennie? Egy légy hány cm-rel rövidebb úton érhet oda, mint a hangya, ha a lehető legrövidebb utat választják mindketten? 30.H a.) Egy négyzet alapú terem alapterülete 49 m 2, magassága 3,5 méter. Az egyik alsó sarokból az átellenes felső sarokba villanyvezetéket kell húzni, természetesen a falak, a mennyezet vagy a padló mentén. Legalább milyen hosszú vezeték szükséges? legalább 12,62 méter.

3 b.) Egy terem 5 m széles és 8 m hosszú. Milyen határok között változhat a terem magassága, ha tudjuk, hogy az egyik alsó sarokból az átellenes felső sarokba vezető, mindvégig a termet határoló síkok valamelyikén haladó legrövidebb út a talajon, majd a rövidebbik oldalfalon át vezet? c.) Egy terem d méter széles és h méter hosszú. Milyen határok között változhat a terem magassága, ha tudjuk, hogy az egyik alsó sarokból az átellenes felső sarokba vezető legrövidebb, mindvégig a termet határoló síkok valamelyikén haladó út az oldalfalakon át vezet? 31. Egy téglatest lapátlói számtani sorozatot alkotnak, melynek különbsége 2 cm. A téglatest élei is számtani sorozatot alkotnak. Mekkora az összes lapátlók összhosszúsága? 31.H a.) Egy téglatest élei számtani sorozatot alkotnak, melynek különbsége 5 cm. A téglatest felszíne 1684 cm 2. Mekkora a téglatest leghosszabb oldala? 22 cm. b.) Egy téglatest élei mértani sorozatot alkotnak. A térfogat 1000 cm 3. A legnagyobb területű lap kerülete 60 cm. Mekkora a legkisebb területű lap átlója? c.) Egy téglatest térfogata 6720 cm 3, az egy csúcsban összefutó élek hosszúságának összege 60 cm. Az élhosszúságok egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkora e téglatest felszíne? 2272 cm 2. III. Hasáb 32. И a.) Egy hasáb alaplapja derékszögű háromszög, melynek átfogója 34 cm, egyik befogója 30 cm hosszú. A testmagasság 50 cm. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát! b.) Egy hasáb alaplapja derékszögű trapéz, melynek alapjai 8 cm és 12 cm hosszúak, magassága 3 cm-es. A testmagasság megegyezik az alaplap (trapéz) ferde szárának hosszával. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát! 33. И a.) Egy hasáb alaplapja szimmetrikus trapéz, melynek alapjai 7 cm és 13 cm hosszúak, szárai pedig 5 cm-esek. A testmagasság 20 cm. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát! A térfogat 800 cm 3, a felszín 680 cm 2. b.) Egy hasáb alaplapja deltoid, melynek szimmetriaátlója 21 cm, a másik átló pedig 16 cm hosszú, a deltoid egyik oldala pedig 10 cm-es. A testmagasság az alaplap leghosszabb oldalának kétszerese. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát! 34. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alapéle 12 cm, a palást területe 3-szorosa az alaplap területének. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? 34.H a.) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alaplapjának területe 25 3 cm 2. A test magassága kétszerese az alapélnek. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát! V = cm 3 ; A = ( ) cm 2. Ez kb. 866 cm 3 és 686,6 cm 2. b.) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb oldallapjai négyzetek. A hasáb térfogata 54 3 m 3. Mekkora a felszíne? ( ) (m 2 ). Ez kb. 139,2 m 2. c.) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb alaplapjának és oldallapjának területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy nem lehet a hasáb minden éle racionális, valamint számítsuk ki a térfogatát, ha a felszíne 100 cm 2! 58,86 cm Egy derékszögű trapéz alapú egyenes hasáb alaplapjának egyik szöge 60 fokos. A trapéz alapjai 2 cm és 12 cm hosszúak. A hasáb legnagyobb területű oldallapja négyzetlap. Határozzuk meg a test térfogatát és felszínét! 35.H a.) Egy derékszögű trapéz alapú egyenes hasáb alapjai 5 és 9 cm hosszúak, a rövidebbik szár 3 cm-es. A test térfogata 189 cm 3. Határozzuk meg a test felszínét! 240 (cm 2 ). b.) Egy derékszögű trapéz alapú egyenes hasábnak az egyik derékszögű csúcsából három egyenlő él indul ki. Egy másik csúcsból kiinduló valamely két él pedig 135 fokos szöget zár be egymással. A test térfogata 768 cm 3. Mekkora a leghosszabb testátlója? ,60 (cm). 36. Egy vályú keresztmetszete olyan lefelé keskenyedő húrtrapéz, amelynek alsó alapja 30 cm; a vályú hossza 240 cm, és az oldallapok az alaplaphoz 120 fokos szögben hajlanak. A vályúba 10,526 liter vizet öntünk. Milyen magasan áll a víz a vályúban? 36.H a.) Egy csatorna keresztmetszete lefelé keskenyedő húrtrapéz, amelynek alsó alapja 16 cm, és az oldallapok az alaplaphoz 135 fokos szögben hajlanak. A csatornában egy kiadós esőzés után percenként 432 liter víz áramlik, 2 m/s sebességgel. Határozzuk meg, hogy milyen magas ilyenkor a vízszint a csatornában! 2 cm vastag b.) Egy csatorna keresztmetszete lefelé keskenyedő húrtrapéz, amelynek alsó alapja 30 cm, az oldallapok az alaplaphoz 110 fokos szögben hajlanak. A csatornában egy kiadós esőzés után percenként 500 liter víz áramlik, ilyenkor a vízszint a csatornában 4 cm. Mekkora a víz áramlási sebessége? 37. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan rombusz, amelynek átlói 10 cm és 24 cm. A test oldallapjai hasonlók egy A/4-es szabvány téglalaphoz. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát! 37.H a.) Egy egyenes hasáb alaplapja olyan rombusz, melynek hegyesszöge 60 fok és magassága 10 cm. A testet 80 g/m 2 fajlagos tömegű papírból készítettük el, és tömegét 8 3 grammnak mértük egy igen érzékeny mérlegen. Határozzuk meg a hasáb térfogatát! kb cm 3. b.) Egy egyenes hasáb alaplapja olyan rombusz, melynek oldala 5 cm, magassága 4 cm. A testet tömör alumíniumból készítettük el, melynek sűrűsége 2,7 kg/dm 3. Mekkora a testmagasság, ha a test tömege 378 gramm? c.) Egy egyenes hasáb alaplapja parallelogramma, melynek rövidebbik oldala egyenlő a testmagassággal, rövidebbik átlója pedig az egyik alappal derékszöget zár be. Az egyik csúcsból induló valamelyik két él 30 fokos szöget zár be egymással. A test térfogata cm 3. Mekkora a felszíne? 38. Egy egyenes hasáb alaplapja szabályos ötszög, amelynek oldala 4 cm-es. Az oldallapok területe összesen 140 cm 2. Határozzuk meg a hasáb felszínét és térfogatát! 38.H a.) Egy szabályos nyolcszög alapú egyenes hasáb alaplapja köré 8 cm sugarú kör írható. A test magassága az alapél kétszeresével egyezik meg. Határozzuk meg a test felszínét és térfogatát! A = 961,9 cm 2 és V = 2217 cm 3. b.) Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb térfogata egységkocka; a test magassága 14 egység. Határozzuk meg a hasáb felszínét! 39. Egy vasgerenda keresztmetszete egy mindenütt 2 cm vastag T betű. A teteje 12 cm hosszú, a magassága (a tetejének vastagságát is beleszámítva) 14 cm. A gerenda hossza 4 méter, a vas sűrűsége 7,8 kg/dm 3. Határozzuk meg a gerenda tömegét!

4 39.H a.) Egy vasbeton gerenda keresztmetszete egy mindenütt 4 cm vastag I betű. A teteje és az alja 10 cm széles szegély, a betű magassága (az aljának és tetejének vastagságát is beleszámítva) 20 cm. A vasbeton átlagsűrűsége 7,2 kg/dm 3. Hány cm hosszú a gerenda, ha tömege 489,6 kg? 531,25 cm. b.) Egy vasbeton gerenda keresztmetszete egy mindenütt 3 cm vastag L betű, mely egy legalább 9x12 cm-es téglalap alapterületű hosszú dobozban helyezhető el. A doboz 120 g/m 2 sűrűségű kartonból készült, tömege 204,192 gramm. Mekkora a gerenda tömege? 40. A CATAN TELEPESEI c. játék egyik változatában olyan kis színes faházikók a tartozékok, amelyek homlokzata szabályos ház-alak, olyan ötszög, amelynek van két szomszédos derékszöge, és minden éle 1 cm-es. A ház 2 cm hosszú. Határozzuk meg a térfogatát és a felszínét! 40.H a.) Egy ház homlokzata olyan ötszög, melynek a talajon álló oldala 5 méteres, a függőleges oldalfalak 4 méter magasak, a tető szimmetrikus, és legmagasabb pontja a talaj fölött 7 méterre található. A lakótér 240 m 3 -es. Mekkora a padlástér térfogata? Hány cserép kell a tető befedéséhez, ha 1 m 2 befedéshez átlagosan 60 cserépre van szükség? b.) Egy ház homlokzata tengelyesen tükrös ötszög. Az alapéle vízszintes és 12 méter hosszú, az oldalfalak függőlegesek és 4 méter magasak, a háztető legmagasabb pontja az alapszinttől 6,5 méterre van. A tetőfedéshez 220 m 2 -nyi cserép szükséges (ennek 10 százaléka hulladék, a maradék a hasznos felület). Hány négyzetméteres a lakás hasznos alapterülete? (A ház téglalap alaprajzú.) 41. Egy ferde hasáb alkotói az alaplap síkjával 72 fokos szöget alkotnak és 40 cm hosszúak. Az alaplap területe 30 cm 2. Mekkora a hasáb térfogata? 41.H a.) Egy ferde hasáb alaplapja egy 6x6-os négyzet. Két szemközti oldallapja egy-egy függőleges síkú rombusz, melynek területe 30 cm 2 (egyenként). Mekkora a hasáb térfogata? 180 cm 3. b.) Egy ferde hasáb alaplapja egy olyan háromszög, amelyben AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm. A BB alkotó hossza 13 cm, a B AB szög 90º, valamint a B A AB lap merőleges az alaplapra. Határozzuk meg a hasáb térfogatát! 42. Egy romboéder lapjai egybevágó, 8 cm oldalú rombuszok, melyeknek van 60 -os hegyesszögük. Mekkora a romboéder térfogata és felszíne? 42.H a.) Egy romboéder lapjai egybevágó, 10 cm oldalú rombuszok, melyeknek van 72 -os szögük. Mekkora a romboéder térfogata és felszíne? Készítsük el a testet papírból! b.) Egy parallelepipedon egy csúcsból kiinduló élei 12, 15 és 20 cm-esek, bármelyik kettő 60º-os szöget zár be egymással. Mekkora a test felszíne és térfogata? IV. Henger 51. Egy egyenes körhenger alapkörének sugara 4 cm, a magassága 15 cm. Határozzuk meg a henger felszínét, térfogatát, két legtávolabbi pontjának távolságát, továbbá azt, hogy az alapkör területe hány százaléka a palást területének! 51.H a.) Egy egyenes körhenger alapkörének kerülete 12,56 cm, a testmagasság 3 cm. Határozzuk meg a henger felszínét, térfogatát, két legtávolabbi pontjának távolságát, továbbá azt, hogy a palást területe hányszorosa az alapkör területének! b.) Egy egyenes körhenger alapkörének a sugara 40 cm-rel kisebb a kerületénél. A henger térfogata 200 cm 3. Mekkora a felszíne? 413 cm 2. c.) Egy egyenes körhenger két legtávolabbi pontjának távolsága 41 cm, alaplapjának területe 400 π cm 2. Határozzuk meg a henger felszínét és térfogatát! 52. Egy egyenes körhenger alapkörének területe 64π, a palást területe 144π. Határozzuk meg a henger térfogatát! 52.H a.) Egy egyenes körhenger felszíne 60π, a palást területe 42π. Határozzuk meg a henger térfogatát! b.) Egy egyenes körhenger magassága és szélessége egyenlő. Hányszorosa a palást területe az alaplap területének c.) Egy forgáshenger felszíne a palást területének 120 százaléka. Az alapkör területe 81π cm 2 -rel kisebb a palást területénél. Mekkora a henger térfogata? 53. Egy forgáshenger magassága az alapkör sugarának kétszerese, a henger palástjának felszíne 64π területegység. Határozzuk meg a henger térfogatát, valamint oldalnézeti képének kerületét és területét! 53.H a.) Egy forgáshenger palástjának területe háromszor akkora, mint az alapköré. A henger oldalnézeti képének kerülete 42 cm. Mekkora a henger térfogata és felszíne? V 1018 cm 3. A 565,5 cm 2. b.) Egy forgáshenger tengelymetszetének területe 60 cm 2, kerülete 34 cm. Mekkora a henger térfogata? c.) Egy forgáshenger tengelymetszetének területe egyenlő az alapkör területével. A tengelymetszet kerülete hányszorosa az alapkör kerületének? 54. Ha egy téglalapot az egyik szimmetriatengelye körül forgatunk meg, akkor egy 66π felületű hengert kapunk, míg ha a másik szimmetriatengelye körül forgatjuk meg, akkor a keletkező henger felszíne 80π területegység. Mekkora a téglalap átlója? 54.H a.) Ha egy téglalapot az egyik éle körül forgatunk meg, akkor egy 300π térfogatú hengert kapunk, míg ha a másik éle körül, akkor a keletkező henger térfogata 720π térfogategység. Határozzuk meg a téglalap oldalait! 5 cm és 12 cm. b.) Ha egy négyzetlapot az egyik oldalának felező merőlegese mentén forgatunk meg, 27π-vel kisebb térfogatú hengert kapunk, mint ha az egyik oldal mentén forgatjuk meg. Mekkora a négyzet oldala? c.) Ha egy téglalapot az egyik szimmetriatengelye körül forgatunk meg, akkor egy 290π felületű hengert kapunk, míg ha a másik szimmetriatengelye körül forgatjuk meg, akkor a keletkező henger felszíne 528π területegység. Mekkora a téglalap átlója? 55. Van egy henger alakú tömör viaszgyertyánk, alapkörének sugara 6 cm; a magassága 20 cm. Ebből a gyertyából három egyforma gyertyát akarunk önteni, amelyek szintén körhenger alakúak, és ráférnek a 6 cm sugarú körre úgy, hogy közben egymást és a 6 cm sugarú kört is érintik. Mekkora lesz ezeknek a gyertyáknak a magassága? 55.H a.) Van egy henger alakú tömör viaszgyertyánk, alapkörének sugara 6 cm; a magassága 20 cm. Ebből a gyertyából négy egyforma gyertyát akarunk önteni, amelyek szintén körhenger alakúak, és ráférnek a 6 cm sugarú körre úgy, hogy közben egymást (pontosabban mindegyik két szomszédosat) és a 6 cm sugarú kört is érintik. Mekkora lesz ezeknek a gyertyáknak a magassága? b.) Egy félhenger alakú tömör viaszgyertya magassága 8 cm, alapkörének sugara 3 cm. A gyertya viaszából két olyan egyforma gyertyát akarunk önteni, amelyek körhenger alakúak, és éppen ráférnek az eredeti félkörre. Milyen magasak lesznek ezek a gyertyák? 56. Egy 8 egység magas félhenger felszíne 25π+240 területegység (318,5). Határozzuk meg a teljes henger felszínét!

5 56.H a.) Egy 12 cm magas egyenes körhenger térfogata 300π cm 3. Vágjuk a hengert hosszában (forgástengelyét tartalmazó síkkal) két egybevágó részre. Határozzuk meg az egyik ilyen félhenger felszínét! A = 387 cm 2. b.) Egy 150 cm magas egyenes körhengert forgástengelyét tartalmazó síkkal kettévágtak. Az egyik félhenger felszíne cm 2. Mekkora egy ilyen félhenger térfogata? 57. Mekkora sebességgel áramlik a 6 mm átmérőjű csövön keresztül a víz, ha percenként 48 liter folyik ki a cső végén? 57.H a.) Egy öntözőcső átmérője 34 mm. A csövön keresztül a víz 5 m/s sebességgel áramlik. Hány liter víz folyik ki a csőből fél perc alatt? 136,2 liter. b.) Egy öntözőcső átmérője 1 cm. Milyen sebességgel áramoljon rajta keresztül a folyadék, ha percenként 45 liter vízzel szeretnénk locsolni? c.) Egy öntözőcsőben a folyadék áramlási sebessége 2 m/s, így félpercenként 12 liter vizet locsol szét. Mekkora az öntözőcső átmérője? 58. Egy egyenes oszlop alaplapja kör, a fedőlapjának síkja az alaplap síkjához 30 fokos szöggel hajlik. Mekkora az oszlop felszíne és térfogata, ha r = 40 cm és az alaplap középpontja 240 cm-re van a fedőlap középpontjától? 58.H a.) Egy egyenes oszlop alaplapja kör, a fedőlap síkja az alaplap síkjához képest ferde. A henger leghosszabb alkotója 90 cm, a legrövidebb 70 cm; az alapkör sugara 15 cm. Határozzuk meg a henger felszínét és térfogatát! b.) Egy oszlop alaplapja ellipszis, viszont az alaplapra merőleges alkotókat a fedőlap síkja 45 fokos szögben metszi és a fedőlap kör. A legrövidebb alkotó 8 cm, a leghosszabb pedig 18 cm. Határozzuk meg az oszlop térfogatát! 59. Egy oldalán fekvő egyenes henger alapkörének sugara 10 cm, a testmagasság 80 cm. A hengerbe vizet töltünk, amelynek felszíne nyugalomban a henger aljánál 4 cm-rel van feljebb. Mekkora a víz térfogata? Milyen magas a vízoszlop, ha a hengert a talpára állítjuk, és közben nincs veszteség? 59.H Egy vályú hossza 2,4 méter, a vályú oldalnézetben félkör (az átmérője vízszintes), melynek sugara 25 cm. A vályú kezdetben tele van vízzel. Hány liter vizet kell kiengedni, hogy a megmaradó víz az eredetihez képest fele magasságban álljon a vályúban? kb. 143,5 liter. 60. Az adott térfogatú egyenes körhengerek közül melyiknek a legkisebb a felszíne? (Emelt szint.) 60.H a.) Az adott felszínű egyenes körhengerek közül melyiknek a legnagyobb a térfogata? b.) Három deciliteres egyenes körhenger alakú poharat szeretnénk készíteni úgy, hogy az alaplap és a palást területének összege a lehető legkisebb legyen. Hogyan válasszuk meg a pohár méreteit? V. Kúp 61.И Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 10 cm, alkotója 26 cm hosszú. Határozzuk meg a kúp felszínét és térfogatát! A 1131 cm 2. V 2513 (cm 3 ). 62.И Egy egyenes körkúp térfogata 256π, alapkörének sugara 4 egység. Mekkora a felszíne? 655,5 egységnégyzet. 63. Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 6 cm; az alkotók az alaplappal 60 fokos szöget zárnak be. Határozzuk meg a kúp felszínét és térfogatát! 63.H a.) Egy egyenes körkúp magassága 9 cm, a kúp nyílásszöge 72º. Határozzuk meg a kúp felszínét és térfogatát! A = 362,9 cm 2. V = 403,0 cm 3. b.) Egy egyenes körkúp alapköre 36π területű, az alkotója 10 cm. Mekkora a kúp nyílásszöge? c.) Egy egyenes körkúp tengelymetszete olyan egyenlő szárú háromszög, melynek van 108 fokos szöge, és a kerülete 30 cm. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? 64. Egy egyenes körkúp palástja kiterítve egy 120º-os középponti szögű, 6 cm sugarú körcikk. Határozzuk meg a kúp alkotóját, magasságát, alapkörének sugarát, felszínét és térfogatát! 64.H a.) Egy egyenes körkúp palástja kiterítve egy 8 cm átmérőjű félkörlap. Határozzuk meg a kúp felszínét és térfogatát! A = 37,70 cm 2, V = 14,51 cm 3. b.) Egy egyenes körkúp palástja kiterítve egy 15 cm sugarú negyedkörlap. Mekkora a kúp felszíne és nyílásszöge? c.) Egy egyenes körkúp nyílásszöge 2φ. Mekkora a kiterített palástjának a középponti szöge? α = 2π sinφ. 65. Egy egyenes körkúp felszíne 96π területegység, alkotója 10. Mekkora a kúp térfogata? 65.H a.) Egy egyenes körkúp felszíne 20 cm 2, alkotója 3 cm. Mekkora a kúp alapkörének sugara? kb. 1,435 cm. b.) Forgáskúp felszíne 33π cm 2, alkotója 8 cm. Mekkora a kúp kiterített palástjának középponti szöge? 66. Egy egyenes körkúp felszíne 90π, magassága 12. Mekkora a kúp alapkörének területe, nyílásszöge, kiterített palástjának középponti szöge, valamint a térfogata? 66.H a.) Egy egyenes körkúp felszíne 36π, a magassága 3. Mekkora a kúp alapkörének területe, nyílásszöge, kiterített palástjának középponti szöge, valamint a térfogata? Az alapkör területe: T = r 2 π = 16π, közelítő értéke: 50,27, a nyílásszög 106,3º. a kiterített palást középponti szöge 288º, V = 16π. b.) Egy egyenes körkúp felszíne ( ) π, magassága 6 egység. Mekkora a kúp térfogata? 67. Ferde körkúp alapkörének sugara 14 cm, leghosszabb alkotója 25 cm, legrövidebb alkotója 17 cm. Határozzuk meg a kúp térfogatát! 67.H a.) Ferde körkúp alapkörének területe 110,25π cm 2, a leghosszabb alkotója 17 cm, a legrövidebb alkotója 10 cm. Határozzuk meg a kúp térfogatát! 294π (cm 3 ), ez kb. 923,6 cm 3. b.) Ferde körkúp leghosszabb alkotója az alaplap síkjával 45 fokot, legrövidebb alkotója pedig a leghosszabb alkotóval 75 fokot zár be. Az alapkör területe 100π cm 2. Mekkora a ferde kúp térfogata? 68. Kúp alakú tölcsér szörppel van tele. A szörp felét szándékozunk meginni. A tölcsér magasságának hányad részéig fogyaszthatjuk el az italt? 68.H a.) Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 10 cm, magassága 24 cm. Az alaplaptól milyen távolságban felvett párhuzamos sík felezi a kúp térfogatát? 4,126 cm. b.) Egy lefelé keskenyedő kúp alakú edényt fele magasságig vízzel töltünk meg, majd a tetejére óvatosan színezett alkoholt rétegzünk. A víz tömege 18 gramm. Mekkora fölötte a 0,8 g/cm 3 sűrűségű alkohol tömege? 100,8 gramm. c.) Egy egyenes körkúp alapkörének a sugara 7 cm, magassága 24 cm. Az alaplaptól milyen távolságban felvett párhuzamos sík felezi a kúp palástjának felszínét? d.) Egy egyenes körkúp alapkörének a sugara 7 cm, magassága 24 cm. Az alaplaptól milyen távolságban felvett

6 párhuzamos sík osztja a kúpot két egyenlő felszínű részre? 69. Egy egyenes körkúp felszíne 96π, tengelymetszetének területe 48. Mekkora a kúp térfogata? 69.H a.) Egy egyenes körkúp felszíne 144π, tengelymetszetének területe 48. Mekkora a tengelymetszet kerülete? 36 egység. b.) Egy egyenes körkúp térfogata 245π, tengelymetszetének területe 35. Mekkora a felszíne? VI. Gömb 70. Egy gömb felszíne 196π. Mekkora a térfogata? 70.H a.) Egy gömb térfogata 2304π. Mekkora a felszíne? b.) Egy gömb térfogatának és felszínének mérőszáma ugyanaz. Mekkora a gömb sugara? c.) Egy gömb felszíne egyenlő egy 8 cm élű kocka felszínével. Mekkora élű kocka térfogatával egyezik meg a gömbünk térfogata? 71. Egy tömör vasgolyó tömege 2 kg. Mekkora a sugara? (A vas sűrűsége 7,8 kg/liter.) 71.H a.) Egy tömör vasgolyó sugara 12 cm. Mekkora a tömege? (A vas sűrűsége 7,8 kg/liter.) b.) Egy tömör alumínium golyó tömege 80 kg. Mekkora az átmérője? (ρ Al = 2,7 kg/dm 3 ). c.) Mekkora átmérőjű tömör alumíniumgolyónak lenne ugyanakkora a tömege, mint egy 10 cm átmérőjű vörösréz golyónak? (ρ Al = 2,7 g/cm 3 ; ρ vörösréz = 8900 kg/m 3 ). 72. Egy gömböt nyolc egybevágó részre vágunk, a középpontján átmenő három páronként egymásra merőleges síkkal. Egy ilyen gömbnyolcad felszíne 80π. Mekkora a térfogata? 72.H a.) Egy félgömb felszíne 48π. Mekkora a térfogata? b.) Egy gömböt valamelyik szimmetriatengelyén átmenő három, egymással páronként 120º-120º-os szöget bezáró síkkal hat gömbcikkelyre vágunk szét. Egy-egy ilyen gömbcikkely felszíne 135π cm 2, tömege 8,24 kg. Milyen anyagból készülhetett a gömb? (BEADANDÓ!!!) c.) Egy félgömb felszíne 400 cm 2 -tel kevesebb, mint a teljes gömb felszíne. Hány cm 3 -rel kevesebb a félgömb térfogata a teljes gömb térfogatánál? (A félgömböt a teljes gömb kettévágásával kaptuk.) 73. Egy 3 cm és egy 8 cm sugarú gyurmagombócot összegyúrunk egyetlen gombóccá. Mekkora lesz ennek a sugara? 73.H a.) Mekkora átmérőjű agyaggombócot gyúrjunk össze egy 6 cm átmérőjűvel, hogy egy 7 cm-es átmérőjű gombócot kapjunk? b.) Két egyforma gyurmagombócot egyetlen nagy, 4 cm sugarú gombóccá gyúrunk össze. Mekkora volt az eredeti gombócok sugara? c.) 1331 darab egyforma, 1 cm átmérőjű acélgolyót beolvasztanak, s anyagukból egyetlen nagy acélgolyót készítenek. Mekkora lesz ennek az átmérője? 74. Mekkora a tömege a 2 mm vastag, 8 cm külső sugarú, rézből készült gömbhéjnak? ρ = 8,9 kg/liter. 74.H a.) Mekkora a tömege a 3 mm vastag, 12 cm belső sugarú, alumíniumból készült gömbhéjnak? ρ = 2,7 g/cm 3. b.) Mekkora a tömege a 2 cm vastag, 11 cm külső sugarú, 6,2 kg/dm 3 sűrűségű ötvözetből készült fémgömbnek? c.) Egy 5 cm sugarú tömör rézgömböt 2 mm vastagon arannyal vonnak be. Hány százalékkal nő meg a tömb tömege az aranyozástól? Az arany sűrűsége 19,3 kg/dm 3, a rézé 8,9 kg/dm 3. Mekkora lesz az aranyozott gömb átlagsűrűsége? Mi történik, ha higanyba helyezzük a gömböcskét? (A természettudományok ismétlése sosem árt ) 75. Egy vasból készült 1 mm vastag gömbhéj tömege 8 kg. Mekkora a külső sugara? 75.H a.) Egy rézből készült 2 mm vastag gömbhéj tömege 100 kg. Mekkora a külső sugara? b.) Egy díszgömb fala 1 mm vastag. Ha a gömböt víz alá nyomjuk, 865,7 cm 3 -t szorít ki. Mennyi lenne a vízkiszorítás, ha a gömbön két picinyke lyukat ütnénk, amin át a víz a gömb belsejébe áramolhat? 76. Mekkora távolságban van a 13 cm sugarú gömb középpontjától a 144π területű síkmetszete? 76.H a.) Mekkora területű a 10 cm sugarú gömbnek az a síkmetszete, amelyik az egyik sugár felezőmerőleges-síkjában van? b.) Egy gömböt a középpontjától 8 cm távolságban elvágva, egy 225 cm 2 területű körlapot kapunk. Mekkora területű lenne ez a síkmetszet, ha a középponttól 10,2 cm-re vágnánk el a gömböt? 77. Egy kocka köré írt gömb felszíne 12π. Határozzuk meg a kocka lapjait, illetve a kocka éleit érintő gömb felszínét! A lapokat illetve az éleket érintő gömbök felszínei rendre: 4π és 8π. 77.H a.) Egy kocka beírt gömbjének térfogata 36π. Határozzuk meg a kocka éleit érintő ill. a kocka csúcsain áthaladó gömbök térfogatát! b.) Egy kocka éleit érintő gömb átmérője 1 cm-rel kisebb a kocka csúcsain áthaladó gömb átmérőjénél. Mekkora a kocka beírt gömbjének felszíne és térfogata? 78. Mekkora sugarú gömb felszínével egyezik meg az egységnyi oldalú kocka felszíne? 78.H a.) Mekkora sugarú gömb térfogatával egyezik meg az egységnyi oldalú kocka térfogata? b.) Mekkora magasságú egyenlő oldalú henger térfogatával egyezik meg az egységnyi sugarú gömb térfogata? c.) Mekkora alkotójú egyenlő oldalú kúp felszínével egyezik meg az egységnyi sugarú gömb felszíne? d.) Mekkora sugarú félgömb felszínével egyezik meg az egységnyi sugarú gömb felszíne? 79. Van-e olyan gömb, amelynek felszíne és térfogata is cm 2 -ben illetve cm 3 -ben kifejezett értéke egész szám? 79.H a.) Van-e olyan gömb, amelynek felszíne és átmérője is cm 2 -ben illetve cm-ben kifejezett értéke egész szám? b.) Van-e olyan gömb, amelynek térfogata és átmérője is racionális szám (cm 3 -ben ill. cm-ben kifejezve)? c.) Lehetséges-e, hogy egy gömb felszíne és a belőle készült félgömb felszíne egyszerre egész szám (azonos egységekben kifejezve)? VII. Gúla 80. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 8 cm, testmagassága 5 cm. Határozzuk meg a gúla felszínét, térfogatát, éleinek összegét! 80.H a.) Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 10 cm; oldaléle13 cm. Határozzuk meg a gúla felszínét, térfogatát, éleinek összegét! b.) Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 16 cm, testmagassága 15 cm. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? 81. Egy szabályos háromoldalú gúla alapéle 10 cm; magassága 8 cm. Határozzuk meg a gúla felszínét, térfogatát, éleinek

7 összegét! 81.H a.) Egy szabályos háromoldalú gúla alapéle 8 cm, magassága 9 cm. Határozzuk meg a gúla felszínét és térfogatát! b.) Egy szabályos háromoldalú gúla alapéle 18 cm, oldaléle 20 cm. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? 82. Egy szabályos tetraéder alapéle 6 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 82.H a.) Egy szabályos tetraéder alaplapjának magassága 8 cm. Mekkora a felszín és a térfogat? b.) Egy szabályos tetraéder térfogata cm 3. Mekkora a felszíne? 83. Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 5 cm, oldaléle 13 cm. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? 83.H a.) Egy szabályos hatoldalú gúla testmagassága 24 cm; az oldallapok magassága25 cm. Határozzuk meg a gúla felszínét és térfogatát! b.) Egy szabályos hatoldalú gúla alapéle 30 cm, oldaléle 50 cm. Mekkora a felszíne és térfogata? 84. Egy szabályos ötoldalú gúla alapéle 12 cm, térfogata 100 cm 3. Mekkora a felszíne? 84.H a.) Egy szabályos nyolcoldalú gúla alapéle 6 cm, térfogata 210 cm 2. Mekkora a felszíne? b.) Egy szabályos tizenkét oldalú gúla alaplapjának leghosszabb átlója 8 cm, térfogata 400 cm 3. Mekkora a felszíne? 85. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 8 cm. az oldallapok az alaplappal 70º-os szöget zárnak be. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? 85.H Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 12 cm, az oldallapok magassága 8 cm. Mekkora szöget zár be a.) az alaplap síkja az oldallap síkjával b.) az oldalél az alapéllel c.) az oldalél az alaplap síkjával? 86. Egy tetraéder egyik csúcsába befutó élek páronként merőlegesek egymásra, hosszuk 12 cm; 18 cm; 32 cm. Számítsuk ki a tetraéder felszínét, térfogatát, éleinek összhosszúságát! 86.H a.) Egy tetraéder egyik csúcsába befutó élek páronként merőlegesek egymásra, hosszuk 3 cm; 4 cm; 5 cm. Számítsuk ki a tetraéder felszínét, térfogatát, éleinek összhosszúságát! b.) Egy tetraéder egyik csúcsába befutó élek páronként merőlegesek egymásra. A másik három él hossza 10 cm; 17 cm; 261 cm. Határozzuk meg a tetraéder felszínét! 87. Egy szabályos ötoldalú gúla minden éle egyenlő, térfogata 900 cm 3. Mekkorák az élek? 87.H a.) Egy szabályos négyoldalú gúla minden éle egyenlő, felszíne 9 (1+ 3) egységnégyzet. Mekkora az élek összege, illetve a gúla térfogata? b.) Egy szabályos hatoldalú gúla oldalélei egyenlők az alapél kétszeresével. A gúla térfogata 400 cm 3. Mekkora a felszíne, az élek összege? VIII. Testek körülírt és beírt gömbje 88. Egy egyenes körkúp alapkörének átmérője 12 cm, a kúp térfogata 96π cm 3. Mekkora a kúp köré írt és beírt gömbjének sugara? A körülírt gömb sugara 6,25 cm. A beírt gömb sugara 3 cm. 88.H a.) Egy egyenes körkúp alapkörének területe 64π; alkotója 17. Számítsuk ki a kúp köré írt és beírt gömbjének sugarát, átmérőjét, felszínét, térfogatát! b.) Egy egyenes körkúp felszíne 1176π, magassága 7 egység. Határozzuk meg a kúp köré írt és beírt gömbjének térfogatkülönbségét! (BEADANDÓ!) c.) Egy egyenes körkúp alapkörének sugara 3 cm, alkotója 5 cm. Milyen távol van egymástól a kúp köré és a kúpba írható gömb középpontja? 89. Egy 62,5 cm átmérőjű gömbbe olyan egyenes körkúpot írunk, amelynek a magassága 50 cm. Mekkora a kúp felszíne, térfogata, beírt gömbjének sugara? 89.H a.) Egy 15 cm sugarú gömb köré olyan egyenes körkúpot írunk, amelynek az alapköre 900π területű. Mekkora a kúp köré írt gömb sugara, felszíne, térfogata? b.) Egy egyenes körkúp köré írható gömbjének sugara 8 cm, az alapkör sugara pedig 6,4 cm. Mekkora a kúp beírt gömbjének sugara? c.) Egy egyenes körkúp beírt gömbje 12π cm 3 térfogatú. A kúp nyílásszöge derékszög. Mekkora a körülírt gömb térfogata? 90. Egy szabályos négyoldalú gúla alaplapjának területe 576 egységnégyzet, magassága 16 egység. Határozzuk meg a gúla köré írt és beírt gömbjének sugarát! 90.H a.) Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 18 cm, oldaléle 1762 cm. Mekkora a gúla köré írt és beírt gömbjének sugara? b.) Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 8 méter, magassága 15 méter. Mekkora a gúla köré írt és beírt gömbjének térfogata? c.)egy szabályos négyoldalú gúla körülírt gömbjének a sugara 8 cm, a beírt gömb sugara 1 cm. Mekkora a gúla magassága? m 1 = cm; m 2 = 7 15 cm. 91. Egy szabályos háromoldalú gúla alapéle 36 3 cm, oldaléle 7696 cm. Határozzuk meg a gúla köré írt és beírt gömbjének sugarát! 91.H a.) Egy szabályos háromoldalú gúla alaplapja 27 3 egységnégyzet területű, a testmagasság 4 cm. Mekkora a gúla köré írt és beírt gömbjének sugara? b.) Egy szabályos háromoldalú gúla alapéle 5 cm, testmagassága 10 cm. Mennyivel nagyobb a gúla köré írt gömbjének térfogata a beírt gömb térfogatánál? 92. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos tetraéder magasságai egy pontban metszik és negyedelik egymást! 92.H a.) Bizonyítsuk be, hogy a szabályos tetraéder köré írható gömbje 27-szer akkora térfogatú, mint a beírt gömbje! b.) Egy szabályos tetraéder köré írható gömbjének felszíne 360π területegység. Mekkora a beírt illetve az éleket érintő gömb felszíne? c.) Egy szabályos tetraéder éle 8 cm. Mekkora a körülírt, a beírt és az éleket érintő gömb sugara? d.) Egy szabályos tetraéder beírt gömbjének térfogata 520π térfogategységgel kisebb, mint a körülírt gömb térfogata. Mekkora a tetraéder térfogata? (BEADANDÓ!) 93. Egy gömb sugara 12 egység. Határozzuk meg a gömbbe írható legnagyobb térfogatú henger adatait! 93.H a.) Egy gömb sugara 18 egység. Határozzuk meg a gömbbe írható legnagyobb felszínű henger adatait! b.) Egy gömb sugara 24 egység. Határozzuk meg a gömbbe írható legnagyobb térfogatú egyenes körkúp adatait!

8 c.) Egy gömb sugara 3600 egység. Határozzuk meg a gömbbe írható legnagyobb felszínű egyenes körkúp adatait! 94. Egy ferde körkúp leghosszabb alkotója 8 cm, legrövidebb alkotója 6 cm, az alapkör sugara 5 cm. Mekkora a kúp köré és a kúpba írt gömb sugara? 94.H a.) Egy ferde körkúp magassága 15 cm. A magasság talppontjának az alapkör kerületi pontjaihoz húzott vezérsugarai 8 cm és 20 cm közötti értékek. Hány százaléka a körülírt gömb térfogatának a kúp térfogata, illetve hány százaléka a kúp térfogatának a beírt gömb térfogata? b.) Egy ferde körkúp csúcsa az alapkör kerületének egyik pontja fölé esik (vagyis a magasság talppontja az alapkör kerületére esik). Az alapkör sugara 20 cm, a körülírt gömb sugara 12,5 cm. Mekkora a beírt gömb sugara? IX. Csonka kúp, csonka gúla 95. Egy egyenes csonka kúp alapköre 10 cm, fedőköre 6 cm sugarú, magassága 8 cm. Határozzuk meg a csonka kúp felszínét és térfogatát a.) a kiegészített kúpból kiindulva; b.) képlet alapján! 95.H a.) Egy egyenes csonka kúp alapköre 14 cm, fedőköre 8 cm sugarú, magassága 15 cm. Határozzuk meg a csonka kúp felszínét és térfogatát! V = 1860π cm 3. Ez kb cm 3. A = kb cm 2. b.) Egy egyenes csonka kúp alapköre 8 cm, fedőköre 6 cm sugarú, térfogata 1036π cm 3. Mekkora a magassága? 96. Egy egyenes csonka kúp alapköre 20 cm, fedőköre 15 cm sugarú, alkotója 13 cm-es. Mekkora a test felszíne és térfogata? 96.H a.) Egy egyenes csonka kúp alapköre 9 cm, fedőköre 6 cm sugarú, alkotója 5 cm-es. Mekkora a test felszíne és térfogata? V = 228π (cm 3 ) Ez kb. 716,3 cm 3. A = 192π (cm 2 ). Ez kb. 603,2 cm 2. b.) Egy egyenes csonka kúp alapkörének sugara 10 cm, alkotói 12 cm hosszúak, és ezek az alaplaphoz 72 fokos szögben hajlanak. Határozzuk meg a csonka kúp felszínét és térfogatát! c.) Egy egyenes csonka kúp magassága 15 cm, alkotója 17 cm, az alapkör és a fedőkör területe összesen 48π cm kerületű. Határozzuk meg a csonka kúp felszínét és térfogatát! 97. Egy körgyűrűcikk belső sugara 8 cm, külső sugara 13 cm, középponti szöge 90º. Mekkora annak a csonka kúpnak a felszíne és térfogata, amelynek ez a körgyűrűcikk a kiterített palástja? 97.H a.) Egy csonkakúp kiterített palástja egy 216º-os nyílásszögű, 30 cm külső és 15 cm belső sugarú körgyűrűcikk. Mekkora a csonkakúp felszíne és térfogata? A = 810π cm 2, ez kb cm 2. V = 2268π (cm 3 ), ez kb cm 3. b.) Egy egyenes csonka kúp palástjának területe 64π, ugyanennyi az alapkör területe is. Az alkotók az alapkör síkjával 60º-os szöget zárnak be. Mekkora a fedőkör területe és mekkora a kiterített palást (körgyűrűcikk) középponti szöge? 98. Egy szabályos hétszög alapú egyenes csonka gúla alaplapjának területe 300 cm 2, a fedőlap területe 75 cm 2, a testmagasság 18 cm. Mekkora a test térfogata? 98.H a.) Egy szabályos ötágú csillag alapú egyenes csonka gúla alaplapjának területe 180 cm 2, a fedőlap területe 45 cm 2, a testmagasság 9 cm. Mekkora a test térfogata? 945 (cm 3 ). b.) Egy szabályos ötszög alapú egyenes csonka gúla alapterülete 2500 cm 2, a fedőlap területe 100 cm 2, a testmagasság 60 cm. Mekkora a test térfogata? Mekkora annak a szabályos ötágú csillag alapú egyenes csonka gúlának a térfogata, amelynek a konvex burka éppen a feladatban szereplő csonka gúla? 99. Egy szabályos négyoldalú csonka gúla alaplapjának éle 12 cm, fedőlapjának területe 36 cm 2. A gúla térfogata 336 cm 3. Mekkora a test felszíne? 99.H a.) Egy szabályos négyoldalú csonka gúla alaplapjának átlója 18 cm, fedőlapjának átlója 12 cm. A gúla térfogata cm 3. Mekkora a test felszíne? 384 (cm 2 ). b.) Egy szabályos négyoldalú csonka gúla alaplapjának területe 1024 cm 2, fedőlapjának területe 324 cm 2. A csonka gúlába olyan gömb írható, amely a mind a hat lapját érinti. Mekkora a gúla felszíne és térfogata? Térmértan elméleti kérdések 1. A térfogatmérés axiómái 2. A kocka térfogata, felszíne, lapátlója, testátlója 3. A téglatest felszíne és térfogata; testátlója 4. A hengerszerű testek térfogata és felszíne 5. Az egyenes körhenger térfogata és felszíne 6. A Cavalieri-féle elv 7. A kúpszerű testek térfogata és felszíne 8. Az egyenes körkúp térfogata és felszíne 9. A gömb térfogata 10. A gömb felszíne 11. A csonka kúp és a csonka gúla térfogata 12. Egyenes körkúp köré írt és beírt gömbje 13. Páros oldalú szabályos egyenes gúla köré írt és beírt gömbje (hogyan határozható meg a sugara?) 14. Páratlan oldalú szabályos egyenes gúla köré írt és beírt gömbje (hogyan határozható meg a sugara?) 15. Kitérő egyenesek távolsága 16. Sík és egyenes ill. két sík hajlásszöge 17. A szabályos háromszög magassága, területe; a négyzet átlója. 18. A számtani és mértani sorozat n-edik és k-adik eleme közti összefüggés, valamint az első n elem összege 19. Differenciálási szabályok (csak faktosoknak) 20. Alapfüggvények és deriváltjai (csak faktosoknak) A vastag betűvel szedett tételek bizonyítását is tudni kell!