MECHANIKA SZIGORLAT ELMÉLET

Átírás

1 MECHANIKA SZIGORLAT ELMÉLET

2 TARTALOMJEGYZÉK 1. STATIKA ERİRENDSZEREK Mi nevezünk erınek? Mi a koncenrál erı? Mi a koncenrál erıpár? Hogyan haározzuk meg egy koncenrál erı engelyre számío nyomaéká? Mik a Saika axiómái? Mi a feléele ké erı egyensúlyának? Mi a feléele három erı egyensúlyának? Mi a saikai vekorkeıs? Hogyan lehe kiszámíani egy érbeli erırendszer eredıjé? Mi a cenrális egyenes? Mi az egyensúly feléele? Mikor egyenérékő ké erırendszer? Milyen megoszló erırendszereke ismer? Hogyan lehe meghaározni azok eredıjé? SÚLYPONTSZÁMÍTÁS Mi a saikai nyomaék? Mi a definíciója egy merev es súlyponjának? Hogyan számíja ki a súlyponjá: KÉNYSZEREK Mi a kényszer? Mi a szabadságfok? Hány szabadságfoka van egy merev esnek? Miıl függ egy kényszer szabadságfokainak száma? Mi nevezünk ideális kényszernek? Hány szabadságfoka van a kövekezı kényszereknek: Mikor mondunk egy merev ese/szerkezee saikailag haározonak? RÚDSZERKEZETEK Mi nevezünk rácsos szerkezenek? Mi a szükséges feléele annak, hogy egy rácsos szerkeze saikailag haározo legyen? Miér nem elégséges ez a feléel? Mi a csomóponi módszer lényege? Mi az ámeszı módszer lényege? Mi a vakrúd? Miér van rá szükség? Mi nevezünk csuklós szerkezenek?... 15

3 Mi a bakállvány? Mi a részekre bonás elve? Mi a szuperpozíció? IGÉNYBEVÉTELEK Mi az igénybevéel? Hány igénybevéeli fajá ismer? Mi a normálerı? Mi a nyíróerı? Mi a hajlíó nyomaék? Mi a csavaró nyomaék? Mi az összefüggés a megoszló erırendszer, a nyíróerı és a hajlíó nyomaék függvény közö? Ez milyen kövekezménnyel jár az igénybevéeli ábrák rajzolásánál? Hogyan válozaja meg az igénybevéeleke rúdszerkezeben? Hogyan lehe meghaározni az igénybevéeleke síkgörbe rudakban? NEM IDEÁLIS KÉNYSZEREK Mi nevezünk Coulomb-súrlódásnak? Mi a súrlódási kúp? Mi a apadási súrlódási ényezı? Mi az önzárás? Mi az egyensúly feléele Coulomb-súrlódás eseén? Mi az egyensúly feléele köélsúrlódás eseén? Mi a gördülı ellenállás karja? Hol jelenik meg a gyakorlaban a gördülı ellenállás? SZILÁRDSÁGTAN RÚDMODELL Milyen mechanikai modell nevezünk rúd -nak? Mi a súlyponvonal és mi a kereszmesze? Hogyan használjuk az igénybevéeli ábráka a rúd méreezésekor, ellenırzésekor? Mi a Bernoulli-hipoézis? Miér van rá szükség? Mi a Sain-Venan-elv? Milyen feszülség ébred a rúd egy kereszmeszeében? Mi a hajlíás engelye? Mikor beszélünk isza és mikor egyenes hajlíásról? Mi a zérusengely ferde hajlíás eseén? Mi a Grashof-képle? Mikor használjuk? Milyen a feszülség eloszlása görbe rúd ado kereszmeszeében? Milyen irányú a csúszaó feszülség kör kereszmeszeő rúd csavarásakor a kereszmesze eszıleges ponjában? Mi ud a csúszaó feszülség irányáról nyírás eseén?

4 Hogyan haározza meg a rúd kereszmeszeének szükséges méreé? Minek alapján végzi el a rúd szilárdsági ellenırzésé összee igénybevéel eseén? Mik a veszélyes kereszmeszeek ill. ponok?: SÍKIDOMOK MÁSODRENDŐ NYOMATÉKAI Mi a definíciója és mi a fizikai aralma a kövekezı mennyiségeknek? Mi mond ki a párhuzamos engelyek éele (Seiner-éel)? Mik egy ponhoz arozó másodrendő nyomaéki márix elemei és mire használjuk ez a márixo? Mik a másodrendő nyomaéki fıengelyek és a fı másodrendő nyomaékok? Hogyan haározzuk meg a fıengelyeke és a fı másodrendő nyomaékoka? A szilárdságan mely émaköreiben és hogyan használjuk fel a másodrendő nyomaékoka? 5.3. RUDAK ALAKVÁLTOZÁSA Mi a rugalmas szál differenciálegyenlee? Mik a járulékképleek? Hogyan számolja ki egyensúlyi erırendszerrel erhel rúd egy ado kereszmeszeének? Hogyan számol alakválozási energiá rudakban? Mi a kapcsola az alakválozási energia és a munkaéelek közö? Mi a Bei-éel? Mi a Casigliano-éel? Mikor mondunk egy rúdszerkezee saikailag haározalannak? Hogyan lehe meghaározni a reakcióka és a belsı erırendszer saikailag haározalan rúdszerkezeben? Mikor lép fel a kihajlás veszélye? A kereszmesze melyik engelye körül kövekezik be a kihajlása? Mik a kövekezık? Hogyan ellenırzünk kihajlásra? Mi adnak meg az Euler- és a Temajer-képleek? Mikor érvényes az Euler- és mikor a Temajer-képle? 9.4. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT Mi a feszülségi állapo? Mi a feszülség vekor? Mi a normál és csúszaó feszülség? Mi szükséges ahhoz, hogy egy ponban ismerjük a feszülségi állapoo? Mire használhaó a feszülségi kis kocka? Mi a feszülségi enzor? Mi a különbség a feszülségi enzor és márix közö? A feszülségi enzor ismereében hogyan kapjuk meg egy eszıleges síkhoz arozó feszülség vekor, ennek normál és csúszaó komponensei? Mi nevezünk fıfeszülségnek és feszülségi fıiránynak?

5 Hogyan ábrázoljuk a feszülségi állapoo Mohr-körökkel? Mi a feszülségi deviáor? ALAKVÁLTOZÁSI ÁLLAPOT Mi a fajlagos nyúlás és a szögválozás definíciója? Mi az alakválozási állapo? Mi szükséges ahhoz, hogy egy ponban ismerjük az alakválozási állapoo? Mi az alakválozási enzor? Az alakválozási állapo ismereében hogyan számolja ki az ado ponban egy eszıleges irányhoz arozó fajlagos nyúlás éréké? Az alakválozási állapo ismereében hogyan számolja ki az ado ponból kiinduló, ado irányú rövid vonaldarab hosszának megválozásá? Mi nevezünk fınyúlásnak és alakválozási fıiránynak? Mikor mondhajuk kicsi -nek az alakválozás? Kis alakválozás eseén mi írja le a fajlagos érfogaválozás egy pon környezeében? Milyen eseben nem használhaó ez? Mi az alakválozási enzor érfogaválozás ill. az alakorzulás leíró része? ANYAGTÖRVÉNY Mi a Hooke-örvény? Mikor használhaó? Mi jelen az, hogy az anyag: Mi jelen az, hogy az anyag lineárisan rugalmas?: Mik közö ad kapcsolao az álalános Hooke-örvény? Írja fel ez a kapcsolao! MÉRETEZÉS, ELLENİRZÉS Mi a megengede feszülség? Mi lehe veszélyes feszülség? Mi a bizonsági ényezı? Mi a feszülségcsúcsra örénı méreezés alapelve? Mi jelen az ellenırzés? Mi az egyenérékő (redukál) feszülség? Mi az egyenérékőség alapja? Miér nevezik a HMH-elmélee munkaelmélenek is? Hogyan számolja ki az egyenérékő feszülsége? FORGÁSHÉJAK MEMBRÁNELMÉLETE Mi jelen a membrán feszülségi állapo hipoézis? Milyen feléelek eljesülése eseén fogadhaó el? Mik a feszülségi fıirányok a héj eszıleges ponjában? Mik a fı görbülei sugarak? Mik a fı görbülei sugarak Milyen képleekkel számolhaók a feszülségek? Hogyan számolja ki hengeres héj eseén az alábbiaka? KÜLSİ ÉS BELSİ NYOMÁSSAL TERHELT VASTAG FALÚ CSİ

6 .9.1. Milyen koordináa rendszer használunk a feszülségi állapo leírásához? Mik az alakválozási és feszülségi fıirányok a csıfalban? Milyen a feszülségek eloszlása a sugár menén? Hogyan számolja a feszülségeke? Mik a peremfeléelek? Mi jelen az, hogy a csı nyio illeve zár? Hogyan számolja ki a csı alábbi ulajdonságai? Hol legnagyobb az egyenérékő feszülség és hogyan haározza meg? KINEMATIKA ÉS DINAMIKA ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA Mi a definíciója a kövekezı alapfogalmaknak? MEREV TEST KINEMATIKÁJA Mi nevezünk merev esnek? Mikor ismer egy merev es pillananyi sebességállapoa? Hogyan oszályozzuk a pillananyi mozgásoka? Mi érünk pillananyi forgásengelyen? Mi jellemzi a pillananyi csavarmozgás? Hogyan kereshejük meg a pillananyi csavarmozgás engelyé? Mikor ismer egy merev es pillananyi gyorsulásállapoa? Mi érünk egy merev es véges mozgásán? Milyen véges mozgásoka ismer? Mely véges mozgás eseén beszélheünk pillananyi sebességpólusról, illeve gyorsuláspólusról? Mi a sebességpólus? Hogyan kereshejük meg a helyé? Hogyan számíhajuk ki a pólusvándorlás sebességé? Melyik pólusra vonakozik ez? Mi érünk álló, illeve mozgó pólusgörbe ala? Milyen kapcsolaban állnak egymással? Mi a gyorsuláspólus? Hogyan kereshejük meg a helyé? Mi a sebességábra és milyen jellemzıi ismeri? Mi a gyorsulásábra és milyen jellemzıi ismeri? RELATÍV KINEMATIKA Mi a szállíó sebesség? Mi a szállíó gyorsulás? Milyen összefüggés írhaó fel egy vekor - skalár függvény egymáshoz képes mozgó koordináa-rendszerekben képze idı szerini elsı deriváljai közö? Mely eseekben lesz zérus a Coriolis gyorsulás? ANYAGI PONT DINAMIKÁJA Írja fel a dinamika alapörvényé anyagi ponra és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! 47 6

7 3.4.. Írja fel az impulzus éel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a perdüle éel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a eljesímény éel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a munkaéel anyagi ponra és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Definiálja a kineikai nyomaék vekor anyagi ponra! Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerősödik! ANYAGI PONTRENDSZEREK DINAMIKÁJA Írja fel a dinamika alapörvényé anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel az impulzus éel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a perdüle éel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a eljesímény éel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a munkaéel anyagi ponrendszerre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Definiálja a kineikai nyomaék vekor anyagi ponrendszerre! Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerősödik! MEREV TESTEK DINAMIKÁJA Írja fel a eheelenségi nyomaék márixának álalános alakjá és adja meg az egyes elemek kiszámíási szabályá! Adjon példáka olyan szimmeriákra, amikor a eheelenségi nyomaék márixa egyszerőbb alakú! Mi mond ki a párhuzamos engelyek éele? Adja meg a perdüle derivál számíására vonakozó Euler-formulá! Írja fel a dinamika alapörvényé merev esre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel az impulzus éel merev esre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a perdüle éel merev esre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke!: Írja fel a eljesímény éel merev esre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Írja fel a munkaéel merev esre és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Definiálja a kineikai nyomaék vekor merev esre! Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerősödik! Hogyan számíjuk ki egy merev es kineikus energiájá? Soroljon fel olyan eseeke, amikor az álalános kifejezés alakja leegyszerősödik! Mi a gördülés kinemaikai illeve dinamikai feléele? Mikor nevezünk egy forgórész saikailag kiegyensúlyozalannak? Mikor nevezünk egy forgórész dinamikailag kiegyensúlyozalannak? ÁLTALÁNOS KÉRDÉSEK Fogalmazza meg Newon I., II., illeve III. axiómájá! Mi nevezünk inerciarendszernek?

8 Mikor nevezünk egy erı poenciálosnak? Adjon példáka poenciálos és nem poenciálos erıkre! Mi jellemzi a konzervaív erıereke?: Mi nevezünk kényszermozgásnak? Mi nevezünk ideális kényszernek? Mi üneünk fel a szabad es ábrán? GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK Írja fel a dinamika alapörvényé gyorsuló koordináarendszerben és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Milyen nem valódi (járulékos) erık léphenek fel gyorsuló koordináarendszerekben? LENGÉSTAN ÁLTALÁNOS KÉRDÉSEK Mik a lengırendszer elemei? Mi a rugóállandó? Mi a rugómerevség? Mi a mérékegysége a rugóállandónak, a rugómerevségnek? Mi jelen: orziós rugó, longiudinális rugó? Mi a rugalmas energia, és hogyan számíjuk ki? Mi jelen a lengésanban a poenciálos erı fizikailag és maemaikailag? Adjon rá példá!: Mi jelen a konzervaív mechanikai rendszer? Mi jelen: lineáris rendszer? Mi jelen linearizálni a mozgásegyenlee? Rugalmas rudak min rugók eseében hogyan számíhaó a rugómerevség? Mi a fizikai jelenése és a képlee a húzó-, hajlíó- és csavaró-merevségnek, mi a kapcsolaa a rugómerevséggel? Mi jelen egy mechanikai rendszer szabadságfoka? Mi az ideális kényszer? Adjon rá példá! Mi az álalános koordináa? Mi az álalános ömeg, mi a mérékegysége? Mi az egyenérékő rugómerevség, mi a mérékegysége? Mi az egyenérékő csillapíási ényezı, mi a mérékegysége? Mi a Rayleigh-féle disszipaív függvény, mi a mérékegysége? Mi az álalános erı, mi a mérékegysége? EGYSZABADSÁGFOKÚ LENGİRENDSZEREK: Mi az egyszabadságfokú lengırendszer egyenérékő modellje? Mik a benne szereplı mennyiségek jelenései, mérékegységei? Mi az egyszabadságfokú lengırendszer mozgásegyenlee? Mi a kényszerrezgés? Mi az egyszabadságfokú lengırendszer lengésé leíró mozgásörvény, és mi a benne szereplı mennyiségek jelenése? Mi a sajáfrekvencia, a sajákörfrekvencia, a periódusidı?

9 4..6. Mi a kapcsola a sajáfrekvencia és a sajákörfrekvencia közö? Mi a rezonancia Mi a saikus kiérés? Mi a rugók elıfeszíésének haása a lengırendszer dinamikai ulajdonságaira, és a lengés lefuására? Mi az álalános koordináa nulla éréke különbözı felvéelének haása a lengırendszer dinamikai ulajdonságaira, és a lengés lefuására?: Mi a definíciója a Lehr-féle csillapíási ényezınek? Miér hívják a Lehr féle csillapíási ényezı relaív csillapíásnak? Hasonlísa össze a szárazsúrlódással csillapío lengırendszer a sebességgel arányos csillapíású lengırendszerrel! Milyen örvényszerőség szerin csökkennek a kiérések szárazsúrlódásos csillapíás eseén? Milyen örvényszerőség szerin csökkennek a kiérések viszkózus csillapíás eseén? Mi a bizonyalansági sáv? Mi a rezonanciagörbe? Mi van a engelyeken, mi a paraméer, milyen különbözı jellegő arományai vannak? Mi a nagyíási ényezı fizikai jelenése? Mi a fáziskésés? Mi jelen az ellenfázis? Mi a frekvenciaviszony, mi a mérékegysége? A rezgésszigeelés haékonyságá hogyan befolyásolja a rendszer relaív csillapíásának éréke? Mi a logarimikus dekremenum, mi a mérékegysége? Mi jelen: gyenge, erıs, kriikus csillapíás? VÉGES SZABADSÁGFOKÚ LENGİRENDSZEREK Írja fel a másodfajú Lagrange-egyenlee és érelmezze a benne szereplı mennyiségeke! Milyen feléel eljesülése eseén használhaó a Lagrange-féle mozgásegyenleek márix alakja véges szabadságfokú lengırendszer eseén? Írja fel egy n-szabadságfokú lengırendszer márix mozgásegyenleé! Hogyan számíhaók a ömegmárix elemei? Hogyan számíhaók a csillapíási márix elemei? Hogyan számíhaók a merevségi márix elemei? Hogyan számíhaók az álalános erıvekor elemei? Mi a modálanalízis? Hasonlísa össze a mechanikai rendszer mozgásegyenleeinek felírására szolgáló Newon-Euler módszer az analiikus módszerrel! Mi a lengéskép fizikai aralma? Miér válaszjuk a lengéskép elsı koordináájá 1-nek?: Mi jelen a csomópon a lengésképben? Mi a frekvenciaegyenle és mi a karakeriszikus egyenle?

10 Hogyan kell érelmezni a lengésképe, ha az álalános koordináák mérékegysége különbözı? Hány gyöke van a frekvenciaegyenlenek? Milyen közelíı módszereke ismer a legkisebb sajáfrekvencia kiszámíására? Mi a Rayleigh-elv? Mi a Rayleigh-hányados? Hogyan alkalmazzuk a Sodola-ieráció? Hogyan közelíi a valódi sajákörfrekvenciá a Rayleigh-hányadossal ill. a Dunkerleyelvvel számío érék? Mi a saikus és dinamikus csaolás?

11 1. STATIKA 1.1. Erırendszerek Mi nevezünk erınek? Az erı a esre haó oló haás méréke Mi a koncenrál erı? A koncenrál erı az-az erı, amelynek haásá egyelen ponba képzeljük Mi a koncenrál erıpár? A koncenrál erıpár egy olyan M 1 vekor, amelynek nincs oló haása és forgaó haása (nyomaéka) a es bármely ponjára ugyanaz (ehá szabadvekor, ami a es bármely ponjába áhelyezheı) Hogyan haározzuk meg egy koncenrál erı engelyre számío nyomaéká? A koncenrál erı felbonjuk a engelyre merıleges és azzal párhuzamos összeevıkre. A nyomaék az erı engelyre merıleges komponensének és a k erıkarnak a szorzaa, ahol k a engely irányának, és az erı haásvonalának a normál ranszverzálisa. Az erı, a haásvonalával párhuzamos engelyre nem ad nyomaéko Mik a Saika axiómái? Newon III. axiómája: Ké es egymásra gyakorol mechanikai haása mindig azonos haásvonalú, azonos nagyságú és ellenées érelmő. Ké erı egyensúlya: Ké erı akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha azonos haásvonalúak, azonos nagyságúak és ellenées érelmőek. Erıösszeg: Közös ámadásponú erırendszer mindig helyeesíheı egy egyenérékő erıvel, mely az egyes részerık vekori eredıje. Merev es egyensúlya: Merev es egyensúlya nem válozik, ha egy önmagában egyensúlyi erırendszerrel módosíjuk. Deformálhaó es egyensúlyi állapoában merev esel helyeesíheı Mi a feléele ké erı egyensúlyának? Ké erı akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha azonos haásvonalúak, azonos nagyságúak és ellenées érelmőek Mi a feléele három erı egyensúlyának? A három erı a síkban akkor van egyensúlyban, ha haásvonalaik egy ponban meszıdnek, és a három erı vekora zár vekorháromszöge alko. 11

12 Mi a saikai vekorkeıs? Bármely erırendszer helyeesíheı egy saikai vekorkeıssel a sík bármely ponjában, amely áll: egy F erıbıl, amely az összes erı vekori eredıje: F n = i= 1 F i és egy erıpárból, amely: M = M + r F ámadásponjába muaó helyvekor. Így a saikai vekorkeıs: [ F; M ] m i j j i= 1 j= 1 n, ahol: r az ado ponból az erı Hogyan lehe kiszámíani egy érbeli erırendszer eredıjé? 0 0 Minden érbeli erırendszer legegyszerőbb eredıje egy koncenrál erı, és egy vele párhuzamos nyomaékvekor. Az F erı az összes erı vekori eredıje: F n = i= 1 F i A nyomaékvekor: M = M + r F m i j j i= 1 j= 1 ámadásponjába muaó helyvekor. Így a saikai vekorkeıs: [ F; M ] Mi a cenrális egyenes? n, ahol: r az ado ponból az erı 0 0 A cenrális egyenes (síkra) az erırendszer helyeesíı F erı haásvonala, melynek bármely ponjára az eredei erırendszer nyomaéka nulla. Álalánosan: Azon a ponon, - ahol az elıbbi legegyszerőbb eredı érvényes ámenı, az erıvel párhuzamos egyenes a cenrális egyenes Mi az egyensúly feléele? Az összes erı vekori eredıje nulla kell, hogy legyen, valamin az erırendszer nyomaéka bármely ponra nulla Mikor egyenérékő ké erırendszer? Ké erırendszer saikailag egyenérékő, ha bármely ponba redukálva az erırendszereke ugyanaz a vekorkeıs kapjuk Milyen megoszló erırendszereke ismer? Hogyan lehe meghaározni azok eredıjé? Vonalmenén, felülemenén és érfogamenén megoszló erhelés. Az eredı erı a megoszló erhelés inenziása és a megoszló erhelés hosszának, felüleének, vagy érfogaának szorzaa. Az eredı helye pedig a erhelés középponja. 1

13 1.. Súlyponszámíás Mi a saikai nyomaék? Egy anyagi pon saika nyomaéka egy esre: S = ( r) dm az m ömegő esre. ( m) 1... Mi a definíciója egy merev es súlyponjának? A súlypon az a pon, amelyre az anyagi ponrendszer saikai nyomaéka nulla Hogyan számíja ki a súlyponjá: rúdnak: x s n l x i i= 1 = l i lemeznek: esnek: x s n A x = A = i i i i i= 1 i= 1 ; ys n A y i i i i i i i= 1 i= 1 i= 1 = ; = ; = s s s A n n n m x m y m z x m y m z m i i i 1.3. Kényszerek Mi a kényszer? A kényszerek olyan kapcsolaok a esek közö, amelyek azok egymáshoz képesi mozgásá valamilyen módon gáolják, vagy akadályozzák Mi a szabadságfok? A szabadságfok a es gáolalan mozgásformáinak száma. Az egyérelmő mozgásleíráshoz szükséges függelen skalárfüggvények száma Hány szabadságfoka van egy merev esnek? síkban: 3 érben: Miıl függ egy kényszer szabadságfokainak száma? Aól, hogy mennyi és milyen faja mozgásoka ud gáolni Mi nevezünk ideális kényszernek? Az ideális kényszerek olyan kényszerek, amelyekben nincs ellenállás a leheséges mozgásokkal szemben. 13

14 Hány szabadságfoka van a kövekezı kényszereknek: egyszerő ámasz: 1 görgı: 1 csukló: csúszka: befogás: síkban: 3; érben: Mikor mondunk egy merev ese/szerkezee saikailag haározonak? Akkor, ha ponosan annyi szabadságfokáól foszouk meg kényszerekkel, min amennyivel rendelkezik Rúdszerkezeek Mi nevezünk rácsos szerkezenek? A rácsos szerkeze olyan rudakból áll, amelyek csak ké végükön csalakoznak egy, vagy öbb másik rúdhoz. (a csalakozási helye csomóponnak nevezzük). A külsı erırendszer koncenrál erıkbıl áll, és ezek csak csomóponokban mőködnek. Egy rúdra a csalakozó csomóponról mőködı erınek rúdirányúnak kell lennie, és fordíva is Mi a szükséges feléele annak, hogy egy rácsos szerkeze saikailag haározo legyen? Az, hogy a függelen egyensúlyi egyenleek és az ismerelenek száma ponosan megegyezik. Valamin: c = r + n, ahol: - c a csomóponok száma, k r a rudak száma, n k a külsı kényszerekkel leköö szabadságfokok száma Miér nem elégséges ez a feléel? Azér, mer még fenn kell állnia, hogy: r = c 3, amely csak rúdháromszögekbıl felépíe rácsos szerkeze eseén elégséges Mi a csomóponi módszer lényege? A szerkeze csomóponjainak egyensúlyából haározzuk meg a rúderıke, sorra véve minden csomópono. Csak olyan csomóponból indulhaunk ki, vagy érheünk á, ahol az összefuó rúderık közül csak keı az ismerelen Mi az ámeszı módszer lényege? A módszer lényege, hogy a szerkezee úgy vágjuk szé egy vonallal ké különálló részre, hogy csak három ruda vágunk el, és ezek nem fuhanak össze közös csomóponba. 14

15 Az elvágo rudakban ébredı rúderıke az egyik fél egyensúlyából meghaározhajuk (3 egyenle 3 ismerelen) Mi a vakrúd? Miér van rá szükség? A vakrúd olyan rúd, amelyben nem ébred rúderı. Bizonsági okokból van rá szükség, azér, hogy ha valamelyik rúd önkremegy a szerkezeben, akkor a megnövekede erhelés felvegye Mi nevezünk csuklós szerkezenek? Az olyan szerkezeeke, amelyben a rudak csuklókkal kapcsolódnak össze, csuklós szerkezenek nevezzük Mi a bakállvány? A háromcsuklós szerkezeek alappéldája. Ezek jellegzeessége, hogy a reakciókényszereke ké csukló alkoja, és az ezeken fellépı erık egyike sem rúdirányú, valamin ké merev esbıl állnak, melyek csuklóval kapcsolódnak egymáshoz, és mindké merev esen vannak akív erık Mi a részekre bonás elve? A részekre bonásnál például a ké rúdból álló feni szerkezee felbonjuk ké különálló merev esre, ahol megjelenik a csuklóerı is. Ezálal a ké rúd rúderı-összeevıibıl és a csuklóerı ké összeevıjébıl összesen 6 ismerelen kapunk, melyekre 6 egyensúlyi egyenle írhaó fel. Ebbıl meghaározhaók az ismerelenek Mi a szuperpozíció? Egy szerkezee vizsgálhaunk úgy is, hogy egyszerre a erhelı erırendszernek csak az egyik felé adjuk rá a szerkezere, ezzel meghaározhajuk például a reakcióerıke. Majd a erhelı erırendszer másik részére is kiszámíjuk a reakcióka, az eredı reakció erırendszer a ké rész-reakció erırendszer összege lesz Igénybevéelek Mi az igénybevéel? Az igénybevéel, a kereszmeszehez arozó fogalom. Belsı erı jelen, amely akkor válik láhaóvá, ha a kereszmesze síkjával ké részre vágjuk a ruda. Az egyik felé megarjuk, a másik felére mőködı erırendszer haásá póoljuk: redukáljuk ez az erırendszer a kereszmesze súlyponjába, ez szolgálaja az igénybevéeleke Hány igénybevéeli fajá ismer? Mi a normálerı? A normálerı a kereszmesze síkjára merıleges erı. 15

16 Mi a nyíróerı? A nyíróerı a kereszmesze síkjával párhuzamos erı Mi a hajlíó nyomaék? A hajlíó nyomaék a kereszmesze síkjával párhuzamos nyomaék Mi a csavaró nyomaék? A csavaró nyomaék a kereszmesze síkjára merıleges nyomaék Mi az összefüggés a megoszló erırendszer, a nyíróerı és a hajlíó nyomaék függvény közö? Ez milyen kövekezménnyel jár az igénybevéeli ábrák rajzolásánál? Egyenes rúdnak isza nyíró igénybevéele nem lehe, a nyírással mindig együ jár a csavarás. Ahol a megoszló erhelésben szakadás van, o: A nyíróerı-ábrának örésponja van, A hajlíó-nyomaéki ábra görbéi közös érinıvel csalakoznak. Ahol koncenrál (nyíró) erı mőködik, o: A nyíróerı-ábrában szakadás van, A hajlíó-nyomaéki függvényben öréspon van. Ahol koncenrál erıpár mőködik, o: A nyíróerı-ábra görbéi közös érinıvel csalakoznak, A hajlíó-nyomaéki ábrában szakadás van. Ahol a nyíróerı-ábra meszi a nulla vonala, o van a maximális hajlíó nyomaék. Az ábrák köz differenciális kapcsola van. A nyíróerı ábra a hajlíó-nyomaéki függvény deriválja Hogyan válozaja meg az igénybevéeleke rúdszerkezeben? a csukló: nem képes felvenni nyomaéko. a csúszka: a merev kapcsola: Hogyan lehe meghaározni az igénybevéeleke síkgörbe rudakban? Az erı(ke) fel kell bonani a kereszmeszere merıleges és azzal párhuzamos összeevıkre, majd a kereszmeszeek helyé a középvonalon felve ívkoordináákkal kell megadni. Minden kereszmeszeben az éppen akuális nagyságú erıkkel kell dolgozni, majd ezeke összeadni. 16

17 1.6. Nem ideális kényszerek Mi nevezünk Coulomb-súrlódásnak? Amikor az érinkezı esek közi felüleek nem ideálisak, akkor azoka csak Coulombsúrlódással udjuk figyelembe venni. A Coulomb-súrlódás: amikor ké- egy ponban vagy felüleen érinkezı -es egymáshoz képes ellenállás nélkül elcsúszha (nincs súrlódás), akkor a ké es köz ébredı erı merıleges a közös érinısíkra. Ez az ideális kényszererı iránya. Ha van súrlódás a ké es közö, akkor a közöük ébredı erı iránya elérhe az ideálisól, és egy kúpon-a súrlódási kúpon- belül, illeve még a palásján is lehe. Ez az erı mindig olyan irányú, amilyen ahhoz szükséges, hogy a ké érinkezı es ne csússzon el egymáshoz képes Mi a súrlódási kúp? Ha van súrlódás ké es közö, akkor a közöük ébredı erı iránya elérhe az ideálisól, és egy kúpon-a súrlódási kúpon- belül, illeve még a palásján is lehe. Ez az erı mindig olyan irányú, amilyen ahhoz szükséges, hogy a ké érinkezı es ne csússzon el egymáshoz képes. Ha az erı éppen a kúp palásján helyezkedik el, akkor a es a megcsúszás haárhelyzeébe kerül Mi a apadási súrlódási ényezı? A súrlódási fél kúpszög angense Mi az önzárás? Akkor alakul ki, ha a súrlódási erı nagyobb, min az igénybevéeli erı. Ennek csavaroknál, illeve kör alakú rudakra feleker köeleknél lehe jelenısége. A húzás haására a szerkeze egyensúlyban marad Mi az egyensúly feléele Coulomb-súrlódás eseén? Az egyensúly feléele, hogy a esek közö haó erı egy kúpon, a súrlódási kúpon belül, vagy annak palásján legyen Mi az egyensúly feléele köélsúrlódás eseén? µ 0 α K1 µ 0 α A köélsúrlódás eseén az egyensúly feléele: e < < e, ahol a KésK a 1 K köélerık Mi a gördülı ellenállás karja? Henger (árcsa, kerék) síkon való gördülésekor az érinkezés nem egy ponban örénik az alakválozás mia, ezér amikor pl.: A G súlyú hengerre elég kicsi M 0 nyomaékú erıpár mőködik, az nem kezd mozogni, hanem nyugalomban marad. Ez úgy leheséges, hogy az érinkezési felüleen lérejövı megoszló reakció-erırendszer eredıje olyan, hogy képes egyensúly arani a G-vel és M 0 -al. A reakcióerı-rendszer eredıjének haásvonala nem esik egybe G haásvonalával, hanem aól k ávolságra van. Úgy mondjuk, hogy a kényszererı ámadásponja képes kilépni az ideális érinkezési ponból, a kilépés maximális éréké f = k max - a gördülı ellenállás karjának nevezzük. 17

18 Hol jelenik meg a gyakorlaban a gördülı ellenállás? Henger (árcsa, kerék) síkon való gördülésekor jelenhe meg, ha a gördülı es például nagyon kis mérékben deformálhaó. Ez eseben az érinkezés vonalmeni érinkezésbıl felülemeni érinkezésbe megy á. 18

19 . SZILÁRDSÁGTAN.1. Rúdmodell.1.1. Milyen mechanikai modell nevezünk rúd -nak? Rúdnak nevezzük az olyan ese, amelynek az egyik méree lényegesen nagyobb a másik keınél..1.. Mi a súlyponvonal és mi a kereszmesze? A súlyponvonal olyan egyenes, amely pl. egy rúd hossza menén minden ponbeli kereszmeszeben a súlyponon halad kereszül. A kereszmesze egy es hosszengelyére ve merıleges meszéke Hogyan használjuk az igénybevéeli ábráka a rúd méreezésekor, ellenırzésekor? Az igénybevéeli ábrák a veszélyes kereszmesze megkereséséhez adnak segísége. Az eseek öbbségében o van a veszélyes kereszmesze, ahol a hajlíó-nyomaéki függvénynek maximuma van. (O van a hajlíónyomaéknak maximuma, ahol a nyíróerı zérus (ill. elıjele vál).) Eıl elérı eseekben o is lehe veszélyes kereszmesze, ahol kisebb hajlíó-nyomaék melle ugyan, de megjelenik egy más faja igénybevéel is, és ezek együ nagyobb kockázao jelenenek. Illeve a nem állandó kereszmeszeő rudak eseén a kisebb erhelés is okozha nagyobb feszülsége egy kisebb kereszmeszeben Mi a Bernoulli-hipoézis? Miér van rá szükség? A Bernoulli hipoézis kimondja, hogy egyenes hajlíás eseén: A kereszmesze síkja ovábbra is sík marad, A kereszmeszeek kereszmeszeek maradnak, A súlyponvonal hossza nem válozik Mi a Sain-Venan-elv? A Sain Venan-elv az mondja ki, hogy az erıbevezeés helyéıl eléggé ávoli ponokban az alakválozási és a feszülségi állapo nem válozik meg, ha az erırendszer egy vele saikailag egyenérékő másik erırendszerrel helyeesíjük (az erıbevezeés helyén). Ez rúd eseén az jeleni, hogy ha a rúd, a hosszához képes kicsiny szakaszon kapja a erhelés (vagy ezen a kicsi hosszon oszlik meg a erhelés), akkor ez helyeesíhejük koncenrál erıvel, illeve erıpárral. Nem vékonyfalú szelvény (kereszmesze) eseén ez a ávolság a kereszmeszei mére 1-1,5 szerese. (Vékonyfalú szelvény eseén sokkal nagyobb is lehe!). Ezen a ávolságon belül a ényleges feszülségi- és alakválozási állapo elér a rudakra levezee, képleekkel számío érékekıl. Ugyanez a helyze ugrásszerő kereszmesze válozás környezeében is Milyen feszülség ébred a rúd egy kereszmeszeében? normál igénybevéel eseén: normál feszülség 19

20 isza hajlíás eseén: normál feszülség (ilyenkor nincs nyírás (a valóságban nem léezik)), egyenes hajlíás eseén normál-, és csúszaó feszülség (ha van nyíróerı). csavarás eseén: csúszaó feszülség. nyírás eseén: csúszaó feszülség Mi a hajlíás engelye? A hajlíó-nyomaék vekora álal kijelöl (súlyponi!) egyenes a kereszmeszeben Mikor beszélünk isza és mikor egyenes hajlíásról? Tisza hajlíáskor nem lép fel nyíró igénybevéel a hajlíás során, az igénybevéel csak hajlíás. (A valóságban ilyen nem léezik). Egyenes hajlíáskor a hajlíás engelye egybeesik a kereszmesze valamelyik súlyponi fıengelyével Mi a zérusengely ferde hajlíás eseén? A zérusengely definíció szerin az a képzelebeli engely, amelyre eljesül, hogy σ = 0. X A zérusengely egyenlee: z M I M I hz y = y Mi a Grashof-képle? Mikor használjuk? hy z Görbe rudak isza hajlíásánál használjuk, a σfeszülség eloszlásá adja meg a kereszmeszeben. M M R h h σ ( z) = z X R A + I R + z, ahol: - M a hajlíó-nyomaék h R a görbülei sugár z a paraméer R A a kereszmesze nagysága. I R R = R + z A z da, a redukál másodrendő nyomaék. Rudak eseén három ese különbözeheı meg: R e > Egyenes rúd: 8, ekkor a Navier-képleel dogozhaunk. R e < Görbe rúd:, ekkor a Grasfof-képlee kell használni. 0

21 R Ha < < 8 e, ekkor is a Grasfof-képle használaos, de egyszerősödik, mivel ez eseben a redukál másodrendő nyomaék jó közelíéssel megegyezik a hajlíás engelyére ve másodrendő nyomaékkal: I y I R Milyen a feszülség eloszlása görbe rúd ado kereszmeszeében? A normál feszülség eloszlása a görbülei sugár irányában a Grashof-képle szerin hiperbolikus, a z=0 ponokban nem nulla. A görbülei középpon felé esı részben lesz nagy a feszülség Milyen irányú a csúszaó feszülség kör kereszmeszeő rúd csavarásakor a kereszmesze eszıleges ponjában? Kör és körgyőrő kereszmeszeő rudak csavarásakor a kereszmesze síkjában csak csúszaó feszülség ébred, ami lineárisan válozik a sugár menén, és merıleges a sugárra (a sugárral rajzol körhöz érinı irányú). A csúszaó feszülség a külsı, kerülei ponokban a legnagyobb, irányíása pedig megegyezik a csavaró nyomaék irányíásával Mi ud a csúszaó feszülség irányáról nyírás eseén? Nyíráskor a csúszaó feszülsége a kövekezı kifejezés adja: V S ( z) y τ( z) τ = xz I a( z), ahol: y V a nyíróerı I y a kereszmesze másodrendő nyomaéka S ( z) a z paraméer álal meghaározo ávolság fölöi kereszmeszerész y saikai nyomaéka az y engelyre. a(z) a z paraméer magasságában a húsvasagság. A nyíróerı irányára merıleges és párhuzamos is azzal (au feszülségek dualiása), és álalában parabolikus alakú (lásd másodrendő nyomaék képlee) Hogyan haározza meg a rúd kereszmeszeének szükséges méreé? Húzás és hajlíás eseén: Feszülségcsúcsra való méreezéskor σ < σ - X XMEG re örekszünk. ahol: Hajlíáskor a legnagyobb feszülség a szélsı szálban ébred, így: I y a kereszmesze másodrendő nyomaéka a hajlíás engelyére. e a szélsı szál ávolsága a hajlíás engelyéıl. σ XMAX M ( x ) hy = e, I y 1

22 Bevezeheı a kereszmeszei ényezı: K y Iy = e K, így: yszüks. M = σ A kereszmeszei ényezıbıl, -mivel az aralmazza a kereszmesze fı méreei a másodrendő nyomaék révén-, meghaározhaók a szükséges méreek. Az így kapo méreeke felfelé kerekíjük, hogy ha visszaszámolunk úgy hogy a húzó igénybevéel is figyelembe vesszük (maximális feszülség N/A-val nagyobb lesz), akkor is megfeleljen, de ha a húzó igénybevéel nem nagyobb nagyságrendekkel a hajlíónyomaékál, akkor a húzó igénybevéelbıl kelekezı feszülség elhagyhaó. hy MEG Húzás és csavarás eseén: Csavarásnál a csúszaófeszülség eloszlásá a kereszmeszeben a kövekezı képle MT adja: τ = r, kör kereszmeszeő rudak eseén, ahol: XMAX I P I p a kereszmesze poláris másodrendő nyomaéka. (Körre: r a sugár paraméer. (szélsı szál) M T a csavaró nyomaék Bevezeheı a kereszmeszei ényezı: K I p =, így: p r K PSZÜKS I p 4 d π = ) 3 3 M d π T = = körre:.. τ 16 I is elhanyagolhaó álalában a húzó igénybevéelbıl származó feszülség Hajlíás és csavarás (eseleg húzás) eseén: Hajlíás, csavarás és húzás eseére a feszülségek egymásra szuperponálódnak. Például hajlíás és húzás számolásakor: σ Ide ez kell írni: M MEG = hy z +, ahol: - N a normálerı. X Hajlíás és csavarás öbbengelyő összee igénybevéel egyszerre kelekezik szigma jellegő és au jellegő feszülség is. Ebben az eseben egy redukál feszülsége kell számolni, és ez kell összehasonlíani a megengede feszülséggel. A maximális szigma jellegő feszülség hajlíáskor: M τ = K Csavaráskor: p σ = I M h K Kp = K Kör és körgyőrő kereszmesze eseén: y N A

23 M M K τ = K = p M h M 1 α σ = σ + α τ = + α = M + M A redukál feszülség: K 4 K K 4 Mohr: α = 4 HMH: α = 3 red h A gyökjel alai kifejezés redukál nyomaéknak is nevezik. Ebbıl a megengede feszülség és a nyomaékok ismereében K meghaározhaó Minek alapján végzi el a rúd szilárdsági ellenırzésé összee igénybevéel eseén? Egyengelyő feszülségi állapo eseén a feszülségeke össze kell adni (pl. húzáshajlíás). Többengelyő összee igénybevéel eseén redukál feszülsége kell számíani. (pl. elızı pon) Normálerı és hajlíás eseén: Egyenes rúd, egyenes hajlíása: Egyenes rúd ferde hajlíása: Görbe rúd hajlíása: az igénybevéelek egymásra szuperponálódnak. σ X M ( x) hy N( x) = z + I ( x) A( x) y M ( x) hy N( x) M ( x) hz σ = z + y X I ( x) A( x) I ( x) y M ( s) M R N( s) h h σ ( z) = + z + X R( s) A( s) I R + z A( s) Mik a veszélyes kereszmeszeek ill. ponok? A veszélyes kereszmesze az a hely, ahol a rúd, vagy aró elhasználódásának, vagy örésének a legnagyobb a valószínősége. Ez álalában a hajlíó-nyomaéki függvény maximumánál van.veszélyes ponja az a ponja a kereszmeszenek, amelyben a legnagyobb feszülség kelekezik. R z.. Síkidomok másodrendő nyomaékai..1. Mi a definíciója és mi a fizikai aralma a kövekezı mennyiségeknek? engelyre számío másodrendő nyomaék: (Ekvaoriális) X = y da és A I Y = x da. A I 3

24 Az ado engelyre mekkora képzelebeli nyomaéko ad a felüle. Éréke mindig poziív, nem függ a engely irányíásáól. engelypárra számío másodrendő nyomaék: I = ( xy) da. (Cenrifugális) A engely irányíásának megválozaásával elıjele vál, éréke nulla, ha az egyik engely szimmeria engely. poláris másodrendő nyomaék: redukál másodrendő nyomaék: P = r da. A I I R R = XY z da. AR + z... Mi mond ki a párhuzamos engelyek éele (Seiner-éel)? A éel szerin, ha az x ;y súlyponi, és az x; y koordináa-rendszer-középponi engelykereszek párhuzamosak, akkor a ké ponhoz arozó márixok elemei közö a kövekezı kapcsola áll fenn: A a síkidom erülee, I = I y A X' X S I = I x A Y' Y S I = I x y A X' Y' XY S S, ahol: x S és y S a súlypon koordináái az x-y engelykereszben. A ké márix pedig: I I ( I ) X XY = ( I ) I O ( x; y) YX Y valamin: I X' X' Y' I = S ( x'; y') ( I ) I Y' X' Y' A ( I ) A ké engelykeresz közül az egyiknek súlyponinak kell lennie Az összes párhuzamos engelyre számío másodrendő nyomaék közül a súlyponi engelyre számío a legkisebb...3. Mik egy ponhoz arozó másodrendő nyomaéki márix elemei és mire használjuk ez a márixo? I I ( I ) X XY = ( I ) I O ( x; y) YX Y a márix elemei: a fıálóban a engelyre számío másodrendő nyomaékok, a mellékálóban pedig a engelykereszre számío másodrendő nyomaékok szerepelnek. 4

25 ..4. Mik a másodrendő nyomaéki fıengelyek és a fı másodrendő nyomaékok? A másodrendő nyomaéki fıengelyek: az a ké, egymásra merıleges, ado ponban meszıdı engely, amelyekre a engelykereszre ve másodrendő nyomaék éréke nulla. A fı másodrendő nyomaékok: Az ado ponbeli fıengelyekre számío másodrendő nyomaékok. Ezekre: I 1 > I...5. Hogyan haározzuk meg a fıengelyeke és a fı másodrendő nyomaékoka? Kéféleképpen haározhajuk meg ıke: Mohr-körök segíségével, Sajáérék-sajávekor számíással...6. A szilárdságan mely émaköreiben és hogyan használjuk fel a másodrendő nyomaékoka? A szilárdságanban fıkén a méreezéseknél használjuk ıke, mivel az erre szolgáló képleekhez (Navier-;Grashof; sb ) szükség van rájuk..3. Rudak alakválozása.3.1. Mi a rugalmas szál differenciálegyenlee? ( ) Mhy w'' =, ebbıl: dx I E d w x y engely körüli szögelfordulása..3.. Mik a járulékképleek? Y d w x ( ) w'' = φ ( x), ahol φ ( x) a kereszmesze Y Y dx A járulékképleek a rugalmas szál differenciálegyenleének a megoldásai egyes eseekre Hogyan számolja ki egyensúlyi erırendszerrel erhel rúd egy ado kereszmeszeének? ado irányú elmozdulásá: A rugalmas szál differenciálegyenleének megoldásából ado engely körüli szögelfordulásá: A rugalmas szál differenciálegyenleének a megoldásából deriválással. Ezen kívül a kérdéses mennyiségek meghaározhaóak még a munkaéelek segíségével is. 5

26 .3.4. Hogyan számol alakválozási energiá rudakban? A rúdban felhalmozo alakválozási energiá közvelenül az igénybevéelekbıl számíjuk Egyenes rúd eseén (a rúd engelye az x engely): A rúderıbıl: A hajlíásból: Csavarásból: modulusz. U N = ( l) N( x) dx A( x) E, Mh M ( x) M ( x) h1 h U = dx + dx I ( x) E I ( x) E U MT =, ( l) 1 ( l) ( l) M ( x) T dx I ( x) G T, ahol: - G a csúszaó rugalmassági Nyírásra nem adhaó álalános képle, minden egyes kereszmeszere külön kell levezeni. Viszon ez szükségelen, mivel a nyírással mindig hajlíás is párosul, ami melle a nyírásból származó igénybevéel elhanyagolhaó. Összee igénybevéelek eseén összeadódnak az egyes részenergiák Síkgörbe rúd eseén: (feléve, hogy a hajlíás egyenes) A rúderıbıl és hajlíásból: R e [ ] N( s) M ( s)/ R M ( s), N Mh h hy U = ds + ds A E I E + + ( l) ( l) R valamin: 3 eseén az elsı inegrál elhanyagolhaó. Csavarásnál ugyanúgy számolunk, min egyenes rúdnál: ahol: - G a csúszaó rugalmassági modulusz. U MT = ( l) M ( x) T dx I ( x) G, T.3.5. Mi a kapcsola az alakválozási energia és a munkaéelek közö? Ez hosszabban is ki lehene fejeni, de az már a munkaéelek levezeése lenne. A munkaéelekben az-az alakválozási energia deriváljai szerepelnek Mi a Bei-éel? A szilárdságan egyik munkaéele. A Bei-éel az un. idegen munkák egyenlıségé W = W mondja ki: 1 1. Ez az jeleni, hogy a szerkezere ké különbözı egy 1-es és egy -es külön-külön egyensúlyi erırendszer mőködeünk különbözı sorrendben felvíve. A már fen lévı 1-es erırendszer munká végez akkor, amikor a -es erırendszer felvielekor ovább 6

27 alakválozik a szerkeze ez az 1-es erırendszer munkája a -es okoza alakválozás során (W1). Fordío sorrendben felvíve az erırendszereke a -es fog munká végezni az 1-es okoza alakválozás során (W1). A éel szerin a -es erırendszer munkája az 1-es okoza elmozdulásokon ugyanannyi, min az 1-es munkája a -es okoza elmozdulásokon. I az is el kellene mondani, hogy úgy lehe vele lehajlás számolni, hogy fel kell venni egy egységnyi erıbıl és a reakcióból álló erırendszer, sb. de ez rajzolni kéne.3.7. Mi a Casigliano-éel? A szilárdságan egyik munkaéele. Az mondja ki, hogy az alakválozási energiának, a szerkezee erhelı valamely koncenrál erı szerini parciális deriválja megadja az erı ámadásponjának az erı irányú elmozdulásá. Rudak eseén álalánosíhaó ez erıpárokra is: az alakválozási energiának, a szerkezee erhelı valamely koncenrál erıpár szerini parciális deriválja megadja az erıpár kereszmeszeének az erıpár engelye körüli szögelfordulásá Mikor mondunk egy rúdszerkezee saikailag haározalannak? Külsı erıkre nézve haározalan a szerkeze, amikor megámaszása (kényszerek) olyan, hogy a kényszereken lérejöheı erırendszer skalár összeevıinek száma nagyobb, min a függelen skalár egyensúlyi egyenleek száma. Belsı erıkre nézve haározalan, ha a külsı egyensúlyi erırendszer ismer, mégsem udjuk meghaározni a belsı erıke igénybevéeleke, feszülségeke ilyenek a zár középvonalú rúdszerkezeek (kereek) és a különbözı ulajdonságú anyagokból álló szerkezeek Hogyan lehe meghaározni a reakcióka és a belsı erırendszer saikailag haározalan rúdszerkezeben? Saikailag haározoá esszük a szerkezee úgy, hogy a meglévı kényszerekbıl elveszünk annyi, hogy a megmarad kényszererık meghaározhaók legyenek az egyensúlyi egyenleekbıl. Az elvee kényszererıke akív erıkkén mőködejük. Bizosíjuk az eredei kényszerek álal elıír alakválozási feléeleke, ami az jeleni, hogy az akívvá e reakcióerı ámadásponjának az erı irányú elmozdulása (vagy erıpár eseén a szögelfordulás) nulla. Ez az elmozdulás (vagy szögelfordulás) meghaározhajuk akár a Bei-, akár a Casiglianoéellel. Belsı erıkhöz úgy juunk, hogy pl. a zár kerenél elvágjuk valamelyik ruda és az elhagyo rész haásá póoljuk a belsı erıkkel. Az elvágással ezeke az erıke akív erıkké eük, amelyekkel felírhaók az igénybevéeli függvények és az alakválozási energia is. Innen a Casigliano-éel ad megoldás Mikor lép fel a kihajlás veszélye? Kihajlás akkor lép fel, ha egy kereszmeszei méreeihez képes hosszú ruda nyomással erhelünk. 7

28 A kereszmesze melyik engelye körül kövekezik be a kihajlása? A hosszengely hajlik ki, rá merıleges irányban. A kihajlás a kereszmesze kisebbik inercianyomaékához arozó fıengely körül fog végbemenni Mik a kövekezık? kriikus erı: Az az erı, melynek haására lérejövı feszülség érékénél a rúd egyensúlyi alakja már nem sabil, a legkisebb zavarás megszőnése uán sem ér vissza egyensúlyi helyzeébe, hanem mozgásba jön, görbülee egyre nı, amíg el nem örik. A kriikus erı Euler szerin: F KR π = I E l 0, ahol: l a rúd kihajlási hossza (fél szinusz-hullám hossza) 0 I a kereszmesze legkisebb súlyponi másodrendő nyomaéka kriikus feszülség: A kriikus erı okoza feszülség. KR. σ F = A KR inerciasugár: i I A =, ahol: 0 A a kereszmesze. 0 I a kereszmesze legkisebb súlyponi másodrendő nyomaéka karcsúság: l λ = i kihajlási hossz: A rúd megámaszásáól függ. A meggörbül alak szinuszos, és a kihajlási hossz 0 l a fél szinusz-hullám hossza. 8

29 Hogyan ellenırzünk kihajlásra? Kiszámoljuk a kriikus feszülsége/erı a karcsúságnak megfelelı elméle segíségével, ez eloszjuk egy bizonsági ényezıvel, és ez lesz a megengede feszülség/erı, ha a szerkezeben fellépı feszülség/erı ennél kisebb, akkor megfelel!!! Mi adnak meg az Euler- és a Temajer-képleek? Mikor érvényes az Euler- és mikor a Temajer-képle? Az Euler - és Temajer képleek a kriikus feszülsége adják meg. Az Euler képle akkor érvényes, ha λ λ, ahol λ anyagjellemzı, áblázaból 0 0 kikeresheı. A Temajer képlee akkor használjuk, ha kikeresheı. λ λ, ahol λ anyagjellemzı, áblázaból F F.4. Feszülségi állapo.4.1. Mi a feszülségi állapo? Az r helyvekorú ponban a különbözı állású síkokhoz arozó feszülségvekorok összessége. Megadása három kölcsönösen merıleges síkhoz arozó feszülségvekorral: σ ρ ρ ρ T = ; ; n1 n n3 Leírása a feszülség-enzorral örénik, melynek ulajdonsága, hogy az n irányhoz hozzárendeli a ρ feszülségvekor. Ez egy szimmerikus enzor (a csúszaó feszülségek N duálisak)..4.. Mi a feszülség vekor? A es r helyvekorú ponjában valamilyen állású (normálvekorú) felüleen a belsı felülei erırendszer inenziása. ρ ( r ). N 9

30 .4.3. Mi a normál és csúszaó feszülség? A normál feszülség a kereszmeszere merıleges feszülség, a rúderıbıl és a hajlíásból adódik. A csúszaó feszülség a kereszmesze síkjába esı feszülség, a nyírásból és a csavarásból adódik Mi szükséges ahhoz, hogy egy ponban ismerjük a feszülségi állapoo? Az szükséges hozzá, hogy ismerjünk 3 egymásra merıleges feszülségvekor a ponban. Egy ponban ismerjük a feszülségi állapoo, ha ismerjük a feszülségvekor Mire használhaó a feszülségi kis kocka? A feszülségi kis kocka arra használhaó, hogy a lapjain szemlélehessük a feszülség - enzor elemei, a normál-, és csúszaó feszülségeke Mi a feszülségi enzor? A feszülségi enzor a ér három irányában fellépı feszülségeke foglalja magában. Az n irányhoz hozzárendeli a ρ feszülségvekor. Ez egy szimmerikus enzor (a csúszaó N feszülségek duálisak) Mi a különbség a feszülségi enzor és márix közö? A feszülségi enzor márixa a feszülségi enzor ranszponálja a maemaikai szabály szerin A feszülségi enzor ismereében hogyan kapjuk meg egy eszıleges síkhoz arozó feszülség vekor, ennek normál és csúszaó komponensei? A feszülség enzorból a feszülség-vekor: irány. A normál-feszülség összeevık: ρn T T T σ = n ρ = n σ n n N τ = ρ σ n A csúszaó-feszülség összeevıi: n n.4.9. Mi nevezünk fıfeszülségnek és feszülségi fıiránynak? n T = σ n, ahol az n a eszıleges A fıfeszülségek a fısíkokhoz arozó normál feszülségek. (A fısík egy ponon ámenı azon sík, amelyhez nem arozik csúszaó-feszülség. Legalább három ilyen sík van, ezek merılegesek egymásra.) A feszülségi fıirányok a feszülségi fısíkok normálisai álal meghaározo irányok. 30

31 Hogyan ábrázoljuk a feszülségi állapoo Mohr-körökkel? 31

32 3

33 Mi a feszülségi deviáor? σi σ σ E. A feszülség - enzor része. d 3.5. Alakválozási állapo.5.1. Mi a fajlagos nyúlás és a szögválozás definíciója? lim a ε a 0, a A fajlagos nyúlás az eredei hosszúságra vonakozao hosszválozás: n1 ahol: - ε az n irányhoz arozó fajlagos nyúlás. A szögválozás pedig egy ado ponban ké n1 vonalelem (irány) αszögének megválozása. A fajlagos szögválozás a merıleges vonalelemek (irányok) 90 -os szögének megválozása. 33

34 .5.. Mi az alakválozási állapo? Az alakválozási állapoo mindig ponban érelmezzük, a ponban a különbözı irányokhoz arozó alakválozási jellemzık összessége alkoja. Megadása három egymásra merıleges irányhoz arozó alakválozási jellemzıkkel (6 ada). Leírása másodrendő enzorral, ami egy koordináarendszerben márixával adhaunk meg Mi szükséges ahhoz, hogy egy ponban ismerjük az alakválozási állapoo? Az alakválozási állapoo ismerjük a es egy ponjában, ha ismerjük három merıleges irányhoz az alakválozási jellemzıke: fajlagos nyúlásoka és szögválozásoka (90 -os szögek megválozásá) Mi az alakválozási enzor? A fajlagos nyúlásoka és szögválozásoka (90 -os szögek megválozásá) aralmazó másodrendő enzor Az alakválozási állapo ismereében hogyan számolja ki az ado ponban egy eszıleges irányhoz arozó fajlagos nyúlás éréké? T n ε( r) n = ε ( r), ahol n egy eszıleges irány vekora. n.5.6. Az alakválozási állapo ismereében hogyan számolja ki az ado ponból kiinduló, ado irányú rövid vonaldarab hosszának megválozásá? a = ε a, ahol a a vonaldarab hossza. A képle akkor igaz, ha felesszük, hogy az n a hosszon belül az alakválozási állapo elhanyagolhaó Mi nevezünk fınyúlásnak és alakválozási fıiránynak? Az alakválozási fıirányok: az a a három merıleges irány, amelyek egymással bezár 90 -os szöge nem válozik meg az alakválozás folyamán. A fınyúlások: a fıirányokhoz arozó fajlagos nyúlások Mikor mondhajuk kicsi -nek az alakválozás? Akkor, ha az alakválozási enzor márixának elemei éppen a koordináa irányokhoz arozó alakválozási jellemzık Kis alakválozás eseén mi írja le a fajlagos érfogaválozás egy pon környezeében? Milyen eseben nem használhaó ez? Kis alakválozás eseén egy pon környezeében a dv elemi érfoga fajlagos megválozása: υ 1 elemek összege). ( dv) = ε az alakválozási enzor elsı skalár invariánsa (a fıálóbeli dv 34