Kinematika. fontos!), pontosabban a helyvektor változási gyorsasága, vagyis idő szerinti deriváltja

Átírás

1 Kinemaika A kinemaika a mozgás maemaikai leírása, az ok felárása nélkül. Tekinsünk a ovábbiakban ömegponoka. A ömegpon olyan es, melynek jellemző méreei kicsik a pálya méreeihez képes. Egy ömegpon vagy bármely es helyzeé és helyzeválozásá is csak más (eseleg képzelebeli) esekhez viszonyíva jellemezhejük, vagyis minden mozgás viszonylagos, relaív. A mozgás leírásához válaszani kell egy vonakozaási rendszer: maemaikailag ez egy koordináarendszer jelen. A ömegpon helyzeé egy ado időpillanaban egy helyvekorral jellemezzük, ami a vonakozaási rendszer origójából a ömegponhoz húzo vekor: r (). Az elmozdulás a és a időpillana közö: Δ r,= r ( )- r ( ), ez is vekormennyiség. dr Sebesség: v = az jellemzi, milyen gyorsan válozik a helyvekor (az irány és a nagyság is fonos!), ponosabban a helyvekor válozási gyorsasága, vagyis idő szerini deriválja dv d r Gyorsulás: a = = a sebességvekor válozási gyorsasága. Ezekből az összefüggésekből leolvashaó, hogy a sebesség-idő függvény a gyorsulás-idő függvényből inegrálással kaphaó meg: v( ) = a() + v( 0), 0 a hely-idő függvény pedig ebből ovábbi inegrálással adódik: r( ) = v() r( 0) a(')' v 0 + = ( ) + () + r( 0) A mege ú (skalár!) kiszámíásánál is a sebesség fonos, de mindegy, milyen irányban hala a es. Tegyük fel, hogy a vona 80km/h-val halad, ekkor mindegy, hogy észak felé megy egy órá, vagy kele felé, a mege úgyis 80km lesz, ehá csak a sebességvekor nagysága számí, csak az abszolú-éréké kell inegrálni: s, = v(). Koordináa rendszerek és egyszerű mozgások A) Derékszögű Descares koordináa rendszer: Koordináák: x, y, z; álalában függnek az időől. Egységvekorok: i, j, k, merőlegesek egymásra, egységnyi hosszúak, nem függnek az időől, jobbsodrású rendszer alkonak. A pon helye a időpillanaban: r ()= x() i + y() j + z() k, ehá pl. az x koordináa adja az i irányban az origóól mér ávolságo. A Piagorasz-éellel kapjuk, hogy r = x + y + z és pl. x = r y z. A sebesség: v ()= x i + y j + z k, ebből a sebesség nagysága: v= x + y + z. A pon idő szerini deriválás jelöl, ehá x, y, z a sebességvekor koordináái. A gyorsulás: a ()= x i + y j + z k, ebből a gyorsulás nagysága: a = x + y + z Példa.: Egyenes vonalú egyenlees mozgás: v=állandó. (Egy dimenzióban árgyaljuk) A gyorsulás nulla (konsans deriválja nulla). A mege ú kiszámíása: r( ) = v() + r( ) Δ r = vδ, (felhasználuk, hogy a sebesség nem függ az időől, ezér kiemelheő az inegráljel elé). Láhaó, hogy visszakapuk a kisiskolás képlee: v=s/, mos már

2 udjuk, hogy ez csak állandó sebesség eseén igaz. Az ú ekkor az idővel lineárisan nő: s=v, vagyis az ua ábrázolva egy olyan egyenes kapunk, amelynek meredeksége, válozási gyorsasága konsans v, v s azaz v=gα=s/. Ha a sebessége ábrázoljuk az idő függvényében, a s görbe (ami mos egyenes) alai erüle α lesz a mege ú Példa.: Egyenleesen válozó mozgás (pl. szabadesés), a gyorsulás: a= konsans. Maradjunk egy dimenzióban, együk fel pl., hogy a gyorsulásnak és a kezdősebességnek is csak z komponense van. A sebesség-idő függvény kiszámíása: Tehá az v( ) = a() + v( ) = a ( ) + v( ) Δ v = aδ. Δv a = középiskolás képle csak akkor érvényes, ha a gyorsulás állandó. Δ ( ) Az elmozdulás kiszámíása: z( ) z( ) = a + v, ha az origóból indulunk: Vagyis a sebesség lineárisan válozik, az egyenes meredeksége a. Ha felrajzolnánk a z koordináa válozásá, az egy parabola lenne. Példa 3.: Ferde hajíás 0 A pon az origóból indul, a koordináa rendszer x engelye muasson a kezdősebesség vízszines komponense irányába, a z engely felfelé mua. Először fel kell bonani a kezdősebességvekor vízszines és függőleges komponenseire. Az x komponense v ox =v o cosα, a függőleges v oz =v o sinα. a v v v 0 = + z a v0 y irányban nincs elmozdulás, ehá a j egységvekor mindig nullával szorzódik. A gyorsulás: a = gk, mivel csak z irányban és lefelé gyorsul a es, végig a mozgás során. A sebesség-idő függvény: v ()= vox i + 0 j + (-g+v oz ) k. A helyvekor koordináái: r ()= vox i + 0 j + (-g/ +v oz ) k A es akkor ér földe, ha az r () függvény z komponense nulla, azaz o a k egységvekor együhaója nulla: -g/ +v oz =0, ennek ké megoldása van de a riviális =0 megoldás csak az muaja, hogy az origóból dobuk el a ese. A másik megoldás adja a mozgás eljes időaramá: =v o sin α/g. Ha ez beírjuk az r () függvénybe, az első agban az i együhaója adja a hajíás ávolságá: v0 sinαcosα xmax = g B) síkpolár koordináa rendszer ( dimenzió). Koordináák: r és φ (r az origóól mér ávolság, φ a engelyől mér szög). Különösen körmozgás leírásánál előnyös, ha az origó a kör közepén vesszük fel. A Descares-koordináákkal való kapcsola: Szögsebesség definíciója: r = x + y, gφ=y/x, x=rcosφ, y=rsinφ. dϕ ω=, a szög válozási gyorsasága (a szöge radiánban mérve). z α v o x

3 dω Szöggyorsulás: β= azaz milyen gyorsan válozik a szögsebesség. Példa 4.: egyenlees körmozgás, ω= állandó, azaz β=0. Ekkor a φ szög lineárisan válozik: ϕ =ω. Legyen T az egy kör megéeléhez szükséges idő, ehá T idő ala a φ szög π-vel válozik. Ekkor ω=δφ/δ=π/t. A T idő ala mege ú a kör kerülee, s(t)= πr. A sebesség állandó, ehá v=s(t)/t=πr/t=rω, kerülei sebességnek is nevezik. A cenripeális gyorsulás a cp =v /r=r ω =vω, a sebesség irányának megválozása (ha a pon nem egyenes vonalon mozog, gyorsulása semmiképp nem azonosan nulla!). A gyorsulás cenripeális komponense merőleges a sebességre, ezér normális gyorsulásnak is hívják. Példa 5.: egyenleesen válozó körmozgás, β=állandó (és persze a kör sugara is állandó). A szögsebesség lineárisan válozik: ω()= β+ω 0, a sebesség hasonlóan: v()= βr+ω 0 r. dv A angenciális gyorsulás: a = =rβ a sebesség nagyságának megválozásá jellemzi, a sebesség irányába mua, azaz érinőirányú. (Ha a sebesség csökken, akkor a sebességgel ellenées irányba mua.) A gyorsulás nagyságá, mivel a ké komponens merőleges, piagorasszal kapjuk: a = a + a cp A mege ua hasonlóan számoljuk ki, min a. példában: s= a + v0 C) henger-koordináa rendszer (3 dimenzió). Koordináák: r és φ (ugyanaz, min a síkpolárnál) és h, ami a harmadik dimenzió adja. Különösen csavarszerű mozgások leírásánál előnyös. Tömegpon dinamikája Newon örvényei (ezek a klasszikus mechanika legfonosabb, legalapveőbb axiómái, 687-ből): I. Minden es megarja nyugalmi állapoá, vagy egyenes vonalú egyenlees mozgásá mindaddig, amíg más esek ennek megválozaására nem kényszeríik. Ponosabb ennél a kiválaszási axióma: Van olyan vonakozaási rendszer, amelyben a magára hagyo esek megarják eredei mozgásállapouka (azaz a sebességvekor állandó). Ezeke a vonakozaási rendszereke inerciarendszernek nevezzük. II. A dinamika alapegyenlee: Ha egy állandó ömegű esre egyelen erő ha, akkor az egyenlő a es ömegének és gyorsulásának szorzaával: F = ma, vagyis a gyorsulás úgy számolhajuk ki, hogy a esre haó erő eloszjuk annak ömegével. III. Akció-reakció vagy haás-ellenhaás örvénye: Ha az A es a B esre F AB erő fej ki, akkor B es is erő fej ki az A esre. Ezen F BA erő azonos nagyságú, de ellenées irányú az eredei F AB erővel: F AB = FBA IV. Szuperpozíció elve: Ha az anyagi pon egyidejűleg öbb haásnak is ki van éve, azaz öbb erő ha, akkor együes haásuk egyelen ún. eredő erővel helyeesíheő. Eredő erő az egyes erők n vekori összege Fe = F i i= Erők fajái és az erőörvények: γ mm a) Newon-féle graviációs erő: F =. (γ=6, Nm /kg univerzális állandó) r Speciálisan ha m a Föld ömege, r a Föld sugara: G= mga súlyerő. QQ b) Elekromos ölések közö haó Coulomb-erő: F = k. r F = q v B. c) Mágneses Lorenz-erő: ( ) d) Rugóerő: F x = Dx D rugóállandó, x az egyensúlyi helyzeől való kiérés

4 e) Súrlódási erő: F s =μf ny (lehe csúszási vagy apadási) f) Közegellenállás vagy légellenállás: F k = cv vagy cv Newon I., II., és IV. axiómájából kapjuk a feladaoknál gyakran használ összefüggés: inerciarendszerben F = ma. Koordináánkén kifejve kapjuk a ömegpon mozgásegyenleei, amely egy három csaol másodrendű differenciálegyenleből álló egyenlerendszer. Derékszögű Descares koordináa rendszerben: mx = F (,,,,,, ) x x y z x y z my = F (,,,,,, ) y x y z x y z mz = Fz ( x, y, z, x, y, z, ) Ezek megoldásához álalánosan 6 állandó kell megadni, ezek gyakran a kezdei r( = 0) és v( = 0) vekorok komponensei. Az egyenleek megoldásával kapjuk az r() függvény, ami mozgásörvénynek is neveznek. Tehá a mozgásörvényből közvelenül kiolvashaó, hogy mozog a es, azaz melyik időpillanaban hol arózkodik. Impulzus és Energia A kövekezőkben bevezeünk néhány olyan fizikai mennyisége, amelyek alapveő fonosságúak a mechanikai feladaok megoldásában. Az impulzus (lendüle) definíciója: I = mv. Kérdés, mi szabja meg az, hogy válozik-e az impulzus, ill. milyen gyorsan válozik. A válasz a kövekező éel adja meg: d Impulzuséel ömegponra: I = F, azaz ömegpon impulzusának idő szerini deriválja egyenlő a rá haó összes erő eredőjével. Speciálisan, a magára hagyo ömegpon impulzusa állandó. d d dv Bizonyíás: I = ( mv) = m = ma = F. Newon II. axiómája melle felhasználuk, hogy a ömeg állandó. Megjegyezzük, hogy az impulzuséel is szokák Newon II. axiómájának is nevezni, mivel ugyanaz fejezi ki (belőle a feni alak levezeheő), ső, annyival álalánosabb, hogy válozó ömeg eseén is érvényes. Az érdekessége az, hogy ado eredő erő eseén a ömegől függelen az impulzus-válozás. r A munka álalános definíciója: W, = Fdr, az erő elmozdulás szerini inegrálja. Ha az erő r állandó (és a ömegpon pályája egyenes, vagy az erő konsans szöge zár be a sebességgel), akkor kiemelheő az inegráljel elé, ekkor W= FΔ r= FΔrcosα, ahol α a közbezár szög. α=0-ra kapjuk a legegyszerűbb W=Fs alako. Az egyszerűség kedvéér együk fel, hogy csak egy állandó F erő ha a ömegponra, amely kezdeben nyugalomban van. Ekkor a pon gyorsulása a=állandó, sebessége idő múlva v=a, ezala s=a / ua esz meg. Ezeke felhasználva: W = Fs= ma a = m(a) = mv = Ek Vagyis a befekee munka a es kineikus (mozgási) energiájának növelésére fordíódo. A munkaéel álalános alakja: W= Δ E. Tehá a es mozgási energiája (végső soron a sebessége) megválozásának az az oka, hogy az eredő erő munká végez a esen. k

5 de A (pillananyi) eljesímény álalános definíciója: P =, az egységnyi idő ala közöl energia, W ez sokféle energia lehe. A mechanikában az álageljesímény: P =, ez eszőlegesen hosszú Δ Δ időaramra érelmezheő. A mechanikai eljesíményéel (a munkaéelből deriválással kaphajuk): de P = k, azaz a ömegponra haó erők eljesíménye megegyezik a ömegpon kineikus energiájának válozási gyorsaságával. Ez felhasználva, egy dimenzióban dek d P = = ( mv ) = m(vv + vv) = mvv = mav= Fv. Álalánosan, a pillananyi (mechanikai) eljesímény az erő és a sebesség skaláris szorzaakén is megkaphaó: P= Fv Konzervaív erőér: Egy időől (explicie) nem függő erő konzervaívnak nevezünk, ha az álala a ponszerű esen A és B pon közö végze munka függelen az úól, vagyis aól, hogyan juounk A-ból a B-be. Ez ekvivalens azzal, hogy az erő bármely zár görbére ve inegrálja nulla. Ekkor, ha kijelölünk egy kiünee A kezdőpono, bármely másik (pl. B) pon jellemezheő azzal, hogy mekkora munká végez az erő, ha a B-ből az A-ba megy a es. Ez a munká úgy hívjuk, hogy a es poenciális (vagy helyzei) energiája a B ponban. Példa.: Tegyük fel, hogy a padló szinje a kezdőpon, és leejünk egy G=0N súlyú ese 80m magasról. Ekkor a nehézségi erő W=600J munká végez, más szavakkal a es helyzei energiája E p =mgh=600j vol. Tehá bármely A és B ponra E p (B)- E p (A)=W=E k (A)-E k (B) (i a második egyenlőségnél a munkaéel használuk) vagyis ΔE k = -ΔE p. Ha bevezejük az E= E p + E k mechanikai energiá, akkor láhaó, hogy ez konzervaív erőérben állandó. Ez a mechanikai energia megmaradásának éele. Konzervaív erőér pl. a graviációs és az elekroszaikus erőér. Ha nem-konzervaív erők is hanak, akkor a munkájuk egyenlő a mechanikai energia megválozásával. Példa.: Leejünk egy ese h=80m magasról, mekkora sebességgel csapódik a földbe? Ez az energia-megmaradással legegyszerűbb megoldani: mv =mgh, ebből m v= gh = 40. s Példa 3.: A feni, m=kg ömegű ese vízszinesen hajíjuk el v=30m/s kezdősebességgel 80m magasról. Mekkora lesz a sebessége, amikor a alajba csapódik? Kiszámolhajuk úgy is, hogy felhasználjuk az a kinemaikából ismer ény, hogy a vízszines és függőleges irányú sebességkomponensek függelenek egymásól és előbbi nem válozik, uóbbi 40m/s-ra nő, vagyis a végsebesség piagorasszal = 50m /s. Energiamegmaradással mindez úgy néz ki, hogy kezdeben vol 600J helyzei és 900J mozgási energiája, ehá a földe éréskor van /mv =500J mozgási energiája, ez 50m/s sebességnek felel meg. Vegyük észre, hogy a ké módszerrel lényegében ugyanazoka a műveleeke kell elvégezni, csak az energiamegmaradásnál először szorozunk, majd oszounk /m-mel. Példa 4.: Minden ugyanaz, min az előző példában, csak a ese mos ferdén hajíjuk el a vízszineshez képes α szöggel. A kinemaikai számoláshoz ismernünk kell α-, ki kell számolni a szinuszá és a koszinuszá a sebességkomponensekhez. Energiamegmaradással viszon pon ugyanúgy járhaunk el, min az előző példánál és a végeredmény is annyi lesz. Tehá ha csak az a kérdés, hogy egy ado magasságban mennyi a es sebessége, akkor ez a módszer érdemes alkalmazni, hiszen a kezdősebesség irányával nem is kell számolni. Viszon ha pl. a hajíás idejé is ki kell számolni, akkor szükség van a sebességkomponensekre. Példa 5.: Egy 0m magas, α=45 o -os lejőről kezdősebesség nélkül lecsúszik egy es, a lejő alján a sebessége 0m/s. Mekkora a súrlódási együhaó? A es kezdei helyzei energiája

6 00m, végső mozgási energiája 50m, ahol m a ömeg. A keő különbsége, 50m súrlódási munkára fordíódo, amelye a W s =F s s=μmgcosα 0/sinα képleel számolunk ki, 0m-mel és g-vel egyszerűsíve μ=0,5. Példa 6.: A Newon-féle graviációs erő poenciális energiája. Legyen egy rögzíe M esünk és számoljuk ki egy őle r ávolságra lévő m ömegű es poenciális energiájá. Vegyük a végelenben a nulla szine, és ávolísuk az m ese r ávolságból a végelenig. Ekkor a graviációs vonzóerő ellenées irányú az elmozdulással, ehá E p negaív lesz: kq Ep() r = Fdr = γ mm dr = kq = r r r r r r Példa 7.:A rugó poenciális energiája. Az F x = Dx erőörvény konzervaív erőere ad meg. Számoljuk ki, mennyi munka kell, hogy a rugó feszülségmenes x=0 állapoból az x = -ig kihúzzuk: W = F dx = D xdx = D = D x x Rezgések Rezgések (és hullámok) a fizikának és a műszaki udományoknak nagyos sok ágában előfordulnak, pl. hangan. Ha egy giár egyik húrjá fesékpöyel megjelöljük, a fese pon is rezgés végez. A legegyszerűbb rezgés a (szinuszos) harmonikus rezgés. Ilye végeznek pl. szilárd es aomjai egyensúlyi helyzeük körül. Csak az egydimenziós esee árgyaljuk. Harmonikus rezgés: Akkor végez egy ömegpon harmonikus rezgés, ha rá egy erő ha, a rugalmas erő: F x =-Dx, ahol x az egyensúlyi helyzeől való kiérés (ill. ha az erők eredője a feni rugalmas erő). Tehá ez egy visszahúzó erő, ami arányos a kiéréssel, csak ellenées irányú. Ebből kapjuk a mozgásegyenlee: mx = Dx. Ez egy másodrendű közönséges differenciál-egyenle, az álalános megoldása: x()=asin(ω+δ), ahol ω =D/m. Tehá szinuszos (harmonikus) rezgés jön lére. x A T A A sebesség-idő függvény deriválással kaphajuk: v x ()=Aωcos(ω+δ). Ha ez még egyszer lederiváljuk és visszahelyeesíjük a mozgásegyenlebe, beláhajuk, hogy a megado x() függvény ényleg jó megoldás. Az A (ampliúdó, a kiérés maximális éréke) és a δ (kezdőfázis) konsansoka az x és v x kezdei érékei haározzák meg, ez uóbbiaknak viszon nincs haásuk a frekvenciára. A periódusidő a legkisebb olyan T idő, amelyre x()=x(+t) bármely -re. A π körmozgáshoz hasonlóan T =. ω Számísuk ki a rezgő ömegpon kineikus és a rugalmas erőér poenciális energiájá: Ek = mv = ma ω cos ( ω ) = DA cos ( ω ) és Ep = Dx = DA sin ( ω ) (feleük, hogy δ=0 és felhasználuk ω definíciójá). Láhaó, hogy a keő összege állandó (DA /) és egy periódusra kiálagolva a keő megegyezik (ennek pl. a hőanban lesz szerepe). Egy rezgés

7 során a mozgási és a poenciális energia folyamaosan egymásba alakul. A mozgási energia akkor a legnagyobb, amikor a ömegpon az egyensúlyi helyzeén halad á, ekkor a rugó feszíelen, ehá nincs energiája. Ezuán ahogy a es lassul, a mozgási energia csökken, de ponosan ugyanilyen üemben növekszik a poenciális energia, és amikor a es a szélső helyzeben egy pillanara megáll, akkor nyilván a mozgási energia nulla, a poenciális pedig maximális. Az egyenlees körmozgás és a harmonikus rezgés kapcsolaa: A szögsebesség állandó: φ=ω. Az x koordináa rcosφ, az y pedig rsinφ, beírva φ- x()= rcos(ω) és y()= rsin(ω), ehá mindkeő harmonikus rezgőmozgás végez. φ Más szavakkal, az egyenlees körmozgás előállíhaó ké x egymásra merőleges harmonikus rezgőmozgás szuperpozíciójakén, ha a fáziskülönbség π/. Emia a hasonlóan jelöl mennyiségek közö ényleges hasonlóság áll fen (az analógia nem puszán formai): T a keringési vagy periódusidő, ω a szögsebesség vagy a körfrekvencia. Csillapío rezgés: A valóságban a makroszkopikus esek rikán végeznek időben állandósul harmonikus rezgés, mivel a rezgés gyorsan vagy lassan, de csillapodik. Ez úgy vesszük fegyelembe, hogy a rugalmas erőn kívül ha még egy sebességgel arányos fékező erő is: F=-kv, ezzel a mozgásegyenle: mx = Dx kx. Ennek megoldása gyenge csillapíás (α<ω o ) eseére α x() = Ae sin( ω+δ, ) k ahol α=, ω= ω0 α és ω o =D/m. A maximális kiérés ehá exponenciálisan csökken az m idővel (a mozgási energia is csökken, ezér a fékező erő disszipációnak is hívjuk), a frekvencia pedig kisebb, min ha nem lenne disszipáció. Az alábbi ábrákon ké csillapío rezgés kiérés-idő függvénye láhaó, a másodiknál α kb. négyszer akkora, min az elsőnél. y Kényszerrezgés: Ahhoz, hogy ne csillapodjon a rezgés, a disszipál energiá valamilyen módon póolni kell. Legegyszerűbb eseben egy periodikus gerjesző erő ha: F G =F o sin(ω). Ezzel a mozgásegyenle: mx = Dx kx + Fo sin( ω). Ennek megoldása az előző, exponenciálisan lecsengő függvény és az

8 F0 x() = m sin( ω δ ) ( ω ω ) + 4α ω 0 függvény összegéből áll. Mivel az előbbi nullához ar, hosszú ávon ez uóbbi, a sacionárius megoldás a lényeges, vagyis a frekvencia egyenlő a gerjesző erő frekvenciájával. I δ az jellemzi, mekkora a kiérés fáziskésése a gerjesző erőhöz képes. δ függ az α, az ω és az ω o mennyiségekől. k Láhaó, hogy ha a disszipáció kicsi ( α= kicsi) és a rendszer 0 m ω = D/m sajáfrekvenciája közel van a gerjesző erő ω frekvenciájához, akkor a nevező igen kicsivé, vagyis a maximális kiérés igen naggyá válik: rezonancia kövekezik be. Tehá a rezonancia az jeleni, hogy a rezgés ampliúdója, min a gerjeszés frekvenciájának függvénye maximális éréke vesz fel. Az alábbi ábrán ké, különböző disszipációhoz arozó rezonanciagörbé láhaunk. A α α < α α O ω r Tehá minél kisebb a csillapíás, annál élesebb, hegyesebb a rezonanciagörbe. Csillapíalan rendszernél az ω=ω r helyen az ampliúdó a végelenhez arana, ez nevezik rezonanciakaaszrófának. Körmozgás dinamikája v Cenripeális erő: F cp=ma cp=m mr r = ω. Ez szükséges ahhoz, hogy a ese körpályán arsa, vagyis hogy a sebesség irányá folyon válozassa, azaz cenripeális gyorsulás okozzon. A cenripeális erő eredee lehe graviációs vagy elekromos (Coulomb) erő, köélerő, sb. Mivel a cenripeális erő merőleges a sebességre, nem végez munká, nem válozaja meg a es mozgási energiájá. Ez összhangban van a kinemaikában anulakkal, konkréan hogy a cenripeális gyorsulás csak a sebesség irányá válozaja meg. Forgaónyomaék: Először eszőleges irányú erőre definiáljuk az origóra vonakozao forgaónyomaék vekor: M = r F, Rögzíe engely eseén, ha az erő a engelyre merőleges síkban van, akkor az egyszerűbb képlee használhajuk: M=kF, i k az erőkar, vagyis az erő haásvonalának a (rögzíe) engelyől való ávolsága. Impulzusmomenum (perdüle): L= r I= mr v, speciálisan L=mrv=mr ω. Ha egy ömegpon egyenlees körmozgás végez pl. az x-y síkban, akkor az impulzusmomenum-vekor iránya merőleges erre a síkra, vagyis a z engely poziív vagy negaív irányába mua. Hogy a keő közül melyikbe, az a jobbkéz-szabállyal állapíhajuk meg: ha jobb kezünk behajlío ujjai muanak a pon haladási irányába, akkor hüvelykujjunk muaja meg L irányá. Az impulzusmomenumvekor csak akkor válozha, ha a ömegponra forgaónyomaék ha: dl d d d = (mr v) = m( r v + r v) = m(v v + r a) = r F = M, vagyis a ömegpon impulzusmomenumának idő szerini deriválja egyenlő a ömegponra haó forgaónyomaékkal. Ez az impulzusmomenum-éel, nem csak körmozgásra igaz. Tehá ha az eredő erő forgaónyomaéka nulla, akkor a perdüle állandó. ω

9 Példa. Egyenlees körmozgásnál csak cenripeális erő ha, az impulzusmomenum állandó, a középponra ve forgaónyomaék nulla. Példa. Tegyük fel, hogy egy pon az x-y síkban körmozgás végez úgy, hogy az impulzusmomenum-vekor z irányba mua, ovábbá a forgaónyomaék-vekor iránya szinén z, nagysága állandó. Ekkor L válozási gyorsaságának iránya (z) megegyezik L irányával, vagyis L növekszik, ehá egyenleesen gyorsuló körmozgás jön lére. Ha felesszük, hogy a pon rögzíe engely körül rögzíe ávolságban mozogha, akkor ebben a speciális eseben L()= mr ω(). Ez deriválva, L()=mr ω () = mr β(), ahol β a szöggyorsulás. Ha az mr mennyisége elnevezzük a ömegpon eheelenségi nyomaékának: θ= mr, (a θ görög beű, ejsd: ea ) ahol r a engelyől való ávolság, akkor az impulzusmomenum-éel felhasználásával a feladamegoldások során is gyakran használ formulához juunk, ami a forgó mozgás alapegyenleének is neveznek: M = θβ Ez a képle eljesen hasonló szerkezeű az F=ma képlehez, csak körmozgásnál a gyorsulás helye a szöggyorsulás, a ömeg helye a eheelenségi nyomaék, az erő helye a forgaónyomaék jászik szerepe. A ömegpon mozgási energiája: E k = mv = mr ω = θω. I is eljesen hasonló szerkezeű a ké mozgási energiára vonakozó képle. Hasznos lehe a kövekező analógia-ábláza: Haladó mozgás ( dim) Forgó mozgás válozó x φ (szög)sebesség v x ω (szög)gyorsulás a x β eheelenség m θ A (szög)gyorsulás oka F x =ma x M=θβ Impulzus(momenum) p x =mv x L= θω Kineikus energia ½ mv x ½ θω munka F x Δx MΔφ eljesímény F x v x Mω Bolygók mozgása Tegyük fel, hogy egy m es egy másik, rögzíenek ekine M es graviációs erőerében mozog, kering. Ekkor neki kéféle energiája van, kineikus és poenciális. Uóbbi csak úgy udjuk érelmezni, ha kijelöljük a kezdőpono, a nulla szine. Logikus, hogy akkor legyen a poenciális energia nulla, ha a keringő es nem áll kölcsönhaásban semmivel, vagyis végelen ávol van. Ekkor viszon a korábban levezeeek szerin a poenciális energia negaív. Ha az összenergia is negaív (ehá E p abszolú érékben nagyobb, min E k ), akkor a m es nem ud elávolodni a végelenbe, a M-hez van köve, ekkor köö állaporól beszélünk. Kepler örvények: Így nevezzük a bolygómozgás három örvényé, melye Johannes Kepler néme csillagász állapío meg. Ezek bármely olyan esre vonakoznak, amely egy másik es graviációs erőerében köö állapoban mozog, ehá pl. a Föld körül keringő Holdra is. I. örvény: A bolygók pályája ellipszis, és annak egyik gyújóponjában a Nap áll.

10 II. örvény: A bolygók napközelben gyorsabban mozognak, min a Napól ávol. A bolygók vezérsugara (a bolygó a Nappal összeköő szakasz) azonos idők ala azonos erülee súrol. (Az ábrán A = A ha ugyanannyi ideig aro a megfelelő íveken végighaladni) III örvény: Az ellipszispályák nagyengelyeinek (végeredményben a bolygók Napól való álagos ávolságainak) köbei úgy aránylanak egymáshoz, min a keringési idejük (T) négyzeei, vagyis az a 3 /T hányados minden naprendszerbeli bolygó eseén ugyanakkora. Mind a három örvény bebizonyíhaó a Newon Bolygó axiómákból és a Newon-féle graviációs A Nap erőörvényből. A valóságban a leszármazaás inkább fordíva örén, Kepler hamarabb alkoa meg a örvényei, min Newon. A második örvény az impulzusmomenum-megmaradásból kövekezik. A Csak a III. örvény bizonyíjuk, az is csak körmozgásra. Az használjuk ki, hogy a cenripeális mm erő a graviációs vonzás adja. Az első bolygóra: F= γ = ma cp, = mr ω azaz R ( π) γ M= R ω = R. Ez felírva a. bolygóra is: 3 3 T egymással adódik, hogy R T R 3 3 = T ( π) γ M= R és a ké egyenlee eloszva 3 T, ami körpályára ekvivalens az állíással. Ponrendszerek és merev esek dinamikája A valóságos esek nem csak egy ponból állnak, nem lehe elhanyagolni a kierjedésüke. Pl. egy fogaskerék álalában egy helyben áll, de forgó mozgás végez, ami, ha meg akarjuk éreni a gép működésé, nem hanyagolhaunk el. Példa: Tegyük fel, hogy az x engelyen van ké pon, az egyik, m =4kg ömegű x=-nél, a másik, m =kg ömegű az x=7-nél. Kérdés, hogy hol van a ömegközépponjuk. Nyilván, a készer akkora ömegűől fele akkora ávolságra lesz, ehá x =3-nál. Ez úgy is megkaphajuk, hogy a ké pon x koordináájának a ömegekkel súlyozo álagá vesszük: x = (m x + m x )/( m + m ) Álalánosan, a ömegközéppon (súlypon) helyvekora (diszkré) ömegponrendszerre: mr i i mr i i rs = = m m m(v) A sűrűség álalános (lokális) definíciója: ρ= limv 0, ahol m(v) a V érfogaban alálhaó V anyag ömege. Ezzel egy folyonos ömegeloszlású es ömege m= ρdv ρrdv ρrdv V V Egy ilyen es ömegközépponja: rs = = ρdv m V Vizsgáljuk mos egy ömegponrendszer mozgásá. Legyen F i az i-edik ömegponra haó külső erők eredője, F ji a j-edik pon álal az i-edikre kifeje erő. Írjuk fel a dinamika alapegyenleé az d i-edik ömegponra: I i = ma i i = Fi+ F ji, összegezve i-re: j i V

11 d I i = F i+ F ji, i i j de Newon III. mia ( F ji = F ji ) az uolsó ag nulla, így a belső erők kiesnek, ezzel adódik az d impulzuséel ömegponrendszerre: I = F i, azaz ömegponrendszer impulzusának idő szerini deriválja egyenlő az összes külső erő eredőjével. Speciálisan, zár rendszer impulzusa állandó (ez az impulzusmegmaradás ömegponrendszerre). A baloldal ovább alakíva és felhasználva a súlypon definíciójá d d d d d I = mv i i = mi ri = mr i i = mas, azaz ma s = Fi Tömegközépponi éel: Ponrendszer ömegközépponja úgy mozog, minha a rendszer egész ömege a ömegközépponban lenne egyesíve és az össze külső erő erre a ponra hana. Hasonlóan levezeheő az impulzusmomeum-éel ömegponrendszerre: dl M =, ömegponrendszer impulzusmomenumának idő szerini deriválja egyenlő az összes külső erő forgaónyomaékának eredőjével. Munkaéel ömegponrendszerre: ömegponrendszer kineikus energiájának megválozása egyenlő az összes külső és belső erők munkájával: W=ΔE k. Üközések: Csak ké ponszerűnek ekine es üközésé árgyaljuk a legegyszerűbb eseben (egy dimenzió). Legyen a ké ömegpon A és B, ömegük m A és m B sebességük kezdeben v A () és v B (), az üközés uán v A () és v B (). A sebességek i előjeles mennyiségek. Mindig eljesül az impulzusmegmaradás: m A v A () + m B v B () = m A v A () + m B v B () Az energiamegmaradás szemponjából ké haárese van: a eljesen rugalmas üközés, amikor az összes mozgási energia megmarad, ekkor: m A v A () + m B v B () = m A v A () + m B v B () A másik haárese a eljesen rugalmalan üközés, ekkor a leheő legnagyobb mozgási energiacsökkenés kövekezik be, a ké es összeapad és közös (eseleg nulla) sebességgel haladnak ovább: v A () = v B (). Mindké eseben ké egyenleünk van, így a ömegek és a kezdei sebességek ismereében meg udjuk haározni az üközés uáni sebességeke. Tömegponrendszer eheelenségi nyomaéka az egyes ponok eheelenségi nyomaékának az összege: Θ = mr i i, ahol ri az i-edik ömegpon ávolsága a forgásengelyől. Láhaó, hogy a ömegponok engelyől való ávolságának négyzee számí, az, hogy milyen irányban vannak, nem. Maemaikailag: egy skalár kell inegrálni és az eredmény is skalár. Folyonos ömegeloszlású esre: Θ = ρrdv V Descares koordináákban, ha a forgásengely a z engely: θ = ρ( x + y ) dxdydz Definíció: Akkor nevezünk egy ese merev esnek, ha bármely ké ponjának ávolsága állandó. Merev es ponosan akkor van egyensúlyban, ha a esre haó összes külső erők eredője és a külső erők (eszőleges ponra, ill. engelyre vonakozó) forgaónyomaékainak eredője nulla. A forgómozgás alapegyenlee merev esre is igaz: M=θβ Ha ismerjük a eheelenségi nyomaéko egy, a súlyponon ámenő engelyre (legyen ez θ s ), a Seiner-éellel könnyen kiszámíhajuk az bármilyen, az előzővel párhuzamos engelyre, csak θ s hez hozzá kell adni a es ömegének és a ké engely ávolsága négyzeének szorzaá. V

12 Bizonyíás: legyen az (x,y) koordináa-rendszer origója a ömegközépponban, a z engely a forgásengely, a másik engely az előzőől d ávolságra a -x irányban. Ezzel Θ ( s = mi xi + yi ), a másik rendszerben az y koordináák ugyanazok, így Θ d = mi( xi, d + yi ) = = m (( ) ) i xi+ d + yi = m i xi yi xd i d = Θs+ d mx i i+ md. De a súlypon x mx i i koordináája az (x,y) rendszerben 0 m =, ehá Θ = Θ +, ez pedig a éel állíása. i d s md Példa: Homogén rúd eheelenségi nyomaéka, ha a engely a rúdra merőleges és a rúd végén megy á (A rúd ömege m=ρv=ρal) l 3 l l Θ = ρar dr= ρa = m. Ha a engely a rúd közepén megy á, akkor könnyen levezeheő (pl. a Seiner éellel), hogy Θ = ml. A henger eheelenségi nyomaéka Θ = mr az alaplapjára merőleges, a szimmeriaengelyen ámenő engelyre vonakozólag. Folyadékok és gázok mechanikája A merev esek uán olyan anyagok mechanikájával foglalkozunk, amelyek alakjuka szabadon válozaják. Először álló folyadékokkal (és, bár nem mindig hangsúlyozzuk) gázokkal, majd a folyadékok áramlásának örvényszerűségeibe nyújunk egy nagyon alapszinű bevezeő. Hidroszaika F(A) Nyugvó folyadékok mechanikája: A nyomás definíciója: p= lima 0, ahol F(A) az A A felülere haó erő nagysága, vagyis a nyomás skalármennyiség. Nehézségi erőérben lévő folyadékban a nyomás csak aól függ, milyen magasságban van a felüle, a felüle irányíásáól nem. Legyen a felüle vízszines és legyen felee h magasságú folyadék, ekkor a folyadék érfogaa Ah, a ömege ρah, a súlya ρgah, ehá a folyadék súlyából származó hidroszaikai nyomás: p H =ρgh. Nyugvó folyadékban lévő árgyakra vagy az edény falára a folyadék csak a felülere merőleges erő fejhe ki. Arkhimédész örvénye: A folyadékba máro esre felhajóerő ha, amely nagysága egyenlő a es álal kiszorío, (azaz a es bemerülő részével egyenlő érfogaú) folyadék súlyával. Bizonyíás eljesen bemerülő églaesre: legyenek a églaes vízszines oldalai a és b, a függőleges c. A függőleges oldallapokra vízszinesen haó erők kiegyenlíik egymás, a felső vízszines lapnál a nyomás legyen ρgh (ρ a folyadék sűrűsége) az alsó lapnál ρg(h+c). A feni lapo eszerin ρghab erő nyomja lefelé, a leni ρg(h+c)ab felfelé. Az eredő erő ρgcab. Mivel abc a églaes érfogaa, ρabc a kiszorío folyadék ömege, ρgabc a súlya, q.e.d. Ha a es a folyadéknál nagyobb sűrűségű, lemerül az aljára, ha egyenlő sűrűségű, akkor lebeg, ha kisebb sűrűségű, akkor úszik (persze csak ha elég mély a folyadék és nem fu záonyra ). Lemerülésnél ahhoz, hogy a es egyensúlyba kerüljön, aróerő szükséges: F =G-F f =(ρ ρ f )Vg. Úszás eseében a es súlya egyenlő a felhajóerővel. A feni églaesre ρ gabc= ρ f gabm, ahol m a bemerülési mélység. Ebből m=c ρ /ρ f, álalában a bemerülő érfoga: V be =V ρ /ρ f. Felülei feszülség: ha egy zsilepengé lapjával óvaosan nyugvó vízfelszínre helyezünk, az nem süllyed el. Ha erővel lenyomjuk a vízfelszín alá, akkor viszon nem jön fel, hanem elmerül, vagyis a sűrűsége nagyobb, min a vízé. Mi az oka, hogy az első eseben nem süllye el? Ha egy olyan drókeree, amelynek egyik oldala elcsúszahaó, mosószeres vízbe márunk, a folyadék háryakén feszül rá a kerere, és ha elég könnyű a dró, akár fel is emelhei.

13 A dródarabra haó erő csak a a dró hosszáól és a folyadék minőségéől függ, függelen a hárya felüleének nagyságáól. Képleel: F=αd. Ezen erő álal végze munka, miközben s-sel magasabbra emele a dróo: W=Fs=αds=αΔA, vagyis a felüle-válozással arányos. Kövekezésképp a folyadéknak a felüleével arányos s energiá kell ulajdoníanunk: E=αA. Ennek oka, hogy a folyadék részecskéi közö rövid haóávolságú erők hanak. Ezér igyekeznek d a folyadékok minimalizálni a felüleüke, pl. a cseppek gömb alako felvenni (súlyalanságban). Előfordul, hogy az edény fala és a folyadék részecskéi közöi vonzóerők erősebbek, min a folyadék részecskéi álal egymásra gyakorol erő. Ekkor a folyadék nedvesíi az edény falá. Ezen alapszanak a hajszálcsöveknél megfigyelheő jelenségek is. Hidrodinamika (áramlásan) A folyadékok és a gázok is részecskékből (aomokból, molekulákból) állnak. Nem ezek pályájá kövejük nyomon, hanem az vizsgáljuk, hogy a ér egy ado ponjában mennyi az o áramló részecskék sebessége, mennyi a nyomás, a sűrűség, sb. Sacionáriusnak hívjuk az áramlás akkor, ha a ér bármely ponjában ezek a jellemzők függelenek az időől. (Tehá nem arról van szó, hogy egy ado részecske sebessége lenne állandó, ez egy görbe csőben leheelen lenne!) Az anyag- ill. ömegmegmaradásból kövekezik, hogy ha egy csőben sacionárius módon áramlik a folyadék, akkor a cső bármely kereszmeszeén másodpercenkén ugyanannyi ömegű folyadék áramlik á. Tegyük fel, hogy az áramcső vékony, azaz egy ado kereszmeszenél a sebesség minden ponban ugyanakkora. Az első kereszmesze legyen A, a második A, a megfelelő sűrűségek, ill. sebességek ρ és ρ, ill. v és v. Egy kis Δ idő ala a folyadékrészecskék vδ ua esznek meg, így az ááramlo folyadék érfogaa AvΔ, a ömege ρavδ. A ké kereszmeszeen egységnyi idő ala ááramlo ömeg (sacionárius eseben) egyenlő, ehá ρ A v = ρ A v. Ez úgy hívják, hogy koninuiási egyenle vékony áramcsőre. Ha az is felesszük, hogy a folyadék összenyomhaalan, akkor ρ =ρ vagyis A v =A v. (*) Ez álalánosíhajuk eszőleges érfogara. A érfogaban alálhaó folyadék ömege ρdv. Ez csak akkor válozha, ha a érfogao haároló felüleen nem ugyanannyi folyadék lép be, min amennyi ki. A felüle normálisa kifelé mua, ehá a neó kiáramlás ρ vda. Ezzel a koninuiási d egyenle álalános alakja: ρ dv = ρvda. Sacionárius áramlás eseén a baloldal nulla. Összenyomhaalan folyadékra a (konsans) sűrűsége kiemelhejük az inegrál elé, vagyis 0= vd A. Ennek speciális alakja a (*) egyenle. Próbáljuk meghaározni, hogyan függ a nyomás a sebességől. Tegyük fel, hogy egy vékony csőben súrlódásmenes és összenyomhaalan folyadék sacionáriusan áramlik. Tekinsük ebben a csőben a folyadéknak az a részé, amelye az. és. helyeken a A, ill. A kereszmeszeű AB és CD felüleek haárolnak. A sebesség és a nyomás az. és. helyeken legyen v, p, ill. v, p. Alkalmazni fogjuk az ABCD folyadékoszlop kicsiny elmozdulására a munkaéel (energiamegmaradás!), amely szerin a kineikus energia megválozása egyenlő a rendszerre haó összes erők munkájával. V

14 A p A B v Δ A B A C D v Δ C D p h h h Az ABCD folyadékoszlop az igen kicsiny Δ idő ala az A B C D helyzebe ju: az. helyről a folyadékoszlop AA B B=V=A v Δ érfogaú része elávozik, a. helyen pedig az összenyomhaalanság (konkréan a * egyenle) mia ugyanekkora (CC D D=V=A v Δ) érfogaú folyadék megjelenik. Emia, és amia, hogy az A B CD érben az áramlás sacionárius volából kifolyólag semmi sem válozo, a munkaéel alkalmazásánál úgy járhaunk el, minha a kicsiny m = ρv ömegű folyadék egyszerűen az. helyről a.-re juo volna. Ennél az elmozdulásnál az összes munka súrlódás hiányában a nehézségi erő és a nyomóerők munkájából evődik össze. A nehézségi erő munkája mg(h h ), a nyomóerők munkája pedig a A és A kereszmeszenek AA = v Δ vel, ill. CC = v Δ vel való elolásánál: p A v Δ=p V, ill. p A v Δ = -p V. A munkaéel szerin ehá V( v v) Vg( h h) ( p p) V. ρ = ρ + Ebből V-vel való egyszerűsíés uán adódik a Bernoulli-egyenle : p+ ρv + ρgh= p+ ρv + ρgh, azaz súrlódásmenes és összenyomhaalan folyadék sacionárius áramlására p + ρv + ρgh = áll. Ez az egyenle az energia megmaradásá fejezi ki. Emelle álló folyadék (v=0) eseén visszaadja a hidroszaikai nyomás képleé. Alkalmazás: folyadékok kiáramlása kis nyíláson (legyen ennek sebessége v, a vízszin süllyedésének v ), lásd az ábrán. Az edény alaperülee (A ) sokkal nagyobb, min a nyílás kereszmeszee (A ), és mivel A v =A v, a v sokkal kisebb, min a v, így előbbi elhanyagoljuk. A felszínen és a nyílásnál is, ahol a folyadék érinkezik a külső levegővel, a nyomás egyenlő a külső légnyomással, p =p, ezzel egyszerűsíünk. A poenciális energia nulla szinjé a nyílás magasságáól mérjük (vagyis h =0, h =h), ezzel a Bernoulli egyenle a ρgh=ρv /-re egyszerűsödik, ebből v= gh (ugyanakkora, minha a folyadék h magasságból szabadon ese volna, ez 646-ban vee észre Torricelli).