2010. május 4. Az alap-jelenség egy térben értelmezett függvény, f(x). Itt x a tér-koordináta, f pedig egy

Átírás

1 Környezeti sugárzások Csanád Máté május Bevezetés a hullámok elméletébe 1.1. Motiváció Zajszennyezés: hanghullámok Elektroszmog: elektromágneses hullámok Radioaktivitás: részecskék és elektromágneses hullámok 1.2. Sugárzások és hullámok A sugárzás nem más, mint hullámterjedés. Az alap-jelenség egy térben értelmezett függvény, f(x). Itt x a tér-koordináta, f pedig egy térfüggő mennyiség (lásd az 1. ábrát): egy húr kitérése (vonós hangszeren), egy folyadék szintjének értéke (víz felszínének alakja), az autók sűrűsége az autópályán, egy rugó spiráljainak sűrűsége, Ez a függvény minden t időpillanatban más, azaz f t (x)-nek írhatjuk. A legegyszerűbb eset a haladó hullám (lásd a 2. ábrát). Haladó hullám: f t (x) = f t+ t (x x). Mostantól f t (x) = f(t, x). A fenti egyenlőség így tehát: f(t + t, x) = f(t, x x) (1) Szavakkal (az autópályás esetre): az autók sűrűsége (f) ugyanakkora lesz itt (x) egy perc múlva (t + t), mint most (t) egy kilométerrel hátrébb (x x) Hullámterjedés A hullámterjedés alapja tehát a hullámegyenlet, azaz az (1) egyenlet. Ezt teljesíti bármely f(x ct) függvény, ekkor f(x c(t + t)) = f(x x ct), ez biztosan teljesül, ha (2) x c(t + t) = x x ct, azaz (3) c t = x, azaz (4) x t = c (5) azaz c a hullám,,terjedési sebessége. Összefoglalva: adott függvényalak, t = 0 esetén f(x), későbbi időpontokban f(x ct). 1

2 1. ábra. Különböző jelenségek, ahol egyfajta térfüggő kitérést lehet értelmezni 2. ábra. Hullámok terjedése 2

3 3. ábra. Periódikus hullám. Jól látható, hogy c t = λ esetén érjük el a periódusidőt, azaz T = λ/c Periodikus hullámok terjedése Klasszikus hullám-alak: periodikus térben a t = 0 időpillanatban is, azaz f(x + nλ) = f(x) minden x-re, n egész számra. Ekkor λ a hullámhossz. Ekkor időben is lesz egy peridocitás (ennek reciproka a frekvencia), hiszen az (2) egyenlet szerint (ha x = λ, és t = T ): f(x λ ct) = f(x c(t + T )), azaz (6) f(x ct) = f(x c(t + T ). (7) Tehát ha térben λ periodicitással (hullámhosszal) rendelkezik a hullám, akkor időben T = λ/c periódusideje lesz, és ν = 1/T = c/λ frekvenciája. Ekkor f(x ct) helyett f(kx kct)-t írunk, és definiáljuk az ω = kc mennyiséget. A hullámunk tehát f(kx ωt) lesz. Fontos látni, hogy a t = 0 időpillanat kiválasztása tetszőleges, ezért általánosságban f(kx ωt + φ) függést írunk, ahol φ egyfajta fázis-eltolás. A hullámtan alapvető egyenletei tehát: k = ω/c (8) λ = T c (9) Klasszikus hullámalak: szinuszhullám. Azaz f(x, t) = A sin(kx ωt+φ). A sin(x) hullámhossza λ = 2π, a sin(kx) hullámhossza pedig λ = 2π/k. Ekkor T = 2π/ω. Lásd erről a 3. ábrát Térbeli hullámok A legegyszerűbb esetet tárgyaltuk eddig, ahol egy térdimenzió van (azaz egy térkoordináta, x), és a kitérés is skalármennyiség. Bonyolítsuk a helyzetet azzal, hogy helyezzük az egészet egy háromdimenziós térbe, ahol a koordináták x, y és z Ekkor legyen a függvényünk f(x, y, z, t) = A sin(k x x + k y y + k z z ωt + φ). Itt t = 0 esetén konstans f, ha k x x + k y y + k z z =const. Ez a k vektorra merőleges felületeket jelöl ki, ezért ezt síkhullámnak hívjuk. A terjedési sebesség ugyanúgy számítható, csak most vektoriálisan: k = ωc/ c 2. Ekkor kijelölhetjük az új koordináta-rendszert a következőképpen: legyen az x irány k iránya, ekkor ebben az új rendszerben k = (k x, 0, 0) Tehát a síkhullámok egydimenziós hullámként is értelmezhetőek, lásd a 4. ábrát. 3

4 4. ábra. Síkhullám és koordinátarendszere. A jelölt síkban lévő pontokon f értéke konstans. 5. ábra. Körkörösen polarizált hullám Vektoriális hullámok A következő előrelépés az, hogy f nem skalármennyiség, hanem vektormennyiség, hívjuk E = (E x, E y, E z )-nek. Minden komponense változik térben és időben. Ugyan a hullám függ az x, y, z koordinátáktól, a fentiek alapján elég az egydimenziós függését tárgyalni. Ekkor E x = E x0 sin(kx ωt + φ x ) (10) E y = E y0 sin(kx ωt + φ y ) (11) E z = E z0 sin(kx ωt + φ z ) (12) Minden komponens függetlenül változhat, akár más frekvenciával és hullámszámmal is (a sebesség azért többnyire ugyanaz), de a fázis mindenképpen más lehet. A haladási irányra merőleges, körkörösen forgó vektort kapunk, ha E x = 0 (ez a hullám haladási iránya) (13) E y = E y0 sin(kx ωt) (14) E z = E z0 sin(kx ωt + π/2) (15) azaz E x0 = 0, φ y = 0, φ z = π/2. Ezt körkörösen polarizált hullámnak hívjuk, lásd a 5. ábrát. 2. Rezgések, a hullámok alapjai 2.1. Harmonikus rezgőmozgás Legegyszerűbb példa: mẍ = Dx, lásd 6 és 6. ábra. Megoldás (valós számokkal): x(t) = A sin(ωt + phi) D A körfrekvencia ω = m, a periódusidő T = 2π m D. Azonos frekvenciájú rezgések összetétele: x 1 (t) = A 1 sin(ωt+φ 1 ) és x 2 (t) = A 2 sin(ωt+φ 2 ). 4

5 6. ábra. Balra fent: harmónikus oszcillátor rezgése. Jobbra fent: harmónikus rezgőmozgás és körmozgás. Balra lent: kioltás és erősítés. Jobbra lent: erőleges rezgések összetétele. Ekkor x(t) = A sin(ωt + δ), ahol A = A A A 1A 2 cos(φ 2 φ 1 ), (16) tan δ = A 1 sin φ 1 + A 2 sin φ 2 A 1 cos φ 1 + A 2 cos φ 2. (17) Maximális erősítés: A = A 1 +A 2, φ 1 = φ 2. Maximális gyengítés: A = A 1 A 2, φ 2 φ 1 = π. Lásd 6. ábra. Különböző frekvenciájú rezgések összetétele: x 1 (t) = A sin(ω 1 t) és x 2 (t) = A sin(ω 2 t). Ekkor x(t) = 2A cos( ω1 ω2 2 t) sin( ω1+ω2 2 t), ahol A = 2A cos( ω1 ω2 2 t) az új amplidútó. Ez a lebegés. Merőleges rezgések összetétele: x(t) = A sin(ωt) és y(t) = B sin(ωt + δ), lásd 6. ábra. Az eredő mozgás: ellipszis, egyenlete x2 A + y2 2 B 2 xy 2 AB cos δ = sin2 δ. Kör, ha a fáziskülönbség π/2 és A = B Csillapított rezgőmozgás Mozgásegyenlet: mẍ + cẋ + kx = 0. Megoldás: x(t) = Ae zωt cos( 1 z 2 ωt + φ), lásd 7. ábra. Kényszerrezgések: rezgető erő,,rezonanciakatasztrófa (fa lengetése, híd), lásd 8. ábra A hullámegyenlet eredete,,hamis hullám: egyenletesen eltolt fázisú rezgések. Érdekesebbek az,,igazi hullámok. Rugóval összekötött ingák (rugóra merőleges lengés, lásd 10. ábra) 5

6 7. ábra. Csillapított rezgés. 8. ábra. Erősítés (azaz a rezgetés és a válasz-rezgés amplitúdójának hányadosa) a frekvencia függvényében (1 éppen a saját-frekvenciának felel meg). Látható, hogy csillapítás nélkül a sajátfrekvencia környékén bekövetkezik a rezonancia-katasztrófa, míg elég nagy csillapítás esetén nem jön létre erősítés még a sajátfrekvencián sem. 6

7 9. ábra. Rugóval összekötött testek. Torziós szálra rögzített vízszintes,,súlyzók Visszatérítő erő a szomszéd egységhez képesti elmozdulástól függ. Egyszerű példa (lásd 9. ábra): sok test rugókkal összekötve. Ekkor a rugóerő, amely az i. pozícióban lévő testre hat: F Newton = m a(t) = m 2 t 2 u i(t) (18) F Hooke = D[u i (t) u i+1 (t)] D[u i (t) u i 1 (t)] (19) Csináljuk meg a következő helyettesítést: u i u x,t, mivel x i = i h, ha minden két test között h a távolság. Ad infinitum: 2 u(x,t) t = Dh2 2 u(x,t) 2 m x 2 Klasszikus hullámegyenlet: 2 u t = c 2 2 u 2 x avagy u = 0. 2 Hasonlóan a torziós szálra rögíztett rudakkal, itt M = Θβ a Newton törvény, és M = Gα a torziós erő. A forgatónyomatékokra vonatkozó egyenlet tehát, ha az egyes rudak között a magasságkülönbség h (azaz x i = ih): Θ 2 t 2 α i(t) = G[α i+1 (t) α i (t)] + G[α i 1 (t) α i (t)] (20) Θ 2 t 2 α(x, t) = h2 G 2 α(x, t) (21) x2 n Más egyszerű eset: kontinuitási egyenlet. x = 0. Egyenlet magyarázata: az időbeli változás a cellába való ki/be áramlásból eredhet csak. Itt, ha v =állandó, akkor egyszerűen kijön: 2 n t = v 2 2 n 2 x. 2 t + (vn) 2.4. Az általános hullámegyenlet Általános forma: 1 2 φ c 2 t = 2 φ 2 x. 2 Vezessünk be új változókat: a = x + ct és b = x ct. 7

8 10. ábra. Elforgatott torziós szálon testek. Ekkor a deriváltak így módosulnak: φ t = φ a + φ b (22) φ x = c φ a c φ b (23) 2 φ t 2 = 2 φ 2 a φ a b + 2 φ b 2 (24) 2 φ x 2 = c2 2 φ 2 a 2c2 2 φ a b + c2 2 φ b 2 (25) 2 φ Innen az egyenletünk így írható fel: a b = 0. Ennek megoldása φ(a, b) = F (a) + G(b) Az eredeti koordinátákban az általános megoldás: φ(x, t) = F (x ct) + G(x + ct). Pontszerű forrás esetén érdemes a ponttól való távolság függvényében vizsgálni a megoldásokat. A hullámegyenletet n-dimenzióban, polárkoordinátákban felírva, és φ = r n 1 2 ψ próbafüggvényt bevezetve: 2 φ r (n 1)(n 3) 2 4r 2 φ = 2 φ t 2 (26) Ez n = 1 esetben visszaadja az 1D hullámegyenletet természetesen, és ψ = φ. Két dimenzióban nem a sima síkhullám gömbi (itt körnek megfelelő) alakja a megoldás, tehát a kör-alakú hullámok terjedése bonyolultabb,,,utórezgések lépnek fel. Három dimenzióban is sima síkhullám-megoldás érvényes φ-re, és ψ = φ/r. Ez mutatja az amplitúdó kifelé való gyengülését A Fourier-tétel 1807., Joseph Fourier: 2π-periodikus függvények, amelyek integrálhatóak a [ π, π] intervallumon,,,sorba fejthetőek, lásd 11. ábra. A sor: f(x) = a0 2 + n=1 [a n cos(nx) + b n sin(nx)]. Egyszerű példa: f(x) = x, ha π < x < π és periodikusan változik. a n = 1 π b n = 1 π π π π π x cos(nx) dx = 0, n 0. (27) x sin(nx) dx = 2 n cos(nπ) + 2 n 2 π ( 1)n+1 sin(nπ) = 2, n 1. (28) n 8

9 11. ábra. A Fourier tétel alkalmazása. Általánosítás: komplex számok, több dimenzió, más intervallumok. Nincs periodicitás Fourier-transzformáció (nem indexált koefficiensek, hanem új függvény). Ha van periodicitás Fourier-tétel érvényes szinuszfüggvények összegeként értelmezhető minden függvény a Fourier tétel miatt. Ezért hullámok esetében a Fourier-komponensek összegére bontjuk a hullámalakot, és így mindig szinuszhullámokról vagy azok összegéről beszélhetünk. 3. Mechanikai hullámok, a hanghullám 3.1. Bevezetés Gáznemű közegekben a kontinuitási egyenlet alapján hullámok szabad terjedése valósulhat meg. Ezek többnyire longitudinális hullámok: a hullámterjedés irányában oda-vissza mozgó részecskék hozzák létre a sűrűség-fluktuációkat Szilárd testekben oszcillátorok lehetnek, itt transzverzális és longitudinális hullámok is haladhatnak és keletkezhetnek Vízben a felszínen lévő részecskék kb körmozgást végeznek (ahogy ezt kimutatták); itt a gravitáció és a felületi feszültség adja a hullámzást 9

10 Elég mély vízhullámoknál a terjedési sebesség c = gλ 2π + 2πα ρλ, ahol λ a hullámhossz, g a nehézségi gyorsulás, ρ a sűrűség és α a felületi feszültség. Sekély vízben c = gh. Gáznemű közegekben, kis sűrűségfluktuációk esetén a hullám terjedési sebessége c = p ρ Ez levegőben nulla Celsius fokon kb 330 m/s, hidegben lassabb, melegben gyorsabb. Hidrogéngázban az 1300 m/s értéket is elérheti, mivel az atomtömeggel fordítottan arányos. Egyatomos gázokban 1.1 nagyobb, mint hasonló kétatomos házban. Vízben 1500 m/s körül van, más folyadékokban m/s között van. Szilárd anyagokban a keménység gyökével arányos, acélban m/s, gyémántban m/s, míg ólomban alig 1000 m/s fölötti Szeizmikus hullámok A szeizmikus hullámok terjedése a fentiekhez hasonlóan működik. A törésnél a Föld különböző sűrűségű rétegei befolyásolják a terjedést, lásd 17. ábra Négyféle alaphullám: felületi és térfogati, longitudinális (P, azaz primary, ez a fenti sebességgel terjed) és transzverz (S, azaz secondary, mert ez felakkora sebességű) Távolság meghatározható a két hullám időkülönbségéből. Pontos idő és mélység ( km) meghatározásához sok mérést használnak. Maradék: 0.1 s A hang fizikájánan alapjai A rugalmas közegekben fellépő mechanikai rezgést hívjuk hangnak; Hz között a levegőn keresztül halljuk. A Fourier-tétel miatt sok rezgésnek esik ebbe a tartományba valamely komponense; tiszta hangnál is vannak felhangok. Első vizsgálatok a hang terjedéséről: mechanikus szirénák, lásd 12. ábra. Hangban részecskék kitérése, sebessége és a közeg nyomása is hullámszerűen változik. A kitérés változása: ξ = ξ 0 sin(ω(x ct)). A nyomás gradiense az erő, tehát p = ρ ξ. A nyomás végül p = p 0 + ρωcξ 0 cos(ω(x ct)). A nyomáshullám ( amplitúdója ) tehát p A = ρωcξ 0, ezt logaritmikusan érzékeljük: L p = 20 log pa 10 pr Ezt hívjuk decibelnek [db], itt a referencia-nyomás p r a legkisebb érzékelhető nyomásamplitúdó. Általában 20 µpa levegőben. Az energiasűrűség: ɛ = 0.5ρω 2 ξ0 2 = 0.5p 2 A /(c2 ρ). Az intenzitás: I = ɛc0.5ρ 0 ωξ0 2 = 0.5p 2 A /(cρ 0) A legkisebb érzékelhető energiasűrűség frekvenciafüggő, lásd 13. ábra, 1000 Hz frekvencián kb. I 0 = W/m 2. Levegő esetén ebből ξ 0 = m. A hangintenzitás a távolsággal négyzetesen csökken. Tipikus intenzitások: beszéd 10 5 W/m 2 m, zongora 10 1 W/m 2, erős hangszóró ( 10 2 W/m 2. I Hangosság vagy hangnyomásszint d = 10 log 10 I 0 ), db-ben. A phon esetén I 0 (f) frekvenciafüggő küszöbértéket használunk. Az intenzitás a nyomásamplitúdó négyzetével arányos, ezért ez négyzetesen csökken a távolsággal. Ezt józan ésszel is láthatjuk: ugyanakkora teljesítmény oszlik el egyre nagyobb gömbfelületeken, ugyanis I = P/A = P/(4πR 2 ). Ezt a függést kísérletileg is igazolhatjuk. A hangnyomásszint távolságfüggése ekkor d = 10 log I P I 0 = 10 log 4πR 2 I 0. A távolságot kétszeresére növelve: d P P P = 10 log 4π(2R) 2 I 0 = 10 log 4π4R 2 I 0 = 10 log 4πR 2 I 0 10 log 4. A távolságot fix arányban növelve tehát ugyanannyit csökken a hangnyomásszint, azaz a hangérzet A hang forrásai Testek saját rezgései a sajátfrekvenciákon, állóhullámok többnyire Erősítés: rezonancia a hangsugárzóval; ez befolyásolja a hangszínt. A hangsugárzó adja a hangszer lényegét vonós hangszerek esetében. 10

11 12. ábra. Mechanikus hangkeltés Seebeck-féle szirénával. 13. ábra. A hangintenzitás, hangosság és frekvencia összefüggése. 11

12 14. ábra. Chladni ábrák. Legjobb a gömb alakú membrán lenne, de a sík membránok is jól adják át a hangot. Húrok rezgései: l hosszúságú húron f n = nc/2l frekvenciák lehetségesek állóhullámmal. Itt c = F/Aρ, ahol F a feszítő erő, A a keresztmetszet és ρ a sűrűség. Az f 1 frekvencián felül az f n felhangok is megjelennek, a sugárzó térfogat erősítésétől függően különböző arányban. Egyes hangok gyenge érintéssel megszűntethetőek - pl középen lévő érintésnél az alaphang akár. A húr igen rossz hangsugárzó egyébként. Pálcák és membránok rezgései bonyolultabbak, több lehetőség van. Lásd 14. ábra, a Chladni ábrák eredeti rajza. Sípok: levegőoszlop rezgései. Itt a közegbeli hangsebesség határozza meg a frekvenciákat. Hangszerek hangszínét a felhangok aránya határozza meg, lásd 15. ábra A hang terjedése Visszaverődés és elnyelődés, indikátor lánggal vizsgálható például. Visszhang jelensége használható mélységmérésre például. Fontos alkalmazás: szócső és hallócső Törés ugyanúgy, mint a fényhullámoknál: alapja a Huygens-Fresnel elv (a hullámfelület minden pontja elemi hullámok kiindulópontja). A terjedési sebesség változása miatt elhajlik a hullámfront, lásd 16. ábra. Délibábhoz hasonlóan felfelő növekedő hőmérséklet esetén messzebbre hallatszik a hang, és fordítva. Nem nagyon magas hanghoz képest a természetes akadályok mérete elég nagy, így könnyen jelentkezik elhajlás. Elnyelés: exponenciálisan csökkenő intenzitás (belső súrlódás, hővezetés; ultrahangoknál molekulán belüli rezgések). Doppler-hatás: f = Levezetés: órán volt ( 1±vm/c 1 v f /c ) f 0 (v m a megfigyelő, v f a forrás közeghez képesti sebessége). 12

13 15. ábra. Az egyes hangforrások hangszínét az alap-frekvenciához kapcsolódó felhangok adják meg. 16. ábra. A Huygens-Fresnel elv alkalmazása hullámok terjedésénél 17. ábra. Szeizmikus hullámok mozgása, s és p hullámok 13

14 3.6. Hangsorok, konszonancia és disszonancia Hangok egyszerre hangzásánál a f 1 /f 2 hangköz határozza meg a konszonanciát. abszolút konszonancia: 2:1 (oktáv), teljes konszonancia: 3:2 (kvint), 4:3 (kvart), egyéb: 5:4 (nagy terc) 6:5 (kis terc). Helmholtz szerint a lebegések miatt lesz két hang disszonáns, más magyarázatok is vannak (pl Stumpf: összeolvadási érzet). Konszonáns hármashangzat: ha minden hangköz konszonáns (1:5/4:3/2 vagy 1:6/5:3/2). Hangsor: 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2 (dúr); 1, 9/8, 6/5, 5/4, 4/3, 3/2, 8/5, 9/5, 2 (moll). Szomszédos hangok között 9/8 (nagy egész hang), 10/9 (kis egész hang) vagy 16/15 (nagy félhang). Egymás közötti különbség lehet 25/24 is, ez a kis félhang. Legyen ugyanaz a hangsor (hangközök egymásutánja) másik hangról kiindulva is lejátszható! Ez túl bő skálát követelne meg, ezért csak azokat nevezik új hangoknak, ahol 25/24 a különbség lefelé és felfelé is ( isz és esz ). Ez 21 hang. Sok, ezért 12 egyenlő hangköz. Ekkor 2 = δ 1/12, azaz δ = Jóltemporált skála: a kvint (g) 1, =1,4983 3/2 helyett. Rögzített hangokkal bíró hangszerekben ezt a hangolást alkalmazzák. Húros hangszereknél persze lehet variálni. A hangoláshoz használt alaphang: 1939 óta 440 Hz (azelőtt 435 Hz volt). Eszerint az egyvonalas c, azaz c 1 261,63 Hz (9 hangközzel arrébb), fizikai hangolásban viszont 256 Hz. Szubkontra: kis c-nél 3 oktávval lejjebb. Ötvonalas c: 4096 Hz. Ultra- és infrahangok: nem hallhatóak, de sok alkalmazásuk van Az elektromágneses hullámok eredete 4.1. A differenciálszámítás alapjai A Maxwell-egyenletek megértéséhez ez szükséges... Fogalmak: r = (x, y, z) koordináta-vektor, φ(r) skalárfüggvény, a(r) vektorfüggvény vagy mező, l görbe, A felület, V térfogat. Gradiens d Vesszük az iránymenti deriváltakat különféle e egységvektorok irányába: dsφ(r + se). A gradiens iránya ez az irány A legnagyobb iránymenti derivált a gradiens nagysága Belátható, hogy gradφ = ( x φ, y φ, z φ). Divergencia Az a vektorfüggvény integrálja egy zárt felületen nem más, mint az abból a felületből való,,kiáramlás, vagy fluxus, Φ A = A ada Ha ezt a fluxust elosztjuk a felületen belüli térfogattal, akkor az átlagos forrássűrűséget kapjuk, ez Φ A /V. Ha ezt a térfogatot annyira csökkentjük, hogy már csak egy pont van benne (matematikailag a határérték segítségével), akkor az adott pontban vett forrássűrűséget kapjuk. Φ Ez éppen az abban a pontban vett divergencia: diva = lim A V 0 V. Ha egy mezőnek vannak forrásai, akkor van divergenciája is. Forrásmentesség: nulla divergencia. Matematikailag belátható, hogy diva = x a x + y a y + z a z. Rotáció Az a vektormező integrálja egy zárt görbén: örvény vagy cirkuláció: O l = l adl. Átlagos örvényerősség a felületen: O l/a Ha a görbét ráhúzzuk egy pontra (határértékkel), akkor az adott pontban vett örvényerősséget kapjuk. O Ez másnéven a rotáció: rota = lim l A 0 A Ha egy mezőben vannak örvények, akkor van rotációja. Örvénymentesség: nulla rotáció. Matematikailag belátható, hogy rota = ( y a z z a y, z a x x a z, x a y y a x ) 14

15 18. ábra. Illusztráció a Stokes tétel bizonyításához Ha vesszük a = ( x, y, z ) vektort, akkor gradφ = φ, diva = a és rota = a, ahol az utolsó szorzás a vektorszorzás, előtte pedig skaláris szorzás van. Stokes-tétel Ha egy felületet felosztunk kis elemekre, akkor egy infinitezimálisan kicsi, da felületű elemre rotada = l adl Ezeket felösszegezve A rotada = adl, mivel a kis felületek határára vett vonalintegrálás kiesik, csak a külső görbe marad (lásd (18 ábra). l Ez a Stokes-tétel, ahol az l zárt görbe az A felület határa. Gauss-tétel Ha egy térfogatot felosztunk kis elemekre, akkor egy infinitezimálisan kicsi, dv felületű elemre divadv = A ada Ezeket felösszegezve a Stokes-tételhez hasonlóan kiesnek a határoló felületek. Végül a Gauss-tétel: V divadv = ada, ahol az A zárt felület a V térfogat határa. A A Laplace-operátort is definiálhatjuk: = 2, azaz x 2 + y 2 + z. 2 Egy dimenzióban a második derivált a függvény konvexitását vizsgálja: f > 0 esetén konkáv, f < 0 esetén konvex. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a függvény az adott pontban kisebb vagy nagyobb mint a,,környezeti átlag. A Laplace-operátornak is ez a szemléletes jelentése, a függvény értéke a környezeti átlaghoz képest Az elektromágnesesség törvényei Elektromos térerősség: erő/próbatöltés. Erővonal: térerősség ennek érintője, sűrűségük a térerősség nagysága. Fluxus: felületi erővonal-sűrűség, térerősség felület Gauss: zárt térben lévő töltés arányos a felületen mért térerősséggel. Gömbre és ponttöltésre egyszerűen belátható: E = kq/r 2, A = 4πR 2, EA = 4πkQ. Integrális alakban: EdA = Q ɛ 0 = 1 ɛ 0 ρdv. A matematikai Gauss (vagy Gauss-Bolyai) tétel alapján EdA = divedv. Ezt alkalmazva: divedv 1 ɛ 0 ρdv Mivel ez tetszőleges térfogatra igaz, ezért a két oldal,,integrálás nélkül is megegyezik: dive = ρ ɛ 0. Mágneses indukcióvektort definiáljuk, ez mozgó töltésekre hat Lorentz-erővel. Mágneses fluxust ugyanúgy definiálhatjuk: Φ B = BdA. Mivel a,,töltéssűrűsűg itt nulla, azaz nincsenek mágneses töltések (monopólusok), a mágneses Gauss-törvény szerint zárt felületen a mágneses fluxus nulla. Integrális alakban BdA = 0, differenciálisan B = 0. V Indukció jelensége: U ind = Φ B t. 15

16 Ez zárt vonalra felírva: Edl = B t da. A matematikai Stokes tétel szerint: rot EdA = Edl. Innen jön a Maxwell-Faraday egyenlet: E = B t Az utolsó törvény az Ampere törvény: Bdl = µ0 I, azaz a mágneses indukció zárt vonal menti integrálja arányos a vonal által bezárt felületen átfolyó árammal. Φ Maxwell: ezt igazából ki kell egészíteni az ú.n. eltolási árammal, I I + ɛ E 0 t, mivel az elektromos térerősség változása is mágneses teret kelt. E Ezt megintcsak a Stokes-tétel alapján átalakítva B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 t Maxwell-egyenletek A fentiek alapján összeállíthatjuk a Maxwell-egyenletek rendszerét: Töltések (és áram) nélküli térben: dive = ρ ɛ 0 (29) divb = 0 (30) rote = B t E rotb = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 t (31) (32) Ezt a rendszert kell megoldanunk! dive = 0 (33) divb = 0 (34) rote = B t E rotb = µ 0 ɛ 0 t (35) (36) 4.4. Elektromágneses sugárzás A rot rot A = grad div A - A összefüggést felhasználjuk, és egymásba helyettesítjük az egyenleteket. Ekkor 2 E t 2 c2 2 E = 0 (37) 2 B t 2 c2 2 B = 0 (38) ahol c = 1/ µɛ a fénysebesség. Vákuumban c = 1/ µ 0 ɛ 0. A törésmutató: n = µ r ɛ r Az általános megoldás a szokásos G(ωt kr). Spektrális dekompozíció a Fourier törvény szerint: minden egyes hullámhossznál adott amplitúdójú komponens. Visszahelyettesítve a rotációt tartalmazó egyenletbe azt kapjuk, hogy k E 0 = ωb 0. Azaz egyrészt k, E és B mindig merőlegesek egymásra. Másrészt E = c B. Polarizáció: a két merőleges vektor kezdőfázisától függ. Vezessük be a k irányú koordinátarendszert, azaz k = ( k, 0, 0). Ekkor a térkoordinátákból csak az x marad. A megoldásunk így néz ki tehát: E x = E x0 sin(kx ωt + φ x ) (39) E y = E y0 sin(kx ωt + φ y ) (40) E z = E z0 sin(kx ωt + φ z ) (41) 16

17 Minden komponens függetlenül változhat, akár más frekvenciával és hullámszámmal is (a sebesség azért többnyire ugyanaz), de a fázis mindenképpen más lehet. Ha minden fázis ugyanakkora (azaz vehető nullának), akkor adott irányban polarizált a hullám. Egyszerre több irányú hullám is jelen lehet. Erre hatnak a polarizációs szűrők (fényképezőgép szűrők, polaroid napszemüveg). A visszavert napfény polarizációjat ki lehet szűrni. Vikingek navigációja: szórt napfény polarizációja mutatja a Nap irányát felhős időben is. A haladási irányra merőleges, körkörösen forgó vektort kapunk, ha E x = 0 (ez a hullám haladási iránya) (42) E y = E y0 sin(kx ωt) (43) E z = E z0 sin(kx ωt + π/2) (44) azaz E x0 = 0, φ y = 0, φ z = π/2. Ezt körkörösen polarizált hullámnak hívjuk, lásd a 5. ábrát. ( ) A Maxwell-egyenletekből még kijön a következő is: 1 µ 0 E B t ɛ0 E 2 /2 + B 2 /2µ 0, ha a rotációs egyenleteket E-vel és B-vel szorozzuk. A sugárzás energiáját a Poynting-vektor írja le (teljesítmény-sűrűség): S = E B/µ 0. Az energiasűrűség: ɛ 0 E 2 /2 + B 2 /2µ 0. Az impulzussűrűség S/c 2 lesz. Az energiát kvantumok hordozzák, a fotonok. Egy kvantum energiája E = hf, ahol h = 6, m 2 kg/s = 1240 MeV fm. A frekvenciától függően sokféle típusú sugárzás képzelhető el: Sugárzás típusa Frekvencia-tartomány Hullámhossz Energia Gamma > 30 EHz <10 pm > 100 kev Erős RTG 3-30 EHz pm kev Gyenge RTG PHz 0,1-10 nm 0,1-10 kev Extrém UV 3-30 PHz nm ev Ultraibolya 0,75-3 PHz nm 1-10 ev Látható fény THz nm 5 ev Infravörös 0,3-350 THz µ m mev Extrém magas frekvencia (EHF) GHz 1-10 mm - Szuper-magas frekvencia (SHF) 3-30 GHz 1-10 cm - Ultra-magas frekvencia (UHF) 0,3-3 GHz cm - Nagyon magas frekvencia (VHF) MHz 1-10 m - Magas frekvencia (HF) 3-30 MHz m - Közép frekvencia (MF) 0,3-3 MHz m - Alacsony frekvencia (LF) khz 1-10 km - Nagyon alacsony frekvencia (VLF) 0,3-30 khz km - Extrém alacsony frekvencia (ELF) Hz >1000 km Sugárzásról szigorúan véve akkor beszélünk, ha a forrástól több hullámhossznyi távolságban vagyunk Nagyfrekvenciás eszközök sugárzása Mobiltelefon, mikrohullámú sütő, WiFi eszközök, vezeték nélküli telefon, stb. Mindnek van saját, keskeny frekvenciasávja, az 1-2 GHz-es tartományban Itt a hullámhossz a cm-es tartományba esik, ezért sugárzásról beszélhetünk. A sugárzás intenzitását mérhetjük, W/m 2 mértékegységben. Pontszerű forrásról van szó, ezért az intenzitás a hanghoz hasonlóan a távolság négyzetével csökken Általában ezek az eszközök adatcsomagokat küldenek, ezért nagyon változó a sugárzás teljesítménye 4.6. Alacsonyfrekvenciás eszközök sugárzása Nagyfeszültségű távvezeték, háztartási eszközök (TV, hajszárító) 17

18 Itt az elektromos hálózat 50 Hz frekvenciáját észleljük Kivéve a TV esetében, ott az elektronokat eltérítő elektromágnes khz körüli frekvenciáját 50 Hz esetében a hullámhossz a Föld sugarával egyezik meg körülbelül Szigorúan véve sugárzásról nem beszélhetünk, ezért nem az intenzitást mérjük, hanem az elektromos vagy mágneses tér váltakozását Hajszárító esetében a mágneses tér elérheti a 100 µt körüli egészségügyi határértéket (rövid időre) Itt az elektromotor elektromágnese okozza a mágneses teret Távvezeték esetében az Ampere törvénnyel számolható a tér: B = µ0i 2πR, ha I áram folyik a vezetékben és R távolságra vagyunk tőle Mivel az áram szinuszus, I = I 0 sin(ωt), ezért a mágneses tér is szinuszosan változik A változó mágneses teret tekerccsel lehet mérni, a tekercsben ugyanis ez feszültséget indukál, a Faraday törvény szerint: U i = NAḂ, ahol N a tekercs menetszáma és A a felülete, Ḃ pedig a mágneses tér időbeli változása. Behelyettesítve azt kapjuk, hogy U i = NA µ0i0 2πR cos(ωt), azaz a feszültség amplitúdója U 0 = NA µ0i0 2πR. Ezt mérhetjük szokványos feszültségmérő eszközzel, így meghatározhatjuk a vezetékben folyó áram erősségét. 18